Introduzione all’Elettrotecnica e

RETI IN REGIME STAZIONARIO

Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai

Tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici A. A. 2001/ 2002 e 2002/2003

Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari

(ultimo aggiornamento 03/10/2008)

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Introduzione al corso di Elettrotecnica Temi principali dell’elettrotecnica pag. 2 Teoria dei campi pag. 5 Teoria dei circuiti pag. 6 Approccio circuitale pag. 10 Equazioni di Maxwell pag. 13 Proprietà generali dei circuiti e dei componenti pag. 21

Reti in regime stazionario Generalità sulle correnti elettriche: principio di conservazione della carica. pag. 1Corrente elettrica nel mezzo. pag. 4Elementi di rete: n-poli, bi-poli e caratteristica. pag. 10Bipoli: inerte, passivo, attivo, lineare, non-lineare pag. 12Bipoli fondamentali: resistore. Legge di Joule. pag. 15Resistività e conducibilità: variazione della resistività con la temperatura. pag. 17Legge di Ohm pag. 21Bipolo corto circuito pag. 25Bipolo circuito aperto pag. 26Condensatore e induttore pag. 27 Generatori ideali indipendenti di tensione e di corrente pag. 28Assurdi fisici: bipolo su base corrente, bipolo su base tensione pag. 29Generatori collegati in serie e in parallelo pag. 32Generatori dipendenti di tensione e di corrente pag. 33Convenzione di segno dei bipoli pag. 36Generatore reali indipendenti di tensione pag. 39Generatore reali indipendenti di corrente pag. 40Generatore reale di tensione: caratteristica di funzionamento e punto di funzionamento, rendimento, condizioni di massimo trasferimento di potenza. pag. 41Circuiti con correnti deboli e circuiti con correnti forti pag. 45Esempi di circuiti con correnti deboli pag. 46Esempi di circuiti con correnti forti pag. 46

Teoremi

Nozioni topologiche del grafo associato ad una rete elettrica pag. 45 Principi di Kirchhhoff pag. 48 Principio di sovrapposizione degli effetti pag. 51 Bipoli equivalenti pag. 52Resistenza equivalente a più resistori collegati in serie e in parallelo pag. 53Partitore di tensione e di corrente pag. 56Resistori collegati a stella e a triangolo pag. 58Teorema di Thevenin pag. 61Teorema di Norton pag. 65Dualità delle reti lineari pag. 67Teorema di Millmann pag. 68Metodi delle correnti di maglia pag. 72Metodi dei potenziali di nodo pag. 75

Doppi bipoli

Doppi bipoli pag. 79Matrice resistenza descrittiva del doppio bipolo: R pag. 80Matrice conduttanza descrittiva del doppio bipolo: G pag. 85Matrice di trasmissione descrittiva del doppio bipolo: T pag. 90

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Matrice di trasmissione inversa descrittiva del doppio bipolo: T-1 pag. 91Potenza assorbita da un doppio bipolo resistivo pag. 92Rete bi-porta attiva pag. 94

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Introduzione al corso di

ELETTROTECNICA

per i Corsi di Laurea Ingegneria Meccanica, Chimica e Biomedica

L’Elettrotecnica studia le applicazioni tecniche inerenti la produzione, la distribuzione e l'utilizzazione dell'energia elettrica. Il campo di studio dell’elettricità è molto vasto e si enormemente dilatato negli anni.

Le discipline e i campi di applicazione fondamentali

dell’ingegneria elettrica ed elettronica sono: • Analisi di reti • Campi elettromagnetici • Fisica dei semiconduttori • Elettrodinamica o studio delle Macchine Elettriche • Sistemi elettrici per l’energia • Elettronica analogica • Elettronica digitale • Informatica • Comunicazione elettriche • Elettro-ottica • Misure elettriche • Automatica

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Lo studio della elettrotecnica e in generale dei sistemi

elettrici é condotto attraverso modelli complessi applicando la teoria dei campi i cui temi principali sono:

Elettrostatica: campi dovuti a cariche fisse e costanti nel tempo.

