Javier de Lorenzo: una filosofía plural de la praxis matemática

Por José Ferreirós1

Me gustaría comenzar con unos comentarios personales, unos recuerdos de experiencia: espero

que el lector disculpe esta ruptura con los usos académicos, pero con ello no hago más que

recurrir al estilo intelectual de Javier de Lorenzo.

Conocí a Javier en Junio de 1994, en la ciudad de México, gracias a un excelente congreso

internacional organizado por el profesor Alejandro Garciadiego en la UNAM. La extraña realidad

es que yo (habiendo realizado, entre 1988 y 1991, una tesis doctoral sobre la historia de la teoría

de conjuntos) nunca había leído las obras del principal filósofo de las matemáticas español. ¡Ni

siquiera el libro de 1977, La Matemática y el problema de su historia, pese a ser directamente

relevante para el tema de mi tesis! Cosas algo extrañas y tristes de la vida académica en España…

En opinión del colombiano Fernando Zalamea, la de De Lorenzo es “una obra notable no sólo

dentro del mundo hispánico –donde brilla por su aislamiento y su unicidad– sino dentro del

ámbito general de la filosofía de la matemática en el siglo XX, donde sólo muy contadas

percepciones filosóficas pueden describirse como realmente atentas a los desarrollos

contemporáneos de la matemática y a la especificidad de sus diversos modos creativos.”2

Mi primer contacto con su pensamiento fue oyendo la conferencia que dictó en México, ‘El

discurso matemático: ideograma y lenguaje natural’;3 el primer libro de Javier que leería con

calma iba a ser La Matemática: de sus fundamentos y sus crisis, que reseñé en 1998 para la

Revista de Libros… Me impresionó, ya en 1994, el estilo intelectual de Javier de Lorenzo, su

1 Univ. de Sevilla. En J M Chillón, F Calderón (eds.), Matemática, ciencia, filosofía: Homenaje

al prof. Javier de Lorenzo. Madrid: Manuscritos, 2014, pp. 79-87.

2 F. Zalamea, ‘Javier de Lorenzo: por una filosofía dinámica de la praxis matemática’. Mathesis (México), Enero-Junio 2007, pp. 1-35.

3 Publicado luego en Mathesis Vol. X-3, pp. 235-254.

inteligencia por supuesto, su estilo hablado y escrito tan peculiar, sincopado y tan castellano, su

permanente estado de alerta frente a las tendencias recientes (ya fuera en matemáticas o en

filosofía), su estilo muy europeo de intelectual comprometido… Me doy cuenta ahora de que sus

ideas, junto con la lectura (que hice ya en 1988) de la Philosophie mathématique de Jean

Cavaillès, fueron mi primer contacto con la orientación práctica en filosofía de las matemáticas,

orientación a la que ha quedado ligado mi propio desarrollo intelectual.4

Como gusta decir Javier, su trabajo filosófico surgió de la experiencia y no del mero interés

académico. Estudiando Filosofía y Matemáticas en el Madrid de los 1950, nuestro autor

demuestra una aguda sensibilidad hacia las tensiones en la práctica de las matemáticas.

Confrontado a la introducción agresiva del bourbakismo en la Universidad, que coexistía sin

embargo con otros modos de hacer bien diferentes y más clásicos –los cuales se pretendía

eliminar–, confrontado con la emergencia de la “matemática moderna” en las escuelas durante los

1960, aplica los métodos de contextualización histórica típicos del filósofo al problema de

comprender la configuración del saber matemático.

