Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi Лесi УкраїнкиКомунальна установа «Волинська обласна Мала академiя наук»

П. П. Шигорiн

Практикум з астрономiї

Навчальний посiбник

Луцьк – 2016

УДК 52(075)ББК 22.6 я 73Ш 55

Рекомендовано до друку кафедрою теоретичної та математичної фiзики Схiдноєвропейськогонацiонального унiверситету iменi Лесi Українки (протокол №8 вiд 20.04.2016р.).

Рецензенти:Кулiнiч Ю. А. (Астрономiчна обсерваторiя Львiвського нацiонального унiверситету iменi

Iвана Франка, кандидат фiзико-математичних наук)Мислiнчук В.О. (Рiвненський державний гуманiтарний унiверситет, кандидат педагогiчних

наук)

Шигорiн П. П.Ш 55 Практикум з астрономiї: Навч. пос. — Луцьк, 2016. — 64 с.

Навчальний посiбник мiстить теоретичний матерiал, а також набiр практичних завдань длясамостiйного розв’язання iз вибраних питань астрономiї. Зокрема розглянуто основнi поняттяпрактичної астрономiї, небесної механiки та астрофiзики. Також у посiбнику описано можливостiта технiку використання програмного пакету “Stellarium” для вивчення астрономiї.

Для студентiв природничих спецiальностей вищих навчальних закладiв, учнiв середнiх шкiлта слухачiв позашкiльних навчальних закладiв.

УДК 52(075)ББК 22.6 я 73

c© Шигорiн П. П., 2016

Змiст

I Практичнi заняття 5

№1. Основнi елементи небесної сфери. Системи небесних координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

№2. Основи вимiрювання часу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

№3. Рухома карта зоряного неба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

№4. Схiд i захiд свiтил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

№5. Визначення вiдстаней до небесних тiл та їх розмiрiв. Паралакс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

№6. Елементи небесної механiки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

№7. Фотометрiя небесних свiтил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

№8. Фiзика Сонця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

№9. Вiртуальна обсерваторiя Stellarium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

II Додатки 59

Д1. Географiчнi координати обласних центрiв України . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Д2. Вiдомостi про найяскравiшi зорi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Д3. Спектр Сонця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3

4

Частина I

Практичнi заняття

5

№1Основнi елементи небесної сфери. Системи небесних координат

Мета заняття: вивчення основних елементiв та добового обертання небесної сфери. Набуттянавичок роботи з основними системами небесних координат.

Засоби i матерiали: модель небесної сфери; астрономiчний календар.

Теоретичнi вiдомостi

Модель небесної сфериВ якому б мiсцi земної поверхнi ми не знаходились, нам завжди здається, що всi небеснi тiла

знаходяться вiд нас на однаковiй вiдстанi, ми бачимо небо над собою у формi сферичної поверхнi.З метою наочностi та для вивчення видимих положень i рухiв небесних свiтил в астрономiї

запроваджується допомiжна сферична поверхня — небесна сфера.Небесна сфера — уявна сфера довiльного радiусу, на яку спроектованi всi свiтила так, як їх

бачить спостерiгач у певний момент часу з певної точки простору.Таким чином, уявний спостерiгач, котрий знаходиться в центрi небесної сфери, повинен ба-

чити положення свiтил на її поверхнi у такому розмiщеннi, в якому справжнiй спостерiгач бачитьнебеснi свiтила на небi.

Розглянемо основнi точки та кола небесної сфери (Рис. 1).Верхня i нижня точки перетину небесної сфери з вертикальною лiнiєю (лiнiєю виска), яка

проходить через центр сфери, називаються вiдповiдно зенiт Z i надир Z′. Велике коло небесної

Рис. 1: а) Основнi кола i точки небесної сфери; б) модель небесної сфери.сфери SWNE, площина якого перпендикулярна до вертикальної лiнiї, називається математи-чним горизонтом (або iстинним горизонтом). Математичний горизонт роздiляє поверхню не-бесної сфери на двi половини: видиму та невидиму. Велике пiвколо, яке проходить через зенiт,свiтило i надир, називається вертикалом або колом висоти.

Спостереження зоряного неба показують, що небесна сфера повiльно обертається в напрям-ку зi сходу на захiд. Для спостерiгача, який знаходиться в пiвнiчнiй пiвкулi Землi та повернутийобличчям на пiвдень, це обертання вiдбувається злiва направо, за годинниковою стрiлкою. Су-зiр’я пiднiмаються над горизонтом у схiднiй частинi неба i опускаються до горизонту в захiднiйсторонi. В дiйсностi ж Земля обертається навколо своєї осi в напрямку з заходу на схiд. Цьомуiснують строгi докази: обертання площини маятника Фуко, вiдхилення падаючих тiл на захiдтощо. Видиме обертання небесної сфери називається добовим обертанням, оскiльки його перiоддорiвнює однiй добi.

7

Дiаметр небесної сфери, навколо якого вона обертається, називається вiссю свiту, а точкиперетину осi свiту з небесною сферою — полюсами свiту. Вiсь свiту нахилена до математичногогоризонту пiд кутом, що рiвний географiчнiй широтi мiсця спостереження ϕ.

Полюс, вiдносно якого небесна сфера обертається проти годинникової стрiлки (для спосте-рiгача, який перебуває у центрi сфери), називається пiвнiчним полюсом свiту P, протилежниййому — пiвденним полюсом свiту P′. Пiвнiчний полюс свiту знаходиться в сузiр’ї Малої Ведме-дицi поблизу Полярної зорi.

Велике коло небесної сфери QWQ′E, площина якого перпендикулярна до осi свiту, назива-ється небесним екватором. Небесний екватор дiлить небесну сферу на двi пiвкулi: пiвнiчну тапiвденну. Велике пiвколо, яке проходить через полюси свiту та свiтило, називається колом схи-лення.

Небесний екватор перетинається з математичним горизонтом у точцi сходу E i у точцiзаходу W. Вертикал, який проходить через точку сходу, називається першим вертикалом.

Добовий рух небесних свiтил на небi здiйснюється по добових паралелях — малих колах, щопроходять через свiтила i площини яких паралельнi до площини небесного екватора.

Велике коло небесної сфери PZQSP′Z′Q′N, яке проходить через полюси свiту i зенiт, нази-вається небесним меридiаном. Небесний меридiан дiлить небесну сферу на двi пiвкулi: схiднута захiдну. Площина небесного меридiану перетинається з площиною математичного горизонтувздовж прямої лiнiї NS, яка називається полуденною лiнiєю. Полуденна лiнiя перетинається знебесним меридiаном у точцi пiвночi N та у точцi пiвдня S. Точкою пiвночi обирають ту, щолежить ближче до пiвнiчного полюса свiту.

Ще одним важливим елементом небесної сфери є еклiптика — велике коло небесної сфери,по якому центр диска Сонця здiйснює видимий рiчний рух по небеснiй сферi (для спрощенняна Кресленнi 1а. еклiптика не вiдображена). Площина еклiптики нахилена до площини небесногоекватора пiд кутом ε = 23◦26′25, 5′′. Еклiптика перетинається з небесним екватором у двох точках,якi називаються точками весняного та осiннього рiвнодень. Через точку весняного рiвноденняСонце 20 або 21 березня переходить з пiвденної пiвкулi неба в пiвнiчну. У цей день тривалiсть днядорiвнює тривалостi ночi. Осiннє рiвнодення (початок астрономiчної осенi в Пiвнiчнiй пiвкулi)припадає 22 або 23 вересня. Точки на еклiптицi, якi вiддаленi вiд точок рiвнодень на 90◦ назива-ються точками лiтнього (20 або 21 червня) та зимового (21 або 22 грудня) сонцестоянь. У цi днiмаємо найдовший день i найкоротшу нiч (лiтнє сонцестояння) та найдовшу нiч i найкоротшийдень (зимове сонцестояння).1

Внаслiдок добового обертання небесної сфери кожне свiтило двiчi перетинає небесний мери-дiан. Момент проходження свiтила через меридiан називається кульмiнацiєю свiтила. У верхнiйкульмiнацiї свiтило перетинає небесний меридiан в точцi, яка знаходиться ближче до зенiту.

Системи небесних координат

Оскiльки положення будь-якої точки на сферi можна однозначно задати двома величинами(центральними кутами, або ж дугами великих кiл), то положення свiтила на небi можна визна-чити задаючи двi координати, якi називаються небесними координатами.

При розв’язаннi рiзноманiтних задач астрономiї користуються рiзними системами небеснихкоординат. Цi системи вiдрiзняються одна вiд одної вибором основної площини i початком вiдлiку.

1Точнi данi про моменти початку рiвнодень та сонцестоянь можна дiзнатися на порталi United States NavalObservatory http://www.usno.navy.mil/USNO/astronomical-applications/data-services/ earth-seasons.

8

а) Горизонтальна система координат

В цiй системi координат основною площиною є площина математичного горизонту. Положе-ння свiтила на небеснiй сферi задається азимутом A i висотою свiтила над горизонтом h (див.Рис. 2).

Азимутом A свiтила M називається кут мiж площиною

Рис. 2: Горизонтальна системанебесних координат.

небесного меридiана i площиною вертикала свiтила. Азимутвiдраховують вiд точки пiвдня S на захiд (у напрямку добо-вого обертання небесної сфери) вздовж математичного гори-зонту до вертикала свiтила.

Одиницею вимiрювання азимута є градус. Таким чином,значення азимута свiтила лежить в межах вiд 0◦ до 360◦. На-приклад, азимут точки пiвночi N рiвний AN = 180◦.

Висотою h свiтила M називається кут мiж площиною го-ризонту i напрямом на свiтило, вимiряний у площинi верти-калу. Висоту свiтила вiдраховують вiд горизонту вздовж вер-тикала до свiтила.

Як i азимут, висота свiтила вимiрюється в градусах. Воназмiнюється в межах вiд 0 до +90◦ для свiтил, що перебуваютьнад горизонтом i вiд 0 до −90◦ — для свiтил пiд горизонтом.

Iнодi замiсть висоти свiтила використовують iншу координату — зенiтну вiдстань свiтилаz. Для свiтил, що перебувають у видимiй частинi небесної сфери z ≤ 90◦, а в невидимiй z ≥ 90◦.

Для одного i того ж свiтила зенiтна вiдстань пов’язана з висотою наступним спiввiдношен-ням:

z + h = 90◦.

Таким чином, в горизонтальнiй системi небесних координат положення свiтила на небеснiйсферi можна задати наступними парами координат: (A, h) або (A, z).

При встановленнi небесної сфери спостерiгачем, що знаходиться у певному географiчномупунктi, керуються теоремою про висоту полюса свiту : висота полюса свiту над горизонтом рiвнагеографiчнiй широтi мiсця спостереження.

При добовому обертаннi небесної сфери свiтила перемiщаються по добових паралелях, томупротягом доби обидвi горизонтальнi координати свiтил неперервно змiнюються, набуваючи в рiзнiмоменти часу строго визначених значеннь. Це дозволяє завчасно визначити умови видимостiнебесних свiтил в заданi моменти часу.

Проте горизонтальна система небесних координат не придатна для складання зоряних картi каталогiв. Для цього необхiдна така система координат, в якiй би обертання небесної сфери невпливало на значення координат свiтил.

б) Екваторiальнi системи координат

В екваторiальнiй системi небесних координат основною площиною є площина небесного еква-тора (див. Рис. 3). Залежно вiд вибору пари координат розрiзняють першу та другу екваторiальнiсистеми небесних координат.

В першiй екваторiальнiй системi парою координат обирають годинний кут t та схилення δ

свiтила.

9

Годинним кутом t свiтила M називається кут мiж площиною небесного меридiана i площи-ною кола схилення свiтила. Вiн вiдраховується вiд найвищої точки небесного екватора (точки Q)на захiд вздовж екватора до кола схилення свiтила.

Годинний кут вимiрюється в одиницях часу (годинах h,

Рис. 3: Екваторiальнi системи не-бесних координат.

хвилинах m, секундах s) вiд 0h до 24h. Наприклад, годиннийкут свiтила, що перетинає небесний меридiан в тiй частинiнебесної сфери де знаходиться надир (момент нижньої куль-мiнацiї), дорiвнює t = 12h.

Схиленням δ свiтила M називається кут мiж площиноюнебесного екватора i напрямком на свiтило, вимiряний у пло-щинi кола схилення. Схилення вiдраховують вiд небесногоекватора вздовж кола схилення до свiтила.

Схилення вiдраховуються в межах вiд 0 до +90◦ в на-прямку до пiвнiчного полюса свiту (в пiвнiчнiй пiвкулi небе-сної сфери) i вiд 0 до −90◦ в напрямку до пiвденного полюсасвiту (в пiвденнiй пiвкулi небесної сфери).

В другiй екваторiальнiй системi парою координат обира-ють пряме пiднесення (пряме сходження) α свiтила та його схилення δ.

Прямим пiднесенням свiтила називається кут мiж напрямком на точку весняного рiвноденняi площиною кола схилення свiтила, вимiряний у площинi небесного екватора. Пряме пiднесеннявiдраховують вiд точки весняного рiвнодення назустрiч видимому обертанню небесної сфери докола схилення свiтила.

Пряме пiднесення вимiрюють в одиницях часу вiд 0h до 24h.Екваторiальнi координати α i δ пiд час добового обертання небесної сфери не змiнюються,

оскiльки вони вiдраховуються вiд точок небесного екватора, якi самi беруть участь у добовомуобертаннi, а тому положення свiтила вiдносно цих точок не змiнюється.

Друга екваторiальна система небесних координат є основою при складаннi спискiв положеньзiр (зоряних каталогiв) та зоряних карт.

Зв’язок мiж градусною та годинною мiрою величинДля встановлення зв’зку мiж градусною та годинною мiрою будемо виходити зi спiввiдноше-

ння24h = 360◦.

Звiдси одержуємо:

1h = 15◦, 1m = 15′, 1s = 15′′ (1)

1◦ = 4m, 1′ = 4s, 1′′ =(

115

)s

. (2)

Зв’язок мiж системами небесних координатМiж координатами горизонтальної та екваторiальної систем небесних координат iснує зв’я-

зок, який виражається наступними спiввiдношеннями:

cosz = sinϕsinδ + cosϕcosδcost; (3)

sinδ = sinϕcosz − cosϕsinzcosA; (4)

sinzsinA = cosδsint. (5)

10

Цi формули отримуються в результатi застосування формул сферичної геометрiї до пара-лактичного трикутника. Паралактичним трикутником називається сферичний трикутник, вер-шинами якого є полюс свiту P, зенiт Z i свiтило M.

Формули (3) — (5) широко застосовуються в сферичнiй та практичнiй астрономiї. Зокрема,з їх допомогою можна обчислити моменти часу й азимути точок сходу i заходу свiтил в пунктi згеографiчною широтою ϕ.

Розглянемо спрощений варiант формул (3) та (4) для випадку, коли свiтило перебуває вкульмiнацiї. У цей момент годинний кут свiтила t = 0h для верхньої кульмiнацiї i t = 12h длянижньої кульмiнацiї.

• Момент верхньої кульмiнацiї

Можливi два випадки: свiтило кульмiнує на пiвдень вiд зенiту (δ < ϕ), або свiтило кульмiнуєна пiвнiч вiд зенiту (δ > ϕ). З формул (3), (4) випливає

z = ϕ− δ,

A = 0◦,

t = 0h;

кульмiнацiя на пiвдень вiд зенiту, (6)

z = δ − ϕ,

A = 180◦,t = 0h;

кульмiнацiя на пiвнiч вiд зенiту. (7)

• Момент нижньої кульмiнацiї

z = 180◦ − ϕ− δ,

A = 180◦,t = 12h.

(8)

Спiввiдношення (6) — (8) виражають зв’язок мiж горизонтальними та екваторiальними ко-ординатами свiтила в момент його кульмiнацiї.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1В пунктi з географiчною широтою ϕ = 60◦ свiтило перебуває на висотi 60◦ i має азимут

A = 120◦. Визначити його схилення i годинний кут.Розв’язанняЗенiтна вiдстань свiтила

z = 90◦ − h = 90◦ − 60◦ = 30◦.

На основi формули (4) отримуємо:

sinδ = sin60◦cos30◦ − cos60◦sin30◦cos120◦ =

=√

32

√3

2− 1

212

(−1

2

)=

78

= 0, 875.

Звiдси

δ = 61◦, 045 = 61◦02′42′′.

11

Пiдставляємо одержаний результат у формулу (5), отримуємо

sint =sin30◦sin120◦

cos61◦, 045=√

3/40, 484

= 0, 8944.

Звiдси

t = 63◦, 435 = 63◦26′06′′.

В годиннiй мiрi t = 4h13m44, 4s.

Задача 2Пряме пiднесення зорi β Великого Пса рiвне α = 6h21m09s. Виразити його в градуснiй мiрi.Розв’язанняВикористовуючи спiввiдношення (1), одержуємо

09s = 2′15′′, 21m = 5◦15′, 6h = 90◦.

Остаточно 6h21m09s = 95◦17′15′′.

Контрольнi запитання

1. Чому рiвнi азимути точок пiвночi, пiвдня, сходу i заходу?2. Чому рiвна висота свiтила в момент його сходу?3. Чому дорiвнюють пряме сходження i схилення точок весняного й осiннього рiвнодень?4. Свiтило має годинний кут t = 18h. В якiй частинi небесної сфери його можна спостерiгати?5. В яких випадках висота свiтила над горизонтом не змiнюється протягом доби?6. Вкажiть, якi з координат горизонтальної та екваторiальних систем небесних координат

змiнюються пiд час добового обертання небесної сфери, а якi не змiнюються.7. Чи залежить пряме пiднесення i схилення свiтила вiд географiчної широти мiсця спосте-

реження?

