INTRODUCTION A L’OPTIQUE DE FOURIER

Cedric Blatter et Claudio Dellagiacoma

14 novembre 2005

1 Introduction

Dans un systeme optique, malgre l’apparence simple de l’etude par l’optique geometrique, il y a toujoursde la diffraction. Elle est causee par la dimension limitee du dispositif. Ainsi, puisque le diametre des lentilles,par exemple, est fini, leur bord genere la diffraction. Il faut alors etudier ce phenomene. A la base de ladiffraction est l’interference. C’est pourquoi nous commencons l’etude par les ondelettes et le principe deHuygens (paragraph 2.1). Les ondelettes permettent de comprendre l’interference et la diffraction. Pourfaire des calculs, l’idee des ondelettes a ete formalisee par Rayleigh et Sommerfeld (paragraphe 2.2). Leurdeveloppement mathematique utilisant le theoreme de Green a ete omis puisqu’il n’aide pas directement ala comprehension physique de la problematique etudiee. Par la suite, la demonstration des simplificationsde la formule par des approximations (paragraphe 2.3) permettent de comprendre les domaines ou celles-cisont valables (paragraphe 2.4). Et en introduisant la transformee de Fourier (paragraphe 2.5), les calculs del’image de diffraction deviennent encore plus simples. Ceci est illustre ensuite par des exemples d’applications(paragraphe 2.6).Meme si les calculs sont simples, l’outil mathematique de la transformee de Fourier ne nous aide pas acomprendre la physique du phenomene. Cependant, ceci est explique dans le paragraphe 3.1 sur les frequencesspatiales. Leur visualisation est faite dans le plan de Fourier (paragraphe 3.2).L’etude faite est belle et bien pour des cas tres simples uniquement (onde plane diffractee par un diaphragmepar exemple). Quand on veut savoir comment l’image d’un objet complet est produite (au lieu d’un seulpoint), il faut considerer le systeme optique comme un systeme lineaire (paragraphe 4). Le developpementdans ce paragraphe permettra de faire des calculs.Finalement la description de l’experience du montage 4f (paragraphe 5) illustre encore une fois l’utilite dela transformee de Fourier pour le calcul de la diffraction dans un systeme optique.

1

2 La diffraction

2.1 Principe de Huygens

En 1678, ce principe a ete enonce par Huygens et a ete precise davantage par Fresnel en 1818. On peutresumer [4] :

Chaque point d’un front d’onde non obstrue dans un certain temps sert de source d’une ondelettespherique de meme frequence. L’amplitude de l’onde en n’importe quel point derriere le front resulte dela superposition de toutes ces ondelettes (en considerant leurs amplitudes et leurs phases).

Ce principe est illustre dans la figure 1. Dans ce cas, on voit la superposition de deux ondelettes spheriques.Ceci permet de comprendre l’interference de la lumiere : il y a interference constructive quand deux ondelettesde meme phase se superposent et il y a interference destructive quand elles sont a phase opposee. De memefacon on peut explique la diffraction.

Fig. 1 – La propagation d’une onde vue comme la superposition d’ondelettes [2].

Rayleigh - Sommerfeld

Pour faire des calculs, le principe de Huygens n’est pas tellement confortable. Ainsi, deux siecles plustard, en 1896 Sommerfeld a trouve la formule qui correspond au principe de Huygens pour un diaphragmeplan de forme quelconque [5].

UP (x, y, z) =1iλ

∫

S′

U(x′, y′, 0)eikr

rcosθdx′dy′ (1)

Les lettres avec un prime (′) designent les composantes concernant le diaphragme.· UP /U : Champ scalaire dans le diaphragme/au plan de diffraction (Rappel : C’est un champ U pro-

portionnel a la valeur du champ electrique tel que l’intensite I =< U,U∗ >).· r : La distance entre le point d’integration (x′, y′, 0) sur S′ et le point P (x, y, z).· θ : L’angle entre la normale a la surface du diaphragme et ~r (voir figure 2).

2

Fig. 2 – Illustration pour la formule de Rayleigh - Sommerfeld [4].

