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LINGüíSTICA 2 O A. ce el) -a o O ... >< W 1- JOAQUIN GARRIDO MEDINA Lógica y Lingüística Editorial SINTESIS

[Joaquín Garrido Medina] Lógica y Lingüística(BookZZ.org)

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Mejorar la imagen consiste en procesar la imagen para obtener un elemento más fácil de trabajar en alguna aplicación específica. Se dice aplicación especifica ya que dependiendo de la aplicación que se quiera realizar se deberá trabajar con diferentes técnicas. Dependiendo de la aplicación tal vez se quieran destacar los bordes o los contrastes, o tal vez algún nivel de gris en particular. En el siguiente capitulo se presentaran alguna de las técnicas de mejora de imagen..

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LINGüíSTICA 2

~ O A. ce el) -a o O ... >< W 1-

JOAQUIN GARRIDO MEDINA

Lógica y Lingüística

Editorial SINTESIS

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, LOGICA y .. ,

LINGUISTICA

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Colecci6n LINGUisTICA

l. Introducci6n a la lingüistica

2. L6gica y lingüistica

3. Los sonidos del lenguaje

4. Fundamentos de sintaxis general

S. Fundamentos de morfología

6. La formaci6n de palabras

7. Teoría sintáctica: de las estructuras a la recci6n

8. Funclunentos critico s de la gramática de dependencias

9. Principios de gram.ática funcional

10. Estructuras gramaticales desde el punto de vista hist6rico

11. Las categorias gramaticales

12. Semi6tica

13. Sociolingüistica

14. Ret6rica

15. La poética: Tradici6n y modernidad

16. Lenguaje y cultura: la etnolingüistica

17. Lingiüstica aplicada

18. Manual de fonología hist6rica del español

19. La psicolingüistica

Francisco Marcos Marín

J oaqufn Garrido Medina

Juana Gil Fernández

Juan C. Moreno Cabrera

Soledad Varela Ortega

Félix Monge Casao M. a A. Martín Zorraquino

Violeta Demonte Barreto Carlos Piera Gil

Valerio Báez San José

Emilio Alarcos Llorach

Emilio Ridruejo Alonso

Ignacio Bosque Muñoz

Carmen Bobes Naves

Karmele Rotaetxe Amusategui

Antonio Garda Berrio Tomás Albaladejo Mayordomo

Antonio García Berrio M.a T. Hernández Fernández

Manuel Casado Velarde

Francisco Marcos Marín Jesús Sánchez Lobato

Manuel Ariza Viguera

Angel López Garda

Director: Francisco Marcos Marín

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, LOGICA y .. ,

LINGUISTICA

JOAQuíN GARRIDO MEDINA

EDITORIAL

SINTESIS

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Diseño de cubierta: ISIDRO úBEDA

Este libro ha sido compuesto mediante una ayuda concedi­da por el Ministerio de Cultura a la edición de obras que componen el Patrimonio literario y científico español.

Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publicación, integra o parcialmente por cualquier sistema de recupera­ción y por cualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o por cualquier otro, sin la autorización previa por escrito de Editorial Sintesis, S. A.

© JOAQUÍN GARRIDO MEDINA

© EDITORIAL SINTESIS, S. A. Conde Duque, 46. 28015 Madrid. Teléfono (91) 5932098

Depósito legal: M. 39.461-1988 ISBN: 84-7738-049-X

Fotocompuesto en MonoComp, S. A. Impreso en Lavel, S. A. Impreso en España - Printed in Spain

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A Rosario

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índice Páginas

l. Lenguaje. utiflciale.: teorla de conjunto. ................ 13 1.1. Lenguajes formales .................................. 13 1.2. Pertenencia e inclusión.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 14 1.3. Un primer lenguaje artificial .......................... 16

1.3.1. Sintaxis de LA¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2. Semántica de LA¡ ............................. 17

1.4. Un segundo lenguaje artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1. Operaciones con conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2. Sintaxis y semántica de LAa .................... 20

1.5. Interpretación mediante operaciones con conjuntos ........................................... 21 1.5.1. Propiedades de las operaciones .... . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2. Composicionalidad y recursividad .............. 23 1.5.3. Asignación de verdad y modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6. Un tercer lenguaje artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.1. Sintaxis y semántica de LA3 .................... 28 1.6.2. Otras propiedades de las operaciones .......... 30

1.7. Relación ............................................ 30 1.7.1. Relación binaria y producto cartesiano .......... 30 1.7.2. Relación de equivalencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.7.3. Relaciones de orden, asimétrica

e inversa .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.8. FunciÓn............................................. 34

1.8.1. Definición.................................... 34 1.8.2. Clases de función ............................. 35 Ejercicios ........................................... 37

2. Razonamiento y vel'dad: 16gica pl'opo.ieional ............. 39 2.1. Validez de los razonamientos ......................... 39 2.2. Proposición y valor de verdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1. Oración, enunciado y proposición .............. 40 2.2.2. Oraciones declarativas y no declarativas ........ 41 2.2.3. Valor de verdad y mundo posible .............. 43

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2.3. Conectivas lógicas .:.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.1. Tablas de verdad y funciones veritativas ........ 45 2.3.2. Principales conectivas ......................... 47 2.3.3. Otras conectivas .............................. 50

2.4. Cálculo proposicional ................................ 52 2.4.1. Sintaxis....................................... 52 2.4.2. Semántica veritativa ........................... 53 2.4.3. Interpretación conjuntista ...................... 54

2.5. Análisis del razonamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.1. Tautología, contradicción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.2. Reglas de inferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.3. Sistemas axiomáticos para la lógica

proposicional .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5.4. Demostración y deducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Ejercicios .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. C1IBDtiflc:adores y operadores: 16gic:a de pred.lc:ad.os .............................................. 65 3.1. Análisis de la proposición en predicado

y argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2. Cuantificadores...................................... 66 3.3. Cálculo de predicados ............................... 70

3.3.1. Sintaxis....................................... 70 3.3.2. Semántica .................................... 71 3.3.3. Reglas de inferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4. Operadores......................................... 78 3.4.1. El operador iota. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4.2. El operador eta .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4.3. El operador lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5. Aplicaciones del operador lambda .................... 84 3.5.1. Orden de palabras .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.5.2. Pasiva........................................ 85 3.5.3. Determinantes ................................ 88 Ejercicios ........................................... 90

4. Po.u.Wd.ad y tiempo: 16gic:a modal y temporal . . . . . . . . . . . . 91 4.1. Lógica modal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.1. Estados de cosas y mundos posibles ............ 91 4.1.2. Operadores modales .......................... 92 4.1.3. Operadores deónticos ......................... 96

4.2. Actitudes y creencias ................................ 97 4.2.1. Operadores epistémico s ....................... 97 4.2.2. Identidad y mundos posibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3. Lógica temporal ..................................... 101 4.3.1. Operadores temporales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

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4.3.2. Análisis del tiempo y el aspecto verbales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3.3. Coordenadas, índices y contextos. . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.4. Intervalos..................................... 106 4.3.5. Relaciones temporales en el significado

léxico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Ejercicios ........................................... 110

5. Máa o meDO. verdadero: 16gica cHfa_ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1. Lógica de tres valores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.1.1. Un tercer valor veritativo ...................... 111 5.1.2. Definición de las conectivas .................... 112 5.1.3. Verdad lógica y validez ....................... 114 5.1.4. Aplicaciones de la lógica de

tres valores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2. Grados de verdad ................................... 116

5.2.1. «Verdadero en cierto modo» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.2. Valores de verdad difusos ..................... 117 5.2.3. Conectivas de lógica difusa .................... 120

5.3. Conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.3.1. Grados de pertenencia ........................ 121 5.3.2. Semántica difusa .............................. 123

5.4. Lógica difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.4.1. Lógica proposicional difusa .................... 129 5.4.2. Razonamiento aproximado ..................... 133 Ejercicios ........................................... 135

6. Pre •• poaiei6D e ba.pHcatura: lógica de la coDveraaeióD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.1. Presuposición semántica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.1.1. Activadores presuposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.1.2. Definición mediante la implicación

semántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2. Valoración veritativa de la presuposición .............. 140

6.2.1. Problemas veritativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.2.2. Supervaloraciones............................. 141

6.3. Dificultades de la presuposición semántica ............. 143 6.3.1. Anulabilidad.................................. 143 6.3.2. Problemas de composicionalidad ............... 145

6.4. Presuposición pragmática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.4.1. Conocimientos compartidos .................... 147 6.4.2. Condiciones de uso: actos lingüísticos. . . . . . . . . . . 149

6.5. Lógica de la conversación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.5.1. Implicatura ................................... 152 6.5.2. Principio de cooperación ...................... 153

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6.5.3. Implicaturas conversacionales .................. 155 6.6. Propiedades de las implicaturas conversacionales. . . . . . . 157

6.6.1. Caracterización de las propiedades. . . . . . . . . . . . 157 6.6.2. Imp1icatura y presuposición ............... . . . . . 158

6.7. Implicaturas generalizadas de cantidad ................ 159 6.7.1. Implicaturas de escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.7.2. Implicaturas de cláusula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.7.3. Aplicaciones al análisis lógico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Ejercicios ........................................... 164

7. Categoria e intensión: lógica intensional .. ........ ... .. .. . 165 7.1. Composicionalidad sintáctica y semántica .............. 165

7.1.1. Sintaxis categorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.1.2. Intensión y extensión . " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.1.3. Operadores de lógica intensional . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.2. La lógica intensional de Montague . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.2.1. Categorías semánticas: tipos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.2.2. Sintaxis....................................... 172 7.2.3. Semántica.................................... 174 7.2.4. Soluciones a los contextos oblicuos. . . . . . . . . . . . . . 176

7.3. Gramática de Montague .............................. 178 7.3.1. Hacia una semántica rigurosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.3.2. Dificultades de las teorías semánticas ........... 179 7.3.3. Categorías sintácticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.3.4. Traducción al lenguaje intensional .............. 185

7.4. Análisis de un fragmento del' español. . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.4.1. Unidad léxica, sintagma y oración .............. 188 7.4.2. Determinante y nombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.4.3. Relativo...................................... 193

7.5. Gramática y lógica. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.5.1. Gramática de estructura sintagmática

generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.5.2. Forma lógica en la teoría de rección

y ligamiento .................................. 196 7.5.3. Tendencias actuales ........................... 199 7.5.4. Conclusión ................................... 200 Ejercicios ........................................... 202

Sol.ciones .................................................. 203

BibUografia ................................................. 217

indice ele a.tores y tél"ll'liDos ................................ 231

Lista ele sfmbolos 240

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Presentación El objetivo de este libro es facilitar la entrada en la lógica formal.

aplicada al análisis lingüístico. Al mismo tiempo, se propone proporcio­nar un panorama de los principales aspectos de la lingüística y espe­cialmente de la semántica en que la formalización resulta fructífera o por lo menos esclarecedora.

Las indicaciones bibliográficas son expresión de las fuentes emplea­das, pero sobre todo orientaciones al lector para seguir leyendo obras más amplias o especializadas sobre los ternas tratados.

A lo largo del libro se presentan gradualmente los instrumentos de análisis, con ejercicios para que el lector vaya entrenándose en su uso; las soluciones aparecen al final del libro. Los primeros capitulo s tratan la teoría de conjuntos, la lógica proposicional y de predicados, apoyán­dose en análisis de lenguajes artificiales o de aspectos limitados del español, de modo que se compruebe sobre la marcha su aplicación al análisis lingüístico. Sobre esta base, se aborda después la lógica modal y temporal, y la lógica difusa.

Los dos últimos capítulos exponen dos orientaciones centrales en la lingüística actual: la lógica de la conversación y la lógica intensional. La primera ofrece un nuevo modo de concebir la relación entre lógica y lenguaje humano, situando al lenguaje en su lugar natural, la conversa­ción; la segunda, en la versión de la gramática de Montague, constituye un punto de partida nuevo que considera al lenguaje humano corno uno más de los muchos lenguajes definibles matemáticamente. Ambas orientaciones llaman la atención sobre dos estrategias fructíferas y qui­zás complementarias: Por un lado, la explicación de los fenómenos lingüísticos atendiendo a los cálculos, suposiciones o inferencias que realizan los hablantes en la conversación; por el otro, la conveniencia y la necesidad de formalizar rigurosamente partes enteras de una lengua (fragmentos), en sus propiedades tanto sintácticas corno semánticas (en sentido amplio).

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No puede faltar en esta presentación la expresión del agradeci­miento del autor hacia varios amigos y colegas, a unos por la ayuda con que directamente han contribuido a la preparación de estas páginas, especialmente Rainer Kuttert, y a otros que indirectamente las han hecho posibles con su anústad y apoyo duradero, como Manuel Ariza y mi hennano Luis Garrido. Junto a ellos quiero mencionar también a Maurice Toussaint, Heinz Werner y a colegas y amigos del entorno más próximo, como Adelino Alvarez, Juan Benavides y Ricardo Pérez-Amat, incluyendo también los de la docencia cotidiana, especialmente M. a del Pilar Palomo. A Francisco Marcos Marin, director de la colección y a Francisco Beiloso, director de la Editorial Síntesis, por último, quiero agradecer la invitación a escribir este libro.

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1.1. Lenguajes formales

~o Lenguajes artificiales:

teoría de conjuntos

El estudio de los lenguajes formales es una aportación de la lógica que ha influido decisivamente en la lingüística. Se trata de lenguajes artificiales cuya sintaxis es completamente independiente de su semán­tica; es más, son lenguajes que se pueden describir rigurosamente en términos exclusivamente sintácticos. Los avances en este campo, junto con el destierro que sufrió el significado a partir de Bloornfield, hicie­ron posible que se concibiera la sintaxis como totalmente independien­te de la semántica en la obra (de Chomsky, 1957) que supuso el naci­miento de la gramática generativa (como observa Parte e , 1971, 322). Pero precisamente son los lenguajes formales los mejores instrumentos actuales de la semántica, como se reconoce generalmente (por ejem­plo, Hemanz y Brucart, 1987, 24); se necesita un lenguaje formal para describir con precisión el significado (Leech, 1981. capítulo 6). Pero no solamente en semántica, sino también en sintaxis, y, en general. en teoría gramatical. Los logros actuales de la lingüística son posibles, como observa Chomsky (1965, § 1.1), gracias al desarrollo experimen­tado en los estudios de fundamentación de las matemáticas; e incluso se extiende el término de lingüistica matemática para referirse al empleo de lenguajes formales en la lingüística (por ejemplo, Serrano, 1983; Martín Vide, 1986; Partee y Wall, 1987).

Conviene tener en cuenta, sin embargo, dada la ambigüedad del término formal (Lyons, 1968, § 4.1.5), que un lenguaje formal es un

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lenguaje formalizado, es decir, definido explícitamente en todas sus propiedades, y no un lenguaje desprovisto de significado. En nuestros primeros ejemplos de lenguajes formales, estarán explícitamente defi­nidas tanto la sintaxis como la semántica. Para definir la semántica, emplearemos conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Se trata de unos lenguajes artificiales muy sencillos, que en algo se parecen al español. Pero se diferencian, y ésta es la ventaja, en que podemos controlar completamente sus propiedades, a través de las definiciones que los constituyen. Por ello, pueden servir de instrumento para cono­cer las propiedades del español (o las de otras lenguas) que no están sometidas a nuestras definiciones, en la medida en que los complique­mos, enriqueciéndolos con propiedades cada vez más cercanas a las de las lenguas (es la estrategia seguida, por ejemplo, por Cresswell, 1973 y Dowty et al., 1981). Por el momento, los primeros ejemplos de lenguajes artificiales, muy sencillos, nos servirán para familiarizarnos con conceptos básicos, principalmente de la teoría de conjuntos.

1.2. Pertenencia e Inclusión

Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos. Lo que caracteriza a un conjunto es el hecho de que ciertos objetos pertenecen a él, mientras que otros objetos del universo no son miembros del conjunto. Vamos a empezar con un ejemplo muy reducido de universo: se va a componer de cinco personas, a las que vamos a llamar, respec­tivamente a, b, c, d, e. Para definir un conjunto es necesario determinar la pertenencia a él. Hay dos procedimientos: si hay algún criterio para decidir la pertenencia, bastará mencionarlo para definir el conjunto; si no hay criterio, o no se conoce, habrá que enumerar todos y cada uno de los elementos. Por ejemplo, vamos a tomar el conjunto que llamare­mos A (esto se suele decir «sea el conjunto A»), compuesto por los elementos a, b y c. Se trata del conjunto de las mujeres que hay en nuestro universo. Por tanto, se define por descripción como el conjunto de los x tales que x es mujer, es decir: A = {xl x es mujer}. Esta idea es básica, y se denomina axioma de la abstracción: si se puede definir un conjunto dicho conjunto existe, y los objetos que tengan la propiedad definitoria necesariamente tienen que estar en el conjunto.

La definición de un conjunto mediante una condición puede dar lugar a paradojas, como la descubierta por Russell: el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, ¿es miembro de si mismo o no lo es? Para evitar la paradoja de Russell, se puede distinguir entre conjuntos y clases: son conjuntos las clases que son miembros de otras clases, y clases propias (clases que no son conjun-

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tos) las clases que no son miembros de otras clases (cf. Cresswell, 1973, 241). Para nuestros fines, es suficiente una teoría de conjuntos ingenua (Martin, 1987, § 2.2.2), aunque no evite las paradojas.

El conjunto A se puede también definir por enumeración de sus elementos: A = {a, b, e}. Descripción·y enumeración hacen pensar en la distinción entre significado y denotación (o intensión y extensión) de una expresión lingüística. Más adelante exploraremos este parecido. Interesa notar aquí que no es necesario que definamos un criterio de pertenencia para que pueda haber el conjunto correspondiente; basta con que esté definida la pertenencia por el otro procedimiento, la enumeración. Por ejemplo, el conjunto B se puede definir corno com­puesto por los elementos a, b, e, d.

La relación de pertenencia de un elemento a un conjunto es la relación fundamental; a pertenece a B se representa corno a E B, Y e no pertenece a B se representa corno e j B. Si la pertenencia se da entre conjuntos se llama inclusión. El conjunto A, por ejemplo, está incluido en el conjunto B: A s; B, es decir, todos sus elementos son elementos de B. Por otra parte, en este caso, hay un elemento de B, d, que no pertenece al conjunto A. La relación entre A y B entonces no es de mera inclusión, sino de inclusión propia, de modo que A es un subcon­junto propio del conjunto B: hay por lo menos un elemento de B que no pertenece a A; A c: B. La relación de inclusión se puede representar mediante el siguiente diagrama de Venn:

Si tenernos la certeza de que ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos, escribirnos A = D. Se trata entonces del mismo conjunto, aunque podamos emplear descripciones diferentes (por ejemplo, para D, la descripción «personas que no son hombres»). El conjunto es la colección de objetos, de modo que siempre es el mismo aunque lo describamos de manera diferente. En términos más precisos, dos conjuntos cualesquiera son idénticos si, y sólo si, tienen exacta­mente los mismos elementos, o, en otros términos, si tienen la misma extensión (axioma de la extensionalidad). En el caso de A y D, son idénticos, ya que cualquier elemento que pertenece a A pertenece también a D,y a la inversa.

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1.3. Un primer lenguaje artificial

1.3.1. Sintaxis ele LA,

Vamos a construir ya un pequeño lenguaje artificial, que llamare­mos LA¡. Estará compuesto por expresiones que llamaremos oraciones, constituidas por tres tipos de símbolos: nombres, verbos y atributos. Los nombres serán «Ana», «Rosario», «Carmen», «Pedro» y «Juan». Habrá un solo verbo, «es», y tres atributos: «mujer», «hombre», «psi­quiatra». Las oraciones tendrán siempre la misma estructura: nombre seguido de verbo seguido de atributo. (Es decir, la oración se compone (que podemos indicar mediante la notación -+) de símbolos seguidos unos de otros, concatenados; la concatenación se puede indicar me­diante + o, simplemente, por un espacio en blanco.) Esta es la sintaxis, que determina qué expresiones son oraciones (es decir, expresiones permitidas, fórmulas bien formadas o gramaticales). De acuerdo con esta sintaxis, son oraciones de este lenguaje artificial «Pedro es hom­bre», «Ana es psiquiatra», pero no «psiquiatra es Pedro» ni «Ana es Pedro». La sintaxis de LA¡ está compuesta por un vocabulario y unas reglas de formación:

• Vocabulario: Categoría Nombre

Miembros de la categoría «Ana», «Rosario», «Carmen», «Pedro», «Juan»

Verbo Atributo

«es» «mujer», «hombre», «psiquiatra»

• Reglas de formación:

l. Oración -+ nombre + verbo + atributo. 2. Sólo son oraciones las expresiones formadas según la regla 1.

También podemos formular la regla de formación 1 empleando la convención de que las letras griegas representan cualquier expresión del lenguaje. La regla 1 de LA¡ será: Si (X es un nombre, f3 un verbo, y 1 un atributo, la secuencia (Xf31 es una oración.

Otra variante sería definir «es» como símbolo sincategoremático, en Lugar de presentarlo como perteneciente a una categoría (es decir, como categoremático). Nos ahorraríamos la categoría de verbo en el vocabulario, y definiríamos la oración así: Si (X es un nombre y f3 un atributo, la secuencia (X «es» f3 es una oración.

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1.3.2. SemÍlntlca de LA,

La peculiaridad de la manera que estamos empleando para cons­truir el lenguaje LAl es que primero definimos la sintaxis, y luego la añadimos la semántica, o interpretación. Por eso, un lenguaje que tiene semántica lo llamamos interpretado. La semántica de este sencillo len­guaje artificial es denotativa, es decir, determina la relación de las oraciones con la realidad. La realidad de nuestro ejemplo es el univer­so de cinco personas, hombres y mujeres; de esas personas, algunas son psiquiatras. Decidimos que en nuestro universo las mujeres van a ser a, b y c, y los hombres d y e. Las mujeres a, by c pertenecen al conjunto A, y los hombres, e y d, constituyen el conjunto C. Son psiquia­tras las personas a, b, c y d. La interpretación del lenguaje es, enton­ces, la de que el nombre «Ana» designa a a, el nombre «Pedro» a d, etc. El verbo «es» corresponde a la relación de pertenencia, simboliza­da por E. Y los atributos, «mujer», «psiquiatra» y «hombre», designan, respectivamente, a los conjuntos A, By C. Según esto, el significado de «Pedro es psiquiatra» es que, en nuestro universo, la persona que se llama «Pedro» en esta lengua pertenece al conjunto de personas que en esta lengua se llama «psiquiatra», y esa relación de pertenencia a un conjunto se dice en esta lengua mediante la palabra «es». En otros términos, el elemento que en términos de conjuntos se llama d pertene­ce al conjunto que se llama en términos conjuntistas B. Y este significa­do se puede representar en teoría de conjuntos mediante los símbolos que ya conocemos: dE B.

Estamos empleando el español para hablar de dos lenguajes distin­tos: uno es el lenguaje artificial LA1 , y el otro, la teoría de conjuntos. Los dos son independientes del español en el sentido de que tendrían exactamente las mismas propiedades si habláramos de ellos en catalán o en vasco. (Aunque, evidentemente, el LAl está creado a partir del español, simplificándolo enormemente; y las expre.siones de teoría de conjuntos como a E B se pueden leer en español, esto es, traducir al español, como venimos haciendo.) Cuando decimos que «oitenta» del gallego se dice en vasco «larogei», empleamos el español para hablar de otras lenguas, es decir, usamos el español como metalenguaje para hablar de un primer lenguaje objeto, el gallego, y un segundo lenguaje objeto, el vasco. Si decimos que «oitenta» en gallego quiere decir ochenta, empleamos el español como metalenguaje de un solo lenguaje objeto, el gallego. Siempre que empleemos un lenguaje (humano o artificial) para hablar de otro, los podemos distinguir como metalen­guaje y lenguaje objeto, respectivamente. Empleamos algún recurso notacional, como las comillas, o un tipo de letra distinto, para indicar que se trata de expresiones de lenguaje objeto. (Una distinción análo-

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ga, pero dentro de una misma lengua, es la de uso y mención. Al decir que «gato» es una palabra de dos sílabas, estamos mencionando la palabra «gato»; la usamos si decimos que el gato se ha bebido la leche.)

Para escribir esta semántica de LAl, empleamos la siguiente con­vención notacional: el significado de la expresión a se indica mediante [[a]]. Además, indicamos la identidad mediante =. En la regla 2, a y {J son expresiones en metalenguaje, que representan dos expresiones, las que sean, del lenguaje objeto, LAl' Así pues, la semántica de LAl es la siguiente:

1. [[Ana]] = a [[Rosario]] = b [[Carmen]] = e [[pedro]] = d [Ouan]] = e [[mujer]] = A [[psiquiatra]] = B [[hombre]] = e

2. Si a es un hombre y {J es un atributo,

[[a es {J]] = [[a]] E [[f3J]

En la interpretación, «es» aparece como símbolo sincategoremático, es decir, se define mediante su combinación con otros símbolos; no pertenece a una categoría del vocabulario.

Entre las propiedades que tiene LAl, está la de que sus oraciones pueden no corresponder a la realidad. Por ejemplo, «Juan es psiquia­tra» es una oración del lenguaje LAl, Y su significado es e E B; sin embargo, en el universo del que estamos hablando, tal como hemos definido B, el elemento e no pertenece a dicho conjunto. En otros términos, con LAl se pueden decir mentiras. Con cada nombre se pueden formar tres oraciones (hay tres atributos, y un solo verbo); en total, hay quince oraciones gramaticales o fórmulas bien formadas (abreviado como lb!). De ellas, son verdaderas tres que corresponden a las mujeres, dos a los hombres y cuatro a los psiquiatras, es decir, nueve.

Podríamos definir de otra manera la interpretación del lenguaje LAl' Por ejemplo, si la realidad fuera la de los números del uno al cinco, cada nombre designaría un número: el elemento a sería el núme­ro uno, b seria el tres, e seria el cinco, d sería el dos y e el cuatro. El conjunto A sería el de los números impares y e el de los pares. Por tanto, el significado de «Ana es mujer» seria que el número uno es impar, es decir, a E A, Y el de «Pedro es hombre» sería d E e, es decir,

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el número dos es par. El conjunto B, formado por {a, b, e, d}, sería el de los números uno, tres, cinco y dos: se podría definir, por ejemplo, por la propiedad de sus miembros de no ser el número cuatro. «Car­men es psiquiatra» se interpretaría, del mismo modo que antes, como e E B, es decir, como que el número cinco es distinto de cuatro (5 =1= 4). Seguirían resultando verdaderas las mismas nueve oraciones, y falsas las mismas seis de antes.

Vamos a enriquecer nuestro ejemplo de lenguaje artificial de mane­ra que se puedan decir en él oraciones como «Carmen es mujer y psiquiatra», «Juan es hombre o psiquiatra». Necesitaremos para ello otra categoría, la de las conjunciones, y dos operaciones de la teoría de conjuntos.

1.4. Un segundo lenguaje artificial

1.4.1. Operaciones con conjuntos

Se pueden formar conjuntos a partir de otros ya existentes, median­te operaciones. La unión de dos o más conjuntos da lugar a un nuevo conjunto, que tiene por elementos a los elementos comunes y no comu­nes de los conjuntos sometidos a la operación. Por ejemplo, recordan­do que A = {a, b, e} y e = {d, e}, la unión de A y e es: A u e = {a, b, e, d, e}.

Recordemos que B = {a, b, e, d}; la unión de A y B es: A u B = {a, b, e, d}. Resulta ser el mismo B.

La unión de B y e es: B u e = {a, b, e, d, e}. Recordemos que D = {a, b, e}; la unión de A y D es: A u D = {a, b,

e} = A = D. El resultado es A, y también D, ya que son el mismo conjunto (en virtud del axioma de la extensionalidad).

La intersección de dos o más conjuntos es el conjunto de los elemen­tos comunes a los conjuntos sometidos a la operación: A n B = {a, b, e}. El resultado, en este ejemplo, es el mismo conjunto A. Si no hay ningún elemento en común, el resultado es el conjunto vacfo, o conjunto que no tiene ningún elemento: A n e = 0·

Las operaciones de unión e intersección se pueden representar mediante diagramas (en que el conjunto resultado aparece tramado):

~ AuC Bu C

Unión

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AnB AnC

Intersección

1.4.2. Sintaxis y semántica de LAa

Vamos con nuestra segunda versión de lenguaje artificial, LA2 • En él añadimos las conjunciones «y». «o». y una regla opcional:

• Vocabulario: Categoría Nombre

Miembros de la categoría «Ana». «Rosario». «Carmen». «Pedro». «Juan»

Verbo Atributo Conjunción

«es» «mujer», «hombre». «psiquiatra» «y», «o»

• Reglas de formación:

l. Oración -+ nombre + verbo + atributo. 2. (Opcional): Atributo -+ atributo + conjunción + atributo. 3. Sólo son oraciones las expresiones formadas según la regla 1 (y.

opcionalmente. la 2).

Las reglas de formación también se pueden expresar como sigue:

l. Si IX es un nombre. p un verbo y y un atributo. la secuencia IXpy es una oración.

2. Si IX Y P son atributos. y y una conjunción. la secuencia lXyp es un atributo.

3. Sólo son oraciones las expresiones formadas según las reglas 1 y 2.

El carácter opcional de la regla 2 quiere decir que son oraciones tanto las expresiones que se construyen sin aplicarla como las que se forman aplicándola. Tal como está formulada ahora (como condicional) ya no hace falta decir que es opcional. Esta regla nos pennite formar (es decir. considerar como fórmula bien formada del lenguaje) «Car­men es mujer y psiquiatra». pero también «Carmen es mujer y mujer». y no sólo eso; como su único requisito es que se aplique a un atributo. también da lugar a «Carmen es mujer y psiquiatra y mujer». Vamos a ver que esto no es problema para la interpretación de LA:!:

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• Vocabulario:

[[Ana]] = a [[Rosario]] = b [[Carmen]] = c [[pedro]] = d [[Juan]] = e [[mujer]] = A [[psiquiatra]] = B [[hombre]] = e [[es]] = E

• Reglas de interpretación:

1. [[nombre + verbo + atributo] = [[nombre]] [[verbo]] [[atributo]]. 2. a) Si (1 Y P son atributos, [[(1 y P]] = [[(1]] f1 [[PJ].

b) Si (1 Y P son atributos, [[(1 o P]] = [[(1]] u [[f3]].

Como sólo tenemos un verbo en LA:!, «es», puede ser interesante definirlo sincategoremáticamente, tanto sintáctica como semántica­mente, como antes hicimos para LA I ; con ello lo eliminamos del voca­bulario. Sustituimos, así pues, las correspondientes reglas 1 de forma­ción y de interpretación por las siguientes reglas sintáctica y semántica:

a) Si (1 es un nombre y p es un atributo, la secuencia (1 «es» p es una oraciÓn.

b) Si (1 es un nombre y p es un atributo, [[(1 es P]] = [[(1]] E [[PJ].

1.5. Interpretación mediante operaciones con conjuntos

1.5.1. Propledade. de la. operaclone.

Vamos ahora a examinar tres ejemplos de oraciones de LA2 : «Car­men es mujer y psiquiatra»; «Carmen es mujer y mujer»; y «Carmen es mujer». La expresión «Carmen es mujer y psiquiatra» es una oración de LA2 , ya que cumple las condiciones sintácticas que lo definen. Efecti­vamente, el atributo «mujer y psiquiatra» es resultado de combinar dos atributos y una conjunción. El significado de la oración se obtiene a partir del significado de las partes; el del atributo «mujer y psiquiatra» es la intersección de A y B, es decir, otro conjunto. Y el significado de la oraciÓn es la pertenencia de c a dicho conjunto intersección de A y B, es decir, e E (A f1 B). En el universo en cuestión hay un conjunto de mujeres, A, con tres personas, a, b y e; un conjunto de hombres, e, can

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dos personas, d y e; y un conjunto de psiquiatras, B, con cuatro elemen­tos, las personas a, b, c y d:

B

La otra secuencia, «Carmen es mujer y mujer», también es una oración de LAz' pues el atributo «mujer y mujer» es resultado de combinar dos atributos y una conjunción (nada exige en la regla del atributo que se trate de dos atributos distintos). Para interpretar la oración, tenemos que obtener el significado de «mujer y mujer»; es el conjunto intersección de A y A. Y la oración entera significa la perte­nencia de c al conjunto (A n A). En lugar de emplear la teoría de conjuntos como metalenguaje para hablar de LAz' tomémosla por un momento como lenguaje objeto. En ese lenguaje, A n A = A, de acuerdo con la definición de la operación de intersección. Y según el axioma de extensionalidad, se trata del mismo conjunto, por tener exactamente los mismos elementos, lo llamemos A o A n A. (Ésta es la propiedad de la intersección llamada idempotencia.)

Volvamos a LAz' y comparemos «Carmen es mujer y mujer» con la tercera oración, «Carmen es mujer». La expresión «mujer y mujer» se interpreta como A n A, mientras que «mujer» se interpreta como A. Dentro de LAz' estamos diciendo cosas distintas con una y otra oración, ya que estas dos oraciones tienen distinta estructura sintáctica y distinta interpretación. Pero las distintas interpretaciones resultan ser equiva­lentes. Si traducirnos el metalenguaje empleado para definir su inter­pretación (es decir, la teoría de conjuntos) a otro metalenguaje, el espafiol. las dos oraciones nos dicen que el ente llamado c pertenece al conjunto A, al que también podemos llamar A n A (y también A u A, y de otras muchas maneras, como A u (A n A), etc.). En LAz' las dos expresiones tienen distinta interpretación, pero ambas interpretaciones son extensionalrnente iguales. Aquí es útil la distinción que introdujo Frege (1892) con los términos de sentido y referencia (Frege empleó los términos de «sentido» y «significado», pero posteriormente se ha sustituido el segundo por «referencia», y también por designación o denotación). Aquí, el sentido de las expresiones de LA2 «mujer» y «mujer y mujer» es diferente (tienen distinta interpretación), pero su denotación es la misma: se aplican a conjuntos de la misma extensión, es decir, al mismo conjunto. Como término correlativo de la extensión, en lugar de «sentido» se puede emplear el término introducido por Carnap (1947), intensión, que encontraremos más adelante. Así, las interpretaciones de las expresiones de LA2 «mujer» y «mujer y mujer»

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son extensionalrnente equivalentes, pero no son intensionalrnente equi­valentes. Si invertimos el orden en «mujer y psiquiatra», obtenemos otro atributo de LA3 , «psiquiatra y mujer», cuya interpretación es ex­tensionalrnente idéntica al primero, aunque intensionalrnente sea dife­rente. Esto se debe a que A f"'I B = B f"'I A; la intersección tiene la propiedad conmutativa. Las propiedades de la unión y de la inter­sección son:

Conmutativa: A u B = B u A; A f"'I B = B f"'I A. Asociativa: (A u B) u C = A u (B u C); (A f"'I B) f"'I C = A f"'I (B f"'I C). Distributiva: A f"'I (B u C) = (A f"'I B) u (A f"'I C);

A u (B f"'I C) = (A u B) f"'I (A u C). Absorción: A u (A f"'I B) = A; A f"'I (A u B) = A. Idempotencia: A u A = A; A f"'I A = A.

1.5.2. Composlclonalldad y recursividad

El lenguaje LA2 tiene otra característica, que se suele denominar composicionalidad: el significado del total, la oración, se construye a partir del significado de las partes, el nombre y el atributo. También en el lenguaje LA¡ se cumple el llamado principio de composicionalidad (de Frege). De este modo, la interpretación de una oración se obtiene paso a paso a partir de la interpretación de sus componentes, es decir, aplicando sucesivamente las reglas. Se suele escribir estos pasos, indi­cando en cada uno además del resultado la regla que se ha aplicado para obtenerlo. Por ejemplo, el proceso seguido para obtener la inter­pretación de «Pedro es hombre y psiquiatra» consiste en los siguientes pasos:

l. [[hombre y psiquiatra]] = [[hombre]] f"'I [[psiquiatra]] (regla del atributo).

2. [[pedro es hombre y psiquiatra]] = [[pedro]] E [[hombre y psiquiatra]] (regla de la oración).

3. [[pedro]] E [[hombre y psiquiatra]] = [[pedro]] E [[hombre]] f"'I [[psiquiatra]] (sustitución en 2 del resultado de 1).

4. [[pedro]] E [[hombre]] f"'I [[psiquiatra]] = d E C f"'I B (inter­pretación del nombre y atributos correspondientes).

Otra propiedad más de LA2 es que la forma y la interpretación de las oraciones se define de manera recursiva. Aplicando una y otra vez la misma regla, construimos diferentes atributos con su correspondien­te interpretación. El lenguaje LAa es, en este sentido, productivo (crea-

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tivo: Chomsky, 1967, § 1.1): son infinitas sus oraciones, y su forma e interpretación están definidas por un número finito de reglas.

Hay, pues, una diferencia importante entre nuestros dos lenguajes artificiales: el primero está constituido por quince oraciones mientras que el número de oraciones del segundo es infinito. Y la diferencia, como vemos, se debe a la regla del atributo de LA:a' que es recursiva. Permite construir un atributo como compuesto de dos atributos y una conjunción; si la aplicamos dos veces, el resultado es un atributo com­puesto de tres atributos y dos conjunciones, y así sucesivamente:

l. nombre verbo atributo, 2. nombre verbo atributo conjunción atributo, 3. nombre verbo atributo conjunción atributo conjunción atributo, 4. nombre verbo atributo conjunción atributo conjunción atributo

conjunción atributo.

La regla del atributo es recursiva, es decir, se puede aplicar a su resultado. Pero maneras diferentes de aplicarla dan lugar a oraciones distintas. Por ejemplo (empleando paréntesis para indicar la composi­ción del atributo):

1. Juan es mujer y (hombre o hombre). 2. Juan es (mujer y hombre) o hombre.

En la primera, la conjunción «y» afecta al atributo compuesto me­diante la conjunción «o»; en la segunda, «y» no llega (<<alcanza») al segundo «hombre». A las expresiones afectadas por «y» se les llama alcance de «y». La diferencia de estructura sintáctica se puede repre­sentar mediante diagramas en árbol (en que las mayúsculas son las iniciales de las categorías, oración, verbo, nombre, atributo y conjun­ción):

1.

/o~ N ~ ~ I¿~,

/¿~ I I I

Juan es mujer y hombre o hombre

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2.

o

N~A A~6~

/t"A I I I

Juan es mujer y hombre o hombre

El significado de cada un es:

1. e E [A n (e u en 2. e E [(A n e) u el

La primera describe una situación que no se da en nuestro ejemplo: en el universo que hemos creado, la persona e no pertenece a A, luego no pertenece a la intersección de A con cualquier otro conjunto. La segunda, en cambio, sí coincide con una situación de nuestro ejemplo de universo: aunque e no pertenece a la intersección de A con e (por no pertenecer a A), sí pertenece a e, por lo cual sí pertenece a la unión de e con cualquier otro conjunto. Por todo esto, tenemos que añadir a la sintaxis y a la semántica de LA2 los paréntesis y los corchetes como símbolos sincategoremáticos, aunque hay otros procedimientos que permiten evitarlos (véase más adelante, § 2.4.1).

No nos extrañará que las dos oraciones de LA2 no quieran decir lo mismo, según el alcance de la conjunción; pasa lo mismo en español:

l. ¿Ouieres café o [té y pastas]? 2. ¿Ouieres [café o té] y pastas?

En este ejemplo se suele entender la disyunción como excluyente, porque lo acostumbrado es tomar una de las dos cosas, té o café, pero no las dos. En el primer caso, elegir café supone quedarse sin pastas. La diferencia se puede indicar mediante la entonaciÓn (Ouilis, 1981, 425), haciendo una pausa o una inflexiÓn tonal ascendente detrás de «café» en la primera, y detrás de «té» en la segunda. (Como veremos, hay otros principios, de lógica de la conversación, que nos salvan de perdemos las pastas en estas situaciones por un mero asunto de alcan­ce de la conjunciÓn.)

En español, por tanto, hay dos tipos de coordinación disyuntiva; en

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la incluyente se admiten las dos posibilidades, mientras que la exclu­yente admite sólo una:

l. De Cádiz a Madrid se puede ir por Mérida o por Córdoba. 2. ¿Vienes o te quedas?

Vamos a ver que definir la interpretación de la conjunción «o» de LA2 mediante la unión supone considerarla incluyente. En efecto, tanto «Ana es mujer o psiquiatra» corno «Juan es hombre o psiquiatra» des­criben el universo de LA2 : son verdaderas de acuerdo con el universo descrito antes. Su significado, respectivamente, es a E (A u B), e E (C u B). En la primera, a pertenece a A y pertenece a B, luego pertenece a la unión de A y B. En la segunda, aunque e no pertenezca a B, si pertenece a la unión de C y B, puesto que pertenece a e.Empleando el lenguaje artificial, «Juan es hombre o psiquiatra» es verdadero, porque en el universo en cuestión, aunque «Juan es psiquiatra» es falso, «Juan es hombre» es verdadero.

1.5.3. Asignación de verdad 'f modelo

Además de la interpretación de LA2 , estamos usando la configura­ción del universo en los conjuntos definidos y representados antes (§ 1. 5.1). Esta configuración del universo nos permite clasificar las ora­ciones de LA2 en dos: verdaderas y falsas. Esto es una asignación de valores de verdad (o veritativos); es decir, la definición de universo que hemos hecho atribuye a cada oración el carácter de verdadero o el de falso. Las oraciones verdaderas son un subconjunto propio del con­junto formado por todas las oraciones de LAa (es propio, es decir, hay otras oraciones que son falsas).

Para asignar valores veritativos a todas las oraciones, basta con definir el valor de verdad de las oraciones simples de LA2 , es decir, aquellas cuyo atributo es simple. Además de las oraciones verdaderas que definimos, son verdaderas las compuestas, es decir, las que tienen atributos compuestos, que se interpretan corno extensionalmente equi­valentes a las oraciones simples verdaderas, en virtud de las propieda­des de las operaciones que definen la interpretación. Por ejemplo, definirnos corno verdadera «Carmen es mujer», cuya interpretación es C E A; la oración «Carmen es mujer y mujer» también es verdadera, porque su interpretación es C E A n A, y A (') A = A. La asignación de verdad correspondiente al universo empleado es la siguiente (1 quiere decir verdadero y O falso):

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[[Ana es mujer]] = 1 [[Rosario es mujer]] = 1

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[[Carmen es mujer]] = 1 [[Ana es hombre]] = O [[Rosario es hombre]] = O [[Carmen es hombre]] = O [[pedro es hombre]] = 1 [[Juan es hombre]] = 1 [[pedro es mujer]] = O [[Juan es mujer]] = O [[Ana es psiquiatra]] = 1 [[Rosario es psiquiatra n = 1 [[Carmen es psiquiatra]] = 1 [[pedro es psiquiatra]] = 1 [[Juan es psiquiatra]] = O

Invirtiendo la perspectiva, la asignación de valores veritativos a las oraciones de LA2 constituye en el universo una ordenación, que llama­mos modelo. Se trata del modelo representado gráficamente en § 1.5.1 Y definido así:

A = {a, b, e}; B = {a, b, e, d}; e = {d, e}

En este modelo del universo, o se pertenece al conjunto A o al conjunto B, pero no a los dos ni tampoco a ninguno de los dos. En otros términos, se define el significado de «hombre» y «mujer» como el de antónimos complementarios: se es una cosa o la otra. En el universo tal como queda definido por esta asignación de valores de verdad, sin embargo, «psiquiatra» y «mujer», o «psiquiatra» y «hombre» no son incompatibles: se puede ser las dos cosas. En el caso de LA I , las dos interpretaciones mencionadas en § 1.4.2, la de las personas (hombres, mujeres y psiquiatras), como en LA2 , y la de los números (pares, impa­res y números distintos de cuatro) tenían la misma asignación de ver­dad (que coincide con la de LA2, ya que las oraciones de LAI son un subconjunto de las de LA2 , el formado por las oraciones simples).

Con otra asignación, podríamos llegar a otros resultados, por ejem­plo una estructuración del universo en que el individuo d fuera «hom­bre y mujer» (es decir, que «Pedro es hombre y mujer» fuera verdade­ra). Con un mismo lenguaje, por consiguiente, se construyen maneras distintas de ver un mismo universo, distintos modelos, variando la asignación de. valores veritativos. Sin embargo, los procedimientos pa­ra obtener el valor de verdad de las oraciones complejas a partir de las simples no varían: las reglas de interpretación son las mismas. Por eso interesa distinguir entre estas reglas de interpretación y la asignación de valores de verdad a las expresiones básicas. Estrictamente hablan-

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do, modelo es el par formado por el conjunto de individuos (es decir, el universo {a, b, c, d, e}) y la asignación de verdad. Un conjunto de individuos diferente o una asignación distinta configuran modelos dife­rentes. El concepto de modelo da lugar a la teoría de modelos (Lut­zeier, 1973 y Potts, 1975), hablándose entonces de una semántica mode­lo-teórica.

1.6. Un tercer lenguaje artificial

1.6.1. Sintaxis y semántica de LA,

Otra operación conjuntista nos permitirá ampliar nuestro lenguaje artificial. En primer lugar, definimos la diferencia de dos conjuntos A y B como el conjunto A - B (A menos B) constituido por los elementos de A que no son elementos de B. Un caso especial de diferencia es aquel en que el segundo conjunto está incluido en el primero; por ejemplo, en el universo descrito antes (§ 1.5.3), A e B; la diferencia B - A = A­es el conjunto complemento o complementario de A con respecto a B, A-, constituido por el elemento d. Vamos ahora a definir el complemen­tario como diferencia con respecto al conjunto universo; será entonces una operación que, a partir de un conjunto A, da lugar a un segundo conjunto, A- (también: -A), que definimos como U - A, siendo U el universo al que pertenece A.

A las reglas que definen la sintaxis y la semántica de LAa añadimos las siguientes, constituyendo así otro lenguaje artificial, LA3:

a) Si IX es un nombre y {J es un atributo, la secuencia IX «no es» (J es una oración.

b) Si IX es un nombre y {J es un atributo, y [00]- es el complementa­rio de [[{J]]. [[IX no es {J]] = [[IX]] E [[{J]}.

En LA3 son oraciones, además de todas las de LA2 , oraciones como «Juan no es hombre» y «Juan no es hombre y mujer». La interpretación de la primera es que el elemento e pertenece al complementario de C:

l. [[Juan no es hombre]] = [[Juan]] E [[hombre]]- (regla de' la oración formada por «no es»).

2. [[Juan]] E [[hombre]} = e E C- (interpretación del nombre y atributo correspondientes).

Podemos constituir un modelo con LA3 añadiéndole a la interpreta­ción una asignación de valores veritativos a las fónnulas simples (es decir, cuyo atributo sea simple). En LA3 son treinta (ya que hay cinco nombres, tres atributos y dos maneras de construir oraciones a partir

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de Wl hombre y Wl atributo (<<es», y «no es»). Sin embargo, no es necesario explicitar los treinta valores: De acuerdo con la definición de complementario, si Wl elemento pertenece a un conjunto no pertenece al complementario de dicho conjunto. Por ejemplo, si a E A, se cumple por definición que a ~ A-. Por ello, si es verdadera «Ana es mujer», es falsa «Ana no es mujer». Y si es falsa «Juan es psiquiatra», es decir, e no pertenece a e, es verdadera «Juan no es psiquiatra», es decir, e perte­nece a e-, al complementario de e. Así es que nos es suficiente para LAJ la asignación de los quince valores propuesta para LA2• Las oracio­nes construidas con «no es» se pueden interpretar a partir del valor veritativo de las correlativas con «es». Para tener en cuenta este hecho, reformulamos la regla de interpretación «no es» de la siguiente mane­ra:

a) Si [[IX es /1]] = [[IX]] E [[PJ], [[IX no es PJ] = [[IX]] E [[/I]} = [[IX]] ~[[P]].

La interpretación de «Juan no es hombre» se obtiene ahora a partir de la de «Juan es hombre»:

l. [[Juan es hombre]] = [[Juan]] E [[hombre]] (regla de la ora­ción formada con «es»).

2. [[Juan no es hombre]] = [[Juan]] E [[hombre]]- = [[Juan]] ~ [[hombre]] (regla de la oración formada con «no es»).

3. [[Juan]] ~ [[hombre]} = e ~ [[hombre]] (interpretación del nombre).

4. e ~ [[hombre]] = e ~ e (interpretación del atributo).

Como e E e (ya que «Juan es hombre» es verdadera), e no puede pertenecer a su complementario, e, y «Juan no es hombre» es falsa. El modelo creado corresponde al universo U con los conjuntos A, B Y e definidos anteriormente.

La oraciÓn «Juan no es hombre y mujer» es verdadera: su inter­pretación es que el elemento e pertenece al complementario de la intersección de ey A, es decir, que e no pertenece a la intersección de eyA:

1. [[Juan es hombre y mujer]] = [[Juan]] E [[hombre y mujer]] (regla de la oración construida con «es»).

2. [[Juan no es hombre y mujer]] = [[Juan]] ~ [[hombre y mujer]] (regla de la oración construida con «no es»).

3. [[Juan]] ~ [[hombre y mujer]] = [[Juan]] ~ ([[hombre]] n [[mujer]]) (regla del atributo construido con «y»).

4. [[Juan]] f ([[hombre]] n [[mujer]]) = e f (e n A) (interpreta­ción del nombre y de los atributos correspondientes).

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Resulta que C y A no tienen ningún elemento en común (son conjun­tos disjuntos). La intersección de dos conjuntos disjuntos es otro conjun­to, el conjunto vacío, 0, que no tienen ningún elemento. (El conjunto vacío es un concepto necesario para que se mantenga la coherencia de las operaciones tal como están definidas.) Y el complementario del conjunto vacío es el universo entero; por ello, como el complementario de e n A es el complementario del conjunto vacío, es decir, es el universo U. La oraciÓn «Juan no es hombre y mujer» es verdadera, ya que e pertenece al universo, por pertenecer a un conjunto del univer­so. (pertenece a un cmnjunto del universo porque «Juan es hombre» es verdadera, luego e pertenece a C.)

1. e'¡ (C n A) = e E (C n A)- (interpretaciÓn de la oraciÓn). 2. (C n A)- = U -(C nA) = U - 0 = U (definiciÓn del complemen­

tario). 3. e E (C n A)- = e E U.

1.6.2. Otras propiedades de la8 operaclone8

Otras propiedades de la uniÓn, intersecciÓn y complementariedad son de interés para la interpretación de LA3 :

1. Au0=A 2. A u U = U 3. A n 0 = 0 4. A n U = A S. A u A- = U 6. A n A- = 0 7. (A n B)- = A- u B- (primera ley de De Margan). 8. (A u B)- = A- n B- (segunda ley de De Morgan).

Mediante estas propiedades, y las anteriores (conmutativa, asociati­va, etc.), definimos la equivalencia extensional entre interpretaciones que no son intensionalmente equivalentes (por su distinta estructura semántica).

1.7. Relación

1.7.1. Relación binaria y producto cartesiano

Otros conceptos de la teoría de conjuntos nos servirán para cons­truir interpretaciones. Uno de ellos es el de relación binaria. Si en un

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conjunto los elementos están relacionados dos a dos, forman pares. Por ejemplo, en el conjunto U de personas formado por {a, b, c, d, e}, se pueden constituir pares como <a, d) o <c, e); a está entonces relaciona­do con d; c está relacionado con e. Se trata de pares ordenados: no es lo mismo que a esté relacionado con c que, a la inversa, c lo esté con a (como tampoco es lo mismo decir en español «Ana mira a Carmen» que «Carmen mira a Ana»). El par <a, c) es distinto del par <c, a). Hay también relaciones ternarias (que dan lugares a ternas o trios de ele­mentos), cuaternarias (con cuadrupletes o cuádruplos de elementos), y, en general, relaciones n-arias, que establecen n-tuplos.

Supongamos que en el conjunto U del ejemplo anterior, una rela­ción, que representamos por E, constituye los siguientes pares: <a, c), <a, d), <a, a), <c, a), <c, d), <c, c), <d,a), <d, c), <d, d), <b, e), <b, b), <e, b), <e, e). En otros términos, a está relacionado -forma par­con c, con d y consigo mismo; c con a, con d y consigo mismo; etc. El hecho de que dos elementos estén o no relacionados se puede escribir de varias maneras. La primera, que es la notación relacional, expresa que a está relacionada con c como E(a, c), y que no está relacionada con e como -E(a, e). Empleando una segunda notación, se puede escri­bir aEc y -aEc; una tercera es Eac, -Eac.

Otra manera de describir la relación E consiste en concebir los pares como elementos de un conjunto de pares. La relación E es entonces un conjunto, E, definido por enumeración:

E = {<a, c), <a, d), <a, a), <e, a), <e, d), <e, e), <d, a),

<d, c), <d, d), <b, e), <b, b), <e, b), <e, e)}

Por tanto, también se puede escribir <a, c) E E. ¿Qué relación tiene el conjunto E, de pares de personas, con el conjunto U, de personas? Obviamente, los pares de E se componen de personas, es decir, de elementos, de U. Sin embargo, se podrían formar pares con los elemen­tos de U que no pertenecen a E. Por ejemplo, a no está relacionada con e, ni e con a: los pares <a, e) y <e, a) no pertenecen a E. En otros términos, el conjunto E está incluido en el conjunto de todos los pares que se podrían formar con los elementos de U, conjunto que designa­mos por U x U. La relación E se puede escribir como subconjunto del conjunto construido a partir del conjunto U: E e U x U. Decimos que E es una relación R2 (binaria) en U2 (el conjunto U x U). Una relación ternaria es R3 en U3, y, en general, una relación n-aria es Rn en un.

El conjunto U x U es un caso especial de producto cartesiano. No es necesario que se trate del mismo conjunto. Por ejemplo, el producto cartesiano de los conjuntos A (elementos a, b, c) y e = {d, e} es:

A x e = {<a, d), <a, e), <b, d), <b, e), <c, d), <e, e)}

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Su representación gráfica es:

~ d e

a (a. d) (a. e)

b (b. d) (b. e)

e (e. d) (e. e)

Producto cartesiano

Como se trata de pares ordenados, A )( e no es igual a e )( A. Del mismo modo que U )( U, se obtiene e )( e:

e )( e = {(d, d), (d, e), (e, d), (e, e)}

Por último, podemos concebir la relación como correspondencia; por ejemplo, la relación G definida en el conjunto A )( e (no es necesa­rio especificar que se trata de inclusión propia):

G = {(a, d). (e, e)} S A )( e

Al elemento a de A le corresponde d, de e, yac que pertenece a A le corresponde e, de e; mediante diagramas de Venn:

Correspondencia

Se llama dominio de la relación el conjunto de todos los elementos del primer conjunto (aquí, el subconjunto {a, e} S A) que están relacio­nados con elementos del segundo; y el recorrido o codominio de la relación es el conjunto de todos los elementos del segundo (aquí, {d, e} S e) que están relacionados con alguno del primero.

El conjunto G es subconjunto propio de A )( e, ya que hay por lo menos un elemento de A )( e que no es miembro de G (de hecho hay cuatro). Pero no es necesario que se trate de inclusión propia: puede o no ser inclusión propia. Por ello, en general, la relación se define como subconjunto (sin especificar que sea propio) del correspondiente pro­ducto cartesiano. Para relaciones ternarias, en lugar de dos conjuntos tendremos tres: A )( B )( e; etc.

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1.7.2. Relación de equivalencia

La relación E ~ U )( U mencionada arriba cumple las tres propieda­des siguientes (como se comprueba observando qué pares la integran): Todo elemento está relacionado consigo mismo (propiedad reflexiva); si Wl elemento está relacionado con otro, éste también está relacionado con el primero (propiedad simétrica); por último, si un elemento está relacionado con otro, y éste con Wl tercero, el primero está relacionado con el tercero (propiedad transitiva). Las relaciones, como E, que cum­plen estas tres propiedades, reflexiva, transitiva y simétrica, se llaman relaciones de equivalencia. Cada subconjunto de elementos relaciona­dos entre si es una clase de equivalencia. Las clases de equivalencia son conjuntos disjuntos, es decir, su intersección es el conjunto vacio. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjWlto cociente de la relación de equivalencia. Un ejemplo de relación de equivalencia seria, en nuestro Wliverso de cinco personas, la relación de ser del mismo sexo; habria dos clases de equivalencia (las personas de WlO y las de otro sexo, respectivamente). Y se podria construir Wl lenguaje artificial cuya interpretación fuera esta relación de equivalencia (y sus oraciones fueran del tipo de «Juan es del mismo sexo que Pedro»).

1.7.3. Relacione. de orden, .Imétrlca e Inver ..

Otras propiedades caracterizan otros tipos de relación. Por ejem­plo, la propiedad antisimétrica consiste en que dos elementos no pue­den estar relacionados a la vez el primero con el segundo y el segundo con el primero a no ser que los dos elementos sean el mismo elemento. Una relaciÓn binaria con las propiedades reflexiva, antisimétrica y tran­sitiva se llama de orden. Un ejemplo de relación de orden en el Wliver­so de cinco personas seria la relación de no tener menor edad (tiene la propiedad reflexiva ya que cualquier persona no tiene menor edad que ella misma). Si la relación fuera la de tener mayor edad, no tendría la propiedad reflexiva; tendría las propiedades transitiva y asimétrica. La propiedad asimétrica consiste en que si Wl elemento está relaciona­do con otro, este segundo no está relacionado con el primero. Si Juan tiene mayor edad que Pedro, Pedro no tiene mayor edad que Pedro; la relación es asimétrica (es decir, tiene la propiedad asimétrica), y el conjWlto está estrictamente ordenado. Si la relación es antisimétrica y transitiva, se denomina de orden parcial.

Por último, Wla relación binaria es inversa de otra si relaciona los mismo pares que la segunda, pero dispuestos en orden inverso. Por ejemplo, en español «ser descendiente» es inversa de «ser antepasa­do»: si Juan es antepasado de Pedro, Pedro es descendiente de Pedro.

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1.8. Función

1.8.1. Definición

Un tipo especial y básico de relación, establecida entre elementos de distintos conjuntos, es la función. Una función es una relación binaria univoca: hace corresponder, asigna, a cada elemento del primer con­junto un solo elemento del segundo conjunto; además, todos los ele­mentos del primer conjunto están relacionados con alguno del segun­do. En el universo de cinco personas, la relación binaria constituida por los pares (e, a), (d, b) es una función, F, que asigna a cada elemento de e un elemento de A. La función F es un subconjunto del producto cartesiano e x A. Todos los elementos del primer conjunto tienen que estar relacionados para que se trate de una función, es decir, el domi­nio de la función tiene que ser idéntico al primer conjunto (en F, el dominio es el conjunto e = {e, d}). El recorrido de F no tiene que ser idéntico al segundo conjunto; es un subconjunto del segundo conjunto (en F, es el subconjunto {a, b}; hay un elemento de A, e, sin relacionar). Por ejemplo, la relación de tener una fecha como fecha de nacimiento entre el conjunto de las personas y el conjunto de las fechas es una función: cada persona tiene una determinada fecha como fecha de nacimiento (lo que no quiere decir que la sepa).

Se dice que una función proyecta el primer conjunto (su dominio) en el segundo conjunto; y se dice que lo proyecta sobre el segundo si todos los elementos de este segundo están relacionados con alguno del primero, es decir, si el recorrido es idéntico al segundo conjunto. En lugar de hablar de elementos concretos, nos podemos referir a cual­quier elemento del primer conjunto llamándolo x, y a cualquier ele­mento del recorrido llamándolo y. Los llamamos entonces variables; sus simbolos son letras, generalmente del final del alfabeto, que repre­sentan a cualquier elemento, ya que las variables pueden adoptar cual­quier valor. Las variables empleadas en el metalenguaje son meta­variables. Los elementos concretos se suelen representar por letras del principio del alfabeto; se llaman constantes, ya que su valor es fijo. (Si necesitamos más letras, podemos añadir subíndices para distinguir unas de otras.) Cada elemento x del primer conjunto (del dominio) se llama argumento de la función; y cada elemento del recorrido se llama valor de la función para ese argumento. Por ejemplo, si el argumento de la función F es d, su valor es b. Cuando queremos referirnos al conjunto de todas las funciones cuyo dominio es el conjunto x y cuyo recorrido es y, es decir, las funciones desde x a y, escribimos yx. La razón de la notación (McCawley, 1981, § 13.2) es que, por ejemplo, si el conjunto y tiene dos elementos, y x tiene tres, el número de funciones

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distintas desde x a y es 23 = 8; si el dominio tiene 14 elementos y el conjunto y tiene 3, el número de funciones es de 314; en general, el número de funciones es yx.

En lugar de (x, y) E F se suele escribir F(x) = y, que se lee la imagen de x por la función F es y, o una antiimagen de y por la función F es x, o, en la práctica, F de x es y. La relación G = {(a, d), (c, e)} S A )( C (representada gráficamente en la pág. 32) no es una función, porque no se cumple la condición de que el dominio de G sea idéntico al primer conjunto, A: hay un elemento, b, del primer conjunto, A, que no está relacionado mediante G con algún elemento de C.

1.8.2. Cla.e. de funcIón

La relación F, si es una función:

runción suprayectiva

Escribimos entonces F1

: A -+ C, y decimos que F1 proyecta el con­junto A en el conjunto C. En este caso, es exhaustiva o suprayectiva, es decir, su recorrido o codominio es el conjunto C: proyecta A sobre C. Un ejemplo de función suprayectiva es la relación de ser padre establecida entre los padres y los hijos: todos los hijos tienen un padre (en nuestro universo de ejemplos, claro está). Otro tipo de fun­ción es la inyectiva, como F2 , en que cada imagen tiene una única anti­imagen:

(JOa e b A

e e

Función inyectiva

Un ejemplo de función inyectiva es la relación de ser jefe de estado, establecida entre los jefes de estado y los estados (considerando que puede haber algún estado sin jefe de estado, pero no hay jefe de estado sin estado (seria un ex-jefe de estado), y no hay dos jefes para

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un mismo estado). En tercer lugar, una función inyectiva y suprayecti­va, como ¡;, es biyeetiva o biunivoea: a cada elemento de C le asigna uno y sólo uno de H, y todo elemento de H tiene antiimagen:

~ ~ Función biunívoca

Como ejemplo de función biunívoca, valdría la relación entre las matrículas y los coches matriculados en un país: cada coche tiene su matrícula, y cada matrícula, su coche (suponiendo que no haya matrícu­las falsas, claro está, ni coches circulando sin matricular).

Por último, una función earaeteristiea asigna a cada elemento del dominio un elemento de un recorrido formado por dos y sólo dos elementos. Por ejemplo, sea el conjunto A )( C (siendo A = {a, b, e} y C = {d, e}) el dominio de la función F4 , y su recorrido el conjunto V compuesto por los números O y 1; la función característica F'.a asigna a cada argumento el valor O o el valor 1, según la siguiente tabla:

A)(e

V

(a, d) (e, e)

1 (a, e)

O

(e, d)

O

Función característica

(b,d)

O (b, e)

O

Otra manera de representar los valores de la función F4 es: F4(a, d) 1; F'.a(e, d) = O; etc. Las funciones características se escriben con

frecuencia mediante la letra griega J.I. [my]: J.l.A-B(a, d) = 1. En este ejemplo, en términos intuitivos, F;¡ caracteriza los pares

establecidos por la relación G en A )( C: G = {(a, d), (e, e)} ~ A )( C. A los pares de A )( C que pertenecen a G les asigna el valor 1; a los pares de A )( C que no pertenecen a G les asigna el valor O. Si la gramática describiera todas las oraciones de la lengua, sería una fun­ción característica: para cada expresión, determinaría si es o no ora­ción de la lengua; asignaría dos valores a las secuencias de palabras, ser oración y no ser oración de la lengua.

