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LJG/CPGE/PTSI Cours - Les systèmes à évènements discrets – Partie 1 : systèmes combinatoires SII

Denis Jolivet page 1/12 MàJ : 15 février 2014

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I. INTRODUCTION – CONTEXTUALISATION : L’INFORMATION

1.1. Introduction Vous avez eu une introduction aux 3 différents types d’informations. Nous allons étudier dans ce cours les systèmes nécessitant un traitement de l’information logique (ou binaire, ou Tout Ou Rien). On appelle ces systèmes, systèmes à évènements discrets. Définition d’un système à évènements discrets : système ou sous-système dans lequel l’information traitée est logique (= tout ou rien). Un système complexe peut comporter des sous-ensembles à information continue (asservissement), et des sous ensembles à évènements discrets. La cordeuse de raquette est un exemple mêlant ces deux aspects : séquence globale de tension logique, et asservissement en tension de la corde. Dans l’approche des systèmes à évènements discrets, deux parties sont nécessaires :

- les systèmes combinatoires (du verbe « combiner ») - les systèmes séquentiels (provenant du substantif « séquence »)…

1.2. Définition d’un système logique combinatoire Un système à évènements discrets est de type combinatoire quand chaque sortie logique Si(t) peut être exprimée en fonction d’une combinaison exclusive des entrées logiques ei(t). Ces automatismes permettent de gérer des processus simples avec des évolutions indépendantes du temps : Si= f(e1, e2, …). Une combinaison de l’état des entrées conduit donc à un seul état des sorties. Quand l’état des sorties dépend des entrées ET des évolutions passées, on parle de système à évènements discrets séquentiel. Exemples de systèmes combinatoires Eclairage d’une pièce avec 2 interrupteurs câblés en « va et vient ». D’après vous : un digicode électronique ? Un digicode mécanique (celui de la salle U21) ? Vos prises de décisions sont souvent combinatoires…

Système combinatoire

e1 e2

ek …

s1 s2

sk

…

Entrées Sorties



II. LE CODAGE DE L’INFORMATION : LES SYSTEMES DE

NUMERATION

2.1. Codage décimal et binaire naturel : définition, conversion Avertissement : vous aurez des notions plus détaillées sur le codage en cours d’informatique de PTSI. Patience. Vous utilisez la base de numération décimale depuis toujours. Le traitement de l’information nécessite l’usage de la numération binaire (= base 2 : deux chiffres 0 et 1). C’est l’objet de ce paragraphe. Vous connaissez parfaitement le système décimal. Mais… savez-vous réellement comment il fonctionne ? Son alphabet est composé de 10 caractères appelés chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Contrairement aux nombres romains, le code décimal est un code pondéré : il permet de réaliser des opérations arithmétiques (addition, multiplication…). En effet il associe à chaque position du caractère, un poids fixe. Exemple : 2016 (année de…) 2 0 1 6 Pour convertir un nombre écrit en base B dans la base 10, il suffit de faire la somme pondérée comme montrée ci-dessus mais… en remplaçant 10 par le nombre B. Une remarque très importante à partir d’un exemple : dans le système décimal (base 10) avec un mot composé de 4 chiffres possibles vous pouvez codez 104 = 10000 nombres. Ce que vous savez très bien : de 0000 à 9999. Prolongement de la remarque précédente : en base 2, si on dispose de 4 bits {0,1}, on peut coder 24 = 16 nombres. De 0000 à 1111. Essayez toutes les combinaisons possibles : il y en a bien 16. Application : Combien vaut le nombre suivant écrit en base 2 : (1101111)2 ? Prononcez : « un un zéro un un un un » (eh oui !). Opération inverse (plus délicate) : convertissez (139)10, en un nombre écrit en base 2 (= nbr « binaire »). Il faut effectuer la division euclidienne de 139 par 2 : le reste de la division est le chiffre de poids le plus faible (le chiffre de droite quoi !). On effectue ensuite la division euclidienne du quotient par 2 : Le reste est le chiffre suivant. Et ainsi de suite jusqu’au chiffre de poids le

3 2 1 0 ← Poids (position du chiffre) 103 102 101 100 → « 10 » car Base 10 2x103 + 0x102 + 1x101 + 6x100 = 2016 unités, qui se notent « 2 0 1 6 » Somme pondérée →



plus fort. C’est LA méthode rigoureuse mais pas vraiment judicieuse. Il y a quand même plus rapide pour peu qu’on ait un peu de pratique… En résumé : (139)10 = Comptons un peu en base deux : 0, 1, 2, 3, 4… ça donne quoi en base 2 ? Cela donne : 000, 001, 010, …………………………………………………………….,111 ?

