ITE_Elementi Di Impianti Elettrici 1

CORSO BASE

IMPIANTI ELETTRICI

MODULO 1 DISTRIBUZIONE DELLENERGIA

Vesione 03 / 2010

Corso Base di Impianti Elettrici - Modulo 1 Ing. Stefano ELIA 1

RICHIAMI DI ELETTROTECNICA

Obiettivi generali dellelettrotecnica

Lelettricit ha modificato radicalmente il mondo. Lo sfruttamento

dellelettricit per scopi civili ed industriali cominciato agli inizi del XX secolo.

Oggi assolutamente impensabile la vita senza lutilizzo dellenergia elettrica.

Pensiamo alle migliaia di oggetti che non potrebbero essere usati; ormai, senza

elettricit praticamente niente pu funzionare. Un mondo senza elettricit

oggi assolutamente impensabile.

Lelettricit che comunemente utilizzata in tutti gli oggetti che abbiamo

citato ha essenzialmente due scopi:

trasportare energia e convertirla. Ad esempio, un ascensore utilizza energia elettrica per compiere un lavoro meccanico; in questo caso

si dice che lenergia elettrica viene convertita in energia meccanica.

Un treno oppure un tram utilizza lenergia elettrica per muoversi

sulla superficie terrestre, vincendo gli attriti e le forze

aerodinamiche;

trasportare informazioni sotto forma elettrica. Ad esempio, il telefono funziona per mezzo dellelettricit, ma lo scopo del sistema

telefonico non quello di trasferire energia, bens comunicazione, e

quindi informazione. Lo stesso si applica ai sistemi di telefonia

cellulare, ai sistemi telegrafici, a quelli televisivi e radiofonici; ed

anche alle singole apparecchiature, da quelle pi elementari (radio,

registratori, televisori) a quelle pi complicate (radar di bordo,

radiotelescopi, antenne).


Lelettricit che viene utilizzata per scopi energetici viene generata in

impianti detti centrali elettriche. Le centrali di tipo convenzionale sono di vari

tipi: termoelettriche, idroelettriche, nucleari, eoliche, solari, etc

Nelle centrali termoelettriche, lenergia dei combustibili (gas naturale, olio

pesante, carbone) viene utilizzata per muovere una turbina (a gas o a vapore)

che accoppiata ad un generatore elettrico, un dispositivo che tramuta energia

meccanica in energia elettrica. Nelle centrali idroelettriche, una turbina

idraulica (Francis, Pelton, Kaplan,...) tramuta energia di posizione in energia

meccanica; di nuovo, un generatore elettrico converte energia meccanica in

energia idraulica. Nelle centrali nucleari, lenergia del combustibile nucleare

utilizzata per riscaldare ed a surriscaldare lacqua, che viene utilizzata per

muovere una turbina a vapore la quale accoppiata ad un generatore elettrico.

Le centrali eoliche e solari, anche se riferite ad energie rinnovabili, coprono

solo una piccola parte del fabbisogno totale e normalmente vengono utilizzate

in luoghi dove non ci sia altra forma conveniente per la generazione o il

trasporto dellenergia (zone polari, montagne).

Scopi ed obiettivi dellelettrotecnica:

determinare in ogni punto ed in ogni istante i valori di corrente e di tensione, di campo elettrico e di campo magnetico;

calcolo di grandezze associate alla tensione ed alla corrente, ad esempio potenza ed energia elettrica;

calcolo di valori minimi, massimi, medi ed efficaci di tensione, corrente, potenza, energia. Il tutto dedicato a:

contabilizzazione dellenergia; dimensionamento dei sistemi, degli impianti e dei dispositivi; sicurezza e protezione.

fornire metodologie di analisi applicate a: calcolo di circuiti; calcolo di campi;


misure su circuiti; misure su campi.

dare metodi di progettazione: metodi di analisi e di ottimizzazione; programmi di calcolo; programmi di dimensionamento.

I numeri complessi

Che cosa vuol dire determinare la radice quadrata di un numero? Vuol dire

calcolare quellaltro numero il quale, moltiplicato per se stesso, d proprio il

numero di partenza.

Ad esempio, quale la radice quadrata di 4? E 2, perch (2 x 2) = 4. In

effetti, anche 2 la radice quadrata di 4, perch (-2 x -2) = 4. In generale,

se a un numero maggiore di zero e b la sua radice quadrata, anche b la

radice quadrata di a.

Ma che succede se a negativo? Ad esempio, quale la radice quadrata

di 2? Non esiste, semplicemente. Per a noi far comodo inventare una

soluzione a questo problema. Cos ci viene in mente di dire: un numero

negativo pu sempre essere posto sotto la forma (-a), in cui a un numero

positivo. Daltronde, -a = (-1) x a. Allora la radice quadrata di (-a) si scrive:

)(a)(aa 11 ==

Il problema non cambiato molto, perch ora abbiamo il prodotto della

radice quadrata di un numero positivo (a) per la radice quadrata del numero

negativo (-1). La radice quadrata di un numero positivo ora possiamo

eseguirla, ma rimane la radice quadrata di un numero negativo (-1). Poich

per questa operazione pu essere eseguita per qualsiasi numero negativo,

adesso ci inventiamo un fatto: chiamiamo j la radice quadrata di (-1):


)(j 1=

Ma, si dir, la radice di un numero negativo non esiste, non pu esistere!

E vero, ma ce lo possiamo immaginare: e perci diciamo che j un numero

immaginario. Anzi, siccome j x j = -1, allora noi chiamiamo j lunit

immaginaria. Con questo sistema, la radice quadrata di 16 pari a j4, quella

di 100 a j10, quella di 400 a j20, e cos via. j un numero strano, in

quanto, come abbiamo detto, j x j = - 1, ed ha anche delle propriet

abbastanza difficili da capire: basti pensare che 1 / j = - j . Daltronde, j un

numero immaginario, e si possono pensare stranezze molto pi astruse di

questa!

Ora, i numeri immaginari sono del tutto simili a quelli reali, ma non

devono essere confusi con essi. Ed quindi possibile immaginare un numero

che sia un po reale ed un po immaginario, ad esempio 4 + j 6. Questi numeri

(che hanno una parte reale ed una parte immaginaria) si chiamano numeri

complessi.

Vediamo qualche regola sui numeri complessi:

jab)jb(a = )b/a(j)jb/(a = )c/b(j)c/a(c/)jba( +=+

)c/a(j)c/b()jc/jb()jc/a()jc/()jba( =+=+ )db(j)ca()jdc()jba( +++=+++ )db(j)ca()jdc()jba( ++=++

)bcad(j)bdac()jdc()jba( ++=++ [ ] )dc/()bcad(j)bdac()jdc/()jba( 22 ++++=++


Nozioni introduttive di matematica e di trigonometria

Un angolo una parte di piano contenuta tra due semirette ed un arco di

circonferenza. Gli angoli si misurano generalmente in gradi. Tra gli angoli

notevoli ricordiamo:

angolo di 90 gradi (angolo retto)

angolo di 180 gradi (angolo piatto)

angolo di 360 gradi (angolo giro)

T a b . 1 A n g o l i f o n d a m e n t a l i

Per convenzione, gli angoli sono indicati con le lettere minuscole

dellalfabeto greco: ... In generale, sarebbe possibile misurare un angolo con basi differenti da

quella convenzionale (360 gradi per un angolo giro). Si potrebbero comunque

ideare metodi di misura degli angoli per i quali langolo giro vale 100 gradi,

oppure 1000 gradi, oppure 33 gradi, oppure 2 gradi. Qualsiasi valore attribuito

allangolo giro potrebbe avere un senso, in quanto lasciato alla scelta

dellutilizzatore.

C per un sistema di misura degli angoli che , per cos dire, intrinseco.

Consideriamo la Fig.1, nella quale disegnato un angolo piatto, un arco e due

semirette che delimitano un angolo (chiamato in Fig.1). Un modo possibile di misurare langolo a consiste nel definirlo come rapporto tra la lunghezza

dellarco e quella del raggio:

= (lunghezza arco) / ( lunghezza raggio)


arcoraggio

O P

Q

F i g . 1 D e f i n i z i o n e d e l l a n g o l o i n r a d i a n t i

Questo modo di misurare un angolo si chiama in radianti.

Poich la lunghezza della circonferenza pari a 2 r (il valore numerico di 3.1415927...) il valore dellangolo giro in radianti pari a 2 .

Angolo in gradi Equivalente in radianti 0 0 30 / 6 = 0.52 45 / 4 = 0.85 60 2 / 3 = 2.09 90 / 2 = 1.57 180 = 3.14 270 3 / 2 = 4.71 360 2 = 3.14

T a b . 2 - C o n v e r s i o n e g r a d i - r a d i a n t i

Prendiamo adesso in esame un angolo generico, che chiameremo

nuovamente . Consideriamo (per convenzione) che larco di cerchio che lo definisce abbia sempre inizio nel punto P, e che abbia sempre direzione

antioraria.

