Inżynieria Finansowa - Weron

7/25/2019 Inynieria Finansowa - Weron

1/430

AleksanderWeron

RafaWeron

in y n ie r ia

f in a n s o w aWycena instrum entw

pochodnych

Symulacje komputerowe

Statystyka rynku


2/430

Wydanie drugie

50i

W ydawnictwa Naukow o-TechniczneWarszawa


3/430

AleksanderWeron

RafaWeron

in y n ie r ia

f in a n s o w aWycena instrumentw

pochodnych

Symulacje komputerowe

Statystyka rynku


4/430

Recenzenci: prof. dr hab. K r z y s z t o f J a ju g adoc. dr hab. u k a s z S t u t t n e r

Redaktor: M a g o r z a t a R a jw a c k a - J a c h y mProjekt okadki i stron tytuowych: Wo.rcj

Skad i amanie: R a f a W e r o n /:>?

| h j . S t e i f e r ^

'.K..Ksika czy ogln wiedz o rynkach papierw''wartociowych z nowoczesnymwykadem matematyki finansowej, ktry obejmuje modele i metody dotyczce wycenyinstrumentw pochodnych, oceny ryzyka, a take statystyk rynku. Pojcia teoretycznes bogato ilustrowane przykadami. Szczegowo omwiono te oryginalny pakiet

komputerowy Financial Engineering Toolhox,umoliwiajcy twrcze stosowanie metodinynierii finansowej. Poszczeglne rozdziay kocz si pytaniami i zadaniami, doktrych odpowiedzi mona znale w dodatku ,D.Ksika jest przeznaczona dla szerokiego krgu odbiorcw: dla rodowiska akademickiego, zwaszcza studentw kierunkw matematycznych i ekonomicznych, ktrymbdzie suy za podrcznik, dla specjalistw, pracownikw instytucji finansowych,a take dla inwestorw indywidualnych, ktrzy chc pogbi swoj wiedz o rynkui transakcjach terminowych.

Tytu dotowany przez Gied Papierw Wartociowych w Warszawie

Copyright by Aleksander Weron and Rafa! Weron Warszawa 1998, .1999

Ali Rights RcservcdPrintcd in Poland

Utwr w caoci ani wc fragmentach nie moe by powielany ani rozpowszechniany

za pomoc urzdze elektronicznych, mechanicznych, kopiujcych, nagrywajcychi innych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich.

Adres poczty elektronicznej: [email protected] WWW: www.wnt.com.pl

ISBN 83-204-2471-2

WNT Waisaiwn 1999. Wyd. IIArk. wyd. 25,0 Ark. druk. 27,0Symbol MF/8357.0/GPWDrukarnia Wydawnictw Naukowych S.A.d ul. wirki 2
mailto:[email protected]://www.wnt.com.pl/http://www.wnt.com.pl/mailto:[email protected]


5/430

Spis treci

Pr z e d mo wa 11

1. W prow adzenie 15

1.1. Pocztk i rynkw fin an so w y ch ........................................................................ 151.2. Konferencja, w Bre ttou W ootl s........................................................................17

1.3. Po cztk i matem atyki finansowej ................................................................. 191.4. In yn ieria f in a n s o w a .........................................................................................231.5. Nob el97 z e k o n o m ii.........................................................................................26

1.6. Model Blacka-Scholesa........................................................................................ 30Py tania, i z a d a n ia .......................................................................................................... 35

2. R ynek f inansowy 37

2.1. S tru k tu ra ryn ku fin an so w e g o ........................................................................372.2. Uczestnicy r y n k u ................................................................................................40

2.3. Giedy ..................................................................................................................... 432.3.1. Giedy towarowe i te rm in o w e .......................................................... 432.3.2. Giedy pap ierw w artocio w ych .......................................................462.3.3. G ieda Papierw Wartociowych w W ars zaw ie ........................... 472.3.4. Organizacja i dziaanie g ie d y .......................................................... 49

2.4. Regulowany rynek pozagiedowy .................................................................52

Pytan ia, i zadania............................................................................................................ 54

3. Pa piery wa rtociowe 57

3.1. W s t p .................................................................................................................... 573.2. Obligacje ............................................................................................................. 58

3.2.1. Emitenci obligacji .............................................................................. 60

3.2.2. Euroobliga.eje.........................................................................................643.2.3. Klasyfikacja, d u n ik w ........................................................................64

3.3. Akcje .................................................................................................................... 653.3.1. Kupno n a k r e d y t ..................................................................................70

3.3.2. Krtka s p r z e d a .................................................................................. 72

3.4. Indeksy g ie d o w e ................................................................................................733.4.1. Indeks D.IIA .........................................................................................73


6/430

e Spis treci

3.4.2. Indeksy k ap it ao w o-w ao no ..............................................................753.4.3. Inne zn an e in d e k sy ...............................................................................78

P y ta n ia i z a d a n ia ..........................................................................................................80

4 . K ontrakty terminow e 81

4.1. W s t p .................................................................................................................... 814.2. K ontrakty f b r w a r d ............................................................................................ 82

4.2.1. Ceny term inow e ..................................................................................824.2.2. Walutowe kon trakty torward .......................................................... 854.2.3. Wideki cen kupna i s p r z e d a y .......................................................89

4.2.4. K ontrak ty F11A......................................................................................90

4.3. K ontrakty fu tures ............................................................................................ 92

4.3 .1. Rozliczenie d z ie n ne ...............................................................................93

4.3.2. System d e p o z y t w ...............................................................................95

4.3.3. Izba ro z li czen io w a...............................................................................97

4.3.4. Zbieno cen terminowych i gotwkowych .................................. 984.3.5. Towarowe ko ntrakty fu tu re s ..............................................................1004.3.6. Finansowe kon trakty futures ..........................................................103

4.4. K ontrak ty wym iany .........................................................................................106

4.4.1. K ontrakty P L A ......................................................................................107

4.4.2. Wym iany walutowe ........................................................................... 109

4.4.3. Wym iany p ro c e n to w e ........................................................................111

4.4.4. Modyfikacje podstawowych kontrak tw w y m ia n y .....................113

4.5. O p c j e .................................................................................................................... 114

4.5.1. In st ru m enty podstaw ow e .................................................................116

4.5.2. Cena opcji ............................................................................................ 119

4.5.3. Ogran iczenia na cent; opcji ..............................................................122

4.5.4. Przedterm inowe wykonanie opcji am e ry k a sk ic h .....................124

4.5.5. P ary te t kupna-sprzed ay ................................................................. 125

P yta nia i z a d a n ia ..........................................................................................................126

5. M atem atyka f inansowa m odel i dyskretnych 129

5.1. Podstaw ow y model d w u m ia n o w y .................................................................129

5.2. W ycena opcji europejsk ic h ...............................................................................133

5.2.1. S trategia z ab ezp ie cza jca .................................................................136

5.3. Wycena opcji na instrumenty o staej stopie d y w id e n d y .................... 1415.3.1. Opcje indeksowe i w alu to w e..............................................................1425.3.2. Opcje na kontrakty f u t u r e s ..............................................................144

5.4. W yc ena opcji a m e ry k a sk ic h ........................................................................1465.4.1. S trate gia z a b e z p ie c z a j c a .................................................................147

5.5. Pod ejcie m a rty n g a lo w e ..................................................................................1495.6. Tw ierdzenie o reprezentacji ma rtyngalow ej procesw dyskretny ch . . 153P y ta n ia i z a d a n ia ..........................................................................................................156


7/430

Spis treci 7

6 . M a te m a ty k a f in a n s o w a m o d e l i c i g y c h 1 596.1. W prow adzenie do modeli cigych ............................................................. 1596.2. Ana liza s to c h a s ty c z n a .....................................................................................162

6.2.1. Bdzenie lo so w e ..................................................................................162

6.2.2. Ruch B ro w n a .........................................................................................1656.2.3. Lem at I t ............................................................................................... 168

6.3. Model Blacka-Scholesa. M eto da rwna rniczkowych czstkowych 172

6.4. Zam iana miary. Twierdzenie G ir s a n o w a ................................................... 1766.5. Twierdzenie o reprezentacji martyngaowej procesw cigych . . . . 179

6.6. Zupeno ry n k u ............................................................................................... 1806.7. Model Blacka-Scholesa. Metoda m a rty n g a lo w a ..................................... 183

6.7.1. Zerowa stopa p ro c e n to w a .................................................................1846.7.2. Niezerowa stopa pr oce nto w a ............................................................. 1856.7.3. Wzr B la cka-S chole sa........................................................................187

6.7.4. Wzr Merton a dla opcji na akcje o staej stopie dywidendy . 1906.8. Analiza wra liw oci............................................................................................190

6.8.1. Delta ......................................................................................................1906.8.2. G a m m a ...................................................................................................192

6.8.3. T h e t a ......................................................................................................192

6.8.4. V e g a ......................................................................................................... 1936.9. Model Blacka dla opcji na ko ntrak ty fu tu re s ............................................ 1936.10. Model M ertona dla opcji z losow sto p p ro c e n to w ........................... 1956.11. Model typu Blacka-Scholesa dla opcji walutowych .................................. 197

6.11.1. Rynek dolarowy ..................................................................................197

6.11.2. Rynek zotwkowy .............................................................................. 1986.11.3. Wzr G arm ana-K ohlh agena............................................................. 199P ytan ia i z a d a n ia ..........................................................................................................200

7. M o d e l o w a n i e s t r u k t u r y t e rm i n o w e j 203

7.1. Krzyw a d o ch od ow oci..................................................................................... 2037.2. Stopy fo rw ard ......................................................................................................2077.3. Modele chwilowej stopy p ro c e n to w e j..........................................................2107.4. Model H eatha-.la rrow a-M ortona.................................................................... 213

7.4.1. Wielofaktorowy model I I J M ............................................................. 2137.4.2. Rwnowana m iara m a rty n g a lo w a ................................................2157.4.3. Jedn ofak torowy model H J M ............................................................. 217

7.5. Wycena instrum entw w modelu I I J M ...................................................... 2217.5.1. Ko ntrakt forward na obligacj ze ro ku p on o w ........................... 2217.5.2. Obligacja o zmiennym op roc en tow an iu .................................. . . 2227.5.3. Instrumenty na polskim r y n k u ...................................................... 223

P yta n ia i z a d a n ia ..........................................................................................................223

8. K o n s t r u k c j a i w y c e n a e g z o ty c z n y ch i n s t ru m e n t w p o c h o d n y c h 22 98.1. Inyn ieria f in a n s o w a .........................................................................................2298.2. Kom binacje ko ntra kt w te rm in ow ych .......................................................... 232

8.2.1. K on trak t forward swap .................................................................... 2328.2.2. Kom binacje o p c j i ........................................................................... ... . 233

Bib!. S G HVVYPO YC2ALNJ/\


8/430

8 Spis treci

8.2.3. In stru m en ty sy n te ty c zn e .....................................................................2308.2.4. K ontrakt break f o rw a r d .....................................................................237

8.2.5. Kontrakt rauge fo rw a rd .................................................................... 2398.3. Opcje zalene od czasu , zoone i b i n a r n e ................................................2408.3.1. Opc ja typu f o rw a rd - s ta r t .................................................................2408.3.2. Opcja, wyboru ......................................................................................241

8.3.3. Opcja, zoona ......................................................................................2428.3.4. O pcja binarna.......................................................................................... 244

8.4. Opcje zalene od t r a je k to r i i ........................................................................... 245

8.4.1. Opcja az jatycka....................................................................................... 2468.4.2. Opcje barie rowe .................................................................................. 249

