69
رﺳﺎﻧﯽ ﻓﺼﻠﻨﺎﻣﮥآﻣﻮزﺷﯽ، ﺗﺤﻠﯿﻠﯽواﻃﻼع٢ آﻣﻮزان دورۀ ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﺑﺮای داﻧﺶISSN: 1735-4951 wwwroshdmagir GPS دورۀ ﺑﯿﺴﺖ و ﻧﻬﻢ ﺷﻤﺎرۀ ﭘﺎﯾﯿﺰ  ﺻﻔﺤﻪ   رﯾﺎل www.riazisara.ir

ISSN: 1735-4951  · Yd4 :d.˙ ˝ 3d@ Zdˇ ˘d D:‘d.˙. dp + ˜ :wd|U{ C˝ 3#d|‘ #d Y9d 89d8 e Sd& 3d@ wd.ˆ Ugd8˜ ˛d&˝ ˛ d #d -d&.w 9d8#d +< d 3˘d+pD˜ ˛d[˝#d+./d 3

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

������������� ���������������������������������������������� ��� � � �!

���فصلنامۀ آموزشی، تحلیلی و اطالع رسانیبرای دانش آموزان دورۀ متوسطه ٢

ISSN: 1735-4951

www�roshdmag�ir�������� ����

����������������� ���������������GPS������������������������������������������ !"�#����$%���%&'�����()������������������*�����+�*�,��"�����*-��.������������������

دورۀ بیست و نهم �شمارۀ  � � پاییز  ���� �� �� صفحه������  ریال �

/���0&

+����

��12��3

�4��.� ,�*

�,�5�.&�

����������� �� ����www.riazisara.ir

���� ��������������� ������ ������������

������������� ������������ ��� � ���� �! " # � $%�& '(#�� )* �+���! ,-./ 0! �1� 0!�.1� 0!�.1� ��� �! 234�+ �! 5! 67/ ��8/ 9#�: '+ : �;�# 0��< =#>! � � ' �� �.?- �(�� � @�5�+ �� ��+���%� " '���! �A4 #: ��.B �C� D/ 'E�# F� D� )%54#AG ��# �� @�7/�A�� " H3* #: I��+ 0! @:�( ��.- :>+ # ��J+ HKL '.� � :�- I?- 6�4 ���3� @7/ �+�5* �M� 7!�<" �A4 � �NO! )*

)! � :���� �� �4 �!5! # � P�� �%��Q< R�#< 67(��S )K%5- 0!�.1� T �%-�! @:�( �� : � ���U� ��.- �! 67/ F:�! M+ :�( �� )34�+ � �(�! #: � � �+��! '1�#�! 67�� ' �< �� ��.B ��� D/ V�# M�/ @�W�B 0! 23��

�X 0��< Y��! ��� �! ��/�5� D.- " H3* @�Z�: [�\ � 67/ P]?]� I?- #: � 'S �X^< V%/ )! ��� �! #XS 7.� F��N� �+!�B I/Q� �! �BS �X ���8/ 9#�: '+ : �;�#" H3* #: ' �< �� # � #XS 7/�A� 67/ ��8/ 9#�: )/�5�

�74 : F#4 ��� :# �� )! ' �< �� ��� �! :���� #XS � 6:�*

�HK1� I?- 0� D.�� � H3_� )� `31�� ��" H3*���������������������� !"�#��������������#�$%�&'(���)�*���+(�,�%�-����+.�/��

�0�.����1�&2��3�%���1�4&��5�������6��4��7����#����*���8���9���:����)�;+<������������%���!.�*=�8��.�3�*=�8��!.�%�-�����������>(?� #(3�(��@� ����#����%�-��/����)9(�9�����A��6B8�C8�1�-(3��6�����%�&D�16�+��28�1�)��E�1F��G�*�+���1�D�&8

��WKa.� " H3*����������������H��3��/������0�9I��9G�0�.�#- 9�������3����'��9��#-4(���� ��$J��3�K��,�%�-����+.����L��#���� �%�-��/��

�������9��=A8�%�-��3����9M�#��)/�5A� D.- 0� Y+b� )� `31� .�" H3*��

��9 ��8�#E9����M����9G�#�$���A�(�,����3�$����.�*�+��,�0�.�����#�#�����;C(� 8�3������� �N�O�3�#+<���%�-��/���#��-P�Q9G 0� �?�� 0� �c �� �?- '��%� )�B �� )�/# ��

7B�� d�<# � #A5� eb+ d�<# � #A5� f�B�/8���R���#)�C8,�%�-������#�$���S!(�,���I��+ 0! �H��/������

�������������$T�!(��,�N� g��" �W( 2OK+��

�������� �>(?���)9(�9��0�.����03�������H��/�� �!�%L �?-�! D h/ )! R/� 2�/#��

������U��8�V�!�����3��W�X8��D�&8�/-)���#��H��/��P�!�� �� i��� � :��� V*�< �� )�/#��

��9<98����� G�;P&��3������2)3�6�C�8�#�Y9�8�#(����/�������

�Q\ .X#j )-5k �� ,(�.� ��P����3� � )3%K+ �� )�/#��

�� ��$Z4&(��*���+(�,�%�-������[P�#(����/��������8��\��#P%�_.� � P�!�.� d8; Y.� �� )�/#��

Ia5� ,A/ 0!�N!�! �*�]� �# ���� ��P��U �=� �#(��� �/��������9<98�09�����"���-���;��P�-��������;P&��3��3��_<

���������������� �!���"

��������������� �������������������� ������������������ !���������"�#�$%�&�

'��(��)���*+���,�������-./0.12.20��(34�5��67�8��9�����#���

�:-1//;�.00:��$%&�

����� دورۀ بیست ونهم �شمارۀ پی در پی��� � پاییز  ���� �شمارۀ � �� �� صفحه  ریال �������

فصلنامۀ آموزشی، تحلیلی و اطالع رسانیبرای دانش آموزان دورۀ متوسطه ٢

�������������� ���������������������������������������������� ����� ����!

�������������������� ���������������� ������������������������������������������ �������������� �!�"�#���������������$���%&����������

��� !��"��#�������%��#��'��������������� �������#������'������(����)�����*����+,-�$�#�.��/-��'��0��������1������)�2�1��������������'�

�$�% �����www3roshdmag3ir����%&�'��(�������Borhanmotevaseteh2@roshdmag3ir��� �)��*+ ���&�,&http://weblog.roshdmag.ir/borhan-motevasete2�����(4���5667�� �)������&�,&899�:*(�;�<������=���)��;>���-?4@A��B!��C�8DE5554DD9DE6�� �)������-.���8DE55A6�4D9�� �)�� �/&�� �)���������(�0��12��Ds5@sFts5s��-�3�,����������(�0��12D75@7F444D�-�3�,�������-.���8D�G�5559@4�5�45�����6�7H����H2����8����/9�����IJ�������

���������'(�)*���+ �(,

� � D� [�L C����������I��� �� :� �;�# �G�� �4���S

���������A���0�.�I��2��+'8��� �/�5� �� I/�<�����������u-����v��������� m<]?]��& ,cK� m(�! ,L #: m<]?]� n� 0N+� � F:�3/

������w�8������+D��� P;�# o���S #: 'S pQ+ � P;�# R�#< 2��W�C�����u- ��#(L�u+��"�B(�d�uR9(�#���u�&D�v��x3���� H�1� n� m�?;#AG 7LK� n �! m�����

C��������E����S �8��� 4�� Y! �< : ��< � )-�.a� � �� ������u���3����9+'8�d�w9�98�#!I������5* �� #* )+�ZG GPS

�����w�8������+D���;�# '�3� 2.��< o���S�l���� ,L � �! ,cK�

�;�# ��# >� M�+ ����� �����������4���u��+���������d��"����0��4��)�����+'8��-�����qM#AG 7.KBr �;�# FZN���S

�;�# �����/ ������ �����������+D���M#AG �� �� �� � 7��

������9U��-������S��'S ��# p� �� p�G � � )/#�� P;�# o���S '�N��+ m;�#

�������9U���������8By��-�����666 #! p?�: �3�� �G �P%X n:�!#* P;�#

����w9�98�u+ �.������+'8����� qF����# m��+� #: P;�# � m��:�!#*r 0�� )��L � M�?- � P;�# )QB: �5G #: P;�#

�����9U���������8By��-������%� ������Pj:��

���� �;�# 2Q!K� �����qm��# '�?� Cr >�� ,b� # : F>�� n )Q!K� )?sK�

,cK� R/� �����,cK� ,L �.5� #�����M#AG �� �� R/�

��5* �� �#_.� )! P�-: � )5�� 0� #: @>�>- ' ���S p+ : � �;�# ' �!: 2.� � @C)W/�3� '��! �4# 2?a��0����.����eD����+.�#�0����eR�&8�x�I� �z�# d�9-8�g�3���d�����0�d.�%�-��WdD�48�6Bp[8�Z)��3�id&�3�x� b�������T+��0�.�#(�28�Q��_��������8���������89+��0�.�#(�28�;+<������Q��_�� �������0�.�+C8�x�I� ����98�� ����0����.����eD����+.�#�0��#2�&8�eR�&8�x�I� ����98�� ��������3��+ �#���8�����S �#�Y9�8�u�������4G��:#������Q�98��:6������> (�3������0�.�#-p��:���������������+-<��3��+���;8����M����:6�����������

��d���������.�#(�28�;)����3�{|D�:xBE��:TD����#}�A8���� �����9��:��p8�� }�D����3����9G����d�:�-)�����0�d.�#(�28��

��������C��8�|G?8�~"��������:�_���0�.�#�A8�����.�%�-�����#}�A8�7(� 8�������!-���������*�����pdf�e��)�6�9E�#��R�+���8�*�����#�A8�up��-p(���&U�~��I����#����L�28��

�3�����#(�28�0��-�����3����+��F���o�+-D�����9G�`E�mailb��p�3�-p(�����[��3��-&U����[��3���+��/!������+ ��(�����0�.�#(�28�0�S-�����������8�)��"�����9G��+��3���-��S �����3��M��9��G����

����������������� �������

Cmq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�!:�/D� [�L

������������ ������������������ �������������������� ���������� ����������� !�"�� ������ �� ��#��$��� �

%&���'�(����')����*���+,���������-.����������$��'�(���/�0���$� ��12����1��������3456�!�� ������� ��7��8��*���'��9� �0�$9� ��'�(��:� ��������9��'��;����< ��

<'��9� �-:�=������,*���� ��>������?!�.���!0�+!@A��&,*� ����� ��B;��C ��3�����D���<�����EF���� �����'��;��������������!������8������ ����������� ���@(��������G������HI�J�����������H�J���K���L�M�������<�$��'�(�'���F�N��������������������� ��B;��C ��3�����D������������0�$9� ��������$����B;��O��&��>������D���L�J$������B�������'�PQ����(���R�������EF�H�����-I���2�#* ��6S��8�� ���'��9� �0�$9� ������!$������@(�<+� �����$���T!$�� �2�#* ��6S��8��-I������� ����+!�=��@�� �U�������0�7����D$����2��* ��#���8��O��-I����&��,$� �����EF�-I�����$�(���R����V:�=��<<<�����A�K�� ���&8�.�+!���W����XYxZy[��(����\����� �������+!(�����(���-B(�-!��=���!�9�O��]�Q���L� ��!���������

<5+!� ���2�#* ��6 �JQ�O������+!=�����EF�L�^��=I���� ��!�9�����&I�=���&��� �_0�!`"���@(�>�������� ��B;��&��>����C ��3� ���B�������'�PQ��a�� �b���c�E�d@��M�J��M�J����U���N�^�9��<� ����$��� �e�VQ����� �LS����������Q�@D����$���MI�J����6�!�� �f��\� �������� ����B;��&��>�� ����T=���!`"������� ������ ���� �U$T� �+VQ����$��� �e�VQ� ���B�������'�PQ��a���Q��#���$c�E�g

�<&(�������\��@(�&!KP\��( ����� �� ����9�!$�h!3���������3�#J�*�T!$�� ����������� ��'�(�R������ �HI�J�������G����9��i8����*��R��������=��'�(���j�N���������O��-��(����� �����+,�������V.������G����+!$���������EF�E�!�������aC �@(c�G���������� ��� ������6S��8��-I� ����k!��a��J*�������������������V@*��gc�H�J��lPM��<+!��� ��( �@(�����O!�B����C �@(�9����J���<� ������ ���L�@�I�����m�����-:�=�� ��+!>�=�� �^����56�!J!���7

<+!���n��'��;����T!$�'��9� �0�$9����m�����-:�=����$������ ��������$���9�!$�h!3����Q�$����� ����������� ��'�(�R������ �HI�J��e�@��V�� �^����� ����������� ��'�(�R����G��������� �T��@����&K������@(�<�$��'�(�E�!���� ��B;���( ��������������� ��7�$��!�������5�9�!$�h!3���6�!�� �E� �������� ��7�$� ��-!������������O��L�J$�������\��� �N��������������<���!U��O@��T!$���\��� �E��!���9�����!(���5��j� ���� ��B;����D�����6�!�� �9��o �\

<+!���p�g��VD�� ��E����\�e�$��������!���;������������!���������� �����L�M��������$�@$�'�(���j�!(���9��!3���b/��

� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

n:�!#* P;�#

���������� ��������

m��+� #: m;�# :�!#*��8����u����W'48�T������������U�#������u8�^U���dd&��A��3���9G�u8��8�����#O�#������9G��3�8��#������/�������U�u8�#������u�E������T��6��������������!-dd������������9��u8�o�C4I�3����98�� ����u�h'��g��������:�������dd��������/- �����u�����:�_���{�I����������u+S8�^2���9dd[��u+����)�dd[U�u����;8�������7����/���#�������Y�4�����9��������3���8�3��uM����:�9��������3�uM�������^��.������3�6������/���9U�:u �98��3

���M��8����"��\���8���������3�u��+-<���9���:uC4I��9���eX8�/���:��9dd[�������Q�98�����w���9dd8�/�O�#��udd��9E���

�5����8�u8�u"���98�� ����/.�����#[+.��.� ��U$����9G�u���������e(��#O�#,��$���9G�u8�����#O�#�u����,��

�u�����w�.�%�-��w�.�����Y�4����#��������dd 9��#(�28�/���w�3�D����w�3�8��w�����������.����������/��+.�3��9���������

��������� ���.����#�3�u���

��9<3��#�*�������=.�*9I�����dd[�#��u+���w�.�#-dd ��/�:T�=)��9�����^����/���������u+S8�3���G���_��<�6������:���3�����/����9<3��dd���������)�>�-P8��9�)�3���h-"��:udd��� ��&���#�Y9�8�w�.�udd�������u�E��w�.�Q3�����uddp����9dd���#����������8����!-�����h-"��3��C�E�:udd��� ��&���:T�=)�:#������0�.�Q3���y��������dd)����.�9G�Q�-dd&M����^2�����������3��9 �u8����!-dd���Q3����+.�����9�.�����9<�Q�98��w���:/�9����_-! �w������u"BG��u(���~��2D�:'�\8� �3�t �Quu/�#���B������3�w�9�Pdd��#�����8�#"B��w��dd�3�:#!dd&�)�3�~ �8�:%�&D�w�.�����w�M�����3=(�=M�.��22D�����������u8������dd[��I�G����98�� ����#�u�+��uM����w��dd��4<�3�#dd���.�w�.�#��\��1����u+����8�#�u-4'E��������������=M�.�3��9 �u+��/���=<�w��#A-��j.�����/���u(3��:��9 �u8����u+���/_�dd��e�2������.����g���3��dd���w���������������98�� ����#������dd�

���.��:����������#d�#<9��;��d&8�eD�w��d�w�<�w�d.��������udp�

������� �������������������������� �!"�#$�������%&�� �'�%(����)*�+����$�,�-�.� ��� , �/#012����#$�3����-����24�4���%�5�� ���%���%&���65��7�-��%�����7�8,�,&�9%��:����;%<#$�)=%> ���7�?%�@$�!A���#B�2������C���2�'���D2�'�%(������ �)4���� �4�3��E���3#F��#F�?A��2�?+���.� �������GF��%HI$��F,�4���7�C�J��2�K$�� �'�%(����)�%� ��2�-��#L�3�K7�����8 ���>�3#F��#F�/#� ��$�#<�� �� #���K���0J#$�3E���J��M%7����2��#�-�� ���1�I�2�-����D��4������3E�)�F,�4����� �9%����7�,�#%&�3 �-�,%&�� 4����2

��,������ ��7�3E�3 �-��2#K ���/#� �����%&�������%���'�%HI$�,�#$��2��7�,�#%&�9��3�%����3 �-�,%&�-���8�24����F,�4�� ��(���������� ����-�,�����%7 �A���N2���?���2�!O��2�9�,�P�� ���'�%(����4����7 ����-��%7#5��2��N����

� ��%7#5���>��B�,2������� �K�J�/#� �)�"%CL�/#� �?%C>�4�)/#� �����������3E�Q�C$��RS�����%�-��2�3�%�

F#4

� ����������������������������� ����

�#�#2��K��7��(��,K@2,%�

�mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�ed+���d�ud�����Y�d4����3��d���f�=d�����d8�g��d���9dM3��!M���d[��Z "�=M�.��d[�uM�������3����d+�����#��udI�4����1�d�����|-8��d[���8�3���9d8��������ud�������d����#dp����w��d���d������d ��:�d�����d"�����d����#d��:��M�/d(3��#d��d��9��u8�:��9d

�� �����)�[U��������#��u8�"��.����"�w�.���8�����#������uS����M����3=)��u8��.����������!-dd����3=(���:�dd �u8�#-dd ������+�������+[�����.�������9G�u8�:� �������!�9M����w��#�M�uhPdd ���=8�#O�#���&����u8�����:���&�u8�.�����4C8����9G�u8��M���������dd��9G�u8�:�9�/8��w������M����������L����w�����dd��;�E�)����9G�u8�:�����u8������#����^2��"��M���������w�M��������������<��;(��48�3�6��ddA�������GL��3������eD�dd���������9G

��� �u8�%�&D����<��Q��������:�.�����:��8���&��9��:�G98�������"�����#4dd��'8�u8���#��u8�_�.��������w�M�����������T��-8����98��_���3��AD�:�D�dd&8�:#�E�)�w�������9G�i�&��3�^�������&��9����dd&���:��"�����������#����8�w�3��)�#�u�����^����g�-&M�;C�9����3����=!�^�98��U�%9&'8��.�����=<��.�#������#��u�C)�u��4��'8�g��U�w�.���\��3�3��.�Z���:�.����/�i�3��:�_���{�I���������#I�D��:��9dd �u8�udd&�9��#8����3��.��-��9_(��/-dd 9�����:u2 �8�w�.�w�M�#A-�

�������������w��#������eE�������dd���u������.�!8�/�����S8����up��Z����9ddS!8��.�#(�4�����dd���#�9+A8�3��/�w�.�# ��������ddG�u�9��Zdd������;�8���#��uC���:��9dd �u8�%9dd&'8�Z������uE�G��(�D��.�:u����9I�#�3��������dd������dd&�:�dd�������w�.�����;�9+A8

���������3��)�������#������3�u��������w����w�.�#(�4�����m�z�������uI����#�D�8���ddSO�udd������9I�#�#8����T���G�dd��w��

�5����u8�1#��&8�>��C���

�1#��&8�eD�uD��I���1#8����/- 9����#8����w��<���

�eE�D��3��;�D�8����#dd�����u��.�#����M��dd�������#dd���L�����#��.��-��9_(��/�����8���u8�$�-��9_(�,�xB E��#�:��9dd �u8��|(�1��-&.�udd&�9��#8��������#4 �3���9dd �u8�#- 9��� k��#4dd �#(��C8�������������&��8�w���u&�9��#8��������#��.����e��4���98�����o�4(�y�=��u G�y�uC"�98����3�u G�6L��C8���_-dd���3���U�3�w��h-"���98����A���:u�9_dd[U�:�����g�S������%�dd&D�u4&��3�~� 8�w�.��98�u�8�3��+�=��8b����#����w�.�# 2������

���3��u8�����#��_������98����w��&�3�`u4����;(��C8�T��/-)���:u G�6L��C8����_-dd���T��eD����{�.�#�������u8�/C��:��8�3��u G�w�.�w=���#8�������#�����.�iG�ZI�2��e'8�u.����S����3�L����!���w���#�S�Y�2��/��+.�3�:�����3��9�������#- �����S�������u�����^2��#[+.�w�(9��6L9h'8

����u���3���3���dd�9�(��\��:�G��7(� 8�#�#<9���dd��A�����������[�;-dd&����j.,�#���9dd �u8�u�����6��������������# ���3������J�9��6������~dd��I����#p�����_8�:�8���������9dd��u+�

�$��9 ���H

�w�.��(�C)�������^2��3�������u�����������#�#dd+��G����5����u8���� ��u��+&<

�#����O�;D������:�dd�����dd&���u-��D��9�98�#��7�"���iG�#��4dd&��/��U�{�I�#�t�°����q�°��3�D�w��#�3����

�������#-)�M����"����i�3���9 �u8�eE3�/_(�#��s°�;�3�������9P-�������

�#�L��u����iddG�#��4dd&��q�°��3�D�;��3�����dd.�����������9 �u8�eE3��.���S8

� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�������� �eh-8���°�;�3����'����C8�#�w�8����.� ����3����i�3�iG�#��4&��q�°��3�D�;�3�����w����

���9 �u8

g�3+��2�G����#d���d���u8�����d ���d�����9d8�~d"��ud�������3��dC"98���������d��9dM��9M�w�=d<��*�dC-8��d�3��G���d&���^d��=)� ���d�� ����� ����d" ��d_��p� �#d ��4d&� ���dG �w��#d�3�������8b�6��d"�^��=)��:ud-��D�*��dC��:w�����9P-d�����p'-d����-S�Y�d4����:�d.�������3��d@������Z��d���d��D�:`�d.���.����dp�+�����:w�d�|U�{�� C���3�#d�|���#d�Y9d�8��9d8�����eSd&��3��d@���w�d.�����U�g�d8����������d&�����d�#d����-d&.�w���9d8�#d�+<��d���3��d+pD������d[��#d+.�/d���3��d.����u8����d"�=d_���%�A��

���������d&����d2�G������M��3�dU�#��u���-���*9���>dd[����98����u+���w�4G���#+��G�����;+.�:����u�����T���dd���8�3���������u�����*�+�����A����dd��"�����dd���u8�����U�#�:����u8�u������~"���9I�#����6�4dd��'8�u���-���*9���u�9���G���#�~)98�uM����#�u.�_[������22'8

���A������"�u���-���*9���/���������� �u�����;4��'8����"���������=�����/-)�M��|<�3��dd-��9_(��;4dd��'8�����8�:u�����*�+������w�-[�3����~"��6�4��'8�����9-���-&.���3�8������+dd[���

����.����A������;��3�#������w�������������-&.���3�8������+dd[��������u�-!M���8����������9-�Tdd��9(9�p�9�6�4dd��'8���A���3�*9�dd��/�������������w�-S�K��-��#������3���I�dd���9hG�#��.�w��+�6�������������+&"����3�������0�.����+dd �������98�/���#b

�`�� ��.�9G���� ��up =U������9U�3�� ����.�*9�dd��/����G�dd�����{�.�:���D�*�D������A������.3����~��=����M����3���dd�g����w�.�*9�dd���_������.�����*�-�������8�:���u��D�*�+��������*�-���=��3�u�����6�4��'8�����.�*9����AD�w����y�^.������3�w�����y�� ��:��[)�:�8��=��3�w=�8�3�u4�"�6B+D�V9"3����9��u8�u��4dd��'8�*9�dd��/�������3��6�=SA��;��3�#�3�����u����� ����)����������I�dd���4G�/���g������-[�VBI��w��b��������K(�C8�Tdd =U�VBI��#�����_��4G���_ ��u+���w��=M�4G������#����9��u8�=_����!_

������#C<��8�$www��yjc��ir,

�#&�T�

����(�

2UV�

�W

)QB: �5G #: P;�#

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �%����#���������.��+����������6��+����A�����.�$���8�28��4<,�0�.��-G���;��\��:$��A8��4<,�#���(�D����������� ������^��+���.��+��������A���:�.����0�<�#��.��+��������!-�������.��3�M�e4"����:������0�������*9SA8�0�����dd������"�#���8�_�.���[P��8����dd������������%�P-���/�����-�dd��x�:�.��^��+��0��+��idd�9�������9P(��3��.����A����.�6��4���dd�����+�����9���8��)�.��/���������!-dd����dd&�9��������dd[)�3��9M��9M�0�.������������.��+��/�0�.�# ��

���.�����zt�����:�9 �Z+<�q����9O�#��������0�����.�9G��8������8�a�)�:*�X8�0���0����)�D�������9���8�:�������9I�#��8����.����A����C4I��9I�#��������/������9���8�oL�+-D��#-4(��#\DB8�:���dd��*�X8�/��������������x�qczt�;(��C8�6�9E�#�����+C8�3����!-dd���*9SA8�^��+�����o�8�+���4<���.���8�����#�xczt�q�6�9E�#�������U�#(��C8�{�I�3�����#dd��~��!��#�������8

������������U�������oL9+C8�#I9�8������)�#O�M�:����6��+��V9��/�����98

�mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�4���S

���� � !�"# ��

�+a5< ���\ �Q<�.1�

F#4 '�5*< '3/! ' #�: � �uu/�5� �� I/�< � �! �/�5� �� I/�< � 6�+ F:�! )��< :#�� F# �.� @F����# ,cK� ,L #: Fv�� )! @'��+�� ,cuuK� ,L @�#.�� @�/�5A� @�5c>< �� �4Q+ @� ��! w� �J+ �q�r 2/�5�" H3* #: 6:�4 �� F:�3/ 666 � �L �\ �!�a< 234# �C �;�#" � �;�# 23uu4# I�: 2�� #: 67/ F�4 x�W� )5�� 0� #: �%�W� #b3( )! #: Fv�� )! V�W� 0� yK! � )�/�< [�� �;L 2�Q�

67/ ��?* ,cK� ,L �3K! #��� � p* y( �.* )! �/�5� �� I/�< #: I/# [�� @P��3� �� 7�B�� #: � 'S � F:�3/ �

67/ �/�5� '_� �� 03�� � �/�5� ,_4 �� )* :# : :��� D�Aa� �� �.uu/�< 2?sK� #: �J+ � F�� : �� @z?]� �� @)WQ+ �� ,1� �+ �< �� M�?�� ��! I� ���>G @D�Aa� �! F�8- 6�4! � 'S

6I��� �� �F: :" � 'S )! )* �54! )34 : :��� �\�4 ��! )?sK� �� #: Ma+ �/ t�4 6�5* t�!�� I� )! � F: : ! # D�Aa� )* �4! �� )?sK� #: 67/ )?sK� �?k �b5- F�4 F: : I/#" � @'S Y?; )/ ':�! M�?�� ! @z?]� Iuu/#" �_� � F: : @�'S d�<# )uu/ ':�! M�?�� ! z?]� 'K_� I� D�Aa� @q7/ # y( F#� )uu/r �53K� �: #: � F: : � D�Aa� 0! 2W! # ��� @qz?]�r 7/

67/ P��3� )?sK� �: 0� @)a3+ #: 67K+ 'K_� )?sK� t�4 {�

6�+# : |�� �?* #�\ )! I� ! )?sK�

�./�< ,cK� ,L o�#�#��������&p���+dd����eR�dd&8�eD�����Q3�

5�9 ��8�#-)�M��\�������M���O�6�9E�#������8�a�)��� �eD����#��&8 �D� M���

�?+�X�%F���X������%24�X�Y� �!�%����7�4���0����,���7�T�,�7�X�7�?Z�����T����E�X����%���9��$�[���2�T�,�7�X�7��%��$\X����0������&�!KJ�$�]T(�����%>U5�]�%O#&�� �#J_�,��W�T2��7���T(����?A��2

$%�&��'���(�% )

l mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�; 2��T��/-)���#�������#��&8�e�'��� �M�: M���������8�e��4��*9SA8

��d&2���=d<�3��#d����*9SdA8�; 2� �M�/ M������p8�T��#��=<�����������.�#��0�9I�#�:�����8���p8���9dd �e��4��*9SA8�; 2��0����dd���.

