Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Ivana Balatinac

Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Ivana Balatinac

Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi

Diplomski rad

Voditelj: Doc. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2012.

Sadrzaj

1 Uvod 1

2 Povijest brojeva 3

2.1 Egipatska matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Babilonska matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Grcka matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Indijska i Arapska matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Matematika novog vijeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Prirodni brojevi 12

3.1 Definicija skupa prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Teorem rekurzije i jedinstvenost skupa N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Zbrajanje, mnozenje i uredenost prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Zbrajanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.2 Mnozenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.3 Uredenost skupa N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Cijeli brojevi 22

4.1 Definicija skupa cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Zbrajanje i mnozenje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 Uredenost skupa Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Racionalni brojevi 25

5.1 Definicija skupa racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Zbrajanje i mnozenje racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3 Uredenost skupa Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.4 Skup cijelih brojeva kao podskup skupa racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . 28

6 Realni brojevi 29

6.1 Dedekindovi rezovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.1.1 Skup rezova R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.1.2 Relacija uredaja na skupu R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.1.3 Zbrajanje na skupu R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.1.4 Mnozenje na skupu R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.2 Geometrijski pristup definiranju realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.3 Intervali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.4 Apsolutna vrijednost realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.5 Skup iracionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Literatura 39

Sazetak 40

Title and summary 41

1

1 Uvod

Razvoj matematike vezan je za razvoj ljudskog drustva. Simboli za brojeve pronadeni su u

najranijim ostacima ljudskog pisanja. Cak i iz ranog kamenog doba nasli smo ih u obliku ureza

na kostima ili kao oznake na zidovima pecina. To je bilo doba kada je covjek zivio kao lovac i

danas samo mozemo nagadati jesu li neke oznake bile namjenjene kao oznake za broj lovina.

Ljudi nisu oduvijek znali brojati na nacin kako danas brojimo. Proslo je mnogo godina dok

ljudi nisu poceli uvoditi pojam broja. U pocetku se brojanje svodilo na usporedivanje elemenata

nekog skupa sa elementima poznatog skupa.

U svakodnevnoj komunikaciji ljudi su upotrebljavali rijeci kojima su predstavljali odredene

brojeve. Te brojeve je trebalo nekako oznaciti. U pocetku su za oznacavanje sluzili kamencici,

prsti, skoljke ili neki drugi predmeti. Brojevi su se oznacavali na razne nacine: cvorovi na konopcu

(Sl. 1.), horizontalne ili vertikalne crte urezane u glini, na drvetu, na jelenskim rogovima. Oblik

i izgled znakova za brojeve ovisili su o priboru za pisanje kao i o materijalu na kojem se pisalo.

Slika 1: Cvorovi na konopcu

Prvi znaci za brojeve bili su crtezi predmeta ili zivotinja. Put do danasnjeg nacina zapisivanja

brojeva bio je dug, spor i nimalo jednostavan. Danas razlikujemo nekoliko vrsta brojeva.

S prirodnim brojevima se upoznajemo vec u osnovnoj skoli, no tada mislimo da svojstva koja

imaju neki prirodni brojevi imaju i svi prirodni brojevi. Tako smo npr. uvjereni da mozemo

zbrojiti ili oduzeti bilo koja dva prirodna broja. Skup prirodnih brojeva oznacavamo s N i on je

temelj za izgradnju svih ostalih skupova brojeva.

Oduzimanje ne moze biti izvedivo u skupu prirodnih brojeva. Dok su negativni brojevi u

pocetku bili tretirani oprezno, kao fiktivni izrazi, Leopold Kronecker1 je u 19. stoljecu opisao

1Leopold Kronecker (1823. - 1891.), njemacki matematicar koji se bavio teorijom brojeva i algebrom.

2

cijele brojeve kao ”prirodna polazista za razvoj koncepta broja”. Poznata je njegova izreka ”Bog

je stvorio cijele brojeve, a sve ostalo je djelo covjeka”.

Prema Dedekindu2 ni pozitivni brojevi nam nisu ”dani po prirodi”, nego su to ”slobodne

kreacije ljudskog uma”.

Algebarski gledano, to je pitanje prosirenja aditivne polugrupe prirodnih brojeva do grupe

cijelih brojeva. Skup cijelih brojeva oznacavamo sa Z.

Dijeljenje, kao operacija inverzna mnozenju, ne moze biti izvedivo u skupu cijelih brojeva.

Zbog toga skup cijelih brojeva prosirujemo skupom racionalnih brojeva kojeg oznacavamo sa Q.

Razlomci, koji dijeljenje uvijek cine mogucim, vec su bili poznati u ranijim vremenima. Nikad

nisu bili okruzeni misterijama kao negativni brojevi, za koje su mislili da se nalaze ispod ”nicega”.

Cijeli broj m moze se reprezentirati razlomkom m1

, pa racionalni brojevi sadrze cijele brojeve,

a cijeli brojevi prirodne brojeve, tj. N ⊂ Z ⊂ Q.

A sto je s brojevima koje ne mozemo zapisati u obliku razlomka? Takvi brojevi nisu racionalni.

Primjer takvog broja je broj√

2, koji oznacava duljinu dijagonale kvadrata stranice duljine jedan.

Osim broja√

2, poznati su nam i brojevi π = 3.14159265. . . i e = 2.718281828459. . . . Te bro-

jeve nazivamo iracionalnim brojevima, a skup iracionalnih brojeva oznacavamo s I. Iracionalnih

brojeva ima beskonacno mnogo. Svaki iracionalni broj je beskonacan, pa ga u racunanju zam-

jenjujemo pribliznom vrijednoscu.

Njemacki matematicar Stifel (1486. - 1567.) u svom je dijelu ”Arithmetica integra” napisao

”Kao sto beskonacan broj nije broj, tako i iracionalan broj nije istinit broj jer je tako reci skriven

pod maglom beskonacnosti.”

Racionalne i iracionalne brojeve zajedno nazivamo realni brojevi i oznacavamo s R. Dakle,

R = Q ∪ I. Pitanje sto su realni brojevi rijeseno je tek krajem 19. stoljeca i pocetkom 20.

stoljeca.

2Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831. - 1916.), njemacki matematicar koji se bavio algebrom (teorijomprstena), teorijom brojeva i realnim brojevima.

3

2 Povijest brojeva

2.1 Egipatska matematika

Staroegipatska je matematika jedna od najranijih epoha razvoja te znanosti. Najstarija

biljeska o broju je za pet stoljeca starija od prve piramide. O matematici iz uklesanih podataka

u kamenu znamo malo.

O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajvise iz dva papirusa3 : Ahmesovog ili Rhin-

dovog i Moskovskog.

Rhindov papirus je 1858. godine kupio skotski egiptolog Alexander Henry Rhind u Luxoru.

To je svitak duljine oko 6 metara i sirine oko 50 centimetara. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650 g.

pr. Kr., a u njemu navodi da prepisuje starije dokumente, tako da sadrzaj vjerojatno predstavlja

matematiku poznatu oko 2000. godine pr. Kr. Danas se cuva u British Museumu u Londonu, a

sadrzi 87 matematickih problema od kojih se cak 81 problem tice razlomaka. U papirusu pise da

je to jedna kompletna ”studija o svim stvarima, pogled u unutrasnjost svega sto postoji, saznanje

o tamnim tajnama”. Rhindov papirus je zbirka tablica i vjezbi koja je namijenjena uglavnom

ucenju matematike. Sadrzi vjezbe iz aritmetike, algebre, geometrije i raznih mjerenja.

Slika 2: Ahmesov ili Rhindov papirus

Autor Moskovskog papirusa je nepoznat, potjece iz oko 1850. godine pr. Kr. Otkrio ga je

1893. godine V. S. Goleniscev zbog cega se naziva i papirus Golenisceva. Malo je stariji od

3Papirus je materijal za pisanje, prenosenje poruka i pohranjivanje znanja slican danasnjem papiru. Oko 2000.godine pr. Kr. pronasli su ga Egipcani. Izradivao se od samonikle mocvarne biljke iz doline Nila - trske latinskoganaziva ciperus papyrus.

4

Rhindovog papirusa. Dug je oko 6 metara, sirok oko 8 centimetara. Sadrzi 25 problema, od

kojih mnogi nisu citljivi. Cuva se u Moskovskom muzeju.

Slika 3: Moskovski papirus

Pismo starih Egipcana je hijeroglifsko pismo koje spada u skupinu slikovnih pisama.

Slika 4: Hijeroglifski brojevi

Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s lijeva na desno, tako i obrnuto, a ponekad i

odozgo prema dolje. Razlicito pisanje ne stvara probleme kod citanja brojeva jer egipatski nacin

pisanja brojeva nije pozicijski.

Kasnije se razvilo pojednostavljeno hijeratsko pismo (svecenicko pismo) koje je uvedeno za

brzo pisanje po papirusu, drvu ili loncariji.

Slika 5: Hijeratski brojevi

5

Koristeni brojevni sustav je dekadski, s posebnim znakovima za brojeve 1, 10, 100, 1000,

10000, 100000 i 1000000. Osim cetiri osnovne racunske operacije, znali su vaditi kvadratne

korijene. Mnozenje i djeljenje Egipcana se svodi na udvostrucavanje i zbrajanje.

Poznavali su samo jedinicne razlomke, tj. razlomke s brojnikom 1. Pisali su ih tako da

zapisu nazivnik i iznad njega stave simbol otvorenih usta. Svi razlomci su se zapisivali kao zbroj

jedinicnih razlomaka, danas se takav zapis naziva egipatski razlomak.

