EUGEN-MIH¼AIT¼A CIOROIANUSILVIU-CONSTANTIN S¼ARARU

INTRODUCERE ÎNTEORIA GRAVITATIEI

Editura UniversitariaCraiova, 2008

Cuprins

1 Cuvant inainte 2

2 Varietati netede. Varietati Riemanniene 32.1 Varietati netede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Categoria Man . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Tensori pe varietati netede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Campuri de tensori pe varietati netede . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Varietati Riemanniene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 De�nitie. Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Transport paralel pe varietati Riemanniene. Derivata covarianta 262.2.3 Campuri tensoriale remarcabile pe varietati Riemanniene . . . 362.2.4 Izometrii. Tensori Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.5 Spatiul Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.6 Universul spatio-temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Ecuatii de miscare intr-un camp gravitational 483.1 Geodezice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Principiul variational pentru geodezice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Limita Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Ecuatiile Einstein 554.1 Ecuatiile de camp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Limita Newtoniana a ecuatiilor Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Formulari Lagrangiene ale campului gravitational 605.1 Formularea Hilbert�Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Formularea Palatini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Formalismul de ordinul I in derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 Solutiile cu simetrie sferica ale ecuatiilor Einstein 716.1 Campuri gravitationale statice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Metrici cu simetrie sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3 Solutia Schwarzschild. Cazul � = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4 Solutia Schwarzschild. Cazul � 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.5 Geodezice in spatiul Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5.1 Geodezice de tip temporal. Avansul periheliului unei planete. . 836.5.2 Geodezice nule. Curbarea razei de lumina. . . . . . . . . . . . . 88

7 Dezvoltari perturbative 90

1

1 Cuvant inainte

Baza acestei lucrari, care se adreseaza studentilor, masteranzilor, doctoranzilor sitinerilor cercetatori interesati de studiul celei mai slabe dintre interactiile funda-mentele si anume interactia gravitationala, o constituie cursurile �Introducere in teoriagravitatiei�de la ciclul de studii universitare de licenta Fizica si �Introducere in teoriarelativitatii generale�de la ciclul de studii universitare de masterat Fizica Teoretica,ambele predate de autori la Facultatea de Fizica a Universitatii din Craiova, precumsi o serie de seminarii stiinti�ce pentru doctoranzii in domeniul Fizica de la aceeasifacultate. Materialul de fata isi propune sa ofere cunostintele matematice de bazanecesare in studiul gravitatiei si al teoriilor de camp pe spatii curbate si sa asigureun punct de start celor care doresc sa-si dezvolte cunostintele despre aceasta parte a�zicii teoretice (formularea geometrica a interactiei gravitationale).Subordonat primului obiectiv al acestui manual, si anume acela de o oferi cunos-

tintele matematice de baza, in prima parte sunt introduse elemente de geometriediferentiala locala si globala. Astfel, sunt introduse o serie de notiuni asociate catego-riei varietatilor netede (Man) si subcategoriei varietatilor Riemanniene (Riem). Acestcapitol ofera o multitudine de exemple si propune spre rezolvare o serie de exercitiicare impreuna asigura dezvoltarea capacitatii studentilor si doctoranzilor de a operacu notiunile abstracte de matematica si de a le aplica in situatii date.Celelalte capitole ale lucrarii se subordoneaza celui de-al doilea obiectiv. In capi-

tolul trei al lucrarii utilizand cunostintele matematice introduse anterior sunt deduse sianalizate ecuatiile de miscare ale unei particule test a�ata intr-un camp gravitational(ca ecuatii ale geodezicei pe un spatiu curbat) si este investigata limita Newtoniana aacestora. In cel de-al patrulea capitol sunt deduse din consideratii geometrice ecuatiilede evolutie ale campului gravitational (ecuatiile Einstein) si studiata limita Newtoni-ana a acestora. In urmatorul capitol sunt prezentate diferite formulari Lagrangieneale campului gravitational �camp dinamic (formularile Hilbert�Einstein, Palatini side ordinul unu in derivate) si este demonstrata echivalenta acestor formulari. Capi-tolul sase este dedicat rezolvarii ecuatiilor Einstein (cu si fara constanta cosmologica)in absenta surselor pentru campuri gravitationale cu simetrie sferica. De asemenea,in acest capitol este demonstrata teorema Birkho¤ care asigura faptul ca solutiilecu simetrie sferica ale ecuatiilor Einstein (cu si fara constanta cosmologica) descriucampuri gravitationale statice. Ultimul capitol prezinta dezvoltari perturbative alegravitatiei Hilbert�Einstein in jurul metricii Minkowski.Dorim sa multumim in mod deosebit prof. dr. C. Bizdadea si prof. dr. S.O. Saliu

