Johann Radon Institute Willkommen im Johann Radon Institute Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM) Wissenschaftliches

Johann Radon Institute

Willkommen im Johann Radon Institute

Johann Radon Institute for Computational and Applied

Mathematics (RICAM)

Wissenschaftliches Konzept



• RICAM betreibt„anwendungsorientierte Grundlagenforschung“:

• erkenntnisorientierte Forschung, die durch Klassen von Problemstellungen aus Anwendungswissenschaften motiviert ist, nicht durch konkrete Problemstellungen einzelner „Auftraggeber“



RICAM ist eingebettet in eine Kette von Institutionen:• Universitätsinstitute• Spezialforschungsbereich und Forschungsschwerpunkt

des FWF• Kompetenzzentren: Industriemathematik (K-ind),

Softwarekompetenzzentrum Hagenberg (K-Plus)• Spinoff-Firmen: MathConsult GmbH, RISC Software

GmbHRICAM ist das langfristig angelegte Grundlagenforschungs-

Glied in dieser Kette



• RICAM ist international orientiert und wird mit ähnlichen Institutionen weltweit kooperieren

• RICAM wird regelmäßig evaluiert werden, seine Arbeit wird von einem international besetzten Kuratorium begleitet

• RICAM wird kein Dauerpersonal haben, sondern auf die temporäre Mitarbeit von Wissenschafter(inne)n aus aller Welt setzen

• RICAM wird im Bereich der Diplomanden- und Dissertantenausbildung mit Universitäten kooperieren



RICAM betreibt anwendungsorientierte mathematische Grundlagenforschung interdisziplinär in derzeit fünf Arbeitsgruppen:

• Numerische Methoden für direkte Probleme bei partiellen Differentialgleichungen (Prof. Ulrich Langer)

• Inverse Probleme (Prof. Heinz Engl)• Finanzmathematik (Prof. Gerhard Larcher, Prof. Walter

Schachermayer)• Symbolisches Rechnen (Prof. Bruno Buchberger, Prof. Josef

Schicho)• Analytische Methoden für partielle Differentialgleichungen

(Prof. Peter Markowich)


Numerisches Wissenschaftliches RechnenProf. Ulrich Langer

Computational Mathematics for Direct Field Problems

Prof. Ulrich Langer



Computerunterstütztes

Modellieren

Analysieren

Rechnen

Verifizieren

Visualisieren

Der Aufbruch der Mathematik in die Welt der realen Probleme trägt eine Art Markennamen: „Wissenschaftliches RechnenWissenschaftliches Rechnen“

Computational SciencesComputational PhysicsComputational BiologyComputational FinanceComputational Mechatronics



PrinzipskizzeNumerische Simulation eines Magnetventils



Numerische Simulation eines Magnetventils

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1

Magnetik

Mechanik

+ Randbedingung + Anfangsbedingung

Mathematisches Modell

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Visualisierung im CAVE

FILM


Inverse ProblemeProf. Heinz W. Engl




• Suche nach Ursachen für beobachtete oder beabsichtigte Wirkungen

Oft die eigentliche Fragestellung bei Problemen aus der Industrie!

Computertomographie: Ursache = Dichteverteilung im Körperinneren

Wirkung = Schwächung von radialen Röntgenstrahlen, werden im CT-Scanner gemessen.

Mathematischer Kern: Schnelle und robuste Algorithmen zur Inversion der Radontransformation.



Johann Radon, 1917



Mathematische Problematik: Inverse Probleme sind „instabil“, d.h., Lösungen reagieren

extrem sensitiv auf (in der Praxis immer vorhandene) Messungenauigkeiten

Notwendig: Entwicklung ganz spezieller Methoden:

„Regularisierungsverfahren“



Beispiele (aus einer Kooperation mit University of Oxford und einer englischen Firma):

• Bestimmung ortsabhängiger elastischer Parameter (und damit einer optimalen Aufheizstrategie) für die Erzeugung von Windschutzscheiben durch „sag bending“


Bei Verwendung eines traditionellen Verfahrens



Bei Verwendung eines Regularisierungsverfahrens




• Dieses Problem wirft auch wichtige analytische Fragestellungen auf (↔ Gruppe Markowich)

• Algorithmen für inverse Probleme müssen effizient mit Lösungsverfahren für direkte Probleme gekoppelt werden (↔ Gruppe Langer)

• Inverse Probleme wichtig in der Finanzmathematik: z.B. Identifikation (=Rückrechnung) von Volatilitäten aus Marktdaten


FinanzmathematikProf. Gerhard Larcher, Prof. Walter Schachermayer

FinanzmathematikProf. Gerhard Larcher

Prof. Walter Schachermayer



Finanzmathematik:

Was es nicht ist:• Zinseszinsrechnung• Prognose über den Verlauf von Aktienkursen

Vielmehr:• Verwendung von mathematischer Modellierung im

Risikomanagement von Banken und Versicherungen



Ausgangspunkt:• Black-Scholes Formel zur Bewertung von Optionen:

(Ökonomie-Nobelpreis 1997 an R. Merton und M. Scholes)

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1)( dXNedSNec tTrtTr

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2,1



Welche Modell-Annahmen stecken in dieser Formel?Zentraler Begriff:

Das „No-Arbitrage Prinzip“„There is no such thing as a free lunch“

Dieses simple und ökonomisch einleuchtende Prinzip erlaubt erstaunlich weitreiche Folgerungen.

