Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivona Puljic

Ovisnost registrirane stope nezaposlenosti o kretanju BDP-au Hrvatskoj

Diplomski rad

Osijek, 2010.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivona Puljic

Ovisnost registrirane stope nezaposlenosti o kretanju BDP-au Hrvatskoj

Diplomski rad

Mentor: Prof. dr. sc. Mirta BensicKomentor: Prof. dr. sc. Dula Borozan

Osijek, 2010.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Matematicka analiza vremenskih nizova 2

2.1. Osnovne definicije. Stacionarnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Eliminacija trenda i sezonalne komponente. Diferenciranje . . . . . . . 4

2.3. Primjeri stacionarnih procesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1. Proces pomicnih prosjeka - MA proces . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.2. Autoregresijski proces - AR proces . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.3. Autoregresijski proces pomicnih prosjeka - ARMA proces . . . . 9

2.4. Nestacionarni proces - ARIMA proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5. Regresijski modeli vremenskih nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1. Intervencijska analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.2. Jednostavna linearna regresija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.3. Regresijski koeficijent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.4. Problem autokorelacije gresaka relacije . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.5. Durbin-Watsonov test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Makroekonomska pozadina. Osnovni pojmovi 28

3.1. Nezaposlenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. BDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. Okunov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Analiza podataka 32

4.1. Model koji prati kretanje BDP-a u Hrvatskoj . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2. Model koji prati registriranu stopu nezaposlenosti u Hrvatskoj . . . . . 39

4.3. Procjena koeficijenta Okunovog zakona za Hrvatsku . . . . . . . . . . . 44

5. Zakljucak 50

Literatura

Sazetak

Relationship between registered unemployment rate and GDP

in Croatia

Zivotopis

1

1. Uvod

Ovaj diplomski rad samo je jedan od primjera koliko matematicka teorija o vreme-

nskim nizovima moze biti korisna u modeliranju stvarnih ekonomskih pojava. U njemu

su prikazani matematicki modeli koji prate kretanje registrirane stope nezaposlenosti

i razine bruto domaceg proizvoda (BDP) - dvaju izuzetno vaznih makroekonomskih

pokazatelja. Uz ta dva osnovna modela, izraden je i model Okunovog zakona za

Hrvatsku. Okunov zakon opisuje linearnu ovisnost promjene stope nezaposlenosti o

promjeni razine BDP-a. Razina BDP-a u Hrvatskoj uklopila se u sezonalan ARIMA

model, dok je registriranu stopu nezaposlenosti bilo potrebno modelirati linearnom re-

gresijom u kojoj je nezavisna varijabla bila logaritmirana razina BDP-a.

U poglavlju koje slijedi (poglavlje 2) opisana je matematicka teorija koja se nalazi

u pozadini svakog od tih modela. Teorija pokriva definiciju stacionarnosti te nekoliko

primjera stacionarnih procesa. Ukratko je opisan i najvazniji nestacionarni proces -

ARIMA.

U nastavku poglavlja obradeni su i regresijski modeli vremenskih nizova u kojima je

naglasak stavljen na linearnu regresiju te problem autokoreliranosti gresaka regresije.

Ucinjen je i kraci osvrt na intervencije u vremenskim nizovima.

Poglavlje 3 bavi se makroekonomskom pozadinom rada. U njemu su ukratko defini-

rani osnovni pojmovi vezani uz nezaposlenost i BDP te je iskazana njihova povezanost

kroz vec spomenuti Okunov zakon.

Poglavlje 4 posveceno je detaljnoj analizi podataka i matematickim modelima koji

prate spomenute makroekonomske pojave.

Posljednje poglavlje odnosi se na zakljucke proizasle iz provedene analize.

2

2. Matematicka analiza vremenskih nizova

Vremenski niz je skup zapazanja xt, t ∈ T0 pri cemu T0 predstavlja skup trenutaka

u kojima su biljezena ta zapazanja. Ovisno o prirodi skupa T0 razlikujemo diskretne i

neprekidne vremenske nizove.

Ukoliko je T0 diskretan skup, tada ce i pripadni vremenski niz biti diskretan, odnosno

zapazanja ce se biljeziti u pravilnim vremenskim razmacima. No, ukoliko je T0 nepreki-

dan i dozvoljava zapis T0 = [a, b], a, b ∈ R+, tada se pripadni vremenski niz naziva

neprekidnim.

Prvi korak u analizi vremenskog niza je pronalazak matematickog modela koji bi

reprezentirao podatke. Prirodno je za pretpostaviti kako je svako zapazanje niza xt

realizacija neke slucajne varijable Xt. Stoga je i sam niz xt, t ∈ T0 realizacija familije

slucajnih varijabli Xt, t ∈ T0. Zbog ovih cinjenica, podatke vremenskog niza najbolje

je modelirati kao realizaciju nekog stohastickog procesa Xt, t ∈ T, gdje je T0 ⊆ T.

Definicija 2.1 (Stohasticki proces) Stohasticki proces je familija slucajnih varijabli

Xt, t ∈ T definiranih na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).

Napomena. U tekstu koji slijedi je za vremenski niz cesce upotrebljavan naziv proces.

Iako ta dva pojma nisu potpuni sinonimi, smisao teksta je ocuvana.

U sljedecem poglavlju definirat cemo autokovarijacijsku i autokorelacijsku funkciju,

navest cemo njihova svojstva i opisati koje uvjete vremenski niz mora zadovoljavati

da bi ga se moglo nazvati stacionarnim. Svojstvo stacionarnosti je bitno svojstvo

vremenskog niza jer ono ukazuje na konstantno ocekivanje i varijancu.

2.1. Osnovne definicije. Stacionarnost

Definicija 2.2 (Autokovarijacijska i autokorelacijska funkcija) Neka je

Xt, t ∈ T slucajan proces koji zadovoljava uvjet da je V ar(Xt) <∞, ∀t ∈ T.Autokovarijacijsku funkciju γ : T × T → R tada definiramo izrazom

γ(r, s) = Cov(Xr, Xs) = E [(Xr − EXr)(Xs − EXs)] r, s ∈ T (1)

a autokorelacijsku funkciju ρ : T × T → R

ρ(r, s) = Corr(Xr, Xs) =Cov(Xr, Xs)√V arXr

√V arXs

=γ(r, s)

γ(0)r, s ∈ T (2)

3

Obzirom da se analiza vecine vremenskih nizova vrsi na diskretnim skupovima, skup

T mozemo zamijeniti skupom cijelih brojeva Z.

Definicija 2.3 (Stacionarnost) Za vremenski niz Xt, t ∈ Z kazemo da je sta-

cionaran ukoliko zadovoljava sljedece uvjete

i) E|Xt|2 <∞, ∀t ∈ Z

ii) EXt = c, c ∈ R, ∀t ∈ Z

iii) γ(r, s) = γ(r + t, s+ t), ∀r, s, t ∈ Z

Napomena 1. Ovako definirana stacionarnost se u literaturi naziva slabom stacionarno-

sti ili stacionarnosti u sirem smislu. Jaka stacionarnost vremenskog niza ili stacionarnost

u uzem smislu oznacava translacijsku invarijantnost konacnodimenzionalnih distribu-

cija. Jednostavnije receno, podaci jako stacionarnog vremenskog niza pokazuju vrlo

slicna statisticka obiljezja na jednako dugim vremenskim intervalima.

Napomena 2. Ukoliko je Xt, t ∈ Z stacionaran vremenski niz, autokovarijacijska

funkcija γ moze se definirati kao funkcija jedne varijable

γ(r, s) = γ(0, s− r) = γ(0, h) = γ(h) ∀r, s ∈ Z

Autokorelacijska funkcija ρ takoder postaje funkcija jedne varijable

ρ(r, s) =γ(r, s)

γ(0)=γ(h)

γ(0)= ρ(h) ∀r, s ∈ Z

Radi jednostavnijeg i kraceg zapisa dalje u tekstu ce se za autokovarijacijsku funkciju

koristiti oznaka ACVF, a za autokorelacijsku funkciju oznaka ACF. Takve oznake su

uobicajene u literaturi.

Propozicija 2.1 ACVF funkcija stacionarnog procesa Xt, t ∈ Z ima sljedeca svo-

jstva:

i) γ(0) ≥ 0

ii) |γ(h)| ≤ γ(0), ∀h ∈ Z

iii) γ(h) je parna funkcija, odnosno γ(h) = γ(−h), ∀h ∈ Z

iv) γ(h) je pozitivno semidefinitna funkcija.

4

Dokaz:

i) γ(0) = Cov(Xt, Xt) = V arXt ≥ 0

ii) Trazena nejednakost slijedi direktno iz Cauchy- Schwarzove nejednakosti

|γ(h)| = |Cov(Xt, Xt+h| ≤√V arXt

√V arXt+h =

√γ(0)2 = γ(0)

iii) γ(−h) = Cov(Xt, Xt−h) = Cov(Xt, Xt+h) = γ(h)

iv) Dokaz ove tvrdnje moze se pronaci u [4, str. 27].

Napomena. ACF funkcija ρ(h) ima jednaka svojstva kao ACVF γ(h) uz jedno do-

datno svojstvo, a to je da zadovoljava jednakost ρ(0) = 1.

Primjer 2.1 Jedan od najvaznijih primjera stacionarnih procesa je proces bijelog suma.

Bijeli sum (eng. White Noise) se definira kao niz nezavisnih, jednako distribuiranih i

medusobno nekoreliranih slucajnih varijabli Zt za koje vrijedi EZt = c (najcesce c = 0)

te V arZt = σ2. Krace ga oznacavamo sa Zt ∼ WN(0, σ2). ACVF i ACF funkcije

bijelog suma glase

γ(h) =

σ2 , h = 00 , h 6= 0

ρ(h) =

1 , h = 00 , h 6= 0

2.2. Eliminacija trenda i sezonalne komponente. Diferenci-ranje

Klasicna dekompozicija vremenskog niza koji prati neku pojavu dana je izrazom

Xt = mt + st + Yt t ∈ Z (3)

pri cemu su mt i st deterministicke funkcije ovisne o vremenu t, a Yt niz koji prati

odstupanja od deterministickog dijela. Funkcija mt se naziva i trend komponentom

klasicne dekompozicije jer opisuje dugorocno ponasanje vremenskog niza, dok je st se-

zonalna komponenta kojom se izrazavaju fluktuacije oko trenda koje se ponavljaju na

slican nacin u periodu d. Ponekad klasicna dekompozicija moze sadrzavati i ciklicku

komponentu ct kojom se opisuju dugorocna kretanja koja dovode do nepravilnih vise-

godisnjih oscilacija u razvoju pojave. Cilj analize vremenskog niza je procijeniti i

odstraniti deterministicki dio dekompozicije, ali na nacin da niz reziduala Yt zadovo-

ljava uvjete stacionarnosti, tj. da se ponasa kao bijeli sum.

5

Jedna od metoda eliminacije trenda i sezonalne komponente je metoda diferenci-

ranja. Operator diferenciranja ∇ definiran je izrazom

∇Xt = Xt −Xt−1 = (1−B)Xt

pri cemu je B operator pomaka unazad

BXt = Xt−1

Takoder vrijedi

BjXt = Xt−j

∇jXt =

Xt , j = 0∇(∇j−1Xt) , j ≥ 1

Na primjer

∇2Xt = (1−B)2Xt = (1− 2B +B2)Xt = Xt − 2Xt−1 +Xt−2

Uz operator diferenciranja ∇ kojim se provodi diferenciranje na koraku 1, radi uspje-

snije eliminacije sezonalne komponente potrebno je definirati i operator diferenciranja

na koraku d1 ∇d

∇dXt = Xt −Xt−d = (1−Bd)Xt

2.3. Primjeri stacionarnih procesa

2.3.1. Proces pomicnih prosjeka - MA proces

Proces pomicnih prosjeka reda q (oznaka MA(q)) dan je izrazom

Xt = Zt − θ1Zt−1 − θ2Zt−2 − . . .− θqZt−q t ∈ Z, θ1, . . . , θq ∈ R (4)

pri cemu je Zt ∼ WN(0, σ2). Uocimo kako je vrijednost tekuceg perioda procesa

povezana s greskama relacije tekuceg i prethodnih razdoblja.

