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Estructuras de Concreto ! __________________ _

indeterminacin de un diseo o del funcionamiento de la estructura as diseada, del control de calidad de los materiales y de la construccin. Slo se supone admisible y as se puede verificar, por medio del mtodo de la resistencia ltima que se estudiar a continuacin.

Las consideraciones anteriores, entre otras, son las que han relegado el mtodo elstico a una simple alternativa de diseo en el Apndice C-G del Reglamento NSR-10. Sin embargo, de la anterior exposicin terica del mtodo y su elemental aplicacin presentada para algunos casos de normal ocurrencia se ratifica el concepto expresado sobre la necesidad que tienen los estudiantes del rea de su conocimiento como parte esencial en su formacin acadmica y con mayor razn si en alguna parte de su ejercicio profesional lo pudieran encontrar.

ME TODO DE LA RESISTENCIA ULTIMA

Por el mtodo elstico o de los esfuerzos de trabajo, el diseador obtiene los esfuerzos y deformaciones que se presentan en una estructura sometida a las cargas para las cuales se disea, suponiendo parmetros elsticos de los materiales.

Por el mtodo de la resistencia ltima, tambin llamado solamente mtodo de la resistencia, el diseador podr estudiar el comportamiento de la estructura en el instante de falla; por tanto, si este instante se hace lo suficientemente mayor que el de su trabajo para las cargas que soporta normalmente, se podr tener un diseo con factores de seguridad apropiados.

Este trabajo de la estructura en su ltima resistencia no es posible conocerlo a partir del mtodo elstico, en vista de que el comportamiento de los materiales inelsticos en el instante de falla es diferente al supuesto dentro del perodo elstico de su funcionamiento, es decir, para su trabajo con cargas, esfuerzos y deformaciones admisibles.

Como una introduccin al estudio del comportamiento de la estructura en el

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--------------------- Captulo 2 Flexin

instante de falla, se anota que los elementos de concreto reforzado sujetos y diseados a flexin por cualquier mtodo apropiado, deben fallar cuando el acero a traccin alcanza su lmite elstico. En otras palabras, si gradualmente se aumenta la carga hasta que fs = [y, el elemento resistir carga adicional en la medida en que se aumenta el brazo del par interior resistente y hasta que la falla defmitiva se presente por aplastamiento del concreto a compresin, aunque inicialmente la falla se debi a la fluencia del acero.

Antes de acometer el estudio de las relaciones que rigen el Mtodo de la Resistencia ltima nos referiremos a los Estados Lmites en el diseo de concreto reforzado para establecer su relacin con esta metodologa.

Estados Lmites:

Se denomina estado lmite de una estructura o elemento estructural cuando llega al lmite de su uso programado. Para las estructuras de concreto podemos considerar los siguientes estados lmites:

l. Estado lmite de falla: Corresponde al colapso parcial o total de una estructura con caractersticas como la prdida de equilibrio total o parcial, la rotura del elemento o de los elementos principales o bsicos que conduzcan al colapso, la falla progresiva por diferentes motivos, la formacin de mecanismos plsticos y la fatiga del material.

2. Estado lmite de servicio: Corresponde a la interrupcin del uso de la estructura, sin que conlleve al colapso, por factores como deflexiones excesivas, fisuras o grietas importantes o vibraciones excesivas.

3. Estados lmites especiales: Corresponden a daos o fallas debidos a condiciones especiales como movimientos ssmicos anormales, intervencin del fuego, explosiones, colisiones de diverso tipo, corrosin, deterioro por factores no contemplados en el diseo.

Para el diseo por estados lmites se procede teniendo en cuenta los posibles modos de falla, determinando los factores de seguridad apropiados para

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Estructuras de Concreto ! ___________________ _

cada estado lmite y diseando de acuerdo al estado limite escogido. En consecuencia, se puede identificar el diseo por el denominado Mtodo Elstico o de los Esfuerzos Admisibles, as como el Mtodo de la Resistencia dentro de algunos de los estados lmites mencionados.

A continuacin estableceremos las relaciones existentes en la seccin en el instante de la falla para vigas rectangulares con armadura a la traccin.

42r----------~ -u ..... 35 ::

O J - ll. ~ :E 28 o. o e -v 21 8 t; .., ::

"C 8 14 2-v ~ :: 7 .2 .., C/J r.l 0.001 0.002 0.003 0.004

Deformacin unitaria

. .....

. J - ll. tl :E ~e .., ..,

"C ~ 0-~ .., .., :: .2 ..,

C/J r.l

Figura 2.23

1050

875

700

525

350 !-175 /! o

o

Vigas rectangulares con armadura a traccin

fy=420

fy=350 fy=240

5 10 15 20 Deformacin %

Se trata, entonces, de obtener una expresin de momento resistente ltimo para vigas rectangulares sometidas a flexin con armadura a traccin, segn la teora de la resistencia ltima y una expresin de cuanta mxima de refuerzo en el diseo balanceado y su posible limitacin para diseos apropiados.

d-kud

E y

Figura 2.24

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--------------------- Captulo 2 Flexin

t Obtencin se utiliza un procedimiento abreviado con propsitos En es a . . 1 1 1 didcticos, partiendo de la seccin longttudmal y _de a transvers~ ~ ana despus de la deformacin por flextn, con la stgutente antes Y

nomenclatura:

b, d: ku:

dimensiones tiles de la seccin; factor menor que la unidad, que multiplicado por "d" da la profundidad del eje neutro; . , factor que hace promedios los esfuerzos de compres10n en el concreto; factor menor que la unidad que multiplicado por kud da la profundidad del punto de aplicacin de la resultante de compresiones.

Se puede decir que en el instante de la falla, la compresin Cu es igual a la traccin Tu, las cuales se evalan:

Cu= 0 . 85f~*kl *kud *b '

T =A f =pbdfy U S y o 85f' *k *k =pf

e 1 u y

Por tanto:

pfy ku = , *k 0.85fc 1

en donde la expresin 0.85f~ corresponde al mximo valor de la compresin como resultado de la flexin y su magnitud obedece a obtencin experimental.

Igualando Cu = Tu resulta:

expres10n que hace posible conocer la profundidad del eje neutro en funcin de p y la calidad de los materiales.

Tambin en el instante de la falla, se pueden expresar los momentos resistentes ltimos como:

Mn = Cu (d-k2 *kud) =Tu (d-k2 *kud)

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Aceptando que los elementos de concreto reforzado diseados a flexin deben fallar cuando el acero de traccin alcanza su lmite elstico, se toma el momento correspondiente a la traccin como el inicial y resistente ltimo de la seccin:

( pfy J Mn = pbd * fY d - k2 d , que se reagrupa: o.85r: *k1

k en donde m = 2 constituye una propiedad intrnseca del concreto en

0.85k sus diferentes calidades y cuya evaluacin experimental a travs de numerosos ensayos dio como resultado:

m= 0.59, que se reemplaza en la frmula de Mn, obteniendo:

Seccin Balanceada:

expresin sta conocida como la frmula general de la resistencia ltima.

Ahora bien, en la deduccin anterior se parte de la falla inicial por el acero de refuerzo, lo cual implica secciones sub-reforzadas; para poder garantizar esta situacin se debe obtener antes la cuanta necesaria para una falla simultnea de acero y concreto, es decir, la cuanta balanceada y a partir de ella garantizar el sub-refuerzo apropiado. De acuerdo con el diagrama de deformaciones de la figura 2.25, y suponiendo que el acero falle por traccin simultneamente con el concreto a compresin, se puede al mismo tiempo tener Euc y E y :

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--------------------- Captulo 2 Flexin

~ :;y kud d-kud

Figura 2.25

Euc=0.003 en donde Euc variable entre 0.003 y 0.004 se toma como 0.003 y EY = fyfEs ZJ~ Por otra parte, de arriba, con Cu =Tu se toma:

f' f' Euc p=0.85_:*klku=0.85_:*kl*---fy [y Euc +Ey

La anterior constituye una expresin de cuanta en funcin de las deformaciones, en donde k1 se toma como un promedio de 0.85 para resistencias a la compresin del concreto fe hasta de 28 MPa, cargas bajas Y gradualmente aplicadas. Si en esta expresin, co~o se dijo a~te~, se hace simultneamente Euc =0.003 y Ey =fy/Es, se constgue la p maxtma en la condicin balanceada.

A manera de ejemplo, se calcula a continuacin p balanceada para las condiciones de materiales f e = 21.1 MPa y fy = 240 MPa:

=085 21.1*0.85* 0003 =0.045371 P balanceado 240 240

0003

+ 200000

De igual forma se calcula para las condiciones de materiales fe = 21.1 MPa y [, = 420 MPa. En este caso debe tenerse en cuenta que el Reglamento en c.{o.3.3 permite fijar el lmite de deformaciones unitaria controlada por compresin en 0.002.

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Estructuras de Concreto '--------------------

=0.85 21.1*0.85* 0003 =0.021778 P balanceado 420 0.003 + 0.002

Secciones controladas por compresin:

Segn el Reglamento colombiano "las secciones se denominan controladas por la compresin si la deformacin unitaria neta de traccin en el acero externo en traccin, Et , es igual o menor que el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin cuando el concreto en compresin alcanza su lmite de deformacin supuesto de 0.003 . El lmite de deformacin controlada por compresin es la deformacin unitaria neta de traccin del refuerzo en condiciones de deformacin unitaria balaceada. Para refuerzo Grado 420 y para todos los refuerzos pre-esforzados, se permite fijar el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin en 0.002".

Secciones controladas por la traccin y regin de transicin:

Segn el Reglamento colombiano "las secciones son controladas por traccin si la deformacin unitaria neta de traccin en el refuerzo de acero extremo en traccin, Et , es igual o mayor a 0.005, justo cuando el concreto en compresin alcanza su lmite de deformacin unitaria asumido de 0.003. Las secciones conEt entre el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin y 0.005 constituyen una regin de transicin entre secciones controladas por compresin y secciones controladas por traccin".

Para deformaciones unitarias netas de traccin en el acero de refuerzo extremo en traccin iguales o mayores a 0.005, la seccin se define controlada por traccin. Igualmente, cuando la deformacin unitaria neta de traccin en el refuerzo de acero externo en traccin es pequea, la seccin puede presentar control por compresin.

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------------------ ---- Captulo 2 Flexin

. , Equivalente del Esfuerzo de Compresin. Mtodo de DistnbuciOn Wbitney

b del esfuerzo de compresin en el instante de la falla puede La distri ucion 1 . d. -O un rectngulo un trapecio una parbola o cua qmer tseno suponerse com ' ' 1

pla con los resultados requeridos. El Reglamento ACI Y e que 1 cumnto colombiano adoptaron una distribucin rectangular equivalente Reg ame 1 d de los esfuerzos de compresin inicialmente propuesta por e mvestiga or Charles S. Whitney.

S tr ta de obtener una expresin de momento resistente ltimo para vigas e a d t guiares sometidas a flexin con armadura a tracc10n, supomen o una rec an , d'

d' tribucin rectangular de los esfuerzos de compres10n como tagrama e~~ivalente con un esfuerzo unitario de 0.85f~, comp~~mentando con las expresiones usadas actualmente en el diseo y su tabulac10n.

A partir de las secciones longitudinal y transversal adjunt~s en las cuales se reemplaza el bloque real de compresiones por uno eqmvalente de forma rectangular, siendo todos los esfuerzos de compresin iguales a 0. 85f~ resulta:

kud

d-kud

Figura 2.26

Para la compresin Cu = Tu en el instante de falla:

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pfy 0.85 f~ab = Asfy = pbdfy a= d expresin que permite 0.85f~ ' conocer la profundidad del bloque rectangular de compresiones en funcin de p y los materiales.

