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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 1/35 FRACTALES: LA BELLEZA DE LA NATURALEZA II Jornadas de Enseanza de las Matemticas en Navarra Pamplona, 10 y 11 de diciembre

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 2/35 Fractales #1 B. Mandelbrot (1967): How long is the British coastline?

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 3/35 Fractales #2 Benoit Mandelbrot Il est le principal reprsentant de la Gomtrie Fractale. Il a montr comment les fractals apparaissent en nombreux domaines, en Mathmatiques et, surtout, dans la nature. Fractal vient du latin fractus, que signifie frapp ou fractur.

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 4/35 Fractales dans la Nature #1 Cristaux de glace

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 5/35 Fractals in Nature #2 Broccoli

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 6/35 Fractals in Nature #3 Reals ferns

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 7/35 Fractales en la Naturaleza #4 Pavo real

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 8/35 Fractales en la Naturaleza #5 Ramas de rbol

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 9/35 Fractales dans la Nature #6 Pierres

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 10/35 Fractales dans la Nature #7 Montagnes (Bryce Canyon)

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 11/35 Fractals in Nature #8 Galaxy

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 12/35 Generating Fractals #1 Mandelbrots example

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 13/35 Generando Fractales #2 Atractor extrao

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 14/35 Generando Fractales #3 Estructura

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 15/35 Gnrer des Fractales #4 Spirale

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 16/35 Gnrer des Fractales #5

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 17/35 Gnrer des Fractales #6

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 18/35 Gnrer des Fractales #7

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 19/35 Caractristiques des Fractales Structure qui se rpte sur des chelles plus petites. Il est trop irrgulire pour tre dcrit par la Gomtrie Euclidienne. Structure gomtrique divise en plusieurs parties, dont chacune est (approximativement) une copie rduite de tout. Les fractales sont forms par itration: La dfinition est rcursive.

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 20/35 Dimension fractale #1 Pour trouver la dimension de Hausdorff d'un set X, on trouve N(r). Regardez: Il est possible de couvrir X avec des boules de tailles diffrentes. N (r) serait le nombre de boules de rayon r ncessaires pour couvrir X. d. Si, par exemple, N(r) change de la mme manire que 1/r d, r tendant vers 0, alors X a une dimension fractale d.

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 21/35 Dimensin fractal #2 Lnea recta: dimensin 1. Lnea recta: dimensin 1. Cuadrado: dimensin 2. Cuadrado: dimensin 2. Cubo: dimensin 3. Cubo: dimensin 3. a) Cuntas copias del cuadrado se han de juntar para hacer un cuadrado de tamao doble? Respuesta: 4 copias. Cuntas copias del cubo se han de juntar para hacer un cubo de tamao doble? Respuesta: 8 copias. Patrn: 2 d b) Cuntas copias del cuadrado se han de juntar para hacer un cuadrado de tamao triple? Respuesta: 9 copias. Cuntas copias del cubo se han de juntar para hacer un cubo de tamao triple? Respuesta: 27 copias. Patrn: 3 d

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 22/35 Dimensin fractal #3 Dimensin fractal Tenemos un objeto para el que necesitamos ensamblar N copias para construir una versin ms grande con un factor de escala S. La dimensin fractal del objeto se define como el nmero real positivo d, que cumple: S d =N

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 23/35 Exemple: Fractal de Koch #1

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 24/35 Exemple: Fractal de Koch #2 Combien de copies de la courbe d'origine sont ncessaires pour construire une version plus grande? Rponse: 4. Quel est le facteur d'chelle appliquer la courbe de Koch pour obtenir le plus grand courbe immdiatement aprs? Rponse: 3 (La mme longueur est multipli par un facteur 1/3) Alors: 3 d =4, d=log(4)/log(3)=1.26185.....

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 25/35 Example: Sierpinski Triangle #1

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 26/35 Example: Sierpinski Triangle #2 Three copies of Sierpinski triangle are used (assembled) to create a larger version and this larger version is twice the size of the original one, i.e., the sides length of the larger triangle is twice the former one. So: 2 d =3, then, d=log(3)/log(2)=1.585.....

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 27/35 Conjunto de Cantor #1

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 28/35 Conjunto de Cantor #2 Tenemos dos copias de la iteracin n del conjunto de Cantor para conseguir la iteracin posterior. La longitud del segmento de la iteracin n+1 es 1/3 de la longitud del segmento de la iteracin n que hace el mismo papel. As: 3 d =2, entonces, d=log(2)/log(3)=0.6309.....

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 29/35 Dimensions fractales #1 Set de Cantor: 0.6309 Atractteur de Julia: 1.2683 Attracteur de Feigenbaum: 0.538 Atractteur de Lorenz: 2.06

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 30/35 Dimensions fractales #2 Surface du cerveau: 2.79 3 D Set de Cantor: 1.89 British coast: 1.25 Chou-fleur: 2.33

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 31/35 Influence of Ramn y Cajal in Mandelbrot Fractals Cajal described the structures of the nervous system and Mandelbrot knew about Cajals pictures, recognising the self-similarity feature.

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 32/35 One more fractal Mandelbrot fractal: Mandelbrot fractal: Given constants c 1 and c 2 : (x 0,y 0 )=(0,0) (x n+1,y n+1 )=(x n 2 -y n 2 +c 1,2x n y n +c 2 ) We choose constants K, c 1 y c 2 such that ||(x n,y n )|| K, n N.

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 33/35 Programas para generar fractales Caos Pro Fractal Explorer Fractal Forge ChaoScopeUltra fractalWinfract FractalusFraktal StudioFractint

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 34/35 Clculo de la dimensin fractal Mltiples programas que calculan la dimensin fractal: HarFA FracLab Fractalyse FracTop Fractal3e Vamos a utilizar un applet Java: http://www.stevec.org/fracdim/ http://www.stevec.org/fracdim/

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J. Palacin y C. Martnez (UPNa) 35/35 Bibliografa 1.Burger, E.B. and Starbird, M., The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking, J. Wiley, 2005 2.Mandelbrot, B.B., The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman and Co., 1982 3.Webpage of Chaos: http://en.wikipedia.org/wiki/Chaoshttp://en.wikipedia.org/wiki/Chaos 4.Webpage of Fractals: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractalhttp://en.wikipedia.org/wiki/Fractal