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Isométries d'un espace euclidien.
Dans ce chapitre, le corps des scalaires est ℝ et l'espace (E ; ⟨…|…⟩ ) est un espace euclidien de dimension finie n .
1. Isométries vectorielles d'un espace euclidien.........................................................................p.1Définition d'une isométrie vectorielle. Symétrie orthogonale par rapport à un sous espace vectoriel. Réflexion. Caractérisation par la conservation du produit scalaire. Caractérisation par l'image d'une base orthonormale. Groupe orthogonal.Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle.
2. Matrices orthogonales.....................................................................................................................p.6Définition de l'orthogonalité pour une matrice. Groupe orthogonal d'ordre n.Caractérisation des matrices orthogonales à l'aide des lignes ou des colonnes.Caractérisation des bases orthonormales à l'aide des matrices de passage.Caractérisation des isométries vectorielles à l'aide de leur matrice dans une base orthonormale.Déterminant d'une matrice orthogonale. Déterminant d'une isométrie vectorielle.Isométrie vectorielle positive, négative (directe, indirecte).Groupe spécial orthogonal. Groupe spécial orthogonal d'ordre n .
3. Classification en dimension 2 et 3..............................................................................................p.9Description du groupe orthogonal en dimension 2 et en dimension 3.Classification à partir des éléments propres. Caractéristiques géométriques d'une isométrie vectorielle.
4 . M atrices symétriques réelles........................................................................................................p.20Orthogonalité des sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle.Théorème spectral.
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1. Isométries d'un espace vectoriel euclidien.
Définition d'une isométrie vectorielle
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien, ∥ ⋅ ∥ la norme associée, et f ∈L (E ) .f est une isométrie vectorielle si et seulement si ∀ u∈E , ∥ f (u )∥=∥u∥
Illustration dans le plan vectoriel euclidien muni de la base orthonormale ( i⃗ ; j⃗ ) :
Exemple et contre-exemple : Une projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F≠{0E } n'est pas une isométrie car...
Une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace vectoriel F est une isométrie. En effet, soit s la symétrie orthogonale par rapport à F et p la projection orthogonale sur F .
∀ u∈E , u= p (u )⏟∈F
+ (u− p (u ))⏟∈F
⊥
et s (u )=…
Ainsi d'après le théorème de Pythagore on a …
Isométries d'un espace euclidien 1/21 pycreach.free.fr - TSI2
Remarque : ∀ u∈E , p ( u)=12
(u+ s (u )) ainsi u=12
(u+ s (u ))⏟∈F
+12
(u−s (u ))⏟∈F⊥
Rappel : une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan. Pour n∈E−{0E } en notant s la
réflexion par rapport à (vect ( n))⊥
on a ∀ u∈E , s (u )=u−2⟨u∣n ⟩
∥n∥2n .
Caractérisation d'une isométrie vectorielle par conservation du produit scalaire
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien et f ∈L (E ) .f est une isométrie vectorielle si et seulement si ∀ (u ; v )∈E2 , ⟨ f (u )∣ f (v ) ⟩=⟨u∣v ⟩
Démonstration : Si ∀ (u ; v )∈E2 , ⟨ f (u )∣ f (v ) ⟩=⟨u∣v ⟩ alors ∥ f (u )∥2=…
Si ∀ u∈E , ∥ f (u )∥=∥u∥ alors ∀(u ; v )∈E2 , ∥ f (u+v )∥2=…
□
Caractérisation d'une isométrie par l'image d'une base orthonormale
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien, B=(e1 ;…; en) une base orthonormale de E et f ∈L (E ) .f est une isométrie vectorielle si et seulement si la famille ( f (e1) ;…; f (en) ) est une base orthonormale de E.
Démonstration : ( f (e1) ;…; f (en) ) est une base orthonormale de E ⇔ ∀ (i ; j )∈[1; n ]2 ⟨ f (ei )∣f (e j) ⟩={1 si i= j0 sinon
► Si f est une isométrie vectorielle alors ∀ (i ; j)∈[1 ; n ]2 , ⟨ f (ei )∣ f (e j) ⟩=⟨ei∣e j ⟩ or …
► B étant une base orthonormale, u=⟨u∣e1⟩ e1+…+ ⟨u∣e n⟩ en et d'après le théorème de Pythagore :
∥u∥2=…
Par ailleurs, par linéarité de f , f (u )= ⟨u∣e1 ⟩ f (e1)+…+ ⟨u∣en⟩ f (en )Si de plus la famille ( f (e1) ;…; f (en) ) est une base orthonormale de E alors, d'après le théorème de Pythagore :
∥ f (u )∥2=…
Donc ∥ f (u )∥2=∥u∥2 donc... □
Isométries d'un espace euclidien 2/21 pycreach.free.fr - TSI2
Exemples en dimension 2 : soit P un plan euclidien muni d'une base orthonormée ( i⃗ ; j⃗ ) :
Soit f l'endomorphisme de P défini par :
{f ( i⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 j⃗f ( j⃗ )=−0,8 i⃗ +0,6 j⃗
Pour u⃗ =−2 i⃗ + j⃗ , on a f ( u⃗ )=…Pour v⃗ =4 i⃗ +3 j⃗ , on a f ( v⃗ )=…
Soit g l'endomorphisme de P défini par :
{g ( i⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 j⃗g ( j⃗ )=0,8 i⃗ −0,6 j⃗
Pour u⃗ =−2 i⃗ + j⃗ , on a g ( u⃗ )=…Pour v⃗ =4 i⃗ +3 j⃗ , on a g ( v⃗ )=…
Isométries d'un espace euclidien 3/21 pycreach.free.fr - TSI2
Exemple en dimension 3 : soit E un espace euclidien de dimension 3 muni d'une base orthonormale ( i⃗ ; j⃗ ; k⃗ ) et f
l'endomorphisme de E défini par {f ( i⃗ )=0,48 i⃗ +0,6 j⃗ +0,64 k⃗f ( j⃗ )=0,8 i⃗ −0,6 k⃗f ( k⃗ )=−0,36 i⃗ +0,8 j⃗ −0,48 k⃗
Pour u⃗ =7 i⃗ +5 j⃗ + k⃗ on a f ( u⃗ )=…∥⃗ u ∥=…∥ f ( u⃗ )∥=…
Pour v⃗ =2 i⃗ −3 j⃗ + k⃗ on a : f ( v⃗ )=…∥⃗ v ∥=…∥ f ( v⃗ )∥=…
⟨ u⃗ ∣⃗ v ⟩=…⟨ f ( u⃗ )∣f ( v⃗ ) ⟩=…
Opérations sur les isométries vectorielles
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien, ∥ ⋅ ∥ la norme associée, f ∈L (E ) et g∈L ( E ) .Si f et g sont des isométries vectorielles de E alors g∘ f est une isométrie vectorielle de E.