Upoznajmo se poblize sa MA(q) procesom kroz sljedeca dva primjera.

1Vazno je uociti razliku izmedu ∇d = (1−B)d i ∇d = 1−Bd.

6

Primjer 2.2 MA(1) proces opisan je izrazom Xt = Zt − θZt−1 pri cemu je

Zt ∼ WN(0, σ2), t ∈ Z. Lako se pokaze kako za ovaj proces vrijedi

EXt = 0 γ(h) =

σ2(1 + θ2) , h = 0−θσ2 , |h| = 10 , |h| > 1

ρ(h) =

1 , h = 0− θ

1+θ2, |h| = 1

0 , |h| > 1

Primjer 2.3 U razmatranje smo uzeli MA(2) proces Xt = Zt − θ1Zt−1 − θ2Zt−2 pri

cemu je Zt ∼ WN(0, σ2), t ∈ Z. Ocekivanje ovog procesa je takoder 0, a funkcije

ACVF i ACF nakon kraceg racuna poprimaju oblik

γ(h) =

σ2(1 + θ2

1 + θ22) , h = 0

σ2(−θ1 + θ1θ2) , |h| = 1−θ2σ

2 , |h| = 20 , |h| > 2

ρ(h) =

1 , h = 0−θ1+θ1θ21+θ21+θ22

, |h| = 1−θ2

1+θ21+θ22, |h| = 2

0 , |h| > 2

Na temelju prethodna dva primjera lako je zakljuciti kako su ACVF i ACF funkcije

generalnog MA(q) procesa oblika

γ(h) =

σ2(1 + θ2

1 + θ22 + . . .+ θ2

q) , h = 0σ2(−θh + θ1θh+1 + θ2θh+2 + . . .+ θq−hθq) , |h| = 1, . . . , q0 , |h| > q

ρ(h) =

1 , h = 0−θh+θ1θh+1+θ2θh+2+...+θq−hθq

1+θ21+θ22+...+θ2q, |h| = 1, . . . , q

0 , |h| > q

Napomena. Uocimo kako funkcije ACVF i ACF generalnog MA(q) procesa iscezavaju

nakon q koraka.

7

2.3.2. Autoregresijski proces - AR proces

Opci oblik autoregresijskog procesa reda p (oznaka AR(p)) dan je sljedecom je-

dnakosti

Xt = φ1Xt−1 + φ2Xt−2 + . . .+ φpXt−p + Zt t ∈ Z, φ1, . . . , φp ∈ R (5)

pri cemu je Zt ∼ WN(0, σ2). Naziv autoregresijski slijedi iz cinjenice kako se vrije-

dnost procesa Xt u trenutku t moze prikazati kao linearna kombinacija prethodnih

p stanja procesa i bijelog suma Zt takoder zabiljezenog u trenutku t. Zbog toga se

pretpostavlja kako je Zt neovisan o vrijednostima Xt−1, . . . , Xt−p te kako on u proces

unosi inovaciju (inovacija je drugi naziv za gresku relacije).

Primjer 2.4 Neka je dan AR(1) proces

Xt = φXt−1 + Zt Zt ∼ WN(0, σ2), t ∈ Z (6)

Lako se pokaze kako je EXt = 0 i

γ(0) =σ2

1− φ2(7)

Dovoljan uvjet stacionarnosti ovog procesa je |φ| < 1 sto direktno slijedi iz (7). Kako bi

u potpunosti definirali funkcije ACVF i ACF, potrebno je izraz (6) pomnoziti sa Xt−h

te od dobivenog uzeti ocekivanje

XtXt−h = φXt−1Xt−h + ZtXt−h ⇒ E(XtXt−h)︸ ︷︷ ︸γ(h)

= φE(Xt−1Xt−h)︸ ︷︷ ︸γ(h−1)

+E(ZtXt−h)

Zbog neovisnosti Zt i Xt−h, slijedi da je E(ZtXt−h) = 0.

Lako se zakljucuje sljedece

γ(h) = φγ(h− 1) = φ2γ(h− 2) = . . . = φhγ(0) = φhσ2

1− φ2, ∀h ∈ Z (8)

ρ(h) =γ(h)

γ(0)= φh, ∀h ∈ Z (9)

Brzina kojom ce ACF funkcija iscezavati uvelike ovisi o parametru φ. Iz (9) je ocito

kako za manji φ, funkcija ACF brze pada ka 0, ali opet ne tako brzo kao ACF funkcija

MA(1) procesa. Iz ovoga se moze zakljuciti kako AR proces duze pamti od MA procesa

istog reda.

8

Primjer 2.5 Neka je dan stacionaran2 AR(2) proces

Xt = φ1Xt−1 + φ2Xt−2 + Zt Zt ∼ WN(0, σ2), t ∈ Z (10)

Iako postoji eksplicitna formula ACF funkcije procesa (10), do nje mozemo doci i

rekurzivno. Izvod zapocinjemo slicno kao u prethodnom primjeru mnozeci (10) sa Xt−h

XtXt−h = φ1Xt−1Xt−h + φ2Xt−2Xt−h + ZtXt−h

⇒ E(XtXt−h)︸ ︷︷ ︸γ(h)

= φ1E(Xt−1Xt−h)︸ ︷︷ ︸γ(h−1)

+φ2E(Xt−2Xt−h)︸ ︷︷ ︸γ(h−2)

+E(ZtXt−h)︸ ︷︷ ︸0

(11)

Nakon dijeljenja (11) sa γ(0) dobijemo rekurzivnu relaciju ACF funkcije

ρ(h) = φ1ρ(h− 1) + φ2ρ(h− 2) (12)

Uz pocetni uvjet ρ(0) = 1 te uz svojstvo ρ(1) = ρ(−1) slijedi da je

ρ(1) = φ1ρ(0) + φ2ρ(1)⇒ ρ(1) =φ1

1− φ2

Sada kada znamo vrijednost ρ(1), izraz (12) mozemo iskoristiti za racunanje ρ(2), itd.

ρ(2) = φ1ρ(1) + φ2ρ(0) =φ2

1 + φ2(1− φ2)

1− φ2

Jednadzbe proizasle iz (12) nazivaju se Yule-Walkerove jednadzbe ciji ce opci oblik biti

naveden u sljedecem primjeru.

Primjer 2.6 Autoregresijski model reda p (oznaka AR(p)) opisan je izrazom

Xt = φ1Xt−1 + φ2Xt−2 + . . .+ φpXt−p + Zt t ∈ Z (13)

pri cemu je niz Zt ∼ WN(0, σ2). Ako (13) pomnozimo sa Xt−h, od dobivenog

uzmemo ocekivanje, te sve podijelimo sa γ(0), dobijemo vaznu rekurzivnu relaciju

ρ(h) = φ1ρ(h− 1) + φ2ρ(h− 2) + . . .+ φpρ(h− p) h ≥ 1 (14)

Uz pocetne uvjete ρ(0) = 1 i zahvaljujuci svojstvu parnosti ACF funkcije, izraz (14)

za h = 1, 2, . . . rezultira nizom jednadzbi koje se nazivaju Yule-Walkerovim je-

dnadzbama

2Uvjeti stacionarnosti AR(2) procesa su sljedeci: φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, |φ2| < 1. Dokaz ovetvrdnje moze se pronaci u [5, str. 84].

9

ρ(1) = φ1 + φ2ρ(1) + φ3ρ(2) + . . .+ φpρ(p− 1)

ρ(2) = φ1ρ(1) + φ2 + φ3ρ(1) + . . .+ φpρ(p− 2)

...

ρ(p) = φ1ρ(p− 1) + φ2ρ(p− 2) + φ3ρ(p− 3) + . . .+ φp

Sada kada znamo vrijednosti ρ(1), ρ(2), . . . , ρ(p), lako je doci i do varijance procesa.

Ako (13) pomnozimo sa Xt, te od dobivenog uzmemo ocekivanje, dobijemo jednakost

γ(0) = φ1γ(1) + φ2γ(2) + . . .+ φpγ(p) + σ2

koja se zahvaljujuci jednakosti ρ(h) = γ(h)γ(0)

moze zapisati kao

γ(0) =σ2

1− φ1ρ(1)− φ2ρ(2)− . . .− φpρ(p)

2.3.3. Autoregresijski proces pomicnih prosjeka - ARMA proces

Proces koji je jednim dijelom autoregresijski, a drugim dijelom pokazuje svojstva

procesa pomicnih prosjeka prikazan je jednadzbom

Xt = φ1Xt−1 +φ2Xt−2 + . . .+φpXt−p+Zt−θ1Zt−1−θ2Zt−2− . . .−θqZt−q t ∈ Z (15)

i naziva se autoregresijskim procesom pomicnih prosjeka reda p i q (oznaka

ARMA(p,q)). Niz Zt je kao u prethodnim primjerima WN(0, σ2).

ARMA procesi se svrstavaju u stacionarnu grupu procesa i nasli su siroku primjenu u

modeliranju zbivanja koja se odvijaju u stvarnom svijetu.

Kod ARMA procesa vrijedi pretpostavka kako karakteristicni AR i MA polinomi

φ(z) = 1− φ1z − φ2z2 − . . .− φpzp

θ(z) = 1− θ1z − θ2z2 − . . .− θqzq

nemaju zajednickih korijena. U suprotnom bi bilo moguce smanjiti red ARMA procesa

kracenjem zajednickog korijena.

10

Primjer 2.7 Neka je dan ARMA(1,1) proces

Xt = φXt−1 + Zt − θZt−1 θ 6= φ, Zt ∼ WN(0, σ2), t ∈ Z (16)

Prije no sto izvedemo Yule-Walkerove jednadzbe, vazno je uociti sljedece

E(ZtXt) = σ2 i E(Zt−1Xt) = (φ− θ)σ2

Ako jednadzbu (16) pomnozimo sa Xt−h, te od toga uzmemo ocekivanje, dobijemo

sljedece

γ(0) = φγ(1) + [1− θ(φ− θ)]σ2 (17)

γ(1) = φγ(0)− θσ2 (18)

γ(h) = φγ(h− 1) h ≥ 2

Iz (17) i (18) lako je odrediti varijancu procesa

γ(0) =1− 2φθ + θ2

1− φ2σ2

Sada rjesavanjem jednostavne rekurzije dobijemo ACF funkciju

ρ(h) =(1− θφ)(φ− θ)

1− 2φθ + θ2φh−1 h ≥ 1

Prije no sto bude rijec o uvjetima postojanja stacionarnog rjesenja i invertibilnosti

ARMA(1,1) procesa, potrebno je definirati linearan proces.

Definicija 2.4 Ako proces Xt, t ∈ Z dozvoljava prikaz oblika

Xt =∞∑

j=−∞

ψjZt−j ∀t ∈ Z

pri cemu je Zt, t ∈ Z ∼ WN(0, σ2), a ψj niz konstanti za koje vrijedi

∞∑j=−∞

|ψj| <∞ (19)

tada ga nazivamo linearnim procesom.

11

Propozicija 2.2 Neka je Yt, t ∈ Z stacionaran proces za kojeg vrijedi EYt = 0. Ako

je za niz konstanti ψj ispunjen uvjet (19), tada je proces

Xt = Ψ(B)Yt =∞∑

j=−∞

ψjBjYt =

∞∑j=−∞

ψjYt−j (20)

takoder stacionaran i vrijedi

EXt = 0

γX(h) =∞∑

j=−∞

∞∑k=−∞

ψjψkγY (h+ k − j)

Specijalno, ako je Yt ∼ WN(0, σ2), odnosno ako je Xt linearan proces, tada je

γX(h) =∞∑

j=−∞

ψjψj+hσ2

Dokaz. Neka je Xt proces definiran kao u propoziciji. Linearnost funkcije ocekivanja

povlaci sljedece

EXt = E(∞∑

j=−∞

ψjYt−j) =∞∑

j=−∞

ψjE(Yt−j) = 0

γX(h) = E(Xt, Xt+h) = E(∞∑

j=−∞

ψjYt+h−j)(∞∑

k=−∞

ψkYt−k) =

=∞∑

j=−∞

∞∑k=−∞

ψjψkE(Yt+h−jYt−k) =

=∞∑

j=−∞

∞∑k=−∞

ψjψkγY (h+ k − j) (21)

Specijalno, za Xt linearan proces vrijedi

γY (h+ k − j) =

σ2 , h+ k = j0 , h+ k 6= j

Tada se (21) transformira u

γX(h) =∞∑

k=−∞

ψkψk+hσ2

Napomena. Proces Xt koji dozvoljava prikaz (20) naziva se linearnim filterom

procesa Ys.

