ISSN 0013-5380 - · PDF fileАндерс В.И., ... изобретение первого ... сказал он,— несомненно совершит великие дела,

ISSN 0013-5380

•ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ-

Вологодская областная универсальная научная библиотека www.booksite.ru

Р Е Д А К Ц И О Н Н А Я К О Л Л Е Г И Я

Андерс В.И., Белкин Г.С., Бортник И.М., Борцов Ю.А., Будзко И.А., Бутырин П.А., Гельфанд Я.С., Данилевич Я.Б., Евсеев Б.Н. (зам. главного редактора), Ершевич В.В., Иванов-Смоленский А.В., Ильинский Н.Ф., Иоссель Ю.Я., Комельков В.С., Костенко М.В., Лабунцов В.А. (главный редактор), Ларионов В.И., Лизунов С.Д., Мамиконянц Л.Г., Митюшкин К.Г., Морозкин В.П., Нетушил А.В., Розанов Ю.К., Пищиков В.И., Семенов В.А., Слежа- новский О.В., Совалов С.А., Строев В.А., Тареев Б.М., Толстов Ю.Г., Чечурин ВЛ., Шакарян Ю.Г., Шаталов А.С., Шилин И.В.

Редакторы на направлениям тематики:Евсеев Б.Н. (электрические машины, электропривод, электрический транспорт); Макаршин Б.Д. (ТОЭ, преобразовательная техника, электроматериалы); Кудинова Л.С. (электроэнергетика, ТВН, электрические аппараты)

Адреса редакции: 103012 Москва, К-12, Б.Черкасский пер.} 2/10Телефон 924-24-80

101000 Москва, Главный почтамт, абонентный ящик № 648 Адрес для телеграмм: МОСКВА, 12, ЭЛЕКТРИЧЕСТВО


ИЗДАЕТСЯ С ИЮЛЯ 1880 ГОДА

_____ СЕНТЯБРЬ

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО9

ЕЖЕМЕСЯЧНЫЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛУЧРЕДИТЕЛИ : РОССИЙСКАЯ АКАДЕМ И Я НАУК. Отделение физико-технических проблем энергетики; Ф ЕДЕРАЦИЯ ЭН ЕРГЕТИ Ч ЕСКИ Х И ЭЛ ЕК ТРОТЕХН И Ч ЕСК И Х ОБЩ ЕСТВ

МОСКВА ЭН ЕРГО АТО М И ЗД АТ

Творец многофазных систем и техники СВЧ(К 50-летию со дня смерти Николы Теслы)

ШНЕЙБЕРГ Я .А.

Я думаю, что миру придется долго ждать появления гения, который мог бы стать соперником Николы Теслы в его свершениях и в его вдохновении...

Американский радиотехник, лауреат Нобелевской премии ЭАрмстронг.

Во французском городе Страсбурге в Физическом институте имеется знаменитая Стена почета, на которую занесены имена наиболее выдающихся деятелей науки и техники разных стран. Имя Николы Теслы — рядом с именами Лапласа, Планка, Бора, Эйнштейна, Резерфорда. Трудно поверить, чтобы автором более 800 изобретений в области электротехники и радиотехники, большая часть которых и поныне служит всему человечеству, был один человек. Им был Тесла.

Открытие явления вращающегося магнитного поля, создание первых двухфазных двигателей и генераторов, строительство одной из уникальных для своего времени Ниагарской гидроэлектростанции, изобретение первого высоковольтного высокочастотного резонансного трансформатора, создание первых высококачественных генераторов, разработка оригинальной системы распределения электроэнергии, осуществление первой в мире системы управления по радио судном на большом расстоянии, создание первых газосветных ламп, практическое использование токов высокой частоты и напряжения — все это и многое другое — результат многолетней, по-

© Энергоагомиздат, «Электричество», 1993

истине титанической творческой деятельности Николы Теслы.

Во время вручения Тесле почетной медали Эдисона (1916 г.), учрежденной Американским институтом электроинженеров за наиболее выдающиеся работы в области электротехники, один из видных американских конструкторов электрических машин БА.Беренд подчеркнул, что «...даже простое перечисление изобретений мистера Теслы невозможно... Достаточно сказать, что если бы мы вдруг захотели собрать результаты деятельности мистера Теслы и изъять их из промышленного пользования, производственное развитие замерло бы, наши трамваи, троллейбусы и электропоезда остановились бы, в городах воцарился бы мрак, жизнь предприятий замерла. Да, труды его столь необъятны, что они стали основой основ нашей промышленности... Мне хочется отнести к мистеру Тесле перефразированные строки Попа, посвященные Ньютону:

Природа и ее законы во мраке спрятаны давно. Но Бог сказал: «Да будет Тесла!» — истало все освещено».В начале пути. Никола Тесла родился 10

июня 1856 г. в небольшом хорватском селении Смиляны1 в семье священника. Отец Николы Милугин Тесла происходил из старинного сербского рода, много лет назад переселившегося из Сербии в Хорватию и называвшегося с давних времен «Драгнич» (по-сербски «Дорогой»). После переселения в Хорватию этот род стал называться «Тесла», в связи с тем, что значительная часть большой семьи хорошо владела плотничьим инструментом (теслой) — разновид

1 В те годы ХорвауЗРБЯодила веоетав Австро-Венгерской монархии.


Творец многофазных систем

ностью топора, применявшегося при выделке корыт, ложек и других изделий с вогнутой поверхностью. Милутин Тесла был высокообразованным человеком, он собрал прекрасную домашнюю библиотеку. Мать Николы отличалась незаурядным умом, рукодельным мастерством, добротой и целеустремленностью. Родители прививали детям любовь к труду, к людям, доброжелательность, настойчивость в достижении цели. Слово «электричество» Никола впервые услышал от отца, пытавшегося объяснить ребенку причину появления искр при прикосновении к спине черной кошки, с которой он однажды играл в темной комнате. Он не мог тогда знать, что изучению этого загадочного явления он посвятит всю свою жизнь.

Обучение Тесла начал в Смилянах, а после переезда семьи в г. Госпич — центр провинции Лика (Хорватия) закончил там начальное реальное училище. Уже в школе проявились необычайные способности Николы: редкая память, отличное знание математики, умение быстро мысленно представлять взаимодействие деталей различных механизмов. Он увлекся поэзией, музыкой, мечтал создать «умные» машины для облегчения труда человека. Еще в школе он овладел немецким, французским и итальянским языками, не говоря уже о сербском и хорватском. Высокий и подвижный, он хорошо плавал, отличался завидной легкостью в играх, был верным и надежным другом. Но особый интерес вызывали у него электрические явления, он штудирует книги об электричестве, часто задерживается в школьном кабинете физики, экспериментируя с электростатической машиной и лейденской банкой.

в 1871 г. Тесла переезжает к родственнице в г. Карловец, чтобы поступить в Высшее реальное училище. Проявив особые успехи в математике и физике, он за 3 года заканчивает четырехлетний курс обучения. Никола мечтал стать инженером-электриком, а отец настаивал, чтобы он обучался богословию. Не без труда Николе удалось настоять на своем, и в 1875 г. он становится студентом Высшей технической школы в г. Граце. С огромным упорством Тесла овладевает знаниями, оставляя для отдыха не более 5—6 часов в сутки. Чаще всего его можно увидеть в электротехнической лаборатории за проведением разнообразных экспериментов. Отмечая его успехи, декан технического факультета писал его отцу: «Ваш сын — звезда первой величины».

Когда в лаборатории начались эксперименты с недавно приобретенной машиной Грамма (это был самовозбуждающийся генератор с кольцевым шихтованным якорем и близким к современному коллектором, открывший новый этан в развитии электротехники)2, Тесла, наблюдая за искрением коллектора, наглядно убедился в недостатках машин постоянного тока. Вскоре он высказывает идею о возможности создания двигателя переменного тока профессору Я.Пешле.

2 Эта машина могла работать и и двигательном режиме.

«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

Но видный ученый перед всем курсом пытался опровергнуть доводы своего ученика: «Тесла,— - сказал он,— несомненно совершит великие дела, но осуществить высказанную им идею ему никогда не удастся».

Но Тесла не сдавался. И хотя он еще не мог предложить реальную конструкцию двигателя переменного тока, он все более убеждался в возможности создания таких двигателей. В связи с этим небезынтересно замечание Теслы, сделанное им в автобиографии: «Интуиция — это нечто такое, что опережает точное знание. Наш мозг... позволяет создать истину, даже когда она не доступна еще логическим выводам... Под воздействием авторитета профессора я на некоторое время отказался от своей идеи, но быстро пришел к выводу, что я нрав. Я принялся за работу со всем жаром и беспредельной верой юности» .

К середине 70-х годов X IX века электротехника становится одной из ведущих, самостоятельных отраслей науки и техники. После создания машины Грамма началось интенсивное развитие электрического освещения, которое положило начало внедрению в практику переменного тока.

Открытие явления вращающегося магнитного поля. Создание первых многофазных электрических машин. Тесле, конечно, было известно открытие еще в 1824 г. французским ученым Араго явления «магнетизма вращения» и создание на его основе прибора, в котором вращающееся магнитное поле создавалось при вращении постоянного магнита. Идея Теслы заключалась в том, чтобы создать вращающееся поле посредством неподвижных электромагнитов, укрепленных на станине. Вначале он предполагал получить такое ноле за счет притяжения и отталкивания магнитных полюсов, но конструктивное решение такой идеи оказалось весьма сложным.

После окончания в 1878 г. Высшей технической школы Тесла начал работать помощником инженера. Стремясь углубить свои знания в области математики, физики и философии, он решил поступить в Пражский университет. Проучившись в университете около года, Тесла из-за материальных затруднений был вынужден бросить учебу и начал работать в должности ин- женера-электрика в правительственной телеграфной компании в Будапеште. Зарекомендовав себя способным инженером, он большую часть свободного времени уделял созданию электродвигателя, пытаясь найти наиболее совершенные конструктивные формы.

Напряженный труд, бессонные ночи, постоянные мысли о реализации своей идеи привели к серьезному нервному заболеванию. По воспоминанию одного из его близких друзей выздоровление произошло внезапно, когда Тесла во время прогулки, взяв трость, начал рисовать на песке схему электродвигателя, принцип действия которого был основан на явлении вращающегося

3 Большая масть цитат приводится по книге Б.Н.Ржон- сшщкого «Никола Тесла». — М.: Молодая гвардия. 1959.


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Творец многофазных систем 3

магнитного поля. Это произошло в конце февраля 1882 г. Позднее Тесла писал в своей автобиографии: «В одно мгновение истина была открыта. Своею тростыо я сделал на песке набросок принципа, который я изложил шесть лег спустя на конференции в американском институте электроинженеров». Но это «одно мгновение», как и все выдающиеся открытия, было подготовлено многими годами упорной творческой деятельности.

До конца 1882 г. Тесла разрабатывает несколько проектов двухфазных электродвигателей и для их осуществления уезжает в Париж, где поступает на должность инженера-электрика в Континентальную компанию Эдисона. Вскоре его командируют в Страсбург для выполнения важных поручений Компании, ведущей строительство электростанции. Многие часы он проводит в мастерских, где своими руками изготавливает модель первого в мире электродвигателя переменного тока и осуществляет ее испытание. Тесла демонстрирует двигатель группе известных в городе предпринимателей и убеждает их в преимуществе таких двигателей, отличающихся прежде всего простотой и надежностью. Однако выпуск таких двигателей реализовать не удалось, так как предприниматели не спешили вкладывать деньги в новое, еще нигде не осуществленное производство. Огорченный Тесла в 1884 г. уезжает в Париж. Здесь он надеялся наладить массовое изготовление двигателей, используя деньги, обещанные ему Компанией за успешное выполнение работ в Страсбурге. Но дельцы из Компании не сдержали слова, и возмущенный Тесла решается уехать в другую страну, где бы он смог претворить в жизнь свои идеи и проекты.

Ему были известны успехи русских электротехников П.НЯблочкова, В.Н.Чиколева, А.НЛодыгина, ДАЛачинова и вначале он хотел поехать в Россию. Но по совету одного из администраторов Компании, снабдившего Теслу рекомендательным письмом к знаменитому американскому электротехнику Эдисону, он выехал в 1884 г. в Америку. В записке Эдисону, между прочим, указывалось: «Было бы непростительной ошибкой дать возможность уехать в Россию подобному таланту... Я знаю двух великих людей — один из них Вы, второй — этот молодой человек».

Прибыв в Нью-Йорк, Тесла встретился с Эдисоном и рассказал ему о своем изобретении. Но Эдисон, как это известно из истории электротехники, не видел никаких перспектив для практического использования переменного тока. Несколькими годами позже (в 1889 г.), будучи в Париже, он отказался от приглашения ознакомиться с трехфазным электродвигателем До- ливо-Добровольского, заявив, что «переменный ток — это вздор, не имеющий будущего». Поэтому Тесле был поручен ремонт двигателей и генераторов постоянного тока. Работая в мастерских по двадцать часов в сутки, он старался найти время для усовершенствования конструкций машин переменного тока.

Вскоре Эдисон убедился в незаурядных творческих способностях молодого инженера и его поразительной трудоспособности: Тесла приходил в мастерские в 10 часов 30 минут утра и работал до пяти утра следующих суток, а нередко не покидал мастерские круглее сутки, уделяя отдыху 4—5 часов. И если последнее весьма импонировало Эдисону, отличавшемуся также огромной трудоспособностью, то научный и инженерный методы деятельности Теслы и его увлечение многофазными системами вызывали у Эдисона резкие возражения.

Как известно, Эдисон не имел специального инженерного образования, не владел математическим аппаратом, но отличался исключительными способностями изобретателя, умением создавать разнообразные электротехнические машины и устройства, которые немедленно становились предметами массового производства и давали огромные прибыли.

В отличие от Эдисона Тесла был выдающимся ученым и инженером, он теоретически обосновывал свои идеи и уже затем проводил их экспериментальную проверку. Но нередко его прогрессивные теоретические разработки не находили оптимального практического инженерного решения.

Не имея возможности продолжать работу над многофазными системами, Тесла весной 1885 г. покидает мастерские Эдисона и совместно с группой предпринимателей организует Общество электрического освещения. Но и , здесь его попытки заняться реализацией своих идей были безуспешными. Правда, он изобрел новую конструкцию дуговой лампы для городского освещения, но это его не удовлетворило. Обманутый своими компаньонами, Тесла, не имевший ни семьи, ни собственной квартиры, был вынужден заниматься случайными заработками, вплоть до работы грузчиком.

Разочарованный крушением своих надежд, Тесла решил вернуться в Европу. Но весной 1887 г. он познакомился с сотрудниками Западной телеграфной компании, которые заинтересовались его работами и помогли создать общество «Tesla Electric Company». Наконец Тесла смог заняться реализацией своих теоретических разработок. Вскоре им были созданы первые двухфазные машины — генераторы и двигатели, а также трансформаторы и другое электрооборудование, необходимое для практического использования машин переменного тока. Таким образом, Тесла стал первым ученым и инженером, открывшим явление вращающегося магнитного поля и создавшим на его основе десятки различных многофазных электрических машин.

Тесла доказал, что непрерывное «перемещение» магнитного поля (вначале он не пользовался термином «вращающееся») можно получить, если две катушки, расположенные под прямым углом друг к другу, питать двумя переменными синусоидально изменяющимися токами с фазовым сдвигом, равным 90°.

На рис. 1 изображена схема двухфазных генератора (слева) и двигателя Теслы. На статоре двухфазного синхронного генератора укреплялись


4 Творец многофазных систем ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

Рис. 1. Схема синхронного генератора и асинхронного двигателя Теслы

постоянные магниты, а ротор состоял из двух независимых катушек, расположенных под прямым углом. Концы катушек выводились на кольца, укрепленные на валу генератора (на рисунке для наглядности эти кольца имеют разные диаметры). С помощ ью двух токов, сдвинутых по фазе на 90°, в статоре двигателя (справа) создавалось вращающееся магнитное поле, увлекающее за собой ротор, состоящий из двух взаимно перпендикулярных короткозамкнутых катушек.

В октябре 1887 г. Тесла подал в Патентную комиссию СШ А первые две патентные заявки на многофазные системы, затем еще три заявки в ноябре й, наконец, две — в декабре того же года, и 1 мая 1888 г. им были получены все семь патентов. В 1888 г. им были поданы заявки в Англию и Германию, спустя некоторое время он получил соответствующие патенты. 16 мая 1888 г. Тесла прочел в Американском институте электроинженеров публичную лекцию «Новая система двигателей переменного тока и трансформаторов». Такой чести удостаивались лишь наиболее выдающиеся электротехники. Лекция вызвала большой интерес, а после ее публикации в крупнейших журналах разных стран имя Теслы стало широко известным.

Присутствовавший на этой лекции инженер Б.Беренд позднее говорил, что «со времен Фарадея... никогда ни одна экспериментальная истина не была представлена так просто и понятно, как описание Теслой его способа получения и использования многофазных переменных токов. Его имя делает эпоху в развитии науки об электричестве. В результате его исследований произошла революция в электротехнике».

Почти одновременно с Теслой к открытию явления вращающегося поля пришел итальянский профессор Г.Феррарис, сделавший в марте 1888 г. в Туринской академии наук доклад «Электродинамическое вращение, производимое посредством переменных токов». Сдвиг фаз меж-_ ду двумя токами он получил от «одного переменного тока» путем введения искусственной фазы. Очевидно, что при этом угол сдвига фаз был больше или меньше 90°, и магнитное поле было не круговым, а эллиптическим.

Но если Тесла подчеркивал возможность практического применения своих двигателей, то Феррарис, исходя из ошибочных теоретических предпосылок, утверждал, что предложенный им

«аппарат» (так он называл построенную им модель двухфазного двигателя) «не может иметь какого-либо практического значения как двигатель».

При анализе патентов на многофазные системы, полученных Теслой (а их было более 40), невольно поражаешься их многообразию. Только в одном английском патенте № 6481 было указано 19 вариантов исполнения многофазных машин. Кроме нескольких типов двухфазных машин и трансформаторов он указал на возможность построения связанной трехфазной системы, чем превзошел многих его предшественников. Но при практической реализации своих идей Тесла столкнулся с необходимостью применения большого числа проводов, связывавших генератор и двигатель, что приводйло к значительному удорожанию линий передач4.

В 1888 г. Тесла продал свои патенты на все элементы двухфазной системы главе крупнейшей Американской электротехнической компании Дж. Вестингаузу. Эта Компания стала пионером внедрения в практику переменного тока в США. Небезынтересно отметить один любопытный факт, характеризующий Теслу как человека: когда он узнал, что уплата огромного гонорара, который ему должна была фирма, могла вызвать ее разорение, он, к удивлению Вестингауза, разорвал текст соглашения, попросив лишь о том, чтобы Компания «дала миру его многофазную систему».

В то время, когда Компания Вестингауза изготовляла двухфазные электрические машины Теслы, в Европе, благодаря изобретениям и усилиям выдающегося русского электротехника М.ОДоливо-Добровольского получала все большее признание трехфазная система. В 1891 г. была построена знаменитая Лауфен-Франкфур- тская электропередача, которая положила начало триумфальному успеху трехфазных систем. Тем не менее, когда был объявлен конкурс на постройку самой крупной по тому времени гидростанции на величайшем в мире Ниагарском водопаде, Компании Вестингауза были заказаны три двухфазных генератора по 5000 л.с., и в 1896 г. «под гром пушек и при всеобщем ликовании» состоялось торжественное открытие гидроэлектростанции. К концу столетия число генераторов было увеличено до восьми, при этом общая мощность станции возросла до 40000 л.с. Эта установка стала триумфом системы Теслы.

Однако конструкции двухфазных машин страдали существенными недостатками: выступающие полюса, сосредоточенные обмотки на полюса^ и роторе, необходимость использования четырех проводов — все это делало двухфазную систему неконкурентной по сравнению с трехфазными системами. Вскоре Компания Вестингауза перешла на выпуск трехфазных электрических машин.

У истоков радиотехники и радиотелемеханики. В процессе создания многофазных машин Тесла обратил внимание на особенности переменного

4 Им также была предложена и трехпроводная двухфазнаяцепь.



тока различных частот, и он был одним из первых, если не первым из электротехников, занявшихся токами высокой частоты и напряжения. В 1889 г. он сконструировал генератор, статор которого имел 348 магнитных полюсов, позволивший получать ток с частотой 104 периодов в секунду. Вслед за этим он построил генератор, дававший 20 тысяч периодов. Но при увеличении числа полюсов возрастало магнитное рассеяние, искажалась форма генерируемого напряжения, при росте частоты резко возрастали потери на вихревые токи и гистерезис, соответственно снижался коэффициент полезного действия. Увеличение частоты вращения ротора снижало механическую прочность машин.

Теслой также было положено начало создания индукторных высокочастотных генераторов. Но, стремясь получить еще более высокие частоты, он пришел к необходимости изыскания другого, немашинного способа генерирования высоких частот.

Внимание Теслы привлекли исследования колебательного характера электрических разрядов. Еще в 1842 г. выдающийся американский электротехник Дж. Генри установил, что при разряде конденсатора возникают затухающие электрические колебания5. Это открытие было им описано в статье «Об индукции от обычного электричества и о колебательном разряде». Тесла, конечно, знал об этих экспериментах, так же как и об описанной во многих научных трудах катушке Румкорфа и первых простейших трансформаторах. Он с огромным интересом следил за сенсационными исследованиями Г. Герца и с присущим ему упорством искал возможность практического применения электромагнитных волн. Он также не оставил без внимания по

явившиеся публикации о резонансных явлениях в электрических цепях.

Тесле пришла в голову счастливая мысль — соединить в одном приборе свойства трансформатора и явление резонанса. И в 1891 г. он создает свой знаменитый «резонанс-трансформатор», сыгравший огромную роль в развитии различных отраслей электротехники и радиотехники и широко известный под названием «трансформатора Теслы». Между прочим, с легкой руки французских электриков и радистов этот трансформатор назывался просто «Тесла».

В приборе Теслы первичная и вторичная обмотки были настроены в резонанс. Первичная обмотка (рис. 2) была включена через разрядник с индукционной катушкой и конденсаторами. При разряде изменение магнитного поля в первичной цепи вызывает во вторичной обмотке, состоящей из большого числа витков, ток весьма большого напряжения и частоты.

Современные измерения показали, что с помощью резонансного трансформатора можно получить высокочастотные напряжения с амплитудой до одного миллиона вольт. Тесла указал, что изменяя емкость конденсатора, можно получить электромагнитные колебания с различной длиной волны.

При проведении экспериментов Тесла столкнулся с проблемой надежности изоляции катушек при сверхвысоких напряжениях и предложил погружать витки катушек в льняное или минеральное масло (см. рис. 2,6), которое позднее стали называть трансформаторным. Тесла не знал, что высокие электроизоляционные свойства минеральных масел впервые обнаружил в начале X IX века выдающийся русский электротехник В.В.Пет- ров.

Рис. 2. Резонанс-трансформатор Теслы: а — схема включения обмоток; б — общий вид прибора.

5 Цверава Г. Джозеф Генри. — Л.: Наука, 1974.


6 Творец многофазных систем «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

Работая с высокочастотным источником высокого напряжения, Тесла обратил внимание на технику безопасности при проведении экспериментов. С этой целью он провел ряд оригинальных исследований, включая и опыты на самом себе. В результате он впервые доказал безопасность таких токов и напряжений для человека. Более того, на основе его открытий зародилась и стала быстро развиваться целая область электротехники — диатермия, аппараты УВЧ. Теслой были разработаны несколько типов электромедицинских аппаратов. В 1898 г. он выступил с докладом на конгрессе Американской элехтротерапевтической ассоциации.

Тесла предлагал использовать резонанс-трансформатор для возбуждения «проводника-излучателя», поднятого высоко над землей и способного передавать энергию высокой частоты без проводов. Очевидно, что «излучатель» Теслы был первой антенной, нашедшей широчайшее применение в радиосвязи. Если бы Тесла создал чувствительный приемник электромагнитных волн, то он бы пришел к изобретению радио. Биографы Теслы считают, что до А.С.Попова Тесла был ближе всех на пути к этому открытию.

Тесле принадлежит заслуга и в создании первых газосветных ламп, которым он предрекал будущее. Проводя эксперименты с высокочастотными колебаниями, Тесла пришел к выводу о возможностях их практического использования. В лекции «О световых и других высокочастотных явлениях», прочитанной им в феврале 1893 г. во Франклиновском институте в Филадельфии, он заявил: «Я хотел бы сказать... о предмете, который все время у меня на уме и который затрагивает благосостояние всех нас. Я имею в виду передачу осмысленных сигналов и, быть может, даже энергии на любое расстояние вовсе без помощи проводов. С каждым днем я все более убеждаюсь в практической осуществимости этой схемы... Мое убеждение установилось так прочно, что я рассматриваю этот проект передачи энергии или сигналов без проводов уже не просто как теоретическую возможность, а как серьезную проблему электротехники, которая должна быть решена со дня на день»6.

Последняя фраза только подчеркивает увлеченность Теслы своими идеями и веру в их реализацию. Но прожив долгую жизнь, он стал очевидцем несбыточности этой мечты. Да и в наши дни, когда мы стали свидетелями грандиозных успехов науки и техники, передача больших потоков энергии без проводов не осуществлена прежде всего вследствие ее неэкономичности. Точно также его идеи обиспользовании электрического поля Земли для беспроводной передачи энергии, но мнению специалистов, основана «на недоразумениях и ошибках». Известный электротехник и популяризатор науки проф. Г.И.Бабат писал более 35 лет назад: «Некоторые строки из научных работ Теслы напоминают предсказания библейских

6 Родионов В.М. Зарождение радиотехники. — М.: Наука,1985.

пророков своей туманностью и неопределенностью. Тесла видел конечные цели своих исследований, но не всегда мог ясно представить всю ту долгую дорогу, которая могла бы привести к этой конечной цели. Он пренебрегал отдельными деталями, а некоторые стороны проблемы представлял себе неточно и подчас неверно». Но вместе с тем, многие отрасли современной электротехники выросли и развились из его работ. И его «... предложения и идеи до сих пор продолжают волновать исследователей, звать к новым поискам».

В связи с этим отметим, что в 'некоторых наших научно-популярных журналах появляются статьи, авторы которых сообщают о сенсационных открытиях в области передачи энергии без проводов, ссылаясь при этом на работы Теслы и нередко допуская ряд неточностей. Один из авторов утверждает, будто в 30-х годах Тесла разъезжал на автомобиле без бензинового двигателя, получая энергию «из ничего». Кроме того, отмечалось, будто бы Тесла разработал проект беспроводной передачи электрической энергии из Америки в Европу, но первая мировая война помешала осуществить его мечту. Но известно, что даже в наше время, несмотря на огромные успехи в области СВЧ-техники, проблема передачи энергии посредством мощных СВЧ-полей пока еще находится в стадии изучения и проектирования необходимых установок. Что касается «автомобиля Теслы», то биографы ученого ничего об этом не сообщают, тем более, что в середине 30-х годов Тесле было около 80 лет, он часто болел и разъезжатьв «экспериментальном» автомобиле, конечно, не мог.

И можно понять восторженный прием, оказываемый Тесле во время его выступлений и демонстраций удивительных для того времени явлений, в различных городах Америки и Европы. В феврале 1892 г., будучи в Лондоне, Тесла был приглашен в зал Королевского общества, где он был удостоен высочайшей чести: его усадили в кресло Фарадея и налили в бокал виски из бутылки, которую в свое время не допил Фарадей. Со времени смерти выдающегося английского физика ни одному из ученых не оказывались такие почести.

Хотелось бы отметить пионерские работы Теслы по управлению различными механизмами с помощью высокочастотных электромагнитных волн. В 1896 г. он построил близ Ныо-Йорка небольшую радиостанцию, излучавшую короткие волны с частотой до двух мегагерц (до него подобные волны никто не получал). Сигналы радиостанции улавливали суда, плавающие по Гудзону. На эти изобретения Тесла получил два патента в 1897 г. Воодушевленный успехами, Тесла занялся созданием модели судна, управляемого радиосигналами на значительные расстояния. Осенью 1898 г. на ежегодной электрической выставке в Медисонсквер-гардене (Н ы о- Р1орк) он демонстрировал модель первого в мире судна, управлявшегося по радио: в большом бассейне в центре зала плавал небольшой «ковчег»7,

7 Эта модель хранится в музее Теслы в Белграде.



снабженный высокой антенной и электрическим и лампочками на носу и корме. Удивленные 'зрители наблюдали, как с помощью радиосигналов с пульта управления «ковчег» плавал с разной скоростью и совершал сложные маневры, при этом светились и гасли электрические лампочки. В ноябре 1898 г. Тесла получил патент на это изобретение, положившее начало радиотелемеханике (позднее он получил аналогичные патенты в других странах, в том числе и в России). Это изобретение было настолько ошеломляющим, что сотрудники патентного бюро в Вашингтоне усомнились в его реальности .

Затем он создал систему управления радиосигналами небольшими судами в открытом море: корабли отплывали от Нью-Йоркской гавани более чем на 25 морских миль, выполняли все маневры и возвращались к берегу. Но, если Тесла предполагал такие суда использовать «в недоступных областях с целью их изучения или осуществления различных научных, технических

ш торговых задач», то нашлись люди, которые предлагали использовать его изобретения в военных целях для создания автоматически управляемых подводных лодок или торпед. Тесла выступил в печати с протестом, подчеркивая, что его изобретение не «торпеда, а первый представитель расы роботов, который будет выполнять все работы за человека». Отметим, что Тесла впервые осуществляет принцип «радиоизбирательности», используя разные частоты для воздействия на различные автоматы или элементы одного автомата.

В одной из неопубликованных статей Тесла сообщает о работе над проектом «летающего аппарата», управляемого по радио. «Можно,— писал он,— запустить летающий аппарат в воздух и управлять им... на расстоянии тысячи миль. Но мы не думаем на этом остановиться». Еще более удивительны стремления Теслы создать управляемый на расстоянии автомат, способный воспроизводить действия человека. В 1900 г. в статье, подводящей итоги его исследований, он писал: «Для этого необходимо, чтобы такой автомат обладал каким-либо элементом, аналогичным человеческому мозгу, управляющим его действиями или операциями в любом случае, который может представиться, как если бы он имел знания, рассудок, суждения и опыт» (курсив наш. — Я.Ш.). Он считает возможным создание автоматического устройства, которое могло бы... «действовать по распоряжениям, заданным заранее... накапливать опыт и регистрировать впечатления, которые несомненно имели бы значение для его последующих действий. Фактически у меня уже имеется подробный план такого автомата. Хотя я создал это изобретение много лет назад и объяснил его своим посетителям в лаборатории, но получило известность оно совсем недавно... и, естественно, вызвало сенсационные отклики. Но истинное значение этой новой техники не понято большинством

8 Цверава Г. Никола Тесла. — Л.: Наука, 1974.

и не оценено громадное значение его основного принципа» (курсив наш. — Я.Ш.).

Можно только восхищаться и одновременно удивляться полету фантазии ученого, идеи которого при современных ему достижениях науки и техники были совершенно не реальны. Но не каждый ученый обладает способностью «заглянуть» на столетие вперед. Понадобилось почти сто лет после первых работ Теслы, чтобы появились самонастраивающиеся, самообучающиеся, быстродействующие ЭВМ, работающие со скоростью в десятки миллиардов операций в секунду. Тесла ввел термин «тельавтоматика», что означало технику «управления движениями и действиями автоматов, удаленных на расстоянии».

От газосветных ламп до газовой турбины. Очень интересна мысль Теслы о влиянии материала электродов и степени разряжения газов на яркость свечения газосветных ламп. Не зная о существовании электронов, он объяснял это «скоростью движения» молекул газа и их отталкиванием от стекла колбы. Токи высокой частоты вызывают «нарастание этого процесса с большой скоростью», при этом частицы вещества как бы накапливают энергию. Описание этого явления напоминает процессы в современных ускорителях заряженных частиц с большими энергиями, использующихся для исследования строения атомного ядра.

При изучении свечения вакуумных трубок Тесла обнаружил в 1893 г. «особые лучи», проникающие «через предметы, непрозрачные для обычного света». Но он не довел эти исследования до конца и после сообщения (в 1895 г.) об открытиях Рентгена опубликовал ряд статей по поводу использования Х-лучей, и между ним и Рентгеном надолго установились дружеские отношения. Во второй серии опытов Рентген использовал резонанс-трансформатор Теслы.

С помощью механического осциллятора Тесла наблюдал явления ультразвука и его воздействие на окружающие предметы. Более того, он предложил новый термин «тельгеодинамика», назвав так науку об использовании ультразвука для нахождения месторасположения отдельных предметов и поиска ископаемых, а также для целей медицины.

В 1899 г. Тесле удалось с помощью друзей соорудить научную лабораторию в Колорадо. Здесь на высоте 2 тысяч метров он занялся изучением грозовых разрядов и установлением «наличия электрического заряда земли». Он придумал оригинальную конструкцию «усиливающего передатчика», напоминающего трансформатор, позволяющего получать напряжения до нескольких миллионов вольт при частоте до 150 тысяч периодов в секунду. К вторичной обмотке он присоединил «мачту» высотой около 60 м. При включении «передатчика» Тесле удалось наблюдать огромные молнии, разряды длиной до 135 футов и даже гром. Он снова возвращался к мысли об использовании токов высокой частоты для «освещения, нагрева, передвижения электрического транспорта на земле и воздухе», но, как и ранее, он не предлагал конкретных путей ре


Творец многофазных систем

ализации своих идей о передаче энергии без проводов.

Встречая наступление нового XX века и стремясь расширить практическое использование электрической энергии, Тесла начинает строительство уникальной мощной радиостанции для «всемирной передачи электроэнергии». Проект предусматривал сооружение гигантской каркасной 47-метровой башни, на вершине которой должен быть установлен «приплюснутый медный шар» большого диаметра. Здесь же предполагалось строительство здания научной лаборатории, где планировалось установить новые мощные генераторы электромагнитных волн.

Сооружение громадной башни потребовало решения многих сложных чисто технических проблем — ранее нигде подобная каркасная деревянная башня не строилась.

Тесла издал специальную брошюру «Мировая система», в которой подробно изложил свои идеи о радиосвязи, обмене сигналами и телеграммами, телефонной связи, передаче изображения, использования различного диапазона частот для передачи разнообразных сигналов, сообщений и, наконец, о «беспроводной передаче электроэнергии в любую точку земного шара».

Тесла видел и социальные последствия своих изобретений, считая, что развитие радиосвязи будет способствовать сближению народов мира, а создание управляемого на расстоянии мощного оружия будет в руках прогрессивного человечества гарантом сохранения мира. В 1901 г. он опубликовал- статью с характерным названием «Передача электроэнергии без проводов как средство установления всеобщего мира». Эту статью с интересом встретили электротехники разных стран, а один из русских электротехников писал в журнале «Электричество» (1905 г.): «Быть может, мысли Теслы утопия, но это утопия гениальная». Как мы видим, многое из того, о чем мечтал Тесла, свершилось в наши дни, но ряд его фантастических идей пока реализовать не удалось.

В 1902 г. сооружение башни и строительство здания лаборатории было закончено, но монтаж электрооборудования задерживался из-за недостатка средств и невозможности расплатиться с кредиторами. _

.Стремясь привлечь внимание к своим идеям и надеясь на предоставление кредитов, Тесла добился публикации в одном из известных журналов Америки обращения, получившего название «Манифест Николы Теслы». Он предлагает всем, кто будет использовать его изобретение, техническую помощь. Затем он подчеркивает: «Ближайшее будущее, я в этом уверен, станет свидетелем революционного переворота в производстве, превращении и передаче энергии, в области транспорта, освещения, изготовления химических компонентов, телеграфа, телефона и других областях промышленности и искусства. По моему мнению, эти успехи должны будут последовать в силу всеобщего принятия токов высокого напряжения и высокой частоты и новых регенеративных процессов охлаждения при очень низких температурах». Далее он берет на

«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

себя обязательство помочь в проектировании и создании новейших машин и приборов. На обороте этого оригинального документа Тесла приводит отрывки из своих работ и перечисляет 93 важнейших своих патента, полученных в разных государствах Америки, Европы и Азии. Но создание «Мировой системы» реализовать не удалось, и после начала первой мировой войны все работы по ее сооружению были прекращены, а башню даже пришлось взорвать (во избежание использования ее в целях шпионажа).

В течение первой четверти текущего столетия Тесла не без успеха занимался еще одной проблемой — созданием паровых и газовых турбин. Одна из конструкций паровых турбин поражала своей компактностью: 3 лошадиных силы на 1 фунт веса (мощность турбины составляла 30 лошадиных сил). Им был изготовлен опытный образец турбины мощностью 500 кВт при частоте вращения 3600 об/м ин. В 1906—1914 гг. он разработал проект газовой турбины. Но начавшаяся первая мировая война вынудила его прекратить работы в области теплоэнергетики. После 1925 года он вернулся к этим работам, но по ряду причин не довел их до практического внедрения, хотя им было получено несколько патентов.

На всем протяжении своей долгой творческой жизни Теслу отличали полное отсутствие тщеславия, скромность и бескорыстие. Эти его качества ярко проявились, в частности, при присуждении ему Нобелевской премии (1915 г.) и медали Эдисона (1916 г.). Когда Тесла узнал, что Нобелевская премия должна быть поделена между ним и Эдисоном, он решительно отказался от этой премии, так как при этом предлагалось поделить его научные заслуги с Эдисоном, который, по его мнению, не был ученым, а был лишь способным изобретателем и организатором научной и коммерческой деятельности больших коллективов. И это решение Тесла принял в то время, когда он испытывал серьезные материальные затруднения и полагавшиеся ему 25 тысяч долларов могли существенно облегчить его научную деятельность. Медаль Эдисона Тесла тоже не хотел получать, считая, что этим он «увеличивает славу Эдисона». Однако друзья уговорили его, и в мае 1917 г. на торжественном обеде членов Американского института электроинженеров медаль была вручена. При этом особенно высоко был оценен вклад Теслы в исследование многофазных систем и машин переменного тока. Много лег спустя Тесла разрубит эту медаль пополам и вручит каждую из ее половинок двум женщинам — его неизменным секретарям, отблагодарить которых он не имел средств.

Материальное положение ученого с каждым годом ухудшалось, первая мировая война нарушила его связи с родными и друзьями в Европе. Нередко ему приходилось закладывать вещи под залог. Однако он не оставил мысли о реализации многих своих идей, в частности, создания более совершенных паровых и газовых турбин, проектов реактивного автомобиля и вертолета (геликоптера). В 1916 г. им был изобретен спи


«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Творец многофазных систем 9

дометр, широко применяемый и в наши дни. Он сожалел, что не имеет возможности для завершения своих работ по передаче электроэнергии без проводов.

Одиночество все более преследовало стареющего ученого. По складу своего характера и методам исследований он не привык работать в коллективе и практически не имел учеников. Отсутствие коллектива единомышленников и талантливых учеников было одной из причин, помешавшей Тесле претворить в жизнь многие свои идеи.

Последние статьи Теслы о статических генераторах и использовании разрядов высокого напряжения для изучения строения вещества были опубликованы в 1932—1934 гг. О последних двух десятилетиях его жизни, к сожалению, известно очень немного. В печати, правда, проскользнуло сообщение одного из журналистов, посетившего Теслу летом 1931 г., которому Тесла сказал, что работает над созданием нового источника энергии, к которому «... до сих пор не обращался ни один ученый», Но «... хватит ли у меня физических сил, — подчеркивал Тесла, чтобы завершить эти идеи и отдать их миру». Трудно сказать, что он имел в виду, но, возможно он мечтал об использовании энергии атома?

Теслу огорчало и то, что новое поколение ученых и инженеров мало знали о его 'грудах — ведь прошло почти полвека после внедрения им в* промышленность двигателей переменного тока и исследовании токов высокой частоты. Но он очень гордился тем, что на его родине заслуги ученого были достойно оценены: правительство Югославии назначило ему пожизненную пенсию в 6 тысяч долларов в год. В день его 75-летия он получил очень теплое поздравление от Альберта Эйнштейна, в котором подчеркивались его «великие успехи» в научной деятельности. В июне 1936 г, когда Тесле исполнилось 80 лет, в Белграде состоялся Международный научный конгресс, посвященный его творчеству, научные съезды и торжественные собрания прошли в разных городах Югославии. Была выпущена почтовая марка в честь ученого, известный югославский скульптор Динчич создал его бюст, Тесла был избран почетным директором научно-исследовательского института по применению токов высокой частоты и больших напряжений, созданного по решению правительства.

Но состояние здоровья Теслы все более ухуд^ шалось, особенно после несчастного случая, когда пожилой ученый был сбит легковой машиной и оказался в постели с переломом ребер и тяжелым воспалением легких. Однако, несмотря на возраст, Тесла всегда живо откликался на важнейшие события в мире. Так было в период первой мировой войны, когда ученый организовал сбор средств в поддержку Сербии. Когда Тесла узнал о плане электрификации России, он предложил свою, техническую помощь. После нападения фашистской армии на его родину

Тесла, несмотря на тяжелую болезнь, обратился ко всем славянам, жившим в Америке, с просьбой о помощи югославским партизанам. В октябре 1941 г. 85-летний ученый направил в Академию наук СССР восторженное письмо, в котором отмечал героизм нашего народа в борьбе с фашизмом. Призывы Теслы с энтузиазмом восприняли бойцы Народно-освободительной армии Югославии: в 1943 г. первой гвардейской дивизии было присвоено имя Николы Теслы.

В ночь с 7 на 8 января 1943 г. Тесла скончался в -номере нью-йоркской гостиницы на восемьдесят седьмом году жизни. Урна с прахом ученого была установлена на кладбище Фернклиф.