Si f est une isométrie vectorielle alors f est une bijection de E dans E (i.e. f ∈GL (E ) ) et f −1 est une isométrie vectorielle de E.
Démonstration : soit u∈E alors ∥g ∘ f (u )∥=…Soit v∈Ker f alors ∥v∥=…Donc f est une bijection de E dans E. Soit u∈E alors il existe v∈E tel que u= f ( v ) donc ∥ f −1( u)∥=∥ f −1 ( f (v ))∥=∥v∥=∥u∥ car...
□Remarque : si f est une isométrie vectorielle alors son spectre (réel) est inclus dans l'ensemble {−1; 1} . En effet si λ∈Sp ( f ) et si u est un vecteur propre de f associé à λ alors ∥u∥=∥ f (u )∥=∥λ u∥=∣λ∣×∥u∥ ainsi, puisque u≠0E
,on a nécessairement ∣λ∣=1 .
Définition du groupe orthogonal (O ( E ); ∘)
Soit (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien.L'ensemble des isométries vectorielles de E muni de l'opération ∘ est appelé groupe orthogonal noté (O ( E ); ∘) .
Propriété de stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien, f ∈O (E ) et F un sous-espace vectoriel de E.Si F est stable par f alors F ⊥ est stable par f .
Démonstration : Soit F un sous-espace vectoriel stable par f ∈O (E ) , il s'agit de démontrer que ∀ v∈F⊥ , f (v )∈F⊥ ,c'est-à-dire : ∀ v∈F⊥ , ∀ u∈F , ⟨ f (v )∣u ⟩=0
Soient v∈F⊥ et u∈F .Puisque F est stable par f , la restriction de f à F f ∣F :F→F est une bijection de F dans F (isométrie).
Isométries d'un espace euclidien 4/21 pycreach.free.fr - TSI2
Alors il il existe u'∈F tel que f (u' )=u , ainsi ⟨ f (v )∣u ⟩=⟨ f ( v )∣ f (u' ) ⟩De plus f ∈O (E ) donc ⟨ f (v )∣f ( u ' ) ⟩=⟨v∣u ' ⟩Or v∈F⊥ et u'∈F donc ⟨v∣u' ⟩=0Enfin ⟨ f (v )∣u ⟩=0Ce raisonnement étant valide pour tout v∈F⊥ et pour tout u∈F , F ⊥ est stable par f □
Exemple : Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni d'une base orthonormale B=( i⃗ ; j⃗ ; k⃗ ; l⃗ ) et f
l'endomorphisme de E défini par {f ( i⃗ )=0,6 j⃗ +0,8 l⃗f ( j⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 k⃗f ( k⃗ )=−0,8 j⃗ +0,6 l⃗f ( l⃗ )=−0,8 i⃗ +0,6 k⃗
et F=Vect ( i⃗ + j⃗ ; k⃗ + l⃗ ) .
f est une isométrie vectorielle car...
Le sous-espace vectoriel F est stable par f car...
or i⃗ − j⃗ ∈F ⊥ car
et k⃗ − l⃗ ∈F⊥ car...
Ainsi F ⊥=Vect (…;…) est stable par f .
Conséquence sur la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base adaptée
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien de dimension n , F un sous-espace vectoriel de E de dimension p , et B=(e1 ;…; e p ; e p+1;…; en) une base de E telle que (e1 ;…e p ) soit une base de F et (e p+1 ;…;e n) soit une base de F ⊥ .
Si f ∈O (E ) et si F est stable par f
alors il existe A∈M p (ℝ ) et B∈Mn−p (ℝ ) telles que MatB ( f )=( A 0M p, n− p(ℝ )
0Mn− p, p(ℝ ) B )
Exemple : Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni d'une base orthonormale B=( i⃗ ; j⃗ ; k⃗ ; l⃗ ) et f
l'endomorphisme de E défini par {f ( i⃗ )=0,6 j⃗ +0,8 l⃗f ( j⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 k⃗f ( k⃗ )=−0,8 j⃗ +0,6 l⃗f ( l⃗ )=−0,8 i⃗ +0,6 k⃗
en notant B'=( i⃗ + j⃗ ; k⃗ + l⃗ ; i⃗ − j⃗ ; k⃗ − l⃗ )
On a Mat B' ( f )=…
En utilisant la formule de changement de base on a :
MatB' ( f )=…
Isométries d'un espace euclidien 5/21 pycreach.free.fr - TSI2
2 . Matrices orthogonales
Définition de l'orthogonalité d'une matrice
Soit A∈Mn (ℝ ) .
A est orthogonale si et seulement si AT A=In
Exemple et contre-exemple :
(1 −11 1 ) …
(12
√32
−√32
12) ...
Opérations sur les matrices orthogonales
Soient A∈Mn (ℝ ) et B∈Mn (ℝ ) .Si A et B sont orthogonales alors A × B est une matrice orthogonale.
Si A est orthogonale alors A est inversible (i.e. A∈GLn (ℝ ) ) et A−1=AT est une matrice orthogonale.
Démonstration : Si AT A=In et BT B=In alors (AB )T×AB=…
Si AT A=In alors si X∈Ker ( A ) ,...
Donc A est inversible et A−1=AT
(AT)T(AT )=…
□
Définition du groupe orthogonal d'ordre n
L'ensemble des matrices orthogonales de Mn (ℝ ) muni de l'opération × est le groupe orthogonal d'ordre n noté (On (ℝ ) ;× ) .
Remarque : on note aussi O ( n) .