����������iG�T�����������oL9+C8�����.�3��/�����-dd[8�eh)�*9SA8�; 2� �M#AG M���

���������.���p8

�/�;�3���3�Z���3����9dd��9�C8����X�X8� 6�D]� �`AB�c�c�3�AC�c�b�3��c��b���������Z���3����

�,L��3�� ����dd �eD�#��dd&8�����a�) �D� M���

�� ��#- ����9)�6�89�C8������ABC�W�X8

��

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

�lPd[8�#��&8�e�ddd'��� �M�/ � M�: �� M��������:������ ������#�����A�;�3����8��M��#���9dd ��8���#�3���VB���03�����C�3�B�;dd 2���dd����)���:���

�����lP[8�c�3�b�0�.�#�E�)��.�C�3�B�0�.�# 2��#���dd���J��3�:�_���{�I���

���-&.�c�3�b�V�C �3�A�=��8�#����.�������03��3�

�;�3���Z���T�����- ��; 2��B�; 2� �M#AG M�������- ��; 2��C�; 2��3�:C�V�C �3�A�=��8�#�������3�A

�����#�3����_���Z���3�b�V�C �3�A�=��8�#�������:L������� �#-)�M��\�����0�.���M���� �I/�< o�#

5����/�O�����Q3�������8�������g������#����XAY�;�3����

����AX�����[���8��C�V�C �3�A�=��8�#�0���������������Z "�B���

���������8�����b�V�C �3�A�=��8�#�0�_���g�����������Z "�C�������AY�Z��

������� ������\����98�W�X8�������8�eE3��C�#�B�����

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 C ,_4

��*{<�%�-������+�����������0�.��(�D�����G��������8�0����9G��.�������p������|(��������8�������0���1�����8����!-���eR�&8�eD�����.��������(3�#�#��&8�:#��&8�T��eD�����dd���/p+8�*�X8�e��4�����Z���#����9�lPdd[8����X�X8�����#��/- ��������W�X8�5�9 ��8�#-!M��A���������9 �7(� 8�3������Q3��������3������8�����Z��

������8�0����9G����0���p�

��*{<�%�-������+�����������0�.��(�D�����G��������8�0����9G��.�������p������|(��������8�������0���1�����8����!-���eR�&8�eD�����.��������(3�#�#��&8�:#��&8�T��eD�����dd���/p+8�*�X8�e��4�����Z���#����9�lPdd[8����X�X8�����#��/- ��������W�X8�5�9 ��8�#-!M��A���������9 �7(� 8�3������Q3��������3������8�����Z��

������8�0����9G����0���p�

�%�-�����#���+dd����������98�7(� 8�����G��5�������6��4��:������ �#-G���U��.����#�����

1iG����U�T��>h�8�9+�������1#�3���T��������������

1a3�!8�; 2�����iG�T�����9+��� G������1a3�!8�; 2�����iG�T����0��98�� G�������

����Z���#����9��9�C8���W�X8������ �ACcb�3�ABcc�0�.��������:ABC�W�X8���� 6C D]���������W�X8��������dd ������AHcha�V�!����*9I�3

�������%�9<���O�#��&8�����

�3��:�����9�C8�AH�V�!����g������#���A����� 6�,L��:����ZI�2-8�H�; 2�����#�����d����d��.����9+��iddG���<����AHcha�Y9dd G�����p��03��������8��dd����)���C�3�B�; 2��3����dd �lP[8�0���������8�����c�3�b�0�.���������3�A�=��8�#����.���+��:�dd������C�3�B�����3��d�iddG����.����ZddI�2�,�����dd��

�����lP[8

�����-�.�� ���/0������.�!��1�� ��� �/2�3(�/0����45�6��7��14�( 6��/2�3(�1�������8 ���9�

�1!�2:�������;��1���*<(�1.�!=(

�4��%'.��>>>�6�0��?����(

�mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

� �

��

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

�������.���dd �����0�dd.���+��#���dd���J��3��dd���W�X8���SO��|(��������d�iG���ZI�2��;dd 2��3�

���9 ��8

��

��

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

��

��

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

��

� ���

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

� �

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 l ,_4

�3�s�3�0�.�epdd �0�.�W�X8�#���dd���J��3��8��#��&8��|(�1��-&.���4 ���e�"�3��#�3����3�t�0�.�ep

������=��+-8�%�9<�3�

�0�.����������9dd��9�C8������ABC�W�X8� 6�D]� ��_���Z���3���\��0�.�#��8�3�`BC�c�ab�Zdd���T�

���������`CC'�c��mc�3�BB'�c�mb'b

5�������� ���� �����W�X8�����a�) �,L�c

b

CG CC ' m

BG BB' m

� �

� �

z zq qz zq q

�� ��

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4 ����������e�"����Z���#����9��9�C8���CBG�W�X8�g������#����CG�3�BG�VB�����dd��������8�����������3�B'�Y�2�����`G�{�I���b��.���8����-8����dd �9G�>h�������8�eE3�C'�#�B'����3�B'�#�C�����������dd���#�C'��������Z "�A�; 2���������dd_��p������.���8����dd-8��3

�3�BC�Z�����9��9dd�C8������ABC�W�X8 6� D]� ���������AH�V�!����3�AM�;��8

��`d'�3�db������8������.����9+��iG�3� �,L��A�������������8���<�ha�g������#dd����AH :���d'�03������u��+��ma�V�Cdd �3�A�=��8�#���9 �lPdd[8

�����Z "�M�������d���������8

� ��

��

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

���������8������ma�V�Cdd �3�A�=��8�#�0�������� az�V�Cdd �3�M�=��8�#�0�������������Z "�M�������d

�3�B���������Z "�C�3��B��������d�iG���������8����������8�eE3�A�#��C

�iG����U�3��0�.�*9I�%���eE�D�3�V9dd+A8 6�D]�������������iG����U�3��/���������� �����

����dd ��a3�!8�*9I�3��b�3�a�����a�) �,L��e'8�A�; 2���M��������8��dd����.����9+��iG�3�����AB��.��������p��03��:�dd ��iG�3��/�����9ddG��7����#����AD�3�AC�0�dd_���03��a���b�03�dd&8

������8���<�ab�3��03�&8�����ZI�2-8�O�; 2�����CD�3�AB�0�.�>h�8�9+�����������8�����OA�V�Cdd �3�O�=��8�#�0��������E��������������dd�������8��dd���AB�0��98�� G�D

�����Z "

��

� �

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �� ,_4 �M������������������8��dd���AB���0�9+��E����0�.�iG����U�MB�3�MA���dd���Z "�F���������dd����3

5�����:��-&.��\����98MA���MB�c�AB�c�a���b�MA���MB�c�MF���ME��c�m��ab�c�ab��

�������� ������a��9�C8�*9I�#�� G����U 6� D]� �� ��

am ����g������#����������� G����U

�������-8�����a�*9ddI�#����AB�iddG����U �,L��iG����������8���<��D�3�*9I�#����BC�iddG����U

���<��ddD�3�*9ddI�#����AD����03��3��dd������AX

�E�; 2�����������8��dd���BD�0��98�C����������8

�DE

a�m �5������6�9E�/���������������#

���

��

� �

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �� ,_4 �0��98�Y9 G��E�G�����A�������#��������#<9�

�������������!-���%�98�3

����-dd&.��9�C8�0�.�iG����dddU�c�3�b:�a 6l Duu]� �������� ac

a b��3� ab

c: a

b

z0�.�*9I�#����.�iG����U

: axb

�z�5������m�����mz�0�.�epdd ��� �,L�

�g9 �3���9 �����#��dd���� acza b

��

�3 abyc

��.��J�9������9G�������

��

��������

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �C ,_4

��

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �� ,_4

�����-�.�����7&�.6�6�����.�!��6��� �@�6�A��B"��������,� ��4��%'.�

�1�6�%'(�����C�<D�(�/E��F��-.��G���F��$'�������.�!�C.��.�!����E(

�}mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

� �

��

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �� ,_4

�� hb B C � ��9��9�C8������ABC�W�X8 6� D]�

�������� b � c

�W�X8�`ms�epdd b�ABC�W�X8�����a�) �,L�3��BH�c�hb���CD�c�b���c��5� ��#- ���3�� ��%9� 8�����e�"�BDC�W�X8�#A-������CBD (B C)

� �mz

�����>h�8��9+��3�CD����-8����9G��e'8�A�;dd 2�

�����BD

��

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �� ,_4

�V�!������9��9�C8�����"�&(��03�&-8�W�X8 6� D]� ���������������������3�V�!����3�����"������3

3�AH�c�ha�:AB�c�AC�5�dd���a�dd) �,uuL��BT�0��98�HK�:`mt�ep b�BCT�W�X8������BT�c�hb�

�����BT�>h�����g������3

�#�AHK�Wdd�X8�/�������� aHK h�mz

�5�dd�C�

�e�"�` bHK h�mz

b�Z���T��3�`AH�c�hab���3��(�D��������

� �

��

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �� ,_4

�����0�9+��H�; 2����:W�X8�/����dd�������U�#����CH������Z "�C�������AK����dd-8������dd���u8�#�B�; 2������.���8�#8����H�{�I����Q�9ddG�g�����

������������3�������9G��0�����V9����������.�0�.�����

���-)���8���!�����3�!-8�0�.��(�D�#�����+ �#<9��:#(�28�/�����9��h-P8�#�#<9���

������8�7�<�����0�.�/��+�

�� *)

����;��8�#��g��������9�lPdd[8����X�X8�6���������

�/�Z���3�#�3���3��#dd�������dd����X�X8�6C�� ���9�C8��.���

������iG����U�3��*9I�%���eE�D�3�e��!��6��������������iG����U�3��/����������

����d��9�C8����-8��3�a��9�C8�*9I�#�� G����U�6�������p-8��'d�3�d�ZI�2-8�iG�3���

��9dd��Z����\��;��8�3�Z���3���ddX�X8����6�������������W�X8������a3�!8

�mb�3��3�a���9��9dd�C8������ABC�W�X8�6����������`AC�Z��������3��#��8b

��mc�3�mb�:�ha�0�dd.��������:ABC�Wdd�X8����6l������������W�X8�������9�C8

���;��8�#��g��������9�lPdd[8����X�X8�6���������

/�Z���3�#�3���3��#dd�������dd����X�X8�6C�� ���9�C8��.���

�����iG����U�3��*9I�%���eE�D�3�e��!��6��������������iG����U�3��/����������

���d �9�C8����-8��3�d a��9�C8�*9I�#�� G����U�a 6�������p-8��'d�3�d d�ZI�2-8�iG�3���d

�9dd��Z����\��;��8�3�Z���3���ddX�X8����6�������������W�X8������a3�!8

mbm 3� 3� a���9��9dd�C8������a ABC W�X8�6����������`AC�Z��������3��#��8bC

mc�3�c mbm : ha 0�dd.��������:a ABC�Wdd�X8����6l������������W�X8�������9�C8

.............................................................................�"�������[���z#���.�Q�98��:`mq��b����8�S"�/dd&D�+'8��3�/+S�:��|U�x�BE���m

��S��N�O�����S������p-48�*3��N�O�����S����+I�)��[���#���.��`mqrsb���3�<�:�- �(3��z

��

�4���S

mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

8 4�T��������

������*�C� ���)�$� P#-���8 �,@2�� �3#$��2��2�) �,�� #J���(����?A��2�a ���F�;%L���b��&������,+����D7��M%7�,�P��7��,�-�������1��8�%N�4�9������)8 #�12�����+�3����-���F

��,��E���K����c,7�9�������%�� ������C���2�����,��#$��2�� �#2�� �)�$�d�d2���7�9%���J����e��f#5��,2�N���2��g�2�h�,����8 ���'�CH����?+�f�����i�CO�V�)��-��4��$�d�d2���GF���J�`��j�e����)�$�d�d2���7� �@$� ��4� ,"$� #J��������'�d�d2�8�7������CJ����j��+� , �!��B��)�,�7�4����g�2�[���2�3 �F���!1%k��)�J��2�`��3#lK7���$�d�d2���7�9%���J�9�

�m,�� �8,0 ��,��8,����������n�5���),��%F��2���>�������%� �'�%(����a �,@2�� �-�?A��2��� �9��4����7��#K��)O��2�9���

F#4

�)1WK� 2/�5� 6� �3�� k"�/����TO9��:Z����������7dd����#�d�3�b:�a��M�� 6� 2+�.+ �5�.����[��:`mep b����dd ���\-�8�uC�����T��� "�/����f�=

d c�a ��b�

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4 �e�"�udd���.�eD�����#��dd&8�w���#p�����9dd<3���5Puu%X ���63�!-8�u�D�����:��pdd-��3�#�E9D�u���������9��u8�:�dd����9h�

���)������w���u��X�X8�w�.�w��|_��<�`z�ep b�����u8�Y�'8�r�V�C �#�w��������������uC���

���°�:��°�w=��8�w�.�#�3���#�3��#3��7����#�d�3�b:�a�w�.��3�`���Ob����-&.����°�3

a r sin� z zn� �#��������9��u8�` �qtn �n�

� �5#������#<9�b

�����G����98�#�����up���A�������� d r sin� z rn� 3 b r sin� z �n� 3

�5����u8�6�4H�

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 C ,_4 �� MAB�c��°�5������3�����uI�'8�g������ "�BM�:zep ����5/������3�������°���+��#�3��#3��uI�'8�;�3���BMA�;�3��BMA� � zn�

�5������*�DAB aˆAMB : sin BMA sinMB r

� � �znz

��)�+�+��,�����-��.�������/0%��)�+�+� �1�23�4���# ��2����

56��7*489

8 4������O����� ��� ��� ������� ��� � ����� ����� ��� �!���"

�Cmq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�5�Ua r sin� z zn�

�u��X�X8���'�����x y x ysin x sin y sin cos� �

� � zz z

5������3�����u8����!-��

sin sin sin cos

sin sin sin cos

� �� �

� � �

�n zn �n zn�n zn zz z

�n zn z qn mn

� �

� � � �

� cos sin�mn rn� � �3� sin �mqnz

� �5�8�

�5�Usin sin sin� ��n zn rn� � �

5#A-����r sin r sin r sin� �z �n z zn z rn� � �

������� ���H��pD�3�a�bc�d�5�.��u8�#A-��/���3

�]* �L � ,B �L ,cK� 6C 5������#���������O�y�3�x�u22D�w�.���� 6C 2+�.+

(x ) (y )� � � �z z zs mz m�

��������2O�� x y�z z ���28�e"��D

�:� y sin� � �mz m� �3� x cos� � �s m� �5���_��ddM�� �,L�� �,�� �n z �w��

�5� ����.�9Gx y ( cos ) ( sin )

( sin cos )� � �� � ��

� � �� �

z z z zm� s m� mzqts zr mz s

�5#���A�����

a b a sin bcos a b� � � �� � � �z z z z

�5�Usin cos� � �� � � � �mq mz s m�� zs mq

�5#A-����x y ( )

x y

� � � �

� � �

z z

z z

qts zr mqm

m<]?]� n� 0N+� � � )�%+: 6� �5�����u8�>��C��6�9E�/���#�����xn��;(�4��� 6� 2+�.+

n nx t , x x (n )�� � � �zn m z m n

�g�3��/+p�3��dd&b�x11=1�5#��������9<3� � �t ,� �mm ��dd�O`*3��;�D�8��������u��������+(����������9<3�w��t �/�O 6�

��������9<3��E�G�/�����t�T���S���6C��������=.�3��E�/�u��.� t�/�O����C��6��������9<3��E�G�/�����t���=.����^ 6���������9<3��E�G�/�����t�u.��-8���6�

����=���A�������:t�g�3�'8�3�#��dd&8�i���dd �#�#<9��� �,L�����!-�� � � � �n �#��u��<� x t cos� � �n �u��X�X8�/dd[��<

�5������6�9E�/�����������u8

x x cos cos

x x cos cos

x x cos cos

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

z zm n

z zz m

z zq z

z m z m zz m z z m �z m z � m r

5�.��#8�����M��7����/+.�#�3

x x cos( )kx cos ( ) k

k k ,k z

� � � �

�� � � � � � � � � � �

�� � � � � � � � � � � �

z mmmm mn

mm mmmm mn

mnmn

z m z

m z m z zz

n n n zz

� t cos� � ��w���u�C���������9<3�%�9<�mnzs����C��#�k�w��������J'E���;��=M�/������3�������9<3�%�9<�mnzs����C��#

m<]?]� n� 0N+� � m�!< Pj:�~� 6� ��g�3��/+-dd[.b������/C�����f�`xb �dd���w3�dd&����� 6� 2+�.+

`������u�����w�.����+(�

x xf ( ) f ( ) f ( ) xx x x

x { , , }

� � �� � �

� �� � �

m m mm m

mn m�

�������!-dd���#��dd&8�/���#��dd��U�w�.�Q3�����up�� �,uuL�������u��X�X8�u4���8�w�.�/[��<

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

'�N��+ m;�##�� �/� ;��8& �3*:

... :���� ��;� $0/���<������ ��4X��;@"�#���dd����dd 3��z$6�4H�,�������8���<�#(3����dd+M������dd[G���g����:��D�����(L�-dd�����#���dd����2��I�6�4H��:�_���6��4��#�0�.�#@"���������+dd��D����#dd@"�:�dd����o�2 �8�6�4H��T�������L�6�!��������8�F�-�-dd���/[U��)����:�������/+.�#�3�:x9�3�:�"��5�������6��4�

74 : H�L 'B�u4 ! )* #�5_/74 : H�& �! �u5��u� )u.u( #:�4 7/ �( '3K?! � )u! 0.A! �G�4 7u/ # � � � �S �5_uu� �uG

q'3/�! ����/r

��=........�=>=........=?�

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

��. �#� ��&� ��9I �/�� �5� � �#- �� �#<9� �����;�����������/p+8�#����O�1���+���H����������4H����8��� �:������ �� �i4��8 �#� ��+.�!8 �0�.�Q�-&M

�� ��e��C��3�x�<�:�pD�������=M����#@"�T���-����:�C4I��9������0�M��������:��.�[8�e8� ��:��A�����98�������!-������(�D����1�9 ��8�eE�D�:#�A��`u�BI�������-��b�3�#�6�4H��T��i�9�����=M�T���-����:6���������#���-����#���-����o�2 �8�*L�-�����C��1�����8����

������8��4X���������\�� ��+&" ��.����=M �6�4H� ��_�9_O �/-G98��#��������+��3���M��8���������.�_[����6�����

��8�A����8�*9I�#��.�*���#p��:�.�#-!.�#���� ���E� ��9\�8 �3� �0�� ��� �6�4H� ��. �:Z"�3 ����� ����/- �|M���8��,�3�$�-��� ��4X�,�5�����8��� �6�4H� �T� ����� �ep[� �:6�9E�/�� ��� ��$���_���Z��" ��� ��9G �#�9_O �#� ���� ���C8 �/�� ��� �;C(� 8

����������0�����=M�#�������8�6����� ��� �#-)������# �0�.�6�4H� ���E� �V�9���Q3��:��2-&8�Q3��:q�2��*�X8�Q3��5�������6��4��#��S����A��������t������0��2-���Q3��3�s�2-&8�y�������U��8��2-&8�y�6�4H��3��2��*�X8���98�3�

���y� ���9 ��p�8 �� ��� ���8��� �:�2� �*�X8 �������=M�T����9�J'E���6�4H��#�Q3��/���������8����/C8�0�����=M�:*�X8�0���:��98�/������������U��8�#����9� ��8���������/��������8�a�)�����M��8��\���$����F3��0����:Q�9G���������.�%���;A-�,���O ���� ��:���� ����U ��� �^U ������|U��8 ��� ��� �����oBX8�:� � �#- ���0�����M�������^��8������*�X8�����#����t�tcqt�����%���Q�9G����������3�:t

�����F3��0����qt�#�������8�������3���8���98�����9�|8�0�������9 ��+����S�eM�T�����8��;�\8�#p����0�����������������S����3�:�9�w�����.�0�.�*�X8�����:���3������#�#��&8���98����0�-[������8����:��oBX8���������������������0�-[�g��=M���C��/����������)�0����rm��8�����crm�#��:��9 �%����� �9G�����9O��.������+�,�5#���9�|8

������3���:$��.���8�����#�F3��0����#�3��8�A����8�#(3��0������2��#�/�O��(�X8

�*�X8 �T� �:#�9+� ���9���# ����� ��9�98 ��2� �*�X8�:$���!� ��.9" ���+�, �#� ����� �/�� ���98 ��� ��2��:6������6� }|(�����[P����������09"�T�������0���@" ���� ����� �0�� ��2� ��(�X8 �09<3��&<

������������/-)���������9G��&p �6�9E��������/p+8�g��=M �#� �� � �#- �� ��� ���&D� �/�� �:�2� ��(�X8���������� �:6�9E �/�� ��� ����� ����� �W' ���98����4H� ���� ���C��1����0�_���0�����A���#��94A8�Q3��:6�4H��V9��/�����������:��98�/������3�:���&

������2-&8�6�4H���� ��"��� ��� ����!-�� �� ��� �:�2-&8�y �6�4H� ��8��:�\����98�g��=M�#������7����/���#�:�$>�G���.�,�3 �0�r �g��=M ��-��� �3 ������8 �a�) ��3�� ��� �q ��oBX8���[���9=8��"����������8�F��P-������¬r�:����2��#A-�����3�:� �����"�����9���+��#(3��a�)�#���.���8

������8�~2'8����q��-����/������p��M�,�6�4H� ���98�/������������U�*�X8������8�a�)��"����������!-�����6�4H�������$q�6�9E��2��3�0r�g��=M��-����3������3���q�3������p�#��#���.���8���[���"����/���������8�F��P-������¬r�:���/������3�:�� �����"��3���.�����9���+��#(3��6��3�!8������=��q���M����� �������p��M�,�#����98�/�����

��������������#���������4H��:$���

......................................................................����#������5����;��8������������h8��m

���^�(���-!M�9O�/p(3��������9�����&��������#-!_�2. proof3. method of the counterexample4. direct method5. indirect method6. method of mathematical induction7. proof by contradiction

