ipi129837

Saintia MatematikaVol. 1, No. 6 (2013), pp. 591–602.

GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRITBERHINGGA PADA DUALITAS

PONTRYAGIN

L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih

Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal, grup yang memiliki subgrup si-klik yang padat menjadi hal yang sangat mendasar. Van Dantzig memperkenalkangrup dengan struktur tersebut sebagai grup monotetik. Dualitas Pontryagin meru-pakan homomorfisma kontinu antara grup topologi G dan grup lingkaran T, yakniHom(G, T), dan himpunan semua homomorfisma tersebut membentuk grup dual,

disimbolkan bG, dengan

bG = {φ | φ : G → T, φ kontinu }.

Penelitian ini mengkaji struktur grup dual bilamana G adalah grup monotetik.Akan diperlihatkan G dan grup dualnya memiliki orde yang sama dan keduanyaisomorfik.

1. PENDAHULUAN

Konsep siklisitas dalam Teori grup berkembang dengan menggunakan Teoribilangan sebagai dasar dalam membangun struktur aljabarnya. Dalam Dis-quisitiones Arithmeticae tahun 1801, beberapa struktur grup diperkenalkanmenurut konteks bilangan secara teoritis, dan berdampak besar pada penge-nalan teori grup abel berhingga. Gauss menunjukkan bahwa himpunan bi-langan bulat tak kosong modulo bilangan prima p, masing-masingnya adalah

Received 24-10-2013, Accepted 25-11-2013.2010 Mathematics Subject Classification: 37M20Key words and Phrases: dualitas pontryagin, grup dual pontryagin, grup lingkaran, monotetik,siklik.

591

L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit 592

perpangkatan dari setiap unsur yang disebut sebagai pembangkit grup siklikZp.

Dalam[1], grup G dikatakan grup siklik jika terdapat a ∈ G denganG = {an | n ∈ Z}. Unsur a disebut juga sebagai unsur pembangkit dann disebut orde G dengan n adalah bilangan bulat terkecil sehingga an =e, yang merupakan unsur identitas. Oleh terminologi umum, suatu grupsiklik yang dibangun suatu unsur, andaikan g dan berorde m, maka strukturumumnya dapat ditulis sebagai berikut

〈g〉 = {e, g1, g2, ..., gm−1}

Terminologi siklik juga dapat ditemukan pada grup topologi. Dalamteori ruang topologi yang dijelaskan pada[2], bila ruang topologi tersebutmengandung semua subhimpunan yang mungkin dibentuk, maka disebutruang topologi diskrit. Ruang topologi diskrit yang berstruktur grup dise-but sebagai grup topologi diskrit. Penutup dari sebuah subhimpunan, mi-salkan A dalam ruang topologi adalah irisan dari semua subhimpunan yangmengandung A. Subhimpunan A dikatakan padat (dense) jika penutup Aadalah ruang topologi tersebut.

Definisi 1 Suatu grup topologi G dikatakan grup monotetik (monothetic)jika terdapat subgrup siklik H yang padat di G, atau penutup dari H adalahG.

Suatu elemen x ∈ G disebut pembangkit G jika x membangkitkansubgrup siklik dari G. Grup yang memiliki subgrup siklik yang padat mem-punyai peranan yang sangat penting dalam teori grup topologi diskrit[3].Grup lingkaran adalah grup bilangan kompleks oleh representasi vektor po-lar dengan panjang vektor satu. Grup lingkaran dengan operasi perkalianvektor disimbolkan oleh T dan dapat ditulis T = {z | |z| = 1, z ∈ C}. Gruplingkaran isomorfik dengan grup operasi penjumlahan R/Z. Oleh strukturtopologinya, Armacost[4] menjelaskan T adalah grup monotetik, dan setiapsubgrup sejatinya akan isomorfik dengan grup siklik berhingga Zn.

Definisi 2 Andaikan G adalah grup topologi yang kompak lokal, maka du-alitas Pontryagin ditunjukkan dengan

Hom(G,T)

Bila φ adalah homomorfisma kontinu pada grup G, maka himpunan semuahomomorfisma kontinu adalah G = {φ | φ : G → T, φ kontinu}. Penelitianini menekankan bilamana G adalah grup monotetik.