Caractérisation des matrices orthogonales à l'aide de leurs lignes ou de leurs colonnes
Soit A=(a1,1 … a1, n
⋮ ⋮a n,1 … an ,n
)∈Mn (ℝ )
A est orthogonale si et seulement si
la famille de ses n vecteurs colonnes ((a1,1
⋮an,1
);…;(a1 , j
⋮a n, j
);…;(a1,n
⋮a n,n
)) est orthonormale dans Mn ,1 (ℝ )
si et seulement si la famille de ses n vecteurs lignes ((a1,1 ;…; a1,n) ;…;(ai ;1 ;…; ai, n) ;…;(an, 1;…; an ,n)) est orthonormale dans M1,n (ℝ )
Démonstration : Soit A=(a1 ,1 a1, j a1, n
⋮ ⋮ ⋮⋮ … ⋮ … ⋮⋮ ⋮ ⋮
a n,1 an , j an ,n
)Alors AT A= (
a1,1 … … … a n,1
⋮a1 , j … … … an , j
⋮a1 ,n … … … an ,n
) × (a1,1 a1, j a1 ,n
⋮ ⋮ ⋮⋮ … ⋮ … ⋮⋮ ⋮ ⋮
a n,1 an , j an ,n
)Isométries d'un espace euclidien 6/21 pycreach.free.fr - TSI2
Ainsi en notant C j=(a1, j
⋮an, j
)∈Mn ,1 (ℝ ) , on a AT A=((Ci)T C j )1⩽i⩽1
1⩽ j⩽1
Ainsi : AT A=In ⇔ ∀ (i , j )∈⟦1 ; n ⟧2 , (Ci )TC j={1 si i= j
0 sinon
Par ailleurs : A AT= (a1,1 … … … a1 ,n
⋮ai ,1 … … … ai ,n
⋮a n,1 … … … an ,n
) × (a1,1 ai ,1 a n,1
⋮ ⋮ ⋮⋮ … ⋮ … ⋮⋮ ⋮ ⋮
a1 ,n ai ,n an ,n
)Ainsi en notant L i=(ai ,1 ;…;ai ,n )∈M1 n (ℝ ) on a A AT
=(Li (L j )T )
(1⩽i⩽n1⩽ j⩽n)
Ainsi AT A=In ⇔ A est inversible et A−1=AT ⇔ A AT=In ⇔ ∀ (i , j )∈⟦1 ; n ⟧2 , L i (L j)T={1 si i= j
0 sinon□
Caractérisation des bases orthonormales de E
Soient B0 une base orthonormale de E et B une base de E.B est orthonormale si et seulement si la matrice de passage de B0 à B est orthogonale.
Démonstration : La base B0 étant orthonormale, ∀ (u ; v )∈E2 , ⟨u∣v ⟩=(MatB0(u ))
T Mat B0(v ) donc :
Les vecteurs u et v sont orthogonaux dans E si et seulement si MatB0( u) et MatB0
( v ) sont orthogonale dans Mn ,1 (ℝ )
Or les colonnes de la matrice de passage P de la base B0 à la base B=(e' 1 ;…;e' n) sont pour j∈⟦1 ; n⟧ , MatB0(e' j )
donc :B est une famille de E orthonormale ⇔ (Mat B0
(e' j) )1⩽ j⩽n est orthonormale dans Mn ,1 (ℝ ) ⇔ P∈On (ℝ ) □
Caractérisation des isométries vectorielles de E
Soit B0 une base orthonormale de E et f ∈L (E ) .f est une isométrie vectorielle si et seulement si la matrice de f dans B0 , MatB0
( f ) est orthogonale.
Démonstration : soit B0=(e1 ;…;e n) .f est une isométrie vectorielle si et seulement si ( f (e1) ;…; f (en) ) est une base orthonormale de E
si et seulement si (Mat B0( f (e1)) ;…; Mat B0
( f (en ))) est une base orthonormale de Mn ,1 (ℝ )
si et seulement si Mat B0( f ) est orthogonale. □
Remarque : on a un isomorphisme de groupe : (O ( E ); ∘) → (On (ℝ ) ;×)
f → Mat B0( f )
Exemples : si ( i⃗ ; j⃗ ) est une base orthonormale de E, les endomorphismes f et g définis par :
{f ( i⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 j⃗f ( j⃗ )=−0,8 i⃗ +0,6 j⃗
, {g ( i⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 j⃗g ( j⃗ )=0,8 i⃗ −0,6 j⃗
Si ( i⃗ ; j⃗ ; k⃗ ) est une base orthonormale de E, l' endomorphisme f défini par : {f ( i⃗ )=0,48 i⃗ +0,6 j⃗ +0,64 k⃗f ( j⃗ )=0,8 i⃗ −0,6 k⃗f ( k⃗ )=−0,36 i⃗ +0,8 j⃗ −0,48 k⃗
Si ( i⃗ ; j⃗ ; k⃗ ; l⃗ ) est une base orthonormale de E, l' endomorphisme f défini par : {f ( i⃗ )=0,6 j⃗ +0,8 l⃗f ( j⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 k⃗f ( k⃗ )=−0,8 j⃗ +0,6 l⃗f ( l⃗ )=−0,8 i⃗ +0,6 k⃗
Isométries d'un espace euclidien 7/21 pycreach.free.fr - TSI2
Déterminant d'une matrice orthogonale
Soit A∈Mn (ℝ ) .Si A∈On (ℝ ) alors det (A )∈{−1;1 }
Démonstration : det (AT A )=…□
det (A )=±1 est nécessaire si A∈O (n ) mais det (A )=±1 n'est pas suffisant pour assurer que A∈O (n ) .
Exemple : (1 10 1) …
Application à l'orientation d'un espace euclidien
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien et B0 une base orthonormale de E. L'espace euclidien E est dit orienté (par la donnée de la base B0 ). Soit B une base orthonormale de E,
B est dite directe si et seulement si le déterminant de la matrice de passage de la base B0 à la base B est égal à 1.
Exemples : Soit E un espace euclidien de dimension 3 orienté par la base orthonormale B0=( i⃗ ; j⃗ ; k⃗ ) .
La base B'=( k⃗ ; j⃗ ; i⃗ ) est …
La base B' '=( j⃗ ; k⃗ ; i⃗ ) est ...
