IT-ClawII – UPUTE 1. Radna okolina programa IT-ClawII Računalni program IT-ClawII.exe je nadogradnja programa It-Claw.exe. Stoga je radna okolina identična onoj u prethodnoj verziji programa, a njezin se opis može naći u uputama za korištenje programa IT-Claw na web stranici http://www.riteh.hr/zav_katd_sluz/zav_meh_flu_rac_inz/katedre/rac_inz/it2003.html. Nakon pokretanja računalnog programa IT-ClawII.exe otvori se sučelje (Slika 1.1) koje se sastoji od nekoliko menija, alatnih traka, te lijevog i desnog prozora radne okoline. U File meniju se pojavljuju standardne opcije tj. Open, New, Print, Save, Page Setup i Exit. Iste su opcije ponuđene na odgovarajućoj alatnoj traci. Opis ostalih ponuđenih menija bit će dan u nastavku. Uočimo da u lijevom prozoru radne okoline imamo listove s različitim pogledima: Data View, Results View, Time View i Net View. Prilikom otvaranja lista Data View prikazat će se podaci vezani uz promatrani projekt, a istovremeno će se u desnom prozoru radne okoline pojaviti odgovarajući grafovi, koji će se tu ujedno moći i zadavati. Results View će nam omogućiti pogled na rezultate tekućeg proračuna. Time View nam daje pregled vremenskih trenutaka u kojima su pohranjeni rezultati, pri čemu se odabirom spremljenog stanja u desnom prozoru prikazuju odgovarajući rezultati. Net View daje mrežni prikaz projekta.

Slika 1.1. Radna okolina programa IT-Claw

U programu IT-ClawII moguće je otvoriti neki od postojećih projekata ili pak izgraditi novi projekt. Kod otvaranja novog projekta (File+New) prikaže se izbornik koji omogućava odabir željenog modela (Slika 1.2).

Slika 1.2. Izbornik s ponuđenim modelima zakona očuvanja Program IT-ClawII je u odnosu na IT-Claw proširen s: - mogućnošću zadavanja kanala s neravnim dnom i promjenljivim koeficijentom trenja

duž kanala kod modela plitkih voda - modelom otvorenog vodotoka (Open Channel Flow) u kojem je moguće zadavati

neravnu geometriju koja uključuje neravno dno i promjenljive poprečne presjeke kanala, te promjenljiv koeficijent trenja duž kanala

- mogućnošću zadavanja cijevi promjenljivog poprečnog presjeka kod Eulerovog modela.

Potrebno je naglasiti da se u svim slučajevima, navedena proširenja u matematičkim modelima, pojavljuju na desnim stranama odgovarajućih jednadžbi tj. pojavljuju se izvorni članovi, pri čemu je onaj dio izvornog člana koji se pojavljuje zbog promjenljive geometrije tzv. geometrijskog oblika. Stoga je kod svih ugrađenih modela ključno korištenje dobro balansiranih numeričkih shema koje omogućuju stabilno računanje i simulacije strujanja tekućine, odnosno fluida i u veoma složenim situacijama. U program IT-ClawII ugrađene numeričke sheme temeljene na najnovijim svjetskim dostignućima u tom području ([2-5]). U nastavku dajemo opis modela plitkih voda, otvorenog vodotoka i Eulerovog modela.

2. Model plitkih voda (Shallow Water) Kao što je već spomenuto u uvodnom dijelu, model plitkih voda u programu IT-ClawII u odnosu na model ugrađen u program IT-Claw, je proširen s mogućnošću zadavanja neravnog dna kanala i promjenljivim koeficijentom trenja. Elementi, koji su na raspolaganju kod modeliranja plitkih voda su: Channel... - kojim se modelira jednodimenzionalno strujanje vode u kanalu, DischargeBC... - kojim se modelira rubni uvjet protoka i WaterLevelBC... - za modeliranje rubnog uvjeta razine vode.

Slika 2.1. Elementi kod modela plitkih voda

Kanal (Channel) Jezgra jednodimenzionalnog matematičkog modela plitkih voda jest kanal konstantnog pravokutnog poprečnog presjeka duž kojeg se strujanje vode modelira jednodimenzionalnim jednadžbama plitkih voda

( ) 0h hvt x

∂ ∂+ =

∂ ∂,

22 2

4 3

( ) 12

n v vhv dzhv gh ght x dx h

⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞+ + = − −⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟⎟ .

Ovdje je: h - dubina vode, v - brzina vode, x - prostorna koordinata (duž osi kanala), ( )Lx ,0∈ , L - duljina otvorenog vodotoka, g - ubrzanje sile teže, n - Manningov koeficijent hrapavosti korita kanala, z - visina dna otvorenog vodotoka.

dzdx

− je nagib dna vodotoka, pa je prvi dio izvornog člana (desne strane jednadžbi) zapravo

član kojim se modelira gravitacijska sila, dok je drugi dio, član kojim se modelira sila trenja.