Prendiamo in esame la proiezione del punto Q sullasse orizzontale, e sia R

il punto risultante da questa proiezione (Fig. 2). E ovvio che, per il teorema di

Pitagora, la lunghezza del segmento OR, quella del segmento RQ e quella del

raggio OQ sono legate dalla relazione:


(OR)2 + (RQ) 2 = (OQ) 2

Il rapporto tra la lunghezza QR e la lunghezza OQ viene comunemente

chiamato seno dellangolo , e viene indicato con il simbolo sin: sin = (QR) / (OQ)

Analogamente, il rapporto tra la lunghezza OR e la lunghezza OQ viene

comunemente chiamato coseno dellangolo , e viene indicato con il simbolo cos:

cos = (OR) / (OQ)

arcoraggio

O P

Q

R

F i g . 2 D e f i n i z i o n e d i s e n o d i u n a n g o l o

Al variare dellangolo tra 0 e 360 gradi, o, ci che lo stesso, tra 0 e 2 radianti, le nuove grandezze cos introdotte (seno e coseno) hanno valore

massimo 1 e valore minimo 1. Inoltre, qualsiasi sia langolo esse sono comunque legate dalla applicazione del teorema di Pitagora:

(sin . sin )+ (cos . cos ) = sin2 + cos2 = 1 Di seguito sono riportati alcuni valori significativi di funzioni seno e coseno

di alcuni angoli particolari.


angolo (gradi) angolo (radianti) seno () coseno () 0 0 0 1 30 / 6 = 0.52 0.866 0.5 45 / 4 = 0.85 22 / = 0.707 22 / = 0.707 60 2 / 3 = 2.09 0.5 23 / = 0.866 90 / 2 = 1.57 1 0 180 = 3.14 0 -1 270 3 / 2 = 4.71 -1 0 360 2 = 6.28 0 1

T a b . 3 S e n i e c o s e n i d i a n g o l i n o t i

Le funzioni seno e coseno sono comunemente chiamate funzioni

trigonometriche, insieme alla tangente, alla cotangente, alla secante ed alla

cosecante. Per i nostri scopi sufficiente definire la tangente:

tangente() = seno() / coseno() Non sar inutile descrivere landamento delle due funzioni seno e coseno

al variare dellangolo , che riportato nella Fig. 3. La Fig. 3 conferma le grandezze definite nella tabella: la funzione coseno

parte dal valore 1 per zero gradi, arriva al valore 0 a 90 gradi, ha valore 1 a

180 gradi, si azzera di nuovo a 270 gradi, ed arriva al valore 1 a 360 gradi. La

funzione seno parte dal valore 0 per zero gradi, arriva al valore 1 a 90 gradi,

ha valore 0 a 180 gradi, raggiunge il valore 1 a 270 gradi, e presenta

nuovamente il valore 0 a 360 gradi.

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

0

0.5

1

0

-0.5

-1

sin(alfa) cos(alfa)

F i g . 3 F u n i z i o n i s e n o e c o s e n o


Come si fa praticamente a calcolare il valore del seno e del coseno di un

angolo? La maggior parte delle calcolatrici da tavolo permette questa

operazione; ma possibile anche per mezzo della Fig.3, tracciando una

verticale per il valore dellangolo voluto ed andando a leggere sullasse

verticale il valore del seno e del coseno (che, ricordiamo, sempre e

comunque inferiore ad 1 e maggiore di -1).

La Fig.4 riassume quanto finora descritto.

raggio arcoseno

coseno

F i g . 4 P r i n c i p a l i d e f i n i z i o n i t r i g o n o m e t r i c h e

Corrente e tensione

Un corpo in cui il numero di cariche negative (elettroni) supera quello delle

cariche positive (protoni) si dice carico negativamente. Un corpo in cui invece il

numero di carico positive supera quello di cariche negative si dice carico

positivamente. Le cariche distribuite sulla superficie di un corpo elettrizzato

sono soggette alle forze repulsive che ne determinano la distribuzione


superficiale. La risultante delle forze agenti sulla carica situata su un

elementino di superficie si dice Tensione elettrostatica.

Per corrente elettrica si intende un flusso ordinato di elettroni.

Il movimento di cariche elettriche pu presentarsi in percorsi definiti

allinterno di materiali come rame ed alluminio che sono perci considerati

buoni conduttori di elettricit.

Al contrario i mezzi materiali isolanti quali porcellana, mica,vetro, aria

sono mediocri conduttori. Gli isolanti impediscono alle cariche elettriche di

uscire dai loro percorsi abituali.

La corrente rappresenta la velocit di movimento delle cariche elettriche in

un circuito,ossia lungo un percorso chiuso.

La corrente una grandezza vettoriale.

Ha bisogno per essere definita di un valore per lintensit ,di uno per la

direzione ed uno per il verso.

La direzione definita dalla geometria del corpo, il verso convenzionale

opposto a quello reale di scorrimento degli elettroni nel materiale conduttore.

F i g . 5 - F l u s s o d i c a r i c h e e l e t t r i c h e

Ricapitolando, la tensione pu essere altrimenti chiamata differenza di

potenziale tra due punti a diverso potenziale elettrico di un circuito; questa

disponibilit di energia pu dar luogo ad un flusso di cariche elettriche (una

volta chiuso il circuito) chiamato corrente elettrica.


Unit di misura delle grandezze elettriche

Si definiscono di seguito le principali grandezze elettriche:

L' Ampere (A) l'intensit di una corrente costante che percorrendo due

conduttori paralleli indefiniti di sezione trascurabile, posti a distanza di un

metro nel vuoto, produce una forza di 2 . 10-7 Newton per ogni metro di

lunghezza.

L'Ampere/metro (A/m) l'unit di misura dell'intensit del campo

magnetico.

Il Coulomb (C) la quantit di elettricit trasportata in un secondo da 1 A,

l'unit di misura della carica.

Il Volt (V) la differenza di potenziale elettrico tra due punti di un

conduttore attraversato da una corrente costante di 1 A che dissipa la potenza

di un Watt.

L'Ohm () la resistenza di un conduttore ai cui capi una differenza di

potenziale di 1 V produce una corrente di 1 A.

L'Henry (H) l'induttanza di un circuito in cui si manifesta una forza

elettromotrice di 1 V quando la corrente elettrica nel circuito varia

uniformemente alla velocit di 1 A/sec.

Il Farad (F) la capacit di un condensatore tra le cui armature si

manifesta una differenza di potenziale di 1 V quando caricato da un Coulomb

di elettricit.

Il Weber (Wb) il flusso magnetico che concatenando un circuito produce

in esso una tensione di 1 V quando si riduce a zero, a velocit costante, in un

secondo.

Il Tesla (T) l'induzione magnetica uguale ad 1 weber su un metro

quadrato (densit di flusso magnetico)

Si riporta di seguito l'elenco della maggior parte delle grandezze elettriche

specificando il simbolo e l'unit di misura:


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Grandezze scalari e vettoriali

Alcune grandezze fisiche sono perfettamente determinate dal numero che

fissa la loro misura. Tali grandezze si dicono scalari.

Esempi: Lunghezza di un segmento, la durata di un intervallo di tempo,

lenergia necessaria per sollevare un corpo, la temperatura.

Nello studio di situazioni fisiche e quindi anche elettrotecniche si

incontrano regioni dello spazio in ogni punto delle quali definita una certa

grandezza scalare: tali regioni si chiamano campi scalari e nel caso in cui la

grandezza in questione sia costante nel tempo il campo si dice stazionario.

Altre grandezze, invece, non sono definite soltanto da un numero che fissa

la loro misura, ma anche di una direzione ed un verso.

Tali grandezze si dicono vettori. Esempi: lo spostamento di un corpo, la

velocit di un corpo, laccelerazione, ossia la variazione della velocit di un

dato corpo, le forze agenti sul corpo. Un vettore viene di solito indicato con la

lettera scritta con una quantit maggiore di inchiostro (A) o con la lettera

munita di una freccia sulla testa Ar.

Convenzionalmente, sul piano del disegno un vettore viene descritto con

un segmento orientato, dotato quindi non solo di direzione ma anche di verso.

Se si indicano con P1 e P2 linizio e la fine del segmento orientato che

rappresenta un vettore, la direzione del vettore quella della linea che

congiunge P1 e P2, il verso quello indicato dalla freccia, ossia quello che porta

da P1 e P2, mentre la lunghezza o modulo o intensit la misura del segmento

P1 P2, Fig.6.

La lunghezza si indica con | A |.

Un vettore di lunghezza unitaria si dice versore.


F i g . 6 - R a p p r e s e n t a z i o n e d i u n v e t t o r e

A volte potrebbe essere di notevole interesse considerare un particolare

segmento che rappresenti il vettore A: quello che ha origine nel particolare

punto P1. Tale vettore si dice vettore applicato e si usa il simbolo P1A.

Il vettore di lunghezza 0 si chiama vettore nullo;la sua direzione ed il suo

verso non sono per determinabili.

Relativamente alle propriet grandezze vettoriali si pu affermare quanto

segue.

Due vettori si dicono uguali se hanno la stessa lunghezza, la stessa

direzione e lo stesso verso.

Se due vettori hanno la stessa intensit,la stessa direzione ma verso

opposto allora A=-B ,Fig.7.

Dati due vettori si definisce somma o risultante un vettore C=A+ B

ottenuto portando il punto iniziale di uno dei due segmenti a coincidere con il

punto finale dellaltro e congiungendo lorigine di A con il punto finale di B.

Questa la regola del parallelogramma. Fig.8.

F i g . 7 - V e t t o r e e s u o o p p o s t o


F i g . 8 - R e g o l a d e l p a r a l l e l o g r a m m a

Il prodotto di un vettore per uno scalare s un nuovo vettore che ha la

stessa direzione del primo, lunghezza s volte quella del primo, verso

coincidente oppure opposto a quello del primo secondo che s sia positivo o

negativo.

Al fine di chiarire il concetto di componente di un vettore si definisce

quanto segue: sia A un generico vettore ed r una retta dello spazio che

individui su di esso una generica direzione. Si traccino le rette c e d passanti

ognuna per uno dei due estremi di A e perpendicolari ad r. I punti di

intersezione di c e d su r sono i punti R1 ed R2. Il segmento che congiunge

questi due punti un nuovo vettore A di lunghezza pari al segmento R1 R2

direzione r e verso da R1 ad R2.