Déterminant d'une isométrie vectorielle
Soit f ∈L (E ) .Si f ∈O (E ) alors det ( f )∈{−1;1 }
Démonstration : soit B0 une base orthonormale de E alors det ( f )=…
□
Définition d'une isométrie vectorielle positive ou négative
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien et f ∈L (E ) .
f une isométrie vectorielle positive (ou directe) si et seulement si { f ∈O ( E )det ( f )=1
f une isométrie vectorielle négative (ou indirecte) si et seulement si { f ∈O ( E )det ( f )=−1
Exemples : soient ( i⃗ ; j⃗ ) une base orthonormale directe de E et les endomorphismes f et g définis par :
{f ( i⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 j⃗f ( j⃗ )=−0,8 i⃗ +0,6 j⃗
, {g ( i⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 j⃗g ( j⃗ )=0,8 i⃗ −0,6 j⃗
Opérations sur les isométries vectorielles positives
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien, f ∈L (E ) et g∈L ( E ) .
Si { f ∈O ( E )det ( f )=1
et {g∈O (E)det ( g )=1
alors {g ∘ f ∈O ( E)det ( g∘ f )=1
Si { f ∈O ( E )det ( f )=1
alors f ∈GL (E ) et {f −1∈O ( E )
det ( f −1)=1
Démonstration : les propriétés du groupe orthogonal O(E) sont déjà démontrées.det ( g∘ f )=…
det ( f −1)=… □
Définition du groupe spécial orthogonal
Soit (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien.L'ensemble des isométries vectorielles de E positives muni de l'opération ∘
est appelé groupe spécial orthogonal de E noté (SO ( E ); ∘) .
Isométries d'un espace euclidien 8/21 pycreach.free.fr - TSI2
L'ensemble des isométries vectorielles de E négatives n'est pas un sous-groupe car pour det ( f )=−1 et det ( g )=−1 , det ( g∘ f )=…
Définition du groupe spécial orthogonal d'ordre n
L'ensemble des matrices de On (ℝ ) de déterminant égal à 1 muni de l'opération × est appelé groupe spécial orthogonal d'ordre n noté (SOn (ℝ ) ;× )
Remarque : on note aussi SO ( n) .
O− (n )={A∈O (n )∣det (A )=−1} n'est pas un sous-groupe.
Si B0 est une base orthonormale, alors on a un isomorphisme de groupe : (SO ( E ); ∘) → (SOn (ℝ ) ;×)
f → MatB0( f )
3 . Classification en dimension 2 et 3
Spectre (réel) d'une isométrie vectorielle
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien et f ∈L (E ) .Si f ∈O (E ) alors sp ( f )⊂{−1; 1}
Démonstration : soit un réel λ∈Sp ( f ) et v une vecteur propre de f associé à la valeur propre λ : {v≠0E
f ( v )=λ v.
Si f ∈O (E ) alors ∥ f (v )∥=∥v∥ donc ∣λ∣∥v∥=∥v∥ donc ∥v∥(∣λ∣−1)=0 Or ∥v∥≠0 donc ∣λ∣=1 ainsi... □
Classification des isométries vectorielles en dimension 2
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien de dimension 2 et f ∈L (E ) .Si f ∈O (E ) alors : ou bien sp ( f )={1} : dans ce cas f ∈SO (E ) et f =Id E
ou bien sp ( f )={−1 } : dans ce cas f ∈SO (E ) et f =−Id E ou bien sp ( f )={−1 ;1 } : dans ce cas f ∉SO (E ) et f est une réflexion par rapport à E1( f )
ou bien sp ( f )=∅ : dans ce cas f ∈SO (E ) et f est une rotation d'angle θ≠0 [π ] :
∀ u∈E∖ {0E} , en notant v l'unique vecteur tel que ( 1∥u∥
u ;1
∥u∥v) soit une base orthonormale directe de E,
f (u )=cos (θ ) u+sin (θ) v
Démonstration : Soit f ∈O (E ) .►Si 1∈Sp ( f ) alors en posant e1∈E1 ( f ) , Vect (e1) est stable par f donc la droite Vect (e1)
⊥ est stable par f , ainsi
en notant e2 un vecteur non nul orthogonal à e1 et B=(e1 ; e2) on a : MatB ( f )=(1 00 λ) .
Si det ( f )=1 alors....
Si det ( f )=−1 alors...
►Si −1∈Sp ( f ) alors en posant e1∈E−1 ( f ) , Vect (e1) est stable par f donc la droite Vect (e1)⊥
est stable par f ,
ainsi en notant e2 un vecteur non nul orthogonal à e1 et B=(e1 ; e2) on a : MatB ( f )=(−1 00 λ) .
Si det ( f )=1 alors....
Si det ( f )=−1 alors...
► Si Sp ( f )=∅ alors χ f (X ) est n'est pas scindé dans ℝ [X ] donc il existe z∈ℂ∖ℝ tel que: χ f (X )=(X−z ) ( X−z )
Ainsi det ( f )=z×z=∣z∣2⩾0 donc det ( f )=1 .
Soit B=(e1 ; e2) une base orthonormale de E alors MatB ( f )=A=(a bc d) ,
Or (ac) est unitaire donc ∃θ∈ℝ tel que {a=cos (θ )
c=sin (θ )
Isométries d'un espace euclidien 9/21 pycreach.free.fr - TSI2
De plus (ac) et (b
d) sont orthogonaux or le supplémentaire orthogonal de Vect((ac)) est une droite vectorielle donc,
sachant que (bd) est unitaire, {b=−sin (θ )
d =cos (θ ) ou {b=sin (θ )
d =−cos (θ )
Or ∣cos (θ) sin (θ )
sin (θ) −cos (θ )∣=…
Et ∣cos (θ) −sin (θ )
sin (θ) cos (θ ) ∣=…
Soit u∈E , en notant MatB (u )=(xy) , on a MatB ( f (u ))=(cos (θ ) −sin (θ )
sin (θ ) cos (θ) )(xy)=cos (θ )(x
y)+sin (θ )(−yx )
Soit v=−y e1+x e2 la famille ( 1∥u∥
u ;1
∥u∥v) est une base orthonormale directe de E car en posant
P=1
√ x2+ y2 ( x − yy x ) on a : ...