pentru comentariile si suportul acordate in cursul elaborarii acestui material.In �nal, autorii multumesc apriori tuturor celor care prin observatii si sugestii vor

ajuta la imbunatatirea acestui material in vederea unei noi editii.Cheltuielile de editare si tiparire pentru acest material au fost acoperite integral

din suma alocata grantului de tip A, cod CNCSIS 581, tema nr. 3, din cadrul con-tractului de cercetare nr. 65GR/11.06.2008, incheiat intre Universitatea din Craiovasi CNCSIS-MEdC.Craiova, 15 Septembrie, 2008

Autorii

2

2 Varietati netede. Varietati Riemanniene

Acest capitol isi propune sa furnizeze cunostintele matematice necesare abordarii ri-guroase a teoriilor de camp ce incorporeaza gravitatia. Varietatile netede apar in�zica inca din studiul fenomenelor mecanice. Mai precis, in formularea Lagrangea mecanicii clasice pentru un sistem se introduc asa-numitele coordonate generali-zate, care impreuna cu derivatele de ordinul unu in raport cu timpul, caracterizeazacomplet starea mecanica a sistemului. Matematic, coordonatele generalizate nu suntaltceva decat functiile de coordonate asociate unei harti locale pe o varietate netedanumita varietatea de con�guratie a sistemului. In acest capitol vom introduce catego-ria varietatilor netede Man, subcategoria celor Riemanniene Riem precum si obiectelegeometrice speci�ce acestora. In �nalul capitolului se evidentiaza structurile netedaa spatiului Minkowski si Riemanniana a universului spatio-temporal.

2.1 Varietati netede

2.1.1 Categoria Man

Din punct de vedere intuitiv, o varietate neteda este o multime care local arata caun spatiu euclidian Rm. Exemple de astfel de multimi sunt curbele si suprafetele dinspatiul a�n euclidian E3. In cele ce urmeaza vom introduce notiunile de harta localasi atlas neted [colectie de harti locale].

De�nitia 1 Fie (M; T ) un spatiu topologic Hausdor¤ [1] care veri�ca a doua axiomade numarabilitate [2]. Un dublet (U; �), unde U 2 T si � : U ! � (U) � Rm este unhomeomor�sm [2], se numeste harta locala pe multimea M .

Expresia pe componente a aplicatiei � este � (p) =�x1(p); x2(p); : : : ; xm(p)

�. Nu-

merele reale x�(p), � = 1;m se numesc coordonatele locale ale punctului p 2 U �Min harta locala (U; �).Din de�nitia anterioara observam ca prin intermediul unei harti locale, elementele

unei submultimi deschise a unui spatiu topologic pot � parametrizate in mod unic[relativ la harta locala aleasa] prin seturi de m-upluri reale.

De�nitia 2 Fie (M; T ) un spatiu topologic Hausdor¤ si f(Ui; �i)gi=1;2 doua hartilocale. Spunem ca cele doua harti locale sunt neted compatibile daca:

i) U1 \ U2 = ?,sau

ii) U1\U2 6= ? si aplicatiile �1��2 : �2 (U1 \ U2)! �1 (U1 \ U2) si �2��1 : �1 (U1 \ U2)!�2 (U1 \ U2) sunt functii netede.

In de�nitia anterioara prin �� s-a notat inversa aplicatiei �, iar pentru compunereade aplicatii s-a omis simbolul traditional "�", �� � � � �.

