ÍNDICE

Árbol de Expansión Mínima.................................................................................1Solución.......................................................................................................................................................................1

Flujo Máximo..........................................................................................................2Solución.......................................................................................................................................................................3

Ruta Más Corta.......................................................................................................6Solución.......................................................................................................................................................................6

Ruta Crítica.............................................................................................................8Solución:..................................................................................................................................................................... 9Tiempos más tempranos....................................................................................................................................9Tiempos más tardíos.........................................................................................................................................10

Bibliografía............................................................................................................13

Árbol de Expansión Mínima

El campus de la universidad estatal tiene cinco microcomputadoras. La distancia entre cada par de computadoras (en cuadras de la ciudad) se dan en la siguiente figura. Las computadoras deben estar interconectadas mediante un cable subterráneo. ¿Cuál es la longitud mínima de cable requerido? Observe que si no se traza ningún arco que conecte un par de nodos, esto significa que (debido a las formaciones rocosas subterráneas) no se puede tener un cable entre estas dos computadoras.

Distancias entre las computadoras de la universidad estatal.

Solución

Se desea encontrar el árbol de expansión mínima para la figura.

Iteración 1. Siguiendo el algoritmo MST, se elige sin ninguna razón en particular comenzar en el nodo 1. El nodo más cercano al nodo 1 es el nodo 2. Ahora C={1 ,2 },C '={3 ,4 ,5 } y el arco (1, 2) será el árbol de expansión mínima (ver figura c Iteración 3).

Iteración 2. El nodo 5 es el más cercano (dos cuadras de distancia) a C. Debido a que el nodo 5 está a dos cuadras del nodo 1 y del nodo 2, se podría incluir el arco (2, 5) o el arco (1,5) en el árbol de expansión mínima. Se elige de manera arbitraria incluir el arco (2, 5). Entonces C={1 ,2,5 } yC '= {3 ,4 } (véase figura d Iteración 4).

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Iteración 3. El nodo 3 está a dos cuadras del nodo 5, así que se podría incluir el arco (5, 3) en el árbol de expansión mínima. Ahora C={1 ,2,3 ,5 } yC '=4 (véase figura c Iteración 3).

Algoritmo MST para éste ejemplo.

Iteración 4. El nodo 5 es el más próximo al nodo 4, así que se agrega el arco (5, 4) al árbol de expansión mínima (véase figura d Iteración 4).

Algoritmo MST para éste ejemplo.

Ahora se tiene el árbol de expansión mínima que consta delos arcos (1, 2), (2, 5), (5, 3) y (5, 4). La longitud del árbol de expansión mínima es 1+2+2+4 = 9 cuadras.

Flujo Máximo

Una refinería desea enviar la máxima cantidad posible de petróleo (por hora) a través de un sistema de tuberías desde el nodo So al nodo Si de la siguiente figura. El petróleo debe pasar a través de una o varias estaciones (1, 2, o 3).Los arcos representan tuberías de distintos diámetros. El número máximo de

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barriles de petróleo (millones de barriles por hora) que pueden ser bombeados a través de cada arco se indican en la figura. Formule un modelo de LP que determine el número máximo de barriles que pueden ser enviados a través del sistema de tuberías.

Solución

Como S0 es un nodo fuente, de él no puede salir flujo. Como Si, es un destino, sólo se puede recibir flujo. Para formular el modelo emplearemos variables:

X ij= cantidad de barriles enviados a través del arco (i, j)

El flujo en cada arco debe satisfacer la restricción:

0≤ flujo por el arco≤ capacidad del arco

En cada nodo se debe satisfacer que:

Flujo entrante al nodo i = flujo saliente del nodo i

Asumiendo que es x0 el flujo a través de la red, la función objetivo será entonces maximizar x0. Luego, el modelo completo queda:

Una solución óptima para el problema de LP es z=3, xS0 , 1=2 , x13=1 ,

x12=1 , xS0 ,2=1 , x3 , Si

=2 y x0=3 .

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Para comprender de mejor forma el funcionamiento del algoritmo gráfico para determinar el flujo máximo consideremos un camino en la malla que vaya desde el nodo S0 al nodo Si, por ejemplo el camino S0−1−2−S i. Se dice que la cantidad de flujo a lo largo de dicho recorrido es factible si:

1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino.2. Los nodos intermedios satisfacen que el flujo entrante a cada nodo sea

igual al saliente.

De las condiciones anteriores se desprende que la capacidad máxima que puede fluir desde la fuente al destino a través de un camino es igual o menor a las capacidades de los arcos de dicho camino. Por ejemplo, en el camino S0−1−2−S i, si el arco de mínima capacidad es el (S0 ,1) o el (2 , S i), por lo tanto la capacidad máxima del camino es 2.