Tale vettore la componente ortogonale del vettore secondo la retta r

(Fig.9).

F i g . 9 - C o m p o n e n t i d i u n v e t t o r e


Se si costruiscono le componenti di un vettore OA secondo tre rette

orientate x,y,z ortogonali fra loro (x,y,z) sono detti assi cartesiani e

rappresentano schematicamente lo spazio tridimensionale in cui viviamo) si

ottengono le coordinate cartesiane di A: Ax ,Ay ,Az. Fig.10.

In generale:

222zyx AAAA ++=

F i g . 1 0 - A s s i c a r t e s i a n i e c o o r d i n a t e c a r t e s i a n e

Dati due vettori, si definisce prodotto scalare tra di essi e lo si indica, in

base a convenzioni internazionali, A B, il prodotto dellintensit del primo vettore per lintensit della componente del secondo vettore secondo una retta

r parallela al primo vettore ed orientata come esso.

Il risultato delloperazione una grandezza scalare, cio un numero:

C = A B cos (con angolo tra A e B) Dati due vettori si definisce, invece, prodotto vettoriale dei due e per

convenzione si indica con C il risultato di tale prodotto, quelloperazione tra

vettori che porta alla costruzione di un nuovo vettore cos definito: C=AB. Lintensit di tale nuovo vettore uguale al prodotto dellintensit del

primo per lintensit della componente del secondo vettore su una retta s

perpendicolare al primo vettore e passante per lestremo senza freccia di esso.


La direzione perpendicolare al piano formato dai due vettori di cui dovr

trovare il prodotto vettoriale.

Il verso tale che i tre vettori definiti formino una terna destra levogira.

Per individuare facilmente il verso del vettore prodotto si pu usare una

regola semplice: si ponga la mano destra in modo che le dita nello stringersi a

pugno si muovano nella stessa maniera della rotazione che porterebbe il primo

vettore sul secondo attraverso un angolo minore di 180: la direzione ed il

verso del pollice eretto danno verso e direzione del vettore prodotto. Fig.11.

F i g . 1 1 - R e g o l a d e l l a m a n o d e s t r a - T e r n a l e v o g i r a - T e r n a l e v o g i r a e n t r a n t e

Si definisce quindi il prodotto vettoriale come C = A B sin.

La resistenza elettrica

La resistenza un parametro caratteristico del materiale e rappresenta la

resistenza che il materiale in questione pone quando viene attraversato dalla

corrente.

La resistenza funzione della resistivit del materiale del materiale,

della lunghezza l del conduttore e della sezione trasversale S. Un conduttore

con le caratteristiche sopra citate presenta una resistenza data da : R = l / S.

La resistenza si misura in . La resistivit si misura in [ m], ed indica la resistenza di un conduttore di lunghezza pari ad 1 m e di sezione pari ad 1 m2.


Alternativamente, poich i valori precedentemente definiti sono molto

piccoli, la resistivit pu essere indicata in [ mm2 / m], ed indica la resistenza di un conduttore di lunghezza pari ad 1 m e di sezione pari ad 1 mm2.

A temperatura costante la resistenza ha un valore costante e positivo.

L'inverso della resistivit la conducibilit: =1/, l'inverso della

resistenza la conduttanza: G= 1/R= S/l .

Per dare una spiegazione fisica della resistenza, si pu procedere iniziando

a dire che in un atomo isolato gli elettroni sono ripartiti secondo definiti livelli

di energia. La ripartizione degli elettroni dell'atomo per differenti livelli tale

da rendere l'energia totale minima e i livelli pi profondi corrispondenti alla

minore energia. Se si fornisce energia ad un elettrone lo si pu elevare rispetto

al suo livello primitivo. Si dice allora che l'atomo eccitato.

Il livello di energia dell'atomo pi vicino al nucleo quello in cui gli

elettroni sono pi attirati al nucleo, mentre gli elettroni sul livello pi esterno

sono quelli che sono attratti dal nucleo con una forza minore.

Quando si fornisce energia ad un elettrone che si trova al livello pi

esterno dell'atomo (l'atomo viene eccitato), questa energia pu essere

sufficiente per separare l'elettrone dal nucleo.

La conducibilit di un materiale dipende dalla facilit con cui un elettrone

pu essere separato dal proprio nucleo, infatti si considerata la corrente

come un flusso ordinato di elettroni, quindi: quanto pi facile che in un

atomo un elettrone si separi dal proprio nucleo, tanto pi il materiale composto

da tali atomi si considera conduttore. Esistono materiali pi o meno conduttori

a seconda dell'energia con cui il nucleo attrae a s gli elettroni.

Un materiale si dice isolante se composto da atomi che trattengono con

maggiore energia i propri elettroni, ostacolando il passaggio di corrente.

Esistono materiali pi o meno isolanti.

I conduttori sono generalmente dei metalli.


L'esperienza mostra che la resistivit di un metallo cresce con la

temperatura c e con il grado di impurezza.

La resistivit pu esprimersi con la formula:

( )c += 00 1 in cui 0 e 0 sono rispettivamente la resistivit e il coefficiente di

temperatura a 0C. Poich le prove sono generalmente effettuate a

temperature vicine a 20 C si preferisce generalmente la formula:

( )+= 2020 1 con: = c 20 C il coefficiente 20 pu variare molto in alcune condizioni particolari. Per

alcuni metalli, quali il piombo lo stagno, alluminio, lo zinco, la resistivit si

annulla bruscamente ad una temperatura assoluta di alcuni gradi.

T a b . 4 - R e s i s t i v i t , c o n d u c i b i l i t e c o e f f i c i e n t e d i t e m p e r a t u r a d i c o n d u t t o r i a 2 0 C

Nelle leghe la legge di variazione della resistivit con la temperatura

generalmente complessa a causa delle modifiche che la temperatura determina

nella loro struttura. Le leghe hanno una resistivit pi grande della resistivit

dei metalli componenti. Ci spiega l'impiego diffuso del rame elettrolitico.


Nel campo degli impianti, va posta particolare attenzione alla

configurazione elettrica del terreno; ci e di vitale importanza per gli impianti

di m

valori di resistivit t, di permettivit t e di permeabilit

mag

re una

strut

pila ed un interruttore. Collegando opportun

circu

essa a terra.

Le propriet elettriche dei materiali costituenti il terreno possono essere

caratterizzate dai

netica t. Tali grandezze specifiche sono influenzate da parecchi parametri

e quindi di difficile valutazione. La conduzione del terreno generalmente di

tipo elettrolitico e si manifesta in una soluzione acquosa di sali comuni.

In generale la resistivit del terreno non costante, ma varia a seconda di

molti fattori. Se si vuole progettare un impianto di terra per protegge

tura, per esempio da fulminazione atmosferica o da qualsiasi altro tipo di

sovratensioni pericolose, la resistivit del terreno del luogo in cui si vuole fare

il progetto un parametro molto importante. Tale valore dipende dalla

conformazione del terreno (argilloso, calcareo ecc.), dall'umidit (un aumento

dell'umidit determina una diminuzione della resistivit), dalla temperatura e

dal contenuto di sali sciolti nel terreno.

La legge di ohm in corrente continu

Si consideri un conduttore metallico (filo nduttore), una lampada, una

ito di Fig.12.

Corso Base di Impianti Elettrici - Modulo 1 21

F i g . 1 2 C i r c u i t o c o n g e n e r a t o r e d i c o ri n t e r r u t t o r e e c a r i c o ( la

coamente tali elementi si ha il

Ing. Stefano ELIA

r e n t e c o n t i n u a ( p i l a ) , a m p a d a )

Al momento della chiusura dell'interruttore si ha un passaggio di corrente

nel circuito (filo conduttore e lampada) che determina l'accensione della

lampada.

La differenza di potenziale esistente tra i poli della pila causa il passaggio

della corrente continua nel circuito; infatti, come gi detto, il passaggio di

corren ziale

inferiore. Si indica co li (+ e -) della pila,

con

V=RI

stituito da:

uno o pi generatori ( come la pila gi vista); ui ci si

serve per un determinato scopo (lampada come nell'esempio

precedente);

conduttori che servono a collegare al generatore gli utilizzatori.

te va dal punto a potenziale maggiore verso il punto a poten

n V la differenza di potenziale tra i po

R la resistenza del filo e della lampada e con I la corrente che circola.

La legge di Ohm mette in relazione tali grandezze:

In funzione della conduttanza G la formula sopra indicata si scrive:

V=I/G

Convenzionalmente si attribuiscono alla tensione V e alla corrente I versi

opposti.

Quindi in generale un circuito schematicamente co

uno o pi componenti circuitali o utilizzatori, dispositivi di c

F i g . 1 3 - C a d u t a d i t e n s i o n e s u u n a r e s i s t e n z a

Quanto ai componenti circuitali si pu distinguere tra essi quelli ohmici da

quelli n to

completamente descritto dalla legge di Ohm ossia:

on ohmici. I componenti ohmici sono quelli il cui comportamen


F i g . 1 4 - C a r a t t e r i s t i c a V - I d i u n r e s i s t o r e l i n e a r e

I componenti non ohmici invece sono quelli che non seguono la legge di

Ohm.

La Fig.15.a rappresenta la caratteristica tensione-corrente di un diodo; la

Fig.15.b rappresenta la caratteristica tensione-corrente per un tubo a gas a

bassa pressione.

