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Introduzione alla fisica • Grandezze fisiche
Misura ed errori di misura. Unità di misura
• Richiami di matematica e geometria Percentuali, potenze, notazione scientifica, proporzioni, conversioni, equazioni di 1o grado.
Angoli, superfici e volumi
• Rappresentazione grafica di relazioni tra grandezze fisiche
• Vettori ed operazioni coi vettori
Grandezze fisiche
Una grandezza fisica è definita quantitativamente attraverso un metodo operativo di misura, che permetta il confronto tra la grandezza in esame e una grandezza omogenea di riferimento (campione)
Definizione operativa di una grandezza fisica:
Espressione di una grandezza fisica:
Numero + unità di misura
Rapporto tra la grandezza e il campione di riferimento
Misura diretta:
Misura indiretta:
Confronto diretto con il campione (es. misura di lunghezza con un metro graduato)
Misura di una grandezza legata a quella da misurare attraverso una relazione nota (es. misura di tempo con una clessidra)
Grandezze fisiche fondamentali e unità di misura
Tutte le grandezze fisiche possono essere espresse in funzione di un insiemelimitato di grandezze fondamentali
Un sistema di unità di misura definisce le grandezze fisiche fondamentalie i corrispondenti campioni unitari (unità di misura)
Sistema Internazionale (S.I.)
Grandezza fisica Unità di misura
Lunghezza [L] metro (m) Tempo [t] secondo (s)Massa [M] chilogrammo (kg)Intensità di corrente [i] ampere (A)Temperatura [T] grado Kelvin (K)
Grandezze fisiche derivate
Le rimanenti grandezze fisiche sono derivate a partire dalle grandezze fondamentali mediante relazioni analitiche
Alcuni esempi:
Superficie (lunghezza)2 [L]2 m2
Volume (lunghezza)3 [L]3 m3
Velocità (lunghezza/tempo) [L][t]-1 m·s-1
Accelerazione (velocità/tempo) [L][t]-2 m·s-2
Forza (massa*accelerazione) [M][L][t]-2kg·m·s-2
Densità (massa/volume) [M][L]-3 kg·m-3
Pressione (forza/superficie) [M][L]-1[t]-2 kg·m-2·s-2
...........
Errori di misura
Errori casuali (statistici):Strumenti di alta sensibilità forniscono risultati differenti su misure ripetute, a causa di perturbazioni ed effetti accidentali di cui l’osservatore non può tenere conto. Errori casuali avvengono sia in eccesso sia in difetto rispetto al valore vero
Errori sistematici:Avvengono sempre o in eccesso o in difetto rispetto al valore vero.Sono causati da errori di misura, da strumenti mal tarati, dall’uso di modelli errati o da perturbazioni importanti di cui non si è tenuto conto
La misura di una grandezza fisica è sempre affetta da errore
Limiti strumentali: Uno strumento permette la misura della grandezza con un’incertezza legata alla sua sensibilità
Errore: stima di quanto la grandezza misurata si discosta dal valore “vero”
Istogramma delle frequenze
Istogramma delle frequenze per la rappresentazione di misure ripetute l1, l2, l3, l4, .....
Esempio: Misura di una lunghezza
2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 cm2,18
l1 2,15 cm
l2 2,14 cm
l3 2,16 cm
l4 2,12 cm
l5 2,14 cm
l6 2,15 cm
l7 2,13 cm
l8 2,15 cm
l9 2,17 cm
l10 2,14 cm
l11 2,15 cm
l12 2,16 cm
l13 2,14 cm
l14 2,15 cm
l15 2,15 cm
l16 2,16 cm
l17 2,14 cm
l18 2,15 cm
l19 2,13 cm
l20 2,14 cm
0
5
1
2
34
6
7N
um
ero
di m
isu
re
Valore medio e deviazione standard
N
l
N
l...llllll
N
1ii
N54321
Valor medio:
N
)l (l
N
)l(l ...)l (l)l (lσ
N
1i
2_
i2_
N2
_
22
_
1
Scarto quadraticomedio (deviazionestandard):
2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 cm2,18
0
5
1
2
34
6
7
Nu
mer
o d
i mis
ure
l = 2,146 cm = 0,012 cm
l
l+l-
Nel nostro esempio:
l = l ± = (2,15 ± 0,01) cm
Approssimando:
Distribuzione gaussianaL’istogramma di frequenze di un numero elevato di misure ripetute affette solo da errori casuali segue una curva tipica a campana (distribuzione gaussiana)
l l+l-l+2l-2
l-3 l+3
ll
2ll
3ll
(~68% dell’area sotto la curva)(~95%)
(~99%)
Distribuzione stretta piccola errore piccolo
Distribuzione larga grande errore grande
Percentuali
1% = 1/100 = 0,01n % = n/100 = 0,01·n
20% di una quantità x : xx 20,0100
20
Le percentuali sono comode per esprimere variazioni (diminuzioni o aumenti) di una quantità nota:
Aumento dell’8% di una quantità x: xxxx %108100
108
100
8
Diminuzione del 15% di P: PPPPP 85,0%85100
85
100
15
•3% di 150 = 3•150/100 = 0,03•150 = 3•1,5 = 4,5 (adimensionale!)
