inzinjerska matematika

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

SadržajSistem linearnih algebarskih jednačina

.

......

INŽINJERSKA MATEMATIKA ISistem linearnih algebarskih jednačina

Prof dr Špiro Gopčević

2013

Š.Gopčević Inžinjerska matematika I

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


...1 Sistem linearnih algebarskih jednačinaOpšti pojmoviGausov postupakKramerova metodaNeke matrične jednačine


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


Opšti pojmoviGausov postupakKramerova metodaNeke matrične jednačine

.. Sadržaj

...1 Sistem linearnih algebarskih jednačinaOpšti pojmoviGausov postupakKramerova metodaNeke matrične jednačine


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Pojam SLAJ-aSistem linearnih jednačina je oblika

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 - nepoznate veličine𝑎𝑖𝑗 , 1 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑛, 1 ⩽ 𝑗 ⩽ 𝑚 - zadati koeficijenti𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑚 - zadati slobodni članovi

Kraći zapis sistema je𝑛

∑𝑗=1

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Pojam SLAJ-a

Sistem jednačina može biti zapisan i u obliku proširene matricesistema

[ 𝐀 | 𝐛 ] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛

|||||||

𝑏1𝑏2𝑏3⋮

𝑏𝑚

⎤⎥⎥⎥⎥⎦


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Rešenje SLAJ-a

.Definicija..

......

Rešenje sistema linearnih jednačina jeste sistem od 𝑛 brojeva𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 koji za 𝑥1 = 𝛼1, 𝑥2 = 𝛼2, … , 𝑥𝑛 = 𝛼𝑛 identičkizadovoljava svaku jednačinu sistema.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Rešenje SLAJ-a

.Primer..

......

Sistem linearnih jednačina ne mora uvek imati rešenje. Sistem

𝑥 + 𝑦 = 1𝑥 + 𝑦 = 2

nema rešenja jer ne postoje brojevi koji mogu da ga zadovolje.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Rešenje SLAJ-a

.Primer..

......

Ukoliko sistem ima rešenje, to ne znači da mora imati samo jednorešenje. Sistem

𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 + 2𝑦 = 2

ima beskonačno mnogo rešenja oblika 𝑥 = 𝛼, 𝑦 = 1 − 𝛼, 𝛼 jeproizvoljan broj. Za nepoznatu 𝑥 se u ovom slučaju kaže da jeslobodna, a za 𝑦 da je vezana. Kada sistem linearnih jednačina imaviše od jednog rečenja, onda je barem jedna nepoznata slobodna, štopraktično znači da sistem ima beskonačno mnogo rečenja.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Geometrijska interpretacija - 2 jednačine

Linearna jednačina sa dve nepoznate

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

predstavlja pravac u ravni, pa rešavanje sistema od dve jednačineodgovara traženju preseka pravaca.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




Sistem jednačina:

𝑥 + 𝑦 = 1−𝑥 + 𝑦 = −1

Sistem ima jedno rešenje(1,0)

Pravci se seku


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




Sistem jednačina:

2𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 + 𝑦 = −1

Sistem nema rešenja

Pravci su paralelni


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




Sistem jednačina:

3𝑥 + 5𝑦 = 5−6𝑥 − 10𝑦 = −10

Sistem ima beskonačno mnogorešenja

Pravci se poklapaju


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




Linearna jednačina sa tri nepoznate

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0

predstavlja ravan u prostoru, pa rešavanje sistema od tri jednačineodgovara traženju zajedničkih tačaka ravni.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




Sistem od 3 linearne jednačine ima jedno rešenje


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




Sistem od 3 linearne jednačine ima beskonačno mnogo rešenja


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




Sistem od 3 linearne jednačine nema rešenja


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Rešenje SLAJ-a

Sistem linearnih jednačina je saglasan (ima rešenja) i to:ima jedno (jedinstveno) rešenje pa se kaže da je sistem određenima više rešenja pa se kaže da je sistem neodređen. Ako ima višerešenja onda ih ima beskonačno mnogo

Sistem linearnih jednačina je nesaglasan (protivrečan,kontradiktoran, nemoguć) ako nema rešenja


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Homogen SLAJ-a

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0

Homogen sistem je sistem kod kojega su svi slobodni članovi jednakinuli

𝑏1 = 𝑏2 = … = 𝑏𝑚 = 0Svaki homogen sistem je saglasan, jer ima uvek bar jedno rešenje

𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, … , 𝑥𝑛 = 0

Ovo rešenje naziva se trivijalno rešenje.Ukoliko je homogen sistem određen, on ima samo trivijalno rešenje.Homogen sistem može da ima i drugih rešenja osim trivijalnog.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Ekvivalentnost SLAJ-a.Definicija..