Tambin en el instante de la falla, el momento resistente ltimo que, como antes se dijo, est determinado por el acero de traccin al llegar a su lmite elstico, se expresa como:

Mn =Tu(d-a / 2)=pbdf (d-a / 2) =pbdf (d- pfy dJ y y 2 *0.85f~

reagrupando: M, ~pf, ( 1-0.59 p J bd' , que es la miSma frmula general de la resistencia ltima presentada antes.

Slo con el propsito de establecer una expresin lmite de "a" en funcin de "d", se trabaja con el momento resistente ltimo por el concreto en compresin:

M o = Cu (d-a 12) = 0.85 f: ab (d-a 12 )= 0.85: ( 1- ;d) ( bd2 , que igualado al promedio obtenido por el Sr. Whitney para el caso de momento mximo o de falla para la p balanceada, dar el valor mximo de "a":

M = 1/ f'bd 2 =0.85~(1-~)f' bd2 n / 3 e d 2d e amxima = 0.537 d

Adicionalmente, y con el propsito de establecer comparacin, se puede obtener el valor de kud, profundidad del eje neutro, en funcin de "a". Del problema anterior:

pf a en donde se reemplaza: Y =

0.85f~ d

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--------------------- Captulo 2 Flexin

kud =a 1 k1 Si se toma k = 0.85 para resistencias a compresin del concreto f~ menores o iguales a 28 MPa, resulta: kud = 1.18 a

El Reglamento colombiano NSR-10 y el Reglamento ACI-318, aceptan como suposicin de diseo que la mxima deformacin unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresin del concreto sea 0.003 y que el esfuerzo en el concreto de 0.85 f~ se distribuya uniformemente sobre una zona equivalente de compresin limitada por los bordes de la seccin transversal y por una lnea recta paralela al eje neutro a una distancia a = p 1 e de la fibra de mxima deformacin sometida a compresin.

e a=cJ3

Figura 2.27

d-~ 2

Se resume esta aproximacin en la figura en donde el factor P ~ , que en este texto hemos llamado k1, debe tomarse como 0.85 para resistencias a la compresin del concreto f~ hasta 28 MPa inclusive. Para resistencias por encima de 28 MPa, P~ debe reducirse a razn de 0.05 por cada 7 MPa por encima de 28 MPa, pero no puede ser menor de 0.65. Por tanto:

[f' -28] P1 = 0.85-0.05 e

7 ~ 0.65

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Es con estas suposiciones que el Reglamento colombiano protocoliza la utilizacin de las expresiones antes estudiadas del mtodo de la resistencia ltim~, limitndose a reglamentar su uso con requisitos de seguridad apropiados y que, adems, dependen de las secciones segn sean controladas por la traccin o la compresin.

La figura 2.28 presenta los esfuerzos y deformacin para condicin de deformacin balanceada por flexin:

Cuc=0.003 .85fJJa, ZJ.

Figura 2.28

La figura 2.29 muestra los esfuerzos y las deformaciones para una seccin en el lmite de la seccin controlada por traccin. Este lmite corresponde, adems, al lmite para el uso de~= 0.90 como veremos ms adelante.

Figura 2.29

euc=0.003 ZJ c,0.375d ey=O.OOS

De la figura 2.29 obtenemos las expresiones en el lmite de las secciones controladas por traccin, utilizando el subndice t:

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e,== 0.375d, a,== ~1c1 == 0.375~1d, e,== 0.85f~ba, == 0.319~f~bdt T==A/y As = 0.319~f~bd, 1 fy p

1 ==As 1 (bd,) = 0.319~f~ 1 fy

fy 2 Mn, == Ply (1- 0.59p1 ----;-)bd, fe y el momento nominal para diseo, de acuerdo a especificaciones que se establecen ms adelante corresponder:

fy 2 ~Mn, == ~Ply (1- 0.59p,----;-)bd1 fe En donde ~ = coeficiente de reduccin de resistencia.

En la tabla siguiente se encuentran los valores de p, para los materiales de concreto y acero de refuerzo ms usuales en el medio colombiano y correspondiente a la deformacin unitaria neta lmite de traccin de 0.005 del acero de refuerzo en secciones controladas por traccin.

t:=)7.6 ; = 21.1 1:=24.6 ; = 28.1 ; =31.6 ; =35.2 1:=42.2 /J, = 0.85 /J, =0.85 /J, =0.85 /J, = 0.85 /J, = 0.82 p, =0.80 p, =0.75

fy = 240MPa 0.01988 0.02384 0.02779 0.03175 0.03444 0.03743 0.04207 p,

fy =420MPa 0.01136 0.01362 0.01588 0.01814 0.01968 0.02139 0.02404

Refuerzo Mximo para Miembros en Flexin El Reglamento NSR-10 define el refuerzo mximo que puede usarse en una seccin de concreto reforzado con solo armadura a la traccin, como una

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Estructuras de Concreto '-------------------

funcin de la deformacin unitaria neta de traccin en el acero en traccin E1 ,en lugar de la relacin p 1 p1 que se usaba en la NSR-98. La relacin entre p y E1 se puede obtener a partir de la figura adjunta:

Euc=0.003

e

Et Tension-controlada

Figura 2.30

Euc=0.003

Z}. Ey=fyjEy

Balanceada

A partir de la figura 2.30 y para la seccin balanceada:

y e p - =-

De los tringulos:

e 0.003 =----

d 0.003+E1

igualmente:

~= 0.003 d 0.003 + .!:r_

E.

y

dividiendo por

y E = 0.003 -0.003

1 e l d

e _ p cb p 0.003 ----=

d Pb d pb 0.003 + .!:r_ E.

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--------------------- Captulo 2 Flexin

f 0.003+-y

SI E = 0.003 -0.003 = ___ E2._. -0.003 1 e l d

Para fy =420MPa y E.= 200.000MPa y fy l E. =0.0021

E = ( 0.0051]- 0.003 1 pi Pb

El Reglamento NSR-10 limita el esfuerzo mximo para miembros en flexin (con carga axial mayorada menor a O.lOf~Ag) como el que corresponde a un valor de la deformacin unitaria neta de traccin en el acero en traccin E1 no menor a 0.004 en el estado de resistencia nominal.

Con este lmite, la cuanta de refuerzo en vigas no pre-esforzadas se mantiene muy cercana al valor que se exiga en la NSR-98. Si en la expresin anterior utilizamos pmax = 0.75pb obtenemos una deformacin unitaria neta de traccin en el acero para el estado de resistencia nominal de 0.0038, por lo que concluimos que el lmite actual es levemente mas conservador.

Para la limitacin de E1 = 0.004, la ecuacin general de E1 sera:

p 0.003+fy/E. -=

pb 0.007 y para fY =420MPa

=(0.003+0.0021) =0.729 p 0.007 Pb Pb y para este caso:

~=0.65+(1 -0.002)(250 / 3)

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vase CR9.3.2.2 del Reglamento Colombiano

= 0.817 < 0.90

Por lo tanto consideramos ms apropiado trabajar con la deformacin unitaria neta de traccin et limitndola a un valor mnimo de 0.005, aun cuando la norma permite mayores cantidades de refuerzo con deformaciones unitarias netas de traccin menores. Cualquier aumento en la resistencia con cantidades mayores de refuerzo se anula con la reduccin de coeficiente de resistencia y se confirma ms apropiado el diseo para secciones controladas por traccin.

Factor de seguridad

Para acometer el diseo a partir del momento ltimo resistente de una secci~n, es evidente que se pretende que dicho momento no se presente, coloc~ndose un factor de seguridad apropiado. El Reglamento NSR-10 especifica un factor de seguridad obtenido de una parte, aumentando las cargas o los momentos que ellas producen por medio de los llamados

"fa~tores. o coeficientes de carga (U)" y por otra parte disminuyendo la resistencia de las secciones por medio de los denominados "factores o coeficientes de reduccin de resistencia ( ) " .

Factor de coeficiente de carga (U)

Es un factor de seguridad con respecto a las cargas actuantes. El titulo B del Regl~m~nto N_ SR -1 O lo define como "un coeficiente que tiene en cuenta las desv~acwnes me:itabl~s de las cargas ~eales con respecto a las cargas nommales y las mcertidumbres que se tienen en el anlisis estructural al

transfo~ar las cargas en efectos internos de los elementos, y por la probabihdad de que ms de una carga extrema ocurra simultneamente". Una carga m~yorada es, por consiguiente, la carga resultante de multiplicar la carga nommal por un factor o coeficiente de carga.

E~ consecuencia el requisito bsico para el diseo por resistencia se expresa asi:

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--------------------- Captulo 2 Flexin

Resistencia de diseo ~ Resistencia requerida

*Resistencia nominal ~ U

y debe investigarse el efecto de uno o ms cargas que no actan simultneamente.

A continuacin transcribimos las combinaciones de carga mnimas mas usables especificadas por el Reglamento NSR-1 O para obtener la resistencia requerida U, la cual, como se expreso antes, debe ser por lo menos igual al efecto de las cargas mayoradas.

1. U = 1.4D, en donde:

D = carga muerta o los momentos y fuerzas internas correspondientes.

2. U= 1.2D+ 1.6L+0.5( Lr G Le), en donde:

L = cargas vivas o momentos y fuerzas internas correspondientes.

Lr = cargas vivas de cubierta o momento y fuerzas internas correspondientes.

G = cargas por granizo o momentos y fuerzas internas correspondientes.

Le = cargas por empozamiento de agua o momentos y fuerzas internas correspondientes

3. U= 1.2D+ 1.6( Lr G Le)+(l.OL 0.5W) en donde:

W = cargas por viento o momentos y fuerzas internas correspondientes.

4. U= 1.2D+ l.OW+ l.OL+0.5( Lr G Le)

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5. U= 1.2D+ l.OE+ l.OL en donde:

6. U= 0.9D+ 1.6W

7. U= 0.9D+l.OE

E = efectos de carga producidos por el sismo o momentos y fuerzas internas correspondientes.

Se permite reducir en 0.5 el factor de cargo viva L en las ecuaciones de la No 3 a No 5, excepto para estacionamientos, reas ocupadas como lugares de reuniones pblicas y en todas las reas donde L sea superior a 4.8 kN/m2

Las fuerzas ssmicas reducidas de diseo, E, utilizadas en las combinaciones No 5 a No 7 corresponden al efecto expresado en trminos de fuerza, Fs; de los movimientos ssmicos de diseo prescrito en el titulo A, dividida por R(E=Fs/R). Cuando se trata de disear los miembros, el valor del coeficiente de carga que afecta las fuerzas ssmicas, E, es 1.0, dado que estas estn prescritas al nivel de resistencia. Para la verificacin de las derivas obtenidas de las deflexiones horizontales causadas por el sismo de diseo, deben utilizarse los requisitos del captulo A.6, los cuales exigen que las derivas se verifiquen para las fuerzas ssmicas, Fs, sin haber sido divididas por R. En las mismas ecuaciones No 5 a No 7 se pueden usar 1.4E en lugar de l.OE cuando los efectos de carga por sismos E se basen en los niveles de servicio de las fuerzas ssmicas.

Nota: l. En todos los casos se debe utilizar el resultado ms desfavorable y en ningn caso se trabajar con un "U" inferior al utilizando para cargas verticales.

2. Para trabajar en las condiciones especificas del medio en el cual se disear y construir la estructura, el diseador puede escoger desde los factores anteriores hasta otros ligeramente superiores segn su criterio.