Nakon dodavanja kanala, u kontrolnom se stablu pojavi odgovarajući element (Slika 2.2), zajedno s njegovim karakteristikama koje je potrebno zadati, a to su: početni uvjeti u kanalu (Initial Condition) i to početna razina vode 0 ( ,wl wl x 0)= i početna brzina vode u kanalu

, te druga svojstva kanala u koja spadaju dno kanala tj. visina dna kanala 0 ( ,0u u x= ) ( )z z x= (Riverbed) i Manningov koeficijent trenja ( )n n x= (Manning) pomoću kojega se modeliraju sile trenja. Sve se navedene veličine zadaju kao krivulje u ovisnosti o udaljenosti od početka

kanala . Zadavanje krivulja opisano je u uputama za program IT-Claw, a primjer zadavanja dna kanala prikazano je na Slici 2.3.

( Lx ,0∈ )

Slika 2.2. Kontrolno stablo s dodanim kanalom

Slika 2.3. Zad

Karakteristike kanala

Grid kontrola

avanje dna kanala

Ostali podaci koje je potrebno zadati i definirati ista su kao u prethodnoj verziji programa, te se mogu slijediti upute za korištenje programa IT-Claw. Isto su tako tamo opisani elementi rubnih uvjeta koji se ovdje pojavljuju. 3. Model otvorenog vodotoka (Open Channel Flow) Kod izgradnje novog projekta, prvi bazni element tipa ShallowWaterNet, dodaje se automatski kao korijen kontrolnog stabla projekta, te se odgovarajuća ikona pojavljuje u lijevom prozoru radne okoline (Slika 3.1). Na njega se zatim nadograđuju ostali elementi koji služe za modeliranje otvorenog vodotoka, a nalaze se u Build+Add meniju (Slika 3.2). Elementi za koje su modeli ugrađeni u program su: Channel... - kojim se modelira jednodimenzionalno strujanje vode u kanalu, Discharge 1d Boundary... - kojim se modelira rubni uvjet protoka, Elevation 1d Boundary... - kojim se modelira rubni uvjet dubine vode, SuperCritical 1d Inflow Boundary... - kojim se modelira rubni uvjet nadkritičnog ulaza, WaterLevel 1d Boundary... - za modeliranje rubnog uvjeta razine vode. Za svaki od navedenih elemenata također postoje ikonice na alatnoj traci, pomoću kojih se elementi mogu dodati u projekt. Uočimo, da ovdje nisu nabrojeni svi elementi koji se pojavljuju na Slici 3.2. Naime, za neke je elemente predviđena mogućnost ugradnje odgovarajućeg modela daljnjem razvoju programa.

Slika 3.1. Radna okolina programa nakon odabira modela otvorenog vodotoka

Slika 3.2. Elementi kod modela otvorenog vodotoka

Kanal (Channel)

Jezgra jednodimenzionalnog matematičkog modela otvorenog vodotoka jest kanal proizvoljnog poprečnog presjeka (Slika 3.3) i neravnog dna duž kojeg se strujanje vode modelira jednodimenzionalnim St. Venantovim jednadžbama

0A Qt x

∂ ∂+ =

∂ ∂,

( )fSSgAgIgIA

Qxt

Q−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+∂∂

021

2

.

Slika 3.3. Poprečni presjek otvorenog vodotoka.

U gornjim je jednadžbama

( ) ( )∫ ςςς−=h

dxBhI0

1 ,

član koji se odnosi na sile uslijed hidrostatskog tlaka;

( ) ( )∫ ςς∂∂

ς−=h

dxxBhI

02 ,

član koji je određen silama uzrokovanim suženjima i proširenjima u vodotoku;

dxdzS −=0

nagib dna vodotoka; te

342

2

RAQQn

S f =

član kojim se modeliraju trenja. Ovdje je: A - površina omočenog presjeka (Slika ), x - prostorna koordinata (duž osi kanala), ( )Lx ,0∈ , L - duljina otvorenog vodotoka, g - ubrzanje sile teže, h - dubina vode, B - širina slobodne površine vode (Slika ), z - visina dna otvorenog vodotoka, n - Manningov koeficijent hrapavosti korita otvorenog vodotoka, R - hidraulički polumjer, (Slika ). PAR /=

Za zadavanje otvorenog vodotoka u programu IT-ClawII potrebno je unijeti uzdužni profil vodotoka (Longitudinal Cross Section) (Slika 3.4). Postupak unosa je sljedeći: odabirom elementa Longitudinal Cross Section u kontrolnom stablu projekta, u desnom prozoru radne okoline pojavi se pripadajuće grafičko sučelje. Ukoliko nam se Grid Bar na dnu prozora ne pojavljuje, klikanje desnom tipkom miša omogućit će nam odabir opcije Table View, nakon čega će se Grid Bar pojaviti. U njemu sada postoji mogućnost unosa podataka. Odabirom opcije AppendRow u tablici s podacima će se pojaviti novi redak. Svaki redak odgovara jednom poprečnom profilu kanala, a redak se sastoji od stupaca sa sljedećim podacima:

ID – naziv profila, reach(m) – pozicija profila duž osi x, Riverbed(m.a.s.l) – kota najniže točke profila tj. kota dna kanal kod tog profila (mnm), LeftBank(m.a.s.l) – kota lijeve obale kanala kod promatranom profilu (mnm), RightBank(m.a.s.l) – kota desne obale kanala kod promatranom profilu (mnm).