Завдання

1. Вивчити основнi елементи моделi небесної сфери, а також змiну їх положення вiдносноспостерiгача пiд час добового обертання небесної сфери.

2. Дослiдити добове обертання небесної сфери для спостерiгача, який знаходиться: а) напiвнiчному географiчному полюсi; б) на екваторi; в) на широтi Луцька (ϕ = 50, 8◦). Для кожногоз цих випадкiв зробити в зошитi малюнок, на якому слiд зобразити небесну сферу.

3. Визначити схилення Полярної зорi (α Малої Ведмедицi) якщо вiдомо, що вона вiддаленавiд пiвнiчного полюса свiту на 53′.

4. Визначити, який кут з горизонтом утворює еклiптика в момент сходу точки весняногорiвнодення для спостерiгача, що знаходиться на широтi ϕ = 55◦?

5. Азимут свiтила 45◦, висота 30◦. Визначити його схилення та годинний кут, якщо спостерi-гач знаходиться на екваторi.

6. Пряме пiднесення зорi рiвне 3h17m09s. Виразити його в градуснiй мiрi.7. Схилення свiтила δ = 60◦. Визначити азимут i висоту свiтила в момент верхньої кульмi-

нацiї, якщо спостерiгач знаходиться на широтi ϕ = 45◦.8. На яких широтах в днi лiтнього та зимового сонцестоянь Сонце кульмiнує в зенiтi?

12

9. На якiй широтi в день лiтнього сонцестояння висота Сонця в момент нижньої кульмiнацiїдорiвнює −6◦?

Додаткова лiтература

1. [Андрiєвський-Климишин] Роздiл I.2. [Кононович-Морозов] Роздiл I.3. [Smart-Green] Роздiли I, II.4. [Воронцов-Вельяминов] Роздiл III.5. [Дагаев] Роздiл I.6. [Климишин] Роздiл I.

13

№2Основи вимiрювання часу

Мета заняття: засвоєння основних одиниць вимiрювання часу в астрономiї та зв’язкiв мiжними.

Засоби i матерiали: астрономiчний календар.

Теоретичнi вiдомостi

Плин часу може бути вимiряний будь-яким регулярно повторюваним (перiодичним) проце-сом. Наше життя пов’язане з перiодичними астрономiчними явищами природи: з чергуваннямдня та ночi, змiною пiр року, якi пов’язанi з обертанням Землi навколо своєї осi та обертаннямЗемлi навколо Сонця вiдповiдно.

Таким чином, на основi астрономiчних спостережень встановлюються двi основнi одиницiчасу: доба та рiк.

Промiжок часу, за який Земля здiйснює повний оберт навколо своєї осi вiдносно довiльноїточки на небi, називається добою.

В залежностi вiд вибору точки на небi розрiзняють зоряну та iстинну сонячну добу. Зорянадоба — промiжок часу мiж двома послiдовними однойменними кульмiнацiями точки весняно-го рiвнодення. Iстинна сонячна доба — промiжок часу мiж двома послiдовними однойменнимикульмiнацiями центра Сонця. Сонячна доба приблизно на 4 хвилини довша за зоряну, оскiлькиСонце рухається серед зiрок в напрямку обертання Землi, i для того, щоб його наздогнати, Землiпотрiбно зробити серед зiрок трохи бiльше одного оберту.1

а) Зоряний час

За початок зоряної доби на даному меридiанi приймається момент верхньої кульмiнацiї то-чки весняного рiвнодення. Час, що пройшов вiд моменту верхньої кульмiнацiї точки весняногорiвнодення, називається зоряним часом.

Враховуючи, що кут, на який повернеться Земля вiд моменту верхньої кульмiнацiї точкивесняного рiвнодення до будь-якого iншого моменту часу, дорiвнює годинному куту точки весня-ного рiвнодення, одержуємо, що значення зоряного часу:

s = tγ .

Оскiльки точка весняного рiвнодення на небосхилi нiчим не помiчена, то її годинний кутнеможливо безпосередньо вимiряти. Тому на практицi зоряний час визначають шляхом вимiрю-вання годинного кута t будь-якого свiтила з вiдомим прямим пiднесенням α. Легко переконатися,що

s = tγ = t + α.

В один i той же фiзичний момент рiзниця зоряних часiв у двох пунктах земної кулi дорiвнюєрiзницi їх географiчних довгот, виражених у годиннiй мiрi:

s1 − s2 = λ1 − λ2.

1Зауважимо, що вимiрювання часу зоряними чи сонячними добами означає вибiр тої чи iншої одиницi вимiручасу. Так само, як вiдстань мiж мiстами можна виразити в кiлометрах, а можна й в милях.

14

Мiсцевий зоряний час на нульовому меридiанi називається Всесвiтнiм або гринвiцьким зоря-ним часом s0.2

Зоряний час s в пунктi з географiчною довготою λ в момент Всесвiтнього зоряного часу s0

рiвний:

s = s0 + λ.

б) Iстинний сонячний час

За початок iстинної сонячної доби приймається момент нижньої кульмiнацiї центра Сонця.Час, що пройшов вiд моменту нижньої кульмiнацiї центра Сонця, називається iстинним соня-чним часом:

T¯ = t¯ + 12h.

Незважаючи на простоту вимiрювання часу iстинними сонячними добами, ця система лiчбичасу не придатна для використання в повсякденному життi, через те, що тривалiсть iстинноїсонячної доби змiнюється протягом року. Така непостiйнiсть пов’язана з наступними двома фа-кторами:

1) Сонце здiйснює видимий рiчний рух не по небесному екватору, а по еклiптицi, яка нахиленадо екватора пiд кутом 23◦26′. Як наслiдок, змiна прямого пiднесення Сонця за одну добу поблизуточок сонцестоянь бiльша нiж поблизу точок рiвнодень, а отже, промiжок часу мiж послiдовниминижнiми кульмiнацiями Сонця поблизу точок сонцестоянь бiльший за вiдповiдний промiжок часупоблизу точок рiвнодень;

2) рух Сонця по еклiптицi є нерiвномiрним за рахунок елiптичностi орбiти Землi. Його лiнiйнашвидкiсть поблизу перигею бiльша нiж поблизу апогею.

Вказанi фактори призводять, наприклад, до того, що тривалiсть найдовшої доби (22 грудня)бiльша за тривалiсть найкоротшої доби (16 вересня) на 51 секунду.

в) Середнiй сонячний час

Аби уникнути незручностей, пов’язаних з непостiйнiстю iстинної сонячної доби, запрова-джується поняття середнього екваторiального Сонця — уявної точки, що рiвномiрно рухаєтьсяпо екватору й проходить точку весняного рiвнодення одночасно зi справжнiм Сонцем.

Промiжок часу мiж двома послiдовними однойменними кульмiнацiями середнього екваторi-ального Сонця називається середньою сонячною добою.

Час, що пройшов вiд моменту нижньої кульмiнацiї середнього екваторiального Сонця, нази-вається середнiм сонячним часом:

Tm = tm + 12h.

Зрозумiло, що середнiй сонячний час безпосередньо з астрономiчних спостережень визначатинеможливо. Його можна тiльки обчислювати. Зв’язок мiж iстинним сонячним часом та середнiмсонячним часом виражається рiвнянням часу η:

Tm = T¯ + η.

Значення η на будь-яку календарну дату можна знайти в астрономiчному календарi. Напри-клад, 12 лютого рiвняння часу η = +14 хв 17 с (максимальне позитивне значення); 3 листопадаη = −16 хв 24 с (максимальне негативне значення).

2Нульовий або гринвiцький меридiан проходить через астрономiчну обсерваторiю у мiстi Грiнвiч в Англiї.

15

Аналогiчно, як i для зоряного часу, мiсцевий середнiй сонячний час Tm на меридiанi з дов-готою λ пов’язаний з Всесвiтнiм (гринвiцьким) середнiм сонячним часом T0 спiввiдношенням:

Tm = T0 + λ.

Очевидно також, що:Tm1 − Tm2 = λ1 − λ2,

T¯1 − T¯2 = λ1 − λ2.

г) Поясний часЗ метою узгодження мiсцевого часу для людей, якi живуть в рiзних куточках нашої планети

(тобто на рiзнiй географiчнiй довготi вiд Гринвiча) в 1884 роцi, за домовленiстю бiльшостi країнсвiту, була прийнята поясна система лiчби середнього часу. Згiдно з цiєю домовленiстю, земнукулю умовно подiлено на 24 годинних пояси (вiд 0 до 23), розмiщених один вiд одного на 15◦ подовготi починаючи з нульового меридiана. Через середину кожного годинного поясу проходитьцентральний меридiан поясу.

Мiсцевий час центрального меридiана поясу N називається поясним часом TN . Приймається,що в межах одного поясу час однаковий i рiвний поясному.

За нульовий центральний меридiан прийняли гринвiцький меридiан. Нульовий годинний пояспростягається по довготi на 7, 5◦ на захiд i на стiльки ж на схiд вiд гринвiцького меридiана.Україна розташована в другому годинному поясi.3

Очевидно, що поясний час пов’язаний з гринвiцьким наступним спiввiдношенням

TN = T0 + Nh.

Поряд з цим можемо написати формулу:

TN − Tm = Nh − λ.

д) Лiтнiй часЗ метою заощадження електроенергiї бiльшiсть країн свiту, в тому числi й Україна, на своїх

територiях запроваджують лiтнiй час. Для цього щорiчно в останню недiлю березня о 2 годинiночi стрiлки годинникiв переводять на одну годину вперед, а в останню недiлю жовтня о 3 годинiночi на одну годину назад. Таким чином, взимку ми живемо за поясним часом, а влiтку за лiтнiм.

Очевидно, щоTSumm = TN + 1h.

е) Тропiчний рiкДля вимiрювання великих промiжкiв часу використовується тропiчний рiк.Промiжок часу мiж двома послiдовними моментами проходження центра Сонця через точку

весняного рiвнодення називається тропiчним роком. Вiн мiстить 365,2422 середнiх сонячних дiб,або 365 дiб 5 год 48 хв 46 с.

3Хоча Москва та прилеглi до неї територiї знаходяться у тому ж самому поясi, що й Україна, «московський час»змiщений вiдносно «київського» на одну годину вперед. Це пов’язане з тим, що в Росiї дiє так званий декретнийчас. Вiн був запроваджений урядовим декретом в 1930 роцi для всiєї територiї колишнього Радянського Союзу.У 1992 роцi постановою Кабiнету Мiнiстрiв України для населення нашої держави декретний час був скасований.Тому «київський час» збiгається з поясним часом другого поясу.

16

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1

Визначити зоряний час 8 квiтня в момент Tm = 14h36m48s середнього часу.

Розв’язання

Зоряний час: s = α+t = αm +tm, де αm та tm – пряме пiднесення та годинний кут середньогоСонця в розглядуваний момент. Середнiй час: Tm = tm + 12h. Звiдси знаходимо годинний кут:tm = Tm − 12h = 14h36m48s − 12h = 2h36m48s.

Залишається визначити пряме пiднесення середнього Сонця в задану дату. Для цього скори-стаємося наступним наближеним методом.

Оскiльки 21 березня (весняне рiвнодення) пряме пiднесення середнього Сонця α′m = 0h, аза одну добу середнє Сонце змiщується по екваторi приблизно на 1◦ = 4m, то пряме пiднесеннясереднього Сонця 8 квiтня дорiвнює αm = α′m +n · 4m = n · 4m. Тут n – кiлькiсть дiб, що роздiляє21 березня та 8 квiтня. Неважко порахувати, що n = 18.

Таким чином, 8 квiтня пряме пiднесення середнього Сонця αm = 18 · 4m = 1h12m.

Шуканий в умовi зоряний час: s = 1h12m + 2h36m48s = 3h48m48s.4

Задача 2

В момент верхньої кульмiнацiї зорi Бетельгейзе (α = 5h51m) годинник, що вiдлiчує зорянийгринвiцький час, показує 1h9m. Визначити довготу мiсця спостереження кульмiнацiї зорi. Вказатиномер годинного пояса даної мiсцевостi.

Розв’язання

Вказаний в умовi час є Всесвiтнiм зоряним часом: s0 = 1h9m. Використаємо зв’язок Всесвi-тнього часу з мiсцевим: s = s0 + λ. Звiдси λ = s − s0. За означенням, зоряний час s = α + t. Вмомент верхньої кульмiнацiї t = 0h.

Таким чином λ = α− s0 = 5h51m − 1h9m = 4h42m = 70, 5◦.

Оскiльки перший годинний пояс починається на вiдстанi 7, 5◦ вiд Гринвiча i ширина кожногопоясу 15◦, то мiсцевiсть з довготою 70, 5◦ знаходиться в V годинному поясi.

Контрольнi запитання

1. Який промiжок часу називають зоряною добою?

2. Який час вимiрюється сонячним годинником?

3. Чим вiдрiзняється середнiй сонячний час вiд iстинного сонячного часу?

4. З якими факторами пов’язана нерiвномiрнiсть iстинної сонячної доби?

5. До якого часового поясу вiдноситься Пекiн, довгота якого вiд Гринвiча рiвна 7h45m, 9?

6. Чи вiдрiзняється лiтнiй час вiд поясного?

7. Яким чином iз астрономiчних спостережень та маючи сигнал точного Всесвiтнього часуможна визначити географiчну довготу мiсця спостереження?

Завдання

4Описаний в задачi метод переведення сонячного часу в зоряний є наближеним. Точне переведення зоряногочасу в середнiй або середнього в зоряний здiйснюється за допомогою спецiальних таблиць, якi надрукованi вастрономiчному календарi.

17

1. У момент верхньої кульмiнацiї зорi Бетельгейзе (α Орiона) всесвiтнiй зоряний час рiвний15h09m. Визначити довготу мiсця спостереження, якщо пряме пiднесення зорi α = 5h51m.

2. Визначити годинний кут зорi Альтаїр (α Орла) в момент 8h20m20s зоряного часу. Прямепiднесення зорi α = 19h48m21s.

3. Користуючись наближеним методом переведення зоряного часу в середнiй сонячний, ви-значити середнiй сонячний час 1 вересня в момент 13h42m зоряного часу.

4. Обчислiть зоряний i середнiй час у Луцьку 19 лютого в момент, коли в Гринвiчi зоряКастор (α Близнюкiв) спостерiгається у верхнiй кульмiнацiї.

5. На скiльки вiдрiзняється мiсцевий час в Ужгородi вiд мiсцевого часу в Донецьку?6. Поясний час в Токiо 10h00m. Який мiсцевий час Луцька? Довгота Токiо 09h19m, 1.7. Визначити iстинний сонячний час 12 лютого в момент 11h12m середнього сонячного часу.8. В деякому населеному пунктi 14 червня в момент 18h45m середнього сонячного часу бу-

ло прийнято радiосигнал «київський час 18h00m». Визначити географiчну довготу населеногопункту та номер годинного поясу, в якому цей пункт лежить.

9. Визначити похибку «юлiанського» та «григорiанського» календарiв.

Додаткова лiтература

1. Й.Ф. Полак. Курс загальної астрономiї. – К.: Радянська школа. – 1959. (Розд. II).2. I.А. Климишин. Астрономiя. – Л.: Свiт. – 1994. (Розд. II).3. П.И. Бакулин, Э.В. Кононович, В.И. Мороз. Курс общей астрономии. – М.: Наука. – 1983.

(Розд. I).4. Б.А. Воронцов-Вельяминов. Сборник задач и практических упражнений по астрономии. –

М.: Наука. – 1977. (Розд. VII).

18

№3Рухома карта зоряного неба

Мета заняття: навчитись використовувати рухому карту зоряного неба для визначенняположень свiтил на небi залежно вiд дати та часу, визначати моменти часу сходу та заходусвiтил.

Засоби i матерiали: рухома карта зоряного неба, астрономiчний календар.

Теоретичнi вiдомостi

Одним з найпростiших астрономiчних приладiв, який дозволяє прослiдкувати за добовоюзмiною положень свiтил вiдносно небесного меридiана та горизонту, є рухома карта зоряногонеба.

За допомогою рухомої карти зоряного неба можна, хоча i наближено, але надзвичайно швид-ко i без будь-яких теоретичних розрахункiв розв’язувати низку задач практичної астрономiї.Найважливiшi серед них:

• встановлення вигляду зоряного неба в будь-який момент часу заданого дня року;

• визначення моментiв часу i азимутiв сходу та заходу свiтил;

• встановлення положення Сонця на еклiптицi в задану календарну дату та визначення по-чатку, кiнця i тривалостi сонячної доби на географiчнiй широтi спостереження;

• встановлення умов видимостi сузiр’їв в даному мiсцi Землi;

• визначення моментiв часу сходу, кульмiнацiї та заходу планет i Мiсяця;5

Модель рухомої карти зоряного небаРухома карта складається з двох елементiв: зоряної карти та накладного рухомого круга

(див. Рис. 4).Зоряна карта складена в проекцiї Михайлова: проекцiї небесного глобуса на площину, до-

тичну до нього в точцi пiвнiчного полюса свiту.6 В нiй добовi паралелi зображаються у виглядiконцентричних кiл, а кола схилень — променiв, якi виходять з пiвнiчного полюса свiту, розмiще-ного в центрi карти. Таким чином, утворюється сiтка екваторiальних координат (α, δ). Схиленнясвiтил на картi вiдраховуються вздовж радiусiв вiд краю карти до центру, в межах вiд −45◦ до90◦. Прямi пiднесення проставленi поблизу краю карти в межах вiд 0h до 24h.