Para aplicar el algoritmo gráfico es más conveniente emplear la notación de la siguiente figura. En lugar de emplear flechas en los arcos, la ubicación de los números determinan el sentido del flujo.

El algoritmo de flujo máximo considera sucesivamente varios flujos de prueba. El algoritmo revisará los flujos de prueba con el objeto de incrementar el flujo total a lo largo de la red. Para ello, emplearemos las siguientes reglas en cada arco:

1. Se reduce la capacidad en la dirección del flujo asignado en la cantidad del flujo.

2. Se aumenta la capacidad en sentido opuesto en la cantidad del flujo.

A modo de ejemplo, consideremos el arco (1; 2) de la malla. Este arco posee una capacidad de 3 en el sentido hacia la derecha, y 0 en el sentido inverso.

De acuerdo a las reglas anterior, al asignar 2 unidades de flujo a este arco se debe actualizar la capacidad del arco. En esta situación, se ha disminuido en 2 unidades la capacidad de flujo del arco en la dirección 1 → 2 y se ha aumentado la capacidad en 2 unidades en la dirección 2 → 1. La capacidad en la dirección 2 → 1 es ficticia pues cualquier flujo futuro que se asigne en la dirección 2 → 1 simplemente cancelaría parte del flujo 1 → 2 ya asignado.

Luego, se pueden definir los pasos de aplicación del algoritmo gráfico:

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Paso 1 Encontrar cualquier camino de la fuente al destino que tenga capacidad de flujo positiva. Es decir, considerando todos los arcos del recorrido, la mínima de las capacidades en la dirección del flujo (fuente → destino) debe ser positiva. Si no existen dichos caminos, se ha encontrado el óptimo.

Paso 2 Sea cmin la capacidad mínima de flujo entre todos los arcos seleccionados en el Paso 1. Se aumenta el flujo existente a través de la red al enviar un flujo adicional de cmin sobre este camino.

Paso 3 Por este mismo camino se debe disminuir las capacidades en la dirección del flujo en cada arco en cmin. Además, se debe aumentar la capacidad en la dirección opuesta en cmin para todos los arcos del camino.

A continuación podemos aplicar el algoritmo. Si se escoge arbitrariamente el camino S0−1−2−S i el valor de cmin es 2. Luego, incorporamos dos unidades de flujo y actualizamos los arcos de la red.

Buscando un camino con capacidad de flujo positiva, sólo se encuentra la secuencia S0−1−2−S i . En este caso el valor de cmin es 1. Luego, incorporamos una unidad de flujo y actualizamos los arcos de la red.

No existen otros caminos con capacidad positiva, por lo que se ha encontrado el óptimo. Luego, el flujo máximo es de 3 millones de barriles por hora. El flujo neto en cada arco se obtiene de la diferencia entre la capacidad inicial y la capacidad final en cada arco.

Uno de los resultados más importantes de la teoría de redes se relaciona con el problema de flujo máximo. El resultado, llamado teorema del flujo máximo -

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corte mínimo. Un corte es una partición del conjunto de nodos en dos clases ajenas, sean C1 y Cn. La fuente está en C1 y el destino en Cn. Considere todos los arcos que conectan directamente un nodo de C1 a un nodo de Cn. La suma de las capacidades de esos arcos, en la dirección C1−Cn se llama capacidad de corte.

En el siguiente cuadro muestran los distintos cortes posibles para el ejercicio y su respectiva capacidad.

Ruta Más Corta

Determine la distancia mínima desde el nodo 1 a cada nodo de la malla.

SoluciónSi aplicamos el método a este ejemplo se debe resolver primero los nodos 2 y 3, inmediatos al nodo 1

A continuación, podemos marcar como conectado al nodo 3, pues la mínima distancia al nodo 1 es la etiqueta actual. Volvemos a calcular la etiqueta del nodo 2 y cambiamos también la etiqueta del nodo 5.

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Luego, podemos marcar como permanente la etiqueta del nodo 2 y calcular las etiquetas de los nodos 4 y 5.

A continuación, se puede marcar como definitiva la etiqueta del nodo 5 y recalcular las etiquetas de los nodos 4 y 6.

De acuerdo a las distancias calculadas, podemos marcar como definitiva la etiqueta del nodo 6 y recalcular la etiqueta del nodo 7.

Luego, la mínima distancia está asociada al nodo 4. Marcamos como asignado dicho nodo y se analiza si conviene cambiar la etiqueta del nodo 7. En este caso, la distancia al último nodo conectado es mayor a la etiqueta temporal, por lo que no se modifica.

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De acuerdo al grafo obtenido, los caminos desde el nodo 1 se resumen en la siguiente tabla.