Ovdje je moguće mijenjati samo naziv profila, te zadati poziciju profila. Ostali podaci ovise o geometriji profila, te se očitavaju direktno iz podataka o profilu i ovdje ih nije moguće mijenjati. Zadavanje geometrije profila bit će opisano u nastavku. Uočimo najprije da se nakon dodavanja redaka, odnosno profila, kod uzdužnog presjeka kanala, u kontrolnom stablu pojavi popis profila koji su dodani u kanal (Slika 3.4).

Profili

Slika 3.4. Zadavanje uzdužnog profila vodotoka

Odabirom pojedinog profila, u desnom će se prozoru radne okoline pojaviti graf s tim profilom (Slika 3.5). U Grid Baru je točke profila moguće mijenjati i dodavati, na isti način kao i kod zadavanja ostalih krivulja u programu IT-ClawII. U profilu je svaka točka definirana sa svojom udaljenošću od početne točke profila i svojom nadmorskom visinom. Kota na kojoj se nalazi početna točka profila, predstavlja nadmorsku visinu na kojoj se nalazi lijeva obala u uzdužnom presjeku, na odgovarajućoj poziciji u kanalu, dok zadnja točka profila odgovara desnoj obali. Svakoj točki profila je, osim geometrijskih podataka, pridružen i Manningov koeficijent trenja, koji zadaje korisnik.

Slika 3.5. Jedan od poprečnih profila kanala.

Nakon što smo definirali geometriju kanala, tj. uzdužni profil vodotoka i sve poprečne profile, te koeficijente trenja, preostaje definirati podatke koji su nužni za provođenje proračuna. To su, kao i kod ostalih elemenata koji su modelirani zakonima očuvanja, domena i prostorni korak proračuna, odnosno vrsta numeričke mreže. Definirati je dakle potrebno: prvu i zadnju ćeliju numeričke domene, vrstu mreže (uniformnu ili neuniformnu) i veličinu prostornog koraka ukoliko je mreža uniformna (Slika 3.6). Ako je pak odabrana mreža neuniformna, onda je potrebno definirati proračunske točke u kanalu.

Slika 3.6. Zadavanje domene i prostornog koraka proračuna u kanalu

Rubni uvjet protoka (Discharge 1d Boundary)

Element rubnog uvjeta protoka dodaje se na početak ili kraj kanala. Nakon odabira odgovarajućeg elementa u Build Add meniju (Build+Add+Discharge 1d Boundary...), dodani se rubni uvjet pojavljuje u kontrolnom stablu prikazanom u lijevom prozoru radne okoline (Slika 3.7).

Element rubnog uvjeta protoka

Slika 3.7. Zadavanje rubnog uvjeta protoka

Da bi rubni uvjet protoka u programu IT-ClawII zadali, potrebno je definirati hidrogram – ovisnost protoka o vremenu, tj. krivulju ( )Q Q t= (Slika 3.7). Na početnoj se stranici liste svojstava za rubni element protoka, kao i kod kanala, pojavljuju njegovi opći podaci, dok se na ostalim stranicama ne može ništa mijenjati.

Rubni uvjet dubine vode (Elevation 1d Boundary) Rubni uvjet razine vode se dodaje na isti način kao i ostali elementi u ovom programu, te se nakon dodavanja (Build+Add+Elevation 1d Boundary...), pripadni element pojavljuje u kontrolnom stablu. Ovaj je rubni uvjet u potpunosti definiran zadavanjem krivulje , tj. dubine vode u ovisnosti o vremenu. Postupak zadavanja ove krivulje jednak je kao i kod ostalih krivulja.

( )h h t=

Rubni uvjet nadkritičnog utoka (SuperCritical 1d Inflow Boundary) Kod nadkritičnog strujanja vode u kanalu, potrebno je na uzvodnom dijelu kanala zadati rubni uvjet nadkritičnog utoka. Nadkritični se utok definira zadavanjem dubine vode i protoka u zavisnosti o vremenu tj. krivulja i ( )h h t= ( )Q Q t= . Kao i ostali elemenati, nakon dodavanja u projekt (Build+Add+ SuperCritical 1d Boundary...), i ovaj se rubni uvjet pojavljuje u kontrolnom stablu projekta (Slika 3.8).