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--------------------- Captulo 2 Flexin

Factor o Coeficiente de Reduccin de Resistencia el>

E Coeficiente que reduce la capacidad de la seccin para tener en cuenta s un . . b . d b"d la probabilidad de existencia de elementos co~ una res11stendc~a aJ~ e 1 ~a ciones en la resistencia de los matenales y as 1menswnes, as ~~:ximaciones en las ecuaciones de diseo que reflejan. el grado de / ctilidad y confiabilidad requerida para el elemento sometido a la carga u e le corresponde y para tener en cuenta la importancia del elemento en la ~~tructura. Por lo tanto, la resistencia de dis~o que tiene un. ~lemento, sus

conexiones con otros miembros y cualqmer parte o. ~eccwn de .el, en trminos de momento flector, carga axial, cortante y torswn, debe se.r ~gual a su resistencia nominal calculada de acuerdo con los requlSltos Y suposiciones del ttulo C del Reglamento NSR-10 multiplicada por un coeficiente de reduccin de resistencia el> :

Resistencia de diseo = cj> Resistencia nominal~ Resistencia requerida.

El factor de reduccin de resistencia cj> para el presente capitulo, ser 0.90. Por tanto, el factor de seguridad resultante ser:

u F.S.=-

cj> que para el caso de U= 1.5 para cargas verticales en estructuras de tipo corriente resulta de l. 7, que puede considerarse aceptable para nuestro medio, en trminos generales.

Expresiones para el clculo y su tabulacin

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Estructuras de Concreto! __________________ _

0 .85fc

a

Figura 2.31

Notacin: M = u =

Momento de flexin o momento actuante Coeficiente de carga

Luego:

~Mn = Momento actuante ltimo o momento de diseo Momento de falla a la resistencia ltima o momento Nominal ~ Coeficiente de reduccin

~M " ~ ~pf, ( 1-O .59 P~, }d' , expresin a partir de la cual se calcula la cuanta del refuerzo p en funcin del momento actuante ltimo, de los materiales fy y f; y de la seccin bd, por lo cual se constituye en un sencillo programa de diseo.

Esta expresin tambin puede escribirse:

~M0 = Kbd 2 , en donde K= ~pfY(l- 0.59p ~~) es ta~,ulable en e funciOn de p

De aqu: d = - 1- ~ ~Mn = k2~ ~Mn JK b b ' 76

en donde el valor de k2 es igualmente tabulable.

--------------------- Captulo 2 Flexin

Expresando ~Mn en funcin de "a":

"'M = "'Asf ( d -~) ,en donde a= pfy d. '1' n '1' y 2 0.85f~

Este valor de "a" es tabulable en la forma:

a p fy b' ' fu ' d _ = - , tam 1en en nc10n e p d 0.85f~

De la figura 2.31 :

jd = d - ~, este valor de j se puede tabular en la forma de: 2

Refuerzo mnimo de elementos a flexin

. 1 a J= --2d

En cuanto al refuerzo mnimo de elementos sometidos a flexin, dice el Reglamento NSR-10 en la seccin C.10.5.1 "en toda seccin de un elemento sometido a flexin cuando por anlisis se requiera refuerzo de traccin, excepto lo establecido en C.10.5.2, C.10.5.3 y C.l0.5.4, el As proporcionado no debe ser menor que el obtenido por medio de:

A . = 0.25.ff'c b d s,mm f w

y

(C.10-3)

pero no menor a 1.4bw d/fY

Lo establecido en el articulo C.1 0.5 .2 es que "para los elementos estticamente determinados con el ala en traccin, As,min no deber ser menor que el valor dado por la ecuacin (C.1 0-3) reemplazando bw por 2bw, o el ancho del ala, el que sea menor".

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Respecto del articulo C.10.5.3 dice "los requisitos de C.l0.5.1 y C.l0.5.2 no necesitan ser aplicados si en cada seccin de A s proporcionado es al menos un tercio superior al requerido por anlisis".

En el C.l O. 5.4 dice "para losas estructurales y zapatas de espesor uniforme, A s,min en la direccin de la luz debe ser el mismo requerido por C.7.12.2.1. El espaciamiento mximo de este refuerzo no debe exceder tres veces el espesor, ni 450 mm".

Distribucin de refuerzo a flexin en vigas

Con el propsito de limitar el agrietamiento por flexin en vigas el refuerzo de traccin por flexin debe distribuirse adecuadamente dentro de la zona de traccin mxima a flexin de la seccin transversal de un elemento de acuerdo a los requerimientos del Reglamento en el articulo C.l 0.6.4 que dice: "el espaciamiento del refuerzo ms cercano a una superficie en traccin, s en mm, no debe ser mayor que el dado por:

( 280] S= 380 T -2.5cc (C.l0-4)

pero no mayor que 300(280 1 fs), donde ce en mm, es la menor distancia desde la superficie del refuerzo o acero de pre-esforzado a la cara en traccin. Si el refuerzo mas cercano a la cara en traccin extrema corresponde a una sola barra o un solo alambre, el valor de s a utilizar en la ecuacin (C.l 0-4) es el ancho de la cara en traccin extrema. El esfuerzo calculado fs(MPa) en el refuerzo ms cercano a la cara en traccin para cargas de servicio debe obtenerse con base en el momento no mayorado. Se permite tomar (como 2/3 fY ".

Problema 2.12

Disear la armadura necesaria a la flexin en una viga de 0.30 x 0.50 m, simplemente apoyada en una luz de 8 metros, armada en concreto de

78

--------------------- Captulo 2 Flexin

f~ == 21.1 MPa y acero para [y = 240 MPa y una carga total de ~.~6 kN/m (Ntese que esta carga es la obtenida como sopo::ada en c?nd1c10nes de

uridad por la viga del problema 2.1, de secc10n, luz, tlpo de carga, ~~~diciones de apoyo y materiales idnticos a este problema, cuando la seccin estaba reforzada con 4 4> 7 /8").

Solucin , . . Se trata de obtener una carga ltima y un momento actuante ulttmo a parttr del cual se obtiene p .

1) Obtencin de w u, F. de S. y Mn: La aplicacin del coeficiente de carga U = 1.2D + 1.6L implica el conocimiento de las porciones de carga total que corresponden a carga muerta y carga viva. Del problema 2.1 , se obtiene:

Wu = 1.2 X 3.6 + 1.6 X 5.36 = 12.90 kN/m

12.90 U (coeficiente de carga ponderado) = -- = 1.44

8.96

Factor de Seguridad (F. de S.)= 1.44 = 1.60 0.9

A-M = 1290 *82

=103.20 kNm '!' n 8

2) Armadura: Usando las frmulas o la calculadora programada:

$M, =$pf, (l-0.59p }d'

( 240000)

:.103.20=0.9*p*240000 1-0.59*p* 21100 *0.30*0.442

p2 -0.1490llp+0.001226 =o

79

,...

Estructuras de Concreto ! _________________ _

de donde se escoge:

p= 0.00874 As = 0.00874*300*440 = 1154 mm2

Resulta inferior al valor de la p para el caso de la deformacin unitaria neta limite de traccin.

La solucin por tablas a partir de Mn :

K= M2n = 103

20 2 = 1776.90 :. p (por interpolacin)= 0.00874 bd 0.30*0.44

As= 0.008740*300*440 = 1154 mm2, obtenindose el mismo resultado

Se coloca 3 4> 7/8" (As= 1161 mm2) usando 4> 7/8" para comparacin, que es inferior en una barra a las cuatro necesarias por el mtodo elstico. Una de las razones de esta diferencia es el factor de seguridad que aqu es de 1.60 y en el mtodo elstico el factor de seguridad se asume por encima de 2.0. Esto se confrrma si se disea el problema anterior para un factor de seguridad de 2.0, es decir, coeficiente de carga de l. 8:

Mn = 896 *82

*1.8=129.02kNm 8

129

02 2 = 2221.4 :. p (por interpolacin)= 0.11114 0.30*0.44

As = 0.011114*300*440 = 1467 mm2, que todava nos resulta por debajo de las cuatro barras de 4> 7/8", pero que sin embargo las podramos colocar en una acomodacin del refuerzo por exceso.

80

1!

1

11

-------------------- Captulo 2 Flexin

problema 2.13

Revisar el diseo a flexin para momento mximo en el centro de la luz de 8 metros de una viga simplemente apoyada sometida a carga uniforme, con materiales y refuerzo como aparece en la seccin adjunta, determinando su momento resistente ltimo de diseo, la carga w en kN/m que puede soportar cuando el factor de seguridad sea de 2.0 y cul sera el factor de seguridad resultante si consideramos que la carga total actuante es de 8.96 kN/m, obtenida en el problema 2.1 como soportada en condiciones de

seguridad por una viga similar de acuerdo con un diseo por el mtodo elstico. l 0.30 l

' 1

0.44 0.50

l-.-1 407 8' .... ~ ---+

Figura 2.32

Solucin

Concreto: f; = 21.1 MPa Refuerzo: fY = 240 MPa

Se trata de obtener el momento resistente ltimo de diseo a partir de la cuanta p existente, luego, la carga a soportar para un factor de seguridad suministrado y, fmalmente, el factor de seguridad cuando la carga w es suministrada como segura en un diseo elstico, obtenindose as el factor de seguridad de este mtodo para el problema antes citado.

1) Obtencin de p : =As = 4*387 =0.011727

p bd 300*440

2) Obtencin de Mn :

A partir de las frmulas:

81

Estructuras de Concreto '------------------

a= pfy ' d = 0.011727*240 *440 = 69.1 mm 0.85fc 0.85 * 21.1

Mn = 0.9*4*0.000387*240000*(0.44-0.06910/2) = 135.57kN.m

A partir de las tablas:

Mn = Kbd2 para K correspondiente a p = 0.011727

Mn = 2333.4*0.30*0.442 = 135.52 kNm, obtenindose resultados iguales.

3) Carga w en kN/m que puede soportar para un factor de seguridad de 2.0: n2 * 82

M = 135.57 kNm = w u -t = w u n 8 8 Wu = 16.94 kN/m

Si el factor de seguridad es 2.0; U = 2.0*0.9 = 1.8

w = 16

94 = 9.41 kN/m

1.8 ' concluyndose que el resultado obtenido en el problema 2.1 implica un factor de seguridad por encima de 2.0.

4) Factor de Seguridad para una carga total actuante de 8.96 kN/m:

Si Wu = 16.94 kN/m, entonces U= 1694 = 1.89 8.96

y

F de S= 1

89 = 2.1 O que sera el correspondiente al diseo por

0

9 el mtodo elstico en el problema 2.1.

82

-------------------- Captulo 2 Flexin

problema 2.14

Disear la armadura necesaria a flexin en una viga de 0.30 x 0.50 m, simplemente apoyada en una luz de 8 metros, armada en concreto de

f~ = 21.1 MPa y acero para [y= 240 MPa y como alternativa para [y = 420 MPa, si soporta una carga uniforme total de 1 O kN/m, de la cual el 80% es carga muerta y el 20% es carga viva.

Solucin Se trata de obtener un momento actuante y, con un factor de carga, que el diseador puede considerar apropiado para las condiciones especificas de este problema, un momento ltimo de diseo, a partir del cual obtenemos las armaduras para cada calidad de acero.

1) Momento actuante, coeficiente de carga y momento ltimo de diseo:

Momento actuante = M= wt_2 = 10 *82

= 80 kNm 8 8

Utilizando un coeficiente de carga U= 1.4D + 1.8L, resulta:

Wu = 1.4*0.80*10 + 1.8*0.20*10 = 14.8 kN/m

u= 14.8 = 1.48 10

muy aproximado al factor de carga conjunto recomendado arriba de 1.5 (D + L).

Mn = 1.48*80 = 118.4 kNm

2) Armaduras: Se pueden obtener por la aplicacin del programa

Mn ~ .ppf Y ( 1 - O .59p ~; )bd 2 con p en funcin de .PM" o por intermedio de la tabulacin efectuada para esta misma expresin. As:

a) Utilizando f y = 240 MPa:

83


b)

K= M" = 118.4 = 2038.6 p = 0.010127 bd2 0.30*0.442 '

As = 0.010127*300*440 = 1337 mm2 - 2 7/8"+ 2 3/4". Esta armadura, tambin principalmente por la disminucin en el factor de seguridad, resulta inferior a la obtenida por el mtodo elstico en el problema 2.4 parte "a".