Вздовж краю карти нанесено шкалу календарних дат (лiмб дат).Небесним екватором на зорянiй картi є добова паралель зi схиленням рiвним нулю. Область

карти, яка мiститься всерединi небесного екватора, є пiвнiчною небесною пiвсферою.Ексцентричний овал, який перетинається з небесним екватором в двох дiаметрально проти-

лежних точках (точцi весняного рiвнодення: α = 0h, та точцi осiннього рiвнодення: α = 12h),зображає еклiптику (на рухомiй картi зображається переважно червоним кольором). Якщо зполюса свiту провести пряму на той чи iнший день шкали календарних дат, то точка перетинуцiєї прямої з еклiптикою покаже положення Сонця на небеснiй сферi в заданий день.

5Для розв’язання цiєї задачi необхiдно знати ефемериди планет та Мiсяця, якi можна знайти в астрономiчномущорiчнику.

6Точки, що зображають сузiр’я, розмiщенi на поверхнi сфери, проектуються на площину.

19

Рис. 4: Рухома карта зоряного неба.

Накладний круг на картi зоряного неба дозволяє видiлити ту частину небосхилу, яку можнаспостерiгати в даному мiсцi Землi в заданий момент часу. Для цього вiн пофарбований напiвпро-зорою блакитною фарбою, за виключенням овалу.7 Тi сузiр’я, якi знаходяться всерединi овалу нанакладному крузi, в даний момент часу заданого дня року будуть знаходитись над горизонтом.Решта ж сузiр’їв буде знаходитись пiд горизонтом, i їх спостереження в даний момент часу зданої точки Землi неможливе.

Вiдлiк часу проводиться за годинною шкалою, яка нанесена вздовж краю накладного кругаi проградуйована в годинах вiд 0h до 24h. Вона дозволяє проводити вiдлiк мiсцевого середньогочасу з точнiстю до 5 хв.8

Контур овалу зображає математичний або iстинний горизонт. На цьому контурi нанесенашкала азимутiв, за якою можна наближено оцiнювати значення азимутiв свiтил. Вона програду-йована в градусах вiд 0◦ до 360◦. На шкалi азимутiв також позначенi основнi точки горизонту:пiвдень S (A = 0◦), захiд W (A = 90◦), пiвнiч N (A = 180◦) та схiд E (A = 270◦).

Пряма, що проходить через точки пiвдня та пiвночi, зображає небесний меридiан. Свiтила,якi перетинаються з небесним меридiаном, перебувають в кульмiнацiї у даний момент часу. Уверхнiй кульмiнацiї знаходяться тi свiтила, якi розмiщенi на небесному меридiанi мiж пiвнiчнимполюсом свiту та точкою пiвдня.

Сузiр’я, якi в даний момент часу сходять над горизонтом, знаходяться в схiднiй частинiiстинного горизонту (поблизу дуги математичного горизонту вiд точки пiвночi, через точку сходу,до точки пiвдня). I навпаки, сузiр’я, що в даний час заходять, слiд шукати поблизу захiдної

7Розмiщення овалу на накладному крузi i його форма залежать вiд географiчної широти мiсця спостереження.8Середнiй час, який вказується на годиннiй шкалi, не завжди збiгається з громадянським часом, за яким живе

спостерiгач. Цю обставину слiд враховувати при плануваннi спостереження. Визначивши за допомогою рухомоїкарти мiсцевий середнiй час певного явища, слiд внести поправку на довготу та врахувати лiтнiй час. Проте, нарозумiння сутi дослiджуваних в роботi явищ така неточнiсть часу не впливає. Тому при виконаннi роботи можнавважати, що на годиннiй шкалi вказано час, за яким живе населення України.

20

частини iстинного горизонту.

Положення зенiту на накладному крузi визначається точкою перетину небесного меридiанаi добової паралелi, яка має схилення рiвне географiчнiй широтi мiсця спостереження.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1

За допомогою рухомої карти зоряного неба визначити, якi зорi будуть перебувати у верхнiйкульмiнацiї 20 лютого о 21.30 годинi.

Розв’язання

Встановимо накладний круг рухомої карти зоряного неба таким чином, щоб подiлка на го-диннiй шкалi, яка вiдповiдає мiсцевому часу 21h30m, збiгалася з подiлкою шкали календарнихдат, що вiдповiдає 20 лютому.

Помiчаємо, що небесний меридiан мiж пiвнiчним полюсом свiту та точкою пiвдня перетинаєдвi зорi: β Близнюкiв та α Малого Пса.

Таким чином, 20 лютого о 21.30 у верхнiй кульмiнацiї перебуває двi зорi: β Близнюкiв та α

Малого Пса.

Задача 2

За допомогою рухомої карти зоряного неба визначити якi зорi будуть сходити, а якi заходити25 березня о 12 годинi.

Розв’язання

Аналогiчно, як i у попереднiй задачi, встановлюємо накладний круг у положення, яке вiдпо-вiдає моменту спостереження.

Бачимо, що поблизу схiдної частини горизонту перебувають зорi β та ξ Орiона, а також µ

Лева та γ Рака. Поблизу захiдної частини горизонту перебувають зорi α Змiєносця, α Змiї.

Отже, 25 березня о 12 годинi сходять зорi β та ξ Орiона, µ Лева, γ Рака, а заходять — α

Змiєносця та α Змiї.

Задача 3

Використовуючи рухому карту зоряного неба, визначити мiсцевий час та азимут Сонця вмомент його заходу 20 грудня та 20 червня.

Розв’язання

Проведемо з пiвнiчного полюса свiту уявний радiус до точки шкали календарних дат, щовiдповiдає 20 грудня. Точка перетину цього радiуса з еклiптикою визначає положення Сонцяна еклiптицi 20 грудня. Запам’ятавши положення цiєї точки, обертаємо накладний круг до тогомоменту, коли вона почне ховатися пiд горизонт. Помiчаємо, що навпроти позначки «20 грудня»на шкалi календарних дат стоїть позначка годинної шкали, яка вiдповiдає моменту мiсцевогочасу 15h20m. Азимут точки заходу Сонця приблизно рiвний 45◦. Таким чином, 20 грудня Сонцезаходить о T = 15h20m.9

Аналогiчно знаходимо мiсцевий час та азимут моменту заходу Сонця 20 червня. ОдержимоT = 20h30m, A = 140◦.

Контрольнi запитання

9Без врахування рефракцiї та поправки до мiсцевого часу.

21

1. Встановiть накладний круг у положення, яке вiдповiдає моменту виконання роботи.2. Назвiть основнi елементи рухомої карти зоряного неба.3. Вкажiть на накладному крузi положення зенiту.4. Чому горизонт на накладному крузi має овальну форму?5. Чому приблизно рiвне схилення та пряме пiднесення зорi ε Великого Пса?6. Чому приблизно рiвне пряме пiднесення Сонця 20 лютого?

Завдання

1. Встановiть накладний круг у положення, яке вiдповiдає моменту виконання роботи. Запи-шiть у зошит назви сузiр’їв, якi в даний момент знаходяться над горизонтом. Якi з них сходять?Якi заходять? Якi перебувають в кульмiнацiї?

2. Визначити пряме пiднесення та схилення наступних зiрок: α Орiона (Бетельгейзе), β Орiо-на (Рiгель), α Орла (Альтаїр), α Лiри (Вега).

3. У днi 21 березня, 22 червня, 23 серпня та 22 грудня знайти моменти часу сходу, верхньоїкульмiнацiї, заходу та нижньої кульмiнацiї зiрок: 1)Веги; 2) Рiгеля; 3) Альтаїра.

4. Визначити мiсцевий час моментiв сходу та заходу Сонця 1 вересня, 1 сiчня та в датупроведення заняття. Обчислiть тривалiсть дня в зазначенi дати.

5. Визначити азимути точок сходу i заходу наступних зiрок: α Дiви (Спiка), α Великого Пса(Сiрiус), α Лебедя (Денеб).

6. Використовуючи астрономiчний щорiчник, випишiть ефемериди внутрiшнiх планет (Мер-курiя та Венери) та Мiсяця на момент проведення заняття. Знайдiть вiдповiднi положення нарухомiй картi. Обертаючи накладний круг, визначте моменти сходу, кульмiнацiї та заходу цихсвiтил.

Додаткова лiтература

1. [Андрiєвський-Климишин] Роздiл I.2. [Кононович-Морозов] Роздiл I.3. [Осипов] Усi роздiли.4. [Климишин] Роздiл II.

22

№4Схiд i захiд свiтил

Мета заняття: навчитись розраховувати моменти часу сходу та заходу свiтил.

Засоби i матерiали: астрономiчний календар.

Теоретичнi вiдомостi

Одним iз найважливiших завдань практичної астрономiї є визначення моментiв часу та ази-мутiв точок сходу та заходу небесних свiтил. Моменти часу сходу та заходу свiтила, а такожположення точок сходу та заходу на математичному горизонтi залежать вiд схилення δ свiтилата географiчної широти ϕ мiсця спостереження.

Наближено це завдання розв’язується за допомогою рухомої карти зоряного неба.1

Точнi вирази для годинного кута t та азимута свiтила A в момент його сходу чи заходузалежно вiд географiчної широти ϕ та схилення δ випливають iз геометричних спiввiдношеньмiж сторонами та кутами сферичного трикутника, вершинами якого є полюс свiту P, зенiт Z тасвiтило M. Такий сферичний трикутник називається паралактичним (Креслення 5а).

Рис. 5: а) Паралактичний трикутник; б) зони свiтил, що не заходять та не сходять.

Перш нiж застосовувати до паралактичного трикутника формули сферичної геометрiї з’ясу-ємо, за яких умов свiтило буде сходити i заходити.

Оскiльки в момент сходу чи заходу свiтило перетинає горизонт, то для того, щоб свiтилосходило i заходило, необхiдно, аби його добова паралель перетиналася з iстинним горизонтом(Рис. 5б).

Математично ця умова виражається наступним спiввiдношенням:

|δ| < (90◦ − ϕ). (1)

Якщо ж для свiтила виконується умова δ > (90◦ − ϕ), то воно нiколи не заходить в мiсцевостiз широтою ϕ (постiйно перебуває над горизонтом). I навпаки, якщо δ < −(90◦ − ϕ), то свiтилонiколи не сходить на широтi ϕ (постiйно перебуває пiд горизонтом).

Отож, коли ми беремося розрахувати, наприклад, момент сходу якоїсь зорi, то спершу по-трiбно перевiрити чи виконується умова (1).

1Про метод визначення моментiв часу та азимутiв точок сходу i заходу небесних свiтил за допомогою рухомоїкарти зоряного неба докладно описано в практичному заняттi №3.

23

Тепер перейдемо до виведення формул для обчислення моментiв сходу та заходу, а такожазимутiв точок сходу i заходу свiтил.

Розглянемо паралактичний трикутник PZM (Рис. 5а). Запишемо значення сторiн i кутiвцього сферичного трикутника

PZ = 90◦ − ϕ, PM = 90◦ − δ, ZM = z,

∠ZPM = t, ∠PZM = 180◦ −A.

Застосуємо до сторони ZM формулу косинуса сторони сферичного трикутника.2 Одержимо

cos ZM=cosz = cos(90◦ − ϕ)cos(90◦ − δ) + sin(90◦ − ϕ)sin(90◦ − δ)cost.

Пiсля спрощень одержуємо спiввiдношення

cosz = sinϕsinδ + cosϕcosδcost. (2)

Аналогiчно

cosPM=cos(90◦−δ)=cos(90◦ − ϕ)cosz + sin(90◦ − ϕ)sinzcos(180◦ −A).

Звiдсиsinδ = sinϕcosz − cosϕsinzcosA. (3)

Формули (2) та (3) виражають спiввiдношення мiж екваторiальними та горизонтальнимисистемами координат. Вони вiдiграють дуже важливу роль у сферичнiй та практичнiй астрономiї.

Скористаємося цими формулами для знаходження моменту часу та мiсця сходу i заходусвiтил.

Для цього врахуємо, що в момент сходу чи заходу свiтила воно перетинає горизонт, тобто вцей момент зенiтна вiдстань свiтила z = 90◦.

Одержимоcos90◦ = sinϕsinδ + cosϕcosδcost,

звiдкиcost = − sinϕsinδ

cosϕcosδ= − tgδ

tg(90◦ − ϕ). (4)

Годинний кут, обчислений за формулою, (4) має два значення: +t для моменту заходу (t <

180◦) i −t для моменту сходу (t > 180◦).Знаючи пряме пiднесення свiтила α, знаходимо моменти мiсцевого зоряного часу сходу й

заходу свiтилаsсх = α− |t|, sзах = α + |t|. (5)

За вiдомим зоряним часом легко знайти середнiй сонячний час сходу й заходу свiтила.3

Якщо обчислюються моменти сходу та заходу Сонця, то немає потреби знаходити зорянийчас, оскiльки одразу можна обчислити мiсцевий iстинний сонячний час T¯ = t¯ + 12h. Тодiмiсцевий середнiй час

Tсх = 12h − t¯ + η, Tзах = 12h + t¯ + η,

2Згiдно з цiєю формулою косинус сторони сферичного трикутника дорiвнює добутку косинусiв двох iншихсторiн плюс добуток синусiв цих сторiн на косинус кута мiж ними: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A.

3Метод переведення зоряного часу в сонячний описано в практичнiй роботi №3.

24

де η – рiвняння часу.Для знаходження азимутiв точок сходу i заходу свiтила скористаємося формулою (3). Пiд-

ставляючи в неї z = 90◦, одержимо

cosA = − sinδ

cosϕ= − sinδ

sin(90◦ − ϕ). (6)

Для точки заходу свiтила береться значення азимута, що дорiвнює A, а для точки сходу —(360◦ −A). Таким чином

Aсх = 360◦ −A, Aзах = A. (7)

Знайденi вище формули для годинного кута та азимута точок сходу i заходу є точнимив математичному сенсi, але наближеними у фiзичному. Йдеться про те, що ми не врахувалиефекти спричиненi атмосферою Землi. Наявнiсть атмосфери призводить до того, що промiньсвiтла вiд небесного тiла перш нiж потрапити в око спостерiгача проходить крiзь земну атмосферуi заломлюється, тим самим змiщуючи видиме положення свiтила вiдносно справжнього. Це явищеназивається астрономiчною рефракцiєю.

За рахунок рефракцiї видиме положення свiтила змiщується вiдносно справжнього до зенiту.Величина змiщення ρ залежить вiд висоти свiтила над горизонтом, а також вiд температури татиску. За нормальних умов для свiтил, що спостерiгаються на горизонтi, значення ρ приймаютьрiвним 35′.

З врахуванням рефракцiї, формула (2) набуде вигляду

cos(90◦ + ρ) = sinϕsinδ + cosϕcosδcost,

звiдкиcost = −0, 0105 + sinϕsinδ

cosϕcosδ. (8)

Розв’язуючи задачi на визначення моментiв часу сходу та заходу Сонця, потрiбно врахову-вати крiм рефракцiї також видимий радiус Сонця (R¯ ≈ 16′). Це уточнення пов’язане з тим, щочасом сходу або заходу Сонця вважається момент часу, коли верхнiй край сонячного диска тор-кнеться горизонту, тодi як в астрономiчних календарях поданi схилення центра сонячного дискаδ¯.

З врахуванням рефракцiї та видимого кутового радiуса Сонця, годинний кут в момент пере-тину краєм сонячного диска горизонту рiвний

cost¯ = −0, 0148 + sinϕsinδ¯cosϕcosδ¯

. (9)

Вiдповiднi поправки до значення азимута мають вигляд

cosA = −0, 0105tgϕ− sinδ

sin(90◦ − ϕ), (10)

cosA¯ = −0, 0148tgϕ− sinδ¯sin(90◦ − ϕ)

. (11)

На завершення скажемо кiлька слiв про такi цiкавi явища як полярний день та полярна нiч,а також бiла нiч.

У тi днi року, коли Сонце не заходить за горизонт (навiть у момент нижньої кульмiнацiї),триває полярний день i навпаки, у тi днi року, коли Сонце не сходить над горизонтом (навiть умомент верхньої кульмiнацiї), триває полярна нiч.

25

Застосуємо умову того, що свiтило не заходить на данiй широтi δ > (90◦ − ϕ) до Сонця.Одержимо, що полярний день триває в тi днi року, коли схилення Сонця задовольняє умовi

δ¯ > 90◦ − ϕ.

З врахуванням рефракцiї та видимого радiуса Сонця, знаходимо, що дата початку полярногодня вiдповiдає тому дню в роцi, в який схилення Сонця рiвне

δ¯ = 90◦ − (ϕ + ρ + R¯). (12)

Отримане значення схилення Сонця вiдшукуємо в астрономiчному щорiчнику та виписуємодату, що вiдповiдає цьому значенню. Очевидно, що таких дат буде двi. Одна з них визначаєпочаток полярного дня, iнша — кiнець. За початок полярного дня обирається той день, пiсляякого схилення Сонця зростає.

Аналогiчно, дата початку полярної ночi вiдповiдає тому дню в роцi, в який схилення Сонцярiвне

δ¯ = ϕ− 90◦ + ρ + R¯, (13)

а в наступнi днi воно зменшується.Надзвичайно вражаючим астрономiчним явищем є бiла нiч, коли Сонце ненадовго заходить

за обрiй. Протягом бiлої ночi тривають сутiнки, тобто освiтленiсть небосхилу навiть опiвночiблизька до вечiрньої. Це явище можна спостерiгати влiтку на високих широтах (починаючи при-близно з 60◦). Прийнято вважати, що бiла нiч вiдбувається, якщо Сонце опускається за горизонтна висоту вiд 0◦ до −6◦ (громадянськi сутiнки).

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1З’ясувати, чи можна спостерiгати на зоряному небi у вашiй мiсцевостi зорю Арктур (α Во-

лопаса), екваторiальнi координати якої рiвнi δ = 19◦27′, α = 14h13m24s? Якщо так, то чи будевона сходити i заходити? Визначте момент сходу зорi.