Nombre en base 2

(binaire)

Nombre en base 10

(décimal)

0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7

Vous remarquerez que les chiffres son strictement inférieurs à… 2 (la base de numération choisie). Cela ne doit pas vous étonner : en base 10, les chiffres (0 à 9) sont strictement inférieurs à… 10.

2.2. Codage binaire naturel : application au codage numérique du signal.

2.2.1. Quantification et notion de résolution Soit un signal analogique d’amplitude maximale donnée, et codé sur N bits. On défini la résolution de cet encodage. Définition de la résolution : valeur de la grandeur analogique correspondant à un changement de bit. C’est la plus petite valeur analogique quantifiable par le codage.

F Résolution : N

traiteràsignalduamplitudeR2

....= où N=nb de bits.

Unité de R = unité de la grandeur physique transportée par le signal. Voir illustration ci après.



Exemple général, quantification simple : un signal codé sur 8 bits, peut prendre 28 = 256 valeurs possibles différentes. Si le signal est une tension d’amplitude 3V, la résolution est 3/256 = 11,7 mV. Si on veut augmenter la résolution il faut …………………………………… Problème inverse : on veut une amplitude de 5V et résolution de 0,1 mV : calculez le nombre de bits nécessaires.

2.2.2. Le temps s’en mêle… La grandeur analogique à coder varie au cours du temps. Et bien… on découpe le temps aussi. On est dans le cas d’un système à temps discret. 1ère étape - échantillonnage : le signal est échantillonné dans le temps (= découpage temporel). Son niveau sera ainsi codé à partir d’un nombre fini de valeurs temporelles. 2ème étape – quantification : sa résolution dépend du nombre de bits utilisé par le codage (= quantification). On quantifie le signal sur chaque période d’échantillonage.

Grandeur analogique G

Grandeur G numérisée sur 3 bits

Résolution

Amplitude

Quantification d’une grandeur analogique. Dans cet exemple une tension d’amplitude 1 Volt sur 3 bits.



Exemple de l’encodage d’un signal audio au format CDA (Compact Disc Audio). Application : la numérisation « CDA », CD Audio, se fait avec une quantification N=16 bits, et une période d’échantillonnage Te = 22,7 µs, soit un découpage 44100 fois par seconde (appelée fréquence d’échantillonage, Fe=44100 Hz = 1/Te). Combien de place mémoire (en kO) occupe 1 seconde de signal audio stéréo, numérisé de la sorte ? Déduire la durée de signal audio stéréo encodable en format CDA, sur un CD de 800 MO. Autre exemple : une table transversale de Machine Outil à Commande Numérique se déplace sur une course de 1m. Elle est entrainée par un système vis écrou de pas 2mm. Combien de bits doit comporter le codeur angulaire solidaire de la vis pour que le déplacement de la table ait une résolution inférieure à 1 micron ?

Temps (ms)

Signal traité/amplifié

Tension (V)

Support final

Conversion analogique → numérique

0001

0011

0010 0110

0111

0101

Stockage numérique du signal audio

Codage numérique image de U

t (ms) 0000 0001 0011 0010 0110 0111

1100

0101 0100

Echantillonnage (=découpage temporel)

Quantification (=découpage du signal selon N bits, N=16 bits en format cda) (4 bits sur cet exemple simple) Période

d’échantillonnage 0,023 ms en format cda (44100 Hz)

1101 1111

Rés

olut

ion

1/ 6

5536

. am

plitu

de

(form

at c

da 1

6 bi

ts)



2.3. Le code binaire réfléchi (ou code Gray)

Vous connaissez le code binaire naturel qui est pondéré et permet d’effectuer des calculs (somme, signe, décimale…). Cela est acquis. Le code binaire réfléchi n’est pas pondéré. C’est un codage qui ne permet pas de faire d’opération arithmétique. Il est construit de telle sorte que lorsqu’on « change de ligne », une seule variable change d’état.