Столетие со дня рождения Теслы в 1956 г. торжественно отмечалось во всем мире. В Белграде с докладом о деятельности ученого выступил выдающийся; физик современности Нильс Бор. В июле 1956 г. Международная электротехническая комиссия постановила присвоить единице магнитной индукции название «Тесла». В Америке было проведено заседание Международной секции Американского института электроинженеров. Институтом была учреждена медаль Теслы как высшей награды за работы в области электричества. На собрании Института электричества имени Эдисона Тесла был назван «атлантом, все творчество которого оказывает влияние на жизнь современного общества».

В июле 1976 г. Югославия торжественно отмечала 120-летие со дня рождения Теслы. В местечко Смиляны, где родился ученый, прибыла правительственная делегация во главе с Президентом страны Иосипом Б.Тито, который назвал Теслу «гениальным исследователем, патриотом и гуманистом».

Ценнейшие рукописи и документы, действующие модели машин и аппаратов, 'созданных ученым, хранятся в Национальном музее Теслы в Белграде.

____________________ СПИСОК ЛИТЕРА ТУТЫ______________________

1. Ржонсницкий Б.Н. Никола Тесла. — М.: Молодая гвардия, 1959.

2. Цверава Г.К. Никола Тесла. — Л.: Наука, 1974.3. Веселовский О.Н. Михаил Осипович Д оливо-Д обро-

вольский. — М .; Л.: Госэнергоиздат, 1958.4. Родионов В.М. Зарождение радиотехники. — М.: Наука,

1985.5. Веселовский О.Н., Шнейберг Я А . Энергетическая тех

ника и ее развитие. — М.: Высшая школа, 1976.6. Веселовский О.Н., Шнейберг Я А . Очерки по истории

электротехники. — М.: Изд-во МЭИ, 1993.* 7. Бабат Г.И. Никола Тесла. — Славяне, 1956, № 7.

8. Глазанов В.Н. Великий сын югославского народа. — Электричество, 1956, № 7.

[ 2 4 . 0 3 . 9 3 ]

А в т о р : Ш нейберг Ян Абрамович окончил электротехнический факультет Московского энергетического института (МЭИ) в 1945 г. В 1953 г. защитил кандидатскую диссертацию, посвященную истории электротехники. Доцент кафедры электротехники и интроскопии МЭИ.


Математическое моделирование параметрического резонанса на высших гармониках при включении

на холостой ход В Л 330 кВ с ответвлениемЛЕВИУШ А.И., КАТУНЯН В.И.

Постановка задачи. Для анализа влияния высших гармонических на устройства релейной защиты необходимо исследовать условия возникновения этих колебаний на третьей и более высоких гармониках. В ряде энергосистем наблюдается возникновение параметрического резонанса на третьей гармонике.

Ранее1 рассматривалось включение на холостой ход ВЛ СВН с реакторами. При коммутации в момент прохождения ЭДС системы через нуль в реакторе возникает апериодическая составляющая тока, вызывающая появление апериодической составляющей напряжения на силовом автотрансформаторе, которая подмагни- чивает магнитопровод автотрансформатора и спустя некоторое время приводит к одностороннему смещению по характеристике намагничивания в область насыщения. Несимметричное подмагничивание магнитопровода было причиной появления четной (второй) гармоники в кривой напряжения.

При включении ВЛ 330 кВ без реакторов с ответвлением на холостой ход бросок тока намагничивания в трансформаторе на ответвлении является причиной появления апериодической составляющей напряжения на силовом автотрансформаторе, вызывая несимметричное насыщение его магнитопровода. В зависимости от резонансных условий, т.е. от конкретных соотношений суммарной индуктивности и емкости в рассматриваемой схеме, возможны резонансы не только на второй, но и на более высоких гармониках, а причиной возникновения гармоник во всех случаях является несимметричное подмагничивание автотрансформатора.

Подключение «холостого» трансформатора в другой точке сети 330 кВ или даже на другом напряжении может приводить к таким же результатам.

Математическое моделирование. Исследование проводилось с помощью математической модели, разработанной ранее для изучения параметрического резонанса на второй гармонике. Отличием является то, что в данной статье используется математическая модель линии в однолинейном, а не в трехфазном исполнении с целью более экономного расходования машинного времени на ПЭВМ2.

В однолинейной схеме не учитывается влияние обмоток низкого напряжения, соединенных в треугольник. Конечно, надо иметь в виду, что и результаты расчетов в этом случае могут дать лишь качественное представление о характере

1 Катунин В.И., Левиуш А.И . Исследование на математической модели параметрического резонанса на второй гармонике для анализа работы релейной защиты ВЛ.— Электричество, 1990, № 1.

2 Рассматриваемую задачу целесообразно решать на более производительных моделях ЕС ЭВМ.

процессов. Однако на первом этапе, чтобы понять природу резонансных явлений на третьей и более высоких гармониках, качественной оценки вполне достаточно. При количественных оценках авторами применяется трехфазное моделирование.

Рассматривались линии напряжением 330 кВ без реакторов протяженностью 220 и 100 км, возможен вариант подключения на ответвлении трансформатора Т (рис. 1).

Рис. 1. Схема включения на холостой ход ВЛ 330 кВ без реакторов без подключения на ее ответвлении трансформа

тора Т (а) и при его подключении (б)

На рис. 2 показана схема замещения линии с ответвлением, в соответствии с которой осуществлялось математическое моделирование.

Rj\ 7/2

Рис. 2. Схема замещения ВЛ 330 кВ при ее включении на холостой ход и при подключении на ее ответвлении

трансформатора Т

Здесь показаны следующие элементы электропередач: Ес — ЭДС системы; реактанс системы Lc и ее активное сопротивление Rc\ автотрансформатор АТ представлен Г-образной схемой замещения, включающей ветвь намагничивания Lfli и индуктивность обмотки высшего напряжения LBl; линия, представленная Т-образной схемой замещения, имеет два плеча индуктивности ЬЛ1 / 2 и активного сопротивления Rn\/2, а также емкость полной длины линии Сл; трансформатор Г, подключаемый на ответвлении, представлен ветвыо намагничивания и обмоткой ВН с индуктивностью Lb2; активные потери в стали обоих трансформаторов учитываются соответственно сопротивлениями RDy и RDy, выключатель Q осуществляет включение на холостой ход; разъединитель QS управляет подключением трансформатора на ответвлении.


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Математическое моделирование резонанса 11

При однофазном представлении математическая модель такой электропередачи содержит шесть уравнений:

а. | II о

1t-

ч

ОО

1о

(1)

ОII<N It

b

(2 )

du0 ‘ l - ‘2- h - u0/RDl.dt с л (3)

di3 _ "о-и 1- / з^л1/2 .(4)dt Bl + Ал1/2

dul ‘3 - ‘4~u1/RD2 .at сл (5)

dtf>4—— = . dt 1 (6)

При составлении уравнений не учитывалась индуктивность Ьв2, так как она мала по сравнению с 2, а ее индуктивное сопротивление составляет доли процента от RD2. В уравнениях(1 )—(6) принято: /*! — ток в системе; хр2 ~ потокосцепление в AT; i2 — ток намагничивания AT; Uq — напряжение на АТ; /3 — ток в линии; Ui — напряжение в месте подключения отпайки; гр4 — потокосцепление в Г; /4 — ток намагничивания трансформатора Т; Сл т — искусственно вводимая емкость на два порядка ниже емкости линии, используемая для удобства приведения системы уравнений состояния к нормальному виду, т.е. разрешенному относительно первой

операторов для описания различных участков характеристики намагничивания (см. рис. 3). Мгновенное значение потокосцепления сравнивается с номинальным, соответствующим началу участка II, где гр/хрном=1, и с потокосцеплением полного насыщения — началом участка III. Если текущее значение потокосцепления меньше номинального, то А Т и Г работает на крутом участке характеристики намагничивания, и L^-L^j. Если потокосцепление превышает потокосцепление полного насыщения, то А Т или Т работает на пологой части (III) характеристики намагничивания, где Если же мгновенное значение потокосцепления лежит между номинальным значением и потокосцеплением полного насыщения, используется участок II характеристики намагничивания, и

Наличие или отсутствие ответвления, т.е. положение разъединителя QS, моделируется следующим логическим построением: если QSразомкнут, то ток /4 и ток через RD 2 равны нулю, потокосцепление в Т также равно нулю. Если же QS замкнут, то токи и потокосцепления вычисляются в соответствии с системой дифференциальных уравнений (1 )—(6). Вводится некий временной параметр Т1А, который сравнивается с текущей координатой времени. При Т<Т1А указанные потокосцепления равны нулю, QS разомкнут. При T>TLA QS включается.

Параметры сети. I. Трансформаторы. Каталожные данные для автотрансформатора А Т приведены в табл. 1.

Каталожные данные для трансформатора Г трехфазного двухобмоточного см. в табл. 2.

Таблица 1

Тип П отериAPI

ix,% UK,% /?т ,О м Р асчетн ы е д ан н ы е А т , О м

\A Q <,K B ap

кВтB H -C H B H -H H C H -H H BH CH HH BH CH HH

АТДЦ ТН — 2 0 0 0 0 0 /3 3 0 /1 1 0 180 0,5 10 33 22 0,8 0,8 2,0 58,5 0 126,6 1000

производной переменной состояния. Дальнейшее снижение Слт ведет к увеличению времени счета без существенного повышения точности.

Нелинейности индуктивностей рассеяния трансформаторов А Т и Т моделируются логическим построением с использованием условных

Рис. 3. Характеристики намагничивания автотрансформатора АТ 3 3 0 /1 1 0 кВ и трансформатора Т 3 3 0 /1 0 кВ в отно

сительных единицах. Индуктивности рассеяния на участках I, И, III соответственно: Ljull, Lpin,Ьруц(АТ) и

f julh LjuWy L{i2m(T)

Таблица 2

Тип A Px, к Вт

АРк,кВт

«к ,% /х ,% Расчетны ед ан н ы е

А О с.к В а р

Л т .О м Я т,О м

Т Р Д Ц Н -6 3 0 0 0 /3 3 0 /1 0 120 265 12 0,5 190 7,3 441

Характеристики намагничивания обоих трансформаторов (рис. 3) в относительных единицах одинаковы.

Используемые в расчетах (применительно к схеме замещения) данные для трансформаторов приведены в табл. 3.

2. Линия. Удельные параметры линии имеют следующие значения: по каталогу — Х 1 = 0,32 Ом/км; 1,1 О м /км ; £ = 3,54 мкС м /км ;fr0 = 2,43 мкСм/км; гх =0,038 О м/км; расчетные — Со = 0,00773 мкФ/км; См = 0,00118 мкФ/км.

Применительно к схеме замещения параметры имеют значения, приведенные в табл. 4.

гВологодская областная универсальная научная библиотека

www.booksite.ru

12 Математическое моделирование резонанса ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

Таблица 3Т ран с

ф о р м а тор

И н дукти вн о сть о б м о тк и вн, Гн

И н дукти вн ость отдел ьн ы х уч астк ов харак тер и сти к и н ам агничи вания, Гн

Сопротивление, учитываю щ ее потери в- сгали

АТ Ев1 = 0,185 Lfi 1 /- 53,7 Г/< Iff =3,36 Lfi\m= 0,9 Rdi = 200 кОм

Т Ьв2 - 0,637 Lfi71= НО Lfi2U=6,93 Lfi2m= 1,85 RD2= 300 кОм

моник 2—5, как показали расчеты, весьма низок (менее 1%). Однако повышение напряжения на#*; ВЛ сопровождается увеличением уровня третьей гармоники. При £ с= 1 ,Ш ном уровень третьей гармоники в той точке, где Х с соответствует резонансу на этой гармонике, составляет всего 2,2%; при Ec= l,5 t /HOM — уже 22%; приEC=1,1UH 73%, и при EC=2U H 128%.

Таблица 4

Д лина л и н и и /, Значения парам етровкм

С л, м кФ Lnl/2, Гн Rnl/2, О м

220 2,48 0,111 4,18100 1,127 0,051 1,90

величина3. Система. Реактанс системы переменная в проводимых расчетах. Активное сопротивление потерь в системе принималось равным 0,04 Х с. При конкретных расчетах это значение нуждается в уточнении в соответствии со схемой сети, классом напряжения и т.д.

Условия возникновения резонанса. Используя соотношение

О)% А = 1 . (7)

ц . %

180 -

160

п о

120 119%

3100 -

8063%

60 - 2I

40 h

г \20 — у / ч

0 20 40 60

Четные гармоники отсутствуют. Высокий уровень третьей гармоники вызван симметричным насыщением магнитной системы автотрансформатора АТ. Однако такие уровни перенапряжений 50 Гц в сети не наблюдаются и, стало быть, высшие гармоники проявляются по другим причинам, тем более четные, которые при симметричном подмагничивании теоретически невозникают.

Как показали расчеты, при наличии трансформатора Г, подключенного на ответвлении ВЛ, возможны резонансы на второй, третьей, четвертой и пятой гармониках.

Так, на ВЛ длиной 220 км с отпайкой и трансформатором Т на ней пик третьей гармоники (119%) в конце первой секунды после начала процесса имеет место при Х с = 55 Ом. В то же время при расчете по формуле (7)

в линейной системе резонанс на третьей гармонике должен быть п р и Х с = 49,3 Ом. Таким образом, реальная точка резонанса лежит не-

2-я еарм.\ сколько правее расчетной (рис. 4)7 а реаль-

775%

по 200 220 240 260 280 Хс , 0 м

Рис. 4. Зависимости уровней второй и третьей гармоник от X системы через 1 с после: включения на холостой ход ВЛ 330 кВ длиной 220 км с трансформатором на ответвле

нии ВЛ (я); подключения пена гружен ною трансформатора 110 кВ при односторонне включенной ВЛ 330 кВ длиной 220 км (б)

где Сх=Ьс+Ев1 + 1 л1/2, можно определить ту индуктивность системы, при которой наступит резонанс на искомой гармонике в линейной схеме сети, т.е. без учета Lfll и L/<2> которыми можно пренебречь в первом приближении. С помощью серии расчетов на ПЭВМ, выявив зависимость уровня данной гармоники от Ьс(и п/и 1 =/(Хс)), следует уточнить точку резонанса.

При включении на холостой ход ВЛ 330 кВ длиной 220 км без ответвления уровень гар

ная резонансная частота при Х с = 55 Ом равна 147,2 Гц вместо 150 Гц вследствие того, что реально А Т насыщается, его индуктивность намагничивания уменьшается, а частота приблизится к 150 Гц. При расчете же по формуле (7) нелинейность ветви намагничивания А Т не учитывается.

То же самое можно сказать о второй гармонике. Зависимость U2/ U1 = f(X c) изображена также на рис. 4. Максимум второй гармоники (179% ) через 1 с после включения на холостой ход наступает

при Х с = 280 Ом, в то время как при расчете без учета нелинейности индуктивности рассеяния АТ по формуле (7) резонанс должен иметь местопри Х с = 227 Ом.

На рис. 5 показана зависимость напряжения U=f(t) в точке ответвления и подключения трансформатора Т. На протяжении двух периодов примерно через 1 с после включения на холостой ход при разных Х с видны ярко выраженные вторая и


(ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Математическое моделирование резонанса 13

Рис. 5. Мгновенные значения напряжений U=f(t) через 1 с после включения на холостой ход ВЛ 330 кВ длиной 220 км с трансформатором

на ответвлении ВЛ

Возбуждение четвертой и пятой гармоник возможно на более коротких линиях. Исследовалась ВЛ 330 кВ длиной 100 км. Максимальное значение пятой- гармоники приходится на Х с = 42,5 Ом, пик четвертой — на Х с = 110 Ом (рис. 7). В области от 200 до 400 Ом существует значительная третья гармоника, минимальный уровень которой в этой области составляет 25%, а максимум, равный 286% имеет место при Х с =210 Ом. Вторая гармоника менее выражена и область ее существования относится к более высоким реактансам системы, от 600 до 1000 Ом, максимальный ее уровень составляет 150% при Х с - 900 Ом.

Было проверено предположение о том, что вторая и более высокие гармоники будут возбуждаться не только

третья гармоники в составе напряжения и высокий уровень перенапряжений, вызванных второй гармоникой,— до U ~2,5U HOM и третьей — до 2,2 [7ном. Значения Х с принимались такими, при которых вторая или третья гармоники максимальны.

Устойчивость существования второй и третьей гармоник проверялась в интервале времени до 10 с. Как видно из кривых на рис. 6, эти гар-

Рис. 6. Зависимости уровней второй и третьей гармоник от времени для схемы на рис. 2 при включении

на холостой ход В Л 3 30 кВ длиной 220 км с трансформатором на ответвлении ВЛ

моники затухают по-разному: вторая довольно резко падает со 179% при t= 1 с до 4% при t= 5с; третья затухает более плавно и меняется от 119% при t= 1 с до 28% при t= 5с и до 12% при t= 10с, т.е. и через 10 с после начала процесса существует заметный уровень третьей гармоники.

На линии 220 км появление четвертой и пятой гармоник невозможно, так как резонансное значение Х с по формуле (7) получается отрицательным, что показали и расчеты на ПЭВМ. Однако при установке со стороны системы двух А Т возможно появление четвертой гармоники, но система при этом должна быть практически неограниченной мощности (Х с = 16 Ом). Пятая же гармоника и при двух АТ не появится.

V 4 ,%

Рис. 7. Резонансные кривые для третьей, четвертой и пятой гармоник через 1 с после включения на холо

стой ход ВЛ 330 кВ длиной 100 км с трансформатором на ответвлении ВЛ

при включении на холостой ход ВЛ 330. кВ с ответвлением, но и при подключении ненаг- руженного трансформатора на другом напряжении. Для исследования принималась также линия напряжением 330 кВ длиной 220 км, измерение уровней высших гармоник производилось на невюпоченном конце линии при подключении к шинам 110 кВ ненагруженного трансформатора (рис. 8). На рис. 4 (кривые Б) представлены резонансные кривые для второй и третьей гармоник. Действительно, характер этих кривых близок к тому, что имело место при

Рис. 8. Схема сети 330 кВ при подключении ненагруженного трансформатора к ш инам 110 кВ


14 Многосвязная система регулирования ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

включении ВЛ на холостой ход: также возбуждаются вторая и третья гармоники, и их максимумы приблизительно соответствуют тем же значениям Х с. Правда, относительные максимумы этих гармоник заметно ниже, чем в случае включения на холостой ход линии с ответвлением: максимальный уровень второй гармоники равен 124% при Х с =242 Ом, максимальный уровень третьей — 63% при Х с = 50 Ом. Более низкий максимальный уровень гармоник объясняется тем, что автотрансформатор в этом случае менее насыщен, чем при включении на холостой ход, так как апериодическая составляющая напряжения, вызванная броском тока намагничивания подключаемого трансформатора, в последнем случае распределяется между автотрансформатором и системой, тогда как при включении на холостой ход целиком идет на подмагничивание автотрансформатора. Кроме того, значения Х с, при которых наблюдаются максимумы, приближаются к Х с, соответствующим Ул.рез*

Выводы. 1. При включении на холостой ход ВЛ 330 кВ с подключенным трансформатором на ее ответвлении возможен резонанс на высших

гармониках (2—5) в течение интервала времени существования броска тока намагничивания этого трансформатора.

2. Возбуждаемая гармоника несколько выше резонансной частоты линейной системы.

3. Источником высшей гармонической является одностороннее подмагничивание магнито- провода автотрансформатора апериодической составляющей напряжения, обусловленной броском тока намагничивания трансформатора на ответвлении.

[03.09.92]

А в т о р ы : Левиуш Александр Ильич окончил электроэнергетический факультет МЭИ в 1958 г. В 1968 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме «Исследование вопросов выполнения дистанционных защит на полупроводниковых приборах» в МЭИ. Заведующий сектороль Всероссийского научно-исследовательского института электроэнергетики (ВНИИЭ).

Катунян Вера Ивановна окончила факультет электрификации железнодорожного транспорта Московского института инженеров транспорта в 1960 г. Научный сотрудник ВНИИЭ.

Многосвязная система автоматического редуцирования режимов электроэнергетических объектов1

ЛИСИЦЫН М.В.,КОСАРЕВА Е.Г.

Многие системы автоматического регулирования процесса производства и распределения электроэнергии представляют собой гак называемые многосвязные системы, в которых множество различных параметров, характеризующих состояние системы, между собой в той или иной мере взаимосвязаны, и изменение режима по одному регулируемому параметру в большей или меньшей степени влияет на величину других регулируемых параметров. Типичными примерами таких многосвязных систем являются системы регулирования частоты и перетоков активной мощности в крупных энергообъединениях, системы регулирования напряжения в узле электрически близких электростанций, системы группового регулирования возбуждения генераторов электростанции, системы регулирования энергоблоков ТЭС.

В настоящее время в практике разработки цифровых систем автоматического регулирования сложились два подхода к решению задачи регулирования в многосвязных системах. В од

1 В порядке обсуждения.

них случаях на эти цифровые системы распространяются те же принципы локального регулирования, которые традиционно применяются в аналоговых системах с отрицательной обратной связью по сигналу ошибки. В таких системах регулирование каждого параметра осуществляется в отдельном контуре, и они эффективны только в тех случаях, когда взаимосвязью между этими контурами можно пренебречь или их работу м ож но' каким-то образом согласовать. Однако для систем сложной конфигурации с множеством взаимосвязанных параметров такое согласование может оказаться трудновыполнимым. Это же обстоятельство затрудняет разработку типовых систем автоматического регулирования с унифицированным, пригодным для различных энергообъектов, матобеспечением.

Другой подход к решению задачи расчета управляющих воздействий в названных системах основывается на методах, предлагаемых теорией оптимизации многосвязных систем автоматического управления [1]. В рамках этого второго подхода задача управления в данной статье математически ставится следующим образом:


«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Многосвязная система регулирования 15

R = E TQ E + IF HU -* m in;N М

(ИЛИ Я = 2 q,tn ^ l/2=1 /22 = 1

х = х + к и ,

(1)

где Х ' = (х '1..лс'/г..-г'дг)т— начальное состояние объекта регулирования (х'п — и-й контролируемый параметр); U=(ui...um...uM)T — управление (ит — приращение управляющего воздействия m-го исполнительного органа); X = (x i . .x n..xN)T — конечное состояние объекта регулирования, в которое он перейдет из начального состояния X под действием управления U; К=\{кпт ; я = 1 ,...Д ;т= 1 ,...,М } — матрица коэффициентов влияния управленийна контролируемые параметры; Х = (х { .. х п.. .хдг)т и X — (хх.. jf/2 • • Xn)t ~ верхняя и нижняя границы требуемой области, в которую должна быть переведена точка X ' в том случае, если в результате действия внешних возмущений или изменения уставок эта точка окажется за границей требуемой области; £ = (£ 1...£/г ..£д/)т — положение конечного состояния объекта X относительно границ требуемой областиX, X:

£п

О , если XjtsS хп ; хп - х п , если хп > ;хп —хп , еслих/г <х,г , / г = 1 , . . . Д ;

С?= { ? « / , . « = ! , - А -} и Я = {/гт т ,ш =1,...Д /} - диа- тональные матрицы весовых коэффициентов.

Два вопроса представляют самостоятельный интерес: решение задачи (1) как задачи математического программирования и место задачи(1) в общей структуре системы регулирования и организация входных данных (матрицы К, Q,Я, Х\ X , X ), при которых решение задачи (1) обеспечивает выполнение системой ее функций по регулированию режима данного конкретного энергообъекта.

Для решения задачи (1) разобьем множество индексов пGN на два, N x и такие, чтоЯ ХПЯ2= Я и Я 1и я 2= 0 .

Введем в рассмотрение более простую задачу[2]

■ /= (Х% 2 - X N2 YQN2 {X%2-X N2) + U*HV-> min;]X N2 = X 'n2 +KN2 U,- f '

где матрицы X N2> x 'n2 -> Qn i и составлены из строк матриц X X ,Q и Я с индексами nGN2 и ^N 2 = {ХП> nGN2}.

Решение задачи (2 ) можно легко получить из условия равенства нулю градиента функции / по формуле

U*~ (Kn 2Qn 2KN2 1 N2Qn 2^ N 2 ~ Х>N2)- Р )

Можно показать, что:1) решение (3) задачи (2) будет решением

задачи (1), если в точке решения будут соблюдены следующие условия при X*=X'+KU* ,Х * == {x*,nGN}:

х ^ х* ^ хп для всех nGNx; (4 )

х* > xfV если х® = хп, и х* < хп, если х® = х,г, для всех nGN2; (5)

2) следующий алгоритм позволяет найти N 1, Я2 и А $2, удовлетворяющие условиям (4 ) и (5)[3 ].

1. Для некоторого произвольного множестваnEN2 и произвольного набора значений4 =хп или хп~£п решаем задачу (2) и находим все х * , n£N в этой точке решения.

2. Для всех х * , nGN 1 проверяем условие (4). Если все х* , nGN1 этому условию удовлетворяют, то переходим к п. 3. Если какие-то х* , nGN 1 этому условию не удовлетворяют, модифицируем функцию /: индексы п, для которых условие (4) не выполняется, исключаем из множестваи включаем в множество N y для этих же индексов определяем значения х„ как х^=х/г, еслих*>хп, и х°=х„, если х*<х,г, и возвращаемся к п. 1 для повторного решения задачи (2).

3. Если условие (4) выполняется, то для всех х * , n€:N2 проверяем условие (5). Если все х* , nGN2 этому условию удовлетворяют, то задача решена. Если какие-то х* , nGN2 этому условию не удовлетворяют, то модифицируем функцию I: индексы п, для которых условие (5 ) не выполняется, исключаем из множества М2 и включаем их в множество N v Затем возвращаемся к п. 1 для повторного решения задачи (2).

Программа на Фортране, реализующая данный алгоритм, занимает около 1 К памяти. Размерность задачи (1) определяется количеством контролируемых параметров и исполнительных органов и практически такова, что время, затрачиваемое на поиск решения, при любом произвольном начальном виде функции I не превышает десятых долей секунды. Вид функции /, при котором удовлетворяются условия (4) и (5), не меняется до тех пор, пока не будет изменен состав контролируемых параметров или исполнительных органов, не будут введены новые уставки или существенно не изменится режим работы энергообъекта. При неизменном виде функции / решение задачи (1 ) находится за одну итерацию, и длительность этой операции пренебрежимо мала.

. Организацию системы регулирования на базе решения задачи (1) рассмотрим на примере систем автоматического регулирования внеплановых колебаний частоты и перетоков активной мощ ности в крупном энергообъединении (АРЧМ). Цифровая система АРЧМ представляет собой управляющий вычислительный комплекс, установленный на диспетчерском пункте энерго- объединения, в который поступают телеизмерения текущих значений контролируемых параметров (частоты, перетоков, мощностей электростанций) и вводятся уставки, определяющие их требуемые значения. Управляющая ЭВМ по значению отклонения измеренных значений параметров от уставок вырабатывает сигналй управления, которые по каналам телемеханики передаются на регулирующие электростанции. По этим сигналам


16 Многосвязная система регулирования ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

регулирующие электростанции меняют свою мощность таким образом, что контролируемые параметры принимают значения в соответствии с заданными уставками.

Система АРЧМ является типичным примером многосвязной системы управления, в которой изменение мощности каждой регулирующей электростанции так или иначе влияет на значение множества перетоков и управляющие воздействия на электростанции, полученные в контуре регулирования какого-то одного перетока, могут противоречить управляющим воздействиям на те же станции, но полученным в контурах регулирования других перетоков, а процесс регулирования частоты или перетоков по одним линиям передач может вызывать недопустимые перегрузки по другим линиям передач [4].

Функциональная схема системы регулирования приведена на рис. 1. Блок 1 формирует входные

Рис. 1

данные задачи (1): матрицы К, X , X , Q и Я. По этим данным и по замеренным фактическим текущим значениям контролируемых параметров X блок 2 в темпе процесса решает задачу (1) и вырабатывает управления U, которые подаются на ПИ-фильтры 3 , обеспечивающие требуемое качество динамики. Управляющие воздействия K=(v1...vm...vM)T, полученные на выходах ПИ- фильтров, подаются в каналы регулирования активной мощности регулирующих электростанций ЭС энергообъединения 4.

Управления U, найденные в результате решения задачи (1), осуществляют перевод объекта из точки X' в точку X. При этом значение отклонения точки X от области требуемых значений (ошибка регулирования) будет Е, и функционально задачу (1) можно рассматривать как аппарат, позволяющий пересчитать отклонения текущих значений частоты и множества перетоков от своих уставок в минимально возможные отклонения текущих мощностей регулирующих электростанций, такие, при которых регулирование всех параметров осуществлялось бы с максимально возможной точностью. В этом смысле каждый элемент вектора U представляет собой «датчик рассогласования» мощности электростанции с единичным коэффициентом усиления, включенный в замкнутый контур регулирования с отрицательной обратной связью по отклонению.

Возможны два случая решения задачи (1).1. Область допустимых управлений U (ре

гулировочные диапазоны регулирующих электростанций) такова, что путем увеличения весовых коэффициентов Q относительно весовых коэф

фициентов Я ошибки регулирования Е могут быть сделаны сколь угодно малыми.

2. Область допустимых управлений U такова, что ошибки Е сколь угодно малыми сделать нельзя, и тогда решение задачи (1 ) дает ошибки регулирования, которые являются минимально возможными при наличных регулировочных диапазонах электростанций. При этом относительные значения элементов матрицы Q позволяют перераспределять относительные значения элементов вектора Е, т.е. получить, если это при данных регулировочных диапазонах в принципе возможно, более высокую точность регулирования каких-то одних параметров за счет других, менее приоритетных. При выборе значений qnn достаточно руководствоваться следующими соображениями:

элементы матрицы Q должны быть существенно больше элементов матрицы Я;

относительная точность регулирования нескольких параметров, которые совместно отрегулировать нельзя, будет тем выше, чем больше относительное значение элемента qnn, соответствующее тому или иному параметру. При этом следует принимать во внимание числовые значения, которыми измеряются различные физические величины. Приоритеты различных параметров по точности регулирования, определяемые относительными значениями весовых коэффициентов, могут быть как постоянными, заданными заранее, так и переменными, зависящими, например, от текущего режима работы энергосистемы.

Все режимы регулирования, включая в их число и какие-то специальные требования, влияющие на распределение мощностей регулирующих электростанций, осуществляются единым образом.В /7-ю строку вектора X , отведенную для того или иного контролируемого_параметра, вводится значение верхней уставки хп на данный параметр; в ту же /7-ю строку вектора X вводится нижняя уставка х (если на регулируемый параметр задается одна уставка, например на частоту, то эта уставка вводится в оба вектора: х,г=х,г); в /2-ю строку вектора X вводится текущее значение контролируемого параметра х'п\ в п-й элемент диагональной матрицы Q вводится весовой коэффициент qnn, соответствующий относительному приоритету данного параметра по точности регулирования; в /7-ю строку матрицы К вводятся коэффициенты влияния каждой регулирующей станции на данный параметр кпт.

Включение (отключение) режимов регулирования и регулирующих электростанций можно осуществлять различным образом в зависимости от способа формирования входных и выходных данных задачи (1). Если все матрицы содержат только те строки и столбцы, которые соответствуют включенным режимам и станциям, то их включение (отключение) осуществляется путем занесения (вычеркивания) соответствующих строк и столбцов. Если матрицы содержат полный набор строк и столбцов, соответствующих всем режимам и всем регулирующим электростанциям, предусмотренным данной системой АРЧМ, то включение (отключение) режимов и электростанций


«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Свойства герконов 17

осуществляется путем занесения определенных числовых значений в соответствующие элементы

f матриц: п-й режим будет отключен, еслиqnn = 0, или кпт = 0 , ш= 1 , ..., М, или если3crt и содержат значения, которые заведомо не могут быть превышены; га-я регулирующая электростанция будет отключена, если hmm будет существенно больше диагональных элементов матрицы Q или если кпт = 0 , п = 1 , ..., N.

Привязка задачи (1) к конкретному энергообъединению и его конфигурации сети осуществляется матрицей К коэффициентов влияния регулирующих электростанций на регулируемые параметры. В этом проявляется основное допущение в математической постановке задачи — описании динамического объекта линейными алгебраическими уравнениями установившегося режима. В такой постановке задача (1) включена в замкнутый контур регулирования по отклонению, для которого сохраняют силу известные свойства систем с отрицательной обратной связью. В частности, отличие фактических значений коэффициентов влияния от расчетных, принятых в матрице К, означает изменение коэффициента усиления разомкнутого контура, что оказывает влияние на динамику процесса регулирования (вплоть до необходимости адаптации параметров ПИ-фильтров) и не влияет на точность установившегося режима в астатической системе.

Параметры ПИ-фильтров выбираются таким образом, чтобы они давали максимальную полосу пропускания при достаточном запасе устойчивости, что обеспечивает высокое быстродействие и плавный характер переходных процессов. Различная интенсивность регулирования тех или иных параметров задается коэффициентами С=\сп ; п = 1 , ..., N }, где для параметров, которые требуется регулировать с максимальным быстродействием (например, при ликвидации возмущения по перегруженным линиям электропередач), сп = 1, а для параметров, которые требуется регулировать с меньшей интенсивностью (например, для режимов регулирования частоты и обменной мощности), сп задается, соответственно, меньше. Тогда расчет вектора управлений U, поступающего на ПИ-фильтры, осуществляется следующим образом: после того как будет найдено решение (3) задачи (1) и будут определены матрица B=(№N2 QN2KN2 + H )~ lK vN2 QN 2 и вектор соответствуйте этому решению, значение U рассчитывается по формуле U=BA , где вектор А получается из вектора (А$n ~ X 'N2) Ум_ ножением каждого элемента вектора (X ^ 0 - X rN2) на соответствующий элемент вектора С, что эквивалентно изменению в сп раз коэффициента усиления по каждому /?-му режиму.

В установившемся режиме система является оптимальной в смысле целевой функции R задачи (1): при минимальных сигналах U на входах ПИ-

Мфильтров (член ^ ^ттит) обеспечивается макси-

/72= 1

мальная точность регулирования параметров X

N(член ^ Ятеп)- При этом в число параметров X

п = 1могут входить не только частота и перетоки, но и любые другие параметры, которые могут быть определены в терминах задачи (1), например, величина отклонения от планового режима работы энергообъединения, запасы регулировочных диапазонов, расход воды или топлива, и тогда по этим параметрам система также будет оптимальной.

Результаты цифрового моделирования двух систем автоматического регулирования на базе решения задачи (1), системы АРЧМ и системы регулирования напряжения в узле электрически близких электростанций, и натурные испытания системы АРЧМ, выполненные в ОЭС Средней Волги [5], подтвердили основные положения данной статьи, эффективность рассмотренного алгоритма и его соответствие требованиям, предъявляемым к системам многосвязного регулирования.

Выводы. 1. Система многосвязного регулирования на базе решения задачи (1) осуществляет согласованное регулирование множества взаимосвязанных параметров и является оптимальной в следующем смысле:

обеспечивает установившиеся ошибки регулирования, минимально возможные при данных регулировочных диапазонах исполнительных органов;

позволяет повышать точность регулирования одних параметров за' счет других, менее приоритетных, когда их одновременное точное регулирование выполнить невозможно;

позволяет осуществлять оптимизацию не только по точности регулирования, но одновременно и по любому другому критерию, который может быть выражен в терминах задачи (1).

2. Рассмотренное решение представляет собой формализованный, теоретически обоснованный математический аппарат и может быть использовано в системах автоматического регулирования режимов электроэнергетических объектов.

_________________ СЛИСОК ЛИТЕРАТУРЫ___________________

1. Мееров M.B. Исследование и оптимизация многосвяз- ных систем управления. — М.: Наука, 1986.

2. Хмельник С.И. Метод расчета коэффициентов распределения при цифровом регулировании частоты и перетоков. — Труды института Энергосетьпроект, вып. 8. — М.: Энергия, 1976.

3. Косарева Е.Г. Распределение управляющих воздействий в системе автоматического регулирования. — В кн.: Моделирование и оптимизация многосвязных систем. — М.: Институт проблем управления, 1988.

4. Экспериментальная цифровая система автоматического регулирования частоты и активной мощности в ЕЭС СССР / С.А.Совапов, М.А.Беркович, А.Н.Комаров и др. — Электричество, 1979, № 3.

5. Система АРЧМ ОЭС Средней Волги / В.Ю.Врублевский, М.В.Лисицын, ВА.Морозов и др. — Энергетика и электрификация. Сер. Средства и системы управления в энергетике. Экспресс-информ., 1990, вып. 9.

[10.11.92]

А в т о р ы : Лисицын Михаил Викторовичокончил факультет «Приборостроение» Московского высшего технического училища в 1957 г. В 1971 г.


18 Свойства герконов ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

защитил кандидатскую диссертацию по теме «Автоматическое регулирование» в Московском авиационном институте. Заведующий лабораторией института «Энергосетьпроект».

Косарева Евгения Григорьевна окончила факультет «Автоматика и вычислительная техника»

Московского института инженеров транспорта в 1975 г. В 1990 г. защитила кандидатскую $ диссертацию по теме «Автоматическое управление и системный анализ» в Институте проблем управления АН СССР. Старший научный сотрудник института «Энергосетьпроект».

Свойства герконов, применяемых в релейной защитеКЛЕЦЕЛЬ М.Я., МУСИН В.В., АЛИШЕВ Ж.Р., МАНУКОВСКИЙ А.В.

Магнитоуправляемые контакты (МК) — гер- коны все шире используются в релейной защите (РЗ) электрических систем. Однако их свойства, связанные со спецификой РЗ, исследованы недостаточно. В статье сделана попытка восполнить этот пробел.

Параметры, характеризующие срабатывание и отпадание МК. Ресурс срабатывания отечественных герконов ( 105— Ю6) более чем достаточен, чтобы устройства РЗ на МК работали десятки лег, так как токи их срабатывания / сз> /н (1 Н — номинальный ток нагрузки электроустановки) для подавляющего большинства современных электроустановок напряжением 3—220 кВ, а число коротких замыканий (КЗ) на одной электроустановке, как правило, не превышает десяти в год. В дифференциальных защитах, имеющих / с з ^ /н, МК не срабатывает в каждую полуволну переменного тока по принципу действия [1], а в реле направления мощности — в связи с тем, что оно запускается по срабатыванию токового органа защиты [2]. В токовых защитах, у которых / сз близок к / и, например, в защите от перегрузки электродвигателей с частым пуском, ресурс МК ограничивает их применение.

При использовании в электроустановках переменного тока МК при срабатывании коммутирует управляющую цепь с частотой 100 Гц и не срабатывает в один из полупериодов при наличии апериодической слагающей. Поэтому для получения на выходе реле с МК непрерывного сигнала нужно применять типовые схемы расширителей импульсов.

Диапазоны намагничивающих сил срабатывания и отпадания Fcp и FOTn указываются за- водами-изготовителями в паспортных данных МК. Однако они не могут быть использованы в РЗ, так как слишком широки (например для МК типа КЭМ-1 Fcp = 5 5 - l l 0 A, FOTn = 2 5 -3 0 А), и каждый МК из партии одного типа имеет свою Fcp. Эксперименты показали, что Fcp МК изменяется в зависимости от длины катушки (/к), в которой она измеряется, а напряженность

магнитного поля (М П), при которой МК срабатывает, т.е. замыкает разомкнутые контакты, Hcp=Fcp//K (в дальнейшем — напряженность срабатывания) и напряженность МП, при которой он возвращается в исходное положение, т.е. размыкает замкнувшиеся после срабатывания контакты, Я в=КвЯ ср (в дальнейшем — напряженность возврата или отпадания) остаются величинами практически постоянными при данной кратности К~Ну/Нср (если /к>гк, где /Св — коэффициент возврата, Я у — напряженность управляющего МП, / к — радиус катушки). При этом погрешности Я ср и Я в не превышают 1%.

При использовании МК в качестве токового реле значение К может достигать 150, так как для ряда электроустановок ^к.з^н^ ЮО * 150 ( /кз — максимальный ток КЗ). Учитывая, что у некоторых дифференциальных защит / сз = 0,5/н исследование свойств МК проводилось при К = 1— 300. Для этого была собрана установка по блок- схеме, рассмотренной в [3]. Исследования проводились с отбракованными МК типа КЭМ-1, КЭМ-2, КЭМ-3, КЭМ-6 по 150 штук различных серий. Результаты исследования следующие.

Время срабатывания t МК с увеличением К уменьшается (рис. 1). При /0 1 ,5 tcp^ 1,5 мс,

Рис. 1


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Свойства герконов 19

при 1<2С^1,4 1ср=6-ь2 мс. Для токовых защит зависимость tcp=f(K) значения не имеет, так как для токовых реле tc p ^ 6 мс считается вполне достаточным. При построении защит без трансформаторов тока (ТТ ) на принципе сравнения фаз эту зависимость нужно учитывать, так как она определяет погрешности при формировании сравниваемых сигналов, которое будет осуществляться по моменту замыкания или размыкания контактов (см. далее). В пределе погрешность может достигать 90°, реально 30—35°. Последнее обусловлено тем, что в РЗ считается необходимым иметь запас по чувствительности, поэтому всегда 2 0 1,5, и если, например, время срабатывания одного МК, управляемого током с К=1,5, fcpi = l ,5 мс, а другого с 2 0 2 5 0 , tcр2 = 0,2 мс, то Ср1“^ср2 = 1’3 мс, что соответствует 24°.