Rubni uvjet nadkritičnog ulaza

Slika 3.8. Rubni uvjet nadkritičnog ulaza

Rubni uvjet razine vode (Water Level 1d Boundary) Rubni uvjet razine vode se dodaje na isti način kao i ostali elementi u ovom programu, te se nakon dodavanja (Build+Add+WaterLevel 1d Boundary...), pripadni element pojavljuje u kontrolnom stablu. Ovaj je rubni uvjet u potpunosti definiran zadavanjem krivulje ( )H H t= , tj. razine vode u ovisnosti o vremenu. Projekt otvorenog vodotoka Nakon unosa svih željenih elemenata kojim modeliramo određeni vodotok, potrebno je na kraju namjestiti odgovarajuće parametre koji su zajednički svim komponentama koje promatrani projekt sastavljaju, a potrebne su za provođenje numeričkih proračuna. Ti su podaci sadržani na listu svojstava baznog elementa projekta (Slika 3.9). Prva, opća stranica sadrži samo podatke o imenu projekta te uzvodnim i nizvodnim vezama kojih ovdje nema. Dalje, na stranici fizikalnih svojstava (Physical Properties) se pojavljuje parametar Dry Elevation koji predstavlja numeričku granicu kojom definiramo rub između suhe i mokre domene. Potrebno ga je definirati zbog osjetljivosti numeričkog proračuna, a da bi izbjegli dijeljenje s nulom. Možemo uzeti npr. 0,01. Osim toga, na stranici Computation potrebno je namjestiti ostale proračunske parametre, tj. odabrati numeričku shemu, njezine parametre i proračunski korak, te prije pokretanja proračuna kreirati projekt. Spomenuti će postupak biti opisan u zasebnom poglavlju.

Slika 3.9. Fizikalna svojstva projekta modela otvorenog vodotoka

4. Eulerov model strujanja kompresibilnog fluida (Euler) Kod modeliranja strujanja plina u cijevi na raspolaganju imamo sljedeće elemente (Slika 4.1): Euler PDE... - za modeliranje jednodimenzionalnog strujanja plina, Subsonic Inflow... - kojim se modelira rubni uvjet podkritičnog ulaza i Subsonic Outflow... - kojim se modelira rubni uvjet podkritičnog izlaza.

Slika 4.1. Elementi kod Eulerovog modela

Euler PDE Jednodimenzionalni model strujanja plina u cijevi s promjenljivim poprečnim presjekom temelji se na Eulerovim jednadžbama:

( ) ( )A vAt x

0ρ ρ∂ ∂+ =

∂ ∂

2( ) (( ) )vA dAv p A pt x dx

ρ ρ∂ ∂+ + =

∂ ∂

( ) (( ) ) 0AE E p vAt x

∂ ∂+ + =

∂ ∂

Ovdje je: Ovdje je: ρ - gustoća plina, p - tlak u cijevi, v - brzina, x - prostorna koordinata,

( )A A x= poprečni presjek cijevi na udaljenosti x, m vAρ= je maseni protok kroz cijev i E – totalna energija. Totalna energija E se obično dijeli u dva dijela

212

E e vρ ρ= + ,

gdje je 212

vρ kinetička, a eρ unutarnja energija. e je specifična unutarnja energija. U

Eulerovim jednadžbama se pretpostavlja ( , )e e pρ= . To je zapravo jednadžba stanja plina, koja ovisi o plinu koji se promatra. Nakon dodavanja modela koji opisuje strujanje plina, u kontrolnom se stablu pojavi odgovarajući element (Slika 4.2). Pripadajuće karakteristike ovog modela koje je potrebno zadati su početni uvjeti: početna gustoća 0 ( ,0x )ρ ρ= , početni protok i početni 0 ( ,0m m x= )

tlak 0 ( ,0)p p x= , te površina poprečnog presjeka cijevi ( )A A x= . Navedene se veličine zadaju kao krivulje u ovisnosti o udaljenosti od početka cijevi ( )0,x L∈ .

Eulerove jednarubne uvjete. nastavku. Podkritični ul Element podkpodkritičnog ut, a to su tipičnovih krivulja shiperboličkomna osnovu ovimoguće riješiti

Karakteristike Eulerovog modela

Slika 4.2. Element EulerPDE u kontrolnom stablu projekta

džbe vrijede u unutrašnjosti numeričke domene. Na rubu je potrebno definirati U programu su ponuđeni modeli podkritičnog ulaza i izlaza, a opisani su u

az (Subsonic Inflow)

ritičnog ulaza se naravno zadaje na početku proračunske domene. Model laza sastoji se u definiranju dviju veličina, koje se zadaju u ovisnosti o vremenu o gustoća ( )tρ ρ= i tlak ( )p p t= na ulazu u cijev (Slika 4.3). Pri zadavanju lijediti ćemo postupak opisan u prethodnom poglavlju. S obzirom da se radi o zakonu očuvanja, iz teorije se zna da se treća varijabla sustava može odrediti h dviju definiranih veličina, stoga će sustav jednadžbi tijekom proračuna biti .

Podkritični izlaz (Subsonic Outflow) Element podkritičnog izlaza se zadaje na kraju proračunske domene. Za razliku od podkritičnog ulaza, iz teorije hiperboličkih zakona očuvanja se zna da je kod modela podkritičnog izlaza potrebno definirati samo jednu veličinu, dok se preostale dvije mogu dobiti iz uzvodnih vrijednosti u proračunskoj domeni, a koje odredimo iz Eulerovih jednadžbi. Tipično se ovdje u ovisnosti o vremenu t zadaje krivulja tlaka ( )p p t= na izlazu iz cijev (Slika 4.3).