Aunque hayamos definido la función como la relación que toma un argumento y le asigna un valor, es posible pensar en funciones que tomen dos o más argumentos (es decir, funciones de dos o mas luga­res). Se suele aplicar el término de operación a las funciones de dos o más lugares. Un ejemplo aritmético es la función +; la expresión x + y denota un único número, dados x e y. Podemos escribir +(x, y). Siem-

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pre podernos considerar (Cresswell, 1973, 244) una función de dos lugares corno función de un solo lugar (de un solo argumento) por el procedimiento de reunir los dos argumentos en un par que constituya entonces un solo argumento, corno +(x, y») (y, en general, podernos reducir n argumentos a uno solo, compuesto por un n-tuplo).

EJERCICIOS

l. Represente gráficamente, mediante diagramas de Venn, las operaciones de unión entre A y B Y de intersección entre B y C, siendo A = {a, b, e}, B = {a, b, e, d} y C = {d, e}.

2. Compruebe que se cumplen las propiedades de la unión y de la inter­sección (§ 1.5.1) en el universo descrito en § 1.5.3, es decir, siendo A = {a, b, e}; B = {a, b, e, d}; C = {d, e}.

3. Escriba oraciones de LAa cuyas interpretaciones sean extensionalmente equivalentes en virtud de cada una de las propiedades de la unión y de la intersección (§ 1.5.1). (Ejemplo: «Carmen es mujer y mujer» y «Carmen es mujer», en virtud de la idempotencia.)

4. Halle las diferencias siguientes en el universo U descrito en § 1.5.3, es decir, siendo A = {a, b, e}; B = {a, b, e, d}; C = {d, e}: A - B; C - B; B - A; B - C; U - B; U - A; U - C; U - (A u B).

5. Dibuje mediante diagramas de Venn el universo U descrito en § 1.5.3, es decir, A = {a, b, e}; B = {a, b, e, d}; C = {d, e}; emplee en lugar de las letras minúsculas y mayúsculas los nombres y atributos de LA •.

6. Compruebe las propiedades formuladas en § 1.6.2 en el universo descrito en § 1.5.3, es decir, siendo A = {a, b, e}; B = {a, b, e, d}; C = {d, e}.

7. Construya la interpretación de las siguientes oraciones de LAJ: a) Rosario no es psiquiatra. b) Pedro no es mujer y psiquiatra. e) Juan no es mujer. d) Carmen no es hombre y (hombre y psiquiatra). e) Ana es mujer o hombre. f) Carmen es hombre o (hombre y psiquiatra).

8. Indique cuáles de las oraciones del ejercicio anterior son verdaderas y cuáles falsas en el universo U descrito en § 1.5.3 (A = {a, b, e}; B = {a, b, e, d}; C = {d, e}).

9. Construya el lenguaje artificial mencionado en § 1.7.2 definiendo sincate­goremáticamente la sintaxis y semántica de «es del mismo sexo que» (considerada como unidad indivisible), y de modo que establezca una rela­ción de equivalencia en el universo descrito en § 1.5.3, es decir, siendo A = {a, b, e}; B = {a, b, e, d}; C = {d, e}. (Suponga que los elementos del conjunto A son de un sexo y los del conjunto C son del otro.)

10. Construya los correspondientes lenguajes artificiales en que las expresio­nes «no tiene menor edad que», «tiene mayor edad que» constituyan relaciones de orden y asimétrica, respectivamente, en el universo descri­to en § 1.5.3 (A = {a, b, e}; B = {a, b, e, d}; C = {d, e}).

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11. Construya un lenguaje artificial que conste de las expresiones «es descen­diente de» y «es antepasado de», de modo que constituyan en el universo descrito en § 1.5.3 dos relaciones, una inversa de la otra.

12. Escriba las funciones características que definen la pertenencia a cada clase de equivalencia del ejercicio 9.

13. Formule una asignación de verdad en LAa tal que mujer y psiquiatra sean antónimos complementarios.

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~o Razonamiento y verdad:

lógica proposicional

2.1. Validez de los razonamientos

Los lenguajes artificiales del capitulo anterior están definidos de manera que son un primer paso hacia un lenguaje que no sea ambiguo, cuyo significado se entienda siempre según reglas explicitas. Pero la univocidad y la explicitud no son fines en si mismos; sirven para conse­guir que el razonamiento que se lleve a cabo en este tipo de lenguajes se rija también por reglas explicitas. De esta forma se podrá garantizar la validez del razonamiento que se lleve a cabo en ellos.

Vamos a seguir ahora el procedimiento inverso al del capitulo ante­rior. En lugar de construir el lenguaje artificial de modo que se vaya acercando al español, vamos a partir del español mismo. ¿En qué consiste un razonamiento válido? Hay que combinar datos, que sirven de premisas, para llegar a un dato nuevo, la conclusión:

(Dado que:) Si hace sol, iremos a la playa. Hace sol.

(podemos concluir que:) Iremos a la playa.

Veamos otro ejemplo:

Si son las doce, Juan está durmiendo. Son las doce. Juan está durmiendo.

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Es el mismo tipo de razonamiento: Se dice que si se cumple una condición, se produce un hecho; se dice que se cumple la condición; y se concluye que se produce el hecho. Lo interesante es que siempre se puede extraer este tipo de conclusión a partir de este tipo de premisas. Basta que sean verdaderas las premisas para que lo sea la conclusión. De aquí la importancia que se da al carácter de verdadero o de falso de cada afirmación. Lo que se quiere saber es si la conclusión es verdade­ra, a partir de premisas que sean verdaderas. Por ello no hace falta tener en cuenta qué se dice en la conclusión y en las premisas, sino sólo si son verdaderas o falsas. Lo que importa es el tipo de razonamiento, lo que se llama la forma lógica del razonamiento. En este caso, el esquema del razonamiento es (siendo A y B afirmaciones cualesquiera, como «Son las doce», «llueve», etc.):

Si A, B

A. B.

Es un esquema de razonamiento lógicamente válido: independiente­mente de qué afirmaciones sean las que componen las premisas, la conclusión siempre será verdadera. Su verdad es una verdad lógica.

En los dos ejemplos que hemos visto intervienen afirmaciones que no coinciden exactamente con la división en oraciones. Por ejemplo, la oración «Si son las doce, Juan está durmiendo» contiene las afirmacio­nes que luego aparecen como oraciones independientes. Necesitamos por tanto detallar la naturaleza de las afirmaciones que intervienen en los razonamientos.

2.2. Proposición y valor de verdad

2.2.1. Oración, enunciado y proposición

Antes de seguir, conviene recordar que una misma oración se pue­de pronunciar en ocasiones diferentes, dando lugar a enunciados dis­tintos. El término enunciado se usa en dos sentidos: como segmento de habla delimitado por pausas (corresponde al inglés «utterance» como lo define Harris, 1951. 14; así aparece en el diccionario de Dubois el al., 1973), y como lo que se afirma mediante el uso de una oración en una determinada ocasión (corresponde al inglés «statemenÍ» empleado en lógica; así lo define el diccionario de Abraham, 1974). El uso de una oración da lugar a diferentes enunciados, en los dos sentidos de la

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palabra, pero el que interesa aquí es el segundo: en ocasiones diferen­tes, una oración da lugar a declaraciones diferentes acerca de la reali­dad (lo que Bach y Hamish, 1979, § 8.3.1. llaman «DEO», declaración hecha al enunciar una oración). Todavía más, es posible distinguir entre el acto de enunciación y el enunciado correspondiente (Lyons, 1977, § 1.5; Acero, Bustos y Quesada, 1982, § 2.3 Y 8.1 emplean «profe­rencia» para referirse al acto verbal).

En lingüistica es útil emplear el concepto de texto: una oración, por ejemplo, «Yo tengo razón», constituye un texto (o una parte de un texto) al unirse a la información acerca de sus circunstancias de enunciación (por ejemplo, quién la pronuncia, quién es ese «yo»), que pueden ser comunes a otras oraciones, anteriores o posteriores; también, por con­siguiente, si el texto está constituido por oraciones anteriores, inter­viene la información acerca de qué se ha dicho antes: en «Hablé con él unos minutos», hace falta disponer de la oración anterior, para saber quién es «él» (o estar presente una tercera persona, de la que se habla). Se hace entonces necesario distinguir entre el enunciado (me­jor, entre el texto o la parte del texto) y la oración que interviene en la constitución de ese enunciado (mejor, de ese texto o de esa parte del texto).

En realidad, entonces, una oración es una unidad gramatical (enun­ciativa, interrogativa o imperativa) que resulta de eliminar de un texto o de una parte de texto la información que podemos llamar contextual; ejemplo de ella es la información deíctica, o centrada en el hablante (<<egocéntrica» la llama Russell, 1940, capítulo 7), como es la de los pronombres personales, los demostrativos, o el tiempo de los verbos. Una oración, en este sentido, es un producto de la abstracción, un objeto abstracto. Salvo en los ejemplos aislados empleados en los libros (como éste), las oraciones aparecen usadas en textos, es decir, provis­tas de la correspondiente información contextua!.

Para describir la forma de los razonamientos, interesan las afirma­ciones como las de los anteriores ejemplos de razonamiento. Son des­cripciones de hechos de la realidad. Estas afirmaciones se pueden expresar enunciando oraciones simples declarativas. Por eso se define la unidad del razonamiento, la proposición, como el significado de una oración simple declarativa, empleada para afirmar algo acerca de la realidad, algo que es susceptible de ser verdadero o falso.

2.2.2. Oraclone. declarativa. y no declarativa.

Se pueden hacer dos precisiones. La primera es que no todas las oraciones simples declarativas se usan para hacer una declaración

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acerca de la realidad (es decir, con la función representativa definida por Bühler, 1934). Por ejemplo, «Esta sopa no tiene sal», a pesar de su forma gramatical de oración declarativa, puede servir para hacer una petición (es decir, puede tener función apelativa; puede emplearse en lo que Searle, 1975, llama un acto lingüístico indirecto). Para analizar el razonamiento nos limitamos a las oraciones declarativas con función comunicativa declarativa.

La segunda precisión es que, para algunos lógicos, no es necesario distinguir entre oración simple declarativa y proposición. La unidad del razonamiento seria entonces simplemente la oración simple decla­rativa. Lo que importa es que la unidad en cuestión describa un deter­minado hecho o afirme que ocurre un hecho (o que no ocurre). Lo que interesa es que pueda ser verdadera o falsa, es decir, que corresponda o no a un hecho de la realidad. Para ello tiene que ser una afirmación (o aseveración) acerca de un hecho de la realidad. Esa afirmación, lláme­se proposición, enunciado u oración, es lo que puede ser verdadero o falso, y por tanto es lo que interesa. Cuando no haya lugar a duda, podremos prescindir de la diferencia entre la proposición y la oración que la expresa, y mencionaremos una proposición simplemente men­cionando la oración que sirva para expresarla.

Si empleamos la distinción entre oración y proposición, podemos comprobar que la relación entre oraciones y proposiciones no es biUlÚ­voca: una oración puede expresar varias proposiciones (según la inter­pretación, por ejemplo, que le demos a la información deíctica), y una proposición puede expresarse mediante oraciones diferentes (con ex­presiones deícticas diferentes, pero cuya interpretación coincida): «Yo tengo razón» dicha por Juan a Pedro expresa la misma proposición que «Tú tienes razón» dicha por Pedro a Juan. y «Yo tengo razón» dicha por Juan expresa una proposición distinta que dicha por Pedro. (En esta capacidad de usar una misma oración para expresar proposiciones diferentes radica el rendimiento comunicativo del lenguaje, lo que Barwise y Perry (1983, 5 Y 32-39) llaman la eficacia del lenguaje huma­no.)

Hay además un recurso para relacionar las oraciones interrogativas e imperativas con las proposiciones de las declarativas correspondien­tes (<<¿Tengo yo razón?», y la proposición expresada usando «Yo tengo razón»). Se trata de la hipótesis realizativa (o performativa, del inglés «performative», del verbo «perform», «realizar, llevar a cabo»), según la cual la oración interrogativa es una declarativa con el verbo realizati­vo implícito «preguntar», y la imperativa con «ordenan> (Ross, 1970); o, en otros términos (Grishman, 1986, 90), si el significado de la oración declarativa son sus condiciones de verdad (como veremos a continua­ción), el de la interrogativa es la petición de información acerca de las

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condiciones de verdad de la correspondiente declarativa, y el de la imperativa la orden de hacer verdaderas las condiciones de verdad de la correspondiente declarativa. Tradicionalmente se distingue en gra­mática entre «actitud del hablante», subjetiva (<<modus»), correspon­diente a la diferencia entre declarativa, interrogativa, etc., y «contenido objetivo» (<<dictum»), que puede ser común a oraciones de distinto «modus» (Gili Gaya, 1961. § 32). Es este «contenido objetivo», que pue­de ser verdadero o falso, el que interesa para el razonamiento y que recibe aquí el nombre de proposición.

2.2.3. Valor de verdad y mundo posible

En realidad, lo que interesa para analizar la validez del razonamien­to no es la proposición en sí, sino el hecho de que sea o no verdadera. Con ello basta para estudiar su contribución en un razonamiento a la validez del resultado final, es decir, a la garantía de que la proposición resultante sea verdadera. Es verdadera si lo que describe corresponde a la realidad del universo del discurso; desde el punto de vista del lenguaje, una proposición es verdadera si en la realidad se cumplen ciertas condiciones (esta concepción de la verdad se llama teoría de la correspondencia). Por ejemplo, para que sea verdadera la preposición «La nieve es blanca», se tiene que cumplir en la realidad la condición de que la nieve tenga la propiedad de ser blanca. Además de la realidad existente, se puede describir otras situaciones, otras posibili­dades, por ejemplo, una realidad en que sea verdadero afirmar que la nieve es naranja. Estas otras situaciones o posibilidades se llaman mun­dos posibles; consideramos el mundo actual, el de la realidad existente, como una más de esas posibilidades. Hay una diferencia entre el con­cepto intuitivo de mundo posible como realidad imaginada y el concep­to lógico de mundo posible (Martin, 1987, § 1.2.1): en los mundos de ficción puede haber contradicciones, pero en los mundos posibles de la lógica no las hay. Así pues, una proposición es verdadera o es falsa con respecto a un mundo posible determinado; puede ser verdadera en un mundo y falsa en otro. Cada proposición será verdadera en un conjunto de mundos posibles, que se llama conjunto verdad de la proposición.

Decimos que una proposición es una verdad lógica si es verdadera en todos los mundos posibles, en virtud de su forma. Otro tipo de verdad es la verdad analftica: una proposición es analítica si es verda­dera en todos los mundos posibles, sea en virtud de su forma, sea en virtud de las relaciones semánticas existentes entre sus componentes. Es anal1ticamente verdadera «No se cumple que hoy sea lunes y que

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hoy no sea lunes» (y es analiticamente falsa la correspondiente afirmati­va), en virtud de su forma; y «Los gatos son felinos» es analiticamente verdadera en virtud de la relación de hiponimia existente entre «gato» y «felino». La verdad lógica es un tipo de verdad analítica, pero tam­bién se puede distinguir (Stegmül1er, 1975, § 2.3.1) en sentido estricto entre verdad lógico-formal (en virtud de su forma) y verdad analítica. Es sintética la proposición que no sea analitica, es decir, aquella cuya verdad depende de algún aspecto de la realidad, o, lo que es lo mismo, que sea verdadera en unos mundos posibles y falsa en otros: «Cervan­tes murió en 1616».

Las condiciones que garantizan la verdad de una proposición son sus condiciones de verdad. En los lenguajes artificiales, es posible definir las condiciones de verdad de cada fórmula (o proposición) mediante reglas, del mismo modo que, en los ejemplos anteriores, el carácter verdadero del razonamiento estará garantizado por una regla que especifique que su forma coincide con una forma de razonamiento válido. En general, si en un lenguaje se pueden definir mediante reglas las condiciones que se tienen que cumplir para todas y cada una de las fórmulas, estará definida la verdad. Esta definición lógica de la verdad, propuesta por Tarski (1935 y 1944) se ha aplicado a la lengua, para definir el significado de las oraciones, de forma que «dar condiciones de verdad es una manera de dar el significado de una oración» (David­son, 1967,310); se habla entonces de una semántica veritativa o veritati­vo-condicional (cf. Kempson, 1977, § 3.1 Y Lutzeier, 1985, § 5.3).

Muchas veces es difícil decidir si una oración (es decir, la proposi­ción que expresa) es verdadera o falsa; a veces es incluso imposible. Eso no quiere decir que esa proposición no sea o verdadera o falsa: Cualquier proposición, por el hecho de serlo, es o verdadera o falsa. Así, «El primer día del año mil llovió en Roma» será verdadera o será falsa, aunque no podamos determinarlo a primera vista, o aunque no lo sepamos (Wittgenstein, 1921. § 4.024). Como toda proposición es verda­dera o falsa, podemos considerar la verdad y falsedad como una fun­ción característica, que asigna a cada proposición un valor, verdadero o falso. Estos valores de verdad se suelen escribir como 1 y O, o como V y F. (Además de sistemas lógicos bivalentes, con dos valores de verdad, hay sistemas polivalentes, con más de dos valores de verdad, como veremos en el capítulo 5.)

Las proposiciones mínimas (simples o atómicas) se combinan en los razonamientos dando lugar a proposiciones complejas; por ejemplo, con las proposiciones (correspondientes a las oraciones) «Son las do­ce» y «Juan está durmiendo» se forma la proposición compleja «Si son las doce, Juan está durmiendo». La verdad o falsedad de las proposi­ciones complejas depende de que las simples que las componen sean o

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no verdaderas, y de la forma en que estén combinadas. Este es el objeto de estudio de la lógica proposicional (o lógica de enunciados). (Cuando sea necesario analizar la estructura interna de las proposicio­nes atómicas, habrá que recurrir a la lógica de predicados.)

2.3. Conectivas lógicas

2.3.1. Tabla. de verdad y funcione. verllatlva.

Cuando formarnos una oración enunciativa compuesta a base de dos simples unidas por «y», la correspondiente proposición compleja está formada por dos simples: «Pedro bebió un café y Maria comió un bocadillo». ¿Qué condiciones se tienen que cumplir para que la propo­sición compleja sea verdadera? Como comprobamos en el ejemplo, las dos proposiciones componentes tienen que ser verdaderas: basta que una de ellas sea falsa (que Pedro no haya bebido un café, por ejemplo) para que sea falsa la proposición que componen. Si las dos son falsas, también es falsa la proposición resultante, pero no es más falsa que cuando sólo es falsa una de las dos componentes: sólo emplearnos aquí dos valores de verdad. Estas condiciones de verdad de la proposición se dan siempre que usamos «y» como en el ejemplo anterior. Para diferenciar este uso de «y» de otros (en que no tiene el mismo efecto sobre el valor de verdad del resultado), sustituimos «y» por el símbolo & (también se usa como símbolo una «v» invertida, ", o un punto). Se trata de una conectiva lógica. Para representar en un cuadro las cuatro condiciones de verdad de &, empleamos los símbolos p y q en lugar de usar dos proposiciones concretas; con ellos damos idea de que se cumplen las condiciones para cualquier par de proposiciones simples que aparezcan unidas por &. Este cuadro es la tabla de verdad de & (en que 1 es «verdadero» y O es «falso»):

p

1 1 O O

q

1 O 1 O

p&q

1 O O O

Aquí, p y q son variables proposicionales. Nos sirven para repre­sentar la forma (lógica) de una proposición: si es simple, se representa mediante una sola letra, p, por ejemplo; si es compleja, se representan las proposiciones componentes mediante las letras minúsculas del alfa­beto a partir de p, o la misma letra con distintos subíndices (PI' P2' etc.).

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La proposición expresada por «Pedro bebió un café y María comió un bocadillo» se representa como p & q. Los valores de verdad de las propiedades simples que intervienen en p & q no son fijos: la tabla de verdad comprende todas las posibilidades. El efecto que tiene & en los valores de verdad si es fijo (tal como aparece en su tabla de verdad); por eso a las conectivas lógicas como & se las llama constantes lógicas.

Lo que interesa de este uso de «y» a efectos del razonamiento es que da lugar a oraciones compuestas verdaderas cuando se aplica a dos oraciones simples verdaderas, y a falsas en los demás casos. Este uso de «y», es decir, &, da lugar a un valor de verdad a partir de parejas de valores de verdad. Es una función entre dos conjuntos: el primero, constituido por los cuatro pares -ordenados- de valores de verdad; el segundo, por los dos valores de verdad:

En efecto, la función representada por el símbolo & es una función veritativa (o función de verdad): proyecta el conjunto de los pares de valores de verdad sobre el conjunto de los valores de verdad. Por ello se dice que & es un funtor. Otra manera de representar la función es:

f(l, 1) = 1

f(l, O) = ° feO, 1) = ° feO, O) = °

La función recibe el nombre de conjunción (que no se debe confun­dir con la categoría gramatical de la conjunción), de modo que & es el funtor conjuntivo.

También se puede considerar la conjunción como una operación (y al funtor conjuntivo como operador conjuntivo): la conjunción da como resultado una proposición (compleja) a partir de dos (simples o com­plejas). La conjunción, como tal operación, tiene las propiedades aso­ciativa y conmutativa: p & (q & r) es equivalente a (p & q) & r, y p & q a q & P (como se puede comprobar escribiendo las correspondientes tablas de verdad).

La conjunción no es la única conectiva lógica, ni tampoco tiene siempre la conjunción del español «y» el mismo efecto de funtor con­juntivo.

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2.3.2. Principales conectivas

Hay otras expresiones lingilisticas, además de las conjunciones, que tienen carácter veritativo-funcional, es decir, que permiten predecir el valor de verdad de las oraciones a que dan lugar a partir del de las oraciones con que se construyen. Pero la definición de las conectivas mediante los valores de verdad da lugar a ciertas dificultades en el análisis de la lengua. Dos expresiones lingilisticas diferentes pueden corresponder a una sola constante lógica: por ejemplo, «no sólo ... sino que además ... » tiene la misma tabla de verdad que «y» (como se puede comprobar aplicándola a las mismas oraciones de antes): «No sólo Pedro bebió un café sino que además María comió un bocadillo». Con ello se pierden matices (<<pero», «y», «no sólo ... sino que además» tienen la misma tabla de verdad, y sin embargo, las relaciones que expresan no son idénticas). Otro problema es la ambigüedad: «y» pue­de ser consecutivo, temporal o condicional (es decir, diferente del «y» correspondiente al funtor conjuntivo): «Vienes, y te doy el libro» (la relación expresada no tiene la propiedad conmutativa). Las conectivas lógicas se definen mediante tablas de verdad, y por ello su definición no asegura que correspondan exactamente a las expresiones lingüísti­cas.

Veamos algunas funciones veritativas a que dan lugar las expresio­nes lingüísticas, además de la conjunción, definida antes: la negación (<<no») oracional: «Pedro no bebió un café»; símbolo: ....." también: -; también: -,); la disyunción incluyente (el uso de «o» en «Puedes leer un periódico o puedes hojear una revista»; símbolo v ---en latín la conjun­ción «ve!» tiene este significado de disyunción incluyente) la disyunción excluyente (<<El tren o pasa por Mérida o pasa por Sevilla»; símbolo: Y/; también \2), y V (mayúscula, frente a la minúscula de la incluyente). Sus correspondientes tablas de verdad son:

p -p p q pv q p q pVq

1 O 1 1 1 1 1 O O 1 1 O 1 1 O 1

O 1 1 O 1 1 O O O O O O

La negación es una función veritativa monádica o unaria (se aplica a un solo argumento), mientras que la conjunción y disyunción son diádi­cas o binarias (se aplican a dos argumentos). La negación cambia el valor de verdad de la proposición a que se aplica; por eso se puede expresar por ejemplo mediante «No se cumple que», que se aplica a la correspondiente oración: «Llueve», «No se cumple que llueve» (sin que

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tengamos ahora en cuenta el cambio a modo subjuntivo: «No se cumple que llueva»).

Las proposiciones complejas pueden componerse de otras a su vez complejas: «Puedes leer un periódico o puedes hojear una revista, pero no puedes leer un periódico y hojear una revista». Podemos representar su estructura mediante paréntesis (p v q) & ....., (p & q) o mediante diagramas en árbol:

conjunción

Para calcular las condiciones de verdad de una proposición comple­ja hay que escribir las tablas de verdad correspondientes. Por ejemplo, la tabla de verdad de (p v q) & ....., (p & q) es:

p

1 1 O O

q

1 O 1 O

pvq

1 O

p&q

1 O O O

- (p & q) (p v q) & - (p & q)

O O 1 1 1 1 1 O

Este tipo de proposición compleja tiene la misma tabla de verdad que la disyunción excluyente: mediante la incluyente y la conjunción, se puede definir la disyunción excluyente. De los dos tipos de disyun­ción, se suele emplear sólo la incluyente, y se la llama simplemente disyunción.

En lugar de ir copiando las partes componentes hasta llegar a los valores de verdad del total, se puede ir añadiendo los correspondien­tes valores de verdad debajo de la proposición. Por ejemplo, para calcular las condiciones de verdad de ....., (p & q) primero se escriben los valores de verdad de las proposiciones atómicas:

p q -(p & q)

1 1 1 O O 1 O O

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A continuación se va añadiendo. debajo de cada conectiva. el valor de verdad del resultado correspondiente. según la tabla de verdad de la conectiva:

p q -(p & q)

1 1 1 1 1 O 1 O O 1 O 1 O O O O

P q -(p & q)

1 1 1 1 1 1 O 100 O 1 O O 1 O O O O O

P q -(p & q)

1 1 O 1 1 1 1 O 1 100 O 1 1 O O 1 O O 1 000

Otra fórmula interesante es ,.., p v q. que corresponde a «O no tiene razón o le deben dinero (o las dos cosas)>>; su tabla de verdad es:

p

1 1 O O

-p q

O 1 O O 1 1 1 O

-p v q

1 O 1 1

Su significado se acerca mucho al de «Si tiene razón. le deben dinero» (ejemplos adaptados de Allwood et aJ .• 1977. § 4.2.4). La única diferencia consiste en que la condición (de tener razón) se suele enten­der como condición necesaria. es decir: sólo si tiene razón se cumple la consecuencia; si está equivocado no le deben dinero. Pero aqui la condición se toma como suficiente (cf. Deaño. 1973.63): basta que tenga razón para que le deban dinero. pero también puede no tener razón y no deberle nadie dinero (de ahí el «o las dos cosas» de la primera oración). Además. puede ocurrir que. no teniendo razón. si le deban

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dinero (si no, la condición sería necesaria). Por último, la cuarta posibi­lidad es que, teniendo razón, no le deban dinero: la oración (la propo­sición compleja) es entonces falsa. Representamos esta interpretación de la relación condicional mediante el símbolo - (también :::», y la llamamos condicional o implicación (material); su tabla de verdad es:

p q p--+q

1 1 1 1 O O O 1 1 O O 1

La consecuencia de que se defina así el condicional es que, a dife­rencia de la oración condicional en lenguaje natural, la proposición condicional es verdadera siendo la condición falsa (proposiciones con­trafácticas): «Si la envidia fuera tiña, muchos tiñosos habría» es verda­dera, pero también lo es «Si la envidia fuera tiña, muchos tiñosos no habría».

Es costumbre entre los lógicos separar la expresión correspondien­te al antecedente de la correspondiente al consecuente mediante la palabra «entonces»; la fórmula p - q se lee «si p, entonces q».

Por último, la combinación de condicional y conjunción (p - q) & (q - p) se abrevia como p +-+ q (también p == q), llamada bicondicional o equivalencia. Su tabla de verdad es:

p

1 O O

q

1 O 1 O

1 O O 1

La expresión p +-+ q se puede leer de varias maneras: «p es lógica­mente equivalente a q»; también «q si y sólo si, p»; «si y sólo si» se suele abreviar como «ssi» (también como «sii»). Según esta función veritativa, dos proposiciones equivalentes simplemente tienen los mis­mos valores de verdad: «Llueve sólo si cae agua del cielo»; «Siempre que llueve cae agua del cielo». La condición es aquí necesaria.

2.3.3. Otras conectivas

Como definimos las funciones veritativas mediante tablas de ver­dad, hay más posibilidades de conectivas que las anteriores. (Otra cosa

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es que no encontremos expresiones lingüisticas correspondientes a todas las conectivas posibles y, por tanto, que no sean útiles para el análisis lógico del lenguaje.) Además de la negación, que invierte los valores de verdad de la proposición a que se aplica, habrá otras tres funciones veritativas monádicas: una que mantenga los valores de ver­dad, otra que convierta los dos en verdaderos y otra que los convierta en falsos. En cuanto a las conectivas diádicas, hay dieciséis posibilida­des, es decir, dieciséis funciones.

Como hemos visto, cada tabla es una secuencia de cuatro valores de verdad; a base de dos valores distintos, se pueden formar dieciséis combinaciones: 2 multiplicado por sí mismo cuatro veces, es decir, 24, 2 elevado a 4. (Para conectivas triádicas, cada tabla es una secuencia de ocho valores; a base de dos valores distintos, se pueden formar 256 combinaciones distintas, es decir, 28 , 2 elevado a 8.) En otros términos, con dos argumentos posibles (dos proposiciones, una verdadera y otra falsa), y dos valores posibles (verdadero y falso), hay 22 = 4 funciones distintas; con cuatro argumentos posibles (cuatro pares ordenados de proposiciones, las dos verdaderas, las dos falsas, primera verdadera y segunda falsa, primera falsa y segunda verdadera), y dos valores, hay 24 = 16; con ocho argumentos posibles (trias ordenados) y dos valores, hay 28 = 256; en general, si x es el conjunto dominio e y es el conjunto recorrido, hay re funciones distintas desde x a y (véase § 1.8.1).

Las conectivas diádicas se pueden definir sincategoremáticamente (contextualmente, como en el capitulo anterior) a partir de la negación y de la conjunción, la disyunción o el condicional. Ya hemos visto como el condicional tiene la misma tabla de verdad que una combinación de la negación y la disyunción (-p v q); podemos emplear las propias conecti vas, es decir, el bicondicional, para indicar esta equivalencia. Ahora, en lugar de aparecer unas determinadas variables proposicio­nales, podrá aparecer cualquier variable proposicional; emplearemos variables de variables, es decir, meta variables (para distinguirlas de las meras variables, usaremos letras griegas IX, «alfa», p, «beta», etc.). Empleando la negación y la disyunción, la conjunción y el condicional son:

(IX & P) =df -(-IX v -{3) (IX -+ {3) =df (-IX V {3)

A su vez, el bicondicional se define como la conjunción de dos condicionales (y éstas, también a partir de la negación y la disyunción):

(IX +-+ {3) =df (IX -+ {3) & ({3 -+ IX)

(IX +-+ {3) =df -[-(-IX v {3) V -(-{3 V IX)]

SI

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El empleo de corchetes (además de paréntesis) sólo tiene la finali­dad de facilitar la lectura. Cuando se escriben fórmulas largas em­pleando las cinco conectivas, se puede simplificar paréntesis si se establece una jerarquía entre las conectivas:

nivel 1 nive12 &, v nivel 3 ~,+-+

Para las conectivas de los niveles superiores se supone el parénte­sis cuando están entre fórmulas con conectivas de los niveles inferiores. Por ejemplo (Cuena, 1985; § 1.3),

[(p & q) v r] ~ (r & s) se escribe (p & q) v r ~ r & s

También se pueden emplear la negación y disyunción o la negación y el condicional para definir las demás; incluso se pueden definir a partir de una sola conectiva (cf. Deaño, 1973, «La reducción de funto­res», págs. 89-97), sea la negación alternativa o función barra de Sheffer (por ser Henry S. Sheffer en 1913 su inventor; cf. J. Martin, 1987, § 5.1.1), que se lee «no ambas», definida por una tabla de verdad que es la negación de la conjunción:

P

1 1 O O

q

1 O 1 O

plq

O 1 1 1

o la negación conjunta o función flecha (símbolo: !), que es la negación de la disyunción. Por ejemplo, la negación y la conjunción se pueden definir mediante la función barra:

~IX =df (IX I IX)

IX & {3 = df [(IX I {3) I (IX I {3)]

2.4. Cálculo proposicional

2.4.1. Sintaxis

A partir de proposiciones y funtores podemos definir un conjunto muy amplio de lenguajes, los lenguajes proposicionales (cf. Cresswell,

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1973, capítulo 1). Uno de ellos es el cálculo proposicional. Permite construir los esquema válidos de razonamiento, según ciertas reglas de formación que lo definen. Como los lenguajes artificiales definidos en el primer capítulo, el cálculo proposicional está constituido por un vocabulario y unas reglas de formación, es decir, por una sintaxis, que establece qué expresiones son fórmulas bien formadas, es decir, qué expresiones pertenecen al cálculo (por estar formadas de acuerdo con sus reglas):

• Vocabulario:

Categoría Miembros de la categoría

Variables proposicionales p, q, r, s, ... , Pl' P2 ' ... ,

Funtores ,-...,,¡.&. V,--',+-+

Signos de puntuación ( ), [ ] .

• Reglas de formación:

Si IX es una variable proposicional, IX es una fórmula. Si IX Y P son fórmulas, entonces -oc, IX & p, oc v p, IX -+ p, IX +-+ P son

fórmulas. Cabe añadir que no hay otras unidades en el vocabulario, y también

que sólo las expresiones formadas de acuerdo con las reglas son fór­mulas del cálculo, es decir, expresiones bien formadas. Los signos de puntuación no son en realidad categorías del lenguaje proposicional, sino signos metalingüisticos que indican el alcance de las conectivas, el orden en que se aplican (cf. Cresswell, 1973: 78): la proposición P -+ (q -+ r) es distinta que (p -+ q) -+ r. Con la notación polaca se hace innecesario el uso de paréntesis: -+ P -+ qr frente a -+ -+ pqr (cada conectiva precede a las variables proposicionales que conecta). Los funtores (o conectivas) también se pueden definir sincategoremática­mente. La segunda regla de formación en realidad no es una sino cinco, una para cada conectiva. La definición de las expresiones bien forma­das del cálculo es recursiva (se lleva a cabo mediante reglas recursi­vas), como en los lenguajes artificiales del primer capítulo.

2.4.2. Semántica verltatlva

En cuanto a la semántica, en una interpretación veritativo-condicio­nal (o simplemente veritativa) las conectivas lógicas son funciones de

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verdad, que asignan valores de verdad a las proposiciones complejas a partir de los valores veritativos de las proposiciones simples. Las re­glas semánticas correspondientes a las tablas de verdad de las conecti­vas proporcionan una definición recursiva de la verdad:

1. -a es verdadera ssi a es falsa. 2. a & p es verdadera ssi tanto a como p son verdaderas. 3. a v f3 es verdadera ssi por lo menos una de las dos, a o p, es

verdadera. 4. a -+ p es verdadera ssi a es falso o p es verdadera. 5. a +-+ p es verdadera ssi a y f3 tienen el mismo valor de verdad.

Las definiciones recursivas de las condiciones de verdad de las proposiciones complejas resumen las tablas de verdad mencionadas antes (son equivalentes a ellas). Estas definiciones son independientes de los valores de verdad que tengan las proposiciones simples. Como nos interesan sólo los esquemas de razonamiento, nos basta con las reglas semánticas; no hay necesidad de establecer los valores veritati­vos de las proposiciones simples, y es suficiente emplear variables proposicionales, sin especificar su valor (es decir, no nos hace falta emplear proposiciones simples cuyo valor de verdad conozcamos).

2.4.3. Interpretación conluntlsta

También se puede dar una interpretación mediante la teoria de conjuntos (como hemos hecho en los lenguajes artificiales sencillos del primer capitulo). Las proposiciones se interpretan entonces como con­juntos, y las funciones que sirven para construir proposiciones comple­jas se interpretan como operaciones conjuntistas. La negación de una proposición, por ejemplo, se interpreta como el conjunto complemento del conjunto correspondiente a la proposición: [[-a]] = -[[a]].

La conjunción se interpreta como intersección de conjuntos:

[[a & f3]] = [[a]] n [[f3]]

La disyunción se interpreta como unión de conjuntos:

[[a v P]] = [[a]] u [[f3]]

El condicional se interpreta como inclusión de conjuntos:

[[a -+ P]] = [[a]] e [[f3]]

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El bicondicional se interpreta como equivalencia extensional de con­juntos:

[[a +-+ P]] = ([[a]] = [[P]])

El condicional y el bicondicional no se interpretan como operacio­nes, sino como afirmaciones acerca de conjuntos (Deaño, 1973, nota 62, págs. 65-66). Se pueden entender como operaciones si se interpreta cada proposición como su conjunto verdad, es decir, el conjunto de los mundos en los que la proposición es verdadera (Allwood el al., 1977, § 4.2). La conjunción de proposiciones se interpreta como intersección de sus respectivos conjuntos verdad; la disyunción como unión; y la negación de una proposición como el complemento de su conjunto verdad. El condicional p -+ q se interpreta como - A u B (siendo A y B los conjuntos verdad de p y q, respectivamente), y el bicondicional p +-+

q como (-A u B) ti (-B u A), es decir (-A ti - B) u (B ti A); véanse los ejercicios 1 y 2.

A la inversa, se puede emplear el cálculo proposicional para definir las operaciones con conjuntos (Martin, 1987, § 2.2.2):

AuB=ddxlxeA v xeB} A ti B =df {x I x e A & x E B} - A =df {x I x ~ A} A - B =df {x I x E A & x ~ B} o =df {x I x no existe} U =df {x I x existe} {XI' oo., xn } =df {y I y = XI V

oo' V y = xn }

Unión de A y B Intersección de A y B Complemento de A Complemento de B en A Conjunto vacío Conjunto universo

Conjunto constituido por XI' oo., xn

2.5. Análisis del razonamiento

2.5.1. Tautología, contradicción

En el análisis del razonamiento interesan las proposiciones comple­jas que, por su forma (su estructura), son necesariamente verdaderas (tautologias), como p v -p, o necesariamente falsas (contradiccioBes), como p & -p. Con independencia del valor de verdad de la proposi­ción p, la primera es siempre verdadera, y la segunda siempre es falsa, como, respectivamente, «Ahora, o me voy o me quedo» y «Juan está ahora en casa y Juan está ahora fuera de casa».

Es interesante saber si una proposición compleja es una tautología o una contradicción, ya que así queda averiguado su valor de verdad sin

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necesidad de saber los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Para ello se escribe la tabla de verdad correspondiente; por ejemplo:

p -p p v -p p -p p&-p

1 O

O 1

1 O

O 1

o O

La negación de una tautología es una contradicción, y viceversa. A menudo se emplea el razonamiento indirecto o reducción al absurdo para comprobar si una expresión es o no una tautología. Para ello se supone que la expresión es falsa; si ello no conduce a una contradic­ción, la expresión no es una tautología: es posible que sea falsa sin que haya contradicción. Por ejemplo, supongamos que p v -pes falsa. De ello se deduce que tanto p como -p tienen que ser falsas, según la tabla de verdad de la disyunción. El resultado es una contradicción: la misma proposición, p, es a la vez falsa y verdadera (esto último, ya que, si la negación de p es falsa, p es verdadera). De ello se deduce que p v -p es siempre verdadera, es decir, es una tautología:

p v -p i) O

ii) O O

Si, analizando otra expresión, no llegamos a una contradicción supo­niendo que la expresión es falsa, sólo sabemos que no es una tautolo­gía. Podemos también razonar a la inversa, sobre la base de que la expresión es verdadera; si ello conduce a contradicciones, la expre­sión es una contradicción.

2.5.2. Reglas de Inferencia

La definición de las conectivas permite considerar como lógica­mente válidos muchos esquemas de razonamiento. Estos esquemas son reglas de inferencia formal: su validez se deriva exclusivamente de su forma. El procedimiento para demostrar la validez de una inferencia se llama prueba: una prueba es una serie de proposiciones que o son supuestos iniciales o se derivan de proposiciones anteriores de la serie según una regla de inferencia formal. Un primer ejemplo es la regla de la doble negación: si la premisa p es verdadera, la conclusión - - pes

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verdadera; y si la premisa ,..,,.., p es verdadera, la conclusión p es verdadera:

p --p

--p p

Se suelen separar las premisas de la conclusiÓn mediante una linea horizontal. En general, cualquier razonamiento tiene la forma de que si las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera, es decir, excluye la posibilidad de que las premisas sean verdaderas y la con­clusiÓn sea falsa. Ésta es precisamente la forma del condicional; por ello, para que un razonamiento desde las premisas h1 , ... , hn a la conclu­sión c sea válido, el correspondiente condicional (h1 & ... & hn ) -+ c tiene que ser una verdad lógica (véase § 2.5.4). La regla de la doble negación se puede expresar entonces como condicional: -,.., p -+ p. Es fácil comprobar mediante las correspondientes tablas de verdad que .se trata de una verdad lógica y, por tanto, de un razonamiento válido.

Empleando la tabla de verdad de la conjunción en la fÓrmula p & q -+ p, se comprueba la validez de la regla de la simplificación:

p&q

P

Otras fórmulas, correspondientes a reglas de inferencia, son:

* adición, p -+ p v q; * dilema constructivo ((p v q) & (p -+ r) & (q -+ r)) -+ r; * modus (ponendo) ponens: ((p -+ q) & p) -+ q; * modus (tollendo) tollens: ((p -+ q) & ,.., q) -+ ,.., p.

2.5.3. Sistemas axiomáticos para la lógica proposicional

Para caracterizar la verdad lógica se suele emplear el procedimien­to de organizar los esquemas válidos de razonamiento mediante el método axiomático. Un sistema axiomático consiste en definir unas pro­posiciones básicas, los axiomas, o, si son infinitas, los esquemas axiomáti­cos; y unas reglas de formación de proposiciones a partir de las propo­siciones básicas. Cada proposición nueva así definida constituye un teorema. El conjunto de las expresiones bien formadas (teoremas) se define como el cierre de los axiomas bajo las reglas de formación (es decir, el conjunto de teoremas es el más pequeño que contenga a los axiomas y a los teoremas formados aplicando las reglas). Es un conjun-

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to inductivo, es decir, construido aplicando las reglas de formación a las expresiones básicas (o atómicas). Cada teorema se construye a partir de los axiomas mediante la aplicación de las reglas de formación, en un número finito de pasos, que se pueden representar mediante un diagrama en árbol (el árbol reproduce la prueba o demostración del teorema). El cálculo que resulta es completo, es decir, es posible de­mostrar como teoremas todas las expresiones lógicamente verdaderas (la correspondiente demostración de esta propiedad del cálculo se llama prueba de completitud).

Hay varios procedimientos de axiomatización de la lógica proposi­cional, es decir, varios sistemas axiomáticos. Uno de ellos es el que se deriva de la «escritura conceptual» de Frege (de 1879), constituido por: a) un conjunto de axiomas, el de las expresiones que tengan la forma de uno de los tres esquemas axiomáticos siguientes:

1. (x -. (y -. x)), 2. ((x -. (y -. z)) -+ ((x -+ y) -. (x -. z))), 3. ((-x -. -y) -. (y -. x)),

b) por una única regla de formación (la regla de modus ponens, es decir, la función que toma como argumento cualquier par constituido por un condicional y su antecedente, y que da como valor su consecuen­te), y c) por el conjunto de teoremas definido inductivamente como cierre del conjunto de axiomas bajo la regla de formación (es el sistema axiomático propuesto por Alonzo Church, 1956, § 27; véase Martín, 1987, § 5.1.3).

Otro ejemplo de sistema axiomático es el propuesto por Alfred Whitehead y Bertrand Russell (en sus Principia Mathematica, 1910-1913; d. Deaño, 1973, «El sistema PM», págs. 116-119), que emplea la nega­ción y la disyunción.

Los sistemas axiomáticos nos permiten demostrar los teoremas a partir de los axiomas. Por ejemplo, el teorema de la identidad, p -. p, se construye a base de los esquemas axiomáticos 1 y 2 (del sistema de Church):

((p -+ ((p -. p) -+ p)) -. ((p -. (p -. p)) -. (p -. p)))

tiene la forma del esquema axiomático 2, siendo x = p, y = (p -. p), z = p;

((p -. ((p -. p) -. p))

tiene la forma del esquema axiomático 1, siendo x = p, y = (p -. p);

(p -+ (p -. p))

tiene la forma del esquema axiomático 1, siendo x = p, y = p. Por ello,

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aplicando dos veces la regla de modus ponens, obtenemos el teorema de la identidad:

((p -+ ((p -+ p) -+ p)) -+

(p -+ ((p -+ p) -+ p)) ((p -+ (p -+ p)) -+ (p -+ p)))

((p -+ (p -+ p)) ((p -+ (p -+ p)) -+ (p -+ p))

(p -+ p)

Cada nodo del árbol-invertido- está ocupado por el consecuente, siendo sus ramas, respectivamente, el antecedente y el condicional correspondiente (Martin, 1987, § 5.1.3):

x x -+ y

y

El mismo teorema de la identidad, por ejemplo, aparece demostra­do en el sistema de Kleene (1952) en Cuena (1985, § 2.2.2), Y en el sistema de Whitehead y Russell en Deaño (1973, págs. 121-123). Los sistemas axiomáticos permiten garantizar la validez del razonamiento con independencia de la interpretación del cálculo.

2.5.4. Demostración y deducción

Demostrar la validez de una fórmula en un sistema consiste, así pues, en construir una sucesión de fórmulas cuyo último elemento es la fórmula a demostrar. Todas las fórmulas de la sucesión son o bien axiomas del sistema o bien fónnulas obtenidas a partir de las anteriores aplicando la regla de formación (o de demostración). Demostrar una fórmula es definirla como teorema de cálculo; acabamos de ver (§ 2.5.3) cómo se demuestra el teorema de identidad en el sistema axiomático de Church.

Al empezar el capítulo, veiamos ejemplos de razonamientos válidos. No son demostraciones, sino deducciones (o estructuras deductivas). El primer ejemplo:

(Dado que:) Si hace sol, iremos a la playa. Hace sol.

(podemos concluir que:) Iremos a la playa.

se puede formular como: (p -+ q) & P => q. La relación de deducción, representada por =>, se establece entre dos secuencias de proposicio­nes: de la primera secuencia se sigue lógicamente o se deduce la segunda; a partir de la primera secuencia es deducible la segunda. Una

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deducción es una sucesión de premisas que son el antecedente de otra sucesión, el consecuente, formada por conclusiones. En el ejemplo, el consecuente está compuesto por una sola fórmula, q.

El meta teorema de la deducción define la relación entre deduccio­nes correctas y fórmulas válidas: Si PI' P2' ... , Pn ~ ql' q2' ... , qm es una deducción correcta, hay una deducción correcta de Pn - qm con pre­misas PI' P 2 ' ... , Pn-l' (Se trata de un metateorema puesto que para su deducción (Cuena, 1985, § 2.2) se emplea una lógica externa al sistema, la inferencia por inducción.) Este metateorema asegura que siempre podamos encontrar una fórmula válida correspondiente a una deduc­ción correcta. Basta ir aplicando el metateorema, eliminando premisas hasta que desaparece el antecedente (es decir, hasta que es una suce­sión vacía): PI' Pa ~ q; PI ~ Pa - q; ~ PI - (p2 - q). Para cada axioma o teorema del cálculo proposicional que empleemos es posible formu­lar la correspondiente regla de deducción (o de inferencia).

Las reglas de inferencia abordadas de forma intuitiva (§ 2.5.2) se pueden presentar como cálculo de reglas, es decir, como sistema de­ductivo. Gerhard Gentzen propuso en 1934 una descripción axiomática de las deducciones correctas, un sistema de deducción que él llamó natural: a partir de una deducción correcta, aplicando unas reglas básicas (introducción y eliminación de la negación, de la conjunción, de la disyunción y del condicional), se obtienen todas las demáS estructu­ras deductivas correctas. La regla de simplificación, por ejemplo (de § 2.5.2) corresponde a la regla de la eliminación de la conjunción; la de la adición es la de la introducción de la disyunción; el ejemplo anterior (del sol y la playa), (p - q) & P ~ q, sigue la regla de eliminación del condicional (véase el ejercicio 7). Las reglas son (Deaño, 1973, § 2.3):

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Introducción de la negación

p

q & -q -p

Introducción de la disyunción p

p v q

Eliminación de la negación

p

-p q

Eliminación de la disyunción

p v q p

r q

r

r

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Introducción de la conjunción

p q p&q

Introducción del condicional

p

q p-+q

Eliminación de la conjunción

p&q

p

Eliminación del condicional

p-+q

p q

Veamos, por ejemplo, el razonamiento siguiente (adaptado de Mc­Cawley, 1981, § 2.2):

1) El mayordomo no tiene barro en los zapatos. 2) Si el mayordomo es el asesino, tiene barro en los zapatos. 3) Supongamos que el mayordomo es el asesino. 4) Entonces, tiene barro en los zapéÚos. 5) Pero sabemos que no tiene barro en los zapatos. 6) En consecuencia, el mayordomo no es el asesino.

La inferencia tiene la siguiente estructura:

1) -p 2) q -+ P

3) q

4) P 5) -p 6) -q

En 6) se obtiene la conclusión por introducción de la negación a partir de 3), 4) Y 5): por introducción de la conjunción en 4) y 5), obtenemos p & - p; y por introducción del condicional en 3) y el resultado de 4), 5), obtenemos q -+ (p & -p); a este resultado le aplicamos en 6) la intro­ducción de la negación. En lugar de la versión anterior (de McCawley), el razonamiento es, a partir de 5):

5) Pero sabemos que no tiene barro en los zapatos. 6) Razonando así, tenemos que suponer que tiene y que no tiene

barro en los zapatos. 7) Entonces, si es el asesino, tiene y no tiene barro en los zapatos.

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8) Como eso sería absurdo, el mayordomo no es el asesino. Y su forma es:

1) -p 2) q -+p

3) q

4) P 5) -p

6) p & -p

7) q -+p & -p 8) -q

Naturalmente, hay forma de razonar más rápida:

1) El mayordomo no tiene barro en los zapatos. 2) Si el mayordomo es el asesino, tiene barro en los zapatos. 3) Como no tiene barro en los zapatos, no es el asesino.

Se trata del modus (tollendo) tollens: «p -+ q) & -q) -+ -p. También la ley de contraposición del condicional (p -+ q) -+ (""" q -+

""" p), y el modus (ponendo) ponens (es decir, la eliminación del condi­cional) «p -+ q) & p) -+ q, nos permiten el siguiente razonamiento:

1) El mayordomo no tiene barro en los zapatos. 2) Si el mayordomo es el asesino, tiene barro en los zapatos. 3) Por eso, si no tiene barro en los zapatos, no es el asesino. 4) Como no tiene barro en los zapatos, no es el asesino.

Efectivamente, hay varios esquemas de inferencia de la lógica clási-ca que nos permiten obtener la conclusión como válida. Lo interesante es que queda igualmente garantizada su validez mediante las reglas de inferencia del cálculo de deducción natural. Además, una vez demos­trada la conclusión, el esquema de razonamiento queda incorporado, por ser válido, como regla derivada de inferencia.

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EJERCICIOS

l. Compruebe mediante diagramas de Venn que la interpretación conjuntista del bicondicional como operación (-A rI B) u (B rI A) arroja los mismos valores de verdad que los de la tabla del bicondicional.

2. Aplique la propiedad distributiva de la intersección con respecto a la unión y la propiedad de la intersección y el complemento (A rI - A = 0) para llegar a (-A n -B) u (B n A) a partir de (-A u B) n (-B u A).

3. Muestre el esquema lógico correspondiente a «Si una sustancia orgánica se descompone, sus componentes se transforman en abono y fertilizan el sue­lo» y a «If p then q else n>, estructura habitual en la programación en inglés, equivalente a «si p entonces q, de otro modo n> (Cuena, 1985, § 14).

4. Elabore la tabla de verdad de la primera proposición compleja obtenida en el ejercicio anterior.

5. Elabore la tabla de verdad de la conectiva triádica definida sincategoremá­ticamente como (p - q) & ( - P - r).

6. Muestre mediante las correspondientes tablas de verdad que son válidas las siguientes fórmulas, correspondientes a reglas de inferencia:

--p - p; p&q ..... p;

P - P v q; ((p v q) & (p ..... r) & (q ..... r)) ..... r; ((p ..... q) & p) - q; ((p ..... q) & - q) ..... - P

7. Indique qué reglas de inferencia del sistema de deducción natural justifican los esquemas de razonamiento correspondientes a las siguientes fórmulas:

(p ..... (q & -q)) ..... -p; (-q ..... (p & -p)) ..... q; p ..... p v q; [(p v q) & (p ..... r) & (q _ r)] ..... r;

(p & (p - q)) - P & q; (p & q) ..... p; ((p ..... q) & p) - q; (p & q) ..... (p - q)

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~D Cuantificadores y

operadores: lógica de predicados

3.1. Análisis de la proposición en predicado y argumentos

Para ampliar la capacidad de análisis de razonamientos, necesita­rnos entrar en la estructura interna de las proposiciones. Si no, es imposible tener en cuenta que proposiciones diferentes pueden aludir al mismo objeto, por ejemplo:

(Dado que): Todos los perros son listos. Bobi es un perro. (Podernos concluir que): Bobi es listo.

Para ello dividirnos la proposición en predicado y argumentos. En la conclusión del ejemplo tenernos una propiedad, ser listo (un predica­do), dicha de un objeto, llamado Bobi (un argumento o individuo). Escribirnos los predicados mediante constantes de predicado, corno A, y los individuos mediante constantes de individuo (o nombres, en la tradición lógica), por ejemplo b. Los nombres propios de la lengua, corno «Bobi», corresponden a las constantes individuales de la lógica, si es que no da la casualidad de que se emplea el mismo nombre propio para más de un individuo. Un predicado se puede aplicar a diferentes individuos, siendo el resultado verdadero o falso. Un predicado, enton­ces, es una función que torna corno argumento un individuo y da corno resultado un valor de verdad. En este sentido se habla de funciones

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proposicionales. Los predicados pueden ser, como la valencia (Tesnie­re, 1959) del correspondiente verbo, además de monádicos o unarios, como «es listo» en el ejemplo anterior, de dos argumentos (diádicos o binarios), como «huele» en «Bobi huele el rastro»; de tres argumentos (ternarios), como «trae» en «Bobi trae el periódico a Juan», y, en gene­ral, de n argumentos (n-arios). Como tales funciones, se escriben de la forma A(b); si en lugar de un individuo concreto, b, hablamos de una variable de individuos, escribimos A(x). En este caso, A(x) es una pro­posición abierta: no será una proposición (en sentido estricto) hasta que la cerremos, hasta que esp~cifiquemos su dominio, es decir, hasta que establezcamos a qué elementos se aplica. Para ello podemos sustituir la variable individual x por una constante, como antes en A(b); pero también podemos emplear un cuantificador (o cuantor) para establecer de manera indirecta qué individuo o individuos (constante o constantes individuales) aparecen como argumento, en el lugar de b. Lo que más se parece a una variable individual en la lengua es un pronombre; con la diferencia de que los pronombres se usan delimitando su dominio, es decir, como variables ligadas. También cabe la posibilidad de emplear variables de predicados; la lógica de predicados es entonces de segundo orden, frente a la lógica de predicados de primer orden, en que se cuantifican variables individuales.

3.2. Cuantificadores

En «Todos los perros son listos» encontramos un predicado B, «ser listo», aplicado a un argumento, «todos los perros». Podemos analizar el argumento a su vez como predicación; «perro» corresponde enton­ces a un predicado, A, aplicado a una variable, x. Todos los sintagmas nominales formados por el sustantivo «perro» están basados en la pre­dicación A(x). Para indicar que en el sintagma del ejemplo se trata de todos los individuos del universo de discurso se emplea el cuantifica­dor universal: V(x)A(x) , que se lee: para todo x, se cumple que x es A (también VxA(x)). Russell (l905) propuso analizar oraciones como las del ejemplo de la siguiente manera: para todo x se cumple que si x es perro, entonces x es listo. Es decir: V(x)[A(x) -+ B(x)]. Los corchetes indican a qué proposiciones afecta el cuantificador, es decir, indican el alcance del cuantificador. El cuantificador universal se aplica a una variable, hasta entonces libre, que pasa a estar ligada (por el cuantifica­dor).

El cuantificador universal y la conjunción están relacionados (Deaño, 1975, 32): V(x)[A(x) -+ B(x)] equivale lógicamente a una secuencia de proposiciones unidas por la conjunción, en que en lugar de la variable

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x van apareciendo todos los elementos que son valores de la variable, [A(a) -+ B(a)] & [A(b) -+ B(b)] & [A(c) -+ B(c)] (en el caso en que los valores de x fueran los elementos del conjunto {a, b, c}). Para que sea verdadera la secuencia, tienen que serlo todas, de acuerdo con la definición de conjunción; por ello la secuencia es equivalente a la expresión con el cuantificador universal. Por este motivo, se emplea también el símbolo /\ xPx para el cuantificador universal (empleándose entonces 1\ para la conjunción).

Otra posibilidad es el sintagma «algunos perros», en «Algunos pe­rros son listos». De manera análoga al ejemplo anterior, se analiza empleando un cuantificador, esta vez el cuantificador particular o exis­tencial: 3(x)[A(x) & B(x)] , que se lee: existe por lo menos un x para el que se cwnple que x es perro y que x es listo. Podernos relacionar el cuantificador existencial con la disyunción (Deaño, 1975, 33): en un universo en que los valores de x fueran los elementos del conjunto {a, b , c}. la expresión 3(x)[A(x) & B(x)] sería lógicamente equivalente a [A(a) & B(a)] v [A(b) & B(b)] v [A(c) & B(c)]. Para que sea verdadera la expresión, basta que sea verdadera una sola de las proposiciones unidas por disyunción, pero puede ser verdadera más de una. Por ello se emplea en ocasiones el símbolo V para la cuantificación particular: V xPx. De ahí también que el cuantificador existencial se lea «Existe por lo menos un x ... ». Sirve así mismo para oraciones corno «Hay perros que son listos», «Existe un perro listo». También sirve para «Algún ser listo es perro», ya que considerarnos corno predicados tanto los sustantivos (<<perro») como los adjetivos (<<listo»), además de, natu­ralmente, los verbos.

Esta idea de Russell de que las descripciones (es decir, los sintag­mas nominales) se pueden analizar corno funciones proposicionales cuya variable está ligada no es extraña en la lingüística: Uriel Weinrei­ch la propone para el análisis semántico en 1962. Los adjetivos y verbos son para G. Lakoff (1965) manifestaciones léxicas de una misma unidad subyacente; y de hecho, hay relaciones estrechas entre adjetivos y verbos. por ejemplo, en cuanto a la diferencia de modo de acción entre verbos de acción y verbos de estado, existente en los adjetivos, que se comprueba en su combinación con el aspecto de los tiempos verbales (cf. Lyons, 1968, § 7.6.4); en español las diferencias de modo de acción de los adjetivos intervienen, por ejemplo, en el uso de «sen> y «estar» (<<es desgraciado», «está equivocado») y las de los verbos (y los partici­pios) en el uso de los tiempos, así como en la pasiva (Garrido, 1987a). Además, los sintagmas nominales (como «el idiota», según ejemplifica Bach (1968) esta idea) pueden ser cláusulas de relativo reducidas (<<el que es idiota», o «él, que es idiota»). Siguiendo esta idea afirma Quine (1948) que la variable ligada es, en última instancia, el único lazo exis-

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tente entre el lenguaje y la realidad, el procedimiento para referirse mediante el lenguaje a la realidad extralingüística. Ser, por tanto, es ser el valor de una variable, y, en términos gramaticales, ser es estar en el dominio de referencia de un pronombre, concluye Quine.

Russell (y otros después que él) no necesitó afinar más para sus fines, de modo que el cuantificador universal suele servir para sintag­mas como «todo perro» y «cada perro», y el existencial para sintagmas como «un perro», «algún perro», además de para los propuestos. Sin embargo, Russell (1905, pág. 33, nota 6) observó las diferencias entre sintagmas como «un perro», que según él sugerían uno sólo, y «unos perros» y «algunos perros», que sugerirían más de uno. Un tercer tipo de sintagma nominal que llamó la atención de Russell es el de los sintagmas con artículo definido, es decir, las llamadas descripciones definidas. Si en el universo de discurso hay un solo perro, la función proposicional «ser perro» es unitaria (su dominio está constituido por un único elemento); por ello para Russell en ejemplos como «El perro ladra» se dice que existe por lo menos un perro, que si algo es perro tiene que ser ese mismo perro, y no hay otro, y, también, que ese perro ladra:

3(x)[A(x) & 'v'(y)[A(y) -+ (x = y)] & C(x)] ,

representando «ladra» por C. Se emplean dos variables, x e y, para indicar la unicidad de la siguiente manera: hay un x que es perro, y para todo elemento y que sea perro, se cumple que es idéntico a x (que es lo mismo que decir que no hay ningún otro perro además del x que es perro).

Los cuantificadores existencial y universal tienen como dominio to­do el universo de discurso; hay una manera de restringir el dominio, mediante la cuantificación restringida. Limitamos el dominio del cuanti­ficador a aquellos valores de la variable para los cuales es verdadera una determinada función F: 3(x): F(x); 'v'(x): F(x). Estos cuantificadores restringidos se emplean a su vez para ligar variables de otras funcio­nes. Por ejemplo, «Todos los perros son listos» se puede analizar em­pleando el cuantificador universal restringido a la función proposicio­nal A, «ser perro»: ['v'(x): A(x)]B(x).

Los cuantificadores restringidos se definen a partir de los cuantifica­dores existencial y universal, respectivamente (Grishman, 1986, § 3.1.3):

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[3(x): F(x)]G(x) =df (3x) [F(x) & G(x)];

['v'(x) : F(x)]G(x) =df 'v'(x) [F(x) -+ G(x)]

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También podemos considerar los cuantificadores restringidos como definiciones de conjuntos para los cuales es verdadera la función en cuestión: (3xeF)G(x) y (VxeF)G(x). (Se puede escribir abreviadamente la relación de pertenencia debajo del signo del cuantificador: 3 xG(x).)

xeF El alcance de los cuantificadores depende del orden en que apare-

cen. La oración (adaptando un ejemplo de Chomsky, 1965, capítulo 3, nota 9) «Todos hablan por lo menos una lengua extranjera» es ambigua. Se puede entender como que cada persona habla una lengua que puede ser diferente a la de los otros. Su forma lógica es Vx 3yA(x, y), limitándonos al predicado y la cuantificación (porque, de otro modo, habría que representar la estructura de «lengua extranjera», por ejem­plo). Si se entiende como que todos hablan por lo menos una misma lengua, es decir, como «por lo menos una lengua extranjera es hablada por todos», se analiza como 3y VxA(x, y): hay por lo menos una lengua que todos hablan.

