Inženjerska hidrologija PRIMENA VEROVATNOĆE I …hikom.grf.bg.ac.rs/stari-sajt/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/... · nivo vode(vodostaj, akose ne menjakotanulevodomera) zapremine

12.10.2015

1

PRIMENA VEROVATNOĆE I STATISTIKE U HIDROLOGIJI

Inženjerskahidrologija

Karakter hidroloških procesa

Hidrološkiprocesiodvijajuseuprostoruivremenu delompredvidivo(deterministički)

delomnepredvidivo(slučajno,stohastički)

0

200

400

600

800

1000

1200

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Q (

m3 /

s)

Lopatnica Lakat / Ibar

12.10.2015

2


Hidrološkiprocesiodvijajuseuprostoruivremenu delompredvidivo(deterministički)

delomnepredvidivo(slučajno,stohastički)

0

50

100

150

200

250

300

350

1.1.1997 1.1.1998 1.1.1999 1.1.2000 31.12.2000

Q (

m3 /

s)


dnevnipodaci

mesečnipodaci


Protocikaovremenskeserije izraženameđuzavisnostpodataka(autokorelacija)

redosledpodatakajebitan

0

50

100

150

200

250

300

350

1.1.2000 31.1.2000 1.3.2000 31.3.2000 30.4.2000 30.5.2000 29.6.2000 29.7.2000 28.8.2000 27.9.2000 27.10.200026.11.200026.12.2000

Q (

m3 /

s)


Qi Qi+k

autokorelacija

kQi Qi+k

k

12.10.2015

3


Čistoslučajanproces:jedanpodatakosmatranjanezavisiodprethodnihilinarednihosmatranja redosledpodatakanijebitan

pogodnozaekstremnehidrološkepojave(velike/malevode)

0

50

100

150

200

250

300

350

1.1.1997 1.1.1998 1.1.1999 1.1.2000 31.12.2000

Q (

m3 /

s)


Maksimalnigodišnjiprotoci

nezavisnipodaci


Složeniproces: determinističkekomponente(trend,skokovi,periodičnost)

slučajnekomponente(opisivanjemeđuzavisnostiičistoslučajnakomponenta)

Trend

Skok

Periodičnost

12.10.2015

4

Hidrološki nizoviKompletne serije

Nezavisne

Nizovi esktrema

Nizovi godišnjih ekstrema

Parcijalne serije (prekoračenja preko praga)

Zavisne

Vremenske serije

0

50

100

150

200

250

300

350

1997 1998 1999 2000 2000

Q (

m3/

s)


baza = 100 m3/s

0

50

100

150

200

250

300

350

1997 1998 1999 2000 2000

Q (

m3/

s)


Hidrološki nizovi

Prikupljenihidrološkipodacičineuzorak iznepoznatepopulacije

Uzorakjepodskuppopulacije

Zaključivanjeopopulacijinaosnovuuzorka

Reprezentativanuzorak?

Prostslučajniuzorak:onajukomesuelementinezavisni iistoraspoređeni(slučajnostihomogenostuzorka);tadajeanalizanajjednostavnija

Zapadna Morava / Miločaj 1955‐2010

0

500

1000

1500

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

Qmax,god (m3/s)

UZORAK

UZORAKn – obimuzorka

POPULACIJAN – obimpopulacije

12.10.2015

5

Osnovni pojmovi iz verovatnoće

Teorijaverovatnoće matematičkadisciplinakojasebaviizučavanjemslučajnihpojava

slučajnepojavesuempirijskifenomeničijiishodinisuuvekstrogodefinisani(neizvesnisu)

Eksperimentiliopit stvarniilizamišljenieksperimentčijijerezultatNEIZVESAN(pojava

poplava,pojavasuše,pojavajakekiše)

akoseeksperimentponavljamnogoputapodistimuslovima,pojavljujeseodređenazakonomernostuishodima

verovatnoća– kvantitativnamerakojomseprocenjujemogućnost/nemogućnostnastupanjaishoda

Osnovni pojmovi iz verovatnoće

Ishodiilirealizacije rezultatieksperimenta

Skupsvihmogućihishoda svimogućirezultatieksperimenta

Slučajnidogađaj podskupskupasvihmogućihishoda

Slučajnapromenljiva veličinakojaseponašaponekomzakonuverovatnoće,tj.uzimavrednosti