•200% di 1000 euro = 200/100 •1000 = 2000 euro (attenzione alle dimensioni!) (raddoppiare = aumentare del 100% = passare al 200 %)
•“Per mille” : 1 ‰ = 1/1000 = 0,001 = 0,1%•“Parte per milione” : 1 ppm = 1/1000000 = 0,000001 = 0,0001%
Es.:
Errore percentualelll
Errore percentuale:l
Δl(adimenzionale!)
Esempi:
Nota: In mancanza di errore questo si intende sull’ultima cifra significativa!
l = 6,8 m l = (6,8±0,1) ml = 6,80 m l = (6,80±0,01) m
Data una misura espressa nella forma:
m = 1 kg ± 10 g = (1 ± 0,01) kg %11
01,0
m
m
m = 100 kg ± 100 g = (100 ± 0,1) kg 0001
100
1,0
m
m
Potenze
ab=a·a·a·.... (b volte) a=base b=esponenteOperazione dielevamento a potenza:
b1/b aa
Proprietà delle potenze:
a0=1 nn 1/aa
Esempi: (-2)3 = -8; (-8)1 / 3 = 3 -8 = -2100=1 10-3=1/103 = 0,001
• an·am = an+m
• (an)m = an·m
• an·bn = (ab)n
m/nn m aa
• an/am = an-m
•
103·105 = 108 (1000·100000=100000000)
(102)3 = 102·102·102 = 106
106/104=106-4=102 (1000000/10000 = 100)
32·102=(3·10)2
2 24 = 24/2 = 22
Potenze di 10
106 si legge 'dieci alla sesta' è uguale a 1 moltiplicato per 106: 106 = 1*1000000 = 1000000
es. 3,5 * 106 = 3500000 ( si sposta la virgola a destra di 6 posti )
10-6 si legge 'dieci alla meno 6' è uguale a 1 diviso per 106: 10-6 = 1/1000000 = 0,000001
es. 3,5 * 10-6 = 0,0000035 ( si sposta la virgola a sinistra di 6 posti )
Notazione scientifica
In notazione scientifica un numero si esprime come prodotto di una cifra compresa tra 0,1 e 10 x una potenza di 10 5,738 · 103
Esempi: 800 = 8·102 4765 = 4,765·103 0,00097 = 9,7·10-4
l = 345000 m = 3,45·100000 m = 3,45·105 m
l = 0,00038 m = 3,8·0,0001 m = 3,8·10-4 m
Massa della Terra = 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kg = 5,98·1024 kg
Massa di un elettrone = 0,0000000000000000000000000000009109 kg = 9,11·10-31 kg
La notazione scientifica è utile per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli
Es.:
Multipli e sottomultipliMultipli e sottomultipli di una unità di misura possono essere espressi usando prefissi:
Prefisso Simbolo Fattore di
moltiplicazione
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
etto h 102
deca da 101
Prefisso Simbolo Fattore di
moltiplicazione
deci d 10-1
centi c 10-2
milli m 10-3
micro 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
1 km = 103 m1 Mm = 106 m1 Gm = 109 m
1 dm = 10-1 m1 cm = 10-2 m1 mm = 10-3 m
Es: 1 m 1 m = 10-6 m1 nm = 10-9 m1 pm = 10-12m
(1 mm = 1/1000 m = 1/103 m = 10-3 m)
Equazioni
Sommando (sottraendo) una stessa quantità a entrambi i membri Moltiplicando (dividendo) per una stessa quantità entrambi i membri
Equazione = relazione di uguaglianza tra due membri
verificata per particolari valori di una variabile incognita
ax + b = 0 x = -b/a
il risultato non cambia
Es 1: 7x4
3
4
37
4
3x
4
3
4
3-7x
4
25
4
3-28x
Es 2: 7x4
3
3
47
3
4x
4
3
3
47x
3
28
3
47x
Equazioni di primo grado
Esempio:
fe
dcx
b
a cf
e
dccx
b
a
cf
e
dx
b
a
fe
dcx
b
a
bcfe
dxa
a
bcf
e
dx
La variabile incognita compare elevata alla prima potenza: x1 = x
Proporzioni
a : b = c : d
d
c
b
a
dd
cd
b
a bcbd
b
a
a · d = c · bd
c
b
a
Es 1: Conversione tra unità di misura:
euro0.000516Neuro1936,27
1N
lire1936,27
euro1lireN X
euro 1lire N lire 1936,27 euro X euro 1 :lire 1936,27 euro X :lire N
Se N = 30000 lire X=30000·0,000516=15,48 euro
Es 2: Se un corridore percorre a velocità costante 19,2 m in 2 s, quanto impiega a percorrere 100 m?