Una beca ‘literaria’ de la Juan March le permitirá en 1966 dedicar tiempo exclusivo a su proyecto

filosófico-matemático, liberándole del trabajo de enseñante. El resultado será una serie de cuatro

libros que se van publicando a lo largo de los años 1970, verdaderamente novedosos en el

panorama español.5 El primer gran fruto –según creo– de esta tarea, plenamente logrado y

maduro, es su escrito sobre La filosofía de la matemática de Poincaré (Madrid, Tecnos, 1974,

384 p.), acogido en Francia como una importante aportación a la sistematización de las ideas del

4 J. Cavaillès, Philosophie mathématique (con Remarques sur la formation de la théorie des

ensembles, Paris, Hermann, 1962; originales de 1938); ver también su Méthode axiomatique et

formalisme (Paris, Hermann, 1937, traducido en México, UNAM). Habría que añadir, sin duda, los contactos con historiadores de las matemáticas interesados también en las prácticas, como Chemla, Goldstein y otros. Y no olvidar tampoco –¡claro!– a historiadores de la ciencia como Javier Ordóñez, mi guía constante en los primeros pasos… 5 Una primera obra, Introducción al estilo matemático (Madrid, Tecnos, 1971, 209 p.), es ya original en su temática; se encuentra referenciada en Paolo Mancosu: ‘Mathematical Style’, The

Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2010 Edition, ed. E. N. Zalta, URL = http://plato.stanford.edu/archives/spr2010/entries/mathematical-style/).

célebre francés. Es en este libro donde por vez primera surge la locución característica, el hacer

matemático, que en opinión de la recensora Anne-Françoise Schmid se inspira en el enfoque del

propio Poincaré: “el propósito del autor es poner en valor la idea del «hacer matemático» [faire

mathématique] que recoge [emprunte] de Poincaré, idea que le conduce a una interpretación

«antropológica» del desarrollo de las matemáticas, la cual opone a la interpretación «teológica»

que hace el realismo.”6 Es posible que haya una inspiración poincariana, no lo pondré en duda,

pero lo cierto es que la expresión Hacer matemático adopta una pregnancia y una centralidad en

la obra de De Lorenzo que nunca encontramos en Poincaré.

Esa noción se va conformando y articulando rápidamente hasta convertirse en eje vertebrador de

la reflexión epistemológica de Javier. Enseguida le permitirá articular algunos de los principales

contrastes entre el estilo matemático de los bourbakistas y el de quienes se vieron desplazados

por ellos. Parece que al comienzo las preferencias de nuestro autor se orientaban hacia las

tendencias más o menos constructivas. Baso esta afirmación en impresiones sacadas de diversas

lecturas, pero sería un punto que convendría aclarar y precisar en un estudio de detalle; quizá el

propio Javier quiera matizarlo. Mi impresión es que la reacción inicial de nuestro autor fue más

bien contraria al dominio del bourbakismo, inclinada a un rescate de las formas de hacer

geométricas y constructivas. Quizá de ahí venga su gran interés por las ideas de Poincaré –crítico

matizado de algunas tendencias de la matemática moderna, un tanto escéptico respecto al

conjuntismo, duro crítico del logicismo– y también por las de Kant, el gran filósofo clásico del

hacer matemático euclidiano.7 Añadiría, a título bien personal, que la opción por Poincaré me

parece una muestra más de fino instinto filosófico, ya que las reflexiones asistemáticas y a veces

algo vagas de Poincaré están llenas de insights profundos y son ricas en conexiones e

implicaciones.

6 A.-F. Schmid, ‘Javier de Lorenzo: La filosofia de la matematica de Jules Henri Poincaré’. Revue

d'histoire des sciences Tome 31 (1978) n°2, pp. 183-185.

7 En 1992 se publicará Kant y la matemática (Madrid, Tecnos, 183 p.).

Será andando los años, y probablemente gracias a una contraposición productiva entre

preferencia individual y tendencias mayoritarias, que De Lorenzo acabará contraponiendo el

Hacer global o estructural del siglo XX al Hacer figural, constructivo que le precedió, como dos

tendencias complementarias. Con esto sigue la tendencia que en mi opinión fue la más reflexiva

durante el siglo XX, que en lugar de apostar exclusivamente por los métodos “modernos” o

estructurales, se inclinó más bien por la complementariedad de una pluralidad de enfoques. Esta

tendencia ha sido minoritaria, pero ha contado con un buen número de los mejores filósofos de

las matemáticas: Cavaillés, Bernays, Feferman, etc. De ahí que hablemos de una filosofía plural o

pluralista de las matemáticas.

