I~VESTlGACIÓN REVISTA MEXICANA DE FislCA -17 (3)219-230 JUNIO 2001

Caracterización de las permutaciones en bloque que representan autómatascelulares unidimensionales reversibles

J.c. Seck Tuoh MoraDepartamento de Ingeniería Eléctrica, Sección Computación

Centro de Investigació" y de Estudios A\'ll1lZ11dosdel Instituto Politécnico Nacio"alA\'. I"stit/llo Politécnico Nacional 2508. Col. San Pedro Z(lcmellco. 07360 México. D.F.. Mexico

e-uUlil: seck@computacio".cs.cif/vestav.mx

Recibido ellO de mayo de 2(X)O;aceptado el 13de febrero de 2001

Enel siguiente escrito se da una revisión a la repre~entacióny comportamientode autómatas celulares unidimensionales reversiblespor mediode permutacionesen bloque. Hacemos un análisis detallado del comportamiento de dichas permutacioncs para obtener su caractcrización.

DeSCriptores: Autómata celular unidimensional reversible; permutaciones en bloque; índices de WeIch

Weprescnt a review of reversible one dimensional cellular automata and their representation by block permutatíons. Weanalyze in detail thebchavior of such block pcrmutaüons to go their characterization.

Keywords: Rcvcrsible one-dimensional ceilular automata; block pcrmutalions; Welch indices

PACS: 02.IO.Ab; 04.60.Nc

2.1. Autómata celular unidimensional

2. Conceptos básicos

En principio describamos brevemente el funcionamicnto deun autómata celular unidimensional reversible y sus carac-terísticas básicas.

Un autómata celular unidimensional es un sistema dinámicodiscreto formado por tres elementos principales:

• Un conjunto de estados I< de cardinalidad k.

• Un radio de vecindad 1'.

(1)1; : J(2'+) -+ J(,

de un autómata celular unidimensional reversible por mediode permutaciones en bloque. La Seco 5 presenta las propie-dades que deben cumplir un conjunto de permutaciones enbloque para representar a un autómata celular unidimensio-nal reversible. La Seco 6 expone dos casos de estudio paraejemplificar la construcción de estas permutaciones con laspropiedades dadas anteriormente. Por último, la Seco7 da lasconclusiones de este trabajo.

• Una regla de cvolución 4>.

El funcionamiento del autómata consiste en tener un arre-glo de celdas o células, en la cual cada célula toma un estadode J(. Este primer arreglo se le conoce como configuracióninicial. La dinámica del sistema consiste en )0 siguiente: seloma cada célula individual y sus r células a ambos lados pa-ra formar una sccucncia o \'cclndad de tamaño 21' + l. A cadauna de estas vecindades se le aplica una regla de evolución dela siguiente mancra:

Los autómatas celulares unidimensionales son sistemas dis-cretos cuyo comportamiento local es muy sencillo, pero éstepuede generar un comportamiento global muy interesante.Dentro de estos sistemas un tipo especial son los llamadosrevcrsibles, denominados así ya que pueden regresar a etapasanteriores que el sistema había producido.

Los autómatas celulares unidimensionales se han utili-zado como un medio para estudiar y simular diversos siste-mas físicos [1. 2], entre los cuales podemos encontrar mode-los de sistemas granulares, estudios de mec.ínica estadísticacn densidad de poblaciones, modelos de reacción difusión,dinámica de fluidos o flujo de tráfico entre muchos otros.

Los autómatas celulares reversibles han sido utilizadoscomo herramientas para el estudio de cifrado de datos 12, 3].conservación de información [3]. conservación de energía [1]Ysimulación de procesos termodinámicos (2] entre otras apli-cacIOnes.

En un trabajo anterior [.1] se explicó el funcionamientode un autómata celular unidimensional reversible utilizandopermutaciones en bloque. Este escrito es una continuaciónde este tema, utiliz.mdo un punto de vista inverso. Es decir,dado un conjunto de permutaciones en bloque, expondremoscuáles son las características que deben cumplir dichas per-mutaciones para poder representar a un autómata celular uni-dimensional reversible.

La Seco 2 presenta los conceptos básicos que se mane-jan en autómatas celulares unidimensionales reversibles. LaSeco 3 muestra que todo autómata celular unidimensionalpuede representarse por otro con lnmaño de vecindad iguala 2. por lo que caracterizar las permutaciones para este casoes hacerlo para todo tipo de autómata celular unidimensionalreversible. La Seco 4 explica brevemente el funcionamiento

I. Introducción

220 le. SECK TUOH MORA

FIGURA 1. Evolución de una vecindlld de tamaño 3 a una célula.

es decir. la regla de evolución es una función que marea cadavecindad a un elemento de J(. En otras palabras. la vecindadcl'o/lIciofl(l en este nuevo estado. Se sigue este proceso contodas las células en el arreglo y obtenemos un nuevo arregloo configuración (ver Fig. 1).

Así tenemos que el mapeo global que se da entre con-figuraciones se debe al mapeo local hecho de vecindades aestados inducido por la regla de evolución. Un autómata ce-lular unidimensional se denotará por la pareja (J.-, r). es decir,por su número de estados y su radio de vecindad.

Una configuración es ancestra de otra si la primera evo-luciona en la segunda <tIaplicar la regla de evolución a cadauna de sus vecindades.

Ya que la regla de evolución mapea vecindaues a estados,los tamaños de estas vecindades deben tomar valores discre-tos. esto se da solamente si r == i ó r == i/2 para i E Z. Porconvención, el nuevo estado producto del mapeo sc coloca enla siguiente configuración en la parte central de la vecindadanccstra. Así tenemos que el mínimo tamaño de vccinuad quese puedc manejar cs 2 ó que r = 1/2.