�������HI��&J��K����������������7'�������7�

�� ���������HLM;��N�O(�+6����1-�;'3(�+6��

-�;'3(��P�+6����������;'.��+6��

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

��� ;#�.L

�3�%��T���%����T����W�)/�%5�)T24�#5�)3#lK7�)T(����3�F����*�+�o�pp��)�#�W�q��3����%� �T(����Tpp�� �j��W�� �Z���a�%Y��rs��#����&�:�#$�'�%(����T��0J�*���3#� ���tuuu�*���/U ���vwwt�*���2�8�2������ �x��%�s� #���!%��%�y�z�pp�%P�) #��T2�� ��,����*{��9����Te��&�,����x?�4���X ����W���|@2�'�%(����!��{2y�� �\IMV_�xT(����T��KO�9%��!� �@$y�R%A���)3#%O�T�#O�=�"�2�)��X������ �4�5���9��*�+�����GF�3,�K�� ���T(������ �,���T2��B����)'�%(����T��0J�*���/U ����8�U �)%��%��9�

.,� �T2�3�0J�/�K$���������GF�!��&����)�%� �,�K�#7�?�����,7�� � �3�����%K7�X������ �9��b���$�3E�hC$�����)� �2�!����q��3#� ���'�%(������3�7�}&��� ��K��a,0 �����,7�9��p � �8�K7�������GF�!��N$��� �#5�T2��>����GF�~������8,��E�b���$���4�p����8,��8 �0�

����K��!��K%0����=%K �f�Y������#$��� �!�������T(������ �3�#���X������� �9�����%��9�pp�����W�����3 #���0��?��>�����) #5�X,�K�#$����W� #��,�7#5�T(����a,��E�3,�Kpp�� �)4��2�3��#J#��r� ����%���� ���T(������ �!��GF�)�%�#$�T2�3E�!�%pp�����W� � ��%K7��%���B��3E�4�T(����b���$�� ��E�,�7#5�3�0J�/ �2�[�V��%�#$�T2�����8 #��T���W�P�!�%�������T��24�P�� �)9%24���/,W�� �3E�Q�6@����^��)"�#$���) #���#YP����NW�4�3E�4�VE�W��%�W�q��� �T�W��#L������#��,�2�8�0�� ,"�2�X�7�?���X�7���������7�8 #24E�4�)�K �T7�$#W��������#��9e���7���3�24��7�)��GF�3,�K�� ����)T�W��#L������%����,�2��7�3E�X�7�K�P���?%�@$�3�,���7���,���%@<��0�������7���,��!"O�62�i�$,K �'�%(������1F�3#$�T2��KJ

� �W�#J����J�T�<��#@2����X������ �3#$�T2���'�%(����b���$�X�%F �����T7 ���X�7�8�%Y�3�0J�'�%(�������3E��%HI$����Q�C$��� �3���T(������#7��������34#2E��� �X���� #5��v

\z���,��/�%5�3#P�X ���84��2��P_�'�%(����R��,$�X�7�8#%�����T����E��t?C>�X�7�?���X�7��������'�%��N$�4�8 �1�����,�,J�����,>�'�%(����9%��Q�C$����

,��8,�������T$�7�C�����P ��%�������3�� �T(����Z���9�� ��B��� ���R1���� �K� ���\� �,��T(����'�%1�W����7������� �T�%K7�3,�P�*�����9�_�,"����T�#J#��4�TO�����9���7��� �3 #���GF�%HI$���

�7�3E�T��n��T�����7�T��V�:�#$�8,��f��Y��T(����b���$�3 #��T">��%V���

)��Q�

m4���S

��������@���)

���

���� A���B �� CB

D�

EF;�G�

�l mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

#: ' �� �;�# 7��� #�! � ' ��uu�S p+ : ��#!:�( 6� 'A� P;�# �! 'S �X^< ! t%<#

�:$%�&'(��x�-!8,�%�-������+4* 0��� �& �N.��6����#�������#R������n�0�.�#[���F��P-���0�������0������"�m��g�dd�����#���dd���$���9.�d���)3�,�Q3����dd+.

�� �#R�����U3������0�B8�:��5B�./ 0KL 0! 0KL '�>� < 0��� [�4 �6��C��9�����#��0�B8��.�=����"����������+�&8���������0�H�����:��������8�#-G�� ����8��9[��6���������������0�.�Q3��:$#���C(��e��&+(��~��I��)�;(�dd��,���9������9-8��������Y�4�������#���dd�����������#��C���3��p�3���94����=8�#���9���8�:�ddU3������3���h���.�3��P����

������U�������g�dd��"��3�A8�0���3��#dd��M(��ddC�����ddSO�6�����C�����ddSO,�#�:����������ddR�"�VBdd���3��dd���#<�������C����SO,�/�����G�������� �{3�C8�$��! �*/�*�dd���h��U�e"��D��:f�?B �0��9��eE��6�4H���I�G�#�*���ms��:03�*�4���#���dd�����������#����dd�����e4"�0�������C�����SO���+.�=���/�\ �b+ )� �(��C

�����8�����#�0��9��eE��6�4H��eE��g�������dd����������0�.����#���ddC���"�K�U�����+[��������#����_���3��(�3���<�idd�9��0��9���_K�G%� 3�P�%�j�:0�����dd��:�dd����8��dd��U3�����SO�/+.�3�*�dd4��������+�dd&8�����+dd[����0�.����0�.�#���.��(9��0�.�#�8��3�������8��dd��������C��

��9 ��8��.��)�����"��� @I]� 0! �5e4"������+�dd&8�����+dd[����:Z"�3����>dd[���L3��"�^U�:�b+ )� �(� M( @F�B 0! 7!X

���9 ��8�%9&'8�����"����0�.�#���.����S���,�����28�#dd��edd&���!���6L��C8���������y��6����#�����M��8�����8��#�:�������+S8�^2��������$TO9���.���%��3��.������/-G���0���0�����#[2��0�.�Q3��#�/������:�)���8��9h��#-dd |M������9�����/8��Z��9��3����9���_[U����O�3�����h8�:�����9��:��������D��(3�����������3�U��.��9����dd"�������W'�/�����dd��U3���3����-dd&M����.� .3�U�#�#<9�������U3�����dd��� �3�G���H��03��������dd�3�#�:��+�dd&8�����+dd[������H��g�����������������0�dd.������9��:�-!_dd �������dd�:I]� 0!

��������+ �L�3�#�8��/����������8B��

�$��9I��!<,����/��(��h��#<�9G�{3�C8��89A��*�8�6����6�C(� 8�?dd[�8�3�#-dd ����9A��������������=dd&�^2���!<���dd�����9�*�8�/���e�'��3�#�=A�����0��dd&�Z�3����<�����_dd��������#���dd����DB E���dd�9I�epdd[���_��p������+8�g�����3�����*�8�/�������������>h�����C ������TO9��g�����#��0��#�9M�#�:����#-)�������3���3���+8�:����dd���3���-��dd��3����f�=�g����

�������8����D����-8�����:�dd��TO9��g��������# 2���dd.�:#A-���������3�����D�3������8���dd�9�����f�=�g��������0� "�:#-dd |M�0�.�#.�������9dd ��8�e��4��� G����D�#����$�dd�9I��!<,��98��U��S<9��e�"�0�dd.� .3�U�ep �#�#��dd&8��.��������G�����3�#-)�M�6�9E�%�y��� ��dd����������oB8���0�������3��hhP����dd&

��������0��#-���/-)���0���0�9-����9����"������"�/���H�6�������9E�����C4I�����3�b��������$%�'-8,�0�.�����4X8�0�.������+ �V9+A8�#����9dd ��8���8���%�'-8

�`� ��0�_�����03�&8�:�����.�������TO9�

��-����6�4H�����{�.�#��0��#(�dd�������/#� 0��� D.*�b�#���-(�D��dd�C�����#@"������(�D�:�9dd���"�/���H��9-dd���/������3��)�M��\�����:�dd ��a�0�.������+ �����p����03�dd&8�6�4H��3�������ab�%���eE�D�0�=<��0��#4��'8��9-���=���(�D

�����e��3��3��-!.���"����#���9��&��/-&P������)�/��(��*�+������C4I�����3��%���eE�D�0�=<��;4��'8��9-���:�-dd[.���"

5������H�3���������(�D���(a, b) S(ab) S(a) b S(b) a S(a) S(b)� � � � � � � �m

`�����a�����0�=<��V9+A8�S�`abb

��dd |M�������ddC�*�dd��q������^dd��3�ddD����P#*:�#��63�!��/��������3������#��U3����������9-���/+.�:/��(��*�+���� �4��*3���.�#��4&���b3�a�#����������-(�D�����)�/��(��*�+��/��(��*�+��/��+.���9dd��������H�������3�#dd-)�M��\�����=dd��3��&�����#�������:��"�/���H��9-����-����6�4H������U�����)���9�%�'-8�#����3������#����mr�mt�3�m�z�t�%�'-8�����3��:09&���)�����������:����i�9�����/-&P��:�U3����������3��/���:����)�/��(��*�+��f�8�����U�*���qmr���C��:mtqt�*�dd����

��8������#

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�eD�e8����9I�#�����9��;<���;(��C8���� ���/��(����y�6��l�#������#R����������eD�Q3��' :#*�:�C��.�*�dd��3�����0�.�%�-�����-Db��9dd��#<���;(��C8�eD�=���9�����.������� ��4H��������*98�)�����#�`���"���\�������

���� �! @'1�#�! @�uu��# �( ��9O��������������6����W���:��5a( �.1��! � �?� #uu4�* @�+���!�*3�<��8���9G�����dd �6�ddX�X8��dd���e8�p��3��dd ����C8�#�$7<,�;dd+������3�����/dd�3�������.��9�dd�

��)�M���S�:�9 ��8�$�9��,����*��C8�#����4��M����:$�4p(���2dd�98,�%�-��/-dd 9�����! #��b+�! �6����#����������Q�9ddG���8���2dd�98��8�+��#�+<�#dd���+���6���p-��#�+<������dd 9��:�9�����6�9E�#�#-4(��:��-)����dd������#�����U3���03�����C��.���"�#������)�6������#�������&��/(3��3��3��9��9���0����dd&2�

��������"�#-���T���������2�98�3

F���� �Gr P;�# ��#�< �� F�uu4 ! ��54S 6C q�I�# �+ M( '�G �: ��

����:�)�&8��-89����.�E���9+U�����G��9O�0���)��6C���/-)�������0���:7���������!-dd��������3�����U�0�U����.�:��3��)�6�+D��e+'����3����������!-dd���3�%�-��T��#���8�����3��������U������9G���8���9���#���-dd&��9��;+2(�*�4���#b���dd ����|M�H?���������ddC��-D�3��9G

�`���94�����9<��-D�3����8���9S��#�e�L���_������:��C-8�3��(���:����#����S��F���6C�C�:��'��9��:�+4* 0��� �&��9O�0���)����dd����(���3�����#dd�������S���dd�����9��8���9G�3���ddG�:��_-P.�)��dd ��0���7dd���8��-dd&�������.��)�3�3���9���G��9ddO�0���)��^���U�����ddH]8�edd8�9�����#- �����3��)���?�����03���B���/���#��0=O�1�&.

������3�/- �����9<3���p ����&�e�L������p���9�����.���� �6C�����|M�H?�����S<��D����#���������������������+dd[������9���#�3����������F��G������������/+.��9<3�:��dd ��#����+.�1������+(��3��������:�p��8���9O����.�9[��;C4��#O�������9Sdd[8��.=�8�6�<�S8�����.=�8����)�#���3�8��6������������<�0��#G� �^���U�W���#������������&�T����9���#��(3�:��dd ��������dd ���������-D�3���dd

��9 ��8������.����������p��8����3�S

���'�%��N$�4�8 �1�����,�,J�����,>�'�%(����9%��Q�C$� 6� ?C>�X�7�?���X�7�����

#���$ ���% &���'� � ()*�+� ,-. (" /01 ��$ �� 23'��6��� ��4�. 5� (� 67�8)� �� �� 9���� ��:� ����� ;<=> ���� ?����� 2��" � @�<� �A�� BC> � � D�� ����� BC> (" �EE!!" �� ����� (��F1 ���������� � B��< G������ H��8� � /EE� ��:� �8�� 9/I� � H��� �!���� J�K � ���L G������ �� ���������� � M���: (� �� �!)� ��!4N* �� H�1 /EE� 538� ?�:A!� B��< ��:� �8�EE� � �1��8�" ;:�"��" O=+P (EE� ��� (�.�� � ���> (� G�K � QR)$ �� ('�8� ��:������ �*�9�:A: �� G�N��S� �� �� ��!� � ���:� � (��!� �� ���:�:�� (T1 ?��U ;�+�S� ;CVI� �� �:���" ��'8L 5��* W��X�6��C � Y�8$ ,CI$ �� � Y�Z0� 5� �� ?�!" �8: �K Y�Z0� � �"[ (� � ��1 �� ��" (� ��> ;N��S� �� ?�� @�<� 23EE� �� 9��� �� �:��\ J�K (� (��F1 � � �� Y�Z0� � �K ]S� �>�: (� � ^�U Y�: (�_ ?����� �:��� �� ?���N�� ���EEI� ;C8L �� �

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

H�� ,�S� /NI: &��: � (" � Y�: (� `�!" �� ���� 23� 5� (" ��� �� ��>[ �>�: (� (C8L 5� �� ^9/� H�1� �+< (�

9/� ��$�: � ��> @�<� ;N��S� � BZ. � ��I:

������3�� �T(����W�[�62�9����J#$���R1���� �K� 6� ,��8,�������T$�7�C�����P ��%�

n (" an b c G��P (� ������> ?/��!\ �� �2���� ���T&�6��� 9�!�I� J� �A8� ?daan b ce �� �EE��� a � ���< G��P (�9/I�: J� afa b c (" �" /��g chfa J�� �� ������*�i�i b�=�ik�k�likl=���*�l����l

9�!�I� J� /�� /8� ��> �� � ("P

PM � �z m ��> (" �" B3K 5�!T ���� J�� ���9��2�6��C l�� ?o ?i ?�� ?�l ?�k ?�� ?�l ?�il ?iol J� ��EE���> �� (� iol � (" P ��T ?J� �����> ��EE� �� (� � /EE� J� Q"� M�l �� ?��� J�3� B3K 5� 9/I�: J� ?�:$ qT�"

9�!�I� J� M��l � M�k ? M�� �

�9�_�,"����T�#J#��4�)TO�����9���7�� �3 #���GF�%HI$ 6� \ �,��T(����'�%1�W����7������� �T�%K7�3,�P�*�������������_(����z�/��������dd ����dd[+<�/��(����y�6����3�����9<����3�����03��Q������0�dd.�#-)���/��������)����9���9<�����������T��03�Z"�3����3�������8������#

�������"����:�9dd���"�/���H�g9dd��#��'5uu/ 0! I� �! �6��C�/�O�03�g�������y���G�98���dd&����8�0�A.��9��T���H�������dd���/��.������M�3��#O�M,�5��dd&�9���8��_(�dd��q�����0�+"�0�A.�qzs�*�dd�����:0�4��g�y���9���#����^��S �:3���������8��"����H���(3�:�8���dd��#�3��Q3���$�����8��4H�6����������������S8��-hP �� 3��/���������:09+S��;C "�T���D�dd&8�/-)�����

�����������8�#����&������^U�g�3�����#�����

yuu/�< F�uu4 o#Z+ �;�# R�#< ':�! ��B ��& 6� � 'S �� ��b+ �! � � �!�&

�:^������G�98�7dd�y��#���������dd ��#-p��/���#��dd����������6��������dd28�����#-dd&��9-��:�.����/����{�h������-D����������dd 3��3��-dd����#�:6������������;�9+A8����:���g������+<�-8��D���������������������������:�.����7�y��������Z"98�#�:�.��.�#+<���/���#���������3��/��U�����9��0�.�#- 9��������� �������[M������U3�����C��:��E����4D�E�#��9G�`���9�b��U3���������6��������y��:��������G�98�:7����/���#��9��0�.��������#����pdd���7-p8�Y92dd������C���������8�g�dd�����#�������8��9<3�#�0�9������3���:0�Bdd8����SO�3�#�����U3������-�������dd��3������#8����0�B8��.�=��U�����*�4������3��:`�.��������;+<���������b�����9��0�.�#-dd 9�

���������8��3�8��#�������3����M��8����=<�#�:��S<�0�.���8�;dd+.�:��9G��V9��/���;ddA-�����3�������9���!y�%�9G����������*9I��8�+�����:�U3��������dd������U3������8���+��3�0�p)�QB��;A-��:�������3�8��#O��.�g�������-[.�g������:�������������������#�������(�D����/���#��09'��#�1������9���S<�6�����������O�U�:0�B8��.�=��U��.���8�ep[�����6���������������e8���g�3��T��:��3��/��

.................................................................................................�"�������M=8�.���_[�����6����������������!�������� �#R����0�.�#(�28��m

�.�_[�����[��=��8������"����2(�9����8B���g�3��������������;8����M�����z�.�_[�����[��=��8��eE��0�D3�����"�+'8��-���#+<����6�������������q

C}mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�4���S

C}r =��UU | m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��| z# �9-8�g�3����.��� ��

�4���S

mq�r

�;�� �7��4��,� ��

H�I��,����F����J<

�A#O��-����+���o��/�� a (�K�: E r���� ��� � sS� r���� ��� r��!���t��� �O���K�,>�U%O�=�1 ���� A!� (-+!� E r���� ��� � sS� r���� ��� �!���t

D� � �G @3���.��!m3���.��!�:w�dd�.����dd �-G��3�����u���������� �u8�u&��/-dd&P����9���#�`��s�r�d�ttrb����:�8�epdd[8�w���3�������u��������3�����!E�����#�

5�����w��p.���:� ��uI�'8�uC����SO�#��u-(�D

�d�3�c :�b :�a��dd���a�dd) �3���.��! D�uu������53���dd ��%�'8�uddC����SO�T��w�dd.�Z���*9ddI

�uC����SO��D�&8�6�9E�/�������

a b c dp � � ��

zS (p a)(p b)(p c)(p d)� � � � � ������5���������

�T��ABCD�:mepdd �����dd���a�) �Puu%X �53�� ��uI�'8�uC����SO

AB a,BC b,CD c,DA d� � � �

��D�&8�V9+A8�����������uC����SO��D�&8

5ADC�3�ABC�W�X8���

ABC ADCˆ ˆS S S absin B cdsin D � � � �

m mz z

��

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4 �5/������: ˆ ˆB D �� �mr � �5�9O��8�

�4���S

�2�!C��@2�+��2�!C��@2������$��1�2���7�8��4�34����-������� ��%K7�3��������3������3�� �4���,�7���7�?D���+��2� �4���7�9%24 �#2�8�#K7��7�3E��+��2�!C��@2�-�,��8 #����,�7�?D��9����%����d2�4�,"���7��"�(��0P��,��8 �-�8 �1�����#5�� ����8 #��J#$���7���d2�a���� 9�����9DK2��N���� �� �-�j��+�h�(���*#L�[�+�����3E��+��2�3#$��2�3��7�*#2���4�8 �1������-��%� ��2��

-� #��o�62�*{��#5� �j#J��%�-��2�fU$�O��2�9��� �z���C��@2�?��>�3E��+��2�)�"�(��0P�h�(��0P�*#L�3 #��/#�"2������E��--�,%&�*{��9�������%�-�

F#4

C� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��C� mq�r�=��U�r | m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��| z# �9-8�g�3����.��� ��

5�Uˆ ˆ ˆS absin B cdsin B (ab cd)sin B

ˆ ˆS (ab cd) sin B (ab cd) ( cos B)

ˆS (ab cd) (ab cd) cos B ( )

� � � �

� � � � � �

� � � � �

z z z z z

z z z z

m m mz z z

m m m� �

� m

�3�ABC�W�X8�3������.��9�dd&��;@"�#�����8�5������ADC

�3 � ˆAC c d cd cos D� � �z z z zˆAC a b abcos B� � �z z z z

�5�U� ˆ ˆa b abcos B c d cd cos D� � � � �z z z zz z

�5#�����M�u8�#A-�� ˆ ˆB D �� �mr � �������dd3���8�5�U�� ˆ ˆcos D cos B� �

ˆ ˆa b abcos B c d cd cos Bˆ(cd ab)cos B a b c d

(a b c d )ˆ(ab cd) cos B ( )

� � � � �

� � � � � �

� � �� � �

z z z z

z z z z

z z z z zz z

z zz

z�

���9���8����`mb�; ������:`zb�; ���#�#<9�����9���5� 9������6�9E�#

(a b c d )S (ab cd)

S (ab cd) (a b c d )

[ (ab cd) a b c d ]

[ (ab cd) a b c d ]

[(c d) (a b) ][(a b) (c d) ](c d a b)(c d a b)(a b c d)(a b c d)

� � �� � �

� � � � � � �

� � � � � �

� � � � �

� � � � � � �� � � � � � � � � �

� � �

z z z z zz z

z z z z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

��

mt �zz

��.�9G� p a b c d� � � �z �5�.�����"��M���9���5� ��

S ( p a)( p b)( p c)( p d)

S (p a)(p b)(p c)(p d)

S (p a)(p b)(p c)(p d)

� � � � �

� � � � � �

� � � � � �

z

z

mt z z z z z z z zmt mt

�uC����SO�0�.�Z������up��*9I��M��#������7(�<�*98�)�3�:W�X8�#�uC����SO�:����a�dd)��!E����������9��u8�/��������9 �u8�e��4���3�.�*98�)�#��-U9M�+.�������3�.�*98�)����u++C���-U9M�+.��*98�)�#���!M

��.����dd[���-U9M�+.��*98�)�������!-dd���� 6D]� �*9I�%���eE�D�����������e -dd&8��.��D�&8

����a���3

�e -&8�a���3�*9I�b�3�a�����a�) �P%X �5/��������� �

p a bp (a b) p a b

p b a

S (p a)(p a)(p b)(p b)

b a ab

� ��� � � � � � � � ��

� � � � � �

� �z z

z z

�uI�'8�w�.�uC����SO���+��/��.����[� 6D]� ������D�&8�/��-[�w�����Z�8�:��H�i'8��

�u!�8���u22D�������SO�t�3�z :�y�:�x��M� �P%X ��/_��8�d�u�dd&D�/_��8�w3�&8���#����:��dd �

5������u���.x y z txyzt � � �

������-)��u8���!��� x y z t� � � �w����#�w3�&��#�

CCmq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

5�������-U9M�+.��*98�)������9���

S (p a)(p b)(p c)(p d)

S (p a)(p b)(p c)(p d)p a p b p c p d

p p p

pS

� � � � �

� � � � � �

� � � � � � ��

�� �

� �

z

�� z

� z

� pz

��������(S)��D�dd&8����28��X���D�/�����

�5� ��#- ���#���dd���/p+8�u-"3�w3�dd&��3�����5�_���6��4��#dd����� p a p b p c p d� � � � � � �

�u��8���D�&8����28�/��-dd[��U�� a b c d� � �

�� ��Z�8�uC����SO�#���-)��u8���!��

M�: � �G @#��5N<�! D#*�:u��+(������udd���������dd[��*9I���"�mz�mr�z�*���#�`�mr�r�mr�rb�z#��5uuN<�! '�3+S���������>[���-U9M��+.��*98�)�w���u++C���&��9��uC����SO��.��D�&8�;4��'8���9��#�����<�*98�)�V9+A8�3�uC����SO�VB���*9I�#��8�:� ������%�'8

��������������e�28�;�3���3�

�T��ABCD��dd���a�) �#��5uuN�< ��! D������

�3�c :�b :�a����w�.�Z���*9I�#��� ��%�'8�uC����SO

�6�9E�/������� a b c dp � � ��

z�5/��+.������d

5�9 �u8�#4��'8�����*98�)����uC����SO��D�&8

ˆ ˆB DS (p a)(p b)(p c)(p d) abcd cos ( )�� � � � � � z

z�%�'8�uC����SO�T��ABCD�����a�) �P%X �

AB a, BC b,CD C, DA d� � � � �53�� ��V9+A8�w3�&8�uC����SO��D�dd&8�:z�ep ���

5�U������ADC�3�ABC�W�X8�3���D�&8

ABC ADCˆ ˆS S S absin B cdsin D

ˆ ˆS absin B cdsin Dˆ ˆS a b sin B c d sin D

ˆ ˆabcdsin Bsin D( )

� � � �

� � �

� � � �z z z z z z z

m mz z

z�z m

CCmq�r =��UU | m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��| z# �9-8�g�3����.��� ��

5�������-U9M�+.��*98�)������9���

S (p a)(p b)(p c)(p d)

S (p a)(p b)(p c)(p d)p a p b p c p d

p p p

pS

(p a)(p b)(p c)(p(p a)(p b)(p c)(p

� S (p a)(p b)(p c)(p(p a)(p b)(p c)(pa p b p c pa p b p c p

� �

� �S

z

�� zp

� z

�pz

������� (S)��D�dd&8����28��X���D�/�����

�5� ��#- ���#���dd���/p+8�u-"3�w3�dd&��3�����5�_���6��4��#dd����� p a p b p c p da p b p c pa p b p c p�u��8���D�&8����28�/��-dd[��U�� a b c db cb c