Время от первого замыкания до отскока во время дребезга ^ ^ 1 5 0 —30 мкс. Этого более чем достаточно для запоминания срабатывания с помощью элементов «ПАМЯТЬ». Поэтому время дребезга 2др для построения устройств РЗ особого значения не имеет, но при построении быстродействующих защит необходимо принимать меры по повышению помехоустойчивости элемента «ПАМЯТЬ». (Для разных типов герконов оно колеблется довольно в широких пределах, резко возрастая при 2 0 2 5 0 , но не превышает пятикратных значений регламентируемых для 2 0 2 . Так, например, для КЭМ-1 £др^5 мс, а для КЭМ-3 др^0,5 мс). Продолжительность подачи МП с частотой 50 Гц при К<150 доводилась до 3 с (максимальная выдержка времени РЗ), при 150 <2*0 300 — до 0,5 с. Имитировался и режим автоматического повторного включения. Перерывы между моментами подачи МП варьировались от 0,3 до 20 с. Эти режимы повторялись до 200 раз.

Отклонения параметров МК после испытаний от параметров до испытаний при повышенных К начинались лишь после повторения указанных режимов более 150 раз (что примерно соответствует ресурсу срабатывания). Разрушений МК не было. Некоторые МК при определенных К залипали (четыре из всех исследуемых). В связи с этим необходимо перед установкой в эксплуатацию подвергнуть МК испытаниям при максимально возможном К для защищаемой электроустановки. Залипания в результате брака, допущенного на заводе, выявляются в процессе настройки защиты, и геркон заменяется. Поскольку МК очень дешевы и миниатюрны, то для повышения надежности РЗ можно будет использовать методы введения избыточности и самодиагностику неисправностей (например, как это сделано в [4].

Свойства МК при одновременном воздействии постоянного и переменного МП. Размыкание контактов МК происходит лишь в одну полуволну управляющего МП, если (рис. 2)

Я у> Я п- Я в; Я п=КотсЯн+ЯзЯв,

где Я п — напряженность МП подмагничивания; Я н — напряженность управляющего МП в режиме максимальной нагрузки защищаемого присоеди

нения; КОТС и К3 — коэффициенты отстройки и запаса (КОТС выбирается с учетом обеспечения селективности и чувствительности защиты конкретного объекта, причем всегда Котс>1, К3 учитывает нестабильность срабатывания и возврата МК).

Таким образом можно фиксировать полярность переменного тока, что очень важно, так как дает возможность строить защиты на принципе сравнения фаз, например [1] (поляризованные реле на МК, фиксирующие полярность [5], не могут быть применены из-за наличия в них постоянных магнитов). При этом надо иметь в виду, что если Я у> Я п+ Я ср, т.е. при 2 0 8 , МК отпадает дважды за полупериод (точки 1, 2, рис. 2), моменты отпадания (точки 1, 4) зависят от К. Время первого отпадания tOTn при больших К мало, и при 2 0 3 0 0 оно не менее 0,1 мс. (Опыты проводились с пятьюстами МК, у которых время отпадания не превышало 0,1 мс, так как МК с большим временем отпадания не были обнаружены среди МК, имеющихся в наличии.)

Второе отпадание (точка 2) может использоваться для повышения надежности устройств защиты. Геркон с обмоткой подмагничивания может служить и пороговым элементом с двумя порогами и использоваться, например, для создания токового реле, выполняющего одновременно функции измерительных органов защит от перегрузки и КЗ.

Как показали наши исследования, при поданном в обмотку подмагничивания постоянном токе с Я п<Я ср и управляющем переменном МС с Я п> Я ср, МК имеет практически те же параметры, что и без постоянного тока (время наблюдения — 2 года). Если Я п( 1,1—2,5)Я ср, т.е. МК все время в сработанном состоянии, то Я ср

ъВологодская областная универсальная научная библиотека

www.booksite.ru

20 Свойства герконов (ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

и tcр через год изменяются до недопустимых в РЗ пределах. Чтобы избежать влияния тока подмагничивания на параметры защит, нужно подавать его только в моменты, когда Я у> 1 ,1 //П, что можно осуществить при помощи дополнительно устанавливаемого геркона.

Чувствительность МК часто определяет возможность его использования. В первую очередь это касается РЗ на МК без ТТ [6]. Повышения чувствительности МК можно добиться изменением магнитной проводимости, но не более чем в 2 раза [7]. (Наши попытки преодолеть этот барьер с помощ ью концентраторов различной формы не увенчались успехом.) Такое повышение в ряде случаев недостаточно для использования РЗ без трансформаторов тока в сетях напряжением 110—220 кВ. Лучших результатов можно добиться подмагничиванием дополнительным внешним МП. Оно должно создаваться постоянным током, так как при К> 3 постоянные магниты размагничиваются, а подмагничивание переменным током требует специальных устройств согласования по фазе управляющего и дополнительного МГ1, и, по-видимому, в связи с этим не получит широкого применения. В токовых защитах Кв^1. Поэтому после подмагничивания должны выполняться следующие соотношения:

Я ср.п= Я с р - Я п; Я в.п = Я в - Я и; Я в.п=/<’в.пЯ ср .п О )

где Нср п и Нв п— напряженности срабатывания и возврата МК после срабатывания; Кв п — коэффициент возврата МК после подмагничивания.

Чувствительность МК после подмагничивания увеличивается в т раз:

т=н.ср

Н „

н,ср

" с р - " п

если не учитывать погрешности, и

т -1 - Д ,

Я с р ( 1 + А 1 ) “ Я п ( 1 _ А 2 ) 1 + ■А 1 - Къ(1~А2УК: ( 2)

при их наихудшем сочетании. В(2)

1Я с р - » с р 1 \К~Н*\н.„ я. А'у —Нп~Нп

Н„

где Я^р, НЦ — соответственно напряженности срабатывания и возврата МК с учетом максимально возможных погрешностей (поскольку погрешности Я ср и Я в для конкретного МК малы и близки по значению, они считались равными); Я[| — напряженность подмагничивающего МП с учетом максимальных погрешностей Д2 устройства подмагничивания.

Коэффициент возврата МК после подмагничивания без учета погрешностей

К» = -я н - н п

в.п И н -нср.п ср п

При их наихудшем сочетании^ в(1~А1) - Я п(1 + Д2) ^ i ( 1 -A 1) - ( 1 + A 2)

в" Яср(1+Д1) - Я п(1 -Д 2) к г( l + A i V ^ - C l - A j ) ’1

Из (3) видно, что # 1> (1 + Д ?) / ( 1 - Д 1), так какЯ в . п > 0 .

Расчеты по (2) и (3) показывают, что при увеличении т коэффициент возврата резко уменьшается, например при Дг =0,01, Д2 = 0,05, Кв = 0,91 и К 1 = 1,01 ш ~5 и Квп<0,1. Выполнить устройство подмагничивания с погрешностью Д2^(0 ,02— 0,03) затруднительно (оно будет сложным и дорогим), а МК с Кв^ 0,9 встречаются очень редко. Поэтому рассмотренный способ может быть применен, когда Кв МК не регламентируется и достаточно иметь т ^ 5 .

Можно одновременно значительно увеличить и т и Квп, если снимать подмагничивание в момент замыкания контактов МК, а затем создать его снова через заданное время. Тогда Я п не ограничивается Я в, а ограничивается лишь погрешностями и Я ср, причем в пределе

Я ср(1 -Д 1)= Я п(1Т Д 2) . (4)

Аналогично (2) с учетом (4 ) получимi - Ai

Ш1=1 + Д1- ( 1- Д 2)(1- Д 1)/ ( 1 + Д2) • (5 )

Пренебрегая временем переключения блоков устройства (на рис. 3 1 - МК; 2 - блок подмагничивания; 3 — источник тока, создающего МП подмагничивания; 4 — элемент «И» с инверсным выходом; 5 — элемент «ПАМЯТЬ»; 6 — логическая часть защиты), реализующего способ (это наносекунды, если блоки выполнены на полупроводниковых элементах), можно считать, что при соблюдении (4)

/ / Г1 — А,) Я (1 —А.)к = ’ (6)

где К2 - Н п/Нср.

Рис. 3

Как следует из (6), /Свп будет близок к единице, если

(l-A .X l—АГ)*2- . Д • (7)

Из (5) и (6) с учетом (7 ) видно, что при Кв = 0,3, К2 = 0,6 и принятых выше погрешностях /72 2= 8,6 а К 'вп = 0,83. Таким образом, т 1>т и К в п значительно больше чем Кв. Результаты экспериментов подтвердили изложенное.

Выводы. 1. Параметры герконов при воздействии на них магнитных полей, созданных токами КЗ находятся в пределах, позволяющих использовать их для построения токовых защит,


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 О принципах функционирования релейной защиты 21

а с подмагничиванием (при Я п> Я ср) — и диф- \ ференциал ьно-фазных.

2. С помощью предлагаемого способа можно увеличить чувствительность геркона в 8—10 раз и одновременно значительно повысить коэффициент его возврата.

________________ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . __________

1, А.с. 1 31 9 13 8 . Устройство для дифференциальной защиты двух параллельных линий электропередачи/ М.Я.Кле- цель. — Опубл. в Б .И .,1987, № 23.

2. А.с. 1 68 6 58 0 . Реле направления мощ ности/ М.Я.Кле- цель. — Опубл. в Б.И., 1991, № 39.

3. Кохановский С.П., Наливайко В А ., Луб Н.Т. Синхронизированная установка для исследования коммутации тока. — Известия вузов. Энергетика, 1990, № 1

4. А.с. 1598013 . Устройство для защиты электроустановки от коротких замыканий/ М.Я.Клецель, В.В.Мусин, В.Е.Поля- ков, Л.А.Бурштейн. — Опубл. в Б.И., 1990, № 37.

5. Харазов К.И. Устройства автоматики с магнитоуправляемыми контактами. — М.: Энергоатомиздат, 1990.

6. Клецель М Л., Мусин В.В. О построении на герконах защит высоковольтных установок без трансформаторов тока. — Электротехника, 1987, № 4.

7. Буль Б.К., Шоффа В.Н., Умеренное А.С. Исследование влияния внешнего магнитопровода на параметры реле на герконах. Труды М ЭИ , 1971, вып. 87.

[21.12.92]

О принципах функционирования измерительных органоврелейной защиты и автоматики

ОВЧАРЕНКО Н.И.

Измерительные органы автоматических устройств управления и защиты электроэнергетических систем функционируют на основе информации о принужденных составляющих напряжений и токов [1, 2]. Сигналами являются принужденные колебательные составляющие промышленной частоты вторичных напряжений и токов измерительных трансформаторов с изменяющимися информационными параметрами: амплитудой, фазой и частотой. Обработка информации производится элементами сравнения амплитуд или фаз двух сравниваемых величин, сформированных из указанных составляющих входных воздействующих величин — напряжения и тока. Изменения частоты обычно преобразуются в изменения амплитуд или угла сдвига фаз двух сравниваемых величин.

Разработанная [3] теория построения различных измерительных органов обеспечивает их реализацию при любой характеристической величине как на основе принципа сравнения амплитуд, так и сравнения фаз. Поэтому по мере развития элементной базы измерительные органы, независимо от их характеристической величины, выполнялись то исключительно на электромагнитном устройстве или диодном элементе сравнения амплитуд, то на индукционном устройстве или диодном элементе сравнения фаз двух сравниваемых величин. Они различались простотой или сложностью технической реализации, обусловленной необходимостью формирования сравниваемых величин из входных воздействующих электрических величин.

При информационном соответствии функционального назначения измерительного органа принципу действия элемента сравнения его ре

ализация оказывалась простой, например, измерительное реле полного сопротивления, реагирующее на абсолютное значение отношения напряжения и тока, выполняемое на элементе сравнения амплитуд, или измерительное реле направления мощности, реагирующее на угол сдвига фаз между напряжением и током, выполняемое на элементе сравнения фаз.

При информационном несоответствии реализация измерительного органа и его настройка существенно усложнялась. Примерами являются индукционное измерительное реле полного сопротивления [2], выполняемое на устройстве сравнения фаз, измерительное реле активной мощности [4], выполняемое на основе элемента сравнения квадратов амплитуд, или измерительный орган ограничения потребляемой синхронным генератором реактивной (в зависимости от активной) мощности [5], выполняемой на элементах сравнения амплитуд двух сформированных из напряжения и тока электрических величин.

Сложным оказалось измерительное реле направления мощности обратной последовательности на трехфазном диодном элементе сравнения амплитуд [6]. Его исполнение на трехфазном диодном элементе сравнения фаз напряжения и тока обратной последовательности или реализации указанного измерительного органа ограничения потребляемой синхронным генератором реактивной мощности [5] получается значительно проще. Поэтому в выпускаемой промышленностью направленной дифференциально-фазной высокочастотной защите реле направления мощ ности обратной последовательности выполняется на современном, реализуемом на интегральных


22 О принципах функционирования релейной защиты ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

микросхемах, время-импульсном трехфазном элементе сравнения фаз напряжения и тока обратной последовательности [7].

Осуществление комбинированных измерительных органов, реагирующих как на отношение амплитуд, так и на угол сдвига фаз, особенно измерительных органов направленного сопротивления, на основе принципов сравнения амплитуд или фаз по сложности технической реализации практически одинаково. Их современное выполнение исключительно на основе принципа сравнения фаз [8] определяется его функциональными [9, 10] и информационными [5] преимуществами, а также большим разнообразием способов технической реализации сравнения фаз [5, 8, 11].

Основным функциональным достоинством измерительных органов, функционирующих на основе сравнения фаз указанных принужденных составляющих входных воздействующих величин, является их быстродействие, имеющее важное значение для эффективности действия автоматических устройств управления и защиты электроэнергетических систем [1, 2, 4, 5 — 12]. При переходных процессах в электроэнергетической системе входные воздействующие величины содержат свободные апериодические и колебательные и принужденные гармонические составляющие. Они должны задерживаться частотными фильтрами измерительного органа.

Время установления фазы тока

*вых(0 — *св(0 *пр(0 ~ ш( ~~ е ) *I _ t/T . (1)x cosa >и— е Tsina>r

на выходе полосового резонансного частотного фильтра при нулевых начальных условиях переходного процесса в нем и заданной допустимой приведенной погрешности в несколько раз меньше времени установления его амплитуды [9, 10].

Амплитудная погрешность А1т фиксируется в моменты времени прохождения принужденной составляющей / ( f ) [10] через амплитудное значение и, в частности, при подключении фильтра с постоянной времени г к синусоидальной ЭДС с нулевой начальной фазой ф = 0 и ее относительное значение д ^ является следующей функцией дискретного времени Тк:

_ ы ~ J ък~ j

7m- /m( l - e - V T) _ _ _ V T(2)

где Тк= Гп/ 4 + кТи/2 , /г=0,1,...,/г; Гп — длительность периода принужденного тока.

Фазовая погрешность Ахр определяется в моменты времени прохождения принужденной составляющей / ( f ) через нулевые значения [9, 10] ее относительное значение дфк в соответствии с (1 ) может быть представлено, в частности, при ф=л / 2 [10] следующей функцией дискретного времени:

arctgm l m ( l - e - W )

■ Н - (з )

При добротности фильтра ш/> >1 и Тк>т приближенно можно считать, что

5 е - У 7^ (л/2)ап{1—е~~ к/'т)

< >~УТ — . (4)(ПТ V '

Как видно из (4), фазовая погрешность значительно меньше амплитудной. При заданной допустимой относительной динамической погрешности dkjx времена fya и f ф установления амплитуды и фазы согласно (2) и (4) приближенно равны:

б у а « П п ^ уф« г 1 п ^ , (5)

т.е. время ty ф значительно меньше времени fya.Быстродействие измерительного органа, реа

гирующего на угол сдвига фаз между принужденными синусоидальными составляющими входных воздействующих величин (напряжением U и током /) , в частности измерительного реле направления мощности, принципиально зависит от принципа сравнения электрических величин: сравнения по фазе напряжения U и тока / или сравнения амплитуд сформированных из них ЭДС (3):

E i=kU +Z I; E2 = k U -Z I. (6)

Действительно при одинаковых частотных фильтрах в цепях напряжения и тока или сравниваемых величин, функционирующих при нулевых начальных условиях их переходного процесса, соотношение фаз ф напряжения U и тока /, фиксируемое элементом сравнения фаз, и соотношение амплитуд сравниваемых ЭДС Е ъ Е2 (рис. 1,я), фиксируемых элементом сравнения амплитуд в течение переходного процесса однозначно. Однако угол сдвига фаз ф между напряжением и током устанавливается с самого начала переходного процесса и практически не изменяется, а амплитуды сравниваемых ЭДС E v Е2 экспоненциально нарастают ( £ " > £ ') . Поэтому практически быстродействие реле зависит от принципа сравнения электрических величин. Если считать, что для срабатывания реле направления мощности на элементе сравнения фаз необходимы некоторые минимальные значения амплитуд напряжения и тока, а для срабатывания реле на элементе сравнения амплитуд — такое же значение разности существенно больших амплитуд Е ъ Е2 , то реле на элементе сравнения фаз должно иметь меньшее время срабатывания.

Именно благодаря этому обеспечивается малое (в пределах Тп/2) время срабатывания указанного [7] измерительного реле направления мощности обратной последовательности при двух последовательно соединеных с одинаковыми постоянными времени г—7,5*1 ~~б с полосовом и фильтре нижних частот, время установления амплитуды на выходе которых на уровне 0,95 составляет ty а~ 5г~ 2Г п.

При используемых в современных измерительных реле время-импульсных элементах сравнения указанное различие в быстродействии измерительного реле направления мощности обусловливается различием мгновенных значений сравниваемых величин, по которым формируются



При сравнении фаз (рис.2,а)

Em<pmin=U/ sinajAt (7)и не зависит от угла гр сдвига фаз между сравниваемыми ЭДС. При сравнении амплитуд необходимы большие амплитуды сравниваемых ЭДС, зависящие от угла сдвига фаз. В частности при гр=п/2 и 2Гт1 =~Ет 2 ~Ет (рИС. 2,6)

(V2/2)Emamm+Ua ^mamin *

х sm(ji/4+coAt)

и минимально необходимые амплитуды

Р и с . 1 . В е к т о р н ы е д и а г р а м м ы , и л л ю с т р и р у ю щ и е д е й с т в и е и з м е р и т е л ь н ы х о р г а н о в н а п р а в л е н и я м о щ н о с т и (а) и п о л н о г о с о п р о т и в л е н и я ( б )

s i n + c o s о > Д г— 1 (8)время-импульсные сигналы. Время-импульсные сигналы £/ф элемента сравнения фаз формируются по моментам времени перехода мгновенными сравниваемыми величинами е1у е2 через нулевые значения (рис. 2 ,я), а сигналы Ua элемента сравнения амплитуд — по моментам времени, соответствующим равенствам их абсолютных мгновенных значений | ех | = | е2 1 (рис. 2,6). Поэтому при заданной погрешности At длительностей ta прямоугольных импульсов [/ф, С/а, обусловленной конечной чувствительностью релейного компаратора, характеризуемой напряжением его действия *УД и отпускания U0, в частности одинаковыми и одного

знака (при коэффициенте отпускания однопорогового компаратора /с0=£/0/£ /д= 1 ) необходимы разные минимальные амплитуды Етфт[п, Ет amin синусоидальных величин, сравниваемых по фазе и амплитуде.

При 2Д ^ 0 ,1Г п/2 согласно (7) и (8)

'татт^ 'тфтт~'^// ' * (^)

Для нарастания амплитуды до £ mamin> >Етфт |п при нулевых начальных условиях пе-

. реходных процессов в частотных фильтрах необходимо соответственно большее время.

Измерительные органы, функционирующие на основе соотношения амплитуд, в частности измерительного реле полного сопротивления, согласно (5) потенциально инерционны независимо от принципа сравнения электрических величин, При установке частотного фильтра в цепи тока, т.е. при

практической синусоидальности вторичного напряжения измерительного трансформатора, измерительное реле полного сопротивления может сработать только после нарастания амплитуды (при Ш = = const) на выходе фильтра, в частности до соответствующего 1 Z l" 1 > \kU\ (рис. 1,6), при сравнении амплитуд напряжения и тока или до нарастания угла сдвига фаз до

( ПРИ V»' < ^ ср) м ^ -ду ЭДС Е2, формиру- емыми согласно (6) при сравнении их фаз.

При одинаковых частотных фильтрах в цепях напряжения и тока или сравниваемых ЭДС и нулевых начальных условиях

их переходных процессов инерционность измерительного реле полного сопротивления на элементе сравнения фаз ЭДС E v Е2, формируемых согласно (6) практически устраняется, а на элементе сравнения амплитуд напряжения U и тока

Р и с . 2 . В р е м е н н ы е д и а г р а м м ы ф о р м и р о в а н и я в р е м я - н м п у л ь с н ы х с и г н а л о в п р и с р а в н е н и и ф а з (а) и а м п л и т у д ( б ) д в у х с р а в н и в а е м ы х с и н у с о и д а л ь н ы х в е л и ч и н


24 О принципах функционирования релейной защиты «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

L, — существенно снижается, поскольку угол сдвига фаз ^ между сравниваемыми ЭДС Еь Е2 практически в течение переходного процесса в фильтре не изменяется (рис. 1 ,я), а соотношение изменяющихся амплитуд напряжения и тока однозначно.

П оэтому необходимы лишь меньшее указанное время для нарастания минимальных амплитуд E v Е 2 и большее время для нарастания разностей существенно больших амплитуд U, 1_ до необходимых для срабатывания реле полного сопротивления значений.

Рис. 3. Характеристики срабатывания и граничные характеристики элементов сравнения амплитуд (а) и фаз (б);

Преимущество принципа сравнения фаз в информационном смысле состоит в том, что при одинаковой допустимой статической погрешности характеристики срабатывания измерительного органа релейного действия необходимое количество информации на входе измерительного органа, функционирующего на основе принципа сравнения фаз, меньше, чем при его реализации на элементе сравнения амплитуд.

Отличие характеристики срабатывания 1 (рис. 3 ,а,6) от граничной характеристики 2 за счет указанной погрешности д W или дхр обусловливается принципиально необходимой для устойчивости функционирования измерительного органа конечной чувствительностью нуль-индикатора, характеризуемой напряжением его действия U,дни*

д\У= —_L ни •* V *п Е ’

( 10)

дгр= i - l arccos ~~• lij JT lrи„

% (11)

где Wrр=1 для элемента сравнения амплитуд; |^гр|=тг/2 для элемента сравнения фаз; кп — коэффициент передачи элемента сравнения; Е — абсолютное значение большей из сравниваемых величин.

Погрешности возрастают по мере снижения абсолютных значений сравниваемых величин. Допустимые погрешности 6 Wд и <5 д согласно (10) и (11) ограничивают минимальные рабочие абсолютные значения Е = £ раб.

При аддитивной погрешности и равномерном законе распределения плотностей вероятностей

/значений сравниваемых величин число различимых значений информационного параметра, практически обратно пропорциональное погрешности, определяет информационную способность элементов сравнения амплитуд и фаз:

N ==^п(, 1тах ^1раб)_ ^1тах 1 .АЕ„ dW„ (12)

N __ п( тах раб) _ тахФ" и„ ЕП с о 8 [ ( я / 2 ) / ( 1 - ^ д ) ] > (13)

где АЕП=ЕП — порог чувствительности:

ЛЕп=Еп=ицми/кп .

Информационная способность определяет количество информации, необходимое для ограничения относительной погрешности характеристики срабатывания, т.е. определяет «цену» одной единицы (1 бит) количество информации на выходе элемента сравнения релейного действия. Из условий равенства количества информации на входах элемента сравнения lnjVa= =1пМф при E lmax=Emax, получается соотношение

dW^/dip^ -п / 2 , (14)

означающее, что при одинаковом количестве информации элемент сравнения фаз имеет меньшую погрешность, чем элемент сравнения амплитуд, или что при одинаковых допустимых относительных погрешностях на входе элемента сравнения фаз требуется меньшее количество информации.

Принцип сравнения фаз обладает более широкими, чем принцип сравнения амплитуд, функциональными возможностями и более технически рационален в плане построения измерительных органов со сложными характеристиками в комплексной плоскости отношения входных воздействующих величин, особенно измерительных реле сопротивления дистанционных защит сильно нагруженных и протяженных линий электропередачи высокого и сверхвысокого напряжения. На основе сравнения фаз несколько сформированных из входных воздействующих напряжения и тока сравниваемых электрических величин относительно просто формируются характеристики в комплексной плоскости необходимой конфигурации в виде комбинаций отрезков прямых и дуг окружностей [8, 11, 13]. Наконец принцип сравнения фаз оказался весьма плодотворен при использовании для функционирования измерительных органов ортогональных составляющих принужденных напряжения и тока промышленной частоты как, по-видимому, наиболее перспективного направления технического совершенствования измерительных органов [14].

В связи с указанными достоинствами при отсутствии ограничений технической реализации на современной как аналоговой, так и дискретной, особенно цифровой, элементной микроэлектронной базе принцип сравнения фаз получил практически исключительное применение при разработке измерительных органов с двумя входными воздействующими величинами современных автоматических устройств управления и



защиты электроэнергетических систем. Из известных разнообразных, как указывалось, способов его реализации, наиболее широко используется время-импульсный способ [8, 11—14].

В аналоговых измерительных органах время- импульсный сигнал обычно или сопоставляется с установленным временем задержки или преобразуется в максимальное мгновенное напряжение, изменяющееся в функции угла сдвига фаз, которое затем сравнивается с некоторым постоянным напряжением, моделирующим заданный или граничный угол измерительных органов релейного действия, определяющей их характеристику в комплексной плоскости.

В дискретных измерительных органах, выполняемых на элементах сравнения фаз, функционирующих по логическим алгоритмам, время- импульсные сигналы используются непосредственно для формирования выходного потенциального сигнала.

В цифровых измерительных органах из вре- мя-импульсного сигнала формируется число-импульсный, который превращается затем в двоичный код, обрабатываемый микропроцессором или микроЭВМ.

Характерными примерами являются измерительный орган непрерывного действия с двумя подведенными воздействующими величинами, а именно ЭДС синхронного генератора и напряжением на шинах электростанции, и измерительный орган частоты микропроцессорного автоматического регулятора возбуждения сильного действия [15].

Областью использования принципа сравнения амплитуд, в частности амплитуды с заданным ее значением, естественно являются измерительные органы как непрерывного, так и релейного действия с одной входной воздействующей величиной — напряжением или током, характеристической величиной которых является абсолютное (амплитудное, действующее или среднее) их значение и измерительное реле полного сопротивления. При этом, особенно при построении измерительных органов на основе ортогональных составляющих целесообразно использование квадратов амплитуд.

Характерными примерами аналоговых [16] и цифровых [15] измерительных органов амплитуд напряжения и тока являются измерительные органы непрерывного действия автоматических регуляторов возбуждения синхронного генератора

невозможные измерительные органы напряжения и тока релейного действия [13].

_________________ СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ___________________

1. Автоматика электроэнергетических систем / О .П А л ек- сеев, В.Е.Казанский, В.Л.Козис и др. Под ред. В.Л.Козиса и Н.И.Овчаренко. — М.: Энергоиздат, 1981.

2. Федосеев А.М. Релейная защита электроэнергетических систем. Релейная защита сетей. — М.: Энергоатомиздат, 1984.

3. Фабрикант В.М. Основы теории построения измерительных органов релейной защиты и автоматики. — М.: Высшая-школа, 1968.

4. Розенблюм Ф.М. Измерительные органы противоава- рийной автоматики энергосистем. — М.: Энергоиздат, 1981.

5. Овчаренко Н.И. Полупроводниковые элементы автоматических устройств энергосистем. — М.: Энергоиздат, 1981.

6. Левиуш А.И., Медведева Л.Н., Сапир Е.Д. Быстродействующее реле направления мощности обратной последовательности. — Электричество, 197 ‘2, № 6.

7. Дони Н А ., Левиуш А.И., Надель Л А . Реле направления мощности обратной последовательности. — Электротехника, 1985, № 8.

8. Шнеерсон Э.М. Дистанционные защиты. — М .: Энер- гоатомиздат, 1984.

9. Лямец Ю Л., Шевцов В.М. О фазовых соотношениях при переходном процессе в высокодобротном колебательном контуре.— Электричество, 1975, № 5.

10. Овчаренко Н.И. Прохождение через резонансный фильтр сигналов, представляемых амплитудой или фазой тока промышленной частоты. — Электричество, 1976, № 3.

11. Лысенко Е.В. Функциональные элементы релейных устройств на интегральных микросхемах. 2 изд, пер. и доп. — М.: Энергоатомиздат, 1990.

12. Быстродействующие преобразователи параметров режима электрических сетей / В.Г.Киракосов, Я.Н.Лугинский, АН.Новаковский, В.К Стрюцков. — М.: Энергоатомиздат, 1986.

13. Темкина Р.В. Измерительные органы релейной защиты на интегральных микросхемах. — М.: Энергоатомиздат, 1985.

14. Овчаренко Н.И. Аналоговые и цифровые элементы автоматических устройств энергосистем. — М .: Энергоатомиздат, 1989.

15. Комплект аппаратуры управления возбуждением мощных гидротурбогенераторов и синхронных компенсаторов/ Г.Р.Герценберг., В.Е.Каштелян, В.Г.Любарский и др. — Электротехника, 1979, № 4.

16. Унифицированный автоматический регулятор возбуждения сильного действия на полупроводниковых элементах/ М.И.Покровский, О.А.Леус, Н.В.Любарская и др. — Труды ВЭН, 1977, вып. 83.

[25.03.92]

А в т о р ; Овчаренко Николай Ильич окончил электроэнергетический факультет Всесоюзного заочного политехнического института в 1953 г. В 1992 г. защитил докторскую диссертацию по теме «Электрические станции, электрические системы и управление ими» в Московском энергетическом институте (МЭИ).

Доцент кафедры релейной защиты и автолш- тики МЭИ.


Метод оценки коэффициента гармоник по напряжению вавтономных энергосистемах

КУТУЗОВ с.и.

В практике проектирования автономных систем электроснабжения (СЭС) возникает необходимость предварительной оценки несинусо- идальности напряжения, основным нормативным показателем которой является коэффициент гармоник по напряжению:

v T “-к ги = - ^ — • 100% , (1)

где U1 и Un — действующее значение основной и /7-й гармоник фазного напряжения на шинах СЭС, соответственно.

При этом в соответствии с [1] структура СЭС приводится к упрощенной, как показано на рис. 1. Режим работы системы принимается симметричным. \

ВП~ вентильный преобразовательZH-линейная

нагрузка

Рис. 1. Упрощенная структурная схема СЭС: СГ — синхронный генератор; ВП — вентильный преобразователь;

Z H — линейная нагрузка

В отличие от СЭС общепромышленного назначения, в которых основным источником высших гармоник является вентильный преобразователь [2], в автономных энергосистемах значимыми являются как статические, так и электромеханические источники нескнусоидальности. Это подтверждается семейством расчетных и экспериментальных кривых на рис. 2, выражающих значение коэффициента гармоник по напряжению Кгц на шинах типовой самолетной СЭС, состав оборудования которой приведен на том же рис. 2. Пунктирные кривые — расчетные зависимости параметра KrU от мощности нагрузки Pd на выпрямленном токе при фиксированных значениях мощности линейной статической нагрузки SH(cos^>H), полученные в соответствии с известной методикой определения высших гармоник на шинах СЭС [1], учитывающей вентильный преобразователь как единственный значимый источник несинусоидальности в системе; сплошные — экс-

Рис. 2. Зависимость коэффициента гармоник от мощности нагоузки на выпрямленном токе при cos <р = 0 ,9 (для СГ —S"oM= 30 кВ А, для ВП - Рном = 6к В т ) :---------- ---------------- - расчет пометодике [1]; ----------------- — эксперимент; 1 — 5 М = 5 кВ А; 2 —15 кВ А; 3 — 25 кВ-А

перимент. Существенное расхождение соответствующих расчетных и экспериментальных значений параметра KrU свидетельствует о значимости в самолетных СЭС не только вентильного преобразователя, но и синхронного генератора как источника высших гармоник. Отмеченная специфика несинусоидальных режимов самолетных СЭС связана с малым удельным весом преобразовательной нагрузки в общем балансе мощностей (не превышает 30% номинальной мощности генератора), а также с несущественной по сравнению с общепромышленной СЭС электрической удаленностью генераторов от узлов нагрузки.

Таким образом, корректная оценка несинусоидальности напряжения в автономных СЭС по методике, изложенной в [1], возможна только при высокой степени загрузки генератора преобразовательной нагрузкой.

Сущность предлагаемого метода оценки коэффициента гармоник по напряжению на шинах СЭС со значимым статическими и электромеханическими источниками несинусоидальности основана на допущении о независимости синхронного генератора и вентильного преобразователя как источников высших гармоник при фиксированных значениях параметров режима Prf,S H и cos<pH. Правомерность такого допущения была обоснована серией экспериментов по определению влияния линейной преобразовательной нагрузки на действующие значения наиболее вы-


(ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Метод оценки коэффициента гармоник 27

Рис. 3. Зависимость действующих значений 5 -й (а) и 7 -й (б) гармоник фазного напряжения генератора от мощности линейной и преобразовательной нагрузок: 1 — для генератораГТ60ПЧ6А; 2 — для генератора ГТ40П46; ------- -------------U §=/(S„) ( a ) , ( б ) ; ------------------------- ) ( а ) ,

£Л=Д5вп) (б)

раженных высших гармоник напряжения генератора U]v На рис. 3 представлены результаты эксперимента по определению действующих значений 5-й и 7-й гармоник фазного напряжения авиационных синхронных генераторов двух типов, работающих в отдельности как на линейную, так и на условно-двенадцатифазную выпрямительную нагрузки при равенстве их коэффициента мощности.

Корректность эксперимента по определению и сопоставлению влияния линейной и выпрямительной нагрузок на действующие значения указанных выше гармоник напряжения генератора подтверждается тем, что в соответствии с [1] в спектре гармоник напряжения, генерируемых в СЭС условно-двенадцатифазным преобразователем, присутствуют гармоники 11-го и выше порядков, в то время как объектом исследования были выбраны гармоники 5-го и 7-го порядков. Из этого следует, что оцениваемые 5-я и 7-я гармоники напряжения в системе присущи только синхронному генератору как источнику несину- соидальности. Анализ зависимостей, представленных на рис. 3(а,б) показал, что для заданного значения мощности линейной 5Н и выпрямительной 5вП нагрузок относительное расхождение ординат соответствующих кривых не превышает допустимую погрешность используемого в эксперименте гармонического анализатора.

Другим подтверждением равноценного влияния линейной и выпрямительной нагрузок на высшие гармоники напряжения, генерируемые электрической машиной, являются результаты эксперимента по определению действующих значений 9-й гармоники фазного напряжения синхронного генератора при работе последнего как на симметричную линейную нагрузку, так и на симметричную выпрямительную нагрузку соответственно. В качестве последней было использовано трансформаторно-выпрямительное устройство трехфазного мостового типа. При проведении эксперимента коэффициент мощности линейной нагрузки поддерживался равным коэффициенту мощности указанной выше нелинейной нагрузки. Возможность объективного сопоставления влияния линейной и нелинейной нагрузок на синхронный генератор как источник 9-й гармоники обеспечивалась следующими условиями проведения эксперимента:

выбором порядка исследуемой гармоники напряжения генератора;

равноценными значениями коэффициентов мощности линейной и нелинейной нагрузок;

идентичным (изолированным) режимом нейтралей обеих нагрузок.

Выбор в качестве объекта исследования 9-й гармоники напряжения генератора продиктован отмеченным требованием несоответствия порядков исследуемых гармоник генератора порядкам высших гармоник, генерируемых в систему вентильным преобразователем. Так как в соответствии с [1] порядок высших гармоник, генерируемых в СЭС одномостовым преобразователем, определяется как 6р ± 1 (р — целое), т.е. /1 = 5,7,11,13 и т.д., то выбор в качестве объекта исследования 9-й гармоники напряжения обусловливает принадлежность данной гармоники к синхронному генератору. Идентичность режима нейтралей линейной и выпрямительной нагрузок обеспечивала равноценные условия работы генератора как источника 9-й гармоники на указанные нагрузки. Кроме того, выбор изолированного реле режима нейтрали сетевой обмотки выпрямительного трансформатора исключал возможность генерирования в систему 9-й гармоники тока

чВологодская областная универсальная научная библиотека

www.booksite.ru

28 Метод оценки коэффициента гармоник (ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

намагничивания трансформатора. Таким образом, перечисленные условия проведения эксперимента обеспечивают объективность сопоставления влияния линейной и выпрямительной нагрузок на исследуемую гармонику напряжения синхронного генератора. Результаты опыта представлены на рис. 4. Как следует из данного рисунка, зави-

Рис. 4. Зависимость действующего значения 9 -й гармоники фазного напряжения для синхронного генератора П Т-1000Ц С (ном инальная мощ ность 1 0 0 0 В А ) : ------------------- t /5= /(S H);

------------------ U§=f(S~)

симости Ug=f(SH) и Ug—fiS^) имеют одинаковый характер. Ординаты кривых отличаются друг от друга на значения, не превышающие погрешность используемого в эксперименте гармонического анализатора.

Приведенные результаты экспериментов позволяют сделать вывод о том, что режим работы асинхронного генератора как источника высших гармоник определяется его нагрузкой по основной гармонике и не зависит от высших гармоник, генерируемых в систему вентильным преобразователем.

Независимость вентильного преобразователя как источника высших гармоник от режима работы генератора как источника несинусоидальности очевидна и подтверждается приведенным в [1] допущением о представлении генератора источником синусоидальной ЭДС при анализе гармонических искажений, вносимых в энергосистему преобразователем.

Таким образом, при фиксированных значениях параметров режима Pd, SH и cos (рн синхронный генератор и вентильный преобразователь могут рассматриваться как независимые источники высших гармоник, а искомое значение коэффициента гармоник по напряжению на шинах СЭС может быть определено как результат совокупного действия указанных выше источников гармонических искажений.

Учитывая изложенное, количественное определение параметра KrU на шинах автономной СЭС при заданных параметрах режима Pd, SH и cos^H может быть условно разбито на три этапа:

определение действующих значений высших гармоник напряжения U%n на шинах СЭС от дей

ствия статического преобразователя в соответствии с [1]; j

определение действующих значений высших гармоник напряжения £/£ на шинах СЭС от действия синхронного генератора, нагруженного на суммарную линеаризованную нагрузку S системы;

определение искомого значения коэффициента гармоник KrU в соответствии с (1).

Решение первого этапа задачи применительно к СЭС с двенадцатифазным преобразователем приводится в соответствии с известным из [1] выражением:

ттВП^ 6En s Un V2 jvck

X(2)

sin(w-l)^- sin(w+l)^--i 2

/ 7 - 1 / 7 + 1+ 4-

sin(/7 —l)^sin(/7 + l ) y

/ 7 - 1 / 7 + 1sin2 ,

где Em — амплитуда эквивалентной фазной ЭДС системы; xs — эквивалентное индуктивное сопротивление схемы замещения СЭС относительно вентильного преобразователя; хк — индуктивное сопротивление контура коммутации: x K=xs+xT; хт — индуктивное сопротивление рассеяния трансформатора в цепи преобразователя, приведенное к шинам СЭС; у — угол коммутации; ф -ал-у/2 \ а — угол управления; п — порядок высших гармоник напряжения на шинах СЭС от действия двенадцатифазного преобразователя, определяемый как 12/7±1, где р = 1, 2, 3 ... .

Решение второго этапа задачи начинается с определения суммарной линеаризованной нагрузки системы S=P+jQ, активная и реактивная составляющая которой определяются из очевидных выражений:

Р = — + Рн ;>>вп н (3)

Q= Р“- ~*ДЯ + С>„ , *1вп Хвп н (4)

где 1]рп и хвп ~ КПД и коэффициент мощности вентильного преобразователя для заданной его нагрузки Pd, определяемые по энергетическим характеристикам преобразователя; Рн и QH — активная и реактивная мощности линейной нагрузки системы.

Определение действующих значений напряжений высших гармоник £7JJ, вносимых в системугенератором при заданной его нагрузке S=P+jQ , требует знания зависимостей L^=/(PH, QH), полученных при работе генератора на линейную нагрузкуSH= PH+jQ H- Определение указанных зависимостей аналитическим путем является сложной нелинейной задачей, методы решения которой не разработаны [3, 4]. В связи с этим зависимости L^=/(PH,(? H) могут быть получены только опытным путем. Анализ проведенных статистических испытаний пяти образцов авиационных генераторов Типа ГТ60ПЧ6А различных серий сборки показали высокую стабильность зависимостей L^=/(PH,Q H) по образцам, что свидетельствует о достаточно высоком технологическом уровне их изготовления и дает возможность включать эти


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Метод оценки коэффициента гармоник 29

зависимости в каталожные данные генераторов. Таким образом, определение на втором этапе решения задачи значений lFn производится по экспериментальной зависимости Щ=/(РН, (?н) Ддя заданного значения линеаризованной нагрузки генератора S=P+jQ , определенной с помощью выражений (3 ) и (4).

На стадии третьего этапа решения задачи производится определение искомого значения параметра KrU при заданных значениях параметров режима системы Pd, 5Н, cos^ H. Непосредственная оценка параметра KrU в соответствии с (1) осложняется отсутствием каких-либо методов определения взаимных фазовых сдвигов между высшими гармониками генератора и вентильного преобразователя одноименных порядков. По этой причине оценка параметра KrU для заданных значений параметров режима системы Pd, 5„ и cos Фн производится в виде интервала [К~и; К^и], верхняя и нижняя границы которого определяются соответственно совпадающими и противоположными фазами одноименных гармоник генератора и преобразователя: __________

п—3и, « кTU*

п — 3ил (5)

или KrU^KrU^Kû.Учитывая то обстоятельство, что современные

регуляторы напряжения генераторов автономных

Рис. 5. Зависимости коэффициента гармоник по напряжению от мощности нагрузки на выпрямленном

токе Krii=f(Pd) и Kru-f{Pd)а — при 5 н= 5 к В 'А и cos^ h^ O ^ ; б — при 5,н= 1 5 к В А и

cos <рп= 0 ,9 ; ------- ------ - —р а с ч е т ;------ ----------- эксперимент

СЭС имеют малый статизм и настройку измерительного элемента на основную гармонику регулируемого напряжения, значение в (5) может быть с достаточной точностью принято равным установке регулятора.