2.2. Autómatas celulares unidimensionales re,'ersihles

En realidad no podemos hablar de reversibilidad en un autó-mata celular unidimensional, ya que la regla de evoluciónmapea elemcntos del conjunto J(2r+l a elcmentos de b.', Esdccir, para,. > O el dominio delmapco es siempre m¿ls gran-de que el contradominio. lo que impide que dicho mapeo seabiyectivo y por lo tanto reversible.

Al hablar de rcversibilidad en cste ámbito lo haremos rcfi-riéndonos al mapeo que existe entre configuraciones globalesen la evolución del autómata. Si este mapeo es biycctivo elautómata se dirá que es reversible, lo interesante es que estemapeo global es producto del mapeo local establecido por laregla de evolución,

En el trabajo de Richardson [5] sc demuestra que si unautómata es reversible, dada su regla de cvolución existe otraregla im'asa a la original con la cual poder regresar en laevolución global del autómata. En otras palabras, podemosvolver a generar la configuración ancestra de la actual y repe-tir este proceso de manera indefinida, cómo se muestra en laFig.2.

Dado que la reversibilidad en elmapeo global se debe a laregla de evolución. para caracterizar a los autómatas celula-res unidimensionales reversibles se estudian I~ls propiedadesIOc¿lles que inducen dichas reglas.

FIGURA 2. Autómata celular unidimensional reversible en dondeambas reglas invertihles tienen wmaflo de vecindad igual a 3.

k2r ancestros (Q OD Osecuencia. O ...O

FIGURA 3, r.,'luhiplicidad uniforme de ancestros de una secuencias E le en un autómata celular unidimensional rcvcrsihlc.

2.3. Propiedades de un autómata celular unidimensionalreversible

Gracias al trabajo de G.A. Hedlund [6] tenemos una ampliadescripción combinatoria de las propiedades locales que tie-ne la regla de evolución en un autómata celular reversibledestacando en especial dos conceptos fundamentales:

• Multiplicidad uniforme. Sea J{* el conjunw de secuen-cias finitas de estados. En un autómata reversible setiene para toda s E I{* que el número de ancestros decada s es igual a k2r o al número de nodos en el diagra-ma de de Bruijn [7,8]. Así, cada secuencia de estadostiene el mismo número de ancestros que los demás (verFig.3).

• índices de lVelch. Los índices de Welch L, Al Y JIcuantifican las distintas regiones que existen en los an.cestros de cada ."i E 1\'*,

L: Cuantifica el máximo número de extensiones deuna secuencia de estados a la izquierda tal que laevolución de la secuencia y sus extensiones sea lamisma.

R: Cuantifica el máximo número de extensiones deuna secuencia de estados a la derecha tal que laevolución de la secuencia y sus extensiones seala misma.

Al: Representa el mínimo número de secucncias deestados que junto con sus extensiones izquierdasy derechas evolucionen en la misma cadena.

De este modo tenemos que si un autómata es reversible.toda secucncia .'i E 1\" * tiene el mismo número de ancestrosque los demás cumpliendo con la multiplicidad uniforme. Es-te número de ancestros es igual a k:!.r. Además. para 1lo 2: 2Y H 2: HO' cada .':i E ¡{JI cumple que sus índices L y n sontales que LR == k"2r. Esto indica que en los ancestros de caJa

R('I'. M('x. FiJ. -t7 (3)(2001) 219-230

(2)

221

1 célula central común

{9":6(9 )Rtermiruu:iones

o/ 'o0...0

CARACTERIZACiÓN DE LAS PERMUTACIONES EN BLOQUE QUE REPRESENTAN AUTÓMATAS CELULARES ...

de vecindad r = 1/2, ya que con éstos podemos representara todo autómata celular unidimensional de cualquier radio devecindad como se muestra en los trabajos de 1. Kari [9] y deT. Boykell [ID].

Supongamos que tenemos un autómata celular (k. r) cu-yo tamaño de vecindad es 2r + 1. Para reducir este tamañoa 2, aumentaremos el número de estados, de este modo, unautómata (k", 1/2), se puede utilizar para representar a lamisma evolución. Esto es, tomaremos del autómata generaltodas las posibles secuencias de tamaño 2r o lo que es lomismo, todos los posibles nodos de de Bruijn [7,8].

Sabemos que originalmente. para lodo estado e E ]{, so-bre una secuencia de estados s E J('2r+ 1 la regla de evoluciónoriginal tiene el siguiente comportamiento:

secuencia ~

L comienzos

FIGURA 4. Índices de WeJch de una secuencia.~ E J{n en un autó-

mata celular unidimensional reversible.

secuencia 8 el valor del índice .H es 1, existiendo una for-ma única en que cada,., regresa hacia atrás en la evolucióndel autómata. Con esto se especifica una regla inversa a laonginal (ver Fig. 4).

3. Autómatas celulares unidimensionales conr = 1/2

Antes de entrar en materia con los autómatas celulares unidi-mensionales reversibles. revisaremos los autómatas con radio

I

y esta regla se aplica a cada célula en la configuración, ahora,para dicha configuración agrupemos sus células en secuen-cias de tamaño 27', Se obtendrán a lo más tantas secuenciasdistintas como k'2r, que serán nuestros nuevos estados. Paracada uno de estos nuevos elementos, la nueva regla de evolu-ción funcionará de la siguiente manera:

En otras palabras. la nueva regla será el producto de apli-car repetidamente la regla original sobre dos secuencias querepresentan nuevos estados. Al final, C0l110 producto de apli-car la regla original obtendremos una nueva secuencia de 2,.elementos. es decir. un nodo de de Bruijn o una secuenciadentro del conjunto de nuevos estados.

