Iterazione Vs Ricorsione - Intranet DEIBhome.deib.polimi.it/santambr/dida/infob/1314/doc/PDF/12_InfoB... · DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Iterazione Vs Ricorsione Marco

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE

Iterazione Vs Ricorsione

Marco D. Santambrogio – [email protected] Ver. aggiornata al 7 Gennaio 2014


Nota per i “7”

•  Cosa: §  Prova “colpo-singolo” § No libri, e/o appunti §  1 exe in C in 30’

•  Quando § Domani: martedì 8 Gennaio § Dalle 12.15 alle 13

•  Dove §  BL27.18

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Obiettivi

•  Induzione matematica •  Iterazione •  Cosa significa “ricorsivo” •  Iterazione Vs ricorsione

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L’induzione matematica

•  Si usa nelle definizioni e nelle dimostrazioni

•  Definizione: numeri pari §  1) 0 è un numero pari §  2) se n è un numero pari anche n+2 è un

numero pari •  Dimostrazione: dimostro che (2n)2=4n2 (distributività della potenza di 2 risp. alla moltiplicazione)

§  1) n=1 : vero §  2) suppongo sia vero per k, lo dimostro per k

+1: (2(k+1))2=(2k+2)2=(2k)2+8k+4= (per hp di

induzione) 4k2 +8k+4 = 4(k2 +2k+1) = 4(k+1)2 §  1) è il passo base, 2) è il passo di induzione

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Il tacchino induttivista

•  Un tacchino induttivista viene allevato in una fattoria del Maine (USA)

•  Ogni giorno alle 7am Mr Jones porta il cibo al tacchino induttivista

•  Il tacchino segue il seguente ragionamento: §  Il giorno 1 Mr Jones mi ha portato il cibo @

7am §  Ieri era il giorno “n” e Mr Jones mi ha portato

il cibo @ 7am §  Oggi è il giorno “n+1” ed il cibo è arrivato §  Tutti i giorni @l 7am Mr Jones mi porterà il

cibo •  … Thanksgiving

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Iterazione e ricorsione

•  Sono i due concetti informatici che nascono dal concetto di induzione

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Iterazione

•  L’iterazione si realizza mediante la tecnica del ciclo

•  Il calcolo del fattoriale: §  0!=1 §  n!=n(n-1)(n-2)….1 (realizzo un ciclo)

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Iterazione

•  Il calcolo del fattoriale mediante una tecnica iterativa:

function [f]=fact(n) f=1; for i=1:n f=f*i; end

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La ricorsione

•  Dal latino re-currere §  ricorrere, fare ripetutamente la stessa

azione •  In informatica: si tratta di

procedure/funzioni che richiamano se stesse

•  Il concetto di ricorsione viene usato nel contesto di: §  algoritmi §  strutture dati

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“Flusso” di lavoro

•  Il programmatore formula l’algoritmo dal generale al particolare §  Si descrivono la funzione sulla globalità

dei dati in termini della funzione stessa sui dati disgregati

•  L’algoritmo viene poi eseguito dal particolare al generale §  Vengono infatti lasciate in sospeso le

operazioni globali e il calcolo vero e proprio inizia dai dati atomici

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Definizione ricorsiva del fattoriale

1) n!=1 se n=0 2) n!= n*(n-1)! se n>0

§  riduce il calcolo a un calcolo più semplice §  ha senso perché si basa sempre sul

fattoriale del numero più piccolo, che io conosco

§  ha senso perché si arriva a un punto in cui non è più necessario riusare la def. 2) e invece si usa la 1)

§  1) è il passo base, 2) è il passo di ricorsione

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Algoritmo ricorsivo per fattoriale

function [f]=factRic(n) if (n==0) f=1; else f=n*factRic(n-1); end

•  Quando si può dire che una ricorsione è ben definita? §  Informalmente: se ogni volta che applico la

ricorsione sono significativamente più vicino al passo base, allora la definizione non è circolare.

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Esempio di traccia

•  Calcoliamo il fattoriale di 4: •  4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt. per 4 •  3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt. per 3 •  2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt. per 2 •  1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt. per 1 •  0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo: •  il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè 1*1=1 •  il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè 2*1=2 •  il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè 3*2=6 •  il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè 4*6=24

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n:3 f:.. factRic

(1)

n:3 f:.. factRic

(2)

n:2 f:.. factRic

n:3 f:.. factRic

(3)

n:2 f:.. factRic

n:1 f:.. factRic

n:3 f:.. factRic

(4)

n:2 f:.. factRic

n:1 f:.. factRic

n:0 f:.. factRic

n:3 f:.. factRic

(5)

n:2 f:.. factRic

n:1 f:.. factRic

n:0 f:1 factRic

n:3 f:.. factRic

(6)

n:2 f:.. factRic

n:1 f:1 factRic

n:3 f:.. factRic

(7)

n:2 f:2 factRic

n:3 f:6 factRic

(8)

Ambienti locali gestiti in modo LIFO (Last In First Out) Cancellati in ordine inverso a quello un cui sono stati creati Si usa una struttura di dati detta PILA

Gestione a pila degli ambienti locali delle funzioni

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Altri esempi di funzioni ricorsive

•  I numeri di Fibonacci (dinamiche di popolazione)

•  Il Massimo Comun Divisore

(algoritmo di Euclide) •  Il problema delle torri di Hanoi

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Fibonacci

•  Leonardo Fibonacci §  Matematico italiano §  Compie numerosi viaggi e

assimila le conoscenze matematiche del mondo arabo,

§  Nel 1202 pubblica: il Liber abaci

§  Con Liber abaci si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi •  il sistema decimale

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Il problema dei “conigli”

“Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.”