......Dva sistema jednačina su ekvivalentna ako imaju iste skupove rešenja,tj ako je rešenje jednog sistema ujedno rešenje i drugog sistema.

.Definicija..

......

Ekvivalentne transformacije sistema jednačina su:Zamena mesta dveju jednačinaMnoženje svih koeficijenata jedne jednačine konstantomrazličitiom od nuleDodavanjem koeficijenata jedne jednačine odgovarajućimkoeficijentima druge jednačine

Ekvivalentne transformacije sistema ne menjaju skup rešenja.Š.Gopčević Inžinjerska matematika I

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Ekvivalentnost SLAJ-a

.Primer..

......

Neka je dat sistem jednačina

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2−𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

Uradićemo elementarne transformacije ovoga sistema. Sistemjednačina ćemo pri tom zapisati u obliku proširene matrice sistema.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Ekvivalentnost SLAJ-a.Primer..

......

⎡⎢⎢⎣

2 1 −1−1 2 31 1 1

||||

243

⎤⎥⎥⎦

∼⎡⎢⎢⎣

1 1 1−1 2 32 1 −1

||||

342

⎤⎥⎥⎦

𝐼𝐼𝐼

𝐼

∼⎡⎢⎢⎣

1 1 10 3 40 −1 −3

||||

37

−4

⎤⎥⎥⎦

𝐼 + 𝐼𝐼−2𝐼 + 𝐼𝐼𝐼

∼⎡⎢⎢⎣

1 1 10 −1 −30 3 4

||||

3−47

⎤⎥⎥⎦

𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼

∼⎡⎢⎢⎣

1 1 10 −1 −30 0 −5

||||

3−4−5

⎤⎥⎥⎦ 3𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausov postupak

Postupak kojim može da se rešava bilo koji sistem jednačina𝑚 < 𝑛, 𝑚 = 𝑛, 𝑚 > 𝑛Sistem jednačina ćemo napisati u obliku proširene matricesistema, pošto je tako preglednije.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Eliminacija unapredPretpostavlja se daje 𝑎11 ≠ 0.

⎡⎢⎢⎢⎢⎣


𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛

|||||||

𝑏1𝑏2𝑏3⋮

𝑏𝑚

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

∼

∼

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛0 𝑎(1)

22 𝑎(1)23 … 𝑎(1)

2𝑛0 𝑎(1)

32 𝑎(1)33 … 𝑎(1)

3𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 𝑎(1)

𝑚2 𝑎(1)𝑚3 … 𝑎(1)

𝑚𝑛

||||||||

𝑏1𝑏(1)

2𝑏(1)

3⋮

𝑏(1)𝑚

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

−(𝑎21 ∶ 𝑎11)𝐼 + 𝐼𝐼−(𝑎31 ∶ 𝑎11)𝐼 + 𝐼𝐼𝐼

⋮−(𝑎𝑛1 ∶ 𝑎11)𝐼 + 𝑀


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Eliminacija unapred

Treba voditi računa da 𝑎122 ≠ 0 itd. Sistem jednačina može da se svode

na oblik (I varijanta)

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛0 𝑎(1)

22 𝑎(1)23 … 𝑎(1)

2𝑛0 0 𝑎(2)

33 … 𝑎(2)3𝑛

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 𝑎(2)

𝑚3 … 𝑎(2)𝑚𝑛

||||||||

𝑏1𝑏(1)

2𝑏(2)

3⋮

𝑏(2)𝑛

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

−(𝑎(1)32 ∶ 𝑎(1)

22 )𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼 ∼⋮

−(𝑎(1)𝑚2 ∶ 𝑎(1)