F i g . 1 5 C a r a t t e r i s t i c h e V - I , r i s p e t t i v a m e n t e , d i u n d i o d o e d i u n t u b o a g a s a b a s s a p r e s s i o n e

In altri termini la legge di Ohm, sopra descritta, rappresenta la caduta di

tensione che si verifica al passaggio di corrente attraverso una resistenza.


Si consideri un circuito costituito da una pila e da due resistenza R1 e R2,

come in Fig.16:

F i g . 1 6 C i r c u i t o c o n d u e r e s i s t e n z e s e r i e

il punto A ed il punto C maggior della differenza di potenziale misurata tra i

punt

di

pote

Va-Vb = Vab= R1I

In questo caso Vab rappresenta la differenza di potenziale (o caduta di

tensione) sul circuito dovuta alla resistenza R1.

Resistenze in serie ed in parallelo

Per applicare la legge di Ohm ad un insieme di conduttori filiformi

necessario definire la loro resistenza equivalente e cio la resistenza che per

una stessa corrente I produce la medesima caduta di tensione.

Al passaggio di corrente nel circuito la differenza di potenziale misurata tra

i B e D; essendo il potenziale in C uguale a quello in D ci significa che il

potenziale in A maggiore di quello in B si ha quindi una differenza

nziale


F i g . 1 7 R e s i s t e n z e i n s e r i e

Si considerino le resistenze R1, R2, R3, di Fig.16. Si Dice che tali resistenze

sono collegate in serie. Par mento in serie che ogni

resis

nale al valore della singola

resistenza) e comunque minore della tensione V applicata. Quindi in un

collegamento serie la tensione V che si applica ai capi del collegamento si

te. Per la legge di Ohm si pu

quindi scrivere:

ento serie.

Nel caso in cui R1=R2=R3 allora si ha R=3R1 e V=3R1I . In questo caso su

ogni resistenza si ha la stessa caduta di tensione (o, in altri termini, la stessa

differenza di potenziale).

Si considerino due resistenze collegate in serie; ai capi del collegamento

sia imposta una tensione V. Si 1(ai capi di R1) e V2

(ai capi di R2) conoscendo R1, R2, V; a tal fine si ricava la corrente I :

ticolarit del collega

tenza attraversata dalla stessa corrente I, mentre ai capi di ciascuna

resistenza si trova una tensione (proporzio

distribuisce tra le resistenze che ne fanno par

V= V1+V2+V3 = R1I + R2I + R3I = (R1+R2+R3) I =RI

R viene quindi chiamata resistenza equivalente del collegam

vuole trovare la tensione V

21 RRVI +=

Essendo poi V =R I e V =R I: 1 1 2 2

VRR

RV += 211

1

e

VRR

RV += 212

2

Si ha invece un collegamento parallelo quando:

In questo tipo di collegamento le resistenze si trovano sottoposte tutte

alla nte

a ci

stessa differenza di potenziale (oppure tensione), mentre (contrariame

che avviene per il collegamento in serie) sono attraversate da correnti

differenti.


F i g . 1 8 R e s i s t e n z e i n p a r a l l e l o

Si pu quindi scrivere:

2+G3)V = GV

Con G si intende la conduttanza equivalente. Si trova quindi la resistenza

sione V sono anche attraversate dalla stessa corrente I1 e la

conduttanza equivalente G =3G1, mentre I=3G1V.

Si considerino due resistenze collegate in parallelo. Si vuole calcolare la

corrente I1 e I2 conoscendo il valore della corrente I, ed i valori di R1 e di R2:

I=I1+I2

I=I1 + I2 + I3 = G1V +G2V + G3V = (G1+G

equivalente R=1/G.

Nel caso in cui R1=R2=R3, allora le tre resistenze oltre ad essere poste alla

stessa ten

111 R

VVGI == e 2

22 RVVGI ==

Sostituendo si ha :

VRRVI +=RRRR

+= 1211 2121

RRRR

GIRIV +

=== 21 I21

IRR

R + 212

I =1 IRR

RI += 211

2

Se R1=R2 allora la corrente su ciascun ramo la met di I.


Pot

e di tensione (ad esempio

una batteria) ed un resistore di resistenza

associata alla corrente I :

P=VI

Mantenendo questa situazione nel tempo (t) la batteria eroga una

energia:

E= Pt

che si trasforma in calore nella resistenza R.

enza ed energia in regime continuo

In un circuito elettrico costituito da una sorgent

R, se V la differenza di potenziale

ai capi della batteria ed I la corrente nel circuito, la potenza elettrica (P)

V R

B

A

F i g . 1 9 G e n e r a t o r e d i t e n s i o n e a l t e r n a t a c a r i c a t o s u r e s i s t e n z a

La potenza complessiva che eroga il generatore viene tutta assorbita dalla

resis

P= I2

presentato nella figura seguente (una pila rappresenta una sorgente

non ideale di tensione).

tenza R che rappresenta il carico del sistema.

Quindi, in accordo con la legge di Joule, la corrente I che attraversa un

conduttore di resistenza R dissipa in esso energia elettrica che si trasforma in

calore:

VI=R

Una sorgente ideale di tensione continua Es costituisce un bipolo attivo

come rap


Definizione di bipolo: un componente elettrico accessibile da due morsetti

(detti poli).

Definizione di n-polo: un componente elettrico accessibile da n morsetti

(detti poli).

La freccia indica il verso di misura della tensione definita come differenza

tra il potenziale maggiore (+) e quello minore (-). La potenza elettrica

as a

pila) :

re nel secondo caso un utilizzatore.

sociata al bipolo attivo percorso da corrente continua I (come nel caso dell

P=EsI

Tale potenza uscente dal bipolo o entrante in esso a seconda che Es ed I

abbiano versi concordi o discordi. Il bipolo nel primo caso rappresenta un

generato

F i g . 2 0 G e n e r a t o r e d i t e n s i o n e r e a l e

a dal bipolo attivo di Fig.20.

esistivo. La potenza associata ai morsetti esterni, tra i quali

presente la tensione V :

Una sorgente reale di tensione ha una propria resistenza R ed

rappresentat

La potenza dissipata nella resistenza R vale Pd= RI2 ed sempre uscente

dal bipolo r

Pm =V I

Ed uscente o entrante a seconda che V ed I abbiano versi concordi o

discordi.


F i g . 2 1 P o t e n z e u s c e n t i ( a ) e p o t e n z e e n t r a n t i ( b )

Per il bipolo attivo di fig. a) Pd no potenze trasmesse all'esterno,

men

uscenti hanno segno opposto a quello delle potenze entranti.

Ritenendo positive le potenze uscenti, secondo la convenzione dei generatori,

si ha:

- P's + Pd + Pm =0

ovvero

- Es I+ RI2 + VI =0

Da cui si ottiene:

V= Es - RI

Tale equazione rappresenta la legge di Ohm generalizzata.

Nel bipolo di Fig.20.b la sorgente di tensione Es, con verso opposto a

quel

ovvero

- Es I - RI2 + VI =0

da cui:

e Pm so

tre P's la potenza ricevuta dalla sorgente Es. Nell'equazione di bilancio le

potenze

lo di I, si oppone alla tensione impressa V. Ritenendo positive le potenze

entranti, secondo la convenzione degli utilizzatori, e indicando con P's la

potenza uscente dalla sorgente Es si ha:

- P's - Pd + Pm =0


V= Es + RI

ivo cio Es =0 le espressioni miste diventano: Se il bipolo pass

V= - RI

V= RI

Con i versi di V ed I indicati nella Fig.22.

F i g . 2 2 - B i p o l i p a s s i v i r r e n t e a v e n t i v e r s i d i r i f e r i m e n t o c o n c o r d i ( a ) e d i s c o r d i ( b )

Il segno negativo nella prima espre

la I negativa e dunque ha un verso reale opposto a quello scelto di

riferi

c o n t e n s i o n e e c o

ssione indica che per una assegnata V

mento.

F i g . 2 3 - V e r s i d i r i f e r i m e n t o d i t e n s i o n i e c o r r e n t i d i b i p o l i a t t i v i


Pi generalmente, il bipolo attivo costituito da una sorgente ideale di

tensione Es con in serie la resistenza Ri. La tensione ai morsetti esterni A e B

vale:

V = Es - Ri I

Infine si distinguono due particolari tipi di funzionamento del dipolo: il

funzionamento a vuoto (senza carico) e quello in corto circuito (carico massimo

limitato solo dalla resistenza interna del generatore).

F i g . 2 4 - F u n z i o n a m e n t o a v u o t o

Dove si hanno i seguenti valori di corrente e tensione:

I = 0

V0 = Es

f i g . 2 5 - F u n z i o n a m e n t o i n c o r t o c i r c u i t o

Dove, invece, si possono relazionare corrente e tensione secondo la

seguente espressione (derivante dalla legge di Ohm):

(V = 0) Es = Ri Icc


Il te

Il teorema di Thevenin permette di calcolare la corrente in qualsiasi lato di

una rete di generatori e resistenze complicata.

orema di thevenin

F i g . 2 6 S c h e m a d e l t e o r e m a d i T h e v e n i n

Si vuole calcolare la corrente che passa sulla resistenza R. L'uso di tale

teore

a A e B (VAB) e una

resistenza equivalente calcol

Si devono quindi seguire questi passaggi:

ve si vuole calcolare la corrente dal resto del

circuito (chiamata rete attiva);

3) si calcola la resistenza equivalente della rete attiva (vista dai

morsetti A e B) pensando di eliminare tutti i generatori di tensione presenti e

sostituendoli con resistenze pari alle resistenze interne di ciascun generatore.