8.4.3. Opcja k w an ty lo w a ...............................................................................253

8.4.4. Opcje typu lo o k b ack ........................................................................... 2558.5. Wielow ymiarowe instrumen ty eg zo tyczne................................................... 259

8.5.1. Opcja koszykow a.................................................................................. 2598.5.2. Instrum en ty typ u q u a n t o .................................................................262

8.6. Instrum enty egzotyczne na rynku stp proc en tow yc h ........................... 2658.6.1. Opc ja kup na n a obligacj ze ro ku po no w,......................................2658.6.2. K ontrakt forward swap .....................................................................2678.6 .3. Opcja caple t .........................................................................................2688.6.4. K ontrak t forward c a p ........................................................................2688.6.5. K ontrakt fo rward l lo o r ........................................................................269

8.6.6. Opcje na kontrakty wymiany (s w ap tio n s) .................................. 269Pyta n ia i z a d a n ia ..........................................................................................................272

9 . S ta ty s ty k a ry n k w f in a n s o wy c h 2 759.1. Modele rynkw fin an so w yc h ........................................................................... 275

9.1.1. Hipoteza rynku f ra k ta ln e g o ..............................................................2779.1.2. Hipo teza rynku n ie je d n o ro d n eg o ................................................... 281

9.2. Rozkady niegaussowskie a stopy z w r o tu ................................................... 2839.2.1. Empiryczne wasnoci z w ro t w .......................................................284

9.2.2. .Rozkady niesko czen ie 'pod ziene ................................................... 285

9.3. Model CED .................................................................................. 2929.4. Szeregi c zaso w e................................................................................................... 298

9.4.1. Procesy lin io w e......................................................................................2999.4.2. Procesy n ie lin io w e ...............................................................................301

9.5. Techniki analizy danych finansow ych.......................................................... 3159.5.1. Badanie gruboci ogonw ro z k a d w .............................................315

9.5.2. Badan ie zgodnoci ro zk a d w .......................................................... 321

9.5.3. Badanie dugoterm inow ej zalenoci d a n y c h ...............................323

P yta n ia i z a d a n ia ..........................................................................................................330

1 0 .A l te r n a t y w n e m o d e l e f in a ns ow e 33110.1. Rando mizac ja modelu d y sk re tn e g o ..............................................................33110.1.1. Model Racheva-Ruschendorfa .............................................................333

10.2. Model G e rb e ra -S h iu .........................................................................................34010.2.1. T ransform ata Esschern..........................................................................342


9/430

Spis treci 9

10.3. Model Hursfca-Platena-Racheva .................................................................... 34810.4. Modele I I-s am opodobne..................................................................................351

10.4.1. Uamkowy ruch B ro w n a .................................................................... 35110.4.2. Podejcie bezpore dnie ........................................................................35210.4.3. Podejcie m arty n g a o w e .................................................................... 356

P yta nia i zadania ............................................................................................................358

Zakoczenie 359

D o d a t k i 3 6 1

A . P ak ie t F ina nc ia l En g inee r ing Too lbox v . 2 .0 363

A .l. W ym ac an ia sprztowe i p ro g ram o w e.......................................................... 363A.2. In sta lacja .................................................................................................................363

A.3. P ra ca z program em ............................................................................................ 364A.3.1. Profile w y p a ty ..................................................................................... 364A.3.2. Greckie wskaniki dla p o z y c ji .......................................................... 367

A.3.3. Wycena instrumen tw pochodnych w modelu dyskretnym . . 368A.3.4. W ycena opcji egzotycznych w modelu d y s k re tn y m ................. 369A.3.5. M etoda Monte C a rl o ........................................................................... 374

B . R ach un ek f inansow y 379B .l . P rzysz a warto sumy p ie n in ej................................................................. 379

13.2. Bieca warto przyszej sumy p ie n i n e j.................................................380B.3. Przysz a wart,o cigu p a tn o c i ..................................................................381B.4. Bieca warto cigu p a tn o c i..................................................................... 382

13.5. Sto pa z w r o tu ...................................................................................................... 382

C . L a u r e a c i N a g r d N o b l a z n a u k e k o n o m i c z ny c h 3 85

D. O dpo w iedzi i rozw izania 389

D .l . Rozdzia 1................................................................................................................389D.2. Rozdzia 2 ............................................................................................................. 390

D.3. Rozdzia 3 ............................................................................................................. 391D.4. Rozdzia 4 ............................................................................................................. 393

D.5. Rozdzia 5 ............................................................................................................. 390D.6. Rozdzia 6 ............................................................................................................. 398D.7. Rozdzia 7 ............................................................................................................. 402

D.8. Rozdzia 8 ............................................................................................................. 403D.9. Rozdzia 9 ............................................................................................................. 405D.10.R ozdzia 1 0 ..........................................................................................................407

L i t e r a t u r a 4 1 1

Indek s t e rm inw ang ie lsk ich 419

Indeks 425


10/430


11/430

Przedmowa

W cigu os ta tnich ki lku la t obserwujemy burzl iwy rozwj inynier i i f i

n an so w e j - dz i a u f inansw m ajcego cha rak te r in t e rdyscypl ina rny , gdziekorzysta s i z anal izy s tochas tycznej , rozwinite j w ramach matematycznejteori i procesw stochastyc zny ch. Nie jes t atw e sprecyzow anie, czym d ok adnie zajm uje s i inynier ia f inansowa. D la jedny ch jes t to zarzdzan ie ryzykiem f inansowy m , d la innych za - tworzenie ins t rum entw egzotycznych,specja lnie dos tosowanych do indywidualnych pot rzeb inwestorw. W zasadzie inynier ia f inansowa jes t i j ednym, i drugim, a jedn z podstawowych

dzia a lnoci inyniera f inansowego jes t konst rukcja nowych ins t rumentw0 mniejszym ryzyku. Znaczenie inynieri i f inansowej we wspczesnych f i

nansach zos ta o podkrelone przyznaniem w roku 1997 Nagrody Noblaz ekonomii Robertowi Mertonowi i Myronowi Schoesowi za opracowaniem etody wyceny pochodnych his trurnentw f inan sow ych , ktra pom oga w y

generowa: nowe ins trum en ty f inan sow e i uprzy stpni bardziej skuteczne za

rzdzanie ryzykiem. P rzedstaw ienie te j m etody jes t w anie jedny m z gwnych tematw niniejszej ksiki.

Ksika jest adresowana do szerokich krgw Czytelnikw: specjal is tw,

spoecznoci akademickiej oraz pracownikw instytucj i f inansowych. Pierwsza cz ksiki (rozdziay 2-4) zawiera niezbdne dla Czytelnikw bezwczeniejszego przygotowania ekonomicznego wprowadzenie do rynkw i instrumentw finansowych. Autorzy s przekonani , e gwna cz ksiki(rozdziay 5-10) zainteresuje rwnie uczestnikw kursw dla doradcw finansowych, praktykw, a take inwestorw indywidualnych, k trzy pragn

poszerzy sw o j w ie dz do tyczc tran sak c ji term inow ych , iny nierii finansowej , jej moliwoci w dziedzinie zarzdzania ryzykiem oraz konstrukcj i1 wyceny ins trum entw egzo tycznych.

Nowoci, w ksic e je s t d y n am icz n a m e to d a w prow a dzan ia zo o nych

p o j m a tem aty c zn y c h n a konk retnych p rzy k ad ac h fin ansow ych, w spom agana l icznymi i lus t racjami graf icznymi i komputerowymi . Je j in tegralnczci jest Financial Engineering Toolbox v. 2.0 - a tw y w uyciu pakiet programw w rodowisku MATLAB, umol iwiajcy Czyte lnikowi (na-


12/430

12 Przedmowa

wcl; bez wczeniejszej znajomoci tego rodowiska) praktyczne testowanie

poznaw anego m a te ria u . P ak ie t, u d o stp n io n y w In te rn ec ie poci adresem

h t t p : \\w w w . i m . p w r . w r oc . p l \ ~ h u g o \ i f . h t m l , w y k o r zy st uje n ajn o w sz e,p rzy ja zn e d la uy tkow nika, n arzd z ia in fo rm atyczn e.

N a p o d k relen ie zas u g u je fak t, e od Czyte ln ik a, ksik i n ie oczekujesi zaawansowanej wiedzy ani z teorii finansw, ani z teorii prawdopodo

b iestw a. G w ne koncepcje teorii in s tru m e n t w fin ansow ych o raz m a te m a tyki finansowej s. systematycznie wprowadzane w kontekcie przykadw

najp ie rw d la p ros tych mo de l i dyskre tnych , a pniej d la ba rdz ie j rea l is tycznych modeli c igych. S tra tegie f inansowe przed stawion o w postaci prze jrzy

stych a lgorytmw, co umoliwia a twiejsze przyswojenie kluczowych metod

wy ce n y in s tru m e n t w f in an so wy ch . W p rz y p a d k u d y s k re tn y m p o d stawo w ep o jc ia p ro b ab ilis ty cz n e s, reprezen to w ane n a d rzew ach d w um ianow ych , co

pozw ala n a w y ro b ien ie n iezb d n ej in tu ic ji. N a to m ias t w p rz y p a d k u c ig y m

p o d o b n ro l odgryw aj, liczne sym ulacje k om puterow e.

Ks ika rozpoczyna s i wprowadzen iem w prob lematyk rynkw f inan

sowych , ze szczeg lnym podkre len iem wpywu upadku uk adu z Bre t tonWoods na ryzyko f inansowe, o raz zwiz ym omwien iem h is to r i i ma tema

tyki f inansowej w rozdzia le 1 . Na tym t le przedstawiono zas ugi laureatw

N ag ro d y N o b la z ekonom ii w ro k u 1997. R ozd zia 2. to k r tk i p rzeg ld ry n kw finansowych. Podstawowe papiery wartociowe: akcje i obligacje, orazindeksy gie dowe s szczegowo omwione w rozdzia le 3 . Cztery podsta

wowe dla inynieri i f inansowej typy ins trumentw terminowych: kontrakty

forw a rd, fu tu r e s , wymiany oraz opcje s tematem rozdzia u 4 .

Trzy kole jne rozdzia y s tanowi, krtki , praktyczny kurs analizy s tocha

stycznej na uytek zas tosowa finansowych. Systematyczne wprowadzenie

v. ' matematyk f inansow modeli dyskretnych zawiera rozdzia 5 . Kluczowe

p o jc ia p ro b ab ilisty czn e : w arunkow a w arto oczekiw ana, filtrac ja , m a rty n -

ga oraz za ,miana miary s , wprowadzane s topniowo na pogldowych przykada ch f inansowych, i lus trow anych prost, m eto d drzewek dw um ianowych.W rozdz ia le 6 . wprowadzono pods tawowy mode l s tochas tyczny , opar ty na

geom etrycznym ruchu Brow na i stochas tycznych rw naniach rn iczkowych .Liczne symulac je kom pute rowe s tanowi, is to tn pom oc d la C zyte ln ika , po

dobnie jak i mol iwo pow trzen ia tak ich eksperym entw kom pute rowychpo przez w y k o rzy stan ie p a k ie tu Financial Engineering Toolhor, v. 2.0. P o d s tawowy a lgory tm wyceny ins trum entw f inansowych jes t wyprowadzony

i w klasycznym modelu Blacka-Scholesa , i w modelu oglnym. W rozdzia le

7. zas tosowano wprowadzone w rozdzia le 6 . metody analizy s tochastycznej do opisu s truktury terminowej. Omwiono szczegowo zarwno klasyczne modele Vasicka, Ho-Lee oraz Coxa-Ingersolla-Rossa , jak i metod

He a th a -J a r ro wa -Mo r to n a .