12

Slijedi propozicija koja kazuje pod kojim je uvjetima ARMA(1,1) proces invertibilan3

i ima stacionarno rjesenje.

Propozicija 2.3 Neka je dan ARMA(1,1) proces

Xt − φXt−1 = Zt + θZt−1 t ∈ Z (22)

gdje je Zt, t ∈ Z ∼ WN(0, σ2).

Vrijedi sljedece

i) za |φ| < 1 jednadzba (22) ima stacionarno rjesenje koje je linearan filter procesa

Zt izrazen u trenucima sadasnjosti i proslosti4;

ii) za |φ| > 1 jednadzba (22) ima stacionarno rjesenje koje je linearan filter procesa

Zt izrazen u trenucima sadasnjosti i buducnosti;

iii) za |θ| < 1 proces (22) je invertibilan.

Dokaz.

Zapisimo (22) u terminima operatora B

(1− φB)Xt = (1 + θB)Zt ⇒ Φ(B)Xt = Θ(B)Zt (23)

i) Neka je |φ| < 1.

Iz teorije redova poznato je da za |φ| < 1, φ ∈ R i |z| < 1, z ∈ C vrijedi sljedece

K(z) = 1 + φz + φ2z2 + . . . =∞∑j=0

φjzj =1

1− φz

Tada je K(B) = 11−φB . Ako sa K(B) djelujemo na (23), dobijemo

K(B)Φ(B)︸ ︷︷ ︸=1

Xt = K(B)Θ(B)︸ ︷︷ ︸Ψ(B)

Zt =∞∑j=0

ψjZt−j (24)

Iz (24) je ocito koko je Xt linearan filter stacionarnog procesa Zt pa je prema

prethodnoj propoziciji i Xt stacionaran proces.

Preostaje jos precizirati koeficijente ψj.

Kako je Ψ(B) = K(B)Θ(B) = (1 + φB + φ2B2 + φ3B3 + . . .)(1 + θB), slijedi da je

ψ0 = 1ψj = (φ+ θ)φj−1, j ≥ 1

3Za proces Xt kazemo da je invertibilan ako realizaciju bijelog suma Zt u trenutku t mozemoizraziti pomocu Xs, s ≤ t.

4Ako je proces Xt linearan filter procesa Zs pri cemu je s ≤ t, tada za Xt kazemo da jeuzrocan ili kauzalan proces.

13

Sada (24) poprima oblik

Xt = Zt + (φ+ θ)∞∑j=1

φj−1Zt−j

ii) Neka je |φ| > 1.

Iz i) znamo da za |x| < 1, x ∈ C vrijedi∑∞

j=0 xj = 1

1−x . No, u slucaju da je |x| > 1,

postupak je sljedeci

1

1− x=

1x

1x− 1

= −1

x(

1

1− x−1) = −1

x

∞∑j=0

x−j = −∞∑j=1

x−j = −−1∑

j=−∞

xj

Obzirom da je u ovom slucaju |φ| > 1, prethodni rezultat iskoristimo za definiranje

K(B)

K(B) =1

1− φB= −

−1∑j=−∞

φjBj (25)

Sada (25) primijenimo na (23). Dobijemo

Xt = K(B)Θ(B)Zt = (−−1∑

j=−∞

φjBj)(1 + θB)︸ ︷︷ ︸Ψ(B)

Zt =∞∑j=0

ψjZt+j (26)

Iz (26) je ocito kako je Xt linearan filter stacionarnog procesa Zt pa je prema

prethodnoj propoziciji i on sam stacionaran. Koeficijenti ψj u izrazu (26) su sljedeci

ψ0 = −θφ−1

ψj = −(φ+ θ)φ−j−1, j ≥ 1

Proces Xt u ovom slucaju nije uzrocan jer je iskazan u terminima sadasnjosti i

buducnosti.

iii) Neka je |θ| < 1. Za tako odabran θ i za |z| ≤ 1, z ∈ C vrijedi sljedece

Σ(z) = 1− θz + θ2z2 − θ3z3 + . . . =∞∑j=0

(−θ)jzj =1

1 + θz

Tada je Σ(B) = 11+θB

. Ako na (23) djelujemo sa Σ(B), dobijemo

Σ(B)Θ(B)︸ ︷︷ ︸=1

Zt = Σ(B)Φ(B)︸ ︷︷ ︸Ψ(B)

Xt =∞∑j=0

ψjXt−j (27)

14

Iz (27) slijedi da je proces Zt linearni filter procesa Xt. Iako koeficijente tog li-

nearnog filtera jos nismo precizirali, vec sad je moguce zakljuciti kako je Xt inver-

tibilan proces.

Tocne vrijednosti koeficijenata ψj dobijemo iz jednakosti

∞∑j=0

ψjBj = Ψ(B) = Σ(B)Φ(B) = (1− θB + θ2B2 − θ3B3 + . . .)(1− φB)

ψ0 = 1ψj = −(θ + φ)(−θ)j−1, j ≥ 1

Sada (27) mozemo pisati na sljedeci nacin

Zt = Xt − (θ + φ)∞∑j=1

(−θ)j−1Xt−j

Napomena. Pokazali smo kako ARMA(1,1) proces ima stacionarno rjesenje onda i

samo onda ako vrijedi φ 6= ±1, odnosno ako AR polinom Φ(z) = 1 − φz, z ∈ C ima

nultocke z 6= ±1. Taj uvjet moze se poopciti na ARMA(p,q) procese.

Kazemo da ARMA(p,q) proces ima stacionarno rjesenje onda i samo onda ako nultocke

AR polinoma Φ(z) = 1− φ1z − . . .− φpzp, z ∈ C zadovoljavaju uvjet |z| 6= 1.

2.4. Nestacionarni proces - ARIMA proces

ARIMA procesi su glavni predstavnici nestacionarnih5 procesa. Za Xt kazemo da je

ARIMA(p,d,q) proces ako proces Wt = ∇dXt dozvoljava modeliranje stacionarnim

ARMA(p,q) modelom. Opci oblik ARIMA(p,d,q) procesa iskazan u terminima opera-

tora B glasi

φ(B)(1−B)dXt = θ(B)Zt t ∈ Z (28)

Pri specifikaciji ARIMA modela koristimo Box-Jenkinsovu metodu populariziranu

1976. godine. Ona se sastoji od tri koraka od kojih svaki daje odgovor na jedno od

sljedecih pitanja:

1. kako odabrati odgovarajuce vrijednosti za p,d i q;

2. kako procijeniti parametre ARIMA(p,d,q) modela;

3. kako procijeniti je li model dobar i, u slucaju da nije, kako ga poboljsati.

5Najbitnija razlika stacionarnih i nestacionarnih procesa je sto su ocekivanje i varijanca stacionarnihprocesa konstantni, dok se kod nestacionarnih procesa razina pojave i odstupanje od prosjecne razinemijenjaju tokom vremena.

15

Praksa pokazuje kako vecina vremenskih nizova ima izrazenu sezonalnu komponentu.

U tu svrhu promotrimo sezonalni MA(Q) proces sa sezonalnim periodom s

Xt = Zt −Θ1Zt−s −Θ2Zt−2s − . . .−ΘQZt−Qs t ∈ Z

ciji MA karakteristicni polinom glasi

Θ(x) = 1−Θ1xs −Θ2x

2s − . . .−ΘQxQs

Ocito je kako je MA(Q) proces stacionaran te kako njegova ACF funkcija poprima vri-

jednosti razlicite od 0 samo na koracima s, 2s, 3s, . . . , Qs. Ovaj proces mozemo inter-

pretirati kao nesezonalni MA(Qs) kojemu su koeficijenti θj = 0 za j 6= s, 2s, . . . , Qs.

Osim sezonalnog MA(Q) procesa, definirati mozemo i sezonalni AR(P) proces s

periodom s

Xt = Φ1Xt−s + Φ2Xt−2s + . . .+ ΦPXt−Ps + Zt t ∈ Z

Njega takoder mozemo interpretirati kao nesezonalni AR(Ps) s koeficijentima φj = 0 i

sa ACF funkcijom ρj = 0 za j 6= s, 2s, . . . , Ps.

Sada mozemo dati definiciju multiplikativnog sezonalnog ARMA i ARIMA procesa.

Definicija 2.5 Multiplikativan sezonalan ARMA(p,q)×(P,Q)s proces s periodom s je

proces sa AR karakteristicnim polinomom φ(x)Φ(x) i MA karakteristicnim polinomom

θ(x)Θ(x) gdje su φ(x),Φ(x), θ(x) i Θ(x) definirani kako slijedi

φ(x) = 1− φ1x− φ2x2 − . . .− φpxp

Φ(x) = 1− Φ1xs − Φ2x

2s − . . .− ΦPxPs

θ(x) = 1− θ1x− θ2x2 − . . .− θqxq

Θ(x) = 1−Θ1xs −Θ2x

2s − . . .−ΘQxQs

Proces Xt je multiplikativan sezonalan ARIMA proces nesezonalnog reda p,d,q i se-

zonalnog reda P,D,Q te sezonalnog perioda s (u oznaci ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s) ako

diferencirani proces Wt = ∇d∇Ds Xt zadovoljava definiciju ARMA(p,q)×(P,Q)s procesa.

16

2.5. Regresijski modeli vremenskih nizova

2.5.1. Intervencijska analiza

Intervencijskom analizom proucava se kakav i koliki ucinak prirodna intervencija ili

intervencija izazvana ljudskim faktorom ima na promatrani vremenski niz, tocnije na

njegovu funkciju ocekivanja i trend. Za pocetak razmotrimo jednostavan slucaj inter-

vencije nad procesom

Xt = mt + Yt t ∈ Z

pri cemu mt oznacava promjenu na funkciji ocekivanja nastalu uslijed intervencije, a

Yt proces koji odgovara nekom (sezonalnom) ARIMA modelu.

Pretpostavimo da je proces izlozen intervenciji u trenutku T . Prije intervencije,

odnosno za t < T , mt = 0. Stoga se podaci procesa Xt, t < T nazivaju predinter-

vencijskim podacima i modeliraju se istim modelom kao i Yt.

Pri specifikaciji intervencije od velike koristi su step funkcija S(T )t i puls funkcija

P(T )t definirane kako slijedi

S(T )t =

1 , t ≥ T0 , t < T

P(T )t = S

(T )t − S(T )

t−1

P(T )t je indikator trenutka u kojem se dogodila intervencija.

Ako intervencija rezultira trenutnim i trajnim pomakom funkcije ocekivanja, taj

pomak se tada moze modelirati sljedecom jednakoscu

mt = ωS(T )t

pri cemu ω predstavlja nepoznatu trajnu promjenu ocekivanja nastalu uslijed inter-

vencije.

U slucaju da ucinak intervencije kasni d vremenskih jedinica, pisemo mt = ωS(T )t−d.

Slika 1.a ilustrira ovaj model za d = 1.

U vecem broju slucajeva intervencija na funkciju ocekivanja ne djeluje trenutno,

vec postupno i njezin potpuni ucinak vidljiv je tek u dugorocju. U tom slucaju mt

definiramo kao AR(1) proces

mt = δmt−1 + ωS(T )t−1

uz pocetni uvjet m0 = 0 (Slika 1.b).

17

Nakon kraceg racuna mt se transformira u

mt =

ω 1−δt−T

1−δ , t > T

0 , t ≤ T(29)

Najcesce je δ ∈ (0, 1) pa iz (29) slijedi da je

limt→∞

mt =ω

1− δ(30)

Izrazom (30) je dana konacna promjena na funkciji ocekivanja.