In particolare se i generatori sono ideali allora si immagina di cortocircuitare i

relativi morsetti;

4) si ottiene quindi un generatore di tensione equivalente dove in

serie posta una resistenza equivalente, il bipolo cos ottenuto si unisce al

ramo

ma permette di sostituire alla rete attiva un circuito molto pi semplice

costituito da una tensione equivalente calcolata tr

ata tra i due punti.

1) si stacca il ramo do

2) si calcola la tensione della rete attiva tra i punti in cui era prima

inserito il ramo;

precedentemente staccato: in questo modo si deve ottenere un circuito

dove il calcolo di corrente sia molto pi facile di prima.


Per generatore ideale di tensione continua si intende un generatore che

eroga costantemente una tensione continua di valore costante e inoltre privo

di un re ideale di corrente continua si

intende un generatore di corrente che eroga costantemente corrente continua

di valore costante.

Esempio pratico di applicazione del teorema di Thevenin:

za R collegata ai morsetti A e B di un alimentatore,

costituito dal parallelo di due generatori di tensione continua e ed e di

uguale resistenza interna r. Al morsetto A sono portate entrambe le polarit

positive dei due generatori. Determinare la d.d.p VA-VB.

e1 = 230 V;

R= 6.5 .

a propria resistenza interna. Per generato

Una resisten

1 2

Valori numerici:

e2 = 215 V;

r = 2 ;

A

rrI I

R

e e

1 2

1 2

B

amente, ci si trova di

fronte ad un circuito differente dal precedente, in quanto non c pi la

resistenza R: si dice che il circuito a vuoto rispetto ai morsetti A-B. E quindi

presente una tensione a vuoto V0.

F i g . 2 7 C i r c u i t o i n t e r o d a a n a l i z z a r e

Primo passo: si stacca la resistenza di carico R. Ovvi


AB

rr

e1 2e

aI

0V

F i g . 2 8 C i r c u i t o a v u o t o

Si calcola la tensione a vuoto. La corrente Ia vale:

ree 21 Ia 2=

a V0:

e di conseguenza, applicando la legge di Ohm ad uno qualsiasi dei due

bipoli costituiti dalla serie tra i generatori di tensione e le resistenze r, si trova

la tensione a vuoto tra A e B, cio l

rIeV a= 10 rIeV a+= 20

rreeeV

221

10= r

reeeV

221

20+=

221

10eeeV =

221

20eeeV +=

221

0eeV =

221

0eeV =

Con i dati del problema, V0 = 15 V.

Si rende passiva la rete (si tolgono i generatori di tensione e si

sosti generatori di corrente,

questi si sostituiscono con dei circuiti aperti): si calcola quindi la resistenza che

si vede dai morsetti A B.

tuiscono con dei corto-circuiti; se ci sono anche dei


AB

r rRTh

F i g . 2 9 C i r c u i t o d i s a l i m e n t a t o

Questa resistenza (che nella figura precedente chiamata RTh) ha valore

pari al parallelo tra le due r, e perci vale r / 2.

rrrRTh2111 =+=

e con i dati del problema, RTh = 1.0 . Il circuito finale mostrato in Fig.30.

A

B

r

0V

I

RTh

F i g . 3 0 C i r c u i t o e q u i v a l e n t e d i T h e v e n i n

La corrente nella maglia vale:


ThrRVI +=

0

Con i dati del problema:

AAI 215 =15.6 +=

e quindi la tensione tra A e B vale:

VVRIVAB 13)(2*5.6 ===


Il teorema di Norton

Secondo tale teorema il generatore reale di tensione corrisponde a quello

rappresentato in Fig.31.

F i g . 3 1 C i r c u i t o e q u i v a l e n t e d i N o r t o n

Pu essere rappresentato con un generatore reale di corrente

elettricamente equivalente di Fig.31.b.

Definizione di Generatore di corrente: Bipolo attivo ai cui capi la

corrente costante, indipendentemente dalla tensione (che dipende

dalle condizioni di carico). Esempio: transistor.

Definizione di Generatore di tensione: Bipolo attivo ai cui capi la

tensione costante, indipendentemente dalla corrente (che dipende

dalle condizioni di carico). Esempio: pila.

Infatti posto:

cci

ssc IR

EI ==

Si ha per i due bipoli nel funzionamento a vuoto:

V0 = Es e V0 = Ri Isc= Es


e nel funzionamento in cortocircuito:

i

scc R

EI = e i

ssccc R

EII ==

Per Isc si intende la corrente del bipolo a) una volta cortocircuitato. Quindi

ogni sorgente reale di tensione pu essere trasformata in una equivalente

sorgente reale di corrente e viceversa.

Per chiarire le regole di trasformazione per generatori, si pu iniziare dalla

sorgente reale di tensione, formata da un generatore di tensione Es e da una

resistenza in serie Rs, il generatore reale di corrente equivalente dato dal

parallelo tra un generatore di corrente Is,eq = Is / Rs ed una resistenza Rs.

Data una sorgente reale di corrente, formata da un generatore di corrente

Ip e da una resistenza in parallelo Rp, il generatore reale di tensione

equivalente dato dalla serie tra un generatore di tensione Vp,eq = Ip Rp ed

una resistenza Rs.

Grandezze alternative sinusoidali

I circuiti elettrici di potenza sono alimentati da tensione continua o

alternata sinusoidale. La prima si mantiene costante nel tempo ed quella

fornita, ad esempio, dagli accumulatori e dalle batterie; continua anche la

tensione di alimentazione dei treni, dei tram e delle metropolitane.

La seconda (cio la tensione sinusoidale) ha landamento di una sinusoide

come riportato in Fig.32.


F i g . 3 2 A n d a m e n t o s i n u s o i d a l e d e l l a t e n s i o n e

I parametri che descrivono una grandezza sinusoidale sono:

valore massimo Vm; valore efficace Veff; frequenza f [Hz], periodo T [s], pulsazione .

Il valore massimo rappresenta il valore di cresta massimo (positivo o

negativo) che l'andamento riportato sopra raggiunge, il valore efficace e quello

che si ottiene dal valore massimo con la seguente espressione:

2m

effVV =

Il valore efficace un parametro molto importante. Ci dice quale sarebbe

il valore della tensione continua che, sulla stessa resistenza, provocherebbe lo

stesso valore medio di potenza dissipata.

La frequenza ci dice quante volte in un secondo si ripete la sinusoide; il

periodo ci dice quanti secondi passano prima che la sinusoide si ripeta, e la

pulsazione semplicemente il periodo moltiplicato per 2 volte pigreco (in

pratica per 6,28).

Se la tensione in un circuito elettrico ha andamento sinusoidale, anche la

corrente che circoler nel circuito riprender lo stesso andamento.


La frequenza di una grandezza alternata sinusoidale indica il numero di

oscillazioni che la grandezza stessa compie nell'unit di tempo (cio in un

secondo) e si misura in Hertz (Hz). Dall'inverso della frequenza si ricava

direttamente il periodo T che indica invece il tempo necessario alla grandezza

per compiere un'oscillazione completa, il periodo si misura in secondi. Infine la

pulsazione si misura in radianti al secondo. Quest'ultima grandezza viene utilizzata nelle espressioni in funzione del tempo delle grandezze elettriche (ad

esempio tensione e corrente), tutto rilevabile, ad esempio nella Fig.33.

F i g . 3 3 S f a s a m e n t o d i d u e s i n u s o i d i

Di seguito viene presentata lespressione della tensione in funzione del tempo e

della pulsazione.

ftVv t

2)sin()(

=+=

dove langolo langolo relativo allistante in cui si sta considerando linizio dellosservazione.

Le relazioni fondamentali che descrivono le grandezze sinusoidali sono

quindi:

frequenza f = 1/T (Hz)

periodo T = 1/f (s)

pulsazione = 2f = 2/T (rad/s)


Queste verranno riprese in seguito per il metodo simbolico.

Circuiti magnetici ed induttanze

Si prenda in considerazione il dispositivo mostrato in figura: un anello di

materiale ferromagnetico sul quale sono avvolte N spire, alimentate da un

generatore di tensione V. Da ricordare che le induttanze possono essere

avvolte anche in aria o su altri materiali, non necessariamente su ferro.

re

r

r

m

i A A

A - A

T

v

F i g . 3 4 I n d u t t a n z a a v v o l t a s u f e r r o

La lunghezza media dellanello vale lm = 2 rm, e la sua sezione vale S. Se la corrente iniettata dal generatore vale I, quale sar linduzione magnetica

(cio il vettore B) allinterno del nucleo?

Sed la spira fosse solamente una, dalla legge di circuitazione si

otterrebbe:

IrH m = 2


da cui:

mrr rIHB 2/00 == Il fatto che le spire siano N, ognuna con una corrente I, equivalente a

pensare che le spire siano una con una corrente (NI). Si ha cos:

mrr rNIHNB 2/)( 00 == Quanto vale il flusso nel nucleo? Evidentemente BS. Di conseguenza:

mr rNISBS 2/0== =

SrNI m

r

210

A secondo membro, la quantit dopo luguale molto simile ad una

resistenza: ci sono le propriet del materiale, la lunghezza del percorso e la

sezione. A questa quantit viene dato il nome di riluttanza del circuito

magnetico. La riluttanza mette in relazione il flusso nel circuito magnetico e la

corrente nel circuito elettrico.

Sl

r01=

Linduttanza pu definirsi come la capacit che ha corrente di creare un

flusso che si concatena con un circuito. Autoinduttanza relativa agli effetti di

un circuito su se stesso, mentre mutua induttanza relativa agli effetti di un

circuito su di un altro.