La transición del Hacer figural al Hacer global se inicia en los entornos de 1827, y se consolida

en los entornos de 1875, tal como aclara Javier en otro fruto maduro aparecido poco después del

libro sobre Poincaré, La Matemática y el problema de su historia (Madrid, Tecnos, 1977, 161 p.).

En mi opinión, esta obra sigue revelando la impronta francesa de las ideas principales de De

Lorenzo –con su método histórico-crítico y su epistemología rupturista, que recuerda a un

Bachelard o un Cavaillès–. Pero lo de menos es esta cuestión de las influencias, que por lo demás

se hacen explícitas en esos libros de los años 1970:8 lo importante es el esfuerzo por pensar y

articular uno mismo las ideas, por dar vida a los pensamientos, y por pensar las experiencias

vitales, esfuerzo que iba realizando ejemplarmente Javier en esos años. Años, hay que decirlo,

que a juzgar por las obras mencionadas tienen un indudable aroma de trabajo solitario: no ha sido

España buen lugar para que este tipo de inquietudes se vieran suficientemente acompañadas por

instituciones y colectivos, ni en los duros pero estimulantes años 1970, ni en tiempos

posteriores…

En esa obra plantea la “radical historicidad del hacer matemático”, insistiendo en que “el hacer

matemático no es un hacer único a lo largo de historia evolutiva alguna” (De Lorenzo 1977, op

8 Véase en especial la completa bibliografía del libro de 1974, con referencias en italiano, español, inglés, pero sobre todo en francés (Borel, Beth, Couturat, Cavaillès, Freudenthal, Hadamard, Herbrand, Ladrière, Le Lionnais, etc.): una riqueza de referencias que seguramente era inusual en aquellos años, entre nosotros.

cit, 111). Como en otras obras, se atiende siempre a la coexistencia plural de aproximaciones y

enfoques, más allá de las tendencias simplificadoras que inevitablemente surgen y se propagan en

la cultura. Y se insiste también en las “inversiones” que representan nuevas maneras de entender

la práctica matemática con respecto a las anteriores. Así por ejemplo, la concepción

estructuralista del hacer matemático, forma que toma el Hacer global y la axiomática en los

entornos de 1939, pone el hincapié en las nociones de estructura y morfismo, invirtiendo la

mirada: ahora los sistemas clásicos quedarán relegados a simples ejemplificaciones de las

estructuras abstractas; piénsese en las “estructuras matrices” de Bourbaki y los diversos híbridos

a los que dan lugar, piénsese en Rn considerado como mero ejemplo de espacios mucho más

generales. Ahora bien, se equivoca quien piense que esa forma o enfoque es ‘la verdadera

matemática’, el telos evolutivo al que –sin saberlo– se encaminaron los matemáticos de todas las

generaciones anteriores. No; como decía Cavaillès: “la matemática es un devenir”, y la praxis

dinámica adoptará otras formas y dará origen a otros sistemas teóricos y otras creencias, tal como

de hecho lo vemos en el presente. “En otras palabras, el Hacer matemático no es un saber ya

plenamente cristalizado sino un saber vivo, en constante proceso, un saber manifestación de la

razón constructiva matemática en la que se incardina, también, una imaginación ensoñadora.”9

Zalamea ha resaltado la atención prestada por Javier a los desarrollos modernos y

contemporáneos de la matemática, más allá de las cuestiones de lógica y fundamentos, y su

constante interés por la especificidad de sus diversos modos creativos, por la riqueza temática y

metodológica que encontramos en el estudio polimorfo de geometrías, álgebras, topologías,

análisis, etc. “En grandes maestros como Pascal, Kant o Poincaré, de Lorenzo apoya una visión

dinámica y constructiva de las matemáticas, donde se contraponen y entrelazan múltiples haceres.