Slika 6: Zapis razlomka 15

Pisanje brojeva, kao i zbrajanje ili oduzimanje prirodnih brojeva nije vise predstavljalo

nikakvu poteskocu. Negativni brojevi i nistica jos nisu postojali. Egipcani su gotovo 1000

godina prije stvarnog otkrica broja π znali njegovu pribliznu vrijednost. Po njihovim racunima

π bi iznosio priblizno 3.1605.

2.2 Babilonska matematika

Mezopotamija je podrucje izmedu i oko Eufrata i Tigrisa. Govoreci o matematici stare

Mezopotamije podrazumijevamo ostavstinu Sumerana, Babilonaca, Asiraca, . . .

Babilonska matematika je naprednija od egipatske. Babilonci su razvili klinasto pismo, ure-

zivali su znakove u plocice od meke gline koje su kasnije pecene na suncu. Mnoge glinene plocice

su sacuvane, a na njima se nalaze zadaci i tablice.

Slika 7: Glinena plocica

6

Babilonci su koristili seksagezimalni sustav, tj. brojevni sustav s bazom 60. Brojevi su se

oznacavali pomocu dva osnovna klina oblika ∨ za 1 i oblika < za 10. Pisalo se s lijeva u desno,

a sustav je bio pozicijski bez apsolutne pozicije.

Slika 8: Seksagezimalni sustav

U pocetku zapis nije bio jedinstven jer nije bilo oznake za 0. Kasnije se pojavljuje i znak za

0, ali se koristi samo kada je 0 potrebna ”usred” broja. Vise razlomaka je imalo konacan zapis

jer baza 60 ima vise djelitelja od baze 10.

Mnogo stotina tablica u klinastom pismu se bavi ili problemima koje bismo danas zvali

algebarskim, ili geometrijskim odnosima. Po svemu tome vidimo da je babilonska aritmetika bila

visoko razvijena. Babilonci su znali rjesavati linearne i kubne jednadzbe, poznavali su Pitagorin

teorem i pitagorejske trojke. Opseg kruga i obujam kruznog valjka racunali su u starije vrijeme

s aproksimacijom 3 za broj π, no kasnije su Babilonci za broj π uzimali aproksimaciju 3.125.

Sa svojim vjestim i genijalnim metodama izracuna ostavili su znatan utjecaj na kasniji razvoj

aritmetike i algebre.

2.3 Grcka matematika

Poceci grcke matematike pojavljuju se u Joniji (zapadna Turska), a razvoj se nastavlja u

juznoj Italiji.

Brojevni sustav Grka u pocetku je bio slican egipatskom, ali oko 450. godine pr. Kr. pocinju

koristiti brojevni sustav koji se sastoji od 24 slova grcke abecede (alfabeta) s 3 dodatna pomocna

simbola, za brojeve 6, 90 i 900. Pomocu tih 27 simbola mogli su pisati brojeve do 1000.

Simbol za broj 0 nisu imali. Stavljanjem zareza ispred simbola za neki broj pisali su brojeve

od 1000 do 10000. Za brojeve iznad 10 000 koriste simbol M. Brojevni sustav je dekadski, iako

nije pozicijski.

7

Slika 9: Grcki brojevni sustav

Pitagorejci4 su vjerovali da je sve broj i da se sve moze shvatiti preko brojeva i njihovih

omjera. Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva. Proucavali su svojstva parnih i neparnih

brojeva, savrsene i prijateljske brojeve, te razne figurativne brojeve.

Figurativni brojevi su prirodni brojevi koje mozemo prikazati slaganjem kamencica u ge-

ometrijske likove. Geometrijsko predocavanje prirodnih brojeva tockicama ili kvadraticima

omogucuje zorno izvodenje raznih algebarskih svojstava i relacija. Jednom tockicom ili kvadraticem

prikazan je broj 1, a slaganjem tockica ili kvadratica u odredene oblike dobivaju se ostali prirodni

brojevi.

Slika 10: Figurativni brojevi

Pitagorejcima je bio problem definirati sto je broj. Euklid5 je u ”Elementima” (knjiga VII,

definicija 2) definirao broj kao ”mnostvo koje se sastoji od jedinica”. ”Elementi” predstavljaju

sintezu sve dotad poznate matematike u 13 knjiga.

4Sljedbenici ucenja grckog filozofa Pitagore (oko 570. - 500. pr. Kr.).5Euklid (330. pr. Kr. - 275. pr. Kr.), grcki matematicar, njegovo najznacajnije djelo su ”Elementi”.

8

Prvo sustavno razmatranje racionalnih brojeva nalazi se u VII knjizi Euklidovih Elemenata

koja se bavi omjerima prirodnih brojeva.

Grci su samo prirodne brojeve smatrali brojevima. Razlomke su shvacali kao omjere brojeva,

a iracionalne brojeve kao odnos izmedu nesumjerljivih velicina u geometriji.

Arhimed6 je prvi precizno definirao interval 22371

< π < 227

, cija je sredina 3.1418, koja od

broja π odstupa za priblizno 0.0002.

Hipasus7 je tvrdio da postoje segmenti linije ciji su elementi nesumjerljivi. Ovo otkrice je

dovelo u pitanje jedno od osnovnih nacela grcke filozofije, da se sve moze izraziti preko cijelih

brojeva. Obrada omjera linija segmenata izasla je iz mjerenja zaposlenih u praksi. Segment a

linije se mjerio polaganjem jedinicnih linija mjere e, jedne za drugom duz linije, onoliko puta

koliko je potrebno.

a = e+ ...+ e︸ ︷︷ ︸m

= m · e

Za dva segmenta a0 i a1 govorilo se da su sumjerljiva ako se oba mogu izmjeriti sa istom

mjerom e, tako da je a0 = m · e i a1 = n · e, m i n su prirodni brojevi. U tom slucaju je omjer

segmenata a0 : a1 jednak omjeru prirodnih brojeva m : n.

Simbol koji su Pitagorejci koristili bio je Pentagram, koji je sadrzavao moc i u srednjov-

jekovnoj astrologiji.

Slika 11: Pentagram

Hipasus je radeci na Pentagramu otkrio da dvije linije unutar njega nisu sumjerljive.

Grcki matematicar Eudoks je stvorio geometrijsku teoriju proporcija koja se bavi s nesum-

jerljivim i sumjerljivim velicinama. Eudoks krece od pozitivne geometrijske velicine kao sto je

6Arhimed iz Sirakuze (287. pr. Kr. - 212. pr. Kr.), jedan od trojice najgenijalnijih matematicara svihvremena, bio je vrhunac helenske matematike i najveci fizicar starog vijeka

7Grcki filozof, rodio se oko 500. godine pr. Kr. u Magna Graciji (jugoistocna Italija).

9

vrsta, npr. linija segmenata a, b, . . . , ili podrucja A, B, . . . . Postavlja da se velicine iste vrste

mogu zbrojiti i pretpostavlja da kod zbrajanja vrijede zakoni komutativnosti i asocijativnosti.

Grci nikad nisu smatrali racionalne i iracionalne omjere kao prosirenje domene prirodnih

brojeva.

2.4 Indijska i Arapska matematika

Staroindijska matematika bila je pretezno ˝aritmeticko-algebarski˝ orijentirana. Indijci su

razvili pravila za provodenje aritmetickih operacija (zbrajanje, oduzimanje, mnozenje, dijeljenje,

kvadriranje, kubiranje, odredivanje kvadratnog ili kubnog korijena) na temelju dekadskog sus-

tava. Koriste dekadski brojevni sustav sa znamenkama 1, ..., 9. U 3. st. pr. Kr. pojavljuju se

brahmanski brojevi koji su kroz vrijeme modificirani do Gupta-znamenki.

Slika 12: Gupta-znamenke

Nulu indijci nazivaju ”sunya” sto znaci praznina, a znak 0 koriste od 4. stoljeca. Indijci

su znacajni po uvodenju negativnih brojeva. Imali su znakove za pozitivne i negativne bro-

jeve. Uocili su postojanje pozitivnog i negativnog kvadratnog korijena, te nemogucnost vadenja

kvadratnog korijena iz negativnog broja.

Indijski matematicar Brahmagupta (598. - 670.) je prvi koji je dao sustavan prikaz pravila

rada s negativnim (racionalnim) brojevima. Negativne brojeve interpretira kao dug, a pozitivne

kao blago (imanje). Matematicar Sridhara (850. - 950.) postavio je aritmeticka pravila za

operacije s nulom.

Indijski nacin zapisivanja brojki bio je temelj europskom nacinu zapisivanja koji je danas jako

prosiren. No, oni nisu odmah preneseni iz Indije u Europu vec je njihov medij bio arapski narod.

Do 10. stoljeca u arapskim su se zemljama koristila tri tipa aritmetike. Prvi tip bio je racun na

prste koji koriste trgovci i racunovode, a brojevi su se pisali rijecima. Drugi tip je seksagezimalni

sustav kod kojeg se brojevi oznacavaju arapskim slovima, a koristio se za astronomiju. Posljednji

tip aritmetike je indijski dekadski sustav. Znamenke su preuzete iz Indije, ali bez standardnog

skupa simbola, u raznim krajevima koristili su se razliciti oblici simbola.