�� ��Z�8�uC����SO�#���-)��u8���!��

M�: � �G @#��5N<�!D#*�:u��+(������udd���������dd[��*9I���"�* mzmr�z�*���#�`�mr�r�mr�rb�z#��5uuN<�! '�3+S���������>[���-U9M��+.��*98�)�w���u++C���&��9��uC����SO��.��D�&8�;4��'8���9��#�����<�*98�)�V9+A8�3�uC����SO�VB���*9I�#��8�:� ������%�'8

��������������e�28�;�3���3�

�T� ABCD��dd���a�) �#��5uuN�< ��! D���� ��3�c :�b :�a����w�.�Z���*9I�#��� ��%�'8�uC����SOa

�6�9E�/������� a b c dp b cb c�

z�5/��+.����� d

5�9 �u8�#4��'8�����*98�)����uC����SO��D�&8

ˆ ˆB DS (p a)(p b)(p c)(p d) abcd cos ( )B D(p a)(p b)(p c)(p d)(p a)(p b)(p c)(p d) zz

�%�'8�uC����SO�T��ABCD�����a�)D �P%X ) �AB a, BC b,CD C, DA da BC b CD C DAa BC b CD C DA �53�� �

�V9+A8�w3�&8�uC����SO��D�dd&8�:z ep ���5�U������ADC�3�ABC�W�X8�3���D�&8

ABC ADCˆS S S absin B cdsin D

ˆ ˆS absin B cdsin Dˆ ˆS b i B d i D

ˆ ˆabcdsin Bsin D( )

SSS S absin BS S absin BSS

S absin Babsin B�

� � �S a b sin B c d sin Da b sin B� z z z z z z zˆb i B d ib i B d ia b sin B c d sina b sin B c d sin

m mˆb i Bb i Bz z

z�zabcdsin Bsin D(

��

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 C ,_4

�3�ABC�W�X8�3�����:�.��9�dd&��;@"������8�5������ADC

ˆAC a b abcos B� � �z z z z �3� ˆAC c d cd cos D� � �z z z z

ˆ ˆa b abcos B c d cd cos Dˆ ˆa b c d (abcos B cd cos D)

(a b c d )

ˆ ˆ ˆ ˆa b cos B c d cos D abcd cos BcosD ( )

� � � � � �

� � � � � �

� � ��

� � �

z z z z

z z z z

z z z z z

z z z z z z

z zz

�z z

5� ����.�9G�`zb�3�`mb�w3�&��3�������Z+<���(a b c d )S

ˆ ˆ ˆ ˆa b (sin B cos B) c d (sin D cos D)ˆ ˆ ˆ ˆabcd(cos Bcos D sin Bsin D)

� � ��

� � � �

� �

z z z z zz

z z z z z z z z

��

z(a b c d )S

ˆ ˆa b c d abcd cos(B D)

S (a b c d )ˆ ˆ(a b c d ) abcd cos(B D)

� � �� �

� � � �

� � � � �

� � � �

z z z z zz

z z z z

z z z z z z

z z z z

��

zmt� r

5�U� ˆ ˆB Dˆ ˆcos(B D) cos ( )�� � �zz m

z�5�����u8

S (a b c d )ˆ ˆB D(a b c d ) abcd abcd cos ( )

S (ab cd) (a b c d )ˆ ˆB Dabcd cos ( )

� � � �

�� � � �

� � � � � �

��

z z z z z z

z z z z z

z z z z z z z

z

mt

� r mtz

mt �

mtz

5�������-U9M�+.��*98�)�6�4H������+.S (a b c d)(a b c d)(a b c d)

ˆ ˆB D(b c d a) abcd cos ( )

� � � � � � � � � �

�� � � �

z

z

mt

mtz

C� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��C� mq�r�=��U�r | m g��+ ��|��S���3��&�g�3��| z# �9-8�g�3����.��� ��

................����#������1. Brhamagupta2. Carl Anton Bretschnieder

.........................�"�����1. artofproblemsolring.com2. en.m.wikipedia.org

5� ����.�9G� p a b c d� � � �z ���������"��S ( p a)( p b)( p c)( p d)

ˆ ˆB Dabcd cos ( )

� � � � �

��

z

z

mt z z z z z z z z

mtz

ˆ ˆB DS (p a)(p b)(p c)(p d) abcd cos ( )�� � � � � � � z

z

�*9I���%�'8�w�.�uC����SO���dd+��/ �)a3+�/��-dd[�w�����uI�'8�uC����SO�d�3�c :�b :�a�VB��

������D�&8

�:ˆ ˆB Dcos ( )�

�zz

� ��9O �P%X �5�U

ˆ ˆB DS (p a)(p b)(p c)(p d) abcd cos ( )

(p a)(p b)(p c)(p d)

�� � � � � �

� � � � �

zz

�1 ˆ ˆB D �� �mr � �5#���-)��u8���!���u��8��w3�dd&��� ��uI�'8�uC����SO�u�C�

� �WB �: D�\ VuuKL�! m�?;#AG 7LK�0! 2�� �

�3�AC=p��ddM��:ABCD�%�dd'8�uddC����SO���5��M����:� "�3��/���/�;�3�����3�� ��BD=q

S pqsin� �mz

�P%X �

AOB AOD DOC BOCS S S S S

AO BOsin( ) AO ODsin

DO OCsin( ) OC OBsin

� � � �

� � �� � � �

� � �� � � �

m mmrz zm mmrz z

����-�

����-�

��

��

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �,_4

5�U�: sin( ) sin�� � �mr � �5�9OS (AO OB AO OD OD OC OC OB)sin

(AO OC)(DO OB)sin pqsin

� � � � � � � � �

� � � � � �

mzm mz z

�`m�rs���-dd���A8�d�^�����u��������+(�b 6D]� �T���D�dd&8���%�'8�uC����SO�T��ABCD��M�

5�.����[��:� �AB BC CD DA AC BC� � � � � � �� r

�5�.��u8����" �P%X ���: CD c� �: DA d� �: AB a� : BC b�

5����� ������[��� �*98�) ���� ��BD y� 3 �AC x�

ˆ ˆB DS (p a)(p b)(p c)(p d) abcd cos ( )

(p a)(p b)(p c)(p d)

�� � � � � �

� � � � �

zz

�/_��8�d�u�dd&D�/_��8�w3�dd&8������dd��35������u���.

S (p a)(p b)(p c)(p d)p a p b p c p d p

pS

� � � � �

� � � � � � �� �

� �

z� z

�5� ����.�9G�S=m��.�����"��M��*�D

p p p p a b c d ( )� � � � � � � � � � � �z

zm � z z � � m��uC����SO�� "�3��/�;dd�3�������a�)��9���

S xysin xy� � �m mz z

����������������5�U�:� �������

5�U�S=m��9Oxy xy xy� � � � �

mm z zz�/_��8�d�u�dd&D�/_��8�w3�dd&8��������dd8�

5������u���.x y xy x y ( )�

� � � � �z z z zz 5� ����.�9G�`zb�3�`mb����*�D

a b c d x y� � � � � � �� z z�w����#�`mb�w3�dd&8���#���dd ��#-dd ���#<9��#� x y� �w����#dd�`zb�w3�dd&8���3� a b c d� � �

�w3�&��#������C8�����/������9 �u8�e��4��w3�dd&��� ��Z�8�ABCD�uC����SO�#���-)��u8���!���u-"3

C�

�4���S

mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�,<�/�0��%2

�x*�K�+�����2Ey�j��W�4� #KN2�q��X�74��� ,"$�a���� ��@����)Tpp�� �[O�62�"pp�#$���,�2�>U �34#2E��� ����O��2�9��� �9%��b��&������&�'�#<����@��)��GF�X�7�8��K��,���2��,��,%7#5����E���#&�h�#$� ,"$�!C��@2�� �3E� ����W�����<��U������4 �&�T2

� #����#�$�34#2E��� �T #(#2��� ���,�#��c�L����7�/�0�����7�*{���$� �%F�T2�/�N��34#2E��� ����%�

F#4

���*K���� ��L���M���)����F)�������������

���������� �

�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� �:$�.�����*�dd��*�+-D��3���8�,�%�dd-�������8��6�9E�/dd���#�#�9+A8����)��>dd��C�

5����3�#�9+A8�Tdd�������dd���a�dd)���� ��A�0�.�#�9+A8���� nA ,...,A ,Az m

���M�.�:������ ����)�� nA ,...,A ,Az m �#�9+A8����n�#�A�;�9+A85� �����"��Y� �#��/��

��

�� �C

��

iA � � ���������������������������5� ��#- ���m � ���.�0����Ii jA A � �� �������5� ��#- �������#��m ��� ���.�0����II

nA A ... A A�m z� � � �����������������������������������������III

�T�����������_��\��������������������������;�9+A8��D]���9 ��8�%9&'8�A�0������)��T������0�.��(�D���

�������������������% ������������������>(����������������������N

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �D� ���S p+ : �Y� �#�����`%b��+dd&"�0�.�#�9+A8�����A�0������dd)��T��3�������8���ddE����dd)��(III)�Y� �`>(�b�����8�����9dd ��8�%9&'8

5�&�����"������� ��� �������

C� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

��&�����"��(II)�Y� �`Nb����3�������������

���9 ��+��%9&'8�A�0�����=)��`Nb�3�`>(�b�/�����

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M�: ���S p+ : �A�;�9+A8�0��dd����)��T���S����dd�����8

5������9<3�����6�9E�#�������������������56�9ddE�#dd����dd)�����ddC��/dd��+.������m�������A�;�9+A8�0������������������

�5#������/���������M�����8�/.��#���(�]����C����dd����9<98�����������������6�9ddE�#����)���dd�O�;�9+A8����3��#���9���8�6�9E���O�#����A�09@��K�U�;�9+A8

��������)��09@��#��;�9+A8����T��3�09@��T�

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M�/ ���S p+ : �09@��T��0�.�#�9+A8������+�������)����.����������3����9P(��#�������&�9�����A�;�9+A8�����(�D�/��������dd���%�P-�����

�����/- 9��e�"��M����#�09@��#��09@��T��0�.�#�9+A8����#��������8

5�������6��4���A������������������������/������:����%�P-���������������;�9+A8����3���M��:*�X8�0���V9��/�����+���������������6�9E�#�09@��#��;�9+A8����6�9E

5��������6�9E�#��.���)�

��������������������������������

��������������������������������

��������������������������������

��������������������������������

��������������������������������

�� ����.�9G����)��m��#A-����

�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� �0�.�#�9+A8����/- 9���3������.���)��V9��/������C�����9���8����

�����/C��L�

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M�/ ���S p+ : �����Q��+ �0�.�Q3��3�%���eE��T+��#��+ ��9\�8

�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� ����������:#�

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M�/ ���S p+ : �09@��T��;�9+A8����3����dd-��:�.���)��V9��/������T���dd.��������9+.���C�������u8�%�P-���09@��T��;�9+A8����K�U�/������

����w9@��q�#�9+A8������dd��3������� � ��� �

!

smn

z�%�P-���T���8

������9<98�6�9E�/���#����)��m���U���&�9��u8

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M#AG ���S p+ : ���-���8��(�D��.�����!M���9���8�/��+.��&�9���8����A����09@��#��;�9+A8����T��#����09dd@��T��;dd�9+A8����3���ddC�3�V9��/������C���U�:����/- 9��e�"��M����0�.�#�9+A8�������ddC���dd��dd����dd.���)�

5��������#������A�09@��#�� �

�� � !

smn

q �

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �D� ���S p+ : ����������������������6�9E�#�A�0�.���)�����C�����9���8��dd��

���9_

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �Ia5� ���S p+ : �3�09@�3��;�9+A8����3��:���)��V9��/������/�������������09dd@��T��;�9+A8����T�����A�09@��3��0��#�9+A8����;+.���9���8����#�9+A8����3���.����/���������� 9�����)��(II)�Y� ����#�������8�%�P-������O�e�"��M��dd��#�09@��T��#�9+A8�����(�D�/��������dd������E

�����/- 9�

�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� �09@�3��0�.�#�9+A8����;+.��9�������<��?- �dd�������

���9�����A

C�mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �Ia5� ���S p+ : �3��dd�� � �

�� � !

smn

z������A�09@�3��0�.�#�9+A8�������ddC�

5�������6��4�

�����������������������������������������������������������

�9@���.���#���dd����8�%�P-������O�#�9+A8����3���9dd�����M����#�09@��T��;�9+A8������dd����� ��#- �������-[8

5���3���8�����������/p+8�0�.��(�D���+�������/- 9��e�"

�����������������������������������

�����������������������������������

����������������������������������

�����������������������������������

����������������������������������

����������������������������������

�����������������

�����������������

�����������������

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M�/ ���S p+ : �0�.�Q3������9���8������������6�9E�/���#����)��ms�#A-�����

�������U�����.����)��V9��/������C��Q��+

�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� ������8�x� 8�������p����e��4����-��:*�]��/���#����U�0���3�#��

# �_< ! ,��%<�#��0�9I�#�:�� ���� ��#- ���=��+-8�V9��k����� �n�����a�)�#- ���3��� ���9<98���k�V9��������nk�3�����:�3��V9��������nz�:*3��V9�������nm

� kn n ..... n n� � � �m z �5� �5������������ �n�/���=��+-8�0�.��[_��<����C��6�9E�/�����

k

n!pn ! n ! .... n !

�� � �m z

�����8���������[_��<�n!����C��#�=��+-8��dd �n�������8������:�_��p����� � nm/���������<�#�<���3���-&.�*3��V9���� nm �A����/+.�#�������+������#�0���<��dd[_��<�: n !m ���C��#���C�n !z ��C��:�3��V9������dd_��p������dd nz������<�#�<���7���

kn ������<�#�<���3����3��9 ��+����A���0���<��dd[_��<�:~��I�����#�0���<��[_��<�:~��I kn !��C��:�.����k�V9������dd �^��+��P�������� �n�/������p����0�.��[_��<����C��#����O�������+�

�5� ����.�9G�:�.�k

k

n ! n ! .... n ! P n!n!P

n ! n ! .... n !

� � � � �

� �� � �

m z

m z

�;+���0�.�{�D�����9_����p����e��4���9-���������!-�����*�D�� 9����9���8��)�D�mm�;+�����O�:«MATHEMATICS»

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M�/ ���S p+ : �3�����:�_��p����M�{�D�3�����dd���<�#�<���#���dd���J��3���dd���#�0���<�;+����_��p����A�{�D�3�����:�_��p����T�{�D��.�{�D�;2�3���3��T�3���3��A�:��3��M�#+���/�������9O�������+�

5�����������.��[_��<����C���U�:������8�����T�!P

! ! ! ! ! ! ! !�

� � � � � � �mm

z z z m m m m m�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� �#����.���)�����C��:���p����e��4���9-dd���������!-dd������9���

56�9E����������������:�9\�8�/���#�����3���8��dd���#���������������;�9+A8�0���������9���8�:��������8�09@��T��0�.�#�9+A8����/-dd 9��0�����-�

���SO�*�D����� � �� � !

sm������������C��#������%�P-���A����9@��T�

�����8�09@�3��0�.�#�9+A8�����dd.�9G��8�3�����8��8��"��9@��3��:����8��"��9@����SO�/����74��/+.�#���dd&�9����������

��G��;�D�8�������� � �� � !

�z������������C��#�������8�%�P-������9@�

�3��/������������������8��_���09@�3��;�9+A8����/- 9��0��

����� � �� � !

zz������������C��#������%�P-���9@��3��:����8��"��9@�

5����������6�9E�/���#����.���)�����C��:%���eE��~4I�/�����

P � � � � � �� � �� � � � � �

! ! !

s � zm z z

��������������������������������������������� q�r

���dd��:�������%�P-��������������-��#dd������#<9���9dd����%�P-���;�D�8�����M��*�D���dd ���������_���09@�3��;�9+A8����;�9+A8����:����%�ddP-��������������-��:09dd@�3��;�9+A8���

�����0���p���(�D�3��/���3��9 ��8��������_���09@�3�

Cl mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�:�_���09@�3��;�9+A8����3���.�%�P-���0���:6�9E�/+.�#��������p����e��4���9-dd���~4I�/������������8�^U��(�D�/+.�/����#��.���)�����C��#A-�����������&2��z����`mb�������P�eE�D

5����������6�9E

P!

� � � � � �� �� � � � � �

! ! !� �

s � zm z z ms

z�������)��V9��/����(�D�ms�`�A�U��98�� ���b�����#������#<9�

�� 9��e4"�#'!E������+���

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M#AG ���S p+ : �;�9+A8�0�dd.���)��;dd+.����C���dd��9���8�Q3��/dd+.��dd�6�9E�#�#�9+A8�/���0�.���)�������#4dd��'8�����������������

5������������0�.��(�D

���������������������D� 7�L��5�������������p����e��4���9-���~4I����)��V9��/������C�

P!

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ! ! ! ! !� �m

s � q z mm m m m m m

s�a9���.������09@��T��;�9+A8�K�U�0�.9@��0�<�#dd����O��&��F�P8����e(��/+.�#�3������+������#�0���<����)��:���

����������"����s�

�������������������M�: 7�L��5�����������.���)��V9��/������C�

P!

� �� �� �� �� �� �� �� � ! ! ! !� �z

s � q zm m m z mn

q�a9���.������09@��T��;�9+A8�#dd��0�.9@��0�<�#����O��&��F�P8����e(��/+.�#�3������+������#�0���<����)��:���

����������"����q�

�����������������M�/ 7�L��5�����������.���)��V9��/������C�

P!

� �� �� �� �� �� � ! ! !� �q

s � qm m q mn

z�������������� �M#AG 7�L��

5�����������.����)��V9��/������C�P � �� �

� �� �� � ! !

�s �

sm �

��������������� �Ia5� 7�L��5�������.���)��V9��/������C�

P!

� �� �� �� �� �� � ! ! !� �s

s � zm z z ms

z ������������� �IN4 7�L��5�����������.���)��V9��/������C�

P � � � �� � �� � � �

! !t

s qmn

z q����������� �I3�� 7�L��

���� P � �� �� �

!�

sm

s�������.���)��/������C�

5����������09@��K�U�;�9+A8�0�.���)��e�����)��#A-����P P P P P P P P� � � � � � � �m z q � s t � sz

�z�q�������09@�� �;�9+A8�T��0�.���)�����C� �7��������

��.����3��&�9�������(�D�������#�9+A8�/���0�.���)��;+.����C��#���.����[�����������#4��'8�����.���)�����C���(�D

�����z�q�������09@�� �;�9+A8�T��0�.���)�09@�� dd �;�9+A8����dd)���(�D�Tdd��:#�9+��0��dd

�������������������������6�9E�#���������������5�������������)��V9��/������C�

P! !

� �� �� �� �� �� �� �� � ! ! ! !� �

�m

t s q mm z z m �s

z z��.������09@��T��#�9+A8����3��0�.9@��0�<�#����O�:����a9���.������09@�3��#�9+A8����3��0�.9@��0�<�3����&��F�P8����e(��/+.�#�3������+������#�0���<����)�

��- 9�����z���z�

z�q�������09@�� �;�9+A8�T��0�.���)�����C�q �� 7��������

��.����3��&�9�������(�D�������#�9+A8�/���0�.���)��;+.����C��#���.����[�����������#4��'8�����.���)�����C���(�D

�����z�q�������09@�� �;�9+A8�T��0�.���)�q09@�� dd �;�9+A8����dd)���(�D�Tdd��:#�9+��0��dd

�������������������������6�9E�#���������������5�������������)��V9��/������C�

P! !

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

! ! ! !� �� �� �� �� �� �� �� �

� �mPP

�� �� ���� �� ��

! ! ! ! ! ! �� �� ���� �� ���� �� ��

�sz z!

��.������09@��T��#�9+A8����3��0�.9@��0�<�#����O�:����a9���.������09@�3��#�9+A8����3��0�.9@��0�<�3����&��F�P8����e(��/+.�#�3������+������#�0���<����)�

��- 9�����z� �z�

�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� ����� 9U�Z�9�����C��3��dd ��.�9G���dd ���dd 9U�Z�����#8��������dd�������)��T+��#����B��.��-8�;�9+A8�#�A��.��-8�;�9+A8

������85���_��\���������6�9E�#����g�3�f�Z���3�

���

���

���

���

���

���

��������.�����3�!��#O�Z���3��/����+ ��\��#

C�mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M�: ���S p+ : �����8��:���������^�)�B�;�9+A8�0�.9@��;+.�#�f�Z�����

�����������^�)�B�;�9+A8����p�9@��#�g�Z��

�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� ����B�;�9+A8�f�Z���5��9M��8�>��C������������dd����oB8������9 ��8��� 9U�f�Z���i�9��B�0�.9@��;+.�#p�������:��� 9U��8

���9M��8�� 9U����f�Z����(�D�/�����

�B�������f�Z��������M�.�:�����dd 9U�f:A " B�Z����e���<� fR B� �5��C��1� �

�5�����8�#\DB8�g�Z������#���9I���+.gR {m,n} B� �

��&��� 9U�g�Z���#A-����

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M�/ ���S p+ : �B�#�A��������:� ��9@��K�U�0�����B�3�9@����SO�0�����A��M�

�����>��C��� 9U�Z�����9���8

�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� �:�������!-���f�Z���0���B�0�@����X���D�����.�9P�#����O�9@��T��3���� 9U��8����B�9@����SO��X���D�f�#�������8�#\DB8

��9 ��+���� 9U�B

���

�����

�0���:��dd ���.��-8�;�9+A8�3��B�3�A�����a�)��)a3+�����-[�B�0�.9@�����C������:� ��� 9U����9-�f:A"B�Z���#p���

�� �4��A�0�.9@�����C��:"��#���$��;�9+A8�#�������������;�9+A8�����D huu/

�� 9����9���8�� 9U�Z�����O

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �Ia5� ���S p+ : �9@��3��#������/��������S���:B�#�A����� 9U�Z���/- 9��0�����_���=��+-8�0�.9@��#����A��_���0�@���3�B����9@��T�������A���

5�������9+������8�1����Y9�8�B

���

���

���

�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� ���-����C����������#�9+A8����)��T+��#���9���8�����+ �g��������)��09@��T��;�9+A8����3��3�09@�3��;�9+A8����T��#����A

5�������)������8�:�����8�������������

��&�9���8����f�� 9U�Z������

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �Ia5� ���S p+ : �����#������#4��'8�����.���)��V9��/������C����9���8������/����

5�����

P!

� � � � � �� �� � � � � �

! ! !� �

� z mz m m t

z������������������)��0���=��+-8�0�dd 9U�Z���^dd �������

5����#- 9�

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

C� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

��66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� 5�������6��4��#�����������)��^ ��A�������#������#<9�

��������������������������

��������������������������

��������������������������

�Z���^ ���9���8�L��0�.���)�����T���.�0���7����/+.�#������A�������� 9U�Z�9�����C��%���eE������#A-������� 9��� 9U

5�����t�tcqt

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M�/ ���S p+ : ���9���8�/������:q�ct�3�����9@��#dd��0�����B�;�9+A8��9O����C��#A-����������q����+.�L��0�.����9+���(�D�^dd �#���!M

5����#4��A8�����6�9E�#���9���8��(�D�/���������� 9U�Z�9�

!!

� �� �� �� �� �� � ! ! ! � �

� z mz m m q qt

z�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �I?�� �*9E��������!-�����#��������#\DB8�#A-���������������#������#4��'8����� 9U�Z�9�����C����9���8�:�.���)�����C��3�Q��+

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �M#AG ���S p+ : �A�09@��K�U�;�9+A8����� 9U�Z�9�����C�����9���8�L�D�:�.�#��

������8�#4��'8��B�09@��#��;�9+A8�#���

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� �D� ���S p+ : ��������)��#�9+A8�����q�#����A�09@�s�;�9+A8�������-�

��dd 9U�Z�9�����C���(�D�/�����������������������D� 7�L��5���������

P !!

� �� �� �� �� �� � ! ! !� � �m

s � qm m q q tn

z

������9@��#��B�;�9+A8�#��������8��e(��/���#�q���)��<

�����������������M�: 7�L��

5����������� 9U�Z�9�����C���(�D�/�����

P !!