Campi di corrente: campi dovuti a cariche in movimento.

Campi magnetici: campi dovuti alle proprietà magnetiche della materia ed ai campi indotti.

Elettromagnetismo: fenomeni dovuti alle interazioni tra campo di corrente e campo magnetico

Elettrodinamica: studio del funzionamento delle macchine elettriche.

Le applicazioni particolari sono innumerevoli: illuminotecnica, elettroterapia, elettroacustica,

elettronica (circuiti con correnti deboli di bassa potenza), etc. etc.

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La teoria elettromagnetica è indispensabile per comprendere i principi degli: •Atom smashers or particle accelerators (subatomic particles), •Oscilloscopi a raggi catodici, •Radar, •Comunicazione satellitare, •Ricezione televisiva, •Telerilevamento, •Radio astronomia, •Dispositivi a microonde, •Comunicazione con fibre ottiche, •Transitori nelle linee di trasmissione, •Problemi di compatibilità elettromagnetica, •Sistemi di atterraggio strumentale per la guida del pilota in casi di visibilità limitata, •Conversione della energia elettromeccanica e così via.

In certe condizioni, i campi elettromagnetici tempo dipendenti, producono onde che si irradiano dalla sorgente, consentendo un trasferimento di energia dalla regione di spazio in cui si verifica la variazione iniziale di un campo elettrico o magnetico. La variazione originaria di uno dei due campi che si riproducono vicendevolmente, si estende così a tutto lo spazio.

I concetti di campi e onde sono essenziali nella spiegazione di azioni a distanza.

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La teoria dei campi utilizza:

• parametri distribuiti: dp definibili per ogni elemento infinitesimo della struttura fisica in esame e

• grandezze puntuali o locali: G=(x,y,z,t) che, nella

regione spaziale nella quale sono definite, variano da punto a punto ( coordinate x,y,z) e in ciascun punto variano nel tempo t.

Si ricorda che, considerata una regione spaziale di volume V, una grandezza definibile in questo volume è una grandezza di campo se può essere definita in ogni punto del volume V in funzione della sua posizione (x,y,z) e del tempo t.

Un’analisi puntuale per lo studio dell'elettrotecnica presuppone l'impostazione di problemi in termini di grandezza di campo.

Tale teoria porta alla definizione di sistemi di

equazioni integro-differenziali, di non facile risoluzione per strutture semplici con proprietà di simmetria e talvolta non risolvibili analiticamente per strutture di forma qualsiasi.

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Oggi, grazie alla divulgazione dei computer potenti, in grado di eseguire calcoli con una grossa mole di dati, si possono utilizzare i metodi numerici:

metodo agli elementi finiti e metodo alle differenze finite,

che forniscono soluzioni approssimate accettabili con notevole risparmio di tempo.

Molti sistemi elettrici possono essere risolti mediante la teoria dei circuiti o teoria circuitale utilizzando:

• parametri concentrati • grandezze globali e

La teoria circuitale, che presenta molti campi di applicazione, porta alla definizione dei sistemi di equazioni risolutive di tipo algebrico, più semplici da risolvere.

Questo metodo consente di ottenere risultati con approssimazioni accettabili, se la dimensione maggiore dell'elemento fisico Dmax in studio, è molto più piccola della lunghezza d'onda λ corrispondente alla frequenza massima di funzionamento delle grandezze elettriche in studio:

Dmax < λ con

periodo T frequenza f

studioin mezzo nel ondadell' nepropagazio di velocitàvT*vv/fλ ==

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In particolare nel caso del regime sinusoidale si

definisce lunghezza d’onda, la distanza che intercorre lungo una linea tra due massimi successivi della tensione o della corrente, in relazione alla frequenza. Si comprende come le onde si trasmettano con lunghezza d’onda diverse al variare della frequenza del segnale trasmesso. Alle alte frequenze corrispondono piccole lunghezze d’onda e viceversa.

La validità dello studio dei circuiti nell'ipotesi di variabili concentrate è legata al tempo impiegato dal campo elettromagnetico per spostarsi da un punto all'altro della regione d’interesse.