Veamos cómo funciona esto en un autómata (2.1) re-gia 111

00111 lO 110111101 110 1111 1 O

Tomemos ahora todas las posibles secuencias de tama-ño 27' y renombremos éstas para obtener un nuevo conjuntode estados

Secuencia Estado nuevo

00 -+ O

01 -+

10 -+ 2

11 -+ 3

Tomemos ahora todas las posibles secuencias de 4,. ele-mentos y veamos su evolución al aplicar la regla original

Una evolución de dicho autómata aplicando la regla deevolución a una configuración inicial sería:

Conflguración Inicial

Evolución

001011101101

011110111111

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 OlllII II II II 10 II II 101000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 111101 01 11 1 t 10 II 01 00

Hagamos la agrupación de cada una de estas secuenciasen bloques de tamaño 27', lo que producirá lo siguiente:

~ @ilijJ ~ ~ ~ @iliiJ ~ @iTIO[D] [D] [D] [D] [JjlJ [D] [D] [JjlJ~ Gili2J @]JQ] [illill ~ !IiliIJ CiII::@] [JI@]@TI @TI [D] [D] [JjlJ [D] @TI ~

ReI'. Mex. FiJ. ~7 (3) (2001) 219-230

222 J.c. SECK TUOH MORA

Si sustituimos cada bloque por el estado nuevo asignadoanteriormente obtendremos:

Elemento de Rt

La nueva regla (4, 1/2) que simula la evolución del autó-mata original es

[ili] [ili] [lli] [ill] [ili] ITEJ [ili] rn0 [I) 0 [I) [TI [I) [I) [TI[ili] [ili] [I][I] ruQli] [ili] [I)[I] [I)0[j] [TI 0 [I) [TI [I) [TI @]

o 10331 2 32113 2 3

2 33 33 23 31 O

___ ~_, , ~ <l(--Ancestrc

GJ ,~ tE Bloque

Elemento de L~

EJ ,~_tE___ Ancestro

~. ,[~ <1(-- Bloque

FIGURA 5. Forma de los elementos de R<J y LQ.

L¡p: El conjunto formado por todos los bloques de tama-ño 2,. y las terminaciones izquierdas también de tama-ño 21' de los ancestros de cada bloque.

Tomemos ahora la configuración inicial que utilizamos alprincipio, agrupemos sus elementos en secuencias de tama-ño k2r = 2. Sustituyendo por los estados nuevos cada se-cuencia, apliquemos la regla (4, 1/2) y a la evolución obteni-da, regresemos cada estado por su secuencia original.

Podemos ver que cada uno de estos elementos tiene unalongitud de 31' células, De esta forma, para cada cadena delconjunto I<6T, al aplicarle la regla de evolución, podemos de-finir dos mapeos:

c.I. ..•~O

[ill3

[ill3

@D1

J R ¡-lirH<t>:s-t (Y'sE \. ,

J L r6TlS<t> :8-t o,sE \ ;

(4)

(5)

De esta manera. reordenando las secuencias de 2 elemen-tos tenemos el funcionamiento original del autómata

4. Permutaciones en hloque

Evolución4

IR" 1= Rkz"

IL.I = Lkz,.

Dado que el autómata es reversible. los ancestros de unacadcna sólo difieren en los ex.tremos. que es justamente lo quela función Jo obtiene. Haciendo uso de los índices de \Velch.tenemos que

dependiendo de la evolución que tenga cada cadena le co-rresponderá un elemento. tanto en el conjunto Rt1J como en elconjunto LI/>; por lo tanto. podemos dcdinir una función másgeneral Jo (Fig. 6) como sigue:

[)

3

[ill

[)

1

O1

3

[ill

O1

O

1

1

@D

1

O

1

O

3

[ill

O1

[)

1

3

[ill

[)

1

O O1

I~Veamos brevemente cómo se puede caracterizar el funciona-miento de un autómata reversible. Para una referencia muchomás detallada se puede consultar la Ref. 4.

4.1. Funcionamiento de las permutaciones en bloque

En el trabajo de J. Kari [l1J se explica el funcionamiento delos autómatas celulares unidimensionales reversibles por me-dio de permutaciones en bloque y un corrimiento.

Sea un autómata celular reversible (k, r) con una regla deevolución 4>. y una regla inversa 1>-1 en donde ambas reglaslienen el mismo valor de r (ver Pig. 5), Primero definamoslos siguientes dos conjuntos:

Re: El conjunto formado por todos los bloques de tama-ño 21' y las terminaciones derechas también de tama-ño 21' de los ancestros de cada bloque.

Sabemos también que RL :=:; k:!r. en el caso en que am-bos índices son iguales, tenemos que R :=:; L :=:; kr, por lotanto IR"I = IL"I = k". Podemos hacer una biyección entrelos conjuntos Lo y Ro, y el conjunto K'Jrj a éstas las deno-minamos bu Y bL• respectivamente. Con estas construccio-nes, podemos entonces representar el comportamiento de unautómata reversible con el diagrama mostrado en la Fig. 7.

El comportamiento del autómata se puede comprenderpor medio de dos permutaciones en bloque, una para la reglade evolución original (PI) y otra para la rcgla inversa (pJ.Entonces el funcionamiento reversible se modela de la si~guiente manera:

• Se parte una configuración en bloques de tamaño Gr.

• Cada bloque se permuta utilizando PI' que es aplicar lafunción J" y las biyecciones b¡, y b/l.

Re\'. .l/ex. Fís. 47 (3) (2001) 219-230

CARACTERIZACIÓN DE LAS PERMUTACIONES EN BLOQUE QUE REPRESENTAN AUTÓMATAS CELULARES

Funci6n l~

I co

FIGURA 6. Mapeo de una secuencia de 6r células a elementos de L", y lí~.