izskupasvihmogućihishodasanekomverovatnoćom

12.10.2015

6

Osnovni pojmovi

Primer: Protok kaoslučajnapromenljivaX

Skupsvihmogućihishoda:0 X <∞

X

0 10 20 30 40 50 60

Skup svih mogu ih ishodać

Osnovni pojmovi

Primer: Protok kaoslučajnapromenljivaX


Ishodiilirealizacije (osmatranja):X =52m3/s

X

0 10 20 30 40 50 60

Jedan ishod

12.10.2015

7

X

0 10 20 30 40 50 60

Doga > 20đaj X

Osnovni pojmovi

Primer: VisinakišekaoslučajnapromenljivaX


Ishodiilirealizacije(osmatranja):X =52m3/s

Slučajnidogađaj:X >20m3/s

X

0 10 20 30 40 50 60

Doga < 10đaj X

Osnovni pojmovi




Slučajnidogađaj:X >20mm3/s,X 10m3/s

12.10.2015

8

X

0 10 20 30 40 50 60

Doga aj 30 < < 60đ X

Osnovni pojmovi




Slučajnidogađaj:X >20m3/s,X 10m3/s,30 X 60m3/s

Osnovni pojmovi

Slučajnepromenljive: prekidneilidiskretne:skupsvihmogućihishoda=skupcelihbrojeva

brojdanaugodinisakišomvećomod10mm brojdanaugodinisatemperaturomispod0oC brojtalasavelikihvodaugodinisamaksimalnimprotokomvećimodnekevrednosti

neprekidneilikontinualne:skupsvihmogućihishoda=skuprealnihbrojeva protok visinakiše nivovode (vodostaj,ako senemenja kota nule vodomera) zapreminetalasavelikihvoda nivopodzemnihvoda

12.10.2015

9

Raspodela verovatnoće

Ishodiilirealizacijeidogađajisedešavajusaodređenomverovatnoćom,premaRASPODELIVEROVATNOĆE

Raspodelaverovatnoćezadiskretnuslučajnupromenljivu

1

}{

:

321

3

3

2

2

1

1

i

i

ii

pppp

xXPp

p

x

p

x

p

xX


Primerraspodelediskretneslučajnepromenljive:

bacanjenovčića

bacanjekocke

ocenanaispitu

5.05.0

:GP

X

6/1

6

6/1

5

6/1

4

6/1

3

6/1

2

6/1

1:X

05.0

10

12.0

9

25.0

8

18.0

7

10.0

6

30.0

5:X

12.10.2015

10


Grafičkiprikaz raspodelediskretneslučajnepromenljive primer:ocenanaispitu

0.3

0.1

0.18

0.25

0.12

0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

5 6 7 8 9 10

verovatnoća

ocenanaispitu

0.30.4

0.58

0.83

0.95 1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12kumulativnaverovatnoća

ocenanaispitu

štapićastidijagramverovatnoća

stepenastidijagramkumulativnihverovatnoća

05.0

10

12.0

9

25.0

8

18.0

7

10.0

6

30.0

5:X


Primerraspodelediskretneslučajnepromenljive

Verovatnoća daneće biti nijednog kišnog dana:P{X = 0} = 0

Verovatnoća daće sejaviti 2 ili manje kišnihdanauzadatommesecu:

P{X 2} = P{X = 0} + P{X = 1} + P{X = 2} = = 0 + 0.23 + 0.27 = 0.50

Verovatnoća daće sejaviti 5 ili više kišnih danauzadatommesecu:

P{X 5} = 1 – P{X ≤ 4} = = 1 – (P{X = 0} + P{X = 1} + ... + P{X = 4}) =

= 1 – (0 + 0.23 + 0.27 + 0.23 + 0.10) = 1 – 0.83 = 0.17

BROJ DANA U JUNU SA PADAVINAMA > 10 mm

Novi Sad ‐ Petrovaradin

Godina Broj dana Godina Broj dana

1961 2 1976 5

1962 1 1977 1

1963 1 1978 2

1964 4 1979 3

1965 2 1980 4

1966 1 1981 5

1967 5 1982 3

1968 1 1983 3

1969 6 1984 2

1970 5 1985 3

1971 1 1986 1

1972 4 1987 2

1973 3 1988 2

1974 3 1989 2

1975 2 1990 3

0.00

0.23

0.27

0.23

0.10

0.13

0.03

0.00 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7

frekve

ncije

broj dana sa P > 10

12.10.2015

11


Raspodelaverovatnoćezakontinualnuslučajnupromenljivu

funkcijagustineverovatnoćef(x)

funkcijaraspodeleverovatnoćeF(x)

0

x

x

f x( )

F x( )

F x( )

x

x

1

F(x) = P{X x}

1)(

duuf

x

duufxXPxF )(}{)(


Verovatnoćedogađajazakontinualnuslučajnupromenljivu

x

f x( )

x

0 x

F x( )

F x( )

1 - ( )F x

x

1

P{X > x} = 1 – P{X x} = 1 – F(x)

0

x

x

f x( )

F x( )

F x( )

x

x

1

P{X x} = F(x)

12.10.2015

12


x

f x( )

x2

x2

x1

x10 x

F x( )

F x( )1

F x( )2

F x( ) - 2 F x( )1

1

Verovatnoćedogađajazakontinualnuslučajnupromenljivu

P{x1 < X <x2}=

=1– P{X <x1}– P{X >x2}=

=1– P{X >x2}– P{X <x1}=

=P{X <x2}– P{X <x1}

=F(x2)– F(x1)

P{x1 < X < x2} = F(x2) – F(x1)