En fait la formule se comprend assez intuitivement :· L’integrale represente la superposition des ondelettes.· Le terme 1

r est caracteristique pour les ondes spheriques (conservation d’energie).· cosθ correspond a l’inclinaison de la surface d’integration du diaphragme vue par le point P (x, y, z)

(voir figure 2).· Le terme eikr est la variation de phase de l’onde sur le trajet r.· 1

iλ est un terme correctif pour l’amplitude et la phase (90 ).

Approximations

Malgre l’apparente simplicite de la formule de Rayleigh - Sommerfeld, elle reste difficile a calculerconcretement. Pour y arriver, nous faisons des approximations, celle de Fresnel et celle de Fraunhofer [5],qui vont nous simplifier l’integrale. Tout d’abord on constate que

· cosθ ≈ 1 (±5% si θ ≤ 20 ).· 1

r ≈ 1z pour l’amplitude.

· eikr varie extremement vite et c’est pourquoi ici on ne peut pas remplacer r par z.

Commencons par preciser r en sachant que z′ = 0 :

r =√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + z2 = z

√1 +

(x− x′)2

z2+

(y − y′)2

z2

Ainsi on trouve pour la phase

kr = kz

√1 +

(x− x′)2

z2+

(y − y′)2

z2

et en utilisant l’approximation√

1 + ε ≈ 1 + ε2 pour ε ¿ 1, on peut ecrire

kr ≈ kz

[1 +

12z2

((x− x′)2 + (y − y′)2)]

En introduisant cette approximation dans l’integrale de Rayleigh - Sommerfeld, on trouve l’approximationde Fresnel :

UP (x, y, z) =eikz

iλz

∫

S′

U(x′, y′, 0)eik2z [(x−x′)2+(y−y′)2]dx′dy′ (2)

3

x’

y’

x

y

P(x,y,z)

x

Rr

yU(x’,y’)

z

2 2 2Max x ' y '

S’

Fig. 3 – La generation de la diffraction dans les directions θx et θy par un diaphragme de rayon maximal ρ[4].

Comme les carres dans l’exponentiel sont assez genants, on peut approximer davantage :

kz

[1 +

12z2

((x− x′2) + (y − y′2)2)]

= kz + kx2 + y2

2z− k

xx′ + yy′

z+ k

x′2 + y′2

2z

Les dimensions x′ et y′ sont souvent tres petites (voir prochaine section) par rapport a z. Ainsi on peutnegliger les termes quadratiques

kx′2 + y′2

2z¿ 1

et en introduisant l’expression simplifiee de nouveau dans l’equation 1, on obtient finalement l’approxi-mation de Fraunhofer :

UP (x, y, z) =eikhz+ x2+y2

2z

iiλz

∫

S′

U(x′, y′, 0)e−ikz (xx′+yy′)dx′dy′ (3)

Domaines des approximations

Les manipulations qu’on vient de faire ne s’appliquent evidemment que dans des cas ou les conditionsdes approximations sont assurees. Il s’agit principalement du rapport entre le rayon maximal ρ =

√x′2 + y′2

du diaphragme par rapport a la distance z (voir figure 3) et aussi par rapport a la longueur d’onde λ.Concretement on peut negliger les termes quadratiques quand kρ2

2z = π ρ2

λz ¿ 1. Il s’agit du rapport

NF =ρ2

λz(4)

qui est appele le nombre de Fresnel. On peut alors classifier les domaines d’approximation selon NF (voirfigure 4) :

· NF ¿ 1 : On peut utiliser l’approximation de Fraunhofer puisque z est assez grand et ρ est assez petitpar rapport a λ.

· NF ≈ 1 : Il faut recourir a l’approximation de Fresnel. En effet c’est ce qu’on fait quand on effectue descalculs dans une cavite LASER (faisceau gaussien) puisque le diaphragme a des dimensions comparablesa la longueur de la cavite.

· NF →∞ : On atteint le domaine de l’optique geometrique. Effectivement ρ est tres grand par rapporta λ.

4

Fig. 4 – Les do-maines d’approxima-tion selon le nombrede Fresnel NF . a)L’experience de ladiffraction par unefente. b) Le parcoursdes domaines de l’op-tique geometrique(a gauche) parl’approximation deFresnel (milieu) acelle de Fraunhofer(droite) [1].