13/430

Przedmowa 13

Rozdzia 8 . jest powicony konst rukcj i i wycenie inst rumentw egzotycznych: od na jpros t szych ins t rumentw {break i rang Jorwards, opcje

b in a rn e , w y b o ru , zoo ne), p rzez opcje zale n e od tr a je k to r ii (azja ty ckie ,

barie row e, lookback, kwantyowe) i inst rumenty wielowymiarowe (opcje ko

szykowe i inst rumenty uanto), po ins t rumenty egzotyczne na rynku s tp

p rocento w ych (fo rw ard swaps, capa, floors, sw aptions). W rozdzia le tym wy

korzystuje s i anal iz stochastyczn rozwinit, w rozdziaach 5-7 do kon

st rukcj i i wyceny caej gamy nowych inst rumentw f inansowych, budowa

nych w ramach inynieri i f inansowej.

R.ozdzia 9 . wprowadza Czytelnika w wan problematyk rynkw nie

zupenych poprzez prezentac j prak tycznych metod s t a tys tycznych . Przed

stawione s h ipoteza rynku f r ak ta lnego i h ipoteza rynku n ie jednorodnegooraz anal iza, niegaussowskich (hiperbol icznych, s tabi lnych) rozkadw stp

zw rotu . Om wiono ekonomet ryczne m odele szeregw czasowych typu AR CII ,

G ARCH, R- G ARCI I , TA RCH i HARCI I o r az m ode l CED, s t o sowanew ostatnich latach do modelowania rynkw f inansowych. Szczegowo opi

sano metody anal izy danych (badanie gruboci ogonw, zgodnoci rozka

dw i dugoterminowej zalenoci danych).

N ie k t re w spc zesne a l te rn a ty w n e k ie runk i rozw oju m a tem a ty k i f in ansowej s. krtko omwione w rozdziale 10. Midzy innymi przedstawiono tam

model Racheva-Ruschendor fa , model Gerbera-Shiu , model Hurs ta -Pla tena-R.acheva ora,7, dw a m odele bazujce n a uam kow ym ruch u Brow na.

Kady rozdzia j es t zakoczony pytan iami i zadaniami sprawdzajcymis topie przyswojenia mater i a u , a dodatek D zawiera odpowiedzi lub roz

wizania zada. Dziki temu niniejsz, ksik mona traktowa ja,ko pod

rcznik.

W dodatku A, powiconym orygina lnemu pakie towi komputerowemuFinancial Engineering Toolbow v. 2.0, j es t zawar ta szczegowa ins t rukcjauycia pakietu oraz informacje pozwalaj,ce Uytkownikowi na twrcze wy

korzystanie moliwoci elementw inynieri i f inansowej w interesujcych gop rob le m ach . W d o d a tk u B C zy te ln ik zn a jd z ie om w ie nie podsta w ow ych za

gad nie z rachu nk u f inansowego, do ktry ch czsto naw izuje s i w gwnejczci ksiki . S, to m.in. warto przysza sumy pieninej , dyskontowanie oraz s topa zwrotu . Dodatek C zawiera l i s t l aurea tw Nagrody Noblaz nauk ekonomicznych w latach 1969-97.

Jzykiem f inansw jest angielski . Prawie wszystkie wprowadzane ter

m i ny s p o d a w a n e z ar w n o w jz y k u p o ls k im ( c z c i o n k p o g r u b i o n ) , ja ki angielskim (kursywa). Zd arza si jedn ak, e po da no tylko term iny angiel

skie - by un ikn w prow adzan ia na si zwrotw w jzyku polskim. D otyczyto wycznic przypadkw, gdy n ie ma do t e j pory dobrych odpowiednikw

polskojzycznych . P e n ic e funkcj so w nika szczegow e w ykazy pols k ic h


14/430

14 Przedmowa

i angie lskich terminw oraz bogaty wybr l i tera tury (ponad 150 pozycji) ,zamieszczone na kocu ksiki, z pewnoci uatwi, Czytelnikowi dalszes tudiowanie te j c iekawej problematyki .

N in ie jsza ksika p o w sta a n a p o d sta w ie w ykadw , j a k ie sy s tem a ty czn iep row adzim y od rok u akadem ickiego 1994/9 5 d la sp ecja lizacji M ate m aty k a

Finansow a i Ubezp ieczen iowa n a W ydzia le P P T Pol i techn ik i W roc awskiej .

Jes t o na te w ynikiem naszych dow iadcze zdobytych za granic. Jeli chodzi o stron teoretyczn, to wszechstronnej, yczliwej pomocy, polegajcej

m .in . n a inspirujcych dysku sjach, udziel il i nam: O. Barndo rff-Nielsen (Aar- fius U n w ersity , D ania), P . Embrech ts (E T H Zurich , Szwajcaria ), R. Enge

( Universi iy o f Cali fornia San Diego, USA), B. M a n d e b ro t (I B M W atson

Center, USA), H. Markowitz (San Diego, U SA), J . Hu McCul loch ( Ohio

Sta te Unwersi ty , USA) , J . Mielniczuk (IP I P A N , W arszaw a), M. Musie la(Unwersi ty o j New South Wales , Austra l ia ) , J . Aase Nielsen (Aarhus Uni-

versi ty , Dania), S. Rachev ( U nw ersi ty o f Cali fornia Santa Barbara, USA ),

M. Rutkowski (Poli technika Warszawska) o raz G. Samorodni tsky (Corne l lUnwersi ty , USA) , k t rym pragn iemy tu gorco podz ikowa .

Rafa Weron jes t szczeglnie zobowizany przedstawicie lom ins tytucjif inansowych za wprowadzenie w praktyczne aspekty rynkw finansowych.

Osobami, k tre chcia by tu wymieni , s: F . Arnieri (F&O F in a n c e AG,

Szwajcaria) , M. Dacorogna (Olsen & A sso cia tes, Szw ajcaria), G. Fleming

(F&O Finance AG, Szwajcaria ) , T . Gar l isk i ( Garlinski Finanzhandels,N iem cy) o ra z G . Re u m (European Trust and Bank, Holandia).

Aleksander Weron pragn ie podz ikowa swym (by ym i obecnym) ma

gis trantom i doktorantom, ktrzy przyczynil i s i is to tnie do ulepszenia r

nych fragmentw pierwotnego teks tu , w szczeglnoci: K. Burneckiernu,

J. Gowiskiemu, M. Klickiej, P, Mukowi (B an k Zachodni S .A .) , ,J. No

wickiej, A. Rejmanowi (Po lsk i Ba n k Ro zwo ju S .A . ) , K. Rojkowi (IN G B a n kN . V .) , P . Sztub ie , W . W iandow i oraz . Woj akowskiemu, bo uczenie s i od

swoich uczniw i w sp prac a z n imi jes t praw dziw satysfakc j dla profesora .N asze p od zik o w an ia za y czliw i k o n s tru k ty w n k ry ty k kie ru jem yp o d ad resem recenzentw : P ro feso ra K. J a ju g i (AE, Wrocaw) i Profesora

. S te t tn e ra ( IM PAN , Wa rszawa ), a t a k e Pa n i Re d a k to r M. J a c h y me ki Pani Redaktor Z. Leszczyskie j . Jes temy rwnie wdziczni Panu Dyrek

torowi P. Kaziinierczykowi (Po l sk i Ba n k Ro zwo ju S .A . ) za decyzj o spon

sorowaniu ksiki.

A leksander W eron

R a fa W eron

Wrocaw, grudzie 1997


15/430

Rozdzia 1

Wprowadzenie

1.1. Pocztk i rynkw finansowych

Pierwowzorem dzis ie jszych gie d ins t rumentw f inansowych byy redniowieczne jarmarki i targowiska, usytuowane zazwyczaj na korzystnie pooonych placach, w por towych tawernach czy ra tuszowych piwnicach. Pocztkowo transakcje, przede wszystkim towarami, zotem i wekslami, byy za

wierane bezporednio midzy zainteresowanymi. Nabywca mia bezporedni styczno z towarami przeznaczonymi na sprzeda. Mg je obejrze

i oceni. Z czasem standaryzacja towarw i zaufanie kupujcych sprawiy,e towary nie musia y by przedstawiane w t ransakcjach. Wystarczyo jedynie okrelenie typowych cech jakoci i iloci.

Wprowadzenie s tandardowych, czyl i zamiennych towarw spowodowao,

e obecn o w aciwych nabywcw i sprzedawcw nie by a ju konieczna.Transakcje mogy by zawierane przez osoby do tego uprawnione. Maklerzy,czyli wyspecjalizowani agenci-porednicy, pojawili si w XVII w. Pierwsze

regulacje prawne, dotyczce zawodu m aklera , pocho dz z 1007 r . W tedyto Kupieckie Dyrektor ium w Zurychu okrel i o zasady dzia ania makle

rw, wprowadzajc rn.in. obowizek rejestracji , zakaz ujawniania transakcjiklienta, konieczno penej informacji o ofertach oraz zakaz dziaalnoci nawasne nazwisko. Trzydzieci lat pniej pojawia si pierwsza tego typuregulacja w Londynie . Usta lono wwczas m.in . maksymaln s tawk prowi

zyjn w wysokoci 5%.

Pierwsze zorganizowane i regulowane gie dy towarowe powstay w europejskich miastach por towych na przeomie XVI i XVII w. Na zaoonejw 1008 r . giedzie w Amsterdamie, ju w latach trzydziestych XVII w., po

jaw iy si p ie rw sze k o n trak ty te rm in ow e. B y y to um ow y m idzy sp rzed a

jc y m a k u p u jcy m ok relo n ilo tow aru, k t ry pow inie n by d osta rczo nydo odbiorcy w przyszoci po cenie us ta lonej w momencie zawarcia kon


16/430

10 1. Wprowadzenie

t raktu. Z upywem lat zaczy one odgrywa decydujc rol w obrotach

i wiksze giedy towarowe stopniowo przeobraay si w giedy terminowe.N ajw ik sza n a wiecie te go ty p u g ie d a - C hicago B o a rd of T rad e (C B O T )

- zostaa zaoona w 1848 r . Jej powstanie wizao s i z chaotyczn sytuac j panu jc na amerykask im rynku ro lnym, spowodowan p rob l emami

ze zrwnowaeniem poday i popytu , t ranspor tem oraz przechowywaniemtowarw. W prod ukc j i rolnej bow iem jest tak, e m om ent nap yw u gotwkiod biega od po trzeb czy wrcz koniecznoci inwestycyjnych. Cz sto farmerzy

s zm uszeni do zaanga owan ia dodatkow ych rodkw w okresie s ieww, zim lub wczesn wiosn, natomiast moliwoci ich rozliczenia bd mieli dopiero

w okresie zbiorw, na jes ieni . Towarowe ko ntrak ty term inowe, poprzez z a

gwarantowanie przysz ych przepyww kapi ta u i towaru , byy na tura lnymrozwizaniem tego problemu.