Décimal Binaire naturel

Binaire réfléchi

0 000 000 1 001 001 2 010 011 3 011 010 4 100 110 5 101 111 6 110 101 7 111 100

Ce code est utilisé dans les codeurs de position absolu : pas de parasitage ou risque d’aléa au passage de deux états successifs. Et oui ! Par exemple, hypothèse : si un codeur angulaire (comme ci-dessous) possède N=2 bits en binaire naturel, que peut-il se passer quand on passe de 00→→01→→10→→11. Réfléchissez sur le passage entre le 2ème et le 3ème mot…

Binaire réfléchi : Un seul bit varie quand on passe d’une ligne à l’autre.

Codeur angulaire sur …… bits. avec ses ………capteurs. Résolution ? R=

Ci contre à droite : codeur optique de position angulaire, sur …… bits. Résolution R= Question : si on veut une résolution de 1°, combien faut-il de bits ?

Non non non chers taupins, ce n’est pas une figure fractale. Quoi que…



III. VARIABLES LOGIQUES – BASES DE L’ALGEBRE DE BOOLE Quand les variables sont de type tout ou rien, on parle de variables logiques. Ces variables sont utilisées pour représenter des états tels que vrai/faux, ampoule allumée/éteinte, moteur alimenté/non alimenté, droite/gauche pour un capteur, travail/pas travail pour le samedi après midi. L’algèbre de Boole est utilisé pour manipuler les données, les informations. Les variables de Boole, sont le 0 et le 1. On les appelle aussi variables binaires ou booléennes. Les règles de fonctionnement d’un système logique peuvent toutes s’exprimer à partir d’expressions combinant les propositions logiques avec les conjonctions de coordination « ET », « OU », et l’adverbe « NON ». Exemple : si « beau temps » ET NON « DS de Sii » alors « aller à la plage ». L’algèbre de Boole donne une représentation mathématique au langage logique habituel :

- les propositions logiques sont remplacées par les variables logiques (a, b, M…) - en général on attribue les lettres minuscules aux entrées, les MAJUSCULES aux

SORTIES - les adverbes et conjonctions sont remplacés par des opérateurs (+, . ,� ) - une fonction logique permet d’exprimer la relation entre les propositions logiques.

3.1. Les opérateurs logiques fondamentaux

Les quatre opérateurs logiques fondamentaux sont « ET », « OU », « NON », « OUI ». Les opérateurs mathématiques associés sont : Opérateur OUI : aS = Opérateur NON : aS = Opérateur ET : baS .= = Produit logique (ou intersection) Opérateur OU : baS += = Somme logique (ou union) Les tableaux ci-dessous donne la carté d’identité complète de chaque opérateur en indiquant : le chronogramme, la table de vérité, le schéma à contact, les symboles logique norme AFNOR et US. Seules sont au programme l’équation logique et la table de vérité. Je vous conseille de connaître le schéma à contact permettant de mettre une réalité constructive sur l’équation logique.

Opérateur OUI

(pour « réamplifier »

un signal)



→ une erreur (volontaire et classique) s’est glissée ci-dessus dans la représentation normalisée des contacts : où est-elle ? Règles de De Morgan : complément de la somme logique : baba .=+ peut s’appliquer à n termes. complément du produit logique : baba +=. peut s’appliquer à n facteurs.

Exemple d’application du théorème de De Morgan : « Je vais au cinéma samedi après midi » = « Temps pluvieux » ET NON « DS de SII vendredi prochain » Dans quel cas je ne vais pas au cinéma ? Complémentons l’égalité logique précédente :

« Je vais au cinéma samedi après midi » = « Temps pluvieux » ET NON « DS de SII vendredi prochain »

« Je ne vais pas au cinéma » = « Temps pluvieux » OU NON « DS de SII vendredi prochain »

« Je ne vais pas au cinéma » = « Beau temps » OU « DS de SII vendredi prochain »

Opérateur NON

Opérateur ET

Opérateur OU



3.2. Les opérateurs logiques particuliers

Les opérateurs suivants sont une combinaison des fonctions de base (ET, OU, NON). IV. DETERMINATION D’UNE EQUATION LOGIQUE A PARTIR D’UN CAHIER DES CHARGES. Un cahier des charges défini l’état des sorties en fonction de l’état des entrées. A partir de ce CDCF, nous pouvons définir les équations logiques en passant par la table de vérité. Exemple : Un monte charge est muni de :