L’approximation de Fraunhofer utilisant la transformee de Fourier

Pour calculer l’integrale dans l’approximation de Fraunhofer plus facilement, on aimerait recourir aucalcul de la transformee de Fourier. La transformee de Fourier unidimensionnelle se calcule par [4] :

F(f(t)) = f(ν) =

+∞∫

−∞f(t)e−2πiνtdt (5)

Quand on introduit les frequences spatiales px = xλz ≈ θx

λ et py = yλz ≈

θy

λ , le terme dans l’exponentieldevient − ik

z (xx′ + yy′) = −2πi(pxx′ + pyy′) et on voit directement apparaıtre une transformee de Fourierbidimensionnelle dans l’approximation de Fraunhofer [5] :

UP (x, y, z) =eikhz+ x2+y2

2z

iiλz

∫

S′

U(x′, y′, 0)e−2πi(pxx′+pyy′)dx′dy′ =eikhz+ x2+y2

2z

iiλz

U(px, py) (6)

En comparaison avec la transformee de Fourier temporelle, on voit d’ailleurs une justification pour ladesignation de la frequence spatiale (puisque px correspond a ν).

La relation se simplifie davantage quand on calcule l’intensite dans le plan de diffraction. Comme on aI =< U,U∗ >, les exponentiels complexes disparaissent et on obtient [4] :

I(x, y, z) =1

λ2z2U(px, py)U∗(px, py) (7)

Ainsi on peut trouver les images de diffraction dans beaucoup de situations simplement en consultant lestables de la transformee de Fourier ou en faisant la transformee de Fourier rapide FFT.

5

Exemples d’application

Un des exemples qui est traite le plus souvent est certainement la diffraction par une fente de largeura. Pour calculer l’effet de la diffraction sur un plan qui n’est pas trop proche du diaphragme (conditiond’approximation de Fraunhofer), on fait d’abord la transformee de Fourier de la distribution qui representele diaphragme. Dans ce cas le diaphragme se represente par la distribution rect(x

a ) dans une directionseulement. Sa transformee de Fourier est |a|sinc(apx) ou px = x

λz . Dans l’autre direction on utilise l’optiquegeometrique, c’est-a-dire qu’il n’y a pas de diffraction. Puisque ceci n’est que l’amplitude du champ electrique(a un facteur pres), il faut en prendre le carre du module pour trouver ce qu’on voit effectivement - qui estl’intensite du champ electrique. On obtient finalement I = a2

λ2z2 sinc2(apx) ou sinc(apx) = sin(aπpx)aπpx

. En an-nulant l’intensite on trouve facilement la relation bien connue x ≈ nλz

a pour la position des endroits sombres.

Fig. 5 – Figures de diffraction. a) Diffraction parune fente. b) Effet d’echantillonnage sur a) parla periodisation d’une fente. c) Diffraction par unreseau de fentes (multiplication de a) par b)) [1].

Quand on a un reseau de fentes, on peut le com-prendre comme une periodisation de la fente. Ainsi,il s’agit d’un echantillonnage de l’image de diffrac-tion de la fente (une periodisation dans l’espace corres-pond a un echantillonnage dans le domaine frequentiel).En effet, quand le nombre de fentes tend vers in-fini, les pics d’echantillonnage deviennent de plus enplus minces et intenses. Dans la figure 5 on voitl’image de diffraction d’un reseau a dix fentes dontl’espacement est deux fois plus grand que la largeurde la fente. La hauteur du pic central est I0N

2 ouI0 est l’intensite de la source et N le nombre defentes.En pratique, l’effet de la diffraction par un reseauest utilise dans les spectrographes. Si le reseau restele meme, l’espacement des pics de la diffractionchange avec la longueur d’onde, puisque px(λ) =xλz . Quand λ devient plus grand, les pics s’eloignent.Ainsi on peut detecter tres exactement la lon-gueur d’onde quand on connaıt le reseau de diffrac-tion.

Pour une fente rectangulaire dont les dimensions sonttoutes comparables a la longueur d’onde, il y a superpo-sition de la diffraction dans les deux directions x et y(voir figure 6.1). Par contre, quand on a un diaphragmecirculaire, c’est-a-dire quand la direction x ne se separepas de la direction y, le calcul de la transformee de Fou-rier bidirectionnelle devient plus complique et on faitplutot recours a la fonction de Bessel ou a des methodesnumeriques. Pour une pupille circulaire de diametre D,on trouve [4]

I(p) =(

πD2

4λz

)2 (2J1(πDp)

πDp

)2

ou p =√

p2x + p2

y et J1 est la fonction de Bessel d’ordre 1. En annulant l’intensite on retrouve les endroits

circulaires sombres dont le premier est ρ ≈ 1.22λzD . Pour une lentille circulaire, z serait la distance entre la

lentille et le plan d’image.