Il componente che presenta una induttanza si chiama induttore,

esattamente nello stesso modo in cui un resistore ha una resistenza ed un

condensatore ha una capacit.

In generale un induttore viene indicato con la lettera L. Il simbolo

circuitale dellinduttanza riportato sotto.


induttanza in aria

induttanza in ferro

F i g . 3 5 I n d u t t a n z a i n a r i a e s u f e r r o

Un induttore generalmente formato da una serie di spire (il risultato si

chiama solenoide) avvolte intorno ad un supporto.

Questo supporto (generalmente carta o cartone o plastica) di forma

cilindrica pu essere vuoto o contenere un materiale ferromagnetico se si

vogliono avere valori pi alti di campo magnetico e quindi di flusso.

Il valore dellinduttanza si ricava con la formula:

INL =

in cui N il numero di spire, il flusso comune a tutte le spire, I la corrente nellavvolgimento.

L definito come coefficiente di autoinduzione. Alla quantit N attribuito il nome di flusso concatenato con lavvolgimento.

Il flusso concatenato = N rappresenta La totalit del flusso concatenato non con la singola spira, ma con linsieme delle spire che

compongono un avvolgimento.

Ricordiamo che:

=NI , da cui = // NI e sostituendo nellespressione dellinduttanza, si ottiene:

==

2NI

NL

Linduttanza si misura in Henry (H). Questa grandezza (come il Farad per

le capacit) difficilmente raggiungibile con normali equipaggiamenti, per

questa ragione vengono usati quasi esclusivamente i sottomultipli.


Il coefficiente di mutua induttanza, come possibile prevedere, pu

essere definito solo se ci si trova in presenza di due circuiti in quanto viene

calcolato come fattore di influenza del flusso di un circuito concatenato con le

spire dellaltro.

Il coefficiente di mutua induttanza si definisce come il rapporto tra il flusso

generato da una corrente e concatenato con un circuito diverso con la corrente

che lha generato; ovvero:

1

1212 i

M = Anche questo valore si misura in Henry.

Il valore di L importante nei circuiti alimentati con tensione alternata in

quanto al crescere di questo cresce la fem generata con il fenomeno descritto

da Lenz e quindi cresce quella che si definir pi avanti con il nome di

impedenza che sarebbe, per i circuiti in corrente alternata, lequivalente della

resistenza nei circuiti ohmici in corrente continua.

In un circuito funzionante in corrente alternata, il vettore che rappresenta

la corrente assorbita da un utilizzatore, rappresentato da due componenti

distinte in quadratura tra loro: quella della corrente attiva IA e quella della

corrente reattiva IL. Il diagramma mostrato nella Fig.36:

F i g . 3 6 - D i a g r a m m a v e t t o r i a l e i n u n c i r c u i t o i n d u t t i v o - r e s i s t i v o


dove V la tensione di alimentazione e lo sfasamento fra tensione e

corrente.

Nei carichi puramente resistivi, caso particolare, la componente reattiva IL

(detta componente in quadratura) si annulla, di conseguenza la corrente risulta

tutta in fase con la tensione V. La componente attiva di corrente in fase con

la tensione applicata al circuito ed quella che pu produrre lavoro, mentre

quella reattiva, in ritardo di 90 rispetto alla tensione applicata al circuito.

Il valore in modulo della corrente risultante deriva dalle due componenti in

fase ed inquadratura con la tensione secondo la seguente formula:

22LA III +=

dove:

cosII a = = corrente in fase con la tensione IsenI L = = corrente in quadratura con la tensione

Quella reattiva, invece, si definisce come la potenza che ha come unico

scopo, in piccole quantit, quello di magnetizzare il ferro delle macchine

elettriche permettendogli di funzionare. Se assorbita in grandi quantit deve

essere prodotta localmente con il rifasamento e non deve attraversare linee

elettriche provocando cadute di tensione.

La potenza apparente il semplice prodotto dei moduli della tensione

applicata e della corrente. Viene utilizzata solamente per definire la potenza

massima di una macchina, di una linea o di un impianto e quindi viene

considerata nel caso migliore con il cos=1.

Considerando l'induttanza L alimentata con tensione sinusoidale si pu

notare che:

in corrente continua essa offre impedenza nulla; in corrente alternata offre impedenza crescente con la frequenza; in corrente alternata la corrente varia con = 2f = 2/T;


la corrente si trova in ritardo di 90 rispetto alla tensione. Per la comprensione utile ora valutare alcuni risultati che si

riscontrerebbero ipotizzando che il generatore inserito nel circuito possa

variare sia il valore della tensione, sia il valore della frequenza.

Prendiamo in esame un generatore che alimenta un induttore a 50 Hz. I

grafici della tensione e della corrente quello del grafico di Fig.37:

tempo [ms]

tensione [V] corrente [I]

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0

100

200

300

400

0

-100

-200

-300

-400

0

0.5

1

0

-0.5

-1

tensione corrente

F i g . 3 7 C o r r e n t e e t e n s i o n e i n u n i n d u t t o r e

Se adesso, a parit di tensione massima, la frequenza si raddoppia, il

risultato in Fig.38:


tempo [msec]

tensione [V] corrente [A]

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0

100

200

300

400

0

-100

-200

-300

-400

0

0.5

1

0

-0.5

-1

tensione currente

F i g . 3 8 C o r r e n t e e t e n s i o n e i n u n i n d u t t o r e a f r e q u e n z a d o p p i a

Come si vede, la tensione rimasta immutata, ma il numero di oscillazioni

raddoppiato e il valore massimo della corrente si in pratica dimezzato.

Dagli andamenti delle grandezze sopra si pu notare che, a parit di

frequenza, la i(t) cresce proporzionalmente alla v(t). Il rapporto tra la prima e

la seconda resta comunque invariato se la frequenza non varia.

Come si invece discusso, con la frequenza questo rapporto varia

assumendo un valore crescente con la tensione. In altre parole, aumentando la

frequenza e lasciando inalterato il valore massimo della tensione, la corrente

diminuisce.

Per quanto visto, la corrente risulta essere in dipendenza della tensione

con un fattore che varia con la frequenza ma non con la tensione stessa.

Volendo ricavare la legge che regola questo comportamento si ha per i valori

massimi:


LMAXMAX X

VI =

in cui XL=L. In sostanza il valore massimo della corrente cresce allaumentare della tensione perch il numeratore della frazione cresce, ma

cresce anche al diminuire della frequenza in quanto il denominatore decresce.

Come ovvio, gli induttori non generano n utilizzano potenza attiva, e

quindi energia. Ma la potenza istantanea v(t) i(t) in generale diversa da zero,

anche se il suo valore medio proprio zero. Perci, come per i resistori si

definisce una potenza attiva:

P = Veff Ieff = R Ieff Ieff = R I2eff

Per gli induttori si definisce la potenza reattiva QL:

QL = Veff Ieff = X Ieff Ieff = L I2eff

I condensatori

Il condensatori sono semplici dispositivi in grado di immagazzinare energia

elettrostatica. Essi sono essenzialmente costituiti da due lastre metalliche

(dette comunemente armature) separate da un materiale dielettrico. I

condensatori sono contrassegnati dalla lettera C ed il loro simbolo circuitale

quellod i Fig.39.

F i g . 3 9 S i m b o l o d e l c o n d e n s a t o r e

Ogni condensatore caratterizzato da tensione nominale Vn capacit C

Il funzionamento del condensatore in principio molto semplice: si tratta

di due lastre metalliche sulle quali si depongono cariche elettriche positive e

negative (tutte le positive su una lastra, tutte le negative sullaltra). Per questa


ragione, una lastra carica elettricamente ad un valore +Q (Coulomb) e laltra

al valore Q (Coulomb).

Perch le cariche non si annullano a vicenda, ricombinandosi? Perch tra

le due lastre interposto un materiale isolante, che impedisce il contatto tra le

cariche stesse. Tra le due lastre si stabilisce quindi un campo elettrico, e di

conseguenza una tensione V. Al raddoppiare della quantit di carica, la differenza di potenaziale tra le

armature raddoppia, ed al dimezzarsi si dimezza. Si dice che la tensione

proporzionale alla carica. Questo concetto pu essere espresso

matematicamente:

Q = C V La costante di proporzionalit C si chiama capacit del condensatore e si

misura in Farad (F).

In pratica, la capacit del condensatore indica il valore del rapporto Q/V, dove Q la carica che si accumula sulle due armature (si ricorda che su

unarmatura ci sar +Q e Q sullaltra) e V la differenza di potenziale ai capi delle armature.

+Q-Q - - - - - - - -

+ + + + V

F i g . 4 0 R i p a r t i z i o n e d e l l e c a r i c h e n e l c o n d e n s a t o r e

In relazione alla realizzazione costruttiva del condensatore, la capacit

pu essere ricavata dalla seguente espressione:

dSC =


In cui dipende dallisolante interposto tra le armature ed la costante dielettrica, S la superficie di una delle due armature e d per la distanza tra le

armature. La capacit si misura in Farad (F) ma questa utilizzata assai poco,

in quanto piuttosto si usano i sottomultipli: F, nF , pF. Nelle applicazioni pratiche, i condensatori vengono disposti in serie o

parallelo come riportato in Fig.41.

serie

parallelo

F i g . 4 1 C o n d e n s a t o r i i n s e r i e e d i n p a r a l l e l o

Ricordiamo il significato dei termini.