FIGURA7. Funcionamiento de un autómata reversible por medio de permurnciones en bloque .

223

• Se hace un corrimiento de magnitud 31' en la nueva se-cuencia generada.

• Se parte esta secuencia en bloques de tamaño Gr.

• Sobre estos bloque se aplica]Jl en sentido inverso, apli-cando primero las biyecciones bL y bu Ydespués f.-,en sentido inverso.

De estas permutaciones en bloque observamos propieda-des importantes:

• El índice L en 4>es igual al índice H en 4;-'.

• El índice JI en q,es igual al índice L en q,-I.

..•.2. Aplicando el proceso a todo tipo de autómatasreversibles

El proceso anlerior explica convenientemente el funciona-miento de un autómata reversible cuando los índices L y Rtienen el mismo valor. Sin embargo, esto no siempre ocurre,la condición de reversibilidad indica que LR = k2f', pero es.to no establece que siempre ambos índices deban ser iguales.Por ejemplo, si k2r es un número primo, entonces uno de losíndices debe ser 1 y el otro debe ser también k2'.

Tenemos que el procedimiento anterior, en donde ambosíndices son iguales, establece biyecciones entres los conjun-tos H", y Lq, con el conjunto K3r, pero si los índices sondistintos entre sí, estas biyecciones ya no son posibles,

Una forma sencilla de solventar esto es la siguiente [4];sabemos que ¡n.1 = nk2' y que ¡L"I = Lk". Podemos de-finir dos conjuntos, X = {xi' O:S i < Lk2'} YY = {y" O:Si< Rk21'}, con estos conjuntos podemos redefinir las biyec-

Re" Mex. Fís. ~7 (3)(200 1) 219-230

224 J.e. SECK TUOH MORA

P,1

I~C-O----------------------C-&-.1Ic-6-'---------- <4(- Ancestro

ft I~.Y~~l--

~ bL bR~

C9r.11"11I(- Evolución

FIGURA 8. Uso de los conjuntos X y Y en las permutaciones en bloque.

5. Forma de las permutaciones en hloque

Hemos visto que para un autómata reversible en donde <:py Ó-l tengan el mismo valor de 1', el comportamiento sepuede representar por medio de dos permutaciones en bloque

Ahora ya podemos aplicar el mismo proceso. pero utili-zando la redefinición de estas biyecciones. corno se muestraen la Fig. 8.

El proceso ahora lo que realizará es que cada bloque dec¿lulas de tamaño Gr se permutará por una secuencia de laforma .í/y)" En la nueva configuración se hace el corrimien4

10 de un elemento equivalente a un corrimiento de magni.tud 31'. y sobre cada secuencia de la forma Yjx¡".. se hace otrapermutación a un bloque de células de tamaño Gr. La nuevacontiguración así producida estará recorrida con respecto ala anterior en 31' lugares. obteniendo el comportamiento re-versible del autómata. Si este proceso se realiza en el sentidoinverso. dado que la regla de evolución original como la in-versa tiene el mismo valor de r. el tamaño de los bloques y elcorrimicnto es el mismo.

Hay que señalar que las permutaciones PI y P2 son sólouna forma de etiquetar bloques de tamaño 61' en la configura-ción, por lo que esta simple modificación en el proceso sigucconservando el espíritu del funcionamiento de un autómatareversible como permutaciones en bloque.

ciones!JI- Y bu como sigue:

ÚL : Li> -+ X,

bll : Ro -+ y.

(9)

(10)

y un corrimiento. Hemos generalizado también este procesopara cualquier valor de los índices de \Velch utilizando losconjuntos X y Y. Una pregunta inmediata es de qué formadeben ser estas permutaciones para que cumplan con el pro-ceso descrito.

Analizaremos en detalle el caso en donde,. = 1/2, ya quelos demás casos se pueden llevar a éste como hemos visto enla Seco 2.

5.1. Propiedades básicas de las permutaciones

El proceso indica que debemos hacer permutaciones desde elconjunto f{6r, para el caso r = 1/2 el conjunto es f{3. Paraeste mismo valor de r tenemos que ILr;;1 = Lk2r = LA: YqueIlIól = Rk" = Rk.

Primero comprendamos el funcionamiento del autómatareversible con r = 1/2. basta una secuencia de 2 células paraque en sus ancestros se fije una única célula central con lacual regresar en la evolución. Esta única célula central tieneasociadas L células izquierdas y R células derechas, sin to-mar en cuenta esta célula. la parte izquierda de esta construc-ción es un elemento de Lo y la parte derecha es un elementode Ro (ver Fig. 9).

Por supuesto. en las células sucesoras toda combinaciónes posible, es decir, no puede faltar ninguna vecindad en laregla inversa 6-1. De esta construcción podemos notar quecada célula sucesora tiene asociadas L c¿lulas izquierdas an-cestras y R células derechas ancestras.

Para cada elemento del conjunto Lo, la parte sucesoraestá relacionada con todos los posibles estados del autómata.lo que hace un total de k posibilidades. Como cada una de

Re\: Me.!. rú. 47 (3) (2001) 219-230

CARACTERIZACIÓN DE LAS PERMUTACIONES EN BLOQUE QUE REPRESENTAN AUTÓ\IATAS CELULARES225

El I{L células ->iLóDp...~.';*J.f .- A CélUlaS}emen os ... :,:¿o".'"

de Lq, :il1iElementosdeR~

FIGURA 9. Eslruclur.l de un autóm:ua reversible con r ::;: 1/2.

