IV Laboratorio ESTADISTICA

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

CAPÍTULO IX: ESTIMACION DE PARAMETROS

ESTIMACION DE PUNTUAL

3. Sean X 1 y X 2 las medias respectivas de dos muestras al azar independientes de

tamaños n1 y n2 escogidas de una población X de Poisson con parámetro λ.

a) Compruebe que la estadística λ̂=n1 X1+n2X 2n1+n2

, es un indicador insesgado del

parámetro λ .

b) Obtenga la varianza del estimador.

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL CICLO 2013 - II Página 1


5. Sean θ̂1 y θ̂2 dos estimadores insesgados e independientes del parámetro θ. Si el

parámetro es la combinación lineal de estos estimadores, es decir si:

θ̂=r θ̂1 +(1−r )θ̂2 0<r<1.

Halle el valor de r que haga mínima la varianza del estimador θ̂ si además, las desviaciones

estándares de θ̂1 y θ̂2 son 0.4 y 0.6 respectivamente.



6. Sea X1 , X2 ,…, Xn una muestra al azar de tamaño n de una población X Bernoulli

B (1 , p ) . Dada las siguientes estadísticas:

Θ̂1 ¿∑i=1

n

X i−Xk

n−1 y Θ̂2

¿∑i=1

n

X i2

n

a) ¿Son cada una un estimador insesgado del parámetro p?

b) Si ambas son insesgadas, ¿Cuál de las dos es de varianza mínima?



7. Sea X una población con distribución geométrica de parámetros p ,0< p<1 , es decir,

cuya función de probabilidad está dada por:

P [X=x ]=p(1−p)x , x=0,1,2 ,…a) Obtenga el estimador de máxima verosimilitud para p aplicando una muestra de tamaño

n .

b) Estime el parámetro p , si n=50 y si x1+ x2+…+ x50=100.



8. Sea X una población con distribución binomial B(2 , p), donde el parámetro: 0< p<1.

Es decir, con función de probabilidad dada por:

f ( x , p )=C x2 px (1−p)2−x , x=0,1,2

Si en una muestra al azar de tamaño 20 escogida de la población X , el valor 0 ocurre 4

veces, el valor 1 ocurre 9 veces y el valor 2 ocurre 7 veces, obtenga la función de

verosimilitud del parámetro p y luego, estime p.



9. El número de ventas diarias de cierta mercadería es una variable aleatoria X de Poisson

con un promedio de λ ventas por día.

a) Compruebe que la media muestral es el estimador de máx. Verosimilitud del parámetro λ.

b) si en una muestra al azar de 50 días se ha registrado 30 ventas en total de tal

mercadería, estime el promedio λ .



10. De una población definida por la variable aleatoria continua X se extrae una muestra

aleatoria X1 , X2 ,…, Xn y se define la variable aleatoria Bernoulli:

Y=¿ 1 si X i>00 si X i≤0

a) Determine el estimador de máxima verosimilitud de la proporción p de todos los valores

positivos, esto es, estime p=P [X>0].

b) Si una muestra al azar de tamaño 80 de X ha dado 64 valores positivos y si X tiene

distribución N (μ ,0.04 ) .



11. El tiempo, en meses, que dura una componente electrónica es una variable aleatoria T

con distribución exponencial con parámetroβ. Para estimar β se prueban 30 componentes y

se encuentra que 18 fallan antes de los 6 meses

a) Obtenga la estimación de máxima verosimilitud de la proporción de todas las

componentes que fallan antes de los 6 meses.

b) Aplique el resultado de a) para obtener la estimación puntual por máxima verosimilitud

del parámetro β .



12. La longitud de cierto tipo de perno producido en serie, puede estar por arriba o por abajo

de la medida estándar de 2 pulgadas. Suponga que tal longitud tiene distribución normal

N (μ ,0.0025 ) .

a) Obtenga el estimador de máxima verosimilitud de la proporción p de todos los pernos

producidos cuya longitud está por arriba de 2 pulgadas.

b) Si en una muestra de 100 de tales pernos se encontró que 98 tenían longitud por arriba

de 2 pulgadas, utilizando el resultado del inciso a) estime la media de la longitud de todos

los pernos producidos.



13. El peso de un producto, en gramos, tiene distribución normal N (30 , σ2 ) , con σ

desconocido. Cada unidad del producto es clasificado como defectuoso si su peso es menor

que 26 gramos o es mayor que 34 gramos. Para estimar el parámetro σ se pesan las

unidades del producto uno por uno hasta obtener la primera defectuosa. Obtenga el

estimador de máxima verosimilitud del parámetro σ si la primera defectuosa ocurre en la

décima prueba.