Obrt kapi taowy zacz wyodrbnia s i z obrotu towarowego i koncentrow a w okrelonym punkcie m iasta przed okoo trzema, wiekami.W 1773 r . zostaa oficjalnie zaoona pierwsza na wiecie gieda, papie

rw wartociowych, London Stock Exchange (LSE), chocia handel akcjamii wekslami prowadzono ju od wielu la t w portowych miastach Europy. Nie

cae dwadziecia la t pniej , w 1792 r . w Nowym Jorku grupa maklerw

i handlarzy podpisa a zobowizanie do wzajemnego handlu papierami war

tociowymi. Stao si ono zalkiem najbardziej znanej na wiecie giedypapierw w arto ciow ych - New York S to ck E xchang e (N Y S E ).

Pocztki indeksw rynku kapi taowego datuje s i na rok 1884, kiedy tof i rm a Dow Jo nes & Co. opu bl ikow aa w C us tom ers Af tern oo n Lel i,er red nicen jedenastu akcj i , ktrymi handlowano na nowojorskiej giedzie . Wrd

tych jed en as tu akcji a dziewi byo akcjami sp ek kolejowych, a jedy

nie dwie spek przemysowych. Wida s td, jak wan rol w gospodarce

amerykaskiej odgryway w tamtych czasach koleje .

Od 8 l ipca 1889 r . red nia Dow Jo ne sa jes t publ iko w ana regularn ie w 'TheWall. Street Journal. Od 1 padziernika 1928 r. indeks DJIA jest; liczonywedug tej samej formuy co obecnie, jako rednia cen 30 akcji najwikszychamerykaskich spek z sektora przemysowego. Mimo wielu wad jest toobecnie najwaniejszy i najbardziej znany indeks giedowy, patrz rys. 1.1.

Rozwj komputerw i czy telekomunikacyjnych umol iwi powstanie

ca odobowych sys temw informacyjnych dopiero na pocztku la t s i edemdziesitych naszego s tulecia . Pierwszym takim systemem, umol iwiajcym

dodatkowo automatyczn egzekucj z lece , bya amerykaska g ie da Nat io

nal Associa t ion of Secur i t i es Dealers Automated Quota t ions (NASDAQ).Uruchomiono j po raz pierwszy w 1982 r . , chocia jako system informa

cyjny dz iaa a ju jeden acie la t w czeniej . O becn ie jes t o na najwa niejszymogniwem rynku pozagie dowego w Stanach Zjednoczonych.


17/430

1.2. Ko nferencja w Bre.Uon Woods 17

Rys. 1.1. Najstarszy indeks rynku kapitaowego: Dow Jones Industrial Averagc(D.ITA) w okresie od 2 stycznia 1901 r. do 17 maja, 199(5 r. (26227 obserwacji)

W osta tnich la tach obserwuje s i tendencj do komputeryzacj i i g lobal izacji h and lu gie dowego. T radycy jne gie dy zakadaj , kom puterow e systemyegzekucji zlece, ktre zazwyczaj s czynne rwnie w godzinach zamkniciagie d macierzystych. Czsto mona tam dokonywa t ransakcj i take ins t rumentami , k t rymi normaln ie hand lu je s i na innych g ie dach .

1.2. Ko nferencja w B ret to n Woo ds

W wikszoci pastw w zasadzie a do pierwszej wojny wiatowej funkcjonoway systemy m one tarne opa r te na penej lub ' ograniczonej wym ienia l

noci pienidza, na zoi ,o. Jednak nasilajce si w latach midzywojennychkryzysy w krajach wysoko rozwinitych ujawniy s abo takich systemw.W okresie w iatow ej recesji w latach 1929-33 w ikszo pa stw o d stp ia odsystemu waluty z ote j , s topniowo wprowadzajc do obiegu pienidz papierowy, n iewymienia lny na z oto .

System opar ty na . walutach papierowych ukszta towa s i w skal i midzynarodowej dopiero pod koniec drugiej wojny wiatowej. W dniach 1-22

lipca 1944 roku, w miejscowoci Bretton Woods (New Hampshire, USA)odbya, si monetarna i f inansowa konferencja aliantw, na, ktrej zaoonoM idzynarodowy Fundusz W alutowy o im Ba.uk wia towy. Z a g w n xa-


18/430

18 1. Wprowadzenie

stul przyjto wzajemn wymienialno walut, . Poszczeglne kraje okreli ykur sy wym ienne , t,zw. p a ry t e to w e (par values), swoich w alut w stosu nk u do

do lara am erykask iego lub do zota ,. K ursy m iay by wzgldnie s tale , a ich

ewentualne zmiany mogy by dokonywane tylko wyjtkowo. Bie,cc kursyrynkowe, po ktrych waluty s, kupowano i sprzedawane na rynku, mogy

si pocztkowo odchyla nie wicej ni o 1% od kursu parytetowego. Jeli

odchylenia byy wiksze, to banki centralne byy zobowizane do interwen

cj i na rynku. Spord wszystkich walut tylko dolar amerykaski mg by

wymieniany na zoto wedug of icjalnego parytetu (pocztkowo 35 dolarw

za uncj zota).

Rys. 1.2. Miesiczne zmiany (zwroty) kursu wymiany marki niemieckiej do dolaraamerykaskiego od stycznia 1967 r. do grudnia 1994 r. Wida wyrany wzrostzmiennoci po uwolnieniu kursw walutowych

Poczynajc od lat szedziesitych, obserwowano zakcenia w funkcjonowaniu midzynarodowego sys temu walu towego. Naras ta jcy def icy t p a t

niczy Stanw Zjednoczonych, przy rwnoczesnym wzrocie rezerw dolarowych w innych krajach, spowodowa zmniejszenie zaufania do dolara . Nie

ktre kraje zaczy wymienia dolary na zoto (po of icjalnym kursie 35 USD

za uncj) lub na inne waluty (przede wszystkim na mark niemieck) . Za

pasy z o ta w U SA to p n ia y . N a ra s ta o p rzek onan ie , e S tan y Z je dnoczonenie bd mogy sprosta zobowizaniom w zakresie wymienialnoci dolarw

na zoto.


19/430

1.3. Pocztki, ma tem atyk i finansow ej 19

Dalsze powane zaburzenia na wia towym rynku monetarnym na pocztku lat s iedemdziesitych, jak rwnie gwatowne podniesienie cen ropy

przez k ra je O P E C , doprow adziy w 1973 roku do u pad k u po ro zum ien ia

z Bre t ton Woods oraz do wprowadzenia zmiennych kursw walu towych.Spowodowao to zwikszenie s i ryzyka t ransakcj i midzynarodowych, patrzrys. 1 .2. Rynek zareagowa wprowadzeniem nowych instrumentw f inanso

wych, umoliwiajcych zarzdzanie tym ryzykiem.

1.3. Poc ztki m atem atyk i f inansowej

Zw ro t m a te m a ty k a f ina n so w a po jawi s i w l it e r a tu rze dop ie ro w 1946 r.

w raz z publ ika cj ksiki C larence a H .Ricl iardsonaFinancia l M alhemal ics .

Zaw iera a ona d e term inis tyczn teor i ins t rum entw f inansowych, m. in . wycen obl igacj i oraz s tochastyczne podejcie do modeli ubezpieczeniowych.. Jednak najwczeniejsze znane zastosowania model i s tochastycznych do zjawisk spoecznych s zawar te w publ ikac j i Johna Graunta Obseruations onthe London bi l ls of mortal i ty z 1662 r. oraz, powszechnie uznawane za pocz tek ma tema tyk i ak tua r i a lne j , s ynne B reslau M o rta lity Tabl.eN1 z na ne goas t ronoma angie lsk iego Edmunda Hal leya , zawar te w pracy A n estim a tu o fthe degree of the mortality of rnankind drawn frorn the data of the Breslau

hospi tal z 1693 r.Rynek papierw wartociowych doczeka s i pierwszego modelu s tocha

stycznego dopiero wiele lat pniej. W obronionej 29 marca 1900 r. pracy

doktorskiej" , Louis Bachel ier zastosowa proces nazywany obecnie arytme

tycznym ruchem Browna do opisu cen akcj i na giedzie paryskiej . Nazwap ro cesu pochodzi od nazw is ka angie ls kie go b o tan ik a , R o b e rta B row na, k t ry

w 1827 r . zaobserwowa , e zanurzone w pynie czsteczki pyku nieustannie s i porusza j . Matematyczny opis tego z jawiska poda Alber t Eins te indopiero w 1905 r. Zapostulowa on, e obserwowane czsteczki ulegaj ci

gym kolizjom z m olekularni c ieczy. A nal i tyczne w yniki Eins teina b yy pnie j po twierdzone eksperymenta ln ie m. in . p rzez Mar iana Smoluchowskiegow 1906 r. c isa teor ia m atem atyczn a dotyczca procesu ruchu B rowna spra

wiaa wicej problemw. Czciowe odpowiedzi uzyska Bachelier. Jednakdopiero dziki pracom Norberta Wienera z la t 1918-23 proces ruchu Browna

1Tablice ycia miasta Wrocawia. Wybr tego miasta nie byt przypadkowy. Toczcasi w latach 1618-48 Wojna Trzydziestoletnia zdziesitkowaa ludno Europy. Wrocaw,po oony na wschodnich peryferiach Rzeszy Niemieckiej, ocala z tego pogrom u i danoo umieralnoci ludzi, zbierane przez ata we wrocawskim szpitalu, mona byo uzna za

reprezentatywne,i Thdorie. de. la spe.culation( Teoria spekulacji).Co ciekawe, Bachelier prbowa rwnie

wycenia opcje.


20/430

20 1. Wprowadzenie

wszed n a s ta e do m atem atyki , s t a jc s i j edny m z na jwa nie jszych modeli

pro cesw loso wych.

Formua Bachel ie ra bazowaa na n ierea l i s tycznym za oeniu , e s topap ro cen tow a je s t zerow a o raz e ceny akcji m og by u je m ne. W la ta ch1955-59 Paul Samueson i M.F.M. Osborne wprowadzil i niezalenie od siebie

tzw. geometryczny ruch Browna,. Poprawiajc pomys Bacheliera, biec,

cen papieru wartociowego S i opisali wzorem

S i = Sqexp (ii.t,+ a B t) , (1.1)

gdzie 5'o je st cen pa pie ru wartociowego w chwili i = 0, / / . jes t wspczynnikiem wzrostu, a jes t wspczynnikiem zmiennoci , a B i j es t procesem ruchu

B r o w n a . .Te prace oraz nowe rezultaty dotyczce wyceny opcji z lat 1961-64, m.in.