2. LANDASAN TEORI

Istilah dan teori yang akan dijelaskan dalam sub bagian secara umum akanmengacu pada[5] dan[2]. Secara umum, ruang topologi adalah himpunansemua subhimpunan atau subhimpunan dari suatu himpunan pokok dengansyarat-syarat tertentu.

Definisi 3 Andaikan sebuah himpunan tak kosong X, koleksi τ dari sub-himpunan X disebut topologi pada X bila memenuhi sifat berikut(i) ∅ ∈ τ dan X ∈ τ(ii) Untuk setiap U, V ∈ τ , berlaku U ∩ V ∈ τ(iii) Jika {Vi | i ∈ I} adalah koleksi elemen di τ , maka ∪i∈IVi ∈ τ

Jika τ adalah topologi di X, maka pasangan berurut (X, τ) disebut sebagairuang topologi, dengan elemen dari τ disebut sebagai subhimpunan buka.Bila τ = {∅, X} adalah topologi terkecil yang mungkin dibentuk, maka τdisebut topologi indiskrit. Dan jika τ = P(X) adalah topologi dari semuasubhimpunan X, maka τ disebut sebagai topologi diskrit.

Lingkungan (Neighborhood) dari suatu titik x, disimbolkan Nx dalamhimpunan tak kosong adalah subhimpunan buka yang mengandung titiktersebut. Ruang topologi disebut juga sebagai ruang Hausdorff jika memenuhiaksioma terpisah Hausdorff (Hausdorff Separated Axiom). Yaitu setiap titikmemiliki lingkungan yang terpisah atau saling asing.

Dalam ruang topologi (X, τ), suatu titik, misalkan x disebut sebagaititik penutup (closure point) pada subhimpunan A di X jika untuk setiaplingkungan Nx oleh x mengandung paling sedikit satu titik dari A, ataubila Nx ∩A 6= ∅ untuk setiap lingkungan Nx oleh x. Himpunan dari semuatitik penutup di A adalah penutup (closure) A, dan disimbolkan dengan A.Himpunan A disebut padat jika A = A. Jelaslah bahwa untuk setiap sub-himpunan A di X, berlaku A ⊆ A. Sebagai akibatnya, A adalah himpunantutup terkecil yang memuat A. Ini termuat dalam teorema pada[2].

Teorema 1 Untuk setiap subhimpunan A pada ruang topologi (X, τ), Aadalah himpunan tutup terkecil yang memuat A.

Bukti. Pertama, akan diperlihatkan bahwa A adalah tertutup. Andaikansebuah titik x ∈ X dengan x /∈ A maka terdapat Nx sehingga Nx ∩ A = ∅.Jika terdapat x1 ∈ Nx maka terdapat pula Nx1 ⊆ Nx dengan Nx1 ∩ A = ∅sehingga x1 /∈ A atau x1 ∈ A

c. Maka, Nx ⊆ Ac yaitu Ac adalah buka, maka

A adalah tutup. Selanjutnya, jika B subhimpunan tutup dengan A ⊆ B,


maka untuk setiap x ∈ Bc terdapat Nx ⊆ Bc, sehingga Nx ∩ B = ∅ yangtentunya Nx ∩ A = ∅. Ini menunjukkan tidak ada titik penutup di Bc

sehingga A ⊆ B.Dari teorema 1 di atas, muncul suatu corollary yang menegaskan teo-

rema tersebut.

Corollary 1 A tertutup jika dan hanya jika A = A.

Bukti. Telah diketahui bahwa A adalah tertutup dari pembuktian teorema1. Jadi, jika A = A maka A tertutup. Sebaliknya, andaikan A tertutup.Pada kejadian ini, A adalah himpunan tutup yang tentu mengandung A itusendiri, maka A ⊂ A. Di sisi lain, untuk sebarang subhimpunan A yaituA ⊂ A, jika x ∈ A, maka setiap Nx mengandung sebuah titik dari A, yaitux, sehingga jika A tutup, maka A = A.

Fungsi pada dua ruang topologi (X, τ) dan(Y, τ1) ditulis sebagai f :(X, τ) → (Y, τ1) atau disingkat f : X → Y atau cukup dengan f .