Element podkritičnog ulaza

Element podkritičnog izlaza

Slika 4.3. Elementi podkritičnog ulaza i izlaza u kontrolnom stablu projekta

Projekt - Eulerov model Nakon unosa svih željenih elemenata kojim modeliramo strujanje plina u cijevi potrebno je još definirati parametre koji su zajednički svim komponentama koje promatrani projekt sastavljaju, a potrebne su za provođenje numeričkih proračuna. Kao i kod ostalih modela, i ovdje su odgovarajući podaci sadržani na listu svojstava baznog elementa projekta. Na stranici fizikalnih svojstava (Physical Properties) je potrebno definirati parametar gamma kojim se određuju karakteristike promatranog plina (Slika 4.4). Namještanje proračunskih parametara na stranici Computation opisano je u zasebnom poglavlju.

Slika 4.4. Fizikalna svojstva projekta Eulerovog modela

5. Namještanje proračunskih parametara i kreiranje projekta Kod svih je promatranih modela zajedničko da postoji početni bazni element na kojeg se nadovezuju ostali elementi projekta. Tip baznog elementa ovisi o promatranom modelu, pa se isto tako njegova fizikalna svojstva razlikuju od modela do modela. Za svaki od modela, namještanje parametara fizikalnih svojstava bilo je opisano u prethodnim poglavljima. Za razliku od toga, stranica Computation (Slika 5.1) na kojoj namještamo proračunske parametre jednaka je u svim promatranim modelima. Na njoj odabiremo numeričku shemu koju ćemo tijekom proračuna koristiti, limiter – ako je odabrana shema koja limiter funkciju koristi, vremenski, prostorni red i red rekonstrukcije varijable – kod numeričkih shema kod kojih je to moguće, vremenski korak dt (koji se koristi samo u prvom koraku proračuna), CFL-koeficijent, te korištenje balansirane inačice numeričkih shema uključivanjem kontrole Source Term Balanced.

Slika 5.1. Zadavanje proračunskih parametara

U programu IT-Claw imamo mogućnost odabira između Q-sheme prvog reda i fluks limitirane Hubbardove sheme (Slika 5.2).

Slika 5.2. Odabir numeričke sheme

Pri tome je od posebne važnosti za simulacije strujanja u kanalu s neravnim dnom kod modela plitkih voda, odnosno cijevima s promjenljivom nadmorskom visinom u Allievijevom modelu, mogućnost korištenja balansirane inačice navedenih numeričkih shema (uključivanjem opcije Source Term Balanced). Takva inačica sheme osigurava balans između fluksa i izvornog člana, te u oba slučaju osigurava egzaktno očuvanje stanja mirne vode ([2], [3]). U svim se modelima koji su na raspolaganju u programu IT-Claw, njima pripadajuće jednadžbe mogu zapisati u vektorskom obliku

( )t x

∂ ∂+ =

∂ ∂u f u g .

Ovdje je u vektor stanja (sačuvanih veličina), f je vektor fluksa, a g je vektor izvornog člana. Za tako zapisane jednadžbe formulacija dobro balansiranih shema glasi:

( ) ( )Rni

Lni

ni

ni

ni

ni t

xt ,

2/1,

2/12/12/11

−+−++ +∆+−

∆∆

−= ggffuu ,

( ) ( )

( )

1/ 2 1 1/ 2 1

1 11/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 12 2

1 12 2

n n n n n ni i i i i i

n n n n ni i i i i i i i i i

t xx

+ + + +

− −+ + + + + + + + +

= + − −

∆⎛ ⎞+ − − −⎜ ⎟∆⎝ ⎠

f f f Q u u

R Λ Φ I Λ R u u Q Q V ∆

ni

ni

ni

Lni 2/1

12/12/1

,2/1 2

1+

−+++ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −= GQQIg ,

ni

ni

ni

Rni 2/1

12/12/1

,2/1 2

1+

−+++ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ += GQQIg .

U gornjim se izrazima podindeksi se odnose na prostornu, a nadindeksi na vremensku diskretizaciju. Točnije, podindeks i znači srednju vrijednost neke veličine u i-toj ćeliji

, , a podindeks i+1/2 vrijednost neke veličine na mjestu , gdje je

[ ]2/12/1 , +− ii xx Ni ,,0 K=xixi ∆+=+ )2/1(2/1 x∆ prostorni korak. Nadindeks n znači da je neka veličina

evaluirana u trenutku , tnt n ∆= K,2,1,0=n , gdje je t∆ vremenski korak. Pored toga nadineks L (odnosno R) označava lijevi (odnosno desni) upwind dio numeričke aproksimacije izvornog člana. Dalje je matrica numerička je aproksimacija Jacobijeve matrice fluksa n

i 2/1+Q∂

=∂

fAu

, u usrednjenom stanju definiranom proširenim Roeovim uvjetom ni 2/1+u

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ni

niii

ni

ni

ni

ni xx )

xufufufuuuA −=−

∂∂

+−⋅ +++++ 112/112/1 .