Розв’язанняБудемо вважати, що спостерiгач знаходиться в Луцьку (ϕ = 50, 8◦ = 50◦48′).Свiтило буде спостерiгатися над горизонтом, якщо виконується умова δ ≥ ϕ−90◦. В нашому

випадку ϕ − 90◦ = 50, 8◦ − 90◦ = −39, 2◦. Таким чином, на широтi Луцька можна спостерiгатисвiтила, схилення яких бiльшi −39, 2◦. Оскiльки схилення Арктура δ = 19◦27′, то зорю можнаспостерiгати в данiй мiсцевостi.

Далi з’ясуємо, чи буде вона сходити i заходити.Для цього слiд перевiрити, чи виконується умова (1). Маємо

|δ| < (90◦ − ϕ) = 90◦ − 50, 8◦ = 39, 2◦.

Таким чином, на широтi Луцька будуть сходити i заходити свiтила, схилення яких лежать вiнтервалi

−39, 2◦ < δ < 39, 2◦.

Бачимо, що схилення Арктура потрапляє в цей iнтервал.

26

Залишається визначити момент сходу зорi. Згiдно з формулою (8) годинний кут свiтила вмомент сходу чи заходу

cost = −0, 0105 + sinϕsinδ

cosϕcosδ=

= −0, 0105 + sin50◦48′sin19◦27′

cos50◦48′cos19◦27′= −0, 45.

Звiдки

t = arccos(−0, 45) = 116, 78◦ = 116◦46′57′′ = 7h47m07s.

Зоряний час сходу Арктура

s = t + α = 7h47m07s + 14h13m24s = 22h00m31s.

Задача 2Визначте мiсцевий середнiй час та азимут точки сходу Сонця 1 сiчня в Києвi (ϕ = 50, 5◦ =

50◦30′). Рiвняння часу 1 сiчня рiвне η = 4m.

Розв’язанняЗ таблицi сонячних ефемерид астрономiчного щорiчника виписуємо схилення та пряме пiд-

несення Сонця 1 сiчня

δ¯ = −23◦04′18′′, α¯ = 18h43m02s.

Годинний кут моменту сходу Сонця знаходимо за формулою (9)

cost¯ = −0, 0148 + sinϕsinδ¯cosϕcosδ¯

=

= −0, 0148 + sin50◦30′sin(−23◦04′18′′)cos50◦30′cos(−23◦04′18′′)

= 0, 49.

Звiдки

t¯ = arccos(0, 49) = 60, 565◦ = 60◦33′55′′ = 4h02m15s.

Мiсцевий середнiй час сходу Сонця

Tсх = 12h − t¯ + η = 12h − 4h02m15s + 4m = 08h01m45s.

Азимут точки сходу Сонця знаходимо за формулою (11)

cosA¯ = −0, 0148tgϕ− sinδ¯sin(90◦ − ϕ)

=

= −0, 0148tg50◦30′ − sin(−23◦04′18′′)sin(90◦ − 50◦30′)

= 0, 598.

Звiдси

A¯ = arccos(0, 598) = 52, 26◦ = 53◦15′48′′.

Азимут точки сходу Сонця

Aсх = 360◦ −A¯ = 360◦ − 53◦15′48′′ = 306◦44′12′′.

Контрольнi запитання

27

1. За якої умови свiтило буде видимим на данiй широтi?2. Який трикутник називається паралактичним?3. Чому рiвна висота свiтила в момент його заходу?4. У чому полягає явище рефракцiї? Як впливає рефракцiя на видиме положення свiтила?5. Яким чином можна визначити тривалiсть свiтлового дня в задану календарну дату?6. В яких межах змiнюється схилення Сонця протягом року?7. За якої умови в данiй мiсцевостi може розпочатися полярний день?

Завдання

1. Випишiть iз зоряного каталогу по п’ять свiтил, якi на вашiй широтi: нiколи не заходять,сходять i заходять, нiколи не сходять.

2. З’ясувати, чи можна спостерiгати на зоряному небi у вашiй мiсцевостi зорю Антарес (αСкорпiона) схилення якої рiвне δ = −26◦19′? Те саме, визначити для спостерiгача, що знаходитьсяв Мурманську (ϕ = 68◦58′).

3. Визначте зоряний час сходу зорi Альтаїр (α Орла) на широтi Сiмферополя (ϕ = 45◦),екваторiальнi координати якої рiвнi δ = 8◦44′, α = 19h48, 3m.

4. Визначте мiсцевий середнiй час та азимут сходу Венери 5 березня у вашiй мiсцевостi. Вдану календарну дату на момент 0h Всесвiтнього часу екваторiальнi координати Венери δ =

12◦21′, α = 1h46m36s.5. Визначите мiсцевий середнiй час та азимут точки сходу Сонця 8 березня в Луцьку. Рiвня-

ння часу 8 березня рiвне η = 10m49s.

6. Враховуючи рефракцiю та видимий кутовий радiус Сонця, визначте тривалiсть дня таазимути Сонця в момент його сходу та заходу 22 червня та 22 грудня в Луцьку.

7. Визначте дату початку полярного дня на островi Дiксон (ϕ = 73◦30′).8. Визначте дату початку i тривалiсть полярної ночi на островi Рудольфа (ϕ = 82◦).9. Визначити початок i тривалiсть перiоду бiлих ночей в мiстечку Iнарi (Фiнляндiя), широта

якого 68◦54′20′′ та у Санкт-Петербурзi (Росiя), для якого ϕ = 59◦57′00′′.

Додаткова лiтература

1. Й.Ф. Полак. Курс загальної астрономiї. – К.: Радянська школа. – 1959. (Розд. II).2. I.А. Климишин. Астрономiя. – Л.: Свiт. – 1994. (Розд. I).3. П.И. Бакулин, Э.В. Кононович, В.И. Мороз. Курс общей астрономии. – М.: Наука. – 1983.

(Розд. I).4. Б.А. Воронцов-Вельяминов. Сборник задач и практических упражнений по астрономии. –

М.: Наука. – 1977. (Розд. IX).

28

№5Визначення вiдстаней до небесних тiл та їх розмiрiв. Паралакс

Мета заняття: засвоїти основнi методи визначення вiдстаней до небесних тiл та їх розмiрiв.Засоби i матерiали: астрономiчний календар.

Теоретичнi вiдомостi

Визначення вiдстаней до свiтилВизначення вiдстаней вiд Землi до тiл Сонячної системи засноване на вимiрюваннi їх пара-

лаксiв — змiщень положень тiл вiдносно певного фону при спостереженнях iз рiзних точок.Добовим паралаксом свiтила p називається кут, пiд яким зi свiтила S видно радiус Землi AO.

Паралакс змiнюється зi змiною висоти свiтила над горизонтом. Коли свiтило перебуває в зенiтi,його паралакс дорiвнює нулевi. Найбiльшого значення p0 цей кут досягає, коли свiтило перебуваєна горизонтi (Рис. 6).

Як вiдомо, Земля трохи сплюснута бiля полюсiв (рiзниця екваторiального та полярного дi-аметрiв становить 42 км), тобто форма її поверхнi близька до сфероїда (елiпсоїда обертання).Таким чином, горизонтальний паралакс для даного свiтила буде залежати вiд положення спо-стерiгача. Очевидно, що для заданого свiтила найбiльшого значення горизонтальний паралакснабуває на екваторi. Зазвичай вимiрюють горизонтальнi екваторiальнi добовi паралакси свiтил.1

p

L

S A

O

Рис. 6: Визначення добового паралаксу свiтила.

Горизонтальний паралакс Мiсяця дорiвнює 57′, планет — менше 1′.Якщо вiдомий горизонтальний паралакс свiтила, то можна обчислити вiдстань вiд Землi до

свiтила L.Справдi, з прямокутного трикутника AOS (див. Креслення 6) знаходимо

L = SO =AO

sin p0=

R

sin p0. (1)

Оскiльки для всiх свiтил, крiм Мiсяця, паралакси не перевищують 1′, то формулу (1) можнаспростити, скориставшись наближенням sin p0 ' p0. Тодi

L =R

p0, (2)

де p0 виражається в радiанах.Якщо паралакс вимiрюється у секундах дуги, то вiдстань до свiтила обчислюється за фор-

мулою:L = R

206 265p′′0

. (3)

1Надалi пiд горизонтальним паралаксом будемо розумiти горизонтальний екваторiальний добовий паралакс.

29

Нагадаємо, що екваторiальний радiус Землi рiвний R = 6378 км.

Таким чином, визначення вiдстаней вiд Землi до свiтил Сонячної системи зводиться до зна-ходження їх горизонтальних добових паралаксiв.

Найпростiший спосiб знаходження горизонтального паралаксу заснований на тому, що спо-стерiгають кульмiнацiю свiтила одночасно з двох обсерваторiй, якi лежать на одному меридiанi.Можна показати, що горизонтальний паралакс

p0 =δ1 − δ2

sin(ϕ2 − δ2)− sin(ϕ1 − δ1), (4)

де ϕ1 та ϕ2 – широти першої та другої обсерваторiй, а δ1 та δ2 — топоцентричнi схилення свiтила,що були визначенi зi спостережень з першої та другої обсерваторiй вiдповiдно.2

Зауважимо, що описаний спосiб визначення горизонтального паралаксу не може бути засто-сований до центрального свiтила сонячної системи — Сонця. Його паралакс визначають опосе-редковано, застосовуючи третiй закон Кеплера.3

Альтернативним методом визначення вiдстаней до тiл сонячної системи є метод радiо- талазеролокацiї.

Вимiрявши час t поширення сигналу з Землi до небесного тiла i назад, обчислюємо вiдстаньL до свiтила

L =ct

2, (5)

де c – швидкiсть поширення сигналу (c = 3 · 105 км/с).Першу радiолокацiю Сонця було здiйснено у 1963 роцi.На даний момент приймаються наступнi значення горизонтального паралаксу Сонця p¯ та

середньої вiдстанi вiд Землi до Сонця a:

p¯ = 8′′, 7941, a = 149 597 870 км.

Визначення вiдстанi до зiрок та iнших небесних тiл, якi знаходяться за межами сонячноїсистеми, засноване на вимiрюваннi рiчних паралаксiв цих свiтил.

Рiчним паралаксом π свiтила S називається кут, пiд яким зi свiтила було б видно середнiйрадiус земної орбiти, за умови, що напрямок на зiрку перпендикулярний до цього радiусу (Кре-слення 7).

S

a

Земля

Сонце

p

L

Рис. 7: Визначення рiчного паралаксу свiтила.

Вiдстань вiд Землi до свiтила S дорiвнює

L =a

sinπ. (6)

2Топоцентричнi координати отримуються зi спостережень на поверхнi Землi. В астрономiчних календарях iщорiчниках даються геоцентричнi координати свiтил, якi розраховуються для напрямiв на свiтило з центра Землi.Топоцентричнi координати збiгаються з геоцентричними в момент, коли свiтило перебуває в зенiтi.

3Докладнiше про визначення горизонтального паралаксу Сонця див. у пiдручнику [2].

30

Оскiльки рiчнi паралакси зiрок меншi 1′′, то з великою точнiстю буде виконуватись спiввiд-ношення

L = a206 265

π′′. (7)

Визначення розмiрiв свiтилПiсля того, як ми навчилися визначати вiдстанi до свiтил сонячної системи, можемо знайти

їх лiнiйнi розмiри. Для цього необхiдно також знати кутовi розмiри свiтила.Кутовим дiаметром свiтила називається кут, пiд яким з Землi спостерiгається його диск.

Кутовi дiаметри деяких небесних тiл (Сонця, Мiсяця, планет) легко вимiряти за допомогою те-лескопа.

Позначимо кутовий радiус свiтила S через ρ, а лiнiйний радiус через — r (Креслення 8). Тодi,якщо L — вiдстань до свiтила S, то має мiсце спiввiдношення

r = L sin ρ, (8)

або наближеноr = L

ρ′′

206 265. (9)

Позначення ρ′′ вказує на те, що кутовий радiус має виражатися в секундах дуги.

S

Земля

r r

L

Рис. 8: Визначення лiнiйних розмiрiв свiтил.

Одиницi вимiрювання вiдстаней в астрономiїЯкщо вiдстанi до небесних тiл дуже великi, то вимiрювати їх кiлометрами незручно.Тому в астрономiї поряд iз кiлометром запроваджено три додаткових одиницi вимiрювання

вiдстаней:астрономiчна одиниця (а. о.) — чисельно рiвна середнiй вiдстанi вiд Землi до Сонця.

1 а. о. = 149 597 870 км.

свiтловий рiк (св. р.) — чисельно рiвний вiдстанi, яку свiтло проходить за один рiк.

1 св. р. = 9, 46 · 1012 км = 63 240 а. о.

парсек (пс) — чисельно рiвний вiдстанi, що вiдповiдає рiчному паралаксу в 1′′.

1 пс = 206 265 а. о. = 3, 26 св. р.

31

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1Середнiй горизонтальний добовий паралакс Мiсяця дорiвнює 57′02′′, його середнiй кутовий

дiаметр — 31′05′′. Визначити вiдстань вiд Землi до Мiсяця, а також його лiнiйний радiус.Розв’язанняСпершу знайдемо вiдстань вiд Землi до Мiсяця. З формули (1) знаходимо

L =6378

sin 57′02′′=

63780, 0165895

= 384 460 км.

Середнiй кутовий радiус Мiсяця ρ =31′05′′

2= 15′32′′, 5. Пiдставимо отримане ρ в формулу

(8):r = 384 460 sin 15′32′′, 5 = 384 460 · 0, 00452 = 1737, 7 км.

Задача 2Рiчний паралакс Сiрiуса дорiвнює 0′′, 37. Визначити вiдстань вiд Землi до Сiрiуса. Виразити

вiдповiдь в астрономiчних одиницях, свiтлових роках та парсеках.Розв’язанняЯкщо у формулi (7) a вимiрювати в а. о., то й знайдена вiдстань також буде вимiрюватись в

а. о.L =

206 2650, 37

1 а. о. = 557473 а. о. = 8, 8 св. р. = 2, 7 пс.

Контрольнi запитання

1. Яка величина називається добовим паралаксом?2. Яким спiввiдношенням пов’язанi добовi паралакси свiтила, вимiрянi на екваторi та на

пiвнiчному полюсi?3. Скiльком секундам дуги вiдповiдає кут в один радiан?4. Яким чином можна вимiряти рiчний паралакс?5. Скiльки часу свiтловий промiнь проходить вiдстань вiд Сонця до Землi?6. Як пов’язанi мiж собою одиницi вимiрювання вiдстанi в астрономiї?

Завдання

1. Середнiй паралакс Сонця дорiвнює 8′′, 8, його кутовий радiус — 16′1′′. Визначити середнювiдстань вiд Землi до Сонця, а також дiаметр Сонця. У скiльки разiв радiус Сонця бiльшийрадiуса Землi?

2. Визначити горизонтальний паралакс Марса в момент, коли ця планета знаходиться най-ближче до Землi (L = 0, 378 а. о.)

3. У деякий момент горизонтальний паралакс Юпiтера дорiвнює 1′′, 47. Визначити, на якiйвiдстанi вiд Землi в даний момент знаходиться Юпiтер? Вiдповiдь виразити в а. о.

4. Максимальна вiдстань вiд Землi до Сатурна дорiвнює 1658,5 млн. км, а його максимальнийкутовий дiаметр — 20′′, 1. Визначити лiнiйний дiаметр Сатурна. Порiвняти його з дiаметромЗемлi.

5. Найменша вiдстань Венери вiд Землi дорiвнює 40 млн. км; у цей момент кутовий радiусВенери дорiвнює 32′′, 4. Визначити лiнiйний дiаметр цiєї планети. Порiвняти його з дiаметромЗемлi.

32

6. Радiосигнал вiдправлений до Марса, повернувся на Землю через 522,6 с. На якiй вiдстанiвiд Землi знаходиться в даний момент Марс?

7. Скiльки часу потрiбно було б уявному потягу, який рухається без зупинок зi швидкiстю100 км/год, щоб доїхати до найближчої зорi — α Центавра, рiчний паралакс якої дорiвнює 0′′, 76?

8. Паралакс Спiки дорiвнює 0′′, 02, а паралакс Веги — 0′′, 12. Виразити вiдстань до цих зiроку парсеках, свiтлових роках та астрономiчних одиницях.

9. Скiльки часу свiтловий промiнь рухається вiд Альтаїра до Землi? Паралакс Альтаїра до-рiвнює 0′′, 20.

Додаткова лiтература

1. Й.Ф. Полак. Курс загальної астрономiї. – К.: Радянська школа. – 1959. (Розд. V).2. I.А. Климишин. Астрономiя. – Л.: Свiт. – 1994. (Розд. IV).3. П.И. Бакулин, Э.В. Кононович, В.И. Мороз. Курс общей астрономии. – М.: Наука. – 1983.

(Розд. III).4. Б.А. Воронцов-Вельяминов. Сборник задач и практических упражнений по астрономии. –

М.: Наука. – 1977. (Розд. XIII та XXIV).

33

№6Елементи небесної механiки

Мета заняття: вивчити закономiрностi руху планет сонячної системи, а також навчитисьрозраховувати їх конфiгурацiї.

Засоби i матерiали: астрономiчний календар.

Теоретичнi вiдомостi

Рух небесних тiл здiйснюється пiд дiєю гравiтацiйної взаємодiї, яка описується законом Все-свiтнього тяжiння, що був вiдкритий Ньютоном (1687р.). Згiдно iз цим законом сила взаємодiїмiж двома тiлами масами m1 та m2, вiдстань мiж центрами яких дорiвнює r, визначається фор-мулою1

F = Gm1m2

r2

rr,

де G ' 6.6742 · 10−11 м3

кг·с2 — гравiтацiйна стала.Iз закону Всесвiтнього тяжiння випливає, що сила гравiтацiйної взаємодiї мiж тiлами прямо

пропорцiйна добутку мас та обернено пропорцiна квадрату вiдстанi мiж тiлами. Зауважимо, щогравiтацiна взаємодiя завжди створює притягання мiж тiлами, або окремими частинами одноготiла.