Za 1 − δt−T = 0.5, odnosno u trenutku t = T + log 0.5log δ

, ucinak intervencije na funkciju

ocekivanja nalazi se tocno na pola puta. Stoga se vremenski interval [T, t] duljine

t− T = log 0.5log δ

jos naziva i vrijeme poluzivota ucinka intervencije.

Uocimo da je

limδ→1

(t− T ) =∞

odnosno da se vrijeme poluzivota ucinka intervencije produljuje kada δ tezi ka 1.

Zanimljivo je prouciti i granicni slucaj kada je δ = 1. Tada mt u postintervencijskom

vremenu postaje linearna funkcija ovisna o t (Slika 1.c)

mt =

ω(t− T ) , t > T0 , t ≤ T

Intervencije kratkog ucinka mogu se specificirati i koristenjem puls funkcije P(T )t .

Ako intervencija utjece na funkciju ocekivanja samo u trenutku t = T , tada mozemo

pisati mt = ωP(T )t .

Pri modeliranju onih intervencija ciji ucinak postepeno slabi s vremenom koristi se

AR(1) model

mt = δmt−1 + ωP(T )t (31)

Za t ≥ T izraz (31) se transformira u mt = ωδt−T . Sada postaje ocito kako ucinak

intervencije na funkciju ocekivanja u trenutku t = T iznosi ω, a potom se geometrijski

smanjuje uz kvocijent δ.

U slucaju da ucinak intervencije na vremenski niz kasni d vremenskih jedinica, postupa

se na isti nacin kao kod step funkcije.

18

Uzmimo za primjer model

mt = δmt−1 + ωP(T )t−1 (32)

uz pocetni uvjet m0 = 0. Njime je predstavljena promjena na funkciji ocekivanja koja

kasni jednu vremensku jedinicu i postepeno se smanjuje (Slika 2.a).

Obzirom da je Bmt = mt−1 i BP(T )t = P

(T )t−1, tada model (32) zapisan u terminima

operatora B poprima oblik

(1− δB)mt = ωBP(T )t ⇒ mt =

ωB

1− δBP

(T )t

Slika 1. Primjeri intervencija modeliranih step funkcijom

(preuzeto iz [5, str. 253])

Sofisticiranije intervencije zahtijevaju i kompleksnije modele kao sto su

mt =ω1B

1− δBP

(T )t +

ω2B

1−BP

(T )t ω1, ω2 > 0

i

mt = ω0P(T )t +

ω1B

1− δBP

(T )t +

ω2B

1−BP

(T )t ω1, ω2 < 0

oba prikazana na Slici 2.

19

Opcenito, kazemo da se promjene na funkciji ocekivanja mogu modelirati ARMA mo-

delima

mt =ω(B)

δ(B)P

(T )t

gdje su ω(B) i δ(B) polinomi operatora B.

Kako je (1 − B)S(T )t = P

(T )t , model za mt moze se iskazati bilo u terminima puls,

bilo u terminima step funkcije.

Slika 2. Primjeri intervencija modeliranih puls funkcijom

(preuzeto iz [5, str. 254])

Primjer 2.8 (Ucinak 9/11) Promotrimo vremenski niz koji na mjesecnoj razini bilje-

zi logaritmirani broj avio putnika u SAD-u pocevsi od sijecnja 1996. sve do svibnja

2005. Poznato je kako je teroristicki napad na SAD u rujnu 2001. drasticno smanjio

broj putnika sto se odrazilo na trend te na funkciju ocekivanja promatranog vremenskog

niza. Tu intervenciju izazvanu ljudskim faktorom modeliramo na sljedeci nacin

mt = ω0P(T )t +

ω1

1− ω2BP

(T )t

gdje T oznacava mjesec u kojem se dogodio napad, ω0 +ω1 reprezentira trenutni ucinak

intervencije, a ω1(ω2)k, k ≥ 1 ucinak intervencije k mjeseci poslije.

Ovaj primjer je preuzet iz [5, str. 254].

20

2.5.2. Jednostavna linearna regresija

Najzastupljenija metodologija u ekonometrijskoj analizi je regresijska analiza. Pod po-

jmom regresije podrazumijevamo ovisnost zavisne varijable o jednoj ili vise nezavisnih

varijabli.

Izrazom

y = β0 + β1x+ ε

opisan je model jednostavne linearne6 regresije u kojem y predstavlja zavisnu varijablu,

x nezavisnu varijablu, β0 i β1 nepoznate parametre koje je potrebno procijeniti, a ε

slucajnu varijablu koja modelu daje stohasticki karakter.

U slucaju da regresijsku vezu izmedu varijabli x i y utvrdujemo na temelju n zapazanja,

model jednostavne linearne regresije mozemo zapisati u obliku sustava n jednadzbi

yi = β0 + β1xi + εi i = 1, . . . , n

sto bi u matricnom obliku glasilo

y = xβ + ε

gdje je

y =

y1

y2...yn

, x =

1 x1

1 x2...

...1 xn

, β =

[β0

β1

]i ε =

ε1ε2...εn

.

Da bi model jednostavne linearne regresije bio valjan, za slucajne varijable εi,

i = 1, . . . , n moraju vrijediti sljedeci uvjeti

1) E(εi) = 0, i = 1, . . . , n

2) Cov(εi, εj) = 0, i 6= j, i, j = 1, . . . , n

3) V arεi = σ2, i = 1, . . . , n

4) εi ∼ N (0, σ2), i = 1, . . . , n

Procjenitelje koeficijenata linearne regresije β0 i β1 racunamo prema formulama

β1 =

∑ni=1(xi − x)(yi − y)∑n

i=1(xi − x)2(33)

β0 = y − β1x

6Linearnost u nazivu modela odnosi se na linearan odnos parametara β0, β1 i slucajne varijable ε,a ne na odnos zavisne i nezavisne varijable.

21

do kojih se lako dolazi metodom generalne linearne regresije. Vratimo se stoga

na matricni zapis jednostavne linearne regresije y = xβ + ε. Pretpostavimo da su za

vektor odstupanja ε ispunjeni uvjeti Eε = 0, V arε = Iσ2 i ε ∼ N (0, Iσ2).

Tada jeεTε = (y − xβ)T (y − xβ)

= (yT − βTxT )(y − xβ)= yTy − yTxβ − βTxTy + βTxTxβ

Kako je βTxTy matrica dimenzija 1× 1, slijedi da je

(βTxTy)T = yTxβ = βTxTy

Tada je

εTε = yTy − 2βTxTy + βTxTxβ (34)

Buduci je cilj regresije pronaci takav β za kojeg ce izraz (34) poprimiti najmanju

vrijednost, najboljeg β (u oznaci β) dobijemo odredivanjem minimuma tog izraza. U

tu svrhu zapisimo (34) na sljedeci nacin

n∑i=1

ε2i =n∑i=1

y2i − 2

n∑i=1

(β0 + β1xi)yi +n∑i=1

(β0 + β1xi)2 = F (β0, β1)

Sada minimiziramo funkciju F (β0, β1) izjednacavajuci njen vektor parcijalnih derivacija

sa nul vektorom[ ∂F∂β0∂F∂β1

]=

[−2∑n

i=1 yi + 2∑n

i=1(β0 + β1xi)−2∑n

i=1 xiyi + 2∑n

i=1(β0 + β1xi)xi

]=

[00

]Iz posljednje jednakosti ocito je kako je[ ∑n

i=1(β0 + β1xi)∑ni=1(β0 + β1xi)xi

]−[ ∑n

i=1 yi∑ni=1 xiyi

]=

[00

]sto bi u matricnom obliku glasilo

[1 1 . . . 1x1 x2 . . . xn

]1 x1

1 x2...

...1 xn

[β0

β1

]−[

1 1 . . . 1x1 x2 . . . xn

]y1

y2...yn

=

[00

]

odnosno

xTxβ − xTy = 0 (35)

Iz (35) je ocito kako je β jednak

β = (xTx)−1xTy (36)

22

Kovarijacijska matrica vektora β iznosi

V ar(β) = (xTx)−1σ2 =

[V ar(β0) Cov(β0, β1)

Cov(β1, β0) V ar(β1)

](37)

2.5.3. Regresijski koeficijent

Oznacimo sa Y = Yt, t ∈ Z vremenski niz ciji model moramo izraditi, a sa X =

Xt, t ∈ Z vremenski niz koji treba pomoci pri modeliranju Y . Uz ispitivanje sta-

cionarnosti svakog niza pojedinacno, moguce je ispitati i zajednicku stacionarnost ni-

zova X i Y .

Za dvodimenzionalni vremenski niz (X, Y ) = ((Xt, Yt) : t ∈ Z) kazemo da je sta-

cionaran ako je ∀t ∈ Z ispunjeno

E(Xt) = c1, E(Yt) = c2, c1, c2 ∈ R

te ako je kros-kovarijacijska funkcija γt,s(X, Y ) definirana izrazom

γt,s(X, Y ) = Cov(Xt, Ys), t, s ∈ Z

ovisna samo o vremenskoj razlici t− s.

Za stacionarne nizove mozemo definirati i kros-korelacijsku funkciju ρh s korakom

h (dalje u tekstu oznacena CCF)

ρh(X, Y ) = Corr(Xt, Yt−h) = Corr(Xt+h, Yt)

Ocito za Y = X, CCF postaje ACF.

Uocimo jos kako CCF nije parna jer Corr(Xt, Yt−h) 6= Corr(Xt, Yt+h).

Vrijednost ρ0(X, Y ) = Corr(Xt, Yt) mjeri linearnu vezu izmedu nizova X i Y u istom

trenutku, dok ρh(X, Y ) = Corr(Xt, Yt−h) mjeri linearnu vezu izmedu Xt i Yt−h.

CCF se procjenjuje uzorackom CCF funkcijom rh(X, Y ) koju definira izraz

rh(X, Y ) =

∑(Xt −X)(Yt−h − Y )√∑

(Xt −X)2

√∑(Yt − Y )2

23

Kako bi ilustrirali dosad navedeno, promotrimo regresijski model

Yt = β0 + β1Xt−d + Zt (38)

gdje su Xt, t ∈ Z nezavisne i jednako distribuirane slucajne varijable s varijancom σ2X ,

a Zt, t ∈ Z bijeli sum nezavisan od Xt s varijancom σ2Z .

CCF funkcija ovog modela je

ρh(X, Y ) =

β1σX√β1σ2

X+σ2Z

, h = −d0 , h 6= −d

Ovaj izracun nam kazuje kako je podatak niza Y u trenutku t voden podatkom niza X

iz trenutka t− d.

U literaturi se uzoracka CFF rh(X, Y ) naziva jos i regresijskim koeficijentom. Sto

je |rh(X, Y )| blizi 1, korelacija je jaca, i obratno, sto je |rh(X, Y )| blizi 0, korelacija je

slabija.

Moze se pokazati kako je regresijski koeficijent rh(X, Y ) u direktnoj linearnoj vezi s

procjeniteljem koeficijenta linearne regresije β1. Primjerice, β1 dobiven formulom (33)

pomaze pri izracunu r0(X, Y ) jer vrijedi

r0(X, Y ) = β1

√∑ni=1(Xi −X)2∑ni=1(Yi − Y )2

Ocito je kako r0(X, Y ) i β1 imaju isti predznak, tj. za negativne vrijednosti koefici-

jenta r0(X, Y ) regresijski pravac ce biti padajuca, a za pozitivne vrijednosti r0(X, Y )

regresijski pravac ce biti rastuca funkcija. Navedeni zakljucci su ilustrirani Slikom 3.

na kojoj je r0(X, Y ) oznacen jednostavno s r.

24

Slika 3. Veza regresijskog koeficijenta r i nagiba pravca linearne regresije

(preuzeto iz [11])

2.5.4. Problem autokorelacije gresaka relacije

Autokoreliranost gresaka relacije cesto se javlja kod vremenskih regresijskih modela

i ako ju zanemarimo analiza moze rezultirati nizom pogresnih zakljucaka. Problem

autokorelacije gresaka se u modelu jednostavne linearne regresije yt = β0 + β1xt + εt

javlja ako slucajne varijable εt ne zadovoljavaju polaznu pretpostavku o medusobnoj

nekoreliranosti.

