CAPTULO 1 :

LOS NMEROS REALES

1.1.- INTRODUCCIN Desde los inicios de la Humanidad, se hizo necesario algn sistema de manejo de cantidades y de tamaos. En la medida que las sociedades humanas se van desarrollando, este problema se hace ms y ms importante. El problema comienza, desde luego, por la identificacin y por lo tanto la designacin de las cantidades en su lenguaje. El modelo ms simple de cantidad es, sin duda, el de cantidad discreta , es decir, los nmeros naturales: probablemente la primera actividad matemtica del ser humano fue el contar . Experimentos realizados con animales domsticos demuestran que estos son capaces de distinguir, digamos contar, los primeros cuatro o cinco nmeros naturales. Esta habilidad sin duda tambin la tenan los primates de la especie homo sapiens que dieron origen a nuestra civilizacin. Pero no necesariamente ms desarrollada que estos animales domsticos, como lo demuestra el descubrimiento de la tribu de los Fayu, en Papa Occidental (Nueva Guinea). Este pueblo no tiene en su lengua ms que tres palabras para designar nmeros: satu (uno), dua (dos) y tiga (tres). Las cantidades mayores son indicadas con gestos o con palabras que aluden a muchos. Su modo de vida no les ha obligado (hasta ahora) a una mayor precisin de cantidades. Por contraste, los pueblos de la antigua Mesopotamia y Egipto, as como los Maya en nuestro continente desarrollaron un sistema de numeracin y de manejo de cantidades bastante notable y sofisticado. Como punto de referencia en que esto ocurra, diremos que el primer calendario sumerio encontrado data del ao 5.700 AC y los ladrillos grabados de los babilonios datan de alrededor del ao 2.000 AC., mientras que el sistema de numeracin maya ha sido fechado en el siglo tercero antes de cristo. Es claro que el desarrollo del comercio y la agricultura en estos pueblos oblig a desarrollar a su vez un sistema de numeracin y de manejo de nmeros. Los ladrillos sumerios muestran un manejo bastante avanzado de las operaciones algebraicas (el lgebra babilnica), que inclua el clculo de inters compuesto, clculos con pesas y medidas, ecuaciones cuadrticas y otros. Tambin es claro que el solo manejo de los

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nmeros naturales no fue suficiente: probablemente desde un principio los mercaderes babilnicos se vieron en la necesidad de modelar la nocin de divisin y por lo tanto del desarrollo y manejo de fracciones. Las operaciones con estos nmeros es cualquier cosa menos trivial. Estamos tan adiestrados desde nuestra niez a manejar (por desgracia, mecnicamente) las operaciones con fracciones que no nos damos cuenta de la tremenda dificultad conceptual que encierran. Pero son los griegos de la poca clsica (y un poco antes) quienes demuestran la insuficiencia de las fracciones para modelar tamaos: un buen modelo de tamao tendra que contemplar la relacin entre los catetos de un tringulo rectngulo y su hipotenusa. Se atribuye a la escuela pitagrica el descubrimiento de la irracionalidad de la raz cuadrada de dos. Ntese que, si nos quedamos con las fracciones como modelo, entonces, tomando el largo de un cateto como unidad, el largo de la hipotenusa quedara fuera del modelo, es decir, el modelo no nos dara un tamao exacto. Los pitagricos posiblemente han razonado del siguiente modo para demostrar la irracionalidad de la raz cuadrada de dos: Supongamos que 2 es una fraccin, digamos p/q, donde podemos suponer que p y q son primos relativos, es decir, no tienen factores comunes (si lo tuvieran, bastara con simplificarlos). Si elevamos al cuadrado, obtenemos que p 2 = 2q 2 , por lo tanto p 2 es par. Pero si el cuadrado de un nmero es par, el nmero mismo debe ser par (los cuadrados de los impares son impares, como lo demuestra la frmula (2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 ). Por lo tanto p es de la forma 2n con lo que

p 2 = 4n 2 = 2q 2 . Simplificando por dos, resulta: q 2 = 2 p 2 , es decir, q tambin debe ser par: pero esto contradice nuestra suposicin de que p y q no tenan factores comunes. La introduccin del cero se hizo necesaria muy tempranamente. La cantidad vaca tiene su representacin conceptual y lingstica desde muy temprano y, desde los babilonios en adelante, la representacin de nmeros grandes a travs de smbolos cuyo significado dependa de su posicin relativa en la expresin correspondiente, hizo que el cero fuese indispensable, siendo representado inicialmente por espacios vacos y mas tarde por smbolos especiales. Por otro lado, los nmeros negativos aparecieron tarde en la historia: ellos no modelan una nocin de tamao sino de orientacin o sentido. Con seguridad que los mercaderes babilnicos distinguan de alguna manera las cantidades en stock (positivas) de aquellas en deuda (negativas) y sus clculos deban

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hacer uso implcito del lgebra con nmeros negativos. No hay evidencias precisas de esto. El desarrollo del concepto de nmero real y de las matemticas en general, es tomado por los hindes y los rabes, que entre otras cosassalvaron para Occidente la cultura clsica griega, mientras Europa se suma en el largo oscurantismo medieval. Recin en el siglo XVII de nuestra era se produce en Europa un salto cualitativo en el desarrollo de la matemtica, poca en que se empieza a gestar el Clculo Infinitesimal. Este desarrollo es vertiginoso pero comienza a tropezar precisamente en la falta de una nocin precisa y clara de nmero real. Son muchos los matemticos que emprenden esta tarea en los siglos XIX y XX: Bolzano, que demuestra en 1817 la necesidad de lo que hoy se conoce como axioma del supremo, Weierstrass y Dedekind (famoso por sus cortaduras) y muchos otros. Pero no es si no con Cantor (1845-1918) y sus trabajos sobre Teora de Conjuntos, que el sistema de los nmeros reales toma esencialmente- su forma actual.1.2.- LOS 16 AXIOMAS

Consideraremos al sistema de nmeros reales como un modelo matemtico de las nociones de cantidad o tamao mencionadas anteriormente. Este modelo consiste de un conjunto que denotaremos por cuyos elementos se llamarn nmeros reales , dos operaciones binarias (llamadas tambin leyes de composicin interna) denominadas suma y producto y denotadas respectivamente por + y . y una relacin de orden denotada por . Por operaciones binarias entendemos una regla que asocia a cada par de elementos del conjunto un nico elemento del mismo conjunto. De este modo, un sistema de nmeros reales ser el cuarteto:(,+,., ) que cumple los 16 axiomas siguentes: 1. ( x + y ) + z = x + ( y + z ), x, y, z (asociatividad de la suma) 2. 0 , x + 0 = 0 + x = x, x (0 se llama neutro aditivo) 3. (x )( x , x + ( x) = ( x) + x = 0) (el nmero real -x se llama inverso aditivo de x)

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4. x + y = y + x, x, y (conmutatividad de la suma) Estos cuatro primeros axiomas hacen que el par (,+) se llame grupo abeliano. 5.

( xy ) z = x( yz ), x, y, z (asociatividad del producto)

1 ,1 0, x.1 = 1.x = x, x (1 se llama neutro 6. multiplicativo)7. (x 0)(x 1 , xx 1 = x 1 x = 1) (el nmero real x 1 se llama inverso multiplicativo de x )

8.

xy = yx, x, y (conmutatividad del producto)Notar que estas cuatro propiedades son las mismas que para la suma, con una diferencia esencial: hay un elemento (el 0) que queda excludo de tener inverso.

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x( y + z ) = xy + xz, x, y, z (distributividad del producto respecto de la suma)Este noveno axioma pone en relacin las operaciones de suma y producto. Debe notarse la asimetra de esta ley de distributividad. Con estos nueve primeros axiomas el tro (,+,.) se llama cuerpo conmutativo.

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(x ), x x (reflexividad del orden)x y y z x z (transitividad del orden) x y y x x = y (antisimetra del orden)

(x, y ), x y y x (tricotoma)

Estas cuatro propiedades definen lo que se llama un orden total sobre . La ltima propiedad, es decir, la tricotoma, significa que todo nmero real se puede comparar con cualquier otro: uno debe ser

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mayor o igual al otro. La palabra tricotoma viene del griego y significa divisin en tres casos. Los tres casos son: mayor, menor o igual. Al tomar la relacin de orden como menor o igual, los casos se reducen a dos. 14. x y x + z y + z (compatibilidad del orden con la suma) 15. x y z 0 xz yz (compatibilidad del orden con el producto) Estos dos axiomas ponen en relacin las operaciones de suma y producto con la de orden. Debe notarse aqu nuevamente la asimetra que se tiene entre suma y producto: para conservar la relacin de orden con el producto, el factor a multiplicar debe ser positivo. Esta restriccin no es necesaria para el caso de la suma. Con estos quince axiomas se obtiene lo que se conoce como cuerpo conmutativo ordenado. 16.- Axioma del Supremo: todo conjunto de nmeros reales que sea novaco y acotado superiormente posee un supremo. Dejaremos para ms adelante las explicaciones acerca de este axioma. . Los primeros quince axiomas gobiernan todo el manejo bsico y elemental de los nmeros reales. Se ha dado cuenta aqu de las propiedades fundamentales que deben cumplirse para que este modelo pueda representar la idea de cantidad o tamao: las cantidades debern poder ser comparadas unas con otras, podrn ser aadidas y multiplicadas (como una suma reiterada), y se permite adems una orientacin sin restricciones (nmeros negativos). Lo que no se resuelve con estos quince primeros axiomas es el problema que sorprendi a los griegos: hay una cantidad (elemento de nuestro modelo) cuyo cuadrado (o sea el producto consigo mismo) sea dos? Como veremos ms adelante los nmeros racionales satisfacen los primeros quince axiomas, es decir, forman un cuerpo ordenado conmutativo, pero, como vimos, no hay all ningn elemento cuyo cuadrado sea dos. El problema se resolver asumiendo el axioma 16: el axioma del supremo. Pero este aspecto es bastante ms largo y complejo, por lo que lo dejaremos para ms adelante.

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* Queda abierto el problema de la existencia y unicidad de un sistemade nmeros reales. Como se sabe, la existencia (entendida como la consistencia de los axiomas, es decir, la ausencia de contradicciones) no puede ser demostrada cabalmente despus de los clebres resultados de Kurt Goedel. Lo que se puede hacer al respecto es reducir el problema de la consistencia de este sistema de 16 axiomas al problema de la consistencia de otro sistema ms simple de axiomas. Lo que se sola hacer era partir de un sistema de axiomas para los nmeros naturales (los axiomas de Peano) y construir desde all los nmeros enteros, los nmeros racionales y, finalmente, los nmeros reales. Hasta hace algunos aos fu una moda en los cursos iniciales de clculo (o anlisis) llevar a cabo esta construccin, un poco bajo la influencia del criterio de Kronecker: Dios cre los nmeros naturales, todo lo dems es construccin del Hombre. Sin embargo, esta construccin, en rigor, no fundamenta nada, pues se necesita construir una teora axiomtica de conjuntos y la respectiva lgica que se usa en dicha teora (clculo funcional de primer orden), cuestiones cuya cabal fundamentacin no es posible, por los resultados de Goedel antes mencionados. De modo que, en rigor, la teora de los nmeros reales, y con ella prcticamente toda la matemtica queda sin un fundamento completo. Por otro lado la unicidad, en el sentido de que dos sistemas que cumplen los 16 axiomas son isomorfos en toda su estructura, se puede demostrar, pero eso corresponde a otro mbito de problemas. Pienso que la discusin de este problema, incluyendo alguna teora axiomtica de conjuntos , es parte importante en la formacin bsica de un matemtico, pero debe ser realizada en cursos ms avanzados.

1.3.- PROPIEDADES Y OPERACIONES DERIVADASEn la estructura bsica del sistema de nmeros reales no aparecen las cuatro operaciones , sino solamente dos: suma y producto. como se definen la operacin resta y la operacin divisin ? Tampoco aparece una serie de propiedades que conocemos desde el colegio y que usamos comnmente sin mayor preocupacin: si tales propiedades son verdaderas y no aparecen en la lista de axiomas, entonces ser necesario demostrarlas.