s10,4 m 19,2
m100 s 2 Xm100 s 2 m 19,2s X s 2: m 19,2 s X : m100
cb
da
Prodotto dei medi = Prodotto degli estremi:
Superfici e Volumi
1 m2 = (1 m)2 = (102 cm)2 = 104 cm2 = 10000 cm2
1 m3 = (1 m)3 = (102 cm)3 = 106 cm3 = 1000000 cm3
1 cm2 = (1 cm)2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2 = 0.0001 m2
1 cm3 = (1 cm)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 = 0.000001 m3
1 litro = 1 dm3 = (1 dm)3 = (10-1 m)3 = 10-3 m3
= (101 cm)3 = 103 cm3
cerchio sfera
quadrato cubo
cilindroparallelepipedo
c=2rr
A=r2 r S=4r2 V=(4/3)r3
P=4l A=l2 S=6l2 V=l3
l l
SS
V = S·l = r2·lV = S·l ll
Equivalenze tra unità di misura:
Equivalenze - Conversioni
Es.2
6,57 l = 6,57 dm3 = 6,57 (10-1 m)3 = 6,57·10-3 m3
sapendo che 1 litro = 1 dm3litro m3
A
3 mmA = (3 mm)2 = 32 mm2 = 9 mm2 = 9 (10-3 m)2 = 9·10-6 m2
Es.1 mm2 m2
Es.3 1h33’20’’ s 1h = 60’ ·60 s = 3600 s33’= 33’·60 s = 1980 s20’’ = 20 s
1h33’20’’ = = (3600+1980+20) s = = 5600 s
Es.4 km/h m/s 1 km/h = 1000 m/3600 s = 0,28 m/s
120 km/h = 120*1000 m/3600 s = 33.6 m/s
Angoli
s
R R
s (rad)α
Unità di misura:• gradi, minuti, secondi 1o=60' 1'=60'' Es: 35o41'12'' • radianti
Angolo giro 360o 2 270o 3/2 piatto 180o retto 90o /2 60o /3 45o /4 30o /6
Angolo giro = 360o = 2R/R = 2 rad
R=1 arco rad
RπR
24
2
se R=12
Es.: angolo retto
Arco:
rad
Conversione gradi radianti
1 rad : x gradi = 2 : 360o2360o
28o rad? 2 : 360o = x : 28o
oo
x
28360
2
0,49 20,078 2360
28 o
o
x
= 3,1415
xo
o 360
228
Triangoli rettangoli
a
b
c
Triangolo rettangolo Teorema di Pitagora
222 cba
22 cba 22 bac
Triangolo rettangolo isoscele
d
l
l ld 2
22 2 ld
45o
Triangolo equilatero
60o
60o
60o
l lh
ll
lh2
3
4
22
l/2l/2
Funzioni e loro rappresentazione grafica
Una funzione analitica può essere rappresentata in modo grafico con una curva su un sistema di assi cartesiani nel piano (x,y)
O
ordinate
ascisse
1 2 3
1
2
3
y
x
Una funzione è una relazione tra due variabili x e y: y=f(x)
Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x.