INTERVALO DE CONFIANZA MEDIA

4. La duración del tiempo, en minutos, que emplean los alumnos el tercer grado para armar

un rompecabezas es una variable aleatoria cuya distribución se asume normal con

desviación estándar de 5 minutos.

a) Si con la confianza del 95% se encuentra que el tiempo por medio de la distribución toma

valores en un intervalo de longitud 4,9 minutos, ¿Qué estadística y que tamaño de muestra

se aplicó en la estimación?

b) Si la muestra dio un tiempo promedio de 30 minutos, ¿es válido afirmar con confianza del

96% que el tiempo promedio de la población definida es 32,5 minutos?



5. El tiempo T en minutos que utilizan los clientes en sus distintas operaciones en un banco

local es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal con una desviación

estándar de 3 minutos. Se han registrado los tiempos de las operaciones de 9 clientes del

banco resultando una media igual a 9 minutos:

a) ¿Cuánto es el nivel de confianza si μ se estima de 7 a 11 minutos?

b) Si mediante un nuevo sistema se reduce el tiempo de atención a los clientes en un 25%,

estime el tiempo promedio de atención de todos los clientes con nivel de confianza del

95.44%.



9. Obtenga el tamaño de muestra que como mínimo se debe tomar para estimar la media

de las longitudes de los tornillos que produce un fabricante si se quiere que la estimación

puntual tenga un error no mayor de 0.0233 cm. al nivel de confianza del 98%.

a) Si el rango de valores de la longitud de los tornillos es igual a 0.24 milímetros.

b) Si de la longitud de los tornillos se sabe que tiene distribución normal y que el 95.44% de

estas se desvían de la media en a lo más 0.08 mm.

12. Un auditor escoge una muestra aleatoria de 15 cuentas por cobrar de una población de



400 cuentas por cobrar de la compañía P&C y encuentra los siguientes montos en dólares.

730,759, 725, 740, 754, 745, 750, 753, 730, 780, 725, 790, 719, 775, 700

Asumiendo que la población finita es normal y el nivel de confianza es de 95%,

a) Obtenga el intervalo de valores del promedio. ¿Cree usted que el promedio supera los

760 dólares?

b) Calcule los extremos del intervalo de estimación del total de cuentas por cobrar. ¿Es

válido afirmar que el monto del total de las cuentas por cobrar es igual a $30,000?

INTERVALO DE CONFIANZA DIFERENCIAL DE MEDIAS



27. Se realiza un estudio comparativo de los tiempos, en minutos, que emplean los

operarios de una fábrica para realizar una tarea en los turnos diurno y nocturno. Si las

muestras de 10 y 12 operarios de los turnos de día y de noche han dado la medias

respectivas de 110 y 100 minutos y varianzas 100 y 64.

Asumiendo que las dos poblaciones de tiempos empleados son normales y aplicando el

método del intervalo de estimación con nivel de confianza del 95%.

a) ¿Son homogéneas las varianzas de las dos poblaciones?

b) ¿Emplean los operarios el mismo tiempo promedio para realizar la tarea? Si no es así.

¿Es válido afirmar que μ1−μ2=13?

28. Un productor adoptara un nuevo proceso de producción solo si este es más estable en

variabilidad y emplea menos tiempo en procesar cada unidad del producto que el antiguo



proceso. Si el registro de 16 tiempos en segundos del nuevo y antiguo proceso han dado

respectivamente las siguientes estadísticas: x1=38 , s1=6 , x2=35 , s2=4

Aplicando un intervalo de confianza del 95%, ¿Cuál será la decisión del productor?

Asuma los requisitos del método si fuera necesario.

29. Un grupo inversionista abrirá un centro comercial en una de dos ciudades del interior del

país solo si hay pruebas de que una de ellas, tiene mayor ingreso promedio en soles por



hogar que la otra. Si una muestra al azar de 21 hogares de la ciudad 1 dio x1=$400,

s1=$120 y otra muestra al azar de 16 hogares de la ciudad 2 dio x2=$380, s1=$60 y

asumiendo que las distribuciones de los ingresos de las dos ciudades son normales con

varianzas diferentes, ¿Es válido afirmar con un nivel de significación del 95% que debería

abrir la sucursal en la ciudad 1?

30. Para comparar el rendimiento de una variedad de uva de clima tropical con la variedad

actual, se diseñó un experimento en el ¨Viñedo P&C¨ de San Antonio de Cubamza en San



Martin, los pesos en gramos de 10 y 9 racimos de uvas escogidos al azar de la variedad

nueva y antigua respectivamente dieron los siguientes resultados:

Muestra 1: 400, 410, 420, 380, 390, 410, 400. 405, 405. 400.

Muestra 2: 390, 395, 380, 390. 400, 380, 370, 390. 380.

Asumiendo que la distribución de los pesos en cada variedad son normales con varianzas

iguales y aplicando un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de los pesos

promedios por racismo de toda la producción, ¿es válido inferir que las dos variedades

rinden igual?, ¿Cuál de las dos variedades rinde más?


Documents

IV Laboratorio ESTADISTICA