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Comencemos por definir las operaciones de resta y divisin: La resta : x y = x + ( y ) , es decir, no es ms que la suma de x con el inverso aditivo de y . Esta operacin no es, obviamente, conmutativa. La divisin: x y = x( y 1 ) , es decir, se trata del producto de x con el inverso multiplicativo de y . Esta operacin tampoco es, desde luego, conmutativa. Ms an, no est definida para y = 0 . Tampoco es asociativa. Es necesario hacerse cargo de algunas notaciones que han surgido a lo largo de la historia y que seguimos utilizando comnmente. El inverso multiplicativo de y se denota tambin: 1 1 y 1 = , con lo cual la divisin quedara: x y = x . Pero el producto y y es conmutativo, luego da lo mismo poner el inverso de y a la izquierda que a la derecha de x, por lo que se opta por lo ms sencillo: ponerlo justo debajo: 1 1 x x y = x = x = y y y Puesto que la divisin no es asociativa, es necesario tener cuidado cuando se realizan divisiones reiteradas: a ( ) a b no es lo mismo que . De modo que hay que distinguir la b c ( ) c raya principal de divisin cuando aparecen divisiones sucesivas. Entendiendo de esta manera la notacin respectiva, la regla de la suma de fracciones, para nmeros reales, se demuestra simplemente usando la distributividad (Axioma 9): a c ad + cb + = ab 1 + cd 1 = ab 1 d 1 d + cd 1b 1b = d 1b 1 (ad + cb) = b d db 1 La notacin del inverso multiplicativo de x como no es casual ni x arbitrario: su origen histrico est en el significado que se le d a la divisin de un entero (la unidad) por otro entero (positivo) : se trata de la x-ava parte del entero unitario 1. Por lo tanto, si se suma x-veces esta x-ava parte, se restituye la unidad. Desde luego que este significado se pierde absolutamente cuando x no es ms un entero.

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A continuacin presentamos un pequeo listado de propiedades de uso comn en el lgebra de los nmeros reales y que no estn en la lista de axiomas:1. Unicidad de los neutros. En la lista de axiomas se afirma la existencia, pero no la unicidad de un 0 o un 1: podr haber ms de uno? La respuesta es obviamente negativa: si hubiese dos, digamos 0 y 0 se tendra0' = 0'+0 = 0 y anlogamente, por la mera definicin de neutro multiplicativo, 1' = 1.1' = 1

2. Las cancelaciones: Si x + y = x + z , sumando a ambos lados el inverso de x , resulta y = z Si xy = xz x 0 , multiplicando por el inverso(multiplicativo) de x, y=z Ntese nuevamente aqu la asimetra de las operaciones suma y producto. 3. Unicidad de los inversos: Tampoco aparece en nuestra lista de axiomas que los inversos de cada nmero (aditivo o multiplicativo ) sean nicos. La unicidad se sigue de las cancelaciones: si llamamos x y x dos inversos aditivos de x, se tiene que x + x' = 0 = x + x' ' , luego, cancelando la x, se tiene: x' = x' ' Del mismo modo, si x 0 , y x y x son dos inversos multiplicativos, se tiene: xx' = 1 = xx' ' , cancelando la x que es distinta de cero, se tiene x' = x ' ' . 4.

De lo anterior se sigue que ( x) = x puesto que ambos nmeros son inversos de x . Anlogamente: ( x 1 ) 1 = x ya que ambos nmeros son inversos (multiplicativos) de x 1 En efecto, sumando: (1)a = a, a . (1)a + a = (1 + 1)a = 0.a = 0 , luego (1)a funciona como inverso de a , por lo tanto, por unicidad del inverso, debe ser el inverso de a.

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6. (1)(1) = 1. Dejamos su demostracin al lector 7. Cualquiera sea el nmero real a, se tiene: a.0 = 0 En efecto, si llamamos x al nmero a.0 , se tiene: x = a(0 + 0) = a.0 + a.0 = x + x , cancelando la x , se tiene x = 0 8. El cuerpo de los reales no tiene divisores de cero , es decir: ab = 0 a = 0 b = 0 En efecto, si suponemos que ab = 0 , pero que, por ejemplo b 0 , se tiene, multiplicando la igualdad anterior por b 1 , que a = 0 . 9.

0 < 1 : en efecto, puesto que por axioma 0 1 , la negacin de la propiedad a demostrar sera: 1 < 0 , sumando 1 a ambos lados, se tendra que 1 > 0 , luego, por compatibilidad con el producto, se tendra: (1)(1) = 1 > 0 lo que contradice la suposicin.

10. El cuadrado de todo real a es positivo (o nulo): en efecto, por tricotoma, o bien a 0 , o bien a 0 , luego: a.2 = a.a 0 (a )( a ) = a 2 0 . 11. Conviene definir: a < b a b a b , como desigualdad estricta. 12. Si a > 0 , entonces tambin a 1 > 0 . En efecto, si suponemos que a 1 < 0 , entonces a 1 > 0 , luego a (a 1 ) = (aa 1 ) = 1 > 0 , lo que contradice el punto 9. 13. Si a < b , no necesariamente ocurre que a 2 < b 2 , pues por ejemplo 2 < 1 , pero (2) 2 = 4 > 1 . Por otro lado, 1 < 2 y ocurre que (1) 2 = 1 < 2 2 = 4 . O sea, a veces si , a veces no. Pero, si ambos

nmeros son positivos, entonces vale: 0 a < b a 2 < b 2 . En efecto, multiplicando la desigualdad a b alternativamente por a y por b : a 2 ab = ba b 2 y la desigualdad estricta se obtiene observando que, si bien a puede ser cero, b no.

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Hay una gran cantidad de propiedades similares, de uso comn en el lgebra de los nmeros reales, y que no estn en nuestra lista de axiomas. Las dejaremos para ser demostradas como ejercicio.

1.4.-

PROBLEMAS

Sern verdaderas o falsas las afirmaciones siguentes? En caso afirmativo, en qu axiomas de los nmeros reales se fundamentan? Habr que agregarle algunas hiptesis a algunas de ellas?

(1)(1) = 1 2.2=4 (se define: 2=1+1; 4=((1+1)+1)+1 ) ac = bc a = b ac < bc a < b 1+1=0 1+1+1=0 (ab) 1 = a 1b 1 a b ac ( ) = 8. b c bd a 1 b 9. ( ) = b a a ( ) ad 10. b = c bc ( ) d a c 11. = ad = bc b d 12. (a + b) = (a ) + (b) a+b 13. a b a b 2 14. a b b a 15. ax < a x < 1 16. a < b a + c < b + c 17. a < b c > 0 ac < bc1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

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18. a 2 b 2 a, b 0 a b 1 19. (x > 0), x + 2 y la igualdad se cumple si y solo si x = 1 x 20. Dnde estn los errores en esta demostracin ? Sea x = y :x 2 = xy x 2 y 2 = xy y 2 ( x + y )( x y ) = y ( x y ) x+ y = y 2y = y 2 =1 21. Sea a > b . Qu condiciones debe cumplir c para que se cumpla la a b desigualdad: < + 1 ? c c a 0 22. Sea G = { b 1 : a, b } , con la operacin definida por: 0 a o a ' 0 aa ' b 1 b' 1 = ba'+b' 1 Es asociativa esta operacin? Es conmutativa esta operacin? Existe un neutro? Es nico? Para cules elementos existe un inverso (bilateral)?

1.5.- PROBLEMAS ELEMENTALES CON COMO CUERPOHay una gran cantidad de problemas de la vida real que se pueden resolver utilizando solamente la estructura de cuerpo de nuestro modelo. Se trata de problemas que surgieron ya en la antigedad y que fueron resueltos mediante un primer modelo de cantidad. Sin embargo veremos que otros problemas, aparentemente tan bsicos como stos,

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fueron solo parcialmente resueltos y plantearon a la humanidad la necesidad de un modelo ms fino de cantidad.

1. Crecimientos porcentuales.Si C representa cierta cantidad , entonces r r C+ C = (1 + )C 100 100 representa la cantidad alterada en el r%. Si r es positivo, entonces se ha producido un crecimiento del r%, si r es negativo, la cantidad decrece en el r%. Notar que la nueva cantidad se obtiene por multiplicacin por un factor adecuado.

Ejemplos.1. El gerente de una empresa anuncia a sus trabajadores que, por motivos coyunturales, la empresa rebajar los sueldo en un 10%. Pero, explic, no hay que preocuparse, pues esto solo ser por este mes, en el siguiente se volver subir los sueldos en el mismo 10%. Don Pedro, con ms de 30 aos en la empresa, ganaba $500.000 y calcul su nuevo sueldo 10 )500.000 = 450.000 . En seguida calcul, disminudo: (1 100 sospechando algo raro, cul sera su sueldo al mes 10 )450.000 = 495.000 : Le faltaban $5.000! siguiente: (1 + 100 2. El gerente de la empresa anuncia a sus trabajadores que, debido a los ltimos xitos obtenidos, la empresa subir los sueldos en 10%. Pero, explic, la bonanza no es eterna y se deber rebajar al mes siguiente los sueldos en el mismo 10%. Don Pedro, el que ganaba $500.000 mensuales 10 calcula orgulloso su sueldo aumentado: (1 + )500.000 = 550.000 . En 100 seguida calcul, sospechando algo raro, ya que la empresa nunca daba puntada sin hilo, su sueldo al mes siguiente: 10 (1 )550.000 = 495.000 .Otra vez faltan $5.000! 100

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Como el producto de nmeros reales es conmutativo, este resultado era completamente esperable, sin necesidad de hacer nuevamente el clculo. 3. Un animal de experimentacin , de peso inicial de 50[gr], aumenta su peso en 20% el primer mes y en otros 20% el segundo mes: cul es el porcentaje de crecimiento que se produce en los dos meses? La ecuacin a resolver, llamando x al porcentaje buscado, es: 20 20 20 2 x (1 + )50 = (1 + )(1 + )50 = (1 + ) 50 , cuya solucin es: 100 100 100 100 x = %44 , la cual se obtiene despejando la incgnita x, es decir, usando directamente las reglas del lgebra de los nmeros reales que hemos discutido. 4. Un banco hace prstamos con un inters del 0.4% mensual. cul sera el porcentaje de inters anual equivalente, es decir, aquel que produce exactamente la misma ganancia para el banco?. Este es un problema de inters compuesto, es decir, la deuda va creciendo sostenidamente en el 0.4% cada mes. Aqu se est aplicando un inters sobre la deuda aumentada por el inters, o sea inters sobre inters. La ecuacin sera: x 0.4 12 (1 + )C = (1 + ) C , donde C es el capital inicial obtenido del 100 100 banco. Despejando la x se obtiene: x = %4.90702 . Notar que el porcentaje mensual de 0.4% multiplicado por los doce meses nos d 0.4 12 = 4.8 , es decir, solamente el 4.8%.

5 . El problema inverso nos plantea una dificultad diferente: supongamos que un banco otorga prstamos con un R% anual de inters. cul sera el inters mensual equivalente? En este caso tendramos que plantear la x 12 R ) C = (1 + )C cuya solucin requiere la existencia ecuacin: (1 + 100 100 de races (en este caso de orden 12) de nmeros reales. Suponiendo la existencia de tales races, la solucin de nuestro problema sera: R x = (12 (1 + ) 1)100 100 Discutiremos ms adelante este problema matemtico.6. En una festividad se renen nios y nias. El 40% son nias y el 12% de las nias recibe un libro de regalo. Qu porcentaje del total recibe un

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libro de regalo?. Se trata aqu de un porcentaje del porcentaje, es decir, de una iteracin del porcentaje. En general, el a% de una cantidad C es: a A= C , y el b% de esta cantidad es: 100 ab ( ) b ab B= A= C = 100 C , 100 100 100 100 ab luego el b% del a% de C es: . 100 En nuestro problema, el porcentaje de nios que recibe el libro es simplemente 4.8%

2. Concentraciones relativas.

Existen dos conceptos diferentes acerca de la concentracin de una substancia en una solucin: uno es la concentracin fsica o masa gr. absoluta que es simplemente la razn [ 3 ] . Sin volumen cm embargo, el concepto ms usado es el de concentracin relativa: c= volumen..saturado 100 % volumen..total

que queda expresado en un porcentaje. Una concentracin relativa del 100% significa que la solucin est saturada, es decir, no admite ms soluto. Una concentracin del 10% significa que hay 10 partes de volumen saturado del soluto en un volumen total de 100. En este caso la concentracin es a-dimensional, es decir, no depende de las unidades de medida usadas.