Una atención inusual a los avances de las matemáticas en los siglos XIX y XX completa su

bagaje.” (Zalamea 2007, op cit). En efecto, obras como las dos que he resaltado suponen el

análisis y reflexión crítica en torno a la producción y la praxis de toda una serie de autores

principales de la matemática de los siglos XIX y XX: Abel, Galois, Cauchy, Dedekind, Cantor,

9 Así dirá en La Matemática: de sus fundamentos y sus crisis (Madrid, Tecnos, 1998, 190 p.), p. 16.

Hilbert, los Bourbaki, etcétera. También era toda una toma de posición la decisión de analizar

sistemáticamente el pensamiento de Poincaré, a las alturas de 1970, ya que esto suponía una

opción pluralista frente al dominio férreo del método axiomático-estructural bourbakista.

El ciclo primero de obras filosófico-matemáticas de Javier se completó en 1980 con El método

axiomático y sus creencias (Madrid, Tecnos, 198 p.). Una obra que analiza la práctica del método

axiomático en sus diversas variantes, no sólo la formalista que suele centrar la atención de los

lógicos, sino también la “postulacional o pragmática” que es clave en el hacer de los

investigadores matemáticos. Y sobre todo, una obra que explora las creencias que acompañan a la

axiomática, algunas de ellas base de la misma gestación del método en su forma moderna; tres

tipos de creencias, diseccionadas en la segunda parte, que el autor resalta sucintamente como “lo

dado” (el enfoque pitagórico-platónico que toma el objeto matemático como dado independiente

y autónomamente del matemático), “lo descubierto” (orientación más aristotélica, que ve los

mathemas como abstraídos de lo natural, aunque de forma idealizada y necesitada de

justificación), y “lo construido” (para el que dichos ‘objetos’ son ante todo productos

conceptuales, obtenidos en una práctica cultural aislada “de las restantes burbujas” en que los

humanos desarrollamos nuestras vidas). Las simpatías del autor se orientan sin duda por esa

tercera vía, que resalta la independencia de la práctica conceptual matemática, pero sin perder de

vista sus condicionantes, sin querer en absoluto fomentar la idea de una torre de marfil: “la

Matemática es un trabajo, un producto y una producción de la especia humana, o más bien de

parte de esa especie, y como tal, con… su dependencia y su influjo en el desarrollo de sólo cierto

tipo de sociedades” (De Lorenzo 1998, op cit, 16).

A todo ello hay que añadir que, ya desde los años 1990, De Lorenzo tomaba nota también del

nuevo Hacer computacional y su impacto transformador. Dado el énfasis de Javier en el hacer

por encima de lo hecho, en la praxis matemática –o científica, etc.– como fuente de las teorías, y

en la imbricación entre los productos teóricos y las condiciones materiales y sociales de trabajo,

era natural que precisamente él fuera desde muy pronto sensible a estos cambios.10 Desde

entonces, se ha seguido hablando mucho de los impactos del computador, oscilando las opiniones

entre los tradicionalistas que piensan que la teorización matemática no cambiará, y los

innovacionistas que opinan todo lo contrario. En realidad, como seguramente diría Javier, la

situación en que nos encontramos es plural: áreas de las matemáticas que se han visto

profundamente transformadas por el mundo digital, junto a otras áreas que han prolongado

modos de hacer ya clásicos; provocando un renacimiento, eso sí, de lo constructivo y lo discreto a

impulsos de la transformación digital, lo que reafirma la intuición de Javier y los demás filósofos

antes citados. Junto a ello encontramos maneras de hacer híbridas, en interacción humano-

computador, que han hecho posibles logros antes inimaginables (desde teoremas como la

conjetura de Kepler, hasta formalizaciones completas de resultados avanzados con Coq o

Isabelle),11 o en otros casos una comunidad de humanos enlazada digitalmente y trabajando en

red,12 etc.