Si dice che due bipoli sono:

elettricamente in parallelo = quando sono sottoposti alla stessa tensione

elettricamente in serie = quando sono attraversati dalla stessa corrente

In ognuna delle due figure precedenti, il parallelo (o la serie) di due (o

pi) condensatori pu essere sostituito da un adeguato condensatore

equivalente?

Riformuliamo la domanda. Nella figura seguente viene messo, al posto di

due condensatori in parallelo di capacit note C1 e C2, un condensatore

equivalente Ceq. E possibile fare ci? Questo condensatore esiste? E se esiste,

quale il valore della sua capacit?


A B

A B

Ceq

C2

1C

F i g . 4 2 C o n d e n s a t o r i i n p a r a l l e l o e c a p a c i t e q u i v a l e n t e

Si pu ragionare cos. I due condensatori sono sottoposti alla stessa

tensione V (sono infatti in parallelo) e di conseguenza le quantit di carica sulle due armature hanno il valore:

Q1 = C1 V Q2 = C2 V

Di conseguenza, il condensatore equivalente al parallelo tra i due quello

che presenta una capacit pari alla somma delle capacit dei due condensatori.

IN PARALLELO: Ceq = C1 + C2

Consideriamo ora due condensatori in serie. Come si vede dalla figura,

larmatura di destra del condensatore 1 elettricamente connessa allarmatura

di sinistra del condensatore 2 nel punto C. Su una armatura c carica positiva,

e sullaltra c carica negativa: quindi tra le due armature deve esserci una

carica netta nulla, perci queste cariche devono essere uguali in valore e

opposte in segno.

2C1C

-Q+Q+Q -QA C B

F i g . 4 3 C o n d e n s a t o r i i n s e r i e

Per i due condensatori si ha:


Q1 = C1 V1Q2 = C2 V2

(ricordiamo che ora non c alcun motivo per cui V1 debba essere uguale a V2, mentre abbiamo appena dimostrato che Q1 deve essere uguale a Q2).

Si ha quindi:

V1 = Q / C1V2 = Q / C2

Poich i due condensatori sono in serie, la tensione tra i due punti A e B

pari alla somma delle due tensioni:

V = V1 + V2 = Q / C1 + Q / C2Quale il condensatore equivalente alla serie dei due? Quello che, a parit

di tensione V immagazzina sulle armature la stessa carica. Quindi: V = Q / Ceq

Di conseguenza:

1 / Ceq = 1 / C1 + 1 / C2

oppure, come si scrive pi comunemente:

IN SERIE: Ceq = C1 C2) / (C1 + C2)

Costruttivamente i condensatori sono realizzati avvolgendo (in contenitori)

strati sottilissimi di fogli metallici con interposti materiali isolanti che hanno la

funzione di dielettrico, come mostrato in Fig.44.

F i g . 4 4 C o n d e n s a t o r e a v v o l t o


Le applicazioni in cui i condensatori vengono impiegati sono molteplici: in

particolare vengono usati per rifasare localmente carichi induttivi come motori

lampade a scarica fluorescenti. Oppure il rifasamento pu essere concentrato

su tutto un gruppo di utilizzatori.

In Fig.45 visibile il diagramma vettoriale di tensione e corrente in un

utilizzatore, in questo caso, trattandosi di un circuito puramente capacitivo, la

corrente sfasata di 90 in anticipo rispetto alla tensione.

F i g . 4 5 - D i a g r a m m a v e t t o r i a l e i n u n c i r c u i t o c a p a c i t i v o - r e s i s t i v o

Considerando la capacit C alimentata con tensione sinusoidale si pu

notare che:

in corrente continua essa offre impedenza infinita (non passa corrente attraverso il condensatore);

in corrente alternata offre impedenza decrescente con la frequenza; in corrente alternata, a parit di valore massimo della tensione, la

corrente varia con = 2f = 2/T; la corrente si trova in anticipo di 90 rispetto alla tensione.

E utile per la comprensione ora valutare alcuni risultati che si

riscontrerebbero ipotizzando che il generatore inserito nel circuito possa

variare sia il valore massimo della tensione, sia il valore della frequenza.

Consideriamo che il condensatore sia alimentato da un generatore di

tensione di valore massimo costante e frequenza variabile, ad esempio 50 Hz e

100 Hz. I grafici seguenti illustrano i risultati.


tempo [msec]

tensione [V] corrente [A]

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0

100

200

300

400

0

-100

-200

-300

-400

0

100

200

0

-100

-200

tensione corrente

F i g . 4 6 T e n s i o n e e c o r r e n t e i n u n c o n d e n s a t o r e

Nel grafico sopra viene riportata la tensione v(t) a 50 Hz, e nello stesso

grafico riportata la corrente che scorre attraverso la capacit nel circuito in

esame i(t). Si pu notare quanto detto al punto 4 sopra.

tempo [ms]

tensione [V] corrente [I]

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0

100

200

300

400

0

-100

-200

-300

-400

0

100

200

0

-100

-200

tensione corrente

F i g . 4 7 T e n s i o n e e c o r r e n t e i n u n c o n d e n s a t o r e a f r e q u e n z a d o p p i a

Nel grafico sopra viene riportata la tensione v(t) a 50 Hz, e nello stesso

grafico riportata la corrente che scorre attraverso la capacit nel circuito in

esame i(t). Si pu notare quanto detto al punto 4 sopra.


Dagli andamenti delle grandezze sopra riportati si pu notare che la i(t)

cresce proporzionalmente alla v(t). A parit di frequenza, comunque, il

rapporto tra la prima e la seconda resta invariato.

Come si invece dimostrato, aumentando la frequenza e lasciando la

tensione inalterata, la corrente aumenta.

La corrente risulta per quanto visto, essere in dipendenza della tensione

con un fattore che varia con la frequenza ma non con la tensione stessa.

Volendo ricavare la legge che regola questo comportamento si ha per i moduli

delle grandezze:

CV

C

VxVIC

C

=== 1

in cui xC=C. In sostanza la corrente cresce allaumentare della tensione perch il numeratore della frazione cresce, ma cresce anche allaumentare

della frequenza.

Ovviamente, anche i condensatori come gli induttori non generano n

utilizzano potenza attiva, e quindi energia. Ma, come per gli induttori, la

potenza istantanea v(t) i(t) in generale diversa da zero, anche se il suo

valore medio proprio zero. Perci, in cmpleta analogia agli induttori, si

definisce la potenza reattiva QC:

QC = Veff Ieff = X Ieff Ieff = (-1/ C) I2effCome si vede, la potenza reattiva capacitiva sempre negativa.

IL METODO SIMBOLICO

Dopo aver visto il comportamento dei bipoli passivi sottoposti a tensione

sinusoidale, si pu introdurre un modo per operare con le grandezze

alternative sinusoidali.


Alla base di questo metodo c una considerazione: quella di trattare le

grandezze sinusoidali attive quali tensioni e correnti, con espressioni del tipo

gi visto:

ftVv t

2)sin()(

=+=

Con il metodo simbolico si trattano grandezze di questo tipo come vettori

che ruotano alla velocit angolare . Questi vettori nel percorrere un giro completo hanno come proiezione del loro estremo su di un asse verticale tutti i

valori compresi tra il valore massimo ed il suo opposto negativo della sinusoide

che li rappresenta. Le grandezze sinusoidali vengono quindi identificate come

fasori cio vettori rotanti.

F i g . 4 8 I l v e t t o r e r o t a n t e n e l t e m p o

Per operare con questa nuova rappresentazione devono essere adattati

tutti i diversi modi di calcolo. Esiste a questo proposito un teorema molto noto,

detto teorema di Kennelly e Steinmetz. Dato un sistema di bipoli attivi e

passivi (in pratica, generatori di corrente e tensione, resistori, induttori auto e

mutui, condensatori) in cui tutte le sorgenti (cio i generatori) sono in

alternata alla stessa frequenza, allora la legge di Ohm e quelle di Kirchhoff gi

studiate per i circuiti in corrente continua continuano ad essere valide, purch

alle resistenze si sostituiscano le impedenze ed ai valori continui di tensione e

corrente i rispettivi fasori.

Che cosa una impedenza? E un numero complesso in cui la parte reale

la resistenza, e la parte immaginaria la reattanza (cio linduttanza

moltiplicata per oppure linverso del prodotto della capacit per ). Ad


esempio, un resistore ha impedenza pari a R + j 0, un induttore ha impedenza

pari a 0 + j L, un condensatore ha impedenza pari a 0 + 1 / (j C). Se si ha un resistore in serie ad un induttore ed un condensatore,

limpedenza ha valore:

+=++=C

LjRCj

LjRZ 11

Il valore L comunemente chiamato reattanza induttiva, mentre C1

chiamata reattanza capacitiva.

Questo significa che tutto quanto abbiamo studiato fino adesso per la

corrente continua vale ancora, purch sostituiamo i valori reali con numeri

complessi:

V = RI diventa V = Z I

In cui V ed I sono dei fasori, e Z un numero complesso.

Che cosa vuol dire lequazione precedente? Che la legge di Ohm la

stessa di prima, solo che, se la resistenza fosse ad esempio nulla, la corrente

non sarebbe infinita, perch sarebbe limitata dalla induttanza o dalla capacit.

Ragionamenti del tutto analoghi possono essere fatti per le leggi di

Kirchoff.

Ed interessante capire quale la relazione tra valore massimo della

tensione e valore massimo della corrente.

Si ha infatti:

max22

max22

max )( IXXRIXRV CL +=+= e

max

22

max1 IC

LRV

+=

Le stesse, identiche equazioni potrebbero essere scritte per i valori

efficaci.