Ejemplos

1. Se mezclan dos soluciones de cido clorhdrico: 3 litros al 10% y 5 litros al 5% : cul es la concentracin de la mezcla?

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La ecuacin se plantear llamando x a la concentracin de los 8 litros de mezcla resultante e igualando los volmenes saturados: x 10 5 8( ) = 3( ) + 5( ) , de donde x = 6.875% 100 100 100 2. Se tiene un recipiente de 3 litros lleno con un cido al 20%. Se necesita subir la concentracin de la solucin al 25%. Para esto se dispone de un concentrado al 80%. qu volumen de solucin habr que sacar del recipiente y reemplazar por el concentrado para obtener lo deseado?. Llamando x al volumen a reemplazar, se debe establecer la siguiente ecuacin: 20 80 25 (3 x)( ) + x( ) = 3( ) 100 100 100 donde, despejando la x, se obtiene: x = 0.25 litros.

3. Problemas de flujos

Por flujo o caudal se entiende el nmero de litros que pasan por unidad volumen de tiempo: q = . Hay muchos problemas que se plantean al tiempo sumar o restar flujos. En estos problemas elementales se supone generalmente que los flujos son constantes en el tiempo. Veamos algunos ejemplos:Ejemplos

1. Una bomba de agua llena un estanque en 6 horas y otra lo hace en 9 horas. En cunto tiempo se llena el estanque si ambas bombas trabajan juntas?. En este caso se suman los flujos, con lo que el tiempo de llenado debe disminuir. Ntese que el volumen del estanque no es dato del problema. Llamando E al volumen del estanque, q1 al flujo de la primera bomba y q 2 el de la segunda, se tiene E = q1 6 = q 2 9 = (q1 + q 2 ) x donde x es el tiempo de llenado con ambas bombas juntas. Entonces: E E = = 3.6 horas. x= q1 + q 2 E E + 6 9

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2. Un estanque se llena en 6 horas y, mediante una llave de salida, se vaca en 9 horas. Si se comienza a llenar pero se olvida cerrar la llave de salida, en cuanto tiempo llega el agua a la mitad de estanque? En este caso se restan los flujos, supuestos ambos constantes ( lo que en el caso de la salida no es muy justo) . E ( ) E x= 2 = = 9 horas. E E q1 q 2 2( ) 6 9

1.6.-

PROBLEMAS

1. Una poblacin de insectos decrece sostenidamente en 2.3% mensualmente de Enero a Diciembre . a) Cul es el porcentaje de decrecimiento anual que observa? b) En qu porcentaje debe crecer la poblacin en un solo mes pararecuperar su tamao original? c) Si en Julio la poblacin era de 2.357 individuos, cul era su tamao original? 2.. Una poblacin de bacterias en un experimento de laboratorio tiene un crecimiento sostenido de un 1.2% al da durante los primeros 6 das. Pero en el sptimo da se introduce un txico y la poblacin decrece alcanzando el mismo tamao inicial. a) Cul fue el porcentaje de decrecimiento que se produjo el sptimo da? b) Si la poblacin inicial era de 2400 bacterias, cul fue el tamao mximo que alcanz la poblacin durante el experimento? 3. Una rata de laboratorio pesa inicialmente 27 gr. , aumenta su peso en 12% en el primer mes y disminuye su peso en 12% el segundo mes. cul es su peso al final del primero y del segundo mes? cul debe ser el porcentaje de disminucin de peso en el segundo mes para quedar pesando igual que al inicio? 4. Una poblacin de protozoos crece en 3.5% durante el da y decrece en 3.5% durante la noche. Al cabo de una semana cul es el porcentaje de crecimiento (o decrecimiento) que experimenta la

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poblacin? Si al final de la semana el nmero de protozoos es de 4560, cul haba sido su tamao inicial?

5. Un inversionista coloca un milln de pesos a inters en el banco. De Enero a Abril la tasa mensual de inters se mantiene fija en 1.7%. Pero en los meses de Mayo y Junio, a consecuencia de la crisis asitica, la tasa sube al 3.7%. Calcule la ganancia neta que obtiene el inversionista a fines de Junio. Cul debi ser la tasa de inters en Mayo y Junio para que nuestro inversionista hubiese obtenido una ganancia neta de $200.000? 6. Una plaga crece al 5.8% mensual en los primeros 8 meses del ao. Usando cierto plaguicida se logra una reduccin mensual del 17%. Si este plaguicida se usa hasta final de ao, en qu porcentaje se reduce la plaga (en relacin a su tamao inicial)? cul debera ser el porcentaje mensual de reduccin para lograr una reduccin de la plaga a la dcima parte de lo que era al comienzo del ao?. Ample su estudio considerando dos meses de resguardo (sin insecticidas) antes de la cosecha y diferentes momentos de aplicacin del plaguicida. 7. Con 950 ladrillos se han hecho tres tabiques. En el primero entra una tercera parte ms que en el segundo y en ste la cuarta parte de los que entran en el tercero. cuntos ladrillos entran en cada tabique? 8. Una llave de agua llena un estanque en 5 horas menos que otra y juntas lo llenan en 5 horas. en cunto tiempo llena el estanque cada una de las llaves? 9. Un qumico tiene 20 litros de un desinfectante al 3.5% de concentracin. qu cantidad de agua debe agregarle para bajar su concentracin al 2.8% ? 10. Se tienen dos soluciones: 25 litros al 4.3% y 35 litros al 2.5%. Si se juntan ambas soluciones qu concentracin se obtiene?

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11. Si una mercanca comprada el Lunes subi el 10% el Martes y baj el 9% el Mircoles, cunto se pag el Lunes si se vendi el Mircoles en $99 ? 12. Cinco personas desean comprar un terreno pagando en partes iguales. Se dan cuenta que, si fueran 8 la cuota de cada uno disminuira en $120.000. Cunto vale el terreno?

13. El 15% de los miembros de una poblacin estaba afectado de una enfermedad. El 8% de los afectados murieron. Calcule la mortalidad respecto a la poblacin total. 14. En una prueba de matemticas para bilogos el 12% de la clase no resolvi el problema planteado, el 32% lo resolvi con algunos errores y los 14 estudiantes restantes obtuvieron la solucin correcta. cuntos estudiantes haba en la clase? 15. Un cajn de manzanas contiene m unidades, de las cuales p estn descompuestas. Si se distribuyen las manzanas que estn en buen estado en partes iguales entre n nios y q nias cuntas manzanas reciben las nias? 16. Un recipiente contiene aceite y otro contiene agua. Se saca una cucharada llena de aceite y se pone en el recipiente de agua. En seguida, luego de revolver bien la mezcla, se saca una cucharada de mezcla y se pone en el recipiente de aceite. Hay ms o menos aceite en el recipiente de agua que agua en el de aceite? 17. Un tren rpido fu obligado a detenerse 16 minutos en un disco rojo. Para recuperara el tiempo perdido, el tren viaj un tramo de 80 Km 10 Km/hora ms rpido que lo normal. cul es la velocidad normal del tren?

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1.7.- RACES, POTENCIAS Y LOGARITMOS.

El siguiente problema, de inters completamente prctico, requiere una operacin que an no hemos introducido y cuya fundamentacin (existencia) no podemos an realizar: Un rentista coloca cierto capital C a inters en un banco y desea saber cundo su dinero va a alcanzar cierto valor V: r x (1 + ) C =V 100cmo despejar la x ? En general, el problema matemtico consiste en saber si, dados dos nmeros reales a y b existe otro nmero real, digamos x, tal que b x = a . No es esperable que para cualquier par de nmeros a, b va a existir el nmero x. Es necesario estudiar bajo qu hiptesis tiene solucin este problema. Ms an, si x no es un nmero natural, que indicara solamente el nmero de veces que se multiplica el nmero b consigo mismo, qu sentido tiene la expresin b x ? Debemos comenzar por identificar los distintos tipos de nmeros reales interesantes que existen: 1. Los nmeros naturales. Vamos a entender por nmero natural a ambos neutros : 0 y 1, y a todo nmero que se forma sumando el 1 a los anteriores: 2=1+1 ; 3=2+1 = (1+1)+1; 4=3+1, etc. El conjunto de los nmeros naturales lo denotaremos por N. 2. Los nmeros enteros. Los nmeros enteros son simplemente los nmeros naturales y sus inversos aditivos: 0,1,2,3,.... El conjunto de todos estos nmeros lo denotaremos por Z

3. Los nmeros racionales. Se trata en este caso de los productos de nmeros enteros con sus inversos multiplicativos, es decir, nmeros p reales de la forma , donde p, q Z, y, desde luego, q 0 . El q conjunto de estos nmeros lo denotaremos por Q.

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4. Los nmeros irracionales. Se trata de aquellos nmeros reales que no son racionales. La existencia de tales nmeros est todava sujeta a duda, pues, si bien sabemos que no hay nmero racional cuyo cuadrado sea 2, todava no sabemos que haya efectivamente otro tipo de nmero real que haga esa gracia. La existencia de races ( no solo cuadradas, sino de cualquier orden) para nmeros reales positivos, es un punto que debemos fundamentar ms adelante. Veremos que tal fundamento se obtiene a travs de propiedades fuertes del anlisis. 5. Races n-simasPor ahora aceptaremos el siguiente resultado:

n N , n 0, a , a 0, b , b 0, b n = a Este nmero real positivo b es nico , se llama raz n-sima de a y se denota: b=n a

La operacin potencia.

Queremos indicar la forma como surge esta nueva operacin entre nmeros reales. Sea b un nmero real , n un nmero natural no nulo. Se define la potencia: b n = b.b.b........b. , donde se ha multiplicado b consigo mismo n veces. Esta operacin satisface las tres propiedades fundamentales siguentes:I. II. III.

b n b m = b n+m (b n ) m = b nm (ab) n = a n b n

que se siguen simplemente de las propiedades de asociatividad y conmutatividad del producto de nmeros reales.

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1 . Esta definicin extiende la bn operacin potencia a todos los nmeros enteros. Notar que la base b ya no es cualquier nmero real: debe ser distinto de cero. Por otro lado se necesita una definicin para la potencia cuando n = 0 . Se define: b0 = 1 Es fcil verificar que, las tres propiedades fundamentales anteriores tambin se cumplen en este caso. Hay que ponerse ,eso si , en los distintos casos posibles y hacer uso de las propiedades bsicas de los nmeros reales. p Segunda extensin: Si n = es un nmero racional cualquiera, q entonces siempre se puede suponer que q es (estrictamente) positivo: el signo se puede siempre asignar a p . Entonces se define la potenciaPrimera extensin:

b n =

b = bpq

p q

Aqu la base b ya no puede ser cualquier nmero no nulo: para que esta definicin tenga sentido para cualquier nmero racional es necesario suponer que b es estrictamente positivo. Las tres propiedades bsicas tambin se cumplen en este caso, pero su demostracin ya no es tan inmediata: es necesario usar la unicidad de las races, es decir, si un nmero elevado a q es igual a b, entonces ese nmero es la raz q-sima de b. En particular es necesario usar la siguiente propiedad de consistencia:

b p = ( b) p En efecto, elevando a q la expresin de la izquierda, resulta b p por definicin. Ahora, elevando a q la expresin de la derecha, resulta:q q

(( b ) p ) q = ( b ) pq = ( b ) qp = (( b ) q ) p = b pq q q q

luego, por la observacin anterior, la igualdad propuesta queda demostrada. Las tres propiedades fundamentales se demuestran de modo similar. Por ejemplo, para demostrar:p r

bqbs = bq

p r + s

=b

ps + qr qs

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basta elevar ambos lados a la potencia qs y aplicar las propiedades fundamentales a las potencias enteras resultantes.Tercera extensin: Sea b>0, a . Entonces se puede demostrar que existe un nico nmero real, que se denota por b a y que extiende tanto la potencia racional anterior como las tres propiedades fundamentales. Este es un resultado no trivial, necesita un desarrollo bastante elaborado. Lo dejaremos para despus.