22 )𝐼𝐼 + 𝑀


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Eliminacija unapred

∼

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑘 … 𝑎1𝑛0 𝑎(1)

22 𝑎(1)23 … 𝑎(1)

2𝑘 … 𝑎(1)2𝑛

0 0 𝑎(2)33 … 𝑎(2)

3𝑘 … 𝑎(2)3𝑛

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 0 𝑎(𝑚−1)

𝑚𝑘 … 𝑎(𝑚−1)𝑚𝑛

||||||||

𝑏1𝑏(1)

2𝑏(2)

3⋮

𝑏(𝑚−1)𝑚

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

−(𝑎(𝑚−2)𝑚,𝑘−1 ∶ 𝑎(𝑚−2)

𝑚−1,𝑘−1)⋅[𝑀 − 1] + 𝑀

Ovaj sistem jednačina je uvek saglasan (ima rešenja).


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Eliminacija unapredSistem jednačina može da se svode i na oblik (II varijanta)

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑘 … 𝑎1𝑛𝑎(1)

22 𝑎(1)23 ⋯ 𝑎(1)

2𝑘 … 𝑎(1)2𝑛

𝑎(2)33 … 𝑎(2)

3𝑘 … 𝑎(2)3𝑛

⋮ ⋮ ⋮𝑎(𝑘−1)

𝑘𝑘 … 𝑎(𝑘−1)𝑘𝑛0⋮0

||||||||||||

𝑏1𝑏(1)

2𝑏(2)

3⋮

𝑏(𝑘−1)𝑘

𝑏(𝑘−1)𝑘+1⋮

𝑏(𝑘−1)𝑚

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

pri čemu je 𝑘 < 𝑚 i sistem je saglasan ako i samo ako je 𝑏𝑘−1𝑖 = 0 za

sve vrednosti 𝑖 = 𝑘, … , 𝑚, dok je u protivnom nesaglasan (nemarešenja).U slučaju kada je ovaj sistem saglasan, on ima praktično isti oblik kaoi prethodni, pa ćemo nadalje razmatrati samo ovaj prethodni.Š.Gopčević Inžinjerska matematika I

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Eliminacija unazadAko se radi o saglasnom sistemu (sistem ima rešenje) i ako je:

𝑚 = 𝑛 (𝑘 = 𝑛) onda sistem jednačina ima jedinstveno rešenje(sistem je određen) i poslednja jednačina se svodi na

𝑥𝑛 = 𝑎(𝑛−1)𝑛𝑛

𝑏(𝑛−1)𝑛

odakle dobijamo nepoznatu 𝑥𝑛, a zatim ostale nepoznate senalaze iz

𝑥𝑖 =𝑏(𝑖−1)

𝑖 −𝑛

∑𝑗=𝑖+1

𝑎(𝑖−1)𝑖𝑗 𝑥𝑗

𝑎(𝑖−1)𝑖𝑖

, 𝑖 = 𝑛 − 1, ..., 1


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Eliminacija unazad

Ako se radi o saglasnom sistemu (sistem ima rešenje) i ako je:𝑚 < 𝑛 (𝑘 < 𝑛) onda sistem jednačina ima beskonačno mnogorešenja (sistem je neodređen). Nepoznate 𝑥𝑚+1, 𝑥𝑚+2, …, 𝑥𝑛 suslobodne, mogu da imaju proizvoljne vrednosti, a nepoznate 𝑥1,𝑥2, …, 𝑥𝑚 su vezane i izražavaju se u funkciji slobodnihnepoznatih.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda

Gausovom metodom se:utvrđuje da li je sistem saglasan ili nesaglasan iu slučaju saglasnog sistema dobijaju se rešenja sistema


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda

.Primer..

......

Rešiti sistem jednačina primenom Gausove metode

𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 162𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 5

5𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 2

Sistem jednačina ćemo prvo da napišemo u obliku proširene matricesistema pa ćemo ga zatim rešiti


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda.Primer..

......