Utilizando fy = 420 MPa :

A partir de K= 118.4 2 =1949.0 se obtiene 0.30*0.45 p = 0.005516

que tambin en este caso resulta inferior a la cuanta correspondiente a la deformacin unitaria neta limite de traccin.

As = 0.005516*300*450 = 745 mm2 - 2 3/4"+ 1 5/8", armadura inferior a la obtenida con el acero de baja resistencia utilizado en "a", por lo que el cambio en la calidad del acero de baja a alta resistencia puede representar una solucin a la acomodacin del refuerzo en secciones muy congestionadas.

Tambin por el mtodo de la resistencia ltima existe, en ocasiones, la imposibilidad de aumentar las dimensiones de secciones sometidas a momentos flectores ltimos o de diseo mayores que los resistidos por la seccin, tenindose que usar una armadura en la zona de compresiones que implica una armadura adicional a traccin, produciendo entonces las denominadas vigas con armadura a compresin. Sin embargo, hay casos de uso de la armadura en la zona de compresin sin que se tenga razones de resistencia, como cuando con esta armadura se pretende reducir las flechas por fluencia lenta o retraccin de fraguado o cuando tal armadura se usa para el sostenimiento de estribos. A continuacin las relaciones para el diseo de las vigas con armadura a compresin, tambin llamadas vigas con armadura doble, por el mtodo de la resistencia ltima.

84

~-------------------- Captulo 2 Flexin

ANGULARES CON ARMADURA A TRACCION Y A VIGAS RECT coMPRESION

de obtener una expresin de momento resistente ltimo para v~~as Se trata t"d flexin con armadura a traccin y a compresiOn, guiares sorne I as a , rectan "d "mplemente como vigas con armadura a compresiOn o b n conoci as SI . , lt. tam

1 adas segn la teora de la resistencia u tma,

gas doblemente arm ' NSR 1 O "

1 1 t ndo con los requerimientos del Reglamento - comp emen a

compresin se usa cuando la seccin est limitada a unas E.t refu:~~s adeterminadas por requisito del proyecto del c~al hace ~arte. dJmen~sibilidad de uso de este refuerzo es cuando se reqmere. reductr las Otrfla P. a largo plazo y tambin en el caso en que se necesite sostener de ex10nes d" - fu de corte Jos estribos o flejes determinados por el tseno para erzas .

cuando se pueda considerar los casos en el diseo de ~st~s sec~io.nes Au~ ue el refuerzo a compresin este o no en su hmtte elastico, :;a~~~e~os en este texto solamente el caso m~ ~sual ~u~ corresponde a la "d . , del refuerzo a compresin en el hmtte elasttco. const erac10n

h d

Llamando: As A'

S

As - A:

=

=

Figura 2.33

Area total del acero en traccin Area del acero en compresin

- d-d ' h

Armadura a traccin correspondiente a la compresin en el concreto.

85

Estructuras de Concreto 1 ------------------

A partir de la consideracin de que tanto As como A~ llegan a su lmite elstico en el instante de la falla, se plantea:

Mn = momento resistente ltimo o de falla = M01 + Mn2 , en donde:

Si se llama:

se tiene que:

y

a= (p-p')fy d 0.85f~

El momento resistente ltimo ser:

que es la parte del momento desarrollado por la armadura a traccin (As -A~) y la compresin en el concreto.

que es la parte del momento desarrollado por las fuerzas en la armadura a compresin y un rea igual de la armadura a traccin.

, A~ p =w

De acuerdo con las provisiones de seguridad del Reglamento, el momento de diseo:

Todo el desarrollo se basa en la hiptesis de que tanto el refuerzo a traccin como el refuerzo a compresin alcancen su lmite elstico en el instante de

86

-------------------- Captulo 2 Flexin

A -A's la falla, para lo cual se especifica p- p' = s bd ::; p, o Pmax Y

d la deformacin unitaria neta lmite de traccin de 0.005 del correspon e a . , refuerzo en secciones controladas por traccwn.

rte P _ p' ~ (p - p') . que deducimos a partir del diagrama de Por otra pa mm. deformaciones ltimas en el instante de falla:

En el cual:

de donde:

Por otra parte:

Por tanto:

h d

E' S k:ud-d' = k:ud

k:u = (p- p')fy 0.85f~k

Figura 2.34

87

kud-d' kud

d-kud

Estructuras de Concreto 1 -------------------

Si en el instante de falla se hace Eu = 0.003 y s: = ){s ( _ ') , _ 0 85 e k 6oo d' p p mm- . - 1 -

fy 600-fy d en donde k, = p, del Reglamento colombiano.

Por tanto, para una p' menor y por consiguiente un (p- p') mayor que el obtenido por la expresin anterior se garantiza el cumplimiento de la hiptesis bsica segn la cual el refuerzo a traccin corno el refuerzo a compresin alcanza su lmite elstico en el instante de la falla.

A continuacin, problemas de aplicacin sobre los conceptos antes expuestos.

Problema 2.15

Disear la armadura necesaria a flexin en una viga de 0.30 x 0.50 m, s~plernente apoyada en una luz de 8 metros, armada en concreto de f e = 21.1 MPa y acero para [y = 240 MPa y una carga exterior de

1 O. 72 kN/m. (Se resuelve el problema 2.1 O por el mtodo de la resistencia ltima, que por el mtodo elstico requiri a traccin 4 $ 1" + 2 $ 7 /8" y a compresin 3 $ 5/8").

Solucin Se trata de obtener un momento actuante ltimo y dotar a la seccin de un momento resistente equivalente; se trabaja con un factor de seguridad de 2.0 para hacer ms comparables los resultados con los obtenidos en el problema 2.10.

1) Obtencin de $Mn y comparacin con $Mn1: Cargas: p. propio viga: 0.30 x 0.50 x 1.00 x 24

carga sobre la viga:

88

= 3.60kN/m = 10.72 kN/m

w = 14.32 kN/m

--------------------- Captulo 2 Flexin

wf.2 14.32 *82 Momento actuante=--= = 114.56 kNm

8 8

Para un factor de seguridad de 2.0 se utiliza U= 1.8

:. $Mn = 1.8*114.56 = 206.21 kNm.

Se compara este resultado con el $Mn1, o sea, el momento mximo desarrollado por la mxima armadura a traccin y el concreto a la compresin, en secciones controladas por la traccin con una deformacin neta limite de traccin de 0.005 en el refuerzo.

( fy J 2 $Mnl = $p fy 1-0.59p [: bd , que para p mxima de diseo= 0.02384, resulta:

$Mnl = 0.9*0.02384*240000*(1-0.59*0.02384 240000)*0.30*0.432 21100 $Mn1 = 239.94 kNm, valor similar al obtenido por las tablas:

$Mn1 =4325.4*0.30*0.432 = 239.93 kNm

Lo anterior significa que en la provisin a la seccin de un momento resistente ltimo igual a 206.21 kNm, todava se est, para el mtodo de la resistencia, dentro del perodo de vigas con slo armadura a traccin.

2) Armadura:

De acuerdo a la conclusin anterior, diseamos esta viga con slo armadura a la traccin, as:

89


$M" ~$pf,(I ~0.59p ) bd' 206.21 = 0.9*p*240000*(1-0.59p 240000)*0.30*0 432 :.

21100 . p= 0,019862

Igualmente, por las tablas resulta:

206.21 . K= 2 = 3717.5; p (mterpolada) = 0.019858 0.30*0.43

As =0.019862*300*430=2562 mm2- 4 1" + 2 7/8" (2814 mm2)

Se concluye que por el mtodo de la resistencia ltima y con factor de seguridad de 2.0, el diseo de la viga del problema 2.10 slo requiere la armadura a traccin en cantidad que se aproxima a la obtenida por el mtodo elstico. La diferencia con la armadura a compresin se debe

. . ' pnnctpalmente, a los factores de seguridad que se usaron para cada diseo.

Problema 2.16

Disear la armadura necesaria a flexin en una viga de 0.30 x 0.50 m simplemente apoyada en una luz de 8 metros, utilizando concreto de

f~ = 21.1 MPa y acero para fy = 240 MPa y una carga exterior de 21.44 kN/m. (Se destaca que esta carga es el doble de la correspondiente al problema 2.15 y cuatro veces la del problema 2.12 con miras a comparar resultados y fijar rdenes de magnitud de cargas contra luces y secciones). Solucin Se trata de obtener un momento actuante ltimo y dotar a la seccin de un momento resistente equivalente; se mantiene el factor de seguridad de 2.0 con el fm de cotejar resultados.

90

-------------------- Capftulo 2 Flexin

l) Obtencin de Mn y comparacin con Mn 1 Cargas: p. propio viga: . 0.30*0.50* 1.00*24

carga sobre la vtga:

25

04*

82 = 200.32 kNm M actuante= 8

Para un F. de S. de 2.0 se utiliza U= 1.8

= 3.60kN/m = 21.44 kN/m

w 25.04 kN/m

. . Mn = 1.8*200.32 = 360.58 kNm. Se compara este, r~sultado con Mn 1, o sea, el momento mximo desa.r;ollado por.1a maxtma armadura a la traccin y el concreto a compres10n, en seccwnes controladas por la traccin con una deformacin neta limite de traccin de 0.005 en el refuerzo:

Mn1 = pfY (1-0.59p f~ Jbd2, que para p mxima de diseo fe = 0.02384 vale:

"'M -O 9*0 02384*240000* 1-0 59*0.02384 *0.30*0.41 ( 240000) 2

't' ni- ' ' 21100

Mn1 = 218.14kNm (se usad= 0.41 m esperando una armadura superior a la del problema anterior). Este resultado significa que en la provisin a la seccin de un momento resistente ltimo, se requiere la contribucin de la armadura a compresin producindose un diseo de viga doblemente armada.

"'M ="'M -"'M = 360.58-218.14=144.44 kNm 't' n2 't' n 't' ni

2) Armadura:

a) Armadura a traccin:

91

--~~~--------------------------------,......


As = p mxima de diseo * bd +

144.44 As= 0.02384*0.30*0.41 + ( ) 0.90 * 240000 * 0.41-0.06 As = 0.004843 m2

As = 4843 rnm2

Refuerzo: 21 ){ "+ 51 Ys "( 4863mm2 ) Chequeo de "d":

d=500 - -2_*_81_9_*_6_0_+_2_*_6_45_*_6_0_+_3_*_6_4_5_*_12_0 2*819+5*645

d = 500 - 83.87 = 416mm- 0.41m

301 1/ 8" J' T ''--1-\-\ +-,.._ ..... .._, ..... _..,. R=

201 1/ 4 "+ ..... o;;:,.,.,. 0 '06 .... 0 .06

201 1 r

Figura 2.35

b) Armadura a la compresin:

A'= Mn2 = 144.44 S fy(d-d') 0.9*240000*(0.41 - 0.06)

A's = 0.001911m2 ( 1911mm2 )

Algunos autores consideran que se debe aumentar el A' s por la disminucin de la misma rea de concreto a compresin desalojado por el refuerzo, para lo cual plantean: f; = fy - 0 . 85f~ = 240- 0.85*21.1 = 222 MPa

92

-------------------- Captulo 2 Flexin -

A'= 144.44 = 0.002065m2 (2065 mm2) S 0.9*222000*(0.41-0.06)

Refuerzo: 31"+11 jg "(2175mm2 )

e) Chequeo de cuantas:

- '=As -A: = 4863 - 2175 =0.02185 < 0.02384 p p bd 300*410

( _ ') mn = 0.85f: A 600 d' p p f 1-'! 600- f d y y

( _ ')mn= 0.85*21.1*0.85 * 600 * 60 p p 240 600-240 410

(p - p')mn = 0.015493

Por tanto resulta: (p - p') mn < (p - p') < (p- p')mx

Nota: Esta solucin puede resultar terica en nuestro medio, entre otras razones por la posible dificultad de consecucin en la actualidad de las barras en los dimetros usados para la armadura a traccin. Comparando con el problema 2.15, se observa la aproximada proporcionalidad entre la carga y la armadura a traccin correspondiente, para un mismo factor de seguridad. Finalmente, el Reglamento colombiano especifica que el refuerzo a compresin en elementos sometidos a flexin debe asegurarse mediante estribos en la misma forma que el refuerzo a compresin en columnas.