Aceptaremos, pues, la existencia de una nueva operacin binaria entre nmeros reales, definida parcialmente:a , b , b > 0 b a

y que cumple las tres propiedades I,II,III anteriores. Es preciso tener cuidado con el dominio de esta operacin y sus propiedades. Por ejemplo, si n es un nmero natural impar, se puede definir una raz n-sima de un nmero negativo:n

b = n b , si b>0

En efecto, elevando a una potencia impar, el signo negativo se conserva. Pero esta extensin ya no cumple las propiedades bsicas que deseamos. Si suponemos que se cumplen, llegaramos a la siguiente contradiccin:

1 = 1 = (1) = (1) = (1) = 3 1 = 16 6 2

2 6

1 3

La operacin logaritmo.

Sea b>0, b 1 , N , N>0. Entonces se puede demostrar que existe un nico nmero real x, tal que b x = N . Este nico nmero real se llama logaritmo en base b de N y se denota: x = log b N

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Aqu es preciso destacar dos cosas: La operacin se puede definir solo parcialmente, es decir, no para todos los nmeros reales: la base b debe ser estrictamente positiva y distinta de 1, y el nmero N debe ser estrictamente positivo. La existencia y unicidad del nmero real asociado, es decir, log b N , requiere una demostracin. Esta demostracin no es trivial y la dejaremos pendiente para ms adelante . Por otro lado, directamente de la definicin, se obtienen las dos identidades siguentes:

b logb N = N ; log b b a = a , en particular, si a=1, log b b = 1Propiedades Fundamentales de los logaritmos.

I. II. III.

log b ( NM ) = log b N + log b M log b a c = c log b alog a N = log b N log b a

Estas propiedades se pueden demostrar, suponiendo vlidas las tres propiedades fundamentales de las potencias y la existencia y unicidad de los logaritmos: I. b logb N + logb M = b logb N b logb M = NM = b logb NM

Por lo tanto, por unicidad, los exponentes deben ser iguales. II. b c logb a = (b logb a ) c = a c = b logb ac

Luego, igual que antes, los exponentes deben ser iguales III. b log a N logb a = (b logb a ) log a N = a log a N = N = b logb N

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Nuevamente, los exponentes son iguales y basta despejar log a N para tener la frmula propuesta, conocida como Frmula de cambio de base. La base ms usada para calcular los logaritmos es la llamada base natural, denotada por la letra e cuyo valor es e = 2.71828182. aproximadamente. Ms adelante veremos porqu este nmero, que es irracional, es base natural. Tambin se usa la base 10 , cuyos logaritmos se suelen llamar vulgares. En rigor, no es necesario el uso de distintas bases, con una sola basta. Aqu es necesario tener cuidado con las notaciones: en la literatura matemtica el logaritmo natural se denota simplemente por log, mientras que en los libros tcnicos de ingeniera este logaritmo se denota por ln, reservndose la notacin log para el logaritmo vulgar. En pocas pasadas, antes del advenimiento de las calculadoras de bolsillo, tena ciertas ventajas el uso de logaritmos vulgares, dado que estamos acostumbrados al uso del sistema decimal. Pero hoy en da no tiene justificacin alguna. Puesto que en matemticas no se usa otra base, la notacin log no produce ninguna confusin.

Ejemplos1. Un individuo pone $350.000 en un banco a 0.8% de inters mensual. Suponiendo una tasa de inters constante en el tiempo, cundo alcanzar $1.000.000? La ecuacin a resolver es: 0.8 x 350.000(1 + ) = 1.000.000 100 Es decir, x log(1.008) = log(2.857) , x = 132meses = 11aos aproximadamente. 2. Una plaga crece sostenidamente al 18% diario. En cunto tiempo se duplica? Si en el instante inicial hay 18.000 individuos, cundo habr 1.000.000? N 0 (1 +

log 2 18 t ) = 2 N 0 , de donde t = = 4.19 log(1.18) 100

es el tiempo de duplicacin, independiente del valos del tamao inicial de la poblacin N 0 . Para la segunda pregunta, se

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plantea la ecuacin 18.000(1 + tiempo de 24.27 das.

18 t ) = 1.000.000 , lo que da un 100

3. Un contaminante se degrada a un ritmo de 2% diariamente. cundo se reduce a la mitad? cundo se reduce a la dcima parte?2 Para la primera pregunta, la ecuacin es: C (1 100 ) t =

1 C , cuya 2 solucin es, aproximadamente 34.3 das. Para la segunda, la 2 t 1 ecuacin es C (1 ) = C y su solucin 114 das. 100 10

1.8. -

PROBLEMAS

1. Cierto istopo del Radio pierde 9.8% de la intensidad de radiacin al ao. Si I 0 denota la intensidad original cul es la intensidad despus de uno, dos y tres aos? Encuentre una frmula para la intensidad I n despus de n aos. En cunto tiempo la intensidad se reduce a la mitad? 2. El dimetro de una molcula de H 2 O es de 2.5 10 10 [m] aproximadamente. En un mol de agua (18 gr.) hay 6.02 10 23 molculas (nmero de Avogadro). Si se pusieran en fila estas molculas, qu tan larga sera la fila? sera ms larga que la distancia de la Tierra al Sol ( 1.5 10 8 [ Km] ? 3. Un bilogo realiza cierto nmero de experimentos idnticos en un tiempo determinado. Si hubiera hecho 10 experimentos ms cada da, hubiera terminado su trabajo de investigacin 4,5 das antes de lo previsto pero si hubiese hecho 5 experimentos menos cada da habra tardado 3 das ms de lo previsto. cuntos experimentos hizo y en cunto tiempo?

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4. Una poblacin de insectos crece a una tasa per-cpita de 9% diaria. Si el 30 de Septiembre satura un predio, en qu fecha haba cubierto el 10% de dicho predio? 5. Una bacteria en un cultivo se duplica cada hora. Si N 0 es el nmero inicial de bacterias cuntas habr en n horas? cuntas horas se necesitan para que la poblacin alcance el tamao N 1 ? 6. Calcule el tiempo de duplicacin de la poblacin mundial suponiendo que la tasa neta de crecimiento per-cpita es de 1.58% anual. 7. El carbono 14 decae segn la ley:t

At = A0 (0.5) 5.600donde A0 es la masa inicial y At la masa en el tiempo t, medido en aos. En la caverna donde se encontr al Hombre de CroMagnon se encontr tambin carbn de una hoguera y su anlisis determin que el 10% del carbono 14 original an estaba presente. Qu edad tena la hoguera? 8. Mi hija tiene 17 aos de edad. Hace 15 aos quise poner cierta cantidad de dinero a inters en el banco a su nombre para que cuando cumpliera 21 aos pudiese comprarse un auto 0-Km. La idea me pareci demasiado ambiciosa y no lo hice. Ahora me arrepiento! Suponiendo que el inters mensual ha estado en un 2.4% (en promedio) en todos estos aos, calcule cunto dinero deb poner entonces (el auto eljalo Ud.). Cunto debi ser el inters anual equivalente? Compare con las tasas actuales de inters. 9. Una poblacin de protozoos crece en el da a una tasa percpita de 12% y decrece durante la noche en un 8%. Si el 30 de Septiembre se censan 12.547 individuos (los cuales llenan el recipiente que los contiene) En qu fecha ocupaban el 10% del recipiente? Cuntos individuos haba el 18 de Septiembre?

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10. (*) Un individuo pide un prstamo de $C al banco a un plazo de n meses, pagando la primera cuota un mes despus de haber recibido el prstamo. Si las cuotas deben ser iguales y el banco cobra justo lo que debe, cunto ha de ser el valor de su cuota mensual?1.9 .- ECUACIONES EN

En general, una ecuacin es un problema que consiste en encontrar todos los elementos de cierto conjunto, que satisfacen una relacin de igualdad dada. Es importante entender que una ecuacin puede estar planteada en diferentes mbitos, que es el conjunto donde se buscan las soluciones, y tener o no soluciones segn el mbito de bsqueda prescrito. Por ejemplo, la ecuacin 2x 3 = 0 tiene una solucin (que es x=3/2 ) en Q, pero no tiene soluciones en Z. La ecuacin x2 +1 = 0 no tiene soluciones reales (puesto que los cuadrados de los nmeros reales son siempre positivos) , pero tiene dos soluciones en el campo de los nmeros complejos.

En nuestro caso, las ecuaciones estarn planteadas en los reales o subconjuntos interesantes de nmeros reales. Se emplea usualmente la letra griega x (primera letra de la palabra griega , que significa desconocido, extranjero) para denotar al (o los) nmeros reales que se buscan. Por otro lado, resolver una ecuacin puede ser una cosa muy difcil de hacer, por lo que a veces soluciones parciales del problema pueden ser interesantes, por ejemplo demostrar la existencia de una solucin (sin encontrar la solucin); encontrar al menos una solucin, sin saber si son todas; encontrar soluciones en algn mbito ms pequeo que el deseado, etc.

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Finalmente, resulta importante en estos problemas el concepto de valor absoluto o mdulo de un nmero real x, denotado por x y definido por: x, x 0 x = x, x < 0 Introduciendo el concepto de signo de un nmero real: 1, x > 0 sgn( x) = 1, x < 0 El valor absoluto puede ser definido por la igualdad: x = sgn( x) x Notar que 0 no tiene signo. Clasificando por casos, es fcil demostrar las relaciones fundamentales siguentes: x+ y x + yxy = x y

Ejemplos

1. Resolver la ecuacin en :x3 = 8

Aqu es necesario dividir la recta real en dos mbitos de bsqueda diferentes: Zona de bsqueda I: x 3 0 . La ecuacin en esta zona es: x 3 = 8 y su solucin (nica) es x = 11 , que pertenece a dicha zona. Zona de bsqueda II: x 3 < 0 . La ecuacin en esta zona es: x + 3 = 8 y su solucin (nica) es: x = 5 que pertenece a la zona. La Figura 1.1 muestra las zonas de bsqueda.

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Figura 1.1

2.

Resolver la ecuacin en : x + 1 = 2x 1

En este caso la recta real debe ser dividida en tres zonas:

Figura 1.2 En la zona I, la ecuacin es x 1 = 2 x 1 y su solucin debera ser x = 0 que no est en la zona. Esto significa que, en esta zona, la ecuacin no tiene solucin. En la zona II, la ecuacin es x + 1 = 2 x 1 cuya solucin es -2/3 que est en la zona. En la zona III, la ecuacin es: x + 1 = 2 x + 1 y su solucin es: x = 0 , que est en la zona.