wyniki Case Sprenklea oraz A. Jamesa Bonessa, okazay s i przeomowe.W 1973 r . Fischer Black i Myron Scholes zaproponowal i model rynku w po

s tac i uk adu dwch rwn a, z k trych jedn o jes t de term inis tyczne i op isu je

warto obl igacj i lub s tan rachunku bankowego ze s ta s tawk procentow,

a drugie j es t s tochas tycznym rwnaniem rniczkowym wzgldem procesuruchu Browna i opisuje biec cen akcj i . Model Blacka-Scholesa pozwala

obliczy nie tylko sprawiedliw cen opcji , ale rwnie wyznaczy strategizabezpiecza jc! Z tego powodu model t en s ta s i prawdziwym przebo

jem w dziedz in ie zn a jd o w an ia bezpie cznych s tra teg ii n a ry n k u kon tr ak tw

terminowych.Chocia model Blacka-Scholesa i jego pniejsze modyfikacje; prowadz

do skompl ikowanych rwna s tochas tycznych, pos tp w metodach numerycznych i informatycznych umol iwia przybl ione (komputerowe) ich rozwizywanie. Dlatego wanie, w celu wyznaczenia bezpiecznych strategii ,

naj lepsze banki zmuszone s, do szukania pomocy u matematykw. Tak

dzieje s i zarwno w Zurychu, jak i w Nowym Jorku, Tokio czy Londynie. Czasami tylko modzi yuppie s, jak Nick Leeson, usi uj znale wasn

drog n a skr ty . Jedn ak cena jak za to zapac i Bar ings B ank L td ., w po

staci gonego w 1995 r . bankructwa, bya wysoka. Przyjrzyjmy si bliej tej

ciekawej historii.N ick Leeson by kie row nik ie m o d d z ia u h an d lu (hend of trading) w biu

rze banku Bar ings w Singapurze . In te resowa go g wnie j aposki rynek

finansowy, dokadniej za poziom indeksu Nikkei 225.Wedug pracownikw banku, co najmniej od wrzenia 1994 r . , Leeson

sprzedawa kon t rak ty slraddle i slrangle ( tzn. sprzed aw a jedno czenie opcjekupna i sprzeday z tymi samymi lub bl iskimi cenami wykonania, patrz

p. 8.2 .2 ) n a tran sak c je fu tu res na indeks Nikkei. Zakada, e zmienno

indek su si nie zwikszy i bdzie on oscylowa m idzy 18,5 i 20 tys. pu nk tw ,


21/430

1.3. Pocztki m atem atyki finansow ej 2.1

R ys . 1.3. Cena kontraktu fu tu res na indeks Nikkei 225 w okresie od wrzenia1994 r. do inarca 1995 r. Liniami kropkowanymi s zaznaczone granice, w ktrych

pozy cja Lccsona przynosi a zysk

p a trz rys. 1.3. T ak a ta k ty k a m ie ci si w g ran icach sp ek u lac ji i do koca1994 r . przyniosa bankowi 150 min USD zysku, a Leesonowi a 2 min USD

prem ii!

Leeson nie przewidzia jednak, bo oczywicie nie mg przewidzie, trzsienia ziemi w Kobe (17 stycznia 1995 r .) . Zszokowana gieda zareagowaa

gwatownym spadkiem cen. W cigli niecaego tygodnia (23 stycznia.) indeksN ik kei sp a d pon iej 17800 punk t w . Jego pozyc ja , sk a d a jc a si z okoo

40 tys. kontraktw straddle i strangle, zacza przynosi due straty.

W tym mom enc ie Leeson p op e n i podstawow y b d g racza g ie dowego .Zamiast zamkn pozycj i odkupi (ze strat, bo po wyszej cenie) sprzedane wczeniej opcje, podwaja on stawk jakby wierzy wbrew faktom, e

zaam anie jes t chwilowe. W szaleczym tem pie kupow a kon trakty fu tu r e s ,

majc na ,dzie j , e w tcu sposb poruszy rynek i Nikkei wrci do poprzedniego poziomu. Nies te ty , indeks nie chcia jednak rosn, a oddzia bankuBarings w Singapurze ton w s t ra tach. W kocu musia poprosi o gotwklondysk cen t ra l . Kwota , j ak o t rzyma , n ies te ty n ie wys ta rczy a na po

krycie strat . Barings Bank Ltd. pogra si. Leeson uzna, e czas ucieka.

Po tygodniu poszukiwa, 2 marca 1995 r . , zdjcia , z jego aresztowania nalotnisku we Frank furcie n /M en em obiegy cay w iat.


22/430

22 1. Wprowadzenie

Gdyby Leeson kupowa tylko akcje , to nawet gdyby zainwestowa natokij sk iej g ie dz ie ca y m aj tek bank u, k i lkunas toprocon towe s t ra ty n ie mogyby doprowadzi do bankruc twa. Uywajc na tomias t kont raktw te rmi

nowych, Leeson w cigu ki lku tygodni roztrwoni kapi tay zbierane przezsetki la t . Jak do tego doszo? Eksperci s zgodni , e nastpi o to tylkodziki wyjtkowej pozycji Leesona w biurze; w Singapurze, ktry nie by

cile kontrolowany i mg z atwoci zataja ryzyko, jakie podejmowa,

czy sumy pienidzy, jakie t raci na giedzie . Ostatecznie podl iczono s t raty

b an k u B aring s n a p o n ad 1,3 m ld U SD , a Nick zo sta skazany w g ru d n iu

1.995 r. na sze i pl roku pobytu w wizieniu w Singapurze.

Najwiksze skandale finansowe w ostatnich latach

Yam aichi Secu ri tics , Japo nia (1997)

Ponad 2,1 mld USD strat z powodu ukrywanych poza bilansem operacji i zlyc.h kredytw. Byo to powodem upadku czwartego co dowielkoci domu maklerskiego w .Japonii oraz powanych problemwfinansowych instytucji i spek zwizanych z grup Yamaichi.

Sm nitom o, .Japonia (1990)

1.8 mld USD strat japoskiego banku inwestycyjnego na handlu miedzi. Powodem byy nielegalne operacje synnego m aklera Yasuo II a-inanaki. Kupujc znaczne iloci miedzi na rynku gotwkowym, Ilania-naka prbowa manipulowa cenami i zarabia na kontraktach ful,areni wystawianiu pozagiedowych opcji sprzeday.

M etal lgese l lschaft AG , N iem cy (1993)

1.8 mld USD strat renomowanej niemieckiej firmy na kontraktach futures iforw ard na rop naftow.

Orange County, U SA (1994)1,0 mld USD strat kalifornijskiego powiatu Orange County na obligacjach komunalnych i hipotecznych. Powodem byy zbyt ryzykownotransakcje skarbnika powiatu Boba Citrona, ktry gral na znik stp

procentowych . W ykorzystan ie przez niego tzw. dwigni finansowej(patrz wzr (3.1)) doprowadzio do zwielokrotnienia strat.

Barings Bank Ltd. , W ielka Br ytania (1995)

1,3 mld USD strat na opcjach i kontraktach fu tu res na indeks Nikkei.Byo to powodem upadku banku o wieloletniej tradycji, patrz s. 20.


23/430

IJ,. Inynie ria finanso wa 23

Sprawa bya tak gona i z innego powodu. Okazao si, e Barings bybank iem o doskonaej rep u tac ji . Ten n a js ta rsz y b ank hand low y zosta za o ony w Londynie w .1762 r. przez braci Johna i Francisa Baringw, synwholenderskiego handlowca z Groeningen. Bank zasyn m. in. zakupem terytor ium Louisiany od Francji , a nas tpnie jej o dsprzeda Stanom Zjednoczonym. Podobno Dnc de Richel ieu mia powiedzie w 1818 roku: Istn ie je ,

sze wielkich potg w Europie: Anglia, Francja, Prasy, Austria, Rosja i . . .bracia Baringowie. Nic wic dziwnego, e arystokracja angielska i rodzinakrlewska a do obecnych dni tworzya kl ientel tego banku. Po wpadce Leesona Bar ings Bank Ltd . zos ta zakupiony przez In terna t ion a le Ncd er landen

Groep NV (ING) bank dobrze znany i na polsk im rynku.

1.4. Inynieria finansowa

wiatowy system f inansowy zacz s i kszta towa dopiero pod koniec dru

giej w ojny wiatowej . D wu dziestolecie m idzyw ojenne ch arakteryzow ao s iwyjtkow, niestabilnoci ekonomiczn. Jednym z waniejszych osignikonferencj i w Bre t ton Woods byo wprowadzenie sys temu kursw pary tetowych. Jednak, jak ju mwil imy, ser ia zaburze na wiatowym rynkumonetarnym w latach 1968-69 i 1970-71 doprowadzi a do upadku porozu

mienia z Bret ton Woods i uwolnienia kursw walutowych. W konsekwencj i

na s tpi a zm iana zasad han dlu m idzynarodowego a wraz z n i zwikszyosi ryzyko transakcj i midzynarodowych. Odpowiedzi rynku byo wpro

wadzenie nowych instrumentw f inansowych, umoliwiajcych zarzdzanietym ryzykiem, patrz rys, 1.4.

Terminowe ko nt rak ty w alu towe fo rw ardbyy zna ne ju od wielu lat (por.

p rzy p is n a s. 81), n a to m ia s t k o n trak ty fu tu res na waluty pojawiy s i dop iero w m a ju 1972 r. n a g ied zie In te rn a t io n a l M o netary M arket (IM M ).

W sierpniu 1981 r . zawarto pierwszy kontrakt wymiany walutowej midzykoncernem IBM i Bankiem wiatowym. Pniejsze nieco opcje walutowe

po jaw iy si w g ru d n iu 1982 r. n a P h ila d e lp h ia S to ck E xchange (PH L X ).G dy ty lko rynek rozw in podstawow e ins t rum enty te rminowe - kon t rak ty

fo rw ard,fu tu res , w ym iany oraz opcje - s topniowo zaczy s i po jaw ia komb inacje tych sk adnikw w p o stac i bardz iej zoo nych in stru m en t w . P roces

ten przypomina prost zasad budowania z klockw LEGO i jest is totn,czci burzl iwie rozw ijajcej s i dziedziny, jak, jest in y n ie r i a f in an so w a

(f inancial engineering). Na rysunku 1.4 zi lustrowano ca gam tzw. instrumentw egzotycznych, ktre powstay na przeomie lat osiemdziesitychi dziewidziesitych. Rosnca zmienno kursw walutowych przyczynia

si te do powstania tzw. s t ruktur hybrydowych, czcych rne rodzajeins t rumentw f inansowych. Takimi hybrydami na rys . 1 .4 s dualne obl i -


24/430

24 1. Wprowadzenie

16%Opcjo barierowe

Opcjo lookbnck

Obligacjo z osadzonymi opcjami wolutowymi

Opcjokoszykowo

12% . Opcjof quan!o

Futu ro.1.

2 4%LUO3 0%3

- 12% Wymiany Opcjo walutowo

Opcjona futures

Opcjo Opcjoazjatyckie rninbow

Du alno ob lig ac jo wa lu towo

- 16%1970 1975 1980 1985 1990 1995

R y s . 1.4.Ewolucja instrumentw umoliwiajcych zarzdzanie ryzykiem na. rynkuwalutowym: miesiczne zmiany (zwroty) kursu wymiany marki niemieckiej do dolara amerykaskiego od stycznia 19G7 r. do grudnia .1.994 r.

gacje walutowe (1984) oraz obl igacje z osadzonymi opcjami walutowymi(.1.987). Podobnie rozwina si inynieria finansowa dla stj) procentowychoraz d la rynku towarowego.

Jak duy jes t rynek kont raktw te rminowych? Rynek ten rozwin s i

gwa townie pod koniec la t osiemdziesitych. Dynamik rozwoju i lust ruj

nastpuj,ce dane. W latach 1987-91 l iczba otwa rtych p ozycj i kontraktw

fn.lv.rLS i opcji razem na giedach wiatowych rosa rednio o 36% rocznie,

osigajc w 1991 r . kwot 3,5 bln dolarw. W tym samym okresie udzia

opcj i procentowych (cap, floor oraz collar) na rynku pozagie dowym rs rednio o 80% rocznie! Z danych Internat ional Swaps and Derivat ives Asso-

ciat ion wida, e w okresie picioletnim czna suma kontraktw wymiany

procento w ej w zro sa z 682 m ld U SD w 1987 r. do 3850 m ld USD w 1992 r. ,

a l iczba tych ko ntrak tw - odp ow iednio z 34 do 151 tysicy, p atr z rys. 1.5.

