TD3, Exo 3

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

Module complémentaire de maths, année 2012

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A1) :

x + y + z =23x + 2y =2

x + 4y + 3z=1

Matrice associée : A1 =

1 1 13 2 01 4 3

det(A1) = 7

Inverse : A−11 =

6/7 1/7 −2/7−9/7 2/7 3/710/7 −3/7 −1/7

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A1) :

x + y + z =23x + 2y =2

x + 4y + 3z=1

Matrice associée : A1 =

1 1 13 2 01 4 3

det(A1) = 7

Inverse : A−11 =

6/7 1/7 −2/7−9/7 2/7 3/710/7 −3/7 −1/7

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A1) :

x + y + z =23x + 2y =2

x + 4y + 3z=1

Matrice associée : A1 =

1 1 13 2 01 4 3

det(A1) = 7

Inverse : A−11 =

6/7 1/7 −2/7−9/7 2/7 3/710/7 −3/7 −1/7

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A1) :

x + y + z =23x + 2y =2

x + 4y + 3z=1

Matrice associée : A1 =

1 1 13 2 01 4 3

det(A1) = 7

Inverse : A−11 =

6/7 1/7 −2/7−9/7 2/7 3/710/7 −3/7 −1/7

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

RemarqueOn peut alors résoudre facilement le système initial.

La solution de (A1) est :xyz

= A−11

221

=

6/7 1/7 −2/7−9/7 2/7 3/710/7 −3/7 −1/7

221

=

12/7−11/713/7

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A2) :

{2x + y =3

4x + 2y=3(A′2) :

{2x + y =3

4x + 2y=6

Matrice associée : A2 =

(2 14 2

)det(A2) = 0Matrice non inversible

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A2) :

{2x + y =3

4x + 2y=3(A′2) :

{2x + y =3

4x + 2y=6

Matrice associée : A2 =

(2 14 2

)det(A2) = 0Matrice non inversible

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A2) :

{2x + y =3

4x + 2y=3(A′2) :

{2x + y =3

4x + 2y=6

Matrice associée : A2 =

(2 14 2

)det(A2) = 0Matrice non inversible

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A2) :

{2x + y =3

4x + 2y=3(A′2) :

{2x + y =3

4x + 2y=6

Matrice associée : A2 =

(2 14 2

)det(A2) = 0Matrice non inversible

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A3) :

10x + 4y + 10z=4200

2x + y + z = 80010x + 6y + 12z=5000

Matrice associée : A3 =

10 4 102 1 1

10 6 12

det(A3) = 24

Inverse : A−13 =

1/4 1/2 −1/4−7/2 5/6 5/121/12 −5/6 1/12

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A3) :

10x + 4y + 10z=4200

2x + y + z = 80010x + 6y + 12z=5000

Matrice associée : A3 =

10 4 102 1 110 6 12

det(A3) = 24

Inverse : A−13 =

1/4 1/2 −1/4−7/2 5/6 5/121/12 −5/6 1/12

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A3) :

10x + 4y + 10z=4200

2x + y + z = 80010x + 6y + 12z=5000

Matrice associée : A3 =

10 4 102 1 110 6 12

det(A3) = 24

Inverse : A−13 =

1/4 1/2 −1/4−7/2 5/6 5/121/12 −5/6 1/12

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A3) :

10x + 4y + 10z=4200

2x + y + z = 80010x + 6y + 12z=5000

Matrice associée : A3 =

10 4 102 1 110 6 12

det(A3) = 24

Inverse : A−13 =

1/4 1/2 −1/4−7/2 5/6 5/121/12 −5/6 1/12

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A4) :

x + 3y + 2z = −12x − y + z = 6

3x + 2y + z = 1

Matrice associée : A4 =

1 3 22 −1 13 2 1

det(A4) = 14

Inverse : A−14 =

−3/14 1/14 5/41/14 −5/14 3/141/2 1/2 −1/2

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A4) :

x + 3y + 2z = −12x − y + z = 6

3x + 2y + z = 1

Matrice associée : A4 =

1 3 22 −1 13 2 1

det(A4) = 14

Inverse : A−14 =

−3/14 1/14 5/41/14 −5/14 3/141/2 1/2 −1/2

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A4) :

x + 3y + 2z = −12x − y + z = 6

3x + 2y + z = 1

Matrice associée : A4 =

1 3 22 −1 13 2 1

det(A4) = 14

Inverse : A−14 =

−3/14 1/14 5/41/14 −5/14 3/141/2 1/2 −1/2

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A4) :

x + 3y + 2z = −12x − y + z = 6

3x + 2y + z = 1

Matrice associée : A4 =

1 3 22 −1 13 2 1

det(A4) = 14

Inverse : A−14 =

−3/14 1/14 5/41/14 −5/14 3/141/2 1/2 −1/2

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A5) :

x − y + z = −5

x − 2y − z = −3x − 3y − 3z = −1

Matrice associée : A5 =

1 −1 11 −2 −11 −3 −3

det(A5) = 0Matice non inversible.

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A5) :

x − y + z = −5

x − 2y − z = −3x − 3y − 3z = −1

Matrice associée : A5 =

1 −1 11 −2 −11 −3 −3

det(A5) = 0Matice non inversible.

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A5) :

x − y + z = −5

x − 2y − z = −3x − 3y − 3z = −1

Matrice associée : A5 =

1 −1 11 −2 −11 −3 −3

det(A5) = 0Matice non inversible.

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A5) :

x − y + z = −5

x − 2y − z = −3x − 3y − 3z = −1

Matrice associée : A5 =

1 −1 11 −2 −11 −3 −3

det(A5) = 0Matice non inversible.

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A6) :

x − 2y + z = 4

2x − 4y + 2z = 812x − y + 1

2z = 2

Matrice associée : A6 =

1 −2 12 −4 2

1/2 −1 1/2

det(A6) = 0Matrice non inversible.

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A6) :

x − 2y + z = 4

2x − 4y + 2z = 812x − y + 1

2z = 2

Matrice associée : A6 =

1 −2 12 −4 2

1/2 −1 1/2

det(A6) = 0Matrice non inversible.

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A6) :

x − 2y + z = 4

2x − 4y + 2z = 812x − y + 1

2z = 2

Matrice associée : A6 =

1 −2 12 −4 2

1/2 −1 1/2

det(A6) = 0Matrice non inversible.

Inversion des matrices, Exo 3, TD3

TD3, Exo 3

Système A1Systèmes A2 et A′

2Systèmes A3Systèmes A4Systèmes A5Systèmes A6

(A6) :

x − 2y + z = 4

2x − 4y + 2z = 812x − y + 1

2z = 2

Matrice associée : A6 =

1 −2 12 −4 2

1/2 −1 1/2

det(A6) = 0Matrice non inversible.

Inversion des matrices, Exo 3, TD3