Изложенная методика определения параметра KrU в автономных энергосистемах была апробирована на типовых самолетных СЭС. На рис. 5 представлены расчетные значения Kû-f(Pd) и K~u=f(Pd) при фиксированных значениях мощ ности линейной нагрузки SH(co s^ H) для системы, в состав оборудования которой входит синхронный генератор типа ГТ30НЖ Ч12 и условно двенадцатифазное выпрямительное устройство типа ВУ-6Б, номинальные мощности которых соответственно равны 30 кВ А и 6 кВт. На рис. 5 приведены также экспериментальные значения параметра KrU, все они не выходят за пределы расчетной зоны. Ширина расчетного интервала \К и\ Krfj] при заданных значениях параметров режима Pd, SH и cos^>H не превышают 15% соответствующего экспериментального значения KrU, что не выходит за пределы требований, предъявляемых к точности решения практических задач гармонического анализа и изложенных в [5]. Приемлемая для практики ширина расчетного интервала [К~и; К+и\ в СЭС с двенадцатифазным преобразователем обусловлена тем, что в соответствии с {1] в спектре высших гармоник, генерируемых таким преобразователем, наиболее значительными являются гармоники 11-, 13-, 23-, 25-го порядков, в то время как наиболее значимыми гармониками ЭДС генератора являются гармоники п 7 [6].

Следует отметить, что приведенный подход к оценке параметра KrU не может быть рекомендован для СЭС с шестифазным преобразователем из-за существенной ширины расчетного интервала [К~ц, К+и\, что, в свою очередь, связанос соизмеримостью действующих значений 5-й и 7-й гармоник напряжения генератора и шестифазного преобразователя в (5 ) в рабочем диапазоне изменения параметров Pd и 5Н.

Таким образом, описанный подход к определению интервала возможных значений параметра KrU ограничивается только СЭС с двенадцатифазными преобразователями.

Изложенный метод определения несинусои- дальности напряжения в автономных энергосистемах с двенадцатифазными преобразователями обеспечивает с достаточной для практики точностью оценку параметра KrU и может быть использован на стадии проектирования СЭС без проведения предварительных натурно-стендовых испытаний. Таким образом, использование предлагаемого метода позволяет еще на стадии проектирования автономной энергосистемы однозначно решить вопрос о необходимости установки в СЭС средств ограничения высших гармоник.


30 Возбуждение криорезистивной обмотки «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

_________ __ С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы _ _ _ _ _ _ _

1. Глинтерник С.Р. Электромагнитные процессы и режимы мощных статических преобразователей. — Л.: Наука, 1970.

2. Маркушевич Н.С., Солдаткина Л.А. Качество напряжения в городских электрических сетях. — М.: Энергия, 1975.

3. А.с. 1 20 3 44 3 (СССР). Способ определения ЭДС и индуктивного сопротивления синхронного генератора/ Н.Г.Ш ироков, С.И.Кутузов. Опубл. в Б.И., 1986, № 1.

4. Широков Н.Г., Кутузов С.И. Метод определения ЭДС и индуктивных сопротивлений синхронных генераторов малой мощности на частотах высших гармоник. — Электричество, 1986, № 4.

5. Арриллага Дж., Брэдли Д., Боджер П. Гармоники в электрических системах.— М.: Энергоатомиздат, 1990.

6. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. — М.: Энергия, 1980.

[06.03.92]

А в т о р : Кутузов Сергей Иванович окончил электроэнергетический факультет Московского энергетического института в 1974 г. В 1988 г. защитил кандидатскую диссертацию по тематике «Несинусоидальные режимы работы самолетных энергосистем». Доцент Военно-воздушной академии им. Н.Е.Жуковского.

Возбуждение криорезистивной обмотки от емкостного накопителя при наличии магнитосвязанного контура

БОЛЮХ В.Ф.

Для обеспечения значительных импульсных усилий в электромеханических устройствах ударного действия с емкостными накопителями энергии обмотки возбуждения должны кратковременно нести высокую нагрузку и создавать сильное импульсное магнитное поле. Устройства такого типа используются, в частности, для горных и буровых работ, возбуждения сейсмических колебаний, для различного рода электромагнитных пускателей, ускорителей макрообъектов, катапульт и др. [1—3]. В указанных устройствах представляется перспективным использование криорезистивных обмоток возбуждения (КОВ) — обмоток из хорошо проводящих металлов, охлаждаемых криогенными жидкостями [4, 5]. Охлаждение токопроводящих элементов приводит к снижению сопротивления, что позволяет повысить электромагнитные и электродинамические параметры устройства.

Недостатком КОВ является относительно низкое значение критического тока, определяемого из условия теплового баланса, при нарушении которого происходит лавинообразный рост температуры и возможно термическое повреждение обмотки, несмотря на наличие жидкого хладагента [6, 7]. В динамическом режиме возбуждения, при котором мощность тепловыделений превышает отводимое хладагентом тепло, за счет кратковременности нагружения можно достичь плотности тока, многократно превышающей критическое значение для продолжительных режимов работы. Считая температуру по обмотке равномерной из-за малого времени t нагружения и используя уравнение теплового баланса, можно оценить критическую плотность тока как

./крСО= |р/;ов(Г1ф)/вУви' [ п ч С 1{Т кр)1 1+ P i a l (T Kp )]| ,(1 )

где Ткр — критическая температура, соответствующая, например переходу от пузырькового к пленочному режиму кипения криогенной жидкости; Т0 — температура хладагента; р в(Гкр) — удельное сопротивление материала проводника; /в — длина среднего витка; sB — площадь поперечного сечения провода; w — число витков; ш ь Ci(TKp), Ръ a i ( r Kp) — масса, теплоемкость, поверхность охлаждения и коэффициент теплоотдачи КОВ.

Из данного выражения, в частности, следует, что несмотря на малую теплоемкость обмотки при низких температурах за счет короткого времени нагружения происходит увеличение критической токовой нагрузки, что может использоваться на практике в рассматриваемых устройствах. При импульсном режиме работы ударного электромеханического устройства его обмотки возбуждения генерируют сильное магнитное поле, образуя индуктивные связи с иными обмотками, каркасами и другими электропроводящими магнитосвязанными контурами устройства, что влияет на характер процессов в самой КОВ [8].

Рассмотрим влияние коаксиально установленного короткозамкнутого МСК на работу КОВ с высокими токовыми нагрузками при подключении к заряженному до напряжения U0 емкостному накопителю энергии. Интерес, в частности, представляет МСК, имеющий помимо магнитной и тепловую связь с обмоткой, каким является, например, каркас обмотки. Поскольку в КОВ сопротивление существенно зависит от нагрузки, теплофизических параметров и условий охлаждения, а также от генерируемого магнитного поля из-за магниторезистивного эффекта [9], то переходный процесс можно описать системой уравнений


(ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» №. 9 /9 3 Возбуждение криорезистивной обмотки 31

ri{Tx ,B x) ix + Lx% + 0 ; (2)

r2 (T2 >B2 )i2 + L2 ^ + M ^ = 0;(3)

(Tn~ T0)P„an(Tn) + mnCn(Tny ^ - +

+ ( - 1 )"+1 / / K P r^ d s = %r„(Tn ,B n) ;

R"nX"n

Bn( i i ,h )= i jr r f f [B 2n(p,z)+B2n (5)

где л = 1, 2 — индексы КОВ и МСК; /л, гл(Гп Вп), Ьл, Гл, Р„, ап(Тп) - ток, сопротивление,индуктивность, теплоемкость, масса, температура, поверхность охлаждения и коэффициент теплоотдачи; Со — емкость накопителя; М — коэффициент взаимоиндуктивности КОВ и МСК; Я(Г) — коэффициент теплопроводности расположенной между обмоткой и контуром прокладки со средней температурой Г; 0 = Г1- Г 2; s — площадь поверхности прокладки; / — нормаль к участку прокладки ds\ Bn(i1 h ) “ усредненная по объему индукция магнитного поля; Bpn(p ,z ) и Bzn{p,z) — радиальная и аксиальная компоненты магнитного поля, созданного совместно КОВ и МСК в точке p ,z; R n=Rn—fin, z i —~bi, R n—Rn+hn, zz t2 =zM- b 2; z f'2 = zM+ b2\ Rn, 2A„, 2 bn - соответственно средний радиус, ширина и высота токопроводящих элементов; z — аксиальное расстояние между центральными плоскостями КОВ и МСК.

В данной математической модели не учитываются потери и индуктивность накопителя энергии, а также градиенты температур по' сечениям обмотки, контура и прокладки. Поскольку система уравнений существенно нелинейна из-за харак- теристик гп(Тп), гп(Вп), Сп(Тп), ап(Тп), Я(Г), то решения уравнений для последующего расчета на ЭВМ удобно представить в виде рекуррентных соотношений. При совместном решении уравнения (2) и (3 ) можно свести к дифференциальному уравнению

d3i„ d2in din . л

a3~^3+ a 2-^ 2+ a l-J i+ a Oln = (6)

где a0 =r2 (T2 B-^Cq 1; ax= rx(Tfl2= ^2r2(^2^ 2) + rl (^ l^ l )^ 2*> а3 = L iL2- M .

Если для характеристического уравнения

а2а 3 ^а2а 2 +а 1а ^ а 0= 0 , (7)

знак дискриминанта

отрицательный, то все три корня , а2 , «з уравнения (7 ) действительны, и решение уравнения (6) ищем в виде

in=Anl+ А п2 е«2 ‘ + (9)

где Лп1, Ап2> Лпз — произвольные постоянные.Значения корней характеристического уравне

ния при этом равны

av ~ 2(я|_ За i« 3)0,5cos(<р + (у-1)2л \

«2 , (Ю )

где v - 1,2,3; y>=arccos4 ,5 а 1а 2а 3 — а\~13,5а0а2

(в3л|-За1а|)1’5

В окончательном виде выражения для токов с учетом произвольных постоянных, определенных в момент времени tk , равны

Шк+1)=(Р+Я+Р) 1{(реа 1 * 4 +

+ [{сс2 - а з ) ^ 1Лг + (a2- a 2)ea2At-h(a2 - a^)ea3At]En-h

+ [(«з ■ + (а 1 -аз)е“ 2Дг+ (а2 - а 1)еаз ]F„ J,( 11)

где At = tk+x- t k \p=a2a3{a3- a 2)Я = а ха3(ах- а 3) ;

р - а ха2{а2- а 3)\ Ex=a3 1[r2(T2J)2)xХ(ТЪ

B\)^L2ix{tk) - L 2uc{tk)\^2=a3 \rx{Txf i x)Mix{tk) - r 2x

x (T2 ’B2)Lxi2(tk)+ Muc (tk)]-, Fx= a 3 2 ( { r x(Tl J31 )[r2 (T2,

B2 )M2 - r x(Txf i x)L\]-L 2a3CQ l } i x{tk) - r 2 (T2 JB2)x

xMa2i2{tk)+[r2{T2JB2)M2+rx{Txf i x)Ll]uc {tk)); F2=

= «3 2(/‘ziT lfil) x [r +r2 CI ’2~

-M {[r x(TxJ3x)a2-CQ 1 a3 ]ix(tk)+ u c (tk)a2}); uc(tk+i)~~ напряжение емкостного накопителя;

“e(fr+1) = - {peaiAf[a2a3/1 (ffc) - (a2+a3)£1 +

+ F 1 ] + < 2 [ a 1a 3/ 1(^ ) - (a3 + a ^ i + F J + ptfh* x

x [« ia 2/ i ( ^ ) - ( a i + a 2)F i+ F i] } . ( 1 2 )

Если для характеристического уравнения (7) дискриминант больше нуля, то один из корней уравнения a^-d — действителен, а два других — комплексно сопряженные: cc2^=f±jg. В этом случае решения для токов ищем в виде

1п=ВпХ 1+(/1[Вп2со%(gt)+Bn3sin (g t)] , (13)

где Вп1, Вп2, Впз — произвольные постоянные.

В этом случае выражения для корней уравнения (7) находятся как

d -u x+u2-a 2/3a3; /=-0,5;

g-0 ,5V 3(ux-u 2),

где a1>2= [(a 1a2a3/ 6 - a 2/2 7 - a 0a 3 /2 )a J 3 ± D 0’5]1 /3 .

С учетом произвольных постоянных рекуррентные соотношения для токов принимают вид


32 Возбуждение криорезистивной обмотки ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

in{tk+1) = L r + ( /- r f )2] - Ч [(г + /2)/и( W - 2/Е„+ F „ ] ^ + 2f)i,,(tk) + 2/Е„ -F „]cos + g ~ l[d(J2 - g 2 -

-fd)'n(tk)+(g2 +d 2 - f 2 )En+ (f-d )F n]sin д а ) }> , (14)

а напряжение накопителя энергии

uc(.tk + i)= C o 1 \S2 + (J~d)2 ]~ 1 d~ 1 [(g2 +J2 )i1 (tk) -2 fE 1 +

+ F 1 ]ed^ + ( f 1 +g2 r 1 e^ {[d (2 fd -3 f2 +g2 )ii (tk) + (3 - - g2 - d ^ E x + (< /-2 f)Fx]x cos (gAt) +g~ l [{df2 ( f -d ) +

+g2d(d- 3! / ) } / ! ( / * ) +/(3#2+ r f2 - / 2 ) E , + (/'2 - / r f - g 2)F i ] X

xsin(gAf)|>. (15)

Решение уравнения (4) для температуры имеет вид [8]

г , ( ^ 1) = В Д а д - ^ ) +

+ j'«( K(7’,„ В„ V+ToP„an(Tn)d + j х (16)

где е = 2,1; Q =P/?a /J(r /l)rf+A(7T)5 ; — толщина прокладки.

Для расчета двухмерного магнитного поля в точке (p0,z 0), созданного КОВ и МСК, воспользуемся выражениями для составляющих индукции круглого витка с током в цилиндрической системе координат [10]. Учитывая толщину и ширину, а также расстояние между центральными плоскостями обмотки и контура, составляющие результирующего совместного поля можно представить как

2 R,\ 2B p n < t k ) = № i P ( p o ) ~ Ш к ) f Ё ( - ф * 11(z o_ z.7i) 2+

/1 = 1 R’„v= 1+ (Fo +F)2]°’5[( 1 ” Q>5PvnW(Pvn) ; (17)

2 2Bzn(lk) = (2л/<о)“ 1 у .//,(W / У ( - l ) ”+1[(zo - z,-,,) x

77= 1

x [(zo _ zivi)2 + (Po +P)2 ]_ °'5 [E(p,,„)+ (p -p o ) x

х (Р+Ро)~ 1 П(у ,pvn)]dp(18)

где до — магнитная постоянная; K(pvn), E(pvn), П {у , pvn) — полные эллиптические интегралы первого, второго и третьего родов; pvn- { 4/9p0[(z0 + -f z,;,7)2 + (/>o+P)2P 1} 0,5 — модуль эллиптического ин- теграла; y=4pp0(p+p0)~2 — параметр эллиптического интеграла третьего рода; z 1 1 = z ffL; z2 1 = z 'L; z 12= z ''2’ z22==z'2> Jn(tk) = 0>25in(tk)NnX ( b ^ n£n) ~ 1 —

усредненная плотность тока по сечению; Nn — количество витков; £„ — коэффициент заполнения. На основе расчета составляющих магнитного ноля определяются усредненные значения индукции Bn(i 1 , i2) и рассчитываются коэффициенты магнитной нагрузки Уп(*к)= Вп{1\ >*2 У п ( 1к)у определяющие возрастание сопротивления из-за

магниторезистивного эффекта. Проведенное на ЭВМ математическое моделирование электрических, тепловых и магнитных процессов в системе «возбуждаемая криорезистивная обмотка — магнитосвязанный короткозамкнутый контур», основан на уравнениях (5 )—(18) с учетом нелинейных параметров и характеристик, позволило установить особенности переходного процесса.

Для анализа в качестве базовой системы выбрана круглая катушка с обмоткой, содержащей 400 витков медного провода диаметром 0,5 мм и имеющая квадратное поперечное сечение. Средний радиус контура-каркаса такой же, как у обмотки, и равен 85 мм. Контур выполнен медным и имеет поперечное сечение 5х 10 мм 2. Охлаждение обмотки и контура производится жидким азотом. Для возбуждения используется накопитель емкостью 500 мкФ, заряженный до напряжения 4 кВ. На рис. 1 показан характер изменения плотности тока в

Ы1,кД>Н j fKA/nn2

Рис. 1. Временные зависимости плотности тока в КОВ ( __ )и МСК ( ------- ), а также энергии потерь в КОВ (— • — •— ) прикоэффициенте магнитной связи /См: 1 — 0,9; 2 — 0,6; 3 — 0,3

КОВ и в МСК, а также тепловой энергии И/ 1(0 = / , Bx)dt, выделившейся в КОВпри различных значениях коэффициента магнитной связи Km=M (L 1L2)~0,5 между обмоткой и контуром. При значении Км = 0,9 между КОВ и МСК существует и тепловая связь через стеклотекстолитовую прокладку. С приближением контура к обмотке и увеличением магнитной связи в процессе возбуждения обмотки наблюдается рост тока в контуре, что влияет и на ток в самой обмотке: возрастает максимум тока и вре


«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Возбуждение криорезистивной обмотки 33

мя его появления, сужается пик тока из-за ускоренного затухания процесса, однако через определенное время (8—9 мс) затухание замедляется и характер процесса становится более выраженный апериодический. С увеличением магнитной связи в начальный период возбуждения (до 5—7 мс) скорость выделения тепловой энергии в КОВ возрастает, но в последующем — уменьшается.

На рис. 2 для указанных вариантов системы показан характер изменения напряжения конден-

Рис. 2. Временные зависимости напряжения накопителя энергии (..............) и индуктивных напряжений на КОВ (— •— •— )и МСК (х—х —х) при Км: 1 — 0,9; 2 — 0,6; 3 — 0,3

саторного накопителя uc (t) и индуктивных составляющих напряжений на КОВ uLi(t) и на МСК и 1 2 (0 - При отсутствии магнитной связи между контуром и обмоткой в начальный момент времени на последней выполняется равенство иы ~ ис (0)=£/q. С увеличением магнитной связи в это время резко возрастают индуктивные напряжения на обмотке и контуре, значительно превосходя напряжение накопителя энергии. Причем с усилением магнитной связи скорость разряда накопителя возрастает, а через определенное время (4,5—6,0 мс) замедляется.

Характеры изменения температуры и плотности тока КОВ и МСК при наличии между ними хороших магнитной и тепловой связи через тонкую прокладку, но при различной толщине МСК представлены на рис.З в виде параметров £=Ь2 /Ъ1, где Ь{ — аксиальная высота обмотки (/9 уменьшена в 2,5 раза; обозначения на рисунке сохраняются). Влияние МСК на характер тока КОВ заключается в том, что у последнего происходит смещение максимума и изменение его

Рис. 3. Временные зависимости плотности тока и температуры КОВ (-------) и МСК (•------) при е: 1 — 1,0; 2 —

0,5; 3 - 0,25; 4 - 0,125; 5 - 0

амплитуды: чем толще контур, тем раньше наступает максимум тока и увеличивается его амплитуда. Характер изменения максимума тока обмотки проявляется в появлении нового экстремума, соответствующего пику тока контура, его увеличению и снижению собственного (без контура) максимума тока КОВ. С увеличением толщины МСК происходит возрастание индуцированного в нем тока, но плотность тока снижается. Интересны теплофизические процессы в системе: при малой толщине МСК его температура выше и он нагревает обмотку, а с увеличением толщины, наоборот, часть тепла обмотки может отводиться через контур.

Рассмотрим влияние параметров накопителя энергии на характер процессов в системе. При увеличении емкости накопителя и неизменном начальном напряжении U0 происходит незначительное возрастание максимальных значений токов КОВ и МСК, но при этом значительно увеличивается длительность переходного процесса, что приводит к изменению характера электромагнитного процесса — от колебательного к апериодическому затухающему (рис. 4). Следствием этого является резкий нагрев и обмотки и контура, причем температура КОВ выше, а градиент температур между ними стремительно нарастает. Повышение напряжения U0 емкостного накопителя приводит к практически пропорциональному увеличению амплитудных значений токов (рис. 5). На замедление роста токов и


\34 Возбуждение криорезистивной обмотки «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

Р и с . 4 . В р е м е н н ы е з а в и с и м о с т и п л о т н о с т и т о к а и т е м п е р а т у р ы К О В н М С К п р и е м к о с т и н а к о п и т е л я э н е р г и и С о :

1 — 125 мкФ; 2 — 250 мкФ; 3 — 5 00 мкФ

последующий характер процессов влияет возрастающее сопротивление обмотки и контура из-за их нагрева и магниторезистивного эффекта. При этом импульс тока в МСК, возрастая по величине, практически не меняет длительность, в то время как продолжительность токового импульса КОВ заметно увеличивается.

Таким образом, токопроводящий короткозамкнутый контур оказывает существенное влияние на электромагнитные и тепловые процессы в криорезистивной обмотке, возбуждаемой от емкостного накопителя энергии, изменяя, в частности, начальное напряжение, характер и величину токовых импульсов, условия охлаждения и температурные градиенты, что необходимо учитывать при использовании электромагнитных систем подобного типа с криогенным охлаждением для электромеханических устройств ударного действия с емкостным накопителем энергии.

___________________ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ______________________

1. Р я ш е н ц е в Н .П ., Р я ш е н ц е в В .Н . Электромагнитный привод линейных машин. — Новосибирск: Наука, 1985.

2. А н д р е е в А .Н ., Б о н д а л е т о в В .Н . Индукционное ускорение проводников и высокоскоростной привод. — Электричество, 1973, № 10.

3. П и г н а с т и й С.С. Предельные энергетические характеристики импульсного индукционного линейного генератора. — Техн. электродинамика, 1982, № 2.

Р и с . 5 . В р е м е н н ы е з а в и с и м о с т и п л о т н о с т и т о к а К О В и М С К и т е м п е р а т у р ы К О В п р и н а п р я ж е н и и Uo: 1 — 2 кВ;

2 — 4 кВ; 3 — 8 кВ

4. Б о р о в и к Е .С ., Л и м а р ь А .Г . Получение импульсных магнитных полей в катушках, охлажденных до низких температур. — Журнал технической физики, 1962, т. 32, № 4 .

5. Б о л ю х В .Ф ., Д а н ь к о В .Г . Работа криорезистивной обмотки возбуждения в кратковременном режиме. Техн. электродинамика, 1990, № 5.

6. Д о м б р о в с к и й В .В ., А н е м п о д и с т о в а Н .Н . Исследование нагрева катушек из алюминия в жидком азоте. Вопросы применения сверхнизких температур в электротехнике. — Л.: Наука, 1971.

7. И с с л е д о в а н и е критических токов в гиперпроводящей обмотке, охлаждаемой жидким азотом/ Т.В.Бандос, И .С.Ж и- томирский, Н .М Левченко и др. — В сб. «Низкотемпературные процессы и системы». Киев, Наукова думка, 1987.

8. Б о л ю х В .Ф ., Д а н ь к о В .Г . Влияние индуктивно связанного контура на работу криорезистивной обмотки возбуждения в кратковременном динамическом режиме. — Техн. электродинамика, 1992, № 1.

9. Э л е к т р и ч е с к и е потери и сопротивление криогенных индукторов с учетом эффекта магнитосопротивления/ А.И.Бертинов, БЛАлиевский, АТ.Ш ерстю к и др. — Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1972, № 6.

10. Р а с ч е т электрических цепей и электромагнитных полей на Э В М / Под ред. Л.В.Данилова и Е.С.Филиппова. — М.: Радио и связь, 1983.

ч [05.08.92]

А в т о р : Болюх Владимир Ф едорович закончил в 1979 г. физико-технический факультет Харьковского политехнического института (ХПИ). В 1987 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме: «Разработка сверхпроводящих магнитов для линейных электромеханических преобразователей энергии». Доцент кафедры общей электротехники ХПИ.


Динамические характеристики двухканальных следящих систем оптимального управления с раздельной нагрузкой

КУЗНЕЦОВ Б.И., ПРОКОПЕНКО Е.А.

Многоканальные системы [1], работающие по принципу грубого и точного управления в ряде случаев позволяют получить точность, недостижимую в одноканальных системах. Синтез структур таких систем рассмотрен в [2]. Оптимизация многоканальных линейных систем при квадратичном критерии качества может быть выполнена как во временной области [3] на основании решения уравнения Риккати, так и в частотной области [4] на основании решения уравнения Винера—Хопфа. Частотные методы оптимизации позволяют получать технически более простую реализацию и наладку оптимального регулятора в виде последовательного корректирующего устройства в отличие от управления по полному вектору состояния при синтезе во временной области и необходимости использования наблюдателей состояния, например, в форме оптимальных фильтров Калмаыа—Бьюси [3]. В статье приведены результаты исследования динамических характеристик оптимальной системы, синтезированной в частотной области [4], реализация оптимальных регуляторов которой [5] выполнена методами модального управления [6].

Рассматривается двухканальная следящая система с раздельной нагрузкой (рис. 1). Двигатель

А 1

двигателя Д1 первой ступени; J2= 2///2+ ^2 “ суммарный момент инерции второй ступени, приведенный к валу двигателя Д2 второй ступени; 21= 2+^2/2 — приведенный момент инерции вто

рой платформы; J\,J f2 — моменты инерции роторов первого и второго двигателей.

Разрешив уравнения (1 ) и (2 ) относительно переменных со= {со^ (Ь2} т по вектору входных воздействий М — {Мд1, Мд2, Мс1, Мс2} т, получим

й = Ш , (3)

где

fl i 2

AJ21Al2

J2 i 2

AiiJ212

Aii

_ J 2 1

А12Jiii J21 J21 f ih~A~ A/2 ii Ai2 ii Ai2

A =7*7*/i / 2 - / h / 2i / / i /2 — определитель системы.Схема двухканальной системы с раздельной

нагрузкой, в которой реализованы [5] оптимальные операторы [4] методами модального управления [6], показана на рис. 2. В системе введены обратные связи по переменным состояния — углам поворота в платформ, скорости вращения двигателей со, токам двигателей /, а также напряжениям интегрирующих усилителей U, на которых реализованы нули оптимальных операторов [5]. Кроме того, в схеме учтена среднестатистическая постоянная времени г преобразователей, питающих якорные цепи двигателей. Тогда двухканальная система в переменных состояния х 0 )= {9 1 ,ш 1 ,1 1 , и я1 , и 1 , в 2, (02 ,12’ и я2’ и 2) описы- вается уравнением

Рис. 1. Кинематическая схема объекта управления двухканальной системы

Д1 через редуктор с передаточным отношением вращает первую платформу с моментом инер

ции / х, на которой закреплен второй исполнительный двигатель Д2 , вращающий через редуктор с передаточным отношением /2 вторую платформу с моментом инерции / 2. Тогда для вращающих моментов Мд1, Мд2 двигателей, моментов сопротивления Мс1, Мс2, приложенных к обеим платформам, и их скоростей вращения cov со2 могут быть получены [7] следующие уравнения:

J 1 Мп 1 ЛГ^ д 1= - г *2 + Л * > 1 - - г - г ; ( 1)h li *1

^ a2 = ““ ^1 + Jll2 (i)2 — ~ ~ > (2)12 12

J л + J 2где J\~------ г------1- J\ — суммарный момент инер-

*iции первой и второй ступени, приведенный к валу

* = Ax(t) + В Щ ), (4)

где согласно рис. 2 матрицы состояния А и уп-—■>

равления В равны, а в вектор управления U(t) введены задающие воздействия 0(t) и моменты сопротивления Mcl(t), Mc2 (t), действующие на платформы:

m = m ) , M cl(t),M

Для реализации оптимальных операторов каналов в замкнутом виде

Ъ: л + Ь ,П

wi(P) = р4 + с -ТТ7 / + с р + сР + С1ЪР + Ci2P + CilP + СЮ

коэффициенты усиления обратных связей а, (3 рассчитываются по следующим выражениям:

«ю =СЮ Ti Ri*i + KTi Ci li (PiO + Pil а/з)

ai 1 =Cil Tftti ~ PilKT f f i Ci 4ia i3

KTf h

5


36 Динамические характеристики следящих систем «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

Рис. 2. Алгоритмическая схема двухканальной системы: ар, рр — коэффициенты усиления обратных связей системы; Кп — коэффициент усиления тиристорного преобразователя /-го канала; т/ — среднестатистическое время запаздывания тиристорного преобразователя /-го канала; /?/ — сопротивление якорной цепи /-го канала; Г/ — постоянная времени исполнительного двигателя /-го канала; С/ — конструктивная постоянная исполнительного двигателя /-го канала; А/с/ — моменты сопротивления /'-х каналов; Mi — вращающие моменты двигателей; // — передаточное число редукторов /-го канала; /? — оператор дифференцирования

а /2Э д ) - Rf p g - Cb f i .

*Tti

При этом оптимальные операторы каналов имеют следующий вид:

Рп -

*2/3 С о 1 /7 }; W , , _ W / В д / 5 Рю В д / “ f t l a /3 •

При расчете переходных и частотных характеристик системы использовались численные значения параметров, приведенные далее:

W i(p ) =329р + 5 80____________.

р4 4 14р3 -I- 96р2 4 330р 4 5S0 ’

W 2{p) =______________ 2,5 10sp + 3 1 0 6______________

р4 4 460ръ 4 1,1 • 105р2 4 1А6р 4 4,1 • 106 '

Числовые значения коэффициентов усиления аь ^ обратных связей:

Параметр Грубый Точный

Номинальная мощность исполнительного двигателя (ИД), кВт

канал

Pi —7

канал

/>2 = 0,12Номинальное напряжение ис

полнительного двигателя, В £/„1 = 200 £/„2=110Номинальная частота вращения

ИД, об /м и н //н1 = 2500 /7н2=ЮООНоминальная сила тока ИД, *А /1 = 3 7 /2 = 1 ,4Номинальный момент исполни

тельного двигателя, Н м /„ 1 = 2 7 /„2 = 1,95Момент инерции ИД, кг-м 2 / Д1 = 0 ,1 5 5 II А о

1

Передаточное число редуктора /1 = 5 0 0 /2 = 5 0 0 0Момент инерции платформы,

к г м 2 /1 = 1 5 5 0 0 0 / 2~ 1500Коэффициент усиления тири

сторного преобразователя

опIIС

/0 7 = 1 1Конструктивная постоянная ИД Ci = 1,62 С2= 1,24Сопротивление якорной цепи

ИД, Ом R i-1 ,78 / 0 = 21Постоянная времени якорной

цепи ИД, с T i= 0 ,0 2 /2 = 0,05Среднестатистическая постоян

ная времени ТПР, питающих цепи ИД, с *1 = 0,03 *2=0 ,03

Параметр Грубый канал Точный канал

6 ,2 2 -1 0 4 2,96 10 9

fh 2 ,3 5 -1 0 6 -1 ,2 7 10 й

ао -3 6 4,4- Ю 2

«1 3 ,07 9 ,66 10 7

CL2 3,03 2 ,2 7 -10й

а з 1,06 1,3 1010

При синтезе оптимальных операторов двухканальной системы на основе идей декомпозиции[2] наличие взаимовлияния между отдельными каналами друг на друга не учитывалось, и постоянной времени г тиристорных преобразователей пренебрегал ось. В ходе исследования на ЭВМ динамических характеристик двухканальных систем ставилась задача оценки влияния именно этих факторов. Были рассчитаны и построены переходные процессы и частотные характеристики при действии на систему задающего воздействия 0 (t), моментов сопротивления Мс1 и Мс2 на первую и вторую платформы по углам поворота


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Динамические характеристики следящих систем 37

aj1(t)-70Z

Рис. 3. Переходные процессы по скорости вращения &>i(0 первой платформы (а) и скорости вращения сoi(t) второй платформы (б) при действии момента сопротивления М с 1 на первую платформу: 1 — переходные процессы без учета постоянных времени т тиристорных преобразователей и наличия перекрестных связей между каналами; 2 — с учетом перекрестных связей, но без учета постоянных времени т; 3 — с учетом постоянных времени т, но без учета перекрестных связей; 4 — с учетом перекрестных связей и постоянных времени т

(pi(t), <р2 (О» скорости вращения 0^(7), со2(7), а также токам 1 г(0 , / 2(0 якорных цепей исполнительных двигателей первой и второй платформ.

В качестве примера на рис. 3 показаны переходные процессы по скорости вращения 0^ (7) первой платформы и скорости вращения ш2 ( 0 второй платформы (а); при действии момента сопротивления Мс1 на первую платформу ( 6 ).

Анализ полученных зависимостей показывает, что влияние постоянных времени г тиристорных

преобразователей и перекрестных связей между отдельными каналами за счет их взаимовлияния друг на друга проявляется лишь в первые моменты времени переходных процессов и в высокочастотном диапазоне частотных характеристик.

В заключение заметим, что рассмотренный подход может использоваться и при других исполнительных двигателях, в частности электро- гидравлических [7], а также при учете упругих связей [9] между валом исполнительного двигателя и управляемой платформой.

_________________ СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ___________________

1. Кузнецов Б.И., Сергеев В.Е., Чернышев В.М. М икропроцессорное управление многоканальными системами высокой точности. — Киев: Техшка, 1990.

2. Кузнецов Б.И. Синтез структур многоканальных следящих систем. — Электричество, 1987, № 3.

3. Кузнецов Б.И. Приближенная оптимизация одного класса многоканальных систем на принципе декомпозиции. — Электричество, 1991, № 7.

4. Кузнецов Б.И. Декомпозиция оптимального синтеза многоканальных следящих систем. — Электричество, 1989, № 3 .

5. Кузнецов Б.И. Реализация оптимальных регуляторов многоканальных систем методами модального управления. — Электричество, 1991, № 6.

6. Борцов Ю Л ., Поляков Н.Д., Путов В.В. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением. — J1.: Энергоатомиздат, 1984.

7. Следящие приводы/ Под ред. Б.К.Чемоданова. Кн.1. — М.: Энергия, 1976.

8. А.е. 1425598 (СССР). Двухканапьная следящая система с раздельной нагрузкой/ Б.И.Кузнецов, Е.А.Прокопенко. Опубл*. в БИ, 1988, № 35.

9. Борцов Ю Л ., Соколовский Г.Г. Тиристорные системы электропривода с упругими связями. — JT.: Энергия, 1979.

[29.12.92]

А в т о р ы : Кузнецов Борис Иванович окончил инженерно-физический факультет Харьковского политехнического института в 1975 г. В 1990 г. защитил докторскую диссертацию по теме: «Мно- гоканальные системы высокой точности управления». Заведующий кафедрой Харьковского инженерно-педагогического института (ХИПИ).

Прокопенко Елена Александровна окончила электромеханический факультет ХИПИ в 1987 г. Ассистент кафедры ХИПИ.


Особенности распределения магнитного поля асинхронных двигателей с тангенциальной

периодической несимметрией ярмаСТАВИНСКИЙ А.А.

На гармонический состав магнитного поля в рабочем зазоре, добавочные потери и виброаку- стические характеристики асинхронных двигателей (АД) помимо конструктивно-структурных особенностей зубцово-пазовых зон статора и ротора существенное влияние оказывают и конструктивно-геометрические особенности ярма статора. Среди причин добавочных потерь наиболее неизученной является тангенциальная периодическая несимметрия ярма в виде выемок на его наружном диаметре, используемых в современных АД для скрепления пакета магнитопровода. Одно из направлений ресурсосбережения, отличающееся сохранением традиционной технологии производства АД, основано на применении пластин магнитопровода с внешним контуром, обеспечивающим коэффициент раскроя электротехнической стали близким к единице [1]. Однако такая форма пластин с отрицательными перемычками штамповки либо лысками наиболее резко усиливает указанный вид несимметрии.

Цель статьи — анализ особенностей распределения магнитного поля в ярме и обоснование технических решений, направленных на устранение влияния на характеристики АД гармонических составляющих магнитного поля в зазоре при изменяющемся сечении ярма статора вдоль угловой координаты.

На рис. 1,а изображен элементарный слой электротехнической стали магнитопровода статора, высота ярма которого содержит составляющую А1г(у), изменяющуюся по окружности синусоидально. Число периодов А/г(у) определяется согласно [2] числом граней пГ правильного многогранника, вписанного в окружность радиуса Ra эквивалентного цилиндрическою магнитопровода (рис, 1,я) и значением угла а г=2л/пг. При замене угловой координаты у на координату х спрямленной магнитной цепи закон изменения высоты ярма можно записать в виде

h(y)=ha+Ahacos (nry/2 )=h{x)=ha(l+ k acoskrx), ( 1)

где ha — высота ярма эквивалентного цилиндрического магнитопровода; АИа — амплитуда переменной составляющей высоты ярма; к0, кг — коэффициенты, определяющиеся при заданных числе полюсов р и полюсном делении г соотношениями

ка= Aha/ha = (1 - cos a r/2)Ra/ha; кг=лпг/2рт.

Среднее значение индукции на нейтрали между полюсами в произвольном сечении ярма (рис. 1, а) можно определить известным выражением

О д (* ) = « д тВд (* ) _ тВд(х) ( 2 .

а ~ Щ х )1 $ 2h(x) лЬ (х) ’ ' '

Рис. 1. Конфигурация элементарных слоев электромагнитно эквивалентных магнитопроводов статора

где Фа(дг), Вд{х) — амплитудные значения магнитного потока и индукции в рабочем зазоре; — активная длина статора; сс$ — коэффициент уплощения при магнитной проницаемости стали ра- const, а$= 2 /л.

Определить функции В#(х) в зависимости от hx, а также оценить влияние изменения высоты ярма на гармонический состав магнитного поля в зазоре можно, анализируя электромагнитное поле внутри области с наружной границей у-Н (х), не совпадающей с координатной поверхностью (рис. 2,я), и сравнивая полученный результат с решением аналогичной задачи внутри прямоугольника (рис. 2,6) с координатными границами. При этом исследование распределения квазистационарного магнитного поля в указанных областях проводится при известных и вполне оправданных для качественного анализа допущениях о постоянстве конечного значения jua ярма, отсутствии зубчатости активной поверхности, совпадающей с координатной поверхностью у = 0, и при пренебрежении потерями в стали на основе задачи магнитостатики, позволяющей опустить


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Особенности магнитного поля АД 39

ит(у=0) = <р(х) = 2 ^ COS ( ^ ) ;V= 1

dUm/dy = 0 ,

Umv = ccv(x,y)pv(x ) ,

Mmдх2 <Г

= 0 .

Решение уравнения (5 ) для области (рис. 2,6) методом Ж.Фурье [3] имеет вид

ЦпГkish ( а д + с2ch (а д ] cos ( а д , (6)

где с ъ с2 — постоянные, определяемые из граничных условий на линиях у =0 и y —ha.

В случае поиска сг и с2 при заданных граничных условиях (3) решение (6) для зоны ярма с y=ha определяется известным выражением:

<pv chkv [(ha-y)]Umv Ch (kjla) c o s ( M ) - ( 7 )

В случае замены в граничных условиях распределения потенциальной функции (3 ) на нормальное к границе у =0 распределение магнитной индукции решение (6) определяется выражением

BLv ch kv[(ha-y)]Um = —г-----и~п7~и \..C0SM>mv V a sh( W (8)

где BLv — амплитудное значение v-й гармонической составляющей распределения индукции по внутренней поверхности ярма.

В соответствии с видом уравнений (7), (8) в качестве ccv(x,y) целесообразно выбрать функцию

Рис. 2. Области расчета электромагнитного поля в поперечном сечении ярма

в математических выражениях частотно-временную компоненту cot.

Граничные условия для областей (рис. 2,я и 6) задаются в виде распределения магнитного потенциала на границе у =0 и нулевого значения градиента потенциала на границах соответственно y=h(x) и y(ha) (согласно условию отсутствия нормальной составляющей индукции на наружной поверхности ярма):

av(x,y) = ch \kv(h(x) - у )]. ( 9 )

Вид функции (3v(x) определяется из условия точного удовлетворения уравнения (4 ) на линии у - 0 при выражении потенциала через функции (4), (9):

Umv cv ch [ky(h(x) у)] fiv{x) , (10)

где cv — коэффициент, подлежащий определению из граничных условий (3).

Уравнение (5) после подстановки потенциальной функции ( 10) и преобразований при у =0 и ch(kjt(x))*0 имеет вид

(3)

где (р(х) — распределение скалярного магнитного потенциала Um на поверхности у=0; kv — коэффициент, ку=ул/т.

При принятых допущениях анализ поля в ярме при условии ( 1) может быть проведен аналитически на основе приближенного решения уравнения Лапласа методом Л.В.Канторовича [3]. Решение осуществляется в прямоугольных координатах с помощ ью принимающего заданные значения (3 ) на границах области (рис. 2,а) произведения функций:

^ + 2kv^ - t h ( k M x ) ) ~ + b(3v(x) = 0,(11)

где b — коэффициент, являющийся функцией вида

Ь = к} + к} 2 + M h {kji(x)) (12)дхz

Уравнение (11) решается с использованием подстановки, имеющей вид формулы Лиувилля [4]:

(4) Pv(x) = Wv(x) exp ( - / adx) , (13)

где Umv — v-я гармоническая составляющая скалярного магнитного потенциала известного уравнения Лапласа, записанного в прямоугольных координатах:

где а — соотношение, определяющееся коэффициентом перед д(3у(х)/дх в ( 11);

а = ку th kyh(x) • dh(x)/dx.