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6.1: Diaphragme rectangulaire 6.2: Diaphragme circulaire

Fig. 6 – 6.1 La diffraction par un diaphragme rectangulaire est simplement la superposition de l’effet d’unefente dans les deux directions. 6.2 Pour le cas d’une pupille circulaire, les calculs sont un peu plus compliquesmais l’effet est pareil a la diffraction par une fente. Par symetrie de la pupille, l’image de diffraction est aussicirculaire [1].

Le dernier exemple est le cas d’une cavite LASER. Dans une cavite LASER, la lumiere, reflechie par lesmiroirs, reste pour beaucoup d’allers et retours dans la cavite. Il y a alors un effet de diffraction (approxima-tion de Fresnel) a chaque reflexion (par la limitation du miroir). Quand le LASER se stabilise, c’est-a-direquand la distribution de l’intensite dans la cavite est stable, il faut que le faisceau de lumiere et son imagediffractee apres reflexion par deux miroirs soient identiques. Une fonction qui remplit cette condition pourla transformee de Fourier est la gaussienne (voir figure 7). C’est semblable pour l’approximation de Fresnel.C’est pourquoi les faisceaux LASER peuvent etre decrits par des faisceaux gaussiens.

3 L’interpretation physique de la transformee de Fourier

3.1 Frequences spatiales

Les frequences spatiales sont apparues dans l’approximation de Fraunhofer en comparant l’integrale avecla transformee de Fourier monodimensionnelle temporelle. Cependant, une interpretation plus physique peutleur etre attribuee. Considerons 2 ondes planes coherentes donnees par leur vecteur

−→k interferant sur une

surface plane (voir figure 8.1). Le profil d’intensite correspond a une sinusoıde dont le pas est determinepar leurs angles d’incidence (θ′). Un angle important entre les ondes donne un pas (periodicite) faible.Par comparaison, envisageons maintenant une onde plane monochromatique incidente sur un profil diffractifsinusoıdal (voir figure 9.1, cela pourrait correspondre a l’enregistrement du cas precedent) dans une ouverture(voir figure 8.2), 2 ondes planes vont etre resultantes selon 2 directions differentes. Ainsi si le profil possedeun pas (Λ) important, l’angle entre les 2 ondes planes sera faible. Une frequence spatiale p peut donc etreattribuee au profil d’amplitude au niveau de l’ouverture (la frequence est spatiale car au lieu d’avoir uneperiode temporelle nous avons une periode spatiale). La direction de l’onde donnee par l’angle (θx) entre ladirection de propagation et l’horizontal, quand le profil reste le meme, sera quant a elle dependante de lalongueur d’onde (couleur).

p = 1/Λsin(θ) = λ · p

Si nous considerons maintenant un profil d’amplitude, appele la fonction d’ouverture, en forme de seriede rect (voir figure 9.2), le nombre de directions possibles pour les ondes planes resultantes est plus impor-tant. Nous pouvons dans ce cas comprendre que ces directions proviennent des interferences constructivesdes ondelettes. Mais le profil peut egalement etre vu comme la superposition de sinusoıdes de pas differentset donc de frequences spatiales differentes. Une fonction d’une variable spatiale peut ainsi etre exprimee

7

Fig. 7 – Quelques exemples graphiques pour la transformee de Fourier [1].

comme une combinaison lineaire d’un nombre infini de contributions sinusoıdales. Chacune etant definie parsa frequence spatiale (et sa phase), elle contribue a 2 ondes planes de directions de propagation differentes (1angle positif et 1 negatif). On envisage l’emission d’une ouverture comme la superposition d’ondes planes devecteurs

−→k differents (directions differentes). La longueur du vecteur reste la meme pour une illumination

monochromatique donnee par sa longueur d’onde. L’optique invoque generalement des signaux bidimension-nels et donc la decomposition egalement. Ils sont exprimes en fonction d’ondes planes en 2 dimensions.