La negación también entra en juego en cuanto al alcance (y la posición de los cuantificadores en la forma lógica está relacionada con la posición de la palabra negativa en la oración; er. Jackendoff, 1972, § 7.4.3): «Alguna flecha no dio en el blanco» y «Ninguna flecha dio en el blanco» se analizan, respectivamente, como 3x~A(x) y ~3xA(x). Ade­más, mediante la negación, podemos definir un cuantificador a partir del otro. Si «Alguna flecha no dio en el blanco» es verdadera, también lo será «No se cumple que todas las flechas dieron en el blanco»; es decir, 3x~A(x) == -VxA(x), donde == representa la equivalencia lógi­ca. Si «Ninguna flecha dio en el blanco» es verdadera, también lo será «Todas las flechas no dieron el blanco», es decir -3xA(x) == Vx-A(x). y empleando dos veces la negación obtenemos:

VxA(x) == ~3x-A(x); 3xA(x) == -Vx~A(x)

La diferencia de alcance permite explicar la diferencia entre «Juan no conoce todos los poemas» y «Juan no conoce ningún poema»:

~Vx[A(x) ---. B(a, x)]; Vx[A(x) ---. ~B(a, x)]

(cf. Bach, 1968, § 3.5; Quine, 1961, § 29). En el primer caso, la negación es oracional; la oración no negativa correspondiente es «Juan conoce todos los poemas», Vx[A(x) & B(a, x)]. En el segundo caso, la negación afecta al sintagma nominal; la correspondiente oración sin negación es «Juan conoce algún poema», 3x[A(x) & B(a, x)]. Podemos explicar la diferencia entre el sintagma nominal negativo, ligado por un cuantifica­dor universal, y el sintagma sin negación, si recordamos la equivalen-

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cia lógica entre cuantificador universal afectando a la negación y nega­ción afectando al cuantificador existencial.

Vx[ -B(a, x)] = -3x[B(a, x)];

la versión sin negación del existencial afectado por la negación es, pues, el existencial, 3x[B(a, x)].

3.3. Cálculo de predicados

3.3.1. Sintaxis

Podemos ya definir la sintaxis del cálculo de predicados, estable­ciendo su vocabulario y sus reglas de formación. Según que considere­mos o no la existencia de variables de predicado, el cálculo será de segundo orden o sólo de primer orden. En las reglas de formación emplearemos metavariables de términos individuales, es decir, de constantes o variables individuales, tl • t2 , ... , tn , ... , metavariables de términos de predicado. como F, y metavariables de fórmulas bien formadas, IX, {J, )1 ...

• Vocabulario

Categoría Constantes individuales Variables individuales Constantes de predicado Variables de predicado Variables proposicionales Cuantificadores Conectivas Signos de puntuación

Miembros de la categoria a, b, e, "'1 a l, a21 '" anl , ..

x, y, z, . '" V¡I v21 .. " vnl ...

A, B, C, oo., Al' Aa' ... , An, .. , P, Q, R, oo., P

l, P

2, oo., Pn , oo.

P, q, r, oo., Pl ' P2 ' ... , Pn' ... V, 3 "'.&. V I -+.+-+ ( ), [ ]

• Reglas de formación

70

Si IX es una variable proposicional, IX es una fórmula. Si F es un término de predicado monádico y tl es un término indivi­

dual, F(tl

) es una fórmula. Si F es un término de predicado diádico y tl Y t2 son términos

individuales, F(tl , t2 ) es una fórmula. Si F es un término de predicado n-ario y tl , t2 , ... , tn son términos

individuales, F(tl , t2 , ... , tn) es una fórmula. Si x es una variable individual y IX es una fórmula en que aparece x

como variable libre, 3xIX y VXIX son fórmulas.

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Si a y 13 son fórmulas, -a, a & 13, a v 13, a -+ 13, a +-+ 13 son fórmulas. Sólo son fórmulas bien formadas las fórmulas construidas de acuer­

do con estas reglas.

Si no especificamos la necesidad de que aparezca una variable libre en el alcance del cuantificador, tendremos lo que se llama cuantifica­ción vacua (o vacía): 3xB(a). Aunque no tiene mucho sentido (<<Existe un x tal que Bobi es listo»), si se permite se simplifica la sintaxis, quedando la regla de los cuantificadores como sigue:

Si x es una variable individual y a es una fórmula, 3xa y Vxa son fórmulas.

3.3.2. SemánHca

La diferencia entre proposición y fórmula consiste en que se suele reservar el término de «proposición» (y, en otros enfoques, como el de Tarski, 1944, «oración») para las fórmulas sin variables libres, ya sea porque no contenga variables, o porque todas las variables aparezcan ligadas. Las fórmulas con variables libres son funciones proposiciona­les (o funciones oracionales: Tarski, 1944, § 11), que toman como argu­mento constantes (o variables ligadas) y dan como valor proposiciones. Una función proposicional como F(x) o G(x, y) da lugar a diferentes proposiciones, como F(a), F(b), 3xF(x) o VxF(x), y como F(a, b), F(c, d), 'e/x 3yG(x, y) o 3x VyG(x, y), etc, respectivamente.

Para la semántica del cálculo empleamos la misma interpretación veritativa de las conectivas que en el cálculo proposicional (§ 2.4.2). Y también podemos aplicar la interpretación conjuntista a lm¡ predicados, de modo que la interpretación de una constante individual sea un elemento, y la de una constante de predicado un conjunto. Según sea el predicado, monádico, diádico, etc., el conjunto correspondiente tendrá como elementos individuos, pares ordenados, etc. Y una proposición se interpreta como verdadera si el elemento (o par, o n-tuplo) designa­do por la constante individual (o el par de constantes individuales, etc.) pertenece al conjunto de individuos (o de pares, ... o de n-tuplas) designado por la constante de predicado. El procedimiento es análogo al de los lenguajes artificiales del primer capítulo. Por ejemplo, «Bobi es listo», B(a), es verdadera si Bobi pertenece al conjunto de los perros listos, a E B, Y es falsa si no pertenece a él, a r/. B.

Toda interpretación se compone, por una parte, de las reglas de interpretación de las proposiciones complejas a partir de los valores de verdad de las simples que las componen; por otra parte, interviene la asignación de valores veritativos a las proposiciones simples. Las primeras son las reglas que definen la interpretación de las conectivas,

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reglas que son constantes; la segunda, la asignación de valores de verdad, constituye en el universo un modelo, y, como sabemos, puede haber modelos diferentes, según asignemos los valores de verdad. Esta asignación se puede realizar de dos maneras equivalentes: deter­minando qué proposiciones simples son verdaderas y cuáles son falsas, o definiendo por enumeración los conjuntos correspondientes. En am­bos casos hay que asignar individuos a las constantes individuales. Por ejemplo, además de [[Ana]] = a, [[Rosario]] = b, [[Carmen]] = e, podemos definir el conjunto correspondiente al predicado [[es mujer]] = {a, b, e}, o podemos establecer los valores veritativos [[Ana es mujer]] = 1, [[Rosario es mujer]] = 1, [[Carmen es mujer]] = 1, [[pedro es mujer]] = 0, [Ouan es mujer]] = O. Como se trata de un modelo en particular, M, se suele escribir [Ouan es mujer]]M = 0, es decir, la proposición «Juan es mujer» es falsa con respecto al modelo M. Como la asignación da lugar a una interpretación, 1, que es en realidad una función, también podemos representarla como 1 (es mujer) = {a, b, e}.

Una proposición con el cuantificador existencial es verdadera si en el modelo del universo hay por lo menos un elemento (o par, o, en general, n-tuplo, según sea el predicado correspondiente) que perte­nezca al conjunto; si no hay ninguno, es falsa. Alternativamente, es verdadera si hay por lo menos una proposición verdadera entre las proposiciones que resultan de sustituir la variable por cada una de las constantes; es falsa si ninguna es verdadera. Del mismo modo, una proposición con el cuantificador universal es verdadera si todos los elementos (pares, etc.) del modelo del universo pertenecen al conjun­to, y falsa si por lo menos uno no pertenece al conjunto. Alternativa­mente, es verdadera si son verdaderas todas las proposiciones que resultan de sustituir la variable por cada una de las constantes; es falsa si ninguna es verdadera. Del mismo modo, una proposición con el cuantificador universal es verdadera si todos los elementos (pares, etc.) del modelo del universo pertenecen al conjunto, y falsa si por lo menos uno no pertenece al conjunto. Alternativamente, es verdadera si son verdaderas todas las proposiciones que se obtienen sustituyen­do la variable por cada una de las constantes; y basta que una de ellas no sea verdadera para que sea falsa la proposición con el cuantifica­dor universal. Esta concepción sustitucional de la cuantificación está relacionada con el concepto de satisfacción propuesto por Tarski (1944, § 11): unos objetos satisfacen una función proposicional cuando es verdadera la proposición que resulta de sustituir las variables li­bres en la función proposicional por los nombres de los objetos. Para comprobar el valor de verdad de una fórmula, es necesario, por tanto, realizar una asignación de objetos a las variables, como la llama Tars-

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ki, o una asignación de valores a las variables, como la llama Monta­gue (1974). Ampliando el ejemplo del capítulo anterior, de modo que «es psiquiatra» sea un predicado monádico, B, para saber el valor de verdad de una fórmula como B(x), asignamos d a la variable x (o sustituimos x por d), de modo que obtenemos B(d), cuyo valor de verdad conocemos, en virtud de la asignación de valores de verdad que define el modelo. Y para obtener el valor de verdad de VxB(x) , debemos ir asignando diferentes valores a la variable x (o sustituyen­do la variable por constantes), de modo que vayamos obteniendo B(a), B(b), etc., y podamos determinar si todas las proposiciones resultantes son verdaderas. Necesitamos para ello comprobar tantos valores dis­tintos de la variable x como valores sea susceptible de tomar dicha variable.

La cuestión de la interpretación se complica cuando aparecen varios cuantificadores ligando las variables. Para saber si es verdadera o falsa 3y VxA(x, y), de «Todos hablan por lo menos una misma lengua», hay que encontrar en el universo un valor de y para el cual se cumpla que, sea cual sea el valor de x, A(x, y) es verdadero. Este cál<?ulo se puede hacer examinando el modelo del universo, comprobando la fórmula para cada constante individual. Tendríamos que ir examinando, para cada valor de y, si todos los valores de x satisfacen la fórmula A(x, y). Si encontramos por lo menos un valor de y para el cual se cumple la fórmula con todos los valores de x, resulta que 3yVxA(x, y) es verda­dera; si no encontramos ningún valor asi, es falsa.

Para calcular el valor de 'Ix 3yA(x, y), de «Todos hablan por lo menos una lengua extranjera [no necesariamente la misma]», tendre­mos que comprobar que para cada valor que tome x hay por lo menos un valor de y tal que el par de x e y satisface la fórmula. Si lo hay, es verdadera; si no, es falsa.

Pero, además, para que se cumpla el principio de composicionali­dad), el valor de verdad de la fórmula compleja debe obtenerse a partir de las fórmulas más simples según las reglas. Aquí es donde surge la dificultad: cuando se trata de obtener el valor de VxA(x, y), todavía no se ha empleado la regla que permite determinar el valor de verdad de la expresión con la variable y (la regla del cuantificador que liga a y). Al mismo tiempo, no podemos aplicar la regla de inter­pretación del cuantificador existencial en 3y VxA(x, y) sin disponer del valor de verdad de VxA(x, y). El valor de verdad de las propo­siciones complejas no plantea problemas si están compuestas de pro­posiciones más simples: la dificultad, como vemos, estriba en las que se componen de funciones proposicionales más simples.

Necesitamos, pues, formular de manera general el procedimiento descrito para fórmulas con uno o con dos cuantificadores. Se trata de

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elaborar una regla para cada cuantificador que se pueda aplicar siem­pre que aparezca el cuantificador, con independencia de a qué nivel, es decir, de que esté afectado o no por otros cuantificadores. En el caso de «Todos hablan por lo menos una misma lengua», el procedimiento intuitivo es tomar una de las lenguas, y comprobar en el modelo si .todos la hablan; si no ocurre aSÍ, tomamos otra de las lenguas, y así hasta encontrar una lengua que todos hablen (y la oración es verdade­ra), o hasta recorrer todas las lenguas del universo de discurso sin encontrar ninguna (y entonces la oración es falsa). El procedimiento en el caso de la fórmula proposicional, 3y 'VxA(x, y), consiste en empezar por el cuantificador de menor alcance. Es el cuantificador universal, que liga a la variable x. Para calcular el valor de la fórmula a la que afecta el cuantificador, se hace una asignación cualquiera de valores, y se va variando los valores de x. El valor de y permanece constante. (El equivalente seria comprobar si todos hablan o no la primera lengua que tomemos en cuenta.) A continuación pasamos al otro cuantificador, el existencial, que liga a la variable y. Empezarnos por una asignación cualquiera, por ejemplo la que hemos empleado antes. Si antes hemos comprobado que la asignación satisface 'VxA(x, y), ya sabemos que hay un valor de y, precisamente éste, para el que la fórmula con el cuantifi­cador existencial es verdadera. (El equivalente seria que con la prime­ra lengua que tomamos antes resultara que todos la hablaban.) Pero no importa si no tenemos esa suerte: vamos cambiando el valor de y, y para cada valor volvemos a calcular el valor veritativo de 'VxA(x, y). (El equivalente es que para cada lengua, vamos comprobando persona por persona si la habla o no la habla; si la hablan todos, la oración es verdadera para esa lengua, y, como basta que lo sea para una, la oración es verdadera.)

Dos observaciones: la primera, no importa con qué asignación em­pecemos, puesto que vamos asignando todos los demás valores, y, con el siguiente cuantificador, hacemos lo mismo con la otra variable. La segunda observación: cada vez que calculamos una fórmula con un solo cuantificador, el procedimiento es el mismo. Siempre vamos haciendo sucesivas asignaciones que sólo se distinguen entre sí en el valor de la variable en cuestión. Lo que es diferente es que si el cuantificador afecta a su vez a otro, hay que calcular este segundo, con todos los valores de su variable, para cada uno de los valores de la variable del primero. Y siempre llegaremos al mismo resultado, que la fórmula es verdadera o que es falsa en el modelo, con indiferencia de por qué valor concreto de cada variable empecemos el cálculo.

Con un solo cuantificador, el cálculo consiste en comprobar tantas proposiciones como valores pueda tomar la variable; con dos cuantifi­cadores, cada valor de una variable da lugar a tantas comprobaciones

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como valores pueda tomar la otra. Es una cascada de cálculos. (Aunque es verdad que en el caso del cuantificador existencial, si encontramos un valor de la variable que satisface la fórmula, no nos hace falta comprobar los demás.) Por ejemplo, los dos casos anteriores, con dos variables que puedan tomar cada una tres valores, dan lugar a tres comprobaciones para el primer cuantificador, y tres con tres cada una para el segundo, si bien una de estas tres ya se ha hecho par el primero: es decir, un total de nueve. Si añadiéramos una tercera varia­ble, por ejemplo en 3x Vy 3zA(x, y, z), con dos posibles valores, multi­plicaríamos por dos las proposiciones a comprobar, es decir, diecio­cho. Si en lugar de tres valores las dos primeras tuvieran cinco valores cada una, serian veinticinco comprobaciones; añadiendo la tercera, cincuenta.

El procedimiento no nos sirve si la fórmula tiene una variable libre: en VxA(x, y) nos falta el cuantificador que ligue a y, de modo que al aplicar el procedimiento el valor de la fórmula dependerá de por cuál asignación de valores empecemos (que determinará el valor de y). Pero lo que nos interesa es un procedimiento general para calcular el valor de verdad de las proposiciones, no de las funciones proposicio­nales. Se suele observar que las funciones proposicionales no dicen nada acerca del modelo del universo; recuérdese que «alguien/algo es psiquiatra» no corresponde a B(x), sino a la fórmula cuantificada 3xB(x).

Las consecuencias de todo lo anterior para la semántica veritativa del cálculo de predicados son' que podemos formular una regla para calcular recursivamente el valor de verdad de las fórmulas con cuantifi­cadores, empleando una asignación cualquiera de valores a las varia­bles, y que el valor de verdad de una fórmula cuantificada es indepen­diente de la asignación de valores empleada (inicialmente) para calcu­larlo.

Por consiguiente, la semántica del cálculo de predicados, con res­pecto a una interpretación 1, y a una asignación de valores g, es la siguiente (eC. Dowty et al., 1981, § 3.1.2):

Si u es una variable individual. [[u]]M.g = g(u). Si IX es una constante individual o de predicado, [[IX]]M,g = 1(1X). Si F es un término de predicado n-ario y ti' t2, ... , tn son términos

individuales, siendo el número natural n ~ 1. [[FUI' t2, ... , tn)]]M,g = ([[tl]]M, g, [[t2]]M. g, ... , [[tn]]M, g)

Si IX es una fórmula, [[ _1X]]M,g = 1 ssi [[IX]]M,g = O; análogamente (cf. § 2.4.2) para IX & p, IX V p, IX -+ p, IX +-+ p.

Si u es una variable individual y IX es una fórmula, [[3UIX]]M,g = 1 ssi para alguna asignación de valores g' idéntica a g salvo posiblemente el valor asignado a u, [[3UIX]]M,g' = 1.

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Si u es una variable individual y oc es una fórmula, [['v'wx]]M,g = 1 ssi para toda asignación de valores g' idéntica a g salvo posiblemente el valor asignado a u, [[3U1X]]M,g' = 1.

Las dos últimas reglas semánticas, de interpretación de los cuantifi­cadores, recogen el procedimiento descrito anteriormente. Para el cuantificador existencial, al menos una asignación tiene que satisfacer la fórmula (y puede ser la propia asignación inicial, g; por eso g' es idéntica a ella salvo posiblemente el valor que asigna a u, es decir, puede ser simplemente idéntica a g). Para el cuantificador universal. todas las asignaciones de valores, la inicial y las que se distingan de ella en el valor de u, tienen que satisfacer la fórmula.

Por último, podemos prescindir de la asignación de valores, defi­niendo entonces la verdad con respecto a un modelo. En efecto, el valor de verdad de las fórmulas que carecen de variables es indepen­diente de la asignación que se emplee: y el de las proposiciones con variables ligadas, como hemos visto, es independiente del valor inicial con que empecemos a calcularlas. Por ello, definimos la verdad con respecto al modelo M de la siguiente manera: una fórmula es falsa en el modelo M si es falsa para todas las asignaciones de valores, y es verdadera en el modelo M si es verdadera para todas las asignaciones.

3.3.1. Reglas de Inlerencla

Del mismo modo que para la lógica proposicional, se puede añadir al cálculo de predicados un sistema de reglas de inferencia, de manera que quede definido un cálculo de deducción natural. A las ocho reglas de inferencia ya conocidas (§ 2.5.4), añadimos las reglas de la introduc­ción y eliminación de los cuantificadores (teniendo en cuenta que la constante (tI' Oo., tn) no aparece en la fórmula oc):

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Introducción de V F(tl' .... tn )

Introducción de 3 F(tl' .... tn)

Eliminación de V Vu l ..... un[F(u l • .... un]

Eliminación de 3 3u¡ • .... un[F(u l • .... un]

IX

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En la inferencia de la introducción del cuantificador universal, no se pasa simplemente de una constante individual concreta a la fórmula con la variable ligada por el cuantificador. «Juan es alto» no permite afirmar «Todos son altos». Se pasa de un valor cualquiera, es decir, de un (ti' ... , tn ) arbitrario; en otros términos, escojamos el valor que escoja­mos, se cumple la proposición correspondiente. Tampoco en la elimi­nación del cuantificador existencial nos está permitido pasar de la fórmula cuantificada a la proposición con una constante individual con­creta. De «Alguien es alto» no podemos deducir que «Juan es alto». Lo que hacemos es suponer que una constante cualquiera satisface la fórmula, y de ahí deducimos una fórmula en la que no aparece dicha constante. No importa cuál sea esa constante, puesto que no aparece en la fórmula cuantificada ni en la fórmula que deducimos: en otros térmi­nos, queda eliminada en el proceso de inferencia. Veamos un ejemplo:

Uno de mis animales es gato. Los gatos son felinos. Uno de mis animales es felino.

Las correspondientes proposiciones son:

El razonamiento es:

3x[A(x) & B(x)] Vx[B(x) -+ C(x)]

3x[A(x) & C(x)

1) Uno de mis animales es gato. 2) Los gatos son felinos. 3) Por tanto, si Bigotes es gato, es felino. 4) Supongamos que Bigotes es animal mio y es gato. 5) Entonces, Bigotes es animal mio. 6) Entonces, Bigotes es gato. 7) Pero entonces, Bigotes es felino. 8) Luego Bigotes es animal mío y es felino. 9) Según la suposición, uno de mis animales es felino.

10) Por tanto, uno de mis animales es felino.

La deducción es (adaptada de Deaño, 1975, § 1.2, pág. 142):

1) 3x[A(x) & B(x)] 2) Vx[B(x) -+ C(x)]

3) B(a) -+ C(a)

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4) A(a) & 8(a)

S) A(a) 6) 8(a)

7) C(a)

8) A(a) -+ C(a)

9) 3x[A(x) & C(x)]

10) 3x[A(x) & C(x)]

Hemos supuesto en 4) que 1) se cumple para un elemento dado. Con ello hemos eliminado de 1) el cuantificador existencial (y no en 10), como indica Deaño). De ahí hemos obtenido en 8) que 2) se cumple para ese elemento. Introducimos el cuantificador existencial en 8), y de esta forma probamos en 10) la conclusión, habiendo eliminado ese elemento, es decir, sin necesidad ya de que se cumpla 4), la suposición.

Se pueden también formular las reglas empleando la cuantificación restringida (cf. McCawley, 1981, § 4.3). Por ejemplo, las reglas de introducción y eliminación del cuantificador existencial para predica­dos monádicos son (teniendo en cuenta que u no aparece en oc):

F(u)

G(u)

(3x: Fx) [G(x)]

(3x: Fx) [G(x)]

F(u)

G(u)

IX

IX

Las reglas de inferencia no están completas sin las de la introduc­ción y eliminación de otros instrumentos del cálculo de predicados, los operadores.

3.4. Operadores

3.4.1. El operador lota

Hay bastante diferencia de estructura entre los sintagmas nominales de las oraciones y los análisis propuestos anteriormente (§ 3.2) em-

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pleando cuantificadores, salvo en el caso de los nombres propios, analizados como constantes individuales. Y, sin embargo, son muy fre­cuentes los sintagmas compuestos por nombres comunes con artículo u otro determinante. Estos sintagmas son descripciones de individuos concretos. Como el procedimiento es muy frecuente en la lengua, es conveniente disponer de instrwnentos para analizarlo. Veamos un ejemplo, «El perro ladró», analizado antes como 3(x)[A(x) & V(y)[A(y) -+ (x = y)] & C(x)]. En realidad, estamos realizando aquí una opera­ción: obtenemos una descripción definida (correspondiente a «el pe­rro») a partir de un predicado (correspondiente a «[ser] perro»). Esta operación se representa por la letra griega iota, 1 (peana, Russell y Reichenbach escriben la letra invertida). El operador se llama por tanto iota: IxF(x). Esta expresión es un argwnento; en ella la variable x está ligada. Tiene la misma sintaxis que las constantes individuales. Se lee «la cosa x que tiene la propiedad F», «el x que F», o, simplemente, «el F». Como sólo aparece constituyendo un argumento, tenemos que defi­nirlo como argwnento de una proposición:

G[lxF(x)] =df 3x[F(x) & Vy[F(y) -+ (x = y)] & G(x)]

La indicación de que la función F(x) es unitaria, es decir, Vy[F(y) -+

(x = y)], se puede abreviar notacionalmente como F(¡)(x); la expresión equivalente al operador iota queda así:

3x[F(¡)(x) & G(x)]

Podemos ahora analizar «El perro ladró» como C[lxA(x)] , cuya es­tructura se acerca a la del ejemplo: «El (que es) perro ladró». Para eliminar el operador iota de una fórmula acudimos a su definición, sustituyéndolo por las expresiones que indican la unicidad y la cuantifi­cación existencial:

3x[A(x) & Vy[A( y) -+ (x = y)] & C(x)]

o también:

3x[A(¡)(x) & C(x)]

Al emplear el operador iota y la negación, surgen dificultades de alcance, cuando la función proposicional no es unitaria o simplemente no existe el descriptum, el objeto descrito, es decir, en el uso impro­pio del operador. ¿Por ejemplo, si no hay rey en Francia, cómo pode­m~s distinguir «Es falso que el actual rey de Francia esté calvo» de «El

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actual rey de Francia no está calvo»? (Hay que tener en cuenta de que, al analizar sintagmas con articulo, entramos en el terreno de la deíxis, y, por tanto, ya no estamos ante oraciones, desligadas del contexto de enunciación, sino ante enunciados). Para entender la diferencia entre los dos enunciados, vamos a aceptar (ya que hay otras posibilidades de análisis de este ejemplo clásico de Russell) que el primer enunciado, «Es falso que el actual rey de Francia esté calvo», es verdadero; y que el segundo, «El actual rey de Francia no está calvo» es falso. El primero se analiza entonces como - 3x[A(¡)(x) & B(x)); el segundo, como 3x[A(¡)(x) & - B(x)]. Esta diferencia se puede indicar como diferencia de alcance del operador iota, como hace Reichenbach, o, también, como convención notacional en cuanto al alcance de la negación en el uso del operador iota: Frente a -[B[zxA(x)]], en el primer caso, escri­bimos [-B][zxA(x)] como equivalente por definición de la segunda expresión.

Los cuantificadores universal y existencial y el operador iota son distintos. Los cuantificadores convierten funciones proposicionales (proposiciones abiertas) en proposiciones, ligando las variables libres que contengan. El operador iota convierte funciones proposicionales en constantes individuales, en argumentos de proposiciones.

3.4.2. El operador ata

Para las descripciones indefinidas, se emplea otro operador, simbo­lizado por la letra griega eta, '1. En las descripciones indefinidas no se da la condición de unicidad (o de cuantificación totalizadora; cf. Garri­do, 1988c); puede haber otros objetos que satisfagan la descripción, o, lo que es lo mismo, la función proposicional no es unitaria. Por consi­guiente, definimos el operador eta del siguiente modo:

G['1xF(x)] =df 3x[F(x) & G(x)]

Una descripción indefinida como «Un perro muerde a Juan» se analiza como B['1xA(x), b]; y «Juan muerde a un perro» se analiza como B[a, '1xA(x)]; recuérdese que lo mismo vale para «algún perro». Cuan­do interviene la negación, también hay diferencias de alcance: «Un perro no muerde a Juan», en el sentido de «Es falso que un perro muerda a Juan», es distinto de «Ningún perro muerde a Juan». Reichen­bach (1947, § 47) propone que el alcance del operador eta siempre sea el correspondiente al segundo ejemplo, es decir:

-G["xF(x)] =df -3x[F(x) & G(x)]

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pero podemos emplear la misma convención notacional de antes, de modo que además de la equivalencia anterior, correspondiente a la negación oracional, definimos:

[-G]['1xF(x)] =df 3x[F(x) & -G(x)]

correspondiente a la negación del sintagma. «Ningún perro muerde a Juan» se analiza como -B['1xA(x), b], es decir, como -3x[A(x) & B(x, b)]. En «Un perro no muerde a Juan» se niega el sintagma verbal; se analiza como [-B] ['1xA(x) , b], es decir, como 3x[A(x) & -B(x, b)]. También se puede negar el sintagma nominal. La primera parte de «No un perro muerde a Juan, sino un niñO» se analiza como [-A] ['1xB(x, b)]; para analizar (rudimentariamente) la oración entera podemos es­cribir

[-A] ['1xB(x, b)] & D['1xB(x, b)]

(que seria intuitivamente análogo a «El que muerde a Juan no es perro sino niño»).

Otra diferencia que se puede explicar mediante el alcance, esta vez de los verbos modales, es la que hay en «Carmen quiere casarse con un millonario» (adaptando el ejemplo 102 de Bach, 1968) entre la inter­pretación especifica de «un millonario» (en ese caso hablamos de un millonario concreto), y la no especifica (cualquiera que sea millona­rio, pero no hablamos de nadie en concreto). La interpretación especi­fica es análoga a una expresión como «Hay por lo menos un x tal que x es millonario y Carmen quiere casarse con x». No plantea problemas nuevos; es de la forma 3x[A(x) & B(a, x)]. Por tanto, podemos emplear el operador eta: B(a, '1x[A(x)]).

La interpretación no especifica es de estructura diferente: D(a, [3x[A(x) & C(a, x)]]): «Carmen quiere que haya por lo menos un x tal que x sea millonario y Carmen se case con JO). No satisface la definición del operador eta, por lo que no podemos emplearlo.

En las cláusulas de relativo (que estudia Acero, 1987), esta diferen­cia se expresa en español mediante el modo subjuntivo, como observa Quine (1956, § 1) con los ejemplos en español «Procuro un perro que habla» y «Procuro un perro que hable». En la traducción al español del artículo de Quine figura «Busco», que es lo que parece que Quine quiere decir, ya que analiza la diferencia como:

a) (3x) (x es un perro & x habla & busco x), b) intento «d strive») que (3x) (x es un perro & x habla & encuen­

tro x).

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Esta segunda correspondería más bien a «Procuro que un perro hable y que yo le encuentre». Pero lo que interesa es que en una hay simplemente «busco» y en la otra «intento encontrar»; más exacta­mente, «existe algo que busco», e «intento que algo exista e intento encontrarlo».

Hay una diferencia parecida en el análisis del otro ejemplo: en la interpretación específica, «querer casarse» se analiza como un predica­do simple; en la no específica, se analiza mediante dos predicados distintos. Por una parte tenemos el verbo modal. «queren>, como predi­cado D, y por la otra el otro verbo, «casarse», que es otro predicado, C. Además, y lo que es más importante, en el segundo análisis la función proposicional correspondiente al verbo modal toma como ar­gumentos proposiciones, y no sólo constantes individuales. Recorde­mos que una función proposicional ligada por el operador eta tiene la sintaxis de una constante individual. de modo que en el primer análisis, B(a, '1x[A (x)]) , B tiene como argumentos constantes individuales. Aquí, por tanto, no sólo hay una diferencia de alcance, sino también de análisis de «querer casarse». Para conseguir un análisis unitario necesi­taremos ocuparnos de las peculiaridades de los verbos modales. Mien­tras tanto, sigamos con los articulas.

3.4.3. El operador lambda

Los sintagmas con artículo definido en plural se pueden analizar mediante el operador iota (cf. Reichenbach, 1947, § 54). Para ello se considera que el argumento es un conjunto entero, que cumple así la condición de unicidad; el artículo definido adopta el significado de «todos»: «Los griegos eran politeístas», «Los hermanos de Hans son alemanes». El artículo definido no siempre aparece en descripciones. Como dice Reichenbach (1947, § 47), las lenguas tienen una tendencia a lo que él llama la «igualación» (<<ecualización»), es decir, «a expresar estructuras lógicamente complicadas mediante la forma lingüística de estructuras simples». En «el león es un animal fiero» queremos decir, señala Reichenbach, «Todos los leones son animales fieros», por lo que su análisis lógico es Vx[A(x) -+ B(x) & C(x)] , es decir, si x es león, entonces x es animal y x es fiero. Para Reichenbach, la interpretación errÓnea de este tipo de oraciones es la raíz de la controversia medieval entre nominalistas y realistas; el realismo medieval habría sido víctima de la tendencia igualadora del lenguaje, al considerar que los términos generales, como «el león» del ejemplo, hacían referencia a entidades con existencia propia. Sin embargo, si seguimos la sugerencia de Bello (1860, § 270), en estos casos de interpretación genérica el articulo

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«sirve para indicar que se trata de toda una clase de objetos», y pode­mos aplicar el operador iota, dando por sentado que el conjunto es único (no hay otro conjunto de leones, puesto que es el conjunto de todos los leones), y que se trata de leones de carne y hueso (nos estaríamos acercando a «Los leones son animales fieros»). De todos modos, hay otra manera de analizar estos usos sin que sea necesario que conlleven la indicación de existencia ni la de unicidad (correspon­dientes a la definición del operador iota). Se trata de un nuevo operador.

El operador iota es singularizador, en el sentido de que permite obtener un término singular, único, a partir de un predicado. El opera­dor lambda es el operador de abstracción: a partir de una función proposicional obtiene el conjunto de los elementos que satisfacen la función. En lugar de escribir la definición de un conjunto por descrip­ción de la forma conocida, (x: x es león), o también, {x: A(x)}, podemos emplear el operador lambda: Ax[A(x)] , -también x[A(x)]-, y, si no hay equívocos, simplemente AxA(x). (Sobre el operador lambda, véase Cresswell, 1973, capítulo 6; Garrido, 1987b, §4 Y Dowty etal., 1981, § 4.III, en que se basa lo que sigue.) En general, si IX es una fórmula, AXIX designa un conjunto. También podemos considerar que constituye la función característica de ese conjunto, es decir, que tiene la misma sintaxis que un predicado. Por ello, podemos analizar «Sultán es fiero» bien como A(a), bien como Ax[A(x)] (a), dado que Ax[A(x)] es el con­junto de los individuos que son fieros. Del mismo modo, «Sultán muer­de a Juan» se analiza como B(a, b) y como h[B(x, b)](a) o Ay[B(a, y)] (b), ya que Ax[B(x, b)] es el conjunto de los individuos que muerden a Juan, y, por su parte, Ay[B(a, y)] es el conjunto de los individuos a que muerde Sultán.

En general, la fórmula AX[ ... x ... ](a) es lógicamente equivalente a la fórmula [ ... a ... ], en que se ha sustituido todas las apariciones libres de la variable x por el valor a. Siempre podemos eliminar de esta forma el operador lambda, sustituyendo la variable correspondiente por su va­lor; esta regla se llama conversión de lambda. Como ejemplo, aplique­mos la regla de conversión de lambda a h[5x + 3 = 23](4); el resulta­do es 5.4 + 3 = 23, es decir, la fórmula es verdadera. «Sultán muerde a Juam> , B(a, b), además de como Ay[B(a, y)]] (b), se puede analizar, realizando la operación de abstracción dos veces, como AX[Ay[B(x, y)]] (b)(a). Aplicando la conversión de lambda sucesivamente, llega­mos primero a Ay[B(a, y)]](b) y luego a B(a, b).

El operador lambda se puede aplicar a variables de predicado: AP[P(b)] es el conjunto de propiedades del individuo b; podemos decir que el individuo b tiene la propiedad A, además de mediante A(b), de la siguiente manera: AP[P(b)] (A), es decir, la propiedad A pertenece al conjunto de las propiedades que tiene el individuo b. La equivalencia

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entre ambas fórmulas permite eliminar el operador lambda, es decir, aplicar la conversión de lambda a variables de predicado. Si se trata de predicados diádicos, como B(a, e) podemos tratarlos como predicados monádicos, por ejemplo, (B(c»(a), y emplear entonces el operador: ..1.P[P(a)] (B(c); por conversión de lambda, la expresión es equivalente a (B(c»(a), es decir, a B(a, e).

Church (1940) fue el primero en desarrollar un cálculo con operado­res lambda; concibió el operador como una función que toma objetos que pueden ser valores de la variable y da como valor proposiciones que resultan de sustituir la variable por dichos objetos. El operador lambda es, por consiguiente, un operador funcional. Podemos emplear­lo para nombrar una función. Por ejemplo, ..1.x[5x + 3] es la función que proyecta cada número x en el número (5x + 3); en (5x + y), podemos distinguir la función ..1.x[5x + y], que es la función que proyecta cada valor de x en (5x + y), de la función ..1.y[5x + y], que es la función que proyecta cada valor de y en (5x + y). Del mismo modo, ..1.x[B(x, y)] nombra la función correspondiente a «morder a alguien», y ..1.y[B(x, y)] es el nombre de la función que corresponde a «ser alguien a quien alguien muerde» o «ser mordido por alguien».

3.5. Aplicaciones del operador lambda

3.5.1. Orden de palabras

La posición del sujeto con respecto al objeto es un rasgo principal de la caracterización tipológica de las lenguas. En español, el sujeto antecede al objeto en el orden no marcado, pero es posible alterar esta disposición, es decir, colocar delante el objeto, en lo que se conoce como tematización. Un procedimiento para conseguirlo es la diátesis pasiva. La pasiva comprende procedimientos distintos, principalmente la inversión del orden de palabras y la posibilidad de la eliminación de la mención del agente. Pero el cambio de orden se puede realizar sin morfología pasiva: «El golpe lo dio Juan». Empecemos por el fenómeno del orden.

Acabamos de ver que, a partir de «morder (alguien) (a alguien)>>, B(x, y), se obtienen dos funciones, según la abstracción que se lleve a cabo: ..1.x[B(x, y)](x) y ..1.y[B(x, y)](y). Si utilizamos una segunda vez el opera­dor lambda, obtenemos otras dos funciones, respectivamente: ..1.y[..1.x[B(x, y)]](x)(y) y ..1.x[..1.y[B(x, y)]] (y)(x). La primera toma como argumento a y, y da como valor una función que, a su vez, toma como argumento a x y da como valor un valor de verdad. Se puede conside-

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rar, en conjunto, que la combinación de ambas funciones toma como argumento el par (y, x) y da como valor un valor veritativo. Del mismo modo, la segunda toma primero como valor x, luego y, para llegar a un valor veritativo. Abreviando el proceso, toma como valor el par (x, y) y lo proyecta a un valor veritativo. Para todo par (y, x) que satisface a la primera función, el par (x, y) satisface a la segunda; y también satisface a la originaria, B(x, y). En otros términos, con la primera doble abstracción invertimos en la función resultante el orden de los argu­mentos en B(x, y); con la segunda lo mantenemos.

La abstracción nos permite analizar una función diádica como com­puesta por dos funciones monádicas, que se calculan sucesivamente. Si desarrollamos mediante abstracción la función B(x, y) como A.x[A.y[B(x, y)]] ( y) (x), tenemos la justificación del tratamiento anterior del predica­do B(x, y) como (B(y»(x); e incluso se puede proponer B(y)(x) como variante notacional de B(x, y). Pero lo más interesante es la posibilidad de mantener o de invertir el orden de los argumentos en la función desarrollada mediante la abstracción. Podríamos pensar que, en la lengua, una relación entre dos argumentos, correspondiente a B(x, y), se puede expresar como relación B(y)(x), o como relación B'(x)(y). La primera sería el orden no marcado, «Alguien muerde a alguien», y la segunda sería el orden invertido, marcado, sea la tematización prono­minal, «A alguien le muerde alguien», sea pasiva (con complemento agente), «Alguien es mordido por alguien». En cuanto a la pasiva, queda todavía la cuestión de la omisión del agente.

3.5.2. Pasiva

En las construcciones pasivas (<<sen> más participio), es posible con­siderar la existencia de un elemento vado en el lugar que ocuparía el sujeto, de modo que se mantengan las propiedades del verbo (es decir, que su objeto en la activa aparezca tras él también en la pasiva): «[elemento vado] es respetado Juan». El sintagma con función de obje­to se mueve después, dejando una huella, cuya relación con el sintagma se indica por un subíndice común: «Juan¡ es respetado [huella¡]»; este análisis se apoya en el de otros fenómenos (cf. § 7.5.2; Y Chomsky, 1981, §§ 2.3 Y 2.7; Hernanz y Brucart, 1987, § 3.5.2; Bonet y Sola, 1986, § 4.10.3). Vamos a fijarnos ahora en el elemento vado, es decir, en la posibilidad que ofrece la construcción pasiva de que no haya complemento agente explícito, aunque no haya desaparecido del todo.

En efecto, desde el punto de vista lógico (es decir, de sus condicio­nes de verdad), «Juan es respetado» es equivalente a «Alguien respeta a Juan», que se analiza como 3xA(x, a). Podemos dar cuenta de la

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eliminación de «alguien» mediante un operador de reducción del suje­to, Rs' definido en uso como sigue:

'10 'v'y[(Rs(O))(y) == 3xO(x, y)]

Rs es una función que toma como argumento predicados diádicos y da como valor predicados monádicos. De ahí el usar una variable de predicados, O, y especificar que se cumple la equivalencia para todo predicado. Aplicándolo al predicado F, esto es lo mismo que decir que el conjunto de los individuos y definidos por el predicado (RsCF)) es igual al conjunto formado por los individuos y tales que, con algún individuo x que existe, forman un par que pertenece al conjunto F. Por ejemplo, si el individuo a pertenece al conjunto (Rs(F)), existe un indivi­duo x tal que el par (x, a) pertenece al conjunto F. En «Juan es respetado», «ser respetado» se considera así como predicado monádi­ca, obtenido por reducción del sujeto del predicado diádico corres­pondiente a «respetan>. La construcción pasiva se analiza entonces como (Rs(F)) (a), relacionada como lógicamente equivalente con la fór­mula 3xA(x, a) de la correspondiente activa, «Alguien respeta a Juan». Siguiendo en la misma línea de este análisis, la relación entre activa y pasiva se puede explicar como relación entre unidades léxicas, «respe­tan> y «ser respetado» (cf. Garrido, 1987a).

Vamos a emplear el operador lambda para definir este operador de reducción del sujeto (cf. Dowty et al., 1981, § 4.3). Partamos de la equi­valencia lógica (bicondicional) que define al operador de reducción del sujeto, Rs :

'10 'v'y[(RsCO)) ( y)] == 3xO(x, y)]

es decir, para todo predicado y para todo valor de su segundo argu­mento se cumple la equivalencia entre fórmula con predicado reducido y fórmula con predicado sin reducir y cuantificador existencial ligando a la variable del primer argumento. En consecuencia, para todo predi­cado, también se cumple que el conjunto de los individuos que son argumento del predicado reducido mediante el operador es igual al conjunto de los individuos que son segundo argumento del predicado sin reducir. Estos conjuntos se pueden obtener mediante abstracción con lambda:

'v'O[Ay(Rs(O))(y) = Ay 3xO(x, y)]

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Pero, de acuerdo con la definición de lambda, Ay(Rs(Q»(y) es el con­junto de los individuos y que define al predicado (RsCQ». Sustituyéndo­lo en la expresión anterior obtenemos:

'v'Q[RsCQ) = Ay 3xQ(x, y)]

es decir, para todo predicado, su correspondiente predicado reducido es el conjunto de individuos que son segundo argumento del predicado existiendo para ellos por lo menos un valor del primer argumento (es decir, de modo que el par satisface al predicado). Como se cumple para todos los valores de Q, quedan definidos como extensionalmente iguales sendos conjuntos: el conjunto de predicados reducibles me­diante el operador y el conjunto de los predicados sin reducir que cumplen la condición (de que hay un conjunto de y tales que, con algún valor de x, forman un par (x, y) que satisface a cada predicado Q). Podemos definir ambos conjuntos mediante abstracción, empleando el operador lambda a la variable Q. Obtenemos entonces:

AQ[(Rs(Q»] = AQ[Ay 3xQ(x, y)]

Tratemos ahora a Rs como predicado de segundo orden, que toma predicados como argumento; AQ[(Rs(Q»] es el conjunto de predicados Q que son argumento de Rs' es decir, es la definición extensional del predicado Rs' De este modo, el segundo miembro de la expresión anterior define al predicado de segundo orden que es nuestro opera­dor de reducción del sujeto:

Rs = lQ[Ay 3xQ(x, y)]

El operador es el conjunto de los predicados para los que se cumple que para el conjunto de los segundos argumentos siempre hay un primer argumento. Cuando lo aplicamos a un predicado, estamos di­ciendo que el predicado cumple la condición de que para todos los valores de su segundo argumento, existe por lo menos un valor del primero tal que el par satisface la función correspondiente al predica­do. Por ejemplo, si lo aplicamos al predicado A, obtenemos:

(Rs(A» = AQ[).y 3xQ(x, y)](A)

Aplicando la conversión de lambda:

(Rs(A» = Ay 3xA(x, y)

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El conjunto de los individuos definido por el predicado reducido es igual al conjunto de los segundos argumentos del predicado sin redu­cir tales que forman con algún valor de x, un par que satisface al predicado sin reducir. En otros términos,

'Vy[(Rs(A)) ( y) ;: 3xA(x, y)]

que es como hemos empezado definiendo el operador.

3.5.3. Determinantes

Empleando el operador lambda aplicado a variables de predicado, podemos abordar el significado de «todo», «algún», y «ningún», tal como propone Montague (1973). «Todo perro ladra» se analiza, según hemos visto, como 'Vx[A(x) -+ B(x)]. En virtud de la conversión de lambda, esta fórmula es equivalente a )..P 'Vx[A(x) -+ P(x)] (B). Mediante el operador lambda, conseguimos una estructura semejante a la lingüís­tica: el equivalente del significado del sintagma nominal se añade al del sintagma verbal. La diferencia es que aquí es el predicado lo que sirve de argumento a la expresión correspondiente al sujeto. Si prescindi­mos del sintagma verbal, y por tanto del predicado B, analizamos «todo perro» como ;'P 'Vx[A(x) -+ P(x)]. A su vez, esta expresión es equiva­lente a ;'Q[;'P 'Vx[Q(x) -+ P(x)]] (A); en ella tenemos por una parte la expresión correspondiente al determinante, «todo», ;'Q[)..P 'Vx[Q(x) -+

P(x)]] , y, por la otra, el predicado A correspondiente al sustantivo «perro». Siguiendo el proceso a la inversa, construimos la oración:

1. «Todo»: ;'Q[;'P 'Vx[Q(x) -+ P(x)]]' 2. «Todo perro»: ;'Q[;'P 'Vx[Q(x) -+ P(x)]] (A).

Conversión de lambda: ;'P 'Vx[A(x) -+ P(x)]. 3. «Todo perro ladra»: ).P 'Vx[A(x) -+ P(x)] (B).

Conversión de lambda: 'Vx[A(x) -+ B(x)].

Del mismo modo (cf. Dowty el al., 1981, § 4.3) analizamos «algún» como ;'Q[;'P 3x[Q(x) & P(x)]] y «ningún» como ;'Q[;'P -3x[Q(x) & P(x)]]. Podemos comprobar, por ejemplo, que, efectivamente, «Algún perro ladra» se analiza como 3x[A(x) & B(x)]:

l. «Algún»: ;'Q[;'P 3x[Q(x) & P(x)]]. 2. «Algún perro»: ).Q[)..P 3x[Q(x) & P(x)]] (A).

Conversión de lambda: ;'P 3x[A(x) & P(x)]. 3. «Algún perro ladra»: ;'P 3x[A(x) & P(x)] (B).

Conversión de lambda: 3x[A(x) & B(x)].

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El mismo análisis sirve para un predicado diádico, por ejemplo, para «Ningún perro muerde a Juan», Obtenemos - 3x[A(x) & C(x, a)] aplicando .A.Q[AP -3x[Q(x) & P(x)]] a A, «perro», y el resultado a (C(a)), el predicado correspondiente a «morder a Juan», ya que consi­deramos el predicado diádico C(x, a) como predicado monádico (C(a)) (x):

.A.Q[.A.P -3x[Q(x) & P(x)]](A)(C(a))

Conversión de lambda:

.A.Q -3x[Q(x) & (C(a))(x)](A)

ConversiÓn de lambda:

- 3x[A(x) & (C(a))(x)]

En virtud del tratamiento dado a C(x,.a) como equivalente a (C(a)) (x):

-3x[A(x) & (C(x, a)]

Para terminar, también podemos emplear el operador lambda para analizar «el» (recordemos que ya tenemos «Un» analizado, como «al­gún»), partiendo de la fÓrmula de Russell correspondiente a las des­cripciones definidas:

3x[P(x) & 'v'x[P( y) -+ (x = y)] & Q(x)]

.A.Q[3x[P(x) & 'v'x[P(y) -+ (x = y)] & Q(x)]](Q)

.A.P[.A.Q[3x[P(x) & 'v'x[P(y) -+ (x = y)] & Q(x)]]](Q)(P)

«El perro ladra» se obtiene de la siguiente manera:

1. «El»: .A.P[AQ[3x[P(x) & 'v'x[P(y) -+ (x = y)] & Q(x)]]]. 2, «El perro»: AP[.A.Q[3x[P(x) & 'v'x[P( y) -+ (x = y)] & Q(x)]]] (A), 3, ConversiÓn de lambda: .A.Q[3x[A(x) & 'v'x[A( y) -+ (x = y)] &

Q(x)]] , 4. «El perro ladra»: ).Q[3x[A(x) & 'v'x[A(y) -+ (x = y)] & Q(x)]](C), 5, Conversión de lambda: 3x[A(x) & 'v'x[A(y) -+ (x = y)] & C(x)].

Conseguirnos así que la estructura de la proposición sea semejante a la de la oración: [[el] [perro]] [ladra], pero a costa de que el compo­nente homólogo a «el» sea una expresión compleja, a diferencia del carácter aparentemente simple del articulo.

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EJERCICIOS

l. Analice «Algunos perros son listos» mediante el cuantificador existencial y mediante el cuantificador existencial restringido.

Z. Indique una oración cuyo significado esté representado lógicamente por lix[A(x) & B(x)] , siendo A «ser perro» y B «ser listo», y explique la diferencia con respecto a «Todos los perros son listos».

3. Indique una oración cuyo significado esté representado lógicamente por 3x[A(x) -+ B(x)] , siendo A «ser perro» y B «ser listo», y explique la diferencia con respecto a «Algunos perros son listos». Recuerde (§ 2.3.2) que un condicional es verdadero si tanto el antecedente corno el conse­cuente son falsos. (Cf. Allwood et al., 1977, § 5.2.)

4. Explique la ambigüedad de «Todos los testigos vieron a alguien en la escena del crimen» mediante la diferencia de alcance de los cuantificado­res universal y existencial.

s. Analice mediante lógica de predicados «Alguna flecha dio en el blanco»; «Ninguna flecha dio en el blanco»; «Alguna flecha no dio en el blanco» y «Ninguna flecha no dio en el blanco».

6. Exponga mediante diagramas de Venn la equivalencia lógica entre 3x-A(x) y -lixA(x); entre -3xA(x) y -lixA(x); entre lixA(x) y -3x-A(x); entre 3xA(x) y -lix-A(x).

7. Analice «El perro muerde el hueso» empleando el operador iota y los predicados A, B, e, para «perro», «hueso» y «muerde», respectivamente.

8. Realice el mismo análisis del ejercicio anterior sin emplear el operador iota (es decir, eliminándolo).

9. Analice «Carmen quiere publicar una novela», distinguiendo la interpreta­ción especifica y la no especifica.

10. Emplee el operador eta para analizar «Ningún amigo ha escrito a Juan». 11. Analice «La propiedad de ser listo está entre las propiedades que caracte­

rizan a Juam> , y aplique la conversión de lambda a la proposición obtenida de modo que corresponda a «Juan es listo».

lZ. Si A(x, y) es la altura de la persona x en el dla y, ¿qué función designan A.x[A(x, 4/2/56]; A.x[Ay[A(x, y)] (4/2/56)]; AX[Ay[A(x, y)]]? (cf. Dowty et al., 1981, § 4.2.2).

13. Defina un operador de reducción de objeto (<<Juan come», frente a «Juan come la merienda»), de manera análoga al definido para el sujeto. Emplee además el operador lambda para definirlo.

14. Analice «Ningún perro ladra» corno - 3x[A(x) & B(x)] empleando el ope­rador lambda para analizar «ningún».

15. Emplee el operador lambda para analizar «todo» en «Todo perro muerde a Juan».

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4.1. Lógica modal

~D Posibilidad y tiempo:

lógica modal y temporal

4.1.1. Estados de cosas y mundos posibles

La utilidad para la semántica de la idea de mundo posible o estado de cosas posibles (cf. § 2.2.3), originaria de Leibniz, aparece en la afirmación de Wittgenstein (1921, § 4.024) de que entender una oraciÓn es saber qué ocurre cuando es verdadera, aunque se pueda entender una oración sin saber si es verdadera. Carnap (1947) define una des­cripción de estado ampliando esta idea (corno observa Cresswell, 1973, Intr.). Supongamos que hay un conjunto de oraciones atÓmicas (es de­cir, proposiciones simples) que son independientes entre sí en cuanto a su valor de verdad. Una descripción de estado es un conjunto de oraciones tal que para cada oración atómica el conjunto contiene a dicha oraciÓn o a su negación. Por ejemplo, si las oraciones atómicas son «Madrid es la capital de España» y «Juan es madrileño», una des­cripcióon de estado es ese mismo par de oraciones; otra es «Madrid no es la capital de España» y «Juan es madrileño»; otrq es «Madrid es la capital de España» y «Juan no es madrileño»; la última posible es «Madrid no es la capital de España» y «Juan no es madrileño». A partir de las dos oraciones definirnos cuatro mundos o estados de cosas posibles, con sus correspondientes descripciones. El siguiente paso es considerar los mundos posibles corno primitivos, es decir, indepen­dientes de las oraciones. Cada proposición queda caracterizada por el

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conjunto de sus valores de verdad para cada uno de los mundos posi­bles. En el ejemplo anterior, con cuatro mundos posibles, mI' m2 , m3 ,

m4

, la proposición A(b) tiene los respectivos valores de verdad, 1, O, 1, O. Para describir mundos posibles más ricos se necesitan más proposi­ciones; en el ejemplo, añadiendo «Juan vive en Madrid» obtendríamos ocho descripciones de estado, o, a la inversa, describiríamos ocho estados de cosas distintas. No podríamos añadir una oración como «Juan es barcelonés», puesto que su valor de verdad no es indepen­diente del de una de las otras oraciones.

4.1.2. Operadores modale.

Cuando pensamos en la realidad, los mundos posibles son infinitos. Para manifestar que lo que decimos (dictum) es más o menos probable o seguro (modus; véase § 2.2.2), emplearnos en ocasiones adverbios de alcance oracional, como «posiblemente» y «necesariamente», además del modo subjuntivo, o también verbos modales, como «poden>: «Posi­blemente esté Juan en casa»; «Juan necesariamente está en casa»; «Juan puede estar en casa». Sin tener que recorrer todos los mundos posi­bles, podemos expresar que una proposición dada es verdadera en todos ellos, o que es verdadera por lo menos en uno, mediante opera­dores modales, de necesidad y de posibilidad.

El operador modal de necesidad, N (también O), se aplica a propo­siciones; su sintaxis es:

Si a es una fórmula, Na es una fórmula.

Para formular su interpretación, no nos basta con estipular que la proposición sea verdadera en todos los mundos posibles; hay que definirlo con respecto al modelo empleado (Kripke, 19S9 y 1963). Para ello, cada modelo da lugar a un conjunto de modelos, cada uno en un mundo posible diferente, Mil' Mi2 , M i3 , ... ; podemos considerar los índices i l , i2 , i3 , ... como mundos posibles (Dowty et al., 1981. § S.II), mI'

m2 m 3 , ... Cada modelo es ahora un trío ordenado (A, MP, 1), donde A es el conjunto de individuos, MP es el conjunto de mundos posibles, el es la función que asigna a cada constante no lógica una denotación en cada mundo posible. Por ejemplo, 1 puede asignar a la proposición correspondiente a «Juan está en casa» el valor de verdadera en el mundo mI' y de falsa en m a, etc. El significado de una fórmula a es ahora [[a]]M.m.g; siendo g una asignación de valores a las variables. La interpretación del operador de necesidad N es:

Si a es una fórmula, [[Na]]M.m. g = 1 ssi para todo m' que pertenece a MP, [[a]]M.m'.g = 1

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De este modo, la proposición, en cada mundo posible m, tiene que ser verdadera para todo otro mundo posible m'. El operador de posi­bilidad, M (también <», se define análogamente.

Si a es una fórmula, Ma es una fórmula. Si a es una fórmula, [[Ma]]M,m. g = 1 ssi para por lo menos un m' que

pertenece a MP, [[a]]M.m'.g = 1.

La analogía con los cuantificadores universal y existencial se confir­ma al comprobar que podemos definir cada operador modal a partir del otro y la negación, como pasaba con los cuantificadores (§ 3.2): Np = ,...M-p Y Mp = -N,...p; también, N,...p = ,...Mp Y M,...p = ,...Np.

Con los operadores de necesidad y posibilidad se constituye la lógica modal, lógica de las modalidades o lógica aJética, según término de G. H. van Wright, formado a partir del adjetivo griego que significa «verdaderamente, propiamente dicho» (sobre la lógica modal, véase Hughes y Cresswell, 1968).

Hay diferentes sistemas de modalidad, según se defina el concepto de necesidad en relación con los mundos posibles. La base de esta definición, de Kripke (1959 y 1963), es la relación de accesibilidad, que permite precisar la concepción de Leibniz de que un enunciado necesario es verdadero no sólo en el mundo real, sino en todos los mundos posibles. Kripke (1963, 64) propone la relación de que un mundo es posible con respecto a otro si toda proposición verdadera en el primero es posible en el segundo. Esta relación binaria de accesibili­dad (o alterna ti vida d), definida en el conjunto MP de los mundos posi­bles (incluyendo el actual), es por tanto reflexiva.

Podemos entender la relación en otros términos: el mundo m2 es accesible desde mi si hay en mi por lo menos un ente capaz de pensar o imaginar el mundo m2 . Aplicando el concepto de accesibilidad al operador de necesidad, N, se dice que una proposición p es necesaria en un mundo mi si p es verdadera en todos los mundos accesibles desde mi' La relación no es obligatoriamente simétrica. Veamos un ejemplo, de Stegmüller (1975, § 2.3.1). Podemos imaginarnos un mundo sin televisión; dicho mundo es accesible desde el nuestro. Pero no tiene por qué haber en ese mundo sin televisión un habitante que se imagine el nuestro. En esta concepción débil de la accesibilidad se basa el sistema modal llamado T. Definiendo la accesibilidad como relación transitiva, si alguien en el mundo mi se imagina m2 , y alguien en ma es capaz de imaginarse m 3 , entonces el habitante de mi también es capaz de imaginarse m 3 . Esto quiere decir que ser capaces de imaginarnos un mundo sin televisión supondría ser capaces de imaginarnos todo lo que podrían imaginarse los habitantes de un mundo así. El sistema S4 se basa en este concepto fuerte de la accesibilidad. Finalmente, si se

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aji.ade la simetría a las propiedades de la accesibilidad, se obtiene el concepto absoluto de accesibilidad que corresponde al sistema modal S5' Este es el sistema que tiene la interpretación modelo-teórica más sencilla, tal como la hemos definido antes para los operadores de necesidad y posibilidad. Cada sistema comprende axiomas diferentes, según las propiedades de la relación de accesibilidad R (McCawley, 1981, § 20.2 Y Kripke, 1963, 64):

Si R es reflexiva, se cumple que Np ~ p (sistema T). Si R es transitiva, se cumple que Np ~ NNp (sistema S4)' Si R es simétrica, se cumple que p ~ NMp (sistema brouweriano). Si R es transitiva y simétrica, se cumple que Np -+ NMp (sistema S5)'

En el sistema Ss' la relación de accesibilidad es, pues, de equivalencia. Cuando la relación es simétrica, se cumple la fórmula de Brouwer, p ~ NMp; de ahí el nombre de sistema brouweriano. Cada sistema de esta jerarquía está caracterizado por un conjunto de axiomas que permiten probar diferentes teoremas. Por ejemplo, en los sistemas SI' S2 y S3' de C. 1. Lewis, no se cumple la ley de la necesitación, que garantiza la necesidad lógica: si p se puede probar, entonces p es necesariamente verdadero, Np.

Mediante los operadores modales podemos formular proposiciones metalingüísticas como expresiones del lenguaje objeto acerca de la verdad lógica, tanto la anal1tica (<<"Ningún soltero está casado" es nece­sariamente verdadero») como la lógico-formal en sentido estricto (<<El razonamiento " ... " es necesariamente verdadero»); también permite formular en el lenguaje objeto el concepto metalingüístico de implica­ción, como implicación estricta: - M(p & - q), «No es posible que p y no-q» (cf. Stegmüller, 1975, § 2.3.1). Con ello se evita las paradojas de definir la deducibilidad mediante el condicional (cf. Deaño, 1975, II.I.3): - p ~ (p -+ q) y q ~ (p ~ q), es decir, si un enunciado falso, es verdadero cualquier condicional que lo tenga como antecedente, y si un enunciado es verdadero, es verdadero cualquier condicional que lo tenga como consecuente; pero no son correctas las respectivas paráfra­sis (McCawley, 1981, § 10.4) «Una proposición falsa implica cualquier proposición», y «Una proposición verdadera es implicada por cual­quier proposicióm>, ya que en ningún momento se habla de implicación (en sentido estricto). La implicación estricta, definida por C. 1. Lewis en 1912, se escribe mediante un anzuelo horizontal: p ---3 q), y se puede también definir N(p ~ q) o como N( - p v q).

Las correspondientes paradojas de la implicación estricta son: Nq ~ (p ---3 q), «Una proposición necesaria es implicada por cualquier pro­posición»; -Mp ~ (p ---3 q), «Una proposición imposible implica cual­quier proposición»; (p & -p) ---3 q; p ---3 (q v -q). Anderson y Belnap

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(1975) rechazan la validez de estos teoremas, especialmente los dos últimos, como corrupciones del concepto de implicación (cf. . McCaw­ley, 1981, § 10.4). La razón es que una proposición se deduce o es consecuencia lógica sólo de las proposiciones que le son relevantes; en los cuatro casos, pero más claramente en los dos últimos, los antece­dentes son irrelevantes para los consecuentes. Hughes y Cresswell (1968) defienden su validez, porque según ellos una lógica de la impli­cación tiene que dar cuenta de nuestra inclinación a responder, ante una aserción autocontradictoria, que si se la aceptara, entonces se podria probar cualquier cosa. En la lógica de la implicación relevante (McCawley, 1981, § 10.4), lo que se podria probar seria cualquier cosa relevante para la contradicción.

Para las proposiciones contrafácticas (cf. § 2.3.2), como la del ejem­plo «Si Juan fuese hermano de Pedro, Pedro tendría seis hermanos» (Allwood et al., 1977, § 7.5), Stalnaker (1969) y D. Lewis (1973) han pro­puesto un operador de semejanza entre mundos posibles, de modo que el condicional es verdadero en un mundo ssi el consecuente es verda­dero en el mundo o mundos que más se parecen a dicho mundo, yen que el antecedente es verdadero. D. Lewis establece una relación de proximidad relativa entre mundos posibles, de manera que p D-+ q (<<p implica localmente q») es verdadero en m ssi siendo p verdadero en m', y q en m', no hay un mundo m" más cercano a m que m' en que p es verdadero y q es falso; o, también, no hay mundo alguno en que p sea verdadero (cf. McCawley, 1981, § 11.1). Así definido, el operador no mantiene la transitividad del condicional, característica observada por Stalnaker (1969) para las proposiciones contrafácticas:

Si Gorbachov hubiera nacido en Italia, seria católico. Si Gorbachov fuera católico, la Unión Soviética estaría sometida a la

autoridad del Papa. Por tanto, si Gorbachov hubiera nacido en Italia, la Unión Soviética

estaría sometida a la autoridad del Papa.