Вiдповiдна потенцiальна енергiя гравiтацiйної взаємодiї має вигляд

U(r) = −Gm1m2

r.

Ця енергiя не залежить вiд часу та взаємної орiєнтацiї тiл, а визначається лише вiдстанню мiжтiлами. Наслiдком такої залежностi потенцiальної енергiї є виконання двох законiв збереження:повної механiчної енергiї та моменту iмпульсу

E =mv2

1

2+

mv22

2−G

m1m2

r= const,

M = m1[v1 × r1] + m2[v2 × r2] = const,

Теорiя руху двох тiл пiд дiєю гравiтацiйної взаємодiї вiдома як задача двох тiл. Розв’язокцiєї задачi показує, що два тiла, якi притягуються за законом Всесвiтнього тяжiння, будуть здiй-снювати рух навколо спiльного центра мас. У залежностi вiд початкових умов (швидкостi тiл, їхмас та вiдстанi мiж ними) тiла можуть обертатись по елiптичних траєкторiях або розсiюватисьпо параболiчних чи гiперболiчних траєкторiях (див. Рис. 9)

Очевидним є той факт, що при обертальному руховi взаємодiючих тiл їх центри мають за-лишатися на лiнiї, яка проходить через центр мас, координати якого визначаються за формулою

rС =m1r1 + m2r2

m1 + m2.

Перiод обертання “подвiйної системи” навколо центра мас визначається на основi рiвняньруху тiл (наприклад у формi другого закону Ньютона) i описується формулою

T 2 =4π2

G(m1 + m2)a3,

1Зауважимо, що наведена формула закону Всесвiтнього тяжiння справедлива для точкових тiл. У випадку,коли тiла мають скiнченнi просторовi розмiри, силу притягання мiж ними слiд обчислювати шляхом iнтегруваннясили у векторнiй формi по об’ємах двох тiл. Можна показати, що для тiл зi сферично-симетричним розподiломмас вiдповiдне iнтегрування дає ту саму силу тяжiння, яку б давали точковi маси розташованi у центрi тiл.

34

а)

с)

C C

C

б)

Рис. 9: Траєкторiї в задачi двох тiл.

де a = a1 + a2, a1 та a2 — середнi вiдстанi тiл вiд центру мас. Це спiввiдношення вiдоме якуточнений третiй закон Кеплера (про закони Кеплера див. нижче).

Можна також показати, що виконується наступне спiввiдношення

a1

a2=

m2

m1.

З останнього спiввiдношення випливає, що у випадку, коли маса першого тiла набагато бiльшаза масу другого (m1 À m2), то середнiй радiус орбiти першого тiла набагато менший радiусаорбiти другого тiла (a1 ¿ a2), тобто набагато масивнiше тiло знаходиться поблизу центра мас iпрактично нерухоме. Така ситуацiя має мiсце у випадку взаємодiї Сонця iз планетою сонячноїсистеми.

Розглянемо застосування законiв небесної механiки до опису кiнематики сонячної системи.

Сонячна система складається з однiєї зiрки (Сонця), восьми великих планет та їхнiх супу-тникiв, а також менших небесних тiл, таких як астероїди, комети та метеорити.

Центральним тiлом сонячної системи є Сонце. Навколо Сонця обертається вiсiм великихпланет: Меркурiй (0,387 а. о.), Венера (0,723 а. о.), Земля (1 а. о.), Марс (1,524 а. о.), Юпiтер(5,203 а. о.), Сатурн (9,539 а. о.), Уран (19,191 а. о.) i Нептун (30,071 а. о.).2

Рух планет навколо Сонця здiйснюється пiд дiєю сили Всесвiтнього тяжiння i описуєтьсятрьома законами Йогана Кеплера, якi вiн встановив емпiричним шляхом на основi аналiзу ре-зультатiв власних спостережень та 20-рiчних спостережень Тiхо Браге. Цi закони формулюютьсянаступним чином:

1. Усi планети рухаються по елiпсах, в одному iз фокусiв яких (спiльного для всiх планет)знаходиться Сонце (1609 р.).

2. Радiус-вектор планети, проведений iз Сонця, за однаковi промiжки часу описує однаковiплощi (1609 р.).

3. Квадрати перiодiв обертання планет навколо Сонця вiдносяться, як куби їх середнiх вiд-

2У дужках зазначено середню вiдстань планети до Сонця.

35

станей до Сонця (1619 р.):T 2

1

T 22

=a3

1

a32

. (1)

a

Планета

Сонцеr

А

rП

r

АП

Dt

Dt

а) б)

Рис. 10: Iлюстрацiя першого та другого законiв Кеплера.

Найближча до Сонця точка орбiти планети називається перигелiєм (П), а найбiльш вiддалена— афелiєм (А).

Перигелiйна rП та афелiйна rА вiддалi пов’язанi з ексцентриситетом e i великою пiввiссю a

елiпса спiввiдношеннями:

rП = a(1− e), rА = a(1 + e). (2)

Звiдси легко отримуються зворотнi формули:

a =rА + rП

2, e =

rА − rП2a

. (3)

З другого закону Кеплера (закону збереження проекцiї моменту iмпульсу)

rАvА = rПvП

слiдує, що лiнiйна швидкiсть руху планети по орбiтi є нерiвномiрною. Вона досягає максимально-го значення у перигелiї i є мiнiмальною в афелiї. Перигелiйна i афелiйна швидкостi визначаютьсязi спiввiдношень

vП = vc

√1 + e

1− e, vА = vc

√1− e

1 + e. (4)

Тут vc =

√G(M¯ + m)

a— середня швидкiсть, що вiдповiдає руховi планети масою m по коловiй

орбiтi радiуса a.Середня швидкiсть планети виражається через перiод її обертання навколо Сонця T за до-

помогою спiввiдношення:

vc =2πa

T. (5)

Зауважимо, що перiод обертання небесного тiла навколо центра тяжiння називається сиде-ричним. У третьому законi Кеплера та у формулi (5) фiгурує саме сидеричний перiод.

Сидеричний перiод обертання Землi вiдрiзняється вiд сидеричних перiодiв обертання iншихпланет. Це призводить до того, що положення планет вiдносно Сонця та Землi безперервно змi-нюються.

Положення планет вiдносно Сонця та Землi називаються конфiгурацiями планет. Серед без-лiчi конфiгурацiй видiляють декiлька особливих положень. Розрiзняють чотири конфiгурацiї вну-трiшнiх планет (Меркурiй, Венера) i чотири конфiгурацiї зовнiшнiх планет (Марс, Юпiтер,Сатурн, Уран, Нептун).

36

Для внутрiшнiх (нижнiх) планет особливими є наступнi положення (Креслення 11): a) верхнєсполучення; b) захiдна елонгацiя; c) нижнє сполучення; d) схiдна елонгацiя.

У моменти сполучень, коли еклiптична довгота планети дорiвнює довготi Сонця, нижня пла-нета, перебуваючи на однiй прямiй iз Сонцем та Землею, ховається у сонячних променях.

У моменти елонгацiй нижня планета досягає найбiльшого

a

Земля

d

c

b

Рис. 11: Конфiгурацiї нижньоїпланети.

кутового вiдхилення вiд Сонця. Пiд час схiдної елонгацiї пла-нета спостерiгається на заходi, у променях вечiрньої заграви,пiсля заходу Сонця. При захiднiй елонгацiї планету видно насходi перед свiтанком.

Найбiльша елонгацiя Венери дорiвнює 48◦, Меркурiя —28◦. Через невелику елонгацiю Меркурiй майже завжди за-критий променями ранкової або вечiрньої заграви.

Для зовнiшнiх (верхнiх) планет характерними є наступнia

Земля

d

c

b

Рис. 12: Конфiгурацiї верхньоїпланети.

конфiгурацiї (Креслення 12): a) сполучення; b) захiдна ква-дратура; c) протистояння; d) схiдна квадратура.

Пiд час протистояння верхня планета перебуває на не-босхилi у точцi, протилежнiй напряму на Сонце. В моментиквадратур верхня планета перебуває на кутовiй вiдстанi 90◦

вiд Сонця. Положення, коли Земля, Сонце i верхня планеталежать на однiй прямiй, називається сполученням верхньоїпланети з Сонцем.

Видимий рух зовнiшнiх планет вiдрiзняється вiд рухувнутрiшнiх планет. Коли зовнiшню планету видно пiсля за-ходу Сонця на захiдному небосхилi, вона перемiщується нафонi зiрок iз заходу на схiд (прямий рух), як i Сонце. Оскiль-ки швидкiсть руху Сонця по еклiптицi бiльша швидкостi рухудовiльної зовнiшньої планети, то воно поступово наздоганяє

планету, ховаючи її в своїх променях. Коли Сонце переганяє зовнiшню планету, вона стає види-мою на сходi перед свiтанком. Швидкiсть прямого руху планети поступово зменшується, планетазупиняється i починає назаднiй рух зi сходу на захiд. Через деякий час планета знову зупиняє-ться, змiнює напрямок свого руху на прямий, i усi явища повторюються у тому ж порядку.

Повторюванiсть конфiгурацiй планет характеризується їх синодичним перiодом обертання.Синодичним перiодом обертання планети S називається промiжок часу мiж двома послiдов-

ними однойменними конфiгурацiями планети. За своєю суттю синодичний перiод — це перiодобертання планети навколо Сонця розрахований в системi вiдлiку пов’язанiй iз Землею. Длязнаходження перiоду обертання планети навколо Сонця у системi вiдлiку пов’язанiй iз Сонцем,тобто сидеричного або зоряного перiоду потрiбно скористатися формулами перетворення кутовоїшвидкостi при переходi вiд нерухомої до рухомої системи вiдлiку. Нехай ω — кутова швидкiстьобертання планети навколо Сонця в системi вiдлiку “Сонце”, ωS — кутова швидкiсть обертанняпланети навколо Сонця в системi вiдлiку “Земля”, ω⊕ — кутова швидкiсть обертання Землi нав-коло Сонця в системi вiдлiку “Сонце”. Оскiльки обертання усiх планет сонячної системи навколоСонця вiдбувається в одному напрямковi, то одержуємо

ωS = ±(ω − ω⊕).

37

Iз урахуванням спiввiдношення ω =2π

T, одержуємо

1S

= ±(

1T− 1

T⊕

).

Таким чином синодичний перiод обертання планети S пов’язаний з її сидеричним перiодомT спiввiдношенням:

1S

=1T− 1

T⊕(для внутрiшнiх планет); (6)

1S

=1

T⊕− 1

T(для зовнiшнiх планет). (7)

Тут T⊕ = 365, 26 дiб = 1 рiк — сидеричний перiод обертання Землi.Визначаючи зi спостережень синодичнi перiоди обертань планет, на основi формули (6) чи

(7) знаходимо сидеричний перiод обертання планети, тобто час, протягом якого планета робитьоберт навколо Сонця.

Якщо вiдомий сидеричний перiод обертання планети, то за допомогою третього закону Ке-плера можна визначити середню вiдстань вiд Сонця до даної планети.

Для цього у формулi (1) покладають T2 = 1 рiк, a2 = 1 а. о., тодi сидеричний перiод обертан-ня планети — T (у роках), i її середня вiдстань вiд Сонця — a (в а. о.) пов’язанi спiввiдношенням

T 2 = a3. (8)

На закiнчення зауважимо, що для визначення орбiти планети недостатньо знати лише їївелику пiввiсь a та ексцентриситет e. До цих параметрiв слiд додати нахил орбiти i — кут мiжплощинами орбiти планети та еклiптикою. Найбiльший нахил орбiти у Меркурiя — i = 7◦00′12′′,найменший в Урана — i = 0◦46′22′′. Через невеликий нахил орбiт планет сонячної системи, можнанаближено вважати, що всi планети лежать в однiй площинi.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1Найбiльша елонгацiя Меркурiя змiнюється внаслiдок елiптичностi його орбiти в межах вiд

ψП = 18◦ до ψА = 28◦. Обчислити перигелiйну i афелiйну вiдстань Меркурiя вiд Сонця, екс-центриситет i велику пiввiсь його орбiти, а також сидеричний та синодичний перiоди обертаннянавколо Сонця. Вiддаль вiд Землi до Сонця a⊕ = 1 а. о.

Розв’язанняСпочатку визначаємо перигелiйну rП та афелiйну rА вiддалi Меркурiя вiд Сонця:

rП = a⊕ sinψП = a⊕ sin 18◦ =

= 0, 309 а. о.,

rА = a⊕ sinψА = a⊕ sin 28◦ =

= 0, 469 а. о.

На основi формул (2) знаходимо

a =rА + rП

2=

0, 469 + 0, 3092

= 0, 389 а. о.,

e =rА − rП

2a=

0, 469− 0, 3092 · 0, 389

= 0, 2.

38

З третього закону Кеплера у формi (8) знаходимо сидеричний перiод обертання Меркурiя:

T =√

a3 =√

0, 3893 = 0, 242 року = 88 дiб.

Оскiльки Меркурiй нижня планета, то синодичний перiод обер-

y

П А

П

yА

rП

rА

a

a

Рис. 13: Елонгацiї Мерку-рiя.

тання будемо шукати з формули (6):

1S

=1T− 1

T⊕.

Звiдси

S =T · T⊕T⊕ − T

=0, 242 · 11− 0, 242

= 0, 319 року = 116 дiб.

Задача 2Визначити середнiй добовий рух по орбiтi та середню орбi-

тальну швидкiсть планети Нептун, якщо його велика пiввiсь a =

30, 071 а. о.Розв’язання З третього закону Кеплера знаходимо сидеричний перiод обертання Нептуна:

T =√

a3 =√

30, 0713 = 164, 9 рокiв = 60188, 66 дiб.

Знайдемо середнiй добовий рух Нептуна по орбiтi — кутову вiдстань, яку проходить планетаза добу:

n =360◦

T d=

360◦

60188, 66= 0, 006◦.

Середню орбiтальну швидкiсть визначимо з формули (5):

vc =2πa

T=

2 · 3, 14 · 30, 071 · 149 597 87060188, 66 · 24 · 3600

= 5, 43 км/с.

Контрольнi запитання

1. Сформулювати закони руху планет навколо Сонця?2. Пояснити причину видимих петлеподiбних рухiв планет серед зiр?3. Чи може вiдбуватись проходження Марса по диску Сонця?4. Чи може спостерiгатися Меркурiй вечорами на сходi?5. В яку пору року вечiрнє спостереження Меркурiя є найбiльш сприятливим?6. В яких точках орбiти швидкiсть змiни вiдстанi планети вiд Землi є найбiльшою та най-

меншою?

Завдання

1. Найменша вiдстань Землi до Сонця дорiвнює 0,983 а. о., найбiльша — 1,0167 а. о. Знайтивелику пiввiсь та ексцентриситет орбiти Землi. Визначити середнiй добовий рух Землi по орбiтi,її середню орбiтальну швидкiсть, а також швидкiсть планети в перигелiї та афелiї. Зобразити наодному рисунку елiпс, який моделює орбiту Землi та концентричне до нього коло радiусом 1 а. о.(рисунок виконати на мiлiметровому паперi з масштабом 1 а. о.=10 см).

2. Визначити середню i афелiйну вiддаль Урана вiд Сонця, а також ексцентриситет йогоорбiти, якщо вiдомо, що сидеричний перiод обертання Урана дорiвнює 84,01 роки, а його вiддальвiд Сонця в перигелiї — 18,275 а. о.

39

3. Вiддаль комети Аренда вiд Сонця у перигелiї дорiвнює 1,8317 а. о., а в афелiї — 6,029 а. о.Визначити середню вiдстань комети вiд Сонця та її сидеричний перiод.

4. Визначити кутову та лiнiйну швидкiсть Сатурна, якщо його середня вiддаль вiд Сонцядорiвнює 9,359 а. о.

5. Протистояння Юпiтера вiдбулося 15 липня. Коли воно вiдбудеться знову? Середня вiддальЮпiтера вiд Сонця дорiвнює 5,203 а. о.

6. Найбiльша елонгацiя Венери коливається внаслiдок елiптичностi її орбiти в межах вiд 43◦

до 48◦. Обчислити перигелiйну i афелiйну вiддаль Венери вiд Сонця, ексцентриситет i великупiввiсь його орбiти, а також сидеричний та синодичний перiоди обертання навколо Сонця.

7. Протистояння малої планети повторюється через кожнi 511 дiб. На якiй середнiй вiддалiвiд Сонця вона знаходиться?

8. Пан, найближчий супутник Сатурна, робить повний оберт навколо планети за 0,575d, анайбiльш вiддалений супутник, Феба, — за 550,48d. Визначити вiдношення їх середнiх вiдстанейдо Сатурна.

9. Нижнє сполучення Венери вiдбулося 26 сiчня. Визначити календарнi дати, коли вiдбу-дуться її чергова найбiльша захiдна елонгацiя (47◦) та наступне нижнє сполучення. Середнявiдстань Венери до Сонця дорiвнює 0,7233 а. о.

10. Деяка планета масою M рухається навколо Сонця по елiптичнiй орбiтi таким чином, що їївiдстань до Сонця у перигелiї rmin, а в афелiї rmax. Визначити перiод обертання планети навколоСонця.

11. Знайти вiдстань мiж компонентами подвiйної зорi, яка обертається навколо центра iнерцiїз перiодом T . Сумарна маса компонент зорi M .