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La conclusin es que la ecuacin planteada tiene exactamente dos soluciones: -2/3 y 0. En este caso tambin se dice que el conjunto 2 solucin ( es decir, el conjunto de soluciones) es S = ,0 3

3. Resolver la ecuacin en : 1 1 + =0 2 x + x x +1 En este caso, el mbito de bsqueda ha de excluir x = 0 y x = 1 , pues la frmula que define la ecuacin no est definida para estos nmeros. Sin embargo, un tratamiento descuidado y puramente operacional puede conducir a soluciones errneas: pasando el segundo sumando a restar: 1 1 = x( x + 1) x +1 multiplicando por x + 1 a ambos lados: 1 = 1 x y multiplicando por x a ambos lados, se llega a x = 1 . Un estudiante descuidado se dar por satisfecho con este resultado falso. Por otro lado, operando de otro modo, se puede llegar a otras conclusiones: sumando ambas fracciones usando un denominador comn, se tiene: x +1 =0 x( x + 1) y simplificando el factor x + 1 , se tiene 1 =0 x finalmente, multiplicando por x a ambos lados , se llega a 1= 0 Se elimina la incgnita!. Antes de llegar a esta contradiccin es 1 preciso analizar la condicin anterior: = 0 no tiene solucin para x ningn nmero real. La conclusin es que el conjunto-solucin es vaco: S = . 4. Resolver la ecuacin en :

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x + x = 2x +

x x

x

En este caso, la restriccin al mbito de bsqueda debe ser x > 0 x Simplificando las x y reconociendo que = x , se llega x finalmente a x=x Si se cancela la x, nuevamente se ha eliminado la incgnita, pero esta vez queda 0 = 0. Al interpretar este resultado, se llega a la conclusin que todos los nmeros reales (que cumplen la restriccin) son solucin de la ecuacin . Se tiene entonces que el conjunto solucin es S = {x : x > 0}. La ecuacin tiene, pues, infinitas soluciones.5. Resolver la ecuacin en :

x 2 3x + 2 = 0Recordando una frmula muy usada en la enseanza media: (3) 3 2 4 2 1 = x= 2 2 Pero de donde sale esta frmula? Cmo sabemos que es correcta?bajo qu condiciones proporciona efectivamente las soluciones de la ecuacin?Usando solamente las reglas del lgebra de los nmeros reales que hemos visto y suponiendo la existencia de races cuadradas de nmeros positivos, el polinomio cuadrtico general se puede factorizar: b + b 2 4ac b b 2 4ac )( x ) 2a 2a Pero esta factorizacin solo es posible si acaso el llamado discriminante: = b 2 4ac es positivo (o nulo). Puesto que el cuerpo de los nmeros reales no tiene divisores de cero, alguno de los factores debe anularse, lo que provee las dos ax 2 + bx + c = a ( x

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soluciones que se obtienen con la frmula anterior y ,adems, demuestra que no hay otras soluciones posibles. 6. Resolver la ecuacin en los reales:

x2 + x +1 = 0Usando la frmula anterior, nos encontramos con un discriminante negativo: = 3 . Qu significado tiene esto? Desde luego, la factorizacin anterior no es posible, pero no hay otra?, no habr algn otro nmero real que sea solucin de esta ecuacin?. La respuesta a estas preguntas es negativa, pero Cmo demostrarlo? Hay una forma sencilla de hacerlo: vamos a plantearlo en general: Sea b 2 4ac < 0 ; demostraremos que ax 2 + bx + c nunca es nulo, es decir, no se anula para ningn nmero real x. Como b c a 0 , podemos factorizar: a ( x 2 + x + ) y vemos que la a a

c b condicin b 4ac < 0 es equivalente a: 4 < 0 a a Cambiando de nombre los coeficientes, basta demostrar entonces que el polinomio de la forma x 2 + bx + c 0 , si b 2 4c < 0 , o b2 sea si c > 0 . Pero por el mtodo de completacin del 4 cuadrado, se tiene: b b2 x 2 + bx + c = ( x + ) 2 + c >0 2 4 En particular, hemos demostrado que , si b 2 4c < 0 , entonces x 2 + bx + c > 0, x .2

2

7. Resolver la ecuacin en los reales: 2x 2 2 = x 1 Aqu la tcnica usual es elevar a ambos lados al cuadrado: 2x 2 2 = x 2 2x + 1

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Lo que nos d la ecuacin cuadrtica: x 2 + 2 x 3 = 0 , cuyas soluciones son: 1 y -3. Llegado a este punto un estudiante descuidado se dara por satisfecho: la ecuacin tiene dos soluciones. Sin embargo, si uno substituye el nmero -3 en la ecuacin, resulta 16 = 4 , lo que es falso. Qu ha ocurrido? La explicacin es que al elevar al cuadrado se pueden ganar soluciones que no son tales. El razonamiento es el siguiente: los nmeros reales x que satisfacen la primera ecuacin, deben satisfacer la segunda, pero no al revs. Dos nmeros reales distintos pueden tener el mismo cuadrado. 8. Resolver la ecuacin en :

8 x 5 n + 3x 3n = 0donde n Z . En este caso n es un parmetro entero, es decir, un nmero entero fijo. El problema aqu no es una ecuacin, sino una familia infinita de ecuaciones, una por cada valor que se le d al parmetro n. Habr por lo tanto distintos conjuntos-solucin, segn sea el valor del parmetro. Factorizando por x 3n , se tiene:

x 3n (8 x 2 n + 3) = 0Luego, habr dos familias posibles de soluciones: x 3n = 0 , o bien: 8 x 2 n + 3 = 0 . Aqu hay que hacer ya una discusin segn el valor del parmetro: n = 0 : entonces claramente no hay solucin: S = n > 0 : x 3n = x.x.....x = 0 , luego x = 0 es solucin. La otra 3 familia : x 2 n = no d soluciones pues 2n es par. 8 n < 0 : podemos poner n = m , con m N . La primera 1 familia: x 3n = x 3m = 3m = 0 no d soluciones. La x 1 3 tampoco. segunda: x 2 n = x 2 m = 2 m = 8 x

33

Figura 1.3 En la figura 1.3 se esquematizan las soluciones en el espacio de parmetros. 9. Resolver la ecuacin en :

log b x =

2 log b 27 + 2 log b 2 log b 3 3

Aqu la base de los logaritmos es el parmetro. Veremos si las soluciones de la ecuacin dependen del parmetro. El miembro derecho se simplifica:

(27) 3 2 2 log b = log b 12 3 Igualando ambos miembros, se obtiene x = 12 , nica solucin. 10. Resolver la ecuacin en : log 4x

2 ( )

2

log 2 x 2

+ log 2 x 2 log 1 2 x = 02

En este caso la incgnita est en la base de los logaritmos. La ecuacin parece tremebunda pero no lo es: est arreglada para ser resuelta fcilmente. Primero que nada es conveniente establecer las restricciones implcitas : x>0

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4 x 1 , luego x 2 x 1 , luego x

1 16

1 2

Cambiando toda la ecuacin a base 2: log 2 2 log 2 2 x log 2 2 log 2 2 x + =0 log 2 4 x log 2 2 log 2 x log 1 2 2 2 Simplificando, la ecuacin queda: log 2 2 x = log 2 4 x

Por lo tanto: 2 x = 4 x , es decir x 2 = 4 x , de donde: x = 0 , que no es posible o bien x = 4 que si es posible. Luego, el conjunto solucin es simplemente S = {4} 11. Resolver la ecuacin en :

3 2 x 5 6 x 7 = 9 x 2 71 xAplicando logaritmo en alguna base prctica (e o 10), se tiene: 2 x log 3 + (6 x 7) log 5 = ( x 2) log 9 + (1 x) log 7 De donde, despejando la x se tiene: 57 7 ) 9 2 8.8 0.76 x= log(5 6 7) 11.6 log(

1.10 .-

PROBLEMAS

1. Resolver y discutir las siguientes ecuaciones en : x + 2 x = x + x 1 2

35

x 1 =0 x x ( x + 1) 2 x 2 = 2 x 1 1 + 2x = 2 + x 2 2+ x = x

2. Resolver y discutir, segn los valores de los parmetros, las ecuaciones en : m 1 2 = x m m x2 x a = 0

x 2 p + 2x p 3 = 0 x 7 n 2 x 9 n = 0 , donde n Z

3. Resuelva y discuta las ecuaciones en :

1 4 x 2 = x +1 x2 + x =

x 2 3x x = 03x + 2 + x 3 4 = 0

1 1 + 4=0 x+5 x+3 x px 1 = 0 , donde p

4. Resuelva las ecuaciones en :

35 x 5 2 x 4 = 15113 x17 2 = 4913 log x 3 + log 2 x 2 = 1x2 x

log 2 x 2 log x 2 2 = 1ln(2 x 3 x ) = 12

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5. Resuelva las siguientes ecuaciones en : log x (1 + x) = 1 log x (1 + x) = 2

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1.11.- PROBLEMAS ELEMENTALES CON EL ORDEN DE

Hasta ahora hemos trabajado solamente con la estructura de cuerpo de , es decir, usando solo sumas y productos. Pero una caracterstica esencial de las cantidades es el poder compararlas unas con otras, poder establecer que ciertas cantidades son ms grandes o ms pequeas que otras. Un problema prctico, que requiere un anlisis que todava no hemos hecho es el siguiente: Un agricultor necesita aplicar cierto insecticida para controlar cierta peste y sabe que las normas para la comercializacin de su producto exigen como mximo un 0.001% de presencia del pesticida en el producto. Por otro lado tambin sabe que el pesticida se degrada en un 15% diariamente. La pregunta es: cuntos das, como mnimo, antes de la cosecha deber realizar su ltima aplicacin de pesticida? Si llamamos x a este nmero de das, la condicin que debe cumplirse es: 15 x 0.001 (1 ) < 100 100 Se trata, pues, no de una ecuacin, sino de una inecuacin. Para resolverla, aplicamos un logaritmo (por ejemplo, el natural) a ambos lados de la desigualdad: x log(0.85) < log(0.00001) de donde: log(0.00001) x> = 70.8 log(0.85)

Notar que log(0.85) es un nmero negativo, por lo que la desigualdad se invierte. El agricultor deber tomar como mnimo un resguardo de 70.8 das, o sea casi dos meses y medio sin aplicar pesticida antes de la cosecha. Aqu es importante destacar, desde el punto de vista matemtico, que se ha supuesto que el logaritmo respeta el orden. ser siempre as? Todos los logaritmos , de cualquier base, respetan el orden? . Para contestar a esta pregunta, empecemos por demostrar :

0 < a < b a n < b n , para todo n, nmero natural no nulo.

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Sea 0 < a < b . Multiplicando por a y despus por b a ambos lados de la desigualdad, se obtiene : a 2 < b 2 (este resultado ya lo habamos obtenido antes). Repitiendo este mismo procedimiento con la desigualdad obtenida, se logra: a 3 < b 3 , y si lo volvemos a hacer una y otra vez, se obtiene efectivamente : a n < b n . Este procedimiento se denomina induccin finita y ser discutido en forma ms precisa y detallada ms adelante. Sea ahora a n < b n . La siguiente factorizacin es muy fcil de verificar: n b a n = (b a )(b n 1 + b n 2 a + b n 3 a 2 + ... + ba n 2 + a n 1 ) Se sigue de aqu que, puesto que el miembro izquierdo de la igualdad es positivo y que es segundo factor del miembro derecho de la igualdad tambin es positivo, el primer factor tambin debe serlo, es decir: b a > 0 , o sea a < b .

De lo anterior se sigue tambin que :

0 < a < b n a < n b , para todo n, nmero natural no nulo. En efecto, la implicacin de derecha a izquierda se obtiene simplemente elevando a la potencia n y aplicando el resultado anterior. Para la implicacin de izquierda a derecha, supongamos que n a n b : nuevamente elevando a la potencia n se llega a la contradiccin a b . Con este resultado, podemos generalizar la propiedad a los nmeros racionales positivos :0 b ,0 < b < 1

Veremos que de este resultado se desprenden las generalizaciones que andamos buscando. Para empezar veamos que : log x < log b y, b > 1 x< y b log b x > log b y, b < 1

En efecto, si suponemos que log b x log b y , con b>1, entonces se tendra, elevando la base b al logaritmo respectivo, segn el resultado que hemos aceptado, x = b logb x b logb y = y , lo que contradice la hiptesis. De modo similar se procede en el caso b 0 0 0 . Aplicando logaritmo natural (cuya base es mayor que 1), se tendra x log a x log b , que, simplificando por x que es positivo, conduce a log a log b , y, finalmente, elevando a la potencia de base natural e se obtiene: a = e log a e log b = b , lo que contradice la hiptesis. Del mismo modo se procede para el caso x < 0 .

40

1.12

INECUACIONES EN

Una inecuacin en es un problema, que consiste en hallar todos los nmeros reales, tomados de cierto conjunto, que satisfacen una relacin de desigualdad dada. Las inecuaciones tambin se plantean en mbitos determinados, tal como las ecuaciones. En este caso, sin embargo, es necesario que el espacio donde se plantee la inecuacin posea la estructura de orden apropiada. Nosotros trabajaremos en el conjunto de nmeros reales, cuya estructura de orden es la de un cuerpo ordenado, que adems satisface el axioma del supremo, que es el que nos permitir fundamentar las operaciones y propiedades de potencias, races y logaritmos.