10

Slika 13: Arapske znamenke

Posljednji sustav omogucio je napredak numerickih metoda, npr. racunanje korijena, otkrice

binomnog teorema za prirodne eksponente, aproksimaciju transcendentnih realnih brojeva i

racunanje n-tih korijena. Arapi su koristili rijec ”al-sifr” za nulu, od koje je dosla rijec ”cifra”

koja se koristi kasnije.

Arapski matematicar Abu Kamil (850. - 930.) znao je raditi sa izrazima koji su ukljucivali

kvadratne korijene koristeci pravila. Jedno od pravila koje je koristio:

√p+√q =

√p+ q + 2 · · · √pq

Arapi su najpoznatiji po svojim dostignucima u algebri i teoriji brojeva, ali su bitno doprinjeli

i geometriji, trigonometriji i matematickoj astronomiji.

2.5 Matematika novog vijeka

Indoarapska aritmeticka praksa sirila se diljem zapadnog svijeta preko aritmetickih udzbenika.

U renesansno doba omogucila je uspjeh talijanskih matematicara u rjesavanju algebarskih jed-

nadzbi.

U renesansi se pocinje sustavno razvijati matematicka notacija. Kao oznake za nepoznanicu

i njen kvadrat vrlo su rasirene latinske rijeci ”res” i ”census”. Prije uvodenja oznaka za racunske

operacije i relacije koristile su se kratice (ili cak cijele rijeci) tih pojmova na latinskom, talijan-

skom, spanjolskom ili nekom drugom jeziku. U 16. stoljecu uvode se oznake ”+”, ”−”, ”=”,

”<”, ”>”, ”√

”.

Njemacki matematicar Stifel bavio se aritmetikom i algebrom. Kod njega se spominje ira-

cionalnost brojeva, kaze da iracionalni broj ne moze biti racionalan, ali moze biti izmedu dva

racionalna. Promatra samo pozitivne brojeve, a negativne smatra apstraktnim. Rekao je da

negativni brojevi nisu samo besmisleno brbljanje, vec da nije beskorisno izmisliti brojeve ispod

nule, tj. izmisliti fiktivne brojeve koji su manji nego nista.

Euler8 je formulirao kriterij konvergencije za redove u smislu beskonacnosti. Osim ”konacnog”

8Leonhard Euler (1707. - 1783.), svicarski matematicar, fizicar i astronom.

11

i ”stvarnog” broja, koji su se koristili u mjerenju, pojavljuju se ”beskonacni” i ”idealni” brojevi.

Takvi izrazi su u 19. stoljecu zabranjeni jer su previse neprecizni.

Francuski matematicar Cauchy (1789. – 1857.) u svom dijelu ”Cours d’analyse” formirao je

kriterij konvergencije, koji je nazvan po njemu, i smatra se zakonom aritmetike.

Slika 14: Augustin-Louis Cauchy

Interpretacija omjera kao razlomaka i prosirivanja domene cijelih brojeva pojavljuje se u 19.

stoljecu. Ceski matematicar Bolzano (1781. – 1848.) je u svom radu ”Reine Zahlenlehre” razvio

teoriju racionalnih brojeva.

Centralna ideja koncepta realnog broja, koju je vizualizirao Weierstrass9, izrazena je u smislu

nacela gnijezdenja intervala.

Iako su matematicari od pocetka matematicke znanosti radili sa brojevima i otkrivali teoreme

o brojevima, tek je u 19. stoljecu dana pogodna matematicka definicija koncepta broja. Nakon

Dedekinda i Cantora definirani su realni brojevi kao i skup racionalnih brojeva. Tada je slijedila

klasicna definicija prirodnih brojeva u smislu logike i teorije skupova.

Spoznaja da se prosirenje prirodnih brojeva na cijele i racionalne brojeve jos uvijek moze

smatrati temom algebre, usko je povezana s uvodenjem temeljnih algebarskih ideja teorije prstena

i teorije polja.

9Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815. – 1897.) bio je njemacki matematicar koji se cesto navodi kao”otac moderne analize”.

12

3 Prirodni brojevi

3.1 Definicija skupa prirodnih brojeva

Skup prirodnih brojeva oznacavamo sa N. Dedekind je skup prirodnih brojeva opisao kao

skup koji sadrzi istaknuti element 0 zajedno sa funkcijom sljedbenika s : N→ N, te koji zadovol-

java sljedece aksiome:

(D1) s je injekcija,

(D2) 0 /∈ s(N),

(D3) Ako podskup M ⊂ N sadrzi 0 i preslika se u sebe sama po s, tada je M = N.

Funkcija sljedbenika s opisuje proces izgradivanja skupa N. Ideja je da s dodijeli svakom

prirodnom broju n njegov sljedbenik s(n).

Prvi aksiom nam pokazuje da se u izgradivanju skupa N isti broj ne susrece vise puta. Drugi

aksiom izrazava cinjenicu da je 0 pocetna tocka procesa izgradivanja skupa N ili da se 0 nikad nije

nasla kao sljedbenik u procesu izgradivanja. Treci aksiom je formulacija Principa matematicke

ili potpune indukcije.

Princip matematicke ili potpune indukcije: Ako 0 posjeduje neko svojstvo m (pocetak induk-

cije) i ako, za svaki broj n koji ima svojstvo m, njegov sljedbenik s(n) isto ima svojstvo m (korak

indukcije), tada to svojstvo imaju svi prirodni brojevi.

Ekvivalentnost ovog nacela sa trecim aksiomom se vidi kada se svojstvo m zamijeni s pod-

skupom M brojeva koji posjeduju to svojstvo.

Definicija 1. Za skup M kazemo da je beskonacan ako postoji injektivno preslikavanje f : M →M takvo da je f(M) 6= M .

Ova definicija govori o tome da samo beskonacni skupovi mogu biti injektivno preslikani na

jedan od svojih pravih podskupova. Ovu definiciju je dao Dedekind u knjizi Was sind und was

sollen die Zahlen?. Umjesto izraza injektivno preslikavanje, Dedekind je koristio izraz ”preslika-

vanje slicnosti”.

Teorem 1. Postoji beskonacan skup ako i samo ako postoji skup N koji zadovoljava aksiome

(D1) - (D3).

13

Dokaz: Neka postoji beskonacan skup A. Tada po definiciji postoji injektivno preslikavanje

f : A → A takvo da je f(A) 6= A. Tada mora postojati element 0 ∈ A takav da je 0 /∈ f(A).

Neka je I klasa svih skupova M ⊂ A sa svojstvom 0 ∈ M i f(M) ⊂ M . Vidimo da je I 6= ∅.Mozemo definirati

⋂M∈I M . Ovaj skup zadovoljava aksiome (D1) - (D3), ako se uzme f |M kao

funkcija sljedbenika s.

Obratno, ako postoji skup N koji zadovoljava aksiome (D1) - (D3), tada po aksiomima (D1)

i (D2) mora postojati beskonacan skup, pa stavimo da je f = s.

�

Dedekind je takoder dokazao postojanje beskonacnog skupa, ali je bio baziran na

nekonzistentnom konceptu skupa svih skupova. Govori o ”jednostavnim beskonacnim sustavima”.

Konstrukcija N dana u dokazu ovisi o izboru A, f i 0.

Talijanski matematicar Giuseppe Peano (1858. - 1932.) opisao je prirodne brojeve pomocu

aksioma.

(P1) 1 ∈ N,

(P2) ako je n ∈ N, onda je s(n) ∈ N,

(P3) ako je n ∈ N, onda je s(n) 6= 0,

(P4) ako je s(m) = s(n), onda je m = n, za brojeve m,n ∈ N,

(P5) ako je M ⊆ N i ako vrijedi:

1. 1 ∈M ,

2. ako za n ∈M slijedi s(n) ∈M , za svaki n ∈ N

onda je M = N.

Peano je 1889. godine iznio set od 9 aksioma u svojoj knjizi ”Aritmetices principia nova

methodo axposita”. Za razliku od Dedekinda, kod Peana je broj 1 bio istaknuti element.

Danas skup prirodnih brojeva definiramo pomocu Peanovih aksioma.

14

Definicija 2. Neprazni skup N zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi elementi prirodni bro-

jevi, ako vrijede sljedeci aksiomi:

(A1) Postoji funkcija s : N→ N.

(A2) Postoji barem jedan element u N, oznacimo ga s 1, takav da je (∀n ∈ N)s(n) 6= 1.

(A3) Ako je s(m) = s(n), onda je m = n, za brojeve m,n ∈ N.

(A4) Ako je M ⊆ N i ako vrijedi:

1. 1 ∈M ,

2. ako za (∀n ∈ N)(n ∈M → s(n) ∈M),

onda je M = N.

Skup N, koji zadovoljava navedena cetiri aksioma, ima sva ona svojstva za koja vjerujemo

da ih ima skup prirodnih brojeva s kojim se sluzimo u svakodnevnom zivotu. Cetvrti aksiom

koristimo pri dokazivanju teorema i prilikom rekurzivnog definiranja funkcija na N.

3.2 Teorem rekurzije i jedinstvenost skupa N

Novi koncepti vezani uz prirodne brojeve su vecim dijelom uvedeni rekurzivno, govore o

induktivnim definicijama.

Neka je A neprazan skup, a ∈ A. Pomocu funkcije g : A→ A definirajmo funkciju ϕ : N→ A

na rekurzivini nacin: najprije broju 1 pridruzimo element a ∈ A; tj. definiramo da je ϕ(1) = a.

Funkcija g pridruzuje elementu a novi element b iz A, a funkcija s broju 1 broj s(1). Sada

definiramo da je ϕ(s(1)) = g(a) = b. Taj postupak se nastavlja.