⎡⎢⎢⎣

1 4 22 1 −15 3 2

||||

1652

⎤⎥⎥⎦

∼⎡⎢⎢⎣

1 4 2−7 −5

−17 −8

||||

16−27−78

⎤⎥⎥⎦

−2𝐼 + 𝐼𝐼−5𝐼 + 𝐼𝐼𝐼

∼⎡⎢⎢⎣

1 4 2−7 −5

297

||||

16−27− 87

7

⎤⎥⎥⎦ −(17 ∶ 7)𝐼 + 𝐼𝐼𝐼

∼⎡⎢⎢⎣

1 4 2−7 −5

1

||||

16−27−3

⎤⎥⎥⎦ [7 ∶ 29)]𝐼𝐼𝐼

Sistem je određen i ima jedinstveno rešenje


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda

.Primer..

......

⎡⎢⎢⎣

1 4 2−7 −5

1

||||

16−27−3

⎤⎥⎥⎦

𝑥3 = −3

𝑥2 = −17(−27 − 3 ⋅ 5) = 6

𝑥1 = 16 − 6 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = −2


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda

.Primer..

......


3𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = 46𝑥1 + 4𝑥2 + 8𝑥3 = 119𝑥1 + 6𝑥2 + 12𝑥3 = −3


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda

.Primer..

......

Sistem jednačina napisan u obliku proširene matrice sistema iredukovan na trougaonu matricu

⎡⎢⎢⎣

3 −1 −26 4 89 6 12

||||

411−3

⎤⎥⎥⎦

∼⎡⎢⎢⎣

3 −1 −26 129 18

||||

43

−15

⎤⎥⎥⎦


∼⎡⎢⎢⎣

3 −1 −26 12

0

||||

43

−19.5

⎤⎥⎥⎦ −1.5𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼

Dati sistem je nesaglasan (nema rešenja).


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda

.Primer..

......


𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 = 722𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 566𝑥1 + 3𝑥2 − 9𝑥3 = 15


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda.Primer..

......


⎡⎢⎢⎣

1 2 −42 1 −36 3 −9

||||

725615

⎤⎥⎥⎦

∼⎡⎢⎢⎣

1 2 −42 1 −36 3 −9

||||

725615

⎤⎥⎥⎦


∼⎡⎢⎢⎣

1 2 −4−3 5−9 15

||||

72−9

−27

⎤⎥⎥⎦


∼⎡⎢⎢⎣

1 2 −4−3 5

0

||||

72−90

⎤⎥⎥⎦ −3𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda

.Primer..

......

Dati sistem je neodređen i ima beskonačno mnogo rešenja i rešenja su

𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 = 72−3𝑥2 + 5𝑥3 = −9

𝑥3 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅𝑥2 = −3 + 5

3 𝑡𝑥1 = 72 − 2 (−3 + 5

3 𝑡) + 4𝑡= 78 − 𝑡 ( 10

3 − 4)


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda

.Primer..

......

Rešiti homogeni sistem jednačina primenom Gausove metode

𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 − 3𝑥4 + 𝑥5 = 0−2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 − 𝑥5 = 0𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 0𝑥1 − 4𝑥3 − 1𝑥4 + 2𝑥5 = 0−2𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 − 2𝑥5 = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Gausova metoda

.Primer..

......


⎡⎢⎢⎢⎢⎣

1 2 1 −3 1−2 −3 1 1 −11 1 1 1 11 0 −4 −1 20 −2 2 2 −2

|||||||

00000

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

∼

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

1 2 1 −3 11 3 −5 1

3 −1 155 −4

1

|||||||

00000

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Dati sistem je određen, te osim trivijalnog rešenja𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 𝑥4 = 𝑥5 = 0 nema drugih rešenja.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metodaRešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinantimoguće je samo ukoliko je broj jednačina jednak brojunepoznatih, odnosno, ako je 𝑚 = 𝑛.