Ejemplos

1.Resolver la inecuacin en :2 x + 3 < 5x + 1

Sumando a ambos lados 2 x 1 y dividiendo por 3, es decir, 1 2 multiplicando por , resulta: x > , es decir, el conjunto 3 3 solucin es: 2 S = x : x > 3

Aqu conviene establecer el concepto de intervalo :

[a, b] = {x : a x b} : intervalo cerrado ]a, b[ = {x : a < x < b} : intervalo abierto ]a, b] = {x : a < x b} : intervalo semicerrado [a, b[ = {x : a x < b} : intervalo semicerrado

Tambin a estos dos ltimos se les denomina semiabiertos. Los siguientes se llaman intervalos impropios, infinitos o degenerados:

41

]a, [ = {x : a < x} ] , b[ = {x : x < b} [a, [ = {x : a x} ] , b] = {x : x b}

2 En nuestro ejemplo, el conjunto-solucin es el intervalo , 3 2. Resolver la inecuacin en :

x + 5 x2 4 Aqu es necesario observar que las frmulas que aparecen en la inecuacin no estn definidas para cualquier nmero real: existen restricciones implcitas que es necesario explicitar para determinar cul ser nuestro mbito de bsqueda de soluciones: es necesario que se cumpla: x 2 4 0 . Luego es preciso resolver previamente la inecuacin x 2 4 0 para saber dnde buscar soluciones del problema planteado. Factorizando el polinomio cuadrtico, se tiene la condicin: ( x 2)( x + 2) 0 .Hay, entonces dos alternativas: que ambos factores sean positivos (es decir, si x 2 ) o ambos negativos (o sea, si x 2 ). Por lo tanto nuestro mbito de bsqueda ser: ] ,2] [2, [ Ahora, vamos a la inecuacin: aqu es necesario distinguir dos casos: x + 5 0 : aqu la inecuacin se cumple, pues las races cuadradas son siempre positivas, luego x 5 , que se encuentra en el mbito de bsqueda, por lo tanto, el intervalo ] ,5] es ya parte de la solucin del problema. x + 5 0 : aqu podemos elevar al cuadrado, es decir, si la inecuacin se cumple, la desigualdad de los cuadrados debe tambin cumplirse: x 2 + 10 x + 25 x 2 4 , cancelando x 2 , 29 restando 25 y dividiendo por 10, se tiene: x = 2.9 , 10 que tambin se encuentra en el mbito de bsqueda, luego, el intervalo [ 5,2.9] es tambin solucin del problema.

42

La solucin completa de la inecuacin ser la unin de ambas soluciones parciales:

] ,5] [ 5,2.9] = ] ,2.9]3. Resolver la inecuacin en : x 2 + 2 x : donde la inecuacin es : 2 x + 1 3 x + 1 , que nos dice 2 x 0 . Por lo tanto, el conjunto-solucin es S = [0, [

5. Resolver la inecuacin en :x +1 < x 1 +1

En este caso no hay restricciones implcitas, pues la cantidad subradical es siempre positiva. Pero hay que estudiar la inecuacin en tres zonas:

43

x 1 : aqu la inecuacin se cumple, pues la raz es siempre estrictamente positiva. 1 < x 1 : podemos elevar al cuadrado y la inecuacin queda: x 2 + 2 x + 1 < x + 2 , es decir, x 2 + 3 x 1 < 0 . 3 13 3 + 13 Factorizando, se tiene . Notar que 1 : elevando al cuadrado, se tiene x 2 + 2 x + 1 < x , es decir: x 2 + x + 1 < 0 . Pero el discriminante de este polinomio cuadrtico es negativo, luego, se trata de un polinomio irreducible, es decir, sin races reales, por lo tanto tiene siempre un solo signo, que es positivo pues su valor en x = 0 es 1. Luego, en esta zona no hay soluciones. Uniendo las soluciones encontradas se obtiene el conjunto solucin de la inecuacin:

3 13 3 + 13 3 + 13 S= ] ,1] , = , 2 2 2 6. Resolver la inecuacin en :ex2

+4 x2

1

En este caso basta aplicar el logaritmo natural a ambos lados de la desigualdad y recordar que, como la base es mayor que 1, este logaritmo respeta el orden: ( x 2 + 4 x 2) log e log(1) es decir, x 2 + 4 x 2 0 . Factorizando el polinomio cuadrtico, se obtiene: ( x 2 + 6 )( x 2 6 ) 0 , luego, la solucin es: 2 6 x 2 + 6 , es decir S = 2 6 ,2 + 6 .

[

]

44

7. Resolver la inecuacin en :log 3 (log 1 ( x 2 2)) < 02 4

Hay aqu dos restricciones: x 2 2 > 0 : por lo tanto: x , 2 2 , log 1 ( x 2 2) > 0 . Como la base del logaritmo es menor que 1,

]

[ ]

[

4

la desigualdad se invierte: x 2 2 < 1 , es decir, 3 < x < 3 Luego, el mbito de bsqueda ser: 3 , 2 2 , 3 . Recin ahora podemos abordar la inecuacin: siendo la base del logaritmo exterior mayor que 1, la desigualdad se mantiene, luego: log 1 ( x 2 2) < 1 y aplicando ahora la potencia respectiva,4

]

[ ]

[

1 9 , o sea x 2 > , por 4 4 3 3 lo tanto, puesto que 3 < < 2 y que 2 < < 3 , se 2 2 tiene finalmente la solucin de la inecuacin: con la base menor que 1, se tiene: x 2 2 > 3 3 S = 3 , , 3 2 2 8. Resolver la ecuacin: x a + a 2 x = 1 Puede parecer extrao que aparezca aqu una ecuacin, ms an, una de apariencia sencilla. En realidad no se trata de una ecuacin, sino de una familia infinita de ecuaciones, una por cada valor que tome el parmetro a . El problema consiste en clasificar todas las posibles soluciones segn sea a . Este problema de clasificaciones nos conducir a ecuaciones e inecuaciones. Un anlisis preliminar, de carcter exploratorio, nos indica que aparecer el factor a 2 1 , y por lo tanto conviene separar el conjunto de valores del parmetro en tres zonas, separando tambin los valores lmites: Zona I : a < 1 . Debemos ahora buscar soluciones de la ecuacin en dos zonas : x a , donde la ecuacin es:

45

1 a . Pero para que la a2 1 solucin est en la zona de bsqueda, se debe cumplir que 1 a x= 2 a , o sea, puesto que, por la hiptesis sobre a: a 1 a 2 1 > 0 , la condicin es 1 a a 3 a , es decir, 1 a 3 , lo que no es posible, pues a es negativo. Luego, en la zona x a la ecuacin no tiene soluciones. Sea ahora x > a : la ecuacin 1+ a que debe ser mayor que ser x a + a 2 x = 1 , o sea x = 1+ a2 1+ a a, o sea: > a , es decir: 1 + a > a + a 3 , lo que se cumple 1+ a2 pues a es negativo. La conclusin es que en la zona I para el 1+ a parmetro a solo hay una solucin y esta es : x1 = 1+ a2 Valor lmite a = 1 . En este caso la ecuacin es x + 1 + x = 1 . Si se busca en la zona x 1 , la ecuacin es

x + a + a 2 x = 1 , es decir : x =

x 1 + x = 1 que no tiene solucines. En la zona x > 1 , la ecuacin es x + 1 + x = 1 , cuya solucin es : x 2 = 0 . Ntese que la frmula dada para x1 tambin sirve para el caso a = 1 Zona II: 1 < a < 1 . Para x a la ecuacin es: 1 a 1 que debe ser x + a + a 2 x = 1 , luego: x = 2 = a +1 a 1 menor o igual que a, es decir, a 2 + a + 1 0 , lo cual siempre 1 se cumple. Por lo tanto x3 = es solucin en esta zona. a +1 Para x > a , la ecuacin es x a + a 2 x = 1 , cuya solucin 1+ a debe ser mayor que a, o sea 1 + a > a + a 3 , x= 2 1+ a condicin que, esta vez, se satisface. Luego, en esta zona hay 1+ a otra solucin que es: x1 = 1+ a2 Valor lmite a = 1 . La ecuacin es: x 1 + x = 1 . Si se busca en x 1 , resulta la ecuacin x + 1 + x = 1 que se cumple siempre, es decir, el conjunto solucin es S = [1, [

46

Si buscamos soluciones en x > 1 , la ecuacin ser x 1 + x = 1 , o sea x = 1 que no cumple la condicin. Por lo tanto, para este valor de parmetro, hay infinitas soluciones y el conjunto solucin es S = [1, [ Zona III : a > 1 . Buscamos primero en x a , donde la ecuacin 1 , que debe ser menor o igual nos d por solucin: x3 = a +1 que a, lo cual se cumple. Buscando en x > a , la ecuacin nos 1+ a que debe ser mayor que a, lo cual d por solucin x = 1+ a2 no se cumple. Por lo tanto, en esta zona del espacio de parmetros tenemos una nica solucin que es x3 La Figura 1.4 muestra un esquema de las soluciones a lo largo de la recta que representa la totalidad de valores de parmetros.

Figura 1.4

1.13

PROBLEMAS

1. Resolver las inecuaciones en : 2x x 2 + 1

x x + x 1+ x +x< 2 1+ x 1+ 1+ x2

47

x x + x 2x 1 x +x>

x+x x

1+ x x+x x

1+ x 2x + 2x 2x x 2 + 1 + 2x 1 + 2x 2x 2 1 + 2 2x 2 1 + 2

x 1 < 2x 2 1 + 2 x 1 < x 1 a 2 x log b (1 x + 2 ) 1 x logb x < x log b (1 ax + 2 ) 1

x2 p + x = 0

x 2 px 1 = 0 3. Resolver las inecuaciones: log 1 (log 4 ( x 2 5) > 03

log 3 ( x 2 5 x + 6) < 0 log 1 ( x 2 5 x + 6) < 03

log x (1 + x) < 1

4. Un granjero dispone de A metros de un plstico especial de 80cm de ancho para cubrir las paredes de un abrevadero circular (cilndrico) El abrevadero debe tener al menos una capacidad de B

48

litros. Discuta las soluciones posibles. Si A=20 , podr tener 2.500 litros de capacidad?. Ample su estudio considerando otras formas posibles del abrevadero (cuadrada, rectangular, etc.)

5.

La tasa de crecimiento de cierta bacteria en estudio se ha estimado en algo mayor que 23% diario. Un experimento es iniciado con 40 bacterias pero se necesitan al menos 13.000 para llevar a cabo el estudio. Cuntos das de crecimiento de la poblacin aseguran que el experimento puede ser realizado?

1.14 SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES

Los problemas de la vida real rara vez se pueden plantear a travs de una sola condicin y una sola incgnita. En general habr varias incgnitas y varias condiciones que deben cumplirse. Se habla de un sistema de ecuaciones, si todas las condiciones que aparecen son ecuaciones, las cuales deben cumplirse simultneamente, es decir, sern soluciones del sistema aquellos sistemas de nmeros (pares, tros, etc. segn sea el nmero de incgnitas) que satisfacen a la vez todas las igualdades. Tambin pueden plantearse sistemas de inecuaciones, donde las condiciones a satisfacer son inecuaciones y finalmente, sistemas mixtos, donde aparecen tanto ecuaciones como inecuaciones. Estos ltimos aparecen raramente en la literatura, a pesar de ser bastante importantes en la resolucin de problemas prcticos: muchas veces se buscan soluciones de sistemas de ecuaciones que deben adems cumplir otras condiciones , por ejemplo, ser positivas para que tengan sentido en el modelo: el sistema se transforma entonces en un sistema mixto.Ejemplos

1. Resolver el sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas:2x y = 1 x+ y =0

49

sumando ambas ecuaciones, se elimina la incgnita y y queda 1 una ecuacin muy simple para x cuya solucin es x = , 3 1 reemplazando en la segunda ecuacin, resulta y = . Luego, el 3 1 1 conjunto solucin del sistema es S = , 3 3 2. Resolver el sistema:

2x y = 1 x+ y =0 1 x =0 3 Notar que el sistema tiene dos incgnitas y tres ecuaciones, pero su solucin es exactamente la misma que en el ejemplo anterior.