Ruta Crítica

Una cadena de fast-food desea adquirir un nuevo ordenador que la permita llevar su contabilidad y realizar el control de inventarios. Una empresa de ordenadores presenta al Director de Marketing la siguiente información junto con el correspondiente grafo del proyecto:

ActividadTiempos (*)

Optimista(a)

Probable(m)

Pesimista(b)

(A) Selección de modelo(B) Sistema de entrada/salida(C) Diseño del sistema(D) Montaje(E) Programas(F) Rutinas entrada/salida(G) Bases de datos(H) Instalación(I) Test

454

15108416

67820189827

815122528161238

(*) Tiempos expresados en días.

Red del proyecto:

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Se desea determinar:

- Camino crítico y duración esperada del proyecto.

- Determinar la probabilidad de finalizar el proyecto en 55 días.

Solución:

Determinamos los tiempos esperados de cada actividad y su variancia

t e ( A )=4+4 ∙6+86

=366

=6

Var (A )= (8−4 )2

36= 49

continuando el proceso con todas las actividades se obtiene:

ActividadTiempos

Optimista(a)

Probable(m)

Pesimista(b)

Esperado(te)

Variancia(Var)

Holgura(Ht)

(A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)(H)(I)

45415108416

67820189827

815122528161238

688

201810827

4/925/916/925/964/916/916/91/91/9

00144014040

Se determinan los tiempos más tempranos y tardíos de cada suceso, así como la holgura total de cada actividad.

Tiempos más tempranos

Partiendo del nudo inicial y considerando para este nudo el rigen de tiempos.

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T e (1 )=0

T e (2 )=T e (1 )+t e ( A )=0+6=6

T e (3 )=Te (2 )+ te (B )=6+8=14

T e (4 )=T e (2 )+t e (C )=6+8=14

T e (5 )=T e (3 )+ te (E )=14+18=32

T e (6 )=max [T e (3 )+t e (D ) , Te (4 )+ te (F ) ]=max [14+20 ,14+18 ]=¿

¿max [34 ,32 ]=34

T e (7 )=max [T e (5 )+t e (G ) ,T e (6 )+t e (H ) ]=max [32+8 ,34+2 ]=¿

¿max [40 ,36 ]=40

T e (8 )=Te (7 )+t e ( I )=40+7=47

Tiempos más tardíos

Partiendo del nudo final y haciendo coincidir en este nudo el tiempo más tardío con el más temprano.

T 1 (8 )=47

T 1 (7 )=T1 (8 )−te (I )=47−7=40

T 1 (6 )=T 1 (7 )−te (H )=40−2=38

T 1 (5 )=T1 (7 )−t e (G )=40−8=32

T 1 (4 )=T 1 (6 )−t e (F )=38−10=28

T 1 (3 )=min [T1 (5 )−t e (E ) , T 1 (6 )+ te (D ) ]=min [32−18 ,38−20 ]=¿

¿min [14 ,18 ]=14

T 1 (2 )=min [T 1 (3 )−t e (B ) ,T 1 (4 )+ te (C ) ]=min [14−8 ,28−8 ]=¿

¿min [6 ,20 ]=6

T 1 (1 )=T 1 (2 )−t e ( A )=6−6=0

Las holguras totales de cada actividad serán:

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H t ( A )=T1 (2 )−T e (1 )−te (A )=6−0−6=0

H t (B )=T 1 (3 )−T e (2 )−t e (B )=14−6−8=0

H t (C )=T 1 (4 )−Te (2 )−t e (C )=28−6−8=14

H t (D )=T1 (6 )−T e (3 )−t e (D )=38−14−20=4

H t (E )=T1 (5 )−T e (3 )−t e (E )=32−14−18=0

H t (F )=T 1 (6 )−T e (4 )−t e (F )=38−14−10=14

H t (G )=T 1 (7 )−T e (5 )−t e (G )=40−32−8=0

H t (H )=T1 (7 )−T e (6 )−t e (H )=40−34−2=4

H t ( I )=T 1 (8 )−T e (7 )−te (I )=47−40−7=0

El camino crítico es el 1-2-3-5-7-8, formado por las actividades A, B, E, G e I con holgura total cero.

La longitud de este camino, suma de las duraciones esperadas de todas las actividades que lo componen es:

t e (T )=6+8+18+8+7=47 días

su variancia

Var (T )=49+ 259

+ 549

+ 169

+ 19+ 1109

y su distribución N(47; 3.496)

La probabilidad de terminar en 55 días o menos será:

P (E≤55 )=0.98894

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Bibliografía

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, Aplicaciones y Algoritmos (cuarta edición); Winston, L. Wayne; Thomson Learning; México; 2005; pp. 457, 458.

EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES; Félix Alonso Gomollón; ESIC Editorial; Madrid, España, 1996 ;pp. 169-173.

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES EN LA CIENCIA ADMINISTRATIVA; Eppen, G. D.; Prentice-Hall; México; 2000

http://www.inf.utfsm.cl/~esaez/fio/s1_2004/apuntes/grafos_s1_2004.pdf

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