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

Matrica sistema

𝐀 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣


𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 … 𝑎𝑛𝑛

⎤⎥⎥⎥⎥⎦


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

Matrica kolona slobodnih članova

𝐛 =⎡⎢⎢⎢⎣

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛

⎤⎥⎥⎥⎦

Matrica kolona nepoznatih

𝐱 =⎡⎢⎢⎢⎣

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

⎤⎥⎥⎥⎦


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Sistem od 𝑛 jednačina

𝐀 ⋅ 𝐱 = 𝐛𝐱 = 𝐀−1𝐛

𝐱 = adj(𝐀)|𝐀| 𝐛

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥

𝑛

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

𝑛𝑥1

= 1|𝐴|

⎡⎢⎢⎢⎣

𝐶11 𝐶21 ⋯ 𝐶𝑛1𝐶12 𝐶22 ⋯ 𝐶𝑛2⋮ ⋮ ⋮𝐶1𝑛 𝐶2𝑛 ⋯ 𝐶𝑛𝑛

⎤⎥⎥⎥⎦

𝑛𝑥𝑛

⎡⎢⎢⎢⎣

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛

⎤⎥⎥⎥⎦

𝑛𝑥1


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




⎡⎢⎢⎢⎣


⎤⎥⎥⎥⎦

= 1|𝐀|

⎡⎢⎢⎢⎣

𝑏1𝐶11 + 𝑏2𝐶21 + ⋯ + 𝑏𝑛𝐶𝑛1𝑏1𝐶12 + 𝑏2𝐶22 + ⋯ + 𝑏𝑛𝐶𝑛2

⋮𝑏1𝐶1𝑛 + 𝑏2𝐶2𝑛 + ⋯ + 𝑏𝑛𝐶𝑛𝑛

⎤⎥⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑛∑𝑖=1

𝑏𝑖𝐶𝑖1

𝑛∑𝑖=1

𝑏𝑖𝐶𝑖2

⋮𝑛

∑𝑖=1

𝑏𝑖𝐶𝑖𝑛

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

𝐴𝑘 =𝑛

∑𝑖=1

𝑏𝑖𝐶𝑖𝑘 =

||||||

𝑎11 … 𝑎1𝑘−1 𝑏1 𝑎1𝑘+1 … 𝑎1𝑛𝑎21 … 𝑎2𝑘−1 𝑏2 𝑎2𝑘+1 … 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑘−1 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑘+1 … 𝑎𝑛𝑛

||||||


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




⎡⎢⎢⎢⎣


⎤⎥⎥⎥⎦

= 1|𝐀|

⎡⎢⎢⎢⎣

𝐴1𝐴2⋮

𝐴𝑛

⎤⎥⎥⎥⎦

𝑥𝑘 = 𝐴𝑘|𝐀| , 𝑘 = 1, 2, ..., 𝑛


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Sistem od 3 jednačine

𝑥1 = 𝐴1|𝐀| =

||||

𝑏1 𝑎12 𝑎13𝑏2 𝑎22 𝑎23𝑏3 𝑎32 𝑎33

||||

||||

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

||||


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




𝑥2 = 𝐴2|𝐀| =

||||

𝑎11 𝑏1 𝑎13𝑎21 𝑏2 𝑎23𝑎31 𝑏3 𝑎33

||||

||||

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

||||


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




𝑥3 = 𝐴3|𝐀| =

||||

𝑎11 𝑎12 𝑏1𝑎21 𝑎22 𝑏2𝑎31 𝑎32 𝑏3

||||

||||

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

||||


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Rešenje nehomogenog sistema

Sistem je saglasan i određen (ima jedinstveno rešenje) ako jedeterminanta sistema |𝐀| ≠ 0

𝑥𝑘 = 𝐴𝑘|𝐀| , 𝑘 = 1, 2, ..., 𝑛

Sistem je nesaglasan (nema rešenja) ako je: |𝐀| = 0 i bar jednadeterminanta je različita od nule 𝐴1 ≠ 0 ∨ 𝐴2 ≠ 0 ∨ … ∨ 𝐴𝑛 ≠ 0,Ako je |𝐀| = 0 i 𝐴1 = 𝐴2 = … = 𝐴𝑛 = 0 postoje dvemogućnosti:

sistem je saglasan i neodređen (ima beskonačno mnogo rešenja)sistem je nesaglasan (nema rešenja),

ali se do rešenja sistema u ovom slučaju ne može doći pomoćuKramerovog pravila


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Rešenje homogenog sistema

Sistem je saglasan i određen (ima jedinstveno rešenje), ako jedeterminanta sistema |𝐀| ≠ 0 i to je trivijalno rešenje

𝑥𝑘 = 0, 𝑘 = 1, 2, ..., 𝑛

Sistem je saglasan i neodređen (ima beskonačno mnogo rešenja),ako je |𝐀| = 0.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

Rešiti sistem jednačina primenom Kramerove metode

𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3−4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 67𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 1


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda.Primer..