� �� �� �� �� �� � ! ! !� � �z

s � zm z z q �n

z���9���8�6�9E�3���#�i2)����A�w9@��K�U�;�9+A8�#��������8��(�D�/������� 9U�Z�9�����C��/��������������)��#�9+A8����#��#

5���������P P P� � �m z msn

�� ������6|(��+.�3��/������#�����3�8���/#: H3* �������9G�0�.�MA! 3��.�D huu/�o�! (���.����#�0�C��dd+.�3������������*�dd�����8�0��

��������

�}

�4���S

mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

N�&������������O<

m+�#� : :�.1� u n�/�� )�\-`w���S �3���;D������3����3��d� �b�7����6�@D���_����)���-������b

�`Global�Positioning�Systemb�$u����C"98�u��S<��-&�,�#������u��.����9.�8����ep[-8�:$GPS,����uU�u<���h-G��#����/���������u8�����`Navigationb�$u����S<,��-dd&����dd������-�������#-)���#C�9��3�#S���p��8��V�)��6���3�idd�9���-dd&������8��:��-)�M�u8����"�/8�����8����u8�\��g��!-dd���w����.����9.�8

����-)�M����"����8��9+����-�������C�#�m�rq�*���#����9.�8�z�����epdd[-8����uU�u<�;��8�dd�����D�*�D����w�-89�����=.�z���3�ddD�V�!�������u����g��9.�8�^dd ����+.������Q��M����63�dd!-8����8� dd ����#���dd���/8��J dd�����/8�������+.�:/8��w�3��#��4 ����D�������uU�u<�w�.����9.�8����-&.�������+.�/8��u(�2-������D�����S���3������u+�����D�3������u8�/8?���dd �9G���������dd �9G�w������.����9.�8�/���;�������#��u��8�����u_-)�M��dd �9G�Z"�98�w���=��u��.�w�������#��8���/���w�.����9.�8�����������+.�#�:�����u8����D�/8��u���BI��3�����M�u8�/8���3��#����3���3���.�~"��udd��.���8

�6��BI��/������uU�u<�w�.�����M�������u8���dd�P8�/8��#����#��4dd&���������M�~"��e'8�:6�4dd��'8���A�����3��)�������

�������u8�#4��'8�/8����8���.�������9.�8���SO�e"��D�:� ��#��/8��g���w�<�.����3��C"98�#�Y9�8�6��BI�����9.�8��.��������.�[8�e�"��+ �w����9����������.�*��_��/������.��u8�*�2-����\�8�eE�9)���������8�����9 �u8��)������+ ����uU�u<�w�.�����M�i�9��3������u8��!����A��������9��u8�:��9 �u8��)������.�*��_dd��#��u��8��#�#<9���

������lP[8�����.����9.�8�w�M���"�~"��e'8�u��4��'8����e"��D�����9G�;�E�)����9-��M��:/8��g���w3��; 2���.��������#�����w��# 2��u��p8��C"98����9��u8�:����/C�����9.�8���SO�u[����#�����/�����A��������lP[8�~"���9I�#�:����#-)�M����"�����.����J�9��#�#8�������#���������������3�������6L��C8����u��8�28��.�������-dd ��e'8�#���.��u8���dd[����98��.����3�������U�u8

������u8�����#�#�9_O

�4�%�� �#2���7�8�#7�2� ,"$�����8,��8�24������"%CL���2�)84��2���%� �� ����D2��%">#2�9%%"$�����8�#7�2���7�*��Y%pp������� �4��$�2,�2���� ����#(#2�?2�-��0����������8,������$��(�+�!O��2�� ���-�9��/�N��a#@�������D2�=%> ��%">#2�3,���e�2����

�����8,���5 �&�3E���O��2�9��*���K�>�� �-����4�%��8�-���@1<�)8�� ���7�O �"2

F�_G

GPS

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

F�� : 2�:���6��4��r�V�Cdd �3��O(��%) =��8�#�#'!E�����������.�;dd(��C8

�5������C : (x ) (y ) r� � � �# �z z z

��� �����q�V�C �3�`�z��mb�=��8�#�w��������mep ��� 6D]� �5�������6��4��������/���;(��C8�����

(x ) (y )� � � �z zz m �

�C� ���

�C���

�� ���C��

�C���������l

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

F�� : �: :#�(�! ,1���_��p�����3������u8�Z "�# 2��3�����T���������_��p��������3���.����;(��C8�#��������3����9G��e'8�/-)���w���������u+��Z "����eE�D���_-���3��&�9��u8���_-���T���������.����:������ �����

������u8�eD���

�����3������#��������g�����3����9G��e'8 6D]�

c : (x ) (y )

c : (x ) y

� � � �

� � �

z zm

z zz

z m �m zs

�������3��.��u8����"���_-dd���T��������������3��;(��C8��,L�������u8�eD

(x ) (y ) x x y y

(x ) y x x y

� �� � � � � � � � � �� ��� �� � � � � � �� �� �

z z z z

z z z z

z m � � � z m �m zs z m zs

� x y� � �t z zn �5����dd���6��4��#(��C8�3��/���e��!��eE�D���dd���������94��ZI�2��Y�2�����3��dd��� L�����8�u G�;(��C8�#��T������.����������up�������L�iG�:������3����9G��Y�2��/-)���w��

���.�����"���_-��

x ( x ) x x� � � � � � � � �z z zq mn m � mn s� �z ny x

(x ) (y )

� ����

� � � ���z z

q mnz m �

�#� x , x� � � �m�zsw�.�%�9<�:�3��#<���;(��C8�/���eddD���

� y x� �q mn �;(��C8��������28�/dd�����������"����3������u8��dd���5`z�ep b��9 �u8�eE�D�=����9G��w�.�# 2��a��

A( , ),B( , )� � �m� �z �s s

��� ���C

C���

�C�C����

���������

��

�C

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 C ,_4

�Cmq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

)1�k 2�:����������3���|M�u8�`x��y���z�b�;dd 2�����#��P�#'!E�;dd(��C8

�5��������6��4��:�����9+��`�����b

P : a(x x ) b(y y ) c(z z )� � � � � �� � � �

���|M�u8�`z�&m��qb�; 2�����#���&�9��u8����w��#'!E�;(��C8 6D]� �5�����9+��( -q�m�z)��������3

(x , y , z ) ( , , )(a, b,c) ( , , )

� ��� � ��

z m qq m z

� � � P : (x ) (y ) (z )� � � � � � � �q z m m z q n

�������� �����q�ep ����#'!E�3��63�!-8�w�.��(�D

��

�C

�� ��

��

�CY\Q3�

i%W5�

��

�C

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

�������u!�-P8�w�.��(�D��_��p��#��4dd&���@)����#'!E�#��T�����3�`d��ep b�iG�T�����9��u8�#'!E�#�����- ���`��ep b�#'!E���O����3����9G��e'8�/-)���w����`a��ep b��dd ��# 2�

���������"���_-���T���������.������9��u8

�!

!

�! �!

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

F�* 2�:�������6��4���@)����r�V�C �3�`x��y���z�b�=��8�#�S�g���;(��C8

�5��S : (x x ) (y y ) (z z ) r� � � � � �z z z z

� � �

�V�C �3�`-z�m��b����=��8�#���&�9��u8����w������;(��C8��D]��5� ���D�3�q���

S : (x ) (y ) (z )� � � � � �z z zz m � �

F�* �: :#�(�! ,1����SO�/����������63�!-8��(�D���SO��_��p��#��4dd&������3���ZI�2-8�3��3�����+8�:�3�dd���+8�:F��P-8�5�������6��4���dd(�D���dd���# 2��T����9G��e'8�:�3��3��3�����+8�w�dd.��(�D��������������T����9G��e'8�:��-dd&.�ZI�2-8�����3��#��u-(�D�������9��u8�:����������/���e8� �#��w���#'!E�/-)���w����`s�ep b

���.�����"���_-���T������������3��;(��C8

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

�5��������6�9E�#�����3��;(��C8 6D]� S : (x ) y (z ) , S : x (y ) (z )� � � � � � � � � �z z z z z zm zz m � m q �

�5������:�.�����"���_-���T���������.����w�.�#(��C8��M�

S : (x ) y (z ) x y z x z

S : x (y ) (z ) x y z y z

� �� � � � � � � � � � � �� ��� �� � � � � � � � � � � ��� ��

z z z z z zm

z z z z z zz

z m � � z � m �m q � z z m � �

�5������L��;(��C8�3��e��!����

x y z x y z� � � � � � � � � � �� z r q s z � n

���9G������� ��A���g�����#������#'!E�T��;(��C8��G���;(��C8���������"����w3������3�

��5* m� �ON� # � 7�B�� )+�ZG ��" FZ3/: ��M�������#-)�M����"�#'!E����lPdd[8���; 2��T���������a�)����9��u8�����:�����A���_dd 3�)�����8�u�C8���p8��������9G�;�E�)

����9_�����9G�w�M���"�~"����p8�A�=��8�#�w��������i'8�w3��# 2��T������+dd ���G�o���+ 8

�`t�ep b����������"

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

�����8�w�_�����p8��������9ddG�;�E�)�:V9�98�/������3B���ddM��=��8�#�w��������i'8�w3���+ �:e4"�#4dd �W'���:�����=��B�w�.�# 2������+ �w�M���"���p8�:��epdd �#�#<9��������������"�B�����������"��A��o�2"��#�������u+���9�.�u(3��:����������3����9G�

� �

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 l ,_4

��������9G�;�E�)�#������������:�9G�~"���C"98�/C��w��dd�#dd����9G��e'8�6�9E�/������������=��C �����8��u89dd����p8

�`r�ep b�����u8�lP[8�����+ �/-)�M����"���p8�:�����

� �

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4 �#�����9G�u��p8�~"���C"98��.�9G�u8�#���dd���a�)��9���������lP[8�:��-&.��+ ��������3���+������#��u��.����9.�8�T+��w������i'8�w3���+ ��C"98�:� � dm������g��9.�8�����+ �;�E�)��M���9G�;�E�)�:������3B���M�����������"�dm�V�Cdd �3�A�=��8�#� Sm�����#�#�Sz�����#�w������i'8�w3���+ �:�����:����dz�#��B�g��9.�8�������3�Sm�g���3�����- ��#p����#�#<9����3����������"�dz�V�Cdd �3�B�=��8�6��BI��#�/��������-&.����- ��g�����w3���+ �:����������T��:Sz

�;�E�)�����a�)������lP[8�����9G��C"98��������������w�-[�g���i'8�w3���+ ��U��� ��dq�����C�����8�w�_���g��9.�8�����+ �����/������- ��#p����#�#<9��������������"�=��dq�V�C �3�C�=��8�#�Sq

��.��9�.�:�9 �u8�# 2��3��:����Sz�3�Sm�g���3�����- ��#��w���������������lP[8�����9G��C"98�~"���9I�#����9��u+�

"�

"C

"�

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 � ,_4

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

��+ �;�E�)��M��3�� ����.�9G��������SO�g��9.�8�#��+ ��U�������#��d��V�Cdd �3�D�=��8�#�g���:�dd ��d������D�g��9.�8����/���3�������-[8�# 2��T������_���g���#����o�C "�:�8���u8�S�

�����+ �w�M���"���p8�:# 2�

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �� ,_4

����9.�8���SO�T+��#�#��~"���C"98�/-)���������L��;dd��\����[������6�9E�#�3�u��'��ep �#����9��u8��:������8������#�:���9.�8����*��_dd���)�����#���������dd ��#-p��/���#�������.����8��/��+.�3����9.�8����6�h-P8�u�C��:���9.�8�u��p8��C"98���8���M�������#4��'8��"��#���9��u8�������9.�8����*��_���)�����*��_�����dd��3��dd ��t����������9.�8�T�����*��_dd���)�����*��_���������)�����;�E�)�:���_�c���������9�������#��:u(�����;�E�)�/��������9 �u8�dcct����������9.�8�������`GPS���_-dd��b

���9 �u8�#4��'8�uM����#����9.�8��.�����+ ���_-��

��+ �;�E�)�3�`am��m��mb���p8����*3��g��9.�8�����a�)��9�������"����w3���+dd �#��Sm�g���;(��C8�/��������dd � dm�=������dd�

�5�9��.�9G�����6�9E��#�:���M�u8S : (x a ) (y b ) (z c ) d� � � � � �z z zm m m m m

�:� �W'�L�����#������_���w�.�����w�.�#(��C8�:#�dd[8��9I�#�����6�9E�#���_-���T���������.�#(��C8���+���9������ 9����9��u8

�5�.��u8����"(x a ) (y b ) (z c ) d

(x a ) (y b ) (z c ) d

(x a ) (y b ) (z c ) d

(x a ) (y b ) (z c ) d

� � � � � � ��

� � � � � ���

� � � � � ���

� � � � � ��

z z zm m m m

z z zz z z z

z z zq q q q

z z z� � � �

�����9�����*3��w�.�#(��C8����T���.������SO�;(��C8�e��!�����5����u8�������_-���#��:��_-���/��

(a a )x (b b )y (c c )z d d(a a )x (b b )y (c c )z d d(a a )x (b b )y (c c )z d d

� � � � � � ��� � � � � � � ��� � � � � � � ��

� m � m � m � m

� z � z � z � z

� q � q � q � q

z z zz z zz z z

�uM����#�3�� ��u8�*9SA8�#��3�#(��C8�#��u G���_-���T��#�������eD�e�"

�5������L�#-p��3����������U����u��8���G?��;4��'8����-&.�=SA8�u+��������#��.����9.�8�6�����w�����h���:����M�#������w���w�����9.�8�*��_�������*��_���3�3���8��GPS�g���M���dd�������M��C"98����9.�8�������*��_dd��F3�G���8��3�����M����dd��#�#<9��#�{B-G��/����M�������u8�#4��'8����9.�8����dd����������_-���:� ��#��H��������m�u�C��:#��H�3�p8�T��g��������dd[���-8�q����3�D����u�� G�������+dd ��C"98�:GPS������#�GPS���_-����.�:� G�/������%��-<��w�����.��u8���.��u8�~4 ��u+��������������9G�#������=SA8�u(�-A������# 2��T��6�9ddE�#�:`*�+�0b�u�C��:L����_-dd���%�9<�6C�/���#������>�98�GPS���_-dd����.�3�����xyz���_-dd���a���3�*9I����9-��������e��4��u4 "�6�h-P8�#����#dd 2��������lP[8������J ���������+ �V�!����/��+.�3�u��)���<

..................................................................................................�"�����8��;��;<��>�?��@�JQ�JUU<>�VWW��$$<���J�U�>����>������������?J>��Z$?��\�?�^W8_��^��`�|QU~?+���U���>��J�#�����;<U��<�$U>�J�U���\�Z+>J�#��;�Z��~UJJ����~����?-

>�J+��^W88�.���S<�6���3�����w�.������3�`GPSb�u��S<�%����C"98�;��8����`���ub�����u�S �u��"����9U��q

�6��BI��w�3��)�3���8���-)���w��h-"��3�w=���#8������3�C8��w��3�[�

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�� � 7��

�4�X������T(�����f4#2E�X��W �!2���3���&�9��,$�*�+�� �3#�W�)T(����f4#2E�,���~�����W����|@2�T(����~�����W�8 4�~�C ��%2�3�24��7����� �X��ZK7�xT�1��X�7�����&�f4#2Ey�����17�� �4���� �# ,2� ����'�#<����r��5�a���J�� �*���v�� �,+�',2���v����*���,%0��3��5� �X�7 ,"����W�2y�����%��3#�W�$�v��w�*���4�����8 #��R��,$�*#��2��0�7�2��,���TK%����&��������X�7���,2��

����8 �W�X��ZK7�4#7�T�O� �!�#K��X�7���,2�9%�lK7���4#7�x3�Y�4��y���xT��0��^�,2�� �3#�W�T5���W����8 �-��%��$�T(���� �%SKO�!�%24�� �T��#2�34#2E��� �)4#7�T��0��,%0���W�2�� �R��,$�3�24�4�3����)T��(����%��)T��0J�a������X�#�W�T(����XUL�*,2�a,�� �)TP�8#%F� #"�2�%2�?d2�T�4#2E��� ��,��8,pp��?%n@�O�������TK� �X����-���#�-��(����*,2�a,�� �)T��%��~��/#+�2���X�#�W�a����*,2�a,�� ��)TO#7����(�%� �)T��0J���������#pp�W�XUL�*,2�a,��

�� �W�'#��X�H �+�� �) #��;����T�"�<�8�Y�� �X#N�� �W�TO�+�� ���GF�*�����1�I�2���#� �!���������7��%��x3���4#5�3����3�K�"2�T(����9KN��T��J�X�#�y�#� ���4#7�3�%Y�7���8�Y�� �~�,2�8 4�~�C ���- v�w��*���� ������8 �W�A��T(����f4#2E�X�7�R��1�W�4�X��%���� ���� � � #5�X��W�!2����W� ��7���3���4#5�3����T(����8��F�� �3�������8��K��9��� �� �W���P���KJ�$���9�����J��!��#��)xX #0���Z1$�X������%��'����K$�p�/UW�3�,��'�CHy�j��W�/� �,�J��7

���������#F���1F��

F#4

�#&����E�/��0�

� �! �M8* '��! P%X " H3* ��v�� M �* �#�� m3�S���

�:# : 7.� @' ���S p+ : ��b( )! @'%\O��^U��+dd ������������B�������2O�5�������4��ï�:������6�4H���dd��#��dd&8�T��eD���_�.�#����8��3�6�4H��g9'����������0���� 9G��D����98�� ������.����[���9G����6�4H�����#-)������#�Q3�����4��

���["�6�4H��#O��7(�<�#O�0�3,�5�� ��#-!M��oBX8�3��.�#��#��������9���2O��p������3�$���.��9��3�:���9��^��U���O�����C���� �3��[���3�j.��3��0�.�6�4H���-[�Z"�3��������������� ���������eD�����#���������eX8�3���-&.�$Q��|U��9-��,������

�����|�����6�4H��Q3�����94A8����98�� ���

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�50�8* ��#���*9"�#�#���(�D����epdd �=<�#�:�4�����+����dd.��T�,�%�-��$������Cdd �o�8�+��:���0��- 9��/���������.�6�4H��e8� ��B���3��6�4H�

��������

' ���S p+ : �3uuN! # )?a� '�G��

':�* �uu� � �! @�55* �� )uu��W� )! � )k�< )G )?sK� ,L �� P#A� )! # � F�� )G ��5* �� ' ���S p+ :

���: �� � 'S��M��#��&8����������/8��98�� ����=O��.����e4"�ï )?sK� �� ��94��#��&8�:�dd ��8�eD�*3����_�����63�!��#��&8�3�^��U�:/��+��/�6p�G �5���3�0����eD������4"�*�]dd���+dd ��M���������9<3�eD�0�������*�]dd��/����L��3�0�9dd�*�D�Q9G�:����eD����������9-��#p��������dd���_��3������8��9G���-G���/���#p��:�dd&��9�����9��������dd ���#���������+����+���98�� �����.�M���dd���#��&8��-"3��������9<3�#��dd&8�3�/��+��/��"�)�#ddO��� �9G����:������9<3�63�!���.�/���/�#����+S!

���9 ��+����������������98�T�����U�5��9M��8��9ddG�#��98�� ����������8��p)����#dd�������8���9G��������dd��<�oB4"�#������ ���.�!8���8����^�.��������������U��8�9<3��&<�#�:�����������9G���.���������:�����8�#E9�����98�� ����#�#[+.�/8�:������9�7(�<���[����#�������0�_U������R�&8���'-8������-D�3��dd���#-G������dd�����#�����.���

�����#-)�_������.����g�+��:������������B��g3=<����3B��#p����_�� P �\( 2G�3�:�Q�9G�0��������98�� �����.�#����R�&8���dd+��/����6�uu4! )34 : �;�#�^+�C8�#����R�dd&8�3������Q���dd����%�-�����Q�9G�eR�dd&8����T�������#�:#-!M�3��#�#��M��<���&�9��Q�-)���������.�����������8�#"B���-[��������U�#dd"B���-dd[����.�*�]dd�����#O�#�g�+��Z�������M����&�9�����Q�9G�0�.�>C������

�����5�&�9��3������ ������Q�-)�����:#-)�M�����������9�#O�:#-)�M������+��Z���^P����#p������- �����+S8�^�4"�7dd ����9�����9P����������x� 8���C8�#����R�&8�����9��Pdd��eR�&8��.�/������9��� ��+S)����O����-dd ������3��0�.��G�� �03����������C����G�� ��)���9 ��8������������������3���8��dd���#��G��dd �Q�9G�Q�9G�3�� ��#- ����-G�� ��)���_���#����M��8

������e�'��3�#�=A��������9G��8��.�Q����8�3���M��������#��.�C�/������.����3��.����A���#-&��9��#��������.����09'��#��3�8���M��������8���������9G�:����#-&��9-��#�����m��#dd[+.�{BG��3��������'-8��%9G�����������&�9���8�������6��I�G�;O�-)������#-)�M�z����������'-8���-dd&��9��3��������A����������/����/8�#�����������6��I�G�;O�-)��/������9���8���.��%9G�g3=<�����y�:#O�-)��T��*����.�������#_��0��M���

�� ���S8����9���8�:����������������

� )k�< )G �.A��! Y�# � �.A��! 7(54 9#!#:��

:�%! �� ���S p+ : )+�ZG ���# : ' ���S p+ : )! ��! �#* )G � 7/ F�.A� �! # 7.KB M �* )*

��+�4 Y�# � �.A��! )* ��: Ma+ �� ��#-&��9��3���dd����G��dd ��)�;�D�8�#��M��ï�^�3����#dd������e�'��3�#dd�=A�����Q�9ddG�#-)�M�6�9ddE��+S)���dd.�A���9dd ��8��9�C8�/��.�M�:�dd����#<9���������98�� ������dd���~"��>��C��3��������9ddS!8�T�������.���9h�����#dd[+.�/8���dd�����dd&�63�!���9S!8����ms����oL9+C8�:�dd������9S!8�T����������dd��U���-G�����0�!dd��0�.�#"�3�:�B�������U�;2"���.��.�9G��8��.�������3��.���8����dd"����98�� �����3�8���������#�����#����:���dd����G�����#�T��:*�X8�0�����&�9����3��dd��S)�:���������� �����.�������:�9��3��;dd<���;(��C8��3�8��Q�98���ddM��#�#p����3����dd �9G�0���#�+<����dd.�9G��8�g�����#�+<��!.�:�������_���B��g3=<����%�-������3�8��#�����9_��3���dd&�9���3��;<���#(��C8

������������ �(,�A����4�Q������ ��7&R3(�1���(�/0�N6�>��H��7&R3(�7&R3(�S@�A��T�!<�

F: � f%-

�l mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�0���98�#O�3���-G98��#O��3��;dd<���;(��C8�eD��������^P�/�����S8����������9��S48���[���

�������9�#O��.�����\�����#���.�9G��8��dd���98�� ����������9+.�/dd8�03��#��&8�#���.�M���C��1��dd �4��������B��#���.�9G���8��.��������p�����:�9dd ��8�x� 8�9����#�Z<���^������p)�g9'������0��E���3������p)�:�+S!�#2��.�3�/8��.����:����9M������#��dd&8����98�� �����.��"3���G����|M��8�3��/.�����#O�:��-&.�Q9.����G�#����-&�����dd&���8�~)98

�������8�����[8�#����-&.����.����#p�

#: � 'S �X^< � @' ��uu�S p+ : 9>Z+ ��b( #:��

���# : ��J+ )G �;�# �� ��+ �<�����98�� �����ddM=_�����g�dd+��edd�L������ddp��ï�0�M�������3���+-dd&8�0�.��8�����:�dd���������/���edd�28�������9dd��G�3�/dd��(�3��edd+C(���p��3

����.��8�����3�0��+ ����9G���&D�����:��U����U��dd&p

��.����8��98�� ��������!��#��+-��

' ���S p+ : 9>uuZ+ p� >� � �! .uu4 2k�<��

�7KG����98�� ����#���dd��������+��0�.��p.�������p���������9@D���-�������;dd&�<������4"�;C(� 8����������#�Y9�8�V9dd�98�e��#�#p����#��#dd-4(�����4&������ ��#p��:��dd ��#- ���#I�D��#&�<��B�����98�� �����-S�Y�dd4����W�����M�V9�98�:W'��.�����U���������8�#E9����9dd ��8�����3�#&�<�����V9�98�#���.�9P���-�������98�� �����9@D����e4"��dd.��98�� ������dd���x� 8�����ddC��4&������dd ��:�dd����%�-��;C(� 8����B�����#���������������9dd8�� �����������ddU�V9�98������C��3��� �#- 9�������0����dd����0�.�%�-�

�� ���� �/�3������������#�#��������9���

)! # �uu/#: �.* �� H3* � F:�3uu/ uu�S��

��5* �� :A5N� ' ���S p+ :

���Zdd��8�/dd���������!-dd����o�dd+-D�ï�0�.������9��3�^dd����J dd��0�2����;-p���8�������Y�4����������98�� ����0�98�� �����.�#���dd���/����S8�Z4�8�#�^��.������9��J ��������e4"���� ������������E�G�� �98���dd����T+��Z4�8�3�%�-��;S��������#�Y9�8���-dd������dd ����L���.�[8�/8���M������6�9[8�����#p�����9h�������98�� ����:�dd����8

������)�dd[U�����-4X8��H?�������Z��8�/-dd ���%�-����O�����Tdd��0���:������dd.�����dd������S���#��/dd���#��������8�#ddS���dd �98��T+��#p��:�����+���.����������0�dd.������9��#��p+���� ��.�9G�#��=.�3��"3�{B���3��+M�����W���e4"�:�������������Z4�8�/��-S�5��p��Q98��)

����������%�-��=O��.���

' ���S p+ : � �! @��Z�: �( 2k�< �� '�� #:��

6�����! @��# :�5����|��#���dd���/������98�� ����#�/8�;E9��ï�0�.�6��S8�0�ddM����0����dd������<�#dd���8���C8�����dd-������8�0�dd.�eh'8��.�M���ddM����#������|���dd����������+�����"���dd9G�Y�4��������/���#���8��dd �98��0�.�{�.�����p��oBE��0�.�6��S8�#�9_O�:�dd��_��������9dd8�� ����#�

���.��^��=)������9G�0��-)��3����+-<��:���M��8�����#��#����#��4&��#�����_�����:�.���B���.���Y�4�����_�9_O���C����� ���2-�8�#��&8�eD���9��#��.�#���8���=M��8�G�3���C8

�����:��-dd&���.�eX8��+�C8�3��j.�#dd������

���-&���.�eX8���h'8�3��j.�#���9I���+.