El fallo está en que las premisas tienen que ver con diferentes mundos posibles o estados de cosas. En la primera, el estado de cosas consiste en que Gorbachov ha nacido en Italia, siendo en lo posible todo lo demás igual (<<ceteris paribus»); pero si Gorbachov es italiano, no es dirigente ruso. La segunda premisa está relacionada con estados de cosas en que, siendo todo lo demás como ahora, es decir, siendo ruso y siendo dirigente de la Unión Soviética, Gorbachov es católico. Las otras cosas que son iguales con respecto al mundo actual son diferentes entre si en el mundo de cada premisa que está más próximo al actual o es más parecido a él.

Otras fórmulas de la lógica modal expresan (por tanto, como lengua-

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je objeto) lo que en la lógica de predicados son reglas del meta­lenguaje (Dowty et al., 1981, § 5.11). Por ejemplo, la ley de la necesidad, Np -+ p, corresponde a la regla de la ejemplificación universal (o de eliminación del cuantificador universal), VxP(x) -+ P(a); y p -+ Mp es análoga a la regla de introducción del cuantificador existencial, P(a) -+

3xP(x). Aunque parezca extraño un razonamiento como «Si Juan está en casa, es posible que Juan esté en casa», ello se debe a que «ser posible» y «deben> se suelen interpretar (cf. Karttunen, 1912) en el sentido del permiso y la obligación. Para dar cuenta de ello hay otros operadores.

4.1.3. Operadores deóntico.

Los operadores deónticos de obligación, O, y de permiso, PE, se construyen de manera semejante a los operadores aléticos: Op se lee «Es obligatorio que p», y PEp se lee «Está permitido que p». La lógica deóntica normativa estudia las relaciones lógicas entre enunciados nor­mativos (véase Hilpinen, 1971), aplicándose los operadores a tipos de acciones (Wright, 1963 y 1964). La lógica de óntica descriptiva compren­de también una semántica, análoga a la de los operadores modales. Los mundos posibles en su interpretación son estados de cosas determina­dos por un sistema ético o legal (el término «deóntico» está formado a partir del adjetivo griego para lo que es obligatorio, debido, conve­niente). El operador de obligación corresponde a la interpretación en un modelo tal que la proposición es verdadera en todos los mundos posibles (del sistema ético), y el operador de permiso corresponde a la interpretación en que la proposición es verdadera en por lo menos uno de los mundos posibles. Para estos operadores, según la idea de Wright, valen las mismas interdefiniciones establecidas para los opera­dores aléticos, pero las fórmulas del tipo Op -+ P y P -+ PEp plantean dificultades en el enfoque normativo: la infracción de una regla precisa­mente no tiene como consecuencia que la infracción esté permitida (eC. Stegmüller, 1975, § 2.3.2).

Es frecuente encontrar en las diferentes lenguas el hecho de que se expresen con las mismas unidades léxicas las relaciones aléticas y las de ónticas (lo cual lleva a Allwood et al., 1977, § 7.3, a observar que las lenguas reflejan estas relaciones estrechas entre los dos tipos de opera­dores). En español, «poden> se emplea con el sentido de «tener permi­so» o de «ser posible»; recordemos la polémica sobre «deber» em­pleado por «deber de», sin reservar el primero para la obligación y el segundo para la posibilidad.

La lógica deóntica normativa o lógica de los enunciados normativos

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(imperativos, órdenes) ha desarrollado el estudio de paradojas, por ejemplo la de Prior: O(p -+ q), «La realización de una acción p obliga a la realización de una acción q». Pero a partir de la fórmula se obtiene -PEp -+ O(p -+ q), es decir, «Hacer algo prohibido obliga a hacer cualquier cosa». Por eso Prior propone sustituir la primera expresión por p -+ Oq. Pero esta propuesta nos lleva a su vez (Stegmüller, 1975, § 2.3.2) a - p -+ (p -+ Oq), es decir, «Lo que no se ha hecho nos obliga a cualquier acción».

4.2. Actitudes y creencias

4.2.1. Operadores eplstémlcos

Además de expresar la probabilidad de un suceso, podemos indi­car nuestro grado de compromiso ante ella, de manera que en lugar de «Juan puede estar en casa» se diga «Creo que Juan está en casa». El modus o actitud del hablante expresa entonces lo que se conoce como actitud proposicional, en término de Russell (1940, capítulos 12 y 19), de creencia, deseo, esperanza, etc., que podemos analizar mediante ope­radores que, en el caso del conocimiento y la creencia, se llaman epistémicos (sobre el análisis de las actitudes proposicionales, véase Ouine, 1956 y Cresswell, 1985). Así, «Pedro cree que Juan está en casa», en lugar de B(a, A(b» se analiza a partir del operador de creen­cia, Ba(A(b», que se lee «En todos los mundos coherentes con las creencias de a, se cumple que A(b») (Hintikka, 1962; d. Allwood et al., 1977, § 7.3), o «Dado lo que a sabe, A(b) tiene que ser verdadero» (McCawley, 1981, § 10.1). Si se trata de las creencias de otro individuo, b, los mundos posibles pueden ser diferentes; Bb relaciona la proposi­ción con los mundos coherentes con creencias que pueden ser distin­tas, y por tanto, hace accesibles mundos que pueden ser diferentes (sobre los universos de creencias, véase Robert Martin, 1987).

Así como el operador epistémico de creencia se suele representar mediante la letra B (del inglés «believe», creer), el que corresponde al verbo «saben> se escribe mediante K (del inglés «know», saber). «Pe­dro sabe que Juan está en casa» se analiza como Ka(A(b». Si se quiere emplear símbolos mnemotécnicos en español, se escribirá Ca(A(b» y Sa(A(b» , respectivamente. El operador epistémico correspondiente a «saber» tiene como correlativo el correspondiente a «no saber que no» (d. «ignoran» o a «es epistémicamente posible que», por ejemplo Ia(A(b», de manera que SxP +-+ -lx-p·

Mediante un operador análogo podemos dar cuenta de la diferencia de interpretación de «Carmen quiere casarse con un millonario». Ante-

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rionnente (§ 3.4.2) llegábamos a resultados diferentes, 3x[A(x) & B(a, x)], si el sintagma «un millonario» se entiende como específico, o D[a, [3x[A(x) & CCa, x)]]], si se entiende como no específico. En el primer caso, «querer casarse» se analiza como predicado B; en el segundo, «querer» es un predicado de segundo orden, D, que toma como argu­mentos una constante individual y una proposición, fonnada por el predicado e, «casarse». En lugar de analizar «querer» como tan extra­ño predicado, podemos emplear un operador de deseo (es decir, bulomaico) Dx ' que se aplica a proposiciones, de manera que las dos interpretaciones reciben un análisis unificado: 3x[A(x) & Da(C(a, x))], es decir, existe alguien que es millonario con independencia del deseo de Carmen de casarse con él. y Da(3x[A(x) & C(a, x)]), es decir, Carmen desea que exista alguien millonario y desea casarse con él.

También podemos dar cuenta del uso atributivo frente al uso refe­rencial o mentador (e!. Donnellan, 1966) del sintagma «el asesino de Herrero» en ejemplos como «García cree que el asesino de Herrero está loco». En un caso, se habla de la persona que haya asesinado a Herrero, sin saber exactamente quién es:

Ba(A(IXC(X, b))

también

BaC3x[C(x, b) & Vy[C(y, b) ~ (y = x)] & A(x)])

es decir, un individuo, a, cree que existe alguien, x, que ha asesinado a b y que está loco. En el otro caso, hay un individuo en particular, x, que ha asesinado a b, y del cual a cree que está loco:

3x[C(x, b) & Vy[C(y, b) ~ (y = x)] & Ba(A(x))]

Aplicando el operador lambda a BaCA (x)) , obtenemos A.xBa (A (x)) (x), o, para distinguir la variable de la de IXC(X, b), A.yBa(A(y))(y). La fórmula correspondiente al segundo caso es, así pues, equivalente a A.yBa(A( y)) (IXC(X, b)). En el primer caso, Ba(A(IXC(X, b)), el asesino de Herrero es un personaje de los mundos de creencia de García; en el segundo es un personaje del mundo con independencia de lo que crea Garcia. La primera interpretación de «el asesino de Herrero» es de dicto (se habla de quien García dice ser el asesino); la segunda, de re (se habla de la cosa, en este caso de quien de hecho es el asesino).

Veamos otro ejemplo de esta diferencia: «Juan cree que el hombre que le atracó es cojo» (e!. Allwood et al., 1977, § 9.4). La interpretación de dicto corresponde a Ba(A(IXC(X, a)). Vale la pena observar que al

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analizar así la oración, ponemos en duda también el atraco, además de que sea cojo el atracador. La interpretación de re es mucho más atenta hacia Juan: consiste en afirmar que alguien, a quien Juan cree cojo, ha atracado a Juan; en otros términos, alguien que tiene la propiedad de que Juan le cree cojo es el que ha atracado a Juan. Vayamos por partes. Ba(A(x)) es la función proposicional correspondiente a «creer Juan que x es cojo». Aplicándole el operador lambda,- obtenemos .A.xBa(A(x))(x), es decir, «ser quien (fquienes) Juan cree que es cojo (fson cojos)>>. El atracador de Juan es el individuo que existe y es único tal que ha atracado a Juan, es decir , y (C( y, a)). Empleando esta expresión, que es una constante individual, como argumento de la función pro­posicional «ser quien Juan cree que es cojo», obtenemos la lectura de re:

.A.xBa(A(x)) (¡y(C( y, a)))

4.2.2. Identidad y mundos posibles

Hasta aquí hemos encontrado dos problemas de ambigüedad, aun­que los hayamos analizado de la misma manera. El primero es estar hablando en general, de cualquiera que pueda satisfacer una descrip­ción, frente a referirse a alguien concreto (interpretación no específica frente a la específica). El segundo es un problema de identificación del referente: al hablar de alguien concreto, emplear una u otra expresión para referirse a él (por ejemplo, «el asesino de Herrero», o «Pérez»). En cuanto a esta segunda cuestión, se suele afirmar que, en un razona­miento, se puede sustituir una expresión por otra que tenga la misma referencia sin que se altere el valor de verdad de la correspondiente proposición (<<salva veritate»). En la interpretación de re, este principio (conocido como principio de Leibniz) no plantea problemas, con tal que los interlocutores estén de acuerdo acerca de la identidad del asesino, incluso (Linsky, 1967, § 1 Y 4) si están los dos equivocados, y el indivi­duo que ellos creen no es el asesino. Pero en la interpretación de dicto no se puede sustituir, por ejemplo en «el asesino de Herrero», porque García está hablando de quien él cree que es el asesino. Si el asesino es efectivamente Pérez, pero García cree que es Ramírez, no es válido el siguiente razonamiento:

García cree que el asesino de Herrero está loco. El asesino de Herrero es Pérez. Por tanto, García cree que Pérez está loco.

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Lo que Garcia cree es que Ramírez está loco. Los contextos en que no se puede sustituir sin que cambie el valor de verdad no son referen­cialmente transparentes, es decir. son opacos. Son contextos introduci­dos por ciertos verbos, corno «buscar», «ven>, «cazar», además de «creer», y también por la cita o mención (Quine, 1960, § 30-32): «"El asesino de Herrero está loco" es verdadera».

Otra manera de analizar la cuestión es la de la identidad en mundos diferentes. En los mundos de creencia de Garcia, es Ramírez el que tiene la propiedad de ser el asesino de Herrero, y la de estar loco. Los referentes de los nombres propios son, de acuerdo con Wittgenstein (1953, § 79), susceptibles de descripciones diferentes, unas más impor­tantes que otras. Además, estas descripciones no son las mismas para todos los hablantes; Kaplan (1969, § X) emplea el término de viveza (en el sentido en que un color o un recuerdo son «vivos») para indicar que un nombre es vivo para un hablante cuando éste emplea un enorme conjunto estructurado de imágenes, nombres y descripciones parciales para traerlo a la mente. Distinguirnos entonces entre la denotación del individuo mediante el nombre y la viveza del nombre, o conocimientos o creencias del hablante ligados al nombre. ¿Cómo podernos entender­nos, cuando nuestras creencias sean diferentes? En nuestro ejemplo, sin embargo, todos están de acuerdo en cuanto a la identidad de los referentes de «Pérez», «Ramírez»; «Herrero», etc.; el problema se plan­tea con «el asesino de Herrero». Kripke (1972, 269-270) propone distin­guir entre designadores rJgidos, que designan al mismo individuo en todos los mundos posibles y designadores accidentales. Los nombres propios, corno «Ramirez», son rígidos; las descripciones, corno «el asesino de Herrero», son accidentales, porque, en otros mundos, . el asesino podría haber sido otra persona. Con este planteamiento, pode­rnos considerar que el conjunto de individuos es en todos los mundos el mismo, y sólo difieren en las propiedades que tienen en cada mundo (es el enfoque descrito anteriormente). Otra solución es proponer que el conjunto de individuos no es el mismo, pero que cada individuo de un mundo tiene un homólogo en cada uno de los otros (es la teoría de Lewis (1968) de los homólogos, aplicada por Lakoff (1968); en la traduC:i­ción de este último trabajo, Sánchez de Zavala (1976) emplea «contra­partes»). También se suele distinguir (Quine, 1953a, § 3) entre propie­dades accidentales de un individuo y propiedades esenciales, según que el individuo las pueda o no perder manteniendo su identidad, es decir, las posea de manera contingente o necesaria. Por ejemplo, la propiedad del número 9 de ser el producto de 3 por 3 es esencial; es accidental la de ser el número de planetas del sistema solar.

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4.3. Lógica temporal

4.3.1. Operadores temporales

Un ejemplo intuitivamente claro de la diferencia entre los designa­dores rígidos y los accidentales (del apartado anterior) es el de los estados de cosas a lo largo del tiempo. Los individuos siguen conser­vando su nombre a través del tiempo (salvo, claro está, los cambios de nombre, legales o fraudulentos). Sin embargo, cambia la denotación de los predicados, es decir, el valor de verdad de las correspondientes proposiciones. «Juan» sigue llamándose «Juan», pero «Juan tiene veinte años» deja de ser verdadera cuando, con el paso del tiempo, el indivi­duo denotado por «Juan» deja de pertenecer al conjunto de los indivi­duos que tienen veinte años. Para dar cuenta de este hecho, podemos considerar el tiempo como un conjunto T de momentos ti' t2 , t3 , ... , tn ,

ordenados linealmente, de modo que cualquier momento o bien pre­cede o bien sucede a otro; escribimos que ti antecede a t2 como ti < t2 .

Estos momentos de tiempo dan lugar .a estados de cosas diferentes entre si, pero que, a diferencia de los mundos posibles anteriores, están ordenados entre si. Para cada momento las condiciones de ver­dad de las proposiciones pueden ser diferentes; en otros términos, la función de interpretación 1 asigna una interpretación a cada constante no lógica para cada momento de tiempo. Cada modelo temporal M está compuesto por el conjunto de individuos A, el conjunto de momentos de tiempo T y la relación de ordenación lineal en dicho conjunto <, además de la función de interpretación 1: (A, T, <,1). La interpretación de cualquier fórmula oc se hace con respecto al modelo M, el tiempo t y la asignación de valores a las variables g: [[OC]]M, 1, g. Podemos expresar que una proposición dada es verdadera en un tiempo ( anterior a t mediante un operador de pasado, P, cuya sintaxis es:

Si oc es una fórmula, Poc es una fórmula, y su interpretación es:

[[POC]]M,I,g = 1 ssi para por lo menos un momento t' de T anterior a t se cumple que [[oc]]M,t',g = 1.

Así, si «Juan tiene veinte años» se analiza como C(a), podemos construir un modelo en que la proposición es falsa en el momento t, pero es verdadera en un momento anterior t': [[C(a)]]M,/,g = O; Y [[P(C(a))]]M,I,g = 1. La proposición P(C(a)} es verdadera en el momen­to t, porque hay un momento anterior t' en que C(a) es verdadera.

De modo análogo se define el operador de futuro F; ahora se trata de que la proposición sea verdadera en un momento t' posterior a t:

Si oc es una fórmula, Foc es una fórmula.

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[[Fa]]M,t,g = 1 ssi para por lo menos un momento t' de T posterior a t se cumple que [[a]]M,r, g = 1.

En la definición de ambos operadores se emplea el cuantificador existencial. En realidad, estos operadores nos permiten trasladar enun­ciados metalingüísticos de cuantificación sobre momentos de tiempo a proposiciones en lenguaje objeto (Dowty et al" 1981, § 5.1). La relación de definición mutua entre cuantificad¡lr existencial y cuantificador uni­versal se puede aprovechar, así pues, para definir operadores tempo­rales en los que la proposición sea verdadera en todos los momentos anteriores o posteriores. En efecto, -P-a expresa que no existe un momento anterior en el que la proposición sea falsa, o, lo que es lo mismo, que la proposición es verdadera en todos los momentos ante­riores. Lo mismo vale para el operador de futuro; por ello, definimos otros dos operadores, de pasado y de futuro, respectivamente, H y G:

Ha =df -P-a

Ga =df -F-a

Con los cuatro operadores temporales, Prior (1967 y 1968) ha desa­rrollado una lógica temporal (del tiempo verbal), de carácter axiomáti­co, es decir, sin emplear el concepto de mundo posible, que considera dudoso. Un procedimiento alternativo para definir los operadores es basar su definición (Rescher y Urquhart, 1971, capítulo 5) en un opera­dor RI tal que R¡{a) se define como «a es verdadero en el momento D>. A partir de este operador definimos los otros; por ejemplo:

0.(a) =df 3t[ta < t & RI(a)]

siendo la el momento con respecto al cual se sitúa el tiempo como futuro. Mediante el operador Rt es también posible cuantificar sobre la variable t, por ejemplo para indicar que a se cumple para el intervalo compuesto por todos los momentos en la línea temporal desde t¡ hasta l¡+k: V't[t¡_l < t < l¡+k+l -. RI(a)]; es decir, para todo t, si t pertenece al intervalo, entonces a es verdadera en t. En los cuatro operadores de antes, sin embargo, la cuantificación sobre t queda incorporada en la definición.

4.3.2. Análisis del tiempo y el aspecto verbales

Inmediatamente surge la idea de aplicar los operadores temporales al análisis del tiempo verbal morfológico: «Juan tuvo veinte años» y «Juan tendrá veinte años», como, respectivamente, P(C(a» y F(C(a», a partir de «Juan tiene veinte años», C(a). Si añadimos «siempre» (<<nun­ca», en la negación), obtenemos oraciones analizables mediante los

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operadores H Y G: «Juan siempre tuvo veinte años», «Juan siempre tendrá veinte años». Los complementos de tiempo se analizan también como operadores: «ayer», en «Juan durmió ayer» corresponde a un operador (Cresswell, 1973, def. 12.4) en que t' es un momento del día anterior a t.

Pero surgen problemas. Como los operadores se pueden aplicar repetidamente, podemos emplear FPa. para analizar oraciones como «Juan habrá tenido veinte años» y PPa. para «Juan había tenido veinte añOS», pero fórmulas como PPPa. o FPFPa. no nos sirven para los tiempos verbales, y, por otra parte, hay tiempos como «Juan ha tenido veinte años» para las que no ofrecen soluciones. Además, los tiempos verba­les no sitúan los acontecimientos con respecto a un momento de tiempo t cualquiera, sino (en los usos absolutos) con respecto al momento de enunciación (en los usos relativos, con respecto a un segundo momen­to, situado a su vez con respecto al tiempo de enunciación).

Reichenbach (1947, § 51) ha desarrollado un análisis de los tiempos verbales sobre la base de distinguir tres factores, el punto del aconteci­miento, A, el punto de referencia (en el sentido de orientación tempo­ral), R, y el punto de enunciación, E, ampliando el análisis de Jespersen (1924, capítulos 19 y 20). Adaptando su representación gráfica para aplicar el análisis al español, en el tiempo verbal presente coinciden los tres puntos; en el futuro, el punto de referencia coincide con el de enunciación, mientras que en el pasado coincide con el del aconteci­miento:

• Presente (<<veo a Juan»): (R = A = E). • Futuro (<<veré a Juan»): (R = E) < A. • Pasado (<<vi a Juan»): (R = A) < E.

Los tiempos compuestos permiten separar el punto del aconteci-miento (o el de enunciación) del punto de referencia:

• Perfecto presente (<<he visto a Juan»): A < (R = E). • Perfecto futuro (<<habré visto a Juan»): E < A < R. • Perfecto pasado (<<había visto a Juan»): A < R < E.

El perfecto futuro sitúa el acontecimiento como pasado con respecto a un punto de referencia futuro, mientras que el perfecto pasado lo sitúa como pasado con respecto a un punto de referencia pasado (de ahí las correspondientes aplicaciones de los operadores mencionadas antes). El aspecto de los tiempos verbales se considera en virtud de su efecto de colocar un acontecimiento con respecto a otro punto de tiempo: el perfecto simple (<<pasado») se diferencia del perfecto com­puesto (<<perfecto presente») en que el punto de referencia es anterior al de enunciación, coincidiendo con el del acontecimiento, mientras

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que en el perfecto compuesto (<<perfecto presente») el punto de refe­rencia coincide con el de enunciación. En los dos tiempos verbales el acontecimiento queda situado como anterior al momento de enuncia­ción; sólo cambia el punto de referencia (sobre el aspecto, véase Gal­ton, 1984).

Otro fenómeno de aspecto, la duración, corresponde a lo que Rei­chenbach llama tiempos verbales «extendidos», que indican que el acontecimiento se despliega a lo largo de un cierto tramo de tiempo. Adaptando el análisis al español, obtenemos:

• Presente extendido (<<estoy viendo a Juan»): (R = A = E). • Futuro extendido (<<estaré viendo a Juan»): (R = E) < A. • Pasado extendido (<<estuve viendo a Juan): (R = A) < E.

En el presente extendido, el acontecimiento se extiende a lo largo del tiempo, incluyendo los puntos de referencia y de la enunciación. En el pasado extendido, tanto la referencia como el acontecimiento se extienden a lo largo del tiempo. En los tiempos compuestos, sólo el acontecimiento se extiende a lo largo del tiempo:

• Perf. presente extendido (<<he estado viendo a Juan»): A < (R = E).

• Perf. futuro extendido (<<habré estado viendo a Juan»): E < A < R. • Perf. pasado extendido (<<había estado viendo a Juan»): A < R

< E.

Reichenbach observa que los tiempos ampliados también sirven para indicar que el acontecimiento se repite. «Veo», en el sentido habitual de «suelo ven>, sería: R = A A A A A A A = E, en donde el tramo de tiempo cubierto por los acontecimientos repetidos incluye los puntos de referencia y de enunciación. Hay lenguas que tienen tiempos ampliados no perifrásticos. Reichenbach da el ejemplo del presente habitual «muzari» turco, expresado por el sufijo «ün> , frente al sufijo «üyoy» del presente puntual: «gbrürurn», «suelo ven>, «gbrüyorurn», «veo». Analiza el imperfecto francés «Je voyais Jean» como (R = A) < E, frente al perfecto simple «Je vis Jean», A < (R = E). Con ello no se distingue entre «Estuvo viendo a Juan» y «Veía a Juan», ambos (R = A) < E. Además, como observa Reichenbach, la lengua real no siempre sigue los esquemas correspondientes a los tiempos. Por ejemplo, en inglés, el perfecto simple se puede usar con el sentido del tiempo extendido, con la indicación adicional de que la duración del aconteci­miento alcanza al punto de enunciación. Adaptando la notación, el tra­mo del acontecimiento es anterior a los puntos de referencia y de enunciación, y además coincide con ellos: A ~ (R = E). En español este uso, con un complemento de tiempo, corresponde a la perifrasis: «Lle-

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va estudiando tres años»; cf. «He estudiado (ya) tres años». Hay usos diferentes en otros tiempos. El futuro permite (E = R) < A, «Iré ahora», y E < (R = A), «Iré mañana»; adaptando el análisis de Reichenbach del francés, «Vaya ir» es del tipo (E = R) < A. Además de inventariar nueve esquemas fundamentales, Reichenbach explica la consecución de los tiempos basándose en las relaciones entre los puntos de referen­cia de los diferentes acontecimientos.

4.3.3. Coordenad.s, índices y contextos

Sin agotar el análisis de Reichenbach, interesa observar que en la expresión lingüística del tiempo, el punto t de la definición de los operadores temporales no es un punto cualquiera, sino el punto de tiempo correspondiente a la enunciación, en los usos absolutos de los tiempos verbales, y otro punto de orientación, en los usos relativos. Se puede incorporar el análisis de tres puntos a los operadores tempora­les (como han hecho Aqvist, 1976; Aqvist y Guenthner, 1978 y Dowty, 1979, entre otros), de modo que se interpreten las fórmulas con opera­dores en relación no ya con un punto t, sino con los puntos temporales de referencia y de enunciación definidos por Reichenbach. Igualmente se basan en el análisis de Reichenbach los de Hornstein (1977) y Comrie (1985, capítulo 6). También podemos dar cuenta del punto de referen­cia mediante el operador RI de Rescher y Urquhart (véase § 4.3.1), si distinguimos el momento t (de referencia) del punto de enunciación h (correspondiente a «ahora»). La variable h puede tomar distintos valo­res, de manera que el punto de referencia puede así coincidir o no con el de enunciación.

El tiempo expresado en la morfología verbal es una información deictica (cf. § 2.2.2), como la de la persona, que liga los enunciados a los hablantes, como la de tiempo o lugar en «ahora» o «aquí», y como la relación de distancia expresada por los demostrativos (precisamente, como recuerda Lyons (1977, § 15.1) «deíctica» es el término tomado del griego «deiktikós», que los gramáticos latinos tradujeron por «demons­trativus»). Todas estas expresiones lingüísticas son señales en el senti­do de Bühler (1934), expresiones indicadoras (Bar-Hillel, 1954), indices (Peirce, 1932, § 283-291 y 305-106) que apuntan a los participantes o a los puntos situados más o menos cerca en el espacio y tiempo de la enunciación.

Un modo de tratar estas informaciones, que fijan las expresiones en el universo de discurso, es (Dowty et al., 1981, § 5.III) ampliar el índice que hasta ahora hemos empleado para interpretar las fórmulas con respecto al conjunto de mundos posibles, MP, o con respecto al de los

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momentos de tiempo ordenados linealmente, T, <. Los operadores modales se definen entonces teniendo en cuenta también la variable de tiempo (véase Gardies, 1976, § 2.2). Cada interpretación comprende en­tonces unas coordenadas de tiempo y mundo posible; incluso, siguien­do la propuesta de Lewis (1970), podemos pensar en unas coordenadas de hablante (individuo del conjunto A), de oyente, de lugar (para dar cuenta de la deíxis espacial), etc., que definan cada contexto de enun­ciación. Para evitar comprometerse acerca de la naturaleza de tales coordenadas, se las suele llamar (siguendo a Scott, 1970) «índices» (también «puntos de referencia»; véase Wunderlich, 1974, § 9.5); el problema, como observa Cresswell (1973, capitulo 8) es que el número de coordenadas puede crecer indefinidamente.

Cresswell prefiere considerar como elementos primitivos los con­textos, más exactamente, las propiedades de contexto. Para ello define previamente los lenguajes de enunciados (proferencias; véase § 2.2.1) como lenguajes cuyos símbolos son conjuntos (sin requerir que las variables sean conjuntos). Un enunciado resultado de enunciar el sím­bolo IX simplemente es un miembro de IX. (En términos de Peirce, si el símbolo IX es una oración, es el tipo, mientras que los miembros del conjunto de todos los enunciados a que da lugar, son los ejemplares.) En general, una propiedad es una función (u operación) de un solo argumento, por ejemplo un predicado, como el correspondiente a «medir dos metros». Aquí, la propiedad (de contexto) es la operación que toma como argumento enunciados y da como valor proposiciones. Y, a la inversa, una proposición abierta es una función cuyo dominio son propiedades de contexto y su recorrido son proposiciones. (En otros términos, el enunciado resultado de enunciar la oración corres­ponde a la proposición resultante de emplear una proposición abierta con una determinada propiedad de contexto.) De esta forma se consi­gue dar cuenta del hecho de que cada oración diferente puede reque­rir diversas informaciones del contexto para ser un enunciado verda­dero o falso. Y una propiedad de contexto, por ejemplo, incluirá el dato t necesario para emplear los operadores temporales.

4.3.4. Intervalos

En el análisis de Reichenbach, hay dos fenómenos diferentes de aspecto verbal. En uno, el aspecto permite disponer de modo diferente los tres puntos temporales, de acontecimiento, de enunciación y de referencia: «Veo», «He visto», «Vi», etc. En el otro, el aspecto consiste en que los acontecimientos se pueden extender, o se pueden repetir, a lo largo de un tramo de tiempo. Para describirlos se pueden usar tanto

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tiempos extendidos de carácter perifrástico (<<Estoy leyendo») como de carácter morfológico (<<Leía»). Para incorporar en el análisis este se­gundo tipo de aspecto sería plausible pensar en operadores que, como los mencionados antes, se definan como cuantificación sobre puntos temporales.

El problema aquí es que hay acontecimientos que se extienden a lo largo de un tramo de tiempo, un intervalo, de modo que la proposición correspondiente es verdadera para el intervalo, pero no lo es para cada uno de los instantes que lo componen. Un verbo o un sintagma verbal de los que Vendler (1967, 102) llama «realizaciones» (<<accom­plishments»), por ejemplo «dibujar un circulo» en «Juan dibujó un circulo en una hora» (cf. Dowty, 1979, 138), no supone que en cada instante de la hora se cumpla que se dibuja un circulo, sino sólo una parte de un círculo. Entra en juego aquí el modo de acción del verbo, terminativo o télico (también, perfectivo). Si se tratara simplemente de «dibujan), una «actividad» (Vendler), de modo de acción durativo o atélico (o imperfectivo), el complemento «una hora» se construiría con otra preposición (o simplemente sin preposición): «dibujar (durante) una hora», y sería verdad que en cada punto o instante de la hora la persona en cuestión dibujaría. El modo de acción interactúa con el aspecto verbal, de manera que se dice «Juan estuvo dibujando una hora» (aunque también es posible «Juan dibujó durante una hora»). Por tanto, el mismo problema se presenta con la perífrasis «estar» + gerun­dio para los verbos que describen actividades.

Todo parece indicar que el intervalo, y no el punto o instante, es la variable temporal adecuada sobre la cual cuantificar: como argumenta Kamp (1979, 395; cf. Moreno, 1987a, § 3.3), incluso en los casos en que es verdadera la proposición para cada uno de los instantes que constitu­yen el intervalo, es posible que la integración de la información corres­pondiente a los diversos instantes tenga lugar a un nivel de procesa­miento en que no sirven las explicaciones mediante procedimientos combinatorios discretos. Se ha desarrollado así la semántica de inter­valos (aplicada a los adverbios por Cresswell, 1986; Dowty, 1979 y Richards, 1982, entre otros). Ante las dificultades que supone, surgen otras ideas, como la de considerar los acontecimientos como episodios que definen cada uno un tiempo de desarrollo sobre el que cuantificar (Tichy, 1985, § 3). Otra posibilidad es cuantificar directamente sobre los acontecimientos: Kuttert (1982) estudia los tiempos verbales de pasado en español, cuantificando sobre variables cuyos posibles valores son acontecimientos enteros, para los usos que considera perfectivos (<<Co­lón descubrió América», «Juan no encontró ayer a María», «No has venido estos días», «Aquella era una época más alegre»). Para los imperfectivos (<<Te hecho esperar hasta ahora», «Juan estaba a las cua-

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tro en tu casa»), propone operadores que cuantüican sobre variables cuyos valores son puntos temporales o, en su caso, intervalos.

4.3.5. Relaciones temporales en el significado léxico

Los operadores temporales permiten también analizar las relacio­nes de tiempo que se dan entre componentes de un significado léxico y entre significados léxicos. Por ejemplo, podemos proponer el siguiente análisis del signüicado de «mantener» (análogo al del inglés «keep» de Miller y Johnson-Laird, 1976, § 7.2.3.; cf. Garrido, 1986, § 10):

A(x, a) =df 3t[Ht(a) & Rt(a)]

El análisis está en la linea del que propone Jackendoff (1983, § 10.2) para «keep»; en el sentido espacial, se trata de la conservación de algo en un lugar a lo largo del tiempo, y, en sentido que él llama «circuns­tancial», es la conservación de algo en un papel, acontecimiento o situación a lo largo del tiempo. Los operadores temporales nos permi­ten indicar esta relación temporal. El dominio de A(x, a) comprende individuos y proposiciones; en la notación empleada (§ 4.3.1), el opera­dor Rt permite expresar que IX se cumple en el momento t, y no sólo en todos los momentos anteriores, Ht(IX). Se representa así el modo de acción durativo del verbo; si quisiéramos expresar que algo se mantie­ne o se mantuvo desde un momento tl , habría que añadir Ht, ( -a), es decir, antes de tl no se cumplía a en ningún momento (si es que no queremos entrar en procedimientos más refinados, como los del apar­tado anterior, para analizar los tiempos verbales).

Podemos emplear esta definición para analizar el signüicado de «recordar» como «mantener algo en la memoria»:

B(x, y) =df A(x, C(y, D(x))

El valor que a toma aqui es C(y, D(x)) , es decir, y está en la memoria de x. Sin embargo, en una de las acepciones de «recordar» (cf. Garri­do, 1988a), se puede suponer que el interesado hace algo, que repre­sentamos como E(x, p), que causa que y esté en la memoria de x, es decir l(P, C(y, D(x))). La variable proposicional IX en A(x, a) toma entonces el valor: E(x, P) & l(P, C( y, D(x))) , y la acepción de «recordar» se analiza como:

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B(x, y) =df 3t[Ht[E(x, P) & l(P, C(y, D(x)))] &

& Rt[E(x, P) & l(P, C( y, D(x)))]]

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En otras construcciones, como «Juan me recuerda a Pedro», «Juan recordó a Pedro su promesa» y «Juan recordó a Pedro ante los presen­tes», «recordan> presenta carácter causativo: hay algo que da lugar a la acción de recordar, sea el parecido (en la primera), sea la mención en las dos segundas. Estos análisis permiten basar las inferencias necesa­rias para la comprensión de las construcciones, pero no agotan la información: «recordar a alguien una promesa» permite también inferir que el interlocutor la había olvidado, o que no pensaba cumplirla, inferencias relacionadas con la lógica de la conversación (véase capítu­lo 6).

«Prometen> también se puede analizar mediante el operador tempo­ral de futuro: G(x, a) =df 3t[RI(K(x, ~(a)))], es decir, analizando «prome­ten> como «decir que se cumplirá a». Y «mantener una promesa a» se analizará como «hacer algo que causa que IX se cumpla en el futuro, y hacerlo también en el pasado»:

A(x, a) =df 3t[HI[E(x, /J) & J(/J, FICa))] &

& RI[E(x, /J) & J(/J, FI(a))]]

Pero lo que queremos en realidad es que en el momento t se cumpla a, y que también se haya contribuido al cumplimiento de la promesa antes de t:

A(x, a) =df 3t[HI[E(x, /J) & J(/J, RI(IX))] &

& RI[E(x, /J) & J(/J, RI(a))]]

Lo que cambia es la relación temporal entre los componentes: si se trata del momento actual, mantener la promesa es haber hecho antes algo para que ahora se cumpla y hacerlo también en el momento en que se está cumpliendo. En conclusión, mediante operadores tempora­les podemos bosquejar el análisis de las relaciones de tiempo que se dan entre los componentes del significado de las unidades léxicas, y, por tanto, de las relaciones temporales que se dan entre los significa­dos de unidades léxicas diferentes.

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EJERCICIOS

l. Analiée «1uan no debe trabajan> en sus dos interpretaciones de posibili­dad y de obligación.

2. Compruebe que son equivalentes las diferentes definiciones de la implica­ción estricta p -3 q como - M(p & - q), N(p ..... q) o como N( - P v q).

3. Compruebe que - (p & - q) ...... (p ..... q). Partiendo de la anterior equiva­lencia, explique la equivalencia entre - M(p & - q) y N(p ..... q). Haga lo mismo con -(p & -q) ...... (-p v q) y -M(p & -q) ...... N(-p v q).

4. Indique mediante el alcance de los respectivos operadores la diferencia entre «1uan tiene que escribir un libro» y, en sus dos interpretaciones, específica y no especifica, «1uan tiene que leer un libro».

S. Muestre, empleando la relación entre los momentos temporales, que son verdaderas las fórmulas PPa ..... Pa y FFa ..... Fa.

6. Defina los operadores de necesidad y posibilidad teniendo en cuenta el conjunto T de momentos de tiempo.

7. Analice «Mañana viene Juan» empleando y definiendo un operador tempo­ral correspondiente a «mañana».

8. Defina un operador temporal que cuantifique sobre acontecimientos (de modo que «venir 1uan» dé lugar a conjuntos de acontecimientos, y «1uan viene» describa uno de esos acontecimientos).

9. Indique, de manera análoga a la empleada para las descripciones defini­das, que «Bruto asesinó a César» es un acontecimiento único, cuantificando sobre instantes de tiempo (Kuttert, 1982, § 2.I.a).

10. Analice el significado de «morir» y de «estar muerto» sobre la base del de «vivir».

11. Analice «Se puede vivir sin dejar una obra tras de sí. pero no se puede dejar una obra tras de sí sin haber vivido».

12. Analice la diferencia entre «Juan no sabe que Pedro está en casa» y «1uan no sabe si Pedro está en casa».

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~D Más O menos verdadero:

lógica difusa

5.1. Lógica de tres valores

5.1.1. Un tercer valor verltatlvo

Una manera de abordar el tiempo verbal futuro distinta de los ope­radores temporales de futuro es la de Lukasiewicz (1920), que propuso asignar a las proposiciones contingentes referidas al futuro un valor intermedio entre la verdad y la falsedad. Según la ley del tercio exclu­so (o principio de bivalencia), no hay término medio: una proposición o es verdadera o es falsa. Para Aristóteles, si esta ley fuese cierta, «Maña­na habrá una batalla marítima» sería o verdadera o falsa, y el hecho descrito estaría por tanto determinado. Pero los asuntos que dependen de las decisiones humanas no están determinados; por tanto, la ley debe ser falsa (véase Kneale y Kneale, 1962). Para los filósofos medieva­les, interesados por las consecuencias del conocimiento divino acerca del futuro sobre el libre albedrío humano, estos ejemplos de enuncia­dos futuros contingentes no eran ni verdaderos ni falsos, sino indeter-minados (cf. J. Martin, 1987, § 7.1.5). ..

La existencia de un tercer valor veritativo da lugar a la lógica trivalente, frente a la de dos valores o bivalente. Se plantean en ella tres problemas: la definición del tercer valor, la definición de las co­nectivas y las consecuencias en cuanto a la definición de la verdad lógica y de la validez de los argumentos. En cuanto a la naturaleza del tercer valor, aunque haya quien considere incoherente afirmar que

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algo no verdadero pueda no ser falso, se suele entender que lo no verdadero puede ser o bien falso o bien otra cosa, ya sea indetermina­do, desconocido, verdadero en cierto modo o simplemente carente de significado. Por otra parte, según definamos los valores de cada conec­tiva, se mantendrán unos u otros principios de la lógica proposicional bivalente, es decir, serán o no verdades lógicas.

5.1.2. Definición de l •• conectlv ••

Empleando el valor intermedio r, Lukasiewícz define las conectivas lógicas de la siguiente manera (cf. McCawley, 1981. § 12.1):

p -p & q V F P

V F 1 1 V V 1 F F V 1 1 1 F

F F F F

v q V F p-+q q V F P P

V V V V V V 1 F 1 V 1 1 1 V V 1 F V F F V V V

Las conectivas se pueden definir de maneras diferentes; por ejem-plo, las tablas siguientes (en que no se repiten los valores de p, que figuran en vertical en la primera tabla, y N es el tercer valor) presentan los dos tipos de conectivas, débiles y fuertes, de Kleene (1952) (c!. J. Martin, 1987, § 7.1.7):

f¡ & V F N v V F N -+ V F N

V F N V V N V F N F V F F N V F N V V N N N N N N N N N N N N

Conectivas débiles de Kleene

f¡ & V F N v V F N -+ V F N

V F N V V V V F N F V F F F V F N V V V N N N F N V N N V N N

Conectivas fuertes de Kleene

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La ordenación de las tablas (con el tercer valor, N, tras los otros dos) permite ver con claridad que las conectivas débiles tratan el tercer valor como una infección que corrompe el resultado allf donde aparece. Por ello son las conectivas que más se acercan a la inter­pretación del tercer valor como «carente de significado». En otros términos, si interviene en una proposición compleja una proposición carente de significado, el resultado también carece de significado.

Las conectivas fuertes suelen entenderse interpretando el tercer valor como «desconocido» o «indeterminado». Si un miembro de una conjunción es falso, el resultado es falso sea como sea el otro miembro. En una disyunción, basta que un miembro sea verdadero para que lo sea el resultado. En el condicional, el resultado es verdadero si el consecuente es verdadero o si el antecedente es falso, también en los casos en que el otro miembro tenga el tercer valor. Estos resultados serian los mismos si en lugar del tercer valor apareciera el verdadero o el falso. En otros términos, son los resultados que espera riamos en una lógica bivalente para los casos en que ignoráramos el otro valor, pero supiéramos el valor del miembro que basta para determinar el resultado. Quedan sin determinar la negación de una proposición de valor desconocido, la conjunción con uno o los dos miembros de valor desconocido, la disyunción con un miembro falso y el otro desconoci­do, o los dos desconocidos, y el condicional con ambos desconocidos, con el antecedente desconocido y el consecuente falso, o con el antece­dente verdadero y el consecuente desconocido.

Las conectivas de Lukasiewicz coinciden con las fuertes de Kleene excepto en que es verdadero el condicional de ambos miembros des­conocidos. El interés de esta definición radica en mantener válida p -+

p; si p es desconocido, sigue siendo verdadera la fórmula, mientras que con el condicional fuerte de Kleene el valor de la fórmula es en este caso desconocido.

De las ocho reglas de inferencia (de introducción y de eliminación de la negación, de la conjunción, de la disyunción y del condicional; § 2.5.4), las conectivas de Lukasiewicz no mantienen la validez de la de introducción de la negación: si p tiene el valor de 1, y q el valor de V, la fórmula (q -+ (p & -p» -+ -q tiene el valor 1. Las demás reglas si son válidas; con la eliminación de la disyunción y con la introducción del condicional se pueden producir inferencias en que la conclusión tenga menor valor veritativo que alguna premisa (siendo V el mayor, I. inter­medio y F el menor), pero ello se deberá entonces a otras reglas que intervengan en la inferencia. Por todo ello (McCawley, 1981, § 12.1), si se quiere que el sistema sea semánticamente completo (es decir, que garantice que lo que sea demostrable sea exactamente lo que es váli­do), hay que excluir la regla de la introducción de la negación. Ello da

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lugar a que con las conectivas de Lukasiewicz las fórmulas cuya demos­tración depende de la introducción de la negación no sean válidas (por ejemplo, -(p & -p); tampoco p v -p).

5.1.3. Verdad lógica y validez

En la lógica trivalente hay dos maneras de definir la verdad lógica: como siempre verdadera o como nunca falsa. La primera corresponde al valor V, mientras que la segunda corresponde a los valores V e 1. Del mismo modo, un argumento válido es o bien aquel en que siempre que las premisas sean verdaderas la conclusión es verdadera, o bien es aquel en que siempre que las premisas no sean falsas, la conclusión no es falsa. Los valores de verdad relevantes para la definición de verdad lógica y validez, que son un subconjunto del conjunto de valores verita­tivos, son diferentes en cada caso; en general, se denominan valores designados. En general, entonces, los valores designados son aquellos que definen las inferencias lógicas válidas. Se pueden comparar rigu­rosamente las distintas versiones de lógica trivalente definiendo como matriz lógica la estructura compuesta por el conjunto U de valores veritativos, el conjunto D de valores designados y el conjunto G de funciones en el conjunto de valores veritativos; y definiendo (como interpretación) para la sintaxis proposicional el conjunto R de mundos posibles que proyecta cada proposición en un valor veritativo, de manera que queden definidas las conectivas. La matriz L3 de Lukasie­wicz (empleando los símbolos del propio Lukasiewicz, 1, 1/2 Y O), por ejemplo, tiene los tres valores, {l, 1/2, O}, el valor designado {l}, y las conectivas tal como hemos visto; el lenguaje de matriz LL3 consta de la sintaxis proposicional más la matriz L3; y L3* Y LL3* son como los correspondientes sin asterisco salvo que los valores designados son {l, 1/2} (cf. J. Martin, 19S7, § 7.2.1 Y 7.3.2; sobre lógica de tres valores, véase Rescher, 1969 y Urquhart, 19S6).

El hecho de que pueda haber más de una designación de valores de verdad a las conectivas no supone una corrupción del concepto de validez o verdad lógica: como señala Dummett (195S, 61; McCawley, 19S1, § 12.1), los diferentes valores designados pueden entenderse como maneras diferentes de ser verdadero un enunciado, y los valores no designados como maneras diferentes de ser falso un enunciado. Por ejemplo, podemos mantener como válida p -+ p y al mismo tiempo considerar l su valor cuando ambos miembros, es decir p, son l, si tomamos como valores designados tanto a V como a 1.

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5.1.4. Aplicaciones de la lógica de Ires valores

Hay varios fenómenos que se pueden analizar mediante las distintas versiones de la lógica trivalente (cf. J. Martin, 1987, § 7.1.2-6). Ya hemos visto el cas'o de los futuros contingentes, ejemplos en que el tercer valor se puede interpretar como indeterminado, entendido aquí como valor sin decidir. Más adelante trataremos otro fenómeno, la presuposi­ción, relacionado con la existencia de más de dos valores veritativos. Otro caso es el de las paradojas, como «Esta oración es falsa»: si es verdadera, es falsa y si es falsa, es verdadera. Jean Buridan consideró en el siglo XIV que éste y otros sofismas no eran ni verdaderos ni falsos, porque de otra manera no se cumpliría la ley de la no contradicción, ,..", (p & ,..", p). Otra famosa paradoja es la del mentiroso, «Todos los cretenses mienten», dicha por un cretense (véase R. L. Martin, 1970 y 1984).

También se puede aplicar la lógica trivalente al error categorial, presente en el conocido ejemplo de Chomsky (1957, § 2.3) «Verdes ideas incoloras duermen furiosamente». Ciertos términos se pueden afirmar o negar de ciertos tipos de cosas. Aplicarlo a otros objetos es un sinsentido (siempre que no se trate de usos metafóricos). El incum­plimiento de las restricciones de selección se considera que coloca al término fuera de su dominio de significación. Los valores de verdad son, por consiguiente, verdadero, falso y carente de sentido. Las co­nectivas apropiadas para tratar el error categorial, así pues, son las débiles.

Otro fenómeno analizable mediante las conectivas débiles es el de la vaguedad (véase Fuchs, 1986; Pottier, 1986 y Sadock, 1986). Muchos términos son vagos, en el sentido de que tienen limites de aplicación difusos o borrosos, en término de Wittgenstein (1953, § 71); el problema no consiste en indeterminación o falta de definición del significado (Kempson, 1977, § 8.1), sino en que hay objetos a los que no se sabe bien si aplicarles el término o no. Ejemplos: «Francia es hexagonal», «Italia tiene forma de bota», «España tiene forma de piel de toro». Mediante una lógica de la vaguedad (con supervaloraciones; véase § 6.2.2) ha analizado, por ejemplo, J. A. W. Kamp (1975) los adjetivos y comparativos; Robert Martin (1983, capitulo 4) ha elaborado una semán­tica difusa de los determinantes y de la metáfora. El análisis de la vaguedad mediante lógica polivalente puede ponerse en relación (cf. Garrido, 1986, § 7) con estudios psicológicos del carácter gradual de las categorías conceptuales (Rosch, 1971; Smith y Medin, 1981, capitulo 7; Peraita, 1988), además de su aplicación como lógica difusa a fenómenos lingüísticos.

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5.2. Grados de verdad

5.2.1. .Verdadero en cierto modo ..

Hay dos casos en que la definición que propone Lukasiewicz no corresponde a lo que cabría esperar en las proposiciones futuras con­tingentes: «Habrá una batalla mañana y no habrá una batalla mañana», p & '" p, y «Habrá una batalla mañana o no habrá una batalla mañana», p v '" p, resultan las dos indeterminadas, ya que ambos miembros son indeterminados. Sin embargo, en lógica bivalente, la primera, p & ,.., p, es falsa y la segunda, p v '" p, es verdadera, sea cual sea el valor de p, es decir, aunque no sepamos su valor veritativo.

Otro caso que resulta ser indeterminado en la definición de Lukasie­wicz es el que corresponde a una de las paradojas del condicional en lógica bivalente. Se trata del condicional con antecedente indetermina­do y consecuente falso: «Si Juan es alto, dos y dos son cinco». Para considerarlo como falso, McCaw1ey (1981, § 2.1) propone adoptar la tabla de verdad definida por Kurt Gódel (véase Rescher, 1969, 44 Y Lakoff, 1972, apéndice II), que sólo se diferencia de la de Lukasiewicz en presentar este caso del condicional como F:

p-+q p

V 1 F

q V

V 1 V V V V

F

F F V

(Otra diferencia es que Gódel define la negación del indeterminado como falsa, no como indeterminada.)

Consideremos ahora el valor 1 (también 1/2) como «verdadero en cierto modo», «verdadero a medias», «algo verdad». Entonces «Habrá una batalla mañana y no habrá una batalla mañana» se puede entender como una manera de decir que lo que habrá mañana se parece a una batalla (un «síes noes»): es verdadero en cierto modo que la habrá y también lo es que no la habrá; la conjunción también es verdadera en cierto modo. «Juan es alto y no es alto» es en cierto modo verdadero, si los dos miembros son verdaderos en cierto modo. La disyunción «Juan vendrá o no vendrá» se puede entender de la misma manera: si es verdadero en cierto modo que vendrá, e igualmente que no vendrá (aquí es donde está la dificultad), también es verdadera en cierto modo la disyunción. También vale la interpretación para «Juan es alto o no es alto».

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McCawley (1981, § 12.1) interpreta estos tipos de ejemplos de distin­ta manera. En el primero (la conjunción como «Juan es alto y no es alto»), es verdadero (y no «verdadero en cierto modo») que Juan es en cierto modo alto. En el segundo (la disyunción del tipo «Juan es alto o no es alto»), el hablante se está negando a admitir valores de verdad intermedios. Pero lo que interesa es que, como acabamos de ver con «verdadero en cierto modo», se pueden encontrar enunciados (es de­cir, oraciones con su correspondiente contexto) en que tienen sentido las tablas de verdad de Lukasiewicz.

En su análisis del valor intermedio como «verdadero en cierto mo­do», McCawley emplea «sort of», que tiene las dos interpretaciones de «algo» (<<somewhat») y de «bastante (<<rathen»; compárese con el uso de «como» en «Juan está como cansado». Con expresiones como «en cierto modo», «como», el hablante consigue una cierta ambigüedad, y evita comprometerse acerca de la exactitud de lo que dice. Tiñe su afirmación de un matiz de ambigüedad, inexactitud o duda. En cierto modo, también, especializa el significado del término matizado. Otras expresiones de este tipo son: «más o menos», «de alguna manera», «algo», «en cierto sentido», «grosso modo», «se puede considerar co­mm>, etc. Son éstas las expresiones matizadoras, que Lakoff (1972) pro­pone analizar mediante lógica difusa.

5.2.2. Valores de verdad difusos

En el momento en que consideramos el valor intermedio no como indeterminado ni como sin sentido, sino como verdadero a medias, surge la posibilidad de otros grados de verdad, y no sólo el inter­medio. Por ejemplo (Lakoff, 1972, § 1):

Los gorriones son pájaros. Los pollos son pájaros. Los pingüinos son pájaros. Los murciélagos son pájaros.

Las vacas son pájaros.

(Verdadero) (Menos verdadero) (Menos verdadero todavía) (Falso, o por lo menos muy

lejos de la verdad) (Completamente falso)

Las expresiones matizado ras ensanchan el dominio de aplicación de los términos (es decir, su extensión):

Los gorriones son en cierto modo pájaros. Los pollos son en cierto modo pájaros. Los pingüinos son en cierto modo pájaros.

(Falso) (Verdadero) (Verdadero)

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Los murciélagos son en cierto modo pájaros. (Verdadero) Las vacas son en cierto modo pájaros. (Falso)

La misma expresión matizadora, «en cierto modo», tiene distinto efecto según se aplique a un enunciado (es decir, a la proposición correspondiente) de valor intermedio o de valor verdadero o falso. En el caso de «Los gorriones son en cierto modo pájaros», algunos hablan­tes lo considerarán verdadero; se considera falso cuando se piensa que son pájaros de pleno derecho. También es posible que algún hablante considere verdadero «Las vacas son en cierto modo pájaros». Esta cuestión está relacionada con las estrategias de interpretación: aplican­do el principio de caridad de N. L. Wilson (cf. Quine, 1960, § 13, nota 2; también Bach y Harnish, 1979, § 8.4), los hablantes pueden llegar a aceptar casi cualquier cosa con tal de entender a sus interlocutores. La metáfora se puede considerar como un fenómeno relacionado con la comparación, entendida ésta como proceso matizador, es decir, como predicación matizada: «ser como» en el sentido de «ser en cierto mo­do». Por ejemplo, para aceptar el segundo de los enunciados siguien­tes como verdadero, el oyente debe aceptar la versión, matizada, del primero:

Las vacas son como pájaros. Las vacas revolotean por los prados.

Debe además buscar y encontrar una dimensión del significado de «vaca» que permita la comparación con «pájaro» incluida en el proceso metafórico (Garrido, 1988e).

Las expresiones que expresan grado dan también lugar a grados de verdad. Supongamos que «Juan es bajo» es verdadera; «Juan es un poco bajo» es menos verdadera, y «Juan es muy poco bajo» es menos verdadera todavía. Como en casos anteriores, podemos establecer una jerarquía de valores de verdad, en que el valor verdadero ocupa el lugar más alto y el valor falso el más bajo, y los demás valores están situados entre ambos.

Hasta ahora, el conjunto de valores de verdad estaba compuesto por tres valores, verdadero, intermedio y falso, o 1, 1/2 Y O. Podemos ampliarlo empleando decimales, por ejemplo 0,8. Si queremos dispo­ner de infinitos valores de verdad, emplearemos el intervalo de los números reales entre ° y 1 (es un conjunto infinito: por ejemplo, entre 0,33 y 0,34 tenemos 0,331 y 0,332, etc.; entre 0,331 y 0,332 tenemos 0,3311 y 0,3312, etc.; y así sucesivamente). La interpretación del cálculo proposicional ya no proyecta todas las proposiciones en el conjunto {l, O}, sino en el conjunto infinito de los números reales del intervalo [O, 1].

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Estos valores de verdad se denominan difusos (o borrosos). Con ellos se puede construir una lógica polivalente, la lógica difusa, de infinitos valores de verdad.

Es interesante señalar que no es necesario que las oraciones conten­gan expresiones matizado ras o de grado para que asignemos a la proposición correspondiente un valor difuso. En el ejemplo anterior, «Los murciélagos son pájaros», podría recibir un valor, por ejemplo de 0,3. Incluso una oración tan inocente como «Juan está en la playa» puede dar lugar a proposiciones de valor difuso, por ejemplo si se dice cuando el tal Juan está en el paseo que bordea la playa en cuestión. Esto nos lleva a una observación de interés: los valores difusos se asignan en relación con el ejemplo que tiene el valor de verdadero. En el caso de categorizaciones, se emplea un ejemplo paradigmático, el prototipo. Por ejemplo, para evaluar veritativamente «Los murciélagos son pájaros», se tiene en cuenta el prototipo de «pájaro», que es «go­rrión». ¿Por qué «gorrión» es el mejor ejemplo de «pájaro»? La razón es que del estereotipo de «pájaro» que. tenemos, es decir, del objeto caracterizado por propiedades típicas como tener alas, pico, volar, etc., es el objeto designado por «gorrión» el que las reúne todas en mayor grado. En la medida en que el estereotipo de «murciélago» se acerque al de «gorrión», que es el prototipo de «pájaro», asignaremos un valor más cercano a 1 a la proposición en cuestión (sobre estereoti­pos y prototipos, véase Putnam, 1970 y 1975; las obras citadas en § 5.1.4; Hurford y Heasley, 1983, unidad 8 y 9; también el análisis de Sánchez de Zavala, 1986, § 6.2 Y 6.3).

En el caso de descripción de estados de cosas, se emplea como criterio el estado de cosas que hace verdadera la proposición. Por ejemplo, en «Juan está en la playa», pensamos si estar en el paseo marítimo es estar en la playa, o por lo menos estar en ella en cierto modo. Esta versión de asignación de los valores difusos como valores relativos a los no difusos nos conduce a la lógica modal: pensamos en el mundo que haría verdadera la proposición, y valoramos la proposición sobre la base de la relación entre el mundo actual y dicho mundo. Esta relación es la relación de accesibilidad, que se puede definir como relación de cercanía (semejanza), como hemos visto (§ 4.1.2).

Con los valores difusos, además, podemos seguir relacionando co­mo hasta ahora el valor de verdad de una proposición compleja con los de las proposiciones componentes, e incluso analizar el valor de ver­dad de una conclusión en función de los de las premisas:

Si hace algo de sol, Juan está la playa. Hoy hace bastante sol. Por tanto, Juan está en la playa.

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La primera premisa es un condicional, cuyo valor de verdad pode­mos analizar entonces a partir del valor de verdad de sus componen­tes, a pesar de la presencia de expresiones matizadoras. De esta forma aumentamos la capacidad de análisis del razonamiento expresado lin­güísticamente, que se lleva a cabo muy frecuentemente sobre datos inexactos o aproximados (es decir, borrosos o difusos). Lo mismo po­demos hacer con el valor de verdad de la segunda premisa; incluso podemos obtener el valor de verdad de la conclusión a partir de los de las premisas. Para ello necesitamos definir las conectivas empleando, en lugar de los tres valores veritativos, infinitos valores.

5.2.3. Conectiva. de lógica difusa

Si empleamos 1/2 como valor intermedio y 1 Y O para verdadero y falso, respectivamente, la valoración de las conectivas de Lukasiewicz se resume como sigue (McCawley, 1981, § 12.1 Y Valverde, 1986, § 2):

[[ ,.., p]] = 1 - [[p]]

[[p & q]] = min ([[p]], [[q]])

es decir, el menor de [[p]] y [[q]].

[[p v q]] = max ([[p]], [[q]])

es decir, el mayor de [[p]] y [[q]].

[[p -+ q]] = min (1 - [[p]] + [[q]] , 1)

En el condicional. siempre que [[p]] sea menor que [[q]] , el pri­mer elemento del par es mayor que 1, Y el mínimo de ambos es l. Cuando [[p]] es mayor que [[q]], hay tres casos: (1, 1/2), (1/2, O) Y (1, O). Si la diferencia es de 1/2, es decir, en los casos (1,1/2) Y (1/2, O), el mínimo de (1/2, 1) es 1/2, y el condicional es de valor intermedio. Si la diferencia es de 1. es decir, el caso (1, O), el mínimo de (O, 1) es O, es decir, el condicional es falso. Por ello también se puede resumir la definición del condicional de Lukasiewicz de la siguiente manera (La­koff, 1972, apéndice 1):

[[p -+ q]] = 1 ssi [[p]] ~ [[q]]

[[p -+ q]] = 1 - [[p]] + [[q]] ssi [[p]] > [[q]]

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La valoración del condicional de G6del es:

[[p -+ q]] = 1 ssi [[p]] ~ [[q]]

[[p -+ q]] = [[q]] ssi [[p]] > [[q]]

Estas definiciones nos permiten tratar los casos en que los valores veritativos son números reales del intervalo entre O y 1, es decir, los grados de verdad. Por ejemplo, supongamos que en el razonamiento anterior, queremos calcular el valor de verdad de «Si hace algo de sol, Juan está la playa» a partir de los valores de «Hace algo de sol», 0,6 y de «Juan está en playa», 0,8. Empleando el condicional de Lukasie­wicz,

[[p -+ q]] = min (1 - [[p]] + [[q]], 1) = = min (l - 0,6 + 0,8, 1) = min (1.2, 1) = 1

El valor de verdad de «Hace algo de sol'y Juan está en la playa» es 0,6; el de «Hace algo de solo Juan está en la playa» es 0,8; el de «Juan no está en la playa» es 0,2. Ampliamos así la lógica de tres valores a una lógica proposicional difusa, polivalente.

5.3. Conjuntos difusos

5.3.1. Grados de pertenencia

En el cálculo de predicados, cada interpretación define la extensión de cada predicado en el universo A de individuos, proyectando, para cada predicado, el conjunto A sobre el conjunto {1, O}, es decir, los individuos (o pares, tríos, etc., según sea el predicado monádico, diádi­co, triádico, etc.) que satisfacen el predicado en 1 y los que no lo satisfacen en O. La interpretación (de los predicados monádicos) es el conjunto de funciones que tienen como dominio A y como recorrido {l, O}, es decir, {l, OlA. Para cada predicado P, la interpretación I(P(x)) es una función característica que define la extensión del correspon­diente conjunto. Por ejemplo, si P es monádico, I(P(a)) toma el valor de verdadero si el elemento denotado por a en la interpretación 1 pertene­ce al conjunto definido por 1 para el predicado. En lugar de la notación I(P(x)) , podemos emplear, con la letra griega J,l (que se lee /my/, con vocal cerrada anterior labializada), la notación acostumbrada para las funciones características, J,lP,; esta función desde A a {l, O} define el

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conjunto PI de los individuos que hacen verdadera la fórmula P(x), es decir, su conjunto verdad:

PI = {[[x]] E A: [[P(x)]] = l}

Del mismo modo, Po es el conjunto de los individuos de A que no satisfacen la fórmula con el predicado P:

Po = {[[x]] E A: [[P(x)]] = O}

Si sólo hay dos valores veritativos, Po Y PI son complementos entre sí: su unión es el universo entero, A; o lo que es lo mismo, son una partición de A.

En el caso de los predicados vagos, como «ser alto», hay individuos para los cuales la fórmula P(x) no es verdadera ni es falsa, como hemos visto. Es decir, para estos predicados, además de Po y PI hay un subcon­junto de A de individuos para los que la proposición no es verdadera ni falsa:

P? = {[[x]] E A: [[P(x)]] * 1 & [[P(x)]] * O}

En lugar de proponer sólo un tercer valor de verdad, generalizamos para estos predicados el concepto de extensión en A de un predicado no vago, y damos un grado de pertenencia de cada individuo x al conjunto difuso o extensión generalizada del predicado vago en A. El grado de pertenencia queda así definido por una función característica generalizada, JlP, desde A al intervalo [O, 1], de modo que el grado de pertenencia de cada elemento [[x]] viene dado por el valor de la función Jlp(x). Este valor expresa el grado de compatibilidad de [[x]] E

[[P]] con P(x). Con ello se considera (Valverde, 1986, § 2) que un predicado vago está más bien determinado de forma relacional, por su adecuación al predicado no vago: si [[x]] E P?, interesa conocer el grado de verosimilitud de P(x) , es decir, una cierta distancia entre P(x) y P(xI ), siendo [[XI]] E PI'

Un conjunto difuso es así un conjunto de pares ordenados, {x, Jlp(x)}, siendo Jlp el grado de pertenencia de x en P (nótese que ahora la variable x ya no es una variable individual del cálculo de predicados, cuyo dominio es el conjunto de constantes individuales, a, b, c, ... , etc., sino que es una variable conjuntista. cuyo dominio es el universo X; y este conjunto en el cálculo de predicados constituye el conjunto univer­so, llamado A, de los individuos denotados por las constantes indivi­duales en el cálculo interpretado). Consideramos las funciones caracte-

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rísticas, y no los propios conjuntos, como básicos. (Sobre los conjuntos difusos, véase Trillas, 1980.)