Definisi 4 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ) → (Y, τ1) antara dua ruangtopologi, f disebut kontinu pada a ∈ X jika untuk setiap lingkungan Nf(a)

oleh f(a) terdapat lingkungan f−1(Nf(a)) oleh a.

Jika f kontinu di semua titik di X, maka f disebut fungsi kontinu.Pada ruang topologi dengan subhimpunan buka sebagai unsurnya, fungsikontinu pada dua ruang topologi akan mengakibatkan hasil pemetaannyaakan terbuka. Sama halnya pada himpunan tutup di ruang topologi.

Teorema 2 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ) → (Y, τ1) antara dua ruangtopologi, f disebut kontinu jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunanbuka O ∈ Y , f−1(O) adalah subhimpunan buka di X.

Bukti. Pertama andaikan f kontinu dan O subhimpunan buka di Y . Un-tuk setiap a ∈ f−1(O), O adalah lingkungan f(a) sehingga f−1(O) adalahlingkungan a. Karena f−1(O) adalah lingkungan untuk setiap titiknya,f−1(O) adalah subhimpunan buka diX. Sebaliknya, andaikan subhimpunanbuka O di Y , f−1(O) adalah subhimpunan buka di X. Andaikan a ∈ Xdan lingkungan Nf(a) oleh f(a). Nf(a) mengandung O yang berisi f(a), jadif−1(Nf(a)) mengandung f−1(O) yang berisi a, sehingga f−1(Nf(a)) adalahlingkungan a dan f kontinu di a. Karena a sebarang di X, f adalah fungsikontinu.

Hal yang sama berlaku untuk subhimpunan tertutup pada ruang to-pologi. Ini sangat penting bagi ruang topologi Hausdorff diskrit yang akan


dibicarakan pada penelitian ini.

Teorema 3 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ) → (Y, τ1) antara dua ruangtopologi, f disebut kontinu jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunantutup F ∈ Y , f−1(F ) adalah subhimpunan tutup di X.

Bukti. Untuk membuktikan teorema ini, akan digunakan pembuktian padateorema 2. Mengingat bila F tutup di Y , maka F c adalah buka di Y . Dantentunya oleh teorema 2, f−1(F )c adalah buka oleh kontinuitas, sehinggaf−1(F ) adalah subhimpunan tertutup.

Homomorfisma memperlihatkan sifat dari bayangan pemetaan sehinggadapat disimpulkan sifat dari grup asalnya. Oleh sifat mempertahankan ope-rasi ini, perlu diperhatikan bahwa operasi biner pada masing-masing grupdapat berbeda pada domain dan bayangannya. Berikut definisi homomor-fisma oleh[1]

Definisi 5 Suatu homomorfisma φ dari grup G menuju G′ adalah pemetaanyang mempertahankan operasi, yaitu φ(ab) = φ(a)φ(b) untuk setiap a, b ∈ G.

Bila terdapat dua grup 〈G, ∗〉 dan 〈G′, ◦〉, maka homomorfisma φ ditun-jukkan oleh φ(a ∗ b) = φ(a) ◦ φ(b). Jika φ adalah pemetaan bijeksi, maka φdisebut isomorfisma grup dan kedua grup disebut isomorfik, yaitu G ∼= G′.Bijeksi yang dimaksud adalah pemetaan satu-satu dan pada, yaitu φ satu-satu sehingga jika a 6= b maka φ(a) 6= φ(b), dan pemetaan pada jika untuksetiap φ(a) ∈ G′ terdapat φ−1(a) ∈ G. Homomorfisma kontinu adalah fungsikontinu yang mempertahankan operasi.

Grup topologi adalah himpunan yang memiliki dua buah struktur,yaitu grup dan ruang topologi. Kedua struktur ini terhubung oleh sifat-sifat aljabar pada grup yang mempengaruhi sifat pada ruang topologi, dansebaliknya. Berikut adalah definisi grup topologi berdasarkan[6].

Definisi 6 Suatu grup topologi, misalkan G dengan operasi *, adalah ruangtopologi yang juga merupakan grup. dan memenuhi :(i) φ : (x, y) 7→ x ∗ y, dari φ : G×G→ G, φ kontinu(ii) φ : x 7→ x−1 dari φ : G→ G, φ kontinu.

