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Introduction a la theorie des valeurs extremes :
Applications en actuariat
Armelle Guillou & Alexandre You
Universite de Strasbourg & Societe Generale Insurance
Ecole d’ete, Strasbourg - 2011
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Le contexte general
X1, ...,Xn iid de loi F(µ,σ2)
Comportement moyen (TCL):
√n
X1+...+Xnn −µ
σ
d−→N (0,1), n→ ∞
Comportement extreme: X1,n ≤ ...≤ Xj,n ≤ ...≤ Xn,n
P
(Xn,n−bn
an≤ x
)= F n(an x +bn)−→Hγ(x), n→ ∞
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Le contexte general
Distribution des Valeurs Extremes Generalisee (GEV):
Hγ(x) =
exp(− (1+ γx)−
1γ
)si γ 6= 0
exp(−exp(−x)
)si γ = 0
γ: indice des valeurs extremes
γ > 0 Frechet, distribution de type Pareto: 1−F(x) = x−1γ `F (x)
γ < 0 Weibull, X admet un point terminal finiγ = 0 Gumbel, queue a decroissance exponentielle
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Le contexte general
−4 −2 0 2 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
dens
itéWeibullFrechetGumbel
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Estimation de l’indice des valeurs extremes: γ > 0
Hill (1975):
γ(H)k ,n =
1k
k
∑j=1
logXn−j+1,n− logXn−k ,n
Queue de distribution de X :
1−F(x) = P(X > x) = x−1γ `F (x)
Fonction inverse generalisee
U(x) = F←(
1− 1x
)= inf
{y : F(y)≥ 1− 1
x
}
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Estimation de l’indice des valeurs extremes: γ > 0
U(x) = xγ`U(x)
⇒ logU(x) = γ logx
(1+
log`U(x)γ logx
)∼ γ logx quand x → ∞
Posons x = n+1j
logU
(n+1
j
)∼ γ log
n+1j
or U
(n+1
j
)= F←
(1− j
n+1
)∼ F←n
(1− j
n+1
)avec Fn(x) =
1n
n
∑i=1
1l{Xi≤x}
∼ Xn−j+1,n
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Interpretation graphique du Hill
Pareto quantile plot:
(log
n+1j
, logXn−j+1,n
)
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Interpretation graphique du Hill
Estimateur de la pente:
1k ∑
kj=1 logXn−j+1,n− logXn−k ,n
1k ∑
kj=1 log n
j − log nk+1
' γ(H)k ,n
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Estimation de l’indice des valeurs extremes: γ ∈ R
• Estimateur des moments (Dekkers et al., 1989):
γ(M)k ,n = γ
(H)k ,n +1− 1
2
1−
(γ(H)k ,n
)2
Sk ,n
−1
ou Sk ,n =1k
k
∑j=1
(logXn−j+1,n− logXn−k ,n
)2
• Estimateur UH (Beirlant et al., 1996):
γ(UH)k ,n =
1k
k
∑j=1
logUHj,n− logUHk+1,n
ou UHk ,n = Xn−k ,n γ(H)k ,n
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Generalisation au cas γ ∈ R(
log
(n+1
j
), logUHj,n
), UHj,n = Xn−j,n γ
(H)j,n
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Choix de k : Hill plot
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Estimation de l’indice des valeurs extremes
Estimation a biais reduit (Beirlant et al., 1999; Feuerverger et Hall,1999):
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Approche POT: Estimation des parametresMean excess plot
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)
un < τF := sup{x : F(x)< 1} un seuil non aleatoire
Y1, ...,YNn les exces au-dela de un
0 1 2 3 4 5 6 7
34
56
78
910
un = 6
Y1 = 4
X1
X2
Y2 = 1
X3
Y3 = 3
X4
X5
Y4 = 2
X6
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Approche POT: Estimation des parametresMean excess plot
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)
Loi conditionnelle des exces:
Fun(x) = P(
X ≤ un + x∣∣∣X > un
)=
F(un + x)−F(un)
1−F(un)
Pickands (1975):
supx∈[0,τF−un[
∣∣Fun(x)−Gγ,σ(un)(x)∣∣→ 0, quand n→ ∞
ou Gγ,σ(x) =
{1− (1+ γx
σ)−
1γ si γ 6= 0
1−exp(− xσ) si γ = 0
est la Distribution de Pareto Generalisee (GPD)
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Approche POT: Estimation des parametresMean excess plot
Approche POT: Estimation des parametres
• Par maximum de vraisemblance (Smith, 1987):
L(X1, ...,Xn;γ,σ) =n
∏i=1
gγ,σ(Xi)
⇒ logL(X1, ...,Xn;γ,σ)⇒∂
∂γ,
∂
∂σ
• Par la methode des moments ponderes (PWM) (Hosking et Wallis,1985): X ∼ Gγ,σ
νs = E[X(1−Gγ,σ(X)
)s]=
σ
(s+1)(s+1− γ)s = 0,1
γ = 2+ν0
2ν1−ν0σ =
2ν0ν1
ν0−2ν1