25

Da bi odredili prirodu autokorelacije, pretpostavimo da slucajne varijable εt, t ∈ Zprate AR(1) model

(1− φB)εt = ut ⇒ εt = φεt−1 + ut (39)

gdje je ut, t ∈ Z proces bijelog suma. Kako bi osigurali stacionarnost procesa εt,pretpostavimo da je |φ| < 1. U slucaju da je φ = 0, greske relacije pripadaju procesu

bjelog suma jer je tada εt = ut.

No, ako je φ 6= 0, metoda procjene vektora β dana izrazom (36) mora se modificirati

jer u ovom slucaju kovarijacijska matrica gresaka V arε nije dijagonalna.

Promotrimo ponovo matricni zapis jednostavne linearne regresije y = xβ + ε, ali

neka ovaj put za vektor odstupanja ε ne vrijedi pretpostavka o nekoreliranosti njegovih

komponenata. Tada je

V arε = Vσ2 = Σ =

γ(0) γ(1) . . . γ(n− 1)γ(1) γ(0) . . . γ(n− 2)

......

. . ....

γ(n− 1) γ(n− 2) . . . γ(0)

pri cemu je σ2 = V arεt = γ(0), t = 1, . . . , n. Slijedi da je

V =

1 ρ(1) . . . ρ(n− 1)ρ(1) 1 . . . ρ(n− 2)

......

. . ....

ρ(n− 1) ρ(n− 2) . . . 1

U slucaju da greske prate model (39), matrica V glasi

V =

1 φ φ2 . . . φn−1

φ 1 φ . . . φn−2

......

.... . .

...φn−1 φn−2 φn−3 . . . 1

Znamo da postoji nesingularna simetricna matrica P takva da je PTP = PP = V.

Neka je f = P−1ε. Tada je Ef = 0, a

V arf = E(ffT ) = E(P−1εεTP−1) = P−1E(εεT )︸ ︷︷ ︸V arε

P−1

= P−1PPP−1σ2 = Iσ2

26

Slijedi da je f ∼ N (0, Iσ2). Sada izraz y = xβ + ε pomnozimo slijeva sa P−1

P−1y︸ ︷︷ ︸Z

= P−1x︸ ︷︷ ︸Q

β + P−1ε︸ ︷︷ ︸f

⇒ Z = Qβ + f

Obzirom da je cilj pronaci vektor β koji minimizira pogreske f iz posljednje jednakosti,

iskoristimo rezultate (36) i (37) prema kojima β i V arβ glase

β = (QTQ)−1QTZ = (xTV−1x)−1xTV−1y (40)

V ar(β) = (QTQ)−1σ2 = (xTV−1x)−1σ2 (41)

Sada je jasnije kako korelacijska matrica V vektora pogresaka ε utjece na procjenu

vektora koeficijenata β i na njegovu varijancu, te kako bi zanemarivanje te matrice

rezultiralo krivim procjenama.

2.5.5. Durbin-Watsonov test

Autokorelacije gresaka relacije otkrivaju se Durbin-Watsonovim DW testom kojim

se ispituje prate li reziduali εt AR(1) model. Test statistiku DW testa dobijemo iz

formule

d =

∑nt=2(εt − ˆεt−1)2∑n

t=1 εt2 (42)

pri cemu εt oznacava empirijsku vrijednost reziduala u trenutku t. Izraz (42) nakon

kvadriranja brojnika postaje

d =

∑εt

2∑εt

2︸ ︷︷ ︸≈1

−2

∑εt ˆεt−1∑εt

2︸ ︷︷ ︸≈φ

+

∑ˆεt−1

2∑εt

2︸ ︷︷ ︸≈1

≈ 2(1− φ) (43)

Obzirom da je |φ| < 1, minimalna vrijednost DW test statistike je d ≈ 0, a maksimalna

d ≈ 4. Uocimo da za φ ≈ 0, tj. za d ≈ 2 greske nisu autokorelirane.

U slucaju da je 0 ≤ d ≤ 2 provodi se jednosmjerni test na gornju granicu (test o

pozitivnoj autokorelaciji). Kriteriji za donosenje odluke su sljedeci:

† ako je d < dd ⇒ prihvacamo alternativnu hipotezu prema kojoj su greske relacije

pozitivno autokorelirane;

† ako je dd < d < dg ⇒ ne mozemo donijeti odluku na temelju DW testa;

† ako je d > dg ⇒ prihvacamo nultu hipotezu prema kojoj nema pozitivne autoko-

reliranosti medu greskama.

27

U slucaju da je 2 ≤ d ≤ 4 provodi se jednosmjerni test na donju granicu (test o

negativnoj autokorelaciji). U ovisnosti o d postupamo kako slijedi:

† ako je d > 4 − dd ⇒ prihvacamo alternativnu hipotezu prema kojoj su greske

relacije negativno autokorelirane;

† ako je 4− dg < d < 4− dd ⇒ ne mozemo donijeti odluku na temelju DW testa;

† ako je d < 4 − dg ⇒ prihvacamo nultu hipotezu prema kojoj nema negativne

autokoreliranosti medu greskama.

Vrijednosti dd i dg ovise o odabranom nivou znacajnosti (α), broju podataka n, te o

broju nezavisnih varijabli regresije. Ocitavamo ih iz tablice (vidi [1, str. 417]).

U slucaju da zelimo testirati ponasaju li se greske relacije kao AR model viseg reda

koristimo generalizirani DW test cija je test statistika oblika

ds =

∑nt=s+1(εt − ˆεt−s)

2∑nt=1 εt

2 =

∑εt

2∑εt

2︸ ︷︷ ︸≈1

−2

∑εt ˆεt−s∑εt

2︸ ︷︷ ︸≈ρs

+

∑ˆεt−s

2∑εt

2︸ ︷︷ ︸≈1

≈ 2(1− ρs)

pri cemu ρs predstavlja koeficijent korelacije gresaka na koraku s.

28

3. Makroekonomska pozadina. Osnovni pojmovi

Iako se makroekonomska performanca neke zemlje moze vrednovati pomocu razlicitih

varijabli, ekonomisti najcesce upotrebljavaju stopu rasta realnog bruto domaceg proizvo-

da (BDP), stopu inflacije i stopu nezaposlenosti.

Realni BDP predstavlja ukupnu vrijednost finalne proizvodnje nacionalne privrede

ostvarenu tijekom obracunskog razdoblja, a korigiranu stopom inflacije. Za obracunsko

razdoblje najcesce se uzima jedna godina ili jedan kvartal.

Stopa inflacije mjeri brzinu promjene razine cijena pomocu indeksa potrosackih ci-

jena, implicitnog deflatora BDP-a ili pak nekog drugog indeksa cijena.

Stopa nezaposlenosti predstavlja odnos broja nezaposlenih i ukupne radne snage.

Pod terminom radna snaga krije se zbroj nezaposlenih i zaposlenih.

3.1. Nezaposlenost

U Republici Hrvatskoj prema Zakonu o radu (NN, br. 149 od 15.12.2009.) osoba sa

navrsenih 15 godina postaje dijelom radno sposobnog stanovnistva. Radno sposobno

stanovnistvo se dijeli na aktivno i neaktivno stanovnistvo. U aktivno stanovnistvo

ubrajamo sve zaposlene kao i nezaposlene osobe, dok neaktivno stanovnistvo cini onaj

dio populacije koji ne pripada niti zaposlenom, niti nezaposlenom sektoru.

Zaposlene osobe mogu se svrstati u tri osnovne kategorije:

• zaposleni u pravnim osobama;

• zaposleni u obrtu i slobodnim profesijama;

• zaposleni osiguranici poljoprivrednici.

Zaposleni u obrtu i slobodnim profesijama kao i osiguranici poljoprivrednici evide-

ntiraju se u Hrvatskom zavodu za mirovinsko osiguranje, dok se nezaposlene osobe

evidentiraju Hrvatskom zavodu za zaposljavanje. Ovdje pod nezaposlenima prema

Zakonu o posredovanju pri zaposljavanju i pravima za vrijeme nezaposlenosti (NN, br.

32 od 28.3.2002. i br. 114 od 19.7.2003.) podrazumijevamo osobe starosti od 15 do 65

godina, sposobne ili djelomicno sposobne za rad, nisu u vecinskom vlasnistvu udjela

u trgovackom drustvu niti u poljoprivrednom gospodarstvu, ne obavljaju samostalno

gospodarsku djelatnost, nisu redoviti ucenici, studenti ili umirovljenici te aktivno traze

posao svaki mjesec se prijavljujuci na burzu rada. Za detaljniju definiciju nezaposlene

osobe pogledati u [12, str. 175].

29

Kako je nezaposlenost vazan makroekonomski pokazatelj, vecina zemalja nastoji ko-

ntinuirano mjeriti i nadzirati nezaposlenost prisutnu u njihovoj privredi. Obzirom da se

zemlje razlikuju velicinom populacije, broj nezaposlenih nije podatak putem kojeg bi se

mogle medusobno usporediti. Stoga je uveden pojam stope nezaposlenosti definiran na

pocetku ovog poglavlja. Ovisno o izvoru podataka, razlikujemo anketnu i registriranu

(administrativnu) stopu nezaposlenosti. Slika 4. prikazuje kolike su vrijednosti tih

dviju stopa bile u Hrvatskoj u razdoblju od sijecnja 1998. do lipnja 2009.

Slika 4. Registrirana i anketna stopa nezaposlenosti u Republici Hrvatskoj

od sijecnja 1998. do lipnja 2009. (izvor podataka je [8])

Registrirana ili administrativna stopa nezaposlenosti stavlja u odnos broj neza-

poslenih i broj ukupnog aktivnog stanovnistva. Izracunava se u Zavodu za statistiku na

temelju podataka iz Hrvatskog zavoda za zaposljavanje i Hrvatskog zavoda za mirovi-

nsko osiguranje.

30

Anketna stopa nezaposlenosti rezultat je provodenja Ankete o radnoj snazi. Anke-

ta o radnoj snazi predstavlja najvazniji izvor medunarodno usporedivih podataka s

podrucja statistike rada. U Hrvatskoj je takva anketa prvi puta provedena u studenom

1996., a nakon toga kontinuirano svakih 6 mjeseci. Od 2007. provodi se svaki tjedan i

na temelju nje Drzavni zavod za statistiku izracunava te potom objavljuje tromjesecne

rezultate. Iako obje spomenute stope nezaposlenosti daju relativno vjerodostojnu sliku

makroekonomskog stanja neke drzave, medu njima postoji razlika u interpretaciji po-

jma nezaposlene osobe koja se prenosi na razliku u stopi nezaposlenosti. U anketi se

nezaposlenima smatraju one osobe koje u referentnom tjednu nisu obavljale nikakav

posao za novac ili placanje u naturi, u posljednja cetiri tjedna prije anketiranja aktivno

su trazile posao i ponudeni posao bi mogle poceti raditi u naredna dva tjedna, kao i oso-

be koje su pronasle posao i u skoroj ce buducnosti nastupiti na njega. Radnici na crno

koji se redovno prijavljuju Zavodu za zaposljavanje ocito ne pripadaju ovoj definiciji

nezaposlenih i stoga je anketna stopa nezaposlenosti gotovo uvijek niza od administra-

tivne. Kako bi se zorno prikazao odnos ovih dviju stopa nezaposlenosti, anketnu stopu

je prethodno bilo potrebno interpolirati sa kvartalne na mjesecnu razinu.

3.2. BDP

Makroekonomisti razlikuju tri pristupa mjerenja BDP-a:

• pristup outputa ili proizvodnu metodu prema kojoj BDP predstavlja trzisnu vri-

jednost finalnih proizvoda i usluga ostvarenih u domacem gospodarstvu tijekom

obracunskog razdoblja;

• pristup trosenja ili rashodnu metodu prema kojoj se BDP dobije zbrajanjem oso-

bne i drzavne potrosnje, investicija te neto izvoza;

• pristup dohodaka ili dohodovnu metodu prema kojoj BDP predstavlja vrijednost

svih dohodaka isplacenih domacim i inozemnim kucanstvima od strane sektora

poduzeca nacionalne privrede.