Teorem 2. (Teorem rekurzije) (Dedekind 1888.) Neka je A proizvoljan skup koji sadrzi a,

a ∈ A. Neka je g dano preslikavanje g : A → A. Tada postoji jedno i samo jedno preslikavanje

ϕ : N→ A takvo da je

ϕ(0) = a i ϕ ◦ s = g ◦ ϕ.

15

Dokaz: Da bi dokazali jedinstvenost preslikavanja ϕ, uzimamo dva preslikavanja ϕ1 i ϕ2 iz Nu A sa danim svojstvima. Indukcijom po n treba pokazati da za sve n vrijedi ϕ1(n) = ϕ2(n).

Indukcija pocinje s ϕ1(0) = a = ϕ2(0). Po induktivnoj pretpostavci, ϕ1(n) = ϕ2(n) slijedi da je

ϕ1(s(n)) = g(ϕ1(n)) = g(ϕ2(n)) = ϕ2(s(n)).

Da bi dokazali postojanje preslikavanja ϕ, uzmemo sve podskupove B ⊂ N × A koji imaju

sljedeca svojstva:

(1) (0, a) ∈ B,

(2) ako je (n, b) ∈ B, tada je (s(n), g(b)) ∈ B, za sve n, b.

Sa F oznacimo familiju svih skupova B. Buduci da cijeli skup B ⊂ N × A i svi skupovi B

sadrze element (0, a), presjek C =⋂

B∈F je najmanji podskup od N×A koji zadovoljava svojstva

(1) i (2). Tvrdimo da je C slika preslikavanja ϕ : N → A i dokazujemo tvrdnju potpunom

indukcijom.

Neka je (0, a) ∈ C. Ako je (0, c) ∈ C, c 6= a, tada mozemo ukloniti (0, c) iz C. Skup D \ (0, c)

bi i dalje imao svojstva (1) i (2), sto je u kontradikciji s cinjenicom da je C najmanji takav skup.

Po induktivnoj pretpostavci postoji samo jedan b takav da je (n, b) ∈ C. Po svojstvu (2)

imamo (s(n), g(b)) ∈ C. Ako su (s(n), c) ∈ C i c 6= g(b), tada se jedan od (s(n), c) moze ukloniti

iz D. Po istoj tvrdnji koja je koristena na pocetku indukcije, trebali bi doci do kontradikcije.

Kada je dokazano da za svaki n ∈ N postoji samo jedan b takav da je (n, b) ∈ C, C se moze

opisati kao slika preslikavanja ϕ : N → A, D = (n, ϕ(n)) | n ∈ N. Po svojstvu (1) za C slijedi

ϕ(0) = a i po svojstvu (2) slijedi da je (s(n), g(n)) ∈ C, pa slijedi da je ϕ ◦ s(n) = g ◦ ϕ(n), za

svaki n.

�

Iz Teorema rekurzije slijedi Teorem jedinstvenosti skupa N.

Teorem 3. (Teorem jedinstvenosti) Neka je N′ skup sa funkcijom sljedbenika s′, koji sadrzi

istaknuti element 0 i zadovoljava aksiome (D1) - (D3). Tada su N i N′ kanonski izomorfni,

odnosno postoji samo jedno bijektivno preslikavanje ϕ : N→ N′ takvo da je

ϕ(0) = 0′ i s′ ◦ ϕ = ϕ ◦ s.

Dokaz: Po Teoremu rekurzije stavimo da je A = N′, a = 0′ i ϕ = s′. Tada postoji samo jedno

preslikavanje ϕ : N→ N′ takvo da je ϕ(0) = 0′ i ϕ◦s = s′ ◦ϕ. Zamijenom uloga N i N′, dobivamo

16

preslikavanje ψ : N′ → N takvo da vrijedi ψ(0′) = 0 i ψ ◦ s′ = s ◦ ψ. Trebamo dokazati

da je ψ ◦ϕ = id. Koristimo tvrdnju jedinstvenosti rekurzivnog teorema za A = N, a = 0 i g = s.

ψ ◦ ϕ i id zajedno su preslikavanja φ : N → N za koje vrijedi φ(0) = 0 i φ ◦ s = s ◦ φ, dakle

ψ ◦ ϕ mora biti jednak identiteti. Slicno za ϕ ◦ ψ = id.

�

3.3 Zbrajanje, mnozenje i uredenost prirodnih brojeva

3.3.1 Zbrajanje

Zbrajanje m + n je definirano za svaki fiksan broj m. Pocinjemo od m + 1 = s(m) i

nastavljamo rekurzivnom formulom m + s(n) = s(m + n). Ovdje primjenjujemo rekurzivni

teorem za A = N, a = m, g = s i ϕ(n) = m + n. Slijedi za 1 := s(0) da je m + 1 = s(m)

sljedbenik od m.

Definirajmo zbrajanje na skupu N.

Definicija 3. Funkcija f : N× N→ N za koju vrijedi

(1) (∀m ∈ N) f(m, 1) = s(m),

(2) (∀m ∈ N)(∀n ∈ N) f(m, s(n)) = s(f(m,n)),

zove se zbrajanje na skupu N i umjesto f(m,n) pisemo m + n. Brojevi m i n su pribrojnici, a

broj m+ n je zbroj.

Teorem 4. (Asocijativnost zbrajanja) Za proizvoljne brojeve k,m, n ∈ N vrijedi

(k +m) + n = k + (m+ n).

Dokaz: Za proizvoljne k,m ∈ N s Mk,m oznacimo skup svih prirodnih brojeva n takvih da je

(k +m) + n = k + (m+ n). Dokazimo da je Mk,m = N.

Vrijedi:

(k +m) + 1 = f(k +m, 1) = s(k +m),

i

k + (m+ 1) = k + f(m, 1) = k + s(m) = f(k, s(m)) = s(f(k,m)) = s(k +m),

17

pa dobivamo da je

(k +m) + 1 = k + (m+ 1),

odnosno, dobili smo da je 1 ∈Mk,m.

Neka je n ∈Mk,m, treba pokazati da je s(n) ∈Mk,m.

Vrijedi:

(k +m) + s(n) = f(k +m, s(n)) = s(f(k +m,n)) = s((k +m) + n)

i

k + (m+ s(n)) = k + f(m, s(n)) = k + s(f(m,n)) = f(k, s(m+ n))

= s(f(k,m+ n)) = s(k + (m+ n)).

Dobivamo:

(k +m) + s(n) = s((k +m) + n),

k + (m+ s(n)) = s(k + (m+ n)).

Po pretpostavci je n ∈Mk,m, pa vrijedi (k +m) + n = k + (m+ n), pa je tada i

s((k +m) + n) = s(k + (m+ n)).

Slijedi da je

(k +m) + s(n) = k + (m+ s(n)),

pa je s(n) ∈Mk,m.

Skup Mk,m posjeduje sva svojstva potrebna za primjenu aksioma (A4), pa onda slijedi da je

Mk,m = N, sto smo trebali dokazati.

�

Teorem 5. (Komutativnost zbrajanja) Za proizvoljne brojeve k,m ∈ N vrijedi

k +m = m+ k.

18

Dokaz: Za dani k ∈ N s Kk oznacimo skup svih prirodnih brojeva m takvih da je k + m =

m+ k. S K oznacimo skup svih prirodnih brojeva k takvih da je Kk = N. Treba dokazati da su

u skupu K svi prirodni brojevi.

Po dokazanoj asocijativnosti prirodnih brojeva imamo:

1 + s(m) = 1 + (m+ 1) = (1 +m) + 1,

Ako je m ∈ K1, vrijedi m+ 1 = 1 +m, pa dobivamo

1 + s(m) = (1 +m) + 1 = s(m) + 1,

pa je i s(m) ∈ K1. Kako je 1 + 1 = s(1) = 1 + 1, tada je 1 ∈ K1. Po aksiomu (A4) slijedi da je

K1 = N, pa vrijedi 1 ∈ N.

Uzmimo neki k ∈ N takav da je k ∈ K, odnosno Kk = N. Tada je za bilo koji m ∈ Nispunjeno

m+ k = k +m.

Zbog K1 = N po dokazanoj asocijativnosti zbrajanja prirodnih brojeva slijedi

m+ s(k) = m+ (k + 1) = (m+ k) + 1 = (k +m) + 1

= 1 + (k +m) = (1 + k) +m = (k + 1) +m = s(k) +m,

odnosno s(k) ∈ K. Po (A3) zakljucujemo da je K = N, tj. da vrijedi tvrdnja teorema.

�

3.3.2 Mnozenje

Mnozenje je operacija viseg reda od zbrajanja. Operacija mnozenja m · n, s fiksnim brojem

m moze se definirati pocevsi od m · 1 = m rekurzivnom formulom m · (n+ 1) = m · n+m.

Definicija 4. Funkcija g : N× N→ N za koju vrijedi

(1) (∀m ∈ N) g(m, 1) = m,

(2) (∀m ∈ N)(∀n ∈ N) g(m, s(n)) = g(m,n) +m,

19

zove se mnozenje na skupu N i umjesto g(m,n) pisemo mn.

Kod umnoska mn brojeve m i n nazivamo faktorima, m je prvi faktor, a n je drugi faktor.

Teorem 6. (Asocijativnost mnozenja) Za proizvoljne brojeve k,m, n ∈ N vrijedi

k(mn) = (km)n.