FIGURA 10. Extensiones dcrcch:.ls de un elemento de L<tJo

el erF1GUR,\ 11. Construcción básica para el análisis de aulómulas ce-lulares unidimensionales reversibles.

estas células tiene R células ancestras derechas, cada elemen-to de Ló tiene Rk posibles extensiones derechas, es decir, atodo el conjunto Rq,o Esto nos lleva a las dos primeras pro-piedades que cumplen eSlaS permutaciones (ver Fig. 10).

Propiedad 1. Para O :s: i < Lk. cada Xi E X liene asociadoa todos los elemelllOS de }'.

Como cada elemento de X tiene el mismo número de aso.ciaciones. esto implica la siguiente propiedad:Propiedad 2. Para O S i < Lk Y fiara O S j < Rk, cada:r i E X aparece el mismo mimem de veces que el resto delos elementos de X en el conjunto de secuencias de laformaJ'¡Yj para <p. Lo mismo ocurre en el conjumo de secuenciasyjx¡pam</J-l. EsfO es {lfl(í/ogopara cada Yj E Y.

Par¡¡ las siguientes propiedades. tomemos la construcciónen la Fig. 11 como referencia.

Esta construcción representa tres células ancestras.(llarar' y su evolución al aplicar la regla </J: ('Ier' Estas le-tras deben ser entendidas como las posiciones específicas decada célula en la construcción y no deben confundirse conestados del conjunto [{.

Supongamos que las células a¡ac se encuentran en doselementos fijos del conjunto K. Entonces. estas células espe-cifican un único estado en el' por lo que el bloque (l{el es unelemento de L,p' Esto nos lleva a la siguiente propiedad:

Propiedad 3. Sea O S i < Lk Y O S j < ¡¡k; si las cél"las(l.,ac roman dos \'alores fijos de K, emOllces a la secuenciacompleta alacar le corresponde un IÍnico eh'l1lenIo Xi E Xsin importar que valores tome la célula aro Del mismo modo,Ji la misma secuencia (I,arar toma dos \'lllort!sjijos de 1\ enficar, emollces le corresponde ,,"lÍnico eh'mento Yj E )" ,\"in

importar que \'alores lOma la célula al'En la posición ae pueden estar todos los posibles estados

de 1(, esto indica que cada estado debe tener L células a la

izquierda para formar a un mismo estado y R células a la de-recha para el mismo caso. Esto se generaliza para cada estadosin importar en que posición se encuentre en las células an-cestras de la construcción utilizada. La observación anteriorproduce la siguiente propiedad:

Propiedad 4. Para todo bloque al el E Ló deben existir Rposibles estados etl la posición Qe tal que COtlel estado ell alformen el mismo estado ell e/. Para todo bloque llrCr E R(JI

deben existir L posibles estados ellla posición ar tal que C01lel estado en lir formen el mismo estado ell ero

Usemos nuevamente nuestra construcción. Sabemos quep.lra generar un estado particular en e/, la célula ae tiene Lposibilidades en al Ypara generar un estado específico en €r'

(le tiene R posibilidades en Ur.

Tomando los L distintos bloques G/el que sólo varían enla posición al cuando ae se mantiene fijo en un estado, tene-mos que en todos estos bloques las células Qrer se extiendende la misma forma. Si ordenamos de manera descendente lassecuencias (l,llc:lll" variando el estado de (lr desde Oa k - 1,tenemos que los L distintos bloques (l/el compartinín el mis-mo orden de aparición de las extensiones derechas en arer-

En este caso, sabemos que Qe tiene R extensiones paragenerar un estado en particular en el" Dado que el total deextensiones posibles de (le es k, entonces el total de estadosque puede tomar cr es 1..)R = L. Así, si Uc permanece en unestado fijo, los L bloques en al€{ comparten el mismo ordenen las extensiones a la derecha en il"er• Con esto el' tomaL posibles valores, y para cada uno dc estos, ur tiene R po-sibilidades. Entonces, los L elementos de L,p comparten lasmismas LR = k extensiones derechas en el mismo ordenpara (le fija.

Ahora bien, por la propiedad anterior, R estados en Qeson posibles de colocar junto a los L bloques alel para for-mar el mismo elemento en cI. Si para cada estado en (le exis-ten L/l extensiones derechas compartidas, tenemos en totalRLR extensiones derechas a los L bloques u{e/ compartien-do el mismo orden_ Pero como RLR = Rk, esto quiere decirque c;.Idauno de los bloques (l{el tiene Rk extensiones dere-chas compartidas con los demás bloques. En otras palabras,cada lino estos L elementos de 1.4> estiÍ conectado con todoslos elementos de Ro, lo que nos lleva a esta propiedad:

Propiedad 5. Para las células ala('ar, el conjullfo X se agru-1m en k particiones de L elemellfos cada lUla. en dOflde loselementos de cada partición comparten el mismo ordefl deconcatenación con todos los elemellfos de )" si las secuenciasa,aellr se ordelllUl de I1Ulllemdescefldell1e variando primerolos estados di' (lr Y después los de (l('.

E",me",o de L~ { ~

RCI', Mer. Fr" 47 (3) (200\) 219-230

226 le SECK TUOH MORA

aleen

er el

FIGURA 12. Parte central única en los ancestros de ere/o

al ac ar, '0' ,¡ ¡ ¡ ¡!'''I •••L..: 1•••1.."1"'';

! ! i ¡!-..••.. 1 L..•.. .ie, Cr

el er(a) (b)

FIGURA13. Bloques de (a) L. y (b) R•.