......

|𝐀| =||||

1 2 1−4 1 −17 1 2

||||

= −6

𝐴1 =||||

3 2 16 1 −11 1 2

||||

= −12

𝐴2 =||||

1 3 1−4 6 −17 1 2

||||

= −30

𝐴3 =||||

1 2 3−4 1 67 1 1

||||

= 54


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

𝑥1 = −12−6 = 2, 𝑥2 = −30

−6 = 5, 𝑥3 = 54−6 = −9

Sistem je saglasan i određen (ima jedinstveno rešenje)


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

Rešiti sistem jednačina primenom Kramerove metode𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3

𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 = 2−2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 3


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

|𝐀| =||||

1 1 11 −2 2

−2 1 −3

||||

= 0

𝐴1 =||||

3 1 12 −2 23 1 −3

||||

= 32

Determinanta sistema |𝐀| = 0 i determinanta 𝐴1 ≠ 0, te je sistemnesaglasan (nema rešenja).


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

Rešiti sistem jednačina primenom Kramerove metode

𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 102𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 610𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 2


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




......

|𝐀| =||||

1 2 12 1 1

10 −1 3

||||

= 0

𝐴1 =||||

10 2 16 1 12 −1 3

||||

= 0

𝐴2 =||||

1 10 12 6 110 2 3

||||

= 0

𝐴3 =||||

1 2 102 1 610 −1 2

||||

= 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

Determinanta sistema |𝐀| = 0 i determinante 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴3 = 0, te jesistem saglasan i neodređen (ima beskonačno mnogo rešenja).Kako je poddeterminanta sistema

|1 22 1 | = −3 ≠ 0

to se dalje rešavanje sistema svodi na rešavanje sledećeg sistemajednačina

𝑥1 + 2𝑥2 = 10 − 𝑥3

2𝑥1 + 𝑥2 = 6 − 𝑥3


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

|��| = |1 22 1 | = −3

𝐴1 = |10 − 𝑥3 26 − 𝑥3 1 | = 𝑥3 − 2

𝐴2 = |1 10 − 𝑥32 6 − 𝑥3 | = 𝑥3 − 14

𝑥1 = 13 (2 − 𝑥3)

𝑥2 = 13 (14 − 𝑥3)


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

Rešenja početnog sistema jednačija su

𝑥1 = 13 (2 − 𝛼)

𝑥2 = 13 (14 − 𝛼)

𝑥3 = 𝛼, 𝛼 ∈ ℝ


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

Rešiti sistem jednačina primenom Kramerove metode (𝛼 ∈ ℝ)

𝛼𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1𝑥1 + 𝛼𝑥2 + 𝑥3 = 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −3


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




......

|𝐀| =||||

𝛼 1 11 𝛼 11 1 1

||||

= (𝛼 − 1)2

𝐴1 =||||

1 1 12 𝛼 1

−3 1 1

||||

= 4(𝛼 − 1)

𝐴2 =||||

𝛼 1 11 2 11 −3 1

||||

= 5(𝛼 − 1)

𝐴3 =||||

𝛼 1 11 𝛼 21 1 −3

||||

= −6(𝛼 − 1)


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

Za 𝛼 ≠ 1 determinanta sistema je |𝐀| ≠ 0. Sistem je saglasan iodređen (ima jedinstveno rešenje) i rešenja su

𝑥1 = 4(𝛼−1)

𝑥2 = 5(𝛼−1)

𝑥3 = −6(𝛼−1)


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.




......