Dokaz: Za proizvoljne brojeve k,m ∈ N definiramo

Mk,m = {n ∈ N : k(mn) = (km)n}.

U skupu Mk,m je broj 1 jer je

k(m1) = km = (km)1.

Ako je n ∈Mk,m, ako vrijedi k(mn) = (km)n, koristenjem asocijativnosti tada je

k(ms(n)) = k(mn+m) = k(mn) + km = (km)n+ km = kms(n),

pa je s(n) ∈Mk,m. Prema aksiomu (A4) slijedi Mk,m = N. Teorem je dokazan te za sve prirodne

brojeve k,m, n ∈ N vrijedi

k(mn) = (km)n.

�

Teorem 7. (Komutativnost mnozenja) Za proizvoljne brojeve m,n ∈ N vrijedi

mn = nm.

Dokaz: Za prizvoljan broj m ∈ N definiramo

Mm = {n ∈ N : mn = nm}.

Definiramo

M = {m ∈ N : Mm = N}.

20

U skupu Mm je broj 1 jer je 1 · 1 = 1.

Ako je n ∈M1, ako vrijedi 1n = n1, koristenjem distributivnosti imamo

1s(n) = 1(n+ 1) = 1n+ 1 = n1 + 1 = n+ 1 = s(n) = s(n)1,

pa je s(n) ∈M1. Prema aksiomu (A4) slijedi M1 = N, odnosno 1 ∈M .

Pretpostavimo da je m ∈M , tj. Mm = N. Treba pokazati da je s(m) ∈M .

s(m)n = (m+ 1)n = mn+ 1n = mn+ n1 = nm+ n1 = n(m+ 1) = ns(m).

Zbog s(m)n = ns(m) je Ms(m) = N, tj. s(m) ∈ M , Prema aksiomu (A4) slijedi M = N.

Dakle,

(∀m ∈ N) Mm = N,

pa vrijedi

(∀m ∈ N)(∀n ∈ N) mn = nm.

�

Teorem 8. (Distributivnost mnozenja) Za proizvoljne brojeve k,m, n ∈ N vrijedi

1. k(m+ n) = km+ kn,

2. (k +m)n = kn+mn.

Dokaz: Za proizvoljne brojeve k,m ∈ N definiramo

Mk,m = {n ∈ N : k(m+ n) = km+ kn}.

Znamo da vrijedi

k(m+ 1) = ks(m) = km+ k = km+ k · 1,

pa je broj 1 u skupu Mk,m.

21

Ako je n ∈Mk,m, tj. ako je k(m+ n) = km+ kn, koristenjem asocijativnosti dobivamo:

k[m+ s(n)] = k[m+ (n+ 1)] = k[(m+ n) + 1] = ks(m+ n)

= k(m+ n) + k = km+ kn+ k = km+ ks(n),

pa je s(n) ∈Mk,m. Prema aksiomu (A4) slijedi Mk,m = N.

Prva tvrdnja je dokazana jer za sve prirodne brojeve k,m, n ∈ N vrijedi

k(m+ n) = km+ kn.

Dokaz druge tvrdnje je slican, pa ga necemo navoditi.

�

3.3.3 Uredenost skupa N

Uredaj na skupu prirodnih brojeva definiramo na sljedeci nacin:

Definicija 5. Neka su m,n ∈ N. Broj m je manji od broja n, tj. m < n ako i samo ako postoji

p ∈ N takav da je m + p = n. Broj m je manji ili jednak broju n, tj. m ≤ n ako vrijedi m < n

ili m = n.

Za relaciju uredaja ”≤” vrijedi:

1. Refleksivnost: n ≤ n, (∀n ∈ N).

2. Antisimetricnost: ako je n ≤ m i m ≤ n, tada je n = m, (∀m,n ∈ N).

3. Tranzitivnost: ako je n ≤ m i m ≤ p, tada je n ≤ p, (∀m,n, p ∈ N).

Relacija strogog uredaja < je povezana s operacijama zbrajanja i mnozenja na skupu N:

1. Ako je m = n+ p, onda je

mk = (n+ p)k = nk + pk, k ∈ N,

pa n < m povlaci nk < mk.

2. Ako je m = n+ p i m′ = n′ + p′, tada je

m+m′ = (n+ n′) + (p+ p′),

pa n < m i n′ < m′ povlaci n+ n′ < m+m′.

Ovakav uredaj skupa N nazivamo prirodnim uredajem.

22

4 Cijeli brojevi

4.1 Definicija skupa cijelih brojeva

Cijeli brojevi se uvode zbog toga sto je oduzimanje neizvedivo u skupu prirodnih brojeva.

Svaki cijeli broj se moze izraziti kao razlika a − b, gdje su a i b prirodni brojevi. Iz ovoga se

vidi da cijele brojeve treba promatrati kao uredene parove (a, b). Drugi ureden par (c, d) moze

opisati isti broj a− b = c− d ako i samo ako vrijedi a+ d = b+ c. Za cijele brojeve vrijedi:

1. (a− b) + (c− d) = (a+ c)− (b+ d),

2. (a− b)(c− d) = (ac+ bd)− (ad+ bc).

Stoga cemo pomocu relacije ekvivalencije ∼ na skupu N× N definirati skup cijelih brojeva.

Definicija 6. Neka je ∼ relacija ekvivalencije na skupu N× N definirana s

(a, b) ∼ (c, d) ako i samo ako je a+ d = b+ c.

Skup N× N/ ∼ nazivamo skupom cijelih brojeva.

Skup cijelih brojeva oznacavamo sa Z, a njegove elemente nazivamo cijelim brojevima.

Skup cijelih brojeva Z unija je skupa prirodnih brojeva N, nule i skupa negativnih cijelih

brojeva {−1,−2,−3, . . . }.

4.2 Zbrajanje i mnozenje cijelih brojeva

Na skupu cijelih brojeva mozemo definirati zbrajanje i mnozenje:

(a, b) + (c, d) := (a+ c, b+ d),

(a, b)(c, d) := (ac+ bd, ad+ bc).

Kao kod skupa prirodnih brojeva N, i u skupu cijelih brojeva Z vrijede komutativnost, aso-

cijativnost i distributivnost.

Skup cijelih brojeva sadrzi element 0, kojeg zovemo neutralni element za zbrajanje i vrijedi:

a+ 0 = 0 + a = a

za svaki a ∈ Z , 0 je jedini element s ovim svojstvom.

23

Neutralni element za mnozenje kod cijelih brojeva je element 1.

Cijeli broj b je inverz cijelog broja a ako vrijedi:

a+ b = b+ a = 0

Element b nazivamo suprotnim ili inverznim elementom elementa a, on je jedinstveno odreden

i oznacavamo ga s −b. Kod mnozenja ne postoji suprotni element jer djeljenje nije definirano u

skupu cijelih brojeva.

Zbroj b+ (−a) pise se kao b− a i zove se razlika elemenata b i a.

Cijeli brojevi tvore komutativnu grupu s obzirom na zbrajanje. Njen neutralni element je

broj nula, a suprotni element od a je −a.

Definicija 7. Grupa (G, ∗) se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije ∗ : G×G→ G,

koja zadovoljava sljedece aksiome:

(G1) Zatvorenost binarne operacije ∗: (∀x, y ∈ G) x ∗ y ∈ G,

(G2) Binarna operacija ∗ je asocijativna: (∀x, y, z ∈ G) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z),

(G3) U G postoji neutralni element e: (∀x ∈ G) x ∗ e = e ∗ x = x,

(G4) U G postoji inverzni element x′ od x: (∀x ∈ G) x ∗ x′ = x′ ∗ x = e.

Za grupu (G, ∗) kazemo da je komutativna ili Abelova10 ako vrijedi i komutativnost:

(G5) (∀x, y ∈ G) x ∗ y = y ∗ x.

4.3 Uredenost skupa Z

Relaciju uredaja na skupu Z definiramo na sljedeci nacin:

a ≤ b ako i samo ako b− a ∈ N.

Za svaka tri cijela broja a, b i c vrijedi: a < b ∧ b < c =⇒ a < c.

Za relaciju uredaja ”≤” kod cijelih brojeva, kao i kod prirodnih, vrijede refleksivnost, anti-

simetricnost i tranzitivnost.

10Niels Henrik Abel (1802. - 1829.) bio je norveski matematicar. Poznat je po radovima na polju vise algebre,teorije grupa, integralnog racuna i teorije elipticnih funkcija.

24

Teorem 9. Za elemente skupa Z vrijedi:

1. (a > 0 ∧ b > 0) =⇒ (a+ b > 0),

2. (a > 0 ∧ b > 0) =⇒ (ab > 0),

3. (a < 0 ∧ b < 0) =⇒ (ab > 0),

4. (a > 0 ∧ b < 0) =⇒ (ab < 0),

5. (a < b) =⇒ (∀c ∈ Z)(a+ c < b+ c),

6. ab = 0 =⇒ (a = 0 ∨ b = 0),

7. a 6= 0 =⇒ a2 = a · a > 0,

8. (ab = ac ∧ a 6= 0) =⇒ b = c.

Dokaz: Dokazimo samo drugu tvrdnju. Neka je τ funkcija projekcije vezana uz relaciju

ekvivalencije ∼ na skupu N×N, tj. projekcija τ svakom uredenom paru prirodnih brojeva (a, b)

pridruzuje odgovarajuci cijeli broj. Neka je

Z+ = {τ(n+ 1, 1) : n ∈ N},Z− = {τ(1, n+ 1) : n ∈ N},Z0 = {0}.