3. Resolver el sistema: 2x y = 1 Aqu se trata del caso lmite de un sistema de una ecuacin con dos incgnitas. El conjunto solucin es, desde luego infinito : S = {( x, y ) : y = 2 x 1}, que puede ser descrito geomtricamente como el conjunto de puntos en el plano que satisfacen la ecuacin de la recta y = 2 x + 1 Hemos puesto estos ejemplos extremadamente sencillos para enfatizar que un sistema de ecuaciones no tiene porqu tener el mismo nmero de ecuaciones que de incgnitas. Por otro lado, una solucin de un sistema de dos incgnitas ser una pareja de nmeros reales. Si se trata de un sistema de tres incgnitas, una solucin ser un tro de nmeros reales.

50

4.

Resolver el sistema mixto:x + y2 = 0 x y = 2 x+20 Reemplazando x = y 2 en la primera ecuacin, resulta la ecuacin de segundo grado: y 2 + y 2 = 0 , cuyas soluciones son : -2 y 1, luego los posibles valores de x sern: x = 4; x = 1 , pero solamente x = 4 satisface la condicin de desigualdad. Por lo tanto, el conjunto solucin es: S = {( 4,2)}

5. Resolver el sistema mixto: log a x log a 1 + y 0 2 xy 1 = 1

En primer lugar es conveniente observar las restricciones implcitas de este sistema: a > 0; a 1; x > 0; y 1 La relacin de igualdad se puede resolver aplicando un logaritmo: se tiene: xy = 1 , por lo tanto, en particular x e y deben tener el mismo signo y como x debe ser positivo, y tambin. El conjunto de parejas que satisface esta condicin puede ser dibujado en el plano (se trata de un trozo de hiprbola). Ver Figura 1.5. Para analizar la relacin de desigualdad tenemos que distinguir dos casos: i) a > 1 : En este caso la desigualdad es log a x log a 1 + y por lo tanto, puesto que este logaritmo respeta el orden: x 1 + y = 1 + y , puesto que y > 0

51

Luego, en este caso la solucin es S = {( x, y ) : y x 1 xy = 1}, 1 o bien describindola solo en trminos de x , y = x 1 , de x 1 5 1+ 5 donde x 2 x 1 0 , es decir: , pero como x x 2 2 debe ser estrictamente positivo, la solucin puede ser descrita por: 1 1+ 5 S = ( x, y ) : y = 0 < x 2 x ii) a < 1 : en este caso el logaritmo invierte las desigualdades, luego: x 1 + y = 1 + y , luego, haciendo el mismo clculo anterior, la solucin es: 1 1+ 5 x S = ( x, y ) : y = 2 x

Figura 1.5

6. Resolver el sistema mixto:

52

x+ y +x 6 . Luego, la solucin en esta 2 1 zona es S 2 = ( x, y ) : y = x + 1, 6 < x < 3 2 iv) Zona IV : x + y 0 x y 0 . Finalmente en esta zona se puede demostrar que no hay soluciones: S 4 = . Luego, la solucin del problema es: 1 2 S = S1 S 2 S 3 S 4 = ( x, y ) : y = x + 1,6 < x < 2 5 7. Dos obreros, trabajando juntos, siempre logran terminar el trabajo asignado en las 8 horas del da de trabajo. Pero saben que, el ms joven trabajando solo necesita 12 horas menos que el ms viejo. Un da el viejo se enferm: cuntas horas extraordinarias deber pedir, por lo menos, el joven para hacerlo solo? En este tipo de problemas lo que causa dificultad es identificar aquello que se suma si trabajan ambos obreros juntos: llamemos x al nmero de horas que el trabajador ms joven necesita para completar el trabajo solo , y , al nmero de horas que necesita el ms viejo. Sea T el trabajo total a realizar (puede ser cierta cantidad de metros de muralla, cierta cantidad de tierra a remover etc.) La fraccin del trabajo que realiza el ms joven en una hora T T , mientras que ser la fraccin del trabajo que ser entonces y x el viejo realiza en una hora: estas son las cantidades que se deben sumar. Corresponde al rendimiento de cada trabajador, es decir, al trabajo realizado por hora. En una hora ambos trabajadores juntos T T realizarn la fraccin + del trabajo total. Aqu se est x y

54

suponiendo que el proceso es lineal, es decir, la cantidad de trabajo realizado es simplemente proporcional al tiempo empleado (no hay fatiga, cansancio, baja del rendimiento despus de la colacin etc.) Adems se supone que los rendimientos efectivamente se suman, es decir no se consideran efectos de sinergia ni de estorbo mutuo por trabajar juntos. La hiptesis principal del problema es : T T 8( + ) T x y es decir, ambos trabajadores terminan el trabajo en 8 horas. La segunda hiptesis es: x = y 12 . Desde el punto de vista matemtico se trata de un sistema mixto: una ecuacin con una inecuacin. Introduciendo la y despejada de la ecuacin en la T T ) T , que, simplificando por T inecuacin, resulta : 8( + x x + 12 y tomando en cuenta que x es positivo, es equivalente a la inecuacin cuadrtica: x 2 4 x 96 0 , cuya solucin es 8 x 12 . Por lo tanto, el joven necesita menos de 12 horas para hacer el trabajo solo y necesitar, por lo tanto a lo ms, 4 horas extra.

1.15.

PROBLEMAS

1.

Resolver el sistema y representar grficamente el conjunto solucin:

x2 y2 = 0 2x + y = 2 y0

2. Resolver el sistema y representar grficamente el conjunto solucin:

55

( x + y) = 2 ( x + y )3 x = 279936

1 x

2. Resolver el sistema de ecuaciones y analizar segn los parmetros: xa = yb x log x log( ) = y log y

3. Resolver el sistema mixto: log x y log y x = 0 2 x+ y 2

4. Resolver el sistema mixto: log(2 x 1) log( x 2 1) = 0 x2 2 0 5. Resolver el sistema mixto: x + y + z =1 x+ y < z xz < y . 7. 6. Resolver el sistema y discutir sus soluciones segn los valores de los parmetros :

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x 2 + y 2 = 0xy > 0

7. Resolver el sistema de inecuaciones: x y + x 1 x + y + y 1

8. Resolver el sistema mixto y discutir segn los valores de los parmetros: log sen x a + log a (sen x) = 2 log a x < 1

9. Resolver el sistema mixto y discutir segn parmetros

x 2 + y 2 = 1xy > 1

10. Para cargar un barco standard se emplean 4 gras de alto rendimiento (tipo A) y dos de menor rendimiento (tipo B) y el trabajo se realiza sin problemas en 4 horas y media. Un da las dos gras B llegaron 2 horas atrasadas y despus de 5 horas an el barco no estaba cargado. El encargado de puerto quiere saber, con esos datos, cul es el mnimo de tiempo que necesita una gra sola del tipo A para cargar el barco. 11. Un recipiente cnico para cierto cido altamente txico tiene 500[l] de cido y su nivel est justo a la mitad (el vrtice del cono apunta hacia abajo). Se le agregan poco ms de 100 [l] ms y el

57

nivel sube unos 10 [cm] . Cul debe ser la altura mnima del recipiente para que al llenarse no se derrame una gota de cido? 12. Un bus de lnea parte de A a las 5AM. hacia B, situado a 1080 [Km] de distancia. A las 8AM sale un bus de B hacia A y los choferes han acordado reunirse en una hostera situada justo en la mitad del camino. El chofer que sali atrasado le pone, por lo menos, unos 15 km/hora ms de la velocidad usual de los buses. A qu horas, como mnimo, se encontrarn los choferes?

58

CAPTULO 2: FUNCIONES Y RELACIONES2.1.- DEFINICIN Y EJEMPLOS. El concepto de funcin es, sin duda, uno de los ms importantes y bsicos en la matemtica. Este concepto se propone modelar matemticamente una serie de fenmenos donde una cierta cantidad depende de otra, o, ms general an, donde cierto objeto depende de otro. Histricamente se habl de dos cantidades variables: una que se llam variable independiente y otra, precisamente por depender de la primera, que se llam variable dependiente. Por ejemplo el volumen de una esfera y su radio: el volumen depende del radio. El nmero que representa al volumen sera la variable dependiente y el que representa al radio, la variable independiente. En el lenguaje coloquial tambin se dice que el volumen es funcin del radio . En fsica muchas veces es el tiempo la variable independiente: la posicin de un punto material en movimiento en el espacio, que ya no se puede describir por un solo nmero sino, al menos, por tres, depende del instante en que se observa, o sea, se dice, es funcin del tiempo. Y aqu surge la primera paradoja del lenguaje: que tal si el punto material est en reposo, es decir, no se mueve: entonces nuestra variable dependiente no es variable, no cambia, es constante. Nuestro modelo matemtico tendr que dar cuenta de estas variables que no varan. Al generalizar un poco este tipo de fenmenos, se debe abarcar tambin el de correspondencia: a cada libro de la biblioteca le corresponde su nmero de pginas, a cada individuo le corresponde su edad. En este caso, la variable independiente es el libro de la biblioteca y la variable dependiente es el nmero de pginas, mientras que en el segundo caso la variable independiente es el individuo y la variable dependiente la edad. Aqu se ha hecho corresponder un nmero a un objeto que no es un nmero. El fenmeno puede ser al revs: supongamos que se rotulan los libros de la biblioteca con nmeros naturales: entonces a cada nmero le corresponder un objeto que no es un nmero, sino, a saber, el libro que tiene ese rtulo. Fue Leibnitz en 1673 quien introdujo por primera vez el concepto de funcin en matemticas, como una frmula algebraica que permite asociar a cada nmero x (tomado de cierto conjunto determinado) otro nmero. Pero fue Leonhard Euler quien, un siglo despus, introdujo la notacin que se conserva hasta el da de hoy: y = f (x) . La letra y

59

denota la variable dependiente, mientras que la x denota la variable independiente. El problema con esta concepcin de funcin es que no permite generalizaciones importantes, asociaciones que no se obtienen mediante frmulas algebraicas. Michael Spivak d un ejemplo divertido: propone la funcin que a cada nmero real x se asocia como f(x) el nmero de sietes que posee el desarrollo decimal de x, si ste es finito, y el nmero si es infinito. Que se sepa, no hay frmula algebraica que permita calcular f(x) para, digamos, x = 2 . Para dar una definicin precisa y general de este concepto, observamos que lo importante es tener bien definida la pareja ( x, f ( x)) , de modo de poder distinguir cul es la variable independiente (el elemento que est al lado izquierdo) y cul la variable dependiente (el elemento que est al lado derecho), y que la variable dependiente est unvocamente determinada por la variable independiente. Vamos, pues a definir formalmente una funcin del siguiente modo:

Definicin: Una funcin f es un conjunto de pares ordenados que satisface la propiedad: ( x, y ), ( x, y ' ) f y = y '

Se llama dominio de la funcin f al conjunto: dom( f ) = {x : y, ( x, y ) f } Se llama recorrido de la funcin f al conjunto: rec( f ) = {y : x, ( x, y ) f } La notacin f : A B significa que A es el dominio de f pero B solamente contiene al recorrido. El conjunto B recibe el nombre de codominio de f . El elemento f(x) se llama imgen de x y a su vez x se llama la pre-imgen del elemento f(x). La grfica de la funcin f es el conjunto de puntos en un plano (afn) cuyas coordenadas son precisamente los pares ( x, f ( x)) Pensamos que no es conveniente definir una funcin partiendo de un dominio dado . De hecho, una buena parte de los problemas que aparecen acerca de este concepto requieren precisamente encontrar el dominio de la funcin . Por otro lado tampoco conviene identificar la grfica de la funcin con el conjunto de los pares ( x, f ( x)) , es decir,

60

con la funcin misma. La grfica de la funcin es un concepto geomtrico que debe ser considerada en otro espacio.