A continuacin una solucin al resultado calificado como terico del problema anterior, consistente en reemplazar la armadura de baja resistencia por armadura de alta resistencia que permita utilizar dimetros inferiores de normal ocurrencia y que adems muestre al lector la justificacin de este tipo de refuerzo como solucin a secciones congestionadas.

93


Problema 2.17

Disear la viga del problema 2.16 utilizando acero para [y = 420 MPa y el mismo factor de seguridad.

Solucin Para el mismo factor de seguridad y momento actuante ltimo

~M" = 360.58 kNm, comparamos con el ~M"1 obtenido para las nuevas condiciones de los materiales y se colocan a continuacin las armaduras por un proceso similar al utilizado en el problema anterior.

( fyJ 2 ~M" 1 = ~p fy 1-0.59p r: bd ,

que para p mximo de diseo = 0.01362 vale:

~Mnl = 0.9*0.01362 *420000*(1-0.59 *0.01362 * 420 )*0.30*0.422 21.1 ~M"1 = 228.87 kN m

~Mn2 =~M" - ~Mnl = 360.58- 228.87 = 131.71 kNm 2) Armadura:

a) Armadura a traccin: As = ( p mximo de diseo )*bd + ~M"2 )

~fy d-d'

A = 0.01362*0.30*0.42+ 131.71 S 0.9*420000*(0.42-0.05)

As = 0.002658m 2 ( 2658mm2)

94

.:..

.. -

-------------------- Captulo 2 Flexin -

Refuerzo: 3 ~ 1" + 3 ~ 7 /8" (2694 mm2)

Chequeo de "d"

3 * 510*60+ 1 *387 *110+ 2 *387 *110 z = 2694 z = 74.3

207/8" . ~ !... .l t=f: ....... 3o,,.j 0.05

301"+ .... 0.06 I07 /8" 1

d = 500 -74.3 = 425.7 mm- 0.42 m Figura 2.36

. , A' ~Mn2 b) Armadura a compres10n: s = ~( ( d _ d') en donde r; = f y - 0.85f~ = 420-0.85 * 21.1 = 402 MPa

. , _ 131.71 = 0.000984 m2 (984 mm2)

.. As - 0.9*402000*(0.42-0.05)

Refuerzo:3 ~ 3/4"+ 1 ~ 5/8" (1 051 mm2) e) Chequeo de cuantas:

- '= 2694

-

1051 =0.01304


:. (- ')mn= 085 *21.1 *0.85* 600 * 50 =0.014404 p p 420 600- 420 420

Sin embargo como se observa en los resultados, el cambio en la calidad del acero cumplira el objetivo propuesto.

En ocasiones se usa el acero a compresin para controlar o reducir las deflexiones a largo plazo. Algunos autores recomiendan la utilizacin de (p-p') variable entre 0.18*(fU fy) para un mximo control y que no exceda la cuanta mxima de diseo, siempre y cuando el valor de (p- p')= 0.18 * (f~ 1 [y) ~(p - p') mnimo. La forma como opera este control consiste en que al reducir el valor de (p- p'), reducimos el valor de Mn1 y por consiguiente el trabajo del concreto y su deformacin por fluencia lenta. A continuacin se presenta un ejemplo de la utilizacin de este procedimiento, poco frecuente en el ejercicio profesional, con el propsito primordial de familiarizar al lector con el diseo y trabajo de las vigas con armadura a compresin.

Problema 2.18

Disear la armadura necesaria a flexin en el problema 2.16 con el criterio de reducir la deflexin por plastificacin del concreto, adoptando una cuanta (p- p') = 0.020, aproximadamente equidistante entre (p-p') = 0.18*(f; jf) = 0.015825 y (p - p')mx. = 0.02384 (sin control de deflexin).

Solucin Para el mismo factor de seguridad y momento actuante ltimo Mn = 360.58 kNm obtenido en el problema 2.16, y con el M01 ahora calculado para (p - p') = 0.020, se calculan M n2 y las armaduras correspondientes:

96

--------------------- Captulo 2 Flexin

1) Mnl' Mn2 : Mnl = 0.9 * 0.020 * 240000 * (1-0.59 * 0.020 * 240 ) * 0.30 * 0.412

21.1 M01 = 188.62 kNm M 02 = 360.58 - 188.62 = 171 .96 kNm

2) Armadura:

a) Armadura a traccin:

A=0.020*0.30*0.41+ 171.96 =0.004731 m2 S .9*24QQQ0*(0.42-Q.06)

2 A5 =4740 mm Armadura: 51 ){ "+ 11 Ys "( 4 7 40mm 2 )

101 1 8" J' ....-+101 1/4" \\ b.. ~ 1--'.,_ ~,' 1----',_0.06 401 1/4" ...... 0.06

Figura 2.37

Chequeo de "d":

4*819*60+ 1 * 819*120 + 1 * 645 *120 z = = 78.5 mm - 80mm

4740 d = 500-80 = 420 mm= 0.42 m

b) Armadura a compresin: A'= Mn2 S f~( d -d')

: . A' = 171.96 = 0.002391 m2 (2391 mm2) S 0.9*222000*(0.42-0.06)

97


Refuerzo: 34>1 Ya "+ 14>1 "(2445mm 2 )

Debe notarse el aumento en la armadura de compresin de 2040 mm2 tericos en el problema 2.16 a los 2445 mm2 de ahora.

e) Chequeo de cuantas: en este caso es ms obvio este chequeo que en los problemas anteriores en donde (p- p') se haba calculado muy cercano a (p-p')mx.

4740-

2445 = 0.01821 < 0.020

300*420 por las aproximaciones en la colocacin de la armadura.

Segn lo expuesto antes:

(p-p')mx = 0.02380 y (p - p')mn = 0.015493

Portanto: (p - p')mn.< (p-p') < (p-p')mx.

Nota: Se espera que este aumento en la armadura de compresin reduzca la deflexin por plastificacin; sin embargo, la necesidad de este control depender de un estudio sobre las deflexiones elsticas y a largo plazo, como se ver al final del presente captulo. Por ltimo, se reitera la necesidad de asegurar el refuerzo a compresin mediante estribos.

Estos problemas de vigas rectangulares con armadura a compresin se finalizan con un problema de revisin de la seccin, utilizando el diseo del problema 2.16 del cual se mantiene la armadura a la traccin y se modifica, aumentando, la armadura a com resin.

-------------------~~~

Problema 2.19

Revisar el diseo a flexin para momento mximo en el centro de la luz de 8 metros de una viga rectangular simplemente apoyada sometida a carga

98

--------------------- Captulo 2 Flexin

. determinando el momento resistente ltimo de diseo y la carga umforme, d 'd d d 2 O d kN/m que puede soportar cuando el factor e segun a es e . ; e w en . 1 . . do a la seccin y matena es siguientes: acuer

Figura 2.38 Solucin

f~ = 21.1 MPa fy =240 MPa

Primero se verifica que (p- p') est dentro de los lmites admisibles y luego obtenemos


se obtiene ~Mn, = ~ (As -A: ) fY (d-a 1 2) , o sea, el resto de armadura de traccin trabajando con el concreto para producir este momento.

A ' - (p-p') fy d 0.018561 *240*0.41 o 10 qm. a - ' = = . 2 m 0.85fc 0.85*21.1

:. ~Mn = 0.9*(0.004863 -0.002580)* 240000 *(0.41-0.102 / 2) ~Mn1 = 177.03 kNm

Otra forma de obtener ~M01 es: $M"' = ${p-p') f, (I-0.59*(p-p') }ct' donde (p- p') = 0.018561, reemplazando:

~Mn l = 0.9*0.018561 * 240000*(1- 0.59*0.018561 * 240 )*0.30*0.412 21.1 ~Mni =177.0 kNm

~Mn = 177.03 + 195.05 = 372.08 kNm que se aproxima al momento ltimo ~Mn = 360.58 kNm del problema 2.16 concluyendo que el aumento en la armadura de compresin no implica un aumento en la resistencia de la seccin; se usa en este caso como disminucin en el trabajo del concreto y por consiguiente en la disminucin de su deformacin por fluencia lenta.

3) Obtencin de Wu y w:

Wu = 46.51 kN/m

100

~------------------- Captulo 2 Flexin

Si F. de S. = 2.0 entonces U= 1.8 w = 46.51/1.8 w = 25.84 kN/m

que es un poco superior a 25.04 kN/m debido no solo al aumento del refuerzo de compresin, sino al exceso de refuerzo colocado en el problema original sobre el terico requerido.

Nota: Para casos como ste, es que resulta obvia la aplicacin de la especificacin:

(p-p')mn. < (p-p')< (p-p')mx.

Una de las construcciones ms frecuentes en estructuras de concreto son las llamadas losas aligeradas o nervadas, que cuando no son prefabricadas, estn constituidas por sistemas monolticos de vigas "T" en los cuales la aleta es la losa de piso y los nervios son la parte central de la viga "T". A continuacin, se estudian las relaciones de diseo y especificaciones de las denominadas vigas "T_":.... --~------~------~

101


Vigas "T"

Se deben obtener las expresiones de momento resistente ltimo para vigas "T" sometidas a flexin con armadura a traccin, segn la teora de la resistencia ltima, complementando con las limitaciones de cuanta para el diseo segn la Reglamento NSR-10.

Antes de obtener el momento resistente ltimo para secciones en "T", debemos conocer las especificaciones del Reglamento sobre las mismas.

a) Para vigas con losa de ambos lados del cuerpo central o nervio y que hacen parte de un sistema monoltico de losa a base de vigas "T":

b

Figura 2.39

El ancho efectivo "b" no debe exceder 1/4 de la longitud de la viga:

b :5: 114 longitud de la viga

El ancho de aleta que se proyecta a cada lado del cuerpo central no debe exceder 8 veces el espesor de la aleta "t"; en trminos de b':

b::;; 16t + b'

El ancho de aleta que se proyecta a cada lado del cuerpo central no debe exceder la mitad de la distancia hasta el siguiente cuerpo central; en trminos de b':

102

--------------------- Captulo 2 Flexin

b :5: a la separacin centro a centro de vigas adyacentes

b) Para vigas con losa de un solo lado del cuerpo central o nervio y que hacen parte de un sistema monoltico de losa a base de vigas "T":

El ancho efectivo de aleta que se proyecta al lado del cuerpo central no debe exceder 1/12 de la longitud de la viga; en trminos de "b":

b :5: 1/12 longitud de la viga+ b'

Tampoco debe exceder 6 veces el espesor de la aleta; en trminos de b':

b::;; 6t + b'

Y tampoco debe exceder la mitad de la distancia hasta el siguiente cuerpo central; en trminos de b';

b :5: 1/2 de la distancia libre hasta la siguiente viga + b'

Figura 2.40

e) Para vigas "T" aisladas, en las cuales la forma "T" se usa para proporcionar un rea adicional de compresin, se debe tener un espesor de aleta no menor que la mitad del ancho del alma, t ~ Y2 b' y un ancho efectivo de ala no mayor que cuatro veces el ancho del alma, b ::;; 4b'.