Također se u prethodnim jednakostima rabi oznaka: 1

2/12/12/12/1−

++++ = ni

ni

ni

ni RΛRQ

gdje je matrica svojstvenih vrijednosti, a matrica desnih svojstvenih vektora

matrice . Konačno, vektor numerička je aproksimacija za

ni 2/1+Λ n

i 2/1+Rni 2/1+Q n

i 2/1+V

x∂

=∂fV ,

dok je numerička je aproksimacija za izvorni član Roevom usrednjenom stanju. Točnije, za numeričku aproksimaciju dijela izvornog člana koji modelira trenje dovoljno je uzeti evaluaciju u i-toj ćeliji. Detaljniji opis dobro balansiranih shema može se naći u [5].

ni 2/1+G

Nadalje je matrica definirana s 2/1+iΦ

( )

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

+

+

+)(

2/1

)1(2/1

2/1

0

0

mi

i

i

ϑϕ

ϑϕOΦ ,

gdje je ( )( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

−

<−

−

=

+++

+−+

+++

+++

+

0 if

0 if

)(/)(

2/11

)(2/111

)(/)(

2/11

)(2/112

)(2/1

pp

iii

piii

pp

iii

piii

pi

21i

21i

luuluu

luuluu

λ

λϑ , mp ,,1K= ,

dok je ϕ neka od standardnih limiter funkcija. Kod fluks limitirane Hubbardove shema moguće birati između: minmod, Superbee, Van Leer, Van Albada i UNO limiter funkcije [1] (Slika 5.3).

Slika 5.3. Odabir fluks limitera

Kako su obje numeričke sheme eksplicitne, iz teorije hiperboličkih zakona očuvanja je poznato da je CFL koeficijent pozitivan broj manji od 1, tj.

0 1cflc< ≤ . Ukoliko odaberemo broj veći od 1, može se dogoditi da dobijemo potpuno krive rezultate numeričkog proračuna, odnosno da program nije u mogućnosti provesti proračun. Nakon namještanja svih potrebnih parametara, projekt je u konačnici potrebno kreirati te nakon toga pokrenuti proračun. Cijeli postupak detaljno je opisan u uputama za korištenje programa IT-Claw.

6. Opis ponuđenih projekata

Model plitkih voda LeVequeovi testovi iznad izbočine (LeVeque over bump) U ovom test problemu, predloženom od LeVequea, može se analizirati ponašanje shema u slučaju kada je prisutna inicijalna perturbacija na površini vode. Promatra se sposobnost shema da prate poremećaj koji nastane, što znači da nas zanima njegov oblik i brzina širenja. Funkcija dna dana je s

0.25(cos(10 ( 0.5)) 1), za 0.5 0.1( )

0, inačex x

z xπ⎧ − + − <⎪= ⎨

⎪⎩

na domeni [0,1]. Inicijalni uvjeti su dani s 1.0 ( ) , za 0.1<x 0.2

( ,0)1 ( ), inačez x

h xz xε− + <⎧

= ⎨ −⎩ i ( ,0) 0v x = .

Prema tome, voda u početku miruje, a u razini vode je prisutna perturbacija veličine ε (Slika 6.1) . Ta se početna perturbacija razdijeli na dva vala koja se šire u suprotnim smjerovima.

Slika 6.1. Početni uvjeti za LeVequov test

Ponuđena su dva test primjera: kod prvog je veličina perturbacije jednaka 0.2ε = , a kod drugog 0.01ε = . Na ovom se testu lijepo može uočiti razlika u rezultatima dobivenima korištenjem balansiranih odnosno nebalansiranih inačica numeričkih shema, a ujedno i njihovu sposobnost praćenja malog poremećaja.

Pucanje brane iznad pravokutne izbočine (Rectangular Bump DamBreak) U ovom se testu može promatrati ponašanje shema na problemu pucanja brane, u slučaju kada se pojavljuje prekid u dnu kanala. Značaj ovoga testa leži u činjenici da se ovakvi diskontinuiteti mogu pojaviti u realnim situacijama. Na taj se način provjerava sposobnost shema da ispravno prate nastali poremećaj u takvim okolnostima.

Slika 6.2. Inicijalna razina vode i dno kanala u testu pucanja brane iznad pravokutne izbočine.

Dno kanala je definirano s 8, za x-1500/2 1500 / 8

( )0, inače

z x⎧ <⎪= ⎨⎪⎩

dok su inicijalni uvjeti dani s 20, za x 750

( ,0)15, inače

H x<⎧

= ⎨⎩

i ( ,0) 0v x = (Slika 6.2).

U ovom testu se uzimaju u obzir i sile trenja, pa je pretpostavljeno da je Manningov koeficijent trenja duž cijele domene jednak 0.1. Može se uočiti značajna poboljšanja u rješenjima dobivenima uporabom balansiranih shema. Naime, numeričke oscilacije koje nastanu kada se izvorni član jednostavno izračuna u središtu ćelije su neprihvatljivo velike, stoga nebalansirane sheme nisu pogodne za korištenje.