BDP se u Hrvatskoj obracunava u Drzavnom zavodu za statistiku na temelju po-

dataka prema Nacionalnoj klasifikaciji djelatnosti. Valuta obracuna je kuna, a obracun

se provodi u tekucim (trzisnim) i stalnim cijenama. Obracun BDP-a u stalnim cije-

nama jest vrlo vazan pokazatelj dinamike i razine gospodarskog razvoja zemlje jer je

ociscen od utjecaja cijena, odnosno korigiran za inflaciju7. U slucaju podataka koji su

obradeni u sklopu ovog diplomskog rada rijec je o baznim indeksima cijena pri cemu

je za razdoblje od sijecnja 1998. do prosinca 2005. bazna godina 1997., a za razdoblje

od sijecnja 2006. do lipnja 2009. bazna godina 2000.

7U makroekonomiji se varijable izrazene u trzisnim cijenama nazivaju nominalne varijable, doksu realne varijable (ili varijable u stalnim cijenama) korigirane za inflaciju. Korigiranje nominalnogBDP-a za inflaciju se obavlja dijeljenjem s odgovarajucim indeksom cijena (vidi [3, str. 37]).

31

3.3. Okunov zakon

Porast stope nezaposlenosti unutar neke drzave rezultira odredenim troskovima kao sto

su gubitak outputa, gubitak ljudskog kapitala te porast psihosocijalnih problema.

Od spomenutih, gubitak outputa ili smanjenje realnog BDP-a je vrlo vazan ekonomski

trosak izazvan nezaposlenoscu. Negativnu vezu stope nezaposlenosti i razine BDP-a

medu prvima je polovicom proslog stoljeca uocio ekonomist A. M. Okun (1928.-1980.)

ciji se zakon nadograden novijim istrazivanjima moze iskazati na sljedeci nacin

yt = β(xt − x) (44)

U izrazu (44) yt oznacava postotnu promjenu stope nezaposlenosti na intervalu [t−1, t],

xt stopu promjene realnog BDP-a na intervalu [t−1, t], a x normalnu stopu rasta gospo-

darstva. Pod pojmom normalne stope rasta podrazumijevamo onu stopu koja odrzava

stopu nezaposlenosti konstantnom. Koeficijent β kazuje koliki ucinak rast realnog

BDP-a iznad iznosa x ima na promjenu stope nezaposlenosti.

Istrazivanja u SAD-u rezultirala su sljedecim procjenama: x = 3%, a β = −0.39

(preuzeto iz [2, str. 184]). Stoga mozemo reci kako u SAD-u porast realnog BDP-a

od 3% odrzava nezaposlenost konstantnom. Drugacije receno, sa svakim dodatnim

porastom BDP-a za 1% iznad normalne stope od 3% nezaposlenost bi se reducirala za

0.39%.

32

4. Analiza podataka

Svi podaci koristeni u ovom radu prikupljeni su iz Mjesecnih statistickih izvjesca (od

broja 2 publiciranog u veljaci 1998. do broja 7 publiciranog u srpnju 2009.) koje izda-

je Drzavni zavod za statistiku Republike Hrvatske. Rijec je o vremenskim nizovima

registrirane stope nezaposlenosti i kvartalnog BDP-a iskazanog u stalnim cijenama i

mjerenog rashodnom metodom. Oba vremenska niza obuhvacaju vremenski period

od sijecnja 1998. do lipnja 2009., ali medu njima je prisutna razlika u ucestalosti

mjerenja. Naime, nezaposlenost je varijabla koja se prati i evidentira mjesecno, dok se

BDP obracunava kvartalno. Obzirom da je jedan od ciljeva rada potraziti vezu izmedu

stope nezaposlenosti i BDP-a, bilo je potrebno BDP interpolirati na mjesecnu razinu8.

Stoga oba niza u konacnici imaju 138 podataka cime je osigurana analiza.

Modeliranje spomenutih vremenskih nizova, kao i utvrdivanje moguce veze medu njima,

u potpunosti je obavljeno uz pomoc programskog paketa SAS 9.0.

4.1. Model koji prati kretanje BDP-a u Hrvatskoj

Kako bi vrednovali gospodarski rast, ekonomisti najcesce prate vremenske nizove re-

alnog BDP-a, stope rasta realnog BDP-a, ukupnog iznosa BDP-a po glavi stanovnika

ili njegove stope rasta. Vremenski niz koji kvartalno prati realni BDP u Hrvatskoj od

sijecnja 1998. do lipnja 2009. prikazan je na Slici 5.

Slika 5. Kvartalni obracun realnog BDP-a u milijunima kuna

(sijecanj 1998. - lipanj 2009.)

8Interpolacija je obavljena pomocu procedure expand programskog paketa SAS 9.0.

33

Na slici uocavamo kako je u podacima prisutna sezonalnost i uzlazan trend kojeg bi, da

nije bilo intervencije u sijecnju 2006., mogli nazvati linearnim. Do intervencije je doslo

radi promjene u nacinu obracuna BDP-a jer je za bazicnu godinu, umjesto dotadasnje

1997., uzeta 2000.

Obzirom da se registrirana nezaposlenost u Hrvatskoj prati mjesecno, a BDP kvartalno,

radi uspjesnije analize jedne i druge varijable te prisutnosti moguce veze medu njima,

BDP je interpoliran na mjesecnu razinu.

Prije no sto napravimo model koji bi pratio mjesecno kretanje BDP-a, potrebno je

izraditi osnovnu analizu podataka koji nam stoje na raspolaganju.

Osnovna statistika i histogram su prikazani na Slici 6. Iz histograma je ocito kako

podaci nisu normalno distribuirani, sto je kasnije potvrdeno i testom normalnosti.

Slika 6. Osnovna statistika i histogram za BDP (ispis SAS 9.0)

34

Nakon osnovne statistike koja je dala prvi uvid u podatke mozemo prijeci na modeli-

ranje. Zbog sirokog spektra primjenjivosti logicno je ispitati mogu li se podaci uklopiti

u ARIMA model. SAS ima u sebe ugradenu proceduru koja vjerno prati tri koraka

ARIMA modeliranja navedenih u poglavlju 2.4.

Prvi korak ili korak identificiranja, osim sto prikazuje deskriptivnu statistiku,

donosi i graficki prikaz autokorelacija. To je prva naznaka o stacionarnosti vreme-

nskog niza. Kao sto je slucaj s nizom BDP-a, da se naslutiti kako podaci u nizu

nisu stacionarni jer ACF funkcija sporo pada ka 0 (Slika 7.). Osim grafickog prikaza

autokorelacija, radi se i testiranje nulte hipoteze prema kojoj podaci dolaze iz bijelog

suma. U slucaju da se nulta hipoteza prihvati, nastaviti modelirati ovaj niz ARIMA

modelom ne bi bilo prikladno, no to nije slucaj s nasim podacima.

Posljednji korak prve faze odnosi se na primjenu Augmented Dickey-Fuller (ADF) testa

kojim se ispituje stacionarnost niza, odnosno postoji li potreba za diferenciranjem.

Slika 7. Autokorelacijska funkcija BDP-a prije diferenciranja

35

Obzirom da je ADF test potvrdio potrebu za diferenciranjem, potrebno je prvi korak

ARIMA procedure primijeniti na diferencirane podatke (Slika 8.).

Slika 8. Diferencirani9 vremenski niz BDP-a

Autokorelacijska funkcija diferenciranih podataka puno brze pada ka 0, ali se ne

zadrzava dugo u njenoj okolini. ADF test ne ukazuje na potrebu jos jednog difere-

nciranja sto je znak postignute stacionarnosti. Sada prelazimo na drugi korak ARIMA

procedure ili korak procjene parametara p i q koji oznacavaju red AR, odnosno

MA modela. SAS predlaze nekoliko kombinacija za p i q koje se trebaju testirati s

ciljem da se izdvoji ona kombinacija koja najbolje prati stvarne podatke.

Kao glavni kriterij za odabir najboljeg modela koristi se testiranje reziduala na

bijeli sum. Ako je zakljucak kako reziduali dolaze iz bijelog suma, nema potrebe traziti

kompleksniji model.

9Diferenciranjem je uspjesno iz niza eliminiran trend i sezonalna komponenta, ali diferencirani nizpodataka s vremenom pokazuje sve vece odstupanje od 0. Prema [4] to je moguce izbjeci prethodnimlogaritmiranjem podataka.

36

Modeli predlozeni drugim korakom ARIMA procedure su podvrgnuti testiranju kvalitete

aproksimiranja podataka, ali niti jedan nije dao dobre rezultate u testiranju reziduala

na bijeli sum. U svrhu pronalaska boljeg modela, pocetni podaci su logaritmirani i

tako transformirani podvrgnuti istoj analizi.

Logaritmirani niz podataka je takoder zahtijevao diferenciranje kako bi se postigla

stacionarnost, ali se diferenciranje na koraku 1 pokazalo nedovoljnim. Javila se potreba

za slozenijim diferenciranjem; prvo se trebalo diferencirati na koraku 1, a potom difere-

ncirane podatke jos jednom diferencirati na koraku 4. Tek tada su, uz stacionarnost,

testiranjem nekoliko kombinacija parametara p i q kod reziduala postignuti zeljeni

uvjeti.

Najboljim modelom se pokazao ARIMA(4,1,4)×(0,1,0)4 model

(1−B)(1−B4)logBDPt = 0.000582 +θ(B)

φ(B)Zt t ∈ Z

u kojem je 0.000582 procijenjeno ocekivanje niza (1−B)(1−B4)logBDPt, a θ(B) i

φ(B) polinomi oblika

θ(B) = 1− 0.90201B1 + 0.55995B2 − 0.31643B3 − 0.10034B4

φ(B) = 1− 2.62167B1 + 3.40755B2 − 2.3657B3 + 0.82501B4

Na Slici 9. uocavamo kako reziduali ovog modela ne napustaju okolinu 0 te kako

imaju konstantno ocekivanje i varijancu koji su procijenjeni na -0.00099, odnosno

0.0001068 respektivno. Testom je potvrdeno i kako se procijenjeno ocekivanje statisticki

znacajno ne razlikuje od 0 te kako reziduali odgovaraju procesu bijelog suma. Na

osnovu toga zakljucujemo kako nije potrebno traziti kompleksniji model koji bi pratio

logaritmirani realni BDP, vec prihvacamo ARIMA(4,1,4)×(0,1,0)4 model kao konacan.

37

Slika 9. Reziduali logaritmiranog niza BDP-a modeliranog

ARIMA(4,1,4)×(0,1,0)4 modelom

Odabirom ARIMA(4,1,4)×(0,1,0)4 modela za opis kretanja logaritmirane mjesecne

razine BDP-a zavrsen je drugi korak ARIMA procedure. Treci korak ili korak pro-

gnoziranja odnosi se na predvidanje kretanja BDP-a. Usporedbu stvarnih i prognozi-

ranih vrijednosti najbolje je predociti graficki (Slika 10.). Prognozirani podaci vraceni

su u kvartalni oblik i posljednja cetiri se odnose na predvidanje buducih vrijednosti.

Kako je u meduvremenu Drzavni zavod za statistiku upotpunio pocetni vremenski niz

kvartalne razine BDP-a s nova dva podatka, i oni su ukljuceni u graf.

Odstupanja prognoziranih od stvarnih podataka javljaju se tek nakon lipnja 2009.,

tj. u razdoblju u kojem model treba prognozirati buduca kretanja realnog BDP-a. Ta

odstupanja nisu zabrinjavajuca, vec ocekivana. Naime, godina 2009. je bila recesijska

godina u kojoj je globalno gospodarstvo prozivljavalo svojevrstan sok. Ocekivati od

modela da u recesijsko vrijeme tocno prognozira buduca kretanja neke pojave nije

realno.