Tale tempo deve essere trascurabile se confrontato con l'entità delle variazioni temporali delle grandezze elettriche in studio. Sulla base di queste considerazioni il concetto di circuito rappresenta una versione restrittiva o un caso particolare del concetto di elettromagnetismo. In generale si può affermare che la teoria circuitale tratta i sistemi a parametri concentrati e la teoria elettromagnetica tratta i sistemi a parametri distribuiti.

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Se fmax è la frequenza massima si definisce il tempo minimo di variazione della grandezza elettrica:

maxf21

mint =

che rappresenta il tempo minimo di variazione della

grandezza elettrica.

Indicato con cLt ≤ il tempo impiegato dal campo

elettromagnetico per propagarsi da un punto all’altro del circuito con:

L = dimensione massima della regione di interesse c = velocità di propagazione nello spazio libero

−⋅=

−⋅=

=

mF12108.856oε

mH7104πoµ

essendo oεoµ

1c

dovrà essere mintt << e quindi:

1maxfcL 2

max2f1

cL

<<⇒<<

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Per esempio:

f∆ L

maxfcL2

Riproduzione sonora

<20 kHz 1 m 1.3*10-4

Microonde >1 GHz 0.10 m 0.66 Nel primo caso l’ipotesi di “costanti concentrate” è

accettabile perché 1.3*10-4<<1, mentre nel secondo caso non lo è, perché 0.66 è prossimo all’unità.

La metodologia circuitale è stata sviluppata anche per

circuiti che contengono un elevato numero di elementi grazie alla larga diffusione di computer sempre più efficienti e potenti.

I modelli semplificati utilizzano reti elettriche costituite

da un insieme di elementi idealizzati interconnessi fra loro.

Gli elementi ideali noti si ottengono attraverso un’approssimazione delle proprietà degli oggetti reali.

Un’importante semplificazione consiste nel poter considerare un elemento concentrato, ossia di dimensioni fisiche trascurabili e non distribuito come lo è in realtà.

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Quando questo non è verificato, occorre utilizzare il

concetto di elemento distribuito definendo le sue caratteristiche per ogni tratto di lunghezza infinitesima dl.

Per studiare le complessità dei fenomeni naturali

dell’elettrotecnica si cerca di utilizzare procedimenti e modelli che siano nello stesso tempo:

• sufficientemente generali • semplici • accurati.

Sulla base di queste finalità, si suddivide il problema di interesse in subproblemi parziali, che vengono risolti attraverso un approccio circuitale.

L'approccio circuitale prevede la riduzione della

struttura fisica ad una connessione di elementi idealizzati di pochi tipi. In tale approccio sono presenti due nozioni fondamentali:

• la connessione definita tramite un grafico (grafo)

• le relazioni costitutive degli elementi componenti.

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L’approccio circuitale consente di definire modelli matematici più semplici, utilizzabili anche in altri campi della fisica, per determinare nozioni e proprietà attraverso le analogie esistenti nei diversi sistemi fisici:

• sistema elettrico • sistema termico • sistema idraulico • sistema meccanico.

L’applicazione della teoria circuitale a una struttura fisica è valida solo se le relazioni differenziali esistenti tra le grandezze fisiche possono essere sostituiti da relazioni algebriche.

Quando tale sostituzione comporta approssimazioni non accettabili, occorre ricorrere all'approccio alternativo della teoria dei campi.

Tale necessità può riguardare tutte e tre le dimensioni o una o due dimensioni soltanto e il tempo.

La generalità dell'approccio permette di modellare anche strutture non fisiche, quali per esempio l'elaborazione dei segnali, quando si utilizzano i circuiti digitali.

Tale approccio è particolarmente utile per l'ingegnere perché consente di riversare le esperienze maturate in un ambito specifico della sua specializzazione anche in altri contesti.