En la teoría de los conjuntos difusos, desarrollada por Zadeh (1965), los conceptos fundamentales se definen de la siguiente manera (siendo X el universo de elementos, y A Y B dos conjuntos cualesquiera subcon­juntos de X):

Unión: J.lAuB = max (J.lA' J.lB)· Intersección: J.lAr\B = min (J.lA' J.lÚ Complemento: J.lA- = 1 - J.lA· Subconjunto: A ~ B ssi \:Ix E X, J.lA(X) :s;; J.lB(X), Subconjunto propio: A e B ssi \:Ix E X, J.lA(X) < J.lB(X), Una relación difusa Rn es un subconjunto difuso de xn.

Las operaciones quedan definidas mediante las funciones caracte­rísticas de los conjuntos: J.lA, por ejemplo, no es un grado de pertenen­cia de un elemento al conjunto, sino el conjunto de todos los grados de pertenencia que definen al conjunto A. En el caso de sólo dos grados de pertenencia, 1, la pertenencia, y O, la no pertenencia, la función característica J.lA se confunde con el conjunto caracterizado A; pero en los conjuntos difusos cada elemento del conjunto puede tener un grado de pertenencia diferente, de modo que la mera emrrneración de los ele­mentos no basta: unos mismos elementos (un solo conjunto no difuso) pueden dar lugar a diferentes conjuntos difusos, si no tienen los mismos grados de pertenencia.

5.3.2. Semánllca difusa

En muchos casos, la función de pertenencia no es primitiva, sino que se define sobre la base de alguna propiedad de los elementos. En el ejemplo de Zadeh de la edad, el número de años sirve para definir los grados de pertenencia de las personas al conjunto de los jóvenes o al de los viejos. Adaptando el ejemplo de Lakoff (1972; ya que no concede el grado 1 hasta el 1,90), el conjunto de las personas altas de sexo masculino se puede definir con la siguiente medida de altura (por dar un ejemplo):

Altura: 1.62 1.65 Grado de pertenencia: ° 0,1

1.67 0,3

1 ,70 1 ,75 1 ,77 1.80 0,5 0,7 0,9 1

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Podemos representar la función gráficamente:

........

0,9 . -.-

2--

0,8 -

0,7

0,6

0,5 0"

0,4 ---

.-0,3 r.

0,2 -/

0,1 - • .__ .... .,....0"

O ------------1,62 1,65 1,67 1.70 1.75 1.77 1,80

Aunque no están representados, los grados de pertenencia para alturas inferiores a 1,625 son todos O, y los de alturas superiores a 1,80 son todos l. Por ejemplo, una persona que mida 1,625 tiene un grado de pertenencia al conjunto de los altos de O, mientras que el que mida 1,775 tiene un grado de pertenencia de 0,9.

La semántica de conjuntos difusos de Zadeh (1972) permite inter­pretar «Juan es muy alto» a partir de «Juan es alto»:

[[Es muy alto]] = [[Es alto]]2

Por ejemplo, si «Juan es alto» tiene el valor de verdad 0,8, «Juan es muy alto» tiene el valor de 0,8 elevado al cuadrado, 0,64. En otros términos, es menos verdadero que «Juan es alto». Si el valor de verdad es 1, «Juan es muy alto» también tiene el valor l. Ahora ya podemos definir el grupo de las personas altas mediante la función proposicional co­rrespondiente a «Es alto», y el de las muy altas mediante la función proposicional correspondiente a «Es muy alto». Los valores obtenidos para «Es muy alto» a partir de los de «Es alto» (del cuadro anterior) son:

Altura: 1,62 1,65 1,67 1,70 1.75 1.77 1,80 Grado de pertenencia: O 0,01 0,09 0,25 0,49 0,81 1

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La curva de la correspondiente función característica se ha desplazado a la derecha con respecto a la anterior:

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

1,70 1,75

o «alto» + «muy alto»

1,77 1,80

El análisis de «muy» corresponde a Wla de las fWlciones definidas por Zadeh (1971. 1972; cf. Lakoff, 1972, § 4), la concentración:

Concentración: IlCON(F) = Il}, Dilatación: IlDIL(F) = Ilya. Intensificación de contraste:

IlINT(F)(X) = 2JJF(X)2, para ° < IlÁX) ~ 0,5

IlINT(F)(X) = 1 - 2(1 - IlF(X))2 = (2JJF_(X)2)_, para 0,5 < IlF(X) < 1

Una operación se puede realizar sobre el resultado de otra: JJINT(POIL(F)); por razones tipográficas, podemos emplear la notación INT (OIL (IlF))' Como hemos visto, la fWlción de concentración disminuye los valores y aumenta la pendiente de la curva; la de dilatación (que extrae la raíz cuadrada del valor correspondiente) tiene el efecto inverso: aumenta los valores y disminuye la pendiente. La fWlción de intensifica­ción de contraste aumenta los valores altos y disminuye los bajos.

Mediante estas funciones podemos analizar otros modificadores.

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A,japtando al español las aproximaciones que Zadeh ha propuesto (véase Lakoff, 1972, § 4), tenemos:

[[alto]] = JiA [[algo alto]] = INT (DIL (JiA)) n INT (DIL (JiAJ) [[más bien alto]] = INT (JiA) n [INT (CON (JiA))]­[[bastante alto]] = INT (CON (JiA)) n [INT (CON (JiA))]­[[muy alto]] = CON (JiA)

Vamos a analizar «alto alto». Empleamos la fórmula:

INT (DIL (JiA)) n INT (DIL (JiAJ)

Aplicando la dilatación a la función de «Es alto», A(x), es decir, extra­yendo la raíz cuadrada de los valores de JiA' obtenemos:

Altura: 1,62 1.65 1,67 1,70 1.75 1,77 1,80 JiA: ° 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1 DIL (JiA): ° 0,316 0,547 0,707 0,836 0,948 1

Para calcular INT (DIL (JiA)), aplicamos la fórmula 2JiF<X)2 a los valores de DIL (JiA): a 0, y el resultado es O; a 0,316: su cuadrado es 0,099, yel doble es 0,199. A los siguientes valores, por ser mayores de 0,5, les aplicamos la fórmula 1 - 2(1 - JiF<X))2. El complemento de 0,547 es 0,453; el cuadrado de éste es 0,205; el doble, 0,410; y el complemento, 0,590. Así hacemos con los demás valores:

INT (DIL (JiA)): ° 0,199 0,590 0,829 0,947 0,995 1

La curva de esta función está desplazada a la izquierda con respecto a la de «alto». La función característica de «algo alto» es la intersección (es decir, el respectivo valor mínimo) de la función anterior y la que se calcula no sobre «alto» sino sobre su complemento, INT (DIL (JiAJ):

JiA-: ° 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 ° DIL (JiA-): 1 0,948 0,836 0,707 0,547 0,316 ° INT (DIL CJ.lA-)): 1 0,995 0,947 0,829 0,590 0,199 ° Las funciones complemento invierten las curvas; en lugar de subir

ahora bajan. La función intersección correspondiente a «algo alto» tiene los valores más bajos de ambas, es decir, primero sube y luego baja:

INT (DIL (JiA)) n INT (DIL (JiAJ): ° 0,199 0,590 0,829 0,590 0,199 ° 126

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El resultado es que, a medida que va siendo más verdadero «alto», va dejando de serlo «algo alto», ya que no se dice de alguien alto que es «algo alto» (a no ser irónicamente):

0,: r-" ----- ·-··_·-·---·_-··-:;~~)?1

o,al · . ", 00,'671 ./ ./ JJ.

1 '~~',

0,5[ o' ,..

0,4 !

0'3l . ::: 1:~~~~-_/'/ ° - ----¡ ---- ---- - ---,-- - -- - -- r---------T--- .. ,

1,62 1,65 1,67 1,70 1,75 1,77 1,80

o «alto» + «muy alto» <:> «algo alto»

Con «muy alto» no pasa eso: a partir de ser verdadero «muy alto», para las alturas superiores sigue siendo verdadero. Las otras funcio­nes, de «más bien alto» y «bastante alto», desplazan a la derecha la curva de «algo alto». Ambas tienen la misma parte derecha de bajada, pero «más bien alto» la tiene más a la izquierda (ya que se trata de la intensificación del contraste del complemento); la de «bastante alto» tiene pendiente pronunciada tanto en la parte ascendente como en la descendente (ya que en las dos hay intensificación del contraste).

Ya hemos visto los valores de «muy alto»:

CON (Ilú ° 0,01 0,09 0,25 0,49 0,81

Para «poco alto» podemos emplear la función de dilatación (como indi­ca Valverde, 1986, § 2). Como hemos visto, la dilatación de «Es alto» se obtiene extrayendo la raíz cuadrada de los valores de IlA:

Altura: 1,62

IlA: ° DIL (Ilú °

1,65 1,67 1.70 1,75 1,77 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 0,316 0,547 0,707 0,836 0,948

1,80 1 1

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El resultado no es enteramente satisfactorio. Sirve para las personas que son altas en bajo grado (valores de verdad bajos para «Es alto»). Para las personas catalogadas como altas, sin embargo, da un valor elevado, y sin embargo, no parece ser verdadero que sea poco alta una persona que es alta. Por ello parece más acertado considerar «poco» como, por ejemplo, la intersección de la dilatación y de la dilatación del complemento:

[[poco alto]] = DIL (IlA) f"'I DIL (IlAJ

El complemento invierte los valores:

Altura: IlA-: DIL (IlAJ: DIL (IlA) f"'I DIL (IlAJ:

1,62 O 1 O

1,65 0,9 0,948 0,316

1,67 0,7 0,836 0,547

1,70 0,5 0,707 0,707

1,75 0,3 0,547 0,547

1.77 0,1 0,316 0,316

1,80 O O O

En efecto, ahora «Es poco alto» resulta falso para alguien bajo, pero enseguida empieza a ser verdad; pero deja nuevamente de ser cada vez más verdadero a medida que la persona es alta. Estamos dilatando la primera mitad de «Es alto» y la segunda mitad de «No es alto» (que corresponde al complemento de IlA).

Las expresiones como «sin ninguna duda» o «de ninguna manera» convierten en no difusas las correspondientes funciones:

[[alto sin ninguna duda]] = 1, si [[alto]] = 1 O, en otro caso

[[de ninguna manera alto]] = 1. si [[alto]] = O O, en otro caso

Lo interesante de este procedimiento, en general, no es la exactitud de los resultados (que tampoco se desea; son borrosos), sino que se puede determinar el valor de verdad de un sintagma como «muy alto» como funciÓn de sus componentes. Además, los valores de verdad se acercan al proceso de categorización humano, que es capaz de em­plear valores difusos (<<más o menos») y de graduar, por consiguiente, valores de verdad. Por último, este procedimiento nos permite abordar directamente algunas expresiones matizado ras (<<en parte») y de grado (<<muy»). (Por ejemplo, expresiones como «aproximadamente» requie­ren el empleo de otros instrumentos de análisis, como la implicatura; cf. Sadock, 1977 y McCawley, 1981. § 12.4.) Ciertas expresiones matizado­ras afectan a diferentes dimensiones de verdad de una proposición:

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«en el sentido literal de la palabra» y «en sentido estricto» destacan diferentes aspectos. Por ejemplo, de un agricultor metido a empresa­rio, «Juan es empresario en el sentido literal de la palabra», y «En sentido estricto, Juan es agricultor» tienen mayores grados de verdad que sus inversas (<<En sentido estricto, Juan es empresario»). Otras expresiones, como «ser todo un ... », seleccionan ciertas características típicas (es decir, del estereotipo). El fenómeno de la presuposición también puede ser objeto de un análisis con dimensiones múltiples de significado (Lakoff, 1972; Herzberger, 1975 y McCawley, 1981. § 12.4). El lenguaje presenta otros aspectos difusos, desde el significado de térmi­nos deícticos como «este», «ese» y «aquel», con problemas de categori­zación (González y Lloret, 1986), el reconocimiento del habla, con cate­gorización en distintos niveles, empezando por el fonológico (Casacu­berta et al., 1986), la sinonimia y sus grados (Trillas, 1983), hasta el concepto de información (Pérez-Amat, 1986).

5.4. Lógica difusa

5.4.1. Lógica propo81clonal dlluaa

Tenemos ya los instrumentos de teoría de conjuntos para ampliar la lógica difusa proposicional a lógica difusa de predicados. Ya no sólo hay proposiciones verdaderas (para los elementos que satisfacen la fórmula) y falsas (para los que no la satisfacen), es decir, cada proposi­ción no tiene ya su conjunto verdad no difuso, sino que para cada proposición todos los elementos del universo tienen un grado de perte­nencia comprendido en el intervalo [O, 1]: el conjunto es ahora difuso. En lógica bivalente, el valor de verdadero corresponde a la pertenen­cia, y el valor de falso, a la no pertenencia. Ahora hay (puede haber) infinitos valores de verdad, correspondientes a los grados de perte­nencia. La interpretación de cualquier fórmula P(x¡, x 2 ' ... , xn ) es un conjunto difuso, de modo que los valores de verdad están comprendi­dos entre 1 yO.

Las operaciones de teoría de conjuntos difusos nos permiten inter­pretar las conectivas de lógica polivalente, por ejemplo las de Lukasie­wicz. Comparando la definición de la negación con la del complemento, observamos que, como en la lógica no difusa, la interpretación veritati­va de las constantes lógicas es equivalente a la conjuntista:

Negación: [[ - P(x)]] = 1 - [[P(x)]]. Complemento: /lA- = 1 - /lA'

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Se trata de diferentes versiones de la misma función característica. La negación de una proposición casi verdadera, 0,9, es una proposición casi falsa, 0, l. Y la de una proposición con valor intermedio, por ejem­plo 0,4, es otra proposición de valor intermedio, 0,6.

La interpretación de la conjunción queda definida corno intersec­ción, y la de la disyunción corno unión. En consecuencia, el valor de la conjunción es el mínimo de los valores de los miembros, y el de la disyunción el máximo.

El condicional no se puede interpretar corno unión del consecuente y del complemento del antecedente, ya que la valoración de Lukasie­wicz no garantiza la validez de (p -+ q) -+ - p v q. Por ello, aunque p -+ q sigue siendo válida, no lo es -p v p. Para Lakoff (1972, § 2), se trata de una ventaja: si «Juan es alto» tiene el valor 0,7, «Juan es alto y no alto» no tiene el valor 1, sino 0,3, que es el valor más bajo de 0,7 y 0,3, su complemento. En todo caso, el condicional queda interpretado, mediante la definición de Lukasiewicz (o de otra corno la de Godel; véase § 5.2.3) corno una función que proyecta pares ordenados de funciones de pertenencia en funciones de pertenencia. Por ejemplo, el valor de «Si Juan es alto, Juan es poco alto» queda definido a partir del valor de «Juan es alto» (por ejemplo, 0,7, midiendo 1,75 m) y de «Juan es poco alto» (0,547, calculado a partir del valor 0,7, corno hemos visto):

[[p -+ q]] = min (1 - [[p]] + [[q]] , 1)

El resultado de min (1 - 0,7 + 0,547, 1) es 0,847. Recordemos que se trata de un individuo para el que «Es alto» tiene un grado aceptable de verdad (0,7) y «Es poco alto» es verdadero sólo a medias (0,547); en él el condicional se cumple bastante bien (0,847). Para un valor de «Juan es alto» de 0,1 (es decir, una altura de 1,65 m y un valor del consecuen­te de 0,316), el resultado seria min (1 - 0,1 + 0,316, 1), es decir, 1. Ello quiere decir que un bajo, para el que «Es poco alto» tampoco es muy verdadero (0,316), cumple el condicional. Y si el individuo en cuestión midiera 1,80, el antecedente tendría el valor de 1, Y el consecuente de 0, por lo que el del condicional sería O. Un alto no cumple el condicional en absoluto. Los individuos que no son altos cumplen el condicional, pero en la medida en que son altos, van dejando de cumplirlo:

Altura: 1,62 1,65 1,67 1,70 1,75 1,77 1,80

/lA: ° 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1 !lpocoA: ° 0,316 0,547 0,707 0,547 0,316 ° /lA ..... pocoA: 1 1 1 0,847 0,416 °

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Vamos a calcular ahora un ejemplo de modus ponens, para el indivi­duo llamado «Juan», que mide 1.75:

Si Juan es alto, Juan es poco alto; y ocurre que Juan es alto. Por consiguiente, Juan es poco alto.

Tenemos que calcular ((p -+ q) & p) -+ q. En primer lugar, [[Juan es alto]] = 0,7; Y acabamos de calcular antes que [[Si Juan es alto, Juan es poco alto]] = 0,847, siendo [[Juan es poco alto]] = 0,547. «Si Juan es alto, Juan es poco alto; y ocurre que Juan es alto» tiene el menor valor, 0,7, de los dos, 0,847 y 0,7. Y al par de valores (0,7, 0,547), correspon­dientes a las premisas y a la conclusión, el condicional asigna el valor 0,847. En otros términos, es razonable (0,847) afirmar la conclusión, dado que la primera premisa se cumple para Juan en un grado 0,847, y la segunda, «ser alto», con un valor 0,7.

Para hacernos una idea general, es decir, para saber si el razona­miento es válido, esto es, verdadero para cualquier individuo (es decir, para cualquier altura) en la valoración definida por la función de perte­nencia Jl.A, tenemos que calcular todos los valores (para comprobar la validez, tendríamos que calcularlo para todas las valoraciones o mun­dos posibles):

Altura: 1,62 1,65 1,67 1.70 1,75 1,77 1,80 Jl.A-+pocoA: 1 1 1 1 0,847 0.416 ° Jl.A: ° 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1 JI.(A-+poco A)&A: ° 0,1 0,3 0,5 0,7 0.416 ° Jl.pocoA: ° 0,316 0,547 0,707 0,547 0,316 ° JI.((A-+poco A)&A)-+poco A: 1 1 1 1 0,847 0,9 1

Para los bajos, aunque las premisas no se cumplen, la conclusión es verdadera (<<ser poco alto»), y también el condicional correspondiente al razonamiento; a medida que los individuos van siendo altos, no se cumplen ni las premisas ni la conclusión, y el condicional es verdadero (como ocurre en la lógica bivalente, cuando antecedente y consecuente son falsos).

Los cuantificadores se definen de acuerdo con la relación que existe entre ellos y las conectivas (§ 3.2): el universal está relacionado con la conjunción, y el existencial o particular con la disyunción. A su vez, estas conectivas se interpretan mediante las operaciones de la inter­sección (la conjunción) y de la unión (la disyunción). Por ejemplo, si estamos hablando de un grupo de personas para los que la función proposicional correspondiente a «Es alto» da los valores 0,3; 0,8; 0,9;

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0,7; 1, el valor de «Todos son altos» es el mínimo, es decir, 0,3. En «Hay alguien alto» tenemos el valor máximo, l. Y «No hay nadie alto» tiene el valor O. El cuantificador universal se valora según el valor del mejor contraejemplo: hablando de altos, se acude al menos alto de todos. El cuantificador existencial se interpreta según el valor del mejor ejem­plo: hablando de altos, el más alto. Para cualquier interpretación, los cuantificadores se definen como sigue:

[['v' xF(x)]] =df min ([[F(x¡)]] , [[F(x2 )]] , ... , [[F(xn )]])

[[3 xF(x)]] =df max ([[F(x¡)]] , [[F(x2 )]] , ... , [[F(xn )]])

Si queremos analizar «Todos los altos son jugadores de baloncesto», 'IIx[A(x) -+ B(x)] tenemos que tener en cuanta los valores de «Es alto» y de «Es jugador de baloncesto» para cada individuo del universo:

Juan 0,3 0,2 0,9

Pedro 0,8 0,8 1

Luis José 0,9 0,7 0,3 0,2 0,4 0,5

Pablo 1 0,8 0,8

J1.A «Es alto» J1.B «Es jugador de baloncesto» J1.A-+B

Hay un individuo, Luis, que es alto en grado 0,9 y, sin embargo, no es jugador (lo es en grado 0,3); por dar el valor más bajo para el condicio­nal, 0,4, ese es el valor del condicional cuantificado universalmente. Por otra parte, el condicional es verdadero en el caso de Juan, que ni es alto ni es jugador: en efecto, no desmiente el condicional. Si adoptamos, como hace McCawley (1981, § 12.2) el condicional de Gbdel, el resulta­do para Juan sería el valor del consecuente, 0,2, lo que sería contrain­tuitivo: Juan no seria contraejemplo, por no ser ni alto ni jugador -prácticamente-, y, sin embargo, daría el valor mínimo, es decir, el resultado.

En «Algunos altos son jugadores de baloncesto», 3x[A(x) & B(x)] , tenemos que calcular el valor de la conjunción para cada uno:

Juan 0,3 0,2 0,2

Pedro 0,8 0,8 0,8

Luis 0,9 0,3 0,3

José 0,7 0,2 0,2

Pablo 1 0,8 0,8

J1.A «Es alto» J1.B «Es jugador de baloncesto» J1.A&B

El resultado es el valor máximo de la conjunción, 0,8. La desventaja que presenta esta valoración de los cuantificadores es

que no tiene en cuenta (no pondera) la abundancia o escasez de con­traejemplos, para el universal, o el modo en que se es contraejemplo, para el existencial. La afirmación con «todos» resulta igualmente verda­dera, 0,4, si en lugar de uno solo que dé ese resultado hubiera dos, o

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todos. Pero es distinto decirlo de un grupo de cinco en que sólo dos tienen el valor intermedio que decirlo de un grupo en que los cinco lo tuvieran. Con el cuantificador existencial se plantea el problema de que el resultado es el mismo, 0,3, para un alto que no es jugador (Luis, con valores 0,9 y 0,3) que para un jugador que no es alto Guan, con valores 0,3 y 0,9).

Los operadores modales de necesidad y de posibilidad se inter­pretan como el mínimo (el de necesidad) y como el máximo (el de posibilidad) de la función de pertenencia en todos los mundos accesi­bles desde el actual. De este modo se consiguen grados de verdad necesaria y grados de verdad posible.

5.4.2. Razonamiento aproximado

La lógica difusa permite analizar el razonamiento aproximado, es decir, basado en datos inexactos. Zadeh (1981, 1983 Y 1984) ha desarro­llado un lenguaje de representación de significados para simular el razonamiento que se lleva a cabo mediante palabras no exactas (cf. Valverde, 1986, § 3, que se explica con ciertas modificaciones a conti­nuación). Una variable lingüística consta del nombre de la variable x (<<edad», «altura», etc.); T(x) , el conjunto de términos de x, es decir, los términos como «joven», «viejo», «no muy joven», etc., si el nombre de x es «edad»; o «alto», «bastante alto», «poco alto», etc., si el nombre de x es «altura»; el universo de discurso U, compuesto por los números naturales entre ° y 100; el conjunto de reglas sintácticas G que permiten generar términos en T(x); y una función de interpretación S que pro­yecta cada término t de T(x) en su significado S(t). El conjunto de los términos se genera de la siguiente forma: se parte de un término primario y de su antónimo (graduable; cf. Lyons, 1977, § 9.1) (<<joven», «viejo»; «alto», «bajo»; «frío», «caliente»), y se emplean modificadores (<<no», «muy», «pOcO», «bastante») y conectores ( «o», «y»).

La función S(t) es una función de pertenencia Ilt que asigna a cada u que pertenece al universo un valor. De este modo, por ejemplo, que­dan definidos para la variable «edad» los grados de pertenencia de los individuos de U (edades, como la, 15, 18, 72, etc.) al conjunto de los «jóvenes», que es por tanto un conjunto difuso (el individuo de 22 años pertenecerá a él en mayor grado que el de 72 años). Por ejemplo, Iljoven(22) = 0,7. También podemos ver la cuestión de otra manera. Partamos, por ejemplo, de que el término de la variable «edad» x aplicado es «joven». ¿Qué posibilidad tiene 22 de ser el valor de u? La posibilidad dependerá del grado de pertenencia de 22 al conjunto difuso asignado a «joven»; todavía más: podemos considerar que su

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grado de pertenencia es igual a dicha posibilidad. Escribimos entonces el significado de «Juan es joven» como 1tedadQuan) = joven. Y la posibili­dad de que la edad de Juan sea 22 es igual al grado de pertenencia de 22 al conjunto difuso definido por Iljoven:

Pos {EdadQuan) = 22} = Jl¡oven(22)

El grado de pertenencia de u definido por Ilt se puede entonces considerar como la posibilidad de que u sea el valor para el que 1tih) = l, donde h es un nombre que se interpreta como un conjunto de uno o más elementos susceptibles de estar relacionados con elementos de U (por ejemplo, diremos que «Juan es joven» tiene una posibilidad de 0,7 de que la edad de Juan sea 22, ya que si u es 22, su grado de pertenen­cia Iljoven(u) es 0,7). La función de pertenencia Ilt induce en U una distri­bución de posibilidad Pos {x(h) = u} = Ilt(U), en donde h es un nombre que se interpreta como un conjunto de uno o más elementos suscepti­bles de estar relacionados con elementos de U. (Valverde, 1986, § 2, escribe Pos {X = u} = Ilt(U), con X como nombre de la variable lingüísti­ca, en lugar de x). Hay, por tanto, una función de distribución de posibilidad, 1tt, desde U al conjunto de los números del intervalo [O, 1], que asocia a cada u deU con la posibilidad de que 1tx(h) = l, Y esta posibilidad es, para cada u, igual a Ilt(U).

En el lenguaje de representación «difuso universal relacional posi­bilístico» de Zadeh (pRUF, en inglés «possibilistic relational universal fuzzy») hay, por consiguiente, una base de datos explicativa difusa que contiene las relaciones (descripciones de estados de cosas, es decir, mundos posibles), y que permite disponer de los nombres de las rela­ciones, sus atributos o valores y sus dominios. Este lenguaje, por ejem­plo, permite definir el significado de «Pocos jugadores de baloncesto son muy bajos» o de «Muchos jugadores de baloncesto son grandes». En el proceso se emplean archivos de la base de datos donde figuran los correspondientes datos: la población (con tríos de nombres de jugadores de baloncesto, alturas y pesos); la altura (una función de pertenencia en que se considera el grado en que cada altura corres­ponde a «alto»); el peso (función de pertenencia correspondiente a «pesado»); la cantidad (con el grado en que una proporción es compa­tible con «pocos»).

Para «Pocos jugadores de baloncesto son muy bajos», el proceso consiste en obtener la altura de cada nombre; ir evaluando «Es bajo» para cada nombre; obtener los valores de «Es muy bajo» (según la definición de la función correspondiente a «muy»); sumar dichos valo­res (por cada nombre que tenga valor 1 en «Es muy bajo», hay un jugador; dos jugadores, con 0,3 uno y 0,7 el otro, cuentan en total como uno que es muy bajo); calcular la proporción dividiendo este valor por

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el número de jugadores; por último, obtener el grado en que esta proporción es compatible con «pocos». Lo interesante es que el signifi­cado no es simplemente el resultado, sino el proceso seguido para obtener el resultado (cf. Garrido, 1979; el significado es el conjunto de procedimientos computacionales realizados y el cambio del estado de la memoria producido; Garrido, 1988a, 120). En el caso de «grandes», se calcula la conjunción de «alto y pesado» según la definición de la conjunción como conectiva difusa, y en lo demás se procede análoga­mente; por ejemplo, «muchos» es el antónimo de «pocos» (es decir, la negación ---el complemento-- de la función de «pocos») y «alto» el de «bajo». Se puede, además, asignar el valor obtenido a una variable lingüística del tipo «verdadero» o «falso», de modo que el resultado final sea del tipo «"Pocos jugadores de baloncesto son muy bajos" es bastante falso».

EJERCICIOS

1. Compruebe si la fórmula p v -pes una verdad lógica en la lógica de tres valores de Lukasiewicz.

2. Muestre mediante tablas de verdad que en el sistema de Lukasiewicz (p ..... q) ..... - p v q no es una verdad lógica.

3. Compruebe que la definición de las conectivas de Lukasiewicz empleando valores entre O y 1 es equivalente a la expuesta mediante tablas de ver­dad.

4. Muestre que con las conectivas de Lukasiewicz no se cumplen las leyes del tercio excluso ni de la no contradicción.

S. Si «Hace calor» se considera con el valor de verdad 0,3 y «Maria lleva abrigo» con 0,6, calcule el valor de verdad de: 1) Maria no lleva abrigo. 2) No hace calor, o Maria lleva abrigo. 3) Hace calor y Maria lleva abrigo. 4) Si hace calor, Maria lleva abrigo. 5) Si Maria lleva abrigo, hace calor.

6. Analice «Es más bien alto» y «Es bastante alto» a partir de los valores dados en § 5.3.2 para «Es alto».

7. Calcule el valor de «Si se es alto, se es muy alto». Emplee los valores de la función de pertenencia definida en el universo de individuos de § 5.3.2.

8. Determine el valor de verdad en el modelo definido en § 5.3.2 de «Si Juan es alto, es muy alto. Ocurre que Juan no es muy alto; por tanto, tampoco es alto». Considere que el individuo en cuestión mide 1,75.

9. En el mismo modelo del ejercicio anterior averigüe la validez del razona­miento «Si se es alto, se es muy alto. No se es muy alto; por tanto, no se es alto».

10. Calcule el valor de verdad de «Todos los jugadores de baloncesto son altos» y de «Algunos jugadores de baloncesto son altos» en el modelo definido en § 5.4.1.

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~o presuposición e Impllcatura:

lógica de la conversación

6.1. Presuposición semántica

6.1.1. Actlvador •• pr •• upo.lclonal ••

Frege (1892, 69) observa que al emplear un nombre propio es evidente la suposición previa (<<Voraussetzung») de que tiene una refe­rencia: cuando se afirma «Kepler murió en la miseria» se presupone que el nombre «Kepler» designa algo, pero no por eso el sentido de «Kepler murió en la miseria» contiene el de «Kepler existió». La razón de ello es que «Kepler no murió en la miseria» también presupo­ne que el nombre «Keplen> designa algo, es decir, que «Kepler exis­tió». El problema, prosigue Frege, es que hay expresiones lingüísticas que por su forma gramatical están destinadas a designar un objeto pero que no lo consiguen. El ejemplo clásico es de Russell (1905): «El actual rey de Francia está calvo» dicho en 1905 o dicho ahora no consigue el objetivo de designar a quien ahora es rey de Francia, por la sencilla razón de que Francia no tiene ya rey. Para Russell (1905, 36), su famoso ejemplo no carece de sentido (<<nonsense»), sino que es simplemente falso. Su negación, según sea el alcance (§ 3.4.1), es verdadera (<<Es falso que el actual rey de Francia esté calvo»), o falsa (<<El actual rey de Francia no está calvo»).

En su polémica con Russell, Strawson (1950, § 3) distingue entre la posibilidad de que una oración se use para decir algo verdadero o falso (<<El rey de Francia es sabio»), y el hecho de que fracasemos, no

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consigamos decir algo verdadero o falso porque no logremos mencio­nar a nadie con «El rey de Francia». Decir que una persona no está hablando de nadie en particular no es lo mismo que afirmar que lo que está diciendo es falso o sin sentido (<<nonsense»). El uso del artículo definido no implica que se afirme que existe un único referente, sino que se cumple la condición de que existe. Incluso el uso específico del cuantificador existencial no implica la aserción de existencia, sino sólo la de que se cumple la condición existencial. Del mismo modo, aunque el cuantificador universal no incluye la implicación de existencia (Dea­ño, 1975, 40), considera Strawson (§ 5) que la cuestión de si es verdade­ro o falso «Todos mis amigos están dormidos» sólo surge cuando se cumple la condición existencial, es decir, cuando el hablante tiene hijos. Igualmente (Strawson, 1952, 173 ss), el enunciado (de) «Todos los hijos de Juan están dormidos» presupone el (de) «Juan tiene hijos»; si no se cumple éste, el primero no es ni verdadero ni falso. Strawson (1952, 175) define la presuposición como enunciado que es condición necesaria de la verdad o falsedad de otro enunciado. Cuando la condi­ción no se satisface, se habla de un fallo de presuposición.

Otro caso de presuposición, señalado por Frege (1892, 10), es de naturaleza temporal: «Después de que Schleswig-Holstein se hubo se­parado de Dinamarca, se enemistaron Prusia y Austria». Si no se hubie­ra producido tal separación, observa Frege, el enunciado no sería ni verdadero ni falso.

Hay otros tipos de construcciones con presuposiciones, además de la existencial y la temporal. El error categorial, o incumplimiento de restricciones de selección, tan rentable como metáfora (véase § 5.1.4), se puede concebir como un fallo de una presuposición categorial: «La mesa sufre» presupone que el objeto que es «mesa» es capaz de sufrir, es decir, está en el dominio del predicado correspondiente a «sufrir». El conocido ejemplo de Sellars (1954) «Bertrand ha dejado de pegar a su mujer» presupone «Bertrand pegaba a su mujer». Además de los verbos de cambio de actividad o estado y los iterativos (<<Ha vuel­to con su mujer»), también dan lugar a presuposiciones los factivos (Kiparsky y Kiparsky, 1970, § 2; Lleó, 1976) como «ser raro» en «Es raro que esté lloviendo», que presupone «Está lloviendo», y los verbos implica ti vos (Karttunen, 1971b y 1971c), como «olvidan> en «Juan ha olvidado traer el libro», que presupone «Juan tenia que traer el libro» (sobre factivos e implicativos, véase Bustos, 1986, § 2.4.1-2). Las cons­trucciones de relativo dan lugar a presuposiciones, bien de relativo explicativo (<<Juan, que es trabajador, terminó a tiempo» presupone «Juan es trabajador»), bien de perffrasis de relativo (<<No fue a Juan a quien vio Pedro» presupone «Pedro vio a alguien»; «Lo que Juan per­dió es su cartera» presupone «Juan perdió algo»; «Era JUAN el que

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estaba aquÍ» (Chomsky, 1970b, nota 27) presupone «Alguien estaba aquí»). Algunos cuantificadores, como «sólo», dan lugar a presuposicio­nes (véase en Bustos, 1986, § 3.2.3 un análisis diferente): «Sólo Juan vino» presupone «Alguien vino». Éstas y otras expresiones (preguntas, construcciones contrafácticas, etc.) son activadoras de presuposiciones, es decir, dan lugar a r,resuposiciones (véase las listas de Keenan, 1971, § 2 Y Levinson, 1983, § 4.2).

6.1.2. DefInIcIón medIante la ImplicacIón semántIca

La relación de presuposición se puede definir entre enunciados, como lo hace Strawson, pero también entre el hablante y un enunciado (presupuesto por el hablante; Stalnaker, 1972, § 3), entre el acto lingüís­tico de la enunciación y un enunciado, entre una oración y una proposi­ción, incluso entre una palabra y una proposición (véase Gardner, 1971, nota 5 y pág. 34). Se suele entender por presuposición semántica la relación entre dos proposiciones, p y q, tal que una, q, es condición necesaria de la verdad o falsedad de la otra, p. Se dice que p presupo­ne q, y que q es una presuposición de p. Para definir la presuposición no es suficiente el condicional o implicación material (p --+ q) & ( - P --+

q), como critica Rohrer (1973, 112) a van Fraassen (1968). Es necesario dar cuenta de la necesariedad de la condición. Que la condición es necesaria quiere decir que en todos los mundos posibles en que p es verdadera, q también lo es; y en todos los mundos posibles en que p es falsa, q es verdadera.

Para formular la condición establecida se puede emplear la relación de implicación semántica: p implica semánticamente a q, p If- q, si en todos los mundos posibles en que p es verdadera, q es verdadera. (También se emplean los términos de «entrañamiento» y «entrañan>, por ejemplo en la traducción española de Beth, 1955 Y de Lyons, 1981, capítulo 4, o la expresión, invirtiendo los ténninos, de q «se deduce de» p, en Hierro, 1986, § 7.10, pág. 250.) En otros términos, p & - q es una contradicción: no hay un mundo en que p & - q sea verdadero. Por ejemplo, la proposición correspondiente a «Juan tiene un nieto» implica semánticamente la de «Juan tiene un hijo o hija».

Así definida, la implicación semántica coincide con la implicación estricta (que en ciertos textos de lingüística recibe el nombre de «implicación lógica»): no es posible que p y no-q, es decir, -M(p & - q). Al excluir la posibilidad de que p sea verdadera y q falsa, se está excluyendo el único par de valores que hace falso el condicional p --+

q. En otros términos, el condicional es, asi, necesariamente verdadero; como sabemos (§ 4.1.2 Y ejercicio 3), efectivamente, ,.., M(p & ,.., q) es equi-

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valente a N(p -+ q), pero también a N( "" P v q): no poder ser verda­dera p y falsa q es equivalente a que tienen que ser o p falsa y q verdadera, o las dos falsas, o las dos verdaderas. (Sin embargo, en ló­gica polivalente, estas equivalencias no se dan, porque no se dan las equivalencias entre,.., (p & ,.., q) y (p -+ q) y ,.., p v q (§ 5.4.1 Y ejercicio 2), de modo que la implicación semántica no coincide con la implicación estricta en dicho tipo de lógica). Se puede, por consiguiente, definir la presuposición semántica mediante la implicación estricta, como por ejemplo hace Keenan (1971, § 2), o mediante la implicación semántica.

La presuposición semántica queda entonces definida como una do­ble relación de implicación semántica: p presupone semánticamente q, p » q, ssi p implica semánticamente q y ,.., p implica semánticamente q. Nótese que la implicación semántica no exige que q sea falsa cuando p lo es. En el ejemplo anterior, que Juan no tenga nietos no excluye la posibilidad de que tenga hijos. Tampoco exige la presuposición que p sea verdadera y falsa a la vez: solamente que en cualquiera de los dos casos, se dé la relación de implicación semántica.

De acuerdo con la definición, la manera de comprobar si existe relación de presuposición entre dos proposiciones relacionadas por implicación semántica es la prueba de la negación (<<prueba» en el sentido de «comprobación», no de «demostración»). Consiste en obser­var si se mantiene la implicación semántica al negar la primera propo­sición (véase, por ejemplo Kempson, 1977, § 9.2). En los ejemplos ante­riores (§ 6.1.1) de presuposición (y aclarando que se dan entre las proposiciones correspondientes a las oraciones mencionadas, por lo que las escribimos entre corchetes dobles), comprobamos que se trata de verdaderas presuposiciones semánticas mediante la negación (o la afirmación, si son negativas):

[[No fue a Juan a quien vio Pedro]] » [[pedro vio a alguien]] [[Fue a Juan a quien vio Pedro]] » [[pedro vio a alguien]] [[Lo que Juan perdió es su cartera]] » [[Juan perdió algo]] [[Lo que Juan perdió no es su cartera]] » [Uuan perdió algo]]

Como veremos más adelante, la prueba de la negación no está exenta de dificultades.

6.2. Valoración verltatlva de la presuposición

6.2.1. Problem •• verltatlvo.

La presuposición semántica es un fenómeno que se resiste al análisis lógico bivalente. En primer lugar, hay multitud de presuposiciones

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semánticas triviales: toda proposición que sea verdadera en todos los mundos posibles es una presuposición de cualquier otra proposición (véase McCawley, 1981, § 9.1). En efecto, la proposición correspondien­te a «O los Reyes Magos existen o no existen», como siempre es verda­dera, es presupuesta por cualquier proposición, ya que se cumple que es verdadera sea verdadera o falsa la otra. Para que una proposición tenga presuposiciones no triviales, tiene que tener lagunas veritativas, es decir, tiene que haber casos en que no es verdadera ni falsa, yesos casos tienen que darse cuando no sea verdadera una determinada proposición. Otra consecuencia problemática es que si una proposición p presupone q, en lógica bivalente q tiene que ser siempre verdadera: como p sólo puede ser verdadera o falsa, por el principio del tercio excluso, pase 10 que pase q es verdadera (véase Levinson, 1983, § 4.1). Esta consecuencia es la que se emplea en las estrategias argumentati­vas: si se le dice a alguien que ha dejado de ser antipático, por ejem­plo, se obliga a aceptar que en algún momento ha sido antipático. Pero precisamente el problema es que hay proposiciones cuyas presuposi-ciones semánticas son falsas. .

La propia definición de presuposición semántica supone que no hay sólo dos valores veritativos y que la ley del tercio excluso es falsa (cf. J. Martin, 1987, § 7.1. 4): basta que q sea falsa para que p no sea ni verdadera ni falsa. Aquí surge la cuestiÓn de qué tipo de lÓgica tri va­lente emplear: cuando q es falsa, ¿qué valor recibe p?

La solución, en lógica trivalente, puede ser considerarla carente de significado (empleando las conectivas débiles), pero también de valor indeterminado o desconocido, empleando las conectivas fuertes (cf. J. Martin, 1987, § 7.1. 7; sobre la presuposición semántica analizada con lÓgica polivalente, véase Lycan, 1984).

6.2.2. Supervaloraclone.

El problema de las lÓgicas trivalentes es que en ellas no se cumplen algunas de las inferencias válidas de la lógica clásica. Hay una teoría que permite que haya tres valores veritativos y al mismo tiempo man­tiene la validez de la implicación clásica: la teoría de las supervalora­ciones de B. van Fraassen (1966,1969 Y 1971; cf. McCawley, 1981, § 9.3 Y J. Martin, 1987, § 7.4.4 Y 8.1.5), desarrollada para dar cuenta del fallo presuposicional. Una valoración es una asignaciÓn de valores de ver­dad de las proposiciones, lo que hemos llamado mundo posible y que se conoce también como relación de referencia. Supongamos que algu­nas proposiciones atómicas carecen de valor veritativo, por la razón que sea; la valoraciÓn es una valoración atómica parcial. Las demás

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proposiciones que sí son bivalentes (o verdaderas o falsas) determinan un mundo parcial: en él están decididos algunos hechos, pero no todos. Los que están decididos corresponden a las proposiciones bivalentes; los no decididos a las proposiciones que carecen de valores de ver­dad. Se trata entonces de proponer una manera de calcular el valor de verdad a partir de la valoración atómica parcial.

Cualquier valoración atómica parcial determina un conjunto único de valoraciones clásicas (de mundos posibles bivalentes) que coinci­den con ella en la medida en que está definida. Por ejemplo, una novela (podemos pensar en una valoración corno descripción de un estado de cosas o mundo posible; cf. § 4.1.1; por tanto, una novela es un ejemplo de valoración parcial) presenta una serie de hechos que son coheren­tes con muchos mundos posibles clásicos (es decir, bivalentes). Lo interesante es que, si tuviéramos definido ese conjunto de muchos posibles coherentes con la novela, su intersección seria la propia nove­la, es decir, la valoración parcial. Y, a la inversa, podemos pensar en un conjunto de mundos posibles clásicos corno si fuera un mundo posi­ble parcialmente definido, es decir: los hechos en los que coinciden los mundos clásicos del conjunto son a su vez un mundo parcialmente definido: hay valores bivalentes (V o F) para las proposiciones en que sean unánimes todos los mundos clásicos, y quedan sin definir las demás, es decir, aquéllas en que no están de acuerdo todos los mundos clásicos. Nótese que no es lo mismo asignar un valor intermedio, des­conocido o sin sentido, que considerarlo no definido: el no definido puede ser en unos mundos clásicos verdadero y en otros falso. La asignación de valores, la supervaloración, es entonces una función parcial (Kleene, 1952): para algunos argumentos da corno valor el valor indefinido, es decir, tiene lagunas veritativas, mientras que para otros, aquellos en que los mundos clásicos coinciden, da los valores de ver­dadero o de falso. Esto es lo mismo que decir que algunas proposicio­nes están fuera del dominio de la supervaloración (cf. J. Martin, 1987, § 7.4.1; también se emplea el término de «supervaluación»).

Así pues, para cada valoración atómica parcial hay un conjunto de mundos clásicos (bivalentes) que la completan (la hacen total), de com­pleciones clásicas. Cualquier subconjunto de dicho conjunto es una asignación parcial a su vez (coincidirán todos los mundos en algunos valores de verdad), y puede inducir o dar lugar a una supervaloración, ya que deja sin definir los valores veritativos de las proposiciones en cuya valoración no coinciden los mundos). Si en lugar de conjuntos de mundos posibles considerarnos los conjuntos de proposiciones que son verdaderas en todos ellos (es decir, sus descripciones), podernos decir que dichos conjuntos de proposiciones coherentes o consistentes entre sí inducen supervaloraciones. Por ejemplo (McCawley, 1981, § 9.3),

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{P. - q} inducen una supervaloración con respecto a las proposiciones p. q. r. porque deja sin definir el valor de r. En algunos mundos r es verdadero y en otros falsos; lo interesante es que se mantiene en lo posible la lógica clásica. En efecto (y análogamente al razonamiento empleado para las conectivas fuertes de Kleene en § 5.1.2). mantene­mos los valores veritativos clásicos en todas las fórmulas en que. a pesar de la presencia de r. podamos obtener el valor coherente con que P sea verdadera y q falsa. Por ejemplo, p v r es verdadera porque en cualquier valoración clásica basta que p lo sea; q & r es falsa; pero p -+

r queda sin definir, porque r no está definida, y será verdadera en unas valoraciones y falsa en otras. En cambio, p -+ q es falsa y q -+ p es verdadera.

Empleando supervaloraciones, ¿qué proposiciones pueden fallar veritativamente? Fuera de las tautologías y las contradicciones, cual­quier proposición puede ser una laguna veritativa. Para evitar que esto ocurra, van Fraassen propone lo que llama necesitación no clásica (McCawley, 1981, § 9.3), es decir, una relación NNC entre proposiciones que sirva para incorporar relaciones de necesidad entre constantes no lógicas. Por ejemplo, si p corresponde a una oración que contiene un activador presuposicional, y q es la consiguiente presuposición, se establece que NNCPq, Y sólo se consideran admisibles las valoraciones clásicas en que todas las proposiciones hacen verdadera q si hacen verdadera p. Así se excluyen las supervaloraciones que hacen p ver­dadera y q falsa, pero queda el problema de las que dejan p sin definir. Para ello se podría exigir, además de que NNCPq. NNC-pq: cuando p es falso o no definido, p es no definido, porque, si p fuera verdadera o falso, NNC impondría que q fuera verdadero. Podemos así, mediante la relación de necesitación no clásica, dar cuenta de los fallos de presuposición, con la ventaja sobre las conectivas trivalentes de que las supervaloraciones mantienen la validez de los argumentos válidos en lógica clásica. Por ejemplo, Martin (1987, § 8.1.5), en el marco de la lógica libre (que parte de no aceptar que tenga que existir aquello sobre lo que se cuantifica, ni que las constantes tengan que hacer referencia a objetos o individuos) emplea supervaloraciones para ana­lizar las presuposiciones existenciales.

6.3. DIficultades de la presuposición semántica

6.3.1. Anulabllldad

Tal como se define, la presuposición semántica presenta ciertas propiedades que hacen difícil su integración en una teoría semántica

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basada en el concepto de verdad. La primera de estas propiedades problemáticas es la anulabilidad.

Las presuposiciones son anulables, es decir, se puede hacer que desaparezcan; se dice que son «derrotables», según término de Grice (1975) aplicable a los razonamientos, en el sentido de que añadiendo premisas ciertas inferencias se eliminan, quedando «derrotado» el co­rrespondiente argumento. Por ejemplo (Levinson, 1983, § 3.1), los razo­namientos inductivos son derrotables: añadiendo la premisa «La zana­horia mil dos es verde» al razonamiento formado por las premisas, «He desenterrado mil una zanahorias» y «Las mil una zanahorias son todas naranja», ya no es válida la conclusión «Por tanto, todas las zanahorias son naranja», que si lo sería sin la tercera premisa acerca de la zanaho­ria mil dos. Las presuposiciones son derrotables, desaparecen, en cier­tos contextos, tanto intraoracionales como de discurso.

Un primer procedimiento de anulación es simplemente añadir la negación explicita de la presuposición: «Juan no se arrepiente de ha­berse ido de vacaciones, porque el hecho es que no se fue de vacacio­nes». Como las correspondientes oraciones afirmativas no tienen estos problemas, se puede defender que en las afirmativas lo que se produ­ce es sólo implicación semántica (<<Juan se fue de vacaciones»), y no presuposición (Wilson, 1975 y Gazdar, 1979). La presuposición también desaparece por suspensión (Horn, 1972): «Juan no ha vuelto a hacer trampas, si es que las ha hecho alguna vez». Pero nos interesan prime­ramente los casos en que la presuposición desaparece no porque se combine la oración (o cláusula) con otra, que niega la presuposición de la primera, sino por problemas que presenta la oración (la cláusula) por si sola, sin construirse con otras.

Veamos un ejemplo oracional: comparemos «Susana lloró antes de terminar la tesis» con «Susana murió antes de terminar la tesis». La proposición expresada mediante la primera, como suele suceder con «antes de», presupone que Susana terminó la tesis, mientras que la de la segunda no. Se hace uso del conocimiento general (Levinson, 1983, § 4.3.1), o probablemente más bien de la información léxica contenida en «morir», de que la gente cuando se muere deja de hacer cosas; este conocimiento o información léxica entra en colisión con la presuposi­ción, por lo cual ésta se abandona. El conocimiento particular de una conversación también afecta a la presuposición. El ejemplo (adaptado de Levinson) «Por lo menos Juan no va a tener que arrepentirse de haber terminado la carrera» se interpreta sin presuposición si se sabe que Juan no ha terminado sus estudios universitarios, mientras que mantiene la presuposición si se está hablando de que Juan ha consegui­do un buen trabajo precisamente gracias a haber terminado la carrera. Si los conocimientos de los hablantes contradicen la presuposición,

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éstos prescinden de ella para considerar falsa la proposición: en ejem­plos del tipo «El Cid montó a Pegaso», se considera falsa la proposición correspondiente aunque se sepa que Pegaso no existió, como indican Bach y Hamish (1979, § 8.3.1). Sin embargo, en estos casos el nombre propio (que, como indica Quine, 1948, se puede siempre considerar como descripción definida, como «la cosa que pegasea», si hace falta llegar a ello) no está en posición de sujeto, y se puede argumentar, con Strawson (1964a), que aunque la presuposición no se cumpla la propo­sición es falsa. Así, habiendo tal exposición, es falsa la proposición correspondiente a «La exposición fue visitada por el rey de Francia», porque es el sintagma «la exposición» el que se emplea para identificar referencialmente, y no «el rey de Francia». De todos modos, la proposi­ción de «Pegaso llevó en su lomo al Cid» sería igualmente considerada falsa; parece haber una escala de relevancia, según la cual unos indivi­duos son más importantes presuposicionalmente que otros.

En general, las presuposiciones son sensibles a los conocimientos dados por supuestos, sean generales o se deban a las circunstancias de la conversación o a particularidades de las unidades léxicas emplea­das. Por ejemplo, «saben>, como verbo factivo, da lugar a presuposi­ción, tanto con negación como sin ella: «Juan no sabe que Pedro ha ganado la lotería». Pero empleado en primera persona, con la negación desaparece la presuposición, porque el propio hablante no puede afir­mar que es verdadero algo y que al mismo tiempo no lo sabe. En este caso, aparece el modo subjuntivo (Rivera, 1971 y Bustos, 1986 § 4.1.1), indicando así el hablante que no se compromete con el hecho en cuestión: «Yo no sé que Pedro haya ganado la lotería». La negación se salta la presuposición (Gazdar, 1979, 142 Y Levinson, 1983, § 4.3.1). Se puede incluso organizar' el discurso para eliminar una presuposición por reducción al absurdo (Keenan, 1971, § 5). «No es Juan el que está enamorado de María», como perífrasis de relativo, da lugar a la presu­posición de que alguien está enamorado de María, pero en la siguiente argumentación desaparece la presuposición: «Dices que alguien de esta habitación está enamorado de María. Pero claramente no es Juan. y no es Pedro. Y tampoco es ... (etc.). Por tanto, nadie de esta habitación está enamorado de Maria».

6.3.2. Problemas ele composlclonalldad

La otra propiedad problemática, relacionada con la anterior, es que en ciertas ocasiones las presuposiciones de una proposición compleja no se obtienen a partir de las de las proposiciones componentes, es decir, no respetan el principio de composicionalidad. La cuestión de la

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composicionalidad se suele llamar (Langendoen y Savin, 1971, 55) pro­blema de la proyección, ya que Katz y Fodor (1963, 40) llamaron reglas de proyección a las reglas que interpretan composicionalmente las estructuras sintácticas (es decir, entendido intuitivamente, salvando el problema de las tr~nsformaciones, reglas que proyectan los significa­dos de los constituyentes sobre el significado oracional).

El primer obstáculo a la composicionalidad se presenta precisa­mente en la negación explicita, de la que ya hemos visto ejemplos, en casos en que se añade la negación mediante otra cláusula: «El alcalde no fue a la exposición este año, ya que este año no hubo exposición» (Kempson, 1977, § 9.3). La proposición compleja ya no presupone que hubo exposición, y, sin embargo, la primera simple sí. Se suele propo­ner (Wilson, 1975, 35) que la negación es ambigua entre la negación interna, que no suprime las implicaciones semánticas de que hay un alcalde y una exposición (y, por tanto, no afecta a la presuposición), y la externa, que las suprime (y también elimina la presuposición). Sin embargo, esta solución puede ser ad hoc, ya que este problema parece ser la única razón para proponerla (Kempson, 1975, § 5.2 Y 1977, § 9.3-4).

También la disyunción y el condicional eliminan las presuposiciones en ciertas ocasiones (en virtud de las relaciones entre los miembros y la presuposición eliminada). «Si Juan se queda, se arrepentirá» y «O Juan acaba por no quedarse, o se arrepentirá» eliminan la presuposi­ción correspondiente a «Juan se queda». Incluso la conjunción la elimi­na, ya «Juan se queda y se arrepentirá» sólo implica semánticamente «Juan se queda» (porque la correspondiente negativa no da lugar a la implicación semántica). Por eso Karttunen (1973) los llama filtros presu­posicionales, ya que, en otras ocasiones, permiten que pasen a la pro­posición compleja las presuposiciones de las componentes: «Si Juan tiene trabajo no se arrepentirá de quedarse». Karttunen (1974) llama tapones, por ejemplo, a los verbos de actitud preposicional, porque bloquean el paso de la presuposición (aunque no siempre): «Juan cree que han venido los Reyes Magos», y agujeros a las expresiones que lo permiten, como, por ejemplo, las expresiones correspondientes a ope­radores modales y deónticos: «Es posible que Juan sienta haber sido grosero» y «Juan debería sentir haber sido grosero». Por esta razón, Karttunen (l971a; cf. Levinson, 1983, § 4.4) propone definir la presuposi­ción como relación en que Mp 11- q y M - p 11- q, empleando el opera­dor modal de posibilidad.

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6.4. Presuposición pragmática

6.4.1. Conocimientos compartidos

Apliquemos la prueba de la negación al ejemplo anterior de impli­cación semántica, «Juan tiene un nieto». Se trata de comprobar si la proposición correspondiente a la negación, «Juan no tiene ningún nie­to», implica semánticamente o no la de «Juan tiene un hijo o hija». Juan puede no tener nietos y además no tener hijos, luego no hay relación de presuposición semántica. Otra cosa es que no se diga «Juan no tiene nietos» sin que se parta de la base de que tiene algún hijo o hija que nos permita plantearnos la posibilidad de los nietos. Éste es otro tipo de exigencia: para emplear de manera apropiada tanto la oración como su negación, es necesario que sea verdadera la proposición de la otra oración. Decimos entonces que hay una relación de presuposición pragmática. Keenan (1971. § 4) la define como sigue: «La enunciación de una oración presupone pragmáticamente que su contexto es apropia­do». La presuposición pragmática no afecta las condiciones de verdad: por ejemplo, la enunciación de «Eres simpática» presupone pragmáti­camente una cierta relación con el interlocutor, por el tratamiento de tuteo, y un cierto sexo del interlocutor, por el género femenino. La proposición expresada sigue siendo verdadera (o falsa) aunque estas condiciones no se cumplan, aunque sea poco o nada apropiada.

Veamos algún ejemplo. La proposición expresada al enunciar «Po­cos hombres han dejado de pegar a sus mujeres» presupone las propo­siciones de «Algunos hombres han dejado de pegar a sus mujeres» y «Algunos hombres han pegado a sus mujeres» (Lakoff, 1970, § 5); como ejemplo menos violento, también de Lakoff, «Juan pretende estar enfer­mo» exige aceptar que Juan no está enfermo. El hablante puede intro­ducir información contextual de manera indirecta (Bustos, 1986, § 1.1, pág. 41), por ejemplo si el oyente no sabe nada acerca de la salud de Juan: empleando «pretende estar enfermo», se cuela de rondón la presuposición. Naturalmente, el oyente tiene que estar dispuesto a creer que quien le habla es sincero, es decir, que cree lo que le dice; pero, para no aceptar la presuposición, es libre de pensar que su interlocutor no es sincero.

En el ejemplo de Fillmore (1971, § 1) «El lobo consiguió el divorcio», se puede argumentar que el sintagma verbal requiere el rasgo de humano en el sujeto, pero, también, desde un punto de vista pragmáti­co, resulta difícil aceptar que los lobos se puedan divorciar (y bastaría que se tratara de un cuento o un chiste para que resultara aceptable).

La presuposición pragmática se considera, así pues, como informa­ción que el hablante supone que comparten él y su interlocutor (Jacken-

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doff, 1972, § 6.1): la respuesta «natural» a estas dos preguntas, «¿Mató Juan al juez con un martillo?», y «¿Fue con un martillo con lo que Juan mató al juez?» es «No, le mató con una escopeta». Las dos preguntas tienen las mismas presuposiciones; no sirve como respuesta «No, fue Pedro el que le mató». El adjetivo «pragmático» se suele emplear en el sentido de que el contexto interviene necesariamente en el fenómeno a explicar (y por tanto en su explicación), sea por la información extraída de los enunciados precedentes, o de las circunstancias de enunciación (información acerca del hablante, del oyente, etc.), sea por las caracte­rísticas mismas del acto lingüístico en que se emplean las expresiones. En los fenómenos que se consideran pragmáticos los hablantes realizan inferencias acerca de la información necesaria para comprender las oraciones enunciadas. El contexto puede considerarse como «el con­junto de premisas empleadas en la interpretación de un enunciado» (Sperber y Wilson, 1986, § 1.3), como conocimiento mutuo de los inter­locutores empleado en la producción y comprensión de enunciados. Cabe añadir que estas premisas (en forma de proposiciones) deben ser consistentes (coherentes), como exige Gazdar (1979), o, por lo menos, estar organizadas jerárquicamente en cuanto a sus relaciones mutuas (por ejemplo ramificadas, siendo cada rama un conjunto estructurado de hipótesis acerca del mundo cognoscitivo del que se está hablando).

Los intentos mencionados antes de explicar la presuposición como fenómeno semántico (es decir, analizable mediante semántica veritati­va, siguiendo el principio de la composicionalidad) han tenido poco éxito ante las dificultades planteadas, por la intervención de conoci­mientos de los hablantes y de ciertas propiedades del discurso. Se intenta por ello dar explicaciones pragmáticas de los fenómenos. Esto no quiere decir que no haya habido la estrategia inversa, la de reducir los fenómenos pragmáticos al dominio de la semántica, en la lógica natural de Lakoff (1970, 1975), dentro de la semántica generativa (Mc­Cawley, 1972), en que «las reglas de la gramática son simplemente las reglas que relacionan las formas lógicas y las formas de superficie de las oraciones» (en palabras de Lakoff, 1970, § 6), identificándose así estructura profunda con forma lógica (Harman, 1970). Muchas de las ideas surgidas en relación con esta identificación se han aplicado fructí­feramente después de que se hubiera rechazado. Sin embargo, en los fenómenos definidos como presuposición semántica, intervienen de manera central los conocimientos que los interlocutores tienen que dar por supuestos, muchas veces infiriéndolos, y ciertas características de la producción misma del discurso. Por ello, la estrategia seguida es tratar los hechos por explicar como fenómenos pragmáticos.

Además de definir la presuposición pragmática mediante el con­texto como conocimiento mutuo (para que el enunciado sea aceptable

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la presuposición tiene que ser compartida por los interlocutores), se puede especificar que el contexto es algo que va cambiando a medida que avanza la conversación o, en general, el discurso (van Dijk, 1977, § 7.2.3), de modo que un enunciado presupone una proposición si (Kart­tunen, 1974) el enunciado es aceptable sólo en un punto del discurso en que la proposición pertenece al conjunto de proposiciones que los interlocutores consideran verdaderas (cf. McCawley, 1981, § 9.1). Como el resultado del discurso es cambiar el contexto inicial a uno diferente, el contexto final, se puede definir el texto como una función desde el conjunto de contextos iniciales al conjunto de contextos finales, consi­derando cada contexto como un conjunto de proposiciones que consti­tuyen un mundo parcial (una valoración atómica parcial; véase § 6.2.2).

La presuposición pragmática se puede definir, paralelamente a la semántica, mediante un concepto pragmático de implicación. Se define la implicación pragmática como la relación entre las proposiciones expresadas en dos enunciados, tal que el hablante tiene que considerar verdadera la proposición del segundo enunciado para producir el primero (Lyons, 1977, § 7.3; Nowell-Smith, 1954, § 6.2 y 1962; Hierro, 1986, § 7.10). Otra manera de concebir la implicación pragmática es considerarla como inferencia realizada a partir de la proposición y del contexto de creencias y conocimientos (Smith y Wilson, 1979, capítulo 8). Esta implicación está regulada por convenciones generales acerca del uso del lenguaje. La presuposición pragmática es entonces un tipo de implicación pragmática, que el oyente tiene que llevar a cabo si quiere entender cabalmente el enunciado. Como veremos, esta con­cepción resulta ser fructífera cuando se explora la regulación del uso comunicativo de las oraciones.

6.4.2. Condiciones de uso: actos IIngQistlcos

Tal como la define inicialmente Strawson, la presuposición existen­cial es una condición, como hemos visto. Fillmore (1969, § 6) define las presuposiciones de una oración como condiciones que deben satisfa­cerse para que pueda usarse la oración para dar órdenes, realizar peticiones, aserciones, etc. Son, pues, condiciones referenciales que debe cumplir la oración para poderla emplear en un acto lingüístico. Para dar una orden como «Abre la puerta», es necesario que haya una puerta que abrir, es decir, una puerta cerrada. Esta concepción de la presuposición se acerca al enfoque de Austin (1962, conferencia I1) sobre las condiciones de felicidad, o condiciones que algunas expre­siones deben cumplir para que su uso sea afortunado o apropiado. Los verbos realizativos se emplean bajo condiciones de este tipo, no para

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afirmar algo que puede ser verdadero o falso, corno los verbos consta­ti vos, sino para hacer algo. Lo importante es que, por consiguiente, las oraciones con verbos realizativos no son analizables mediante valores de verdad, sino según las condiciones en que el empleo de las oracio­nes produce los efectos deseados. Por ejemplo, para casarse, hay que pronunciar las palabras rituales (<<Acepto ... ») cumpliendo unas condi­ciones especificadas. Ello recuerda a la afirmación de Wittgenstein (1953, § 23) de que hablar una lengua es una actividad, y a la considera­ción de Humboldt (1836, § 12, pág. 418) de que «la lengua propiamente dicha está en el acto de su producciÓn real (wirklichen Hervorbrin­gens)>>.