FIGURA 14. Especificación de la permutación PI'

pondiente a la parte derecha del ancestro ahora actúa comoevolución izquierda y lo que era evolución derecha actuarácomo parte izquierda del ancestro; esto nos lleva a

R. -; L~'a, -;

,e,

e, -;,",

L. -; R. 'a, -; ,

c,

e, -; ,a,

al

Por último, tenemos que cada estado en el tiene L esta-dos posibles en la posición al; a este conjunto de L estadosllal11émoslo Al' También cada estado en er tiene Restadosposibles en la posición aro a este conjunto de Restados dc-nominémoslo Aro Dado que el valor de r = 1/2 es el mismopara 4> como para 4>-1, entonces la secuencia cre¡ forma unavecindad de ,p-l, la cual genera un único estado en a~comose muestra en la Fig. 12.

Para un estado en cr existe un conjunto Ar en donde cadaelemento de éste puede estar en la célula a~.Además, para unestado en el existe un conjunto A{ en donde cada elemento esun posible estado de (I~. Lo anterior nos lleva a la siguientepropiedad:

Propiedad 6. Para O ~ i < k: sea el conju1lfo L¡p divididoen k parriciones de L elemell1os, en donde los elementos decada partición sólo concuerdan en la posición el que ¡me-de tomar cualquier valor i. As! los L estados posibles en alforma" el conjulI1o Al.' Sea el conjullfo R¡p di~'idido en kparticiones de R elemeillos. en donde los elemell10S de cadapartición sólo concuerdan ellla posición cr que puede tomarcualquier \'alor i. Los R estados posibles en (Ir forman elconj/lll1o Ar j •• eflfonces:

(1 1)

5.2. Obteniendo la re~la irH'ersa ljJ-I de laspermutaciones p]

Hasta ahora hemos visto las propiedades que deben cumplirlas permutaciones PI en un autómata reversible. Veamos en-tonces como se puede obtener 4>-1 de una permutación 1'1dada. Usemos como refcrenci.l los bloques correspondientestanto a Lo como a R¡p. mostrados en la Fig. 13.

Para la regla inversa <1>-1, el papel de estas posiciones seintercambia. es decir. en los bloques de L¡p lo que era la parteizquierda del ancestro ahora es la evolución derecha, y lo queera la parte de la evolución izquierda pasa a ser la parte de-recha del ancestro. En los bloques de !lr:>' la posición corres-

Entonces, podemos hacer particiones en el conjunto L¡p.en donde los elementos de cada partición coincidan en la po-sición al' Del mismo modo hagamos la partición del conjun-to R¡p' de modo que los elementos de cada partición coinci-dan en la posición aro Tendremos en ambos casos k particio-nes. pues en estas posiciones se encuentran todos los elemen-tos de [(o Sea O :'ó i < k, cada partición i en L" tendrá Lelementos distintos en la posición e puesto que son al mis-mo tiempo las posiciones a~en R;f, sabiendo que el índicede \Velch derecho de r:/J-I es igual a L. De cada partición itomemos los elementos el Y formemos el conjunto El : demanera análoga, cada partición i en R¡p tendrá R elementosdistintos en er que a su vez es a;. tomemos estos y formemosel conjunto Er¡ para cada partición.

Con estas particiones podemos entonces formar a 4>-1.Para n .$ i < k, en la regla inversa cada estado i tendrá R es-tados izquierdos ancestros especificados en Er Y L estadosderechos ancestros especificados en E,., Entonces. la conca-tenación de todos los elementos del co'njunto Er con todoslos elementos del conjunto E,. nos dará todas las 'vecindadesancestras del estado i. '

5.3. Relación entre la permutación PI .Yla permutación P2

Como es de suponer existe una fuerte relación entre ambaspermutaciones, ya que están compuestas por los mismos con-juntos L" y R., pero jugando un distinto rol en ambos casos.Mientras que para 4> los bloques se forman por la concate-nación X1', en 4>-1 la concatenación es }OS. Además, enel primer caso Lr> representa extremos izquierdos y en el se-gundo forman extremos derechos, cuestión que es análogapara RI)'

Para,. = 1/2. a cada bloque de 6,. = 3 células le corres-ponde dos permutaciones. dependiendo de su evolución. Así.para O :'ó i < Lk YO :'ó j < Rk,p, se especifica de acuerdoa la construcción mostrada en la Fig. 14. En donde a,e, E Ló

Re\". Mex. Fis. 47 (3) (2001) 219-230

CARACfERIZACIÓ:-l DE LAS PERMUTACIONES EN BLOQUE QUE REPRESENTAN AUTÓMATAS CELULARES ... 227

FIGURA 15. Especificación de la pcrmulaci6n 1'2'

y urcr E RQ• Ahora bien, Pz funciona de acuerdo a la coo-trueción mostrada en la Fig. 15. donde erur E £9-1 = Roye,al E R'¡'_I = L(/). Es decir, las permutaciones PI y P2varían dependiendo del papel que jueguen las posiciones(llarete,., ya sea como parte de los ancestros o corno evo-lución.

y aplicando las permutaciones tenemos:

1001lOO

O 1

O I

Secuencia 1'1 1',000 zoYo YOIO

001 xOY2 YoX}

DIO XOYI Y2XO

011 XOY3 Y2X¡

IDO X1YO YIXO

101 X¡Y2 Ylx¡

110 XI ~J¡ Y3XO

111 XIY3 Y3XI

Tomando una configuración aleatoria, una evolución será dela siguiente forma:

Con esto, las permutaciones PI y P2 son las siguientes:er Ce e,; '0; ,:: : 1

l"T'.1. ..¡ ¡...L..r ..1! ¡ i ¡: : : :

5A. Proliferación de permutaciones01 I 001

Esto nos lleva a las siguientes permutaciones PI Y]J2:

Ahora bien, hagamos una nueva asignación entre Lq, y .Y

Se ha llegado a obtener el mismo resultado que con laspermutaciones anteriores. En síntesis, obtendremos tantas