Himpunan semua homomorfisma dari sebarang grup topologi padagrup lingkaran disebut sebagai grup dual Pontryagin, dan juga merupakangrup topologi. Grup dual Pontryagin oleh homomorfisma grup monotetikM dan grup lingkaran T disimbolkan dengan M , yaitu


M = {φ : M 7→ T}

Himpunan semua homomorfisma pada grup dual Pontryagin dari se-barang grup abelian, memiliki struktur yang abelian. Karena grup monotetikadalah abelian, hal yang sama tentu berlaku. Andaikan φ1 dan φ2 adalahhomomorfisma pada grup dual Pontryagin dan suatu unsur g pada sebaranggrup abelian, maka operasi biner * dapat dinyatakan pada (φ1 ∗ φ2)(g) =φ1(g) ∗ φ2(g). Invers dari homomorfisma φ adalah homomorfisma yangmemetakan g pada φ(g)−1, atau dapat ditulis φ−1(g) = φ(g−1). Dan identi-tas grup dual Pontryagin adalah homomorfisma yang dipetakan pada unsuridentitas T yaitu φe(g) = 1. Hal ini diperjelas oleh[6] dalam sebuah teorema.

Teorema 4 Himpunan seluruh homomorfisma kontinu dari grup abelianadalah abelian, dengan identitas adalah fungsi pada 1 dan inversnya adalahfungsi pada invers pemetaannya.

Jelas bahwa unsur yang berbeda pada suatu grup abelian oleh homomor-fisma akan memiliki bayangan berbeda dengan sifat abelian pula, seba-gai akibat kontinuitas homomorfisma. Perhatikan unsur identitas pada Tyaitu 1, sehingga (φ ∗ φe)(g) = φ(g) ∗ φe(g) = φ(g), dan (φ ∗ φ−1)(g) =φ(g) ∗ φ−1(g) = φ(g) ∗ φ(g)−1 = 1. Secara umum, hal diatas akan berlakupada M karena monotetik adalah abelian. Tetapi, hal yang akan ditekankandan diperlihatkan adalah sifat yang diperoleh sebagai akibat dari spesifikasigrup abelian menjadi grup monotetik.

3. METODE PENELITIAN

Penelitian ini akan membahas struktur grup topologi, yang dalam hal inimembicarakan grup monotetik, dan akibat dari homomorfisma kontinu.Berikut adalah langkah-langkah penelitian yang akan dikerjakan.

1. Menjamin keberadaan bayangan pemetaan grup monotetik pada gruplingkaran oleh homomorfisma kontinu.

2. Membangun struktur grup dual Pontryagin dengan berdasarkan padastruktur grup monotetik.


4. PEMBAHASAN

Pada bab ini, pembahasan akan dimulai dari subbab yang akan men-jamin keberadaan bayangan grup monotetik pada grup lingkaran oleh fungsikontinu.

Bayangan Grup monotetik pada Grup Lingkaran

Setiap grup topologi Hausdorff yang diskrit akan selalu tertutup. Grupmonotetik adalah grup topologi dengan memenuhi aksioma Hausdorff yangdiskrit sehingga akan bersifat tertutup. Melalui fungsi kontinu[5], menjaminbahwa bayangan dari himpunan tutup adalah tertutup. Untuk M yangmerupakan grup monotetik diskrit yang tertutup, akan diperlihatkan bahwaφ(M) juga tertutup seperti pada lemma berikut ini.

Lemma 1 Andaikan φ adalah fungsi kontinu dan M adalah grup monotetik.Jika M tertutup, maka φ(M) juga tertutup.

Bukti. Andaikan sebuah titik dengan z /∈M . Karena M adalah grup topo-logi diskrit, maka terdapat lingkungan Nz sehingga Nz ∩M = ∅. Menurutdefinisi 4, bahwa jika φ kontinu, maka terdapat φ(Nz) yang merupakanlingkungan dari φ(z). Untuk semua z sebarang oleh syarat z /∈ M , makadapat disimpulkan bahwa ∪z /∈φ(M)Nz = φ(M)c adalah buka. Jadi, φ(M)adalah tertutup.