1b3

Estructuras de Concreto 1 --------------------

Figura 2.41

Para el estudio de su momento resistente ltimo, se est ante dos casos:

a) Si la profundidad del bloque de compresiones y el eje neutro quedan dentro de la aleta, la seccin puede estudiarse como una seccin rectangular de dimensiones b y d.

t

Figura 2.42

b) Si la profundidad del eje neutro es superior al espesor de la aleta y queda dentro del nervio:

104

---------------------- Captulo 2 Flexin

Figura 2.43

En este caso, el momento resistente ltimo o de falla se compone de dos momentos:

Mn = Mnw + Mnr , en donde:

Mnw = momento resistente ltimo de la zona del nervio Mnr = momento resistente ltimo de la zona de aletas

los cuales podemos cuantificar separadamente as:

Mnw =0.85f: ab' (d-a / 2) Mnw = (A. - Asr ) fy (d-a 1 2) , en donde:

As = Asf=

As - Asf=

armadura total a traccin. armadura a traccin correspondiente a la compresin en las aletas. armadura a traccin correspondiente a la compresin en la zona del nervio.

De las expresiones anteriores: A -A = 0.85f~ab' s sf f

y

105


Tambin para Mnr :

Mnr = 0.85f; (b- b') t ( d- t 12) M nf = A,r fy ( d- t/2)

De las expresiones anteriores: 0.85f~ (b- b') t Cuf Ar= - - = S fy fy

De acuerdo con las provisiones de seguridad del Reglamento colombiano, el momento de diseo es:

Mn = Mnw + Mnr, es decir: Mn =0.85f~ {ab'(d-a/2)+(b-b')t(d-t/2)} y

Mn ={(A5 -A5r )fy(d-a/ 2)+A5rfy(d-t / 2)}

Tambin en estas vigas "T" es necesario garantizar que la armadura a traccin estar en fluencia antes de la falla del concreto a compresin. Por lo tanto, si se llama:

y A p r = b ,~ , tendremos que:

Para tener un margen de seguridad contra la falla del concreto en compresin el Reglamento Colombiano especifica: Pmax = P1 max para Pw + Pmax para Pr Esto es que la Pmax no debe exceder a la correspondiente a la deformacin unitaria para el lmite de traccin de 0.005 del acero de refuerzo en secciones controladas por traccin para la zona del nervio como para la zona de aletas.

106

--------------------- Captulo 2 Flexin

Ad. 0 nalmente a la armadura principal calculada segn las especificaciones ICl 1 d' . , 1 t ores debe colocarse una armadura en las a etas en 1recc10n ortogona an en ' . . "T" (1 l. d . ) 1 luz principal, que para un s1stema de v1gas osas a 1gera


2) M y IJ>Mn:

M= w.e = 25.04*82 = 200.32 kNm; 8 8

para F. de S.= 1.78, correspondiente a U= 1.6

:. IJ>Mn = 1.6*200.32 = 320.51 kNm

3) Comprobacin de la profundidad del rectngulo de compresiones y el eje neutro, para su funcionamiento como viga rectangular:

Suponiendo una seccin rectangular de ancho b = 0.80 m y altura efectiva d = 0.44 m, calculamos la cuanta necesaria p para el momento actuante ltimo propuesto y en consecuencia la profundidad del rectngulo de compresiones y el eje neutro.

320.51 = 0.9*p*420000*(1- 0.59p * 420000 )*0.80*0.442 21100

:. p= 0.005882

pfy d 0.005882 * 420 * 440 a= = 60.6 mm

0.85f: Por tanto:

0.85*21.1

kud = 1.18*a = 71.5 mm

y

Estos resultados significan que tanto la profundidad del rectngulo de compresiones, como la profundidad del eje neutro, caen dentro de la aleta, garantizando que no hay compresiones en la parte central de la viga "T" bajo la aleta y que por lo tanto se puede disear como viga rectangular de b = 800 mm y d = 440 mm.

108

-------------------- Captulo 2 Flexin

En el caso de utilizar las tablas, el procedimiento sera el siguiente:

A partir de K = o.::~~~42 2069.4, se interpola en la tabla correspondiente el valor de a!d = 0.1377. Por consiguiente a = 60.6 mm y Jrud = 71.5 mm.

En cualquier caso, se contina el diseo como viga rectangular, calculando la armadura correspondiente, as:

4) Armadura:

Para la cuanta obtenida p = 0.005882:

As= 0.005882*800*440 = 2070 mm2

Refuerzo: 24> 1" + 2 4> 1 Ys" (2310 mm2) para tener en cuenta la simetra en su colocacin.

Armadura adicional: en las aletas se debe colocar una armadura ortogonal a la luz principal y correspondiente a un diseo de dichas aletas como voladizos.

Nota: Comparando con el problema 2.17, aunque ahora utilizamos un factor de seguridad un poco inferior, se puede decir que se remplaza la armadura a compresin por el concreto de las aletas y se disminuye la armadura a traccin por un aumento del brazo del par interior resistente.

Problema 2.21

Disear la armadura necesaria a la flexin en una viga de seccin "T", que hace parte de un sistema monoltico de losa basado en vigas "T", segn la figura, simplemente apoyada en una luz de 8 metros, armada en concreto de

f~ = 21.1 MPa y acero para fy = 420 MPa, si soporta una carga total de 25.04 kN/m.

109


Figura 2.45

Solucin En primer lugar, se debe revisar que la seccin cumpla los requlSltos geomtricos del Reglamento NSR-10 para su consideracin del diseo como viga "T", y luego dotar la seccin de un momento resistente ltimo equivalente al actuante, usando un factor de seguridad apropiado.

1) Revisin de la "T" segn el Reglamento:

b ~ V4 longitud de la viga = 2.00 m b ~ 16t + b' = 16*0.05 + 0.30 = 1.10 m b ~separacin centro a centro de vigas adyacentes= 0.80 m

M = we = 25.04*82

8 8 200.32kN.m;

para F.de S.=1.78, correspondiente a U= 1.6

.'. Mn = 1.6*200.32 = 320.51 kNm

3) Comprobacin de la profundidad del rectngulo de compresiones, para su funcionamiento como viga rectangular:

110

-------------------- Captulo 2 Flexin

Como rutina de diseo, igual que en el problema 2.20, se supone una seccin rectangular de ancho b = 0.80 m y altura til d = 0.44 m y se calcula la cuanta necesaria p para el momento actuante ltimo propuesto y, en consecuencia, la profundidad del rectngulo de compresiones y el eje neutro:

~M. =~pf, (l-0.59p )bd' 320 51=0 9*p*42oooo*(1-0.59p* 420000 )*o.80*0.442

. . 21100 :. p = 0.005882

pf 0.005882 *420 Por lo tanto: a = Y d = * 440 = 60.6 mm

o.85f: 0.85 * 21.1

kud = 1.18*a = 1.18*60.6 = 71.5 mm

Estos resultados significan que la profundidad del rectngulo de compresiones y por consiguiente del eje neutro, son mayores que el espesor de la aleta. Luego el tratamiento para su diseo debe ser como viga "T".

4) Diseo como viga "T":

a) Determinacin de Mor y Asr:

Mnf =*0.85f:(b -b') t (d-t/2) Mnf = * Asr * fY ( d- t 1 2), de donde:

A _ o.s5r:(b-b') t __ o._85_*_2_1_.1_*(~o_.8_o-_o._3o....t....)_*o_.o_5 sf- f - 420

y

Asr = 0.001068 m2

111


Mnf = 0.9*0.001068*420000*(0.44-0.05 1 2) = 167.54 kNm b) Determinacin de Mnw y (As - Asr):

Mnw = Mn - Mnf = 320.51-167.54 = 152.97 kNm

Por lo tanto, para la zona central rectangular de la viga "T" se plantea:

~M". = ~(p-Pr) f, { l-0.59(p-Pr) ~} bd' 152.97 = 0.9*(p- p )*420000*{1-0.59*(p- p )* 420000}*0.30*0.44

2

f f 21100

:. (p- pf) = 0.007659 As- Asr= 0.007659*300*440 = 1011 mm2

Armadura: As= 1011+1068 = 2079 mm2:2 l fg " + 2 1" (2310 mm2) para una colocacin simetrica.

e) Comprobacin de p < p mxima de diseo

p 1068 p mx diseo = 0.01362 + max *---

Pbalanceada 300 * 440

p mx diseo = 0.01362 + 0.625 * 0.008091 = 0.018677

1 2*510+2*645 00175 ' d' -p actua = = . < p max tseno 300 *440

d) Armadura adicional: se debe colocar una armadura en las aletas, ortogonal a la luz principal y correspondiente al refuerzo para reparticin de cargas, retraccin de fraguado y variacin de temperatura de losas macizas.

112

-------------------- Captulo 2 Flexin

Problema 2.22

Revisar el diseo a flexin para momento mximo en el centro de la luz de 8 metros de una viga "T" simplemente apoyada, sometida a carga uniforme, que hace parte de un sistema monoltico de losa basado en vigas "T", segn la figura, determinando el momento resistente ltimo de diseo y la carga w en .kN/m que puede soportar cuando el factor de seguridad sea de l. 78.

b0.80

201 "+201 1

0.25 1 b '=0 .301 0.25 1

Figura 2.46

Solucin

Concreto: f~ = 21.1 MPa Refuerzo: f y = 420 MPa

En primer lugar, se debe revisar que la seccin cumpla los requisitos geomtricos del Reglamento NSR-10 para consideracin como viga "T", y luego, obtener Mn segn su funcionamiento estructural (profundidad del eje neutro) sea como viga rectangular o como viga "T".

1) Revisin de la "T" segn Reglamento: aunque esta revisin se efectu en el problema anterior, la repetimos para fijar el concepto de hacerla rutinariamente:

b :::; !J. longitud de la viga = 2.00 m b :::; 16t + b' = 16*0.05 + 0.30 = 1.10 m b :::; separacin centro a centro de vigas adyacentes= 0.80 m

2) Chequeo del comportamiento como viga rectangular de b = 0.80 m

As 2310 l p = bd = = 0.006563; por o tanto: 800*440

113


a= pfy d = 0.006563*420 *440 = 67.6 mm 0.85f~ 0.85 * 21.1

kud = 1.18*67.6 = 79.8 mm

Este resultado significa que la profundidad del rectngulo de compresiones y por consiguiente, la del eje neutro son mayores que el espesor de la aleta. Luego el funcionamiento estructural es como viga "T".

3) Determinacin de ~Mn:

~Mnf =~*0.85((b-b') t (d -t/ 2)

de donde:

A 0.85f~(b-b')t 0.85*21.1*(800-300)*50 2 sf = f = = 1068 mm y 420

~Mnf = 0.9*0.001068*420000*(0.44-0.05 1 2) = 167.54 kNm

Cabe destacar que estos dos valores de Asr y ~Mnr son constantes para la misma seccin del problema 2.21

2 1242 (As-Asr)=2310-1068=1242mm :.(p-pr)= =0.009409 300*440

114

-------------------- Captulo 2 Flexin

(P - Pr)f A-M = ..~-(A -A r) f (d-a 1 2) en donde a = Y d 'f' nw 'f' s s y 0.85f~

0.009409 * 420 Remplazando: a= * 440 = 96.9 mm

0.85*21.1

~Mnw = 0.9*0.001242 *420000*(0.44-0.0864/ 2) ~Mnw =183.82 kNm

e) ~M" y chequeo de p actual < p mxima de diseo ~Mn = 183.82 + 167.54 = 351.36 kNm

p mxdiseo = 0.01362+0.625* 1068 =0.018677 donde 300*440

0.625=p)Pr,

p actual= 2310 = 0.01750 < p mx diseo 300*440

4) Determinacin de M y w (carga que puede soportar para F. de S.= 1.78)

Para F. de S.= 1.78 se utiliza U= 1.6

M= 35 1.36 = 219.60 kNm:. 1.6

w = 8

*2 \ 960 = 27.45 kN/m 8

La carga w resulta un poco mayor que la carga de diseo del problema anterior, en vista de que hemos revisado para una armadura mayor que la terica all requerida.