38

Slika 10. Stvarni i prognozirani podaci

39

4.2. Model koji prati registriranu stopu nezaposlenosti u Hrva-tskoj

Vremenski niz registrirane stope nezaposlenosti, iako na prvi pogled jednostavniji od

niza koji prati razinu BDP-a, nije se uklopio ni u jedan ARIMA model. Podaci tog

niza10 (Slika 4.) zahtijevali su drugaciji pristup. Obzirom na jaku povezanost stope

nezaposlenosti i razine BDP-a (vidjeti Sliku 15.), regresijska analiza sa stopom neza-

poslenosti kao zavisnom i logaritmiranom razinom BDP-a kao nezavisnom varijablom

bila je logican odabir i u konacnici se pokazala uspjesnom. Ako sa xt oznacimo logari-

tmiranu vrijednost realnog BDP-a u trenutku t, sa yt registriranu stopu nezaposlenosti

u trenutku t, a sa εt slucajnu varijablu koja kupi odstupanja, pretpostavka je kako

vrijedi regresijski model

yt = β0 + β1xt + εt

cije parametre β0 i β1 treba procijeniti.

Uvazavajuci teorijske i empirijske nalaze ocekujemo pozitivnu vrijednost parametra β0,

a negativnu vrijednost parametra β1.

Prije samog modeliranja potrebno je izraditi osnovnu statistiku podataka niza i te-

stirati dolaze li iz normalne distribucije. Da podaci nisu normalno distribuirani ocituje

se vec iz histograma podataka koji je, uz osnovne statisticke mjere, prikazan na Slici 11.

Iz makroekonomije je poznato kako BDP, tj. iznos outputa proizvedenog unutar

neke privrede, ima velik utjecaj na stopu nezaposlenosti. No, jos nije razjasnjeno koliko

brzo trziste rada reagira na povecanje ili smanjenje proizvodnje. Vremenski period koji

ce proci od promjene BDP-a do prilagodbe stope nezaposlenosti novoj razini proizvo-

dnje ovisi o brojnim cimbenicima, medu kojima izdvajamo moc pregovaranja unutar

trokuta radnici - poslodavci - vlada.

Obzirom da je spomenuti faktor vrlo tesko modelirati, pri odabiru duljine vre-

menskog intervala kasnjenja jedne pojave za drugom posluzila nam je uzoracka CCF

funkcija rh(y, x) koja je za h = 13 poprimila vrijednost r13(y, x) = −0.9082. Ocito je

kako izmedu stope nezaposlenosti u trenutku t i logaritmirane razine BDP-a u trenutku

(t− 13) postoji jaka negativna linearna veza. Isti zakljucak ocituje se i iz scatter plota

kojeg je nuzno izraditi prije same regresije (Slika 12.).

10U pocetnom nizu nedostajalo je 7 podataka koji su nadopunjeni interpoliranim vrijednostima.

40

Slika 11. Histogram i osnovna statistika registrirane

stope nezaposlenosti (ispis SAS 9.0)

Slika 12. Scatter plot11 registrirane stope nezaposlenosti

i logaritmirane razine BDP-a

11Scatter plot je nacinjen na temelju 125 tocaka cije su koordinate (xt−13, yt) pri cemu je yt stopanezaposlenosti u trenutku t, a xt−13 logaritmirani BDP u trenutku (t− 13).

41

Polazimo od pretpostavke kako vrijedi regresijski model

yt = β0 + β1xt−13 + Zt

pri cemu je yt stopa nezaposlenosti u trenutku t, xt−13 logaritmirani BDP u trenutku

t−13, a Zt pogreska relacije. Niz Zt bi trebao bitiWN(0, σ2), no kao sto je objasnjeno

u poglavlju 2.5.4. moze se dogoditi da greske relacije prate neki AR(p) model. U tu

svrhu napravljen je Durbin-Watsonov DW test koji ispituje autokoreliranost gresaka

relacije.

Pokazalo se kako vrijednost DW test statistike iznosi d = 0.0790, sto u usporedbi

s pripadajucim kriticnim vrijednostima dd = 1.72 i dg = 1.746 vodi ka prihvacanju

alternativne hipoteze koja potvrduje pozitivnu autokoreliranost gresaka relacije.

U slucaju da zanemarimo rezultate DW testa, regresijski model bi glasio

yt = 137.9253− 11.28xt−13 + Zt

gdje je Zt niz s procijenjenom varijancom 1.63937.

Zbog zanemarivanja pozitivnih autokorelacija prisutnih u nizu Zt, procijenjeni ko-

eficijenti β0 = 137.9253 i β1 = −11.28 kao i njihove standardne pogreske12 (SE(β0) =

4.9629, SE(β1) = 0.4686) su nepouzdani i mogu odvesti pogresnim zakljuccima u

analizi koja slijedi. Stoga je nuzno u Zt ukljuciti AR model i dati nove procjene

koeficijenata β0 i β1 kao i njihovih standardnih pogresaka.

Ukljucivanjem AR(2) modela u niz Zt novi modificirani regresijski model koji

prati kretanje registrirane stope nezaposlenosti glasi

yt = 68.9527− 4.8065xt−13 + Zt

gdje je Zt AR(2) proces

Zt = 1.6267Zt−1 − 0.6462Zt−2 + εt

pri cemu je εt niz s procijenjenom varijancom 0.06680. Nekoreliranost unutar rezi-

duala ovog modela potvrduje i nova vrijednost DW test statistike d = 1.8382.

Koeficijenti β0 = 68.9527 i β1 = −4.8065 u gornjoj regresijskoj jednadzbi izracunati su

pomocu formule (40), a ako pretpostavimo da procijenjeni koeficijenti AR(2) modela

koji prati niz Zt odgovaraju stvarnim vrijednostima, nove standardne pogreske za β0

i β1 proizlaze iz formule (41) i iznose SE(β0) = 11.9690 i SE(β1) = 1.123.

12Standardne pogreske (eng. Standard Error ili krace SE) koeficijenata linearne regresije su bitneprilikom provodenja t-testa i jako je vazno da je u njihov izracun ukljucena korelacijska matrica nizaZt jer u protivnom t-test ne bi dao pouzdane rezultate.

42

Iz dobivenih procjena zakljucujemo da u slucaju kada je logaritmirana vrijednost BDP-

a jednaka 0, tj. kada iznos realnog BDP-a padne na 1 milijun kuna, trinaest mjeseci ka-

snije mozemo ocekivati registriranu stopu nezaposlenosti od 68.9527%. Svako povecanje

logaritmirane vrijednosti BDP-a za 1 rezultiralo bi smanjenjem registrirane stope neza-

poslenosti za 4.8065%.

Sljedece dvije slike ilustriraju reziduale opisanog regresijskog modela te usporedbu

stvarnih i predvidenih vrijednosti stope nezaposlenosti. Uocimo kako niz predvidenih

vrijednosti ne zavrsava s lipnjem 2009., vec se proteze u buducnost sve do travnja 2010.

Kako bi provjerili koliko je nas model tocan u pogadanju buducih vrijednosti, i niz

stvarne stope nezaposlenosti je dopunjen s novih devet podataka koje je u meduvremenu

objavio Drzavni zavod za statistiku.

Reziduali prikazani na Slici 13. su normalno distribuirani s ocekivanjem 0 i vari-

jancom 0.06680. Nisu autokorelirani na koraku 1 na sto ukazuje DW test statistika

d = 1.8382. Usporedba koeficijenta determinacije prikazanih reziduala (0.9930) s ko-

eficijentom determinacije modela koji zanemaruje autokoreliranost reziduala (0.8249)

ukazuje na poboljsanje predvidanja vrijednosti niza (yt). Naime, koeficijent determi-

nacije sluzi pri ocjenjivanju modela i poprima vrijednosti iz intervala [0, 1]. Sto je blizi

1, to model bolje reprezentira stvarne podatke.

Slika 13. Reziduali

43

Slika 14. Stvarne i predvidene vrijednosti registrirane stope nezaposlenosti

44

4.3. Procjena koeficijenta Okunovog zakona za Hrvatsku

Okunov zakon, kao sto je navedeno, iskazuje linearnu ovisnost postotne promjene

stope nezaposlenosti (yt) o postotnoj promjeni BDP-a (xt). Ovisnost navedena dva

makroekonomska pokazatelja ocituje se vec iz njihovog grafickog prikaza (Slika 15.).

Jasno se vidi kako je unutar intervala [t− 1, t] porast BDP-a pracen smanjenjem stope

nezaposlenosti, i obratno, kako je smanjenje BDP-a praceno porastom stope neza-

poslenosti.

Slika 15. Postotna promjena stope nezaposlenosti i postotna promjena iznosa

BDP-a13 od veljace 1998. do lipnja 2009.

Stopa promjene realnog BDP-a je za makroekonomiste vrlo vazan pokazatelj kre-

tanja gospodarstva. Pozitivne stope ukazuju na rast realnog BDP-a, dok negativne

predstavljaju pad realnog BDP-a. Sukladno tome, za svako je gospodarstvo bolje da

je u kretanju BDP-a prisutan uzlazan trend jer je to odlika zdravog i perspektivnog

gospodarstva (vidi Sliku 5.).

13Navedene postotne promjene racunate su u odnosu na prethodni mjesec.

45

Uz pretpostavku kako je u Hrvatskoj normalna stopa rasta BDP-a x = 0.03, izraz (44)

koji opisuje Okunov zakon mogao bi se transformirati u

yt = β(xt − x) = βwt (45)

pri cemu je wt = xt − 0.03, ∀t.Prije no sto procijenimo linearni koeficijent β i jednadzbom opisemo Okunov zakon

koji bi vrijedio za hrvatsko gospodarstvo, nuzno je izraditi scatter plot kojim se u vezu

dovode podaci nizova (yt) i (wt) (Slika 16.).

Scatter plot je samo potvrdio ono sto smo uocili na Slici 15., a to je negativna ovisnost

jedne velicine o drugoj.

Slika 16. Scatter plot nizova (yt) i (wt)

Pretpostavimo da je Okunov zakon za Hrvatsku dan regresijskom jednadzbom

yt = α + βwt + Zt

Koeficijente te regresije (β0 = α, β1 = β) procjenjujemo jednako kao u poglavlju 4.2.

pazeci pritom na mogucu autokoreliranost gresaka relacije Zt.

46

Vrijednost DW test statistike d = 0.6203 upucuje na provodenje DW jednosmjernog

testa o pozitivnoj autokoreliranosti gresaka. Taj test rezultira prihvacanjem alterna-

tivne hipoteze prema kojoj su greske Zt pozitivno autokorelirane. Kako bi se rijesili

tih autokorelacija i time osigurali pouzdanu daljnju analizu nad podacima, u niz Ztje ukljucen AR(2) model. Konacno, Okunov zakon u Hrvatskoj modeliran je sljedecom

jednakosti

yt = −0.004843− 0.1348wt + Zt (46)

pri cemu je Zt AR(2) proces oblika

Zt = 0.8473Zt−1 − 0.1965Zt−2 + εt

a εt niz reziduala sa procijenjenom varijancom 0.0002131. Koeficijenti α = −0.004843,

β = −0.1348 kao i njihove standardne pogreske (SE(α) = 0.003754, SE(β) = 0.0543)

proizasle su iz formula (40) i (41).

Uz procijenjene vrijednosti regresijskih koeficijenata izracunate su i vrijednosti t-

testa putem kojeg ispitujemo znacajnost nezavisne varijable u regresijskom modelu.

Nulta hipoteza t-testa glasi β = 0, dok je alternativna β 6= 0. Navedena alternativna

hipoteza se, u slucaju da je veza zavisne i nezavisne varijable u regresiji pozitivna,

zamjenjuje hipotezom β > 0, a u slucaju negativne veze zavisne i nezavisne varijable,

hipotezom β < 0. Test statistika za navedene testove je

temp =β − 0

SE(β)

pri cemu je β procijenjena vrijednost koeficijenta β, a SE(β) standardna pogreska od

β.

U slucaju da je |temp| > tα/2(n − 2) nultu hipotezu odbacujemo i zakljucujemo kako

je nezavisna varijabla znacajna u modelu jer doprinosi objasnjavanju kretanja zavisne

varijable. Vrijednost tα/2(n− 2) ocitavamo iz tablice uzimajuci u obzir kako je n broj

podataka, a α odabrani nivo znacajnosti (u nasem slucaju je n = 137 i α = 0.05 iz

cega slijedi da je tα/2(n− 2) = 2.0423).