�_uuN< @��: : �b3( d�;�� 0� )! )* �3B� � ��

6I5* ���3����98�� ����;+.�0���3��-&.���=M����dd���.�/8�������2)98�03�����.����^p-+D����+�C8�/��+.

�$����� �!�U���V

������W�=%(�F�� ��X�D��Y��<�6

�W�=%(��,C.�����3���6�%

#�� m3�S

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

m;�# n�# >� M�+ m�����>� ��4�C������ ,K@2���- xyt� �Z$ �K� ?r�=� ��� H�A':� r8C> /V�� �z>3 ��C�����K����(�%� �< ����Z� r���� ��� ?r*�� r���� ��� �!���t

��O-����B$�����

\/��0P��K�>_

�,�P�!A������C>��K�>�[O�62�?%KD$�9K(��K�>�9��� �����/�������7�3E���J����$�d�d2�h�#$�����!�%24�� ��Y� ��%O�"��4��7��%O�"��)��C>���7��Kpp�>�,���K7����4 �&��2�x�CJ#gJy�/� �a�� ��(������� ���7�j��-�9�2���7�9��K$����7�*�d2��#K�

�,��8,��j�e���6�#�2

F#4

A3+ I� 2�� � �: m<]?]� n� 7%K+ 6C 7���5 z�ep b��s�°�3�q�°�w�.�#�3���u��X�X8�w�.��4&��;4��'8m) O=(���) z������?�<�����m)

q) A=(m��) �) B=�UJ�J�����q�����

s) C=�UJ�J������s����� t����?�~<�?Z��JU?������"�

�����?�~<�?Z��JU?�������� r) e=sin(q�°)

�) f=cos(q�°) m�) g=tan(q�°)

mm) h=cot(q�°) mz) i=sin(�s�°)

mq) j=cos(�s�°) m�) k=tan(�s�°)

ms) l=cot(�s�°)

����!-���/-8���=������.��4&��;&��28�3�6��BI��^��+��w���k:�j:�i:�h:�g:�f:�e�w�.�{�D�������L�:�.�/-8��������������u8�:�������4<9�<��9p���#��uM����3�$Advanced,��+&"����l�3

��9 ������^��+���.����w�������28������9 �%�P-��mt) sin(q�°)=e --- sin(�s�°)=im�) cos(q�°)=f --- cos(�s�°)=jmr) tan(q�°)=g --- tan(�s�°)=km����UJ��W��=h --- cot(�s�°)=l

m<]?]� 9�� : #: � )�� � ':�* �ON� 6� 7����3�q�°�w�.�#�3���u��X�X8�g�dd����T������.�9G�u8�����a�)��S<���4<9�<����#����9 �u8��3�����o ���A8������lP[8�����q�°�w�.�9-���w��<���������u��X�X8��S<���+.���48�6�9E�#����D

5`mep b���9 �u8�eE�D��.�#�3���/������

m) O=(���) z������?�<�����m)

q) A=(m��) �) B=�UJ�J�����q�����

s) C=�UJ�J�����&q����� t����?�~<�?Z��JU?������"�

�����?�~<�?Z��JU?��������

� �sq�3�������� �

�q�w�.�#�3���u��X�X8�w�.��4dd&��;4��'8

5`q�ep b�������

m) O=(���)z������?�<�����m)q) A=(m��)�) B=�UJ�J�����&��q���

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

s) C=�UJ�J�����s��q���t����?�~<�?Z��JU?����"��������?�~<�?Z��JU?��������r) e=>���&��q)�) f=�U>�&��q)m�) g=J���&��q)mm) h=�UJ�&��q)mz) i=sin(s��q)mq) j=cos(s��q)m�) k=tan(s��q)ms) l=cot(s��q)mt��>���&��?������q��=e --- sin(\frac{s���q��=im����U>�&��?������q��=f --- cos(\frac{s���q��=jmr��J���&��?������q��=g --- tan(\frac{s���q��=km����UJ�&��?������q��=h --- cot(\frac{s���q��=l

f�5/ Y!< I/# 6� 7������y=sinx�; ������9���Z�������eD��8��(�C)�/�����

��9 �u8���A�����4<9�<�i'8����u���# 2�

� x , , , , , , , ,� � � � � � �� �

z q snt � q z q � t

�w�.�*9I�#dd �Y�dd2� �6��/���#��`��ep b������dd���3�lP[8��9�dd��Z���w3����

5�������3��������6��9-���$Input ...,��+&"����:�9\�8A=(��>����°)) B=(pi/t�>���$��t))C=(pi/��>���$���)) D=(pi/q�>���$��q))E=(pi/z�>���$��z)) F=(zpi/q�>���zpi/q))G=(qpi/��>���qpi/�)) H=(spi/t�>���spi/t))I=�$��>���$���

�� s�ep b�����eE3��_��p��#�7����#����ep ����eE�D�Y�2� 6C5�������!-dd��������9-dd�������_��p��#�Y�2�������eh-8�w��v=>��~�����>�\#��J����>����������$��m���>�����$��m����������$��$��m��)

�:� � �,� �z �g�������9���Z������9+������w������e4"�eD��8�6���.����3��.����A��� x , , ,� � �

� �� q mm zt z t

�w�.�*9I�%�P-�����`t�ep b�����eE3��_��p��#�7����#���

L=(�pi/t�>����pi/t)) M=(qpi/z�>���qpi/z))N=(mmpi/t�>���mmpi/t)) O=(z$��>���zpi))u=>��~�����>�\#��J����>����������$��m���>�����$��m��������$��z$��$��m��)

�}mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�#�#<9����3��[p� � �, �n z �g����������9���Z������9+��*�D 6�����������:z��*9I�#�w�.��������Z���/������9+����9���dd&p�

�`��ep b��������� � �,� � �� � �g��5 � �, �n z �g�����������9-��

a=>��~�����>�\#��J����>����������$��m���>�����$��m����������z$��$��m��)

5 � �,� �z � �g�����������9-��b=>��~�����>�\#��J����>����������$��m���>�����$��m��������z$���$��$��m��)

5 � �,� �z n �g�����������9-��c=>��~�����>�\#��J����>����������$��m���>�����$��m��������&z$��$��m��)

5 � �,� � � �� z �g�����������9-��d=>��~�����>�\#��J����>����������$��m���>�����$��m��������&�$��&z$��$��m��)

f�5K* Y!< I/# 6� 7������y=cosx�; ������9�&��Z�������eD��8��(�C)�/�����

��9 �u8���A�����4<9�<�i'8����u���# 2�

�w3�� x , , , , , , , ,� � � � � � �� �

z q sn� t q z q � t

�w�.�*9I�#�Y�2��6��`r�ep b���������3�lP[8�����9�&��Z��

A=(���U>��°))B=(pi/t��U>�$��t)) C=(pi/���U>�$���))D=(pi/q��U>�$��q))E=(pi/z��U>�$��z))F=(zpi/q��U>�zpi/q))G=(qpi/���U>�qpi/�))H=(spi/t��U>�spi/t))I=�$���U>�$���

�`��ep b�����eE3��_��p��#�7����#����ep ����eE�D�Y�2� 6Cu=>��~�����>�\#��J�����U>��������$��m����U>���$��m����������$��$��m��)

� � �,� �z �g�������9�&��Z������9+������w������e4"�eD��8��q

��.����3��.����A��� x , , ,� � �� �s q � z� z �

�w�.�*9I�%�P-����

�`m��ep b�����eE3��_��p��#�7����#���F=(spi/���U>�spi/�))G=(qpi/z��U>�qpi/z))H=(�pi/���U>��pi/�))I=(z$���U>�zpi))v=>��~�����>�\#��J�����U>��������$��m����U>���$��m��������$��z$��$��m��)

�Cmq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

5 � �, �n z �g������ cos(x )��z�Z��������

b=>��~�����>�\#��J�����U>���pi/z������$��m����U>���pi/z��$��m����������z$��$��m��)

5`ms�ep b� � �, �n z �g������ cos(x )�� �m

z�Z��������

c=>��~�����>�\#��J����m��U>���pi/z������$��m���m��U>���pi/z�$��m���������z$��$��m��)

�r y cos(x )�� � �

z5 � �, �n z �g������ cos(x )�

�z�Z��������

b=>��~�����>�\#��J�����U>���$��z������$�/m����U>���$��z�$��m����������z$��$��m��)

5`mt�ep b� � �, �n z �������� cos(x )�� �

z�Z��������

c=>��~�����>�\#��J����&�U>���$��z������$�/m���&�U>���$��z�$��m��)-m/z�������z$��$��m��)

`r y sin(x )�� �

q5 � �, �n z �g������sinx�Z��������

a=>��~�����>�\#��J����>����������$�/m���>�����$��m����������z$��$��m��)

5`m��ep b� � �, pin z �g������sin(x-pi/q)�Z��������b=>��~�����>�\#��J����>����&$��q������$�/m���>����&$��q�$��m����������z$��$��m��)

dK< ! m<]?]� Y! �< # :�.+ I/# 6� 7����� � �, �n z 9�! #: ��� n� )W!; ! Y! �< # :�.+ I/#

e� r y sin x� z5 � �, �n z �g������sinx�Z��������

a=>��~�����>�\#��J����>����������$��m���>�����$��m����������z$��$��m��)

5`mr�ep b� � �, �n z �g������zsinx�Z��������b=>��~�����>�\#��J����z>����������$��m���z>�����$��m����������z$��$��m��)

Hr y cos x� q5 � �, �n z �g������cosx�Z��������

a=>��~�����>�\#��J�����U>��������$��m����U>���$��m����������z$��$��m��)

5`m��ep b� � �, �n z �g������qcosx�Z��������b=>��~�����>�\#��J����q�U>��������$��m���q�U>���$��m����������z$��$��m��)

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�r y cos x� �mmz 5 � �, �n z �g����� cos x�

mz

�Z��������

b sequence(segment(( , cos( )), ( pi / ,

cos( pi / ))), , , pi, pi / )

� � � � � �

� � � �

m mnnz

m mnn n z mnnz

5`z��ep b� � �, �n z �g������ cos x�mmz

�Z��������c sequence(segment(( , cos( )), ( pi / ,

cos( pi / ))), , , pi, pi / )

� � � � � �

� � � �

mm mnnz

mm mnn n z mnnz

m<]?]� Y! �< i?W� #�B # :�.+ I/# 6l 7���� � �,� � �z z 9�! #: ��� n� )W!; ! Y! �< # :�.+ I/#

e� r y | sin x |�

5 � �,� � �z z �g������sinx�Z��������a=>��~�����>�\#��J����>����������$��m���>�����$��m��������&z$��z$��$��m��)

5`zm�ep b� � �,� � �z z �g������|sinx|�Z��������b=>��~�����>�\#��J������>`>����������$��m�����>�>�����$��m��������&z$��z$��$��m��)

Hr y = -|sinx|5`zz�ep b� � �,� � �z z �g������-|sinx|�Z��������

c=>��~�����>�\#��J����&��>`>����������$�/m���&��>�>�����$��m���������&z$��z$��$��m��)

`r y=m���U>*�5 � �,� � �z z �g������|cosx|�Z��������

b=>��~�����>�\#��J������>`�U>���������$�/m�����>��U>���$��m���������&z$��z$��$��m��)

5`zq�ep b� � �,� � �z z �g������m���U>*��Z��������c=>��~�����>�\#��J����m���>`�U>���������$�/m���m���>��U>���$��m���������&z$��z$��$��m��)

..............................................................................................�"�����9cf{h ?r�R$ Y�C> (+���� Y�� &��� ?a r���� r��� |��t 9c

9cf{h ?}�y�. � r���� ;+���� Y�� &��� ?c ����IK r��� |��t 9a3. www.geogebra.org

��

�4���S

mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

C�=0��E*. )A���B��� ;#�.L

$=��=��

����0��#�9+A8�3�V��9ddO��.��������0��#�9+A8�:;��������{��ddM�5e���<���_8�:�����S����V�;�9+A8�3���-&.��.��-8�#�9+A8�3���.b�����E��9O��.�*��

��.�#��������3�b��dd���Z"�3�����3��/�*����.�#��0�9I�#�:`�9dd �J��h���������y����(VG���G)�0�.��+�����oL9+C8�������8�Y9�8�Q�9G�#����3���������T�����`�����8�Y9�8

��9 ��8����!-������^��+��0������;�����;����3��9@��/(3������:~� 8��9I�#��`�9 ��8��������dd[�b��9dd ��8��9h��# 2��T����oL9+C8�����T�

���.���8�ep ����{��M�T��#������0��#�9+A8�:�_�������#��������T��#��`�9 ��8��������[�b��9 ��8��9h����'�8����iG����U�T����oL9+C8�*����.����{��M�T��#������0��#�9+A8�3�����9@��/83��*���:~� 8��9I�#�������8�eE3�Q�9G�#��������T����

���.���8�ep ��9 ��8���8���${��M�g�����,����0�.�*������C��3�${��M�;4��8,�{��M�T��0�.��������C�

�������8�eE3��_�������#��������T��#�������(���F:/ D����������8�eE3�Q�9G�#��������T��#�������(���)B�\��

�i2)�#"9I�T��������� �eE3��.�#�*������i�9��#����-&.����.�����`*����dd��3�b�*���T����A3+ tQ+�����������S-���; 2��T�

�G����:��������&p�����S-���Y�2��#���(���3��j.�=��3�� ��#"9I��"�)�#��G��9O������)��M�F:/ [ ������ ��#- ���

�`�.���8���[�b������8��4H�$~� �%�6�9E�#����W�3V����S-�������3����*���T��:�����{��M�T������&�9���8�VW�6�9E�#��&�9�������0���3

IA� PL8Wk � � 7U� 1. ������66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 [ ��2. #$�%$��66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 f�#3. � �$�6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 D�4. �&�&%�666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �uu�53�5. '��$��%�6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �A<+6. ��(%���%)�666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 i?W� #�\ )!7. "$��$�%�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 y( F#�8. �*�+$�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 �515�9.�� $��66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 )%<��8W��"&�$�6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 F� �+ 11. ,����6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 )B�\12. ����$��66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 F:/13. �� ��&�%(�66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 ��A3+ tQ+14. "&��)$-������66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 F:/ [ ��

6666666

6666666

6666666

F:/ D�f�#

)B�\

.

.

#

#

��

#/-$�0-�0-�0- %�/-$��0-� 0-� 0-� %

�/- #�0-��!

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

--------�$�&�&%&��(1-1

���-����� G = (���� ) is a set V of vertices and a set E of edges (both sets are finite and V is nonempty unless specified otherwise) such that each edge is associ-ated with either two vertices or one vertex twice. It is sometimes denoted (VG ���G )or (V (G���E (G)).

���-+$�%$���>�~>~�<<+��U���$J~�<�0����>���$U��J����>J?��J<+���J��>���#�#��?�U��JQ����?>J�of the two sets that form a graph.

An $ �$��>�~>~�<<+��U���$J~�<�0����>���<����>�\#��J�U?��~?������JQ�?��U����\�U�����?J�*�JU���UJQ�?�U?��U����\�����?J�*�JU��J>�<�����>J?��J<+���J��>���#�#��?�U��JQ��>��U���of the two sets that form a graph.

The number of vertices of a graph is often called its �� $�. The number of edges of a graph is sometimes called its (&�$.

��A ����$� $ �$ (or )&�2) is an edge that joins one vertex to another.

��A )��� (or ($)�3)���) is an edge that joins a vertex to itself.

��A (&��)$-����� is a graph G that has no loops and in which no two edges have the >�#�����$U��J>�������>�#$<��\?�$Q�������\����JQ����$U��J>����������������?�\�?�����>�JQ��$��?�������������>�U�J������UJ���>�#$<+��0����

' ���S p+ : 2.��< � �! A graph with no edges is called a �*))-�����������~?JQ�?��V��>��#$J+��JQ���JQ��?�>~<J��>�

the $��%-�����. (Note that some researchers invert the meanings of null graph and empty graph.)

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

The %�&+&�)-����� has just one vertex and no edges.

...............................................................................................................................................

Vertices v and w are � 4��$�% if there is an edge whose endpoints are v and w.

...............................................................................................................................................

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

T$���4��(�,%K+

H

P;�

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

@����! � )! " � �Q� � �:�.- �� 7*�L ! ��! .4 .�� �� #:��5* 7�-# # ��� 0+ �B ��! )3%�

�� Y!�� ��� )* F�4 ,_N< �G�* Y!�� �5G � .�� �� 2uuNQ+ 6� � #: � 21�k �� F�4 ,L D]� 2NQ+ 67/ F�4 [{L 'S �G�* �G�* Y!�� �� � 67/ F�4 ,_N< �G�* Y!�� C� � )* 7/

6:�* #�%- ' �< �� #! �� �]* �L Y!�� � � � �53K� ,_4 �L "�Z.� @�+ F�4 �+# )* ��� )L+ 6C �G�* Y!�� �� � 7/#: ��! .4 �K� 6�+ F�4 ,_N< �G�* �\�4 w� ��/ �� )L+ � �! 6�5* #�%- � )L+ 0� � �� ��

6�5* 7B: H�( F�4 ,L D]� )! 6:# �+ :���

�;�# �����/

"

"

"

"

"

"

"

"

"

�Q6�+�������������R

"

"

"

"

"

"

q�� 21�kr R/�

"

"""

Q2����J<�S�

��=================�

�l

���������

�4���S

mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

� m;�#q�!�a< � �;�# I�: 2��r

3�%�������

����3������#��89+��;�+<�T��q:r:mt:z�:�m����;(�4���0���6��^ �V9+A8�3��z��*3��;�+<�#��V9+A8�:����.�;(�4���T�����6C��dd���#���� t

tmm

s�eE�D�6�9E�/��������dd����zm����*3��;�+<

����3�

�:� ��� G�09_(��T� nt ( a )n (a )n a� � � � � �zz r m z �M��6�����3������#��� t t�� s eE�D

�:��.��ep[����&D�#(�4���T�� cz 3� bz : az �M��#��������H�6��ep[����&D�;(�4���T��=��

a b�m �3�

a c�m :

b c�m �0�.���

���.���8

�����%9� 8�:� ���3��Z�����x���+��0�S-���3�Sin x ��zs�M��6�

5;4��'8

A (tan x Cotx)(Cos x Sin x)� � �z z

�Z��*�J��*���U>*��UJ*���m�Z��*� �03�dd&� ��-dd��� �6��������������(m��U>*�

�5� ��#-dd ���3��dd ��9@��m���0�����U�Z<�8�;�9+A8��M��6l������9@����O�A&B�6�9E�/������:n(B-A)=z��3�������ss

�6�h-P8�#'!E����#dd 2��3��B=(x-m�*�z)�3�A=(m�*���ddM��6���.x��9'8��4X8��S<���B�3�A�; 2��3���������|M�iG�3�:�� �

����3������#����x����28�:���&�t�°�;�3��

� 2/�5�q�;�# I�: 2��r

TK��W�9%�+

�A�����3���-&.�A�;�3���Z���3������-+&"����3�D�m�ep ����6�������������A�;�3������������&����-�����

� � ,_4

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

���������m�s°�;�3���T����M�U�3�^��iG�T+��#�6C

������a3�!8�:��-&��Z"�3�iG�T��03��#��P�3�N:�M�; 2��#dd��6��Z���#��0�.�i�3�# 2��#��/���#�������dd�����B�L��0��9-8

���� ����

`������%�9<���O�#��&8b

����TO9��:� "�3���������V9+A8�:VB�L��0��9-8��.����������H�6������VB�L��0��9-8�i'8�>h��������f�=�3�i'8���

�W�X8��D�&8�:� �� �O �������03��0��# 2��M��M��z�ep ����6������OMK�W�X8��D�&8����0�&��#O�OMN

C

�'

C ,_4 ��4&����f�=�e -&8�a���#�*9I��4dd&��:q�ep �����M��6������#�����4&��/���:� ������TO9��e -&8����a���#�*9I

�`����Z�8�AEFDb����3��

� � ,_4

�:� ��EDc��r��M��� � �E C�m 5��������epdd �VB�L��0��9-8����6l����3������#����EF�������

��

������

� ,_4

�`NP||KS�3�MN||PKb����3������#����a�:s�ep �#�#<9����6�

� '�

"

�� �C

� ��

� ,_4

C m;�#q �!�a< I�:�� )��r

X,%0��X �7

��3� �;dd<�� �;dd(��C8 �0�.�#dd[�� �/dd �:q ���dd� ��ddM� �6��������m��3�D�:� �� x ( m )x m m� � � � �z zz m n

������J'E�;[�����O�����;(��C8�6C

x x x x� � � � � � � �q � m r t m m

�:�� �� x x� � �zz q � n ��3��;<���;(��C8�0�.�#[���%�3����M��6������������6��4��eE�D

( )( )( )

# � �� � � � # � #�

z

z zz q �

� t mm z q m

3 �A(m��) �e -dd&8 �0�dd.� " ��� ��ddp� �0�ddS-�� �3� �6� �q�°�e -&8�� "�3��/�;�3���#�����9E�������-&.�C(-��m�)�

�������e -&8��D�&8�:� �

��D�&8����0�&��#O����9G�9 �.�;D����D�&8�:m�epdd ����6������ABEF�;2��3�

C��

� ,_4

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

�ABCD�e -&8��_��p����������z�m�e -&8�K�U�:z�ep ����6��������MN�iG����U�g�����������������ep[����

'

C���$ C ,_4

���dd���0��98 �CC’ �3 �BB'� :AA' �0�dd.�iG����U �:q �epdd ��� �6l�������

BB' CC'�

m m

��

���

��

� � ,_4

�3����&+���M��� �(A )� �n� ����#�3�=(���R�"�ABC

�:��epdd ����6��W�X8���3����O�;�E�)�:�����Z "�O�; 2���������_��p��C�3�B�;�3��

�������ABC

�� �

���

���

� � ��

� � ,_4

� '!KLq�;�# I�:�� 2��r

���N�$���7�L���$,K@2

������Sn=nz�qn�6�9E�#�u�&D�;(�4���T��*3��;�+<�n�V9+A8�6�����3������#����#(�4���/���u89+��;�+<

��xz-(a-q�*&��m=�;dd(��C8�w�.�#dd[���6��3|A8�V9dd+A8��M��6C����3������#����#(��C8�w�.�#[���3�a����28�:�9 ��8�u�8

�#�9+A8�������� ������m�ep ����y=f(x)��3��;<���Z������9+��6�����3������#����f(x)=�*�q�;(��C8�w�.�%�9<

�C

�C

C

� ,_4

�����eD���� (x )(x ) x x� � � � �zm q � s �;(��C8�6�

��9<3�6�A�����8��u��9.���_-&���w�S ����C�3�B�:A�; 2��#�����6��w����&8�/�������9����������-)����!���D�; 2�����w��#H��D������

�������_-&��������#�Y9�8�6�A��3����8������9@D��-89���T��z�ep �#p4 �w�.�Z�8����T���.�Z���*9I��M�

������-89�����O��&8�/�������9�����28�:� �

C ,_4

�����Z�9��F3�����dd��:�dd ��, x

Sgn(x) , x, x

'��� ���� (�

m nn nm n

��ddM��6�

�����w3�&8

>(�b������*��*����Z\��*�������������\�*���*�������%b����f(x)=Sgn(xz�m����������\�*��m

Nb���� | x |f (x) , g(x) Sgn(x)x

� �

�}mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

����f�g�Z���:��dd �� g : N R

g(x) x

"���

����3� f (x) x x� � �z q ��ddM��6l��.����[��7��8�F3��6�9E�#

����3������#���� f (x) x x� �� �Z������3�#�8���6�

D.3L � #�Sq�;�# I�:�� 2��r

T�4�� � #K@2

�������H��������0�����.�6�[(p)q)(q�p)]*+p�p

�:�dd ��F3��0���� n �z z �3�J'E�0����n���M�.�������H�6C�����F3��0����=��n���M���

����T���.�Q����3��&�9���.�9��������!-dd������������0�.����=M�6�5����/C�

����������������:�����&2��J'E������.�Z�8�g���8��"� 6e� �m�������

�J'E�0����Q��#���"��|<�#���������9<3��22D�����j. 6H�� �

�����6�9E�#���dd[��-�3��0�.��9dd�������C����98�����!��#dd��6�5�������8�9M3��!M

������!��ms������-+����9�������)�����C������ ���������9�����!��ms��e"��D�����:

��������9�����!��m�e"��D��8�0�-�3������/�0�.��9�������C��:� ��#-!M�������!��#������p��i2)��M�

������!����O��-�3��/��

�9@��3���.����#dd��0�9I�#�:�dd&�9��09@���SO�0��#�9+A8�6��� ��0�_���9@���p��:�����9P(�

�������O�:#�9+A8����#��#�A={z���t�r�m���0�.���)�����C��6������������#��!���B��A����������{�I�;+.���_dd ��3�T�����6l�3��������dd[O�#�T���:*�dd��zs�����-+�����)��;+.�/��+.�;+.�������M����dd���A��������{�I�:�dd����p����p���.��.�#�9+A8�/��9"�T+��#�:������*�dd��zs�����-+���.���#��B�

�������*���zs�����A����������{�I�;+.�:�.����[�

���[���������0�.�6��4���-dd�����.�#�9+A8��4<�������!-dd�����6�5�.�

(A&B=A&�����"������, B=C��6e� ���"�&����&����"&��� 6H

�X=B-A�5��M����:A&X=B�3��������M��#��������H�6��:A×C=B×C�3��� ���S��y�;�9+A8����#dd��C�3�B :A��M���6��

�A=B�5������Hn(A B)�z :"���*�+��*�+���*�+�s�3� A {x | x N, x }� � (z m� ��M��6��

�����#4��'8���

C 2/�5�q �;�# I�:�� 2��r

���,�1��=@�

�3��/�;�3�����������dd��������)�g���������+8�3��A�; 2�����6��3��/��D�dd&8�3���+8�;C "�*9I���dd���#<���mz����+8

����3������#����������3���+8

�������H���dd���a3�!8�a�Z���#���B�L��03�dd&-8�W�X8��6C��<��G��I�'8�������V�C �3� aq

q�W�X8�� '8�g�����V�Cdd

����� aqz

���

�0�������������dd+��3��3�Z�8�ABCD��ddC����SO�m�epdd ����6��:� ��m��Z�8�Z���*9I��M���������dd �����Z�8�Z���V�Cdd �#

�������2O��_����+&"��D�&8

��

��

��

� ,_4 � q �3�q�#+R�"�VB���#dd�ABC�#�3�=(���R�"�W�X8�:z�epdd ����6��V�C �3�A�=��8�#�����������-+&"�BD���+���M����dd���a3�!8

�������2O��_����+&"��D�&8�:� �� q

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

C ,_4 �/����D�dd&8���dd���a3�!8�a�Z���#��+\-�8��C�������3��6�

��������C�������3�

������i'8�R�V�C �#�0����������/"�dd&(��03�&-8�;2��3��T��6������#2��3��g���"�3��/�����.�; ��3�������� "�������H

��&2��3��#�T���4&��#�C�; 2��;��3�#����*9I�#�AB���3�6l�������/������C�; 2�����#�����0��3�/�������9��*9I���dd�����dd

����:��|M��8

����f�=�g����������3���O������eG�����+8�s�3�z�0�.�V�C �#�������3��6���dd��� � t ����*9I�3���+8����TO9��g�������#��������9dd<3

C '!KLq�;�# I�:� �: 2��r

���N�$���7�L���$,K@2

��� x x x� � �mq�r zq m�0��#dd�+<��dd�O��dd&2��g�dd��8��"��6�����3������#���� x x� �z m

�Z���;dd�8���:�dd ��m�epdd �6�9ddE�#�f�Zdd������9dd+���ddM��6C����3������#����h(x)

f (x)�

� � zm

m

� ,_4

�������H�:�dd ��R������0�9CE�o ������C����f5�R���R��M��6�������%�9<�T��o�2"� f (x) �n �;(��C8

5����eD�����������X�X8�6L��C8�6��>(�b��� cos x cos x� � �z s q n�%b���� sin x cos x� �z q n ���������

�������8���.�[8���� f (x) tan ax� � �Z������9+��z�epdd ����6��������2O�a����28

�5

�5-

C ,_4�;dd(��C8�0�dd.�%�9<����ddC��`0���9dd+�b��dd���.�Q3��#dd�6�

�����lP[8��� x sin x� �z m

������8�q�ep ����#���dd������9E�#� y f (x)� �Z������9+��6l���dd�������/C���� g(x) f (x )� � � �z z mZ������3�#�8��

�����������g�Z������9+�

C

C

� ,_4

� cos x sin( x)�� � �z n

z�;(��C8�0�.�%�9<�0�.���+��0�S-���6�

�0�.�����:���X�X8�g�����03����-&.��C�����O�����

�C ��

��

�Cmq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

� m;�#q�!�a< I�:� �: 2��r

T��N%KW���%7��E

�o �����0������#O�03���f�Z����������8��m�ep ����f�Z������9+��6������0�9CE

�C

C

��C

�C

��

� ,_4

�Z���;�8���: g(x) x x� � z �3 xf (x)x

��

z

zmm

�5� ��#-dd ����M��6C

�����3������#����gof

�����#���x

x xy xx

���� �

� ��

n

n nZ����9pC8�Z���; ���6�

����3�

�������� f �Z������9+��������� �����z�ep ����f�Z������9+��6�����

��

�C���C

�C��

C ,_4

Z���%3����g�3��������SO f (x) sin( x)�� �q

�Z���%3����g�3��6�

�����/C�����k����28����� kxy cos( )� �z sq

�������� � �, �� �� � � ��

nz

g�������� y tan x� �m �Z������9+��6�

������%�9<�zcosx�qk�c�m;(��C8�k����0����28�#O�0����#�6l5����eD�����������X�X8�0�.�#(��C8�6�

sin x sin x� �q � n �qe� sin x cos x� �z z n ��qH

)3KK� P;�#q�;�# I�:� �: 2��r

X�%2��(�,%K+

���9M�0�����b�3���M�0����a��ddM��5������H�>�G���.��#dd�6�����O��������M�a�b������������M�0����`a�bb���M����:�dd �

���O������9M�a�b����

5������H��-[M���6�4H��T+��#�6Cx y z xy yz xz� � � � �z z z

�/������: pqr pq qr� �5�3���dd ���C4I�0�.����r�3�p:�q��M��6��pcr�5������H�6�9E

;(��C8�#dd���'�8�03��Jdd'E�6�ddh-P8��dd�#dd 2���dd�O�6��������9<3����

sxy�y�xzcq

�g���8��"��6�9E�/������: c a b� 53��dd ��F3��b�3���)�a��ddM��6�����r������az�cz����&2�

��dd���#��� (( ab, ab ), ( a b, a b))q z qt mz q t 6��4��eddE�D�6��� (a, b z)� ���3�

�d

a c* �5������H�: (m,n) d� �3m

a b* :n

b c* ��M��6l�s�3�q�7�����#�r�3�t�����3����a������dd&2��g���8��"���M��6�

����z�������a��&2������8��"��:� �

�/+S�mz�:� ��#4� �K�U�:*���T����8��[S4������.���3���M��6���9��.�9G�0�3��#O�*�����+.

����������;4��8�����\-�8�{��M�V9����O�6��

��

��/2�3(��.�@

������������ ��

mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

� m;�#�5����;(�4������6�

q��:��r��:��mt��:��z���:���m

s������r������mm�����m�

q������q������q�����������-�H������dd(�9-8�#�+<�3���.�{Bdd-G��� G�;(�4���Tdd���.�{B-G���(3�:�9dd ���+��;<������9���8�#dd(�4���/������.���8�epdd[��:$�C�8�;(�4��,��������������-S���dd ���3������89+��;�+<�#��m�:��:��:mt�:zs��dd�C��:�X�X8�;(�4��������:

na n� z 5�����dd���6��4������89+��;�+<�#��m�:q�:t�:m��:���������dd�C�������#&��28� n

n(n )a ��

mz

�5��������6��4���C�8�0�.�#�+<�Tdd��T��#��D�3�Tdd���M��z�:s�:m��:m��:zt�:�����6�9E�#�:����#dd)���� na n� �z m�����89+��;�+<�#���dd����8����Z+<��X�X8��#(�4����dd�����.�����.��M����dd��

5� ����.�9G�:���z�m�:s�q�:m��t�:m��m�:����q�:r�:mt�:z��:������56�9ddE�#dd�����dd89+��;dd�+<��ddU

������8�����#� nn(n )a n �

� � �z mmz

� t t t� � � �m z q z��5������#��&8�a�)�~4I 6C�5�_���{�I������dd8����8�`mb�; ���������#dd��~4I �#dd� � t t t t t t� � � � � � �m z q � s t zm

5������`mb�; ��t t t t t t� � � � � � � � � �� s t � s tz� zm q �5�U�:���� n

nt t r �� mm �5������8

5`zb�; ��t t t t r t r t r

t r ( r r )

� � � � � � � �

� � �

q � s� s t m m mq z

m

q qm q

5������`mb�; ���#�#<9���

t t t t t r t r

t ( r r )

� � � � � � � � �

� � � � �

zm z q m m m

zm

z� z�m z�

5`qb�; ��5������`qb�3�`zb�0�.�# ���#�#<9���

t r ( r r ) r t ( r r )

r ( ) r

r r

� � � � � � �

---" � � � � ��

� �� � �

q z q zm m

z�

q q

q

m q m q

qz� qz�

m mr z

���

`zb�; ��

�:�.�9G��8��dd8������� ttmm

s�eddE�D�#��dd&8

5/�����r

t t rr ( )

t t r

��

� � � ��m

mn zt tmm m�

s m

m mz t�

�6�9E�#�� G�09dd_(��T���89+��;�+<�6��0�.����b�3�a�������#���dd��� nt an b� �

7����#A-��������-&.��-�H�3���9P(���22D������!E���� nz

a a a� � � � � �z r n z r ��n�0�dd<�#��ddM��#�� nt n� �s t �5�ddU

�5� ����.�9G�:�.�����"�s�3���0�.���� t � � � �s s s t qm : t � � � �� s � t sm

t t� � � �� s sm qm zn �5�U

��U�:������dd&D�;(�4���T�� cz : bz : az �6�����"� � b a c� �z z zz �dd� a cb �

�z z

zz

�; ��

a c�m �������H��dd����_���{�I������dd��

���dd&D�;(�4���Tdd��=dd��a b�m �3�:�

b c�m

{�I�����a c a b b c

� �� � �z m m �5��C��1���

�a c�z �#���������8�V3�dd �

a b b c�

� �m m

5� 9����9���8� b a c� �z z zz a�)�������b b a c b c a b

a b(b c)(b c) a b b cb c

� � � � � � �

�� � � � � � � �

z z z z z z z z

z zz z

5/�������� b cb c a b

��

� �z zm �5�U

a b (a b)(a b)

b cAa b b c a b a b

a b b c a ca b a b

� � � �

�� � � �

� � � �� � � �

-------" �� �

z z

z z

z z z z

m m m

��� ��3N� `�O� !

5#A-�����: a cb ��

z zz

z�5�_���{�I���

a c a cAa c a a ca ( )

(a c) (a c)(a c)(a c) a ca c

� �� �

� � ��

� �� � �

� � ��

z z z z zz

z z

zz z

z z z

�a b b c a c

� �� � �m m z �5/�����

5�����8���������A�; �����-��6�

Sin x Cos x

Sin x Cos xA ( )(Cos x Sin x)Cos x Sin x

Sin x Cos x( )(Cos x Sin x)Cos xSin x

( )(Cos x Sin x)Cos xSin x

Cos x Sin xCos x Sin x

� �

� � �

�� �

� �

��

z z

z z

z zz z

m z z

z z

m�

�����#����Cosx�������-��A�;4��'8�0���:�dd����3��Z�����x���+��0�S-����9O�3���3�

������!�8�Cosx��USin x �

�zs �

Cos x Sin x Cos x �� � � � � � �z z �� s�t z�m m

tzs tzs zs

5/�����

Cos x Sin xACos xSin x

��� � � � �

� ��

z zs�t �� sz�

sz�tzs tzs tzsz� � mtr mtrzs zs tzs

6�

(Sin x tanx)(Cos x Cotx)Sin x Cos x(Sin x )(Cos x )Cos x Sin x

Sin x Cos x Sin x Sin x Cos x Cos x( )( )Cos x Sin x

Cos x Sin xSin x( )Cos x( )Cos x Sin x

(Cos x )(Sin x )

� �

� � �

� ��

� ��

� � �

m m

m m

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

5�dd ��dd�� ��dd�� �A �0�dd.9@�����ddC� 6l��n(A)=n(U)-n(A')=m��-ss=�s

�~� 8�:�.�����"����������n(A.B)=x��M�5� ����.�9G�mep

n(A&"������&"������."�����"&���/

n(A&B)= �s&*�*�z�= ts

� �

� C���� �

6

� ,_4 ��dd���#�A�:B�0�.�# 2��������iG�7dd �6�����dd" �03�dd&8 tan �tn q � �3 ��dd��3���8

���.���85/�����

ABy y x xmx x x

xx

x x

x

� � �� � � �

� � �

� � � � ��

�� � � � � �

��

z m

z m

zq qm m

z q q z q zz

z q z qq z q zq q

t z qq

� 2/�5�����.�iG�:mepdd �������3�d�iG�3��/dd 6���dd����.�������a�;�E�)�#�3����3�d�6���9dd8�#

�������Z "�O��������_��p����������8

���

��

��

���

� ,_4

�;�E�)�#�3����3�d�6���98�#����.�iG�:/��+.�Z "�����������_��p����������8������.�������b�3�d����O��9O������#��dd&8�%�9<�����������;�E�)�#����3�d�������3�a���dd&p��;�E�)�#���

�����b���&p�

�e'8b�O�=��8�#���9P(��V�Cdd �#�0������� 6C������8�����`���3�d��.����9+��iG�3���"B������Z "�B����������3�A�������d����`z�epdd b�3��B�3�A�=dd��8�#�� B �m �s� 3� �A �m �s� b��_��p����������8��dd���AB�V�C �#���+������ �B �z tn��3� �A �z tn�b������Zdd "�C������

�� �OBC OAC� �mns� 5#A-�

C

C

C ,_4

�������3����M��8��\�����MP�idd�3����O 6���dd������.�iG�NP�3�MN�6���98�#dd�# 2��MP�6���98�#�N������ �����iG���������8�BM�������Z "�B�3�C�0�.�# 2�����7����#����3������Z "�A�������CO�����.���8����-8�����Z "�D�������BO�����.���8����-8�����CP�=�

�����#��&8�%�9<�ABCD������:NP����3�MN�idd�3���9���#�O�%�P-�����%�9<�#��#��&8�������8�����#��_���%�9<�3�

��`q�ep b�����

��

�� �

'�

� ,_4

c dOBC : OB OC BC b � ' � ( �z z

6�c dOAC : OA OB AB a � ' � ( �z z

a b c d c d� � ( � � ( �z

d8;j �� �3� y1� .I

BCD : BD BC CD c a bABC : AC AB BC d a b

( � � ( ��� ( � � ( ��

�/�����d8;j �� �3� y1����������������������.II

������8�����#��pD�II�3�I���

��

C

C

C�

C�

��

� � ,_4

�@��@���5�U�:�����������03��M��9O�6�ON MHS OMN

S OMK OK MH

0� � � � �

� �

mz mz

m t qz

�'

C

� ,_4

6�a b a b a

a b a b�

� � � �m

a k k k k kb k

�� � � � � � � � � �zm m sm m n

z

� ��

��

� ,_4

6l� �

� �E C

DEF DBCD D

�� � � 1�� �

m

DF EF DE EF / EFDB BC DC

� � � � � � �� r �

mn m�

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

��

� �

"

��

�����

l ,_4

6�MN||PK OM ONOPK

OP OK ----" �

NP||KS ON OPOSKOK OS

----" �

OM OP a aOP OS a a

a a a a

�� � � � �

� �� � � �z z

z zz z q q

q q � r �

a a a , a� � � � � � �z s � n � m

�����*94"�e�"�y�a=m

q�!�a<r C �;�#6�

x ( m )x m mx m

(x m)(x (m ))x m

mm m m

m

� � � � �

�� � � � "

� �

(�( ( � � ( (� � '�

z zz m n

m nm

qq m z q

m q

6C( x ) ( x )

| x | | x | x t| t | | t |

� � � � � �

� � � � � � � � �� � �

z zm z m q mm z m q m m z

m m

���:�dd ��� J m��-"3�:�9)�;(��C8�eD��5�U�:�9 ��8�~4 �8�y=m�iG

x x� � � � � � �n m z m s mn���U�c���t

6�( )

(# �

z zz zt � � �m� t )(� #mm q � � #� q

( ))

( )

�#�

��

� �� �

z

z

�q rm

�� ��zz� z�

6�

�������

��

���-\�]�_

�-(-�]��_

Sin Sin

S ( x .Sin ) ( x .Sin )

S x

x x S x

� �

-----" �

� � � " � � � �

qn msn

z z

z

z z z

m mz qn z msnz z

mq mt�z s mz mqz �

�:��<�;@"�������!-�����3�BF�� "������ 6�5������BEF�3�ABF�0�.�W�X8���

AB=z�3�ABEF�;2��3��0�.�V�!����AH�3�AH'��M�

5������:�� ��ABD

ABD

ABEF

AD AH AH AH AHAF AH AH

SS

0� " � " �0 0

m ��

mz

AH�z

mz

AH

( ) AH�

0� �z � AH�

�z

t ��mmz

6������������� MN AN MNAMN MDC

MD DC MN

MN

� � " �

zsz z

� z�

6lmAA CAAA || BB

BB BC0 0

0 0--" �0

��<

��< zAA BAAA || CCCC BC

0 00 0--" �

0

zmBB CC AA

" � � �0 0 0

m m m

5�U�:���.����������+.�; 2��O�6�OH=OH' = OH"BC=m�

ABC O A B O A C O A CS S S S

OH OH OH

OH OH

� � �

� � � � � � � �

� " �

m m m mt r r t mnz z z zz� mz z

'!KL6�

n

n

n

a a Sa

a Sd a a

a a (n )da (n )a n

� � � � � �� � � ��� � � �

� � � � �

� � �

� � � �� �

m z zz

m m

z m

m

� t mnmn � t

m q �t � z

m� m zz z

5�� ��#(��C8�w�.�#[���x"�3�x'�����a�)�6Cx'z�*¡z=Sz-zP=(a-q)z-z�&��m)=az-����=(a-z)z�q

�#���������28�/��-+��u-"3��G��6��4�5�������(�D�/��������9 �a=z

x x

x , x

� � �

� � � �0 00� �

z m nm s m sz z

6�

$ %

y ax bx cx y c

b: x b aa

x , y a ba , b

f (x) x

x x x x,

� � �� � � � �

�� � � � � � � ���� � � � � � � � � ��� � �

� �

� � � � � � 2

� �

z

z

n z z

z z �z

z z z � z zm �� q

� z � q mmmH �� 2-�.a�

I� m5� 2WQ+ D�\

6�x x x x

: x x t

t t t tt

t tt

x x x

� � � � �

� � �

� � � � �

� ��� � � � � � ��

� � � � � � 2

z z

z

z

z

z

� q � s� qz z

mz n

z� q z z q

����a�)

*94"�e�"�y

z���9�

�#'!E�=��8����D�;dd 2������u8�a�dd) 6�����D����Y�2�����T��.�;�E�)���dd ��6�h-P8

�����u8�#4��'8

�l mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

��

DB

DA

DC

� � �

� � �

� � �

z z

z z

z z

z � zn

z q mq

z z r

�;�E�)���C���_-&���:��_-dd&���/����T��=�������-89��� r �u��9.

5������qe� 6�x x

f (x) x Sgn(x) xx x

'��� � ���� (�

nn n

n�Z���3���.�;�8����9O�3�f(x)=g(x)�5�ddU

�����w3�&8�Z���3��:������&p�

qH

f g

f (x) Sgn(x )f (x) g(x)

D D R

�� � � � � ��� � �

z m m

q�x| x |f (x)xx

'�� � �� (�

m nm n

�5������� �\��5#������lP[8�x9�3�#��Dg=R�5u(3�:Df=R-{n�

����������u8�/C�����f�Z���;�8�����-� 6l5� ��#- ��

� �fD ,� n q �5�A������3�-xz�qx>�

$ %

$ %

f .g f gD D D , ,

(f .g)( ) f ( ).g( )

(f .g)( ) f ( ).g( )

(f .g)( ) f ( ).g( )

f .g ( , ) , ( , ) , ( , )

� �

� � � �

� � � �

� � � �

m z q

m m m z m zz z z z z zq q q n q nm z z z q n

6�

:�!

� �fD ,

y x x ( x )

( x )

( x ) y

f , )

� �3

� � � � �

� � �

�� � � � � �

�4� �356

z

z

z

nm m� z� mt

mz n�m m m mz� mt mt mtm

mt

D.3L � #�S[(p)q)(q�p)]*[(p)q)(p)~q)]*p)(q~q) 6�*p)F*p*p)p*~p�p

�����2���p��:�pD�/dd���6�4H��0�<�#�6C���C��:� ����)�0����n��M��������8���H���

5� ����.�9G�:n=z��mn ( k ) k k

( k k ) k

� � � � � � �

0� � � � � �

z z z

z

z z m z � � qz z z m m z m

�������)�0���� n �z z��U

x Z7 � 1 x q r (r r )� � � � ) �z � n m �6e� �6�������.������1������������=M�/���Q�������q�������z�:���m�:�k�6�9ddE�#�J'E�epdd �#��.����/������������.�Z�8�3��dd��

�r=m����r=��5#���9��.�9G����?

8x R� ; x Z� � �6H�5�U�:x=-��5�M�������i�y����=M�/���Q���

� x Z� � �5��C��� x� � z

����)��A��M�������:��������9dd�����-�3��/���6���9�����*3�����)�����U�:�� ���-�3��/�����9����n(A)>m�3�����¦ms��:�����ms��6�9ddE�#���C��*3��03�dd&8���#���dd ��.�9G�#-dd 9������-dd ���_���0�.�03�dd&8����������ms�

������

�������������������������������������� 6�����:#�9+A8�#dd��#�A�;�9+A8�0�dd.���)� 6��6�9E�#����3�������������������epdd �#

��������������

������dd.�#�9+A8����e�����ddC��:*3���dd(�D���

�����:�3���(�D����3�!

� �� �� �� �� �� � ! ! ! �

s z mq m m mn

z�5�����

���C��e��/�������!