v est unique car dim (vect ( u))⊥
=1, ∥ 1∥u∥
v∥=1 et ( 1∥u∥
u ;−1
∥u∥v) base orthonormale indirecte de E. □
Remarques sur les rotations en dimension 2 : soit f une rotation d'angle θ≠0 [π ]
Quelle que soit la base B'=(e' 1; e' 2) orthonormale directe de E, f (e' 1)=cos (θ) e' 1+sin (θ ) e' 2
De plus (e' 2 ;−e' 1) est aussi une base orthonormale directe donc f (e' 2)=cos (θ ) e'2+sin (θ ) (−e' 1)
Ainsi MatB' ( f )=…
Par ailleurs : ∀ u∈E , f (u )=cos (θ ) u+sin (θ) v avec u et v orthogonaux donne : ⟨u∣ f (u )⟩=…
Enfin en notant Mat B' ( u)=(xy) on a :
detB' ( u , f ( u))=∣x x cos (θ)−y sin (θ )
y x sin (θ )+ y cos (θ)∣=∣x x cos (θ )
y y cos (θ)∣+∣x −y sin (θ )
y x sin (θ) ∣=…
Remarques sur les réflexions : soit f une réflexion.∀ u∈E , f (u+ f (u ))=… donc u+ f ( u)∈E1 ( f )
f (u− f (u ))=… donc u− f (u )∈E−1 ( f )
Isométries d'un espace euclidien 10/21 pycreach.free.fr - TSI2
Soient (E ; ⟨…|… ⟩) un espace euclidien de dimension 2 et f ∈O (E )
Nature de f f =Id E ou rotation d'angle 0 [2π ] f =−Id E ou rotation d'angle π f est la rotation d'angle θ≠0 [π ]f est une réflexion par rapport à
E1( f )
Spectre de f sp ( f )={1} sp ( f )={−1 } sp ( f )=∅ sp ( f )={−1;1 }
Déterminant de f
det ( f )=1 det ( f )=1 det ( f )=1 det ( f )=−1
Vecteurs invariants
E {0E } {0E } E1( f )
Droites stables Toutes les droites vectorielles de E Toutes les droites vectorielles de E ∅ E1( f ) et E−1 ( f )
Matrice dans une base
orthonormale
Pour toute base B de E :
MatB ( f )=(1 00 1)
Pour toute base B de E :
Mat B ( f )=(−1 00 −1)
Pour toute base B orthonormale directe
de E : MatB ( f )=(cos (θ) −sin (θ )
sin (θ) cos (θ ) )Il existe une base B orthonormale de E
telle que : MatB ( f )=(1 00 −1)
Trace Tr ( f )=2 Tr ( f )=−2 Tr ( f )=2cos (θ )∈]−2 ; 2[ Tr ( f )=0
Symétrie de la matrice dans
une base orthonormale
Pour toute base B orthonormale de E, Mat B ( f ) est symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E, MatB ( f ) est symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E, MatB ( f ) n'est pas symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E, MatB ( f ) est symétrique.
Représentation dans le plan
vectoriel euclidien muni
d'une base orthonormale directe ( i⃗ ; j⃗ )
Caractéristiques
géométriques∀ u∈E , f (u )=u ∀ u∈E , f (u )=−u
∀ u∈E , ⟨u∣ f (u )⟩=∥u∥2 cos (θ)
Pour toute base orthonormale directe B de E : detB (u ; f (u ))=∥u∥2sin (θ )
∀ u∈E , u+ f ( u)∈E1 ( f )
u− f (u )∈E−1 ( f )
Remarque : Si A∈Mn (ℝ ) est symétrique alors ∀ P∈O (n ) , (PT A P)T=PT AT (PT)
T=PT A P donc ∀P∈O (n ) , PT A P est symétrique.
Si A∈Mn (R ) est antisymétrique alors ∀ P∈O (n ) , (PT A P)T=PT AT (PT)
T=PT (−A ) P=−PT A P donc ∀ P∈O (n ) , PT A P est antisymétrique
Isométries d'un espace euclidien 11/21 pycreach.free.fr - TSI2
Applications : soient ( i⃗ ; j⃗ ) une base orthonormale directe de E et les endomorphismes f et g définis par :
{f ( i⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 j⃗f ( j⃗ )=−0,8 i⃗ +0,6 j⃗
, {g ( i⃗ )=0,6 i⃗ +0,8 j⃗g ( j⃗ )=0,8 i⃗ −0,6 j⃗
. Déterminer la nature de f et de g .
Un algorigramme permettant de caractériser une isométrie en dimension 2 à l'aide de la classification précédente.
Isométries d'un espace euclidien 12/21 pycreach.free.fr - TSI2
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from sympy import *
def nature(M): if M.equals(eye(2)): pprint(M) print(" est la matrice de l'identité dans n'importe quelle base.") elif M.equals(-eye(2)): pprint(M) print(" est la matrice de l'homothétie de rapport -1 dans n'importe quelle base.") else : Z=M*(M.transpose())-eye(2) if trace(Z.transpose()*Z)>10**-12: pprint(M) print(" n'est pas la matrice, dans une base orthonormale, d'une isométrie vectorielle. ") else : if abs(det(M)-1)<10**-12: if asin(M[1,0])>0: a=acos(M[0,0]) else : a=-acos(M[0,0]) pprint(M) print(" est la matrice, dans n'importe quelle base orthonormale directe, de la rotation d'angle "+str(a)) else : V=(M-eye(2)).nullspace() pprint(M) print(" est la matrice, dans une base orthonormale B, de la réflexion par rapport à ") print("la droite vectorielle dirigée par le vecteur dont les coordonnées dans la base B sont ") pprint(V)
A=Matrix([[0.6,-0.8],[0.8,0.6]])B=Matrix([[0.6,0.8],[0.8,-0.6]])nature(A)nature(B)
Image d'un vecteur par une isométrie vectorielle en dimension 2
Soit r θ la rotation vectorielle d'angle θ : quel que soit le vecteur v⃗ : r θ ( v⃗ )=cos (θ ) v⃗ +sin (θ ) r π
2( v⃗ )
Soit n⃗ un vecteur non nul et s( vect ( n⃗ ))⊥ la réflexion par
rapport à la droite vectorielle (vect ( n⃗ ))⊥ , quel que soit le
vecteur v⃗ : s( vect ( n⃗ ))⊥ ( v⃗ )= v⃗ −2
⟨ v⃗ ∣⃗ n ⟩
∥ n⃗ ∥2 n⃗
Isométries d'un espace euclidien 13/21 pycreach.free.fr - TSI2
Théorème de classification du groupe orthogonal en dimension 3
Soient (E ; ⟨…|…⟩ ) un espace euclidien de dimension 3 et f ∈O (E ) .Si f ∈SO (E ) alors 1∈sp ( f ) , il existe un réel θ et une base B orthonormale directe de E telle que :
MatB ( f )=(1 0 00 cos (θ) −sin (θ )
0 sin (θ) cos (θ ))
Si f ∈O− (E ) alors −1∈sp ( f ) , il existe un réel θ et une base B orthonormale directe de E telle que :
MatB ( f )=(−1 0 00 cos (θ ) −sin (θ)
0 sin (θ ) cos (θ ))
Remarque : pour f ∈O (E ) avec E de dimension 3, sp ( f )≠∅ .Démonstration :Le polynôme caractéristique de f , χ f (X )∈ℝ3 [X ] et χ f (X )=X 3+Q ( X ) avec Q (X )∈ℝ2 [X ] donc limx→+∞
P f ( x )=… et limx→−∞
P f ( x )=…
De plus toute fonction polynomiale étant continue sur ℝ , l'équation χ f ( x )=0 admet au moins une solution réelle α .Les racines de χ f (X ) sont les valeurs propres de f . Ainsi, f étant un endomorphisme orthogonal, on a : α=±1 .