On comprend par exemple que les hautes frequences spatiales contribuent aux details de la fonction carelles impliquent des harmoniques superieures. Le meme principe de decomposition est egalement appliqueen traitement d’images numeriques. Une des applications est la compression jpeg.Un motif quelconque sur le diaphragme produira donc par diffraction des directions de propagation liees ala transformee de Fourier de ce dernier. On retrouve ainsi le principe trouve par calcul.

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8.1: L’interference de deux ondes planes coherentesinclinees sur une surface.

8.2: La diffraction par un reseau sinusoıdal.

Fig. 8 – [4]

3.2 Plan de Fourier

La diffraction de Fraunhofer a lieu a l’infini. Une lentille permet de la ramener dans le plan focal appeleplan de Fourier ou plan de transformation, car la lentille transforme des directions en points dans le plan focal(voir figure 9.2b). C’est-a-dire que tous les rayons parallels d’un certain angle sont focalises sur un certainpoint. La distribution de champ dans ce plan image est ainsi le spectre spatial de la fonction d’ouverture.Chaque point dans la figure de diffraction indique la presence d’une frequence spatiale specifique. Plus petiteest la fonction d’ouverture, plus large est le spectre spatial. Ce systeme permet de generer des transformeesquasi instantanees.

4 Systeme lineaire

L’etude jusqu’a maintenant se limitait a des cas simples seulement. Cependant, le systeme lineaire permetde decrire la formation d’images d’objet complet (au lieu d’un seul point) ; il fait correspondre a tout signala l’entree un signal a la sortie. Un element lineaire permet d’utiliser le principe de superposition, ce quipermet la description de cas plus compliques.Definition d’un systeme lineaire L() [2] :

L(af1 + bf2) = aL(f1) + bL(f2)

Un systeme est invariant par translation si un deplacement de l’entree change la position de la sortie sansen alterer sa forme. Autrement dit, l’image d’un objet deplace est equivalent a l’image deplacee d’un objet[2].

L(g(x− x′, y − y′)) = L(g)(x− x′, y − y′)

La fonction Dirac δ(x, y) est utilisee pour representer un point lumineux, un pulse bien confine en espacebidimensionnel. Un objet comprend un large nombre de ces points.

La sortie g(x, y) d’un systeme optique lineaire peut s’exprimer comme la superposition des sorties cor-respondant a la transformation de chaque point composant l’objet f(x, y). La reponse du systeme (sortie) aun Dirac en entree est appelee la reponse impulsionelle h(x, y) [2].

g(x, y) = L(∫ ∫ +∞

−∞f(x′, y′)δ(x− x′, y − y′)dx′dy′) =

∫ ∫ +∞

−∞f(x′, y′)L(δ(x− x′, y − y′))dx′dy′

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9.1: Profils d’amplitude sinusoıdal et carre. 9.2: a) Motif carre et directions de propagation. b) Effet de la lentille.

Fig. 9 – [1]

=∫ ∫ +∞

−∞f(x′, y′)h(x− x′, y − y′)dx′dy′ = f(x, y) ∗ h(x, y)

Il s’agit de la convolution de la reponse impulsionnelle h(x, y) avec l’objet f(x, y). La sortie du systeme lineaireinvariant pas translation s’exprime comme la convolution de l’entree f(x, y) avec la reponse impulsionnelledu systeme h(x, y). Un moyen simple de calculer cette convolution est de passer dans le domaine de Fourierou elle se transforme en multiplication [2] :

g(px, py) = h(px, py)f(px, py)