Setiap unsur pada M akan dibawa oleh fungsi kontinu pada T. Dansetiap subgrup di M juga akan dipetakan menjadi subgrup di T. Seba-gai akibat dari lemma 1 yang menjelaskan bayangan grup monotetik akantertutup, maka bayangan subgrup monotetik juga akan tertutup.

Corollary 2 Andaikan M grup monotetik dan subgrup H ⊆ M , jika Hsubgrup monotetik tertutup, maka φ(H) juga tertutup, dengan φ kontinu.

Bukti. Bila H adalah subgrup siklik di M , maka corollary 1 menyatakanH adalah tertutup karena H padat di M . Berdasarkan teorema 3 danlemma 1 di atas, fungsi kontinu akan membawa himpunan tertutup menjaditertutup. Andaikan sebuah titik di M yakni z /∈ H, atau z ∈ Hc, makaterdapat lingkungan Nz ⊆M tetapi Nz ∩H = ∅. Sehingga untuk φ(z) ∈ T,terdapat Nφ(z) ⊂ T. Karena Nφ(z) adalah buka, dan z adalah sebarang titikdi Hc, maka φ(H)c adalah gabungan dari semua lingkungan buka, yangjuga merupakan subhimpunan buka di T. Karena φ(H)c buka, maka φ(H)tertutup.


Andaikan M adalah grup monotetik dengan pembangkit m. Oleh ho-momorfisma kontinu φ, bayangan dari m adalah pembangkit, yaitu φ(m)adalah pembangkit dari φ(M).

Lemma 2 Jika M adalah grup monotetik dengan pembangkit m, makaφ(M) dibangkitkan oleh φ(m), dengan φ kontinu.

Bukti. Karena φ kontinu, setiap unsur yang berbeda dalam grup akandipetakan menjadi unsur yang berbeda pula. Karena unsur pembangkityang diperhatikan adalah tunggal, maka bayangan unsur pembangkit adalahtunggal. Perhatikan bahwa H adalah subgrup siklik di M , dengan pem-bangkit m yaitu 〈m〉 = H, sehingga oleh teorema 1 penutup H yakni Hadalah himpunan tertutup terkecil yang memuat H yang berakibat H =〈m〉. Karena H padat di M , atau H = M , maka lemma 1 menegaskanφ(H) adalah tertutup, dengan φ(H) = 〈φ(m)〉. Oleh karena φ(H) padat diφ(M), maka φ(m) membangkitkan φ(M).

Teorema 5 Andaikan M adalah grup monotetik topologi diskrit, φ(M) adalahmonotetik jika dan hanya jika φ adalah fungsi kontinu.

Bukti. Jika φ kontinu, maka φ(M) monotetik. Jelas bahwa lemma 1menunjukkan bahwa φ(M) adalah grup topologi tertutup, dan corollary2 menyatakan bahwa subgrup siklik H dipetakan pada subgrup siklik φ(H),serta lemma 2 menjelaskan bahwa φ(m) adalah pembangkit bila m jugapembangkit. Oleh karena φ kontinu, maka φ(M) adalah monotetik. Seba-liknya, teorema 3 menyatakan bahwa himpunan tutup akan dibawa men-jadi himpunan tutup oleh fungsi kontinu pada dua ruang topologi. Karenaφ(M) adalah monotetik yang tertutup, maka φ(M)c ∈ T adalah buka.Sama halnya bila M tertutup, maka M c terbuka, dan dihubungkan olehφ : M c → φ(M)c. Karena φ(M)c terbuka dan mengandung lingkunganpada setiap titik didalamnya, maka dapat ditulis φ(M)c = ∪Nφ(z), z 6∈ M .Untuk sebarang z 6∈M , maka φ−1(∪Nφ(z)) adalah M c yang terbuka, sesuaidengan teorema 3 dan 4, maka φ kontinu.

Struktur Grup Dual Pontryagin

Jika M adalah grup monotetik dengan subgrup siklik H, maka H adalahsubgrup tertutup yang dibangun oleh suatu unsur, andaikan m, dan ordedari H adalah w, sehingga mw adalah identitas di H. Pertama-tama, suatuunsur m di H akan dipetakan pada z ∈ T.