Si χ f (X ) est scindé dans ℝ [X ] alors, ou bien χ f (X )=(X−1)3 donc det ( f )=…
ou bien χ f (X )=(X−1)2 ( X+1) donc det ( f )=…
ou bien χ f (X )=(X−1) (X+1 )2 donc det ( f )=…
ou bien χ f (X )=(X+1)3 donc det ( f )=…
Si χ f (X ) n'est pas scindé dans ℝ [X ] , soit β∈ℂ∖ℝ tel que χ f (β )=0 alors χ f (β )=0 or χ f (X )∈ℝ [ X ] donc
χ f (β )=0 donc χ f (X )=(X−α) (X−β)( X−β) donc det ( f )=α∣β∣2 , ainsi det ( f ) est du signe de α .►Ainsi, si f ∈SO (E ) , alors 1∈sp ( f ) or E1( f ) est stable par f donc (E1 ( f ))
⊥ est stable par f .
Soit e1 un vecteur unitaire de E1( f ) et (e2 ; e3) une base orthonormée de (Vect (e1))⊥
alors quitte éventuellement à
échanger e2 et e3 , la famille (e1 ; e2 ;e3) est une base orthonormale directe de E et MatB ( f )=(1 0 00 a b0 c d)
Or la restriction de f à (Vect (e1))⊥
, f ∣(Vect (e1) )⊥ :(Vect (e1 ))
⊥→ (Vect (e1))
⊥ est une isométrie vectorielle sur un espace
vectoriel de dimension 2 donc (a bc d)∈O ( 2) . De plus det ( f )=∣
1 0 00 a b0 c d∣=∣a b
c d∣ et comme det ( f )=1 , on a
∣a bc d∣=1 d'où (a b
c d)∈SO ( E ) Donc, il existe θ∈ℝ tel que (a bc d)=(cos (θ ) −sin (θ)
sin (θ ) cos (θ ) ) .
►De façon analogue, si f ∈O− (E ) alors −1∈sp ( f ) or E−1 ( f ) est stable par f donc (E−1 ( f ))⊥
est stable par f .Soit e1 un vecteur unitaire de E−1 ( f ) et (e2 ; e3) une base orthonormée de (Vect (e1))
⊥ alors quitte éventuellement à
échanger e2 et e3 , la famille (e1 ; e2 ;e3) est une base orthonormale de E et MatB ( f )=(1 0 00 a b0 c d)
Or la restriction de f à (Vect (e1))⊥
, f ∣(Vect (e1) )⊥ :(Vect (e1 ))
⊥→ (Vect (e1))
⊥ est une isométrie vectorielle sur un espace
vectoriel de dimension 2 donc (a bc d)∈O ( 2) . De plus det ( f )=∣
−1 0 00 a b0 c d∣=−∣a b
c d∣ et comme det ( f )=−1 , on a
∣a bc d∣=1 d'où (a b
c d)∈SO ( E ) Donc, il existe θ∈ℝ tel que (a bc d)=(cos (θ ) −sin (θ)
sin (θ ) cos (θ ) ) . □
Remarque : dans les deux cas en notant B=(e1 , e2 ;e3) pour tout u∈E en notant MatB (u )=(xyz) , on a :
detB (e1 ; u ; f (u ))=∣1 x ±x0 y ycos (θ )−z sin (θ )
0 z y sin (θ )+ z cos (θ)∣=∣y y cos (θ )
z z cos (θ)∣+∣y −z sin (θ)
z ysin (θ ) ∣=( y 2+z2)sin (θ) qui est du signe de sin (θ )
De plus, pour B' une base orthonormale directe E, la matrice de passage MatB ,B' ( Id E )∈O+ (3 )
Ainsi detB' (e1 ,u , f (u ))=det (Mat B,B' (Id E))×det B (e1 ,u , f (u ))=detB (e1 ,u , f (u ))Le déterminant de cette famille de vecteurs est donc indépendant de la base orthonormale directe choisie.