Al final del problema 2.18, modelo de la utilizacin del acero a la compresin para reducir flechas a largo plazo, se habl sobre la necesidad de esta metodologa como funcin de un estudio sobre las deformaciones elsticas y a largo plazo, cuyos fundamentos y aplicaciones se estudiarn en el siguiente ttulo "Deflexiones y control de deflexiones", el cual se presenta como un anexo al presente captulo.

115


DEFLEXIONES Y CONTROL DE DEFLEXIONES

El Reglamento NSR-10 en la seccin C.9.5.1 dice "los elementos de concreto reforzado sometidos a flexin deben disearse para que tengan una rigidez adecuada con el fin de limitar cualquier deflexin que pudiese afectar adversamente la resistencia o el funcionamiento de la estructura".

Elementos reforzados en una direccin (no pre-esforzados)

El Reglamento colombiano especifica los espesores mnimos que puedan aplicarse para los elementos que no soporten o estn ligados a particiones u otro tipo de elementos que puedan sufrir dao por deflexiones sin tener que calcular deflexiones que confirmen esta hiptesis. Transcribimos la tabla C.9.5. (a) del Reglamento.

Tabla C.9.5 (a) Alturas o espesores mnimos de vigas no pre-esforzadas o losas reforzadas en una direccin a menos que se calculen las deflexiones

Espesor mnimo, h

Simplemente Con un Ambos Extremo Extremos En voladizos

apoyados continuo continuos

Elementos que NO soporten o estn ligados a divisiones u otro tipo de Elementos elementos susceptibles de daarse debido a deflexiones grandes

Losas macizas en una f f f f - - - -direccin 20 24 28 10

Vigas o losas nervadas en f .e .e .e - - - -

una direccin 16 18.5 21 8

116

---------------------- Captulo 2 Flexin

NOTAS: L s valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de p~so normal y re~erzo grado 420 MPa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse como stgue: (a) Para concreto liviano estructural con densidad Wc dentro del rango de 1440 a 1840 kg/m3, los valores de la tabla deben multiplicarse por (1.65-0.0003 W 0 ) , pero no menos de 1.09. (b) Para fy distinto de 420 MPa , los valores de esta tabla deben multiplicarse por (0.4 + fy / 700)

Adicionalmente, en el Comentario, el Reglamento incluye el caso de los espesores para aquellos elementos que soportan muros divisorios o particiones frgiles que puedan sufrir daos con motivo de las deflexiones. Transcribimos la tabla CR.9.5.

Tabla CR.9.5 - Alturas o espesores mnimos recomendados para vigas no pre-esforzadas o losas reforzadas en una direccin que soporten muros divisorios y particiones frgiles susceptibles de daarse debido a deflexiones grandes, a menos que se calculen las deflexiones

Espesor mnimo, b

Con un Ambos Simplemente Extremo Extremos En voladizos apoyados

continuo continuos

Elementos que soporten o estn ligados a divisiones u otro tipo de Elementos elementos susceptibles de daarse debido a deflexiones grandes

Losas macizas en una f f .e f - - - -direccin 14 16 19 7

Vigas o losas nervadas en f f .e f - - - -

una direccin 11 12 14 5

Las Notas son las mismas de la Tabla C.9.5 (a) del Reglamento.

117


Contina el Reglamento NSR-10 sobre el tema de las deflexiones en las secciones C.9.5.2.2 a C.9.5.2.6 que nos permitimos transcribir:

C.9.5.2.2 Cuando se calculen las deflexiones, aqullas que ocurran inmediatamente con la aplicacin de la carga deben calcularse mediante los mtodos o formulas usuales para deflexiones elsticas, tomando en consideracin los efectos de la fisuracin y del refuerzo en la rigidez del elemento.

C.9.5.2.3 A menos que los valores de rigidez se obtengan mediante un anlisis ms completo, las deflexiones inmediatas deben calcularse usando el mdulo de elasticidad del concreto, Ec, que se especifica en C.8.5.1 (para concreto de peso normal o liviano) y el momento de inercia efectivo, le, que se indica a continuacin, pero sin tomarlo mayor que lg.

1, ~{~: }\+-[ ~: Jl, (C.9-8) donde

f, lg Mcr= --

Yt y para concreto de peso normal,

(C.9-9)

(C.9-10)

C.9.5.2.4 Para elementos continuos se permite tomar le como el promedio de los valores obtenidos de la ecuacin (C.9-8) para las secciones criticas de momento positivo y negativo. Para elementos prismticos, se permite tomar le como el valor obtenido de la ecuacin (C.9-8) en el centro de la luz para tramos simples y continuos, y en el punto de apoyo para voladizos.

C.9.5.2.5 A menos que los valores se obtengan mediante un anlisis mas completo, la deflexin adicional a largo plazo, resultante del flujo plstico y retraccin de elementos en flexin (concreto normal o liviano), debe

118

---------- ---- ------- Captulo 2 Flexin

determinarse multiplicando permanente por el factor A .

la deflexin inmediata causada por la carga

A = ~ . 1+50p'

(C.9-11)

Donde p ' es el valor en la mitad de la luz para tramos simples y continuos y en el punto de apoyo para voladizo.s. P~ede tomarse ~, el factor dependiente del tiempo para cargas sostemdas, 1gual a:

5 aos o ms . . . . . . ............. . . .. ............... 2.0 12 meses .............................. .. . . .. . .1.4 6 meses .. ....... . . . ..................... .. ......... 1.2 3 meses . ...... ..... . . .. ............. . . . ....... . . ... 1.0

C.9.5.2.6 La deflexin calculada de acuerdo con C.9.5.2.2 a C.9.5.2.5 no debe exceder los lmites establecidos en la tabla C.9.5 (b).

Transcribimos la tabla C.9.5 (b) del Reglamento.

Tabla C.9.5 (b)-Deflexin mxima admisible calculada

Deflexin considerada Limite de Tipo de elemento deflexin Cubiertas planas que no soporten ni estn

Deflexin inmediata debida a la ligadas a elementos no estructurales l /180" susceptibles de sufrir daf\os debido a carga viva, L deflexiones grandes. Entrepisos que no soporten ni estn ligados a Deflexin inmediata debida a la l/360 elementos no estructurales susceptibles de

carga viva, L sufrir daos debido a deflexiones grandes. Sistema de entrepisos o cubierta que soporte La parte de la deflexin total que o est ligado a elementos no estructurales ocurre despus de la unin de los l/480

1

susceptibles de sufrir daf\os debido a elementos no estructurales (la suma deflexiones grandes. de la deflexin a largo plazo debida a Sistema de entrepisos o cubierta que soporte todas las cargas permanentes, y la o est ligado a elementos no estructurales no deflexin inmediata debida a l/240 susceptibles de sufrir daos debido a cualquier carga viva adicional) 1 deflexiones grandes.

119


*Este lmite no tiene como objeto constituirse en un resguardo contra el empozamiento de aguas. Este ltimo se debe verificar mediante clculos de deflexin adecuados, incluyendo las deflexiones debidas al agua estancada, y considerando los efectos a largo plazo de todas las cargas permanentes, la contraflecha, las tolerancias de construccin y la confiabilidad en las medidas tomadas para el drenaje.

tLas deflexiones a largo plazo deben determinarse de acuerdo con C.9.5.2.5 C.9.5.4.3, pero se pueden reducir en la cantidad de deflexin calculada que ocurra antes de unir los elementos no estructurales. Esta cantidad se determina basndose en datos de ingeniera aceptables correspondiente a las caractersticas tiempo -deflexin de elementos similares a los que se estn considerando.

tEste lmite se puede exceder si se toman medidas adecuadas para prevenir daos en elementos apoyados o unidos.

Pero no mayor que la tolerancia establecida para elementos no estructurales. Este lmite se puede exceder si se proporciona una contraflecha de modo que la deflexin total menos la contraflecha no exceda dicho limite.

Elementos reforzados en dos direcciones (no pre-esforzados)

El Reglamento colombiano especifica los espesores mnimos que pueden aplicarse para los elementos reforzados en dos direcciones de acuerdo a la seccin C.9.5.3 en sus apartes C.9.5.3.1 a C.9.5.3.4 que nos permitimos en transcribir:

C.9.5.3.1 Debe emplearse la seccin C.9.5.3 para definir el espesor mnimo de losas u otros elementos reforzados en dos direcciones diseados de acuerdo con las disposiciones del Capitulo C.13 y que se ajusten a los requisitos C.13.6.1.2. El espesor de las losas sin vigas interiores que se extiendan entre los apoyos en todos sentidos deben satisfacer los requisitos C.9.5.3.2 C.9.5.3.4. El espesor de las losas con vigas que se extiendan entre los apoyos en todos sentidos debe satisfacer los requisitos de una de C.9.5.3.3 o C.9.5.3.4.

C.9.5.3.2 El espesor rrummo de las losas sin vigas interiores que se extiendan entre los apoyos y que tienen una relacin entre lados no mayor que 2, debe cumplir con lo requerido de la tabla C.9.5(c) y no debe ser inferior que los siguientes valores:

120

---------------------- Captulo 2 Flexin

(a) Losas sin bacos como se define en C.13.2.5 ........ . . .......... ... . ... . ...... ......... .. ... . ... . 125 mm

(b) Losas con bacos como se define en C.13.2.5 ..................................................... 100 mm

C.9.5.3.3 El espesor mnimo h para losas con vigas que se extienden entre Jos apoyos en todos los lados debe ser:

(a) Para a rm igual o menor a 0.2, se aplican las disposiciones de C.9.5.3.2.

(b) Para arm mayor que 0.2 pero no mayor que 2.0, h no debe ser menor que:

f. " (o.8+____S_J h = 1400

36+5P( arm -0.2) (C.9-12)

pero no menor que 125 mm

(e) Para arm mayor que 0.2, h no debe ser menor que:

.f.n(0.8+J h = 1400

36+9P (C.9-13)

pero no menor que 90 mm

( d) En bordes discontinuos debe disponerse de una viga de borde que tenga una relacin de rigidez a.r no menor de 0.80, o bien aumentar el espesor mnimo requerido por las ecuaciones (C.9-12) (C.9-13), por lo menos un 1 O por ciento en el panel que tenga un borde discontinuo.

121

Estructuras de Concreto '---------------------

Tabla C.9.5(c} Espesores mnimos de losas sin vigas interiores* Sin bacost Con bacos

Paneles Paneles Paneles Paneles exterior interior exteriores interior

Sin Con Sin Con fy vtgas vtgas vtgas vtgas

MPat de de de de borde borde borde borde Rn Rn Rn Rn Rn Rn

280 33 36 36 36 40 40 Rn f n f n f n f n Rn

420 30 33 33 33 36 36 Rn Rn Rn Rn Rn f n

520 28 31 31 31 34 34

*Para construccin de dos direcciones, l!n, es la luz libre en la direccin larga, medida entre cara de los apoyos en losas sin vigas y entre caras de las vigas, para losas con vigas u otros apoyos en otros casos. tPara fy entre los valores dados en la tabla, el espesor mnimo debe obtenerse por interpolacin lineal. :j:Abaco, como se defme C.13.2.5. Losas con vigas entre las columnas a lo largo de los bordes exteriores. El valor de arpara la viga de borde no debe ser menor que 0.8.

El termino f n,en (b) y (e) corresponde a la luz libre en la direccin larga medida cara a cara de las vigas. El termino f3 en (b) y (e) corresponde a la relacin de la luz libre en la direccin larga a la luz libre en la direccin corta de la losa.