Model otvorenog vodotoka

Propagacija plimnog vala u kanalu predloženom od radne grupe za modeliranje

pucanja brane (WGDBM Tidal Wave)

Ovo je tipični test koji se kod jednadžbi za otvorene vodotoke koristi za provjeru numeričkih shema, a predložen je od radne grupe za modeliranje pucanja brane. Dno kanala je definirano tablicom

Kanal ima pravokutne poprečne presjeke promjenljive širine. Širina kanala je dana u sljedećoj tablici:

Dno i širina kanala prikazani su na Slici 6.3.

Slika 6.3. Dno i širina kanala za test propagacije plimnog vala.

Duž definiranog kanala ćemo promatrati nestacionarni problem propagacije plimnog vala. Pod pretpostavkom izrazito podkritičnog toka u relativno kratkom kanalu i s malim Froudeovim brojevima duž cijelog kanala je moguće odrediti asimptotska aproksimativna rješenja. Pretpostavljeni inicijalni uvjeti su

( ,0) ( )h x H z x= − i ( ,0) 0q x = gdje je jedinični protok, te vrijedi veza A=hB, dok su rubni uvjeti dani s q hv=

4 1(0, ) 4.0 4.0sin86400 2

th t H π⎡ ⎤⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ i ( , ) 0q L t = .

Ovdje je H početna razina vode za koju pretpostavimo da je konstantna duž kanala i jednaka 12m, a L=1500m je duljina kanala . Izrazom za dubinu vode simuliran je plimni val amplitude 4m, te periode t=21600s. S obzirom na malu brzinu propagacije plimnog vala, za površinu vode možemo smatrati da je u svakom trenutku konstantna. Rješenja je najbolje promatrati u trenutku t=10800s kada brzina vode na ulazu u domenu dostigne svoju maksimalnu vrijednost. Zbog velikog broja proračunskih koraka, male oscilacije koje nastanu numerički se mogu pojačati te izobličiti konačno rješenje, pto dolazi do izražaja kod nebalansiranih numeričkih shema. Hubbardov test – stacionarni tok (podkritični test i test s hidrauličkim skokom) Na ovom se problemu testira efikasnost numeričkih shema u slučaju stacionarnog toka u kanalu promjenljive visine i širine. Geometrija kanala preuzeta je iz [3]. Promatrani kanal ima poprečne presjeke pravokutnog oblika. Visina dna kanala i njegova širina dane su s

( )( )20.1cos 1.5 , za x-1.5 0.5( )

0, inače

xz x

π⎧ − <⎪= ⎨⎪⎩

i

( )( )21.0 0.1cos 1.5 , za x-1.5 0.5( )

0, inače

xB x

π⎧ − −⎪= ⎨⎪⎩

<

na domeni [0,3] (Slika 6.4).

Slika 6.4. Dno i širina kanala u Hubbardovom testu.

U ovim se testovima promatraju stacionarna rješenja sustava. Možemo ih odrediti iz sustava dviju običnih diferencijalnih jednadžbi koje slijede iz jednadžbi za otvorene vodotoke pod pretpostavkom nezavisnosti o vremenu. Navedene jednadžbe vrijede na dijelu numeričke domene na kojima se ne pojavljuju šokovi. Na mjestima šokova, tzv.~hidrauličkih skokova, vrijede Rankine-Hugoniotovi uvjeti skoka [1]. S obzirom na svoju prirodu, tok može biti podkritičan, nadkritičan ili pak kritičan. Kao što smo već spomenuli u slučaju podkritičnog i nadkritičnog toka vrijedi sustav diferencijalnih jednadžbi iz kojega slijedi da je kod stacionarnog toka protok konstantan, tj.~ Q=konst.

U prvom su testu rubni uvjeti definirani tako da je tok izrazito podkritičan duž cijele domene. Zadano je

3(0, ) 0.1 /Q t m s= i (3, ) 1h t m= . Kod kanala s pravokutnim poprečnim presjecima i izrazito podkritičnim tokom u stacionarnom slučaju vrijedi Bernoullijeva jednadžba:

2

( )2Q g h z konst

A+ + = .

s

,

pa se iz nje može odrediti dubina vode h(x) duž cijele domene. U ovom se testu, zbog promjenljive visine dna i širine kanala, može promatrati cjelokupnog balansiranja izvornog člana s gradijentom fluksa. Moći će su uočiti da se rezultati dobiveni korištenjem balansiranih shema veoma dobro poklapaju s analitičkim rješenjem, za razliku od rezultata dobivenih pomoću nebalansiranih shema kod kojih nastanu značajne numeričke oscilacije. Drugi test primjer uključuje hidraulički skok. To se postigne postavljanjem sljedećih rubnih uvjeta:

3(0, ) 1.88 /Q t m= i (3, ) 1h t m= . Zbog promjenljive visine dna i širine kanala, kod ovakvog protoka dolazi do prijelaza toka iz podkritičnog u nadkritični u točki maksimalne visine i suženja kanala. Nakon toga, tok ponovno postane podkritičan. Stoga u kritičnoj točki dolazi do pojave hidrauličkog skoka [1]. MacDonaldsov test primjer (MacDonald's Jump) Ponuđeni MacDonaldsov test primjer je također stacionarni, i ima poznato analitičko rješenje. Kanal ima pravokutne poprečne presjeke, a njegovo dno i širina prikazane su na Slici 6.5.