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I circuiti sono costituiti da elementi a parametri concentrati come le resistenze, le induttanze e le capacità e le tensioni e le correnti sono le variabili principali del sistema. Nei circuiti in corrente continua (cc) le variabili del sistema sono costanti e sono determinabili con equazioni algebriche. Nei circuiti in corrente alternata (ac) le variabili del sistema sono tempo dipendenti: esse sono quantità scalari e indipendenti dalle coordinate spaziali e le equazioni risolutive sono equazioni differenziali ordinarie. Nel caso di correnti alternate sinusoidali, la gran parte di queste variabili sono definite utilizzando grandezze vettoriali o più propriamente fasori. I vettori e la loro trattazione richiedono la conoscenza dell’algebra e del calcolo vettoriale. La maggior parte delle variabili introdotte nella teoria elettromagnetica sono funzioni del tempo e delle coordinate spaziali e le equazioni risolutive sono generalmente equazioni alle derivate parziali. La finalità della teoria dell’elettromagnetismo consiste nel saper creare e trattare un modello elettromagnetico e le relative formule di risoluzione.

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Equazioni di Maxwell

Le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo sono espresse dalle Equazioni di Maxwell, che descrivono analiticamente come: ogni variazione del campo elettrico (o magnetico) nello spazio

presuppone

l’esistenza o la variazione nel tempo, di un campo magnetico (o elettrico) nello stesso punto.

Le Equazioni di Maxwell, corredate dalle equazioni di continuità e dalle relazioni costitutive consentono di studiare e risolvere problemi inerenti i campi, di qualunque natura essi siano. La risoluzione analitica di tale modello matematico presenta notevoli difficoltà per la complessità, entità dei calcoli e difficoltà di risoluzione.

Attualmente si tende a risolvere tali problemi con metodi numerici, mediante efficienti e accurati codici di calcolo commerciali (Maxwell, Ansys, FEM e altri).

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Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere descritto mediante le seguenti

Equazioni di Maxwell

Forma differenziale vettoriale Forma integrale vettoriale Legge di Faraday

Legge di Ampere

Legge di Gauss

tδB δE −=×∇

t ddld

C

E Φ−=⋅∫

tδD δJH +=×∇ ∫ ∫ ⋅

∂∂

+=⋅

C S

sdtDIldH

ρ=⋅∇ D Qsd

S

D =⋅∫0B =⋅∇ 0sd

S

B =⋅∫

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Le grandezze vettoriali basilari per lo studio dei campi

E

Campo elettrico

[V/m]

B

Induzione magnetica

[T] ≡[Wb/m2]

H

Campo magnetico

[A/m]

D

Spostamento elettrico

[C/m2]

J

Densità di corrente

[A/m2]

Tali grandezze sono grandezze puntuali ed esprimibili vettorialmente.

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Tali grandezze vettoriali sono inoltre legate tra loro dalle seguenti equazioni costitutive del mezzo, determinate dalle proprietà del mezzo della regione spaziale in cui si manifestano i campi:

permettività [F/m]

permeabilità magnetica [H/m]

conducibilità elettrica [S/m]

densità volumica [C/m3]

ED ε=

HB µ=

EJ γ=

ε

µ

γ

ρ

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I termini standard usati per descrivere la natura dei materiali relativi a diverse caratteristiche fisiche sono: mezzo omogeneo: se le caratteristiche non dipendono dalla posizione; mezzo anisotropo: se le caratteristiche non dipendono dalla direzione dei vettori del campo (diversi cristalli, gas ionizzati ferriti); mezzo lineare: se le relazioni fra le grandezze fisiche sono indipendenti dal loro valore e mezzo con caratteristiche variabili nel tempo. ε = εo εr è la permettività assoluta ossia la costante di proporzionalità fra la densità di flusso elettrico D e l’intensità del campo elettrico E nel vuoto:

D oE ε= con: εr permettività relativa e εo permettività nel vuoto. µ= µo µr è la permeabilità magnetica assoluta ossia la costante di proporzionalità fra la densità di flusso magnetico B e l’intensità del campo magnetico H nel vuoto:

oBo

1Hµ

=

con: µ r permeabilità relativa e µ 0 permeabilità nel vuoto.

