Universite de Metz Inversion dune matrice 3x3 Departement de Mathematiques

P. Bonneau

Soit A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

. On cherche X = x11 x12 x13x21 x22 x23

x31 x32 x33

, si elle existe, telle que AX = Id.Cest a` dire

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33

= 1 0 00 1 0

0 0 1

cest a` dire

a11x11 + a12x21 + a13x31 a11x12 + a12x22 + a13x32 a11x13 + a12x23 + a13x33a21x11 + a22x21 + a23x31 a21x12 + a22x22 + a23x32 a21x13 + a22x23 + a23x33a31x11 + a32x21 + a33x31 a31x12 + a32x22 + a33x32 a31x13 + a32x23 + a33x33

= 1 0 00 1 0

0 0 1

.Ce qui donne, en egalisant chaque coefficient des deux matrices, 3 syste`mes de 3 equations lineaires a` 3 inconnues : a11x11 + a12x21 + a13x31 = 1a21x11 + a22x21 + a23x31 = 0

a31x11 + a32x21 + a33x31 = 0;

a11x12 + a12x22 + a13x32 = 0a21x12 + a22x22 + a23x32 = 1a31x12 + a32x22 + a33x32 = 0

;

a11x13 + a12x23 + a13x33 = 0a21x13 + a22x23 + a23x33 = 0a31x13 + a32x23 + a33x33 = 1

.

1ier syste`me : inconnues : x11, x21, x31 ; matrice associee : A ; matrice etendue associee :

a11 a12 a13 1a21 a22 a23 0a31 a32 a33 0

2ie`me syste`me : inconnues : x12, x22, x32 ; matrice associee : A ; matrice etendue associee :

a11 a12 a13 0a21 a22 a23 1a31 a32 a33 0

3ie`me syste`me : inconnues : x13, x23, x33 ; matrice associee : A ; matrice etendue associee :

a11 a12 a13 0a21 a22 a23 0a31 a32 a33 1

On pourrait resoudre les 3 syste`mes independament (par la methode de Gauss) et on trouverait bien alors les 9 inconnues

recherchees. Mais puisque ces syste`mes ont tous les 3 la meme matrice, A, on peut en fait traiter les 3 en une seule fois,

toujours par la methode de Gauss, en mettant sous forme echelonnee la partie gauche du tableau suivant mais en repercutant

les operations elementaires necessaires sur les 3 colonnes de droite a` la fois :

a11 a12 a13 1 0 0a21 a22 a23 0 1 0a31 a32 a33 0 0 1

.On obtient alors :

1 0 2 0 0 3

.On a alors A est inversible si et seulement si 3 6= 0 (si et seulement si A est de rang maximal c-a`-d, ici, de rang 3).

Si A nest pas inversible on sarrete, sinon on met A sous forme echelonnee reduite.

On obtient alors

1 0 0 b11 b12 b130 1 0 b21 b22 b230 0 1 b31 b32 b33

. Ce qui signifie que le premier syste`me est devenu 1 0 0 b110 1 0 b21

0 0 1 b31

, cesta` dire x11 = b11, x21 = b21, x31 = b31, le second

1 0 0 b120 1 0 b220 0 1 b32

, cest a` dire x12 = b12, x22 = b22, x32 = b32, letroisie`me

1 0 0 b130 1 0 b230 0 1 b33

, cest a` dire x13 = b13, x23 = b23, x33 = b33.On obtient donc

x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33

= b11 b12 b13b21 b22 b23

b31 b32 b33

, cest a` dire A1 = b11 b12 b13b21 b22 b23

b31 b32 b33

,c. a` d. linverse de A est la partie droite de la grande matrice etendue, une fois mise sous forme echelonnee reduite.