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Approche POT: Estimation des parametresMean excess plot
Approche POT: Estimation des parametres
• Par la methode des moments ponderes generalises (GPWM)
Diebolt et al. (2007): X ∼ Gγ,σ
νω = E(Xω(1−Gγ,σ(X))) = σ
∫ 1
0W (x)x−γ−1dx
ou
W (x) =∫ x
0ω(t)dt
Il existe un C1−diffeomorphisme tq: Tω1,ω2(νω1 ,νω2) = (γ,σ)
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Approche POT: Estimation des parametresMean excess plot
Mean excess plot
e(u) = E(X −u|X > u) =σ+ γu1− γ
si γ < 1
Si l’approche GPD est valide pour un seuil u0, elle l’est pour u > u0
⇒ pour u > u0, e(u) est lineaire en u
Pour determiner u0, on utilise un graphe appele mean residual life plot:
(u, e(u)) ou e(u) =∑Xi1l{Xi>u}
∑1l{Xi>u}−u
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Approche POT: Estimation des parametresMean excess plot
Mean excess plot
0 2 4 6 8 10 12 14
510
15
u
mea
n ex
cess
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Pareto quantile plot:
(log
n+1j
, logXn−j+1,n
)
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Pareto quantile plot:
(log
n+1j
, logXn−j+1,n
)
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Equation de la droite
y = ax +b = γ(H)k ,n x +
(logXn−k+1,n− γ
(H)k ,n log
n+1k
)quand x = log 1
p
y = γ(H)k ,n
(log
1p− log
n+1k
)+ logXn−k+1,n
= γ(H)k ,n log
kp(n+1)
+ logXn−k+1,n
= log
Xn−k+1,n
(k
(n+1)p
)γ(H)k ,n
⇒Weissman (1978):
x(W )p,n = Xn−k+1,n
(k
(n+1)p
)γ(H)k ,n
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
Estimation POT d’un quantile extreme: xp = F←(1−p)
Fu(x)≈ Gγ,σ(u)(x)
On se donne un echantillon X1, ...,Xn et on choisit un seuil u(grand). Soit Nu le nombre d’observations Xi1 , ...,XiNu
depassant ceseuil et notons Yj = Xij −u ≥ 0 ces exces.On ajuste une loi GPD Gγ,σ aux exces Y1, ...,YNu pour obtenir lesestimateurs γ et σ des parametres.Comme F(x) = P(X > x) = F(u).F u(x−u) pour x > u:
F(x) =Nu
n
(1+ γ
x−uσ
)− 1γ
pour x > u (1)
Par inversion de (1), on obtient un estimateur de xp = F←(1−p) :
x(POT )p,n = u+ σ
(Nu
np
)γ
−1
γ
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
References Bibliographiques
• Estimateur de γ:
→ Beirlant, J., Vynckier, P. & Teugels, J.L. (1996). Excess functions andestimation of the extreme value index, Bernoulli, 2, 293-318.
→ Dekkers, A.L.M., Einmahl, J.H.J. & de Haan, L. (1989). A momentestimator for the index of an extreme-value distribution, Ann. Statist., 17,1833-1855.
→ Hill, B.M. (1975). A simple general approach to inference about the tail ofa distribution, Ann. Statist., 3, 1163-1174.
→ Smith, R.L. (1987). Estimating tails of probability distributions, Ann.Statist., 15, 1174-1207.
• Reduction de biais:
→ Beirlant, J., Dierckx, G., Goegebeur, Y. & Matthys, G. (1999). Tail indexestimation and exponential regression model, Extremes, 2, 177-200.
→ Feuerverger, A. & Hall, P. (1999). Estimating a tail exponent by modellingdeparture from a Pareto distribution, Ann. Statist., 27, 760-781.
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Le contexte generalEstimation de l’indice des valeurs extremes
Approche ”Pics au dela d’un seuil” (POT)Estimation d’un quantile extreme: xp = F←(1−p) = U(1/p)
References Bibliographiques
• Approche POT:
→ Pickands III, J. (1975). Statistical inference using extreme order statistics,Ann. Statist., 3, 119-131.
• Moments ponderes et ponderes generalises:
→ Hosking, J.R.M., Wallis, J.R. & Wood, E.F. (1985). Estimation of thegeneralized extreme-value distribution by the method of probability weightedmoments, Technometrics, 27, 251-261.
→ Diebolt, J., Guillou, A. & Rached, I. (2007). Approximation of thedistribution of excesses through a generalized probability-weighted momentsmethod, J. Statist. Plann. Inference, 137, 841-857.
• Estimateur de quantile extreme:
→Weissman, I. (1978). Estimation of parameters and large quantiles basedon the k largest observations, J. Amer. Statist. Assoc., 73, 812-815.
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