( 5 )


40 Особенности магнитного поля АД ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3.V

После подстановки (13), деления на ехр (- fadx)*о

т*0 и преобразований с учетом слагаемых функции ( 12) уравнения ( 11) преобразуется к виду

d2WJx) 0----- -f^- + k},Wv {x )= 0 . (14)

дх

Известное решение (14) с учетом периодичности и симметрии исходных функций имеет вид [4]:

Wv (x) = cos (kyjc) . (15)

С учетом (15) выражение (13) запишется в виде

Л'/A W = cos ( V ) exp | / [th (kji(x))]d[k,ji(x)] j. =

Л'о

= cos (kvx) ch (М о У ch (kji(x ) ) . (16)

После подстановки (16) выражения для потенциальной функции ( 10), а также нормальной составляющей индукции r-й гармонической поля в ярме рассматриваемой конфигурации можно записать в виде

U,nv =Cv ch (Mo) ch lAV(/?0')-v)]

ch (V>M ) cos (*,jc); (17)

Barm(x) kifla<Pich [A ^W -jQ ]

ch (kxh(xy) ‘

Выражение Barm(x) позволяет определить среднее значение индукции в ярме (рис. 2,я) на нейтрали:

Ват(х)y=h(x)

Щ) 1 Ba*m(x)dy=У > >-=0

th (fc^C*))• ( 22)

Из (21) следует, что на линии у - 0 области (рис. 2,а) нормальная составляющая индукции определяется выражением

5ovO'=0)= M e^ vth (M W )co s (k,X)=BLlm,(x) cos (M ).

где BLmv(x) — функция колебания амплитуды v-й гармонической составляющей распределения индукции на внутренней границе ярма вследствие непостоянства 1г{х) вдоль х\

В Lmv(.x ) — *Pv ^ k^h(x) . (33)

Из условия равенства (7) и (8) также следует, что у электромагнитно эквивалентного цилиндрического магнитопровода (рис. 2,6) с высотой ярма Иа амплитуду г-й гармонической составляющей распределения индукции по внутренней поверхности ярма можно представить в виде

Barv^ ^ mV ( M o ) s h i>(k(x) У)]

ду ch (kji(x)) cos (куХ). (18)

Из (17) с учетом граничного распределения потенциальной функции (3) следует:

Bfmv{y= 0 ) - (p v cos (krx )= c v ch (M o) cos (M)>

cv = <pv/ch(kji o ). (19)

С учетом (19) формулы (17) и (18), а также выражение тангенциальной составляющей функции г-й гармонической магнитного поля в области (рис. 2,я) имеют вид

_ <pv ch [kv(h(x) — >>)] ЛU,m' ch COS ^ ,A) (20)

D _ М л sh,М л(*)->)1 . ,~14л а c o s (M ) . (21)

B(ivydUm

-/9/ -

ch (M(.v))

_ lA'v(/2Cv)-y)|Ch (M(jf)) sin (/с,д*) +

4- /M rsh 1Ау(/ (лО-у)]

ch (M (aO)kxkakv sin (/crv) cos (k}x) +

Вimv *Pv ^ * (34)

Из сравнения (23) и (24) можно заключить,что

= BLMv/[kvna th (k jia)\; (25)

Вит(х) = BLmv th [M W ]/th ( M « ) . (26)

При принятом допущении отсутствия зубчатости активных поверхностей и исходя из принципа равенства нормальной составляющейиндукции на границе раздела двух сред, а также при пренебрежении тангенциальной составляющей индукции в зазоре АД (6 < < г ) можно также допустить, что

ВLmv ~ B^mv , B^mv(x) B$mv(х) , (27)

где В$тю Вдтг(х) — амплитуды гармонических составляющих индукции в зазорах двигателей (рис. 1,я и б) без учета зубчатости активных поверхностей.

На основании (25), (26) и (27), а также значения коэффициента периода при v = 1 среднее значение индукции (22) можно представить в виде

ch [kv(h(x)-y)] sh+ Ца<Р„--------- 2 ----- -- U A Sin (V ) cos (M) •ch (krJi(x))

Максимальное значение тангенциальной составляющей основной гармонической на нейтрали ярма в соответствии с условием ( 1) (при х=г/2, cos (к {х) = 0:

BL»*{hkih(x) = г BSml(x) k1h(x)th(k1ha) * h(x) (28)

На основании (27) выражение (26) также можно представить в виде

B6mv(x) = ВдтЖ,(Х); (29)

в 6>(х ) = S<5, „ A vW co s kv(x ) , (30)


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Особенности магнитного поля АД 41

где khv(x) — коэффициент пульсации амплитуды r-й гармонической составляющей индукции в зазоре вследствие тангенциальной периодической не- симметрии ярма:

khv(x) = th (k,Ji(x))/th ( ) . (31)

Выражение (29) можно представить (с относительной погрешностью аппроксимации в пределах ОД -г- 0,2%) в видеB d v m ВSvm cos к Х—В^ту( 1 4"£д£г, cos к{х ) , (32)

где ABv — полуразность максимального и минимального значений амплитуд (29) при максимальной /гтах и минимальной ftmjn высотах ярма (рис. 1 ,а)\ кдду —коэффициент дополнительной составляющей амплитуды г-й гармонической составляющей индукции;

А 0 _ ^SvmK ” &dvrrin _ D hvivax ~ ^hvnin _ , D шЗу — 2 — **dmv 7 — ÂBi^Smv •

Значение /сд^, определяется из (31) с учетом ( 1) выражением

<ABvth [kvha(l+ka)] - th [kyha(l-k a)]

2 th (kyha) (32)

Более точное решение (5) при условии ( 1) согласно [3] достигается путем увеличения числа функций, аппроксимирующих решение. Для этого составляется удовлетворяющее граничным условиям при у =0 и y=h(x) второе приближение, которое для рассматриваемого случая имеет вид

Umv Су ch [ky(h(x) у ) ] (куу)(3у2(х) ] .

Однако численное решение полученного в результате операций, аналогичных (11 )—(16), дифференциального уравнения третьего порядка показывает, что уточнение результата ^ ^ н е о б ходимо лишь при несинусоидальном периодическом распределении Ah(x). Адекватностьрешения поставленной задачи на основе приближения ( 10) при условии ( 1) подтверждается также идентичностью выражений (2) и (28).

Изменение гармонических составляющих магнитного поля в зазоре в соответствии с (30) обуславливает наличие в АД дополнительных токов и тангенциальных пульсирующих электромагнитных сил, вызванных ЭДС, определяющихся выражением

дВ6(х,0 д [ ~e'(x,t) = -к у ,.... —- = - к у , - 12, \Bdmv cos (ш[+к,х) +

I f 00= шку J 2 ) Bfimv sin (cut +

ABy ABV . ]+/сг;с)н—— sin [wt+(kv- k r)]+ - у sin [cut+ (kv+kr)x] > =

00

2 \Су c$y + c# v] , (33)V=1

ooгде кф — коэффициент потокосцегшения; ^ cv —

v— 1ЭДС эквивалентного АД, определяемые распределением <pv (3); e ’dv, е'д'у — дополнительные ЭДС тангенциальной несимметрии.

Кроме того, вдоль окружности статора действуют также дополнительные электромагнитные вибровозмущающие силы радиального направления: _ ' _ 9

00

Ру(х)= 2 в м =В |1(л) = [(В<5т1 + ABj.cos/cPr)]2 =v= 1

B$mi cos2 Ацх4-1^т iASi[cos (A:r-/C|)x+cos (/cr+/c1)x]x

x cos Ацх 4- A#f cos2 (kjX) cos2 /q x . (34)

Согласно расчетам, выполненным с использованием геометрических соотношений магнито- проводов конкретных АД, при синусоидальном изменении Ah(x) значение АВх, определяющее амплитуды дополнительных гармоник (33) и (34) с г = 1 составляет 15 + 20% от Вдт1. Поэтому наличие лысок в пластинах магнитопровода ухудшает энергетические и виброакустическиехарактеристики электрических машин. Согласно [1] технология штамповки со значительными отрицательными перемычками или лысками пластин магнитопровода рекомендуется длянедоиспользованных или интенсивно охлаждаемых АД, работающих в кратковременных режимах.

В соответствии с видом выражения (33) и принципом взаимной компенсации ЭДС и вибровозмущающих сил [5] можно заключить, что улучшение характеристик АД, изготавливаемых с малоотходным раскроем электротехнической стали, возможно при использовании магнитопро- водов с тангенциальным сдвигом соседних пластин в каждой их паре на угол а г (рис. 3) или аналогичным сдвигом соседних групп пластин [2]. Указанный сдвиг сопровождается смещением гармоник тангенциальной несимметрии в соседних зонах на половину периода в пределах толщины дс электротехнической стали или суммарной толщины группы пластин. При этом дополнительные ЭДС взаимно компенсируются, а суммарная ЭДС будет соответствовать ЭДС эквивалентного АД с цилиндрическим магнитопро- водом:

С<$с 2 \Сду C$v+ С у] ,р ~ 1

00

~ ~ c&J , (33)V= 1

00

е(х, t) 1д(с£с~ ~ c q)/ бс Су .v=l

Для исключения аксиальных зазоров и возможности скрепления элементарных слоев в зонах экстремумов Н(х), а также увеличения радиальной жесткости и поверхности теплоотвода ярма маг


42 Особенности магнитного поля АД ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

нитопровода (рис. 1,я) относительно ярма статора эквивалентного АД с классическим цилиндрическим магнитопроводом участки элементарных слоев в зонах Aha должны быть расположены с наклоном 60° (рис. 3).

Рис. 3. Вариант mhotoiui ос костного двухсекционного магнито- нровода статора из тангенциально смещенных слоев

электротехнической стали.

Тангенциальное смещение элементарных слоев стали на аГ обеспечивает также взаимную компенсацию наиболее интенсивных дополнительных групп вибровозмущающих сил, которые определяются средними составляющими (34), содержащими Вдт1 АВ1. Аналогично (35) можно показать, что для компенсации также и групп вибровозмущающих сил с АВ\ необходима сборка магнитопровода из взаимно сдвинутых на угол а г/ 2 модулей из тангенциально смещенных на а г пластин или сдвиг на а / 2 соседних пар из групп пластин, смещенных на а г (рис. 3).

При этом наклонные участки модулей или групп пластин должны быть направлены в противоположные стороны.

Выводы. 1. Тангенциальная периодическая не- симметрия ярма статора приводит к образованию в рабочем зазоре АД дополнительных групп гармонических составляющих магнитного поля, наиболее интенсивные из которых вызваны основной гармонической и проявляются в низкочастотной части спектра.

2. Частоты и амплитуды дополнительных гармоник поля зависят от числа зон расположения минимальных высот ярма в пределах окружности статора, а также соотношения размеров наружного радиуса и высоты ярма.

3. Ослабление дополнительных потерь и электромагнитных сил, вызванных рассматриваемым видом несимметрии, возможно при тангенциальном смещении элементарных слоев магнитопровода на угол, определяемый числом зон несимметрии.

4. Полученные выражения, описывающие магнитное поле в ярме с некоординатной границей, могут быть использованы для уточнения методики расчета намагничивающего тока АД с граненым магнитопроводом или переменной высотой ярма статора.

'___________ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ______________

1. Яковлев А.И. Электрические машины с уменьшенной материалоемкостью. — М.: Энергоатомиздат, 1989.

2. Ставинскнй А.А. Асинхронные двигатели с многоплоскостной структурой слоев электротехнической стали. — Электричество, 1992, № 5.

3. Домбровский В.В. Справочное пособие по расчету электромагнитного ноля в электрических машинах. — Л.: Энергоатом издат, 1983.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов, 13-е изд., исгтр. — М.: Наука, 1986.

5. Ставинскнй А.А., Золотухин А.И., Янченко А.В. Снижение вибрации от электромагнитных источников колебаний в двухпакетных асинхронных двигателях. — Электротехника, 1991, № 8.

[25.12.91]

А в т о р : Ставинскнй А ндрей Андреевичокончил электромеханический факультет Одесского политехнического института в 1975 г. В 1983 г. защитил кандидатскую диссертацию «Торцевые асинхронные двигатели» в Московском энергетическом институте (МЭИ). Докторант кафедры электромеханики МЭИ.


Параметрическая чувствительность глубокопазныхасинхронных двигателей

ЧАБАН В.И.

Расчет параметрической чувствительности глубокопазных асинхронных двигателей представляет весьма сложную теоретическую задачу, решение которой не может быть реализовано известными методами теоретической электротехники и теоретической механики, поскольку анализ основывается на дифференциальных уравнениях смешанного типа — в обыкновенных и частных производных. Однако в статье математически строгое решение данной задачи все же приводится. Основными этапами на пути к цели следует считать работы [1, 2]. В [1] предложен метод расчета параметрической чувствительности асинхронного двигателя, описанного нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в [2] решается задача расчета чувствительности к начальным условиям асинхронного двигателя, описанного нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями электромеханического состояния и уравнениями в частных производных — квазистационарного электромагнитного поля пазового пространства глубоких пазов ротора. Поэтому статью можно рассматривать как развивающую и обобщающую теоретические результаты работ [1, 2]. Анализ основывается на результатах [3].

Дифференциальные уравнения электромагнитного состояния глубокопазного насыщенного асинхронного двигателя запишем в виде [2]:

~ = А(и + Q4* - Ш) ,4> = U , (1)

где W , и, i — матрицы-столбцы полных потоко- сцеплений, напряжений и токов; liQi-W, и, /)= =(h$A, hsB> hRA> причем индексы S и В указывают на принадлежность к статору и ротору, а А , В — к одноименным фазам статора и ротора; R — матрица резистивных сопротивлений; Q — матрица угловой скорости; А — матрица удельных дифференциальных магнитных сопротивлений; L — матрица статических индуктивностей, причем Q=Q(a>), А = =А(/), L=L(i) (со — угловая скорость ротора).

Структурный вид и алгоритм вычисления коэффициентов матриц R, Q, A, L приведен в [1, 2].

Уравнение движения ротора будет

f = У КЗ Ро (PSISA iSB - 4fSB iSA) - М(Ш)\, (2)

где М(ш) — момент сопротивления; р 0 — число пар магнитных полюсов; J — момент инерции.

Распишем элементы матрицы-столбца и:

uSA~Um sin » uSB~Um s*n “ 120°); uIiA =

= -E a / ; uIUj = -E B l , (3)

где Um, (v0 — амплитуда и круговая частота напряжения сети; Еа , Ев — значения напряженности электрического поля на поверхности токопроводов эквивалентных фаз ротора; / — длина пазовой части токопроводов.

В [1] напряжения токопроводов Uj^ и Urb равны нулю, поэтому из сопротивлений и индуктивностей рассеяния фаз ротора следует исключить значения, относящиеся к пазовым участкам токопроводов. Вычисление значений Ел и Ев связано с расчетом электромагнитного поля в поперечном сечении в пазовой части токо- провода.

Ограничиваясь глубоким пазом с параллельными стенками, уравнения квазистационарного электромагнитного поля запишем в виде [2]:

Жаdt W

дНв- % ( Н А + 2НВ) ; - f

j _ d %Ю dz2

+

+ % ( Ш Л + Н В ) 9 (4)

где НА, Нв — поперечные составляющие вектора напряженности магнитного поля; — магнитная проницаемость; у — электропроводность; z — пространственная координата по глубине паза.

Область интегрирования (4 ) O^z^h , где h — высота токопровода. Граничные условия:

Ha W - I ra/*'* Нв(0)= iRB/a; HA(h)=HB(h) = 0 ,(5 )

где а — ширина паза.Находим значения Ел и Ев

Еа1 . ЕУ dz ’ В (6)

В результате пространственной дискретизации (4) получаем

dJ + = (C - % - l ) S A - % S B + SA r; = (С+

+7J ' - 7 j (7)

Здесь SA, SB — матрицы-столбцы соответственно значений НА и Нв во множестве узлов пространственной сетки; С — матрица дискретизации; SSr, SBr —- матрицы-столбцы граничных условий, причем

~2 11 -2 1

* * *1 -2

$Л - (SAl>SA2>” -> $ A n -l ) ; $В - (Зв ъ Бв 2>'->$Вп- 1 ) ;

SAr - (ciRA/a, Ov-J 0) i $Вг — (clRB^ 0) ;

c = l/\juy(Az,

где n — число узлов пространственной сетки; Az — шаг дискретизации.


44 Параметрическая чувствительность АД ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

Совместное интегрирование (1), (2), (7) определяет переходный процесс глубокопазного двигателя. Для практического пользования этими уравнениями необходимо иметь следующие данные [2]: rs , rR — сопротивления обмоток статора и ротора; Ly, LR — индуктивности рассеяния этих обмоток; кривую намагничивания ip = ip(i), где ^ — рабочее нотокосцепление; / — намагничивающий ток; я, /? — ширину и глубину паза; у — электропроводность токопровода ротора; U[л , си о — амплитуду и круговую частоту питающего напряжения; /, р () — момент инерции ротора и число магнитных полюсов; М(си) — момент механического сопротивления.

Частная производная матрицы-столбца переменных x=(i,w,SyF)t по матрице-столбцу постоянных параметров Я

Ф = дХ/дХ (8)

образует матрицу параметрических чувствительностей. Распишем ее в блочном виде:

ф = С К ^ Л У ) > ( 9 )

где

X = di/dX; а = дш/дХ ; = dS/dX ; = dF/dX . (10)

Субматрицы (10) определяем из уравнений первой вариации. Ввиду практической невозможности проинтегрировать ( 1) по Я введем в рассмотрение вспомогательную субматрицу

2 = дФ/ЭЯ . ( 11)

Дифференцируя второе выражение (1) по Я, устанавливаем однозначную взаимосвязь матриц Я и г:

x = L~ 1 (z ~ j z i)-. ( 12)Функцию 2 получаем дифференцированием по

Я вспомогательного уравнения

dW/dt = и + Q4* - Ri. (13)

С учетом ( 1) имеем

* / * = < Q - f t < )z + ! f + § Ч ' - £ / . (14)

Значения ЕЛ и Ев получаем в результате пространственной дискретизации (6). Тогда с учетом (5) получаем

E i ( - 3 + 4Sn - Sa ) . (15)

Дифференцируя два последних выражения (3) по Я, с учетом (15) имеем

duR. I2ytsz ( a

(3 diRi ^dSil f dSi2dX dX ^ dX + dX 2 y A z j ‘

3 iRi - 45ц 4- 5/2 (16)

Взятие остальных частных производных в (14) не вызывает затруднений.

Дифференцируя по Я (2), получаем

dadt -itР о V 3 p 0

дЧ>, bleuдХ-ISD + 'VSA дХ дХ

дМ(а>) ()J doj |да> дХ dt j ' (17)

Дифференцируя по Я (7), находим

‘Ф— I/сСГ (С - 7 Г 1) 0 - '75'(,544-2$в)

Т Г (С + 7Т ) y +X/t ( 2 S a + s b ) +72(0 п , дС f 35» (18)

Производные dSAr/dX и 3SBr/dX имеют вид

dS-l f 0' = ^ ) =

£ diRi__cl_а дХ дХ . (19)

Фигурирующие в (16 )—(19) производные dis/dX, diRj/dX, дЧ*$/дХ, дЧ*Ri/дХ (i= A yB) являются элементами матриц % и z> поэтому они известны.

Таким образом, вычисление параметрической чувствительности глубокопазного асинхронного двигателя связано с интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений нелинейных ( 1), (2) и линейных (7), (14), (17), (18).

Приняв Х =Х(0), где 2Г(0) — матрица-столбец начальных условий, (14), (17), (18), вырождаются в однородную систему дифференциальных уравнений, отражающих модель чувствительности к начальным условиям [2].

Рассмотрим расчет установившегося режима. Расчет переходного процесса сводится к задаче Коши дифференциальных уравнений (1 ),(2 ),(7 ), (14),(17),(18) при заданных начальных условиях. Расчет вынужденного периодического режима более сложная задача — двухточечная кривая. Условия периодичности запишем в виде

адо )] = х ( 0) - а д о ) , о , (20)

где Х (0) — начальные условия, исключающие переходную реакцию; Т — период.

Решаем это уравнение итерационным методом Ньютона

- F (Л-(0)А'[Х (0)А'+1 - ЗС(0)А]} =/ф Г(0)А|, (21)

где

-F [3 f(0 )A] = Ф (Г )А - 1. (22)

Здесь Ф(7) — матрица чувствительности к начальным условиям.

Таким образом, на к-й итерации формулы (20) интегрированию подлежит система дифференциальных уравнений переходного процесса ( 1), (2), (7) и однородной системы (14), (17), (18).

В результате решения (20) находим установившийся режим двигателя и запоминаем в памяти компьютера якобиан (22).

Параметрическую чувствительность в периодическом режиме находим аналогично, исключая периодическую реакцию полной системы дифференциальных уравнений (14), (17), (18). Запишем уравнение периодичности, аналогичное (20),

^Ф ,(0 )]=Ф ,.(0 )-Ф [Ф ,(0 ),7 ]=0) /= 1 ,2 ,...,/1 ,(2 3 )


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Расчет магнитных систем сепараторов 45

где Ф; — субматрицы строки матрицы параметрической чувствительности Ф = (Ф1, Ф2,..«, Ф„).

Уравнение периодичности (23) решаем тоже итерационным методом Ньютона, но, поскольку система уравнений (14), (17), (18) линейная, То результат находим за одну итерацию. Естественно принять нулевое начальное приближение. В этом случае формула (21) будет

[Ф (Г )-1]Ф /(0)=Ф /(0 ,Г ), /= 1 ,2 ,...,я (24)

Решая п систем линейных уравнений (24), находим Ф;(0). Интегрируя (14), (17), (18) еще раз на интервале О—Г, получаем значения параметрической чувствительности в установившемся

режиме. Результаты апробации на компьютере изложенного метода анализа приведены в [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чабан В.И. Вычисление параметрической чувствительности асинхронных двигателей. — Электричество, 1989, № 4.

2. Чабан В.И., Билый Л.А. Ускоренный поиск вынужденных периодических режимов глубокопазных асинхронных двигателей. Техническая электродинамика, 1990, № 6.

3. Чабан В.И. Методи нелшшно1 електротехшки. Льв1в: Свгг, 1990.

f09.01.92J

Расчет магнитных систем электромагнитных шкивных сепараторов

ЗАГИРНЯК М.В.

Электромагнитные шкивные сепараторы широко используются в народном хозяйстве для разделения материалов, имеющих различные магнитные свойства. Основой этих аппаратов являются открытые осесимметричные магнитные системы с относительно большими рабочими межполюсными зазорами (рис. 1). Наличие объемного плоскомеридиального поля и сравнительно сложного распределения магнитных потоков существенно затрудняет расчеты магнитных систем электромагнитных шкивов.

Существующие методы расчетов осесимметричных магнитных систем с открытым магни- топроводом сложны и трудоемки, поэтому практически используемые методики расчета обычно базируются на существенных допущениях: предположение о плоскопараллельности поля, упрощение схемы потокораспределения, а соответственно, и схемы замещения (до одного контура), что значительно снижает точность расчетов. Вместе с тем, выбор параметров магнитной системы, корректность ее расчета определяют важнейшие технико-экономические показатели шкивных электромагнитных сепараторов.

Точность расчетов магнитных систем зависит прежде всего от точности определения магнитных проводимостей воздушных межполюсных участков и точности принятой схемы замещения, с той или иной достоверностью отражающей истинную картину потокораспределения в электромагнитной системе.

В статье предлагается методика расчета электромагнитных систем шкивных сепараторов, учитывающая при определении магнитных проводимостей воздушных межполюсных участков и составлении схемы замещения реальную объем-

Рис. 1. Исследуемая модель электромагнитного шкнвного сепаратора: 1 — сердечник; 2 — полюсный диск; 3 —

внешняя часть полюсного наконечника

ность поля и истинную картину потокораспределения, исследование которых проводится путем физического и математического моделирования.


46 Расчет магнитных систем сепараторов ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

Определение магнитных проводимостей. В поле электромагнитного шкива можно выделить шесть характерных локальных магнитных потоков: Ф0, Фт, Ф^, Фс, Фд, дающих в сумме полный магнитный поток устройства, и Ф5 (поток рассеяния на цилиндрический сердечник), являющийся частью потока Фа (рис. 1). Поскольку рассматриваемое поле является плоскомеридианным, то подобно плоскопараллельному его локальные области характеризуются приведенными по соответствующим потокам Ф, к соответствующим базисным разностям потенциалов £/,• магнитными проводимостями вида [1, 2]:

ФА» = 77 = Iй! h 11 = /*оxi nDi . ( ! )U i

где /ui — базисная магнитная проницаемость, принимаемая равной магнитной проницаемости воздуха д 0; h ~ приведенная (удельная на единицу длины) проводимость плоскомеридианного поля рассматриваемой локальной области (потока Ф,), определяемая только ее геометрией; Ц — базисный (характерный для магнитной системы или ее области) линейный размер, принимаемый для осесимметричных магнитных систем равным длине окружности характерного диаметра Dp

В общем случае значение Л, определяется всеми геометрическими параметрами магнитной системы, а величина А/, представляющая собой критерий подобия для магнитного потока, является функцией их соотношений — функцией критериев геометрического подобия типа [3, 4]:

X 1 =D/d,X 2 =Z/d,X 5 =d/d,X 6 =b/dfX 1 =a/d и т.п.,

гдеD ,d ,Z ,d ,b ,a — геометрические параметры магнитной системы (рис. 1).

Следовательно, при любых методах исследования магнитных проводимостей в данном случае результаты целесообразно представлять в виде зависимостей между критериями подобия, а в качестве искомой функции определять критерий подобия для магнитного потока Ф — приведенную

(удельную) проводимость [3]:

**' Ло uinDi ~ /<0лВ, ' ^

Применительно к выделенным характерным потокам базисными диаметрами были приняты внешний диаметр полюсов D для потоков Ф0 и Фт, средний диаметр внутренней торцевой поверхности наконечника полюсного диска (D -d ) для потока Ф^, диаметр внутренней поверхности наконечника (D -2 d ) для потока Фс, средний диаметр торцевой поверхности обмоточного окна ( D - 2 d -a ) для потока Фа и диаметр сердечника (D -2 d -2 a ) для потока Ф5. Это определило вид формул магнитных проводимостей локальных потоков:

А 0 = n 0 k0nD ; (3)

(4)

Ad= n 0 Xdn(D-d); (5)

А с = n 0 Xc n ( D - 2 d)-y (6)

\ ; (7)

= n 0 Xsn (D -2 d -2 a ) . (8)

Для получения зависимостей Ai= f(X 1 ,X 2,...), учитывающих реальную объемность поля, было проведено физическое [5, 6J и математическое [6, 7] моделирование магнитных систем рассматриваемого класса, а также аналитический расчет распределения магнитного поля в области, занятой катушкой [8, 9].

Физическое моделирование проводилось на обобщенных открытых осесимметричных магнитных системах с использованием баллистической установки БУ-3 [5, 6]. При этом магнитная индукция в стали магнитопровода моделей не превышала 1,2 Тл и базисные магнитные напряжения [// определялись магнитным потен- циалометром (поясом Роговского) путем измерения соответствующих локальным потокам разностей магнитных потенциалов (между торцевыми поверхностями полюсных дисков для Фт и Фа, между боковыми цилиндрическими поверхностями полюсов для Ф0 и Фс и между внутренними краями полюсов для Фг/), а распределение магнитного потока исследовалось с помощью размещенных в характерных сечениях магнитопровода измерительных катушек-витков В19 ..., В8 (рис. 1).

Принятая схема измерений позволила получить экспериментальные данные о значениях магнитной проводимости для каждого из условно выделенных локальных потоков (рис. 1):

Фа = ф 1 - ф 2 ; ф с = ф 2 г ф 3 ; фс1 = фз ~ ф 4 ;

ф0= фо+ фо =ф4 - фз; фт= ф;+ ф” = ф5; ф,= ф1 - ф8.

Здесь Ф1,...Ф 5, Ф8 — магнитные потоки, измеряемые соответственно витками В1, ... Б5, В8 (сумма первых пяти потоков дает полный ноток Фх).

Проведенные исследования показали [6], что при изменении критериев геометрического подобия в пределах, заведомо охватывающих диапазон их изменения в магнитных системах шкивных сепараторов, сумма потоков (Ф0+Ф т+Ф^) составляет не менее 85% полного потока Ф1? потоки Фс и Фя не превышают 10% каждый, а поток Ф5 — 5% потока Фх. Это обусловило высокую эффективность метода физического моделирования применительно к исследованию магнитных проводимостей потоков в воздухе, сравнительную сложность получения достоверных зависимостей удельных проводимостей потоков внутри обмоточного окна Фс, Фа от геометрических факторов и практическую невозможность получения таких зависимостей для потока рассеяния Фх.

Обобщение результатов экспериментальных исследований 82 типоразмеров моделей на основе\ =


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Расчет магнитных систем сепараторов 47

теорем теории подобия и размерностей, а также регрессивного анализа дало возможность отыскать аппроксимирующие аналитические выражения для расчета магнитных проводимостей:А0= V ( ^ I ) / ( ( 1 2 3 , 1 + 19 ,4* ! + 1,76Х2- 1,0

Х М Г 2) ; (9 )

Ат= v T ~ /((1 9 5 ,4 + 16,662^ + 73,1Х2 - 4,ЗХ|) х

х 10-2 ;

к рассматриваемой задаче показана в [7] путем экспериментальных исследований на физических моделях и математического моделирования электромагнитных систем шкивных сепараторов на электропроводной бумаге.

Тогда с учетом соотношения между составляющими вектора магнитной индукции и векторным потенциалом в цилиндрических координатах, принятых выше допущений и заданной конфигурации области с током (рис. 1) получили граничные условия для искомой фун-

(Ю ) кции A(p,z)\

Arf= (3 2 1 ,5 -8 5 ,0 5 X 6-0 ,2 1 L Y 1X 6+9,lA"|)x

xVX7 (X6-T ) 1( Г 3 ; (И )

Ac=vr(X 6- l ) / ( (7 1 3 + 6 ,7 X 6+64,8X 1-2 ,9 1 6 X 2)x

x lO-2 ) ; ( 12)

Ав= Х 2/(4 ,6 5 2 Х 2- 1 -3 ,5 Х 6+3,02Х 2) , (13)

адекватные при изменении критериев геометрического подобия в пределах, характерных для магнитных систем электромагнитных шкивов, найденным опытным значениям удельных магнитных проводимостей [5, 6]. Выражения (9 )—(13) формировались эмпирически, но в каждом из них звеном, минимизирующим среднеквадратическое отклонение между опытными и расчетными значениями А,-, являлась регрессионная зависимость от соответствующих геометрических факторов. Проверка получаемого аппроксимирующего выражения на адекватность данным физического моделирования проводилась по известному критерию Фишера.

Для получения расчетного выражения удельной проводимости Ау и уточнения зависимостей Ас и Ая от геометрических факторов в условиях отсутствия насыщения стали магнитопровода, часто имеющих место на практике, было проведено аналитическое исследование плоскомеридианного поля в обмоточной зоне [8, 9].

Как известно, расчет магнитного поля сводится к нахождению векторного потенциала, который для плоскомеридианной области с током в цилиндрических координатах (p,z, © ) имеет только одну 0 -ю составляющую, является функцией двух координат А(р, Z) и описывается уравнением Пуассона

д2Л 1дЛ др2 р др = /V > (14)

где J — средняя плотность тока.Уравнение (14) решалось при общепринятых

допущениях: электрический ток распределен по сечению катушки с равномерной плотностью /; сталь магнитопровода имеет бесконечно большую магнитную проницаемость (соответственно тангенциальная составляющая на границе стал ь- обмотка равна нулю); в воздушном зазоре между полюсными наконечниками, на границе обмотка—воздух, касательная к поверхности окна (тангенциальная) составляющая магнитной индукции постоянна. Приемлемость последнего допущения

= B;p=R

Р

дАсIZ

= 0 ;р=г

= 0 .z—±b/2

(15)

Здесь R = (D / 2 -d ) — внешний и r = (D / 2 -d -a ) — внутренний радиусы катушки.

График функции Bz(R>z) представлен на рис. 2, где В0 — тангенциальная составляющая магнитной индукции в воздушном зазоре между полюсными наконечниками.

‘1

— 4 ----------

О0Q

11

■ь/2 -б/г о б/z ъ/гг

Рис. 2. График функции BZ(R, z)

В результате решения уравнения (14) при граничных условиях (15) методом разделения переменных было получено выражение для векторного потенциала:

A l p f ) = „„/ ( > - )f>2 - + С*) - X

ОС

х ^ cos (2 im sin [im ^ хп—1 п

В (16) /0(л*), 1\(х) — модифицированные функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков; Kq(x)j Кi(x) — модифицированные функции Бесселя второго рода нулевого и первого порядков; С — константа, не зависящая от параметров магнитной системы R и г и имеющая размерность линейного размера в квадрате.

Выражение (16) дает широкие возможности для анализа и расчета распределения магнитных


48 Расчет магнитных, систем сепараторов ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

потоков, замыкающихся в обмоточной зоне осесимметричного электромагнита. В частности, на основе (16) были найдены формулы для приведенных проводимостей потоков рассеяния с поверхностей, ограничивающих обмоточное окно [9].

Поскольку в плоскомеридианном поле поток между двумя кольцевыми контурами 1 и 2 определяется выражением

ф 1,2 = 1р.гЛ (p 1,Z 1) — p 2 ^ (P

то, подставляя в него координаты соответствующих круговых контуров, можно получить выражения для искомых потоков:

Ф 5 = Ъ 1 г \ А { г , Ъ / 2 ) - А ( г ,0)]-(17)

Фс = lnR\A{R,b/2)-A(R,d(18)

Фа = 2т [гА( г, Ь/2) - RA (Я, 2 )], (19)

после подстановки которых в ( 2) с учетом (16) и рекуррентного соотношения для бесселевых функций было получено [9]:

Я ,= -4 г 2 Л [ l - ( - l ) " ] sin (n.4 d/b)Qn(a,b,r) ; (20)2л* dr , пп — 1

Ас= -у - ^ 4 [cos (/отб/Ь) —( — 1),г] sin (ял<5/Ь)х71 6п = 1 "

хР п(а,Ь,г); ( 21)до

; _ д(3г+2(т) _____ 6_____ у ( - 1 ) " s :n Лст £\ хй 3 6 ( 2 г + а ) л 2< 5 ( 2 / + а ) п' ^ ' 1 /г2 \ ' 6 /

х [2(r + а) Рп (а,Ь,г) - £>„ (я Д г )] , (22)

где

Qn(a,b,r)=[K 0 (2 n n ^ Io {:2 пл'-т -) —In (2 пл'-\ х

хК 0 (2плг- ^ ) ] 1 ; P

■ х \К0 (2 пл)/ ] ( 2/ с т ^ ) + /0 ■

При выводе (2 0 )—(22) из (2) приведение выполнялось во всех случаях к полной ( U^Jab) магнитодвижущей силе (МДС), но каждый раз к соответствующему, согласно (6)—(8), диаметру.

Разработка схемы замещения. На основе анализа результатов исследований потокораспределе- ния на большом количестве математических моделей на электропроводной бумаге, физических моделей, натурных промышленных образцов электромагнитных шкивов, аналитического исследования распределения магнитного поля в обмоточной зоне, а также метода участков [2, 4, 10] была разработана схема замещения для расчета магнитных систем шкивных сепараторов, отражающая картину замыкания условно выделенных локальных магнитных потоков (рис. 1) с учетом магнитного сопротивления стали на всех участках магнито

провода [6, 7].В силу симметрии магнитной системы схема

замещения составлялась в расчете на один полюс, и ее общий вид приведен на рис. 3. При этом

Рис. 3. Уточненная схема замещения магнитной системы электромагнитного шкива

.согласно методу участков [4], все составные элементы магнитопровода разбиты на участки: сердечник с равномерно распределенной МДС F — на 2р участков (МДС участка сердечника определялась как доля F, равная отношению длины участка к длине сердечника), полюсный диск — на три участка (см. рис. 1), внешняя и внутренняя части полюсного наконечника на т и к участков, соответственно; участки, имеющие распределенный по длине магнитный поток, представлены (каждый) Т-образной схемой замещения, и поток подведен (сосредоточен) в середину участка [10].

Для пояснения на рис. 4 показан упрощенный вид схемы замещения, соответствующий изображенному на рис. 1 разбиению магнитопровода на участки, т.е. составленный при 2Р=4(1с1=1с2)> >п=к= 1.

На схемах приняты следующие обозначения: -Д(7с1 — падение магнитного потенциала на пер

вой половине длины первого участка сердечника, располагаемое слева от пути потока рассеяния Ф5Л на первом участке; ЛUc2 — сумма падений магнитного потенциала на второй половине дли-


«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Расчет магнитных систем сепараторов 49

Рис. 4. Схема замещения при 2р = 4 и к -т - 1

ны первого и на первой половине длины второго участка сердечника, располагаемая между путями потоков рассеяния Ф51 на первом и Фз2 на втором участках; AUcp — сумма падений магнитного потенциала на второй половине длины ( /х -1)-го и на первой половине длины р -го участков сердечника, располагаемая в схеме замещения между путями потоков рассеяния Ф ^ - i ) и Ф5р на названных участках; 2д — падение магнитного потенциала на второй половине длины р-то участка сердечника, располагаемое справа от пути потока рассеяния Ф5р на р-м участке; AU'n — падение магнитного потенциала на первом, непосредственно прилегающем к сердечнику, участке полюсного диска; AL^'i и AU'^ — падение магнитного потенциала на втором и третьем участках полюсного диска (прилегающих к катушке); - AU'Hl и ^Д^н1 ~ падения магнитного потенциала на первых половинах длин для первых участков, соответственно, внутренней и внешней частей полюсного наконечника, располагаемые слева от путей потоков, соответственно Ф и Ф ' на первых участках; AU 'h2 и AU^ 2 — суммы падений магнитного потенциала на вторых половинах длин первых и на первых половинах длин вторых участков, соответственно, внутренней и внешней частей полюсного наконечника, располагаемые между путями потоков Ф или Ф^ на первых и Ф2 или Ф2 . на вторых участках, соотвественно; AU'Hк — сумма падений магнитного потенциала на второй половине длины (к - 1)-го и на первой половине длины к-го участков, внутренней части полюсного наконечника, располагаемая между путями потоков Фр- i и Фк на названных участках; 2 -Д £/н(А:+1) и ÂU'Hm — падения магнитного потенциала на второй половине длины к-т о и на

первой половине длины m-го участков, соответственно, внутренней и внешней частей полюсного наконечника, располагаемые справа от путей потоков Фк и Ф (/„_1) , соответственно;

A i = 2(Д , - As) ; (23)

A 2 = 2Arff (24)

A3 = 2(До + А с) = 2(Ко А 0 + А с) , (25)

А 4 = 2Aq' = 2(1 - К 0) А 0 ; (26)

Л5 = 2AJ, = 2 (1 -К т) А т; (27)

А 6 = 2 л ;' = 2КТ\ ; (28)

Ksi — приведенный коэффициент распределения проводимости А 6 для потока Ф5 по участкам сердечника; К'ы и K’ui — коэффициенты распределения проводимостей (потоков) по поверхностям, соответственно, внутренней и внешней частей полюсного наконечника.

Значения проводимостей А 0, А т, Ad, А с, Аа находятся из выражений (3 )—(7), куда подставляются значения соответствующих приведенных проводимостей, определяемых по формулам (9 )— (13) или по кривым [5, 6].

В выражениях (25 )—(28) Ао, A(j , А^, А|/ — проводимости, соответствующие магнитным потокам Фо, Фо>Фт>Фт (Рис- 1)* Следовательно, коэффициент К0 есть отношение магнитного потока Ф() , уходящего во внешнее пространство с внутренней части полюсных наконечников, ко всему потоку Ф0 с внешней цилиндрической поверхности полюсов. Он определяется экспери-^ ментально как ^ 0=Ф (/Ф 0=(Ф 4- Ф 7) /(Ф 4-Ф 5). Аналогично Кт= Ф "/Ф Т=Ф 6/Ф 5 .

С использованием измерительных витков В4, В5, В6, В7 были получены значения Ф4, Ф5, Ф6, Ф7 и согласно последним формулам определены значения коэффициентов для множества магнитных систем, геометрические размеры которых заведомо охватывали диапазоны изменения соответствующих геометрических параметров в реальных электромагнитных шкивах. В результате с помощью ЭВМ были найдены следующие аппроксимирующие выражения

К0^ ^ ( 6 8 , 6 3 - 1 0 , 0 2 ^ + 0 ,4 3 2 ^ ) -

1 7 4 ,2 5 .^ —227 + 446A"6—19,6^2

-5 3 ,2 9 + 6 ,3 0 2 * 2 + 0 ,0 5 1 * ?(29)

* т= 102/ ( 151 + 14Хх - 1,08*? - 7,83*1 + 4 ,6 * !* 2+

+ 0 ,971*1 ). (30)

Поскольку, как указывалось выше, поток Фу в реальных системах незначителен, проводимость As может быть найдена из выражения


50 Расчет магнитных систем сепараторов ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

(8) после предварительного определения Л5 из (20) или по кривым из [8, 9], несмотря на то, что это значение строго соответствует только ненасыщенным режимам стали. Получаемая при данном подходе несколько заниженная оценка Ф5 не приводит к существенным погрешностям расчета потоков в магнитопроводе. Практика расчета рассматриваемых электромагнитных систем показала также, что при индукциях в стали сердечника менее 1,45 Тл более высокая точность получается при использовании для определения А с и Аа значений Ас и Аа, полученных из (21), (22) или кривых [8, 9].