Slika 6.5. Dno i širina kanala u MacDonaldsovom testu.

U testu se promatra stacionarno rješenje koje odgovara konstantnom protoku i konstantnom Manningovom koeficijentu trenja n=0.03. Rubni uvjeti su definirani s

320 /Q m= s

3(0, ) 20 /Q t m s= , (0, ) 0.7h t m= i (200, ) 1.215485h t m= .

Analitičko rješenje za stacionarni tok sa zadanim konstantnim protokom i definiranim rubnim uvjetima se može izračunati, a prikazano je na Slici 6.6.

0

1

2

3

4

5

0 50 100 150 200

x

razi

na v

ode

Slika 6.6. Analitičko rješenje u MacDonaldsovom testu.

Prirodni vodotok Gacka (Gacka) Ponuđen je također jedan test primjer s realnim vodotokom. Strujanje fluida se promatra na kanalu duljine 2400m, s veoma promjenljivim poprečnim presjecima (Slika 6.7) koji su mjereni otprilike svakih 50m.

Slika 6.7. Primjeri poprečnih presjeka kanala kod prirodnog vodotoka.

U testu ćemo pretpostaviti da je kanal u početku suh. Utjecanje vode u kanal postići ćemo tako da na ulaznom rubu zadamo rubni uvjet protoka. Pretpostavit ćemo da je konstantan i jednak . Vodni će se val širiti kanalom, a na izlazu ćemo rubni uvjet definirati s konstantnom razinom vode. Sile trenja su regulirane Manningovim koeficijentima, čije se vrijednosti u zavisnosti o svojstvima kanala nalaze između 0.03 i 0.05. Rezultati proračuna koje smo mi dobili prikazani su na Slici 6.8.

320 /Q m= s

Slika 6.8. Propagacija vodnog vala kod prirodnog vodotoka.

Eulerov model Stacionarno srujanje u sapnici (Nozzle Flow) Strujanje u sapnici modelira se Eulerovim jednadžbama. U ponuđenom je testu geometrija sapnice dana s

2( ) 1.0 2.2( 1.5) , 0 3A x x x= + − ≤ ≤ (Slika 6.9).

Slika 6.9. Distribucija površine sapnice u testu NozzleFlow.

Ovo je test primjer za stacionarno strujanje, pri čemu su rubni uvjeti definirani s: 31 /kg mρ = i 510p Pa= na ulazu u sapnicu

i 60200p Pa= na izlazu iz sapnice.

Za ovako postavljene rubne uvjete i zbog suženja sapnice, se na njezinom najužem dijelu formira šok. Analitičko rješenje problema se može odrediti [1]. Numerički dobivena rješenja korištenjem ponuđenih shema će se dobro poklapati s analitičkim rješenjem. Stacionarno srujanje u sapnici s diskontinuitetom (Nozzle Discontinuity) I u ovom se testu promatra stacionorano strujanje plina u sapnici. Ovdje je geometrija sapnice dana s

1, za 1.3 1.7( )

0.5, inačex

A x< <⎧

= ⎨⎩

, [ ]0,3x∈ (Slika 6.10).

Slika 6.10. Distribucija površine sapnice u testu NozzleDiscontinuity.

Promatra se stanje mirovanja tzv. „quiescent“ strujanje s konstantnim tlakom. U tom se slučaju lijepo može uočiti razlika u rješenjima dobivenima korištenjem nebalansiranih odnosno balansiranih numeričkih shema. Naime, nebalansirane sheme na mjestu prekida u geometriji proizvedu neprihvatljivo velike numeričke greške.

LITERATURA

[1] LeVeque R., Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002. [2] Vazquez-Cendon, M. E., “Improved Treatment of Source Terms in Upwind Schemes for the Shallow Water Equations in Channels with Irregular Geometry”, J. of Computational Physics, Vol. 148, 1999, pp 497-526. [3] Hubbard, M.E., Garcia-Navarro, P., “Flux Difference Splitting and the Balancing of Source Terms and Flux Gradients”, J. of Computational Physics, Vol. 165, 2000, pp 89-125

[4] Sopta, L., Vuković, S., Škifić, J., “Well Ballanced Q-Scheme for Nozzle Flow Equations”, Proceedings of the 4th International Congress of Croatian Society of Mechanics, 509-516, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, Zagreb, Croatia, 2003

[5] S. Vuković, L. Sopta, “Upwind Schemes with Exact Conservation Property for One-Dimensional Open Channel Flow Equations”, SIAM Journal of Scientific Computing, 24(5), 1630 (2003