Es.:y = x
y = 2x
4
Relazioni tra grandezze fisiche:proporzionalità lineare diretta
La relazione tra due grandezze fisiche può essere rappresentata in modo grafico nel piano cartesiano (x,y):
s = v·t
Proporzionalità diretta
O
s (km)
t (h)
ordinate
ascisse
1 2 3
5
10
15
tt
LL
t s
1 h
2 h
3 h
5 km
10 km
15 kmh
km 5 v
rettaEs.:
s direttamente
proporzionale a t
Proporzionalità quadratica diretta
Proporzionalità quadratica
2at2
1s
O t (s)
s (m)
parabola
1 2
1/2
2
22
tt
L]L[
Es.:
t s
1 s
2 s
0.5 m
2 ma = 1 m/s2
s quadraticamente proporzionale a t
Proporzionalità inversa
Proporzionalità inversa
pV = nRT
O V (m3)
Iperboleequilatera
1 2
1
4
3 4
2
3
V
cost p
p (Pa)p inversamente
proporzionale a VEs.:
con nRT = costante
V p
1 m3
2 m3
3 m3
4 Pa
2 Pa
4/3 Pa
cost = 4
Retta 1o grado Iperbole proporz.diretta proporz.inversa y raddoppia al raddoppiare di x y si dimezza
s = v•t PV=k P=k/V = c•T f = c = c/fF = m•aV = R•I
t
s
V
P
Retta Iperbole
Esempi di funzioni in fisica
Parabola 2o grado Fraz. quadr.
proporz.dir.quadr. proporz.inv.quadr.
y quadruplica al raddoppiare di x y si riduce a un quarto
s = ½ a t2 Fg = G•m1m2/r2
Ek = ½ m v2 Fe = K•q1q2/r2
t
s
Parabolar
F
proporz.inv.quadr
Esempi di funzioni in fisica
Grandezze scalari e vettoriali
modulo verso
punto di applicazione
v
direzione
Grandezze scalari: caratterizzate da un numero
Grandezze vettoriali:
Es: tempo, temperatura, massa
caratterizzate da un modulo, una direzione e un verso.
Es: spostamento, velocità, accelerazione
modulo del vettore v : v = | v |
Es: |v| = 100 m/s
Vettori uguali Vettori opposti
Somma di due vettori
Metodo grafico(regola del parallelogramma)
a
b
c
c = vettore risultante di a e b
Es: spostamento da A a C passando per B
A
B
C
AB + BC = AB + AD = AC
D
a + b = c
Differenza tra due vettori
Metodo grafico(regola del parallelogramma) a – b = c
a
cc
b
b + c = a
a
c
b-b
a – b = a + ( -b ) = c
Componenti di un vettore
x
vx = |v| cos vy = |v| sen vx
2 + vy2 =
= v2 cos2 + v2 sen2 == v2 (cos2+sen2) = v2
2y
2x v v v v
v
y
vy
vxo
Nel piano cartesiano bidimensionale (x,y) un vettore può essere scomposto nelle sue due componenti ortogonali vx e vy
Trigonometria di base
O1
1
-1
-1
R=1
cos
sen
cos sen
0o 1 0
30o = /6 1/2
45o = /4
60o = /3 1/2
90o = /2 0 1
180o = -1 0
270o = 3/2 0 -1
2/3
2/2 2/2
2/3
A B
C
AC = CB·sen sen2+cos2=1
AB = CB·cos
θ tgθ cos
θsen
tg cosCB
sen CB
AB
AC
AC = AB·tg
AC2+AB2=CB2(sen2+cos2)=CB2
1 θ cos , θ sen 1-
y
x
Somma e differenza di vettori
v1
v2
o
y
v1x
v1y
v2x
v2y
v3
v3x
v3y
v3 = v1 + v2
v3x = v1x + v2x v3y = v1y + v2y
23y
23x33 vv v v
3x
3y
v
v α tg
Somma di vettori
Differenza di vettori v3 = v1 - v2
v3x = v1x - v2x v3y = v1y - v2y
Prodotto scalare
b
a
b'
a•b = |a||b|cos = |a|b'
b' = |b|cos : componente di b lungo a
= 0o a b = ab cos =ab
ba
= 90°a b = ab cos =0 b
a
= 180° a b = ab cos =– ab
a
b
Es.:
Prodotto vettoriale
a
b
c
b"
c = a b
Modulo di c : |c| = |a||b|sen = |a|b”
b’’: componente di b ortogonale ad a
b” Direzione di c: ortogonale ad a e b
Verso di c: verso di avanzamento di una vite che ruota sovrapponendo a su b
a
bb''