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Nel modello elettromagnetico ci sono tre costanti universali: εo µo e c dove c è la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche (compresa la luce):

[ ] [ ]s/m8103s/m 458.792.299oo

1c ×≅==µε

e i valori di εo e di µo sono: • definiti dalla scelta del sistema di unità di misura e • non sono indipendenti. Nel Sistema Internazionale (SI):

[ ]

[ ] [ ]m/F1210854.8m/F91036

1

o2c

1o

m/H7104o−×≅−×≅=

−×=

πµε

πµ

I postulati e le leggi sono basati su numerose osservazioni sperimentali acquisite in condizioni controllate e efficacemente sintetizzate. Le grandezze del modello matematico possono essere suddivise grossolanamente in due categorie: •Le grandezze sorgenti ( cariche elettriche invariabili: fisse o in movimento) e •Le grandezze del campo generato dalle sorgenti. La carica elettrica si indica con la lettera q o Q.

Essa è una proprietà fondamentale della materia ed esiste come multiplo positivo o negativo della carica elettrica elementare di un elettrone –e Il principio della conservazione della carica è un postulato o legge fondamentale della fisica che stabilisce

[C] 191060.1e −×=

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che la carica elettrica è conservativa cioè, non può essere ne creata ne distrutta. Tale principio deve essere soddisfatto sempre e in qualunque circostanza ed è rappresentato matematicamente attraverso l’equazione di continuità:

∂∂

−=⋅∇ 3m/At

J ρ

che per correnti stazionarie, diventa:

.0J =⋅∇ Il primo principio di Kirchhoff della teoria circuitale afferma la proprietà di conservazione della carica elettrica ossia, non c’è accumulo di cariche in una connessione.

Si definisce densità di carica volumica ρ:

dove q∇ è la quantità di carica in un volume molto piccolo ∆v.

]3[C/m ∆v∆q

0∆vlimρ→

=

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In alcune situazioni fisiche una quantità di carica ∆q può essere identificata con un elemento di superficie s o di linea l , in questi casi si definisce la densità di carica superficiale ρs :

o la densità di carica lineare ρl :

Le densità di carica definite variano generalmente da punto a punto con le coordinate spaziali. La corrente I è velocità della variazione della carica rispetto al tempo, cioé:

Si definisce densità di corrente J la quantità di corrente che fluisce attraverso l’unità di superficie normale alla direzione del flusso di corrente. J è un vettore di ampiezza pari alla corrente per unità di superficie [A/m2], la cui direzione e verso sono quelle del flusso di corrente.

]2[C/m ∆s∆q

0∆slimsρ→

=

[C/m] ∆l∆q

0∆llimlρ→

=

[A] o [C/s] dtdqI =

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1.PROPRIETA’ GENERALI DEI

CIRCUITI E DEI COMPONENTI Permanenza e invarianza nel tempo

Il componente o il circuito è permanente o invariante nel tempo se l’effetto e(t) non dipende dall’istante di applicazione della causa c(t), cioè é indipendente dalla variabile tempo. Per cui se alla causa c(t) corrisponde l’effetto e(t) alla causa c(t-t0) corrisponde l’effetto e(t-t0).

Linearità

Il componente o il circuito è lineare se l’effetto dovuto ad una qualsiasi causa è proporzionale alla stessa. L’effetto dovuto a più cause che agiscono contemporaneamente, è esattamente la somma degli effetti dovuti a ciascuna causa considerata come se agisse da sola. Le equazioni costitutive sono lineari, ossia sono valide le relazioni: se alla causa c1(t) corrisponde l’effetto e1(t) e

alla causa c2(t) corrisponde l’effetto e2(t) allora alla somma delle cause corrisponde la somma degli effetti: c(t)= c1(t) + c2(t) e(t)= e1(t) + e2(t).

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Causalità In qualsiasi istante t0, l’effetto dipende solo dai valori della causa per t≤ t0. L’effetto è nullo per t≤ t0 se è nulla la causa per t≤ t0. Ossia l’effetto è nullo per t precedente all’istante t0 nel quale si inizia a studiare il fenomeno, ossia all’istante di applicazione della causa.