* El concepto mismo de par ordenado debe ser definido de modo queno dependa de nuestra intuicin espacial. Eso de distinguir entre un elemento a la izquierda de uno a la derecha no es totalmente satisfactorio en matemticas. Lo importante es poder establecer la asimetra que est involucrada en el concepto. La definicin de par ordenado debe satisfacer la siguiente propiedad: (a, b ) = (c, d ) a = c b = d Se define entonces: (a, b ) = {{a}, {a, b}} No es difcil demostrar que, con esta definicin, la propiedad se cumple, si bien no es propiamente trivial: es necesario distinguir dos casos: a = b y a b y razonar en consecuencia.

Ejemplos1. f : , definida por f ( x) = x . Esta funcin se llama funcin identidad y se denota, a veces, por I . Sin embargo, la notacin popular es simplemente la funcin x . 2. f : , definida por f ( x) = c . Se trata de la funcin constante de valor fijo c. Aqu tambin se suele hacer la confusin entre el nmero c y la funcin constante de valor c 3. f : , definida por f ( x) = a k x k es la funcin polinmicak =0 n

definida en base a las dos operaciones bsicas de . Esta funcin generaliza las dos anteriores. En la Figura 2.1 se han graficado las funciones y = x 2 y y = x 3 .

61

4

2

-2

-1

0

1 x

2

-2

-4

Figura 2.1 4. f : , definida por f ( x ) = x . La grfica de esta funcin se presenta en la Figura 2.2

Figura 2.2

1 . Esta funcin tiene por dominio {0}. Su grfica se x presenta en la Figura 2.3.5. f ( x) =

62

y

5

2.5

0 -5 -2.5 0 2.5 x 5

-2.5

-5

Figura 2.3 6. Las funciones trigonomtricas: f ( x) = sen( x); f ( x) = cos( x) . Estas funciones tienen un origen geomtrico pero deben ser fundamentadas como funciones reales. Esto se har ms adelante. Sus grficas se presentan en la Figura 2.4y 1

0.5

0 -5 -2.5 0 2.5 x 5

-0.5

-1

Figura 2.4

63

7. La funcin de Dirichlet:

1, x Q D( x) = c 0, x Q Esta funcin es difcil de graficar pues, como veremos, tanto los nmeros racionales como los irracionales se encuentran densamente distribudos en la recta real.

0, x < 0 8. La funcin de Heaviside: H ( x) = 1, x 0 Esta funcin est definida en toda la recta real, es constante a pedazos y tendr cierta utilidad cuando veamos las operaciones con funciones. Su grfica se presenta en la Figura 2.5

Figura 2.5 9. La funcin parte entera: [x ] = mayor entero menor o igual a x

Figura 2.6

64

10. La funcin exponencial en base 2: f ( x) = 2 x y en base

1 : 2

1 f ( x) = . Ver Figura 2.7 2y 8

x

6

4

2

0 -2.5 -1.25 0 1.25 2.5 x

Figura 2.7 11. La funcin logaritmo: en base e (mayor que 1) y en base 0.5 (menor que 1).y 4

2

0 0 1 2 3 x -2 4

-4

Figura 2.8

65

c 0, x Q 12. La funcin de Spivak: , 0 x 1 Sp ( x) = 1, x = 0 p 1 q , x = q donde p y q son primos relativos, es decir, no tienen factores comunes. Esta funcin ser muy interesante por sus aplicaciones, pero no es fcil de dibujar. En la Figura 2.9 se ha esbozado su grfica.

Figura 2.9

2.2 OPERACIONES CON FUNCIONESLas operaciones algebraicas entre nmeros reales pueden ser traspasadas a las funciones : ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) , esta igualdad define la suma de las funciones f y g ( fg )( x) = f ( x) g ( x) , define el producto de las funciones f y g La resta y la divisin de funciones se define del mismo modo: ( f g )( x) = f ( x) g ( x) f f ( x) ( x) = g g ( x)

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Pero entre las funciones aparece una operacin nueva , especfica de las funciones : la composicin de dos funciones: ( f g )( x) = f ( g ( x)) Notar que la variable independiente x es asociada primero al elemento g (x) y ste a su vez a f ( g ( x)) . La Figura 2.10 muestra un esquema de la composicin de dos funciones:

Figura 2.10 Es necesario tener cuidado con los dominios de las funciones resultantes de estas operaciones: en general los dominios se restringen: dom( f g ) = dom( f ) dom( g ) f dom( ) = dom( f ) dom( g ) {x : g ( x) = 0} g dom( f g ) = {x dom( g ) : g ( x) dom( f )}Ejemplos

1.Consideremos la funcin definida por f ( x) = x 2 y la funcin constante g ( x) = 1 . La funcin suma es : ( f + g )( x) = x 2 + 1 , mientras que la funcin producto deja la funcin f inalterada: ( fg )( x) = x 2 . La composicin de ambas funciones resulta ser la misma funcin g : ( f g )( x) = ( g f )( x) = 1 . 2. La composicin, en general, no es una operacin conmutativa, a pesar del resultado del ejemplo anterior. Tomemos ahora las funciones: f ( x) = 3 x 2 + 1, g ( x) = 2 x 3 . Haciendo el clculo

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correspondiente, resulta: ( f g )( x) = 12 x 2 36 x + 28 , mientras que ( g f )( x) = 6 x 2 1 . 3. Resulta divertido hacer todas las operaciones con las funciones caracterizadas por las siguientes grficas:

Figura 2.11 Se trata de dibujar las grficas de f + g , fg , dejamos para entretencin del lector.

f ,f g

g, g

f

.Lo

2.3.- PROBLEMAS DE DOMINIO-RECORRIDO-GRFICA1. Sea f ( x) =

1 . Se trata de encontrar el dominio, el recorrido y x 1 dibujar aproximadamente su grfica:

dom( f ) = { } . Este resultado es muy simple: x 1 debe ser para 1 que el denominador no se anule rec( f ) = {0}. Este resultado es, conceptualmente, mucho ms difcil: se trata del siguiente problema : para qu valores de y tiene alguna solucin (que est en el dominio de la funcin) la ecuacin 1 f ( x) = = y ? La variable y tiene aqu el significado de un x 1 parmetro. Ntese que no se trata simplemente de resolver la ecuacin anterior, sino de analizar la existencia de alguna solucin, dado el nmero y, y que esta solucin est en el dominio de la funcin.. En el caso del ejemplo, multiplicando por x-1 a ambos lados de la ecuacin,

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se v que se podr despejar x si y solo si y 0 :

1+ y y este y nmero es evidentemente distinto de 1. Por lo tanto el recorrido de la funcin ser el conjunto de los reales no nulos.

x=

La grfica de la funcin se muestra en la Figura 2.12

y 2 .5

1 .25

0 -2 0 2 4 x 6

-1 .2 5

Figure 2.12 2. Encontrar dominio, recorrido y grfica de : f ( x) = 1 + x El dominio es sencillo de encontrar: el nmero dentro de la raz debe ser positiva o nula, luego : dom( f ) = [ 1, [ Para encontrar el recorrido debemos estudiar la ecuacin: 1 + x = y . La primera condicin para y es que sea positivo o nulo, pues debe ser igual a una raz cuadrada. La segunda condicin se obtiene elevando al cuadrado: x = y 2 1 . Pero esta solucin debe estar en el dominio de la funcin, luego debe cumplirse: y 2 1 1 , lo que efectivamente se cumple. Luego, rec( f ) = [0, ] La grfica se presenta en la Figura 2.13

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y

2

1.5

1

0.5

0 0 1.25 2.5 3.75 x 5

Figura 2.13 3.Sea f : [2,3] , definida por la frmula: f ( x) = x 1 . En este caso el dominio est dado, pero es conveniente convencerse que es viable, es decir, que la frmula est efectivamente definida en ese dominio. La frmula tiene sentido para todo x 1 , luego, el dominio dado es viable. Aqu el problema es el recorrido: la ecuacin para x :x 2 1 = y requiere en primer lugar que y 0 . Adems, elevando al cuadrado x = y 2 + 1 , luego, para que la solucin x est en el dominio de la funcin, se necesita: 2 y 2 + 1 3 , es decir 1 y 2 2 y siendo y positivo, 1 y 2 . Luego rec( f ) = 1, 2 . La grfica de esta funcin se presenta en la Figura 2.14

[ ]

y

2

1.5

1

0.5

0 0 1 2 3 x 4

Figura 2.14 4. Encontrar el dominio de : f a ( x ) =ax 1 1 , donde a .

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Aqu se trata no de una funcin , sino de una familia infinita de funciones, una por cada valor que tome el parmetro a . Por lo tanto el problema consiste en hacer una clasificacin razonable de los dominios de cada una de las funciones, segn sea el valor del parmetro. En nuestro ejemplo, la funcin estar definida si y solo si se cumple: ax 1 1 0 . Esto no es otra cosa que una inecuacin con parmetro a . Puesto que se est tratando con desigualdades, el signo del parmetro es fundamental. a = 0 . En este caso la condicin se satisface para todo nmero real, luego: dom( f a ) = a > 0 . Para eliminar el valor absoluto, hay que dividir la recta real 1 1 en dos pedazos: A = x : x ; B = x : x < . En la zona A la a a inecuacin es ax + 1 1 0 , es decir: x 0 . En la zona B la 2 inecuacin es ax 1 1 0 , es decir, x . Por lo tanto, para este a 2 caso tenemos: dom( f a ) = ] ,0] , a a < 0 . Dividiendo la recta real en zonas como en el caso anterior, 2 resulta: dom( f a ) = , [0, [ a

5. La compaa Mena arrienda automviles Toyota a $10.500 por da ms $40 por kilmetro recorrido mientras que la compaa Gonzlez arrienda el mismo tipo de automvil por $8.900 por da ms $60 por kilmetro. En cul de las dos compaas conviene arrendar el automvil? Es claro que la decisin va a depender del nmero de kilmetros que proyectamos recorrer cada da. Sea x ese nmero: entonces lo que conviene hacer es determinar dos funciones: la funcin C M (x) que sera el costo diario por arrendar en la compaa Mena y C G (x) que sera el costo diario por arrendar en la compaa Gonzlez. Se tiene: C M ( x) = 10.500 + 40 x , mientras que C G ( x) = 8.900 + 60 x . Conviene, para resolver el problema, dibujar las grficas de estas funciones:

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Figura 2.15 Directamente de las grficas se obtiene que, si se piensa recorrer no ms de 80Km diarios, conviene arrendar en Gonzlez, mientras que si se espera recorrer ms de 80Km diarios, conviene hacerlo en Mena. 6. Una industria manufacturera produce motonetas y bicicletas, cada una de las cuales debe procesarse en dos centrales de mquinas A y B. La central A tiene un mximo de 120 horas mensuales disponibles y la central B un mximo de 180 horas mensuales disponibles. La manufactura de una bicicleta requiere de 6 horas en la central A y 3 horas en B. La manufactura de una motoneta requiere de 4 horas en la central A y 10 horas en B. Sabiendo que el beneficio por bicicleta es de $45.000 mientras que por motoneta es de $55.000 , cuntas bicicletas y motonetas fabricar para obtener el mximo beneficio mensual? Este es un tpico (pero muy sencillo) problema de programacin lineal. Nuevamente aqu conviene establecer las funciones de ganancia, segn sea la decisin que se tome y hacer las grficas de esas funciones. Sea para esto x el nmero de bicicletas , y el nmero de motonetas mensuales a fabricar. Si llamamos z a la ganancia mensual, se tendr: z = 45.000 x + 55.000 y Pero se deben cumplir las restricciones horarias de ambas centrales: 6 x + 4 y 120 (central A), 3 x + 10 y 180 (central B). Como x e y son nmeros de objetos, deben ser positivos, es decir, debemos aadir las restricciones: x, y 0 . Conviene hacer entonces un grfico donde aparezcan los valores de x e y que satisfacen todas las condiciones. El

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conjunto de los puntos que satisfacen todas las condiciones se denomina la regin factible. Enseguida se dibujan las grficas de las rectas que representan la ganancia mensual para cada eleccin de x e y. El problem