L. Fibonacci da Liber Abaci

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I numeri di Fibonacci

Idea di base 1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1 2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1

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I numeri di Fibonacci

1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1 2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1 Vengono usati per modellare la crescita di animali

per diverse generazioni

function [f]=fib (n) if n==1 | n==2 f = 1; else f = fib(n - 2) + fib(n - 1); end

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Il MCD

Definizione: 1) MCD(m,n)=m se m=n 2a) MCD(m,n)= MCD(m-n,n) se m>n 2b) MCD(m,n)=MCD(m,n-m) se n>m esempio: MCD(21,56) = MCD(21,35) =

MCD(21,14)= = MCD(7,14) = MCD(7,7) = 7

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IL MCD

Iterativo:

function [M]=MCDeuclid(m,n) while m ~= n if m>n m=m-n; else n=n-m; end end M=m;

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IL MCD

Iterativo:

function [M]=MCDeuclid(m,n) while m ~= n if m>n m=m-n; else n=n-m; end end M=m;

Ricorsivo:

function [M]=MCDeuclidRic(m,n) if m==n M=m; else if m>n M = MCDeuclidRic(m-n,n); else M = MCDeuclidRic(m,n-m); end end

•  Attenzione alla condizione di terminazione!!!!! •  N.B. è sempre possibile trovare un

corrispondente iterativo di un programma ricorsivo!!!

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Pausa…

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Un problema interessante: La torre di Brahma

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La leggenda

•  Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso.

•  E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla prima alla terza colonnina.

•  Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo.

•  Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e sarà la fine del mondo.

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Le torri di Hanoi

http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html

Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B (usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo che si trovino nello stesso ordine

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Le torri di Hanoi

•  Scriveremo una funzione ricorsiva che prende come parametro il numero del disco più grande che vogliamo spostare (da 0 a 5 come nel disegno)

•  La funzione prenderà anche tre parametri che indicano: §  da quale asta vogliamo partire (source), §  a quale asta vogliamo arrivare (dest), §  l’altra asta, che possiamo usare come

supporto temporaneo (spare).

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L’idea di base

•  Voglio spostare n anelli dal piolo sorgente, a quello destinazione, usando come appoggio il piolo ausiliario §  Devo quindi prima spostare n - 1 anelli

dal sorgente all'ausiliario, usando come appoggio il piolo destinazione

§  Poi sposto l'unico anello rimasto dal sorgente al piolo destinazione

§  Infine sposto gli n - 1 anelli che si trovano sull'ausilliario all'anello destinazione..

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L’uso della ricorsione

•  Quando si spostano gli n - 1 anelli la funzione hanoi richiama se stessa, cioè effettua una chiamata ricorsiva, semplificando però il problema perché bisogna spostare un numero di anelli inferiore.

•  In pratica, con la ricorsione il problema viene continuamente ridotto di complessità fino alla soluzione banale in cui rimane solo un anello, che viene semplicemente spostato nel piolo destinazione.

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Le torri di Hanoi: strategia

Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre C alla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione giusta

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Le torri di Hanoi: pseudocodice

FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare): IF disk == 0, THEN: move disk from source to dest ELSE: MoveTower(disk - 1, source, spare, dest) /* (Passo 1) */ move disk from source to dest // /

* (Passo 2) */ MoveTower(disk - 1, spare, dest, source) // /

* (Passo 3) */ END IF Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più

piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi, seguiamo la procedura descritta per il disco 5.

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Soluzione in codice MATLAB con simulazione

function []=hanoi(n, da, a, per) if (n>1) hanoi(n-1, da, per, a); end; fprintf('\n sposta un disco dal piolo %d al piolo %d \n', da, a); if (n>1) hanoi(n-1, per, a, da); end;

>> hanoi(3, 1, 2, 3) sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 3 sposta un disco dal piolo 2 al piolo 3 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 3 al piolo 1 sposta un disco dal piolo 3 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 >>

hanoi(3, 1, 2, 3)

hanoi(2, 1, 3, 2) hanoi(2, 3, 2, 1)

hanoi(1, 1, 2, 3) hanoi(1, 2, 3, 1) hanoi(1, 3, 1, 2) hanoi(1, 1, 2, 3)

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Fonti per lo studio + Credits

•  Fonti per lo studio §  Introduzione alla programmazione in

MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio •  Capitolo 4

–  Particolare attezione al 4.5

•  Credits §  Prof W. Fornaciari §  Prof. A. Morzenti

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