C.9.5.3.4 Puede utilizarse espesores de losas menores que los mnimos requeridos en C.9.5.3.1, C.9.5.3.2 y C.9.5.3.3 cuando las deflexiones calculadas no excedan los lmites de la tabla C.9.5(b). Las deflexiones deben

122

---------------------- Captulo 2 Flexin -

calcularse tomando en cuenta el tamao y la forma del panel, las condiciones de apoyo y la naturaleza de las restricciones en los bordes de la tosa. El modulo de elasticidad del concreto, Ec, debe ser el especificado en C.8.5.1. El momento de inercia efectivo, I . , debe ser el obtenido por medio de Ja ecuacin (C.9-8); se permite emplear otros valores si los resultados del clculo de la deflexin concuerdan razonablemente con los resultados de ensayos de alcance apropiado. La deflexin adicional a largo plazo debe calcularse de acuerdo con C.9.5.2.5.

A continuacin algunos problemas de aplicacin de las nociones anteriores.

Problema 2.23

En el problema 2.16 se dise una viga de 0.30 x 0.50 m, simplemente apoyada en una luz de 8 metros, armada en concreto de f ~ = 21.1 MPa, refuerzo para [y = 240 MPa y una carga de 25.04 kN/m, obtenindose los resultados de la figura adjunta. Ahora calcularemos para esta viga las deflexiones inmediatas causadas por la carga muerta, las deflexiones inmediatas causadas por la carga viva y las deflexiones adicionales a largo plazo causadas por la retraccin de fraguado y el flujo plstico.

~ 0.30 l f~ = 21.1 MPa L .. 1 401 " (2040 mm2) - - 0 .06

fy = 240 MPa

~ 1 301 1/8" ~ 0 .35 0 .50 (p-p')mn < (p-p') <

(4863 mm2 ) "'"'""

(p - p')mx ~.~r::: ---< 201 1/ 8"+ ..... (segn problema 2.16) 201 1/4 "

Figura 2.47

123

Estructuras de Concreto '-----------------~

Solucin Las deflexiones inmediatas se calcularn por las frmulas de la teora de la elasticidad, considerando los efectos que tienen la fisuracin y el refuerzo sobre la rigidez de la viga; las deflexiones adicionales deben determinarse multiplicando las deflexiones inmediatas causadas por la carga muerta por el factor 'At:. del Reglamento NSR-10.

Para el clculo de las deflexiones inmediatas se debe determinar la profundidad del eje neutro bajo las cargas de servicio, utilizando el mtodo de la seccin transformada:

nAs=9.3x4863 = 45226 mm2

Figura 2.48

Determinacin de la profundidad del eje neutro: bx2 2+(2n-1)A: (x-d') =nAs ( d-x)

150x2 + 35904*(x-60)=45226*(410-x) :. x= 189.0mm

Por tanto, el momento de inercia de la seccin transformada fisurada Icr es, en cm

4:

Icr = bx3

+ (2n -1)A~ (x- d')2 +nAs (d- xY 3

124

~------------------- Captulo 2 Flexin

I = 30*18903

+359.04*(18.90-6)2 +452.26*(41-18.90)2 cr 3

r = 348149 cm4 cr

Por otra parte, Ig = momento de inercia de la seccin total de concreto es:

I = g 30*503/12 = 312500 cm4 y

Yt=

distancia medida desde el eje centroidal de la seccin total, despreciando el refuerzo, hasta la fibra extrema en traccin: 50- 18.90 = 31 .10 cm

A continuacin, se calcula el Mcr = momento de fisuracin = L-lg 1 Y , en donde

f = 0.7 !f = 3.21MPa r V .le

. M = 3210*0.003125 = 32.25 kNm . cr 0.3110

Con el momento mximo en el elemento Ma para el nivel de carga que se est evaluando, calculado en el problema 2.16 de 200.32 kNm, se puede calcular el momento de inercia efectivo le :

1, = { ~: r ~. + -[ ~: J}~ I ={ 3225 }

3 *312500 + {1-[ 3225 ]

3}*348149 =347999 cm4

e 200.32 200.32

Tambin del Reglamento, Ec = 4700.ff'c = 21573 MPa

125


Por lo tanto, la deflexin elstica inmediata ser:

8=__2_ wL4 =-5-* 25.04 *84 =0.0198 m 384 Ele 384 21573000*0.003125

2 4 para w en kN/m, L en m, E en kN/m e le en m

Si del total de la carga (25.04 kN/m) se pudiera concluir que el 80% (peso propio de la viga y parte de la carga sobre la viga) es carga muerta, se establece:

La deflexin inmediata causada por la carga muerta es de:

0.80*0.0198 = 0.0158 m (15.8 mm)

La deflexin inmediata causada por la carga viva es de:

0.20*0.0198 = 0.0040 m (4.0 mm)

La deflexin adicional a largo plazo (5 aos o ms), causada por la retraccin de fraguado y el flujo plstico, se determina multiplicando la deflexin causada por la carga muerta por el factor A.t. , donde:

').. = ~ A 1 +50p'

, 2040 con~ =2.0 y p = = 0.016585; 300*410

'A = 20 =1.09 A 1+50*0.016585

Luego la deflexin adicional a largo plazo ser: 0.0158* 1.09 = 0.0172 m (17.2 mm)

126

--- --- -

-------------------- Captulo 2 Flexin -

Si la viga del problema hace parte de una cubierta o losa que sop~rta o est d a elementos no estructurales que no pueden ser danados por unt a .

deflexiones grandes, se debe cumphr:

Deflexin a largo plazo por carga muerta ms deflexin por carga viva debe f

ser menor de 240

8 O 0172 + 0.0040 = 0.0212 < = 0.0333 m . . . 240

Por 0 tanto, el diseo presentado en el problema 2.16 resulta correcto.

Problema 2.24

No obstante el resultado del problema anterior, en el problema 2.18 se dise la armadura para la misma viga con el criterio de reducir la deflexin por plastificacin del concreto, adoptando una cuanta (p- p')= 0.020, con lo cual se obtuvieron los resultados de la figura. Ahora se calcularn para este diseo las deflexiones inmediatas causadas por la carga muerta, las deflexiones inmediatas causadas por la carga viva y las deflexiones adicionales a largo plazo causadas por la retraccin de fraguado y el flujo plstico, evaluando si la disminucin de flecha que se busca es o no justificable.

L 0.30 L

3011 / 8"+101 " l ~ 1-+-_.,... ""'-""" - 0.06 (2445 mm ) "----11--H~~

' ~ 0.36 0.50 / t t::": l-(4740 mm2 /- ....._.....__---J ---+

501 1/ 4"+101 1/8"

Figura 2.49

Solucin

f~ =21.1 MPa fy = 240 MPa

(p-p')mn < (p-p') < (p-p')mx (segn problema 2.18)

Se utiliza el mismo procedimiento del problema anterior, as:

127


Determinacin de la profundidad del eje neutro bajo las cargas de servicio:

Figura 2.50 bx2 +(2n-l)A~ (x-d')=nA5 (d-x) 2

nAs=9.3x4740 = 44082 mm2

150x2 + 43032 *(X -60) = 44082 *( 420- X)

x = 183.9 mm

El momento de inercia de la seccin transformada fisurada es en cm 4:

30 * 18 393 lcr = 3

. +430.32*(18.39-6/ +440.82*(42-18.39)2

le, = 373980 cm4

El momento de inercia de la seccin total de concreto, lg en cm 4:

Yt =distancia desde el eje centroidal hasta la fibra extrema a traccin:

128

~------------------ Captulo 2 Flexin

Yt =50- 18.39 = 31.61 cm

. , frlg 3210*0.003125 El momento de fisurac10n Mcr =- = = 31.73 kNm

Yt 0.3161

y el momento mximo Ma = 197.12 kNm. Por lo tanto:

r ={ 31.73 }3

*312500 + {1-[ 31 73 ]3

}*373980=373736 cm4 e 200.32 200.32

le= 312500 cm4

Ec =4700Jf: =21573 MPa

Por consiguiente, la deflexin elstica inmediata ser:

8=_2_ wL4 =-5-* 25.04*84 =0.0198 m 384 Ele 384 21573000*0.003125

para w en kN/m, Len m, E en kN/m2 e le en m4

Para los mismos porcentajes de carga muerta y carga viva del problema anterior, se obtiene:

La deflexin inmediata por carga muerta: 0.80*0.0198 = 0.01584m = (15.8mm)

La deflexin inmediata por la carga viva: 0.20*0.0198 = 0.0040 m = (4.0mm)

129


La deflexin adicional a largo plazo (5 aos o ms) ser de: 0.01584A6 , en donde:

A. = ~ = --2-0--=1.02 L\ 1 + 50p' 1 +50* 2445

300*420

Luego la deflexin adicional ser: 0.01584*1.02 = 0.016 m (16 mm)

Con la misma consideracin del problema anterior:

Deflexin a largo plazo por carga muerta ms deflexin por carga viva debe f

ser menor de -. 240

8 :. 0.016 + 0.0040 = 0.020 < = 0.0333 m (33.3 mm)

240

La solucin de este problema nos muestra una disminucin en la deflexin total de 0.0012 m (1.2 mm) por efecto del aumento en la armadura de compresin de 2040 mm2 a 2445 mm2, lo cual nos parece poco justificable, no solamente porque no es estrictamente necesario desde el punto de vista de deflexin admisible, sino porque implica un sobre costo para una solucin de un orden de magnitud muy pequeo y que igualmente podra lograrse si, por ejemplo, se suministra a la viga una contraflecha apropiada en el momento de construirla.

130

---------------- Captulo 3 Cortante y Torsin

Captulo 3

CORTANTE Y TORSION

131

Estructuras de Concreto ! _________________ _

132

~---------------Captulo 3 Cortante y Torsin

CORTANTE Y TORSIN

CORTANTE

Resistencia al cortante

Segn el Reglamento NSR-10, el diseo de las secciones transversales sometidas a cortante debe basarse en:

donde Vu es la fuerza cortante mayorada en la seccin bajo consideracin y Vn es la resistencia nominal al cortante que se calcula como:

en la cual V es la resistencia nominal al cortante proporcionada por el e

concreto y Vs es la resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo de cortante.

Para efectos del diseo, se toma:

de donde,

~ vs = V u - 4> ve , lo cual quiere decir que se proporcionar refuerzo a cortante cuando Vu exceda la resistencia a cortante de diseo del concreto. El coeficiente de reduccin 4> se tomar igual a 0.75.

El clculo de Vu debe efectuarse, para elementos no preesforzados, en una seccin localizada a una distancia d (altura efectiva) medida desde la cara del apoyo y todas las secciones situadas a menos de la distancia d se podrn disear para el mismo cortante Vu .

A continuacin anexamos los casos tpicos para la aplicacin del requisito anterior.

133


Figura 3.1a

Excepciones del requisito del clculo a la distancia d corresponden a los miembros enmarcados por un apoyo en traccin, los miembros en los cuales las cargas no estn aplicadas en la cara superior, los miembros en los cuales el cortante difiere radicalmente entre el calculado en el apoyo y el obtenido a una distancia d, tal como el caso en que se sita una carga concentrada cerca del apoyo, y en el caso de los voladizos cortos y en las mnsulas.

J Apoyo en tensin V u,

Figura 3.lb

134

~---------------Captulo 3 Cortante y Torsin

para elementos de gran altura sometidos a flexin, mnsulas, muros, losas y zapatas, se aplican disposiciones especiales que se estudiarn en los captulos correspondientes que estn dentro del alcance del presente texto; de todas maneras, se remite al lector al Reglamento NSR -1 O, captulos C.ll y C.21, este ltimo con los requisitos para estructuras con capacidad de disipacin de energa mnima (DMI), moderada (DMO)

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jorge ignacio segura franco - estructuras de concreto - flexion.pdf