12. Супутник Марса, рухаючись по коловiй орбiтi радiуса r, пiсля короткочасного гальмува-ння перейшов на елiптичну орбiту, яка доторкається до поверхнi Марса. Визначити час падiннясупутника на планету, якщо її радiус R, маса M .

Додаткова лiтература

1. Й.Ф. Полак. Курс загальної астрономiї. – К.: Радянська школа. – 1959. (Розд. VII).2. I.А. Климишин. Астрономiя. – Л.: Свiт. – 1994. (Розд. IV).3. П.И. Бакулин, Э.В. Кононович, В.И. Мороз. Курс общей астрономии. – М.: Наука. – 1983.

(Розд. II).4. Б.А. Воронцов-Вельяминов. Сборник задач и практических упражнений по астрономии. –

М.: Наука. – 1977. (Розд. XII).5. I.А. Климишин. Астрономiя: Практикум. – Л.: Свiт. – 1996. (Розд. V).

40

№9Фотометрiя небесних свiтил

Мета заняття: засвоїти основнi методи визначення вiдстаней до небесних тiл та їх розмiрiв.

Засоби i матерiали: астрономiчний календар.

Теоретичнi вiдомостi

Блиск свiтил

Вивчення фiзичної природи небесних свiтил засноване на кiлькiсному та якiсному аналiзовiїхнього електромагнiтного випромiнювання. Мiрою iнтенсивностi видимого випромiнювання не-бесних свiтил є блиск — освiтленiсть, що створена небесним свiтилом на приймачi променевоїенергiї (око, фотопластинка, свiтлочутлива матриця, тощо).

Блиск свiтил вимiрюється не у фiзичних одиницях освiтленостi (люксах), а у вiдносних оди-ницях — зоряних величинах. Оцiнка блиску свiтил зоряними величинами була запровадженагрецьким астрономом Гiппархом (II ст. до н. е.). Вона заснована на фiзiологiї сприйняття свi-тла людським оком, яке чiтко вiдрiзняє рiзницю iнтенсивностi джерел свiтла, якщо одне iз нихяскравiше другого приблизно у 2.5 рази.1 Найяскравiшi зорi Гiппарх назвав зорями 1-ї величи-ни, менш яскравi — зорями 2-ї величини i т.д., а ледве помiтнi — 6-ї величини. Блиск кожноїнаступної групи зiр зменшується в 2,512 разiв у порiвняннi з попередньою.

Надалi блиск свiтила будемо позначати через E, а зоряну величину — m (вiд лат. magnitude— величина). Для кiлькiсного розрахунку зоряних величин використовують правило Погсона:при вiдмiнностi блиску свiтил у 100 разiв рiзниця їх зоряних величин дорiвнює 5. Вiдповiдно доцього правила має мiсце формула Погсона

m2 −m1 = −2.512 lgE2

E1, (1)

lgE2

E1= −0.4(m2 −m1), (2)

E2

E1= 100.4(m1−m2) = 2.512m1−m2 . (3)

При рiзницi зоряних величин в ∆m = 1m блиск свiтил вiдрiзняється у 100.4 ' 2.512. Чим свiтилояскравiше, тим меншою його є зоряна величина.

Шкала зоряних величин є вiдносною, тому виникає необхiднiсть вибору певного «еталонно-го» свiтила для вiдлiку блиску. Вимiрювання блиску свiтил також залежить вiд властивостейприймачiв випромiнювання, кожен iз яких має свою спектральну чутливiсть. Сумарний потiк ви-промiнювання небесним свiтилом у всьому дiапазонi спектру характеризується болометричноюзоряною величиною.

Найбiльш розповсюджена фотометрична система — система UBV, що має три смуги (спе-ктральнi дiапазони, в яких здiйснюються вимiрювання):

• ультрафiолетова зоряна величина (U) — визначається в ультрафiолетовому дiапазонi;

1Така властивiсть ока описується психофiзiологiчним законом Вебера–Фехнера (XIX ст.). Згiдно цього закону:змiна будь-якого сприйняття прямо пропорцiйна вiдноснiй змiнi подразнення, тобто, коли iнтенсивнiсть якої-небудьфiзичної величини збiльшувати в геометричнiй прогресiї, то вiдчуття цiєї величини буде збiльшуватись в арифме-тичнiй прогресiї. Як наслiдок, вiдчуття пропорцiйне логарифму iнтенсивностi стимулювання.

41

• «синя» зоряна величина (B) — визначається в синьому дiапазонi;

• вiзуальна зоряна величина (V) — визначається у видимому дiапазонi, причому крива спе-ктральної чутливостi вибрана так, щоб найкраще вiдповiдати людському зору (око найбiльшчутливе до жовто-зеленого свiтла з довжиною хвилi близько 555 нм.).

Еталонним свiтилом у системi вiзуальних зоряних величин є α Малої Ведмедицi (m = 2m.12).Декiлька яскравих зiр на небосхилi нашої пiвкулi мають зоряну величину, близьку до нуля (Вегаm = 0m.03, Арктур m = −0m.05). Найяскравiша зоря нашого зоряного неба — Сiрiус (α ВеликогоПса) m = −1m.58. У планет блиск змiнюється в залежностi вiд умов їх освiтлення Сонцем.Максимальний блиск Венери m = −4m.9, Юпiтера m = −2m.94.

Вiзуальний блиск Сонця m¯ = −26m.74, Мiсяця у повнi m = −12m.74. Зауважимо, що не-озброєне людське око ще може сприймати свiтила iз блиском, що вiдповiдає приблизно m = 6m

зорянiй величинi.

Для вiзуального спостереження свiтил iз зоряною величиною, що перевищує 6m, використо-вують оптичнi телескопи. Граничну зоряну величину свiтила mТ, яке ще видно у телескоп (длясвiтила, що перебуває у зенiтi) називають проникною силою телескопа. Ця величина визначаєтьсядiаметром D об’єктива телескопа (дзеркала).

Оскiльки освiтленiсть обернено пропорцiйна площi приймача променевої енергiї, то блиск свi-тила, який реєструє телескоп i людське око вiдрiзняється у D2/d2 разiв, де d — дiаметр людськогоока. Звiдси

mТ −mоко = −2.512 lgEТ

Eоко' 5 lg

D

d.

Враховуючи, що дiаметр зiницi людського ока d ≈ 6 мм, одержимо значення проникної силителескопа

mТ = 6m + 5 lgD

5= 2m.1 + 5 lg D. (4)

Тут дiаметр D вимiрюється в мiлiметрах.

Абсолютна зоряна величина

Видимий блиск зорi визначається не лише її потужнiстю випромiнювання, а й вiдстаннюдо неї. Тобто двi зорi iз однаковою потужнiстю (свiтнiстю), якi знаходяться на рiзних вiдста-ннях до спостерiгача будуть мати рiзнi вiзуальнi зорянi величини. Щоб порiвняти потужностiвипромiнювання двох зiр, необхiдно вирахувати їх зорянi величини якi б вони мали, знаходячисьна однаковiй вiдстанi до спостерiгача. Стандартною вiдстанню для порiвняння прийнято 10 пк.Зоряна величина свiтила на вiдстанi 10 пк називається абсолютною зоряною величиною M .

Як вiдомо, освiтленiсть обернено пропорцiйна квадрату вiдстанi вiд джерела до приймачапроменевої енергiї. Тому для свiтила, що знаходиться на вiдстанi r видима зоряна величинапов’язана iз абсолютною зоряною величиною спiввiдношенням

M −m = −2.512 lgE10пк

Er= −2.512 lg

r2

102' 5− 5 lg r.

Звiдси для абсолютної зоряної величини одержуємо

M = m + 5− 5 lg r. (5)

42

Зазвичай вiдстань до зiр визначається через рiчний паралакс π зi спiввiдношення r = 1/π,де паралакс вимiрюється у секундах градуса, а вiдстань у парсеках. Тодi

M = m + 5 + 5 lg π.

Якщо вiзуальний блиск Сонця m¯ = −26m.74, то йому вiдповiдає абсолютна зоряна величинаM¯ = +4m.83, тобто на вiдстанi 10 пк Сонце виглядало б ледь помiтною зорею.

Свiтнiсть зiрЗнаючи абсолютну зоряну величину можна оцiнити свiтнiсть зорi L, тобто потужнiсть її

випромiнювання. Якщо E — освiтленiсть, створена зорею на межi земної атмосфери, то свiтнiстьзорi

L = 4πr2E, (6)

де r вiдстань до зорi.Свiтнiсть двох зiр пов’язана iз їх абсолютними зоряними величинами спiввiдношенням

lgL1

L2= 0.4(M2 −M1).

Звiдси свiтнiсть зорi, виражена в одиницях свiтностi Сонця,

lg L = 0.4(M¯ −M). (7)

З iншого боку, свiтнiсть зорi визначається потужнiстю її електромагнiтного випромiнювання.Для розрахунку цiєї потужностi використовують теорiю випромiнювання абсолютно чорного тi-ла. Згiдно iз законом Стефана–Больцмана, потужнiсть випромiнювання одиницi площi поверхнiабсолютно чорного тiла визначається абсолютною температурою тiла T

u = σT 4, σ = 5.67× 10−8 Вт/(м2 ·K4).

Сумарна потужнiсть випромiнювання з усiєї поверхнi зорi

L = 4πR2σT 4, (8)

де R – радiус зорi.Кутовi радiуси найближчих зiр визначають за допомогою оптичних iнтерферометрiв. Для

вiддалених об’єктiв їх кутовi розмiри визначають на основi формул (6) та (7).Спектральна класифiкацiя зiрАналiз спектрiв випромiнювання зiр надає нам iнформацiю про фiзичнi умови в атмосферi

зорi, оскiльки саме там формується спектр. Зокрема можемо одержати iнформацiю про хiмi-чний склад атмосфери зорi, ефективну температуру, швидкiсть осьового обертання, поверхневугравiтацiю тощо.

Вiдповiдно до закону змiщення Вiна максимум потоку випромiнювання локалiзується в пев-ному дiапазонi довжинь хвиль, який залежить вiд ефективної температури. Таким чином, зорiрiзних спектральних класiв мають рiзну ефективну температуру й рiзний вiзуальний колiр: вiдяскраво-блакитного (гарячi зорi з T = 60 000 − 50 000 К) до темно-червоного (холоднi зорi зT = 3000− 1000 К).

Загальновживаною є класифiкацiя спектральних класiв розроблена Вiльямом Морганом таФiлiпом Кiнаном (йєркська класифiкацiя), що ґрунтується на значеннях ефективної температури

43

зорi та її свiтностi. Класифiкацiя, що заснована лише на ефективнiй температурi називаєтьсягарвардською класифiкацiєю спектральних класiв. Для позначення спектральної класифiкацiї зiрпослiдовно вживають латинськi лiтери O, B, A, F, G, K та M, де клас O вiдповiдає найгарячiшимзорям, а класи K та M – найхолоднiшим зорям.2

1

10-1

10-2

10-3

10-4

101

102

103

104

105

СВ

ІТН

ІСТ

Ь[L

]!

O5 B0 A0 F0 G0 K0 M0

СПЕКТРАЛЬНИЙ КЛАС

30 000 10 000 7000 6000 4000

ЕФЕКТИВНА ТЕМПЕРАТУРА [K]

14

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

6

8

10

12

14

АБ

СО

ЛЮ

ТН

А З

ОР

ЯН

А В

ЕЛ

ИЧ

ИН

А

СОНЦЕ

СІРІУС А

АХЕРНАР

БЕТЕЛЬГЕЙЗЕ

АНТАРЕС

АЛЬДЕБАРАН

RR ЛІРИ

ДЕНЕБ

РІГЕЛЬ

КАНОПУС

СІРІУС B

ПРОЦІОН B

1

2

3

4

Рис. 14: Дiаграма Герцшпрунга–Рессела. Арабськими цифрами позначено основнi областi дiагра-ми: 1 – бiлi карлики, 2 – головна послiдовнiсть, 3 — гiганти, 4 — надгiганти. Також наведенодекiлька представникiв кожної групи.

Оскiльки ефективна температура зорi визначає її спектральний клас, а також свiтнiсть (фор-мула (7)), то мiж свiтнiстю та сперктральним класом має iснувати залежнiсть. Така залежнiстьбула побудована 1910 року Ейнаром Герцшпрунгом та Генрi Ресселом. Вона має форму дiаграми iвикористовується для класифiкацiї зiр та вiдповiдає сучаснiй уявi про зоряну еволюцiю. ДiграмаГерцшпрунга—Рессела, або дiаграма “спектр-свiтнiсть” зображена на Рис. 14.

Для бiльш прецизiйної класифiкацiї спектральних властивостей зiр у межах одного класу,Морган та Кiнан, разом з лiтерами для позначення пiдкласiв, запропонували використовуватиарабськi цифри вiд 0 до 9.

Другим параметром у їхнiй класифiкацiї є свiтнiсть зорi, яка вiдповiдає певнiй ширинi таформi лiнiй поглинання в спектрах. Було виявлено, що цi характеристики залежать вiд поверх-невої гравiтацiї, а, значить, вiд маси та розмiрiв зорi. Розрiзняють наступнi класи свiтностi

2Щоб легше запам’ятати цю послiдовнiсть використовують мнемонiчну фразу “O Be A Fine Girl, Kiss Me”.

44

Клас Температура Колiр Радiус Маса СвiтнiстьK R¯ M¯ L¯

O ≥ 33 000 синiй ≥ 6.6 ≥ 16 ≥ 30 000B 10 000 – 30 000 бiло-блакитний 1.8 – 6.6 2.1 – 16 25 – 30 000A 7 500 – 10 000 бiлий 1.4 – 1.8 1.4 – 2.1 5 – 25F 6 000 – 7 500 бiло-жовтуватий 1.15 – 1.4 1.04 – 1.4 1.5 – 5G 5 200 – 6 000 жовтий 0.96 – 1.15 0.8 – 1.04 0.6 – 1.5K 3 700 – 5 200 помаранчевий 0.7 – 0.96 0.45 – 0.8 0.08 – 0.6M ≤ 3 700 червоний ≤ 0.7 ≤ 0.45 ≤ 0.08

Табл. 1: Гарвардськi спектральнi класи

• 0 (або Ia+) — гiпергiганти;

• Ia — яскравi надгiганти;

• Ib — надгiганти;

• II — яскравi гiганти;

• III — гiганти;

• IV — субгiганти;

• V — зорi головної послiдовностi;

• VI — субкарлики;

• VII — бiлi карлики.

Наприклад, Сонце належить до спектрального класу G2V i, вiдповiдно, є зорею головноїпослiдовностi. Найяскравiша зоря неба пiвнiчної пiвкулi, Сiрiус, має спектральний клас A1V, аотже, є бiлою зорею головної послiдовностi.

Основнi фiзичнi характеристики рiзних спектральних класiв наведено у Табл. 1.

45

№7Фiзика Сонця

Мета заняття: вивчити будову та фiзичнi властивостi Сонця.Засоби i матерiали: астрономiчний календар.

Теоретичнi вiдомостi

Загальнi вiдомостi про СонцеСонце — центральне тiло нашої планетної системи. У ньому зосереджено 99% маси сонячної

системи. Його притягання є головною силою, що керує рухом тiл сонячної системи. Водночас,Сонце є велетенським джерелом енергiї, необхiдної для пiдтримки усього живого на Землi.

За своєю сутнiстю Сонце є типовою зiркою. Воно вiдноситься до спектрального класу G2V(жовтий карлик).

Профiль Сонця має форму круга з чiтко окресленим краєм (лiмбом). Середнiй кутовий радiусСонця дорiвнює 960′′. Вiдповiдно лiнiйний радiус Сонця R¯ = 696 000 км.

Масу Сонця та iнших небесних тiл визначають з третього, уточненого Ньютоном, законуКеплера:

T 21 (M¯ + m1)

T 22 (M¯ + m2)

=a3

1

a32

. (1)

Якщо за перше тiло обрати Землю з масою M⊕, а за друге — її супутник Мiсяць з масоюML, то з формули (1) можна визначити вiдношення маси Сонця до маси Землi:

M¯M⊕

≈(

TL

T⊕

)2 (a⊕aL

)3

= 332 958. (2)

Зауважимо, що при виведеннi формули (2) ми знехтували масою Землi, у порiвняннi з масоюСонця та масою Мiсяця порiвняно iз масою Землi.

Масу Землi визначаємо за вимiрюваннями прискорення вiльного падiння на її поверхнi (гра-вiметричний метод)

M⊕ =gR2⊕G

= 5, 974 · 1024 кг.

На основi формули (2) знаходимо, що маса Сонця

M¯ = 1, 9891 · 1030 кг.

Знаючи масу та лiнiйний радiус Сонця, знаходимо його середню густину

ρ¯ =M¯

43πR3

¯= 1, 41 г/см3 ≈ 1

4ρ⊕.

Прискорення вiльного падiння на поверхнi Сонця

g¯ = GM¯R2¯

= 274 м/с2 ≈ 28g⊕.

Спостереження показують, що Сонце обертається навколо своєї осi. Кутова швидкiсть обер-тання Сонця найбiльша на сонячному екваторi i зменшується при наближенi до полюсiв. Такимчином, рiзнi дiлянки Сонця обертаються навколо осi з рiзними перiодами. Для точок на екваторiцей перiод дорiвнює 25 дiб, а поблизу полюсiв вiн сягає 30 дiб.

46

Важливою енергетичною характеристикою Сонця є його свiтнiсть L¯ — повний потiк енергiїз усiєї поверхнi Сонця за одну секунду.

Визначення свiтностi Сонця засноване на вимiрюваннi сонячної сталої q — кiлькостi енер-гiї, яку одержує вiд Сонця площадка площею 1 см2, що знаходиться поблизу Землi за межамиатмосфери i розмiщена перпендикулярно до сонячних променiв, за одну хвилину.