Primer raspodeleverovatnoćezakontinualnuslučajnupromenljivu: eksponencijalna raspodela:

xxux

ux

x

eedueduufxXPxF

xexf

1)(}{)(

0,)(

000

000.1050.0085.0233.0632.0

}3{}32{}21{}1{

050.011)3(1}3{

085.0050.0135.0

11)2()3(}32{

233.0135.0368.0

11)1()2(}21{

632.0368.011)1(}1{

3

23

12

1

XPXPXPXP

eFXP

eeFFXP

eeFFXP

eFXP0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

x

f(x

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7

x

F(x

)

12.10.2015

13


Grafičkopredstavljanjeraspodelekontinualneslučajnepromenljive Histogram=dijagramfrekvencija

podelanaklase:približanbrojklasaK =5logn


Primerzakontinualnuslučajnupromenljivu:maksimalnigodišnjiprotocinaSavikodSremskeMitrovice– raspodelaizuzorka n =84;broj klasa:K =5log84=9.6,usvaja seK =10

Klasaod

Klasado

Frekv.ni

Kumul.frekv.Fi =Σni

2600 3000 4 4

3000 3400 10 14

3400 3800 16 30

3800 4200 17 47

4200 4600 12 59

4600 5000 11 70

5000 5400 7 77

5400 5800 4 81

5800 6200 1 82

6200 6600 2 84

apsolutnefrekvencije ni

12.10.2015

14


Primer:maksimalnigodišnjiprotocinaSavikodSremskeMitrovice–raspodelaizuzorka

Klasaod

Klasado

Rel.frekv.ni*=ni/n

Kumul.rel.frekv.Fi* =Fi/n

2600 3000 0.048 0.048

3000 3400 0.119 0.167

3400 3800 0.190 0.357

3800 4200 0.202 0.560

4200 4600 0.143 0.702

4600 5000 0.131 0.833

5000 5400 0.083 0.917

5400 5800 0.048 0.964

5800 6200 0.012 0.976

6200 6600 0.024 1

relativnefrekvencije ni*


Primer:maksimalnigodišnjiprotocinaSavikodSremskeMitrovice–raspodelaizuzorka

Klasaod

Klasado

Gustinafi *=ni*/Δx

Kumul.rel.frekv.Fi* =Fi/n

2600 3000 1.19E‐04 0.048

3000 3400 2.98E‐04 0.167

3400 3800 4.76E‐04 0.357

3800 4200 5.06E‐04 0.560

4200 4600 3.57E‐04 0.702

4600 5000 3.27E‐04 0.833

5000 5400 2.08E‐04 0.917

5400 5800 1.19E‐04 0.964

5800 6200 2.98E‐05 0.976

6200 6600 5.95E‐05 1

gustinaraspodele fi*=ni*/Δx

12.10.2015

15

Osobine raspodela verovatnoće

Momentiraspodele momentiokokoordinatnogpočetka

momentiokosredine

dxxfx r

r )('

dxxfx r

r )()(


Merecentralnetendencije

srednjavrednost težištegustineraspodele:

izuzorka:

medijana (Me)

mod (Mo)– maksimum gustine

dxxfx )('1

n

iix

nx

1

1

5.0)()()(

Me

Me

dxxfdxxfMeF

x

f x( )

Me x

f x( )

0.50.5

Mo

Mo

12.10.2015

16


Mereodstupanjaodsrednjevrednosti disperzija(varijansa):

izuzorka:

standardnadevijacija:

koeficijentvarijacije:

dxxfx )()( 22

2

n

ii xx

nS

1

22 )(1

1

n

ii xx

nS

1

2)(1

1

vCx

Scv

x

malo σ

veliko σ

f(x)


Asimetrijaraspodele

trećimomenat:

koeficijentasimetrije:

izuzorka:

dxxfx )()( 3

3

n

iis xx

Snn

nc

1

33

)(1

)2)(1(

33

sC

x

simetrična raspodela = 0Cs

srednja vrednost = medijana = mod

f x( )

pozitivnaasimetrija

> 0Cs

negativnaasimetrija

< 0Cs

x

Me

Mo

f x( )

12.10.2015

17


Kvantili Kvantil=inverznafunkcijaraspodeleverovatnoće

Medijana =kvantil za p =0.5

Kvartili

)(1 pFxp

0 x

F x( )

xp

p

1

)5.0(15.0

FxMe

)25.0(125.0

Fx

)75.0(175.0

Fx


Primer:Sava– SremskaMitrovica

brojpodataka 84

srednjavrednost 4193

standardnadevijacija 818

koeficijentvarijacije 0.195

koeficijentasimetrije 0.634

x sx sx

gustinaraspodele fi*=ni*/Δx

12.10.2015

18


Primer:Sava– SremskaMitrovica

relativnefrekvencije ni*

brojpodataka 84

srednjavrednost 4193

x0.25 3578

x0.5 =Me 4046

x0.75 4812

x0.25 Me=x0.5 x0.75

Documents

Inženjerska hidrologija PRIMENA VEROVATNOĆE I …hikom.grf.bg.ac.rs/stari-sajt/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/... · nivo vode(vodostaj, akose ne menjakotanulevodomera) zapremine