N iem niej, z d an ych zeb ranych przez b an k J .P .M o rg an w id a, e p o d koniec1991 r . kon trakty terminow e stanow iy zaledwie 25% obrotw na wiatowym

rynku f inansowym, patrz rys . 1 .6.

Podstawowe przyczyny, dla ktrych korporacje f inansowe uywaj kontraktw terminowych, to: 1 zabezpieczenie t ransakcj i midzynarodowych,2 zabezpieczenie s t rategiczne w celu ochrony przepywu gotwki lub to

waru, 3 redukcja kosztw poprzez tworzenie tzw. syntetycznego zaduenia,4 handel tymi ins t rumentami d la zysku.


25/430

J.yj. Inynieria jumuso wa 25

Rys. 1.5. Rynek procentowych i walutowych kontraktw wymiany w latach1.987-92; warto nominalna w bilionach USD. rdo: International Swaps andDerivatives Association

R y s. 1.6. W ybran e segmenty wiatowego rynku finansowego. D ane z koca 1991 r.podane w bilionach USD. rdo: bank J.P.M organ


26/430

26 1. Wprowadzenie

W czesne la ta s iedem dzies i te , uznane za da t os ta tecznego up adk u u kadu z B re t ton W oods , wym usi y jakociowe zm iany s t ru k tury rynku papierw

wartociowych i zbiegy si w czasie z powstaniem cisej matematycznej

teorii wyceny pap ierw w artociowy ch. N ic wic dziwnego, e model Blacka-Scholesa, wnoszcy radykalny rodek w postaci s t rategi i zabezpieczajcej ,odegra w teorii i praktyce finansw tak wan, rol. To dziki niemu mogasi rozwin inynier ia f inansowa oraz zarzdzanie ryzykiem f inansowym.

1.5. No b el97 z ekono mii

Krlewska Szwedzka Akademia Nauk ogosi a w dniu 14 padziernika 1997

roku, e na gro d B ank u Szwecji (w wysokoci jedne go m il iona dolarw am e

rykaskich) powicon pamici Alfreda Nobla, w dziedzinie nauk ekonomicznych za rok 1997, otrzymali Prof . Robert C. Merton (Haruard Unwersity) oraz Prof. Myron S. Scholes ( Stanford Unwers i ty ) za now metod wy

ceny pochodnych ins t rum entw f inansowych. W szeciostronicowym uzasadnieniu Akadem i i czytamy m. in . Fischer Black , Rober t M er ton i Myron S cho

les dokonali przeomu w naukach ekonomicznych, opracowujc now 'me

tod wycen y pochodnych instrum ent w f inan sow ych. Ich :no w ato rskie prace

z w czesnych la t s iedem dziesi tych ( . . .) day na m zupen ie now e narzdzia do zarzdzania ryzykiem f inansowym zarwno w teori i , jak i w praktyce.

Ich m etoda znaczco w p yna na gw a tow ny rozw j rynkw in s tru m en t w pochodnych w osta tn ich dwch dekadach. ( . . .) M eto dolo gia okazaa si na

tyle oglna, e mona j stosowa w szerokim zakresie problemw. Moe by

uy ta nie tylko do wyceny w ielu f izyczn ych inw estycji , ale rw nie do wy

ceny kontraktw ubezpieczeniowych czy gwarancj i . Stworzya nowe kiemnki

bada - wewntrz , jak rwnie poza ekonomi f inansow.

Czy matematyk i s to tn ie mona wykorzys tywa do wyjaniania rozmaitych zjawisk zachodzcych dokoa nas? Nagroda Nobla97 z ekonomii dlaM erton a i Scholesa jes t wietn, okazj do odpo w iedzi na to py tanie. Laureacizostal i nagrodzeni wanie za oryginalne zastosowanie matematyki (anal izystochastycznej) do wyceny instrumentw f inansowych. Mimo e nie przyznaje s i Nagrody Nobla w dz iedz in ie nauk matematycznych (n iek trzy

twierdz, e to za spraw porachunk w m idzy No blem a M ittag-Lef lerem

najwybi tn ie j szym matematykiem szwedzkim tamte j epoki ) , to spor , grupmatematykw mona zna le wrd laurea tw Nagrody z ekonomii , p rzy

znawanej dopiero od 1969 r . , patrz dodatek C.Papiery pochodne s y z o ta d la bankw inwestycyjnych , k tre za

rabia j na prowiz jach ze sprzeday opcj i . Wrd f inans is tw panuje powszechna opin ia , e ofer ty bankw przygotowuj profesorowie matematykiza pomoc skompl ikowanych rachunkw oraz programw komputerowych,


27/430

1.5. N ob d97 z ekonomii 27

Noblici

R ob ert , C . M e rt o n urodzony w 1944 r. w Nowym Jorku, jest obecnieprofesorem biznesu i adm in is tracji w IIarv ard Bus iness School. W la tach1980-88 byl profesorem zarzdzania w MIT. Stopie 13.S. z matematykiinynieryjnej otrzyma w 1966 r. w Columbia Universit,y, stopie M.S.z matematyki stosowanej w California Institute of Technology w 1967 r.,natomiast doktorat, z ekonomii w MIT w 1970 r. za prac Ana lylica loptimal control theory as applied to stochastic and non-stochaslic econo-mies. Jest autorem ksiki Continitous Time. Finance (Biackwell, 1990)

i wspautorem trzech nastpnych, m.in.Casebook in Financial Enyine-

eriny (Prentice Ilall, 1995).W 1996 r. pelnil funkcj pre zyd enta Am erican Finance A ssociation na

tomiast w latach 1982-84 i 1987-88 by dyrektorem tego stowarzyszenia.W 1993 r. otrzyma nagrod FOR.CE za iinansowe innowacje, przyznan

przez Duke University, oraz prestiowy ty tu inyniera finansowego roku,przyznan y mu przez Inte rnatio nal Association of Fin an cia l Engineers.W tym te roku zosta wybrany czonkiem National Acadeiny of Sciencesw USA. Jest wspwacicielem i jednym z zaoycieli firmy finansowejLong-Term Capital Management, L.P.

M y r o n S . Scholes urodzony w 1941 r., jest emerytowanym profesorem finansw w Stanford Graduate School of Business (1983-96). Doktorat z ekonomii uzyska w 1969 r. w Universit,y of Chicago. Jest take

pracownikiem Hoover Institu tio n ora z wspwacicielem firmy inwestycyjnej Long-Term Capital Management, L.P. W lat,ach 1992-93 pracowaw znanym banku inwestycyjnym Salomon B rothers jako dy rektor jednegoz dziaw, zajmujcego si handlem instrumentami pochodnymi.

Info rm acja o nagrodzie za sta a Scholesa ... na polu golfowym w PehbleBeach w Kalifornii. Na urzdzonej w Stanford konferencji prasowej, zapy

tany przez dziennikarzy, jak zamierza wyda swoje pl miliona dolarw,zauway, e ma jeszcze trzeciego wsplnika do nagrody ... urzd podatkowy USA. Na pytanie, co zrobi po otrzymaniu tak prestiowej nagrody,odpowiedzia, e przyjaciele i koledzy przewidywali od pewnego ju czasu,e powinien otrzyma Nagrod Nobla, niemniej jest to dla niego ogromnyszok. Potrzebuje teraz czasu, aby si zastanowi, czy wrci do ycia akademickiego, czy pozo sta w swo jej firmie. D oda, e lubi! p rac n a uczelni,ale to wanie studenci namwili go, aby sprbowa zastosowa swo j, wiedz w realnym wiecie inwestycji, twierdzc: You dont do, yon just l.ejich!

Pan tego nie stosuje, pan tylko wykada!


28/430

28 1. Wprowadzenia

dbajc o to, by niezalenie od rozwoju wydarze na giedach, bank wyszedna swoje. Jedn z przyczyn, dla ktrych potrzeba umiejtnoci a ( ! ) pro

fesorw, jes t zaawansowany poziom anal izy s tochastycznej , niezbdnej dowspczesnej anal izy danych f inansowych, a przede wszystkim do wyceny

nowych inst rumentw i redukcj i ryzyka ~ ktra to teor ia zdecydowanie kontrastuje z popularn wrd indywidualnych inwestorw anal iz, techniczn.

Teor ia Dowa jes t jed n z na j s ta rszych i na jba rdz ie j znanych teori i analizy technicznej. Charles H. Dow zaoyciel f irmy Dow Jones & Company,

k tra do dz i wydaje dz iennik The Wall Street Journal , w 1884 r. stworzyp ie rw szy in deks gie d owy. Z d w u n a s tu zasad , n a k t rych o p a r ta je s t teo ria

Dowa, wymiemy tylko pierwsz,: rednie giedowe odzwierciedlaj w szystko,

za w y j tk iem dzia a P ana Boga . D rug go n teo ri jes t teo ria lal El-l iot ta , ktra jes t katalogiem wzorw cen. Gwnym punktem tej teor i i jes ts twierdzenie, e rynek papierw wartociowych ulega ruchom zwykowym

w postaci ser i i piciu podstawowych fal i ruchom znikowym skadajcym

si z t rzech podstawowych fal . El l iot t wyodrbni t rzynacie wzorw. Trzypicio fa lo we wzory nazw a fala m i im pu lsu , a dzie si r jfalowych nazw a fa

lami korygujcymi. Niektrzy uwaaj, e najwikszym odkryciem El l iot taje s t fak t, e li czba fal odzw iercied la cig F ibbon acciego 3.

amy gazet powiconych informacjom finansowym i giedzie pene s,komentarzy eksper tw, opar tych wycznie na anal izie technicznej . Na przy

kad: W IG spad wp rawd zie tylko o ptora procent, ale po dniach za stoju to i tak duo. Jed nak fa kt w yranego przeb icia redniej prz ez wykres W IG,

wyjcie z trjkta, wzrost obrotw towarzyszcy spadkom, moe oznacza

uksztatow an ie si kolejnej fali spadkowej. Z drug iej strony, nie brakuje sy

gnaw ternu przeczcych. Oznacza, to, e i ten trjkt nie da tak upragnio

nej zmiany trendu i w dalszym cigu, giedzie grozi dreptanie w miejscu, -

czytamy w opin i i eksper ta WI3K SA. Tymczasem, eksper t BPH SA w tym

samym numerze R zeczpospoli te j pisze: N iecie kaw ie przedstawia , si in terp retacja rzadziej uywanego wykresu P oin t & Figur. Na wykresie tym wyranie uformowa, si nastpny, trzeci z kolei w niedugim czasie, trjkt syme

tryczny. Z dwch poprzednich kursy wybiy si zdecydowanie w d. Nawetmimo panujcego obecnie, na giedzie niezdecydowania, czy te moe prby

rwnych od jakiego czasu si poday i pop ytu, okazuje si, e m on a tutaj niele zarobi. Moe warto byoby posucha te opinii uczonych. Gdzie ich

jed n ak szuka? O kazu je si, e K rle w ska Szw edzka A kad em ia N auk tra fn ieich odnalaza .

'M atem atyk wioski Leonardo z Pizy, zwany Fibbonaccim, byt jednym z najwybitniejszych uczonych redniowiecza. To jemu zawdziczamy wprowadzenie cyfr arabskich do Europy! W 1202 roku odkry on, e wzrost pdw rolinnych w kolejnych latach mona opisacigiem, ktry powstaje przez dodawanie dwch kolejnych wyrazw: 1,1,2, 3, 5, 8,13,...