� �� �� �� �� �� � ! ! ! �

s q mz z m ms

z�5���dd��

m��msczs�5������������ ����9G�0�.���)�

����������{�I�:7����#�D�3�C :B :A��M��6l��.��p���3��.�#(���zs�����:�.�dd��#��B��:A

5�������� �A B

A CB C

A CC D

C AD A

9�� 9� 9� � �� 9� � 9� 9�

�0�.�03�dd&� �6�dd4H� �:B=C �5�ddM� ��>dd(� �6����dd����ddS�����"�����3�AUB=AUC

5�.���8���[�����7� 8�/����p�"�"���&B) �"���&������"�&�"���������&�"���������&B)=C&(A&C)=C

6H��&����"&�����������"�����������"�����"�&�

6��

AA X B (A X) A B A

(A A ) (X A ) B AX A B A ( )

A X X A X A X ( )( ), ( ) X B A

00 0� � �

0 0� � �0� � �

0 0� � � 9 � �� � �

mz

m z

�� � � �� � ��

� �

�5�M��������8����!-dd���0�M9@��Q3���� 6���:� ��C�;�9+A8������9P(��9@��T��c�3�a�A

5�����������A×C�������B×C�a�B�A=B�5/�������B9A�o�S�[8��A9B��U

6��A { , , } A A A{( , ), ( , ), ( , ), ( , )

, ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}B {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}

A B {( , ), ( , ), ( , )}

n(A B)

� � � ��

� � �

� � �

z

z

z

m z qmm m z m q z m

z z z q q m q z q qmm m z m q z m z z q m

z q q z q qq

��mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

C )/�5�6�

OBAC OAB

OBAC OBC

A A OB OA

OA OA

O O AB OA

S (S ) ( )

( )S S S

� � " � "

� " �

� � " � �

� � � � �

� � �� � � � �

m z

m z

z

qtnz

q r�z q

m �qnz qm � r qzz zz qq qqz � tn qz rq qtn q

dWB

� � �C C

�W�X8�udd '8�g�dd����=dd��8��dd����u8�6C����.�#��8���+.�; 2��VB�L��w3�&-8

AO AH ( a) a� � �z z q qq q z q

��

��� ���������

���

7� ��

��

��

�3�C�;�3���3��u<��G���dd�����:�_���{�I����uI�'8�g�����=��8�O'��8���u8��O'�;dd 2�����B�VB�L��w3�&-8�BCO�W�X8������W�X8�u<��G�u<��G�uI�'8�g�����V�C �W�X8�/���V�!��������

r � �qz

��������������������������5u�C��1����W�X8

� 6�

��

���

���

�� �

���

��� ��

����

6�AB AC BC BC BC� � " � � " �z z z z� q z qAD ,BD DC B ,C� � � " � �q q tn qn

( ) ( )S S S ( )�� � � �

zzq tn q q

qtn ��9 �. W�X8ABD

V� "

�� �

q qz �

���

���������\-�8�uC�������3��u '8�g���� 6��5����u8

O � �mqtn qnmz a

HB aSino OBOB sin sin

� � � �mzms z ms

OABS (S ) ( OB Sin )

a( ) sinsin

� � � �

zmz

z

mmz mz qnz

t qnz ms

m�?;

a sin cos a cotsin

� �z

zz

q z ms ms q msz ms

�C

6�O OH ' AH ' H 'DAH ' AH,DH ' DH"

OH ' AH DH" ( AB)( DC)

(OH ') AB DC

R AB DC

�� " � � � ��� � �

� � �

� �

� �

z

z

z

z

�n

m mz z

��

��

�eG���# 2��T�������3�/�������9�������u8 6l��9+��� "���# 2��������#������w��3�:����������u8�>h�������3�:��3����9+��� "�3�� �

��

DC CE,AC ,BC

DC CE AC BC DC

DC

DE DC

� � �

� � � " � �

" �

� �

z

q tq t

q zz t z

6�OH HB OB OH ( ) OH� � " � � " �z z z z z zz t s m

��

� � C

�V�C �3�=��8�#���������#����3��.�:/����������� � t ���*9I�:� ����+8�m

������f�=�g��������#��u��.��3�/dd��+.�*9I�:�� ����+8�m�V�C �#����TO9��g����

����� � t ��.������+8�z�V�Cdd �#�g�������������3�*�ddD�3����-dd[8�w�.���+8����C��/��������dd ��#������#��&8�%�9<�z�3�m�w�.�V�C �#������

�������9<3���+8�#�

C '!KL 6�x x x x

x x x , x x

x

x x x

(x ) x x

( ) x x

x x(x ) xx

� � � � � �

� � � � �

� � �

� � �

� � � �

� � � � �

� � �� � � �� �

z z

q z z

q

mq�r z

q �tt z

�tt z

z

m n mm

mq m

q mm q m

q zq m z� m

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

6C

� � � � $ %$ %� �

h(x)

f (x) f (x)f (x) xf (x) x

D , ,

( , ) ( , )

� � � � �

� � ��� � � � � ��

� � � � &

� � � &

z zm n mm zm n

z z mn zz m n z

��U�:����R�;�9+A8�f����#p����#�#<9����6��# 2��T�����e"��D����f�Z������9+��y�c���iG�e"��D� f (x) �n �;(��C8�/������������8�Z "��#(��C8�/��������8�a�)�*�D�������%�9<�T��xz�3���xm��M����dd ��%�9<�T�����^dd�0������M����: X۱<xz�53�:�� ��#(��C8�/���0�.�%�9<�f��9O�:�dd_���{�I������ f (x ) f (x )� �m z n

f (x ) f (x )(m z� 5�������U�:����0�9CE�o �����#-dd ���%�9<�T�����^����9���+��f�/������

�� �qe� 6�cos x cos x

cos x cos x(cos x )( cos x )

� � � �

� � �� � �

z

z

z m s q nz s z n

z z m n

D�%B ,!B�&cos x

cos x x k

���� ��

� � � �2��

zm zz q

��qHsin x cos x cos x

cos x( sin x )

cos x x k

sin x sin x sin( )

x k

x k k

� �

� ��

� � � ��

� ��� � � � �

�� � ����� � �� � �� �� � ����

z q nz q n

nz

qz q nz q

zq

zz zq q

Y!< H�5< F#�:� a aa

� �� � � � � � �z q qq z z

6�

����9+��#���dd������a���9��!�8�e(����*{<`/� G��P 5� (� y tan( x)� �

qz

��������yc�xz�m3� y sin x� ��Z�9�����9+�� 6�������8

--�-���-�--�-8(&�-�8

�C5 C5�5 5

�:������ �lP[8�ep ����#���9I���+.������%�9<�3���9�|8�;(��C8

DF�c�����z �3�RF�c����z ���������������������6l��D�3�3��x�����28����:g�;�8���/C��0��dd

���9 ��8���Dgc��z���� �3�����`�zb�:y�#&��28�:g����/C��0��

5��9 ��8����D�3�T�Rgc��s����m 

��

�C

��

� 6�cos x cos xcos x cos x cos x cos( x)

kxx k ( x)

x k

� �� � � � ��

� �� � ��� �2 �� � �� � �� ��

z nz z

zz z q q

z

��� � �, �n z g�������G�0�.�%�9<�����*�D�5�������6��4��#����

�Wdd�X8�Tdd���9ddR��#dd� �sq3 � : � �

q���-&.�VB�L��03�&-8

��6π

�π

π

q�!�a<r � �;�#�0����������3������8���������f�Z�����-�� 6��:�dd���0�9CE�o ��������03���f�Zdd���#����

5�����8�lP[8

�CC

3�

-�- �!�- �!�

�����CC�C���C�CC���

��f�Z����:�dd���U����9+�����#���9I���+.�����0�9CE�o �������z�3�z �g���03�

�����*98�)����gof�7��8�Z���;�8���������8� 6C5�����8�����#

$ %gof fD x D f (x) Dg� � �

��.����;�8���:g�3�f�Z�9��#�#<9������-���U������8�#4��'8���

� �

$ %

$$ % � �%

g

g

f

gof

D x x x( x)

D ,

x x xD R

xD x R ,x

� � � " � �

" �

� � " � " � 2

" � � 2

�" � � � 2 �

z

z z

z

z

n m nnm

m n m mm

mm nmm

�:�������3�m �g���#�~�C-8 xx

��

z

zmm

�6��4�

�eD��� xx

�� �

z

zmn mm

�>��@8�;dd(��C8����U

������8

�}mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

��$ %

$ %

x

x

gof

x x xx

x ( )

x xx x

x xx

x x xx

x xx ( , ) ( , ) ( )

( ) ( ) D

� '

'

�� " � ' " (

�" � ( (

� �� " � �

� �� � �

" ��

" � " � ( " '�

" ' ( �

" � �3 � & �3 &

. " �

z

z

z m n z zz

z z

z z

z z

z

z z n z zz

m n m n mm

m m mm mm m nm m

m m nm

z n m n mm

m mm m n z

m z n

���"��3�������dd ������Z���;dd �����-� 6�5�&�9���8�~� 8

x x : xx x : x

xy x : x y x : xx

: x: x

� '� � '� ��� �� � ( " � � � (� �� � �� �� ���

nn

n nn nn n

�/������:�9dd ��8��!E x �n �� x �9O5�����

x : xy

x : x

� ��� �� � (��

nn

���9 ��8�#<9-8�:�����������Z������9+���M������������|U��3��3�/�����������T��#�T��#�

5�����8��������3��3�; �� �: x �n ��(�Dy x y x f (x) x�� " � " �z m z

����3�Zd�����d��dddU�:��� x �n �9O�g��d�:# �d��/d����������3��3�Z���;�8���#A-���3��3�; �� x (n ��(�D������dd������3�§b

5���������y x y x f (x) x�� � � " � � " � �z m z

�;�8���#A-�����3�Z������:���� x (n��9O����� ( , )�3 n �g���:# ���/����������3��3�Z��

���������6�9E�#��3��3�Z���; ��

x ; xf (x)

x ; x

x; xx x x , x R

x; x

� � ��� �� (��

��� � ��� (�

zm

z

nnnn

�����#�����f�Z������9+������-+&"�;���"���� 6��{|D�����������3���������:����x��9'8

5���

�3�ycasinbx�c�Z�9��%3����g�3��������8 6�5�U�

b�z �5����������yc�acosbx�c

f g

f

g

T ,Tk k

Tk

Tk

� � �� � � �

" � " � " � ��

z z tr

� qr� � r z�t

�L���+��#��D�3�T������yctanx�Z�����-��6��#�+�J��*��m�Z������9dd+������.���8�*�2-���#��������9+��/�������-+dd&"�������������

�#2�3��������8�#_��:������3�� �g���#�Y9�8�/�������-+dd&"�;���"��9����������8�{|D����x��9'8�#��4&��:����x��9'8�����#��������9+������x��9'8�����#������-+&"�3������8����f (x) tan x� �m Z������9+����������8�{|D

�`t�ep b���������#

C�55

C5

�/%���

C5

�5

%���9�

�� mq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

kcos x k cos x �� � " �

m qz q mz ���������

��6l

�:� cos x� � �m m�5�9O�35�U

k k

k k

�� � � " � � � �

" � � � � " � � �

m qm m z m q zz

mq q m mq

��������6e� 6�sin x sin x sin( x)� � � �� q q �����

��5/�����kx k x x ;k z

kx ( k ) x x ;k z

�� � �� " � ���� �� � � �� " � � ���

� z qs

z m� z m q�

6Hsin x cos x cos x

cos x x k kcos x( sin x )

sin x

x k ; k zsin x sin( )

x k kk

� �

�� " � � �

" � �� �

�� � � � ��� �� � " � � �� � � � � � � � ���

z z n

nzz z n

zz

z�

s� z z� �

)3KK� P;�#������9M�0����b�3���M�0����a�������8�6���dd �4����M�`a�bb��dd����8�a�dd)�*�D�5����a�)��M����dd���9M��U�:`>�G�a�)b>�G�a�)�~4I�6�9E�/dd������:�� a b c� � ،�a���C��acc�b�5�������_���{�I����� C Q�

�#� a Q� /������3�����9M�����3��e��!��a�)��|(�������"�������a���9���M�a�)���#����U�0�����dd������"���pD�3�eI��>�G���������2��0�.�*�X8�:�C�*�]dd��3�����T���.

5���_��\����a a b Qb

� �� � � � � � �����

z z n nn

a a b Qb

� �� 0� � � � � �����

z z m zm

x y z xy yz xz

x y z xy yz xz

x x y y z z xy yz xz

(x y) (x z) (y z)

� � � � �

, � � � � �

, � � � � � � � � �

, � � � � � �

z z z

z z z z

z z z z z z

z z

z z z z z zz z z nn

6C

6�

p p p,r N

r r p,r N

pqr pq qr pqr q(p r) pr p r

p pr, pr p r p p r p r p r

r pr, pr p r r p r r p p r

� � � � �

� � � � " �

� � � � " �

� 6�xxy y x y( x ) x y

x�

� � � � � � � � ��

zz z qs q s m q

s m�5#���������� �� y z� #p����Y�

x x� � zs m qx | x x | x

x | x ( )x | x x | x x

�� � � � � � � � ��� � � � � �

z z

z

s m q s m ms ss m ms m

s m s m s m s

��

����

( ) x x

x x xxxx

� � �

� � � �

� � � 2� � 2� � 2

m s m �s s

s m s m s m ��s m ms m zs m q�

xx

x

xx

x

xx

x

���� � 2 � �

���

� � ���� � 2 � �� ���

�� ���� � 2 � �� ���

ns m m z

s

mss m zqs

qtss m q�qrs

��������

�����

�����

�����

�����

�6�h-P8��A �nq �; 2��T��i2)�/dd�����

���������"���'�8�/���03��J'E

�`a�bb��U�:�dd���F3��b�3���)�a��9ddO�6����)�=��c��U�: c a b� �5�9O�3��dd����)

�#���)�3�J'E������.�Z�8�������8���dd���:����`rk�mb�ep

5�������U

a c ( k ) ( k )m m

a c t r

0� � � � � � �� � � � �

� � � � � � �

z z

z z

� r m r m �r � r r m

� r m m

� 6 �( ab, ab ) ab�qt mz t `�����5 ab ab )qt mz

a b, a b a b4 : �6 ;z q z q zq t t `�����5 a b a b )z q zq t

(( ab, ab ), a b, a b )

( ab, a b ) ab

4 :� 6 ;

� �

q z q z

q z

t mz q t

t t t

� 6lm

n

d

a b m a b,d m d a b

b c n b c,d n d b c

d (a b) (b c) d a c a c

* � � � �

* � � � �

� � � � � � � *

6�a q a qa q a q

a a q a qa q r

� � � ��� �� � � ��

� � � � � � � �0� � � � �

m m

z z

t q � z� mzr s q z� ms� q z� q z� z� zm

z� zm zm

6��

o�:f��`

C������

�����/+S�mz��dd���dd[S4�����mz�;dd�E�)

5�����8�#4��'8d ( ) ( ) ( )� � � � � � � �qm mz � qm � qn mz z�s

* ��

z�s z ������#4� ��\����98��3�

���;4��8�����\-�8�d�r�{��ddM�:�����9I��# 6�����������t�5�|(���dd&���9<98�:�dd ����)�r�#��3���;4��8����{��M�V9����ddSO��U��r�c������z

���������\-�8

�Cmq�r�=��U��|�m�g��+ ��|��S���3��&�g�3��|�z# �9-8�g�3����.��� ��

q�;�# I�:� �:r � 2/�5��6�

�C M�/ �W/ �� )� #: d�.a� � � � � � ��4 : 4 : 4 :

5 < 5 < 5 <� � � �5 < 5 < 5 <5 < 5 < 5 <6 ; 6 ; 6 ;

m z mn z s z n z s q n z s m

n z s

( ) ( ) ( )� � � � � � � � �� � � �n � n n t mn n z zs� mt zq �q

6C

= >

n n n n k k

n n

n

n

n n n(A I) A .I A .I ... A .I

k

n n... A .I A .I

n n

n n n nA I A A ... A ... A I

k n

n n n(A I) ... A I

n

� � �

� � � � � �� � � � �� � � � � �

! ! !� � � �

� � �� � � �� ! !� � � � � � � �

� � � � � � � � �� � � � � � � �� ! ! ! !4 :� � � � � �

� � � � � � �5 <� � � � � �� ! ! !6 ;

n n m m

m m n

n m

m

n m m

n m mn( )A I� � �z m

6�a a a

A a a aa a a

A I

4 : 4 :5 < 5 <� �5 < 5 <5 < 5 <6 ;6 ;

4 : 4 :5 < 5 <� � � �5 < 5 <5 < 5 <6 ; 6 ;

4 :5 <� 5 <5 <6 ;

mm mz mq

zm zz zq

qm qz qq

n � sq q �� s r

n mz ms z n nq z � � zm n z n

mz ms z� n n zz mz ms� mm zmmz ms zt

6�A A A ( )

A ( )

A A ( )A ( ) ( )

� � � � � � � �

� � � �

� � � � � �

q q

q mt

z z z z z mtz z z mt qz

z z qz qz z z

6�

� � � �

x y x y x yA B B A

x y

xy

x yx

� � � �4 : 4 :� � � � �5 < 5 <� � � �6 ; 6 ;

� ��� � ��

4 : 4 :5 < 5 <� � � � � �5 < 5 <5 < 5 <�6 ; 6 ;

z q q z z q z tz t q � q z q �

zm

m mz z z z m z z � z r

z

qe� �6�m

m m m ,mm

�� � � � � � � � �

�zq q

n z ms n s q� m

qH

' ' 'a m b c m m

a b m c� � � � �

� � � �� � � �

q q m s� m r

q`

' ' 'a m b c m m

a b m c� � � � �

� � � � �� � � �

q q m q� m r

6lab bda b a bcA A

c d ac cd bc d

(bd ab)d bc(A )(cd ac) bc a(ad bc)

a b d bA A

c d c aad bc(bd ab)d bc(A )

(cd ac) bc a(ad bc)

(A ) (A )

� �

�4 :4 : �� � � 5 <5 < � �6 ; 6 ;

� �4 :�� � 5 <

� � �� 6 ;�4 : 4 :

� � �5 < 5 <��6 ; 6 ;� �4 :�

� � 5 <� � �� 6 ;

� �

zz

z

zz m

zz

m

zm z

zz

z m m z

m

m

m

5/�������� (AB) B .A� � ��m m m �5������/��+.

(A ) (A A) (A )(A ) (A )� � � � �� � � �z m m m m m z

6�am bp an bq

A Bmc dp cn dq

A B (am bp)(cn dq) (an bq)(mc dp)acmn amdq bcpn bdpq acmnadnp bcmq bdpqamdq bcpn adnp bcmqad(mq np) bc(mq pn)(ad bc)(mq np)A . B

� �4 :� � 5 <� �6 ;� � � � � � �

� � � � �� � �� � � �� � � �� � �

��� ���� �� ��� ���� �� ������ �

��� ��� �������� �� ��

��� �� !"# $�% �� &��'� �� ( ������� )

��* ��

+�'�,���--���� .+�--'�,� ���--� .�--!

!/# ( �--��'0 --�� ��--� ����

� 1# .222( 3�(�4( 3

���� )���( +�--%�����5 ( ��--6

��( ��� &�7--����

2��� �� ����� (

����������������� ��������������������������������"#��$$�������������� �!��!� "#$%����������������

&�' ���(()&'�*(��+���%����&'()�www.roshdm

ag.ir��"*�+���

�#�����������,����� #� ,$$ � ��

�$��,���*! ��-��

���,�����.(/�,����

� �0,������,�,���

�8!!

/# $�69�:� ;�� ����

#� , � �����1��!�2� �3��������� 4�!��

5��� ����� !�� ��

#� , � �����1��!�6����6�!����������� ����

� !�� ��

�� , � �����1��!�.�����.7���86��9:����������� ����

� !�� ��

2� ��;� �����1��!�� ����

� !�� ��

2� ��;� �����1��!�� ����

� !�� ��

6�!��;� �����1��!�� ����

� !�� ��

������ ���� ��� ����

���� �� ����� �� !

"# $�% �� &��'� <�

� ( ������� )��* ��

���'0 $�69�:� ��� ����

�=��� �� ����� �� !

"# $�% �� �� &��'� <�

� ( ������� )��* ��>

���� �� ����� �� !

"# $�% �� &��'� �% ( �����!? )

��* ��

�#$$�����<! ����������$$��,$$���

��=$$� �>��/������$$?�����,$$���

�#�,��@5��)��

���,$$�������,����$$���

���,$$���������

���,$$�����5� �AB��

�$$��,$$��� ��C���)�����,$$��� �#D�% B �6(D��

�$$��,$$����E

��5������,$$��� ��#F�����

���,$$��� ��B��-������������$$��,$$���

���,�@���,�,$$���

�#�����@4����

���,$$����#%5$$���

���,$$���#�� $$4�!��

5����$$��,$$��� ��

$$� !���G���� ��$$��H���#�����$$��,$$���

�6�!��;� �������,���

�4���S�����);��3(

......................�"$ ���u�������.��� ��6BA8��m

`x��I�����b��zwww.komhm.com����8 ����dd�� �#��\� �%�dd-���q

u-[S���3��3�u��G���84. The Discovery ofPrime numbersformula (S.M.R.HASHEMIMOOSAVI)

��.��#R�������<�u89+��u�9<�3����U�#��&8�eD�Q3��3�Z<��8�#�#<9����5#<9�

��%��&�?n��� �8���J�������2��g�2 \�O����3#%�%2�t_��

5����������#(��C8�u89+��uS���y�%�9<�w���T����M�����#����m��M���m m m n

k k k

k

a X a X ... a X Xm, n, k N ; a , a ,..., a Q

�� � � �

� �m m z z m

m z

`u(�����9�8�mb��9 �u8�>h���=��<���=8�k=z���G��(�D����#(��C8�eD��m m na X a X X� �m m z z q

5`u(������=.��h��Ub��9 �u8�>h���=��<���=8�am=az=m������G��(�D����#(��C8�eD��

m m n(m, n) : X X X�� � �m z qm

9���� (�� ���L r��8> r��L � #��\ ?(CVI� 2K ��� � �L� (� (L�$ �� �J#$

���

,����--&.&&&�+/0����1�23�4���$#�5�6�7$�8�9� �������:;�<2�

,����)-&.&&&�+/0����8 3�4���==>��6�7$�8�9� �������:;�<2�

'-(*-?)))'�"&

5G� �

��

�� 4

��I�,

�J�8�

�9)�"#

���� ��

&�'?(((�*)&(

�"&5G�

���

�&

'() �Em

ail:

Esht

erak

@ro

shdm

ag.ir

"# �

-��!

���=7

�� �

D �

����������������������������������������������������������������"#

0! ��

-�6���

��6�� �

���������������������������"

�=5K

L)��

�5 �

������������������������

",M)�

C���)

�����������������������������������������������������������������������������������"&

'()�

������������������������������������������������������������������"

# 4�

�N�G

�#���

� �������������������������������������"�

� ��9

�����������������"

�� �

��������������������������������������������������������������������� "�

���5-

������������������������������������������

"# 4

�,G�������������������

"O=�

��������������������������������������������������������������������"#

P�����

5��1��

%�����������������������������������������������������������������"#

- !�

��Q(R

� 6

���� ��

��@ A

�����

B��'�

.�� &

���

�� ��

�� A

���� C D

EF �9

� �

������������������

"�S �������������������������������������

",����

=7�O

� �

�1L�

G�� <

EH ( w

ww.ro

shdm

ag.ir

8���

� ��

�� )

D�� &

�7�( �

� �,I

��� 2J

K�28

L��� 8

L �(�

�LK� &

�9�� M

��N ��

��@

( 3

��O%

( <��%

�� PE

,� .)

���# Q

��� RS

TTUV

VV W

�6X &

��'�

�� A�

����

Y�E�

:���( 2

W ��

8L��

� � ?

$�%�

� ( <

6?� <

5��

�I( �

� RS

5 �

�����

&�� �%

�� ��

7��(�

M��N

�� ��

8���O

% <

64 ��

A���

�� B

� Z 'L

# [��

&��'�

2VU�

\ ]]�

SVUR

R B�

�'�IR

�]V

�]VV

VVVV

VVVV

VRST

TUVV

V

��E

� B�

�'�

��������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������

,5M)

�T���

�2��

P;�

R

H

��/2�3(��.�@

"

"

"

"

"

���J<�S�====��� ?+

"

��

""

�� �

""

"

"

"

"

�� ��

"

"

"

"

"

""" ""

��

""

��

""

��

""

)NQ+ fQ� ����� ����98�;�SU���=M���:#[2��6�9E�#�/8������-C�3��.�^��+��0����.��� �TO9���4&��/�����9 �TO9����C8��4&��#�����^��+��:�_���6��4���#�����9M�$#[2����28,����`a���3�*9Ib���C�����T��# �:#[2� �03�����/C8�; 2� �3���2-&8�;�E�) �/ ��9<98��4&�b�1���9M�#[2����28����`/8��03��# 2��3����+.��2)��3��2-&8�;�E�)

5��C�)NQ+ ��# �5�� 2WQ+ �: IQ3K� 2?k�������)NQ+ fQ��c��dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd0�� ��# )WQ+ �: '.� �Q� � IQ3K� 2?k�

�/������#��� 9�� l de D

� �; ���6�9E�#���9���8����#[2���.���28

�����/8��03��#�E�)�D�3�:;[2��03��#�E�)�d�:`e �b���28�e�# ��

�)3_+ �5G �������#[2��T���)��M9�����*9E�����eE��/�����S8���28�6� 23_+ ��/C�������28����#[2���.�0�9-'8��+��3��!������

������8���[��0�-[�6�R=<�:� �����f�=�#[2����28���"��.�6C 23_+ �

������.�9G�������Y9 G�����.�#�E�)�g� ����9���4&��#[2����28�6� 23_+ ��^��+����98�;�SU��D�&8��� �TO9���4&��#��:�����8

�#[2��03���.������9h��#[2��03���.�# 2��;�E�)�����.�iG�*9I�6� 23_+ �

������2)��;'!E�T��:$�\!(���28,�*3��-8�g9 �#�����#[2����28����0���6� 23_+ �

��9 ��8����!-���$0�&����28,�3�$� G���28,

(77 Z(7

:�*�A4 �� '3/�!: �;�# �!:�:��+�# .A4 �.��* : ��

�3 ������`�D�3b �T������#[+.�0�&����28�6�9E�6� 23_+ ��j.�/��������������Ck�:�����4&��T��6�9E�#��9O

�������0�M���������D�3������lP[8�#�0���

� en

��mmnnn

�*98�)����o�89+���.�#[2����28�/C�����6l 23_+ ��#[+.�0�&����d28�F�dP8���Cd��1�9d ��8����!-����9 ��8�%�P-���0�9I�n�����3�������=.����������@8�������_��p��#��.����e��4��3��.�#[2����28�;&��28�#�

�� ��/�����3������������.�Q����lG� �#[2���.���28�6� 23_+ ��Z���03�&8�i��� ����=��#[2���.������9G�3����4���:*�D

����������28��������&p��#[2����28�;4��'8�����"��e�"�;-p��6� 23_+ �

�����*9I�^P�0�.�D�3

�; �� �T� ��� ���28 �� �#[2� �03� ��.�iG �/ �; �� �6�� 23_+ ��#[2����28�#���-4&���.�#���C��1���������3��2-&8�#[2� �03� �/C8 �iG�T��*9I�:�9 �TO9���� �f�=�6��4��#��� ��.�9G�TO9�����f�=��4&����+.�#�=��=��Y9 G�*9I�:�9 �f�=�����3����28��-"3�:�_�����+.�:�.���28�/��4&��3�� ��.�9G�f�=�����3�

�����Y9 G�*9I���C��:�4&�

��� ��#- ������28�0��#[2��#���9 ��8����!-������8��m��;-p�����0��#[2���9<3������9���8������28�������9�C8�0���6�9E�/�����

��)�M�T+��:� ���9�C8������28�#��e'8���+.���66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 Y%5�

�mqrs�*����9����U���_[����d���9��0���<��[+<����9G�#[2��3�#[2�

������������������� ���������

https://t.me/riazisara

https://www.instagram.com/riazisara.ir