Incluso el Hacer global se está viendo modificado y reconfigurado en nuevas formaciones

híbridas con el estilo computacional de los últimos años. Pienso sobre todo en HoTT, la Teoría

de Tipos Homotópica que se está desarrollando a marchas forzadas, impulsada por el Programa

de Fundamentos Univalentes (en Harvard, Princeton, Carnegie Mellon) bajo el impulso de

10 Véanse trabajos como ‘La razón constructiva matemática y sus haceres’, Mathesis 9 (1993); ‘La Matemática, ¿incompleta, aleatoria, experimental?’ Theoria, 16-18, tomo A (1992); ‘El ordenador y la demostración matemática’, en J. Echeverría, J. de Lorenzo, L. Peña (eds.): Calculemos... Matemáticas y libertad (Homenaje a Miguel Sánchez-Mazas; Madrid, Trotta, 1996); ‘The Mathematical Work-Mode and its Styles’, en E. Ausejo, M. Hormigón (eds.): Paradigms and Mathematics (Siglo XXI, 1996).

11 Se trata de sistemas de demostración de teoremas interactivos, o proof assistants, que generan demostraciones formales verificadas por el propio programa, gracias a la interacción entre humano y máquina; dicha interacción saca partido también de un conjunto de heurísticas implementadas en módulos del mismo programa.

12 Como el proyecto Polymath que ha forjado el gran avance hacia el teorema de los primos gemelos en 2013, ver p. e. la revista Wired: ‘Sudden Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing’, http://www.wired.com/2013/11/prime/. A día de hoy está demostrado que hay infinitos pares de primos separados por 600 números o menos.

Voevodsky, Awodey y algunos otros. Este enfoque combina ideas provenientes de varios campos

en una manera sorprendente: parte de su inspiración viene de la teoría de tipos intuicionista y del

mundo de la computación, incluidos los sistemas de demostración interactiva como Coq, pero

estas ideas se conectan con ingredientes del mundo de las topologías y las categorías, elaborando

una semántica homotópica. Con ello se pretende establecer una nueva fundamentación

“univalente” de las matemáticas, que evita la compleja y nunca plenamente controlada explosión

ontológica de la teoría de conjuntos, a la vez que busca compatibilizar lo mejor de dos mundos: el

computacional de las demostraciones efectivas y plenamente especificadas, y el categórico de los

enfoques estructurales flexibles y transponibles.13

Pero volvamos a nuestro tema principal. Que la opción por el pluralismo es constante en las

reflexiones de Javier de Lorenzo, es algo que resulta todavía más claro si atendemos a un libro

singular en su producción: Experiencias de la razón, editado de forma retrasada en 1992.14 Un

libro quizá poco atendido, menos de lo que sin duda merece, pero que es la mejor expresión de la

amplitud de los intereses del autor. Si alguien pensaba en Javier como un matemático metido a

pensador, pero limitado a fin de cuentas a los mathemas, se llevará una sorpresa al descubrir este

trabajo. Constituye toda una reivindicación de la experiencia creativa humana en su pluralidad,

que, bien lejos de la tentación cientificista o de cualquier impulso reduccionista, reclama atención

–y espacio– para las múltiples y diversas experiencias simbólicas a nuestro alcance (habla así de

“la razón” mítica [sic], la religiosa, la artística), para las formas de hacer conceptuales (razones

13 Véase el libro disponible en http://homotopytypetheory.org/book/ . Allí se dice: “Homotopy type theory offers a new “univalent” foundation of mathematics, in which a central role is played by Voevodsky’s univalence axiom and higher inductive types. The present book is intended as a first systematic exposition of the basics of univalent foundations, and a collection of examples of this new style of reasoning — but without requiring the reader to know or learn any formal logic, or to use any computer proof assistant. We believe that univalent foundations will eventually become a viable alternative to set theory as the “implicit foundation” for the unformalized mathematics done by most mathematicians.”

