Sucesiones aritméticas y geométricas

En el análisis de las sucesiones siempre está el análisis de patrones, los cuales han sido utilizados en diferentes áreas. En la actualidad se aplican fórmulas fi-nancieras, cuya base (en algunos casos) son las sucesiones geométricas, inclu-so algunos fenómenos de la naturale-za, como la reproducción de algunos seres vivos, pueden modelarse como sucesiones geométricas o aritméticas según la situación.

Las sucesiones tanto aritméticas como geométricas han sido una temática que se ha desarrollado a lo largo de la historia sin definir un autor principal. Hay registros de diferentes culturas, por ejemplo en Babi-

lonia, los créditos y los cálculos conllevaban de alguna manera una fórmula parecida al interés compuesto, lo cual requiere trabajo con sucesiones geométricas; los egipcios también trabajaron con la suma de sucesiones para expresar algunas fracciones; los grie-gos trabajaron con patrones y diseñaron números figurales como los que se observan en la primera imagen.

Números figurales (triangulares y cuadrangulares) de la época de los griegos.

Una de las sucesiones más famosas e importantes es la sucesión de Fibonacci, la cual modela algunas formas de la naturaleza.

La unidad contiene un repaso sobre patrones, con el objetivo de identificar su secuencia y la forma en que se han generado para luego realizar un estudio generalizado. Luego se hará un estudio más amplio sobre las sucesiones aritméticas y geométricas, y se analiza-rá la suma de los primeros n términos de una sucesión.

162

1.1 Patrones

Un patrón -

-

2 8 12

2 8 12

Uni

dad

6

n n

1.2 Patrones generalizados

Observa la siguiente secuencia:

n

sucesiónan n

a1 a2 a an n.

término n n término general an n

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ejemplo

n1 si n

–1 si n

-

a1 a2 a an

an

a) an n an n – 2 c) an n an n2

T

Tn

12

11 16

11

an n n

a a a

-

a1

a2

an an–1 an–2

2T

• • • -

Uni

dad

6

Término a1 a2 a a a a6 a a8 a aNúmero de elementos 11 21

a2 – a1

a – aa – a8

diferencia

2 2 2112

-

-

166

an–1 an

an an a2 a1 a a2 a a

a2 a1 a a2 a a a a an–2 an an–1 an–2 an an–1

an an–1

an–2

an

an

an a a

a a2

a2 a1

a1

n

n

n–2

n–1

n

n

n–2

an n an a1 n

d an a1 d n – 1).

a) an n – 1) b) an n – 1) c) an n – 1)

d) an n – 1) e) an n an n – 1)

g) an n an n – 1) i) an n – 1)

12

1

1

Ejemploan n -

a1

n

a a12 12a a

a1 d

n n

-an a1 – d dn

an n an n

Uni

dad

6

2

2 21

n n nn n an a1 d n

an n

------------------

n – 11 n – 1

1n

n 2n – 2 2

n – 2

n n n n n n

n n nn n n

------------------

n n – 1)2n n n

n

a1 a2 a an–2 an–1 an

an an–1 an–2 a a2 a1

an a1 an–1 a2 an–2 a a an–2 a2 an–1 a1 an)

d

–d –d –d –d

d d d

2Sn

Sn

Sn

a1 an

d d

n n n a1 an n 12

n a1 an

an a1 n – 1)d n 12

n[2a1 n – 1)d

168

n

a1 a2 a an–2 an–1 an

ai desde i i igual ni

n

ai

an nan n an n an n

suma parcial serie -

an n -

a1

a

Sn 12

n a1 an) 12

i

n

ai12

n a1 an) 12

n[2a1 d n – 1) dSn

1 2 1 2 1 21 2

Uni

dad

6

an n

n

n

n n 1 n2 n – n n

n n nan n

-

a) an n an n

c) an n an n

e) an n i

ni

-

-

-

Carl Friedrich Gauss: Titan of Science

12

n[2a1 d n – 1)]

1

12

n[2a1 d n – 1)] n n – 1) n n – 1) n n n n2 n12

12a1

Si an d an a1 d n

a a

a a1 d a1 da a1 d a1 d

a – a a1 d – a1 – 2d d

d a1 a1

a1 an n n

a a a

a a6 a a8 a a a an

a1 a2 ni

n

ai <

d d

Uni

dad

6

1

1 116

116

1

Término a1 a2 a a a a6 a

Valor del área 1 1 1 1 1 1116

1a2 ÷ a1 11a ÷ a 11a ÷ a6 1 11

: 1

sucesión geométrica

razón

...

172

2.2 Sucesiones geométricas: término general*

Encuentra el término general de la sucesión geométrica de la clase 2.1.

Se sabe que si an–1 es el término n – 1, an es el siguiente término. Como cada término de la sucesión geomé-14

Es decir,

a2 = × a1, a3 = × a2, a4 = × a3, ..., an–2 an–3, an–1 an–2, an an–114

14

14

14

14

14

14a2 a1

14

14= × 1 1

1614a3 a2

14

14= ×

14an an–1

164

116

14a4 a3

14= ×, , , ...,

Nótese que,

Entonces, an n – 1 veces la razón ; es decir,

que el término general de la sucesión geométrica es an = a1 , donde a1 = 1.

14

En una sucesión geométrica, si r an = a1rn – 1.

14an an–1 = × 1

414 × an–2

14

14

14

14 × an–4

14= × ×1

414 × an–3

an14

14

14

14 × a4= × × × ×

n–4

14

14

14

14 × a3= × × × ×

n–3

14

14

14

14 × a2= × × × ×

n–2

14

14

14

14 × a1= × × × ×

n–1

14

n–1

Paso 1. Se divide un cuadrado de lado 1 en 9 Paso 2. De cada cuadrado que queda, se di--

do del centro de cada uno de ellos.

Paso 3con los cuadrados que quedan, divi-

-tando el del medio.

Si se sigue de ese modo, determina el va-

el que queda dividido el cuadrado inicial, n

nombre de Alfombra de Sierpinski.

Uni

dad

6

r r2 r rn rn–2 rn–1 r

n an a1rn–1

an 1 n – 1

na1 a2 ra1 a r2a1 a r a1 an–2 rn a1 an–1 rn–2a1 an rn–1a1

r r2 r rn rn–2 rn–1 rr r r r2 r rn rn–2 rn–1 r r2 r rn rn–2 rn–1 rn.

Si se resta rr r2 r rn rn–2 rn–1

r r r2 r rn rn–2 rn–1 rn

S – r rn

r rn r 1 – rn

1 – rrn – 1r – 1

si r r r2 r rn rn–2 rn–1 r n veces 1 n

n

a1 r 1

1– 1

1 – 1÷

an a1rn – 1

an n – 1

an n – 1

-

1

1 118

Si r na1

÷ abcd

cd

dc

ab

ab

adbc

i

n

a1rna1 si r

na1 si r

rn – 1r – 1

a1 ra1 r2a1 r a1 rn a1 rn–2a1 rn–1a1 a1 r r2 r rn rn–2 rn–1)

a1 si rrn – 1r – 1

rn – 1r – 1

Sn

12

n n n n -n

Se escribe 1 n n

an 12

n–1

186

an n–1

e) an n–1 an

1

2

12i

n

ai

n – 1

------------------

1 n]12

n

n

n

1–n–1

-1

-1

n