φ(m) = z ∈ T

Karena mw adalah identitas di H, oleh homomorfisma kontinu yang trivial,φ(mw) = 1, dengan 1 adalah identitas di T. Lemma 2 menyatakan bahwafungsi kontinu dari unsur pembangkit akan menjadi pembangkit pula olehbayangan H, sehingga

m 7→ φ(m)φ(m)w = 1 ∈ φ(H)

zw = 1

Perhatikan bahwa banyaknya homomorfisma ditentukan oleh banyak-nya z ∈ φ(H) yang memenuhi zw = 1. Sebelumnya telah dijelaskan bahwa Tisomorfik dengan grup penjumlahan R/Z yang ditunjukkan oleh himpunanbilangan riil [0, 1). Karena setiap unsur z = eiα ∈ T direpresentasikan olehsetiap unsur α ∈ [0, 2π), α dapat dikonversikan menjadi bilangan riil pada[0, 1) oleh fungsi kontinu f yaitu f : [0, 1) → [0, 2π).

f : [0, 1) → [0, 2π)f(a) = α = a2π

dengan a ∈ [0, 1) dan α ∈ [0, 2π). Sehingga untuk z = eia2π, dan w sebarangorde H dapat dibentuk k

w ∈ [0, 1) dengan 0 ≤ k ≤ w. Sehingga z = eik2πw

yang berakibat zw = e(ik2πw

)w = ei2πk, oleh identitas euler yang menyatakaneiπ = −1, maka eiπ(2k) = 1. Dengan kata lain, untuk semua z ∈ φ(H) ⊂T, merepresentasikan banyaknya homomorfisma antara H dan φ(H) ⊂ T.Sehingga, grup dual H dapat dinyatakan oleh

H = {φ | φ : m 7→ z, 〈m〉 = H,∀z ∈ φ(H) ⊂ T, φ homomorfisma kontinu}

Selain itu, diperoleh bahwa banyaknya unsur H sama dengan banyaknyaunsur di H, atau dapat dinotasikan ||H|| = ||H||. Karena H padat di grupmonotetik M , tentu berlaku pula ||M || = ||M ||.


Teorema 6 Jika M adalah grup monotetik, maka M juga grup monotetik.

Bukti. Sebelumnya, akan dijelaskan bahwa M akan memenuhi definisi 6tentang grup topologi. Andaikan homomorfisma kontinu φa, φb ∈ M de-ngan m pembangkit M . Andaikan φa dan φb adalah homomorfisma kontinupada M yang membawa unsur pembangkit m ∈ M pada a dan b di T.Pasangan berurut (φa, φb) yang terdapat di M × M dapat dipetakan olehhomomorfisma kontinu, misalkan ψ pada M oleh ψ : (φa, φb) 7→ (φaφb)(m).

ψ : M × M → Mψ : (φa, φb) 7→ (φaφb)(m)(φaφb)(m) = φa(m)φb(m)

Karena a ∈ T memiliki invers a−1 ∈ T, maka fungsi kontinu ψ juga mem-bawa φa pada inversnya, yakni fungsi yang dipetakan pada a−1. Dapatditulis sebagai berikut, ψ : φa 7→ φa−1 . Sehingga M adalah grup topologi.Selanjutnya, M disebut monotetik jika memiliki subgrup siklik H yang pa-dat di M . Ini dapat dibuktikan dengan memperlihatkan unsur pembangkitM . Bila m adalah unsur pembangkit di M dan φ(m) adalah unsur pem-bangkit di φ(M), maka m dan φ(m) juga merupakan unsur pembangkit diH dan φ(H). Sehingga terdapat homomorfisma φm ∈ M yang membawa mpada φ(m). Operasi pada φm akan bergantung pada φm(m). Jika φm(m)adalah unsur pembangkit di φ(M), dapat ditulis

φmφm = φm(m)φm(m) = (φm(m))2

φmφmφm = φm(m)φm(m)φm(m) = (φm(m))3...φmφm · · ·φm = φm(m)φm(m) · · ·φm(m) = (φm(m))w

w−tuple

Bila w adalah orde di M dan φ(M), maka φm(m)w = 1 ∈ φ(M) yangmerupakan identitas di φ(M). Karena menurut teorema 4 bahwa homomor-fisma yang dipetakan pada identitas adalah homomorfisma identitas, makaφm

w = φe. Jadi φm yang memetakan m ∈ M pada φ(m) ∈ φ(M) adalahunsur pembangkit di M .