- un capteur position haute h : h=1 quand la charge est en position haute. - un capteur position basse b : b=1 quand la charge est en position basse. - Un bouton poussoir m que l’opérateur actionne quand il désire monter la charge : m=1

quand l’opérateur donne la consigne de montée. Son actionneur (moteur électrique asynchrone) reçoit un ordre de montée M. M=1 : le moteur commande la montée de la charge.

Opérateur XOR

(OU exclusif)

Opérateur XNOR

(Identité logique)

La sortie est à « un » si une entrée et une seule est à « un ». ou bien, La sortie est à « un » si les deux entrées sont dans des états logiques complémentaires.

e1

e2

e2

e1

Tout le contraire de la fonction OU exclusif…

e1 e2

e2 e1



La table de vérité La table de vérité de la fonction M=f(m,h,b) est donnée ci-contre. Nous pouvons définir la fonction logique de la fonction « Monter » du treuil : M = On peut la simplifier avec les règles de calcul booléennes. M = Remarque : le remplissage des états des entrées dans une table de vérité suit le codage binaire naturel. En outre si le problème à traiter comporte n entrées, la table de vérité comportera 2n lignes (car 2n combinaisons possibles des entrées). V. REALISATION CONSTRUCTIVE DES FONCTIONS LOGIQUES

5.1. Composants technologiques Les composants technologiques sont très différents selon l’énergie utilisée.

5.1.1. Technologie pneumatique

m h b M 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

Cellule pneumatique OUI

Cellule pneumatique NON

Cellule pneumatique ET

Cellule pneumatique OU

Cellule pneumatique NAND

babaS +== .

ou bien : babaS ⋅=+=

Cellule pneumatique NOR

ou bien :



Les cellules pneumatiques sont encombrantes et de moins en moins utilisées. Néanmoins pour des applications industrielles spéciales (milieu explosifs, ou agressifs interdisant l’emploi des composants électronique et de l’électricité) on privilégie encore cette technologie.

5.1.2. Technologie électronique Les portes logiques électroniques sont regroupées par groupe de six ou quatre portes dans ce qu’on appelle couramment une « puce ». Porte logique ET en technologie TTL

- FIN DU COURS SUR LES SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS

COMBINATOIRES –

+5 V

4 portes

2 portes à 4 entrées 0V

+ 5V



D’après les ouvrages de R Papanicola et JY Fabert Exercice 1 : distributeur de boisson Un appareil comporte trois cuves contenant de l’eau, de la menthe et du cassis. Trois boutons e, m, c commandent les électrovannes E, M, C. Les électrovannes permettent d’obtenir de l’eau pure (E), de la menthe à l’eau (E+M), ou du cassis à l’eau (E+C). Une pièce p est nécessaire pour obtenir de la menthe et du cassis. L’eau pure est gratuite. Le déclenchement d’un des boutons e, m, c, ou l’introduction de la pièce, déclenche une temporisation (la temporisation n’est pas traitée dans ce problème). Si cette temporisation arrive à son terme avant qu’un choix cohérent ait été fait, la pièce est rendue (fonction de restitution P). La pièce est également rendue en cas de fausse manœuvre ou de commande incohérente. Donnez les équations logiques de E, M, C et P. Exercice 2 : comparateur Réalisez un comparateur de deux nombres de deux chiffres écrits en base 2 : a= « a1a0 » et b= « b1b0 ». Ce comparateur possèdera trois sorties : I (I=1 quand a<b), E (E=1 quand a=b), S (S=1 quand a>b). Etablissez les équations logiques. Exercice 3 : additionneur On veut réaliser un additionneur de deux nombres de deux chiffres écrits en base 2 : a= « a1a0 » et b= « b1b0 ». La somme S est un nombre aussi écrit en base 2. 1. Combien de chiffres (donc de bits) doit posséder le nombre S ? 2. Chaque bit de S est nommé Si où i est le poids du bit Si. Donnez l’équation des Si en

fonction des ai, bi. 3. Equations logiques

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