Спостереження показують, що сонячна стала

q = 1, 9 кал/(см2 · хв) = 1, 3 · 103 Вт/м2.

Звiдси знаходимо енергiю, яка проходить через сферу радiусом 1 а. о. за одну секунду, тобтосвiтнiсть

L¯ = S · q = 4πa2q = 3, 85 · 1026 Вт.

При цьому одиниця поверхнi Сонця випромiнює енергiю

u¯ =L¯S¯

=L¯

4πR2¯= 6, 3 · 107 Вт/м2.

Якщо вважати, що Сонце випромiнює, як абсолютно чорне тiло, то на основi закону Стефана— Больцмана,

u¯ = σT 4, σ = 5, 6705 · 10−8 Вт/(м2 ·К4),

можна обчислити так звану ефективну температуру його поверхнi Teff :

Teff = 4

√u¯σ≈ 5770 К.

У видимiй дiлянцi спектр випромiнювання Сонця є неперервним. На фонi яскравого непе-рервного спектру помiтно десятки тисяч темних лiнiй поглинання — фраунгоферових лiнiй. Задовжинами хвиль цi лiнiї збiгаються з лiнiями випромiнювання розжареного розрiдженого газу.Порiвнюючи фраунгоферовi лiнiї в спектрi Сонця з лiнiями випромiнювання хiмiчних елементiвтаблицi Менделєєва, можна встановити хiмiчний склад атмосфери Сонця. Аналiзуючи iнтенсив-нiсть фраунгоферових лiнiй, можна отримати iнформацiю про кiлькiсть атомiв даного хiмiчногоелемента на Сонцi.

Рис. 15: Частина спектра Сонця та лiнiї випромiнювання водню.

Найяскравiшою лiнiєю сонячного спектра є резонансна лiнiя водню Lα, яка знаходиться вдалекiй ультрафiолетовiй областi (λ = 1216 A). У видимiй областi найбiльш iнтенсивними є K

i H лiнiї iонiзованого кальцiю. Менш iнтенсивними є лiнiї бальмерiвської серiї водню, магнiю,залiза та iнших елементiв.

Таким чином, переважаючим хiмiчним елементом на Сонцi є водень (74% маси). Наступнимза поширенням йде гелiй (25%). Один вiдсоток маси Сонця припадає на наступнi хiмiчнi елементи:Fe, Ni, O, Si, S, Mg, C, Ne, Ca та Cr.

47

Для неперервної частини спектру найбiльша iнтенсивнiсть випромiнювання Сонця припадаєна дiапазон довжин хвиль 4300 — 5000 A.

Температуру верхнiх шарiв Сонця можна оцiнити на основi закону змiщення Вiна

λmax =b

T, b = 2, 8978 · 10−3 м ·К.

Для λmax = 4700 A обчислюємо T = 6150 К.

Зауважимо, що сонячний спектр далеко простягається у невидимi короткохвильову та дов-гохвильову областi.

Будова Сонця

Вiзуальнi та фотографiчнi спостереження Сонця дають нам iнформацiю про його верхнiшари. Для дослiдження внутрiшньої будови Сонця розроблена така галузь, як гелiосейсмологiя,в якiй аналiзуються iнфразвуковi хвилi, що поширюються з внутрiшнiх шарiв Сонця на йогоповерхню. Iнформацiю про внутрiшню структуру Сонця отримують також, дослiджуючи потокинейтрино, якi народжуються при термоядерних реакцiях всерединi Сонця.

Розглянемо структуру Сонця.

1) Ядро.

Вважається, що ядро має протяжнiсть вiд центру Сонця до 0, 2R¯ (140000 км). Температурав ядрi порядку 14 000 000 К (для порiвняння, температура поверхнi Сонця 5 800 К), густинаречовини в ядрi дорiвнює 150 г/см3, що в 150 разiв бiльше нiж густина води на Землi.

Ядро Сонця є природнiм реактором, в якому вiдбуваються реакцiї термоядерного синтезу.Головну роль у видiленнi енергiї вiдiграють реакцiї перетворення водню в гелiй. Кожної секундиприблизно 3 · 1038 ядер водню перетворюються в ядра гелiю.

Перетворення водню в гелiй у зорях може вiдбуватися за двома циклами: протон-протонномута вуглецевому.

На Сонцi домiнуючим є протон-протонний цикл. Вiн складається з трьох ланок:

1H +1H → 2D + e+ + ν (1, 18 МеВ),1H +2D → 3He + γ (5, 49 МеВ),

3He +3He → 4He +1H +1H (12, 86 МеВ).

Зауважимо, що на першiй ланцi один з двох протонiв зазнає β-розпаду. Утворений при цьомунейтрон зливається з другим протоном, i синтезується дейтерiй. Для кожної пари протонiв цейпроцес у середньому вiдбувається за 14 млрд. рокiв. Наступнi два процеси проходять значношвидше. Тому саме перший процес, який регулюється слабкою взаємодiєю, встановлює темптермоядерних реакцiй на Сонцi i, таким чином, визначає тривалiсть його «життя».

Високоенергетичнi фотони, народженi в ядерних реакцiях, поширюються з ядра до поверхнiСонця. У процесi поширення вони зазнають розсiювання та поглинання (з подальшим переви-промiнюванням) частинками сонячної плазми. За оцiнками «час подорожi» фотона з ядра наповерхню лежить в межах вiд 10 000 до 170 000 рокiв (при вiльному русi таку вiдстань фотонпройшов би за 2 секунди).

Вважається, що на Сонцi основними є два механiзми переносу енергiї вiд ядра до поверхнi:променистим переносом та конвекцiєю.

2) Зона променистого переносу

48

У цiй зонi Сонця вiдбувається процес переносу енергiї шляхом поглинання речовиною випро-мiнювання i подальшого перевипромiнювання. При цьому видiлення енергiї в цiй зонi є незначне.Зона променистого переносу займає прошарок Сонця в межах вiд 0, 2R¯ до 0, 7R¯. Температуратут змiнюється в межах вiд 7 000 000 К до 2 000 000 К.

3) Конвективна зона

Вище зони променистого переносу (вiд 0, 7R¯ до видимої поверхнi Сонця) знаходиться кон-вективна зона, в якiй енергiя переноситься перемiщенням речовини, тобто конвекцiєю. Конве-ктивний механiзм переносу енергiї виникає в оболонках зiр, якщо речовина там мало або зовсiмнеiонiзована, промениста енергiя поглинається в певному шарi оболонки зорi, пiсля чого нагрiтаречовина рухається до поверхнi зорi.

Рис. 16: Структура Сонця.

4) Фотосфера

Фотосферою називається видима поверхня Сонця. Саме у фотосферi формується неперерв-ний спектр випромiнювання Сонця. Протяжнiсть фотосфери порядку кiлькох сотень кiлометрiв.Її середня температура близька до 6000 К, а середня густина дорiвнює 0, 000 000 2 г/см3.

У фотосферi спостерiгається ефект потемнiння сонячного диска до його краю. Зменшенняяскравостi диска Сонця до краю вказує на те, що температура газу, який висвiчує i випромiню-вання якого досягає спостерiгача, зростає з глибиною.

Проявом конвекцiї у зовнiшнiх прошарках Сонця є грануляцiя — неоднорiдна за яскравiстюструктура сонячної поверхнi, яка нагадує розсипанi рисовi зерна. Кутовi розмiри гранул дорiвню-ють 1′′, що вiдповiдає лiнiйним розмiрам порядку 700 км. Яскравiсть гранул майже на половинубiльша, нiж у промiжках мiж ними. Це означає, що температура у гранулi на кiлька сотеньградусiв вища.

Гранули — є не що iнше, як конвективнi потоки гарячого газу, якi пiдiймаються на поверхнюi рiзко охолоджуються через висвiчування. Вiдповiдно у темних промiжках охолоджений газопускається вглиб Сонця.

49

5) Атмосфера

Частини Сонця, якi знаходяться вище фотосфери, утворюють сонячну атмосферу.

Найкращi умови для спостереження сонячної атмосфери створюються пiд час повних со-нячних затемнень. В цей час Мiсяць повнiстю закриває сонячний диск i тим самим екрануєвипромiнювання фотосфери. Навколо цього диска спостерiгається вузький, товщиною до 5 000км, ореол рожевого кольору — хромосфера. Температура хромосфери швидко зростає з висотою,досягаючи 100 000 К бiля її верхнього краю.

Спектр випромiнювання хромосфери подiбний до фраунгоферового спектра диска Сонця,в якому усi темнi лiнiї поглинання замiненi яскравими лiнiями випромiнювання, а неперервнийспектр майже вiдсутнiй. Найбiльш iнтенсивними є лiнiї випромiнювання iонiзованого кальцiю,водню i гелiю. Зауважимо, що лiнiї гелiю у фраунгоферовому спектрi диска Сонця практичнонепомiтнi.

Хромосфера має дуже неоднорiдну структуру, яка набагато чiткiше виражена, нiж грануля-цiя фотосфери. Найдрiбнiшими структурними утвореннями хромосфери є спiкули — колони газудовжиною в кiлька тисяч кiлометрiв i товщиною близько тисячi кiлометрiв. Спiкули рухаютьсявгору зi швидкiстю порядку 20 км/с i тим самим здiйснюють перенесення речовини у верхнi шарисонячної атмосфери.

Над хромосферою простягається до декiлькох сонячних радiусiв срiблясто-бiла корона.Яскравiсть сонячної корони в мiльйони разiв менша, нiж фотосфери. Корона не має чiтких кон-турiв, а її форма змiнюється з часом.

Спектр випромiнювання нижнiх шарiв корони (внутрiшньої корони) складається з емiсiйнихлiнiй, в якому наявнi лiнiї випромiнювання високоiонiзованих металiв. Поява таких лiнiй свiдчитьпро сильну розрiдженiсть та високу температуру речовини у коронi. Оцiнюється, що температуракорони досягає 2 000 000 К, а її густина порядку 10−15 г/см3.

Спектр випромiнювання зовнiшнiх шарiв корони (зовнiшньої корони) є неперервним, i на ньо-му присутнi фраунгоферовi лiнiї поглинання. Такий спектр утворюється внаслiдок розсiюваннявiльними електронами випромiнювання вiд фотосфери.

Хромосфера i корона нагрiваються завдяки хвильовим рухам, якi переносять уверх механiчнуенергiю конвективних елементiв i трансформують її в теплову. У свою чергу нагрiта до високихтемператур речовина сонячної корони безперервно розширюється в навколосонячний простiр.Такий потiк iонiзованої плазми називається сонячним вiтром.

Сонячна активнiсть

Явища, що вiдбуваються на поверхнi Сонця, в сукупностi характеризують мiру сонячноїактивностi. Вiдповiднi мiсця на сонячнiй поверхнi, де спостерiгають цi явища, називаютьсяактивними зонами.

На поверхнi Сонця час вiд часу спостерiгаються темнi утворення — сонячнi плями. Лiнiйнiрозмiри плям сягають 100 000 км. Темний колiр сонячних плям свiдчить про те, що температу-ра речовини в них менша приблизно на 2000 К, нiж у фотосферi. Тривалiсть «життя» плямиколивається вiд кiлькох годин до кiлькох мiсяцiв.

Важливою особливiстю сонячних плям є наявнiсть у них сильного магнiтного поля. Утво-рення сонячних плям пов’язують з впливом магнiтного поля на конвективнi рухи речовини вглибинi конвективної зони. Сильне магнiтне поле гальмує заряджену речовину, яка рухаєтьсявпоперек силових лiнiй. Тому в конвективнiй зонi пiд плямою зменшується циркуляцiя газу, а

50

отже зменшується передача енергiї до фотосфери. У свою чергу це призводить до зменшеннятемператури даної дiлянки фотосфери та виникнення плями.

Бiля країв сонячного диска, де фотосфера здається темнiшою, часто спостерiгаються такзванi факели — областi бiльшої яскравостi, нiж навколишня поверхня фотосфери. Факели завждиоточують групи плям, але iнодi спостерiгаються i без них.

Утворення факелiв пов’язане з пiдсиленням конвекцiї в данiй областi, спричинене дiєю слаб-кого магнiтного поля, яке зменшує поперечний конвективний рух i тим самим зменшує опiрвертикального конвективного руху.

В окремих мiсцях внутрiшньої корони спостерiгаються своєрiднi викиди речовини — проту-беранцi. Спектр протуберанця близький до спектра хромосфери. Особливо iнтенсивною є α-лiнiяводню. Протуберанець утворюється пiд дiєю магнiтного поля, яке пiдiймається над поверхнеюСонця i при цьому «тягне за собою» частину газу.

Ще одним потужним проявом сонячної активностi є сонячнi спалахи. Пiд час спалаху спо-стерiгається потужне випромiнювання в ультрафiолетовому, рентгенiвському та радiодiапазонах.Найчастiше спалахи виникають у промiжках мiж плямами, особливо поблизу границi роздiлу по-лярностi сильних магнiтних полiв. Їхня поява пояснюється видiленням великої кiлькостi енергiїпри «анiгiляцiї» магнiтного поля в плазмi, коли енергiя магнiтного поля переходить в тепло,нагрiваючи газ до температури в десятки мiльйонiв градусiв.

При деяких спалахах видiляється енергiя порядку 1025 Дж. Така енергiя еквiвалентна енергiї,яку випромiнює «спокiйне» Сонце за одну секунду, або енергiї, що видiляється при вибуховiмiльйона мегатонних водневих бомб.

Таким чином, бачимо, що з сонячними плямами пов’язана решта явищ, якi характеризуютьсонячну активнiсть. Тому для кiлькiсної характеристики сонячної активностi обрали так званечисло Вольфа W , яке пов’язане з кiлькiстю плям на Сонцi f та кiлькiстю груп плям g наступнимспiввiдношенням:

W = 10g + f. (3)

Аналiзуючи змiну середнього рiчного числа Вольфа протягом кiлькох столiть, встановили,що сонячна активнiсть перiодично змiнюється. Максимуми i мiнiмуми сонячної активностi чер-гуються в середньому через кожнi 11 рокiв, хоча промiжки часу мiж двома послiдовними макси-мумами можуть коливатися в межах вiд 7 до 16 рокiв. Тому передбачення наступного максимумує складним завданням.

Описанi вище активнi явища на Сонцi певним чином впливають на Землю, на стан її атмо-сфери, на її магнiтне поле, а також на бiосферу, зокрема на органiзм людини.

Завдання

1. Обчислити першу космiчну швидкiсть на поверхнi Сонця.2. Сонячна стала дорiвнює 1, 3 · 103 Вт

м2 . Визначити час, за який пiд дiєю сонячних променiврозплавиться кубик льоду з ребром 10 см, що знаходиться поблизу поверхнi Землi за межамиатмосфери i розмiщений перпендикулярно до променiв. Обчислити вiдповiдний час для такогож кубика льоду, що знаходиться на Венерi, середня вiдстань якої до Сонця дорiвнює 0,7233 а.о.Густина льоду — 900 кг

м3 , питома теплота плавлення льоду — 333,7 кДжкг .

3. На мiлiметровому паперi зробити схематичний рисунок Сонця у масштабi 1 см = 0, 1 R¯.Вказати характернi температури та густини у рiзних його частинах.

51

4. Обчислити тиск газу у фотосферi Сонця, вважаючи його iдеальним газом. Порiвнятиодержаний результат iз атмосферним тиском на Землi за нормальних умов.

5. Спостережений з поверхнi Землi синодичний перiод обертання сонячної плями дорiвнює30,43 дiб. Визначити перiод обертання плями навколо осi Сонця. Встановити, на якiй гелiографi-чнiй широтi ϕ знаходиться спостережувана пляма, якщо для кутової швидкостi добового оберта-ння сонячних плям ω справедлива емпiрична формула ω = 14◦, 37− 2◦, 79 sin2 ϕ?

6. Визначити масу, яку Сонце втрачає через випромiнювання за одну секунду. Визначити увiдсотках долю маси Сонця, яку вона втрачає через випромiнювання за один рiк.

7. Встановити вiдповiднiсть мiж лiнiями поглинання у спектрi Сонця та лiнiями випромiню-вання хiмiчних елементiв (див. Додаток 3). Визначити довжини хвиль ототожнених лiнiй.

8. Визначити число Вольфа для Сонця на момент виконання роботи (зображення Сонцявзяти з вебсайту космiчної обсерваторiї SOHO за адресою soho.nascom.nasa.gov в роздiлi sunspots).Перевiрити чи узгоджується одержаний результат iз дiаграмою активностi Сонця?

9. За даними таблицi середньорiчної кiлькостi Сонячних плям та їх груп визначити середнiчисла Вольфа для кожного року iз заданого iнтервалу. Побудувати графiк залежностi сонячноїактивностi вiд номера року.

Рiк 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990g 8.23 5.01 3.11 1.31 0.94 2.01 6.09 9.67 9.8f 72.56 38.27 25.73 7.8 5.15 12.61 51.43 95.7 74.15

Рiк 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999g 9.59 7.05 4.05 2.68 1.66 0.81 1.69 4.88 6.78f 95.5 58.31 31.4 16.41 10.34 4.53 10.59 33.96 57.32

Рiк 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008g 9.04 8.89 8.82 5.55 3.39 2.55 1.58 0.84 0.42f 69.49 70.64 54.87 47.12 27.62 17.83 8.5 4.24 1.33

Рiк 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017g 0.42 1.67 4.57f 1.82 7.25 33.19

На основi одержаного графiка зробити прогноз сонячної активностi на найближчi роки.10. Як повинна змiнитися температура поверхнi Сонця, аби сонячна стала зросла на 10 %?

Додаткова лiтература

1. Й.Ф. Полак. Курс загальної астрономiї. – К.: Радянська школа. – 1959. (Розд. ??).2. I.А. Климишин. Астрономiя. – Л.: Свiт. – 1994. (Розд. ??).3. П.И. Бакулин, Э.В. Кононович, В.И. Мороз. Курс общей астрономии. – М.: Наука. – 1983.