Perhatikan bahwa grup monotetik memiliki banyak unsur yang samadengan grup dualnya, oleh homomorfisma, akan muncul sifat memperta-hankan operasi. Selanjutnya diperlihatkan bijeksi antara grup monotetikM dan M sehingga keduanya isomorfik.


Teorema 7 Jika M adalah grup monotetik, maka M ∼= M

Bukti. Dalam memperlihatkan kedua grup isomorfik, harus ada suatufungsi isomorfisma yang menghubungkan keduanya, misalkan sebuah fungsikontinu ϕ. Andaikan banyak unsur di M dan M adalah w. Operasi padaM adalah ∗ yakni untuk ma,mb ∈ M , 0 ≤ a, b ≤ w dengan ma ∗mb ∈ M .Fungsi ϕ akan didefinisikan sebagai ϕ(ma ∗mb) = (φaφb)(m). Jika mb = esebagai unsur identitas, maka dihasilkan

ϕ : M → Mϕ(ma ∗ e) = (φaφe)(m)ϕ(ma) = (φa)(m)

Sehingga untukma 6= mb diperoleh (φa)(m) 6= (φa)(m), yakni ϕ adalahfungsi satu-satu. Selanjutnya, untuk setiap φa(m), terdapat ϕ−1 = ma, yangmenunjukkan ϕ adalah fungsi pada. Karena, ϕ merupakan fungsi satu-satudan pada, maka sifat bijektif telah dipenuhi. Berikutnya, untukma∗mb ∈Mberlaku

ϕ(ma ∗mb) = (φaφb)(m)= φa(m)φb(m)= ϕ(ma)ϕ(mb)

Sehingga ϕ adalah homomorfisma yang mempertahankan operasi. Olehkarena ϕ memenuhi sifat bijektif dan mempertahankan operasi, maka ϕadalah isomorfisma, atau M ∼= M .

5. KESIMPULAN

Andaikan M adalah grup monotetik, dan M adalah grup dual Pontryaginoleh homomorfisma M pada grup lingkaran T, maka diperoleh kesimpulansebagai berikut.

1. Oleh homomorfisma kontinu φ, bayangan grup monotetik pada gruplingkaran juga merupakan grup monotetik. Bila m membangkitkanM , maka φ(m) membangkitkan φ(M) ⊆ T. Dan jika H ⊆ M adalahsubgrup siklik tertutup, maka φ(H) ⊆ φ(M) juga tertutup.

2. Banyaknya homomorfisma kontinu φ ∈ M ditentukan oleh pemetaanunsur pembangkit m. Telah diperoleh bahwa subgrup siklik H iso-morfik dengan H, maka berlaku juga M ∼= M .


Daftar Pustaka

[1] Gallian, J. A., Contemporary Abstract Algebra 7th, Belmont:Brook/Cole, (2010).

[2] Aliprantis, C. D. & Burkinshaw, O., Principles of Real Analysis 2nd,London: Academic Press, Inc , (1990).

[3] Falcone, G., Plaumann, P., Strambach, K., Monothetic AlgebraicGroups, J. Aust. Math. Soc. , Vol. 82, pp. 315-324, (2007).

[4] Armacost, D. L., The Structure of Locally Compact Abelian Groups,New York: Marcel Dekker, Inc., (1981).

[5] Mendelson, B., Introduction to Topology 3rd, Boston: Allyn and Bacon,Inc., (1975).

[6] Hewitt, E. & Ross, K. A., Abstract Harmonic Analysis 2nd, New York:Springer-Verlag, (1979).

L.F.D. Bali: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and NaturalSciences, University of Sumatera Utara, Medan 20155, IndonesiaE-mail: [email protected]

Tulus: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences,University of Sumatera Utara, Medan 20155, IndonesiaE-mail: [email protected]

Mardiningsih: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and NaturalSciences, University of Sumatera Utara, Medan 20155, IndonesiaE-mail: [email protected]

Documents

ipi129837