Neka su a, b ∈ Z takvi da je a > 0 i b > 0, znaci da je a ∈ Z+ i b ∈ Z+. Postoje m,n ∈ Ntakvi da je a = τ(m+ 1, 1), b = τ(n+ 1, 1).

Izracunajmo

ab = τ(m+ 1, 1)τ(n+ 1, 1)

= τ((m+ 1)(n+ 1) + 1 · 1, (m+ 1) · 1 + 1 · (n+ 1))

= τ(mn+m+ n+ 1 + 1,m+ 1 + n+ 1)

= τ(mn+ 1, 1).

Dokazali smo da je ab > 0 jer je τ(mn+ 1, 1) ∈ Z+.

�

25

5 Racionalni brojevi

5.1 Definicija skupa racionalnih brojeva

Skup racionalnih brojeva uveden je jer operacija dijeljenja nije uvijek moguca na skupu

cijelih brojeva. Racionalni broj je broj koji je nastaje dijeljenjem dva cijela broja. Moze se

napisati u obliku razlomka ab, gdje je a brojnik i b 6= 0 nazivnik, ili u obliku decimalnoga broja.

Definicija 8. Neka je ∼ relacija ekvivalencije na skupu Z× Z \ {0} definirana s

(a, b) ∼ (c, d) ako i samo ako je ad = bc.

Skup Q = Z× Z \ {0}/ ∼ nazivamo skupom racionalnih brojeva.

Skup racionalnih brojeva oznacavamo sa Q. Za skup racionalnih brojeva vrijedi:

a

b=c

d⇐⇒ ad = bc.

5.2 Zbrajanje i mnozenje racionalnih brojeva

Na skupu racionalnih brojeva, kao i na skupu cijelih brojeva, mozemo definirati zbrajanje i

mnozenje:

(a, b) + (c, d) := (ad+ bc, bd),

(a, b)(c, d) := (ac, bd).

Operacije zbrajanja i mnozenja racionalnih brojeva defnirane su pomocu zbrajanja i mnozenja

cijelih brojeva.

Zbrajanje i mnozenje su komutativne i asocijativne operacije na skupu racionalnih brojeva.

Mnozenje je i distributivno prema zbrajanju na Q.

Skup racionalnih brojeva, kao i skup cijelih brojeva, sadrzi neutralne elemente za zbrajanje i

mnozenje. Kao i kod cijelih brojeva, za zbrajanje je to element 0, a za mnozenje element 1.

S obzirom na zbrajanje racionalnih brojeva, za svaki broj x = pq

postoji suprotni ili inverzni

element y = −pq

koji je jedinstveno odreden:

x+ y = y + x = 0.

26

Kod operacije mnozenja svaki racionalni broj x = pq6= 0 ima inverzni element x−1 ( jednak q

p

za p > 0 ili −q−p za p < 0).

x · x−1 = x−1 · x = 1.

Skup racionalnih brojeva sa zbrajanjem i mnozenjem cini polje.

Definicija 9. Kazemo da je skup K polje ako na tom skupu imamo definirane dvije binarne

operacije, zbrajanje i mnozenje,

+: K ×K → K, (x, y) 7→ x+ y,

· : K ×K → K, (x, y) 7→ x · y,

takve da vrijede sljedeca svojstva za sve elemente x, y, z ∈ K:

(1) Asocijativnost zbrajanja: (x+ y) + z = x+ (y + z),

(2) neutralni element za zbrajanje: postoji jedinstveni element 0 ∈ K takav da je

x+ 0 = 0 + x = x,

(3) suprotni element za zbrajanje: za svaki x postoji jedinstveni element −x ∈ K takav da je

x+ (−x) = (−x) + x = 0,

(4) komutativnost zbrajanja: x+ y = y + x,

(5) asocijativnost mnozenja: (x · y) · z = x · (y · z),

(6) neutralni element za mnozenje: postoji jedinstveni element 1 ∈ K takav da je

x · 1 = 1 · x = x,

(7) reciprocni element za mnozenje: za svaki x 6= 0 postoji jedinstveni element x−1 ∈ K takav

da je x · (x−1) = (x−1) · x = 1,

(8) komutativnost mnozenja: x · y = y · x,

(9) distributivnost mnozenja prema zbrajanju: x · (y + z) = x · y + x · z.

27

5.3 Uredenost skupa Q

Za racionale brojeve x = pq

i y = rs

definiramo relaciju uredaja:

x ≤ y ako i samo ako je p · s ≤ r · q.

Relacija uredaja ”≤” na skupu racionalnih brojeva ima niz svojstava naslijedenih od relacije

uredaja na skupu cijelih brojeva: svaka su dva racionalna broja usporediva i relacija je anti-

simetricna i tranzitivna. Relacija je uskladena s operacijama zbrajanja i mnozenja na skupu

racionalnih brojeva. Zbog svih navedenih svojstava kazemo da je skup racionalnih brojeva Quredeno polje.

Definicija 10. Za uredeni skup (S,<) kazemo da je gust ako izmedu svaka dva elementa skupa

S postoji treci element skupa S, tj. ako vrijedi

(∀a ∈ S)(∀b ∈ S)(a < b −→ (∃c ∈ S)(a < c < b)).

Teorem 10. Skup Q je gust.

Dokaz: Neka su x, y proizvoljni elementi skupa Q za koje vrijedi x < y. Ako definiramo

z =x+ y

2∈ Q,

vrijedit ce x < z < y.

�

28

5.4 Skup cijelih brojeva kao podskup skupa racionalnih brojeva

Cijele brojeve m ∈ Z mozemo shvatiti kao racionalne brojeve predstavljene razlomcima m1

.

Uocimo da vrijedi:

m+ n←→ m+ n

1=m

1+n

1,

m · n←→ m · n1

=m

1· n

1.

Kod relacije uredaja vrijedi: m ≤ n u Z ako i samo ako je m1≤ n

1u Q.

Zbog toga skup cijelih brojeva Z shvacamo kao podskup skupa racionalnih brojeva Q

Z ⊂ Q

s operacijama zbrajanja i mnozenja racionalnih brojeva i relacijom uredaja na racionalnim bro-

jevima. Kaze se jos da operacije zbrajanja i mnozenja i relacija uredaja na skupu racionalnih

brojeva prosiruju operacije zbrajanja i mnozenja i relaciju uredaja na skupu cijelih brojeva.

29

6 Realni brojevi

6.1 Dedekindovi rezovi

Osim sto je skup racionalnih brojeva Q polje uz standardne operacije zbrajanja i mnozenja,

na skupu Q postoji i uredajna struktura. Pokazali smo da je skup Q ureden i pri tome taj uredaj

ima ova svojstva:

(a) (∀x ∈ Q)(∀y ∈ Q)(∀z ∈ Q)(x ≤ y ∧ y ≤ z −→ x ≤ z) (tranzitivnost relacije ≤),

(b) (∀x ∈ Q)(∀y ∈ Q)(x ≤ y ∧ y ≤ x −→ x = y) (antisimetricnost relacije ≤),

(c) (∀x ∈ Q)(∀y ∈ Q)(x ≤ y ∨ y ≤ x) (usporedljivost),

(d) (∀x ∈ Q)(∀y ∈ Q)(∀z ∈ Q)(x ≤ y −→ x+ z ≤ y + z),

(e) (∀x ∈ Q)(∀y ∈ Q)(0 ≤ x ∧ 0 ≤ y −→ 0 ≤ x · y).

Kazemo da je skup Q uredeno polje. U skupu Q vrijedi i

(f) (∀x ∈ Q)(∀y ∈ Q)(0 < x ∧ 0 ≤ y −→ (∃n ∈ N)y ≤ nx),

pa skup Q nazivamo arhimedskim poljem.

Definicija 11. Neka je S ureden skup, A njegov podskup. Kazemo da je skup A omeden

(ogranicen) odozgo ako postoji barem jedan element s skupa S (zvan majoranta) takav da je

za svaki element x skupa A ispunjeno x ≤ s.

Kazemo da je skup A omeden odozdo ako postoji barem jedan element r skupa S (zvan mino-

ranta) takav da je za svaki element x skupa A ispunjeno d ≤ x.

Kazemo da je A omeden skup ako postoje elementi r, s skupa S takvi da je za svaki element x

skupa A ispunjeno r ≤ x ≤ s.

Definicija 12. Za skup (K,+, ·,≤) kazemo da je skup realnih brojeva ako i samo ako su zado-

voljeni sljedeci aksiomi:

(R1) (K,+, ·) je polje.

(R2) ≤ je linearna relacija uredaja na K, kompatibilna sa zbrajanjem i mnozenjem.

30

(R3) Potpunost: Svaki neprazan podskup M od K, ogranicen odozdo, ima infimum u K.

Definicija 13. Donja granica s nekog uredenog skupa M je infimum od M (inf M) ako su sve

donje granice od M ≤ s. Inf M je najveca donja granica od M

6.1.1 Skup rezova R

Dedekindov rez je ureden par (α, β) dva skupa α, β ⊂ Q koji zadovoljava uvjete:

(1) Svaki racionalan broj pripada jednom od dva skupa α, β.

(2) α i β su neprazni skupovi.

(3) Svaki element iz α je manji od svakog elementa iz β.

(4) β nema minimum.

Svaki rez je jedinstveno odreden s njegovim lijevim i desnim skupom od kojih jedan odreduje

drugi. Skup α je lijevi skup, a skup β je desni skup. Desni skup β ima sljedeca svojstva:

(1’) Skup β i njegov komplement β = Q \ β su neprazni.