29/430

1.5. Nobel'97 z ekono mii 29

W 1973 roku Black i Scholes wyp row adzil i '1 .synny wzr na cen euro pe j

skiej opcji kupna na akcje. Wzr i ,en, noszcy nazw formuy Blacka-Schole-sa , / .os ta uzyskany w bl iskie j wsppracy z Mertonem, ktry w tym samym

roku opubl ikowa ar tyku zawierajcy rozszerzenie formuy na przypadekakcji p accych d yw idendy oraz zm iennej s topy procentowej , opisanej pewn,obl igacj. D odajm y, e cala t r jk a pracow aa w tedy w M IT. W 1976 r. M erton poszed krok dale j , modyfikujc formu dla przypadku gdy proces ceny

akcji opisany jest dyfuzj i procesem skokowym.

W pyw M ertona na pow stanie tego wzoru sam B lack (1989) opisa nas tpu jco : Pracujc nad tym problemem, prowadzi l imy dugie dyskusje z R ob ertem M erto n em , k try ta ke pracowa n ad wycen opcj i. M erto n za su

gerowa pewna poprawki w naszej pracy. W szczeglnoci zauw ay, e jel i

za o y cigy handel opcjam i bab akcja m i, to m o n a o tr zym a pew n rc.lacj m idzy nim i, ktra je st praktycznie wolna od ryzyka. W ostatecznej wersji

p racy w an ie w te n sposb w yprow adzil i m y wz r, pon iew a w ydaw ao nam

si, e je st to najog lniejsza metoda.

W ypro w adz enie wzoru Blacka-Scholesa zbiego si w czasie z otwarciemgiedy Chicago Board Opt ions Exchange i wprowadzeniem na nie j p ierwszych opcji giedowy ch w kw ietniu 1973 r ., n a miesic przed p ub likacj pracy

Blacka i Scholesa. Dwa lata pniej maklerzy zaczli stosowa t formu,

uywajc specja lnych p rogramow alnych kalkula torw. 'Obecnie tys ice m aklerw i inwestorw na caym wiecie korzysta z tej formuy kadego dnia

p rzy w ycenie opcji ora,7, do zab ez p ieczan ia sw oic h pozycji . T ak szybkie zastosowanie wyniku teoretycznego byo nowoci, w naukach ekonomicznych.Jes t to szczeglnie godne uwagi , poniewa matematyka potrzebna, do wy

prow adzenia , te go w zoru nie z n a jd o w aa si w ow ym czasie w stan d ard o w y chp ro g ram ach k sz ta c en ia w bankach i szko a ch ekonom ic znych.

Umiejtno zastosowania opcj i i innych ins t rumentw pochodnych do

zarzdzania ryzykiem jes t dzi bardzo cenna. Zarzdzajcy por t fe lami akcj i

uywaj opcj i sprzeday do zabezpieczania s i przed duymi spadkami cenakcj i . Przedsibiors twa wykorzystuj opcje i inne ins t rumenty pochodne do

redukc ji ryzyka. Ba,nici stosuj, m etod y ro zw inite przez B lacka, M erton ai Scholesa do konstrukcj i i wyceny nowych ins t rumentw, specja lnie dopasowywanych do potrzeb swoich kl ientw, jak rwnie do redukcj i wasnegoryzyka na rynkach f inansowych. Dlatego obecnie ins tytucje f inansowe zat rudn ia j matematykw, ekonomis tw i in fo rmatykw, k t rzy waln ie p rzy

czyniaj si do rozwoju inynieri i f inansowej.

'Posu yli si m.in. modelem CA PM, za ktry W illiam Sharp otrzy m a N agrod Nobla w 195)0 r. W an rol od egra a tu rwnie praca, Paula Samueisona (1965), nawiasemmwic laureata Nagrody Nobla z ekonomii za rok 1070, w ktrej wykorzystano geometryczny ruch Browna i modyfikujca formu Bacheliera,.


30/430

30 1. Wprowadzenie

1.6. Mo d el Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa (1973) jest czsto uwaany za pocztek albo za ko

niec problemu wyceny opcj i . Tak naprawd, jes t j ednym i drugim. Z jednejbow ie m stro n y rozw iza p rob lem , z k t ry m ekonom ici zm agali si od co

najmniej s iedemdziesiciu lat , z drugiej za spowodowa powstanie caej lawiny modyfikacj i i rozszerze, ktr obserwujemy do dzisiaj , patrz rys. 1.7.

Celem pracy Blacka i Scholesa byo skonst ruow anie s t ra tegi i zabezp ieczajc ej i p o d a n ie w zoru n a cen opcji. Pokazali oni, e s p r a w ie d l iw a c e n a 5(fair price) s tandardowej europejskie j opcj i kupna na akcj wyraa s i wzo

rem (w dowolnej chwili i < T):

Cena Blacka-Scholesa

standardowej europejskiej opcji kupna na akcj

C t = S'i


31/430

1.6. Model Blacka-Scholesa 31

M e r t o n --------

Vasicek

Brennan-Schwartz

Cox-lngersoll-Ross

Ho-Lee

Black-Derm a n-Toy

Black-Karasinski

Heath-Jar row-Mor ton

Brace-Musiela

Flesaker-Hughston

Struktura terminowa

Bachelier 1900

Sprenkle Boness

Samuelson

MERTON, BLACK-SCHOLES

Black

Boyle

Merton

Schwartz

Cox-Ross-Rubinstein

1964

1965

k ,

1973

1974

1976

1977

Goldrnan-Sosln-Gatto

Geske 1979

Courtadon Jarrow-Rudd

Garman-

KohlhagenGrabbe

Whaley

W hite Sco tt WlgginS

1 ) 1 Garman

Boyle-Evninne-Gibbs |

Kemma-Vorst

Rubinstein

Levy

Geman-Yor

' | ' Ak ah or i

Hurst-Platen-Rachev

Modyfikacje Blacka-Scholesa Opcje egzotyczne

Gerber-Shiu

Rachev-Rtischendorf

1982

1983

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

Rys. 1.7. Drzewo genealogiczne modeli wyceny


32/430

32 1. Wprowadzenie

w wyniku duych t ransakcj i arbi t raowych, zmieni by s i kurs funta dodolara,. W kr tkim czasie ceny n a obu giedac h, cho wyraone w rnych

walutach, wyrwnayby s i. R ozk ad zwrotw cen akcji jes t ognormalny.

R yne k d zia a w .sposb cigy, a cen a akcji S i jes t , opisana cigym pro

cesem dyfuzyjnym (1.1) . Kr tko t e rminowa , wo lna od ryzyka s t opa p rocen towa r nie zmienia si

w okresie wanoci opcji . Ponadto uczestnicy rynku mog poycza

i inwestowa rodki wedug tej samej stopy procentowej. Akcje s podzielne, a cena kupna, jest taka, sama, jak cena, sprzeday

(dla , wszystkich inst rumentw). Dla duych inwestorw, ktrzy obracaj

dziesitkami tysicy akcji , to zaoenie jest w przyblieniu spenione. Akcje nie przyn osz dy w idend w okresie wanoci opcj i. Nie uwzgldnia s i kosztw t ransa kcj i ani podatkw .

Nie ma kary za zajmowanie tzw. krtkiej pozycj i (np. sprzeda akcj i ,ktrych si nie posiada, patrz p. 3.3.2).

W nas tpnych la tach za oenia modelu s topniowo redukowano. W roku 1973R ob er t M er ton pokaza , j ak m ona uwzgldni dywidendy w w ycenie opc ji

ora,z przedstaw i mo del wyceny, gdy s top a proce ntow a jest losowa (dok adniej , gdy sp en ia pewne specjalne s toc hasty czn e rw nanie rniczkowe, p atrz

p o dro zd zia 6.9 ). W tym sam ym rok u E .O . T h o rp e p rzed staw i pew ne rozszerzenia modelu Blacka-Scholesa, m.in. opuci ostatnie zaoenie. W roku1976 Jonathan Ingersol l uwzgldni koszty t ransakcj i w wycenie opcj i , na

tomiast Merton dopuci kombinacje dyfuzj i i procesu skokowego do opisuprocesu ceny akcji . T rzy la ta pn iej Jo h n Cox, S tep h en R oss i M ark R u

b in s te in p rzed staw ili p ro s ty d y sk re tn y ana log on m od elu B la cka-Schole sa.W roku 1982 Rober t Ja r row i Andrew Rudd dopuci l i dyfuz je z innymi

rozkadami, a tym samym pominl i drugie zaoenie.

W oryginalnym dowodzie Blacka i Scholesa wykorzystano technik rwna rniczkowych czstkowych. Zaoenie o braku arbi t rau oraz is tnienie

st rategi i samofinansujcej pozwoli y sprowadzi problem ekonomiczny do

nas tpujcego rwnania (odpowiednik rwnania przewodnic twa c ieplnegow f izyce) na cen opcj i kupna C/ = C (S'i, t):

d C ( S i , t ) ^ / r , a d C ( S i, t ) 1 2cl2d2C(Si , t . ) , C(, St, /,) - , S t g g - ^ S t ,

/, w arunkiem brzegowym C-p = C ( S r ,T ) = (St K )+ = m a x (S r K , 0).

Prace M. Ilarrisona i S. Pliski (1981, 1983) przyczyniy si do sformuowania podsawowego twierdzenia wyceny inst rumentw f inansowych w jzyku mar tyngaw6. Autorzy c i pokaza l i , e na rynku bez a rb i t rau cena

'Po jcie inarfcyngau jes t szczegowo omwione w rozdziaach 5 i G.


33/430

1.6. Model Blacka-Scholesa 33

i n s t r u m e n t u p o c h o d n e g o X m oe by w yraona jako w arunkow a wartooczekiwana zdyskontowanej7, do chwil i obecnej , wypaty tego instrumentuw terminie wyganicia T wzgldem pewnej miary martyngalowej Q i f i l

tracj i T i- Jeeli X jes t s tan dard ow europejsk, opc j kup na, to je j funkcja,wypaty, tzn. funkcja opisujca wypat w terminie wykonania, opcj i , ma

p o s ta f r = (St K ) * = max(Y K , 0 ) . Dlatego sprawiedl iwa cena tejopcji w chwili t wynosi

C t = c "r (r '')lEQ ((,5,7' - K ) + \ :F , ).

M odele mar tyngaowe, w ykorzys tu jce twierdzenia Girsanowa i Dooba-Me-yera , pozwala j z redukowa proces s tochas tyczny opisu jcy losowy ins t ru

ment f inansowy do funkcjonau za lenego od procesu ruchu Browna bezwspczynnika wzrostu // . . O wadze tej obserwacji najlepiej wiadczy twierdzenie Blacka-Scholesa, w ktrym cena C t zaley tylko od wspczynnika

zmiennoci a.

Przybl ione metody wyznaczania ceny opcj i by y s tosowane ju w pra

cach E. Schwartza (1977) oraz G, Courtadona (1982). Ich idea polegaa na

numerycznym rozwizaniu rwnania rniczkowego Blacka-Scholesa i byakon tynuo w ana z powodzeniem m.in. w pracy J . H ulla i A. W hite a (1990).

Prbowano te rnych technik symulacyjnych , poczynajc od zas tosowa

nia metody Monte Carlo przez P. Boylea (1977), a koczc na technikachestymacyjnych D. Dufliego i P. Glynna (1996).

W dniu 30 s ierpnia 1995 roku zmar Fischer Black, ktrego prace przyczyniy s i do burzl iwego rozwoju matematyki f inansowej . The. Economist

z dnia 9 wrzenia 1995 r. pisa: Fischer Black, f inansis ta i intelektualny ojciec chrzestny wspczesnych rynkw instrumentw pochodnych, zmar . ( . . . )

B y l je d n y m z najb ardzie j twrczych , ekonom istw tego stu le cia , gdyby yl, na

pew no o tr zym a b y nagrod Nobla .