По этим же соображениям для определения коэффициента Ksi было использовано выражение для векторного магнитного потенциала поля в обмоточной зоне (16). Коэффициент распределения потока но поверхности сердечника может быть определен как отношение потока, приходящегося на поверхность /-го участка, к полному потоку на сердечник

iC = 2fL - 2nrU(r,(b/2p)(p-i+l))-A(r,(b/2p)(p-i))} _А » Фг 2 л г { А ( г ,Ь / 2 ) - А ( г , ( ) ) \

00

, p —i+ 1Ч , p —i\ - t/ f4„ , ч

У - \ [ ( - 1)" -1 ]si»(/ui«S/ft)/S2(n) 11=1

At/” ,- = Я ” . = Я ” . (Z - Ъ)/2т . (37)

Предложенные схемы замещения (рис. 3,4) co q t- ветсвуют случаю As^ A a. Если As> A a, то необходимы следующие изменения в схемах и расчетах их элементов: А х = 0, Л3 = 2(Ло+Лс+ Aa- A s)== 2(К0 Л0+ A c+ A a- A s) и берется /nf=0, что приводит к /„1=0 и, следовательно, A l/„ j= 0.

Расчеты и экспериментальная проверка. Для расчета магнитной цепи кривая намагничивания стали представляется в виде аппроксимирующей аналитической зависимости

Hi=aBj[(P+Bf)=a'ФЛ?

\ /5 ;-

<Р-

/(38)

где а ,р ,у у(р — некоторые постоянные, определяемые типом стали магнитоировода; В, — магнитная индукция на /-ом участке стали; Ф„ 5,, — магнитный поток и сечение стали на том же /-м участке магнитопровода.

С использованием (38) расчет цепи по принятой схеме замещения сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, составляемых обычным способом но законам Кирхгофа. Как видно из приведенной на рис. 3 схемы, число независимых уравнений получающейся при этом системы составляет:

/г = 2(/?+/с+ш) + 6 .

где S2 (n ) - I 0 к о (Imf7о (»л£) •

Так как в предложенной схеме замещения (рис. 3) /-я часть проводимости, определяемой в расчете на полную МДС, подключается к ( 2 / - 1 )/4р части действующей МДС, то выражение для приведенного коэффициента распределения проводимости рассеяния по участкам имеет вид:

Ksi ~ s'i2Г-Т ‘ <3 2 >

Здесь / — номер участка сердечника (счет ведется от полюсного диска).

Коэффициенты К’И и К'н могут быть определены точно из картины ноля, однако для большинства практических случаев можно принять:

KrYl = 1 /к , КИ = 1 /т .

Включенные в схему замещения падения магнитного потенциала согласно методу участков определяются как произведения напряженности магнитного поля на различных участках магнитопровода на длину соответствующего участка (рис. 1,3):

AUci = Hd ld = Hd b/2p-,(33)

AU'„ = Я п/п = Н п{фу/2) + (D - 2 d - 2а) / 2 };(34 )

A t/” ,- = Н ” ,./” ,. = Я ” ,- {V a2 + [(b1- b 2)/2]2 j /2 ;(35)

(36)

Для оценки точности расчетов потокораспре- деления по указанной схеме замещения были проведены экспериментальные и теоретические исследования на физических моделях магнитных систем рассматриваемого типа с различными геометрическими параметрами магнитопровода. Пределы изменения геометрических параметров при исследованиях заведомо охватывали диапазоны изменения соответствующих геометрических параметров в электромагнитных системах шкивных сепараторов. При этом исследования проводились для трех режимов в отношении магнитной нагрузки стали: слабонасыщенного, средненасыщенного и сильнонасыщенного.

Расчет магнитной цепи проводился на основании предложенной схемы замещения, где сердечник разбивался на 2р = 2; 4; 6; 8; 10 участков, внутренняя и внешняя части полюсного наконечника, соответственно, на т = 1; 2 и к = 1 ; 2; 3 участка. Решение систем уравнений осуществлялось на ПЭВМ класса PC /A T методом итераций с использованием подпрограммы расчета коэффициента Ksi.

Проведенные исследования показали, что наиболее целесообразное число участков разбиения магнитоировода определяется магнитной нагрузкой стали и при соответствующем выборе числа участков погрешности расчета потокораспределе- ния по предложенной схеме замещения не превышают 10% во всем исследованном диапазоне изменения геометрических параметров. Максимальная погрешность расчетов может быть уменьшена до 5% увеличением числа участков разбиения магнитопровода от принятого, но при этом увеличивается трудоемкость расчетов.a t/;„-= / / ; , / ; , = t/№. (6 -< 3 )/2 ^ ;


«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Расчет магнитных систем сепараторов 51

Тип модели Значения М ДС F, А

Режим Индукция, Тл (эксперимент)

.Значение потока х 10 , Вб Погрешность,

%Ф с1 Ф с2 Ф сЗ

Модель А:

* 1 = 2,5;* 2 = 2,0; * 6 = 1 ,2 5;* 7 = 0 ,625 ;

и> = 900 витков

2250 Слабонасыщенный

0,9380,9560,945

1 1 ,7 9 /1 1 ,4 01 2 ,0 1 /1 1 ,3 4

1 1 ,8 8 /1 1 ,2 8

-3 ,3-5 ,6-5 ,1

3 600 Средненасыщенный

1,4171,4411,439

1 7 ,8 1 /1 7 ,6 71 8 ,1 1 /1 7 ,5 8

1 8 ,0 8 /1 7 ,4 9

-0 ,8-2 ,9-3 ,3

5 40 0 Сильнонасыщенный

1,8051,8341,817

2 2 ,6 8 /2 2 ,5 12 2 ,0 5 /2 2 ,3 9

2 2 ,8 3 /2 2 ,2 8

-0 ,7-2 ,9-2 ,4

Модель С:

* 1 = 1 0 ;* 2 = 7;* 6 = 4;* 7 = 2,5;

w = 7 20 витков

1440 Слабонасыщенный

1,0001,0091,003

1 2 ,5 8 /1 3 ,3 71 2 ,6 8 /1 3 ,3 4

1 2 ,6 0 /1 3 ,3 0

4 6,3 + 5,2

' + 5 ,62 160 Средненасы

щенный1,3621,3801,376

1 7 ,1 2 /1 8 ,7 21 7 ,3 4 /1 8 ,6 7

1 7 ,2 9 /1 8 /6 2

+ 9,3 + 7,7 + 7,7

3 60 0 Сильнонасыщенный 1,750

1,7951,766

2 1 ,9 9 /2 3 ,3 52 2 ,5 5 /2 3 ,2 9

2 2 ,1 9 /2 3 ,2 2

+ 6,2 + 3,3 + 4,6

В числителе приведены экспериментальные значения, в знаменателе — расчетные.

Согласно проведенным исследованиям для многих практических случаев при расчетах слабо- и средненасыщенных магнитных систем можно пользоваться схемой замещения, показанной на рис. 4, где 2р = 4, а т =к=1. Для удобства расчетов по этой схеме на рис. 5 приведены зависимости для определения коэффициента Ksl, полученные в результате расчетов на ЭВМ по формулам (31), (32). Тогда коэффициент Ks2 = l - K sl и нет необходимости проводить трудоемкие вычисления по выражениям, содержащим функции Бесселя.

В таблице, для примера, приведены данные экспериментальных и расчетных (по схеме с

Рис. 5. Зависимости для определения коэффициента Ksi при 2р = 4

рис. 4) исследований, проведенных на двух физических моделях с различной геометрией и МДС.

Вывод. Предложенный способ расчета пото- кораспределения в магнитных системах рассматриваемого класса прост (определить проводимости для локальных магнитных потоков можно быстро и достаточно точно по кривым, а решить получающиеся системы уравнений — с помощью ЭВМ по стандартным программам) и обеспечивает вполне приемлемую для инженерных расчетов точность практически при любом режиме магнитной нагрузки стали магнитопровода.

Предложенная методика была положена в основу теоретических исследований при разработке электромагнитных систем для шкивных сепараторов новой конструкции, внедренных в настоящее время в производство. Совершенствование конструкции магнитной системы, возможность достоверного расчета многих вариантов позволили создать аппараты с лучшими, чем у серийных, технико-экономическими показателями.

____________________СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ___________________

1. Электромеханические аппараты автоматики: Учебник для вузов/ Б.К.Буль, О.Б.Буль, В.А.Азанов, В.Н.Ш оффа. — М.; Высшая школа, 1988.

2. Никитенко А.Г., Гринченков В.П., Иванченко A.H.Программирование и применение ЭВМ в расчетах электрических аппаратов: Учебн. пособие для вузов. — М .: Высшая школа, 1990. — 231 с.

3. Иванов-Смоленский А.В. Электромагнитные поля и процессы в электрических машинах и их физическое моделирование. — М.: Энергия, 1969.

4. Основы теории электрических аппаратов: Учебник для вузов/ И.С.Таев, Б.К.Буль, А.Г.Годжелло и др. — М .: Высшая школа, 1987.

5. Карташян В.О., Загирняк М.В. Исследование и расчет магнитных проводимостей открытых осесимметричных магнитных систем электромагнитных шкивов. — Изв. вузов. Электромеханика, 1977, № 7.

6. Загирняк М.В. Исследование, расчет и усовершенствование открытых осесимметричных магнитных систем электромагнитных шкивов. — Дис. ...канд. техн. наук. — Ворошиловград, 1977.

7. Математическое моделирование и расчет потокорас- пределения в открытых осесимметричных магнитных системах электромагнитных ш кивов/ В.О.Карташян, М.В.Загирняк


52 Итерационные решения уравнения Рикатти ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

и др. — В кн.: Решение краевых задач средствами математического моделирования. — Киев: Изд-во Института математики А Н УССР, 1979.

8. Zagirnyak M.V., Nasar S.A. Fields and permeances of flat rectangular and cylindrical DC electromagnetic structures.— IEEE Trans, on Magnetics , 1 98 5 , vol.21, № 2, pp. 1193— 1197.

9. Загирняк M.B., Бранспиз Ю Л . Расчет магнитного поля в обмоточном окне осесимметричного электромагнита.— Изв. вузов. Электромеханика, 1986, № 7.

10. Новиков Ю.Н. Теория и расчет электрических аппаратов. — Л.: Энергия, 1970.

[11.11.1992]

А в т о р : Загирняк Михаил Васильевич окончил факультет электромашиностроения Луганского машиностроительного института в 1970 г. В 1977 г. защитил кандидатскую диссертацию в Харьковском политехническом институте по теме «Исследование, расчет и усовершенствование открытых: осесимметричных магнитных систем электромагнитных шкивов». Проректор по учебной работе Луганского машиностроительного института.

Итерационные решения дифференциального уравнения Риккати при анализе поверхностного эффекта

ПЕНТЕГОВ И.В.

Дифференциальное уравнение для комплексного сопротивления Z нелинейной ферромагнитной среды в случае плоской электромагнитной волны проще всего получить, используя первое уравнение Максвелла

1 М щ .. _Н\У ctx у (1)

для амплитуд первых гармоник напряженностей электрического и магнитного полей электромагнитной волны, прошедшей нормально через плоскую поверхность ферромагнитного проводящего полупространства и распространяющейся в ферромагнитной среде (у — удельная электрическая проводимость ферромагнетика, л* — координата, нормальная к поверхности ферромагнитного полупространства). При этом для Z получаем выражение:

Z(x) = ,М) Н'НщМ) У "ш

Дифференцируя по х, найдем

Z ' = уА , - (И’тХ

(И1т),72 1 П Iw

— V

Н"У ~н1т

(2 )

(3)

Подставив сюда значение Н " im из уравнения ноля для плоской электромагнитной волны [1]

Н " Ьп = > )7 <W|m , (4)получим уравнение Риккати

Z ' = yZ2 - jo)fi , (5)

где р — нелинейная комплексная абсолютная магнитная проницаемость ферромагнитной среды по первой гармонике. Уравнение подобного типа было получено в [2], однако со знаком « + » перед по

следним членом, что приводит к ошибочным результатам.

Уравнение (5) может быть использовано для получения приближенных итерационных решений первого, второго и более высоких порядков без привлечения аппарата ВКБ-метода, использованного в [3] для анализа поверхностного эффекта в ферромагнитных телах.

Проиллюстрируем этот подход на примере получения первого итерационного приближения. Запишем уравнение (5) в виде

Z = y j ( jw f i + Z')(6)

и продифференцируем его по координате х, нормальной к поверхности ферромагнитного полупространства:

Z ' = г—1------ C/a/g + Z " ) .2 V y(j0Jil + ( 7 )

Учитывая, что сир — «большой» параметр и пренебрегая влиянием Z ’ и Z " в правой части уравнения, в качестве первого приближения для Z' примем выражение

z' - i V § f - <8>При этом из уравнения (6) следует

Z = VIjojlt 1 +

2 'fjojpyI CJAP (Lx (9)

Осуществив разложение в ряд и ограничившись первыми двумя членами разложения, получим

Z = 1 dp Р (Lx (1 + /)

/ р _А_ с]рГ]/р(0) Afi (Lx , ( Ю )

где A=V2/(cuyp(0)) — эквивалентная глубина про-


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Итерационные решения уравнения Рикатти 53

никновения электромагнитного поля в линейном случае при ц=/и(0) = const в металле;/ДО) — модуль магнитной проницаемости на поверхности при х = 0 .

Принимая во внимание, что /л —р ехр( —jip), где /и игр — модуль и аргумент /Д и используя представление

Р dx Р cLx j cix ’1 clp _ 1 cl ft

P cLx P d

Z можно записать в виде

z ■ г Р ^ Ъ (1+Ле^ /2+ A dfi .A dtp

Ар dx 4 dx

( i i )

. ( 12)

Для определения величин dfi/dx и dxp/dx проще всего воспользоваться выражением (2). Интегрируя, найдем

~У / ZdxН 1 т ~ Н 1тФ)е (13)

Здесь Н 1т(0 )= Н 1т(х) | v==o на поверхности металла. Это выражение полностью совпадает с ВКБ-реше- нием при отсутствии отраженных волн [3], причем точность решения определяется только точностьюаппроксимации Z. Отсюда модуль

Н 1т = У Н 1 тН 1т = Н 1 т(°)е 0

( Л Z+Z

2 /dx

~yf ReZdx= Hi т (0)е о (14)

ИdHUu- ± ! L = - y H lmRcZ, (15)

* * . где Н 1т и Z — комплексы, сопряженные с Н 1т и Z.

Введем обозначения: RcZ—kR/(yA), ImZ==kx /(yA) где kR и кх — коэффициенты, показывающие во сколько раз изменяются активная и реактивная составляющие комплексного сопротивления в ферромагнитной среде по сравнению с линейной средой при д = л ( 0) = const.

Используя полученный результат, запишем

cj p - dp )'НъпReZ-(Lx .ciHlm dx(llf>-_ dtfj yH |„,ReZ-dx <1"ш dx

dH1 т dtp

dHlm

W lm dp .A ЛНш

W lnt (Ilf)A

(16)

Подставим эти выражения преобразований получим

в ( 11) и после

+ ./

А «)cos^ + sin^) -

Р ( ч>, m ( cosT

Sin-;

А4

-Н

и1 т dflР dH, -Г

1 тdtp

dH,, ; ]} •<17>

С другой стороны [3]

Z = ± ( k R +jkx ). (18)

Приравнивая вещественные и мнимые части этих выражений, найдем

kR=

кх =

№(0)_ р

КО)

cos— + sin-inf)[(cosy + siny

1 + t-H

1 [Hi m dflp dHlm

dtp

-1

lm dH,(1 9 )

Для упрощения процесса графического поиска производных dju/dHhn и dxp/dHbn введем параметры /и1 и хр 1 подкасательных на оси ординат в графиках /а=/и(Н1т) и гр=гр(Н 1т), таких что

dp _Mint dtp __

PiHint !v>i

Hint '

(20)

причем p <0 и 1рл<0 при положительных значениях производных [3].

Если нас интересует поверхностное комплексное сопротивление, то полагая на поверхности при

д-=0 /1=/1(0), yj-tp(0),Н1т=Я 1т(0),с ш 1т

dtp V-’i= u приводим КИ 1 ш(0)

результату:

^ 1= (cos + sin —p ) f i /<J,/ V 4jf/(0)

fcyi = (cos ^ - sin ^ \/ 4 ’

P i

(21)

что полностью совпадает с результатом, полученным в [3] для первого ВКБ-приближения.

Достоинство нового итерационного метода не только в его простоте, но также и в том, что открывается возможность, продолжая итерационный процесс, получать более точные приближения второго и третьего порядков. Индекс «1» при kR 1 и кХ 1 обозначает, что результаты относятся к первому приближению.

В качестве второго приближения возьмем выражение

2 ' _ Ja) dp 2yZ dx 9

(22)

вытекающее из (7), если пренебречь только второй производной.

Подставляя это приближение в уравнение (6), получим кубическое уравнение для Z:

Z 3 j°* p 2у

AL ¥ = о.ctx

(23)

Корень уравнения, соответствующий физике процесса

jarccos ( з /з j_ dfl \ \ A'/Jajyfi Р dx j (24)

Разложим полученное решение в ряд и ограничимся членами с (dfi/dx)2:


54 Итерационные решения уравнения Рикатти (ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

z = \уА (1+Яi

X

м , АК °)

( А А ) '(4* dx J

d/i 3(1 -Я

+ ...] (25)

Учтя выражения (11), (16) и (20), выделим вещественную и мнимую части комплексного сопротивления Z:

4 ц(0) 4 V /I

+jL w o )^ - f c o s ~ s in ^ ) _ ^ 1+ 2 у (cosf+sinf ) х( 0 ) \ 2 2 / 4 4 V д \ \ 2 2 /

' 8 д(0) + (COs | - s m f ) ^/ ..2-“1 ,2— -^1К °)

• (26)

Приравнивая вещественные части уравнений (18) и (26), получаем для Z квадратное уравнение:

k\ (cos^+sirA) (%р\— “ ■к АЛ V « 1 I 2 2/ (r l л(0)2 +

^cosy+sin^ = 0 , (27)

откуда для поверхностного комплексного сопротивления при /с= и (0) и гр=гр(0) найдем:

КД2-5 + s i „ ^

2 2

1 (“1 2 8/ЦО)"

i / f 1 1~2---------------1 — \L

V ( 2 8 д ( 0 ) \ 6 4 [ (

Д1"д (0):

( 1 + s i n V < 0 ) ) +

~ = ш = - <28)+ 2к о у с“ » <0>]

Здесь индекс «2» при kR 2 обозначает, что результат относится ко второму приближению.

Приравнивая мнимые части уравнений (18) и (26), получаем при тех же условиях на поверхности:

Кривые, построенные по уравнениям (28) и (29), а также по уравнениям (21), для стали

марки Ст.З при гармоническом изменении во времени напряженности магнитного поля с использованием графиков зависимостей /и и гр от Н 1т из работ [2, 3] приведены на рис. 1. Рас-

Р и с . 1

хождения результатов при первом и втором приближениях не превышают 6%, а в области слабых полей кривые практически совпадают. Дальнейшие итерации вряд ли приведут к заметному изменению кривых, поэтому можно сделать вывод, что формула Л.Р.Неймана [1, 4], по крайней мере для стали Ст.З, дает завышенное значение kR = 1,4. Более хорошее приближение в области средних полей дает формула Розенберга с kR = 4/3 [5, 6]. При слабых полях формулы Неймана и Розенберга не применимы.

На рис. 2 изображена кривая удельных поверхностных потерь в ферромагнитном полупро-

/>,Вт/м2

71

иг

}_2 ,

Укч

ПО200 500 ШН1тМыР и с . 2

странстве (кривая 1), рассчитанная для стали Ст.З при у = 7,14-106 С м /м и со = 314 рад/с по формуле [3]

p ya= ± R t Z ( 0 ) H l m ( 0 ) = k R . ( 3 0 )

По кривой отчетливо видна особенность, обусловленная минимумом значений коэффициента kR в области Я 1т (0) = 240—260 А /м и выража-


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Метод комплексных амплитуд 55

ющаяся в замедлении роста удельных поверхностных потерь на этом интервале изменения Н\т(0). Для сравнения на рис. 2 приведены кривые удельных поверхностных потерь при тех же значениях у и со, но при фиксированных значениях kR\ kR = 1,4 (Нейман, кривая 2), = 4 /3(Розенберг, кривая 3), /с = 1 (кривая 4).

Для получения более точных приближений необходимо учитывать влияние второй производной Z " в формуле (7), что приводит к появлению членов с первой производной dkR/dx. В этом случае получаем дифференциальное уравнение для определения kR и представить результат в виде формулы становится невозможным, хотя численные решения для частных случаев можно получать для сколь угодно далеких итераций.

________________ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ___________________

1. Нейман Л.Р., Демирчян K.C. Теоретические основы электротехники. Т.Н. 4 .IV . — М .—Л.: Энергия, 1966.

2. Кравченко А.Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики. — Киев: Наукова думка, 1989.

3. Пентегов И.В. Возможности использования ВКБ-ме- тода при исследовании поверхностного эффекта в ферромагнитных телах. — Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1988, № 1.

4. Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. — Л.— М.: Госэнергоиздат, 1949.

5. Rosenberg Е. Wirbelstrome in massive Eisen. — Electrotechn. und Masch.-Bau, 1923, В 41.

6. Ламмеранер И., Штафль M. Вихревые токи. — М . — Л.: Энергия, 1967.

[17.01.92]

А в т о р : Пентегов Игорь Владимировичокончил электромеханический факультет Московского энергетического института в 1956 г. В 1977 г. защитил докторскую диссертацию по теме «Основы теории зарядных цепей емкостных накопителей энергии» в Институте электродинамики АН УССР. Руководитель отдела источников питания Института электросварки им. Е.О.Па- тона АН Украины.

Метод комплексных амплитуд и его обобщение в теорииэлектрических цепей

БИРЮК Н.Д.

Метод комплексных амплитуд — самый распространенный метод анализа электрических цепей с постоянными параметрами. Он является «настольным» методом каждого электроинженера и не имеет конкурентов в электротехнике. Этот математический метод был предложен в 1883 г. ученым-электротехником Ч.П.Штейнмецем [1] именно для обслуживания электротехнических задач. Основные достоинства метода заключены в двух его качествах: он позволяет естественным путем преобразовывать дифференциальные уравнения в алгебраические, а также дает возможность обобщить метод анализа цепей постоянного тока на цепи гармонических токов. Метод комплексных амплитуд представляет собой вариант неэквивалентных преобразований, чем и отличается от других математических методов, в том числе и от близкого к нему операционного метода, представляющего собой вариант замены переменной. В основу метода положен принцип суперпозиции, поэтому принято считать, что он может быть применен только к линейным электрическим цепям.

В случае цепей с постоянными параметрами классическая задача анализа этим методом приводится к системе алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. В случае цепей с периодическими (с одним и тем же периодом) параметрами метод приводит к бесконечной си

стеме уравнений. При этом, если цепь описывается одним интегродифференциальным уравнением, то элементами матрицы бесконечной системы являются комплексные числа. При анализе таких цепей законы Киргофа приводят к системам определенного числа дифференциальных уравнений первого порядка. В таких случаях метод комплексных амплитуд приводит к бесконечной алгебраической системе, элементами матрицы которой являются матрицы же с комплексными числами в качестве своих элементов, причем порядок последних совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений

Этот результат для упомянутых цепей целесообразно считать основным, поскольку практика показывает, что хотя систему некоторого числа дифференциальных уравнений первого порядка в принципе всегда можно привести к одному дифференциальному уравнению более высокого порядка, однако такое приведение является весьма громоздким, а поэтому вряд ли оно найдет применение в электротехнике. Ниже сделана попытка ответить на вопрос, что дает метод комплексных амплитуд в случае анализа линейных цепей с квазипериодическими параметрами. Такими цепями являются, например, параметрические усилители, в которых для расширения частотного диапазона напряжение накачки модулируется по амплитуде или частоте. Заметим для полноты


56 Метод комплексных амплитуд ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

картины, что принцип линейного включения [2] позволяет утверждать, что при анализе нелинейных цепей метод комплексных амплитуд может найти применение. Однако это предмет специального рассмотрения.

Заметим, что квазипериодическая функция может быть разложена в ряд Фурье точно так же, как и периодическая, с той, однако, разницей что частоты отдельных гармоник могут быть несоизмеримыми. Спектр любой квазипериодиче- ской функции может быть представлен в виде определенного числа гармоник с несоизмеримыми частотами и их комбинационных частот. Число таких гармоник называется базисом квази- периодической функции. Базис последней всегда конечен — в отличие от более общей, почти периодической функции, базис которой может быть и бесконечным. Квазипериодическую функцию всегда можно аппроксимировать периодической функцией, причем точность аппроксимации тем выше, чем больше период последней.

Если параметры электрической цепи изменяются во времени по квазипериодическому закону, то метод комплексных амплитуд приводит к новому для электротехники математическому аппарату, пространственной бесконечной системе алгебраических уравнений. Основы соответствующей теории разрабатывались Н.П.Соколовым[3], однако электротехнические задачи имеют свою специфику, которая не охвачена упомянутой чисто математической теорией. Согласно этой теории матрица многомерной системы алгебраических уравнений представляет собой куб в многомерном пространстве (для обычной матрицы это куб в > двумерном пространстве, т.е. квадрат), порядок обычной матрицы записывается в виде (/г, п), трехмерной — (л, п, л), четырехмерной (л, л, л, л) и т.д. Неизвестная матрица в многомерной системе не обязательно является вектор-столбцом, т.е. кубом в одномерном пространстве, это может быть куб в пространстве иной размерности.

При анализе электрических цепей получаются пространственные системы уравнений со своими особенностями [4], а именно, это бесконечные системы, кроме того, их матрицы и свободные матрицы обязательно имеют четную размерность, а неизвестные матрицы и свободные матрицы правой части имеют одинаковые размерности, причем вдвое меньшие размерности матрицы системы. Умножаются пространственные матрицы по разным правилам, зависящим от размерностей перемножаемых матриц. Таким образом, существует бесконечное множество математических действий умножения многомерных матриц, в которое входит и умножение обычных матриц. Элементы этого множества могут быть названы многоиндексными умножениями.

Очевидно, элементы многомерной матрицы имеют столько индексов, какова размерность матрицы. Две матрицы могут перемножаться лишь в том случае, когда порядки по нескольким последним индексам первой матрицы совпадают с соответствующими порядками такого же числа первых индексов второй матрицы. Например, четырехмерная система второго порядка запишется

так:

А • • X = F, ( 1)

A = { ai j 9k,i] ~~ четырехмерная матрица порядка (2, 2, 2, 2); Х = { х Аг/} и F {fi j } — двумерная матрица порядка (2, i ) .

Двумя точками, расположенными по горизонтали, обозначено двухиндексное умножение, которое через элементы матриц может быть представлено так:

2 2

2] X ai,h lXk,l= , i j = 1 ,2 .k= 1 1 = 1

—tОднако в случае параметрических цепей по

лучаются матрицы бесконечного порядка, поэтому аналогичная предыдущей формула имеет вид

00 00

X 2 aijjetxkf =f i j ’ Ч = - 1 , 0 , 1 , . . ( 2 )k— — oo / = — 00

В качестве примера рассмотрим последовательный контур, у которого элементы R, L и 5 = С-1 изменяются во времени по закону, выражение которого дадим в обобщенном виде:

^ =^о[1+ т р1с08( ^ 1 + ^р1) + mp2C0S(^ 2 + ^p2)]j (3)

где вместо Р нужно подставлять обозначения элементов R, L или 5. .

Как видно, элементы контура изменяются во времени по квазипериодическому закону с базисом, равным двум. Можно показать, что изображение [4] (термин метода комплексных амплитуд) тока в случае вынужденного колебания имеет вид

Г + 2 2 ikje K w+kQi +ia2)t , (4)k= — 00 /= — 00

т. е. представляет собой квазипериодическую функцию с базисом, равным двум. Уравнение типа ( 1) в данном случае может быть представлено в виде

Z • • / = £ , (5)

Z= {ZkiC'ju} — четырехмерная бесконечная матрица;I = {4 ,/Л, £ = {^kj} ~~ двумерные бесконечные матрицы.

Ниже приведены отличные от нуля элементы матрицы Z:

z km - Ro+ j (в) -1-Ш х + /^ 2)^о5,о

i+kQ. +№.2

Z w - u —jj-Rc/wl +ЛШ + 1) QX+ lQ2]L(/nu ~

_ M i ] .6У + (А'—1)Q| 4-/Q2 J ?

Z k J M + l J = j \ R On h + A w - + (.l c + -


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Метод комплексных амплитуд 57

_ a A i h6f> + (A'+ 1)Q1+/Q2 J 5

Zk,V<,l- l~ \ \ ^ -6 l n 2 + j[w + k Q 1 + ( / - 1 ) Q 2 ]^ 0 ,” L 2 _

_ jSp ms2 1 .ct>4-A:Qi + (Z— 1)Q 21 *

Zk,lJ<J+ 1 = ^ | ^ 0 m 2 + j[w + k Q 1 + ( / + ~

_ JSo"’s2 ] .

<jo+kQl + (l+ l)Q2 J *

00 “ em •

Здесь i n i = m i е№г; = e J ' f i ; п ц =

\ / 2 2 ( а ^ о )\jmRl + т1.\

«01+ 2 mRlmLl— sin((pwi - ^ L1);

<Pi =arctg-m RIs" 1 1P/U + m L 1 COS '/’Ll

; /?г2 =raRlcos tpRL + mL1 '<Pli

1 / 2 , 2 q2l0\JmR2 + «0V /

+ 2 mR2mL2-£ -2 sm((pR2 -<pL2);

a 2 0m/?2s,n + mL2 ft c°s <Pl2f i = arctg----------------------- q J --------- ;

'”«2 cos W<2 + mL2 -2sin y>L2

■ *ihLi = mLi e J<pci, mLi = mL[ e ~№la и т .д .

Разработка практически приемлемых методов решения пространственных систем уравнений — актуальная задача, стоящая перед математиками. Широко распространен метод решения, применяющийся в тензорном анализе и заключающийся в том, что сначала пространственная система уравнений преобразуется в плоскую, затем последняя решается обычным способом. Есть также рекомендации [3] по прямому решению пространственных систем, однако . громоздкость

такого подхода является существенным препятствием на пути его практического решения.

Метод комплексных амплитуд может быть применен и при анализе свободных колебаний. Можно показать, что изображение затухающей синусоиды с частотой сис и коэффициентом затухания а такое же, как и незатухающей синусоиды с комплексной частотой (bc=w c+ ja , которая в задаче о свободных колебаниях обычно является неизвестной. Отметим, что при этом затухание всех гармоник получается одинаковым, т.е. объединения спектра во времени не происходит.

Итак, уточнена область применимости метода комплексных амплитуд, которая оказывается много шире, чем обычно принято считать. Кроме того, получена качественно полная картина задачи анализа линейных электрических цепей с ква- зипериодическими параметрами. Принцип линейного включения однозначно приводит к выводу, что метод комплексных амплитуд может быть применен и для анализа нелинейных электрических цепей. При этом анализ конечно же усложнится, однако в таких цепях никаких новых процессов по сравнению с линейными цепями с переменными параметрами быть не может.

СПИСОК ЛИТЕРА 1УРЫ

1. К р у к о в с к и й А .В . Цепь переменного тока при периодическом изменении коэффициента самоиндукции (Экспериментальное и теоретическое исследование).— Киев, 1912.

2. Т е о р и я показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости/ Б.Ф.Былов, Р.Э.Виноград, Д .М .Гроб- ман, В.В.Немыцкий. — М.: Наука, 1966. 5 76 с.

3. С о к о л о в Н.П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: Физматгосиздат, 1980.

4. Б и р ю к Н.Д. Многомерные алгебраические уравнения в анализе радиофизических систем. — Тезисы докладов 10-й Международной конференции по нелинейным колебаниям, София. 1984.

5. В е л и ч к о Ю .Т . Теоретичж основн радютехшчних мереж. — Льв1в: ЛДУ, 1966.

[20.06.911

А в т о р : Бирюк Николай Данилович окончил радиотехнический факультет Харьковского политехнического института в I960 г. В 1968 г. защитил кандидатскую диссертацию по специальности «Теоретические основы радиотехники» во Львовском политехническом институте. Доцент кафедры экспериментальной физики Воронежского государственного университета.


Метод кинематических аналогий в теории параметрической оптимизации нелинейных

электрических цепейНОВОСЕЛЬЦЕВ А.В.

Введение. Объектом оптимизации в данной работе служат нелинейные электрические цепи (НЭЦ) с сосредоточенными параметрами, являющиеся неотъемлемой составной частью устройств преобразовательной техники. Последние, как известно, обладают всеми свойствами, присущими большим техническим системам, в том числе иерархией структуры, многорежим ностью, много- канальностью, взаимосвязью времени выключения вентилей с параметрами электромагнитных процессов и тд. Естественным образом число * п показателей качества Fs = (F l ,F 2, ...,F„), адекватно характеризующих электрические цепи преобразовательной системы, всегда больше единицы, что и создает дополнительные, а зачастую и непреодолимые трудности достижения оптимального в векторном смысле решения [1, 2].

В качестве первой исходной посылки предлагаемой теории примем, что задача анализа электромагнитных процессов в данной НЭЦ* решена и определены все токи и напряжения на зажимах ее элементов. При этом математическую модель НЭЦ с сосредоточенными параметрами несложно представить в виде совокупности кусочно-линейных подсистем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые «сшиваются» во времени и пространстве методом припасо- вывания [2, 3]. В качестве второй исходной посылки примем, что существует (имеется в наличии) приемлемый алгоритм оптимизации такого рода НЭЦ [1}: Третьей и, к сожалению, самой неформализованной посылкой современной теории оптимизации НЭЦ являются процедуры выбора показателей качества (компонент векторной целевой функции), которые, как известно, решающим образом определяют конечный результат оптимизации. Более того, сложилось правило, по которому показатели качества НЭЦ не определяются, а назначаются субъектом оптимизации (лицом, принимающим решение) [4, 5].

С методологической точки зрения параметрическая оптимизация НЭЦ представляет собой итерационный процесс поиска компромиссных общесистемных решений в иерархической структуре взаимообусловленных частных показателей качества (критериев полезности) [4]. В настоящее время наметились два направления такого поиска. Первое использует скаляризацию вектора системной целевой функции [1]„ а второе — человеко-машинные процедуры выбора в задаче многоцелевой оптимизации [5]. К сожалению, известные процедуры решают системную задачу оптимизации НЭЦ, исходя из субъективных предпочтений, поскольку не имеют в своем арсенале универсальной (системной) единицы измерения (сопоставления) качественно различных составляющих Fs , что естественным образом не

может не приводить к субъективно-оптимальным результатам [1].

Наиболее полное решение системной задачи получено в классической механике [6], где в качестве универсальной единицы измерения используется физически прозрачное понятие меры движения, которое, как известно, охватывает собой любые процессы или изменения, происходящие в замкнутой механической системе. Однако получить аналогичные результаты в теории статических (неподвижных) НЭЦ не удается, поскольку даже в простейших случаях электромеханические аналоги носят существенно ограниченный, частный характер [7].

Постановка задачи. Целью настоящей работы является обоснование общесистемной кинематической меры сопротивления качественно различных видов движения в НЭЦ, которая в рамках ограничений и допущений теории электрических цепей с сосредоточенными параметрами адекватно отображает динамику электромагнитных процессов в НЭЦ с учетом возможных изломов и скачков траекторий движения вектор-функций токов и напряжений.

Напомним, что кинематика есть не что иное, как геометрия, в которой независимой переменной служит время; движущийся объект в кинематике важен лишь по своей форме и по своему положению; это объект геометрический: точка, линия, поверхность, тело или совокупность их [8]. Если в качестве объектов исследования рассматривать токи (/) и напряжения (и), то «кинематическая» форма движения каждого из них может быть определена как траектория (линия) движения во времени концов вектор-функций (I), (и) этих токов и напряжений. При изменении времени, а также других параметров, например, ЭДС, индуктивностей L, емкостей С, сопротивлений R и проводимостей G, траектория движения превращается в /г-мерную поверхность движения, которая в соответствии с определением также характеризуется /г-мерной «кинематической» формой.

Целесообразность кинематической постановки системной задачи объясняется тем, что в отличие от методов аналитической механики [6, 7], метод кинематических аналогий (КМ А) рассматривает форму поверхности движения вне зависимости от природы ее сил, ее обуславливающих [8]. Являясь недостатком (слабой стороной) при анализе движения, это свойство МКА оказывается решающим для его использования при оптимизации электрических цепей и систем, электромагнитное состояние которых полностью определяется кинематическими характеристиками поверхности движения /, г/, в частности, амплитудой, частотой, гармоническим составом и т.д. токов и напряжений.


«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Метод кинематических аналогий 59

Идея МКА проста. С одной стороны, формой обладает поверхность движения любых вектор- функций, в том числе отображающих движение в пространстве-структуре НЭЦ, будь то поверхность движения вектор-функции электромагнитной энергии, времени включения вентилей и т.д. С другой стороны, любое изменение формы по- церхности движения однозначно связано с дополнительными затратами энергии, «действия» и т.д. [6]. Отсюда очевидна целесообразность общесистемной минимизации величины суммарных измерений формы поверхности движения в элементах НЭЦ относительно величины полезной (с точки зрения субъекта) составляющей этого движения, тем более, что в методе МКА процедура минимизации всегда определена, поскольку кинематическая мера системного движения (мера системной полезности) является величиной с к а л я р н о й и а д д и т и в н о й [9,10]. Отметим, что основоположником МКА является Ампер, а его основной вариационный принцип разработан Герцем [8].

Принцип Герца определяет ту экстремальную геометрическую форму, к которой стремится любой объект или процесс в своем естественном развитии. Как оказалось [6], этот принцип охватывает собой практически все многообразие экстремальных «действий» аналитической механики, по сути являясь формализованным средством построения общесистемной функции полезности в задаче многокритериальной (векторной) оптимизации параметров формы движения. Общее содержание принципа Герца можно сформулировать следующим образом: для любого естественного (свободного от действия сил) движения существует экстремальная геометрическая форма поверхности, движение по которой проходит вдоль прямейшего и кратчайшего пути за кратчайшее время.

Подтверждением существования такого рода «действий» в электротехнике может служить синусоидальная форма кривой напряжения (тока),

которая в большинстве практических применений является обязательным сопутствующим признаком оптимального (в векторном смысле) состояния электротехнической системы переменного тока [1, 2, 5]. Однако, для корректного и, тем более, формального использования принципа Герца в теории параметрической оптимизации НЭЦ необходимы дополнительные знания, в первую очередь, геометрии (нормы, метрики, меры и т.д.) пространства, в котором осуществляется движение оптимизируемых параметров НЭЦ и формы конкретного инварианта, относительно которого сохраняется тождественность преобразований составляющих вектора целевой функции.

Обоснование геометрии. Понятие меры является базовой величиной геометрии любого пространства, на основе которой увязываются в единое целое характеристики движения всех его разнородных параметров. Понятие меры движения подробно анализировалось в классической физике, механике и электродинамике [9]. По сведениям, имеющимся у автора, обоснование меры движения переменных состояния статических электрических систем и цепей выполнено впервые.

Определение: под движением в статической НЭЦ будем понимать изменение ее электромагнитного состояния, определяемого мерой дви- жешш в форме скалярной функции состояния W(u, /), зависящей от положения и скоростей носителей движения, а под понятием «скорости» этого движения — тензорную величину Q=Q(ti,/J, образованную двумя ортогональными подпростран^ ствами вектор-функций тока / и напряжения и.

Проводя аналогию между уравнениями движения модели идеального механического волчка с закрепленной осью вращения и уравнениями связи переменных состояния для линейных участков вольт-амперных характеристик R - , G - , L - , С-элементов НЭЦ (отдельные результаты, показывающие сопоставимые величины модели, L и С элементов цепи, приведены в табл. 1), по-

Таблица 1

К и н ем ати ческая м о д е л ь И ндуктивны й эл е м е н т Е м к о стн ы й э л е м е н т

Величина Ф орм ул а Величина Ф орм ула Величина Ф ор м ул а

Угол поворота ip н>? Заряд 4l Заряд Я с

Радиус кривизны /э рп Индуктивность L Эластанс 1/С

Угловая скорость ю (cl<p/clt)t> Ток il d4L/dl Ток ic dqc/dl

Длина дуги Г PV=P<P? - blL Напряжение ис Чс/СЛинейная скорость i?

dln x=p- ^

Потокосцепление самоиндукции ipi LdqL/dt

Скорость изменения напряжения ~;dqc/dt

Касательное ускорение Шт Напряжение иь Lcl2qL/dt - ± d 2qc/dt2

Нормальное ускорение (Оп V2-, 2->

-----n —p(JL> np

Энергия 2 Wl Ul - ic/C

Статический момент М(р - Энергия Wc Wc=~A2 c 2 C

т — правая система трех ортов (касательной, главной нормали и бинормали) сопровождающего трехгранника.


60 Метод кинематических аналогий «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

думаем уравнение сохранения меры движения в НЭЦ [10]:

d 2 W \ Q \-»г»U 1 d 2 W 1 i ) W '

д и d i ~ |й|2 cl | Q | 2 |Q| d|£2|

В отличие от известных аналогов электромеханики, устанавливающих соответствие между подобными (изоморфными) элементами разнородных электрической и механической подсистем, кинематическая модель (табл. 1) адекватно отображает соответствие между параметрами МКА — модели и конститутивными законами разнородных R - , G - , L - , С -элементов НЭЦ, т.е. определяет долю общего между этими элементами с точки зрения кинематики (формы) происходящего в них движения.

В координатах переменных состояния цепи уравнение ( 1) распадается на две независимые (ортогональные) системы уравнений, решения которых (мера движения) имеют вид энергетических функций:

W x = р х /3/ 2 , W2 = р2 и2/2 ,(2)

где постоянные p x=z { R £ } , p i - {G ,C} характеризуют «искривление» (кривизну) электрокинематиче- ского процесса (см. табл. 1).