En el acto lingüístico se puede distinguir la proposición que se expresa y el tipo de acción social que se lleva a cabo. La proposición es un asunto de valores de verdad, pero la acción llevada a cabo no. Es muy conocida a este respecto la clasificación de Austin (1962, conferen­cia VIII). Una misma expresión se puede emplear en diferentes ocasio­nes, en el mismo tipo de acto locutivo: por ejemplo, la oración «La fiesta no es para todo el mundo» se puede decir varias veces, hablando de la misma fiesta, expresando con ello la misma proposición. Además, al decir algo, en la ocasión de decir algo, se realiza un acto ilocutivo (también emplean «inlocutivo», Acero et al., 1982, § 9.3; e «ilocuciona­rio», los traductores de Austin en la versión española de 1971 y Hierro, 1986, § 7.6): una invitación o una prohibición o una amenaza, o una mera declaración. Como ejemplo, todas ellas se pueden realizar me­diante el acto locutivo de expresar la mencionada proposición acerca de la fiesta. Austin (conferencia VIII, pág. 144) también emplea el tér­mino de fuerza ilocutiva: lo dicho, que tiene significado, puede tener la fuerza de una invitación, de una amenaza, etc. Encontrarnos así dividido lo dicho entre el sentido (o contenido proposicional) y la fuerza ilocu­tiva (distinción susceptible de crítica: véase Baker y Hacker, 1984, capítulos 2 y 3, Y Garrido, 1988b, § 7). Austin distingue un tercer tipo de acto lingüístico (o de habla, o verbal), el acto perlocutivo, que consiste en lograr ciertos efectos por el hecho mismo de decir algo: por ejemplo, convencer, alarmar, etc. La distinción recuerda a la cla­sificación de las funciones del lenguaje de Bühler (1934) en relación con las cosas (lo dicho), con el hablante (lo hecho al decir) y con el oyente (lo conseguido al decir).

Austin considera la presuposición corno algo que puede dar lugar a que el enunciado no funcione (entendiendo por enunciado el uso de una oración; conferencia 1, nota 1); para explicarlo, observa (conferen­cia IV, pág. 95), no podernos limitarnos a la proposición en juego, sino que tenernos que tener en cuenta el acto lingüístico total. Así nos dare­mos cuenta, afirma, del paralelismo existente entre los enunciados y las

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expresiones realizativas, y de cómo ambos pueden salir mal. Además, la aserción o afirmación de algo no es sólo un acto locutivo, sino tam­bién un acto ilocutivo (de aserción). Al final de su argumentación (con­ferencia IX), Austin mantiene que, dado que los actos lingüísticos con constativos pueden salir mal (y el fallo presuposicional es ejemplo de ello; pág. 183), enunciar es realizar un acto; y que «lo que tenemos que estudiar no es la oración sino el acto de emitir una expresión en una situación lingüística» (conferencia IX, pág. 185).

Esta propuesta está en la misma línea que la de Wittgenstein (1953, § 43) de que en la mayoría de las ocasiones, si no en todas, «el significado de una palabra es su uso en la lengua». Ha dado lugar a un gran interés por el estudio de los actos lingüísticos (Searle, 1969 y 1979; Cole y Morgan, 1975; Cole, 1978; Bach y Harnish, 1979), entendidos como actos ilocutivos, que se ha traducido en la especificación de las condiciones de felicidad determinantes de la fuerza ilocutiva, y en diversas clasifica­ciones de los actos, basados en los propios verbos realizativos, además de clasificaciones basadas en las intenciones (Strawson, 1964b) con que se realizan dichos actos. La idea de que la fuerza ilocutiva está incorpo­rada en la oración ha dado lugar al concepto de acto lingüistico indirec­to (Searle, 1975), por ejemplo el de hacer una pregunta para en reali­dad dar una orden. Desde el punto de vista formal, se han considerado los actos lingüísticos como funciones desde contextos a contextos, ya que cada acto lingüístico cambia el contexto en que se realiza (Ballmer, 1978; Stalnaker, 1978; Gazdar, 1981; d. Levinson, 1983, § 5.6); no se trataría del contexto inicial y final (correspondientes a un texto; véase 6.4.1), sino del previo y posterior al enunciado en cuestión.

En general, la teoría de los actos lingüísticos tiene detractores (véa­se Levinson, 1983, § 5.3). En lugar de considerar los actos lingüísticos como hechos primitivos, se propone la hipótesis realizativa (Ross, 1970; d. § 2.2.2) extendida en general al acto lingüístico (Sadock 1974), en el intento, ya mencionado, de reducir el análisis pragmático al semántico veritativo y sintáctico (McCawley, 1968; Lewis, 1970; Lakoff. 1970 y 1975). Por otra parte, se rechaza la hipótesis realizativa (llegando incluso, como Leech, 1983, § 8.1, a considerarla una falacia) y el análisis de la fuerza i10cutiva basado en los actos lingüísticos, en favor de otra estrategia, basada en la inferencia de la intención comunicativa (Sper­ber y Wilson, 1986, § 4.10). Se afirma (por ejemplo, Miller y Johnson­Laird, 1976, § 7.4.4) que es posible inferir la fuerza ilocutiva a partir del significado literal del enunciado, la especificación del contexto de uso, y un tercer componente, que es una estrategia de análisis del uso relacionada con la intención del hablante, como vamos a ver.

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&.5. Lógica de la conversación

6.5.1. Impllcatura

En su análisis de la lógica de la conversación, Grice (1975, 1978, 1981 Y 1982) se propone demostrar que es un error creer que hay dos lógicas, la de los instrumentos formales de razonamiento y la de los correspondientes instrumentos naturales que se emplean en el razona­miento expresado lingüísticamente. Para Grice (1975, 43), se equivocan tanto los que censuran la imperfección del lenguaje humano frente a la certeza (sobre todo ante la metafísica) de la lógica, como los que lo defienden como instrumento válido de razonamiento. La causa de la equivocación de unos y otros estriba en que no tienen en cuenta la naturaleza y la importancia de las condiciones que rigen la conversa­ción.

Lo que se dice (en el sentido estricto de «decir») es, según Grice, lo que está relacionado estrechamente con el significado convencional de las palabras (o de la oración) que se enuncia. Además de lo que se dice, se implica muchas cosas; para evitar el término «implicación», por su especialización lógica, Grice propone el de implicatura. Los hablantes comunican información de manera indirecta, haciendo que se deduzca de lo que dicen expresamente. Por ejemplo, si a la pregunta «¿Dónde está el chocolate?» se contesta «Ha estado aquí Juan», siendo conocido que Juan es muy aficionado al chocolate, la respuesta da a entender que Juan se lo ha comido. Esta suposición es una implicatura de la respuesta; la relación de implicatura se suele escribir mediante el símbolo +>.

La diferencia entre lo que se dice explícitamente y lo que se trans­mite por la vía de la implicatura recuerda a la concepción de Grice (1957) del significado no natural, en que el hablante consigue el efecto que se propone empleando un enunciado como medio, de manera que el oyente le reconoce la intención de conseguir el efecto. Por ejemplo, «Ese humo quiere decir que hay fuego» puede transmitir el significado no natural de que el interlocutor vaya a comprobar si efectivamente hay fuego. El significado natural está fuera de las intenciones del ha­blante; se habla de él cuando se dice que «La palabra "humo" quiere decir "tierra" además de "gas"». Grice (1968) ha propuesto otra distin­ción en este sentido: significado del hablante, frente al significado léxi­co y oracional (véase al respecto la critica de Chomslcy, 1975, capítulo 2: «La teoría de la comunicación-intención parece un callejón sin salida (blind alley)) es decir, un proyecto que no consigue resultados).

El significado no natural corresponde al concepto de comunicación como transmisión deliberada, intencional, de información; se produce

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empleando como herramienta el significado natural de las expresiones. De manera análoga, lo que se dice es un modo indirecto de comunicar ideas, construidas como implicaturas, ya que lo dicho va acompañado de suposiciones necesarias para entender su finalidad. En los casos en que el significado convencional de las palabras determina lo que cons­tituye implicatura, ésta es una implicatura convencional. Por ejemplo (Grice, 1961), «pero» tiene las mismas condiciones veritativas que «y», con la diferencia de una implicatura convencional sobre la existencia de relación adversativa entre los miembros que une. De este modo se resuelve el aparente desacuerdo entre la conectiva conjuntiva y la existencia de una conjunción adversativa con las mismas condiciones de verdad que la copulativa, pero con una información diferente (la de adversatividad). Esta información es una inferencia determinada con­vencionalmente, es decir, es independiente de la enunciación, y está determinada por el significado (convencional) de la expresión «pero», de modo que no se puede usar la expresión sin que se produzca la inferencia correspondiente (sobre la convención, véase Lewis, 1969 y 1974; Acero, Bustos y Quesada, 1982,'§ 8.4). Hay otras implicaturas que no son convencionales, es decir, que no surgen a partir del significado convencional de las expresiones. Entre las implicaturas no convencio­nales están las que aparecen en los procesos que tienen lugar en la conversación.

Mediante la noción de implicatura, es posible mantener que las expresiones tienen un significado convencional, constante y unitario, correspondiente a sus condiciones veritativas, sobre el que se añade un suplemento más o menos variable, más o menos dependiente de contexto, que consiste en un conjunto de implicaturas. La lógica natural no es diferente de la lógica formal, sino que en el lenguaje hay, además del componente definible mediante lógica veritativo-condicional, un componente inferencial, mediante el cual el oyente calcula la intención comunicativa del hablante empleando los datos veritativo-condicionales de las expresiones y partiendo de la base de que el hablante quiere actuar cooperando con el oyente y contando con él. Para determinar cómo surgen estas inferencias es necesario observar las condiciones en que tiene lugar el intercambio de expresiones lingüísticas, es decir, la conversación.

6.5.2. Principio de cooperación

La conversación tiene lugar siguiendo un principio de cooperación, según Grice (1975, 45-46). La cooperación comprende cuatro catego-

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rias. cuyo nombres hacen alusión a Kant. con diferentes máximas cada una:

Principio de cooperación

«Haz que tu contribución a la conversación sea tal como lo requiere. en el estadio en que la contribución tiene lugar. el propósito o direc­ción aceptados del intercambio de conversación en el que intervienes.»

Máxima de cantidad

Da la cantidad correcta de información:

i) Haz que tu contribución sea lo informativa que se requiere (para los propósitos de ese momento del intercambio).

ii) No hagas que tu contribución sea más informativa de lo reque­rido.

Máxima de cualidad

Intenta hacer que tu contribución sea verdadera:

i) No digas lo que creas que es falso. ii) No digas nada de lo que no tengas pruebas adecuadas.

Máxima de relación

Haz que tu contribución sea relevante.

Máxima de modo

Sé claro:

i) Evita la oscuridad. ii) Evita la ambigüedad.

iii) Sé breve (evita ser prolijo). iv) Sé ordenado.

Mediante estos principios se consigue que el intercambio de infor­mación y. en general, la acción sociallingüistica se realicen de manera económica: se asegura que sólo se mencione lo necesario. y que se mencione lo suficiente. Las tres primeras categorias tienen que ver con lo que se dice. Por ejemplo. el exceso de información (categoría de cantidad) no es sólo una pérdida de tiempo. Lleva a confusión. porque puede hacer que el oyente crea que hay alguna razón para dar infor­mación que sobra. La máxima de cualidad corresponde al principio de presunción de sinceridad del hablante por parte del oyente: cuando no

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creemos al interlocutor, la cooperación comunicativa se hace dificil. La última categoría, el modo, tiene que ver con cómo se dice lo que se dice.

6.5.3. Impllcatura. conversaclonale.

Empleando la distinción aplicada por Searle (1969, § 2.5), el princi­pio de cooperación es regulativo, y no constitutivo. Las máximas de la conversación no constituyen las lenguas de la manera en que lo hacen reglas como la formación de las oraciones interrogativas, por ejemplo (d. Leech, 1983, § 1.2.1). Es más, estas máximas no parecen cumplirse en muchos casos. A primera vista, dan la impresión de ser meras normas de cortesía (piense en «la claridad es la cortesía del filósofo», de Ortega). Y como tales normas de cortesía, pueden dejarse a un lado. Pero su infracción no es asunto de capricho, sino que se lleva a cabo sistemáticamente, es decir, para cumplir fines de cooperación en la conversación. Una veces, se deja de cumplir una máxima porque entra en conflicto con otra. Contestar «En el sur de Francia» a la pregunta «¿Dónde vivía Picasso?» infringe la norma de cantidad, por el que contesta ser menos informativo de lo requerido por el que pregunta; pero, de este modo, se cumple la máxima de cualidad, porque no se dice algo de lo que se está seguro. Por consiguiente, la implicatura es que el que contesta no sabe el lugar exacto. Otras veces, se infringe una máxima deliberadamente, para dar lugar a una implicatura deter­minada. Por ejemplo, si a la pregunta «¿Me puedes prestar dinero?» se responde «Estamos a fin de mes», aparentemente se está cambiando de tema, es decir, no se está respetando la máxima de ser relevante. Pero, precisamente para mantener el principio de la cooperación, se hacen suposiciones, inferencias, y estas inferencias es lo que Grice llama implicaturas conversacionales. La inferencia aquí es que a fin de mes no le queda al interlocutor dinero, y por ello la respuesta es relevante: no puede prestar dinero. Incluso la pregunta se interpreta mediante una implicatura: no se trata de una pregunta acerca de la capacidad de prestar, sino de una petición de que se preste. Las implicaturas conver­sacionales se producen sobre la base de que se cumple el principio de cooperación, bien siguiendo una máxima, bien infrigiéndola, pero si­guiendo de hecho otra. Como detalle terminológico, se puede emplear las expresiones «implica convencionalmente» e «implica conversacio­nalmente» para referirse a la relación de implicatura, sea convencional, sea no convencional y además conversacional (Acero, Bustos y Quesa­da, 1982, § 8.5 emplean la expresión de que el hablante «dice implícita­mente»).

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Veamos otro ejemplo de infracción de la máxima de calidad: a la observación «Soy el mejor jugador del equipo» se puede responder con «y yo soy banderillero» (en caso de no serlo, claro), de manera que, al afirmar algo falso (e incluso absurdo), se rechaza la observación anterior (a la manera de las proposiciones contrafácticas). La conjun­ción inicial «y» pone al mismo nivel las dos observaciones: siendo la segunda absurdamente falsa, lo tendrá que ser la primera. Grice llama explotación de las máximas a este aprovechamiento deliberado de las infracciones. Mediante este análisis explica el proceso de interpreta­ción de metáforas, ironías, etc.

Las implicaturas se dividen, por consiguiente, en convencionales y no convencionales; de estas últimas, interesan las conversacionales, que a su vez se dividen en las que se obtienen respetando las máximas, y las explotaciones de las infracciones. Grice también distingue entre las implicaturas particularizadas, que sólo se obtienen en ciertos con­textos, y las generalizadas, que se producen normalmente, sin necesi­dad de un rasgo especial del contexto. Como ejemplo de estas últimas, Grice (1915, 56) ofrece el enunciado de «Juan va a encontrarse con una mujer esta noche»: la implicatura generalizada es que Juan no se ha citado con su mujer, ni con su hermana ni su hija, ni siquiera con una amistad. Para Grice, las generalizadas son distintas de las convenciona­les: «Juan entró en una casa», o «en un jardín», etc., en ausencia de características especiales del contexto, tiene la implicatura de que no es su propia casa, o su propio jardín; no es, sin embargo, una implicatu­ra convencional. Como el hablante no es más concreto, es muy proba­ble que se suponga que es porque no está en situación de detallar más. Interviene la máxima de cantidad: se trata de una implicatura conversa­cional generalizada.

Las implicaturas conversacionales generalizadas que surgen si­guiendo las máximas son difíciles de distinguir de las convencionales e incluso del significado convencional de las expresiones con las que aparecen. Por ejemplo, la conjunción «y» da lugar a la implicatura temporal de que, cuando se une coordinando cláusulas que describen acciones, la que antecede a «y» corresponde al hecho anterior en el tiempo. Por eso se dice «Saludó y se marchó», y no «Se marchó y saludó». Se aplica la máxima de modo: se es ordenado, y se cuenta primero lo que pasó primero (sobre la conjunción, véase R. Lak:off, 1911). Para Levinson (1983, § 3.2.3), tienen implicaturas convencionales, expresiones inglesas como las correspondientes españolas «sin embar­go», «además», «de todas maneras», «bueno» (íniciando una interven­ción), es decir, las expresiones organizadoras del discurso, y las ex­presiones de tratamiento, como las de tuteo en francés y en español, o como «su excelencia». (En ellas, añade Levinson, aunque a menudo

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intervengan implicaturas conversacionales, el significado está codifica­do mediante implicaturas convencionales.) A diferencia de las conver­sacionales, no convencionales, las convencionales son inferencias en que no interviene el principio de la cooperación. Y, a su vez, el signifi­cado convencional se caracteriza por estar exclusivamente definido por condiciones de verdad. Ello no quiere decir que en los procesos de producción y de comprensión no tengan lugar inferencias para determinar el significado convencional; muy al contrario, probable­mente todo el proceso, tanto de significado convencional como de implicatura, consista en conjuntos organizados de inferencias.

6.6. Propiedades de las Impllcaturas conversacionales

6.6.1. Caracterización de las propiedades

Son varias las propiedades que presentan las implicaturas conversa­cionales (Grice, 1975, 57-8). En primer lugar, las implicaturas conver­sacionales surgen a partir de enunciados, no de oraciones: son enuncia­tivas, y no oracionales. La verdad de lo que se dice no requiere que la implicatura conversacional sea verdadera; es el decirlo, o la manera de decirlo, lo que da lugar a la implicatura. Por ello, como hemos visto, las implicaturas conversacionales son derrotables.

Aunque se pueden llegar a convencionalizar, las implicaturas con­versacionales no están comprendidas en el significado (convencional) de la expresión enunciada: son inferenciales, y, más concretamente, calculables a partir del significado de la expresión, los datos del con­texto o de los conocimientos generales de los hablantes, y de la suposi­ción de que se mantiene el principio de cooperación. Como son resul­tado de calcular lo que se tiene que suponer para mantener que se sigue el principio de cooperación, y este cálculo no está fijado explíci­tamente, hay diferentes posibles explicaciones, y por tanto, las implica­turas conversacionales son indeterminadas.

Ésta es precisamente la razón de la riqueza de los textos que están pensados para múltiples oyentes en repetidas ocasiones, es decir, de los textos literarios: el oyente o lector puede hacer diferentes cálculos, aportando distintos datos contextua les , o realizando inferencias distin­tas. Por ello, la obra literaria está abierta a interpretaciones diferentes, enriquecidas por la labor de cálculo en la que el oyente o lector aporta su experiencia comunicativa, es decir, su dominio de los procesos inferenciales. Además, la obra tiene claves que remiten a otros textos, e incluso simplemente a otros tópicos literarios (mitos, etc.): las claves

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remiten, en realidad, a procesos inferenciales disponibles para algunos lectores en mayor medida que otros. Por otra parte, la repetida inter­pretación de un texto (y no sólo en el caso del texto con finalidad estética) puede dar lugar a la convencionalización de las implicaturas que trae consigo. En ese caso, ya no es necesaria ninguna labor de cálculo, y los recursos retóricos ligados a ella se trivializan. En la misma medida, se convencionalizan las correspondientes implicaturas. En la comunicación lingüística este proceso es muy útil, ya que sirve para crear expresiones de significados convencionales complejos. Ejemplo de ello son los refranes. Estéticamente, el proceso se considera de degradación, y la manera de evitarlo es organizar el proceso de infe­rencia de acuerdo con principios estéticos que se consideren a salvo de la trivialización.

Las implicaturas conversacionales, por último, son inseparables del significado, excepto aquéllas en que interviene las máximas de modo: no es posible decir lo mismo de otra manera, sin que se produzca la implicatura. Por ejemplo, en lugar de una expresión usada irónica­mente no se podrá usar otra de semejante significado, pero sin el resultado irónico: siempre se producirá la implicatura relacionada con la ironía. En cambio, si se consigue una implicatura siendo prolijo, puede desaparecer si no se es prolijo: por ejemplo, la implicatura con­seguida con «los eventos consuetudinarios que acontecen en la rúa» se pierde si se dice «lo que pasa en la calle».

6.6.2. Impllcatura y presuposición

Frente a la implicatura, la presuposición, según Levinson (1983, § 3.1, pág. 116), está unida a la forma, y no al significado: es separable del significado. Levinson está de acuerdo con la siguiente argumenta­ción, de Karttunen y Peters (1979): «Juan no consiguió llegar a la cima» implica pragmáticamente «Juan intentó llegar a la cima»; pero «Juan no llegó a la cima», que parece ser por lo menos equivalente semántica­mente y en condiciones de verdad a la primera (<<no consiguió»), no presenta la inferencia de que lo hubiera intentado. La presuposición (<<intentó») es separable del significado del enunciado con «no consi­guió», ya que desaparece con el equivalente «no llegó». Pero es discu­tible el ejemplo, ya que no tienen las mismas condiciones de verdad «no conseguir llegar» y «no llegan>: según ello «no llegan> implicaría «no conseguir llegan>, lo cual nos obligaría a aceptar que «no llegan> implica «intentar llegan>. El razonamiento sería: «Si Juan no llegó, Juan no consiguió llegar. Y si no consiguió llegar. intentó llegar. Luego si Juan no llegó, intentó llegan>. En él se aplica la regla de eliminación del

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condicional, a partir de «Juan no llegó», y se aplica la regla de intro­ducción del condicional, a partir de «Juan no llegó» y «Juan intentó llegar»:

Si Juan no llegó, Juan no consiguió llegar. Juan no llegó. Juan no consiguió llegar. Si no consiguió llegar, intentó llegar. Juan intentó llegar. Si Juan no llegó, intentó llegar.

El razonamiento corresponde a la ley de transitividad del condicio­nal:

[(p -+ q) & (q -+ r)] -+ (p -+ r)

No hay problema en aceptar que «no conseguir llegan> implica «no llegan>. Entonces se da que tanto «no llegan> como «intentar llegan> son necesariamente verdaderas, la primera por ser implicación semántica y la segunda, como presuposición semántica, también. Nótese que si deja de cumplirse «no conseguir llegan>, ya no queda implicada se­mánticamente «intentar llegan>, por lo que no tenemos la relación pro­blemática de que «no llegan> implique semánticamente «intentar lle­gan>. Todo esto corresponde al hecho de que se puede llegar sin haberlo conseguido, en el sentido de que se llega sin que haya habido expectativas previas en contrario (correspondientes a ser algo deseado por todos, o a que hubiera dificultades que requisiesen esfuerzo pre­vio). Por ello se puede decir: «No es que consiguiera llegar, sino que simplemente llegó», y con acento de contraste, también: «Juan NO consiguió llegar, LLEGÓ». En este caso, se puede mantener que se está citando o mencionando «conseguir llegan>, no usándolo (sobre este caso de negación y acento contrastivo, véase Grice, 1978, Horn, 1978 y Levinson, 1983, § 3.2.4, nota 25).

6.7. Impllcaturas generalizadas de cantidad

6.7.1. Impllcaturas de escala

Hay un procedimiento para abordar en general las implicaturas generalizadas en que interviene la máxima de cantidad, mediante los conceptos de implicaturas de escala y de cláusula (Horn, 1972 y 1973, y

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Gazdar, 1979), que vamos a tratar siguiendo a Levinson (1983, § 3.2.4). «Conseguir llegan> y «llegar» forman una escala, en que la primera expresión implica semánticamente la segunda, pero no a la inversa. En general, una escala es un conjunto ordenado linealmente de expresio­nes, de la misma categoría gramatical. sustituibles entre sí, tal que la oración con una de las expresiones implica semánticamente las oracio­nes con las expresiones siguientes en la escala, pero no con las prece­dentes. Aunque la escala está compuesta sólo por las expresiones, por ejemplo (todos (los), algunos), emplearemos las proposiciones corres­pondientes a la oración en que se sustituyen las expresiones, en gene­ral (PI' P2' P3' ... , Pn)'

El concepto de escala permite formular la siguiente regla de impli­caturas de escala: la aserción de una proposición de la escala origina como implicaturas conversacionales las negaciones de todas las propo­siciones que la preceden en la escala. Se producen así implicaturas potenciales; para que de hecho se infieran, es decir, para que sean actuales, es necesario que la expresión en cuestión sea implicada se­mánticamente por la oración compleja de la que forma parte. Por ejem­plo, «Juan dice que algunos amigos se marcharon» no implica semánti­camente «Algunos amigos se marcharon», y por tanto no da lugar a la implicatura «No todos los amigos se marcharon». Si se afirma «Algunos amigos se marcharon», que permite que sea verdadero «Todos los amigos se marcharon», sin embargo, se da lugar a la implicatura con­versacional de que se sabe que no todos se marcharon. En ese caso, de acuerdo con la máxima de cantidad, se diría explícitamente que todos se marcharon; si no se dice, y se está cumpliendo la máxima, se da a entender que algunos se quedaron. Así, «algunos» es compatible con «todos», y no significa «no todos», sino que esta información surge como implicatura conversacional. La escala es más amplia (sin men­cionar ciertas diferencias distribucionales, como el artículo o la pre­posición): (todos, la mayoría, muchos, algunos, pocos). Hay otras es­calas:

(siempre, a menudo, algunas veces) (conseguir ... , intentar... , tener la intención ... ) (fria, fresco) (excelente, bueno) (y, o)

Es importante observar que la inferencia es de carácter epistémico: el hablante da a entender que sabe que no se da el caso de las proposi­ciones con expresiones precedentes en la escala, o de que no se sabe si se cumplen. Las alternativas se pueden diferenciar mediante el alcan-

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ce de la negación y el operador epistémico correspondiente a «saber»: P 2 + > Sh( - PI); o P2 + > - Sh(PI ); esta segunda también mediante el operador epistémico de posibilidad, correspondiente a «es posible epistémicamente» (cí. «ignorar»), P 2 + > lh( - PI)' El enunciado de «Juan intentó ir de viaje» tiene la implicatura de que el hablante o bien sabe que Juan no consiguió ir de viaje o no sabe si Juan lo consiguió o no.

&.7.2. Impllcaturas de cláusula

Otra relación epistémica afecta a las cláusulas que forman parte de una oración compleja. Comparemos «Creo que Juan se ha ido» y «Sé que Juan se ha ido». La actitud proposicional correspondiente a «sa­ben> es de mayor compromiso con la verdad de la proposición expre­sada con la cláusula completiva: si el hablante emplea «creo», no se compromete tanto con que sea verdad que Juan se ha ido. Si dice «creo», por la máxima de la cantidad, da a entender que no sabe si es verdadero o falso lo que dice creer; de otro modo, tendría que em­plear «sé». Con «sé», la proposición compleja implica semánticamente la proposición de la cláusula completiva.

En general, el mayor compromiso epistémico consiste en que la correspondiente proposición compleja implica semánticamente o pre­supone la proposición de la cláusula completiva; tiene menor compro­miso epistémico la proposición compleja cuya oración tiene aproxima­damente la misma longitud que la otra, y que, sin embargo, ni presupo­ne ni implica semánticamente la proposición incluida en ella. La regla correspondiente a las implicaturas de cláusula es la siguiente: la aser­ción de la oración que expresa menor compromiso epistémico del hablante da lugar a la implicatura de que el hablante no sabe si. la proposición expresada en la cláusula es verdadera o falsa. En el ejem­plo anterior, enunciar «Creo que Juan se ha ido» origina la implicatura conversacional de que el hablante no sabe si Juan se ha ido o no. Otro ejemplo: decir «Vendrá Juan o Pedro» implica semánticamente que uno de los dos vendrá, e implica conversacionalmente que el hablante no sabe si vendrá o no vendrá Juan (y lo mismo acerca de Pedro). De otro modo, si supiera que Juan iba a venir y que Pedro iba a venir, diría, de acuerdo con la máxima de la cantidad: «Vendrán Juan y Pedro». de mayor compromiso epistémico que la correspondiente dis­yunción.

Hay otras expresiones que dan lugar a implicaturas de cláusula. además de las mencionadas. Figuran a continuación algunas. precedi­das de las correspondientes versiones de mayor compromiso epistémi­co (apareciendo. para facilitar la notación. las variables proposicionales

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o la constante individual en lugar de las correspondientes expresiones lingüísticas; h simboliza al hablante):

pyq dado que p, q a sabe p a se dio cuenta de p a reveló que p necesariamente p

poq sip, q a cree p a pensó p a dijo p posiblemente p

I¡J), lh-p, hq, Ih-q 1¡J), lh-p, lhq, lh-q laP,I.-p laP,I.-p laP, I.-p I¡J), h-p

Las implicaturas de escala son diferentes de las implicaturas de cláusu­la: por ejemplo, decir «Posiblemente está lloviendo» tiene la implicatu­ra de escala de que es verdadera «No necesariamente está lloviendo»; la implicatura de cláusula de decir «Posiblemente está lloviendo» es que el hablante no sabe si está o no está lloviendo. Del mismo modo, decir «Vendrá Juan o Pedro» tiene la implicatura de escala correspon­diente a «No vendrán Juan y Pedro», y las implicaturas de cláusula de que el hablante no sabe si vendrá Juan, si no vendrá, y las mismas correspondientes a Pedro.

6.7.3. Aplicaciones al análisis lógico

Corno ejemplo de los problemas que resuelven las implicaturas de escala y de cláusula, veamos la ambigüedad entre la disyunción exclu­yente (p V q) Y la incluyente (p v q) que se suele proponer para la conjunción «o». La incluyente es falsa cuando ambos miembros lo son, mientras que la excluyente es falsa cuando o bien ambos miembros son falsos o bien ambos verdaderos, ya que sólo puede ser verdadero uno:

- (p V q) == - P & ,.., q - (p V q) == (-p & - q) v (p & q)

p V q == (p v q) & - (p & q)

Afirmar p «o» q (siguiendo con la anterior simplificación de la nota­ción) tiene la implicatura escalar - (p & q). Si se afirma p «o» q se está afirmando su equivalente incluyente, p v q, y se está implicando con­versacionalrnente - (p & q). El total que transmite el enunciado es la conjunción de ambas (p v q) & -(p & q), es decir, p V q. En otros términos, «o» es unívoca, y se interpreta corno disyunción incluyente; al mismo tiempo, su interpretación excluyente es producto de una impli­catura de escala realizada en virtud de ser «o» incluyente. Del mismo modo, las implicaturas de cláusula explican por qué no se dice «Juan está en casa o en la calle» cuando se sabe que está en casa, por ejemplo: la enunciación del ejemplo tiene las implicaturas de cláusula correspondientes a que el hablante no sabe si está o no en casa, y a que

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no sabe si está o no en la calle. Algunos conflictos planteados por las expresiones modales (Ha m , 1973) y condicionales (Gazdar, 1979) se resuelven también mediante este tipo de implicaturas (véase Levinson, 1983, § 3.2.4).

En otros casos, parece ocurrir precisamente lo contrario a lo previs­to: «Dio al botón y sonó el timbre» se entiende no sólo como que el timbre sonó después de dar al botón, según establece la máxima de modo; además, se interpreta que el dar al botón causó el sonar del timbre. Levinson sugiere un principio de informatividad, según el cual se interpreta el enunciado, en contra de la máxima de cantidad, incor­porando toda la información posible que sea coherente con los conoci­mientos generales disponibles. Asi, «Antonio y Manuel escribieron "La Lola se va los puertos"» se·interpreta, contra la máxima de cantidad, en el sentido de que escribieron la obra en colaboración, y no cada uno por su parte la misma obra. Pero, en lugar de esta propuesta, cuyas consecuencias son devastadoras para el análisis anterior (como el pro­pio Levinson deja entrever), se pued~ proponer otra solución.

Supongamos que entre los conocimientos generales acerca de cómo se escriben las obras literarias figura el dato de que si la escriben dos o más personas, o bien lo hacen en colaboración o bien una termina el trabajo de la otra (e incluso, si ocurre lo segundo, se suele considerar que la obra es del iniciador). Este dato puede figurar en el esquema cognoscitivo (o marco; véase Minsky, 1975, y Rumelhart, 1980) corres­pondiente a «escribir una obra literaria». Ya no se deja de cumplir el principio de cooperación (no se deja sin decir algo), sino que se cum­ple, en concreto la misma máxima de cantidad (no se dice más de lo requerido) e incluso, en cierta manera, la máxima de modo de no ser prolijo. Precisamente, la interpretación, contraria al esquema cognosci­tivo, de «Miguel de Cervantes y Pierre Menard escribieron "El Quijo­te"» da lugar a una alteración de dicho esquema, es decir, al enriqueci­miento de la visión del mundo. Del mismo modo, el esquema cognosci­tivo de «tocar el timbre» comprende la relación causal, además de la temporal, entre la acción de pulsar el botón del timbre y el hecho de que éste suene. Por ello, sería prolijo y sería más informativo de lo requerido especificar el detalle de que el pulsar el botón causó el sonido del timbre.

Aunque ha recibido críticas (véase, por ejemplo, Sperber y Wilson, 1986 (especialmente el capítulo 4), que proponen un principio de rele­vancia), el análisis basado en el concepto de implicatura convencional ha sido fructífero. Entre otros resultados, ha dado lugar al intento de la pragmática radical (Cale, 1981; Atlas y Levinson, 1981; Levinson, 1983, § 1.3, nota 22, prefiere «semántica radical»), de simplificar lo más posible la semántica a base de desarrollar el componente pragmático, tanto en

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el caso del léxico (McCawley, 1978) como en la interacción entre sinta­xis y pragmática (en los postulados conversatorios de Gordon y Lakoff, 1971). Así mismo, se han estudiado con la misma estrategia los fenóme­nos de la cortesía (R. Lakoff, 1973 y 1975, § 2.2; también con la estrategia de los actos lingüísticos, en Rivero, 1978), llegándose incluso a propo­ner un principio de cortesía y una máxima de tacto (Leech, 1977 y 1983, § 1.4 Y capítulo 5). Otro aspecto interesante es el análisis de la presupo­sición como implicatura convencional o expresión de implicatura de Karttunen y Peters (1975, 1979). Este análisis está realizado en un marco teórico que trataremos en el siguiente capitulo.

EJERCICIOS

l. Explique por qué la definición de presuposición supone que hay más de dos valores veritativos y que la ley del tercio excluso es falsa.

2. Indique qué relaciones de implicación y de presuposición con respecto a la presuposición eliminada hay entre los miembros de las proposiciones com­plejas correspondientes a las siguientes oraciones: «Si Juan se queda, se arrepentirá»; «o Juan acaba por no quedarse, o se arrepentirá»; «Juan se queda y se arrepentirá».

3. Invente un ejemplo de conjunción, uno de disyunción y uno de condicional que no cwnplan las relaciones existentes en los ejemplos del ejercicio anterior e indique cuál es la presuposición que pasa a la proposición compleja a partir de una de las proposiciones componentes.

4. Analice epistémicamente la diferencia de actitud proposicional entre la suspensión y la anulación de una presuposición, a partir de los correspon­dientes ejemplos.

S. Explique las inferencias realizadas en el siguiente ejemplo (adaptado de Grice, 1975,43): Juan y Pedro están hablando de José, que ha empezado a trabajar en un banco. Juan pregunta a Pedro qué talle va a José en su nuevo trabajo, y Pedro le contesta: «Yo creo que bien: sus compañeros le caen bien, y todavía no ha ido a la cárcel».

6. Obtenga las implicaturas correspondientes a decir «Juan pensó que le había resultado simpático a María», indicando si son de escala o de cláusu­la.

7. Analice mediante implicaturas el siguiente enunciado, dicho por un niño a otro, hablando de bocadillos: «Si me das del tuyo te doy del mío».

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7/0 Categoría e intensión:

lógica Intenslonal

7.1. Composlclonalldad sintáctica y semántica

7.1.1. Sintaxis categorial

Aunque haya problemas (con los modismos, por ejemplo), se acepta el principio de composicionalidad en la sintaxis. El análisis sintáctico acostumbrado es de arriba abajo, es decir, desde el nivel superior, la oración, hacia los inferiores, sintagmático (sintagma nominal, sintagma verbal, etc.) y léxico (nombre, verbo, etc.), de modo que los morfemas reciben el nombre de constituyentes últimos, y los sintagmas nominal y verbal son los constituyentes inmediatos (en términos de Leonard Bloomfield) de la oración (por ejemplo, véase Hernanz y Brucart, 1987, § 2.4.1). Sobre esta base se ha desarrollado la gramática de estructura sin tagmá tica , y, más especialmente, la versión (Chomsky, 1970a y Jac­kendoff, 1977) según la cual todo sintagma se compone de un elemento núcleo que da nombre al sintagma y una o varias categorías de elemen­tos (llamados especificadores o complementos según estén a la izquier­da o a la derecha de la X); se emplea la notación de la X con barra, X, o con prima: X' -+ (El) (E2 ) ... X (el) (C2) ... ; y se. dice que X' es una proyección de X. Este procedimiento es recursivo, y nos lleva desde la proyección máxima, por ejemplo N"', el sintagma nominal, hasta la categoría terminal, N, el nombre, pasando por estructuras intermedias (véase, por ejemplo, Bonet y Sola., 1986, capítulo 1).

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Sin embargo, hay también analizadores sintácticos (programas de ordenador que obtienen la estructura oracional) que funcionan de aba­jo arriba (Grishman, 1986, § 2.4.2); por otra parte, la idea intuitiva de la producción del discurso coincide más bien con una concepción de este segundo tipo. Pero hay otras razones para considerar este enfoque. Una de ellas es la concepción de la proposición en la lógica de predica­dos, en que el predicado es una función que toma como argumento términos individuales (constantes o variables). Podemos considerar que una oración como «Juan lee» es el valor resultante de aplicar a un argumento, correspondiente a «Juan», una función, cuyo funtor es «lee» (de ahí que este tipo de regla se denomine regla de aplicación funcio­nal). Con ello nos acercamos al objetivo del isomorfismo entre sintaxis y semántica, es decir, en términos intuitivos, la correspondencia entre estructura sintáctica y semántica (y, por tanto, entre las reglas respecti­vas, que describen las funciones u operaciones). Podemos incluso defi­nir las categorías del vocabulario de acuerdo con su carácter funcional: por ejemplo, si, simplificando, el verbo toma nombres para dar como resultado oraciones, su categoría se define como aquella que va desde la categoría nombre a la categoría oración, por ejemplo. Ésta es la idea básica de las gramáticas categoriales, desarrolladas por K. Ajdukiewicz en los años treinta, y por Bar-Hillel (1953), Lewis (1970, § 2), Geach (1972) y Cresswell (1973); véase Buszkowski et al. (1988); también carac­teriza la gramática de dependencias (Hays, 1964 y 1967) Y la sintaxis estructural de Tesniére (1959); véase Lyons (1968 § 6.3); Quesada (1974, apéndice).

El proceso de abajo arriba tiene lugar mediante la eliminación. En una fracción, eliminamos un miembro que aparezca multiplicando (en el numerador) y dividiendo (en el denominador), por ejemplo 6.7/6.3 =

7/3. Del mismo modo, continuando con nuestro ejemplo simplificado, se obtiene la categoría oración, O, concatenando el nombre, N, con el verbo, O/N:

O Juan lee /\

N Juan O/N lee

El procedimiento se puede definir también como unificación; por ejem­plo, si consideramos las categorías como conjuntos de rasgos, su unifi­cación es otra categoría (como si fuera la unión de ambas), que recoge los rasgos de ambas (que deben ser compatibles), de modo que los rasgos van subiendo a las categorías superiores. Por ejemplo, el rasgo de número singular será compatible en el nombre y en el verbo y aparecerá en la oración. La unificación (de la gramática de unificación funcional de Kay, 1979 y 1984) se emplea en la gramática de estructura

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sintagmática generalizada (Gazdar et al., 1985, § 2.2) Y en el campo de la traducción por ordenador (McDonald, 1987, § 12.9).

En general, una expresión cualquiera Cn se construye combinando otras dos, Cm Y Cn/Cm , aplicando a Cm la categoría Cn/Cm. y podemos definir cuantas categorías necesitemos, aplicando recursivamente la siguiente regla: Si Cn y Cm son categorías, Cn/Cm es una categoría. Como ejemplo, definimos las demás categorías (o tipos sintácticos) como categorías derivadas a partir de las dos categorías básicas, la oración y el nombre:

• Categorfas básicas:

O: oración (y cláusula). N: nombre propio o sintagma nominal.

• Categorías derivadas:

O/N: verbo intransitivo o sintagma verbal. O/IN: nombre común. N/(O//N): determinante. (O/ /N)/(O/ /N): adjetivo. (O/N)/N: verbo transitivo. (O/N)/(O/N): adverbio de sintagma verbal. O/O: adverbio oracional. (O/N)//(O/N): verbo con complemento de sintagma verbal. (O/N)/O: verbo con complemento oracional.

En la definición de estas categorías hay un recurso nuevo: distingui­mos mediante la doble barra dos categorías formadas por los mismos componentes, por ejemplo, los nombres comunes y los verbos intransi­tivos. Este procedimiento nos permite considerar que hay categorías sintácticas diferentes, que, sin embargo, corresponden a la misma cate­goría semántica: los nombres comunes y los verbos intransitivos se interpretan como predicados monádicos, es decir, como conjuntos de individuos.

Hay varias decisiones que son contraintuitivas desde el punto de vista sintáctico. Por ejemplo, no hay sintagmas nominales, sino nom­bres. Pero se sigue pudiendo analizar sintagmas como «el olmo seco»: «seco» se aplica a «olmo» y se obtiene otro nombre común, «olmo seco»; a este resultado se le aplica el determinante «el» y se obtiene un nombre. La sintaxis no nos permite la estructura [[el olmo] seco], puesto que «seco» sólo se aplica a nombres comunes. Otro problema, por ejemplo, es que se categoriza de diferente manera una misma unidad léxica, por ejemplo «querer» en «Juan quiere in> (como verbo

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que toma sintagmas verbales como complemento) y «Juan quiere que María vaya» (como verbo que toma cláusulas como complemento). Pero en cualquier caso esta sintaxis simplificada sirve de ejemplo de cómo se obtienen las expresiones oracionales composicionalmente a partir de sus componentes.

7.1.2. Intensión y extensión

La misma estrategia debería ser posible desde el punto de vista semántico. Sin embargo, se presentan obstáculos a la construcción del significado oracional a partir del significado de los componentes, es decir, al principio de composicionalidad. Frege (1892) observó acerca de su conocido ejemplo de «el lucero matutino» y «el lucero vesperti­no» que no eran sustituibles entre sí en todos los contextos sintácticos, a pesar de que ambos suelen denotar el planeta Venus; es decir, en términos de Frege, aunque parecen tener la misma referencia (deno­tando el mismo objeto), tienen distinto sentido (o modo de darse el objeto). Las expresiones de actitud proposicional (§ 4.2.1) constituyen uno de estos contextos que se denominan referencialmente opacos (también «oblicuos»; § 4.2.2), ya que no cumplen la ley de Leibniz: «Juan cree que el lucero vespertino es Venus» puede tener distinto valor veritativo que «Juan cree que el lucero matutino es Venus». El indivi­duo en cuestión puede creer la primera sin creer la segunda. En cambio, de acuerdo con la ley de Leibniz, «El lucero vespertino es Venus» tiene el mismo valor veritativo que «El lucero matutino es Venus». Por ello, Frege defiende que «el lucero vespertino» no tiene siempre la misma referencia. Como explican Dowty, Wall y Peters (1981, § 6.1), no hay sustituibilidad entre «Necesariamente, el lucero matutino es el lucero matutino» y «Necesariamente, el lucero matutino es el lucero vespertino». La primera expresa una verdad lógica, pero la verdad de la segunda es contingente: podría ocurrir que fuera falsa.

Tenemos ya dos casos en que el valor veritativo de la proposición compleja no se obtiene a partir del de sus componentes: en ambos, la aplicación del operador (epistémico o modal) no permite obtener el valor veritativo a partir de la proposición a que se aplica. Lo mismo ocurre con los operadores temporales: el valor veritativo de «Juan ha estado de vacaciones» no se obtiene a partir del de «Juan está de vacaciones». Como sabemos, estos operadores requieren tener en cuenta el valor veritativo de la proposición en cuestión en otros índices (mundos posibles, momentos de tiempo, mundos de un universo de creencias). Esta es la clave de la solución: hay que tener en cuenta la interpretación de la expresión en otros momentos o estados de cosas,

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además del actual. Lo mismo ocurre en «Juan es el antiguo presidente del club»: no vale comprobar si Juan pertenece ahora al conjunto de presidentes del club, es decir, «Juan es el presidente del club», sino que es necesario examinar otros estados de cosas anteriores. Incluso para «La temperatura está subiendo» tenernos que tener en cuenta uno o varios estados de cosas anteriores.

Frege propuso que en ciertos contextos las expresiones denotaban su sentido, no su referencia (distintos ambos de un tercer componente, la representación (<<Vorstellung»), diferente para cada sujeto, por in­cluir experiencias personales, etc.). Con ello ofrecia la solución del problema, aunque faltaba el instrumento formal para ponerla en prácti­ca. Camap en 1947 distinguió entre la extensión de un predicado (el conjunto de objetos que denota) y la intensión (el atributo que caracte­riza a dichos objetos) (véase Kutschera, 1971. § 2.5.1), de modo que la intensión es una función de estados de cosas o mundos posibles a extensiones (sobre la intensión, véase Carnap, 1955). Empleando el concepto de índice de Kripke (corno mundo posible, momento de tiem­po o mundo de un universo de creencias), podernos considerar la intensión de una expresión corno la función que determina su extensión en cada índice. Para cada expresión, la intensión es la función que torna corno argumento un índice (de mundo posible, tiempo, etc.) y da corno valor la extensión de la expresión en dicho índice. Si se trata de una proposición, su extensión será un valor de verdad; si es un predicado, un conjunto de individuos del universo; si es una constante, un indivi­duo del universo.

En los ejemplos anteriores, se logra mantener el principio de com­posicionalidad si son las intensiones las que entran en juego: por ejem­plo, «buscar a María» y «buscar a la reina» no tienen la misma inten­sión, aunque puedan tener la misma extensión. En otras palabras, aun­que «María» y «la reina» se refieran en un cierto estado de cosas (mundo) a la misma persona, es posible distinguir entre buscarla corno persona y corno reina; basta con que otros mundos puedan tener dife­rente extensión, para que tengan diferente intensión en el mundo en cuestión. Con el concepto de intensión (Keenan y Faltz, 1985, § II.l), el significado de «Juan está buscando a la reina» vuelve a ser veritativo­funcional. es decir, resultado de la interpretación veritativo-funcional de los constituyentes de la oración. Por esta razón se denominan tam­bién estos verbos y estos contextos sintácticos, así corno los adjetivos del tipo «antiguo», intensionales.

En la lógica intensional, creada por Church (1951a), y desarrollada por Montague (1968, 1970a y 1970b) sobre las ideas de Kripke, la extensión de cada categoría (fórmula, predicado, término individual) corresponde a la interpretación de lógica de predicados (valor veritati-

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vo, conjunto de individuos o de pares, tríos, etc., e individuos, respecti­vamente). La intensión de una fórmula recibe ahora el nombre de proposición: es el conjunto de índices -mundos, tiempos, etc.- en que es verdadera la fórmula, o, alternativamente, la función caracterís­tica de dicho conjunto, es decir, la función que para cada índice da un valor de verdad. La intensión de un predicado es una propiedad (fun­ción desde índices a conjuntos de individuos, o pares, etc.); la de un término individual es un concepto individual (función desde índices a individuos del universo). La extensión de una expresión IX en mundo m y un tiempo t de un modelo M y una asignación g es [[IX]]M,m,l,g, es decir, coincide con lo que hasta aquí era la interpretación de la expre­sión. Para escribir la intensión de la expresión IX en el modelo M y la asignación g, emplearemos [[IX]]~ g. Esto quiere decir que si, por ejemplo, IX es una fórmula (que será o verdadera o falsa en el índice (m, t) del modelo M siendo la asignación g), su intensión es la función que para cada índice da el valor veritativo de la expresión.

7.1.3. Operadores de lógica Inten810nal

La distinción entre intensión y extensión permite solucionar las difi­cultades de composicionalidad mencionadas. Para ello, una expresión tiene que poder denotar su extensión (solución de Frege), o, también, el valor semántico de una expresión compleja tiene que obtenerse a partir de la extensión, y, si es necesario, de la intensión de sus compo­nentes (Dowty et al., 1981, § 6.1, pág. 153). En la lógica intensional de Montague, hay un procedimiento para obtener la intensión de cada expresión a partir de la expresión misma. Se trata del operador inten­sional, que se define del siguiente modo: Si IX es cualquier expresión, AIX

es una expresión que denota la intensión de IX. El símbolo se lee «arriba de alfa» o «arriba alfa»; tipográfica y mnemotécnicamente puede ser más fácil (McCawley, 1981, § 13.2) emplear el símbolo ¡NIX . Nótese que no se trata de la interpretación de la expresión, sino de otra expresión que denota la intensión de la primera. Por ejemplo, si B(c) es una fórmula, su extensión es un valor veritativo, y su intensión es una proposición (en el sentido de ser una función desde índices a valores veritativos); pues bien, A B( c) es otra expresión, que precisamente de­nota la proposición en cuestión, es decir, la tiene corno extensión. (Podría a su vez hablarse de la expresión que denota la intensión de A B(c), pero ello no nos es necesario.) Pensemos en «Juan lee»: su extensión en un momento y estado de cosas dado es, por ejemplo, el valor de verdadera; su intensión es la función que para cada momento y estado de cosas determina si es verdadera o falsa. Su intensión es la

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misma (se trata de la misma función) en cada circunstancia (índice), pero su extensión es o puede ser diferente en cada mundo y momento. Lo interesante de la lógica intensional es que podemos formar la expre­sión Aa: que, en ese momento y estado de cosas determinados, expresa la intensión. Y, además, no solamente para fórmulas, sino para predi­cados y para constantes (o variables) individuales.

También nos interesa la operación inversa, es decir, a partir de una expresión que denota una intensión, formar la expresión que denota la extensión correspondiente en un índice dado. Se trata del operador extensional Va: (cuyo símbolo se lee «abajo de alfa», «abajo alfa»; por la razón mnemotécnica mencionada, se puede usar también EXa:). Si tene­mos la función (recuérdese que la intensión es una función) denotada por una expresión, mediante el operador obtenemos otra expresión que denota el valor que toma la intensión para el índice en cuestión. La interpretación de la expresión así obtenida es una extensión en un índice (m, t), por tanto [[va:]]M.m./. g ; esa extensión es exactamente el valor que toma la intensión en dicho índice: [[a:]]~g«m, t»). Podemos repetir las operaciones: a una expresión que denota una extensión le aplicamos el operador intensional y conseguimos una expresión que denota una intensión; y a esta última le aplicamos el operador extensio­nal, obteniendo así una expresión que denota la extensión originaria: [[V A IX]]M. m. t. g [[a:]]M. m./. g (con la otra notación, escribimos [[EXINa:]]M.m.t.~. Como el resultado es válido para cualquier índice del modelo, tenemos así la posibilidad de eliminar los operadores de una expresión.

7.2. La lógica Intenslonal de Montague

7.2.1. Categorías semlÍntlcas: tipos

Como en la sintaxis categorial, podemos considerar dos categorías o tipos semánticos básicos, y a partir de ellos definir recursivamente los demás (véase Wunderlich, 1974, § 9.6). Además, a cada categoría (sintáctica) le corresponderá un tipo (semántico), y a cada regla sintácti­ca una regla de interpretación. La extensión de un nombre es un individuo o entidad, y la extensión de una oración es un valor veritati­va. Por ello, los tipos básicos son e y v (en algunas traducciones del inglés se conserva el símbolo t, de «truthvalue»). La regla recursiva de definición de tipos es análoga a la de las categorías (sintácticas), aun­que la notación es diferente: Si a y b son tipos, (a, b) es un tipo. Por ejemplo, el tipo (e, v) es el tipo correspondiente a la función desde

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entidades a valores de verdad (corresponde a los predicados monádi­cos de la lógica de predicados): construido con un tipo e, de entidades, da lugar a una expresión de tipo v, eliminándose así el primer elemen­to del par. La notación pretende hacer recordar que, si el tipo es (a, b), se trata de una función desde elementos del tipo a a elementos del tipo b, y que, por tanto, toma como argumentos o se aplica a elementos del tipo a.

Quedan así definidos los tipos extensionales. La intensión de una oración, como hemos visto, es una función desde índices (mundos posi­bles, momentos de tiempo) a valores de verdad; su tipo es (s, v). El símbolo s corresponde al laUn «saeculum» (McCawley, 1981, § 13.2), «siglo» o «mundo», ya que se trata de mundos posibles (más precisa­mente, índices), pero, como veremos, está también relacionado con «sentido». En general, para definir los tipos intensionales a partir de los extensionales, empleamos otro procedimiento recursivo: Si a es un tipo, (s, a) es un tipo.

Mediante los operadores intensional y extensional podemos formar expresiones que denotan intensiones (o, respectivamente, extensiones) a partir de expresiones que denotan extensiones (o, en su caso, inten­siones). El concepto de tipo (de la teoría funcional de tipos desarrollada por Church, 1940, a partir de la teoría de tipos de Russell) nos puede servir para definir categorialmente las expresiones, según que sea su denotación extensional o intensional. Emplearemos entonces los tipos en la sintaxis, yen la semántica hablaremos de denotaciones posibles de cada tipo sintáctico.

7.2.2. SlntaJlls

Vamos a definir la sintaxis de un lenguaje intensional que, además de las conectivas de los lenguajes proposicionales, del operador de abstracción lambda y de operadores modales y temporales, tiene la novedad de expresivnes interpretables intensionalmente que están ca­racterizadas sintácticamente como tales, y dispone de los operadores intensional y extensional (Dowty et al., 1981, § 6.II.l). Se trata de la lógica intensional de Montague. En lugar de las categorías de los len­guajes proposicionales, definimos recursivamente las categorías o tipos a partir de tres objetos fijados cualesquiera, v, e y s, de la siguiente manera:

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ves un tipo. e es un tipo. Si a y b son tipos cualesquiera, (a, b) es un tipo. Si a es cualquier tipo, (s, a) es un tipo.

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Los tipos son ahora categorías sintácticas. Para cualquier tipo a, hay un conjunto numerable infinito de constantes (no lógicas) cn.a' y uno de variables vn.a' para cada número natural n. En lugar de expresiones bien formadas, definimos el conjunto ESa de expresiones significativas para cualquier tipo a de manera recursiva:

l. Toda constante de tipo a pertenece a ESa. 2. Toda variable de tipo a pertenece a ESa. 3. Si a E ESa Y U es una variable de tipo b, A.ua E ES(b,a)' 4. Si IX E ES(a,b) y P E ESa' IX(P) E ESb· 5. Si IX Y P pertenecen a ESa' [a = P] E ESy. 6-10. Si a y p pertenecen a ESy, -IX, [IX & PJ, [IX V P], [IX - P], [IX

+-+ P] pertenecen a ESy. 11-12. Si IX E ES y y U es una variable de cualquier tipo, 'r/UIX y 3uIX

pertenecen a ESy. 13-15. Si IX E ESy, NIX, FIX, FIX pertenecen a ESy. 16. Si a E ESa' AIX E ES(s, a)' 17. Si a E ES(s,a)' v lX E ESa.

Las dos primeras reglas aseguran que haya infinitas expresiones significativas de cada tipo, tanto si son constantes como si son variables. Además, los propios tipos son infinitos. En la tercera regla quedan definidas las expresiones construidas con el operador de abstracción lambda. La cuarta regla asegura la composicionalidad según la estrate­gia categorial: la expresión de tipo (a, b) se aplica a la de tipo a para formar una expresión de tipo b.

En la quinta regla se introduce sincategóricamente la identidad, que se interpretará en la semántica como identidad de denotación entre dos expresiones. La identidad pasa a formar parte del lenguaje objeto; es del tipo sintáctico v, es decir. puede ser verdadero o falso que dos expresiones cualesquiera (pero del mismo tipo) denoten lo mismo. Las reglas 6 a 10 definen sincategoremáticamente las conectivas, II y 12 definen los cuantificadores y 13 a 15 los operadores de necesidad, de futuro y de pasado, respectivamente. Las dos últimas reglas definen sincategoremáticamente los operadores intensional y extensional.

Veamos algunos ejemplos. El tipo de c¡,(e,y)(c¡,e) es, de acuerdo con la regla cuarta, v. Análogamente, la expresión resultante de aplicar una constante de tipo «s, e). v) a una constante de tipo (s, e) es una expresión de tipo v. También podemos aplicar la constante c¡,«s.e), y) a Acl.e' ya que esta última expresión es de tipo (s, e). La expresión A.vl.e[c¡. (e, y)(v¡.e)] se forma según la regla tercera, siendo IX de tipo v y U del tipo e; la expresión compleja es del tipo (e, v). (Como aclaración, recordemos que A.x[F(x)] es un predicado, siendo x una variable indi­vidual y F(x) una fórmula; en términos análogos a los de la regla

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tercera, el resultado es aquí una función desde individuos a fórmulas, es decir, un predicado.) Si aplicamos el operador de abstracción a una expresión formada aplicando una constante de tipo «s, e), v) a una variable de tipo (s, e), es decir, a una expresión de tipo v, el resultado es de tipo «s, e), v), ya que la variable es de tipo (s, e) y la expresión a que afecta el operador es de tipo v.

Más ejemplos: en AV3.«s.e). v)[V3. «s, e). v) = C2.«s,e),v)] la expresión comprendida en el alcance del operador es del tipo v, ya que se trata de una expresión formada mediante =; la variable es de tipo «s, e), v); por tanto, el resultado es de tipo «(s, e), v), v). En el caso de los lenguajes de predicados, AP[P(a)] es una función desde predicados a proposiciones, porque, aplicándola a un predicado, por ejemplo B, obtenemos AP[P(a)] (B), que, por conversión de lambda, es equivalente a B(a). Una expresión como Cg.(e.(e,v)(C2,e)(C7,e) es del tipo v, puesto que una expresión de tipo (e, (e, v» aplicada a una de tipo e forma una expresión de tipo (e, v); y ésta, aplicada a otra de tipo e, forma una de tipo v.

En nuestro lenguaje intensional, los correspondientes tipos sintácti­cos impresionan a primera vista por su prolijidad, pero son transparen­tes. Podemos emplear abreviaturas (notacionales), por ejemplo comer en lugar de C7, (s. (e, v), Y j como abreviatura de la constante C4, e: la expresión y comer()) es de tipo v, ya que y comer es de tipo (e, v). Veamos a continuación la interpretación de las infinitas expresiones significativas de este lenguaje intensional.

7.2.3. Semántica

En primer lugar hay que definir recursivamente la interpretación o denotación de las expresiones en relación con sus tipos sintácticos (Dowty et al., 1981, § 6.II.2):

De = A.

Dv = {l, O}.

D(a,b) = nga.

D - .... MpxT (s, a) - 1J~' .

De es el conjunto de denotaciones posibles para las expresiones de tipo e; por consiguiente, es el conjunto A de individuos del universo. Las expresiones de tipo v tienen como posibles denotaciones el conjunto de los valores de verdad. Siendo a y b dos tipos, las expresiones de

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tipo (a, b) tienen como denotaciones posibles las funciones desde denotaciones de expresiones de tipo a a denotaciones de expresiones de tipo b, es decir, desde Da a Db' Por último, las denotaciones posibles de expresiones de tipo (s, a) son intensiones, es decir, funciones desde índices, pares (m, v) de mundos y tiempos (que pertenecen al conjunto producto MP )( T), a denotaciones de expresiones de tipo a. Montague distingue entre el conjunto de sentidos Sa de las expresiones de tipo (s, a), que es el conjunto de denotaciones posibles D(s.a), Y el conjunto de las denotaciones que de hecho la función de interpretación 1 asigna a las expresiones de tipo (s, a). (Habrá sentidos que no sean asignados a ningunas expresiones.)

Definimos entonces el modelo M para este lenguaje intensional co­mo quíntuplo ordenado (A, MP, T, <, 1) tal que A, MP Y T son conjun­tos no vacios, < es una ordenación lineal en Te 1 es una función cuyo dominio es el conjunto de las constantes no lógicas y cuyo recorrido es el conjunto de denotaciones posibles definido anteriormente de mane­ra recursiva. La función de interpretación 1 asigna a cada constante no lógica una intensión; y una asignación de valores a las variables g asigna a cada variable una extensión. A partir de la intensión de cada expresión IX que sea una constante no lógica, obtenemos su extensión en cada índice:

1. Si IX es una constante no lógica, [[IX]]M.m.t. g = [I(IX)]«m, t»). 2. Si a es una variable, [[a]]M. m.t, 9 = g(IX). 3. Si a E ESa Y U es una variable de tipo b, [[A.ua]]M. m. t. 9 es la

función h con dominio Db tal que para cualquier objeto x de dicho dominio, h(x) = [[a]]M.m.t.g', donde g' es una asignación de valores a variables exactamente como g con la posible diferencia de que g'(u) sea el objeto x. (Así se garantiza que, sea cual sea la asignación de valores, h toma como argumento todas las denotaciones que puede recibir u con las distintas asignaciones. )

4. Si a E ES(a.b) y P E ESa' [[a(p)]]M.m·t.g=[[a]]M.m.t.g([[p]]M.m.t.g). 5. Si IX Y P pertenecen a ESa' [[a = P]] = 1 ssi [[a]]M. m. t. 9 es la

misma que [[p]]M. m. t. g.

Las conectivas (6-10), los cuantificadores (11-12) y los operadores modal y temporales (13-15) se interpretan de manera análoga a la ya conocida; véase § 3.3.2, 4.1.2 Y 4.3.1). Por ejemplo, el operador de necesidad se interpreta así:

13. Si IX E ESv, [[Na]]M.m.t. g es 1 ssi [[IX]]M.m·.t'.g es 1 para todo m' que pertenece a MP y todo t' que pertenece a T.

La interpretación de los operadores intensional y extensional es:

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16. Si a E ESa. [[Aa]]M,m,t.g es la función h con dominio MPx T tal que para todo (m. t) que pertenece a MPx T. h«m'. r») es [[a]]M, m', t', g,

17. Si a E ES(s,a). [[Ya]]M,m,t.g es [[a]]M,m,t.g«m. t»).

Definimos además la verdad y la intensión con respecto al modelo y al índice:

Si a E ESv' a es verdadera con respecto a M ya (m, t) ssi [[a]]M, m, t, 9

es 1 para todas las asignaciones de valores g. Si a es cualquier expresión, la intensión de a con respecto a M y a

<m, t), es decir, [[IX]]~g, es la función h con dominio MPx Ttal que para todo <m. t) que pertenece a MPx T. h«m. t») es [[a]]M,m,t. g.