T ym czas em , n agro d No bla z ekonom ii w wysokoci I miliona, dolarw

otrzyma 10 padziernika, 1995 r. Robert Lucas z University of Chicago.M usia si ni podzieli ... ze swoj by on, ktra, w yk aza a si w yjt

kowo trafnym prognozowaniem. Siedem lat wczeniej , gdy Rita i Robert

Lucasowie przeprowad zali rozwd, po pro s i a ona swojego adw oka ta o dod a

nie malej klauzul i w ugodzie majtkowej: W J F E S H A L L R . E G E I V E 5 0 %

O F A N Y N O B E L P R IZ E . Cala , t a sprawa nabiera dodatkowego smaczku,pon iew a k la u zu la ta m ia a obow izyw a ty lk o do 31 pad ziern ik a 1995 r.

Jak by n a i roni losu Lucas zosta u hono rowa ny za teori ekonom iczn, ktr,nazwa . . . R acjona lne oczekiw ania (R a tio na l expec ta tions).

Progno za z The Economis t sprawdzia si 14 padziernika 1997 r. , gdynagrod Nobla z ekonomii otrzymali I lobert Merton i Myron Scholes za

?Pat,iz dodatek 13.2.


34/430

1. Wprowadzenie

prace z zak resu w yceny in s trum e n tw pochodnych . K r lew ska A kadem iaw swoim uzasadnieniu przypomniaa wtedy o bl iskie j wsppracy obu laureatw z Fischerem Bckiem.

Fischer Black

(1938-95)

Fischer Black studiowa fizyk w Harvard College, a pniej matematykw IIarvard University. W 1964 roku uzyska stopie doktora nauk z matematyki stosowanej. Interesowa si zarwno teori, jak i praktyk. .lego

praca doki,orska bya powicona podstawom logiki i ich zastosow aniomw informatyce. Po studiach znalaz zatrudnienie w firmie komputerowejBoli, Beranek & Newmann. Wkrtce, w 1965 r. przenis si do Arthur D.Little Inc., gdzie obj stanowisko doradcy finansowego. Projekty dotyczce praktycznych problemw rynku papierw wartociowych doprowadziy go w naturalny sposb do bezporedniego kontaktu m.in. z Micia-elem Jensenem, Myronem Schoesem oraz Robertem Mertonem, uczestnikami seminarium finansowego w Massachusetts Institute of Technology(MIT). W 1969 r. zaoy wasn firm konsultingow Associates in Finance, w 1970 r. opublikowa swj pierwszy artyku, a rok pniej praco modelu giedy, opartym na bdzeniu losowym.

W 1971 r. Black otrzyma zaproszenie z University of Chicago jakoprofesor wizytu jcy, a w nastpnym roku nominacj na stanowisko profesora w Graduate School of Business, Unwersity of Chicago. W 1975 r.zosta zatrudniony na stanowisku profesora finansw w prestiowej SloanSchool of Management w MIT, gdzie pracowa do 1984 r. Od tego rokurozpocz karier w prywatnych linnach na Wall Street jako tzw. rakieta(rockel. Hcientist) - naukowiec, najczciej matematyk lut>fizyk, opracowujcy nowe strategie handlu i wyceniajcy instrumenty finansowe.

W roku 1985 zosta przewodniczcym American Finance Association,a w 1994 r. uzyska zaszczyt,liy tytu inyniera finansowego roku.Black jesl, autorem 68. artykuw oraz 2. ksiek. Gwne kierunki

jego dzia a lnoci naukowej dotyczyy wyznaczan ia cen pap ierw w artociowych, zarzdzania portfelem, projektowania rynku i instytucji finansowych, podatkw oraz cykli ekonomicznych i teorii monetarnej.


35/430

Pytania i zadania 35

Pytania i zadania

1. Co to s kursy paryte tow e?

2 . Jak i wpyw na rynek f inansowy mia upadek uk adu z Bre t ton Woods?

3. Jaki by p ierwszy matematyczny (s tochastyczny) model procesu cenyakcji?

4. Jaki b d popeni Nick Leeson?

5. Po da j podstaw ow e przyczyny, d la k trych ko rporacje finansowe uyw ajk o n t r a k t w t e rmin o wy c h .

6 . Prz y jakich zaoeniach zosta wyprow adzony wzr Blacka-Scholesa?


36/430


37/430

Rozdzia 2

Rynek finansowy

2.1. Str u k tu ra rynku f inansowego

W ekonomii rynek jes i , najczciej rozumiany jako ogl warunkw, w ktrych dochodzi do zawierania t ransakcj i midzy sprzedawcami oferu jcymi

towary, a nabywca,mi reprezentuj,cynii po trzeb y i dy spo nu jcym i od pow iednimi funduszami. Ograniczymy si do opisu tylko jednej z jego czci -

r y n k u f i n a n s o w e g o (fm a ncia l m arke t). To w a r a m i n a t y m r y n k u s i n s t r u m e n t y f in a n so w e (Jinancial ins trumentu), k tre na jprocie j monaokreli jako umowy midzy dwoma stronami, regulujce zalenoci f inan

sowe lub / i m ajtkowe, w jakich obie s t rony p ozo s ta j. T radyc yjn ie wyrnia

si nastpujce segmenty rynku finansowego:

r y n e k p i e n i n y (moncy marke t ) , na k t rym s zawie rane t ransakc je

krtkoterm inow ym i (zazwyczaj o te rm inie rea l izac ji do jednego roku)ins t rumentami f inansowymi o duej p ynnoci , spe n ia jcymi w okrelo

nym s topniu surogat p ienidza ; s to przede wszys tk im bony skarbowei komercyjne, certyfikaty depozytowe, czeki , weksle oraz umowy typu

R E P O x, " r y n e k k a p i ta o w y (Capital market), umol iwia jcy tworzenie kapi ta

w udziaowych lub poyczkowych; zawierane; s na nim transakcje in

s t rum en tam i f inansowym i o charak terze wasnociowym bd wicrzyc ie l-skim, gwnie akcjami i obligacjami,

r y n e k w a lu t o w y (foreign excha,nge (FX) market), obe jmujcy t rans

akcje kupna i sprzeday walut rnych krajw w celu regulacj i zobowi-1 R.EPO (rcpurchnsc agrc.em.cnt,) jest to umowa polegajca na tym, e strona, sprzeda

jca in strum ent finansowy (np. bon skarbowy) zobowizuje sic; go odkup i od nabywcyw ustalonym terminie i po ustalonej cenie. Umowa R.cvcrs


38/430

38 2. Rynek finansowy

za patniczych w okrelonych walutach, spekulacje czy te interwencje(bankw cent ra lnych) w celu ut rzymania na okrelonym poziomie kursu

wasnej waluty.

N a p o cz tk u la t siedem dzie sitych dokona si p rzeo m n a ryn k u fin ansowym (pa t rz po drozd zia 1 .4). W k rtkim czasie na rynk u p ojaw i y si noweins t rumenty f inansowe, umol iwiajce zarzdzanie tym ryzykiem. Powsta

c ay no wy se gm e n t ry n k u fin an so weg o - r y n e k i n s t r u m e n t w p o c h o d

n y c h ( derivai ives market) . Zawierane s na n im t r ansakc je ins t rumentami

po chodn ym i, k t re m a j n a celu zabezpieczen ie p rzed n ieko rzystnym i zm ianami war toci ins t rumentu podstawowego, zapewnienie podanej s t ruktury

ryzyka czy te spekulacj w nadziei uzyskania ponadprzecitnych zyskw(pat rz po droz dzia 4 .1). W zasadzie t rud no jes t rozdzie li rynek ins t rum en tw pochodnych od pozosta ych segmentw rynku f inansowego, poniewa

ins t rumentami pods tawowymi s za rwno ins t rumenty rynku p ien inego(np. kont rakty fu tu res i opcje na bony skarbowe), kapi taowego (np. opcjena akcje i kontrakty fu tu res na obligacje skarbowe), jak i walut,owego (np.

kont rak ty fo rw ard, wymiany i opcje walutowe).

Ze wzgldu na horyzont czasowy poszczeglnych instrumentw rozr

n ia si r y n e k g o t w k o w y , n az yw a ny r wn ie k a s o w y m ( spot market, cashmarket ) o raz r y n e k t e r m in o w y (fo rw ard market. , fu tu res m a rk e t). Na tymp ierw szym w y m ia na to w arw n as tp u je za raz (najc zc iej do dw ch dni

roboczych) po zawarciu t ransakcj i . Tak form ma obrt akcjami i obl igacjami, jak rwnie cz op eracj i ryn ku walutowego i towarowego. N atom iast

na rynku terminowym od chwi l i zawarcia t ransakcj i do chwi l i dos tarczeniatowaru moe min wiele dni , miesicy, a nawet lat . Kontrakty fo rw ard, f utures, wymiany i opc je s pods tawowymi ins t rumenta ln i , k t rymi handlu je

s i na tym rynku.

Ze wzgldu n a form sprzeday w yrnia si dw a m iejsca obro tu in s t ru m e n ta m i fin an so w ym i. N a r y n k u p i e r w o t n y m (p rim a ry m arket) emitencinowych instrumentw, gwnie akcj i i obl igacj i , sprzedaj je za porednictwem ins tytucj i f inansowych. Emi tentami s przedsibiors twa, Skarb Pa

stwa, agencje lokalne (miasta i gminy), agencje rzdowe, banki , organizacjespoeczne oraz fundacje pot rzebujce kapi ta u na rozpoczcie lu l i poszerzenie swojej dziaalnoci. Nabywcami s najczciej firmy maklerskie, ktre

kupuj cae pakie ty papierw war tociowych na wasne ryzyko ub na z le

cenie swoich klientw.R yne k p i e r w o t ny m oe m i e c ha r a k t e r o f e r t y pub l i c z ne j (public ofje-

ring) lub oferty adresowanej do niewielkiej grupy nazwanych imiennie: inwestorw. W przypadku ofer ty publ icznej emi tent ma obowizek ogosz-


39/430

2.1. Struktura rynku finansowego 3!)

080*Tt\iu annou ncum onl i norther an ottor lo sott nor a sol ici taUon of an oHur \o buy \hoao nocu Ues.

Tho offor is mado on ly by tho Prospactus.

first in cellulose

July 2, 1996

2,887,935 Shares

Buckeye Cellulose Corporation

Common Stock

Price $27.625 Per Share

Copios of ho Prospoclus may bo obtainod in any S iato in which thisannouncomon t is c i fcuatod only f rom such o f ho undors ignod

as may loga y offor thoso so curi ios in such Stato.

Salomo n Br others Inc

Merrill Lynch & Co.

Paine Webber Incorporated

Morgan Keegan & Company, Inc.

BT Securi ties Corporation

Dresdner Securities (USA) Inc.

Robert W. Baird & Co.

The Robinso n-Humphr ey Company, Inc.

Dean Witter Reynolds Inc.

Oppenheimer & Co.,Inc.

Raymon d James & A sso ciates, Inc.

Wheat First Butc her Singer

Rys. 2.1. Ogoszenie typu pyta nagrobkowa, ktre ukazao si 2 lipca 1996 r.w The Wall Street Journal, informuje o publicznej ofercie akcji zwykych BuckeyeCellulose Corporation, o

Documents

Inżynieria Finansowa - Weron