(2’) Ako je r ∈ β, s ∈ Q i r < s, tada je s ∈ β.

(3’) β nema minimum.

Dalje cemo koristiti samo grcka slova α, β, . . . za oznacavanje desnog skupa, kojeg cemo zvati

Dedekindov rez. Sa R oznacavamo skup svih Dedekindovih rezova.

Svaki racionalan broj s definira rez:

s = {r ∈ Q | s < r}.

Rez α je racionalan ako i samo ako α ima najveci element (maksimum). Q je ulozen u

R preslikavanjem Q → R, s 7→ s. Racionalne brojeve mozemo shvatiti kao rezove, a skup

racionalnih brojeva kao podskup skupa realnih brojeva:

Q ⊂ R,

vidjet cemo kako operacije zbrajanja i mnozenja na R prosiruju operacije zbrajanja i mnozenja

na Q.

Nisu svi rezovi racionalni. Na primjer, pomocu√

2 dobivamo rez

α = {r : r ∈ Q, r > 0, r2 > 2} koji nije racionalan.

31

6.1.2 Relacija uredaja na skupu R

Za bilo koja dva reza (mislimo na desne skupove) relacija uredaja α < β je definirana sa β ⊂ α.

Za relaciju uredaja vrijede refleksivnost, tranzitivnost i antisimetricnost.

Uredaj je potpun. Pretpostavimo da je α 6= β i neka je r ∈ α i r /∈ β. Tada je r ∈ β i za

svaki s ∈ β slijedi da je r < s i zbog toga je s ∈ α, odnosno β ⊂ α.

Ulaganje skupa Q u skup R je kompatibilno s relacijom uredaja. Racionalni brojevi su gusti

u R: za dana bilo koja dva reza α i β, postoji neki r ∈ Q takav da je α < r < β.

6.1.3 Zbrajanje na skupu R

Za bilo koja dva reza α i β u R, suma α + β je definirana kao skup {r + s : r ∈ α, s ∈ β}.Svojstva (1’) - (3’) vrijede i za zbrajanje α + β, pa je onda α + β ∈ R. Na podskupu Q od Rsuma se podudara s uobicajenim zbrajanjem racionalnih brojeva.

Kod relacije uredaja je jasno da ako su α, β bilo koja dva reza takva da je α < β, onda za

svaki γ koji pripada skupu realnih brojeva vrijedi: α + γ < β + γ. Zbrajanje rezova naslijeduje

svojstva zbrajanja racionalnih brojeva: asocijativnost i komutativnost.

Neutralni element za zbrajanje je

0 = {r ∈ Q | r > 0}.

Inverzni element za zbrajanje je

−α = {−r : r ∈ α, r 6= maxα}.

6.1.4 Mnozenje na skupu R

U slucaju kada su α ≥ 0, β ≥ 0, produkt je definiran na ovaj nacin: α · β = {r · s : r ∈ α, s ∈ β}.Mnozenje α · β zadovoljava aksiome (1’) - (3’) za rez. Mnozenje je asocijativno, komutativno i

distributivno u odnosu na zbrajanje.

1 je jedinicni element

1 = {r ∈ Q | r > 1}.

Mnozenje, kako je definirano, cuva uredaj. Ako su α, β bilo koja dva reza takva da je α < β,

onda za svaki γ koji pripada skupu realnih brojeva vrijedi: α · γ < β · γ.

32

Ako je α > 0, inverzni element za mnozenje definiramo na ovaj nacin:

α−1 = {r−1 : r ∈ α, r > 0, r 6= maxα}.

Inverzni element α−1 je takoder rez, te je α · α−1 = 1.

Preostaje definirati α ·β za proizvoljne rezove α i β. Ranije dana definicija α ·β prolazi samo

u slucaju α ≥ 0 i β ≥ 0 jer u suprotnom ne definira rez. Moze se pokazati da se svaki rez γ moze

zapisati u obliku razlike dvaju nenegativnih rezova α i β, odnosno γ ∈ R, tada je γ = α − β,

α ∈ R, β ∈ R, α ≥ 0, β ≥ 0.

Neka su γ i γ′ dva reza, te neka je γ = α− β, γ′ = α′ − β′, α ≥ 0, β ≥ 0, α′ ≥ 0, β′ ≥ 0, tada

definiramo:

γ · γ′ = (α− β)(α′ − β′) := α · α′ + β · β′ − α · β′ − β · α′,

a svi ovi produkti su definirani ranije.

Direktno se vidi da ovako definirano mnozenje ne ovisi o odabiru α i β, te α′ i β′. Ukoliko je

γ ≥ 0, stavimo α = γ i β = 0, te se u tom slucaju nova definicija podudara sa starom.

Zbog svih navedenih svojstava, kazemo da skup R uz +, ·,≤ cini uredeno polje.

6.2 Geometrijski pristup definiranju realnih brojeva

Skup realnih brojeva mozemo predociti pomocu pravca p u euklidskoj ravnini na kojem su

izabrane medusobno razlicite tocke 0 i 1. Svakom realnom broju odgovara jedna tocka brojevnog

pravca i obratno, svakoj tocki brojevnog pravca odgovara jedan realan broj.

Zbroj A + B realnih brojeva A,B ∈ p definiramo tako da izmjerimo usmjerenu duzinu−→0B i

prenesemo njen pocetak na tocku A. Kraj te prenesene usmjerene duzine je zbroj A+B.

a) Tocke A i B na pravcu p b) Zbroj A+B tocaka A i B

Slika 15: Geometrijski definirana operacija zbrajanja

33

Mnozenje A ·B realnih brojeva A i B definiramo na ovaj nacin: Neka su A,B ∈ p. Odaberimo

drugi pravac q 6= p koji pravac p sijece u tocki 0. Na pravcu q odaberemo tocku 1′ tako da su

duljine−→01 i−→01′ jednake, te tocku B′ ∈ q tako da su duljine

−→0B i

−→0B′ jednake. Treba paziti da

su 1′ i B′ na istoj strani pravca q u odnosu na 0 ako i samo ako su 1 i B na istoj strani pravca

p u odnosu na 0. Povucemo pravac r kroz tocke 1′ ∈ q i A ∈ p i njemu paralelan pravac s kroz

tocku B′ ∈ q. Pravac s sijece pravac p u tocki S, koja je umnozak S = A ·B ∈ p.

Slika 16: Geometrijski definirana operacija mnozenja

Geometrijski definirane operacije zbrajanja i mnozenja su asocijativne i komutativne i mnozenje

je distributivno u odnosu na zbrajanje. Obje operacije imaju neutralne elemente 0 i 1. Kod zbra-

janja svaki realni broj A ima suprotni element −A, a kod mnozenja svaki realni broj A 6= 0 ima

reciprocni element A−1.

Nanosimo li vise puta usmjerenu duzinu−→01, pocevsi od tocke 0, dobivamo brojeve

1, 2, 3, . . . iz cega slijedi da je N ⊂ R. Ako usmjerenu duzinu←−01 nanosimo na drugu stranu,

dobivamo brojeve -1, -2, -3, . . . , pa slijedi da je Z ⊂ R. Takoder mozemo konstruirati i racionalne

brojeve, a to znaci da je Q ⊂ R.

6.3 Intervali

Intervali su skupovi realnih brojeva koji imaju svojstvo da njihovi elementi zadovoljavaju

odredene nejednakosti. Intervali mogu biti:

• Zatvoreni interval ili segment realnih brojeva [a, b], odreden s dva realna broja a, b takva

da je a ≤ b, je skup svih x ∈ R za koje vrijedi a ≤ x ≤ b, tj.

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

34

• Otvoreni interval realnih brojeva (a, b), odreden s dva realna broja a, b takva da je a < b,

je skup svih x ∈ R za koje vrijedi a < x < b, tj.

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

• Poluotvoreni intervali

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b},[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},

• Beskonacni intervali

(−∞, a) = {x ∈ R : x < a},(−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a},

(a,∞) = {x ∈ R : x > a},[a,∞) = {x ∈ R : x ≥ a}.

Otvorena okolina realnog broja a je svaki otvoreni interval realnih brojeva koji sadrzi broj a.

Simetricna otvorena okolina realnog broja a je otvoreni interval kome je a sredina. Simetricne

okoline broja a su oblika (a− ε, a+ ε) i nazivamo ih ε - okolinama broja a.

6.4 Apsolutna vrijednost realnog broja

Skup realnih brojeva R mozemo zapisati kao

R = R− ∪ {0} ∪ R+.

Skup R+ = {x ∈ R : x > 0} = (0,+∞) zove se skup pozitivnih realnih brojeva, a njegove

elemente nazivamo pozitivnim realnim brojevima. Skup R+ ∪ {0} = {x ∈ R : x ≥ 0} = [0,+∞)

zove se skup svih nenegativnih realnih brojeva. Skup R− = {x ∈ R : x < 0} = (−∞, 0) zove se

skup negativnih realnih brojeva, a njegove elemente nazivamo negativnim realnim brojevima.

Ocigledno je R− ∩ R+ = R− ∩ {0} = R+ ∩ {0} = ∅.

Definicija 14. Funkcija | · | : R→ R+ ∪ {0} definirana s

|x| ={

x, x ≥ 0−x, x < 0

zove se apsolutna vrijednost (modul).

35

Broj |x| nazivamo apsolutna vrijednost broja x.