Las expresiones de tipo <s. e) denotan conceptos individuales (el correlato extensional, los individuos, es la denotación de las expresio­nes de tipo e); las de tipo <s. <e. v» denotan propiedades de indivi­duos; y las expresiones de tipo (s. v) denotan proposiciones (es decir, intensiones de fórmulas). Hay otras categorías semánticas intensionales. como las propiedades de proposiciones. denotadas por expresiones de tipo <s. <s. <e. v». v), Del mismo modo que las expresiones de tipo <e. (e. v» denotan relaciones entre individuos (como los predicados diá­dicos), el correspondiente tipo intensional, <s. <e. <e. v»), es el de las expresiones que denotan relaciones en intensión entre individuos.

Es frecuente el caso de querer formar una expresión que denote que un individuo tiene una determinada propiedad. Para ello tenemos que combinar una expresión a de tipo e (que denota un individuo) con una expresión fJ de tipo <s. <e. v» (que denota una propiedad). Sin embargo, la regla cuarta no permite aplicar una expresión intensional a una extensional. Todavía más: según la regla, no se puede emplear como funtor (es decir, aplicar a otra expresión) ninguna expresión que sea del tipo <s. a), sea lo que sea a, ya que s no es un tipo. En el caso del individuo y la propiedad, lo que sí se puede expresar es que el individuo denotado por IX en el índice <m. t) pertenece a la extensión de la propiedad denotada por fJ en dicho índice: y fJ(a). Para escribir esta expresión podemos emplear una notación abreviada, la conven­ción de la llave: en lugar de YfJ(a), escribimos fJ{a}.

7.2.4. Soluciones a los contextos oblicuos

Podemos tratar las expresiones que aparecen en contextos oblicuos mediante el lenguaje intensional así definido (Dowty et al .• 1981, § 6.11.3). En el caso de las oraciones construidas con «necesariamente»,

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tratamos esta palabra como funtor que se aplica a expresiones no de tipo v, sino de tipo (s, v). El operador correspondiente no sería de tipo (v, v), sino del tipo «s, v), v). Su denotación seria una funciÓn desde proposiciones a valores de verdad, tal que el valor resultante seria 1 si la proposición es una función desde índices al valor 1; si no, el valor resultante seria O.

También podemos solucionar la dificultad que presentan adjetivos como «antiguo», en «antiguo presidente». Consideramos que «antiguo» se combina no con expresiones que denotan predicados (como se suele analizar el nombre común, según hemos visto), sino con expresiones que denotan propiedades. Es entonces un funtor del tipo «s, (e, v», (e, v»: se aplica a propiedades de individuos y da como resultado expresiones de tipo (e, v). Su denotación es una función que para cada índice (m, t) da una función que aplicada a una propiedad de indivi­duos a su vez da el conjunto de individuos que son la extensión de la propiedad en ese mundo en un tiempo anterior. Así conseguimos que «antiguo presidente» tenga en cuenta el conjunto de individuos que eran presidentes en un tiempo anterior.

Del mismo modo, podemos tratar composicionalrnente las expresio­nes de actitud proposicional. Por ejemplo, en «Juan cree que Homero es ciego», tratamos «cree» como funtor e de tipo «s, v», (e, v», que se aplica a expresiones que denotan proposiciones para formar expre­siones que denotan fÓrmulas: CC[A(b)])(d), siendo b y d expresiones de tipo e, y A de tipo (e, v). Empleando la notación relacional, escribi­mos CCd, A[A(b)]). Se interpreta intensionalrnente «Homero es ciego». ya que A[A(b)] es del tipo (s, v). Si en el indice (mi' t) el nombre «Homero» y el nombre «Pedro» tienen la misma extensión, y «Homero es ciego» es verdadero. en ese indice «Pedro es ciego» también será verdadero. Pero eso no quiere decir que, en ese indice, si «Juan cree que Homero es ciego» es verdadero lo sea también «Juan cree que Pedro es ciego», ya que, aunque coincidan en extensión «Homero es ciego» y «Pedro es ciego», pueden no coincidir en extensión en todos los indices (es decir, tener distinta intensión). Asi pues, se cumple la ley de Leibniz en el índice en cuestión, pero al mismo tiempo interpreta­mos composicionalrnente las expresiones con «creer». La fórmula [IX = P] --+ [<p +-+ <pp] (en que <Pp es el resultado de sustituir en <p todas las apariciones de IX por P) es válida solamente si no intervienen extensio­nes de otros indices. es decir, si no la fórmula no aparece en el alcance del operador intensional, o del modal, o de los temporales (ya que todos ellos hacen intervenir las extensiones de todos o de algunos otros indices); además, las variables que aparezcan libres en IX no deben quedar ligadas en p.

El análisis anterior corresponde a la interpretación de re: el indivi-

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duo llamado «Juan» está hablando de una persona concreta, llamado «Homero». La interpretación de dicto se construye, como sabemos (§ 4.2.1), empleando el operador de abstracción: lx[C(d, A [A(x)])] (b). Si aplicáramos la conversión de lambda, obtendríamos la expresión ante­rior. La conversión de lambda, AU(cJ>](OC) +-+ cJ>~, está sujeta a la misma restricción que la ley de Leibniz: no se puede realizar en contextos oblicuos, es decir, cuando la variable aparece en el alcance del opera­dor intensional, o de necesidad, o temporales, ni cuando quede ligada a u alguna variable que aparezca libre en oc.

En la última expresión, el operador lambda liga una variable que aparece en un contexto oblicuo desde fuera de dicho contexto. Este fenómeno se da también con cuantificadores, por ejemplo en la inter­pretación específica de «Juan cree que se casará con una millonaria», 3x[A(x) & C(d, A[B(j, x)])], en que la millonaria existe con independen­cia de las creencias de su pretendiente. Antes de la lógica intensional de Montague, esta cuantificación desde fuera era un problema difícil de solucionar (rechazada por ejemplo por parte de Quine, 1943, 1956 Y 1960, § 45; véase también los análisis de Kaplan, 1969 y de Hintikka, 1969). A pesar de la mejora que supone el análisis intensional esboza­do, la cuestión sigue sin estar enteramente resuelta, suscitando nuevos intentos de explicación (véase al respecto Dowty et al., 1981, § 6.1V).

7.3. Gramática de Montague

7.3.1. Hacia una semántica rigurosa

En su trabajo sobre el tratamiento apropiado de la cuantificación en inglés (1973), Montague analiza un fragmento del inglés sirviéndose de la lógica intensional. Su propuesta ha dado lugar a numerosos trabajos de la llamada gramática de Montague (véase Kutschera, 1971, § 3.2; Thomason, 1974; los articulos reunidos en Partee, 1976; Quesada, 1977; Dowty, 1979; Dowty et al., 1981; Keenan y Faltz, 1985, y Werner, 1986a, así como Moreno, 1985, con abundante y comentada bibliografía). Si­guiendo a Dowty, Wall y Peters (1981, capítulo 7), examinaremos a continuación algunas características del análisis de Montague, pero antes conviene situarlo con respecto a otras propuestas. La gramática de Montague tiene las características de ser un análisis de abajo arriba, y de proponer idénticos procesos de composicionalidad para la estruc­tura sintáctica y la semántica. Las reglas sintácticas, además, realizan cambios en las expresiones de entrada, es decir, ciertas transformacio­nes (sobre la comparación de esta gramática con la generativa de los años setenta, véase Partee, 1975; Bach, 1977; Cooper y Parsons, 1976 y

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Moreno, 1985, capítulo 3). Se sigue un procedimiento de traducción de las oraciones a fórmulas del lenguaje intensional, que a su vez está interpretado modelo-teóricamente.

La traducción se realiza de manera rigurosa (Montague, 1970c; véa­se StegrnüIler, 1975, § 1.2 Y Moreno, 1985, Intr. 2.1): No hay expresiones ambiguas; a cada categoría de la lengua le corresponde exactamente y siempre la misma categoría (tipo) del lenguaje intensional; y a cada regla sintáctica de la lengua le corresponde igualmente una regla de traducción, que determina la traducción de cada expresión a partir de las traducciones de sus expresiones componentes. Aunque se puede considerar intuitivamente la traducción en lenguaje intensional corno forma lógica, en realidad las expresiones del lenguaje intensional son sólo un instrumento intermedio: la interpretación de las expresiones lingüísticas es exclusivamente la interpretación modelo-teórica de las expresiones del lenguaje intensional. De este modo se sientan las bases de un análisis semántico riguroso, hasta el punto de que se considera en ocasiones el análisis de Montague corno teoría semántica más que gramatical.

7.3.2. Dificultades de las teorías semánticas

Con los requisitos que cumple el planteamiento de Montague se evita lo que Werner (1985) considera falacias de las teorías semánticas rivales, falacias que Werner ordena en una jerarquía en que cada enfoque, aunque falaz, resuelve algunas de las deficiencias de los que le preceden.

El primer tipo de análisis en la jerarquía de falacias de Werner es la de la semántica lexicografista; se trata de una falacia, puesto que el objeto de la semántica son las expresiones complejas, y no sólo las simples, léxicas (sin que ello afecte para nada a la legitimidad de la lexicografía en sí misma). La siguiente falacia de la jerarquía es la simbolista: el mero uso de símbolos, aunque confiera un aspecto rigu­roso, no añade nada (se trata de pseudonotaciones). La falacia meta­sintacticista es propia, según Werner (§ 3), de los partidarios de la gramática transformacional, incluyendo la versión de rección y liga­mento (Chomsky, 1981); y ello siempre que no se trate de notaciones incoherentes y ad hoc, que suponen un retroceso a la situación de la falacia simbolista, sino que la descripción de la forma lógica se lleve a cabo rigurosamente, mediante un formalismo matemático. Esta falacia consiste en definir y explicar sólo la sintaxis del lenguaje empleado para el análisis semántico; de este modo, no hay interpretación explíci­ta de este lenguaje de análisis, es decir, no hay semántica.

Siguen a continuación en la jerarquía de Werner los problemas de

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los enfoques formales. La falacia de la interpretación intuicionista es lo que queda de la falacia simbolista cuando se dota a los símbolos de una sintaxis explicita y bien definida: se cree que basta interpretar este lenguaje formal de manera intuitiva e informal. La siguiente falacia es la metasemioticista: se considera que los simbolos del lenguaje formal empleado en el análisis semántico son los propios significados de la lengua. Con ello se confunde el metalenguaje con el lenguaje objeto, es decir, no se distingue entre lo que sirve para designar y lo que es designado, indica Werner (§ 5). Conviene notar, de paso, que aunque esta última distinción de Wemer recuerde a la de significación y designación de Coseriu, la posición de este último es muy diferente, dado que considera (Coseriu, 1916, § 4.2.1) que en los lenguajes lógicos sólo la designación es primaria, siendo el significado una «designación generalizada», mientras que en las lenguas hay, además de la designa­ción (<<aplicación de los signos a la realidad "extralingüística"»), el significado (<<valor o contenido de lengua»). La observación de Coseriu (y su consiguiente recomendación a los lógicos, § 1.2, de que no consi­deren las lenguas como sistemas de designación) parece aplicable sólo a los lenguajes interpretados extensionalmente; es por tanto una crítica, que veremos a continuación, de las teorías semánticas unidimensionales.

Un paso adelante, estima Werner, es la falacia isomorfista, según la cual hay una relación de isomorfismo entre las representaciones simbó­licas y los significados de la lengua que describen. Pero sin interpreta­ción del lenguaje formal empleado, observa Werner, sólo hay en este tipo de teoría semántica, aparte del propio lenguaje formal, y escondi­do tras él, las ideas y concepciones del lingüista que lo formula. La siguiente falacia es la formalista: consiste en asignar a cada significado una entidad formal unidimensional. Con ello resulta imposible dar cuenta de la diferencia entre intensión y extensión.

En la lingüística informática, según W erner, se da la falacia compu­tacional: los programas disponen de una interpretación de las expre­siones del lenguaje de programación, pero no de las expresiones que aparecen como datos. Wemer cita la critica de Woods (1915,80) de que no hay ninguna red semántica que siquiera se acerque al objetivo de conseguir un formalismo lógicamente adecuado. La situación no ha cambiado en 1984 (O'Shea, 1984), observa Werner: se sigue sin dotar a las notaciones «semánticas» de una interpretación semántica explícita, y con ello se está a la altura de la falacia de la interpretación intuitiva. También se da la falacia procedimental: se considera que los significa­dos son procedimientos (o, en el mejor de los casos, algoritmos), preci­samente aquellos que se emplean en los programas de ordenador. Con ello se cae en una nueva versión de la falacia metasemiótica, concluye Werner.

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Sin embargo (véase anteriormente, § 5.4.2 Y Garrido, 1987c y 1 988d, § 3), se puede proponer simular los estados cognoscitivos humanos mediante ordenador, y simular así mismo, mediante procedimientos construidos como programas, el uso de la lengua como proceso que altera dichos estados. Para Werner (1985, § 10), este último tipo de análisis, legítimo, corresponden a la psicología, particularmente a la psicología del lenguaje. Pero en lingüística, afirma Werner (§ 11), se cae en la falacia psicologista cuando se considera el significado como concepto elaborado por el individuo concreto. Se rechaza entonces la existencia de los signifi,cados como objetos abstractos (por ejemplo, es un objeto abstracto el concepto del número 1, que es independiente de los procesos individuales de conceptualización de las personas concre­tas). Sin embargo, contradictoriamente, se echa mano precisamente a aquello cuya existencia se rechaza, los conceptos como objetos abstrac­tos, para explicar el carácter interindividual de los significados. Wer­ner ofrece como ejemplo Miller y Johnson-Laird, 1976, § 4.4, pág. 269, que adoptan la versión de Church (1951b) de la distinción de Frege entre sentido y referencia: el sentido es un concepto de la denotación. A diferencia de Frege, Miller y Johnson-Laird mantienen que «el signi­ficado de una oración es el programa, no la proposición, que expresa» (pág. 270). La crítica de Werner no parece justa: Miller y Johnson-Laird no consideran la estructura conceptual que proponen para explicar el significado léxico como algo construido subjetivamente por cada indi­viduo concreto, sino más bien como «parte del mobiliario básico de la mente» (pág. 696); explicitamente, defienden la existencia de los con­ceptos como «tales entes abstractos», por ser imprescindibles para la teoría psicológica (pág. 271).

La falacia analiticista [del análisis componencial] consiste, observa Werner, en traducir el significado léxico a un lenguaje artificial que no es más que una versión de la lengua dotada de terminología especiali­zada; se da cuenta de los llamados significados gramaticales mediante términos especializados (por ejemplo, el significado del tiempo verbal de presente se explica mediante el correspondiente término especiali­zado). Con ello, según Wemer, se deja sin explicar el significado de las expresiones complejas, o se ofrece la explicación de las relaciones de casos (semánticos), con lo que se confunde el significado léxico con el de las expresiones complejas, además de no ofrecerse ningún análisis formal de tales relaciones. Otra solución análoga, la de la amalgama de significados léxicos en conjuntos, ordenados o no, retrotrae el análisis a la etapa previa a la semántica de Katz. Antes que Werner, Wunderlich (1974, § 9.18) lleva a cabo una crítica destructiva de las pseudonotacio­nes en los análisis causativos, y de la lógica natural de Lakoff (1970), cuya notación es tan pobre, observa Wunderlich, que en ella desapare-

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cen casi todas las diferenciaciones semánticas. Werner cita además la conocida critica que hace Lewis (1970, § 1) a los rasgos semánticos de Katz y Postal (l964) como símbolos de un lenguaje artificial que Lewis llama «rasgués» (en inglés, «markerese», de «semantic markers»).

La alternativa a los diversos lenguajes de representación semántica es, para Werner (l985, § 12), un lenguaje que esté dotado de una interpretación modelo-teórica, construida mediante la teoría (axiomáti­ca) de conjuntos, es decir, un lenguaje de carácter matemático. Es el único lenguaje suficientemente rico, fundamentado desde el punto de vista de teoría de la ciencia, y comprensible sin ser una lengua natural, por estar basado en un único concepto no definido, el de elemento (de un conjunto). Puede servir por ello de auténtica interlingua para el análisis semántico. Y a Montague se debe, concluye Werner (§ 13), la creación de tal lenguaje, que permite la matematización de la lingüísti­ca y, por tanto, su constitución como ciencia.

7.3.3. Categorías sintácticas

La idea de una gramática universal de Montague (l970c; véase Hal­vorsen y Ladusaw, 1979, y Dowty et al., 1981, capitulo 8) consiste en tratar desde un punto de vista teórico de igual manera las lenguas humanas (o lenguajes naturales) y los lenguajes artificiales. Así pues, la sintaxis del español consistirá en una definición recursiva de los tipos: e y v son categorías sintácticas; si A y B son categorías sintácticas, A/B y A//B son categorías sintácticas (la doble barra permite diferenciar, por ejemplo, nombres comunes y verbos, como hemos visto).

Aunque quedan definidas infinitas categorías, de hecho sólo em­plearemos las categorías que necesitamos. Las dos categorías básicas son e y v. En cuanto a e, en seguida veremos de qué categoría se trata; ves la categoría sintáctica de la oración (y de la cláusula, ya que no se diferencia entre ambas). El sintagma verbal es v/e, y el nominal es v/(v/e). La oración, pues, se construye aplicando el sintagma nominal al sintagma verbal. El nombre común es la categoría vi/e, y el determi­nante (v/(v/e»/(v//e), de manera que el sintagma nominal se construye aplicando el determinante al nombre común. No se diferencia entre nombre propio y sintagma nominal, de modo que el nombre propio también pertenece a la categoría v/(v/e). ¿Cómo es que el nombre propio no constituye la categoría básica e?

La razón es que, desde el punto de vista semántico, se considera que el nombre propio denota el concepto individual definido por po­seer un determinado conjunto de propiedades. Veamos la explicación. La denotación de un nombre propio es un individuo. ¿Cómo definimos

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a ese individuo? Por las características que presenta (por ejemplo, «Juan» denota al individuo para el que es verdadero que «Juan lee», «Juan vive en la capital», etc.). En lógica de predicados, «Juan lee», por ejemplo, se analiza bien como A(b), bien como .A.P[P(a)] (A), es decir, bien como que Juan tiene la característica de leer, bien como que la característica de leer es una de las característica que tiene Juan. En el análisis de Montague, el nombre propio se interpreta mediante el ope­rador lambda, como veremos en seguida. Por ahora, observaremos que el nombre propio ya no es una categoría sintáctica básica, y que la características de leer es una de las características que tiene Juan. En el aunque sigue siendo necesaria para definir las derivadas (por ejemplo v/e).

Tampoco se distingue entre verbo intransitivo y sintagma verbal, de manera que el verbo intransitivo es de la categoría v/e. Comprobamos la orientación hacia la semántica de este análisis: desde el punto de vista del significado, el sintagma verbal constituido por un verbo in­transitivo expresa el mismo tipo de significado, un predicado, que el sintagma verbal constituido por verbo transitivo y sintagma nominal. Por ello se considera que verbo transitivo e intransitivo pertenecen a distintas categorías (lo cual ocurre en cualquier sintaxis), pero, además, el intransitivo y la expresión compleja (de transitivo más sintagma nominal) pertenecen a la misma categoría sintáctica. (Se podría argu­mentar que se trata más bien de respetar los hechos de sintaxis, y de evitar atribuir a la sintaxis un hecho morfológico, a saber, el hecho de que tanto los transitivos como los intransitivos constituyan una categoría morfológica, la del verbo, por ejemplo dividida en español en tres clases de conjugación.)

Para simplificar la notación, empleamos abreviaturas categoriales: la categoría del sintagma nominal (a la que también pertenece el nom­bre propio), v/(v/e), se escribe abreviadamente como T (como recurso nmemotécnico, ya que es la categoría de los términos). El nombre común, vI/e, se abrevia en NC; el determinante, (v/(v/e))/(v//e), es entonces, abreviadamente, TfNC, y su abreviatura es DET (aunque Montague introduce los determinantes sincategoremáticamente, parece preferible considerarlos como miembros de una categoría). El verbo intransitivo (y sintagma verbal), v/e, se abrevia como VI; el verbo transitivo, (v/e)/(v/(v/e)), es entonces, empleando las abreviaturas, VI/T, Y se escribe abreviadamente como VT.

La categoría sintáctica e sólo sirve para definir las categorías deri­vadas, ya que no hay expresiones de la lengua que pertenezcan a ella. Las únicas categorías derivadas que tienen a e como componente sim­ple son v/e y v/le; todas las demás se derivan de estas dos. Por todo ello, podemos prescindir de e (Bennet, 1974), y considerar como bási-

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caso además de v. las categorías NC y VI. Sus simbo los dejan entonces de ser abreviaturas notacionales de los otros construidos con e. y pasan a ser símbolos de las correspondientes categorías básicas. El símbolo T. por ejemplo. es ahora abreviatura de vlVI: VT es abreviatura de VI/T (en el cual. repitamos. VI no es ya notación abreviada). Para evitar confusiones con el tipo v del lenguaje intensional. se puede adoptar. en lugar del símbolo v. el símbolo O para la categoría básica de la oración. La categoría de los términos (nombres propios o nombres comunes con determinante) se escribe entonces como O/VI.

Otra característica de esta sintaxis es la existencia de pronombres con subíndices. él¡. é12 •...• éln• de la categoría T. que son análogos a las variables individuales de la lógica de predicados: reciben el género de sus antecedentes (se convierten en pronombres ligados por sus antece­dentes) mediante la aplicación de ciertas reglas sintácticas.

Hay otras categorías. como A VI. abreviatura de VIIVI (adverbios de sintagma verbal. es decir adverbios «intransitivos»): A VI/T (preposicio­nes que forman sintagmas complemento de un verbo. por ejemplo «a casa»): vlv (adverbios oracionales: empleando el símbolo O. la catego­ría es 010): o como VI/v. que con la notación de O. se escribe VIlO (verbos como «creen>. con complemento oracional. es decir. clausal).

Como ejemplo del funcionamiento de esta sintaxis. veamos el análi-sis de «Juan va a la playa»:

Juan: T = O/VI playa: NC la: DET = T /NC la playa: (T/NC)/NC = T a: AVI/T a la playa: (A VI/T)/T = A VI = VI/VI w:VI . va a la playa: (VI/VI)/VI = VI Juan va a la playa: (O/VI)/VI = O

El diagrama de árbol. pero que se construye de abajo arriba. la estructura es:

Juan va a la playa

I I I I I O[VI VI AVI/T T/VC

W:VI~ O

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Dos observaciones sobre el análisis de «a la playa». La primera es que al aplicarse el verbo «va», la eliminación tiene lugar como si la construcción fuera «a la playa va»; lo cual es una limitación del análisis, que se podría corregir estableciendo direcciones inversas para ciertas eliminaciones. La segunda observación tiene que ver con una caracte­rística ventajosa: el análisis da cuenta de los distintos niveles de la estructura de constituyentes, además de ser recursivo. En efecto, «a la playa» se une a verbos intransitivos como «va», pero se podría unir, igualmente, a una construcción como «lleva la sombrilla». De este mo­do, «lleva la sombrilla a la playa» tiene la estructura [lleva la sombrilla [a la playa]], y no [[lleva [la sombrilla a la playa]]. Escribiendo el diagrama a la manera acostumbrada (pero recordando su carácter de abajo arriba), tenemos:

o

VI

--------------h~

O¡VI VI/T T/NC NC AVI/T T/NC NC

I I I I I I I Juan lleva la sombrilla a la playa

De este modo, queda reflejada la relación entre «lleva» y «la som­brilla», que unidos en «lleva la sombrilla» (de la categoría VI), se construyen con «a la playa»; la categoría de la expresión formada por el verbo transitivo y el término es la misma que la del intransi­tivo «va».

7.3.4. Traducción al lenguale Intenslonal

En la gramática de Montague se asigna a cada estructura sintáctica una traducción expresada en lenguaje intensional, que por tanto está a su vez dotada de una interpretación. Por ejemplo, la categoría de la oración en el español corresponde a la categoría de la fórmula en el lenguaje intensional; a su vez, en el lenguaje intensional, la fórmula se interpreta extensionalmente como valor de verdad, intensionalmente como proposición.

Al eliminar la categoría sintáctica e, las nuevas categorías básicas, NC y VI se traducen de manera que denoten conjuntos de individuos, es decir, corresponden al tipo (e, v). Ahora estamos hablando de tipos

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del lenguaje intensional: sigue existiendo el tipo e, correspondiente a expresiones que denotan a individuos del universo. Para evitar confu­siones, distinguimos notacionalmente (como hemos visto) la categoría sintáctica, en español, de la oración, mediante el símbolo O (en lugar del símbolo v), frente al simbolo del lenguaje intensional v, que es el del tipo de las fórmulas.

Hay, además, una diferencia de notación entre tipos del lenguaje intensional y categorías sintácticas del español. En (e, v) la notación sirve para recordar que se trata de una expresión cuya denotación es una función desde individuos, e, a valores de verdad, v. En O/VI, la expresión es una función, va desde verbos intransitivos a oraciones. En la primera notación, la función va de izquierda a derecha; en la segun­da, va de derecha a izquierda.

La solución de Montague a los contextos oblicuos es, como hemos visto, proponer que las expresiones en dichos contextos denoten inten­siones, no extensiones. De hecho, Montague generaliza la solución, de manera que las categorías correspondientes se apliquen a expresiones que se interpretan intensionalmente. Será necesario, entonces, un pro­cedimiento para obtener expresiones extensionales en los demás ca­sos, en que no son necesarias las intensionales. La asignación de las categorías sintácticas del español a los correspondientes tipos semánti­cos del lenguaje intensional se lleva a cabo mediante la siguiente fun­ción f:

feO) = v

f(NC) = f(VI) = (e, v)

Si A Y B son dos categorías cualesquiera,

f(A/B) = f(AIIB) = «s, f(B), f(A)

Veamos cómo funciona. Un término, por ejemplo, es de la categoría ONI; O se proyecta en el tipo v, y VI en el tipo (e, v). De acuerdo con la fórmula, el término, de categoría O/VI, se asigna al tipo complejo «s, (e, v», v): se emplea la versión intensional del tipo correspon­diente a VI. Y al aplicar un término (<<Juan»), OfVI, traducible a una expresión de tipo «s, (e, v», v), a un verbo intransitivo (<<lee»), VI, por tanto (e, v), se tiene que emplear, de acuerdo con la función de asignación, la expresión de tipo intensional, «s, (e, v». Aplicando una expresión de tipo «s, (e, v», v) a una expresión de tipo «s, (e, v», obtenemos una expresión de tipo v.

Como ejemplos, figuran a continuación algunas categorías sintácti-

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cas definidas para el español y sus correspondientes tipos sintácticos del lenguaje intensional:

o: v NC: (e. v) VI: (e. v) T=OfVI: «s. (e. v». v) VT=VI/T = VI/(O/VI): «s. «s. (e. v». v». (e. v» DET=T/NC = (OfVI)/NC: «s. (e. v». «s. (e. v». v» AVI= VIfVI: «s. (e. v». (e. v» VI/fVI=«s. (e. v». (e. v» VI/O=«s. v). (e. v» O/O=«s. v). v) AVI/T=(VIjVI)/T=«(s. «s. (e. v». v». «s. (e. v». (e. v»)

La doble barra permite distinguir los adverbios verbales, AVI = VIfVl, corno «rápidamente», de los verbos de complemento VI, que son VI//VI, corno «querer». Estos verbos presentan estructuras de control: su sujeto es también sujeto del infinito con que se construyen (Riems­dijk y Williams, 1986, capítulo 8). Aquí se analizan corno modificadores del verbo: «querer ir» se traduce e interpreta entonces del mismo modo que «ir rápidamente»: en ambos casos, se trata de subtipos de «in>, con un solo sujeto. A diferencia de esos verbos, los de la categoría VI/O, corno «creer», tienen corno complemento una oración (es decir, una cláusula), con su propio sujeto. Los adverbios oracionales, corno «necesariamente», son O/O. La categoría AVI/T es la de las proposicio­nes que se aplican a un término y forman un adverbio verbal (<<a la playa»).

Una vez asignadas las categorías del español a los tipos sintácticos del lenguaje intensional, necesitarnos una función de traducción t que proyecte cada expresión del vocabulario del español en una expresión del lenguaje intensional. No se trata de traducir las categorías básicas, sino las unidades del vocabulario. Por ejemplo, «llevan>, corno verbo transitivo, pertenece a una categoría derivada, VI/T, y, sin embargo, es una expresión básica del vocabulario. Corno el vocabulario es finito (aunque extenso), la función se puede definir corno una lista en que a cada expresión le corresponda una constante del tipo correspondiente. Por ejemplo, «llevar» es de categoría VT, es decir, VI/T, es decir, VI/(O/VI); obtenernos su correspondiente tipo:

f(VI)=(e. v) f(O)=v f(OjVI) = «s, f(VI) , f(O)=«s. (e. v». v) f(VI/(OjVI)) = «s, fCOfVI) , f(VI)=«s. «s. (e, v». v». (e. v»

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A «llevar» la función de traducción t le asigna una constante de dicho tipo, por ejemplo C542. «s, «s. (e, V», V», (e, V»· A «playa», como nom­bre común, NC, la función de traducción le asigna una constante de tipo (e, v), por ejemplo cl28.(e.v)' Se suele emplear una convención notacio­nal, según la cual la constante asignada a «llevar» se escribe abreviada­mente como llevar; la asignada a «playa», corno playa', etc. Nótese que entonces playa' no es una expresión del español, sino una constan­te del lenguaje intensional, mejor dicho, es la notación abreviada de una constante, por ejemplo C128. (e. V). Por otra parte, se puede acometer el análisis del significado léxico de dos maneras. La primera consiste en emplear una función de traducción que a cada expresión léxica le asigne una expresión del lenguaje intensional que puede ser compleja. Por ejemplo, a «gato» se le asigna una expresión compleja de la que forma parte la traducción de «animal». El otro procedimiento consiste en emplear los postulados de significado (creados por Carnap, 1947) para definir las relaciones entre las expresiones lingüísticas: por ejem­plo, la aplicación del nombre común «gato» implica semánticamente que se puede aplicar el nombre común «animal» (véase Dowty, 1976, 1978 Y 1979; Fanselow, 1981; Jacobs, 1980; en español. Moreno, 1985, capítulo 4).

La definición de la función de traducción no es recursiva; pero sí lo es la definición de la traducción del español. corno veremos a continua­ción.

7.4. Análisis de un fragmento del español

7.4.1. Unidad léxica, sintagma y oración

Vamos a analizar un fragmento del español. es decir (Werner, 1986b, § 1.1.1), un subconjunto bien definido del conjunto de las oracio­nes bien formadas del español. Como observa Cooper (1980, 20; véase W erner, 1986b, § 1.1.1), la estrategia de construir fragmentos cada vez más ricos del español puede acercarnos al objetivo de conseguir una gramática del español (en su totalidad). La estrategia alternativa consis­te en recoger los datos primero para, sobre ellos, argumentar acerca de la naturaleza general de las reglas que se necesitan. Según Cooper, el resultado de esta otra estrategia es un conjunto de ejemplos y de argumentaciones, pero no una gramática. El análisis de fragmentos de la lengua no es exclusivo de la gramática de Montague: es también útil en lingüística informática para dar cuenta mediante ordenador (Garri­do, 1987c, § 3) de los lenguajes técnicos especializados, los sublengua-

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jes, como el de los partes meteorológicos, o el de los historiales médi­cos.

Tenemos ya definidas las categorías sintácticas necesarias para nuestro fragmento del español. Por otra parte, a cada una de estas categorías pertenecen las diversas unidades léxicas o expresiones bá­sicas (exceptuando la categoría de la oración, a la que no pertenece ninguna unidad del vocabulario). Para cada categoría no vacía A, por tanto, definimos el conjunto BA de expresiones básicas de la categoría A. Como hemos visto, a una categoría, por ejemplo VI, pertenecen tanto expresiones básicas, por ejemplo «in>, como expresiones comple­jas, por ejemplo «llevan> combinada can (da sombrilla». Por ello, defini­mos para cada categoría A el conjunto SINA de los sintagmas de la categoría A, que comprende tanto las expresiones básicas de dicha categoría como las expresiones complejas. La primera regla sintáctica establece que las unidades léxicas pertenecen a la categoría de los sintagmas correspondientes: • SI. BA ~ SINA para toda categoría A.

Las demás reglas se ocupan de las expresiones complejas. Pasemos a la regla de construcción de la oración, mediante la aplicación de un término (que sirve de sujeto) a un verbo intransitivo (que sirve de predicado); respetamos la numeración de Montague, de modo que es la regla S4: • S4. Si a E SINT , y {J E SINVI , F4(a, {J) E SINo, donde F4(a, {J) = ay, y y es la forma de tercera persona singular del presente del primer verbo (es decir, expresión básica perteneciente a BVI ' BVT , BVI/O, o BVI//VI) de {J.

Se trata de un fragmento del español reducido. La regla de la oración sólo permite terceras personas del singular en presente; natu­ralmente, requiere que esté definida para cada expresión básica la correspondiente forma de tercera persona singular (para «in>, «va»; para «creen>, «cree»; etc.). Podemos dar cuenta de la negación (de sintagma verbal) y de los tiempos y aspectos verbales en la regla, mediante adicionales operaciones estructurales que introduzcan sinca­tegoremáticamente las correspondientes formas. Por ejemplo, el futuro corresponde a una operación Fla(a, {J) = ay, en que y es la forma de tercera persona singular del futuro; si {J es «ir», y es «irá», etc.

La regla establece cómo aplicar el funtor, que es un término, al argumento, que es un verbo intransitivo, para obtener como valor una oración. Se trata, pues, de una regla de aplicación funcional. En toda regla de este tipo hay una operación estructural, que especifica la manera de combinar o transformar la expresión de entrada. La opera­ción, aquí F4 , puede aparecer en otra regla. Un tercer componente, ligado a cada regla de aplicación función, es la regla de traducción: • T4. Si a E SINT, y {J E SINVJo F4(a, {J) se traduce como a'e {J').

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La traducción correspondiente a una regla de aplicación funcional es siempre de la misma fonna: se aplica la traducción del funtor (que aparece escrita mediante la convención notacional a') a la traducción (de tipo intensional) del argumento (de ahí que figure el operador intensional). Se asegura así que la traducción es una expresión bien fonnada del lenguaje intensional, ya que cumple la definición recursiva de los tipos, y la función de correspondencia entre categorías sintácti­cas y tipos. Para dar cuenta de la negación, los tiempos y aspectos verbales, a cada operación estructural le hacemos corresponder su traducción (sobre el tiempo y el aspecto, véase anteriormente § 4.3.2 Y 4.3.4 Y Dowty, 1979, capitulo 7). Por ejemplo, la operación Fla(lX, P) se traduce mediante el operador de futuro, como F(a'( A Pi).

La oración «Juan duerme» se construye aplicando «Juan» a «dor­min>, según la regla S4. En el diagrama en árbol escribirnos el número de la regla empleada:

Juan duerme, 4

~d . Juan ormu

La traducción de «donnin>, de la categoría IV, es la constante dor­mir, de tipo (e, v). No interviene en la traducción la fonna «duenne», sino la unidad léxica «dormin>, de acuerdo con la regla T4. La traduc­ción de «Juan», nombre propio, de la categoría T, es decir, O/VI. tiene que ser del tipo «s, [(IV), [(O), es decir, «s, (e, v», v). Su denota­ción tiene que ser una función desde propiedades de individuos a valores de verdad; en otros términos, su denotación es el conjunto de propiedades de un individuo. Ya hemos visto (§ 7.3.3) que podemos definir un individuo a través de sus propiedades, es decir, como un conjunto de propiedades. Así, la constante a define a un individuo. pero también A.P[" P(a)] , que se escribe también, según la notación de la llave, A.P[P{ a}]. y se abrevia notacionalmente como a*. Se trata del conjunto de propiedades P que satisface el individuo a. La variable P es de tipo «s, (e, v», y la expresión P{a} es de tipo v; por tanto, según la sintaxis del lenguaje intensional (§ 7.2.2, regla 3) la expresión A.P[P{a}J es del tipo «s, (e, v», v). «Juan duerme» se interpreta enton­ces como A.P[P{a}JCdormir), ya que según la regla de traducción T4, la interpretación de Fia, p) es IX'C Pi). El resultado es de tipo v, ya que hemos aplicado una función de tipo «s, (e, v», v) a un argumento, Adormir, de tipo «s, (e, v» (puesto que dormir es de tipo (e, v»).

Vamos a simplificar la expresión A.P[P{a}J C dormir); así comproba­remos que efectivamente es del tipo v. Aplicando la conversión de

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lambda (puesto que no se dan las restricciones que lo impiden), obte­nemos ~dormir{a}. Según la convención de la llave, esta fórmula equi­vale a v ~ dormir(a). A su vez, esta fórmula es equivalente (§ 7.1.3) a dormir(a): se aplica la función dormir, de tipo (e, v), al argumento a, de tipo e, por lo que la fórmula es del tipo v, efectivamente, como establece la regla T4.

La interpretación de «Juan duerme» es:

dormir'(a) , 4

~ J.P[ P{ a}] dormir'

Comprobamos la correspondencia exacta entre estructura sintáctica y estructura semántica, ya que la expresión dormir(a) tiene exactamente la misma interpretación que la expresión A.P[P{a}JCdormir), que es la obtenida aplicando la regla T4. Las dos son expresiones del lenguaje intensional, y sólo interesan como instrumentos para obtener una inter­pretación; si la interpretación es la misma, no hay por tanto diferencia en cuanto a la traducción de «Juan duerme», y empleamos la expresión que más nos conviene, es decir, la más sencilla. En términos generales, conviene simplificar siempre la expresión de cada nodo antes de pasar al siguiente.

7.4.2. Determinante y nombre

La segunda regla determina la aplicación de determinantes a nom­bres comunes: • S2. Si ce E SINT/NC, Y fJ E SINNc, F2(a, p) E SINT, donde F2(ce, fJ) = cefJ, si ce es masculino, y F2 (a, fJ) = yfJ, si fJ es femenino, siendo y la correspon­diente forma femenina de ce.

En el fragmento analizado se analizan las diferencias de género de manera rudimentaria, y no se incluye el plural, aunque no es difícil ampliar la gramática para incluir los rasgos subcategoriales y tratarlos mediante reglas de redundancia y con ven cion es del carácter marcado (véase Werner, 1986b, § 1.3.6). En la regla anterior, se emplea una u otra de las dos opciones de la operación estructural, según que el nombre común ce sea masculino o femenino. Las expresiones «la», «una» y «toda» están definidas sincategoremáticamente; cuando el nom­bre común es femenino, sustituyen a ce en la expresión compleja: F2 (ce, fJ) = yfJ. Por ejemplo, aplicando «el» a «playa», resulta «la playa», sustitu­yendo «la» a «el» en la expresión compleja. Los determinantes masculi-

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nos, «el», «un», «todo», son los ténninos no marcados: en su operación estructural no hay transfonnación.

Con las dos reglas sintácticas, S4 y S2, podernos construir oraciones corno «Todo niño duenne»:

todo niño duerme, 4

tOdo~ormir tO~niñO

La regla de traducción del sintagma nominal (o término) es semejan­te a la de la oración, ya que las dos son reglas de aplicación funcional: • T2. Si ex E SINT/Nc, y {J E SINNc, F;(ex, {J) se traduce corno ex'e {J').

La traducción de los detenninantes se lleva a cabo mediante el operador de abstracción (§ 3.5.3), teniendo en cuenta las intensiones; P es la variable vo. (s. (e. v», Y Q es la variable VI. (s. (e. v»:

«todo» se traduce corno: AP[AQ Vx[P{x} -+ Q{x}]], «el» se traduce corno: AP[AQ[3x[P{x} & \fx[P{ y} -+ (y x)] &

Q{x}]]]. «un» se traduce corno AP[).Q 3x[P{x} & Q{x}]].

(Sobre el análisis montaguiano de sintagmas sin articulo, corno «co­mer peras», «tener coche», véase Garrido, 19aac, § S.)

La traducción de «Todo niño duerme» se obtiene de la siguiente manera (empleando ~ en lugar de «se traduce corno»), representando cada paso, corno en una prueba, con su regla correspondiente:

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1. todo ~ AP[AQ Vx[P{x} -+ Q{x}]] (expresión básica). 2. niño ~ niño' (expresión básica). 3. todo niño ~ AP[AQ \fx[P{x} -+ Q{x}J]eniño') (de 1 y 2 según

T2). 4. AQ \fX[A niño' {x} -+ Q{ x}J (conversión de lambda). S. AQ \fx[ .... niño'(x) -+ Q{x}J (convención de la llave). 6. AQ \fx[niño'(x) -+ Q{x}J (eliminación de operadores). 7. donnir ~ dormir' (expresión básica). 8. todo niño duenne ~ AQ \fx[niño'(x) -+ Q{x}]Cdormir') (de 6 y

7 según T4). 9. Vx[niño'(x) -+ Adormir'{x}] (conversión de lambda).

10. Vx[niño'(x) -+ vAdormir'(x)] (convención de la llave). 11. Vx[niño'(x) -+ dormir'(x)] (eliminación de operadores).

La traducción de «El niño duerme» es:

3x[V y[niño'( y) -+ (y = x)] & dormir'(x)]

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La negación de esta fórmula es verdadera para el caso en que no duerme el único niño del mundo y tiempo en cuestión (y, quizás, si­guiendo a Lewis, 1970, del lugar en cuestión y del discurso previo en cuestión). Pero también es verdadera dicha negación para el caso en que no hay un único niño. Se puede tratar la condición de unicidad en el contexto como presuposición: «El niño duerme» es verdadera o falsa, pero la condición de unicidad es verdadera. En lugar de tratarla como presuposición, es decir, como implicación semántica del determi­nante, tanto en la oración afirmativa como en la negativa, se puede tratar como implicatura convencional (véase § 6.5.1), de modo que no resulte afectada por la negación, y evitemos el problema de que la negación de dicha condición hace verdadera a la oración cuando no ocurre que el único niño esté durmiendo. Karttunen y Peters (1975, 1977 Y 1979) han integrado dicho análisis de la implicatura convencional en el marco de la gramática de Montague, empleando el concepto de expresión de herencia, que determina cómo ascienden las implicaturas de las expresiones simples a las expresiones complejas (véase Levin­son, 1983, § 4.4.2 Y Moreno, 1985, capítulo 5).

7.4.3. Relativo

El relativo se introduce sincategóricamente: • S3. Si oc E SINNc, y P E SINo, F3,n(¡x, p) E SINNC' donde F3,n(oc, P) = oc «tal que» y, y y es el resultado de sustituir en P todas las apariciones de éln o IOn por «él», «ella» o por «lo», «la», respectivamente, según sea mascu­lino o femenino el primer BNC de p.

En la regla hay infinitas operaciones, según el valor que tome n: F3,n

es un esquema de operación estructural. Veamos un ejemplo: el nom­bre común es «niño», masculino, y la oración es «éls duerme». Se le aplica la operación estructural F3,5' El resultado es el nombre común «niño tal que él duerme» (una versión más cercana al español sería «niño que duerme»). Hay que distinguir las variables con subíndice (por ejemplo, é1

3) de los pronombres, sin subíndice (él), que tienen un

antecedente. La diferencia entre éln Y IOn nos permite distinguir entre «niño tal que él 107 ve» y «niño tal que élg lo ve».

La regla de traducción es: • T3. Si oc E SINNc, Y P E SINo, Y oc Y p se traducen como oc' y P', respectivamente, F3,n(oc, P) se traduce como AXn[OC'(xn) & p']'

Cada variable éln o IOn no se traduce por la correspondiente varia­ble del lenguaje intensional xn . Como otras expresiones de la categoría de los términos (los nombres propios), cada variable éln se traduce a

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una expresión que denota un conjunto de propiedades, lP[P{xn }]; en T3, el operador también liga las xn de (J'. Veamos un ejemplo. La traducción de «é~ duerme» es lP[p{xsnCdormir'), es decir, A dormir' {xs}, es decir, V A dormir'(xs) , que es dormir'(xs). La traducción es semejante a la de «Juan duerme», dormir'(a) , que hemos visto.

«Una niña tal que ella duerme sonríe» se construye de la siguiente manera:

una nifta tal que ella duerme sonríe, 4

una nifta t reír

~ niña tal ~lla duerme, 3,5

nina~e.4 éI; dormir

Ya tenemos la traducción de «éls duerme». Por la regla T3,5 (es decir, el esquema T3 aplicado a una variable de subíndice 5), obtene­mos la traducción de <miña tal que ella duerme»:

l. é~ duerme - dormir'(x9 ).

2. «niña tal que ella duerme» - lxs[niña'(xs) & dormir'(x9 )]·

Los siguientes pasos son:

3. «una niña tal que ella duerme _ lP[lO 3x[P{x} & O{x}]]C lxs[niña'(xs) & dormir'(xs)]). De 2 según T2.

4. lO 3X[A lxs[niña'(xs) & dormir' (xs)]{x} & O{x}]. Conversión de lambda.

5. lO 3x[lxs[niña'(xs) & dormir' (xs)] (x) & O{x}]. Convención de la llave y eliminación de operadores extensional e intensional.

6. lO 3x[niña'(x) & dormir'(x) & O{x}]. Conversión de lambda. 7. «una niña tal que ella duerme sonríe» _ lO 3x[niña'(x) &

dormir'(x) & O{x}]Csonreir'). De 6 según T4. 8. 3x[niña'(x) & dormir'(x) & Asonreír'{x}]. Conversión de lambda. 9. 3x[niña'(x) & dormir'(x) & sonreír'(x)]. Convención de la llave y

eliminación de operadores extensional e intensional.

Las reglas expuestas dan idea de la naturaleza de la gramática de un fragmento del español según la propuesta de Montague (sobre las demás reglas de análisis del fragmento, véase para el inglés, Dowty et aJ., 1981, capitulo 7, y para el español, Moreno, 1985, capítulo 1).

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7.5. Gramática y lógica

7.5.1. Gramática de estructura slntagmátlca generalizada

Además de los propios análisis en el marco de la gramática de Montague, se ha desarrollado una teoría gramatical que emplea en su semántica el enfoque montaguiano. Se trata de la gramática de estructu­ra sintagmática generalizada. Su objetivo es (Gazdar, Klein, Pullum y Sag, 1986, § 1.2) unir a una teoría sintáctica generativa lingüísticamente interesante una teoría semántica explícitamente definida. Frente al des­crédito de las gramáticas constituidas exclusivamente por reglas de estructura sintagmática (debido, entre otras, a la crítica de Chomsky, 1957, capítulo 5), Gazdar (1982) propone nuevamente una gramática de este tipo, sin reglas de transformación. Es, por tanto, una gramática independiente del contexto (véase Pullum y Gazdar, 1982). Usa símbo­los complejos en lugar de símbolos terminales monádicos (y no por ello es transformacional, contra la observación de Chomsky (1965, § 2.3.4) al respecto); como ejemplo de símbolo complejo, el sintagma nominal (N con dos barras) pronominal plural es (2, [+N, -V, +PRO, -SNG, ... ]).

La gramática tiene un solo nivel sintáctico (es monoestrática) , aun­que se reconoce la posibilidad de que entre dicho nivel y la inter­pretación en teoría de modelos haya otro nivel (véase Kamp, 1981), para resolver ciertos problemas todavía sin resolver que están a caba­llo entre la descripción sintáctica y la semántica, como son el alcance de los cuantificadores y la anáfora pronominal. Mientras tanto, emplea la solución del «almacenamiento» de cuantificadores de Cooper (1983), que evita tener que suponer la existencia de infinitos pronombres, que se distingan mediante índices abstractos. Como la gramática tiene un solo nivel sintáctico, las representaciones sintácticas que construye son sus propias formas lógicas (Gazdar et al., 1986, § 1.2 Y nota 5). Es más: se adopta el principio de que la gramática no proporciona directa­mente reglas semánticas, sino que hay una función universal que pro­yecta las reglas sintácticas sobre reglas semánticas de traducción. Para definir las interpretaciones modelo-teóricas de un constituyente basta con el tipo semántico asignado a las unidades léxicas introducidas por una regla (por ejemplo, el verbo «poseen> denota una función desde denotaciones de sintagma nominal a denotaciones de sintagma verbal -solución por otra parte diferente a la de Montague, 1973--), y la forma sintáctica de la propia regla. Puede ocurrir que una expresión gramatical no reciba interpretación, como «Las verdes ideas incoloras duermen furiosamente» (el conocido ejemplo de Chomsky, 1957, § 2.3), si la denotación de «verde» es una función sin definir cuando se aplica a objetos abstractos como la denotación de «ideas»; no por eso deja de

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ser gramatical la expresión. Siguiendo a Montague, son las interpreta­ciones modelo-teóricas, y no las expresiones de lógica intensional que conducen a ellas, las que constituyen el nivel de la descripción semánti­ca. Gazdar et al. (1986, capitulos 9 y 10) ofrecen una versión detallada de los principios generales de interpretación semántica correspon­dientes a la teoría sintáctica de la gramática de estructura sintagrnática generalizada, adaptando para ello el análisis de Montague.

7.5.2. Forma lógica en la teoría de recelón y ligamento

Los creadores de la gramática de estructura sintagrnática generali­zada la presentan corno alternativa a las gramáticas transfonnacionales, que consideran «sistemas barrocos» (Gazdar, 1982, § 1), por el gran número de recursos formales que emplean (entre ellos, reglas de mo­vimiento, procedimientos de coindexación, convenciones de ligamien­to, filtros, convenciones de marcado de casos). Piensan además que las gramáticas transformacionales son sistemas cuyas propiedades mate­máticas son casi totalmente desconocidas: por ejemplo, no se sabe si la agramaticalidad respecto a esas gramáticas es de cidible , es decir, da­da una secuencia cualquiera de unidades del vocabulario terminal. no hay modo de demostrar que la gramática no genera dicha secuencia. Sin embargo, las gramáticas transformacionales, y especialmente la versión chomskyana de la teoría estándar ampliada y revisada, desa­rrollada últimamente corno teoría de rección y ligamiento (Chomsky, 1981), siguen ofreciendo resultados, también en el nivel sintáctico de la forma lógica (cuya denominación es poco apropiada, según Gazdar, 1982, § 4, pág. 140, por dar lugar a equivocos). Ello a pesar de la opinión critica que este teoria merece a Gazdar, Klein, Pullurn y Sag (1986, § 1.1), según los cuales muestra pocos signos de estar compro­metida a especificar explícitamente sus principios. A continuación re­pasaremos algunas caracteristicas del nivel de la fonna lógica en la teoria de la rección y el ligamiento, siguiendo a Riemsdijk y Williams (1986, especialmente el capitulo 11).

Frente a la hipótesis de la teoría estándar (Chomsky, 1965) de que el significado resulta de interpretar las estructuras profundas, se trabaja actualmente sobre la base de que lo que se interpretan son las estructu­ras superficiales, enriquecidas con huellas. Las transformaciones se han reducido a una muy general, de movimiento de ex, que proyecta estruc­turas P -profundas- (obtenidas mediante reglas sintagrnáticas, del tipo de la teoria de la X con barra, y unidades del léxico ----o lexicón-) en estructuras S -superficiales-o Se cambia de sitio el constituyente ex en una estructura P, y el resultado es una estructura S, en que ex ocupa

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una nueva posición, y hay una huella suya (un elemento vacío h, tam­bién simbolizado como e), en el lugar que ocupaba antes. Por ejemplo, en «¿[Qué carne]¡ creía Juan que había comido h¡ María?», hay una relación semántica entre «qué carne» y «había comido»: se trata del «objeto lógico», «paciente» (frente a la relación entre «María» y «había comido», que es de «sujeto lógico» o «agente»); la relación de «pacien­te» también recibe el nombre de «tema» (de ahí que las relaciones se denominen relaciones temáticas, o papeles temáticos o papeles theta). Esta relación existe en la estructura P, pero no se pierde en la estructu­ra S, gracias a la huella que deja «qué carne» al cambiar de sitio. Se dice que la huella está ligada por su antecedente -«qué carne»--, y que «se había comido» asigna caso a la huella así como, indirectamente, a su antecedente, según principios sometidos a condiciones sintácticas especiales, denominadas rección ~n el sentido, por ejemplo, de que el verbo «había comido» debe regir la huella de «qué carne» para asignarle caso-. Las dos categorías que se pueden cambiar de lugar son los sintagmas nominales y los constituyentes de tipo QU, como «qué carne» en el ejemplo anterior. (Como introducción accesible y actual, véase Chomsky, 1988, con ejemplos en español.)

La interpretación semántica se puede obtener, por tanto, a partir de la estructura S, pero se trata sólo del «significado estructural» (no del significado léxico, ni de las condiciones veritativas, ni del significado de unidades superiores a la oración); el correspondiente componente semántico es la «sintaxis lógica» de los filósofos, como observan Riems­dijk y Williams (1986, § 10.2.1), Y por ello se denomina forma lógica. A su vez, la forma lógica de una oración es una estructura derivada de la estructura S mediante la aplicación de las reglas de interpretación. Ciertas supresiones de elementos léxicos (como «que» en «Le ruego venga cuanto antes») y ciertos movimientos «estilísticos» (como el mo­vimiento de los SN pesados: «Le di a Juan todas las cosas que me había pedido», frente a «Le di el libro a Juan») no afectan a la fonna lógica oracional. Por ello se afinna que las reglas de interpretación se aplican, antes de que ocurran estas supresiones y cambios de orden estilístico, a una estructura «somera», en que se han producido los movimientos de SN y de QU, pero no las supresiones y los cambios estilísticos que dan lugar a la estructura S propiamente dicha.

Es conveniente subrayar, con Riemsdijk y Williams (1986, § 11.2.2), el carácter de estructura S anotada que tiene la forma lógica. Tiene la estructura de un cálculo de predicados (las palabras se toman como entidades semánticas sin analizar), y abarca los aspectos de significado tratados en el cálculo de predicados: el alcance de los operadores y cuantificadores, la determinación de la identidad o diferencia entre variables y la estructura de predicado y argumentos.

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Las reglas de interpretación son de dos tipos: reglas de asignación de antecedentes (coindexación) y reglas de asignación de alcance. Además de las reglas, el componente de la forma lógica comprende condiciones de buena formación, que filtran estructuras mal formadas. Por ejemplo, la regla de la interpretación de reflexivos asigna el mismo subíndice (<<coindexa») al sintagma nominal sujeto y al sintagma nomi­nal constituido por un pronombre reflexivo, en determinadas condicio­nes sintácticas: «Juan¡ se¡ lava» (se suele usar letras como subíndices); no valdrá «Juan¡ cree que Pedro se¡ lava». En general, las reglas de asignación de subindices sirven para indicar la correferencia (o, mejor, la no correferencia) de dos sintagmas nominales, siempre que se cum­plan ciertas condiciones sintácticas. Estas reglas asignan antecedente a los elementos anafóricos (en sentido amplio), como son los pronombres reflexivos, las hueIlas y los pronombres vados, sin realización fonética, es decir, pronombres cuya existencia se postula, y que no aparecen como tales en la secuencia fonológica oracional (véase sobre estos pronombres Demonte y Fernández Lagunilla, 1987, <<IntroducciÓn», págs. 17-18 y Hernanz y Erucart, 1987, § 4.4.2).

El otro tipo de reglas, las reglas de interpretación de los cuantifica­dores, establecen el alcance de los cuantificadores. El procedimiento consiste en mover el cuantificador de sitio, dejando una huella suya, de manera que el cuantificador afecte al constituyente en que queda la huella. Por ejemplo (Riemsdijk y Williams, 1986, § 11.3.2): «Alguien quiere ver a cada uno de nosotros» se analiza como «[cada uno de nosotros¡ [alguien¡ [h¡ quiere PRO¡ ver a h¡]]]», que se considera equi­valente a «para todo x, x uno de nosotros, hay un y, y una persona, tal que y quiere ver a x». Además de las reglas, en el componente de la forma lógica hay condiciones de buena formación (que dependen de propiedades sintácticas); y entre unas y otras hay una relaciÓn de compensación, de manera que unas condiciones más elaboradas pue­den sustituir o hacer triviales las reglas, reduciéndolas a una regla general de movimiento de sintagmas cuantificados, análoga a la de movimiento de sintagmas QU (May, 1985). Las condiciones de buena formaciÓn son sobre todo condiciones de ligamiento de las variables.

De este modo, la forma lÓgica es, en términos de Riemsdijk y Willia­ms (1986, § 13.7), «una representación muy "sintáctica"», ya que se deriva paso a paso a partir de la estructura S, sin añadir datos que no estén ya en dicha estructura. Aunque se ha propuesto la posibilidad de proporcionar una interpretación modelo-teórica a la forma lógica (Coo­per y Parsons, 1976), se rechaza esta posibilidad argumentando que la forma lógica describe propiedades estructurales de las oraciones, y su relación con otros niveles de representación. No hace falta, por ello, afirman Riemsdijk y Williams (1986, § 11.1), ponerla en relaciÓn con una

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teoría más amplia (es decir, interpretarla), del mismo modo que no hace falta interpretar la representación fonética oracional obtenida me­diante las reglas fonológicas.

El principal logro del análisis de la forma lógica es, efectivamente, establecer su relación con otros niveles de análisis sintáctico. (En oca­siones, como Hornstein, 1984, se acentúa esta inclinación por lo sintácti­co, argumentándose que los conceptos clave de una teoría del signifi­cado deben ser sintácticos, y no semánticos, como el concepto de verdad.) Sin embargo, el análisis de la forma lógica no es ni se preten­de que sea una teoría semántica, aunque sí se la puede concebir como el lugar de conexión de la gramática y el sistema cognoscitivo (Kemp­son, 1988); en términos de Chomsky (1988, capítulo 3, pág. 89), revela el hecho de que «una estructura lógica natural está directamente repre­sentada en las representaciones mentales que subyacen a las expresio­nes reales del lenguaje».

7.5.3. Tendencia. actual ••

Una crítica frecuente a los teóricos del lenguaje, y sobre todo a aquellos que llevan a cabo un análisis formalmente complicado, es que, en términos de Werner (1985, § 13), a menudo parecen ocuparse sólo de problemas que en última instancia sólo sirven para dar lugar a complejos aparatos formales, en lugar de tratar los problemas que parecen centrales en la lingüística actual. Un enfoque que se salva de esta crítica, pues presta tanta o más atención a los fenómenos semánti­cos que al dispositivo formal empleado, según Sánchez de Zavala (1986, § Id), es la semántica de situaciones de Barwise y Perry (1983).

La idea básica de dicha teoría es que el significado de las oraciones declarativas es una relación entre enunciados (enunciaciones) y situa­ciones descritas. El significado es una relación entre situaciones. Las situaciones son los elementos primitivos; la realidad está constituida por situaciones, es decir, por individuos con propiedades y relaciones y en diversas localizaciones espaciotemporales. Estos componentes de las situaciones son uniformidades que se mantienen invariantes en dife­rentes situaciones (por ejemplo, un mismo individuo aparece en dife­rentes localizaciones). Mediante la teoría de conjuntos, se elaboran las situaciones abstractas a partir de estos componentes de la realidad. Se emplean entonces para clasificar las situaciones de la realidad, y se asignan a las expresiones y a los estados mentales, estudiando así el significado.

Los organismos están en sintonía con ciertas uniformidades, y son capaces por tanto de recoger de su entorno la información (como un

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perro puede oler un rastro). Barwise y Perry emplean las funciones parciales desarrolladas por Kleene, y elaboran una teoría formal sobre estos supuestos de realismo ecológico (de Gibson, 1979). Siguiendo a Dretske (1981), distinguen significado (lingüístico) de información (co­municada a partir del significado), y consideran que la información transmitida lingüísticamente forma parte de un flujo más general de información desde unas situaciones a otras, a través del significado natural (en el sentido de Peirce, según el cual el humo significa natural­mente el fuego). En este enfoque, dos oraciones lógicamente equiva­lentes pueden tener distinto terna, es decir, referirse a situaciones distintas: por ello, no les parece aceptable que la referencia de una oración sea su valor de verdad (Barwise y Perry, 1983, capítulo 1; véase además Barwise y Perry, 1985, y los demás articulas de dicho número de «Linguistics and Philosophy»; también Quesada, 1986,68-72 Y Moste­rín, 1987, § 5). Una propiedad interesante de esta teoría es que se trata de una semántica realista, es decir, que intenta establecer la relación entre el lenguaje y el mundo real.

Otros enfoques se proponen ofrecer una teoría formal del significa­do, y, con ello, del lenguaje humano. Continuamente se están produ­ciendo innovaciones (véase, por ejemplo, los trabajos reunidos por Groenendijk, Janssen y Stokhof, 1981; entre ellos, la teoría de la repre­sentación del discurso de Kamp y la semántica de datos o de la informa­ción parcial de F. Veltman, desarrollada también por Landman, 1986, basada en funciones parciales). Otros análisis son la semántica boolea­na de Keenan y Faltz (1985); la teoría de los juegos semánticos (Hintikka, 1983), aplicada al español por Acero (1987); el análisis de los cuantifica­dores generalizados (Barwise y Cooper, 1981, Benthem y Meulen, 1985, Gardenfors, 1987; para el español, Moreno, 1987b); la lingüística de procesos o dinámica (Ballmer y Wildgen, 1987). A ellos hay que añadir el desarrollo de la aplicación de los recursos de formalización que se lleva a cabo en la lingüística informática (Winograd, 1983), especial­mente en el campo de la traducción por ordenador (Nierenburg, 1987). Por todo ello, se puede ser optimista en cuanto a los resultados de emplear instrumentos formales de la lógica en el análisis del lenguaje, a pesar de las continuas llamadas de atención sobre el peligro de suponer en el lenguaje la existencia de propiedades que sólo se dan en los lenguajes formales de la lógica.

7.5.4. Conclusión

El lenguaje, efectivamente, no es un objeto lógico. No es de extra­ñar que tanto del lenguaje humano se quede fuera del análisis mediante lenguajes formales, y, más concretamente, de la lógica veritativa (por

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ejemplo, las implicaturas convencionales y conversacionales), ya que el principal uso del lenguaje no consiste sólo en hacer declaraciones acerca de la realidad (siendo importante que sean verdaderas o falsas), sino sobre todo en ser parte de procesos de interacción en contexto. En estos procesos los seres humanos transmiten y elaboran tanto informa­ción en formato declarativo como información acerca de la propia re­lación de interacción y acerca de la acción realizada o por realizar.

Por ello, el empleo del concepto de valor veritativo, y de la lógica construida sobre este concepto, se puede entender como introducción de la medida en el estudio del lenguaje. La unidad de medida no existe en el objeto medido: por ejemplo, en dos metros de tela no hay metros, sino tela; pero esta tela presenta propiedades que podemos describir con ayuda de nuestra unidad de medida. Del mismo modo, el concepto de valor veritativo nos sirve de fundamento para construir una teoría semántica que podemos integrar en una descripción sintáctica, elabo­rando así una gramática. Ello no quiere decir que la teoría semántica que ofrezca una definición recursiva del concepto de denotación en un modelo dé cuenta de todos los fenómenos de significación, ni siquiera suplementada por una teoría pragmática o integrada en ella; pero cualquier teoría tiene que explicar por lo menos los hechos de los que por ahora damos cuenta mediante este concepto de denotación en un modelo, basado a su vez en el concepto de valor veritativo.