La transformee de Fourier n’est ici qu’un outil mathematique permettant de calculer efficacement uneconvolution. (Le systeme optique est ici considere comme une boıte noire, il n’y a donc pas de relation directeavec la transformee de Fourier dans l’approximation de Fraunhofer.) h(px, py) est la fonction de transfert dusysteme. Elle modifie chaque composante sinusoıdale en entree par une amplification et un dephasage.La formation d’une image d’un objet par une lentille peut etre consideree comme un systeme optique.En considerant la lentille comme une ouverture circulaire finie (systeme optique sans aberration), l’imaged’une source ponctuelle (δ(x, y)) est elargie par la diffraction. Cela constitue la reponse impulsionnelle dece systeme lineaire. L’ouverture etant circulaire, il s’agit d’une fonction de Bessel. La figure 10 presentecomment determiner par linearite l’image d’un object represente par une serie de points lumineux. Il s’agitd’effectuer la convolution de la reponse impulsionnelle avec l’image. Dans ce cas, cela revient a translater etmultiplier la reponse pour chaque point de l’image. La convolution de h(x, y) avec un Dirac revient a deplacerh(x, y) a la position du Dirac et a la multiplier par la ponderation du Dirac. On donne ici un exemple enune dimension, mais le meme principe peut etre utilise en deux dimensions.On constate que le diaphragme se comporte comme un filtre spatial passe-bas. Cela a pour consequence delimiter la resolution de l’instrument.

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Fig. 10 – a) Objet b) Reponse impulsionnelle c)Image [2]

5 Experience : montage 4f

Comme derniere illustration de l’utilite de la transformee de Fourier pour le calcul de la diffractiondans un systeme optique, on decrit le montage 4f (voir figure 11.1). Il permet de realiser le filtrage d’uneimage. La premiere lentille permet d’effectuer la transformee de Fourier de l’objet illumine par une ondemonochromatique. Puis une deuxieme lentille procede a une seconde transformee sur le spectre de l’objet. Parles proprietes de la transformee, l’image est inversee par rapport a l’objet. Une obstruction peut etre insereedans le plan de transformee (masque ou filtre) afin de diminuer ou bloquer certaines frequences spatiales. Lespectre spatial est ainsi modifie, on realise un filtrage spatial. Si on place un masque bloquant le centre duspectre, on va oter les basses frequences de l’objet. Cela a pour consequence d’accentuer les bords de l’objet,il s’agit d’un filtre passe-haut (voir figure 11.2). Si le masque laisse seulement passer les frequences spatialescentrales, on obtiendra une image lissee de l’objet, les details de l’image sont supprimes, il s’agit d’un filtrepasse-bas. Ce raisonnement peut egalement s’appliquer dans le traitement d’images sur ordinateur.

11.1: Montage 4f. 11.2: Filtrage de l’objet.

Fig. 11 – [2]

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Deux dimensions

Fonction Transformee de Fourier

f(r, s) F (u, v)

F [F (u, v)](r, s) F[f(r, s)](u, v)

f(r, s) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

F (u, v) ei2π(ur+vs) du dv F (u, v) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

f(r, s) e−i2π(ur+vs) dr ds

f(ar, bs)1

|a|1

|b|F(

u

a,v

b

)

f∗(r, s) F ∗(−u,−v)

f(r − r0, s − s0) e−i2π(ur0 + vs0)F (u, v)

ei2π(u0r + v0s)f(r, s) F (u − u0, v − v0)

pour ρ =√

r2 + s2

circR(ρ) ou circρ

Ravec circR(r, s) = circR(ρ) = 1 pour ρ ≤ R

et circR(r, s) = circR(ρ) = 0 pour ρ > R

πR2 2J1(2π√

u2 + v2R)

2π√

u2 + v2Rou J1 est la fonction de Bessel spherique d’ordre 1(voir figure)

b2 e−πb2ρ2e

−π

(√u2 + v2

b

)2

f(r) g(s) F (u) G(v)

On a la propriete utile :F [f(r,s)](u, v) = F[f(r,s)](−u,−v)

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10

Θ

2 J (Θ)1

Θ

22 J (Θ)1

Θ( )

Θ=3,83Θ=7,015

Θ=5,14

Les trois premiers zeros de J1(θ) sont :θ = 3.83θ = 7.02θ = 10.2

Fig. 12 – Proprietes de la transformee de Fourier en deux dimensions [6]. Notation : F = F−1

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6 Bibliographie

1. B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1991

2. E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, 2002

3. J.P. Perez, Optique, Masson, 5eme edition, 1996

4. Rene-Paul Salathe, Optique, Polycopie EPFL, 2002

5. Rene Dandliker, Optique appliquee I et II, Polycopie EPFL, 1996

6. Christophe Balland, 2005, Transformation de Fourier : tables et proprietes 2004-2005,http://supernovae.in2p3.fr/∼balland/CUMUL OLD/table tf.pdf, 10.10.2005

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