(Розд. ??).4. Б.А. Воронцов-Вельяминов. Сборник задач и практических упражнений по астрономии. –

М.: Наука. – 1977. (Розд. ??).

52

№10Вiртуальна обсерваторiя Stellarium

Мета заняття: вивчення iнтерфейсу програми Stellarium; проведення вiртуальних спосте-режень небесних свiтил.

Засоби i матерiали: комп’ютер, програмний пакет Stellarium.

Теоретичнi вiдомостi

Stellarium — безкоштовний програмний пакет, за допомогою якого можна здiйснювати комп’ютер-не моделювання зоряного неба в режимi реального часу. За допомогою цього пакету будь-якийкомп’ютер можна перетворити у вiртуальний планетарiй. Stellarium дозволяє вiдображати наекранi Вашого монiтора небосхил з будь-якого мiсця на Землi в довiльний момент часу, моде-лювати образи сузiр’їв, планет та їх супутникiв, а також фази Мiсяця. Цей програмний пакеткорисний при плануваннi астрономiчних спостережень, оскiльки дозволяє легко визначати поло-ження свiтил на небеснiй сферi, мiсце i момент часу сходу та заходу небесних свiтил. База данихStellarium мiстить iнформацiю про положення, зоряну величину, спектральний клас та вiдстаньдля понад 600 000 зiрок.

Перша версiя програмного пакету Stellarium була презентована Фабiаном Шеро зi спiв-робiтниками у травнi 2004 року. З кожним роком Stellarium активно розвивають та вдо-сконалюють. Найновiшу версiю програми можна отримати на офiцiйному сайтi Stellarium(http://www.stellarium.org).

Iнтерфейс та налаштування програмиПеред початком вiртуальних спостережень необхiдно провести налаштування програми. Для

цього слiд запустити Stellarium i скористатися панеллю iнструментiв, яка знаходиться в лiвомунижньому кутку екрана. Вибiр української мови iнтерфейсу здiйснюється за допомогою меню

Рис. 17: Вiкно програми Stellarium (нiчний режим).Configuration window [F2] ⇒ Main ⇒ Program language ⇒ українська мова (Вiкно налаштувань

53

[F2] ⇒ Основне ⇒ Мова програми ⇒ українська мова). Цей пункт меню також дозволяє увi-мкнути чи вимкнути навiгацiю програмою за допомогою клавiатури та мишi, а також керуватискриптами та додатками Stellarium.

Далi необхiдно вибрати розташування спостерiгача, тобто вказати географiчнi координатимiсця спостереження. Для цього використовуємо Вiкно розташування [F6] i вибираємо зi спискуВаш населений пункт, або задаємо «руками» широту, довготу та висоту над рiвнем моря Вашоїмiсцевостi.

Дата та час спостереження встановлюються автоматично пiсля запуску програми. Їх зна-чення вiдповiдають тим, якi має в даний момент операцiйна система. Для змiни дати та часувикористовується меню Вiкно встановлення дати та часу [F5].

Вибiр «параметрiв за замовчуванням» вiдображення неба, ландшафту, планет i супутникiвздiйснюється за допомогою меню Вiкно параметрiв неба та вiдображення [F4].

Для пошуку об’єктiв на небi використовується меню Вiкно пошуку [F3].

Довiдка про програму знаходиться в меню Вiкно довiдки [F1]. В цьому вiкнi ви можете знайтиiнформацiю про розробникiв та Вашу версiю Stellarium, а також довiдку про «гарячi клавiшi».

Проведення спостережень

а) «мандрування у часi». Пiсля запуску Stellarium на екранi буде вiдображатися небо, якимвоно є на даний момент. За налаштуванням швидкiсть обертання вiртуальної небесної сфери збiга-ється зi швидкiстю обертання Землi. У програмi передбачена можливiсть змiни темпу i напрямкуобертання небесної сфери. Для збiльшення швидкостi «прямого» обертання неба слiд натиснутина кнопку збiльшення темпу протiкання часу |À на панелi керування часом (у правому нижньо-му кутку екрана), або ж натиснути клавiшу L на клавiатурi. Кожне послiдовне натиснення цiєїкнопки збiльшує темп. Природнiй темп обертання небесної сфери встановлюється натисканнямкнопки B (клавiша K на клавiатурi). Повернення до поточної дати та часу здiйснюється нати-сканням кнопки 5 (клавiша 8 ). Для «подорожей у минуле» слiд скористатися кнопкою ¿| , абож клавiшею J . Зупинка плину часу (обертання небесної сфери) вiдбувається пiсля натисканняклавiшi 7 . При натисканнi клавiш ] або [ Stellarium здiйснює «стрибки у часi» на 7 днiв упередабо назад вiдповiдно.

б) «мандрування у просторi». Програмний пакет Stellarium дає можливiсть переглядатибудь-яку дiлянку зоряного неба зi збiльшенням або зменшенням масштабу. Вибiр дiлянки небадля перегляду здiйснюється клавiшами керування курсором, або лiвою клавiшею манiпулятора«миша». Змiна масштабу здiйснюється за допомогою клавiш Page Up та Page Down , або оберта-нням колеса прокрутки «мишки».

в) спостереження свiтил. Вибiр об’єкта на небi (зiрки, планети чи супутника) можна зробитидвома способами: використовуючи меню Вiкно пошуку [F3], або «руками» видiляючи його лiвоюкнопкою «мишки». Останнiй спосiб зручний для вибору великих об’єктiв, або коли назва об’єктаневiдома. Пiсля видiлення об’єкта у лiвому верхньому кутку екрана з’являється iнформацiя продане свiтило (iнформацiйне меню). Для зiрок це iнформацiя про абсолютну та видиму зорянувеличину, горизонтальнi та екваторiальнi координати, спектральний клас, вiдстань та паралакс.Для планет та супутникiв — iнформацiя про абсолютну та видиму зоряну величину, горизонтальнiта екваторiальнi координати, нахил осi обертання, вiдстань та видимий дiаметр. Для центруваннявидiленого об’єкта на екранi потрiбно натиснути клавiшу Space («пробiл»). Щоб зняти видiленняз об’єкта слiд натиснути праву клавiшу «мишки» у довiльнiй точцi екрану.

54

Пiд час проведення вiртуальних спостережень зоряного неба можна iнтерактивно вмикатита вимикати наступнi параметри вiдображення (в дужках зазначенi вiдповiднi клавiшi):

• лiнiї сузiр’їв — лiнiї, якi з’єднують зорi у сузiр’ях ( C );

• мiтки сузiр’їв — назви сузiр’їв ( V );

• зображення сузiр’їв — художнi зображення сузiр’їв ( R );

• екваторiальна сiтка — екваторiальна система небесних координат ( E );

• горизонтальна сiтка — горизонтальна система небесних координат ( Z );

• Земля — наявнiсть або вiдсутнiсть поверхнi Землi ( G );

• частини свiту — позначення на горизонтi чотирьох сторiн свiту ( Q );

• атмосфера — наявнiсть або вiдсутнiсть атмосфери у планети, на якiй знаходиться спосте-рiгач ( A );

• туманностi — мiтки туманностей ( N );

• мiтки планет — назви планет ( P );

Для закiнчення роботи з програмою слiд натиснути кнопку «Вийти» на панелi iнструментiв,або комбiнацiю клавiш Ctrl+Q .

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1

Визначити горизонтальнi координати Венери 8 квiтня поточного року о 22h00m за мiсцевимчасом. Яка видима зоряна величина свiтила та видимий дiаметр в заданий момент часу? Про-слiдкуйте за траєкторiєю планети до моменту часу 05h00m наступного дня. Зробiть висновки проумови спостереження планети за цей промiжок часу.

Розв’язання

Використовуючи вiкно розташування, встановлюємо географiчнi координати мiсця спосте-реження. За допомогою вiкна встановлення дати та часу вибираємо дату спостереження 8 квiтняпоточного року i встановлюємо час 22:00. Використовуючи меню пошуку [F3] знаходимо об’єкт«Венера». В iнформацiйному меню даного об’єкта знаходимо: висота свiтила 21◦37′24′′, азимут283◦29′07′′. Видима зоряна величина Венери у цей момент дорiвнює −4.32, а видимий кутовийдiаметр 27′′.

Встановлюємо за допомогою кiлькох послiдовних натискань клавiшi L пришвидшене обер-тання небесної сфери i спостерiгаємо, що приблизно о 24:00 планета заходить за горизонт. Такимчином, у зазначеному в умовi iнтервалi часу спостереження планети Венера можна здiйснюватилише протягом двох годин: з 22:00 до 24:00.

Задача 2

Визначити пряме пiднесення та схилення Сонця 1 липня в момент його нижньої кульмiнацiї.

Розв’язання

55

Нижня кульмiнацiя Сонця вiдповiдає початку доби, тобто 24h00m. Встановлюємо дату 01.07,час — 24:00. За допомогою вiкна пошуку [F3] знаходимо об’єкт «Сонце»1. У лiвому верхньомукутку знаходимо необхiдну iнформацiю: пряме пiднесення 6h45m17s, схилення +23◦01′29′′.

Задача 3Визначити абсолютну та видиму зорянi величини зорi Бетельгейзе. До якого спектрального

класу вiдноситься зоря? Яка вiдстань до зорi? У якому сузiр’ї вона знаходиться?Розв’язанняЗнаходимо задану в умовi зорю використовуючи меню пошуку. За необхiднiстю вимикаємо

атмосферу ( A ) та поверхню Землi ( G ). З iнформацiйного меню визначаємо: видима зорянавеличина +0.45, абсолютна зоряна величина −5.14, спектральний клас M21b, вiдстань 427.47 св.роки.

Вмикаючи лiнiї ( C ) та мiтки ( V ) сузiр’їв, визначаємо, що Бетельгейзе є найяскравiша зоряв сузiр’ї Орiона.

Контрольнi запитання

1. Якi можливостi програмного пакету Stellarium?2. Як задати мiсце розташування?3. Яким чином здiйснюється керування швидкiстю обертання небесної сфери?4. Яку iнформацiю про планети можна отримати за допомогою Stellarium?5. Чи можна побачити в Stellarium вигляд зоряного неба з поверхнi Марса?

Завдання

1. Запустити Stellarium. Встановити мiсце розташування, яке вiдповiдає Вашому населеномупункту. Провести спостереження небесної сфери у режимах вiдображення з атмосферою та за їївiдсутностi. Визначити горизонтальнi та екваторiальнi координати Сонця в момент проведеннязаняття.

2. Збiльшити темп обертання небесної сфери. Прослiдкувати за змiною положень свiтил нанебеснiй сферi протягом доби. Визначити максимальну та мiнiмальну висоту Сонця протягомдоби, що вiдповiдає моменту спостереження. Провести аналогiчнi спостереження в календарнiднi, якi вiдповiдають весняному i осiнньому рiвноденням та лiтньому i зимовому сонцестоянням.Порiвняти одержанi результати.

3. Повернутися до календарної дати, яка вiдповiдає моменту проведення заняття. Прове-сти спостереження нiчного неба. Виписати кiлька найяскравiших свiтил, якi можна спостерiгатипротягом цiєї ночi. Якi планети з’являються на нiчному небi?

4. Провести спостереження сузiр’їв. В якому сузiр’ї знаходиться Сонце у даний момент. Зна-йти на небеснiй сферi Полярну зiрку. Прослiдкувати за змiною її положення протягом доби.Сформулювати вiдповiдний висновок. Зробити у зошитi рисунки будь-яких чотирьох сузiр’в увиглядi зiрок, що з’єднанi лiнiями. На рисунку мають бути вказанi назви сузiр’я та найяскравi-шої зiрки.

5. Провести спостереження планет Сонячної системи. Визначити екваторiальнi та горизон-тальнi координати планет для моменту часу 24h00m. У яких сузiр’ях перебувають планети та якау них видима зоряна величина? Встановити наявнiсть у планет супутникiв.

1Очевидно, що для широт України у цей момент Сонце буде знаходитися пiд горизонтом. Для вiзуальногоспостереження Сонця необхiдно вимкнути вiдображення земної поверхнi ( G ).

56

6. Визначити дати, що вiдносяться до даного календарного мiсяця, у якi можна спостерiгатирiзнi фази Мiсяця. Визначити найкращий момент часу для проведення спостереження «першоїчвертi» Мiсяця. Якi висота та азимут Мiсяця в цей момент? Чому дорiвнює видима зоряна вели-чина свiтила?

7. Провести спостереження туманностей. Знайти положення на небеснiй сферi та вказатиекваторiальнi координати наступних туманностей: Крабовидної (M1 або NGC 1952), Орла (M16або NGC 6611), Великої туманностi в Андромедi (M31 або NGC 224). У яких сузiр’ях знаходятьсятуманностi? Зобразити у зошитi форму туманностей.

8. Провести спостереження добового руху небесних свiтил на географiчних широтах 0◦ та82◦. Сформулювати висновки спостережень. Визначити полуденну висоту Сонця в день весняногорiвнодення для спостерiгача, який перебуває на екваторi. Прослiдкувати за змiною дня i ночi вчервнi та груднi для спостерiгача, який перебуває на широтi 82◦.

9. Перевiрити передбачення щодо повного сонячного затемнення, яке має вiдбутися 20 бере-зня 2015 року на територiї Англiї. Якщо затемнення вiдбудеться, то яким воно буде на територiїУкраїни? Визначити час початку та тривалiсть затемнення.

Додаткова лiтература

1. http://downloads.sourceforge.net/stellarium/stellarium−user−guide-0.9.1-1.pdf.2. http://porpoisehead.net/mysw/downloads/ru−stellarium−user−guide-0.8.2-1.pdf.

57

58

Частина II

Додатки

59

Додаток 1. Географiчнi координати обласних центрiв України

Мiсто ϕ λ Мiсто ϕ λ

Вiнниця 49,2 28,4 Полтава 49,6 34,6

Днiпропетровськ 48,4 35,0 Рiвне 50,6 26,1

Донецьк 48,0 37,8 Сiмферополь 45,0 34,1

Житомир 50,3 28,7 Суми 50,9 34,8

Запорiжжя 47,8 35,2 Тернопiль 49,6 25,6

Iвано–Франкiвськ 48,9 24,7 Ужгород 48,6 22,4

Київ 50,5 30,5 Харкiв 50,0 36,3

Кiровоград 48,4 32,2 Херсон 46,6 32,6

Луганськ 48,5 39,3 Хмельницький 49,4 27,0

Луцьк 50,8 25,3 Черкаси 49,5 32,1

Львiв 49,9 24,0 Чернiгiв 51,5 31,3

Миколаїв 47,0 32,0 Чернiвцi 48,3 25,9

Одеса 46,5 30,75

61

Додаток

2.Вiдом

остiпро

найяскравiшiзорi

Позначення

Видим

аАбсолю

тнаПрям

еСпектральний

Назва

всузiр’ї

зор.вел.зор.вел.

пiднесенняСхилення

Паралакс

класh

m◦

′′′

Сiрiус

αВеликого

Пса

−1,4

41,4

506

45,2

−16

43

0,3

792

A1V

Канопус

αКiля

−0,6

2−

5,5

006

24,0

−52

42

0,0105F0II

Толiм

анαЦентавра

−0,2

84,1

114

39,7

−60

50

0,7548G2V

Арктур

αВолопаса

−0,0

5−

0,3

514

15,7

+19

11

0,0888K1.5III

Вега

αЛiри

0,0

30,6

018

36,9

+38

47

0,1302A0V

Капелла

αВiзничого

0,0

8−

0,5

105

16,7

+46

00

0,0762G8III

Рiгель

βОрiона

0,1

8−

6,9

305

14,5

−08

12

0,0037B8Iab

Процiон

αМалого

Пса

0,4

02,6

707

39,3

+05

14

0,2845F5IV

Ахернар

αЕрiдана

0,4

5−

2,7

001

37,7

−57

14

0,0233B3V

peБетельгейзе

αОрiона

0,4

5−

5,4

705

55,2

+07

24

0,0655M2Iab

Хадар

βЦентавра

0,6

1−

4,7

914

03,8

−60

22

0,0083B1III

Альтаїр

αОрла

0,7

62,2

119

50,8

+08

52

0,1949A7V

Альдебаран

αТельця

0,8

7−

0,6

804

35,9

+16

31

0,0489K5III

Спiка

αДiви

0,9

8−

3,4

413

25,2

−11

10

0,0130B1III

Антарес

αСкорпiона

1,0

5−

5,0

916

29,4

−26

26

0,0058M1.5Iab

Поллукс

βБлизню

кiв1,1

61,0

807

45,3

+28

02

0,0965K0IIIb

Фом

альгаутαПiвденноїР

иби1,1

61,7

422

57,6

−29

37

0,1298A3V

Денеб

αЛебедя

1,2

5−

6,9

320

41,4

+45

17

0,0023A2Iae

Регул

αЛьва

1,3

6−

0,5

710

08,4

+11

58

0,0411B7V

Кастор

αБлизню

кiв1,5

80,6

107

34,6

+31

53

0,0641A2V

m

62

Додаток 3

Спектр Сонця

Рис. 18: Найяскравiшi лiнiї поглинання у видимому дiапазонi спектру Сонця. Довжини вказанiв ангстремах.

63

Лiнiї випромiнювання хiмiчних елементiв

Хiм. ел. λ, A Хiм. ел. λ, A

Ca 3933 Fe 5169

Ca 3968 Mg 5173

H 4102 Mg 5183

Ca 4227 Fe 5270

Fe 4308 Na 5890

H 4340 Na 5896

H 4861 H 6563

Fe 4958 O2 6867

Mg 5167 O2 7593

64