La teoría lingüística, con el apoyo de cierto instrumental lógico, es capaz de hacer predicciones acerca de las lenguas. El fenómeno a predecir no es si algo se dice o no (pertenencia a la lengua, según la gramática, es decir, gramaticalidad), sino cómo tiene lugar lo que se dice. Esta propuesta programática tiene varias consecuencias. Por ejemplo, no es necesario conferir realidad psicológica a los resultados del análisis mediante instrumentos lógicos, pero, al mismo tiempo, sí se debe intentar, mediante dichos aná~isis, explicar propiedades del len­guaje que sí son de naturaleza psicológica (y social). En otros términos, hay que proponerse explicar lo que es realmente el lenguaje, o una lengua concreta, que, en las palabras ya citadas (§ 6.4.2) de Humboldt (1836, § 12, pág. 418), «está en el acto de su producción real». Nuestras teorías deben tratar acerca de la realidad del lenguaje, y no sólo acerca de ellas mismas; y la formalización puede ser el instrumento y el requisito para que las teorías cumplan este objetivo. Asistimos en la actualidad a un enorme desarrollo de este programa, de manera que se amplía continuamente el objeto de estudio incluyendo fenómenos situa­dos antes fuera del objeto del análisis formal e incluso del objeto del análisis lingüístico. Este objeto se amplía así desde la oración al léxico (por abajo) y al texto (por arriba), yen esta empresa de la lingüistica ha tenido y seguirá teniendo un papel central el análisis lógico.

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EJERCICIOS

l. Defina las categorías necesarias para analizar «el libro de Juan» y «Juan va a la playa» en la sintaxis categorial de § 7.1.1.

2. Explique cuál es la intensión de la expresión que denota la intensión de AB(c), es decir, de AAB(c).

3. Indique el tipo de las siguientes expresiones del lenguaje intensional defi­nido en § 7.2, teniendo en cuenta que a, O, 1,2, ... , etc., son constantes de tipo e; x es una variable de tipo e; cuadrado es una constante de tipo (e, e); P es una variable de tipo (s, (e, v»; suma es una constante de tipo (e, (e, e»: 'peAa); A.x[cuadrado(x)]; AP['P(a)]; lx[suma(2)(x)].

4. Analice mediante la sintaxis definida en § 7.3.3 «El álbum de Juan tiene cuarenta fotografías» y «Juan tiene las fotografías en el álbum», definiendo las categorías sintácticas adicionales que necesite para ello; prescinda de la concordancia de número.

5. Indique qué categoría (definida mediante categorías básicas) sería necesa­ria para dar cuenta de los adjetivos, y a qué tipo sintáctico se traduciría.

6. Compruebe que las traducciones de los determinantes «todo», «el» y «un» son del tipo correspondiente a la categoría de los determinantes, DET, es decir, T/NC, y, por tanto, (O/VI)/NC.

7. Obtenga la interpretación de «El niño duerme», indicando en cada paso la regla empleada.

8. Obtenga la interpretación de «Una niña dormirá» y de «El niño no duerme». 9. Analice e interprete «Todo niño tal que él no llora no crece».

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Soluciones a los ejercicios

CJlPtruLo l

l.

AuB=B B n e = {d}

2. Conmutativa:

-Unión: AuB={a, b, e, d}; BvA={a, b, e, d}. Luego AuB=BuA. - Intersección: A n B = {a, b, e}; B nA = {a, b, e}. Luego A n B = B n A.

Asociativa:

- Unión: A u B = {a. b, e, d}. (A u B) u C = {a, b. e, d, e}; Bu C = {a, b, e, d, e}; A u (B u C) = {a, b, e, d, e}. Luego (A v B) v C = A u (B u C).

-Intersección: A n B = {a, b, e}; (A n B) n C = 0; (B n C) = 0. Luego (A n B) n C = A n (B n C).

Distributiva:

Bu C = {a, b, e, d, e}; A n (B u C) = {a, b, e};

A n B = {a, b, e}; A n C = 0; (A n B) u (A n C) = {a, b, e}

Por tanto,

A n (B u C). = (A n B) u (A n C)

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Del mismo modo,

A u (B (l C) = {a, b, e, d}; (A u B) (l (A u C) = {a, b, e, d}

Por tanto,

A u (B (l C) = (A u B) (l (A u C)

Absorción:

A (l B = {a, b, e}; A u (A (l B) = {a, b, e}. Luego A u (A (l B) = A

A u B = {a, b, e, d}; A (l {A u B} = {a, b, e}. Luego A (l (A u B) = A

Idempotencia:

A u A = {a, b, e} = A; A (l A = {a, b, e} = A

3. Conmutativa: «Carmen es mujer y psiquiatra», «Cannen es psiquiatra y mujer»: «Juan es hombre o psiquiatra», «Juan es psiquiatra o hombre» (Nota: En LA2 no hay variante «u» ante vocal, como en español: «o hom­bre»). Asociativa: «Rosario es [psiquiatra o mujer] o hombre», «Rosario es psi­quiatra o [mujer o hombre]»; «Juan es [hombre y psiquiatra] y hombre», «Juan es hombre y [psiquiatra y hombre]». Distributiva: «Ana es psiquiatra y [hombre o mujer]», «Ana es [psiquiatra y hombre] o [psiquiatra y mujer]»; «Pedro es hombre o [mujer y psiquia­tra]», «Pedro es [hombre y mujer] o [hombre y psiquiatra]». Absorción: «Cannen es mujer o [mujer y psiquiatra]», «Carmen es mu­jen>; «Ana es mujer y [mujer o psiquiatra]», «Ana es mujer». Idempotencia: «Juan es hombre o hombre», «Juan es hombre».

4. A - B = fjJ; C - B = {e}; B - A = {d}; B - C = {a, b, e}; U - B = {e}; U - A = {d, e}; U - C = {a, b, e}; U - (A u B) = {e}.

5.

6. 1) A u fjJ = {a, b, e} = A. 2) A u U = {a, b, e, d, e} = U. 3) A (l fjJ = fjJ, ya que el conjunto vacio no tiene elementos. 4) A (l U = {a, b, e} = A. 5) A- = {d, e}; A u A- = {a, b, e, d, e} = U. 6) A (l A- = fjJ, ya que A- = {d, e}. 7) A- = {d, e}; B- = {e}; A- u B- = {d, e}; A (l B = {a, b, e}; (A (l B)- = {e, d}. Por tanto, (A (l B)- = A- u B-. 8) A u B = {a, b, e, d}; (A u B)- = {e}; A- = {d, e}; B- = {e}; A- (l B- = {e}. Por tanto, (A u B)- = A- (l B-.

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7. a) [[Rosario]] = b; [[psiquiatra]] = B (según el modelo). [[Rosario no es psiquiatra]] = b ~ B (regla de la oración formada con «no es»). b) [[pedro]] = d; [[mujer]] = A; etc. (según el modelo). [[mujer y psiquiatra]] = A ("\ B (regla del atributo). [[pedro no es mujer y psiquia­tra]] = d ~ (A ("\ B) (regla de la oración formada con «no es»). e) [[Juan no es mujer]] = e ~ A (regla de «no es»). d) [[hombre y psiquiatra]] = e ("\ B (regla del atributo). [[hombre y (hombre y psiquiatra)]] = e ("\ (e ("\ B) (regla del atributo). [[Carmen no es hombre y (hombre y psiquiatra)]] = ~ e ("\ (e ("\ B) (regla de la oración formada con «es»). e) [[mujer o hombre]] = A u e (regla del atributo con «o»). [[Ana es mujer o hombre]] = a E A u e (regla de la oración con «es»). f) [[hombre y psiquiatra]] = e ("\ B (regla del atributo). [[hombre o (hombre y psiquiatra)]] = e u (e ("\ B) (regla del atributo). [[Carmen es hombre o (hombre y psiquiatra)]] = e E e u (e ("\ B) (regla de la oración formada con «es»).

8. a) Falsa. b) Verdadera. e) Verdadera. d) Verdadera. La oración es exten­sionaImente equivalente a e ~ e ("\ B, ya que la denotación del atributo se puede simplificar del siguiente modo:

e ("\ (e ("\ B) = (e ("\ e) ("\ B

(e ("\ e) ("\ B = e ("\ B (propiedad asociativa) (propiedad de idempotencia)

e) Verdadera. f) Falsa. La oración es extensionaImente equivalente a e E e (propiedad de absorción).

9. El vocabulario es el de los nombres de LA¡, interpretados del mismo modo ([[Ana]] = a; etc.). Definimos sincategoremáticamente «es del mis­mo sexo que»: Si IX Y /1 son nombres, IX «es del mismo sexo que» /1 es una oración. Su interpretación es: [[IX es del mismo sexo que PJ] = 1 si y sólo si S(IX, p). Empleamos la relación binaria S, que relaciona entre sí los elemen­tos de A, por una parte, y los elementos de e, por la otra:

S = {(a, a), (a, b), ... , (e, e), (e, e) ... }

Por ejemplo, «Ana es del mismo sexo que Carmen» es verdadera, ya que Sea, e), o también (a, e) E S. La relación es de equivalencia, por tener las propiedades reflexiva, transitiva y simétrica. Las clases de equivalencia son A y e.

10. Para ambos lenguajes, el vocabulario es el de los nombres de LA¡, inter­pretados del mismo modo ([[Ana]] = a; etc.). Definimos sincategoremáti­camente la oración en ambos lenguajes como en el ejercicio anterior. Las correspondientes reglas de interpretación de la oración son [[IX no tiene menor edad que /1]] = MI (IX, P), Y [[IX tiene mayor edad que PJ] = MaCIX, /1). Empleando el metalenguaje, vamos a suponer que Ana es la mayor, luego viene Carmen, luego Rosario, Pedro y Juan. La relación MI' de no ser más pequeño, relaciona a cada elemento consigo mismo y con los que tienen menos años que él:

MI = {(a, a), (a, b), (a, e), ... , (b, b), (b, e), ... , (e, e)}

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La relación Ma, de ser mayor, relaciona a cada elemento con los que tienen menos años que él:

Ma = {(a, b), (a, e), ... , (b, e), (b, d), ... , (d, e)}

La primera es una relación binaria de orden (se suele simbolizar por ~, «mayor o igual que»), por tener las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. La segunda, Ma, es una relación asimétrica y transitiva: ordena estrictamente el conjunto (y se suele simbolizar por>, «mayor que»).

11. Además de los nombres y su interpretación iguales a los de LA¡, definirnos sincategoremáticamente la oración como en el ejercicio 9; su interpreta­ción es: [[IX es descendiente de PJ] = R(IX, fJ); [[IX es antepasado de fJ]] =

R-¡(IX, P). Las relaciones R y su inversa R-¡ se pueden definir, por ejem­plo, del siguiente modo:

R = {(a, b), (d, b), (b, e), (e, e)}

R-l = {(b, a), (b, d), (e, b), (e, e)}

12. JlJ(a) = 1; JI¡(b) = 1; JI¡(e) = 1; JI¡(d) = O; JI¡(e) = O;

Jla(d) = 1; Jla(e) = 1; Jla(a) = O; Jla(b) = O; Jl2(e) = O;

13. La asignación sería igual a la propuesta en el texto salvo [[psiquiatra]] = C.

CAPiTuLo 2

l.

Siendo A el conjunto verdad de p, y 8 el de q, el conjunto (-A n -8) u (8 n A) (que aparece rayado) es aquél en que o bien p y q son falsos (-A n -8), o bien p y q son verdaderos (A n 8); los resultados son los mismos que los de la tabla de verdad del bicondicional.

2. (-A u 8) n (-8 u A) = [(-A u 8) n -8] u [(-A u 8) n A] = [(-A n -8) u (8 n -8)] u [(-A n A) u (8 n A)], por la propiedad distributiva; teniendo en cuenta que 8 n -8 = l/J, y que A u l/J = A. obtenemos -A n -8) u (8 nA).

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3. a) p: «Una sustancia orgánica se descompone»; q: «Sus componentes se transforman en abono»; r: «Sus componentes fertilizan el suelo». El esque-ma lógico es: p ..... q & r. b) (p ..... q) & (~p ..... r).

4.

p q r q&r p ..... q& r

O O O O O O 1 O O 1 O O O 1 1 1 1 1 O O O O 1 O 1 O O 1 1 O O O 1 1 1 1

5.

P q r p ..... q ~p ~p ..... r (p ..... q) & ( ~ p --+ r)

O O O 1 1 O O O O 1 1 1 1 1 O 1 O 1 1 O O O 1 1 1 1 1 1 O O O O O 1 O 1 O O O 1 1 O 1 O 1 1 1 1 1 O 1

6.

p ~p ~~p ~~p ..... p

O 1 O 1 O 1

P q p&q p&q ..... p

O 1 O O O O

1 1 O O

P q P v q p--+pv q

O 1 1 O O O

1 1 O 1

Etcétera.

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7. (p ..... (q & -q)) ..... -p: Introducción de la negación. ( - q ..... (p & - p)) ..... q: Eliminación de la negación. p ..... p v q: Introducción de la disyunción. [(p v q) & (p ..... r) & (q ..... r)] ..... r: Eliminación de la disyunción. (p & (p ..... q)) ..... P & q: Introducción de la conjunción. (p & q) ..... p: Eliminación de la conjunción. «p ..... q) & p) ..... q: Eliminación del condicional. (p & q) ..... (p ..... q): Introducción del condicional.

CJlPfTvLo 3

l. 3x[A(x) & B(x)]; [3x : A(x)]B(x). 2. «Todos son perros y son listos»; «Todos los perros son listos» se analiza

mediante el condicional, no mediante la conjunción; en la primera, ade­más, no hay más que perros en el universo.

3. «Si alguien es perro, es listo»; a diferencia de «Algunos perros son listos», «Si alguien es perro, es listo» es verdadero aunque no haya perros en el universo; basta que exista un objeto que no sea perro.

4. Si «ser testigo» corresponde al predicado A, y «ver en la escena del crimen» a B, la interpretación no especifica (todos vieron a alguien, pero necesariamente a la misma persona) es "Ix 3y[A(x) & B(x, y)]; la inter­pretación especifica (hay una persona a la que todos vieron) es 3y Vx[A(x) & B(x, y)].

S. «Alguna flecha dio en el blanco»: 3xA(x); «Ninguna flecha dio en el blan­co»: -3xA(x); «Alguna flecha no dio en el blanco»: 3x-A(x); «Ninguna flecha no dio en el blanco»: -3x-A(x).

8. Para ejemplificar la primera equivalencia, empleamos, por ejemplo, el siguiente universo:

208

d e

3x-A(x) == -VxA(x); la primera expresa que hay por lo menos un ele­mento, por ejemplo d, que no pertenece al conjunto A; la segunda expre­sa que no todos los elementos del universo pertenecen a A (de hecho, ni d ni e pertenecen a A).

En segundo lugar, -3xA(x) y -VxA(x) expresan ambas que A es el conjunto vacio: no hay un elemento del universo que pertenezca a A, o para todos los elementos del universo es falso que pertenezcan a A. (El conjunto vacio se representaría mediante un circulo sin elemento alguno en el interior.)

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Para VxA(x) == -3x-A(x) necesitamos dibujar otro universo, en que todos sus elementos pertenezcan a A (es lo expresado por el primer miembro), o, lo que es lo mismo, en que no haya ningún elemento que no pertenezca a A (que es lo expresado por el segundo miembro de la equivalencia).

Por último, para 3xA(x) == -Vx-A(x) nos sirve el primer universo dibujado: hay por lo menos un elemento que pertenece a A, por ejemplo a, y es falso que para todo elemento del universo se cumpla que no pertenezca a A, puesto que, por ejemplo, a pertenece a A.

7. C[lxA(x) , IYB(y)]. 8. 3x[A(x) & Vu[A(u) --+ (x = u)] & C[x, IYB( y)]];

3x 3y[A(x) & Vu[A(u) --+ (x = u)] & B( y) & Vy[B(z) --+ (y = z)] & C(x, y)]. 9. Específica: A[a, "xB(x)]; «querer publicar» se analiza como predicado

diádico, A. En la interpretación no específica (Carmen quiere que exista una novela y que ella publique dicha novela), «querer» corresponde a C y «publican> a D: C(a. [3x[B(x) & D(a. x)]].

10. -B["xAx, a], siendo A «escribir», B «amigo», ya «Juan». 11. lP[P(a)](A), siendo P una variable de predicados, a «Juan», y A «ser listo».

Aplicando la conversión de lambda, resulta: A(a). 12. lx[A(x. 4/2/56] expresa la función que proyecta cada persona en la altura

que tiene el día 4/2/56 (es decir, da la altura de cada persona el día 4/2/56); lx[ly[A(x. y)](4/2/56)] expresa lo mismo que la anterior; lx[A.y[A(x. y)]] es la función que da como valor, para cada persona, una función, que da a su vez la altura de esa persona para cada día.

13. VQ Vx[(Ro(Q))(x) == 3yQ(x. y)]; Ro = lQ[lx 3yQ(x. y)]. 14. 1) «Ningún»: lQ[lP -3x[Q(x) & P(x)]].

2) «Ningún perro»: lQ[lP -3xQ(x) & P(x)]] (A). Conversión de lambda: lP - 3x[A(x) & P(x)]' 3) «Ningún perro ladra»: lP -3x[A(x) & P(x)](B). Conversión de lambda: - 3x[A(x) & B(x)].

15. 1) «Todo»: lQlP Vx[Q(x) --+ P(x. y)]. Aplicamos la expresión al predica­do A, «ser perro»; realizamos la conversión de lambda; aplicamos enton­ces la expresión al predicado diádico B, «morder», siendo a «Juan»; reali­zando la conversión de lambda, resulta: Vx[A(x) --+ B(x. a)].

CAPfTuL04

l. En ambos casos, hay ascenso de la negación, es decir, la negación afecta a «trabajan>, no a «debe». «Juan debe no trabajan> se analiza como O( - A(a)); «Es posible que Juan no trabaje» como M( - A(a)).

2. -M(p & -q) == N-(p & -q), en virtud de la definición de M. Por otra parte, N - (p & - q) == N(p --+ q), ya que - (p & - q) == p --+ q: sus tablas de verdad son idénticas:

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p q - q P & - q - (p & - q) p ..... q

o o o

o o o

o o

o o o

Además, N(p ..... q) == N( - P v q), ya que, por definición, p ..... q == - p v q.

3. Véase el ejercicio anterior. 4. O(3xA(a, x)); 3xO(B(a, x)) (específica); O(3x(B(a, x)) (no específica). 5. ppa. ..... Pa.: Pa. es verdadero ssi en un momento f anterior a t se cumple a..

PPa. es verdadero ssi a. se cumple en un momento r' anterior a f a su vez anterior a t. Por tanto, si PPa. es verdadero, entonces existe el momento f,

y Pa. es verdadero. Del mismo modo, para que se cumpla FFa., tienen que existir los momentos f y f' tales que t < f < f', de modo que también se cumplirá Fa..

6. [[Na.]]M,m",g = 1 ssi [[a.]]M,m',t,g = 1 para todo m' que pertenece a MP y para todo f que pertenece a T. [[Ma.]]M,m,l,g ssi [[a.]]M,m',f,g = 1 para algún m' que pertenece a MP y para algún f que pertenece a T.

7. [[mañanaa.]]M",g = l ssi [[a.]]M,f,g = l para algún f que pertenece al conjunto de momentos del dla siguiente al dla al que pertenece t. Si «Juan viene» se analiza como A(a), «Mañana viene Juan» (prescindiendo del orden de palabras) se analiza como mañana(A(a)).

8. Si «Juan viene» se analiza como A(a), el acontecimiento de que A(a) se produce en el momento a¡ se representa como (A(a)a¡, Un operador temporal de presente R, por ejemplo, aplicado a A(a), «venir Juan», indi­cará que el acontecimiento a¡ pertenece al conjunto de los acontecimientos del presente (de enunciación): R 3 a¡[(A(a)a¡].

9. «Bruto asesinó a César» se analiza como «Hubo un y sólo un acontecimien­to que fue de tal manera que Bruto asesinó a César»: P 3a¡[(A(a, b)a¡ & 'Va

2[(A(a, b)a2 ..... aa = al]]. Se cuantifica sobre acontecimientos mediante

un operador de pasado P (véase ejercicio anterior). 10. Siendo «viviD> A, se puede, por ejemplo, analizar «morir» como que

existe un momento en que no se vive, y que en todos los momentos anteriores se vivla: 3t[ -R,(A(x) & H,(A(x)]. «Estar muerto» se puede anali­zar, por ejemplo, como que no se vive y que existe un momento anterior en que se vivió: 3t[ - R,(A(x) & P,(A(x)].

11. Hay dos sentidos de «vivir», el de existir y (en «haber vivido») el de vivir intensamente; entendiendo ambos casos de «vivir» en el segundo sentido, se puede interpretar «haber vivido» como «vivir» (siendo «vivir» A y «dejar una obra tras de si» B): M[A(x) & -B(x)] & -M[ -A(x) & B(x)].

12. «Juan no sabe que Pedro está en casa»: -Sa(A(b)). «Juan no sabe si Pedro está en casa»: -Ss< -A(b)).

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CAPiTULO S

1.

2.

3.

4.

p -p p v -p

V F V 1 1 1 F V V

No es una verdad lógica (el resultado es 1 cuando [[p]] = 1), siendo V el valor designado.

P q p-+q -p -p v q (p -+ q) -+ (-p v q)

V V V F V V I V V I V V F V V V V V V 1 I F 1 V 1 1 V I 1 I F 1 V V V V V F F F F V 1 F I I 1 V F F V V V V

Hay Wl caso, (1, 1), que resulta I. Por ejemplo, para el condicional:

p q p-+q min (l - [[p]] + [[q]], 1)

1 1 min (l - 1 + 1. 1) = 1 1/2 1 1 min (l - 1/2 + 1, 1) = 1 O 1 1 min (l - O + 1, 1) = 1 1 1/2 1/2 min (l - 1 + 1/2, 1) = 1/2

1/2 1/2 1 min (l - 1/2 + 1/2, 1) = 1 O 1/2 1 min (l - O + 1/2, 1) = 1 1 O O min (l - 1 + O, 1) = O

1/2 O 1/2 min (l - 1/2 + 0,1) = 1/2 O O 1 min (l - O + O, 1) = 1

Para p v -p, véase el ejercicio 1. Para -(p & -p):

p - p P & - P - (p & - p)

V F F V I I I I F V F V

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5. «Hace calor» se considera con el valor de verdad 0,3 y «Maria lleva abrigo» con 0,6.

6.

7.

8.

1) [[María no lleva abrigo]] = 1 - 0,6 = 0,4. 2) [[No hace calor]] = 1 - 0,3 = 0,7.

[[No hace calor, o María lleva abrigo]] = max (0,7, 0,6) = 0,7. 3) [[Hace calor y María lleva abrigo]] = min (0,3, 0,6) = 0,6. 4) [[Si hace calor, María lleva abrigo]] = min (l - 0,3 + 0,6, 1) = 1. 5) [[Si María lleva abrigo, hace calor]] = min (l - 0,6 + 0,3, 1) = 0,7.

Calculamos los valores a partir de las fórmulas:

[[más bien alto]] = INT(IlA) ('\ [INT(CON(IlA))]-

[[bastante alto]] = INT(CON(JlA)) ('\ [INT(CON(IlA))]-

Altura: 1,62 1.65 1,67 1.70 1,75 1,77 [[Es alto]] (IlA): ° 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 INT(IlA): ° 0,02 0,18 0,50 0,82 0,98 CON(llú ° 0,01 0,09 0,25 0,49 0,81 INT(CON(JlA)): ° 0,0001 0,0162 0,125 0,4802 0,9278 [INT(CONCJlA))]-: 1 0,9999 0,9838 0,875 0,5198 0,0722 [[Es más bien alto]]: ° 0,02 0,18 0,50 0,5198 0,0722 [[Es bastante alto]]: ° 0,0001 0,0162 0,125 0,4802 0,0722

Hallamos el valor de min (1 - [[p]] + [[q]] , 1) para cada par:

Altura: 1,62 1,65 1.67 1.70 1,75 1,77 IlA: O 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 J.lmuyA: CON(IlA): ° 0,01 0,09 0,25 0,49 0,81 IlA~muyA: 0,91 0,79 0,75 0,79 0,91

Se trata del modus tolJens: [(p -+ q) & - q] -+ -p.

[[p -+ q]] = IlA~muyA(l ,75) = 0,79 (véase el ejercicio anterior). [[ -q]] = 1 - [[q]] = 1 - J.lmuyA(l,75) = 1 - 0,49 = 0,51. [[(p -+ q) & -q]] = min (0,79,0,51) = 0,51. [[ -p]] = 1 - [[p]] = 1 - JlA(l,75) = 1 - 0,7 = 0,3. [[((p -+ q) & -q) -+ -p]] = min (l - 0,51 + 0,3, 1) = 0,79.

1,80 1 1 1 1

° ° O

1,80 1 1 1

9. Hay que calcular [(p -+ q) & - q] -+ - p para todos los valores de IlA y J.lmuya(l,75), de manera análoga al cálculo realizado en el ejercicio anterior para JlA(1.75) y J.lmuya(1,75).

10. En cuanto a «Algunos jugadores de baloncesto son altos», el valor de verdad es el mismo que el de «Algunos altos son jugadores de balonces­to» (obtenido en el texto), ya que IlA&B = IlB&A, es decir, 0,8 (es decir, el máximo valor de la conjunción, por ser la cuantificación particular: 3x[B(x) & A(x)]). Para «Todos los jugadores de baloncesto son altos» tenemos que

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hallar [[Si x es jugador, x es alto]] y escoger el mínimo de los valores obtenidos, ya que se trata de cuantificación universal. Vx[B(x) ~ A(x)]:

Juan 0,2 0,3 1 0,2

Pedro 0,8 0,8 1 0,8

El resultado es l.

C.&PÍTULo 6

Luis 0,3 0,9 1 0,3

José 0,2 0,7 1 0,2

Pablo 0,8 1 1 0,8

J-lB «Es jugador de baloncesto» J-lA «Es alto» J-lB_A

J-lA&B

1. Además de verdadero y falso, hay un tercer valor, que se da cuando no se cumple la presuposición. Por tanto, una proposición, además de verdade­ra o falsa, puede recibir dicho tercer valor.

2. a) «Juan se arrepentirá [de quedarse]» impli9a y presupone que Juan se queda; «Si Juan se queda, se arrepentirá» no implica que Juan se quede, ya que «Si Juan se queda» presenta el hecho como hipotético. b) «O Juan acaba por no quedarse, o se arrepentirá»: Aquí también la presuposición (que Juan se queda) del segundo miembro (<<se arrepenti­rá») no es ni siquiera implicada por la oración compleja, ya que el primer miembro (<<Juan acaba por no quedarse») la niega. e) «Juan se queda y se arrepentirá». La presuposición de «se arrepenti­rá» no es presupuesta por la oración compleja, aunque sí implicada. La negación de la oración (<<No se cumple que Juan se quede y se vaya a arrepentir») no implica «Juan se queda».

3. a) «Juan se va de viaje y no va a cumplir sus compromisos». La oración compleja conserva la presuposición de que tiene compromisos, producida por «no va a cumplir sus compromisos»: aunque se afirme que no se irá de viaje y cumplirá sus compromisos, sigue teniendo los compromisos. b) «O Juan se va de viaje o cumple sus compromisos». También aquí se mantiene la presuposición de que Juan tiene compromisos, ya que el primer miembro no tiene relación con ella. e) «Si Juan se va de viaje no cumplirá sus compromisos». Como «Juan se va de viaje» no está relacionado con la presuposición de «No cumplirá sus compromisos», la oración compleja conserva dicha presuposición, es de­cir, «Juan tiene compromisos».

4. «Pedro no volverá a hacer trampas, si es que de hecho las ha hecho alguna vez»: En la suspensión, se pone en duda la presuposición. «Pedro no consiguió aprobar, de hecho ni siquiera lo intentó»: En la anulación, se afirma que la presuposición no se cumple.

5. Por ejemplo, Juan puede pensar que, según Pedro, trabajar en un banco es una continua tentación de robo; o puede pensar que José, según da a entender Pedro, es una persona particularmente inclinada a sufrir dicha

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tentación. Juan debe realizar cualquier inferencia que haga relevante la observación acerca de la cárcel.

6. El uso de «pensó» da a entender que no era seguro que Juan hubiera resultado simpático (implicatura de escala). Hay dos implicaturas de cláu­sula con respecto a «se dio cuenta»: Juan no sabe si resultó o no resultó simpático, es decir, no tiene la certeza de haber resultado simpático ni de no haberlo resultado, IjuanP, Ijuan - p.

7. No sólo se afirma q si p, sino que también se da entender q si y sólo si p, es decir, también «Sólo te doy del mío si tú me das del tuyO». Se cumple la máxima de cantidad, porque, dado el contexto, se supone la reciprocidad como base del intercambio (condicional «contractual»). «Si te doy del mío me das del tuyO»: se hace innecesario explicitar lo ya sabido a partir de lo enunciado mediante el condicional.

CJlPfTuLo 7

l. Hacen falta los sintagmas preposicionales que se añaden a nombres comu­nes, (O//N)¡(OIlN), abreviado por ejemplo como PN, y los que se añaden a verbos intransitivos o sintagmas verbales, (OfN)/(O/N) , abreviado como PV. También son necesarias las preposiciones que forman cada uno de los dos tipos de sintagmas preposicionales, PNfN y PVfN. Por ejemplo, «de», de categoría PN/N, se aplica a un nombre propio, «Juan», N, y resulta «de Juan», un PN. A su vez, «de Juan» se aplica a «libro» y se obtiene otro nombre común, «líbro de Juan». Del mismo modo, «va a la playa» se construye aplicando a «va» un PV, «a la playa», que, a su vez, consta de «a», PVfN, y de «la playa», N.

2. AA B( e) es una función constante, que para todo índice (m, t) da como valor A B(c).

3. VP(VAa) es de tipo v; A.x[cuadrado(x)] es de tipo (e, e); A.p[VP(a)] es de tipo «s, (e, v», v); A.x[suma(2)(x)] es de tipo (e, e).

4. Necesitarnos la categoría de los adjetivos o sintagmas modificadores de nombres comunes, ANC, es decir, NC/NC; la categoría de las preposicio­nes nominales ANC/T. Con ellas damos cuenta de la expresión «el álbum de Juan»: la preposición nominal «de» se une a un sintagma nominal o término, «Juan», y da lugar a un sintagma modificador de nombre común, NCfNC, «de Juan». Este sintagma se aplica al nombre común «álbum», y se obtiene otro NC, «álbum de Juan». También pertenece a la categoría ANC el numeral «cuarenta», de modo que «cuarenta fotografías» es un nombre común (dejando de lado el problema de la concordancia de número plu­ral). El resto se analiza como en § 7.3.3.

Analizamos «tener en el álbum» como verbo transitivo que se constru­ye aplicando a un verbo transitivo, «teneD>, un adverbio de verbo transiti­vo, «en el álbum», VTfVT. Este adverbio se construye aplicando una preposición verbal, «en» (VTNT)/T a un sintagma nominal o término, «el álbum». El resto se analiza como en § 7.3.3.

5. Los adjetivos se aplican a nombres comunes y dan nuevos nombres comu­nes: NC/NC. El tipo es f(NC/NC) = «s, f(NC), f(NC) = «s, (e, v», (e, v».

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6. «Todo» se traduce como W[A.O Vx[P{x} -+ O{x}]]: es una función que toma una propiedad A, de tipo (s, (e, v», y da una expresión A.O[A(x) -+

O{x}]. Esta última es una función que toma una propiedad B, de tipo (s, (e, v», y da una expresión V[A(x) -+ B(x)], de tipo v; por tanto, su tipo es «s, (e, v», v). La función correspondiente a «todo» toma expresiones del tipo (s, (e, v)" y da expresiones de tipo «s, (e, v», v); por tanto, es del tipo «s, (e, v», «s, (e, v», v».

En efecto, la categoría DET, es decir (OfVI)fNC es del tipo «s, f(NC), f(OfVI) = «s, (e, v», «s, f(VI), f(O)) = «s, (e, v», «s, (e, v», v». El mismo razonamiento nos permite comprobar el tipo de «él» y de «un».

7. 1) El - A.P[lO [3x[P{x} & Vy[P{y} -+ (y = x)] & O{x}JJ] (expresión básica).

2) niño _ niño' (expresión básica). 3) El niño - AP[AO [3x[P{x} & Vy[P{y} --+ (y = x)] & O{x}]]]Cniño') (de

1 y 2 según T2). 4) lO 3x['niño'{x} & Vy['niño'{y} --+ (y = x)] & O{x}] (conversión de

lambda). 5) lO 3x[~'niño'(x) & Vy[~'niño'(y) --+ (y = x)] & O{x}] (convención de

la llave). 6) lO 3x[niño'(x) & Vy[niño'(y) -+ (y = x)] & O{x}] (eliminación de

operadores). 7) dormir - dormir (expresión básica). 8) El niño duerme - lO 3x[niño'(x) & Vy[niño'( y) -+ (y = x)] &

O{x}]Cdormir) (de 6 y 7 según T4). 9) 3x[niño'(x) & Vy[niño'( y) --+ (y = x)] & 'dormir {x}] (conversión de

lambda). 10) 3x[niño'(x) & Vy[niño'(y) --+ (y = x)] & ~'dormir(x)] (convención de

la llave). 11) 3x[niño'(x) & Vy[niño'(y) -+ (y = x)] & dormir(x)] (eliminación de

operadores). 8. Una niña dormirá - 3x[niña'(x) & F(dormir(x))].

El niño no duerme - 3x[niño'(x) & Vy[niño'( y) --+ (y = x)] & - dormir(x)]. 9. Necesitamos una regla de la negación, que forme oraciones (negativas) a

partir de términos y verbos intransitivos, y las traduzca como la negación de la correspondiente oración no negativa:

Todo niño tal que él no llora no crece, regla de la negación

Todo niño tal que él no llora, 2~recer Toñiño tal que él no llora, 3, 8

niñ0éls no llora, regla de la negación

él~llorar La interpretación es Vx[(niño'(x) & -llorar(x)) --+ - crecer(x)J.

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230

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abierta, obra literaria, 157 abierta, proposición, 66, 106 Abraham,40 abstracción: véase operador lambda abstracción, axioma, 14 accesibilidad, 93, 119 acento de contraste, 159 Acero, 41, 81, 163, 165, 200 acontecimiento, 107 actitud proposicional, 97, 168, 177 activador de presuposición, 139 acto de enunciación, 41 acto ilocutivo, 160 acto lingüístico, 139, 149, 150, 161 acto lingüístico indirecto, 42, 161 acto locutivo, 160 acto perlocutivo, 160 acto verbal, 41 adjetivo, 67, 177 adverbio oracional, 92 agujero presuposicional, 146 Ajdukiewicz, 166 alcance, 24, 25, 80, 81, 137 alcance, cuantificación, 66, 69, 196, 198 altematividad, 93 Allwood, 49, 55, 90, 95, 96, 97, 98 anáfora pronominal, 195, 198 análisis de abajo arriba, 166, 178, 184 análisis de arriba abajo, 165 análisis de un fragmento, 188 análisis lógico e implicatura, 162-164 analiticista, falacia, 181 Anderson, 94 antecedente, 50 antiimagen, 35 antisimétrica, propiedad, 33 antonimia, 28, 133, 135

índice de autores y términos

aplicación funcional, 166, 189, 192 Aqvist, 104 arbitrario, valor, 77 argumento, 34, 65 Aristóteles, 111 articulo, 79, 192 articulo definido, 68, 82, 89, 137, 192-193 artículo indefinido, 89 asignación, 34 asignación de objetos, 72 asignación de subíndices, 198 asignación de valores, 72, 74 asignación valores de verdad, 26-27 asimétrica, propiedad, 33 aspecto verbal, 67, 103-104, 106, 189-190 Atlas, 163 atómica, oración, 91 atributivo, uso, 98 Austin, 149, 150 axioma, 57

Bach, Emmon, 67, 69, 81, 178 Bach, Kent, 41, 118, 145, 161 Baker, 160 Ballrner, 151, 200 barra de Sheffer, 52 barra, teoría de la X con, 165, 196 Barwise, 42, 1999-200 Bar-Hillel, 105, 166 Belnap, 94 Bello, 82 Bennet, 183 Benthem, 200 Beth, 139 bicondicional, 50 binaria, función, 47 binario, predicado, 66

231

Page 234: [Joaquín Garrido Medina] Lógica y Lingüística(BookZZ.org)

bivalencia, ley, III Bloomfield, 113, 165 Bonet, 85, 165 Brouwer,94 Brucart, 13, 85, 165, 198 buena formación, condiciones, 198 Bühler, 42, 105, ISO Bustos, 41, 138, 139, 145, 147, 150, 15<

155 Buszkowski, 166

calculabilidad, 157 cambio de estado, verbo, 138 Carnap, 22, 91, 169, 188 Casacuberta, 129 caso, 181, 197 categorla, 165-167, 182, 183 categorla semántica, 17l causativo, 181 cercarua, relación, 189 cierre de los axiomas, 57 clase, 14 clase de equivalencia, 33 cláusula, 144, 161, 167 codominio, 32 Cole, 151, 163 compleción clásica, 142 complementario, conjunto, 28 complemento, conjunto, 28, 129 completitud, prueba de 58 completo, cálculo o sistema, 58 composicionalidad, 23, 73, 165, 168-169,

173, 177, 178 composicionalidad y presuposición, 145-

146 compromiso epistémico, 161 computacional, falacia, 180 Comrie, 105 concatenación, 16, 166 concepto individual, 170, 175-176 conclusión, 39, 60 condiciÓn existencial, 138 condición necesaria, 49, 50 condición suficiente, 49 condicional, 50, 94-95, 130, 139, 163 condicional de Godel, 132 condicional y presuposición, 146 condiciones de felicidad, 149, 151 condiciones de verdad, 42-43, 44 conectivas lógicas, 45-52 conectivas de lógica polivalente, 112,

129, 143

232

conjunción, 45-46, 66, 130 conjunción y presuposición, 146 conjunción (gramatical), 19, 25, 45-46, 47 conjunción «y», 156, 160, 161 conjunto, 14 conjunto cociente, 33 conjunto difuso, 122, 135 conjunto vado, 19, 30, 33 conjunto verdad, 43, 55, 122, 129 conmutativa, propiedad, 23 conocimientos y presuposición, 144 conocimientos dados por supuestos, 145 consecuente, 50 constante, 34 constante de individuo, 65 constante de predicado, 65 constante lógica, 46 constativo, verbo, 150 constitutivo, principio, 155 contexto, 99, 144, 148-149, 151, 156, 157 contexto intensional, 169 contexto opaco, oblicuo, 99, 168, 176, 186 contexto de enunciación, 106, 201 contextual, información, 41 contingente, 100, 101 contradicción, 55 contrafáctica, proposición, SO, 95, 156 control, estructura de, 187 conversiÓn de lambda, 83, 178 Cooper, 178, 188, 195, 198, 200 cooperación, principio, 153 coordenadas, 106 coordinación disyuntiva excluyente, 25 coordinación disyuntiva incluyente, 26 corchetes, 25, 52 correspondencia, 32 Coseriu, 180 creativo, lenguaje, 23 Cresswell, 14, 37, 52, 53, 83, 91, 93, 95,

97, 103, 106, 107, 166 cuantificación desde fuera, 178 cuantificación restringida, 68-69, 78 cuantificación vacua, 71 cuantificador, 66-70, 139 cuantificador, almacenamiento de, 195 cuantificador existencial, 67 cuantificador particular, 67 cuantificador universal, 66 cuantificadores en lógica difusa, 131 cuantificadores, alcance, 66, 69, 195, 198 cuantificadores, interpretación, 72-76,

198

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Cuena, 52, 59, 60, 63 Chomsky, 13, 24, 69, 85, 115, 139, 152,

165, 119, 195, 191, 199 Church, 58, 59, 80, 169, 112, 181

Davidson, 44 de dicto, interpretación, 98-99, 118 de Morgan, 30 de re, interpretación, 98-99, 111 Deaño, 49, 52, 55, 58, 59, 60, 66, 61, 11, 94,

138 decidibilidad, 196 declaración, 41 deducción, 59, 60, 66, 94, 139 deíctica, infonnación, 41. 42, 105 deíctico, ténnino, 129 deíxis,80 Demonte, 198 demostración, 59 denotación, 15, 22, 114 denotativa, semántica, 11 derrotabilidad, 151 descripción, 19 descripción, definición por, 14, 83 descripción de un estado, 91, 141 descripción definida, 68, 19, 89 descripción indefinida, 80 descripturn, 19 designación, 180 designación de valores, 114 designador accidental, 100 designador rígido, 100 determinante, 88-89, 115, 191-193 diádica, función, 41 diádico, predicado, 66 diagrama de Venn, 15, 32, 38 diagrama en árbol, 24, 48, 58 dicturn, 43, 92 diferencia de conjuntos, 28 difuso, límite, 115 difuso, valor de verdad, 119 Dijk, 149 dimensión del significado, 118, 128-129 discurso y presuposición, 145 disjuntos, conjuntos, 30, 33 distribución de posibilidad, 134 disyunción, 61, 130, 162 disyunción excluyente, 25, 41 disyunción incluyente, 41 disyunción y presuposición, 146 dominio, 32, 34, 68 Donnellan, 98

Dowty, 14, 15, 83, 86, 88, 90, 92, 96, 102, 105, 106, 101, 168, 110, 112, 114, 116, 118, 182, 188, 190, 194

Dretske, 200 Dubois, 40 Durnmen, 114 durativo, modo de acción, 108

ejemplar, 106 elemento (de un conjunto), 14, 182 eliminación (de categor1as), 166, 185 eliminación de conectivas o cuantificado-

res, 60-61. 16-11, 96 entonación, 25 enumeración, definición por, 15, 12 enunciado, 40, 150 enunciados, lenguajes de, 106 epistémica, presuposición, 160-162 equivalencia, 50 error categorial. 115, 131 escala, 160 escala de relevancia, 145 especifica, interpretación, 81, 98, 99 esquema cognoscitivo, 163 estado de cosas posible, 91 estereotipo, 119, 129 estrictamente ordenado, 33 estructura deductiva, 59 estructura p, 196-191 estructura profunda, 148, 196 estructura S, 196-191 estructura superficial, 148, 196 eta: véase operador existencia, 131 explotación de máximas, 156 expresión de herencia, 193 expresión indicadora, 105 expresión matizadora, 111 expresiones organizadoras del discurso,

156 extensión, 15, 169, 111, 115 extensionalidad, axioma, 15, 19, 22 extensional, equivalencia, 30

factivo, verbo, 138, 145 falacias de las teorías semánticas, 119-182 fallo presuposicional, 138, 141. 143. 151 Faltz. 169, 118,200 Fanselow. 188 Fernández Lagunilla. 198 filtro presuposicional. 146 Fillmore, 141. 149

233

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flecha, función, 52 Fodor, 146 forma lógica, 40, 69, 179, 195, 197-199 forma lógica y estructura profunda, 148 formal, análisis, 201 formal, lenguaje, 13 formalista, falacia, 180 fórmula, 71 fórmula bien formada, 16, 18, 20, 53 Fraassen, B. van, 139, 141 fragmento, 188 Frege, 58, 137, 138, 168, 169, 181 Fuchs, 115 fuerza ilocutiva, 150 función, 34, 166 función biyectiva, 36 función caracterlstica, 36, 44, 121. 122 función exhaustiva, 35 función invectiva, 35 función parcial, 142, 200 función proposicional, 65, 71 función suprayectiva, 35 función veritativa, 46 funtor, 46, 47, 166 futuro, tiempo verbal, 111 futura, proposición contingente, 111, 115

Galton, 104 Gardies, 106 Gardenfors, 200 Gardner, 139 Garrido, 67, 68, 83, 86, 108, 115, 118, 135,

150, 181, 188, 192 Gazdar, 144, 145, 148, 151. 160, 163, 167,

195, 196 Geach, 166 genérica, interpretación, 82 género nominal. 147, 191 Gentzen, 60 Gibson, 200 Gili Gaya, 43 Gódel, 115, 116, 121. 130, 132 González, 129 Gordon, 164 grado de pertenencia, 122, 129, 135-136 grado de verdad, 117 gramática (como función caracterlstica),

36 gramática categorial, 166 gramática de dependencias, 166 gramática de estructura sintagmática, 165

234

gramática de estructura sintagmática ge-neralizada, 166, 195-196

gramática de Montague, 178-188 gramática de unificación funcional, 166 gramática generativa, 148, 178, 196-199 gramática independiente del contexto,

195 gramática transformacional, 179 gramática universal, 182 gramática y lógica, 195-201 gramaticalidad, 16, 36, 201 Grice, 144, 152-158, 159, 164 Grishman, 42, 68, 166 Groenendijk, 200 Guenthner, 105

Hacker, 150 Halvorsen, 182 Harman, 148 Harnish, 41. 118, 145, 151 Harris, 40 Hays, 166 Heasley, 119 Hernanz, 13, 85, 165, 198 Herzberger, 129 Hierro, 139, 149, 150 Hilpinen, 96 Hintikka, 97, 178, 200 hiponimia, 94 homólogo, 100 Horn, 144, 159, 163 Hornstein, 105, 199 huella, 85, 196, 197, 198 Hughes, 93, 95 Humboldt, 150, 201 Hurford, 119

idempotencia, 22 identidad, 100, 73 identificación del referente, 99 igualación (Reichenbach), 82 imagen, 35 implicación estricta, 94, 139 implicación material, 50 implicación pragmática, 149 implicación relevante, 95 implicación semántica, 139, 188 implicativo, verbo, 128, 152 implicatura, 160 implicatura actual. 153, 156-157, 193, 201 implicatura convencional, 155-157, 201 implicatura conversacional, 161 implicatura de cláusula, 159, 160

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implicatura generalizada. 156. 159 implicatura particularizada. 156 implicatura de escala. 159. 160 implicatura potencial. 160 implicatura y presuposición. 158 inclusión. 15 inclusión propia. 15 indeterminación del significado. 115 indeterminada. implicatura. 157 indeterminado. valor veritativo. 112 índice. 105. 106. 168. 169 inferencial. componente. 153 información. 159. 199-200 información léxica y presuposición. 144 información parcial. 200 informativa. contribución. 154 informatividad. principio. 163 intención comunicativa. 151 intensión. 15. 22. 169. 175 intensional. adjetivo. 169 intensional. equivalencia. 30 intensional. verbo. 169 interacción. procesos. 201 interlingua. 182 intermedio. valor. III interpretación. 17 interpretación. reglas. 198 interpretación conjuntista: 21-27. 57. 71 intersección. 19 intervalo. 102. 107 introducción de la negaci6n. 113-114 introducción de conectivas o cuantifica-

dores. 60, 70, 96 intuicionista. falacia. 180 iota. operador, 78, 80 isomorfismo entre sintaxis y semántica.

166 isomorfisla. falacia, 180 iterativo. verbo, 138

Jackendoff. 69, 108, 143, 147, 165 Jacobs. 188 Janssen. 200 Jespersen, 103 Johnson-Laird, 108, 151. 181 juegos semánticos, .200

Kamp, Hans, 107, 195, 200 Kamp. J. A. W .. 115 Kant. 154 Kaplan. 100. 178 Karttunen, 96. 138. 146, 149, 158. 164. 193

Katz. 146. 181. 182 Kay. 166 Keenan. 138. 140. 146. 147. 169. 178.200 Kempson. 44. 115. 140. 146. 199 Kiparsky, 138 Kleene, 59, 112. 142. 200 Klein, 195, 196 Kneale, 111 Kripke. 92. 93, 94. 100. 169 Kutschera. 169, 178 Kuttert. 12, 107, 110

Ladusaw. 182 laguna veritativa, 141. 143 Lakoff. George, 67. lOO. 115. 116. 117.

120. 123. 126. 129. 130. 147. 148. 151. 164. 181

Lakoff. Robin. 156. 164 lambda: véase operador Landman. 200 Langendoen, 146 Leech. 13. 151. 155. 164 Leibniz. 91, 93. 99, 168, 177, 178 lenguaje artificial. 14, 16, 19, 28 lenguaje de matriz. 114 lenguaje objeto, 17, 22,94, 95. 102, 180 Levinson, 139. 141, 143, 144. 145, 146.

151. 156. 158. 159. 160. 163. 164. 193 Lewis. G.I.. 94 Lewis. D .. 95. 100. 106, 151, 153. 182. 193 lexicografista. falacia, 179 ligamiento. 197. 198 ligamiento mediante cuantificadores. 75 lingüística de procesos. 200 lingüística informática. 200 lingüística matemática, 13 Linsky.99 llave, convención de la. 176. 190. 191 Lleó, 138 Lloret, 129 lógica alética, 93 lógica bivalente, 44, III lógica de enunciados. 45 lógica de predicados. 45 lógica de la conversación, 25. 109. 152-

157 lógica de las modalidades, 93 lógica deóntica descriptiva. 96 lógica deóntica normativa. 96 lógica difusa. 119, 129-133 lógica intensional. 169-171 lógica intensional de Montague. 172

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lógica libre, 143 lógica modal, 93, 119 lógica natural, 148, 153, 181. 199 lógica polivalente, 44 lógica proposicional. 45, 52-55 lógica trivalente, 111 lugares (de una función), 36 Lukasiewicz, 111. 112-113, 114, 115, 117,

120-121. 129, 130 Lutzeier, 28, 48 Lycan, 141 Lyons, 13,41,67, 105, 133, 139, 149, 166

marcado, convenciones del carácter, 191 marco cognoscitivo, 163 Martin, John, N., 15,43,52,55,58,59, 111,

112, 114, 141, 142, 143 Martin, R. L., 115 Martin, Robert, 97, 115 Martin Vide, 13 matemático, lenguaje, 182 matizadora, expresión, 117 matriz lógica, 114 máxima, 154 May, 198 McCawley, 34, 61. 78, 94, 95, 97, 112, 113,

114, 115, 117, 120, 128, 129, 132, 141. 142, 143, 148, 149, 151. 164, 170, 172

McDonald, 167 medida, introducción de la, 201 Medin, 115 mención, 18, 159 mentador, uso, 98 metáfora, 115, 118, 138, 156 metalenguaje, 17, 18, 22, 34, 94, 96, 102,

180 metasemioticista, falacia, 180 metasintacticista, falacia, 179 metateorema, 60 metavariable, 34, 51. 70 Meulen, 200 Miller, 108, 151. 181 Minsky, 163 modal. operador, 92 modal. verbo, 81, 82, 92, 163 modelo, 27, 28, 72, 175 modelo-teórica, interpretación, 179, 182,

198 modelo-teórica, semántica, 28 modismos, 165 modo de acción verbal. 67, 107 modo subjuntivo, 92, 145

236

modus, 43, 92, 97 modus ponens, 58, 62, 131 modus tollens, 62 monádica, función, 47 monádico, predicado, 66 monoestrática. gramática, 195 Montague, 11, 73, 88, 169, 170, 172, 178,

179, 182-189, 193. 194, 195-196 Moreno, 107, 178, 179, 188, 193, 194, 200 Morgan, 151 Mosterin, 200 movimiento de <1, 196 movimiento de SN, 85, 197 mundo posible, 43, 91, 93, 141

necesaria, propiedad, 100 necesaria, proposición, 94 necesidad, ley, 96 necesitación, ley, 94 necesitación no clásica, 143 negación, 47, 69, 79, 80, 129-130, 137, 145,

159, 189-191, 193 negación alternativa, 52 negación conjunta, 52 negación de la presuposición, 144, 146 negación externa, 146 negación interna, 146 negación, ambigüedad, 146 Nierenburg, 200 no contradicción, 115 no especifica, interpretación, 81 nombre, 65, 191 nombre propio, 100, 182-183, 190, 193 nominalismo, 82 notación relacional. 31 NoweU-5mith, 149 n-ario, predicado, 66 n-tuplos, 31

oblicuo, contexto, véase opaco opaco, contexto, 100, 168 operación, 36, 46 operaciones con conjuntos, 19, 23, 30 operación estructural, 189 operador, 78, 84 operador bulomaico, 98 operador conjuntivo, 46 operador de deseo, 98 operador de futuro, 101 operador de necesidad, 92, 94 operador de obligación, 96 operador de pasado, 101

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operador de permiso, 96 operador de posibilidad, 93 operador de posibilidad y presuposi­

ción, 146 operador de reducción del objeto, 90,

209 operador de reducción del sujeto, 86-

88 operador de semejanza, 95 operador epistémico, 97, 161. 168 operador eta, 80 operador extensional, 171, 175 operador intensional, 170, 175-176 operador iota, 78, 80 operador lambda, 83, 172, 173-174, 178,

190, 192 operador lambda, aplicaciones, 84-89 operador modal, 146, 178 operador temporal, lOS, loa, 168 operadores modales de lógica difusa,

133 oración, 41-43, 71, 189, 201 orden: véase relación de orden orden de palabras, 84, 85, 185 ordenada, contribución, 154 Ortega, 155 O'Shea, lOO

Papel temático (o papel theta) , 197 par ordenado, 31 paradoja, 14, 94, 97, liS paradoja del condicional, 96, 1I6 paréntesis, 25, 48, 52 Parsons, 178, 198 Parte e , 13, 178 partición, 122 pasiva, 67, 84, 85-86 Peano, 79 Peirce, 105-106, 200 Peraita, liS Pérez-Amat, 12, 129 perfectivo, modo de acción. 107 performativa, hipótesis. 42 perUrasis de relativo, 138. 146 perlfrasis verbal, 104 Perry, 42, 99-200 pertenencia, 14 pertenencia, grados, 122, 129, 135-136 Peters, 158, 164, 168, 193 plural,82 Postal, 182 postulado de significado, 188

Pottier, lIS Potts, 28 pragmática, 148 pragmática radical, 163 predicado, 65, 166 pregunta, 139 premisa, 39, 60 presuposición, lIS, 128, 138, 193 presuposición categorial, 138 presuposición pragmática, 147 presuposición semántica, 139 presuposición temporal, 178 presuposición trivial, 141 primer orden, lógica, 66 Prior, 97, 102 procedimental, falacia, 180-181 productivo, lenguaje, 23 producto cartesiano, 31-32, 34 proferencia, 41 pronombre vaclo, 198 propiedad, 170 propiedad de individuos, 176 propiedad de proposiciones, 176 propiedades de contexto, 106 proposición, 41. 71. 176 proposición (en lógica intensional), 170 proposición atómica, 44 proposición compleja, 44, 73 proposición simple, 44 prototipo, 119 proyección (función), 34, 35 proyección de presuposiciones, 146 proyección de X en X', 165 proyección, reglas, 146 prueba (demostración), 56, 192 prueba (comprobación) de la negación,

140, 147 pseudonotación, 179, 181 psicologista, falacia, 181 Pullum, 195, 196 punto de acontecimiento, 103 punto de enunciación, 103 punto de referencia, 103, lOS, 106 Putnam, 119

Quesada, 41. 153, 155, 166, 178, 200 Quilis, 25 Quine, 67-68, 69, 81. 97, lOO, 1I8, 145, 178

rasgo, 166, 182 razonamiento, 55-57 razonamiento aproximado, 120, 133-135

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ldwnamiento en lógica difusa, 131 ré'lOnamiento indirecto, 56 redidad psicológica, 201 realismo, 82, 200 realizativa, hipótesis, 42, 151 realizativo, verbo, 42, 149 rección y ligamento, 179, 197 reconocimiento del habla, 129 recorrido, 32, 34 recursivo, 23, 24, 26, 53 red semántica, 180 reducción al absurdo, 56 reducción al absurdo y presuposición, 145 redundancia, reglas, 191 referencia, 22, 137, 168 referencial, uso, 98 reflexiva, propiedad, 33 reflexivos, interpretación, 198 reglas de inferencia, 76, 113 regulativo, principio, 155 Reichenbach, 79, 80, 82, 103-105, 106 relación binaria, 30, 33, 34 relación cuaternaria, 31 relación de equivalencia, 33 relación de orden, 33, 206 relación de orden parcial, 33 relación de proximidad, 95 relación de referencia, 141 relación inversa, 33 relación n-aria, 31 relación ternaria, 31 relaciones en intensión, 176 relaciones temáticas, 197 relativo, 138, 146, 193-194 relativo explicativo, 138 relevancia, 163 relevante, contribución, 154 relevante, proposición, 95 representación del discurso, 200 representaciones mentales, 199 Rescher, 102, 105, 114, 116 restricción de selección, 115, 138 retóricos, recursos, 158 Richards, 107 Riernsdijk, 187, 196, 197, 198-199 Rivero, 145, 164 Rohrer, 139 • Rosch, 115 Ross, 42, 151 Rurnelhan, 163 Russell, 14,41,58,59,66,67,68,79,80,

88,97, 137, 172

238

Sadock, 115, 128, 151 Sag, 195, 196 Sánchez de Zavala, 100, 119, 199 satisfacción, 72 Savin, 146 Scon, 106 Sear1e, 42, 151, 155 segundo orden, lógica, 66 Sellars, 138 semántica booleana, 200 semántica, cálculo de predicados, 71, 76 semántica de datos, 200 semántica de situaciones, 199 semántica de conjuntos difusos, 124 semántica generativa, 148 semántica realista, 200 sentido, 22, 168, 175 señal, 105 separabilidad, 158 Serrano, 13 Sheffer, 52 significado, 14, 199 significado del hablante, 152 significado léxico, 188 significado léxico y relaciones tempora-

les, 108-109 significado natural, 152, 200 significado no natural, 152 signos de puntuación, 53 simbolista, falacia, 179, 180 simétrica, propiedad, 33 sincategoremático, 16, 18,21,25,51,53 sinceridad, 147, 154 sinonimia, 129 sintagma, 165, 189 sintagma nominal, 66, 67, 68, 69, 85, 197 sintaxis, 15, 20, 28, 53, 70, 172 sintaxis categorial, 165-168 sintética, proposición, 44 sistema axiomático, 57 sistema cognoscitivo, 199 situación, 199-200 Smith, Edward, lIS Smith, Neil, 149 Sola, 85, 165 Sperber, 148, 151, 163 Stalnaker, 95, 139, 151 Stegmüller, 44, 94, 96, 97, 179 Stockhof, 200 Strawson, 137-138, 139, 145, 149, 151 subconjunto propio, 15 sublenguaje, 188-189

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supervaloración, 115, 141. 143 suspensión de la presuposición, 144

tabla de verdad, 45, 48-49, 54, 112, 116 tapón presuposicional, 146 Tarski, 44, 71, 72 tautologla, 55 télico, modo de acción verbal. 107 tematización, 84, 85 teorema, 57 teorlas semánticas, 179-182 teorlas sintácticas, 195-199 tercio excluso, ley, 111 terminativo, modo de acción verbal. 107 ternario, predicado, 66 Tesniére, 66, 166 texto, 41, 149, 201 texto literario, 157 Thomason, 178 Tichy, 107 tiempo verbal, 102-105, 189-190 tiempo verbal extendido, 104 tiempo verbal morfológico, 102 tipo, 106 tipo semántico, 171 tipo sintáctico, 167, 172 traducción (Montague), 179, 185-188 traducción, función de, 187-188, 190 traducción por ordenador, 167, 200 transformación, 178, 192, 195 transitiva, propiedad, 33 transitividad del condicional, 95 transparente, contexto, 100 Trillas, 123, 129 tuteo, 147, 156

unádica, función, 47 unario, predicado, 66 unidad léxica, 189 unificación, 166 unión, 19 unitaria, función, 69 universo, 14, 21 universo y modelo, 26-28 Urquhart, 102, 105, 114 uso (frente a mención), 18, 159 uso absoluto, verbo, 103, 105 uso atributivo, 98 uso del lenguaje, 201 uso impropio, operador eta, 79

uso referencial, 98 uso relativo, verbo, 103, 105

vacua (o vacla), cuantificación, 71 vaguedad, 115 valencia (verbal), 66 validez lógica, 114, 143 validez lógica del razonamiento, 40 valor, 34 valor de verdad, 26, 44 valor designado, 114 valor indefinido, 142 valor indeterminado, 120 valor intermedio, 112 valor veritativo, 201 valoración, 141 valoración atómica parcial. 141-142, 149 Valverde, 120, 122, 127, 133, 134 variable, 34 variable de predicado, 66, 70, 83-84 variable individual, 66 variable ligada, 66, 67, 71. 177, 178, 198 variable proposicional. 45 Veltman, 200 Vend1er, 107 Venn, 15 verbo, 67, 183 verdad analltica, 43, 94 verdad lógica, 40, 43, 94 verdad y modelo, 76 verdadera, contribución, 154 veritativa, semántica, 44 veritativo-condicional. semántica, 44, 53 viveza, 100

Wall, 13, 168, 178 Weinreich,67 Werner, 12, 178, 179-182, 188, 191. 199 Whitehead, 58, 59 Wildgen, 200 Williams, 187, 196, 197, 198-199 Wilson, Deirdre, 144, 146, 148, 149, 151,

163 Wilson, N. L., 118 Winograd, 200 Wittgenstein, 44, 91. 100, 115, 150, 151 Woods, 180 Wright, G. von, 93, 96 Wunderlich, 106, 172, 181

Zadeh, 123, 124, 126, 133, 134

239

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" 240

Pertenencia. Inclusión. Inclusión propia. No pertenencia. Conjunto vacío. Miembros de un conjun­to. Miembros de un par, ter­na. etc. Función caracterlstica de A. . Unión. Intersección. Mayor o igual que. Mayor que; sigue a (en el tiempo). Menor o igual que. Menor que; precede a (en el tiempo). Conjunción. Negación. Conjunto diferencia A menos B. Conjunto complemento o complementario de A. Disyunción (incluyente). Disyunción excluyente Condicional. o implica­ción material. Bicondicional o equiva­lencia. Negación alternativa o barra de Sheffer. Negación conjunta o fun­ción flecha. Deducción; también tra­ducción (en gramática de Montague). Cuantificador universal. Cuantificador existencial o particular. Operador iota. Operador eta.

Lista de símbolos

N,O M, o -3 It­D-+

D. P,H F, G R, o

PE

NNC +> » [[IX]] -IX. !NIX, [[IX]]IN -IX. EXIX, [[IX]]

IX' X',X

UIX DIX IX*

Operador lambda. Operador de reducción del sujeto. Operador de reducción del objeto. Operador de necesidad. Operador de posibilidad. Implicación estricta. Implicación semántica. Implicación de proximi­dad . Relación de accesibilidad (o alternatividad). Operador epistémico de creencia. Operador epistémico de conocimiento (de necesi­dad). Operador epistémico de posibilidad. Operador de deseo . Operadores de pasado. Operadores de futuro. Operador temporal. Operador deóntico de obligación (de necesi­dad). Operador deóntico de permiso (de posibilidad). Necesitación no clásica . Implicatura. Presuposición semántica. Denotación de IX,

Intensión de IX.

Denotación de IX. exten­sión de IX.

Traducción de IX. Sintagma constituido por el elemento de la catego­rla X. AUIX, -AUIX.

A.P[P{IX}J.

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