Zamenom 𝛼 = 1 u početnom sistemu dobijamo sistem

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −3

Za 𝛼 = 1 determinanta sistema je |𝐀| = 0 i 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴3 = 0, sistemje saglasan i neodređen (ima beskonačno mnogo rešenja). Sistem sesvodi na samo jednu jednačinu

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1

Rešenje, za na primer 𝑥1, je 𝑥1 = 1 − 𝑥2 − 𝑥3


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

Rešenje našeg početnog sistema je

𝑥1 = 1 − 𝛼1 − 𝛼2

𝑥2 = 𝛼1

𝑥3 = 𝛼2

𝛼1, 𝛼2 ∈ ℝ


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

Rešiti homogen sistem jednačina primenom Kramerove metode

2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 0𝑥1 − 𝑥2 = 0𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 0

Pošto je |𝐀| ≠ 0 sistem ima samo trivijalno rešenje

𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

Odrediti vrednost parametra 𝛼 ∈ ℝ tako sa homogeni sistemjednačina ima i netrivijalna rešenja

2𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0𝑥1 − 𝛼𝑥2 = 0𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Kramerova metoda

.Primer..

......

|𝐀| =||||

2 −2 11 𝛼 01 1 4

||||

= 9 − 9𝛼

Da bi sistem imao i netrivijalnih rešenja mora da bude ispunjeno da je|𝐀| = 0, tj. 9 − 9𝛼 = 0, odakle dobijamo da je 𝛼 = 1 .


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Matrične jednačineKoristeći inverznu matricu lako mogu da se reše matrične jednačine

𝐀 ⋅ 𝐗 = 𝐁𝐘 ⋅ 𝐀 = 𝐁

Množenjem prve jednačine sa desne strane sa 𝐀−1 dobija se

𝐀 ⋅ 𝐗 = 𝐁/ ⋅ 𝐀−1

𝐀−1 ⋅ (𝐀 ⋅ 𝐗) = 𝐀−1 ⋅ 𝐁(𝐀−1 ⋅ 𝐀) ⋅ 𝐗 = 𝐀−1 ⋅ 𝐁𝐈 ⋅ 𝐗 = 𝐀−1 ⋅ 𝐁𝐗 = 𝐀−1 ⋅ 𝐁

Slično, množenjem druge jednačine sa leve strane sa 𝐀−1 dobija se𝐘 = 𝐁 ⋅ 𝐀−1


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Matrične jednačine.Primer..

......

Rešiti matričnu jednačinu 𝐀𝐗 + 𝐗 − 𝐁 = 𝟎 gde je

𝐀 =⎡⎢⎢⎣

1 4 20 2 13 1 1

⎤⎥⎥⎦

𝐁 =⎡⎢⎢⎣

1 0 12 1 20 3 0

⎤⎥⎥⎦

Prvo moramo da sredimo jednačinu

𝐀𝐗 + 𝐗 − 𝐁 = 𝟎(𝐀 + 𝐈) 𝐗 = 𝐁/ ⋅ (𝐀 + 𝐈)−1

(𝐀 + 𝐈)−1 (𝐀 + 𝐈) 𝐗 = (𝐀 + 𝐈)−1𝐁𝐈𝐗 = (𝐀 + 𝐈)−1𝐁𝐗 = (𝐀 + 𝐈)−1𝐁


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Matrične jednačine

.Primer..

......

𝐀 + 𝐈 =⎡⎢⎢⎣

1 4 20 2 13 1 1

⎤⎥⎥⎦

+⎡⎢⎢⎣

1 0 00 1 00 0 1

⎤⎥⎥⎦

=⎡⎢⎢⎣

2 4 20 3 13 1 2

⎤⎥⎥⎦

det (𝐀 + 𝐈) =||||

2 4 20 3 13 1 2

||||

= 4 ≠ 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.



.. Matrične jednačine

.Primer..

......

(𝐀 + 𝐈)−1 = 14 ⋅

⎡⎢⎢⎣

5 −6 −23 −2 −2

−9 10 6

⎤⎥⎥⎦

𝐗 = (𝐀 + 𝐈)−1𝐁

= 14 ⋅

⎡⎢⎢⎣

5 −6 −23 −2 −2

−9 10 6

⎤⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎣

1 0 12 1 20 3 0

⎤⎥⎥⎦

= 14

⎡⎢⎢⎣

−7 −12 −7−1 −8 −111 28 11

⎤⎥⎥⎦


Documents

inzinjerska matematika