Die Forschung zur stochastischen Finanzmathematik ist keineswegs abgeschlossen, weder aus praktischer noch aus akademischer Sicht



Finanzmathematik und Simulation

FINANZMATHEMATISCHE FINANZMATHEMATISCHE MODELLIERUNGMODELLIERUNG

selten häufig

Explizite Formelnz.B. Black Scholes Formel

Näherungslösungen mittels numerischer Methoden oder Monte Carlo Simulation



Zahlentheorie Wahrscheinlichkeitstheorie

Zufallszahlenerzeugung

Simulation mittels Simulation mittels Monte Carlo- und Quasi-Monte Carlo- MethodenMonte Carlo- und Quasi-Monte Carlo- Methoden

Anwendung auf Finanzmathematische

Probleme

Inverse Probleme

Numerische Lösung von(stochastischen)

Differentialgleichungen

RICAM


Symbolisches RechnenProf. Bruno Buchberger, Prof. Josef Schicho

Symbolisches RechnenProf. Bruno Buchberger

Prof. Josef Schicho


Symbolisches RechnenProf. Bruno Buchberger, Prof. Josef Schicho

Denken

Mathematik

Computer-Methoden

Anwendung

AlgorithmischeMathematik

AlgorithmischeMathematik

AngewandteMathematik


Symbolisches RechnenProf. Bruno Buchberger , Prof. Josef Schicho

Denken

Mathematik

Computer-Methoden

Beispiel: Nichtlineare Systeme(Robotik, Simulation, …)



Denken

Mathematik

Computer-Methoden

Beispiel: Nichtlineare Systeme (Robotik, Simulation, …)

Numerik (-Institute):

Funktionalanalysis

Näherungsverfahren

Symbolik (RISC):

Theorie der Gröbner-Basen

RICAM: Einmaliges Potential für Numerik + SymbolikRICAM: Einmaliges Potential für Numerik + Symbolik



Denken

Mathematik

Computer-Methoden

Beispiel: Regularisierungsverfahren(inverse Probleme in der Technik, …)



Denken

Mathematik

Computer-Methoden

RICAM: Einmaliges Potential für Numerik + SymbolikRICAM: Einmaliges Potential für Numerik + Symbolik

Beispiel: Regularisierungsverfahren(inverse Probleme in der Technik, …)

Numerik (-Institute):

Theorie derHilberträume

Regularisierungs-verfahren

Symbolik (RISC):


Analytische Methoden für partielle DifferentialgleichungenProf. Peter Markowich




• Formulierung von (physikalischen, biologischen, chemischen…) Gesetzen und Vorgängen in der Sprache von

Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716)↓

Integro-Differentialkalkül



Klassische Beispiele:• Newtonsche Bewegungsgesetze der klassischen Mechanik

um 1700• Eulersche Gleichungen der Gasdynamik um 1750• Navier-Stokes Gleichungen der Strömungslehre um 1820• Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik,1873• Boltzmann-Gleichung der Gaskinetik um 1890• Einsteinsche Gleichungen der allgemeinen

Relativitätstheorie-Gravitationsfelder,1915• Schrödinger (Wellen) Gleichung der Quantenmechanik,

1926



Differentialgleichungsmodelle werden in:• Grundlagenwissenschaften (Physik, Chemie, Biologie)• Technischen Wissenschaften• Medizin• Sozialwissenschaften zur qualitativen (Analysis) und quantitativer (Numerik)

Beschreibung verwendet.



Ihre mathematischen Analysis dient zur:• Verbesserung der Modelle• Vorbereitung zur effizienten Simulation am Computer• qualitativen Beschreibung des zugrunde liegenden Vorgangs• Erarbeitung neuer analytischer Hilfsmittel.



Hi-Tech Anwendung

Halbleitersimulation:VLSI Strukturen, Nanotechnologie

Ziele: Modellierung des Ladungstransportes in Bauelementen,

Bauelementoptimierung und Kontrolle (Inverse Probleme).



Der Alpha Mikroprozessor









• Angestrebte Größe des Instituts ab 2004: 25 Postdocs, die externe Mittel über internationale begutachtete Forschungsanträge (FWF, EU) für Doktoranden einwerben werden: damit werden mittelfristig an die 60 Wissenschafter(innen) am Institut arbeiten

• Nach internationaler Ausschreibung mit vielen Bewerbungen aus aller Welt: erste Dienstantritte mit 1. März 2003



Wichtige Aktivität neben eigener Forschung:

Spezialsemester mit internationaler Beteiligung zu• speziellen Themen aus Anwendungswissenschaften, die von

der Kooperation mit den Mathematiker(inne)n des Instituts profitieren und uns Anregungen für mathematische Forschungsthemen geben können

• aktuellen mathematischen Themen, die einer längerfristigen Kooperation mit internationalen Gästen bedürfen

Partner für solche Programme:• Universitäts- und Forschungsinstitute (insbesondere andere

Institute der ÖAW) in Österreich• Internationale Gäste• Ähnliche Institutionen im Ausland



Dank:• der Akademie der Wissenschaften, insbesondere dem

Präsidium, für ihr Vertrauen• dem Land Oberösterreich für die Mitfinanzierung des

Instituts• Der Universität Linz für die Möglichkeit, das Institut am

Campus anzusiedeln



Ausblick: RICAM • ermöglicht Synergien zwischen international etablierten

österreichischen Forschergruppen und wird damit diese selbst nachhaltig stärken und die Bearbeitung von Themen, die nur gemeinsam und von größeren Gruppen angegangen werden können, ermöglichen

• wird ein starker Partner für Kooperation mit ähnlichen Institutionen in anderen Ländern sein

• will ein attraktiver Arbeitsplatz für begabte junge Wissenschafter(innen) aus aller Welt sein

• Notwendig: Stabilität, Planungssicherheit

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