U modelu (46) temp koeficijenta β iznosi -2.4825 sto u usporedbi sa 2.0423 rezultira

odbacivanjem nulte hipoteze i zakljuckom kako je varijabla wt znacajna za regresiju. S

druge strane temp slobodnog koeficijenta α u iznosu -1.29 rezultira zakljuckom kako je

α suvisan u modelu te kako bi se izraz (46) mogao reducirati na

yt = −0.1348wt + Zt

pri cemu je Zt ranije spomenuti AR(2) proces.

47

Vrijednost koeficijenta β mozemo interpretirati na sljedeci nacin: svako dodatno pove-

canje realnog BDP-a za 1% iznad pretpostavljene normalne stope od 3% rezultira

smanjenjem stope nezaposlenosti od 0.1348%. Ovo je ujedno i najvazniji rezultat u

cijelom radu.

T-test prethodno opisan moguce je provesti i nad nultom hipotezom oblika β = β,

ali je u tom slucaju test statistika oblika

temp =β − βSE(β)

gdje je β neka pretpostavljena vrijednost.

Promotrimo sljedecu tablicu u kojoj su prikazane vrijednosti β za cetiri velike svje-

tske ekonomske sile i to za period od 1981. do 2000. godine.

zemlja βSAD -0.39UK -0.51Japan -0.12Njemacka -0.37

Tablica 1. Koeficijent Okunovog zakona u izabranim zemljama

(preuzeto iz [2, str. 185])

Moguce je izraditi t-test kojim bi se testirala nulta hipoteza oblika β = β gdje za β

uzimamo redom vrijednosti iz Tablice 1. U tom slucaju test statistika je oblika

temp =−0.1348− β

0.0543

Uz razinu znacajnosti α = 0.05, nultu hipotezu prihvacamo jedino u slucaju Japana,

tj. za β = −0.12, dok za ostale vrijednosti β vrijedi zakljucak kako se β = −0.1348 od

njih statisticki znacajno razlikuje.

Koeficijent β najvecim dijelom ovisi o brzini kojom poduzeca prilagodavaju za-

poslenost nastalim promjenama u proizvodnji. Kako brzina prilagodavanja zaposlenosti

ovisi o unutrasnjoj strukturi poduzeca i ogranicena je brojnim pravnim i socijalnim

odredbama, bilo je za ocekivati da ce se β razlikovati od zemlje do zemlje. Drzava

manje osjetljiva na ocuvanje zaposlenosti i vodena potrebama trzista imat ce veci β,

dok ce drzava koja ima rigidno radno zakonodavstvo cijim propisima i zakonima u

velikoj mjeri stiti radnika i njegovo radno mjesto imati malen β.

48

Primjer drzave sa malenim β je Japan (β = −0.12) cija poduzeca nude vrlo visok

stupanj sigurnosti zaposlenja (vidi [2]). Malenu vrijednost β dobili smo i za Hrvatsku

(β = −0.1348) sto nije neocekivano. Naime, Hrvatska je postsocijalisticka zemlja u

tranziciji u kojoj se Zakonom o radu tradicionalno stite prava radnika, a sindikati

imaju znacajnu ulogu u zastupanju tih prava. Njima nasuprot nalaze se poslodavci

medu kojima je sve vise privatnih poduzetnika vodenih zahtjevima trzista. I jedni i

drugi potrazuju svoja prava pred vladom kojoj je cilj osigurati poduzecima slobodniju

prilagodbu trzistu, ali na nacin da se uz to ne povrijede prava radnika.

Sljedece dvije slike prikazuju reziduale opisanog regresijskog modela Okunovog za-

kona te usporedbu stvarnih i predvidenih vrijednosti niza (yt). Reziduali imaju nor-

malnu N(0, 0.0002131) distribuciju. Njihov koeficijent determinacije iznosi 0.5822 sto

je poboljsanje u odnosu na koeficijent determinacije 0.1594 reziduala modela koji zane-

maruje njihovu autokoreliranost.

Slika 17. Reziduali

49

Slika 18. Usporedba stvarnih vrijednosti niza (yt) i

vrijednosti predvidenih modelom

50

5. Zakljucak

U ovom radu su izlozena tri modela - ARIMA model logaritmiranog realnog BDP-a,

regresijski model koji pomocu logaritmiranog realnog BDP-a opisuje kretanje registri-

rane stope nezaposlenosti i regresijski model Okunovog zakona za Hrvatsku.

Analiza reziduala ARIMA modela je pokazala kako oni dolaze iz bijelog suma i stoga za

realni BDP nema smisla izradivati kompleksniji model. Osim reziduala, u preciznost

ovog modela uvjerava nas i Slika 10. na kojoj su prikazani stvarni i prognozirani podaci.

Odstupanja prognoziranih od stvarnih podataka javljaju se tek nakon lipnja 2009., no

vec je navedeno kako je razlog tome recesija globalnog gospodarstva.

Regresijski model registrirane stope nezaposlenosti i regresijski model Okunovog

zakona takoder su se pokazali vrlo preciznima u pogadanju stvarnih podataka (Slika

14. i Slika 18.). Osim grafickog prikaza, u preciznost tih modela uvjerili su nas i koefi-

cijenti determinacije te normalno distribuirani i stacionarni reziduali.

Najvazniji rezultat u radu je procjena Okunovog koeficijenta koji vrijedi za hrvatsko

gospodarstvo. Dobiveni rezultat (β = −0.1348), kao sto je vec objasnjeno, nije

neocekivan zbog rigidnog radnog zakonodavstva prisutnog u Hrvatskoj te zbog ve-

like moci sindikata. Taj koeficijent kazuje kako je svaki porast realnog BDP-a za 1%

iznad pretpostavljene normalne stope od 3% pracen smanjenjem stope nezaposlenosti

za 0.1348%. Slican rezultat vrijedi i za japansko gospodarstvo u kojem je β = −0.12,

dok β u SAD-u, Ujedinjenom kraljevstvu i Njemackoj poprimaju vise vrijednosti.

51

Literatura

[1] V. Bahovec, N. Erjavac, Uvod u ekonometrijsku analizu, Element, Zagreb, 2009.

[2] O. Blanchard, Makroekonomija, Mate, Zagreb, 2005.

[3] D . Borozan, Makroekonomija, Ekonomski fakultet u Osijeku, 2006.

[4] P.J. Brockwell, R.A. Davis, Time Series: Theory and methods,

Springer-Verlag, 1991.

[5] J.D. Cryer, K. Chan, Time Series Analysis With Applications in R,

Springer, New York, 2008.

[6] N.R. Draper, H. Smith, Applied Regression Analysis, A Wiley-Interscience

Publication John Wiley & Sons, inc., 1998.

[7] J. Fox, Time-Series Regression and Generalized Least Squares, Appendix to

An R and S-PLUS Companion to Applied Regression, 2002.

[8] Mjesecno statisticko izvjesce, Drzavni zavod za statistiku Republike Hrvatske,

Zagreb, od broja 2/1998. do broja 7/2009.

[9] SAS Documentation Online, The ARIMA Procedure, Oklahoma State University;

http://www.okstate.edu/sas/v8/saspdf/ets/chap7.pdf

[10] SAS Documentation Online, The AUTOREG Procedure, Oklahoma State

University; http://www.okstate.edu/sas/v8/saspdf/ets/chap8.pdf

[11] K. Sokolija, materijali kolegija Pouzdanost elektricnih elemenata i sistema,

Elektrotehnicki fakultet Univerziteta u Sarajevu;

http://people.etf.unsa.ba/ ksokolija/c/ug/pees/definicije.html

[12] Statisticki ljetopis Republike Hrvatske 2007, Drzavni zavod za statistiku

Republike Hrvatske, Zagreb, 2007.

52

Sazetak

Vremenski niz je skup zapazanja xt, t ∈ T0 koja mozemo shvatiti kao realizaciju

familije slucajnih varijabli Xt, t ∈ T0. Najbitnije svojstvo vremenskog niza je sta-

cionarnost koja, ako je postignuta, osigurava neovisnost ocekivanja i varijance o vre-

menu t. Nizove dijelimo na stacionarne (npr. AR, MA, ARMA) i nestacionarne (npr.

ARIMA). Osim nizova koji prate ARIMA modele, u ekonometriji su se pokazali kori-

snima i modeli jednostavne linearne regresije. U regresijskoj analizi moramo provesti

Durbin-Watsonov test autokoreliranosti gresaka. Zanemarivanje toga odvelo bi krivim

zakljuccima.

U vrednovanju makroekonomske performance vrlo je vazno imati modele koji prate

kretanje stope nezaposlenosti i realnog BDP-a. Pokazalo se kako u Hrvatskoj mjesecni

logaritmirani niz realnog BDP-a prati ARIMA(4,1,4)×(0,1,0)4 model, dok je mjesecna

registrirana stopa nezaposlenosti modelirana jednostavnom linearnom regresijom u ko-

joj su greske relacije pratile AR(2) model. Uz navedene, razvijen je i model Okunovog

zakona za Hrvatsku. Okunovim zakonom je iskazana negativna linearna veza izmedu

promjene stope nezaposlenosti i promjene BDP-a.

53

Relationship between registered unemployment rateand GDP in Croatia

Time series is a set of observations xt, t ∈ T0 that may be considered as a realization of

a family of random variables Xt, t ∈ T0. The most important property of time series is

stationarity. Stationarity provides expectation and variance to be independent of time

t. We divide time series into stationary (e.g. AR, MA, ARMA) and non-stationary (e.g.

ARIMA). Besides ARIMA modeled time series, simple linear regression models were

found very useful in econometrics. In regression analysis one must test autocorrelation

of residuals using Durbin-Watson test. Ignoring autocorrelated residuals can lead to

wrong conclusions.

While observing macroeconomic performance, it is of great importance to build models

for unemployment rate and real GDP. Monthly time series of log real GDP in Croatia

turned out to be ARIMA(4,1,4)×(0,1,0)4, while monthly registered unemployment rate

required simple linear regression with AR(2) autocorrelated residuals. Croatian version

of Okun’s law has also been developed. Okun’s law refers to the relationship between

increases in unemployment and decreases in a country’s GDP.

54

Zivotopis

Rodena sam 24.05.1985. u Osijeku. Godine 1992. upisala sam OS Frana Krste

Frankopana u kojoj sam zavrsila svih osam razreda sa odlicnim uspjehom. Od petog

razreda sudjelovala sam na brojnim natjecanjima od kojih sam najveci interes, a ka-

snije i najveci uspjeh, zabiljezila na podrucju matematike i kemije.

Uspjehe koje sam ostvarila na natjecanjima uocili su i vlasnici Gaudeamusa - prve

privatne srednje skole u Osijeku. Ponudili su mi punu stipendiju u njihovoj skoli uz

uvjet da kroz sljedece cetiri godine nastavim ostvarivati dobre rezultate. Prihvatila

sam njihovu ponudu i ispunila uvjet. Maturirala sam 2004. s odlicnim uspjehom.

Iste te godine upisala sam Preddiplomski studij matematike na Odjelu za mate-

matiku u Osijeku u trajanju od 3 godine. Zavrsila sam ga u roku i time stekla akademski

naziv prvostupnice matematike. Trenutacno sam apsolventica dvogodisnjeg Diplomskog

studija Poslovne i financijske matematike na istom fakultetu.

Zimski semestar akademske 2008./2009. godine radila sam kao demonstratorica na

Ekonomskom fakultetu u Osijeku iz kolegija Matematika.

Tijekom skolovanja primila sam brojna priznanja i nagrade, medu ostalima: pri-

znanje Skolske knjige za najboljeg ucenika OS F.K. Frankopana u skolskoj 1999./2000.

godini, priznanje i nagradu Lions cluba Osijek za jednog od najboljih studenata Sve-

ucilista J.J. Strossmayera, te priznanje i nagradu Odjela za matematiku za postignut

uspjeh na 1. godini diplomskog studija.

U koautorstvu s I. Soldom objavila sam jedan strucni rad: I. Soldo, I. Mandic,

Pellova jednadzba, Osjecki matematicki list Vol 8(2008), broj 1, 29-36.