Isométries d'un espace euclidien 14/21 pycreach.free.fr - TSI2
Soient (E ; ⟨…|… ⟩) un espace euclidien de dimension 3 et f ∈SO (E )
Nature de f f =Id E ou rotation d'angle 0 [2π ]f est un retournement (i.e.
une rotation d'angle π [2 π ] ) d'axe E1( f )f est une rotation d'angle θ≠0 [π ] et d'axe orienté
par un vecteur unitaire e1∈E1 ( f )
Spectre et det de f sp ( f )={1} et det ( f )=1 sp ( f )={−1 ;1 } et det ( f )=1 sp ( f )={1} et det ( f )=1
Vecteurs invariants E E1( f ) axe du retournement E1( f ) axe de la rotation
Droites stables Toutes les droites vectorielles de E E1( f ) et toutes les droites vectorielles de E−1 ( f ) E1( f )
Matrice dans une base orthonormale
Pour toute base B de E :
Mat B ( f )=(1 0 00 1 00 0 1)
Si B=(e1 ; e2 ; e3) est une base orthonormale de E avec e1∈E1 ( f ) et (e2 ; e3) base de E−1 ( f ) alors :
MatB ( f )=(1 0 00 −1 00 0 −1)
Si B=(e1 ; e2 ; e3) est une base orthonormale directe de E avec e1∈E1 ( f ) et (e2 ; e3) base de (E1 ( f ))
⊥ :
MatB ( f )=(1 0 00 cos (θ) −sin (θ )
0 sin (θ) cos (θ ))
Trace Tr ( f )=3 Tr ( f )=−1 Tr ( f )=1+2cos (θ)∈]−1 ; 3[
Symétrie de la matrice dans une
base orthonormale
Pour toute base B orthonormale de E, Mat B ( f ) est symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E, MatB ( f ) est symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E, Mat B ( f ) n' est pas symétrique.
Représentation dans le plan vectoriel
euclidien muni d'une base orthonormale
directe ( i⃗ ; j⃗ )
Caractéristiques géométriques
∀ u∈E , f (u )=u∀ u∈E , u+ f ( u)∈E1 ( f )
∀ u∈E , u− f (u )∈E−1 ( f )
∀ u∈(E1 ( f ))⊥
, ⟨ u∣ f (u )⟩=∥u∥2 cos (θ)
Dans toute base B orthonormale directe de E,∀ u∈E , detB (e1 ,u ; f ( u)) est du signe de sin (θ )
Isométries d'un espace euclidien 15/21 pycreach.free.fr - TSI2
Soient (E ; ⟨…|… ⟩) un espace euclidien de dimension 3 et f ∈O− (E )
Nature de f f =−Id E f est une réflexion par rapport à E1( f )f est la composée commutative d'une une rotation
d'angle θ≠0 [π ] et d'axe orienté par le vecteur unitaire e1∈E−1 ( f ) et d'une réflexion par rapport (vect (e1))
⊥
Spectre et det de f sp( f )={−1 } et det ( f )=−1 sp( f )={−1 ;1 } et det ( f )=−1 sp ( f )={−1 } et det ( f )=−1
Vecteurs invariants ∅ E1( f ) ∅
Droites stables Toutes les droites vectorielles de E E−1 ( f ) et toutes les droites vectorielles de E1( f ) E−1 ( f )
Matrice dans une base orthonormale
Pour toute base B de E :
MatB ( f )=(−1 0 00 −1 00 0 −1)
Si B=(e1 ; e2 ; e3) est une base orthonormale de E avec e1∈E−1 ( f ) et (e2 ; e3) base de E1( f ) alors :
MatB ( f )=(−1 0 00 1 00 0 1)
Si B=(e1 ; e2 ; e3) est une base orthonormale directe de E avec e1∈E−1 ( f ) et (e2 ; e3) base de (E−1 ( f ))
⊥
alors : MatB ( f )=(−1 0 00 cos (θ ) −sin (θ)
0 sin (θ ) cos (θ ))
Trace Tr ( f )=−3 Tr ( f )=1 Tr ( f )=−1+2cos (θ )∈]−3 ;1[
Symétrie de la matrice
Pour toute base B orthonormale de E, MatB ( f ) est symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E, MatB ( f ) est symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E, MatB ( f ) n'est pas symétrique.
Représentation dans le plan vectoriel
euclidien muni d'une base orthonormale
directe ( i⃗ ; j⃗ )
Caractéristiques géométriques
∀ u∈E , f (u )=−u∀ u∈E , u+ f ( u)∈E1 ( f )
∀ u∈E , u− f (u )∈E−1 ( f )
∀ u∈(E−1 ( f ))⊥
, ⟨u∣ f (u )⟩=∥u∥2 cos (θ)
Dans toute base B orthonormale directe de E,∀ u∈E , detB (e1 ,u ; f ( u)) est du signe de sin (θ )
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Applications : Soient ( i⃗ ; j⃗ ; k⃗ ) une base orthonormale directe de E et l' endomorphisme f défini par :
{f ( i⃗ )=0,48 i⃗ +0,6 j⃗ +0,64 k⃗f ( j⃗ )=0,8 i⃗ −0,6 k⃗f ( k⃗ )=−0,36 i⃗ +0,8 j⃗ −0,48 k⃗
Déterminer la nature de f et de − f .