Teorem 11. Za apsolutnu vrijednost vrijedi:

1) (∀x ∈ R)(∀a ∈ R+)(−a ≤ x ≤ a←→ |x| ≤ a).

2) (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)|x+ y| ≤ |x|+ |y|.

3) (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)|x− y| ≥ |x| − |y|.

4) (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)|x · y| = |x| · |y|.

5) (∀x ∈ R)(∀y ∈ R \ {0})∣∣∣xy ∣∣∣ = |x|

|y| .

Dokaz: Dokazimo tvrdnje teorema.

1) Neka vrijedi −a ≤ x ≤ a. Ako je x < 0, onda je |x| = −x ≤ −(−a) = a. Ako je x ≥ 0,

onda je |x| = x ≤ a.

Obrnuto, neka vrijedi |x| ≤ a. Ako je x < 0, onda je x ≤ a. Kada −x = |x| ≤ a pomnozimo

s −1, dobivamo x ≥ −a, pa je −a ≤ x ≤ a. Ako je x ≥ 0, zbog a > 0 je −a ≤ x. Kako je

|x| = x ≤ a, dobivamo −a ≤ x ≤ a.

2) Za svaki x, y ∈ R vrijedi x ≤ |x|, x ≤ |y|. Ako je x+ y ≥ 0, tada je

|x+ y| = x+ y ≤ |x|+ |y|.

Ako je x+ y < 0, tada je

|x+ y| = −(x+ y) = −x− y ≤ | − x|+ | − y| = |x|+ |y|.

3) Iz

|x| = |y + (x− y)| ≤ |y|+ |x− y|

dobivamo

|x| − |y| ≤ |x− y|,

tj.

|x− y| ≥ |x| − |y|.

36

4) Imamo cetiri slucaja. Ako je x ≥ 0 i y ≥ 0, tada je x · y ≥ 0, pa vrijedi

|x · y| = x · y = |x| · |y|.

Ako je x < 0 i y < 0, onda je |x| = −x i |y| = −y. Tada je x · y > 0, pa vrijedi

|x · y| = x · y = (−x) · (−y) = |x| · |y|.

Ako je x ≥ 0 i y < 0, tada je x · y ≤ 0, pa vrijedi

|x · y| = −(x · y) = x · (−y) = |x| · |y|.

Ako je x < 0 i y ≥ 0, tada je x · y ≤ 0, pa vrijedi

|x · y| = −(x · y) = (−x) · y = |x| · |y|.

5) Tvrdnju∣∣∣xy ∣∣∣ = |x|

|y| mozemo zapisati u obliku umnoska∣∣∣∣x · 1

y

∣∣∣∣ = |x| ·∣∣∣∣1y∣∣∣∣.

Uvijek je |1| = 1, pa apsolutna vrijednost u izrazu∣∣∣ 1y ∣∣∣ ovisi o y, pa mozemo pisati

∣∣∣ 1y ∣∣∣ = 1|y| .

Vrijedi ∣∣∣∣x · 1

y

∣∣∣∣ = |x| ·∣∣∣∣1y∣∣∣∣ = |x| · 1

|y|=|x||y|.

�

Teorem 12. Funkcija d : R× R→ R definirana za sve x, y ∈ R izrazom

d(x, y) = |x− y|

ima svojstva:

1) (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)d(x, y) ≥ 0.

2) (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(d(x, y) = 0←→ x = y).

37

3) (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)d(x, y) = d(y, x).

4) (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(∀z ∈ R)d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Dokaz:

1) d(x, y) = |x− y| ≥ 0, jer je apsolutna vrijednost uvijek ≥ 0.

2) Ako je d(x, y) = 0, onda je |x− y| = 0, pa i x− y = 0, sto znaci da je x = y.

Ako je x = y, onda je x− y = 0, pa je |x− y| = 0, pa iz toga slijedi da je d(x, y) = 0.

3) d(x, y) = |x− y| = | − (y − x)| = | − 1| · |y − x| = d(y, x).

4) d(x, z) = |x− z| = |x− y + y − z| ≤ |x− y|+ |y − z| = d(x, y) + d(y, z).

�

Definicija 15. Funkciju d zovemo razdaljinska funkcija, a broj d(x, y) = |x − y| zovemo udal-

jenost realnih brojeva x i y.

6.5 Skup iracionalnih brojeva

Skup realnih brojeva sadrzi racionalne i iracionalne brojeve, R = Q∪ I. Osim toga je I∩Q = ∅.Skup iracionalnih brojeva oznacavamo slovom I. Iracionalni brojevi su brojevi koje ne mozemo

zapisati u obliku razlomka. Prikazuju se u obliku beskonacnog neperiodicnog decimalnog broja.

Svaki iracionalni broj mozemo aproksimirati racionalnim brojem s unaprijed zadanom tocnoscu.

Racionalni brojevi su gusto poredani po brojevnom pravcu, ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji

mnogo tocaka (iracionalnih brojeva) koji se ne mogu izmjeriti jedinicnom duzinom. Nanesemo li

na brojevni pravac dijagonalu kvadrata sa stranicom duljine jedan, dobit cemo po Pitagorinom

poucku broj√

2.

Teorem 13.√

2 nije racionalan broj.

Dokaz: Dokaz je vrlo jednostavan. Stavimo da je√

2 = pq, gdje su p i q relativno prosti

prirodni brojevi, a to znaci da je najveci zajednicki djelitelj brojeva p i q jednak jedan. Slijedi

38

da je p2 = 2q2, a to znaci da je p paran broj jer je kvadrat parnog broja paran, dok je neparnog

broja neparan.

Stavimo da je p = 2m, slijedi da je p2 = 4m2 = 2q2, sto daje da je i q paran. To je u

kontradikciji s pretpostavkom da su brojevi p i q relativno prosti.

�

Mozemo zakljuciti da su brojevi jako vazni i potrebno ih je dobro poznavati. Od djetinjstva

ih koristimo, iako se tek u skoli pocinje o njima uciti. Brojevi su svuda oko nas, koristimo ih kod

komunikacije, objasnjavanja i procjene. Vazno je poznavati skupove brojeva i njihova osnovna

svojstva koja koristimo svakodnevno.

39

Literatura

[1] Franka Miriam Bruckler, Povijest matematike I, Odjel za matematiku, Sveuciliste J. J.

Strossmayera u Osijeku, 2007.

[2] Franka Miriam Bruckler, Povijest matematike II, Odjel za matematiku, Sveuciliste J. J.

Strossmayera u Osijeku, 2011.

[3] H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A.

Prestel, R. Remmert, Numbers, Springer - Verlag, New York, 1991.

[4] P. Javor, Matematicka analiza 1, Element, Zagreb, 1999.

[5] M. Klaricic Bakula, S. Braic, Uvod u matematiku, skripta Prirodoslovno-matematickog

fakulteta, Split, 2008.

[6] S. Znam, Pogled u povijest matematike, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1989.

[7] http : //www − history.mcs.st− andrews.ac.uk/Indexes/HistoryTopics.html

[8] http : //ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/prva.htm

[9] http : //web.math.pmf.unizg.hr/nastava/laf/data/materijali/teorija/brojevi.pdf

[10] http : //www.mathos.hr/ ∼ scitowsk/M1/M1− 1.pdf

40

Sazetak

U ovom radu upoznajemo vas s nastankom brojeva i oznacavanjem brojeva kroz povijest.

Definirat cemo skup prirodnih brojeva, koji je temelj za izgradnju svih ostalih skupova bro-

jeva. Objasnit cemo svojstva osnovnih racunskih operacija na skupu prirodnih brojeva i relaciju

uredaja. Operacija oduzimanja nije uvijek moguca na skupu prirodnih brojeva, stoga cemo vas

upoznati sa skupom cijelih brojeva. U ovom radu isto tako mozete nauciti o prosirenju skupa

cijelih brojeva do skupa racionalnih brojeva jer operacija dijeljenja nije uvijek izvediva u skupu

cijelih brojeva. Zadnji dio ovoga rada nam govori o skupu realnih brojeva.

Kljucne rijeci: Povijest brojeva, Prirodni brojevi, Cijeli brojevi, Racionalni brojevi, Realni

brojevi.

41

Title and summary

Natural Numbers, Integers, Rational Numbers and Real Numbers

The aim of this work is to describe the development of the numbers and their representation

throughout the history. First we will define a set of natural numbers, which serves as a cornerstone

for the construction of all other sets of numbers, and explain basic properties of arithmetic

operations on that set. Also, we comment on the order relation on the set of natural numbers.

Subtraction is not always possible on a set of natural numbers, therefore we will introduce you

with a set of integers. In this work you can also learn about to extension of the set of integers

to the set of rational numbers, because the divison operation is not always possible in the set of

integers. The last section of this work is devoted to the construction of the set of real numbers.

Key words: History of Numbers, Natural Numbers, Integers, Rational Numbers, Real Numbers.

42

Zivotopis

Rodena sam 1987. godine u Nasicama. Osnovnu skolu sam zavrsila u Magadenovcu. U Donjem

Miholjcu sam pohadala srednju skolu, smjer opca gimnazija. 2006. godine upisala sam se na

Sveucilisni preddiplomski studij matematike na Odjelu za matematiku u Osijeku, te sam se

2009. godine prebacila na Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike na Odjelu za

matematiku u Osijeku. U periodu od listopada do studenog 2011. godine radila sam na zamijeni

u osnovnoj skoli ”Matija Gubec”, Magadenovac, predavajuci predmete matematika i informatika.