Единица меры движения (в математике — норма) определяется при условии р { ,р2 = 1 , когда на зажимах элементов действуют напряжения ик (или протекают через зажимы токи ik)\

I \тH i ( I ы i2 + 1Ы 12ь (з)V к

Совокупность приведенных свойств является фундаментальной и поэтому может служить классификационной нормой соответствия существующих критериев качества (эффективности, полезности и т.д.) процессов в НЭЦ норме евклидова пространства.

Обоснование формы инварианта. Анализ свойств симметрии, сохранения и экстремальности евклидова пространства [4], определяемых уравнением ( 1), однозначно показывает, что кинематическая форма свободного движения переменных состояния НЭЦ адекватно отображается одним параметром — кривизной, которая удовлетворяет всем вышеперечисленным свойствам меры движения при условии, что

£ = const или dk^/dipÔ, (4)

где 1<ь — вектор кривизны траектории (форма) движения, т.е. иугем стабилизации величины кь.

В рамках ограничений МКА этот вывод согласуется с принципом экстремальности Плато [12], который утверждает, что форма свободного движения в центросимметричном евклидовом пространстве должна обладать постоянной кривизной. Покажем, что эта аналогия справедлива. Дифференциальное уравнение линий постоянной кривизны kb = const в полярной системе координат (р,^о), отображающей цилиндрическую группу симметрии векторов электромагнитного поля, имеет вид [13]

р 2 +3 /2

Р2 = 0 . (5)

т.е. нормы сигналов напряжения и тока принимают следующий вид:

' 00 \ 1/2 1 00 \«*1 1 = / Щ \di , l l / * l l = / i}dt

-00 J — ocV

где к перечисляет элементы НЭЦ.Норма может вводиться различными спосо

бами, однако тот факт, что полученная ее величина пропорциональна среднеквадратичному значению показывает, что это — евклидова норма, а пространство переменных состояния НЭЦ вне (на) зажимах ее элементов — евклидово пространство.

Более полный анализ выражений (1 )—(3) позволяет установить, что мера электромагнитного процесса в евклидовом пространстве электрической цепи, а также любая энергетическая оценка этого движения, не отрицающая норму (3), должны обладать следующими свойствами [10, 11]: относительности меры одного и того же процесса в разных инерциальных системах отсчета; изотропности вида функции W(Q) во всех инерциальных системах отсчета; аддитивности мер движения всех составляющих элементов; инвариантности меры движения по отношению к повороту системы отсчета; сохранения меры движения замкнутей системы; ортогональности составляющих и, / тензора скорости.

При р = const траектория движения радиус-вектора р((р) представляет собой окружность, которая в полярной системе координат отображает постоянные токи и напряжения u(t) = const, /(0 = const. Отсюда следует, что система вектор- функции постоянных токов и напряжений, образующая минимальную поверхность пространства переменных состояния НЭЦ, является системой с экстремальной формой поверхности движения. Как известно, такая форма обладает наименьшим совокупным «действием» [6], что обеспечивает ей самые благоприятные с энергетической точки зрения условия существования в евклидовом пространстве НЭЦ.

Общее решение уравнения (5) содержит кривую постоянной нулевой кривизны, которая про- тиворечит.евклидову пространству НЭЦ, и кривую постоянной положительной кривизны НЭЦ, которая определяет синусоидальную форму траектории движения. Полученные решения представляют собой полную систему допустимых в евклидовом пространстве НЭЦ траекторий движения постоянной кривизны, поскольку сфера является единственно возможной поверхностью постоянной положительной кривизны в классе гладких замкну! ых поверхностей [12].

Принцип оптимальности. Если воспользоваться идеей Герца и по аналогии из системной целевой функции НЭЦ выделить ее экстремальную часть, определяемую свободным (без принуждения) движением вида (4), то можно


(ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Метод кинематических аналогий 61

записать

Fs = ( ? sс в . 4 п Р) = extr, ( 6 )

где FsCB, FSnp — свободная и принужденная составляющие Fs , причем FScB будет априори оптимальной в векторном смысле, поскольку по определению охватывает собой все многообразие «действий», производимых движением вектор- функций токов и напряжений в условиях окружающего НЭЦ пространства.

Что касается принужденного движения, то здесь ситуация выбора инварианта не определяется одним уравнением (4), а допускает определенный произвол, обусловленный разнообразием практических целей, а также средств и путей их достижения. Но в любом случае сложные формы поверхности принужденного движения, происходящего, как правило, в широком диапазоне частот и с различной интенсивностью, должны удовлетворять всем свойствам меры движения, включая свойство сохранения, вытекающее из общего решения уравнения ( 1).

Известно, что каждый из законов сохранения, в том числе (1) и (4), является следствием определенного вида симметрии, присущего движению в НЭЦ [4, 6, 14]. Поэтому формапринужденного движения будет оптимальной только тогда, когда все элементы ее собственной симметрии, трансформируясь (изменяясь), совпадут с элементами симметрии окружающей среды евклидова пространства [15].

Поскольку пространство переменных состояния НЭЦ вне зажимов ее элементов является евклидовым, то для общесистемной модели будут справедливы для формы записи принципа оптимальности, минимизирующие либо пространственно-временные метрики (расстояния) между радиус-векторами параметров принужденного и свободного движения переменных состояния НЭЦ, либо отношения квадратов норм (энергий) этих векторов. Во втором случае имеем

' ii4 pi i 2 I i4.pi 12 м 4 в М 2 i i 4 Bi i 2~’

= m in. ( 7 )

Нетрудно показать теоретически, что центр симметрии (кривизны) формы поверхности свободного движения переменных состояния НЭЦ совпадает с координатами радиус-вектора, определяемого величиной постоянной составляющей, а также амплитудой и фазой первой гармоники этого движения, что позволяет конкретизировать принцип оптимальности движения переменных состояния НЭЦ следующим образом: стратегия оптимизации параметров движения переменных состояния НЭЦ обладает тем свойством, что какова бы ни была форма поверхности начального принужденного движения, последующие ее изменения должны минимизировать величину отношения квадратов норм радиус-вектора параметров принужденного движения к радиус-вектору, определяющему центр симметрии (кривизну) параметров свободного движения.

Численный эксперимент. Рассмотрим основ

ные этапы решения задачи многокритериальной оптимизации параметров НЭЦ на примере автономного тиристорного инвертора (АИ ) с обратными диодами и удвоением частоты, схема и принцип работы которого достаточно полно описаны в литературе [1, 2, 5]. В соответствии с выражением (6) сформулируем векторную целевую функцию АИ в виде двух групп составляющих, п обозначенных компонент которых представим в форме (7). Имеем

^5“ С св1> св2> •••> свЬ^прЪ^пр2> =

= (AML J iiL L IM1 I mi 114 1 .Ill'll1 К 1 Г Ill'll Г I KI I I U i i r < M > ’ < M > ’

<Ul>м v_ ц_ j>_

> n ’ p > p > p » 'U * LI I U * U

(8)

где знак < • > обозначает среднее за период значение функции; l+s=n.

В дыражении (8) группа свободной составляющей Fs представлена компонентами (7 ) отдельно по напряжению, току и мощности и записана относительно первой гармоники (wi,/‘i ) и среднего по модулю значения ( < | и \ >, < | / 1 > ) токов и напряжений в каждом элементе НЭЦ АИ, включая и нагрузку. Группа принужденной составляющей Fs содержит относительные значения технико-экономических показателей НЭЦ АИ, в частности, массы (М), объема (К), цены (Ц ) и установленной мощности (5), а также компонент специфических для данной НЭЦ показателей, в том числе, времени (tB), предоставляемого схемой АИ для восстановления управляющих свойств тиристоров в установившемся режиме работы (t'B — то же, в переходном режиме).

Таким образом, первая группа критериев качества будет отображать экстремальные свойства евклидова пространства переменных состояния НЭЦ АИ, а вторая группа — цели и имеющиеся средства субъекта оптимизации^(лица, принимающего решение). Обе группы Fs без ущерба для работы алгоритма оптимизации могут быть пополнены и другими компонентами, представленными в форме (7), — при этом алгоритм не будет затенять действия ни одного из обозначенных локальных критериев качества, однозначно указывая величину уступок, ценой которых будет достигаться компромиссно-оптимальное решение векторной задачи параметрической оптимизации НЭЦ АИ.

Как известно [1, 2, 5], область допустимых решений (рабочих режимов) данного АИ ограничена составной системой обыкновенных дифференциальных уравнений седьмого порядка (четыре индуктивности: Ьъ L2, L3, L\ три емкости: С\ С1? С2 и четыре вентильных группы: тиристор и диод), параметрическими, функциональными и критериальными ограничениями. В данном вычислительном эксперименте просмотр области, заданной исходными ограничениями, осуществляется при помощи 200 равномерно распределенных пробных точек


62 Метод кинематических аналогий (ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

Алт — сетки [16]. Число рабочих режимов (точек) р, удовлетворяющих всем заданным ограничениям, оказалось равным 44.

Вычисляя в этих точках значения составляющих вектора (8) и проводя их естественную нормализацию, получаем таблицу (матрицу) испытаний, содержащую п подматриц размерами р хт каждая, т.е. всего 484 вектора с восемью компонентами каждый (по числу ш = 8 элементов АИ). В результате просмотра таблицы имеем параметры рабочих режимов АИ, приближенно экстремальные по любому из локальных критериев качества (8).

Положительными свойствами рассматриваемого принципа оптимальности (7) является то, что векторная задача оптимизации здесь решается аналогично скалярной, т.е. путем компенсации нарушений симметрии (стабилизации кривизны по уравнению (4 )) с тем принципиальным отличием, что компенсации будут подлежать нарушения, обусловленные влиянием локальных составляющих векторной целевой функции (8). Степень этого влияния учитывается на основе энергетических оценок (2), позволяющих на любом уровне суммирования отклонений кривизны движения переменных состояния НЭЦ от постоянной величины (4) выделять те действия, которые обладают минимальной суммарной «энергией» вне зависимости от того, какими причинами, объективными или субъективными, эти действия вызваны.

В результате получим прямоугольную матрицу К размерами s x l численных оценок взаимного влияния п обозначенных показателей качества (8),

каждый элемент кр. которой будет представлять собой подматрицу размерами р х т , где kfr= = (J3f £,?) 1/2образуется произведением нормализованных значений Р(р<у и одноименных элементов подматриц испытаний Fnpp и FCBr, соответственно;

/ = М , '*=М , j = h p , к=Тут.

Используя свойство аддитивности меры движения, в соответствии с принципом суперпозиции несимметрий [15], суммируем вначале по строкам, а затем и по одноименным режимам (по столбцам), элементы каждой из s x l подматриц к р образуя матрицу размерами p x l Учитывая правило (4), задаем несколько фиксированных значений (в данном эксперименте 3) радиус-векторов постоянной кривизны, тем самым выделяя из этой матрицы подмножества- векторов (обозначенных номерами /) эффективных решений НЭЦ АИ. Имеем 1, 9, 1£, IS, 22, 32, 37, 4Q => 16, 18, 37, 4Q 40.

Таким образом, вектор (рабочий режим АИ) под номером 40 признан оптимальным в смысле принципа (7). Отметим, что по результатам многокритериальной оптимизации данного АИ, выполненной в [5], оптимальным также был признанрежим 40. При этом в качестве Fs рассматривались другие девять критериев, установленные в результате длительного (более 15 лет) опыта параметрической оптимизации данного инвертора.

На второй итерации работы алгоритма присвоим рабочему режиму 40 АИ первый номер и повторим все этапы оптимизации, начиная с установления более жестких ограничений, пре-

Таблица 2

j Ly, мкГн Z>2. мкГн A3, мкГн А\ мкГн С\ мкФ С|. мкФ С2, мкФ /в . М КС

1 67,274 2446,345 11,620 12,232 311,849 62,370 171,517 162,3662 74,458 2484,619 12,868 12,949 294,571 60,755 139,921 163,57411 72,201 2482,408 11,277 12,422 307,078 61,895 159,297 171,81914 57,412 1793,388 8,568 9,279 411,099 71,300 228,674 171,523

Таблица 3

j "1л- в УL2' В в uL\ в Vc . в uCL, в UС2' В В

1 444,714 294,194 77,027 277,442 285,969 706,043 516,877 - 904,5912 470,118 307,345 81.583 285,424 294,198 714,522 523,689 921.836И 463,620 298,955 72,669 ‘ 279,548 288,142 712,794 519,120 911,60414 426,140 256,145 63,800 241,654 249,082 680,409 512,658 854,188

Таблица 4

j lL 1 . Г I' А lL2' А lL3,C2' А , /7/ , А 'с - А б с р ' А 6 ' m a x ’ А / 'в. М К С

1 413,477 200,147 363,444 1442,872 1405,404 255,209 813,260 147,7662 402.839 200,155 351,707 1402,274 1365,237 251,721 786,971 148,17011 409,165 200,145 358,776 1432,733 1393,791 254,960 798,687 152,24114 458,875 200,207 414,861 1656,942 1612,828 277,404 892,141 159,779

Таблица 5

j Рн кВт SH кВ А QH кВ А* Du кВ-А кВ А Qs кВ-А (jj • кВ ■ А 1у А / М КС

1 100,000 412,597 400,168 9,821 400,290 921,982 923,302 15,6682 100,000 412,530 400,118 9,220 400,222 920,225 928,060 14,899И 100,000 412,521 400,113 9,092 400,221 923,199 929,567 15,19114 100,000 412,664 400,249 8,960 400,346 968,725 947.622 17.181


(ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Метод кинематических аналогий 63

дельные границы изменения которых вычислены на первой итерации. При этом уменьшим гиперобъем области поиска в 500 тыс. раз и выполним в ней вдвое меньше пробных расчетов. На этот раз получаем 62 рабочих режима, т.е. эффективность поиска по сравнению с первой итерацией возросла в 2,82 раза. И, наконец, на последнем этапе устанавливаем три подозрительных на экстремум рабочих режима (2, 11, 15), оптимальным среди которых по принципу (7) будет режим 2, который одновременно является парето-оптимальным относительно режима 1 по абсолютному большинству локальных критериев (8), немного (на 4,6%) уступая первому по установленной мощности вентилей.

Для сравнения в табл. 2—4 приведены значения сосредоточенных параметров элементов НЭЦ АИ, а также средние, действующие и максимальные значения их токов и напряжений для режимов 1, 2, 11 и 14 работы АИ при напряжении источника питания 500 В и рабочей частоте 2,5 кГц. В табл. 5 для этих режимов показаны значения составляющих полной мощности в нагрузке, а также суммарные и установленные мощности реактивных и вентильных элементов АИ, Можно констатировать, что на первой итерации значения локальных показателей качества (8) были улучшены на 20—30% по сравнению с аналогичными параметрами инвертора, полученными в результате его скалярной оптимизации по установленной мощности реактивных элементов [1], а на второй итерации — от 3 до 5%.

Выводы, Метод кинематических аналогий позволяет: разработать теоретические основы, определить вид и формулу принципа оптимальности сосредоточенных параметров НЭЦ; формальным образом представить любую априори заданную компоненту векторной целевой функции НЭЦ в достаточно универсальном виде, отображающем диалектику взаимодействия субъективных и объективных свойств указанных компонент; используя свойства симметрии (кривизны), численные значения компонент целевой функции, имеющих, как правило, различную физическую природу, последовательно свернуть и представить в виде единого номера или числа, причем на двух системных уровнях, — уровне элементов и уровне НЭЦ в целом.

В результате, если какой-либо из элементов НЭЦ с точки зрения окружающего (евклидова) пространства работает в более выгодных (более симметричных), чем другие, условиях (режимах), то именно он и получает наиболее широкие возможности для своего развития и использования.

Аналогичным образом МКА позволяет получать новые решения и других самостоятельных задач теории НЭЦ, связанных с необходимостью системного анализа кинематической формы электромагнитных процессов в физически разнород

ных элементах НЭЦ, в частности, задач теории мощности [11, 17] и векторного синтеза сигналов квазисинусоидальной формы [18].

_________ СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ___________________

1. Тонкаль В.Е., Новосельцев А.В., Черных Ю.К. Оптимизация параметров автономных инверторов. — Киев: Наукова думка, 1985.

2. Васильев А.С., Гуревич С.Г., Иоффе Ю.С. Источники питания электротермических установок. — М.: ‘Энергоатомиз- дат, 1985.

3. Димерчян K.C., Бутырин П А . Моделирование и машинный расчет электрических цепей. — М.: Высшая школа, 1988.

4. Новосельцев А.В. Методологические аспекты теории преобразователей. — BicHUK А Н УССР, 1990, № 7.

5. Черных Ю.К. Человеко-машинная процедура поиска решений задач многоцелевой оптимизации параметров статических преобразователей. — Изв. вузов. Энергетика, 1988,

- № 6.6. Полак Л.С. Вариационные принципы механики. —

М.: Госиздат, 1960.7. Синицкий Л А . Методы аналитической механики в

теории электрических цепей. — Львов: Вигца школа, 1978.8. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой

связи. — М.: Изд-во АН СССР, 1959.9. Милях A.H., Шидловский A.K. Принцип взаимности

и обратимость явлений в электротехнике. — Киев: Наукова думка, 1967.

10. Новосельцев А.В. Мера движения в электрических системах. — Докл. А Н УССР. Сер. А, 1990, N9 6.

11. Тонкаль В.Е., Новосельцев А.В., Стрелков М.Т. Сопряженные формы интегральных составляющих мощности. — Электронное моделирование, 1989, т. 11, № 1.

12. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. — М.: Наука, 1987.

13. Новосельцев А.В. Минимальные формы свободного движения в электрической системе. — Докл. АН УССР. Сер. А, 1990, № 11.

14. Новосельцев А.В. Симметрия отображения переменных состояния линейной электрической цепи. — Электронное моделирование, 1989, т. 11, № 4.

15. Кюри П. О симметрии в физических явлениях: Симметрия электрического и магнитного полей. — Избр. труды. — М. —Л.: Наука, 1966.

16. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. — М.: Наука, 1981.

17. Демирчян К.С. Реактивная или обменная мощность? — Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1984, № 2.

18. Тонкаль В.Е., Гречко Э.Й., Кулешов Ю.Е. Оптимальный синтез автономных инверторов с амплитуд но-им пульс ной модуляцией. — Киев: Наукова думка, 1987.

[08.06.92.]

А в т о р : Новосельцев Александр Викторович окончил в 1972 г. факультет автоматики и электроприборостроения Киевского политехнического института, В 1992 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Теория параметрического синтеза автономных инверторов на основе «кинематических» моделей движения» в Институте электродинамики А Н Украины. Заведующий лабораторией м ет одов энергосбережения в системах с преобразователями электрической энергии в Институте проблем энергоснабжения А Н Украины.


Оптимизация формул схемных функций электрических цепей

ФИЛАРЕТОВ В.В.

В 1902—1904 гг. немецким физиком Фой- снером были предложены методы разложения определителя пассивной, без взаимоиндуктивностей, Z -схемы (У-схемы) по 2-ветви (у-ветви), по z- контуру (у-узлу), по z-узлу (у-контуру), а также топологическая формула для расчета передаточных функций с использованием путей передачи [1, 2]. Методы Фойснера (соответственно первый, второй и третий) предусматривают поэтапное разложение знаменателя схемной функции — определителя схемы. Далее под определителем схемы понимается определитель соответствующей матрицы. Это подчеркивает то обстоятельство, что топологические методы предназначены для получения схемной функции, минуя формирование матрицы схемы.

Сущность вычислительных преимуществ методов Фойснера состоит, во-первых, в устранении перебора излишних сочетаний ветвей схемы и, во-вторых, в получении свернутого выражения определителя, в котором вынесены за скобки общие множители, что во много раз уменьшает количество требуемых вычислительных операций и увеличивает компактность формулы. Это позволило значительно усовершенствовать топологические формулы для Z - и У-схем Кирхгофа [3] и Максвелла [4].

Через пятьдесят с лишним лет Персиваль вновь предложил метод разложения по у-ветвям [5]. Аналогично этому метод разложения по у- узлам был повторно описан Мейсоном [6] который в этой же работе предложил метод разложения определителя у-схемы по путям между парами узлов. Им было также указано на возможность получения более экономных выражений с помощью рационального выбора узлов или пар узлов для разложения (подразложения) определителя. Персиваль и Мейсон не рассматривали анализ Z -схем в отличие от Фойснера, который одним из первых в истории электротехники использовал принцип дуальности [2]. Заметим, что описание третьего метода Фойснера нам в более поздних источниках не встречалось.

Три метода Фойснера и метод Мейсона являются классическими методами разложения определителя схемы. Впоследствии были предложены их некоторые обобщения и усовершенствования. Так, метод разложения по сечениям [7], обобщающий метод разложения по узлам, полезен при наличии в схеме сечений, число ветвей в которых меньше, чем степени узлов. В [8] разработан метод, который, в отличие от первого метода Фойснера, предусматривает выделение в первую очередь ветвей, имеющих наибольшие показатели участия, что обеспечивает формирование более экономных выражений определителей. Показатель участия некоторой ветви равен количеству деревьев, которые можно образовать на

данной схеме с участием этой ветви.Далее будем, в основном, исследовать У-схемы,

поскольку число узлов в практических схемах, как правило, меньше числа контуров. Для оценки качества выражения определителя У-схемы введем показатель эффективности свертки:

где Т — число деревьев схемы (слагаемых определителя); q — число узлов системы; |/| — количество операций умножения в свернутом выражении; Т — эффективное число деревьев.

Таким образом, применяя свертку Тэ<£ Т, удается анализировать существенно более сложные схемы.

При оценке |/| классических методов разложения будет предусмотрено приведение параллельных у-ветвей к одной мультиветви в производных схемах [9]. В качестве объекта анализа используем полные схемы. Понятие полной схемы (ПС), между каждой парой узлов которой имеется ветвь (в е е т q {q -1) /2 ветвей) было введено Максвеллом в 1873 г. [4]. Фойснер позже указал на возможность получения из определителя ПС определителей всех схем с таким же числом узлов, но меньшим количеством ветвей [1].

В случае ПС все ветви имеют одинаковый показатель участия. При удалении некоторой ветви ПС все оставшиеся ветви, инцидентные этому

.же узлу, также имеют одинаковые показатели участия и они больше показателей участия других ветвей производной схемы [8]. Учитывая это, число операций умножения, требуемых в выражениях, получаемых методом разложения по ветвям с максимальными показателями участия ( /в-ме-

• тодом), может быть найдено с помощью рекуррентной формулы

1/в1</ = (<7-!) (1+ l/ulg-i). (2)

где вычисления начинаются при |/в|9 = 0Формулы для числа операций умножения в

выражениях, формируемых методами разложения по узлам и по путям ( f - и /^-методами), получаются на основе аппарата комбинированных

.операторов [9]:

1 -3

l / y l = 2 > 9— 1-Г> ( 3 )/=0

где N f = 2 / ( \) + i;1=2

N 1 = 2 Ni~4(% _ ) + 1 ;1=2


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Оптимизация формул схемных функций 65

>.[С). число сочетании из га по /?J;

l/nl =1=0

(4)

/-1где TVf = 2 1А\_\ -f ( /— I )2 ( /—2)! + 1 ;

1=2

1=2

(А”п — число размещений из га элементов по п).Расчеты по формулам (2 )—(4) для д = 4,5,...,13

сведены в таблицу. Они показывают, что для анализа ПС нецелесообразно применять / п-метод, при анализе ПС до десяти узлов следует использовать / в-метод, а для ПС с большим числом узлов — / у-метод. Данные оценки не носят абсолютного характера, поскольку они не учитывают затрат на формирование выражения определителя, а также других особенностей алгоритмов, связанных с организацией вычислений.

Относительно эффективности метода разложения по контурам (^-метода) можно сказать, что в отличие от других методов здесь и для ПС весьма велико количество возможных вариантов разложений. По-видимому, основываясь на конкретных примерах разложения определителей, следует ограничиться качественной оценкой, чтоLU 1Уу1<1Л1<1/п1-

Разработки последних лет велись в направлении повышения качества свертки определителей путем комбинации классических методов разложения и учета особенностей структуры схем, отличной от полной. Цель настоящей статьи — развитие этих исследований и подведение итогов.

В [10] предложен комбинированный метод, сочетающий преимущества / у- и / в-методов. В отличие от / у-метода / ув-метод предусматривает свертку суммы слагаемых (параметров ветвей, инцидентных узлов), представляющих собой произведение сомножителей, которые образованы сочетаниями из i элементов по 1, 2, ... , /. Число операций умножения в такой свертке с1( = 2 1~ 2 (принимается d 1 = 0). Следовательно, из формулы (3) получаем

<7-3

1 / уВ 1 = 1 ч ,1=0

где Wf = d, ;

i- 1Щ = X щ ~ х

1=2

'i+ j Х/-hi — / + M li-1

(5).

Расчеты по формуле (5), сведенные в таблицу, показывают, что у^-метод существенно превосходит все классические методы.

Аналогичным образом можно свернуть сумму слагаемых, соответствующих произведениям параметров ветвей, которые входят в пути между парами узлов. В этом случае на базе / п-метода получаем / пв-метод [11]. Число операций умножения в выражениях, формируемых этим методом, находится по формуле

< 7 - 2

1/п в1 = 2 4 у -1 , (6)1=1

которая эквивалентна формуле (2), что отражено в таблице. Вместе с тем, выражения определителей ПС получаемые / в- и / пв-методами, совершенно различные и могут конкурировать между собой по другим вычислительным характеристикам.

Комбинированные / ув- й / пв-методы по существу являются модификациями f y- и ^ -м е тодов, отличающимися большей вычислительной эффективностью. В статье предлагается другой способ комбинирования классических методов, который предусматривает переход от одного метода разложения к другому, обеспечивающий формирование более экономных выражений.

Обратим внимание на характер зависимостей \fy\ и / в (см - таблицу) и исследуем причины перехода условия |/в | < |./у | в условие |/в | > \fy \. Для этого рассмотрим анализ ПС с четырьмя узлами, изображенной на рис. 1. Используя / в- метод, получаем следующее выражение определителя (значения проводимостей закодированы порядковыми номерами ветвей):

Д ^ = 1Д| + 2А] 4- ЗД32 = 1[(24*4)(34"54-6)4-

4-6(34-5)]4-2[(3 + 6)(44-5) + 4-5] + 3[4(5 + 6)4-5*6],^ • - :

где нижний (верхний) индекс при символе Д ука-

Ч и сл о у зл о в

сх е м ы , qК ол и ч ество оп ераци й у м н ож ен и я тр е бу е м ы х в ф ор м у л а х оп редел и тел ей п ол н ы х сх е м

с 4 —13 у зл ам и , при различны х м етод ах разлож ения оп редели тел я сх ем ы

/у -м е т о д /п -м е т о д /в - И /п в -м е т о д ы /у в -м е т о д /в у -м е т о д о

4 11 11 9 8 8 45 51 60 ' 40 34 31 12,096 256 365 205 164 138 37,567 1457 2516 1236 926 728 115,438 9486 19569 8659 6008 451 4 3 4 8 ,4 49 6 9 8 7 6 170252 69280 44258 3 2 3 3 5 1035,4310 5 7 5 7 33 1641869 623529 3 64532 2 6 3 2 0 4 ' 303 9 ,46И 5 2 4 6 1 8 5 17405100 6235300 3 322102 2 40 1 18 2 8837 ,9512 5 2 3 9 2 8 4 0 2 0 1 3 20 2 20 6 8588310 3 3 1 7 48 4 8 2 4 2 7 5 0 3 6 2 5506 ,5913 5 6 9 0 0 5 2 0 0 2 5 2 4 34 7 90 0 8230 59 7 00 3 60 3 04 9 90 2 6 9 4 2 6 5 8 0 7 3169 ,32


66 Оптимизация формул схемных функций «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

зывает на стягивание (удаление) соответствующей ветви при образовании производной схемы; нижний индекс в скобках при символе А равен количеству узлов анализируемой ПС.

Однако, если А 1 = 2А2 + ЗАз2 раскрыть по узлу с номером 1, получается более экономное выражение:

Д(4) = 1Д1+ (2 + 3 )Д ]2+2-ЗД|з = 1 [(2+ 4 )(3+ 5+ 6 )+

+ 6(3 + 5)] + (2 + 3 )[4 (5 + 6) + 5 • 6] + 2 • 3 (4 + 5 ), (7)

в котором вместо 9 умножений, 12 сложений, 22 символов всего 8, 11, 20 умножений, сложений, символов соответственно. Этот выигрыш способен увеличиваться, когда выполняется разложение более сложной ПС, поскольку она включает ПС с четырьмя узлами и т.д. Например, для ПС с пятью узлами, изображенной на рис. 2, выражение, полу

ченное с помощью / ву-метода, имеет вид

Д (5) = 1Д г + 2 Д ^ + ( 3 + 4 ) д } 23+ 3 • 4 Д ^ = 1 { ( 2 + 5 ) х

х[(3 + 6 + 8 )(4 + 7 + 9 + 10) +10(4 + 7 + 9)]+ (4 + 7 + 3 +

+ 6)[8(9 +10) + 9-10] + (4 + 7)(3 + 6 )(8 + 9 )} + 2 {(3 +

+ 8 ) [ ( 4 + 9 + 1 0 ) ( 5 + 6 + 7 ) + 7 ( 5 + 6 ) ] + ( 4 + 9 + 5 ) [ 6 ( 7 +

+ 10) + 7 - 1 0 ] + 5 ( 4 + 9 ) ( 6 + 1 0 ) } + (3 + 4 ) { 5 [ ( 6 + 8 ) х

х (7 + 9 + 1 0 ) + 1 0 ( 7 + 9 ) ] + (6 + 7 ) [8 ( 9 + 1 0 ) + 9 • 10] +

+ 6 - 7 ( 8 + 9 ) } + 3 - 4 [ ( 6 + 7 ) ( 5 + 8 + 9 ) + 5 ( 8 + 9)] . (8 )

Формула (8) требует 31, 54, 86 умножений, сложений, символов, которые используются в эквивалентной формуле, полученной / в-методом.

Выражение, обобщающее формулы (7) и (8), которое реализует предлагаемый / ву-метод, имеет вид

q- зА(?)= 2 iA }’ 2' - ’ i- 1+ [ ( q - 2 ) + ( q - l ) ] A i ’_2

i=l

+ (9 )

Формула (9) учитывает образование в процессе разложения и подразложения определителя схемы производных схем, которые содержат последовательно соединенные ветви или мультиветви.

Сопоставление формул (2) и (9 ) позволяет получить следующее рекуррентное выражение для числа операций умножения:

1/вy\q = (0- 2) ( 1+ \fBy\q- l ) 4 \fBy\q- 2 + 2

(вычисления начинаются с q = 4). Как показывают данные таблицы, / ву-метод обеспечивает формирование наиболее экономных формул определителей. В последнем столбце таблицы сведены показатели эффективности свертки этого метода [см. также формулу (1)]. Как видно, свертывание выражений определителя противостоит катастрофическому увеличению числа деревьев (qq~2) с незначительным умножением схемы и способствует повышению эффективности символьного анализа. При этом показатель эффективности свертки увеличивается в несколько раз с увеличением числа узлов схемы на единицу.

Попытки синтезировать формулы, более экономные, чем формула (9), не дали результатов. Так, в случае q = 5 сочетанием / к- и / - методов, была получена формула, требующая 32, 58, 91 умножений, сложений, символов соответственно. Эта, наиболее близкая по качеству к формуле (8), формула имеет вид (использован контур 125, отмеченный жирными линиями на рис. 2)

Д (5)= Д 125+ 1 Д | 5+ 2 Д | 5+ 5 Д ^ 2 + [ 1 ( 2 + 5 ) + 2 - 5 ] Д 12 =

= (3 + 4 ) { ( 6 + 7 ) [ 8 ( 9 + 1 0 ) + 9 -1 0 ] + 6 - 7 (8 + 9 ) } + 3 - 4 х

х ( 6 + 7 ) ( 8 + 9 ) + 1 { ( 8 + 9 ) [ 1 0 ( 3 + 6 + 4 + 7 ) + (3 + 6 ) ( 4 +

+ 7 ) ] + 8 - 9 ( 3 + 6 + 4 + 7 ) } + 2 { ( 6 + 7 ) [ 1 0 ( 3 + 8 + 4 + 9 ) +

+ (3 + 8 )(4 + 9)] + 6 -7 (3 + 8 + 4 + 9 )} + 5 { (3 + 4)[10(6 +

+8 + 7 + 9) + (6 + 8 )(7 + 9)] + 3 -4 (6 + 8 + 7 + 9 ) }+ [1 (2 +

+5) + 2-5][10(3 + 6 + 8 + 4 + 7 + 9) + (3 + 6 + 8 )(4 +

+ 7 + 9)].

Более сложный / кву-метод по существу не является формальным, поскольку не известно, какой контур следует выбирать для разложения при различных q и при наличии каких особенностей в производных схемах необходимо переходить к / ву-методу. Достоинствами / ву-метода являются


(ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Оптимизация формул схемных функций 67

детерминированный выбор ветвей, подлежащих выделению в первую очередь, и весьма простое условие перехода к / у-методу (при проявлении в производной схеме узла степени два — устранимого узла).

В случае анализа схем, близких к полным, получение экономных выражений обусловлено заданием компонентов схемы проводимостями. При анализе схем, число узлов которых сопоставимо с числом независимых контуров, задача оптимизации выражений определителей может потребовать использования YZ-схем. Значительный выигрыш в числе операций, по сравнению с У- или Z -схемой, может быть всегда получен, если У-подсхема (Z -подсхема) имеет узлов (контуров) меньше, чем контуров (узлов), а число независимых контуров равно числу независимых узлов схемы.

Предельным случаем такой схемы является мультиветвь с / ветвями, параллельно которой подключено / последовательно соединенных ветвей. На рис. 3 изображена соответствующая схема

Р и с . 3

для 1=4. Здесь показатели участия г-ветвей равны /(/-1 )4 -1 , а у-ветвей — /, т.е. в Z -подсхему (Y- подсхему) включаются ветви с максимальными (минимальными) показателями участия. Развернутое выражение определителя в этом случае требует всего /2 операций умножения и 2/24-1 символов. Соответствующие показатели для свернутого выражения равны 1 и 2/4-1. При 1=4 это выражение имеет вид

A yz = Cv 1 + > ;2 +.Уз + Y 4) (2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 s ) + 1

и является безразмерным.Если все ветви схемы задавать проводимо

стями, то указанные показатели сложности выражений намного выше и составляют соответственно ( /— 1) (/24-1) и /(/24-1), (/2 + /-2)/2 и (/2 4- 5 /-2 )/2 . В этом можно убедиться непосредственной проверкой. Свернутое выражение для определителя У-схемы при 1=4 (см. рис. 3) имеет вид

А (У)= (У 1 +У2 + Уз + .У 4 ) 1У51Уб(У7 +>;8) + ’УпУ^ +

+У5УбУтУ8 •Далеко не всегда удается визуально выполнить

рациональное расчленение схемы на Z - и У- подсхемы, поскольку более экономное выражение определителя может быть сформировано и тогда, когда вышеприведенный критерий расчленения не соблюдается. В этом случае выбор перспективных вариантов расчленения необходимо осуществлять на основе распределения показателей участия ветвей.

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2, удалив из нее ветвь с номером 10. Полученная

схема имеет четыре независимых узла и пять контуров. Распределение показателей участия ветвей (в порядке увеличения номеров) следующее: {30, 30, 35, 35, 30, 35, 35, 35, 35 ). Поэтому ветви 1, 2, 5 следует задавать проводимостями, а оставшиеся ветви сопротивлениями. Полученное развернутое выражение определителя yZ -схемы содержит 201 операцию умножения, 276 символов. Если использовать для анализа У-схему (не говоря уже о Z -схеме) требуется 225 операций умножения и 300 символов.

Преимущества смешанного задания параметров не ограничиваются возможностями получения более экономных выражений. Указанные выражения обеспечивают большую устойчивость вычислений схемных функций. Это объясняется тем, что числитель и знаменатель схемной функции yZ-схемы по существу являются нормированными выражениями, в оптимальном случае безразмерными.

Следует отметить, что предложенные методы оптимизации формул схемных функций могут быть распространены на анализ активных схем с помощью известных обобщений классических методов разложения определителя [6, 12, 13].

Выводы. 1. Получены точные аналитические выражения для числа операций умножения, требуемых в формулах определителей полных схем, что позволило осуществить сравнительную оценку известных методов разложения определителей и создало основу для оптимизации формул схемных функций.

2. Предложен метод, предусматривающий переход от разложения по ветвям с максимальными показателями участия к разложению но устранимым узлам и претендующий на минимальное количество вычислительных операций в формулах определителей.

_______ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ___________________

1. F e u ssn e r W . Ueber Stromverzweigung in netzformigen Leitern. — Annalen tier Physik, 1902, Bd 9, No. 13.

2. F e u ssn e r W . Zur Berechung der Strostarke in netzformigen Leitern. — Annalen der Physik, 1904, Bd 15, No.12.

3. К и р х г о ф Г.Р. Избранные труды. — M.: Наука, 1988.4. М а к с в е л л Д.К. Трактат об электричестве и магнетизме.

Т.1. - М .: Наука, 1989.5. P e rs iv a l W .S . The solution of passive electrical networks

by means of mathematical tress. — Proc. of the Institution of Electrical Engineers, 1953, vol.100, Pt 3, No.65.

6. M a s o n S .J . Topological analysis of Linear non-reciprocal networks. — Proc. of the Institution of Radio Engineers, 1957, vol.45, No.6.

7. Ф и л а р е т о в В .В . Разложение определителя ненаправленного графа проводимостей по сечению / Ред. жури. «Изв. вузов. Энергетика». — Минск, 1987. Деп. в В И Н И ТИ 10.03.87, № 1717—В87.

8. Ф и л а р е т о в В .В . Метод разложения определителя ненаправленного графа по ребрам с максимальным участием/ Ред. жури. «Изв. вузов. Радиоэлектроника». — Киев. 1985. Деп. в ВИНИТИ 27.11 .85 , № 8 1 8 4 -В 85.

9. Ф и л а р е т о в В .В . Формирование коэффициентов функций RLC-схемы полной топологической структуры. — Электричество, 1987, № 6.

1 0 . Д м и т р и ш и н Р .В ., Т р о ц ю к А .Б . Алгоритм компактного вычисления детерминанта графа. — Теория и проектирование полупроводниковых и радиоэлектронных устройств и систем: Вестник Львовского политехнического ин-та, 1 9 8 2 , вып. 1 6 1 .

11. Ф и л а р е т о в В .В . Алгоритм разложения определителя ненаправленного графа проводимостей по ребрам, входящим в пути между парами вершин. — Теоретическая электротехника


68 К выбору однослойных цепных обмоток «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

(Львов), 1988, вып. 45.12. Д м и т р и ш и н Р .В . Генерация формулы характеристи

ческого уравнения для многовариантного анализа схем. — Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1982. Т .25, № 6.

13. Ф и л а р е т о в В .В . Унисторно-сигнальный граф электронной схемы и его анализ. — »Электричество, 1989, № 9.

[ 0 8 . 0 4 . 9 1 ]

А в т о р : Филаретов Владимир Валентинович окончил радиотехнический факультет Ульяновского политехнического института (УЛИ) в 1982 г. В 1990г. защитил кандидатскую диссертацию по теме «Алгоритмы символьно-топологического анализа электрических цепей» в Ленинградском государственнол1 техническом университете. Доцент УПИ.

К выбору однослойных цепных обмоток с дробным числом пазов на полюс и фазу

КАЗАРЯН С Л .

Одной из важных задач проектирования электрической машины является выполнение обмотки с практически синусоидальной кривой создаваемой ею магнитодвижущей силы (МДС). Уровень содержания высших гармоник и субгармоник в кривой МДС обмотки переменного тока вне зависимости от конфигурации сердечников и реакции вторичной обмотки по методу Крондля характеризуется показателем качества §*, достаточно просто определяемым из многоугольника МДС (диаграммы Гергеса) [1]:

п2 _ п2

£ = ~i~ 2— ю о % . (1)R2 4 7Здесь Rg — среднее арифметическое квадратов всех полярных радиусов, т.е. расстояний пазовых точек от центра многоугольника МДС; R — радиус окружности основной гармоники МДС:

R = ^ k o6 1 qnlV2, (2)

где т — число фаз обмотки; /соб1 — обмоточный коэффициент основной гармоники; q — число пазов на полюс и фазу; п — число проводников в пазу; I — действующее значение тока в проводнике.

Чем меньше значение £, тем слабее выражены высшие гармоники и субгармоники и тем лучше качество обмотки.

Выбор обмотки целесообразней произвести после вычисления и сопоставления показателей качества предполагаемых обмоток. Так как число многоугольников МДС для каждого q определяется числом возможных шагов обмотки, то, очевидно, выбор обмотки будет связан с большим объемом графических построений, необходимых для нахождения R“ . Их можно избежать, если R~ определять аналитически.

В [2-4] предложены аналитические способы

* Показатель качества обмотки £ является выраженным в процентах коэффициентом дифференциального рассеяния.

определения R| для 2т-зон ны х двухслойных обмоток с целым и дробным числом пазов на полюс и фазу и для однослойных цепных обмоток с целым числом пазов на полюс и фазу.

В статье предлагается аналитический способ расчета Rj для симметричных 2т-зон н ы х однослойных цепных обмоток с дробным числом пазов на полюс и фазу. В таких обмотках шаг должен быть нечетным числом, т.е., если одна сторона катушки лежит в нечетном пазу, то другая — в четном.

Известно [5], что цепную обмотку можно представить как полученную из двухслойной обмотки вынесением нижних сторон катушек в дополнительные пазы, расположенные между основными. Поэтому распределение катушечных групп по фазным зонам в цепной обмотке с дробным q можно произвести аналогично распределению в двухслойной обмотке с вдвое меньшим числом пазов на полюс и фазу — q/2 .