14 Experiencias de la razón (Publicaciones de la Univ. de Valladolid, 1992, 364 p.); puede verse una reseña larga y detallada de Eladio Chavarri: ‘Experiencias de la razón’, Estudios Filosóficos, 123 (1994), pp. 295-309. Asunto relacionado es el que trata un libro reciente de Javier: Ciencia y

artificio (Coruña, Net·Biblo, 2009).

matemática, explicativo-científica, y comprensiva –análisis y crítica de la vida humana en sus

manifestaciones pasadas o presentes–) y, en fin, para las experiencias tecnológicas. Estos siete

grandes Ámbitos o Burbujas –como él dice– se entienden y analizan en lo que tienen de

específico, insistiendo en la autonomía que cada una de ellas alcanza como forma de experiencia.

Todas y cada una de ellas son formas del Espacio Cultural, que conforman modos humanos de

habérselas con la naturaleza y la vida, bien diferentes de los propios del primer Espacio que es el

orgánico-biológico, o del segundo que sería el perceptivo.

Esta obra termina siendo una incisiva denuncia de la banalización de la vida y las experiencias

humanas, de la reducción del hombre a instrumento de las fuerzas productivas o del pretendido

progreso económico o tecnológico, y una seria llamada de atención sobre los riesgos de

irracionalidad que acarrea precisamente –en opinión de De Lorenzo– el desatender y marginar la

especificidad de cada forma de razón. Todo un programa de crítica a nuestra civilización y

formas de vida. Javier ha sido muy consciente de que toda mirada se inscribe en un contexto

material y cultural subyacente; como dice Zalamea (2007), “en el caso de nuestro autor, no

pueden pasarse por alto su fina formación dialéctica, su hábil percepción de tonos y modos, su

rechazo de posiciones dogmáticas, su sensibilidad por las rupturas y los quiebres de todo lo

humano.”

Desde hace unos años, la etiqueta de filosofía de las prácticas matemáticas está en ascenso;

tanto, que incluso he escuchado a algún prócer de la filosofía lógico-lingüística criticando esa

tendencia como la nueva “vaca sagrada” del gremio. Ya en la última década del XX, la atención a

la práctica parecía convertirse en un lugar común, presente en casi toda obra de filosofía de las

matemáticas. Pero en muchas ocasiones se trataba de un mero gesto, un reconocimiento de algo

que se estaba convirtiendo en habitual, pero que en realidad no se integraba en el discurso sino de

manera superficial. En aquellos casos en los que la integración era más profunda, su origen podía

venir de muchos lugares: los enfoques históricos de Lakatos y Kitcher en alguno (p. e.

Tymockzo); la influencia del último Wittgenstein en otros (Tait, Dreben); el contacto con grupos

de investigación matemáticos (Maddy, McLarty); o el influjo de enfoques cognitivos (Lakoff y

Núñez). En alguno de esos ejemplos la influencia original determina una cierta estrechez en la

mirada, contrastando en eso con la gran amplitud de visión que se expresa en el autor que

venimos glosando. Para nosotros, un origen clave, una influencia sustancial en el giro práctico, ha

procedido más bien de la tradición francesa y de sus reelaboraciones hispanas, que tuvieron un

momento álgido y original en las contribuciones de Javier de Lorenzo desde los años 1970. En mi

caso, pues, sirvan estas páginas como ‘acción de gracias’ al respecto.

Los avances recientes en ese campo pueden presumir de haber ofrecido complementos y/o

profundizaciones importantes, como son –por dar sólo tres ejemplos– algunos análisis detallados

de las funciones trans-lógicas (si se me permite el término) de la demostración, la atención

pormenorizada al papel de los diagramas en diferentes modos de hacer matemática (el euclidiano,

el cartesiano, etc.), o el esfuerzo por conectar las prácticas matemáticas básicas con sus

condicionantes cognitivos. Todo ello debería permitirnos imbricar la consideración del hacer

matemático con una serie larga y complejo de conocimientos sistemáticos acerca de múltiples

aspectos del trabajo conceptual humano. Pero hay un riesgo en esta reorientación sistemática,

rigurosa y algo especializada de la investigación, y es que perdamos de vista el papel de reflexión

crítica que es marca de la filosofía (sin la cual deviene disciplina de especialista). A Javier, y al

ejemplo de otros como él, les debemos el que esto no suceda.