Ripetiamo quindi che la parte reale dellimpedenza R, la parte

immaginaria ci che risulta dalla somma fra parentesi (pu risultare positiva,

negativa o nulla, in dipendenza dei valori di induttanza, capacit e frequenza).

Se la reattanza positiva la reattanza si dice induttiva, se negativo si dice

capacitiva. Nel caso di connessioni serie o parallelo delle impedenze le relazioni

che si usano per determinare la Z equivalente sono le stesse impiegate con le

resistenze sulla parte dello studio dei circuiti in regime continuo ovvero:

(Z1+Z2)/ Z1Z2 nel caso di connessione parallelo e Z1+Z2 per quella serie.

In questo caso, per, le impedenze non sono numeri reali, ma numeri

complessi, dotati di parte reale e parte immaginaria.

Introdotti tutti gli operatori necessari ora possibile riepilogare alcune

equazioni che regolano il funzionamento dei circuiti.

V=ZI

V=VMcos+jVMsin I=IMcos+jIMsin

Z=R+jX=Zcos+jZsin =arctg(X/R)

Se sono definite due impedenze e si vuole calcolare la loro somma:

Zs= (Z1+Z2 ) =(Z1cos1+Z2cos2) +j(Z1cos1 +Z2sin2) Quanto riportato nella formula precedente corrisponde alla somma di due

numeri complessi, che equivale alla somma di due vettori nel piano in cui le

ascisse sono i valori delle parti reali dellimpedenza, sulle ordinate ci sono

quelli immaginari; gli assi sono reale Re ed immaginario Im ed il piano in cui

sono definiti il piano di Gauss.

Solitamente viene stabilito come riferimento langolo che ha la tensione

rispetto lasse dei valori reali ed a questo vengono riferite tutte le altre fasi

delle correnti. Come ad esempio in Fig.49.


F i g . 4 9 V e t t o r i r o t a n t i d i t e n s i o n e e c o r r e n t e i n u n c a r i c o r e s i s t i v o - c a p a c i t i v o

Nellandamento riportato sopra per lesempio, si considerato un carico

resistivo-capacitivo che causa uno sfasamento tra tensione e corrente, con

questultima in anticipo di un angolo compreso fra 0 e 90 in funzione di

quanto sia numericamente prevalente la parte capacitiva rispetto alla parte

resistiva dellimpedenza.

IL SISTEMA TRIFASE

Il sistema di distribuzione e trasmissione trifase di gran lunga e il pi

usato nel mondo per i flussi di energia elettrica.

Come si realizza un sistema trifase di tensioni? Si prendono tre generatori

di tensione sinusoidale di uguale valore massimo e di uguale periodo, ma

sfasate temporalmente. Ad esempio, nel caso dei 50 Hz (cio della frequenza

di esercizio europea) la tensione tra gli estremi di tutti e tre i generatori

raggiunge un valore massimo positivo di 311 V ed un valore massimo negativo

di 311V; la durata di una sinusoide della tensione pari a 20 ms

(millisecondi) cos in un periodo ci sono 50 sinusoidi, ma le tre sinusoidi sono

spostate in direzione orizzontale una rispetto allaltra: si dice che sono sfasate.

Il loro sfasamento di 360 / 3 = 120, pari a circa 6.666 ms. Questo significa

che, se allistante 0 parte la prima tensione, dopo 6.666 millisecondi parte la

seconda tensione, dopo 13.333 millisecondi parte la seconda tensione, dopo 20

millisecondi riparte la prima, e cos via, 50 volte al secondo per ogni tensione


(in Europa: negli USA ed in altre parti del mondo la freuqneza di rete di 60

Hz, e quindi 60 volte al secondo).

tempo [msec]

tensione [V]

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0

100

200

300

400

0

-100

-200

-300

-400

V1 V2 V3

F i g . 5 0 S i s t e m a t r i f a s e d i t e n s i o n i , v i s u a l i z z a z i o n e d e l l e s i n u s o i d i

R

S T

0

E1

2E 3E

F i g . 5 1 P o s i z i o n e d e i t r e v e t t o r i d i f a s e d e l s i s t e m a t r i f a s e

Da un punto di vista pratico, prima della connessione avevamo a

disposizione sei conduttori; adesso ne abbiamo a disposizione soltanto quattro,


e cio i conduttori che fanno capo ai punti (R, S, T, O). Uno qualsiasi dei

quattro punti (ad esempio il punto O) potrebbe essere collegato a terra.

Comunque, avendo a disposizione quattro conduttori, un utilizzatore

monofase (ad esempio una lampadina) potrebbe essere collegato in due soli

modi:

tra uno dei punti R, S, T ed il punto O (tensione fase-neutro, detta anche tensione stellata);

tra due qualsiasi dei punti R, S, T (tensione fase-fase, detta anche tensione concatenata).

E ovvio che, nel caso a), lutilizzatore sarebbe sottoposto ad una delle tre

tensioni dei generatori; ma cosa accadrebbe se lutilizzatore fosse collegato

come in uno dei casi b)? La Fig.52 fornisce la soluzione a questo quesito: in

essa sono rappresentate la V1(t), la V2(t) e la loro differenza.

tempo [msec]

tensione [V]

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0

200

400

600

0

-200

-400

-600

V1(t) V2(t) V1(t) - V2(t)

F i g . 5 2 D i f f e r e n z a f r a d u e t e n s i o n i d i f a s e


Abbastanza inaspettatamente, la differenza tra le due tensioni maggiore

delle tensioni stesse, e non in fase con nessuna delle due.

Le tensioni tra il punto O ed i punti R, S, T vengono chiamate tensioni

stellate; quelle tra le coppie di punti R-S, S-T, T-R vengono chiamate tensioni

concatenate. Il punto O detto centro stella del sistema di tensioni stellate.

Le tensioni stellate vengono anche dette tensioni di fase.

La somma delle tre tensioni di fase, istante per istante, zero; la somma

delle tre tensioni concatenate, istante per istante, zero. Convenzionalmente,

le tensioni di fase sono indicate con la lettera E, e le concatenate con la lettera

V: ER, ES, ET, e VRS, VST, VTR.

Il legame tra il valori efficaci e massimi delle tensioni di fase e

concatenate un coefficiente che si ricava geometricamente: si ha 3= EV . Quindi, se la tensione di fase ha un valore efficace di 200 V, la tensione

concatenata ha un valore efficace di 380 V.

Operando con i fasori si ottengono le seguenti rappresentazioni

ER = Eg ; ER+ES+ET=0

ES = (-0,5-j 3 /2) Eg

ET = (-0,5+j 3 /2) Eg

In funzione della pulsazione si pu scrivere anche:

ER = EMAX cost ER + ES + ET = 0

ES = EMAX cos (t - 2/3) ET = EMAX cos (t - 4/3)

Il sistema cos definito si dice simmetrico in quanto in qualsiasi istante la

somma delle tensioni identicamente nulla.


Se il carico, che verr disposto come si vedr tra poco, equilibrato,

allora il sistema anche simmetrico con le correnti a somma istantanea nulla

come per le tensioni.

Nei sistemi in questione vanno visti due tipi di connessioni molto

importanti e sono le connessioni a triangolo e le connessioni a stella. Queste

riguardano sia il generatore che lutilizzatore.

Per il sistema di generatori gli schemi possibili sono quelli di seguito

mostrati.

S

E2

R

E3T

E1

F i g . 5 3 C o l l e g a m e n t o a t r i a n g o l o d e i g e n e r a t o r i , p o s s i b i l i t d i a l i m e n t a z i o n e s o l o c o n c o n c a t e n a t a

R

S2E

0

E3 T

1E

F i g . 5 4 C o l l e g a m e n t o a s t a l l a d e i g e n e r a t o r i , p o s s i b i l i t d i a l i m e n t a z i o n e s i a a t e n s i o n e c o n c a t e n a t a s i a s t e l l a t a


I valori delle tensioni sono equivalenti ed il loro valore efficace definito

come gi visto per le grandezze sinusoidali generiche come Veff = VMAX / 2 .

Considerando ora un intero sistema elettrico con generatori ed utilizzatori

si avrebbe ad esempio un circuito con generatori connessi a stella ed

utilizzatori resistivi-induttivi-capacitivi connessi anchessi a stella.

Il conduttore che collega i due centri-stella si chiama conduttore di neutro

e pu anche non essere presente in un sistema elettrico. Il suo scopo quello

di far richiudere la corrente risultante I0 = I1+ I3+ I3 e creare e mantenere per

il circuito un potenziale di riferimento che pu essere quello di terra

(convenzionalmente nullo).

R

S2E

0

E3 T

1E

Z2

0

Z3

Z1

I1

I

2I

0I

F i g . 5 5 S i s t e m a t r i f a s e c o m p l e t o , g e n e r a t o r i e c a r i c o c o l l e g a t i a 4 c o n d u t t o r i ( 3 f a s i p i n e u t r o )

Ovviamente, possibile qualsiasi collegamento degli utilizzatori e dei

generatori: ad esempio triangolo-triangolo, triangolo-stella, stella-triangolo,

stella-stella.

Come ultimo aspetto dei sistemi trifase, si valuta ora la potenza che pu

transitare. Innanzitutto la potenza istantanea totale associata al sistema trifase

uguale alla somma delle potenze istantanee associate ciascuna fase, cio

P(t)=eg1(t) i1(t) + eg2(t) i2 (t) + eg3 (t) i3(t)

Il valore medio nel tempo di questa potenza dato da:


P=3 E I cos In cui E ed I sono i valori efficaci della tensione e della corrente, cos il

coseno dell

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