Дробное число q j 2 можно представить в виде

q/ 2 = N/d = b+c/d, (3)

где N и d, а также с и d не имеют общего делителя, а b — целое число.

При этом d катушечных групп в исходной двухслойной обмотке (d -c ) групп будут состоять из b катушек, а с групп — из (Ь + 1) катушек. Чередование их производится в определенном порядке, обеспечивающем наибольший коэффициент распределения для первых гармоник ЭДС и МДС.

Принципы распределения больших и малых катушечных групп, а также таблицы чередования этих групп в группировке для разных чисел пазов на полюс и фазу известны и приведены в литературе, например [6].

Возвращаясь к цепной обмотке, заметим, что группировки четных пазов будут находиться в противофазе с группировками нечетных пазов и


69«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 К выбору однослойных цепных обмоток

сдвинуты относительно их на число пазов, равное шагу обмотки, так как проводники нечетных пазов одной полуфазы соединяются с проводниками четных пазов противоположной полуфазы: А с X, В с Y, С с Z, ..., X с А, Y с В и т.д.

При общем числе пазов, равном г, и шаге обмотки, равном у, в противофазе с проводниками k-го (нечетного) паза будут находиться проводники у+/с-го (четного) паза, если k ^ z -y и y + k -z -ro (четного) паза, если k > z -y .

Так как группировка из сторон катушек, уложенных в 2 N соседних пазах, является повторяющимся элементом обмотки, то Щ этого элемента будет также средним арифметическим квадратов расстояний пазовых точек от центра многоугольника МДС для всей обмотки, и для определения показателя £ достаточно вычисления Щ одной такой группировки (распределение полу- фаз в 2 N соседних пазах при заданном шаге обмотки производится при использовании известного распределения полуфаз в нечетныхили четных пазах).

Представим пазовую точку к-то паза на комплексной плоскости в системе координат с началом в центре многоугольника МДС векторомRk= =ak+jbk .

Тогда2N

2Г>? *«1 ,„ч

Полный ток одного паза nlV2 для разных п о м , _ фаз представим единичным вектором je . Здесь v является порядковым номеромполуфазы (при обходе полуфаз по часовой стрелке), который для 2 / 7 2 - з о н н ы х обмоток принимает все целые значения от 1 до 2 т.

При сделанных допущениях пазовая точка, соответствующая к-му пазу, может быть представлена вектором

Rk ~ Rk - l + Л> (5)

—j— О/— X)где f k - j e m , a v номер полуфазы к-то паза.

Ввиду того, что положение центра многоугольника МДС до его построения не известно, дляопределения вектора Rk i представим многоугольник МДС в системе координат с началом в одной из пазовых точек, допустим, в к- 1-й. Затем, учитывая соотношения, связывающие координаты точки в двух системах координат с параллельными осями, и то, что в системе координат с началомв центре многоугольника МДС Rk+2N = е ~ а>

где a - —d, запишем m

ак - 1 + okLi + 2N + j{b k-i + i +2n ) =

= (ak - i + Jbk - i )e~Ja.(6)

Здесь akL1+2N и ^k'-i+2N ~ координаты к- • '-1 + 2М-Й пазовой точки в системе координат с началом в к- 1-й пазовой точке (ак 1Х= 0; Ьк 11 = 0).

Из выражения (6) могут быть получены координаты к- 1-й пазовой точки в системе координат с началом в центре многоугольника МДС

_ bk'_y¥2N o.lga/2 +ак~ 1 “ 5 ( 7 )

И

ak'_i+2N c tg a /2 + bk'_i+2N(8)

Координаты ak '-i+ 2N и ^k-i-riN можн° полу-

чить, сложив единичные векторы f k= je , соответствующие пазовым точкам группировки из 2N соседних пазов, начиная с к-й пазовой точки.

Поскольку обмоточный коэффициент основной гармоники рассматриваемых обмоток равен

^Об12т

Nsinл

2mN

sm лйу AmN ’ ( 9 )

а значение пЫ2 принято равным единице, формула (2) примет вид

* Sin ——R — 2т 2т

лс! Лsin 2mN

sin лйу AmN *

( 10)

Предлагаемый способ определения R~ позволяет существенно упростить расчет показателя качества обмотки.

По указанной методике, используя приведенные формулы, на микро-ЭВМ «robotron 1715» были вычислены значения показателя качества £ для симметричных 2т-зон н ы х и двух- и трех- фазных однослойных цепных обмоток в зависимости от относительного шага обмотки /3=-^- для ряда дробных значений q со знаменателем дробности 2 <2's$10 в диапазоне 1<<7<5.

На рис. 1—3 приведены минимальные значения показателя качества £min при различных значениях q* для рассматриваемых двух- и трехфазных обмоток. Каждое значение £min здесь получается при одном из двух значений шага обмотки, равном полюсному делению r=m q , округленному до ближайшего нечетного числа, либо — меньшем этого числа на два зубцовых деления.Так, в трехфазной обмотке с q = 2-| £min = 4,682% получается при шаге у = 9 (г = 8,25). В такой жеобмотке с q= 3^ £min = 3,327% получается при у =9 (г =11,25).

Указанная методика вычисления показателя качества £ применима к симметричным 2ш-зон- ным однослойным цепным обмоткам с числом фаз ш ^ 2.

Предлагаемый способ определения Rg поясняется на примере расчета показателя качества

* При нечетных значениях q двухфазные цепные обмотки несимметричны [4].


70 К выбору однослойных цепных обмоток «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

10

У ____

_ / 7 7 - J

1— 1 1 1

/< _____

— f----/11

\

к

111 \ L_____1

<•/

у&ф--0X

>o-£-o<р--<вххл »г 44 0 -\ \

t 6о ,

5

?£ 2.2 2k_ 2J_ Ц3,0 3 , 2 3 , 4 3,8 ч,(д)

4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 <j,(6)

Рис.З

Рис. 1

25

20

10

7 / / 7 , % f

1

чV

/ 7 7 = Z

— Г “ /

/( ч .1

11

— ц .

/|и -О ч

6о о . ^

f

т ', /

о - о . ^ 6►о-Чэо

4 \\

70 77 2,4 7,6 28 tfa)$ 0 12 Тб TXfi T t~k tfi 4,8 ц,(6)

Рис. 2

£ трехфазной однослойной цепной обмотки со следующими данными: z = 30, (N=5, d = 4)и у =7. Угол а=^л.

Эта обмотка согласно [6] может быть представлена следующим чередованием больших и малых катушечных групп среди нечетных (или четных) пазов — 2 1 1 1 .

Для группы катушек, уложенных в первых

^у^+ЛГ=8 нечетных пазах имеем:

А A Z В X С С Y1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16

X X С Y А

Буквы над и под номерами пазов показывают полуфазы, к которым относятся стороны катушек

этих пазов (при определении полуфаз сторон катушек четных 8-, 10-, 12-* 14- и 16-го пазов учтено, что при шаге у = 1 они находятся в противофазе с полуфазами сторон катушек соответственно нечетных 1-, 3-, 5-, 7- и 9-го пазов).

Представив полный ток паза с полуфазой А вектором j (г = 1), для тех же токов пазов с полуфазами ZJBjC.C.Y соответственно получим: 0,5(V3+/); 0,5(V3 - j ) -у , -0 ,5 (V 3 - j ) .

Приняв 7-ю пазовую точку за k-ю ), вычислим:

ak '-i+2N = ;

0,5V3

2,5 .

bk - l + 2N - 3 ;

( - 3 ) c t g ^ r + ( —2^3) ak- 1 = «6 = ----------- -------------

И

( - 2 / 7 ) c t g ^ - - ( - 3 )bk- 1 = b6 = ------------p ------

Вычисление a ' 16 и b ' l 6 приведено в таблице.

П ол у-фаза

Н ом ер паза ас

З начение п арам етра

а'к ъ'к ак bk rI

6 0 0 0,5^3 2,5 7

В 7 0,5/7 -0,5 v 3 2,0 78 0,5/3 -1,5 уГЪ 1,0 49 0,5/7 -2,5 V3 0 3

X 10 0,5/3 -3,5 V3 -1,0 411 0 -4,0 0,5VT -1,5 312 -0,5/7 -4,5 0 -2,0 4

с 13 -/ 7 -5,0 -0,5 V3 -2,5 714 -1,5/7 -4,5 -V3 -2,0 7

У 15 -2 /7 -4,0 -l,5v^3 -1,5 9А 16 -2 /7 -3,0 - - -


К выбору однослойных цепных обмоток 71«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

Вычисление Щ произведено для повторяющейся группировки из 2 N= 10 пазов, начиная с 6-го паза.

Результаты расчета Rj: сведены в таблицу, из которой следует

15

щ - ‘2 »;

105510 5 ,5 ;

тока. — Изв. АН Арм. ССР. Серия технических наук, 1972, XXV, № 5.

3. Казарян С Л . О выборе обмоток с дробным числом пазов на полюс и фазу. — Электричество, 1987 , № 1.

4. Казарян С. Л. О выборе однослойных цепных обмоток. — Электричество, 1990, № 5.

5. Вольдек А.И. Электрические машины. — Л.: Энергия, 1978.

6. Лифшиц-Гарик М .М. Обмотки машин переменного тока. — М.: Госэнергоиздат, 1959.

R 2 -3 81,1 F 3л • 4 лsin sinf r i = 1 2’2 7 1 ;

2 - 3 - 5

Rz = 5 ,159;

£ = Ю0% = 6,606% .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кучера Я., Ганл Й. Обмотки электрических вращательных машин. — Прага: Изд. А Н ЧССР, 1963.

2. Казарян С Л . К выбору обмоток машин переменного

[02.04.92]

А в т о р : Казарян Степан Левонович окончил электротехнический факультет Ереванского политехнического института (ЕрПИ) в 1958 г. В 1974 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему «Некоторые вопросы теории и проектирования управляемой машины переменного тока» во Всесоюзном заочном политехническом институте (Москва). Доцент Государственного инженерного университета Армении (бывш. ЕрПИ).


ДИСКУССИИ

Силы, действующие на проводники с током и ферромагнитные тела в магнитном поле

(статья В.Я.Кутковецкого, В.К.Иванова, «Электричество», 1992, № 7)

ДАМЯНОВ С.М.

Болгария, София

В качестве научного работника и многолетнего читателя журнала «Электричество» позволю себе коротко выразить мнение по поводу опубликованной в № 7 за 1992 г. статьи Кугковецкого В.Я. и Иванова В.К. «Силы, действующие на проводники с током и ферромагнитные тела в магнитном поле».

Определенно считаю, что авторы в результате односторонних и некорректных в научно-методологическом отношении рассуждений сделали несостоятельные выводы, в которых без всякого основания принижено значение закона Ампера для элекгроди нам и ки.

В действительности закон Ампера

F = ВЫ

и закон электромагнитной индукции Фарадея - е - BLv

(выраженные как частные случаи) — эго два равновесомых, взаимно связанных научных фунда

ОТВЕТ

Содержание замечаний уважаемого доцента Дамянова С.М. можно условно представить в виде двух пунктов:

1. Из закона Ампера

F = ВЫ ( 1)

и закона электромагнитной индукции Фарадея

мента электродинамики, что вполне видно из предельно простой формулы (которая имеет фундаментальный смысл, связанный с однозначностью электрической и механической мощностей (если пренебречь потерями)):BL = F/I = e/v ; el = F v ; Рэл = Рмех.

Отсюда следуег, что лишение выражения ( 1) — закона Ампера — ранга закона (как предлагают авторы) приводит к абсурдному выводу о лишении такого же ранга и закона Фарадея.

В защиту ранга закона Ампера можно привести и другие существенные научные и научно-исторические и методологические соображения.

Ошибочные рассуждения и выводы в упомя- нутой статье можно объяснить тем, что авторы проигнорировали некоторые научно-познавательные методы физики, например, научной абстракции и идеализации, научно-исторического подхода, принципа виртуальных перемещений и др.

АВТОРА

е = BLV (2)следует, что электрическая мощность (при отсутствии потерь) равна механической мощности:

S L = f= ^ ; el=FV- />м = Р мех. (3)

Из формул (1 )—(3) следует два вывода:

IВологодская областная универсальная научная библиотека

www.booksite.ru

«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Дискуссии 73

а) равенство (3) должно соблюдаться всегда -(и автор статьи с этим полностью согласен, так ■ как в формуле (3) в частной форме выражен

принцип сохранения энергии);б) лишение выражения ( 1) ранга закона от

рицает закон сохранения энергии по, формуле (3) (и автор статьи с этим не согласен по излагаемым ниже причинам).

2. Содержание статьи некорректно в научнометодологическом отношении; выводы несостоятельны и не имеют основания; рассуждения ошибочны; проигнорированы научные методы физики (методы абстракции, идеализации и др.).

Ниже следует ответ на эти замечания.Предварительно следует сказать, что автор бла

годарен уважаемому Дамянову С.М. и Редакции за возможность еще раз высказаться по рассматриваемому вопросу.

К сожалению, замечания п.2 не являются конкретными (так как не указаны критикуемые положения статьи и причины, по которым они считаются неверными). Поэтому автор статьи считает, что достаточно опровергнуть замечания п.1, чтобы отпали и замечания п.2, которые очевидно вытекают из п.1.

Упомянутые выше замечания неверны по следующим причинам:

1. Приведенные формулы (1 )—(3) абсолютно справедливы при отсутствии ферромагнитных тел.

Но даже в* этих условиях, для которых закон Ампера (1) полностью справедлив, лишение равенства ( 1) ранга закона не означает отрицания закона сохранения энергии, выраженного частной формулой (3), так как сила не есть энергия (или мощность).

Если для конкретного электромагнитного устройства (ЭУ) сила F=BLI=0, то с неизбежностью (при отсутствии ферромагнетиков) ЭДС е = = BLV= 0, и тогда выражение (3) преобразуется в тождество вида 0 = 0, т.е. закон сохранения энергии полностью соблюдается.

В замечаниях не приведено (и не может быть приведено) ни одной электрической машины, в которой при протекании тока по проводникам, не экранированным ферромагнетиком, момент (или сила F) был бы равен нулю, а ЭДС — не равна нулю.

2. В замечаниях совершенно не учитывается, что почти во всех реальных электрических ма

шинах проводники расположены в пазах (т.е. экранированы ферромагнетиком). Сила, действующая на эти проводники в пазах, практически не участвует в создании рабочего электромагнитного момента машины, т.е. наблюдается противоречие между формулами ( 1) и (3). То что теоретически протекающие процессы мы можем рассматривать таким образом, будто проводники паза расположены в воздушном зазоре (т.е. магнитно не экранированы), нисколько не изменяет практической стороны дела: реальная сила, действующая на проводник в пазе, никак не поясняет работу машины, и в этом случае вступают в противоречие равенства ( 1) и (3).

3. В замечаниях полностью игнорируются экспериментальные исследования авторов. Если бы закон Ампера ( 1) соблюдался, то экспериментальный двигатель должен был бы работать. Таким образом, закон Ампера применим с исключениями, и одно только это заставляет усомниться в его ранге.

4. В замечаниях полностью обойден основной поднятый в статье вопрос — об использовании в качестве закона известного в физике и электротехнике определения силы как производной от энергии W по координате х:

Формула (4) может быть преобразована для ЭУ к виду

_ dW _ р dy ' р — р ( с \

dl Г dt ’ ^ эл 1 мех v W /не отличающемуся от выражения (3).

Равенство (4) применимо, в отличие от формулы ( 1), ко всем ЭУ и преобразуется в формулу ( 1). Выражение (4) справедливо для расчета силы F при преобразовании электромагнитной, механической, пневматической, тепловой и химической энергий.

И очень странно выглядит, когда формула(4) не считается в электротехнике законом, а вытекающее из нее частное выражение ( 1) считается законом.

В связи с изложенным, не могу согласиться с рассмотренными замечаниями канд. техн. наук Дамянова С.М. к статье.

Доктор техн. наук КУТКОВЕЦКИЙ ВЛ.


ХРОНИКА

Конференция, посвященная 150-летию со дня рождения Рэлея (1842— 1919 гг.)

(Институт истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова, 1 1 -1 2 ноября 1992 г.)

Исполнилось 150 лет со дня рождения Джона Уильяма Стретта, лорда Рэлея. В честь этого события состоялась конференция. В ней смогли принять участие только москвичи, что сейчас не требует особых пояснений. Среди них были представители разных специальностей — физики, математики, химики, электротехники и, конечно, историки науки.

Имя Рэлея у всех на слуху — волны Рэлея, рэлеевское рассеяние, закон Рэлея—Джинса... И при этом весьма поверхностное и часто однобокое представление о нем как ученом и человеке. Доклады, прочитанные на конференции, позволяют достаточно объективно и всесторонне представить личность этого выдающегося английского ученого.

Во вступительном слове В.П.Визгин (ИИЕТ) дал общую характеристику научного творчества Рэлея, подчеркнув универсализм ученого, занимавшегося математической физикой, отдельными проблемами химии, буквально всеми областями физики. Еще одним свидетельством рэлеевского универсализма, по мнению В.ГЕВизгина, является разработка им общей теории колебаний и волн.

Е.И.Погребысская привела малоизвестные факты из жизни Рэлея и показала, сколь велико значение обстоятельств, в частности учебы в Кембридже, для научной деятельности Рэлея. Так, разнообразие проблем, которыми он занимался, во многом связано с тем, что в то время среди преподавателей университета не было ни сколько-нибудь крупных ученых (исключение — Дж. Стокс), ни сколько-нибудь значительных лекторов по физике. Отсутствовал и физический практикум. В таких условиях выбор тем исследований становился совершенно случайным. К этому докладу по теме примыкает сообщение Б.М.Бо- лотовского (ФИАН) «Рэлей и Хэвисайд», в

котором Рэлей показан как деятельный член научного сообщества, деликатный и доброжелательный человек. Труды выдающегося английского ученого и инженера О. Хэвисайда (1850— 1925 гг.) трудно воспринимались современниками, и, как отмечал докладчик, Рэлей был одним из немногих, кто понимал и высоко ценил его работы. В бытность Рэлея секретарем Лондонского Королевского общества (1885—1896 гг.), он неоднократно выступал в роли рецензента статей Хэвисайда, и благодаря его советам методического характера они много выиграли в ясности изложения. Рэлей также помогал их опубликованию.

Болотовский также обратил внимание на следующий факт. В добавленной во втором издании «Теории звука» (1894 г.) главе об электрических колебаниях Рэлей много места уделил результатам Хэвисайда. Более того, он часто цитирует его, что не свойственно Рэлею в отношении других авторов. И, наконец, используя свое личное влияние, Рэлей добился назначения столь необходимой Хэвисайду пенсии.

Наибольшую известность Рэлею принесли сразу ставшая классической двухтомная «Теория звука» (1877, 1878 гг.), обычно оцениваемая только как труд по акустике, и открытие аргона. За последнее он был в 1904 г. удостоен Нобелевской премии по физике, а У. Рамзай (1852—1906 гг.) — по химии. И только в нашей стране благодаря Л.И.Манделынтаму и его ученикам и последователям главным достижением Рэлея по праву называют его вклад в создание теории колебаний и волн. Два доклада были посвящены этим вопросам.

В докладе С.М.Рытова (РТИ им. АЛ.Минца) обрисована роль Рэлея в развитии общей теории колебаний. Анализ проведен им по работам Рэлея,


«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Хроника 15

начиная со статьи «Некоторые общие теоремы, ^асающиеся колебаний» (1873 г.), и по его классической «Теории звука». Отмечено, что Рэлею принадлежит ряд фундаментальных теорем линейной теории колебаний, в частности, теорема о собственных частотах колебательной системы со многими степенями свободы, теорема о стационарности собственных частот при наличии связей. Рэлей также дал доказательство играющей большую роль в вопросах излучения и приема колебаний теоремы взаимности (1873 г.) для систем со многими степенями свободы в самом общем виде. С.М.Рытов констатировал, что еще задолго до появления проблем, вызвавших к жизни современную теорию колебаний, Рэлей ясно представлял наиболее существенные черты аку- сти- ческих, механических, электрических систем, способных генерировать незатухающие колебания (автоколебательные системы), и прежде всего нелинейность тех дифференциальных уравнений, которые могут описывать их поведение.

В докладе «Рэлей и теория волн» В.В.Мигулин (ИЗМИРАН) остановился на основных достижениях Рэлея в этой области. Главное — то, что он проанализировал и обобщил работы предшественников и создал теорию волновых процессов как для упругих продольных волн в акустике («Теория звука»), так и поперечных волн применительно к световым явлениям («Волновая теория света»). Рэлеем также получены важные оригинальные результаты по конкретным проблемам, отметил докладчик. Для упругих волн он обобщил (1873 г.) теорему взаимности, впервые сформулированную Г.Гельмгольцем в 1860 г. В 1871 г. он сформулировал закон рассеяния света малыми частицами: интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны. Он ввел в науку понятия фазовой и групповой скоростей и в 1880-е годы показал, что в экспериментах по определению скорости света почти всегда измеряется групповая скорость. Он открыл поверхностные волны (волны Рэлея), предложил метод определения колебательной скорости звуковой волны (диск Рэлея). Остановился В.В.Мигулин и на достижениях Рэлея в прикладной физике: им сконструированы приборы — уже упоминавшийся диск Рэлея, двухлучевой интерферометр-рефрактометр, носящий его имя. Им введено понятие разрешающей силы оптических приборов и впервые дан ряд соотношений, позволяющих получить количественные характеристики различных устройств. К этим вопросам он обращался неоднократно на протяжении нескольких десятилетий. На границе веков (1900 г.) выполнена работа Рэлея о распределении энергии в спектре абсолютно черного тела (закон Рэлея—Джинса). И еще многие другие исследования Рэлея вошли в науку.

Интерес аудитории вызвало опирающееся во многом на архивные изыскания сообщение Л.П.Петрова об определении Рэлеем плотности основных газов, в результате чего тот обнаружил в 1892 г. явление аномалии азота. Это стало важной предпосылкой открытия аргона. Выделение аргона было осуществлено в 1894 г. независимо Рэлеем и У.Рамзаем, который обратился

к этим исследованиям под влиянием работ Рэлея. Изучение свойств аргона проведено ими совместно. Л.П.Петров привел новые факты, показывающие неоднозначное отношение научной общественности Великобритании к открытию нового газа.

Проблемам оптики, акустики, электромагнетизма в классической физике и в современной науке в связи с исследованиями Рэлея было посвящено несколько докладов. Тема выступления Ю АЛюбимова (М ГУ) «Дж. Грин — предшественник Рэлея в акустике и оптике». Одного из крупнейших представителей кембриджской школы математической физики, много давшей науке второй половины XIX в., Дж. Грина (1793—1841 гг.) можно считать предшественником ряда ученых: в первую очередь Дж.Стокса (1819—1903 гг.) и Рэлея, утверждает Любимов. Грин развил работы Пуассона, Коши и Френеля по оптике и акустике, четко сформулировал физический аспект проблем. Благодаря ему кристаллооптика стала на прочный фундамент теории упругости. Сопоставление исследований Грина с трудами Рэлея, проведенное Любимовым, свидетельствует о влиянии Грина на Рэлея как непосредственно, так и через других ученых, в ' основном через Стокса. И что немаловажно для характеристики Рэлея — в значительной степени через его работы результаты Грина вошли в науку.

Вопросы оптики были одними из основных тем исследований Рэлея. Достаточно сказать, что из 446 работ, напечатанных в различных журналах и отобранных им для публикации в его шеститомном «Собрании научных трудов», около половины посвящены оптике. Но одновременно не следует упускать из вида, что обычно оптические задачи решались им как задачи теории волн. В этом контексте особый интерес представляло обсуждение проблемы определения скорости света, одной из центральных для науки второй половины XIX в., во многом в связи с электромагнитной теорией Максвелла.

В 1871 г. Рэлей вывел соотношение между групповой и фазовой скоростью распространения волн на поверхности воды. В 1881 г. в связи с результатами измерений скорости света по методу Физо, осуществленными его соотечественниками Дж.Юнгом и Дж.Форбсом, Рэлей, обратился к вопросу: какую скорость — фазовую или групповую — измеряют при таких наблюдениях? С.Р.Филонович (М ГУ) в докладе «Экспериментальное подтверждение теории групповой скорости» отметил стимулирующую роль Рэлея в постановке опытов по измерению скорости света в сероуглероде, проведенных А.Майкельсоном в 1883—1884 гг. С одной стороны, эти эксперименты опровергли выводы Юнга и Форбса о дисперсии света в воздухе, а с другой стороны — подтвердили правильность теории Рэлея. *

К оптике и одновременно к теории волн относится новое явление усиления обратного рассеяния, о котором рассказал ЮА.Кравцов. Это новый класс волновых эффектов, возникающих при обратном рассеянии волн различной физической природы: усиление обратного рассеяния волн на малых частицах, помещенных в тур


76 Хроника ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3

булентную среду; усиление обратного рассеяния на взвесях, на штрихованных поверхностях и т.п. Такие явления, наблюдаемые в оптике, акустике, радиофизике, лишний раз демонстрируют универсальный характер волновой теории, у истоков которой стоял Рэлей, подчеркнул докладчик, один иэ тех, кому принадлежит честь открытия этого явления.

В.В.Вахмистров (Институт проблем кибернетики РАН) говорил о роли Рэлея в становлении понятий современной классической теории магнетизма — инвариантов намагничивания и плотности заряда. Особое внимание было обращего на связь рэлеевского сдвига петли гистерезиса с современной интерпретацией поля размагничивания. Как отметил В.В.Вахмистров, пренебрежение эффектом сдвига приводит к неоправданным технологическим трудностям в технике современной цифровой магнитной записи. Докладчик обратил внимание также на статьи В.КАркадьева (1884—1953 гг.) о магнитных коэффициентах. В этих работах сделана попытка осмыслить опыт Рэлея по сдвигу петли гистерезиса, что позволило уточнить выражение для математической магнитной связи.

Завершили конференцию два доклада методологического характера. В.П.Визгин проанализировал исследования Рэлея по теоретической и математической физике в контексте особенностей взаимодействия физики и математики в науке XIX в. и в неклассической науке XX в., подчеркнув преимущественно классические черты этой взаимосвязи: «сначала физика, потом уравнения», «физика как теория дифференциальных уравнений» и т.д. Вместе с тем В.П.Визгин указал на присутствие в трудах Рэлея важных элементов неклассического подхода: «колебательно-волновая кибернетизация» физики, распространение понятий и методов аналитической механики за пре

делы механики, метод размерностей и подобия (прообраз теоретико-группового метода) и другие. Докладчик обсудил также проблемы математи- *• ческой строгости и допустимой идеализации в работах Рэлея. Им установлена преемственность отмеченных аспектов взаимосвязи физики и математики у Рэлея и в школе Мандельштама — Андронова.

АА.Печенкин (ИИЕТ) остановился на развитии теорий нелинейных колебаний в школе Мандельштама — Андронова (конец 20-х — начало 30-х гг.). Следуя концепции известного американского историка физики П.Формана о том, что формирование «акаузальной квантовой механики» в Германии в 20-е годы происходило на фоне увлечения физиков философией жизни, приведшего к дистанцированию их от детерминизма, АА.Печенкин попытался реконструировать советский идеологический контекст теории нелинейных колебаний. По его мнению, Л.И.Ман- дельштам и НД.Папалекси, получившие образование в Германии, в отличие от своих немецких коллег не оставили в 20-е — 30-е гг. позицию детерминизма. Свое исследование докладчик провел на материале лекций по квантовой механике Л.И.Манделыптама, в которых тот избегал ин- детерминистских выводов, свойственных копенгагенской интерпретации, и ряда статей и лекций АААндронова и А.Я.Хинчина, учеников Л.И.Ман- дельштама, свидетельствующих о приверженности этих ученых детерминизму. Рассмотрен также вопрос о контактах с ними философа-марксиста Б.И.Гессена, развивавшего эту философскую концепцию.

Выступивший в заключение А.В.Нетушил (М ИТХТ им. М.ВЛомоносова) подвел итоги конференции и выразил благодарность ее организаторам.

Е.И.Погребысская (ИИЕТ)


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 9 /9 3 Хроника 11

Федор Михайлович Юферов

Скончался ученый и педагог, доктор технических наук, профессор Московского энергетического института Федор Михайлович Юферов.

Научно-техническая общественность страны, инженеры и техники электропромышленности и других отраслей, профессора, преподаватели, аспиранты и студенты вузов знают Ф.М.Юферова как одного из ведущих специалистов, автора первых учебников, монографий, многочисленных печатных работ и изобретений но электрическим машинам автоматических устройств.

Ф.М.Юферов родился в 1923 г. в Тобольске Тюменской области. После окончания средней школы работал плотником и мастером ремесленного училища. Окончив с отличием МЭИ в 1940 г., стал аспирантом этого института, одновременно работая инженером в НИИ.

Творческая деятельность Ф.М.Юферова до последних дней жизни была связана с кафедрой электрических машин МЭИ, где он в 1953* г. защитил кандидатскую, а в 1978 г. докторскую диссертации, работал ассистентом, доцентом и профессором. У него учились многие поколения студентов-электромехаников, под его руководством выполнили и защитили диссертации 26 аспирантов и 8 докторов технических наук.

В течение многих лет Ф.М.Юферов активно работал в технико-экономических советах Министерства электротехнической промышленности СССР, имел широкие деловые связи с заводами, научными и конструкторскими организациями. Ему принадлежат первые глубокие исследования точности бесконтактных сельсинов и влияния на нее технологических факторов, он был одним из инициаторов разработки и промышленного

внедрения электрических машин с малоотходной технологией изготовления магнитопровода, синхронных двигателей с постоянными магнитами и электродвигателей с электромагнитной редукцией частоты вращения.

Педагог высокого класса, Федор Михайлович умел доходчиво и просто объяснять сложные вещи, увидеть в любой научной и технической проблеме главное, сделать детальный анализ сути физических явлений. Именно этим, наряду с незаурядными природными способностями и эрудицией, объясняются его успехи в научной и педагогической деятельности.

Ф.М.Юферов был членом ученых советов МЭИ по присуждению ученых степеней, неоднократно выезжал для чтения лекций и научно-методических консультаций в российские и зарубежные вузы, привлекался к работе СЭВ.

Слушатели Народного университета, факультетов повышения квалификации, стажеры, аспиранты и участники научных конференций помнят его яркие и глубокие выступления, лекции и доклады но актуальным проблемам электромеханики.

За большую производственную и общественную работу профессор Ф.М.Юферов был награжден Почетной грамотой Президиума Верховного Совета Чувашской АССР, медалью «За отличные успехи в работе» Минвуза СССР, почетными грамотами Минэлектротехпрома СССР и МЭИ.

В наших сердцах навсегда сохранится Федор Михайлович Юферов — коммуникабельный и доброжелательный человек широкой души.

♦ Группа тоиарищей


С О Д Е Р Ж А Н И Е C O N T E N T S

Шнейберг Я.А. Творец многофазных систем и техники СВЧ (К 50-летию со дня смертиНиколы Т е с л ы )..............................................

Левиуш А.И., Катунян В.И. Математическое моделирование параметрического резонанса на высших гармониках при включении на холостой ход ВЛ 330 кВ сответвлением........................................

Лисицын М.В., Косарева Е.Г. Многосвязная система автоматического регулирования режимов электроэнергетических объектов

Клецель М.Я., Мусин В.В., Алишев Ж.Р., Ма- нуковский А.В. Свойства герконов, применяемых в релейной защите . ...............

Овчаренко Н.И. О принципах функционирования измерительных органов релейной защиты и автоматики . . . . . . . . . . . . .

Кутузов С.И. Метод оценки коэффициента гармоник но напряжению в автономныхэнергосистем ах..............................................

Болюх В.Ф. Возбуждение криорезистивной обмотки от емкостного накопителя при наличии магнитосвязанного контура . . .

Кузнецов Б.И., Прокопенко Е.А. Динамические характеристики двухканальных следящих систем оптимального управления с раздельной нагрузкой . . . . . . . . . . . .

Ставинский А.А. Особенности распределения магнитного поля асинхронных двигателей с тангенциальной периодической несим-метрией я р м а ....................... .. .......................

Чабан В.И. Параметрическая чувствительность глубокопазных асинхронных двигателей ...................................................................

Загирняк М.В. Расчет магнитных систем электромагнитных шкивных сепараторов

Пентегов И.В. Итерационные решения дифференциального уравнения Риккаги прианализе поверхностного эф ф екта..............

Бирюк Н.Д. Метод комплексных амплитуд и его обобщение в теории электрическихцепей ...................................................................

Новосельцев А.В. Метод кинематических аналогий в теории параметрической оптимизации нелинейных электрических цепей

Филаретов В.В. Оптимизация формул схемных функций электрических цепей . . . .

Казарян С.Л. К выбору однослойных цепных обмоток с дробным числом пазов на полюс и ф а з у .......................................................

ДИСКУССИИ . . . ....................ХРОНИКА ..........................................................

Sbneiberg Ya.A.— The Creator of Polyphase Systems and Microwave Technology (50 YearsAfter the Death of Nicola T e s la )................. 1

Leviush A.I., Katunian V.I.— Mathematical Modelling of Higher Harmonic Parametrical Resonance When Switching-in a 330 kV Tapped Transmission Line at No-Load . . . 10

Lisitsyn M.V., Kosareva E.G.— A Multidimensional System for Automatic Control ofElectric Power Installations............................. 14

Kletsel M.Ya., Musin V.V., Alishev Zh.P., Manukovsky A.V.— The Properties of Hermetically Sealed Reed Relays Used inRelay Protection................................................. 18

Ovcharenko N.I.— On the Principles of Functioning of Measuring Elements in RelayProtection and Automation . ........................... 21

Kutuzov S.I.— Method for Evaluating the Voltage Harmonic Factor in Self-Contained Power

x System s................................................................ 26Boiiukh V.F.— Excitation of the Cryoresistive

Winding from Capacitive Storage with a Magnetically Coupled Circuit . . . . . . . . . . 30

Kuznetsov B.I., Prokopenko E.A.— The dynamic Characteristics of Two-Channel Optimal Control Servo Systems with Separate Loads 35

Stavinsky A.A.— The Spesifics of the Magnetic Field Distribution in Induction Motors with Tangential Periodic Imbalance of the Yoke 38

Chaban V.I.— Parametric Sensitivity of Deep-Slotted Induction M otors ................................ 43

Zagirniak M.V.— Design of Magnetic Systems for Electromagnetic Pulley Separators . . . . * 45

Pentegov I.V.— Iterative Solutions off the Riccati Differential Equation in Skin Effect Analysis 52

Biriuk N.D.— The Method of Complex Amplitudes and its Generalization in ElectricCircuit T h eory .................................................... 55

Novoseltsev A.V.— The Method of Kinematic Analogies in the theory of Parametric Optimization of Non-linear Electric Circuits 58

Filaretov V.V.— Optimization of Formulas forSystem Functions of Electric C ircuits........... 64

Kazarian S.L.— On Selecting Single-Layer Chain Windings with a Fractional Number of Slotsper Pole and Phase.............. . ........................ 68

DISCUSSION . ............................. , ................... 72CHRONICLE........................................... 74

1

10

14

18

21

26

30

35

38

43

45

52

55

58

64

68

7274


Если Вы работаете в области энергетики или электротехники,позаботьтесь о том,

чтобы Ваше предприятие, лаборатория, кафедра не опоздали с подпиской на

« Э Л Е К Т Р И Ч Е С Т В О »— старейший отечественный теоретический и научно-практический журнал, орган Российской Академии наук, Федерации энергетических и электротехнических обществ

журнал « Э Л Е К Т Р И Ч Е С Т В О »• выходит ежемесячно, предназначен для высококвалифицированных специалистов

в области энергетики и электротехники;

• публикует теоретические статьи и научно-практические работы отечественныхи зарубежных ученых и инженеров, освещает работу всесоюзных и зарубежных конференций, рецензирует учебники и монографии по тематике журнала, помещает материалы по истории электротехники, статьи о выдающихся отечественных ученых; •

• переводится на английский язык, издается и распространяется в мире издательством «Пергамон Пресс»; русскоязычное издание поступает во все промышленно-развитые страны мира.

Условия подписки указаны в Каталоге издательства «Известия Верховного Совета народных депутатов РФ». Индекс 71106.


Вниманию предприятий, организаций, НИИ, вузов стран СНГ и зарубежных фирм!

Журнал «Электричество» предоставляет свои страницы для:

— РЕКЛАМЫ ИЗДЕЛИЙ отечественных предприятий и зарубежных фирм в области энергетики, электротехники, электроники, автоматики,

— ПУБЛИКАЦИИ ОБЪЯВЛЕНИЙ о научных симпозиумах, конференциях, совещаниях, семинарах,

— ДРУГОЙ ИНФОРМАЦИИ, соответствующей тематике журнала.

Сообщаем, что журнал поступает к зарубежным подписчикам во многих странах мира на русском и английском языках. Реклама в черно-белом изображении может быть помещена на страницах журнала или на его обложке.

Напоминаем наш адрес: 103012 Москва, К-12, Б. Черкасский пер., 2/10 или 101000 Москва, Главпочтамт, абонементный ящик № 648. Телефоны для справок: 924-24-80, 928-88-69.

Художественный редактор Т. А. Дворецкова Технический редактор Г. В. Преображенская

Сдано в набор 27.07 .93 . Подписано в печать 03.09 .93 . Формат 6 0 x 8 8 1 /8 .Бумага офсетная № 2. Печать офсетная. Уел. печ. л. 9,8 Тираж 1*огэкз. Заказ ЪЪг

Энергоатомиздат, 113114 Москва, М -1 1 4 , Шлюзовая наб., 10.Макет выполнен АО «Знак», Москва, 115547, Михневский пр-д, 4

Отпечатано в Подольском филиале 142110,' г. Подольск, ул. Кирова, 25


Индекс 71106

ОТ АКАДЕМИИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

АКАДЕМИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ НАУК, ЗАРЕГИСТРИРОВАННАЯ МИНИСТЕРСТВОМ ЮСТИЦИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ В КАЧЕСТВЕ ВЫСШЕЙ В СВОЕЙ ОБЛАСТИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ С ОБЩЕРОССИЙСКИМ СТАТУСОМ, В СООТВЕТСТВИИ С УСТАВОМ И РЕШЕН.ИЕМ УЧРЕДИТЕЛЬНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ НАСТОЯЩИМ ИЗВЕЩАЕТ ОБ ОТКРЫВАЮЩИХСЯ ВАКАНСИЯХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ И ЧЛЕНОВ-КОРРЕСПОНДЕН- ТОВ АКАДЕМИИ ПО СЛЕДУЮЩИМ НАУЧНО-ОТРАСЛЕВЫМ ОТДЕЛЕНИЯМ:

ёГ/?.

Научно-отраслевые Число вакансийотделения Действительных

членовЧленов-корреспон-

дентов1. Теоретическая электротехника 6 112. Электроэнергетика3. Электромеханика и силовая преобразовательная

9 18

техника в промышленности 4. Электротехнические системы и устройства общего

9 17

назначения5. Электромеханические системы транспорта и кос

8 18

мической техники 9 196. Электротехнология7. Средства и системы контроля, управления и ав

3 6

томатизации 9 198. Электротехнические материалы и изделия 3 69. Электрофизические и сверхпроводящие устройства 3 710. Электромагнитная совместимость и экология 4 8

Действительными членами Академии электротехнических наук, согласно Уставу Академии, избираются ученые, обогатившие науку выдающимися достижениями и открытиями, широко признанными и используемыми в научно-практической деятельности.

Членами-корресиондентами Академии электротехнических наук, согласно Уставу Академии, избираются ученые и специалисты, внесшие признанный вклад в развитие электротехнической науки.

Действительные члены и члены-корреспонденты избираются, как правило, из числа докторов наук и профессоров.

К участию в выборах допускаются прежде всего ученые, представившие личные программы фундаментальных и прикладных работ по развитию электротехнической науки в промышленности, строительстве, сельском хозяйстве, на транспорте, в медицине, социальной сфере и других приоритетных для России направлениях народного хозяйства в условиях перехода к рыночной экономике.

Выдвигать кандидатов в действительные члены и члены-корреснонденты могут научные учреждения и высшие учебные заведения, государственные и общественные организации, действительные члены и члены-корреспонденты Академии электротехнических наук по указанным в данной публикации научно-отраслевым отделениям.

В случае представления кандидатов научными учреждениями, высшими учебными заведениями, государственными и общественными организациями выдвижение производится на заседаниях ученых и научно-технических советов, коллегий или президиумов путем тайного голосования простым большинством голосов.

Представление на кандидатов в действительные члены и члены-корреспонденты Академии с соответствующей мотивировкой и с приложением необходимых документов направляется в адрес Президиума Академии в течение одного месяца со дня настоящей публикации.

Необходимо направить (в 2-х экземплярах): представление совета общественных или государственных организаций с результатами тайного голосования или письмо с соответствующей мотивировкой в случае выдвижения кандидата действительным членом или членом-корреспондентом Академии электротехнических наук, автобиографию, личный листок но учету кадров, список научных трудов, копии дипломов об окончании вуза и доктора наук, аттестат профессора, отзыв о научно-общественной деятельности кандидата с основного места работы, личную научную программу с экономическим обоснованием (объемом не более 2-х страниц) и 2 фотографии размером 4 ,5x6 см.

УКАЗАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ НАПРАВЛЯТЬ ПО АДРЕСУ: 105835, ГСП, г. Москва, Красноказарменная ул., 14, ПРЕЗИДИУМ АКАДЕМИИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

Президент Академииэлектротехнических наук В.Герасимов

Главный Ученый секретарь Академии электротехнических наук Г.Иванченко


Documents

ISSN 0013-5380 - · PDF fileАндерс В.И., ... изобретение первого ... сказал он,— несомненно совершит великие дела,