Un algorigramme permettant de caractériser une isométrie en dimension 3 à l'aide de la classification précédente :
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1234567891011121314151617181920 212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465 666768
from sympy import *
def supplementaire_orthogonal(C): if C[0]!=0 : C1=Matrix([[C[1]],[-C[0]],[0]]) elif C[1]!=0 : C1=Matrix([[0],[C[2]],-C[1]]) else : C1=Matrix([[1],[0],[0]]) C1=C1/sqrt(C1.dot(C1)) C2=C.cross(C1) return C1,C2
def angle(C,U,V): t=acos(U.dot(V)) if (C.cross(U)).dot(V)>=0: return t else: return -t
def nature(M): pprint(M) if M.equals(eye(3)) : print(" est la matrice, dans n'importe quelle base, de l'identité .") elif M.equals(-eye(3)) : print(" est la matrice, dans n'importe quelle base, de l'homothétie de rapport -1 .") else: Z=M*(M.transpose())-eye(3) if trace(Z.transpose()*Z)>10**-12: print("n'est pas la matrice, dans une base orthonormale, d'une isométrie vectorielle.") else : if det(M)==1 : C1=((M-eye(3)).nullspace())[0] C1=C1/sqrt(C1.dot(C1)) if M.equals(M.transpose()): print("est la matrice, dans une base orthonormale B, d'un retournement dont l'axe") print("est dirigé par le vecteur unitaire dont les coordonnées dans la base B sont:") pprint(C1) else : C2,C3=supplementaire_orthogonal(C1) a=angle(C1,C2,M*C2) print("est la matrice, dans une base orthonormale B, d'une rotation r d'angle"+str(a)+" radians ") print("selon l'axe orienté par le vecteur unitaire dont les coordonnées dans la base B sont:") pprint(C1) print("Le plan stable par r est engendré par les deux vecteurs unitaires dont les coordonnées dans la base B sont:") pprint([C2,C3]) else : C1=((M+eye(3)).nullspace())[0] C1=C1/sqrt(C1.dot(C1)) C2,C3=supplementaire_orthogonal(C1) if M.equals(M.transpose()): print("est la matrice, dans une base orthonormée B, de la réflexion par rapport au plan") print("admettant pour base orthonormale les vecteurs dont les coordonnées dans la base B sont :") pprint([C2,C3]) else : a=angle(C1,C2,M*C2) print("est la matrice, dans une base orthonormale B, de la composée commutative de " ) print("la réflexion s et de la rotation r définies de la façon suivante.") print("La rotation r est d'angle "+str(a)+" radians selon l'axe orienté") print("par le vecteur unitaire dont les coordonnées dans la base B sont :") pprint(C1) print("La réflexion s est la réflexion par rapport au plan admettant pour base") print("orthonormale les vecteurs dont les coordonnées dans la base B sont :") pprint([C2,C3])
A=Matrix([[48,80,-36],[60,0,80],[64,-60,-48]])*1/100nature(A)nature(-A)
Isométries d'un espace euclidien 18/21 pycreach.free.fr - TSI2
Image d'un vecteur par une isométrie vectorielle en dimension 3
Soient un espace vectoriel euclidien E de dimension 3 , n⃗ un vecteur unitaire de E : Soit r θ, n⃗ la rotation vectorielle d'angle θ et d'axe dirigé par le vecteur n⃗ : quel que soit le vecteur v⃗ ,
r θ, n⃗ ( v⃗ )= ⟨ v⃗ ∣⃗ n ⟩ n⃗ +cos (θ ) ( v⃗ −⟨ v⃗ ∣⃗ n ⟩ n⃗ )+sin (θ ) n⃗ ∧ v⃗
Soit sθ , n⃗ la composée de la rotation vectorielle d'angle θ et d'axe dirigé par le vecteur n⃗ avec la réflexion par rapport à (vect ( n⃗ ))⊥ : quel que soit le vecteur v⃗ ,
sθ , n⃗ ( v⃗ )=−⟨ v⃗ ∣⃗ n ⟩ n⃗ +cos (θ ) ( v⃗ −⟨ v⃗ ∣⃗ n ⟩ n⃗ )+sin (θ ) n⃗ ∧ v⃗
Démonstration : v⃗ =( ⟨ v⃗ ∣⃗ n ⟩ n⃗ )⏟∈ vect ( n⃗ )
+ ( v⃗ −⟨ v⃗ ∣⃗ n ⟩ n⃗ )⏟∈( vect ( n⃗ ))⊥
Or n⃗ ∧( v⃗ −⟨ v⃗ ∣⃗ n ⟩ n⃗ )= n⃗ ∧ v⃗ donc ∥⃗ n ∧ v⃗ ∥=∥⃗ n∥×∥⃗ v −⟨ v⃗ ∣⃗ n ⟩ n⃗ ∥=∥⃗ v −⟨ v⃗ ∣⃗ n ⟩ n⃗ ∥
4. Matrices symétriques réelles
Propriété d'orthogonalité des sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle
Soient A∈Mn (ℝ ) , et deux réels λ et μ .Si A est symétrique, {λ ;μ}⊂sp (A ) et λ≠μ
alors les sous-espaces propres Eλ ( A ) et Eμ ( A ) sont orthogonaux dans Mn ,1 (ℝ ) muni de son produit scalaire euclidien canonique.
Démonstration : Si A est symétrique, alors ∀ (X ; X' )∈Mn ,1 (ℝ ) : ⟨AX∣X' ⟩=(AX )T X'=XT AT X'=XT A X'=⟨ X∣AX' ⟩
Soit {λ ;μ}⊂sp (A ) tel que λ≠μ X∈Eλ ( A ) et X '∈Eμ ( A ) alors : {AX=λ XAX'=μ X'
Donc ⟨λ X∣X' ⟩=⟨X∣μ X ' ⟩ ⇒ (λ−μ) ⟨ X∣X' ⟩=0 ⇒ ⟨X∣X' ⟩=0 car λ−μ≠0 . □
Théorème spectral : version matricielle
Soit une matrice A∈Mn (ℝ ) .
Si A est symétrique alors il existe une matrice diagonale D et une matrice orthogonale P telle que D=PT A P
Principe de la démonstration : on construit par récurrence une base orthonormale de vecteurs propres de A : chaque sous-espace propre admet une base orthonormale (cf Gram-Schmidt) les sous-espaces propres sont orthogonaux deux à deux. □
Exemples : Soit A=(0,2 0 0,40 1 0
0,4 0 0,8) Im ( A )=… donc dim (Ker A )=… . Par ailleurs Tr ( A )=… ainsi Sp (A )=…
et comme A est symétrique réelle donc diagonalisable …
Soit B=(0,7 0,1 0,1 0,70,1 0,7 −0,7 −0,10,1 −0,7 −0,7 0,10,7 −0,1 0,1 −0,7
) , B est à la fois symétrique et orthogonale donc...
Isométries d'un espace euclidien 20/21 pycreach.free.fr - TSI2
Théorème spectral : version endomorphisme.
Soient f ∈L (E ) et B une base orthonormale de E.Si MatB ( f ) est symétrique réelle alors il existe une base orthonormale de E constituée de vecteurs propres de f .
i.e. f est diagonalisable dans une base orthonormée.
Démonstration : en appliquant la version matricielle du théorème spectral, les colonnes de la matrice P sont les coordonnées, dans la base B, de vecteurs propres de f . Ainsi puisque P∈O (n ) , les vecteurs propres utilisés forment une base orthonormale de E.
Isométries d'un espace euclidien 21/21 pycreach.free.fr - TSI2
![Henri Poincaré et le monde non euclidienghys.perso.math.cnrs.fr/exposes/poincarenoneucidien.pdf · LE MONDE NON EUCLIDIEN. Supposons [...] un monde renfermé dans [un grand cercle]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5f8c757fdf92727d5b1054a5/henri-poincar-et-le-monde-non-le-monde-non-euclidien-supposons-un-monde.jpg)