010

Y2,XI

010

Xl, Y'2

001

I 10

I 10

01 I

@JOTQ:J -jo XI

[iJ11IJ -+ Xo

X1'Y3

Secuencia 1'1 1'2000 x¡Yo YoX¡

001 :r¡ Y2 Yoxo010 X¡YI Y2X}

011 I¡Y3 Y2XOIDO XoYo YIX¡

101 XOY2 Y¡XO

110 TOUI Y3X¡

111 xOY3 Y3XO

Volviendo aplicar estas permutaciones sobre la mismaconfiguración, obtenemos& -+ Yo

¡~-+ Xo & -+ y,

L., % R,,:

c£J-+ TI -+ Y2

eBJ -+ y"

Cada autómata reversible tendrá sus conjuntos L(j) y R,¡, par-ticulares y estos lo harán único del resto. La forma en que sedefinan las biyecciones bL y bR son las que nos ofrecen dis-tintas permutaciones para un mismo autómata. Por ejemplo,lomemos un caso (2h) con índices de Welch L = I YR = 2.

Regla Original: e Regla Inversa: AO I O I

O O O 010 I111 101

Los elementos de Lr,J.¡ y Rr/J son los siguientes:

&&c£JeBJ

Hagamos ahora la siguiente asignación de las biyeccionesuI• y un:

R,,'. Mex. n,. ~7 (3) (2001) 219-230

228 J.e. SECK TUOH MORA

permutaciones repetidas C0l110 asignaciones distintas poda-mos hacer de bL y b¡¡. Dado que IXI = Lk Y Il"I = Rk,tenemos tantas asignaciones posibles para bL corno (Lk)! ytantas para bu como (Rk)!. Entonces para dos conjumos Loy Ro dados. tendremos tantas asignaciones distinras a .Y}"y I'.\" como [(U)' * (Rk)'],

6. Casos de estudio

vos OpenStep y MacOSX los cuales permiten hacer cálculoIlumérico intensivo de forma accesible y confiable, A conti-nuación presentamos dos ejemplos de su funcionamiento,

6,1. Caso (4, 1/2), L = 1,R = 4

Para este caso se obtuvo el siguiente autómata:

con las siguientes permutaciones:

Con las propiedades anteriores se desarrolló un programaque hace la computación de autómatas celulares reversiblesformando las permutaciones en bloque. Este programa estáinspirado en el sistema NXLCAU desarrollado por el Dr.H.Y. Mclntosh para el estudio de autómatas celulares unidi-mensionales [12J. El programa corre en los sistemas operati-

I

Regla Original: FFAA5500O 1 2 3

O O O O O1 I 1 I I2 2 2 2 23 3 3 3 3

Regla Inversa: E4E4E4E4E4O 1 2 3

O O I 2 31 O 1 2 32 O 1 2 33 O I 2 3

Cadena 1', P'l000 ¡:oYo !/01"0

001 }"O!l4 !/ox¡

002 J'o!ls YO.l'2

003 .1:0.'/12 Yo.1:;j

010 )'0.'15 .'lITo

011 .ro!/¡ Y4X¡

012 Io.'l~ !/4I'l

013 XOY13 Y4X;l

020 .ro!lo YBTO

021 ):O!lIO !/~Il

022 J'olh Y~X'l

023 )'O!/14 !/'i(X3

030 .1'0]17 YI2TO

O:ll ):n!lll 111 2:r 1

032 :J~OYI5 Yl2X2

033 TO!/3 !/12:l:3

Cadena PI 1J'l

100 :l~lYo !/.5.1'u

101 .1'IY_¡ !/5.1"¡

102 XI!/8 Y5.1''l

103 T 1!/t"2 .'I5I3

110 .1~1.'15 YI ~ro111 XI]/I Yldl

112 X¡Y9 .'Jl.r'l

113 XI!J¡3 YIIJ

120 x¡Yú Y9.rO

121 I¡YIO 119J'1

122 T¡Y2 11r¡¡T'l

123 T¡YI-l !I~I.1~3

130 XIY7 !/13£O

131 :¡; ¡ !J I ¡ VJ:~.1~1

132 XIYI5 Yl.1:r2

133 XIY3 !ln:l:3

Cadena JlI 1''l

200 .r 2!10 !lljJ:o

201 I2Y_1 !/fiJ.: 1

202 £ 2 !JI!> 1/(¡X2

203 I21112 Y(;J.'3

210 .1"2!J5 1/10.1.'0

211 X2!J1 YIOTI

212 .r 2]JrJ YIO.1:2

213 1'2.1113 YIOX3

220 .r 2 1/(; l/'2Xo221 I"2UIO 1/2:r¡

222 I2112 Y'lT"}.

223 .1'2YH lhX3

230 .l: 2!J7 :'JI"ITO

231 ,/'2 !JII 1I1"1£¡

232 J:'l!JI ~, !JI ,11;'2

2:13 .l"'lY:¡ !/l"(r:~

Cadena 1', Pl300 £3.'10 Y7IO

301 X3Y~ 117J."1

302 .1.'31/" Y7.1'2

303 X3YI2 Y7T3

310 X3Y5 YIIIO

311 X3Y¡ Yl1:r I

312 X3Y9 Y¡IT2

313 I3YI3 YIII3

320 X3Y6 YIS£O

321 X3YIO YISX}

322 X3Y2 Y¡ST2

323 T3Y14 Y¡SI3

330 X3Y7 Y,3xO

331 J.~3Yll Y3.1.'J

332 I3Yl5 !/:¡:l:'l

333 X3Y3 Y3X3

Para reducir la forma en que escribiremos estas permu.taciones observemos lo siguiente. En cada una de las posi.ciones (l1(Jr aparecerán los k posibles estados, teniendo entolal ~:2 instancias di.\tintas. Cada instancia posible se repi.te k veces antes de pasar a la siguiente. Para las posicio.nes (le(l,.. las k'2 instancias aparecen en forma continua y estasucesión se repite k veces, Entonces, para las dos permuta.ciones apuntemos solo una vez la Xi correspondiente a cadainstancia (llal"' y hagamos lo mismo para las y¡ de cada ins.tancia (le",.'

Lista, {O.O.O,O,1.1.1.I,2,2,2,2,3,3,3,3}",

Lista" {O,I, 8,12,5,1,9,13,6, lO, 2, I~, 1, 11, 15, 3}"

Lista" : {0,,1,8, 12,5,1,9,13,6, 10,2, 1~, 7,11, 15,3}"2

Lista, : {0,1,2,:1,0,1,2,3,0, 1,2,3,0, 1,2,3}, "

Con esto, para obtener la permutación Pl de la tabla ori-ginal tomcmos el primcr elemento de la lista de Xp¡ y re.pit;ímoslo 1; vcccs, haciendo el mismo proceso para el restodc la lista, Despllcs, otra vez desde el inicio de la tabla, pon.gamos la lista )~"2 corrida y repitamos esto k veces, Para ob-tencr la pcrmutación Pl se hace el proceso análogo utilizandoprimero} "1' Ydespués Xp ,, ,

Tomcmos una configuración aleatoria y veamos cómoevoluciona

012330220131101012330220131101

Ahora. agrupemos csta configuración y apliquemos laspermutaciones cn bloque con el corrimiento:

Rel'. Mex, Fí.<, 47 (3) (2(XJI) 219-230

CARACTERIZACIÓ:-J DE LAS PERMUTACIONES EN BLOQUE QUE REPRESENTA:-J AUTÓMATAS CELULARES"

7. Conclusiones

229

6.2. Caso (4, 1/2). L = 2. R = 2

Hemos obtenido la misma evolución que aplicando la re-gla de evolución c.f), con un corrimiento de 31' = 3/2 posicio.nes.

• El valor de la cardinalidad de los conjuntos .\ y l'.

Hemos visto que para explicar el comportamiento reversiblede un autómata celular unidimensional podemos decir que laregla de evolución trabaja de la forma en que lo hicieran dospermutaciones en bloque en lus configuraciones.

Estas permutaciones para ser válidas deben guardar unorden muy estricto. Su comportamiento está principalmenteinnuenciado por los índices de Welch. como se muestra enlas siguientes características:

• Secuencias de células dc tamaño 61' similares tendránpermutaciones muy parecidas.

010

10\

311

131

201

220

302

330

123

012

Las permutaciones son las siguientes:

Para c.\te caso tenemos los siguientes ejemplos:

Apliquemos el proceso a esta configuración:

Lista" {O. 1,5,.1,0, 1,5.4,G. 7.2,3,G. 7.2,3)"

Al entender cómo funcionan estas permutaciones para elcaso de autómatas con l' = 1/2 lo estamos haciendo para to-dos los cusos. Esto es ya que con el primero se pueden simu-lar los denlils si no de forma elegante si de manera efectiva.

La relación entre las permutaciones PI y P2 es muy sútil einmediata. El determinar PI automáticamente detennina tam-bién P"2 y viceversa. ya que se construyen de los mismos blo-ques en Lo y Ro. Aquí solo varía el papel en que los ele-mentos de cada bloque funcionan; si como ancestros o comoevolución. Pero aún podemos ir más allá; la asignación delconjunto .Y a las distintas secuencias determina a su vez laasignación del conjunto Y. Para establecer la relación entrelas secuencias y el conjunto X debernos ver el estado de lascélulas a/(lc Yel; es decir. como mínimo tenemos ya una ve-cindad completa y su evolución. Esto determina a tjJ comple-tamentc, lo que nos indica la forma en que debemos posicio-nar al conjunto Y con respecto a las secuencias.

Cada autómata reversible tiene conjuntos propios £6y 11" que a su vez se pueden renombrar de [(U.)' * (Rk)']maneras por las biyecciones bl. y bR. Con esto obtenemos unnúmero muy grande de permutaciones distintas que especifi-cun el mismo autómata reversible.

• La forma en que los elementos de X y ). se concate-nan.Regla Inversa: I'SAOASFO

O \ 2 3

° ° O 3 31 1 1 2 22 O O 2 23 1 1 3 3

Regla Original: EEEEI414O 1 2 3

O O 1 1 O1 O 1 1 O2 2 3 2 33 2 3 2 3

0123,30220131111111332122111311110

List a" {O.O.4 •.1. 1. l. 5. 5, G.G.2. 2. 7. 7. 3, 3 }"

Lista, : {O,5,5.0,'¡.I, 1.4.2,7,2. 7,G.3.G.:I}. "

Listas {O,5,G,3,4. 1,2. 7,IJ,5,2, 7.-1, I,G,3}",Tornando la misma configuración aleatoria usada anterior-mente, veamos su evolución

012 330 220 131 101 Agradecimientos

X5,Y5 XJ,Y6 ;r:Z,!/6 X.¡.Y7 J~.I,Yl

133 212 210 310 101

Agradezco al Dr. H.V. !\1clntosh por sus observaciones y co-mentarios cn la realización de cste escrito; usí como al Dr.S.v. Chara y al Dr. R. Baquero por sus comcntmios sobre lapresentación del mismo. Este trabajo fue elaborado contandocon apoyo de CONACyT con registro I19 324.

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12. El sistema NXLCAU está disponible para mo público enla página del Dr. H.V. ~klnlosh en: http://deha.c!'>.cinvestav.mx/-mcintosh.

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