3

Concret, daca notam cu (x�(p))a=1;m si (x0�(p))a=1;m coordonatele locale alepunctului p 2 U1 \U2 in hartile locale (U1; �1) si respectiv (U2; �2), atunci aplicatiilenetede invocate in de�nitia anterioara sunt8><>:

x1 = x1�x01; : : : ; x0m

�...

xm = xm�x01; : : : ; x0m

� si

8><>:x01 = x01

�x1; : : : ; xm

�...

x0m = x0m�x1; : : : ; xm

� (1)

Exemplul 1 Un spatiu a�n real m-dimensional este tripletul (Am; '; Vm), unde Ameste o multime de puncte, Vm este un spatiu vectorial real m-dimensional si ' esteaplicatia ' : Am �Am �! Vm cu urmatoarele proprietati

a1) oricare ar � v 2 Vm si oricare ar � A 2 Am, exista si este unic B 2 Am astfelincat ' (A;B) = v;

a2) ' (A;B) + ' (B;C) = ' (A;C), pentru orice A, B, C 2 Am.

Introducem pe Am o colectie de harti locale care au ca domenii de de�nitie chiar

Am si sunt asociate reperelor pe spatiul Am. Fie R =nO; (e�)�=1;m

oun reper pe

Am. Construim harta locala (Am; �R) unde aplicatia �R asociaza punctului P 2 Am,m-uplul de numere reale reprezentat de coordonatele punctului P in reperul ales

Am 3 P �! �R (P ) = x (P ) ��x1 (P ) ; : : : ; xm (P )

�2 Rm; (2)

unde' (O;P ) = x� (P ) e�: (3)

Evident, pe baza proprietatii a1) aplicatia �R este inversabila. Intr-adevar, a1) ex-prima bijectivitatea aplicatiei

'O : Am �! Vm; 'O (P )def= ' (O;P ) ; (4)

ceea ce implica invertibilitatea functiei �R, cu inversa de forma

��R : Rm �! Am; ��R = �'OtR: (5)

In (5) tR este izomor�smul

Rm 3 x �! tR (x) = x�e� 2 Vm: (6)

Vom demonstra ca oricare doua harti locale (Am; �R) si (Am; �R0) asociate reperelor

R =nO; (e�)�=1;m

osi R =

nO0;�e0���=1;m

osunt neted compatibile. Deoarece

(e�)�=1;m si�e0���=1;m

sunt baze in acelasi spatiu vectorial real, exista matricile pa-

tratice reale a = (a� �)�;�=1;m si b�a = (�a� �)�;�=1;m [una inversa celeilalte] astfelincat

e0� = a��e�; e� = �a

��e0�: (7)

4

Utilizand notatia �R (O0) = x0 obtinem ca

x �! x0 = x0 (x) � �R0��R (x) ; (8)

sau, pe componentex0� (x) = �a� � (x

� � x�0 ) : (9)

In aceeasi maniera determinam aplicatia compusa �R��R0

x0 �! x = x (x0) � �R��R0 (x0) ; (10)

cu expresia pe componente

x� (x0) = a� �x� + x�0 : (11)

Pe Am se poate introduce o topologie care veri�ca a doua axioma de numarabilitatesi este separata Hausdor¤. Topologia mentionata este chiar transportul prin �R a celeinaturale din Rm. In raport cu topologia indusa, toate aplicatiile asociate reperelor Rsunt homeomor�sme.

Exemplul 2 Sa consideram multimea punctelor din plan a�ate la distanta egala cuunitatea de un punct �x � numit centru [cercul], S1. Alegerea unui reper cartezian[cu originea in centrul cercului] in plan caracterizeaza elementele lui S1 prin dublete(x; y) 2 R2 care satisfac

x2 + y2 = 1: (12)

Topologia distantei pe R2 induce natural pe S1 o topologie Hausdor¤ care veri�ca adoua axioma de numarabilitate. Fie punctul �P = �P (0;�1) 2 S1. De�nim home-omor�smele � : S1nf �Pg �! (0; �) si � : S1nf �Pg �! R in maniera urmatoare.Aplicatia � asociaza �ecarui punct p 2 S1nf �Pg unghiul dintre dreapta determinata dep �P si paralela prin �P la axa Ox. Aplicatia � asociaza aceluiasi punct valoarea ab-scisei punctului obtinut prin intersectia dreptei p �P si axa Ox. Matematic, expresiileaplicatiilor construite anterior sunt

� (p) = arccos

0@ xpqx2p + (yp + 1)

2

1A ; � (p) =xp

1 + yp: (13)

Se veri�ca simplu ca (13) sunt homeomor�sme, iar inversele acesora au expresiile

�� (�) = (sin 2�;� cos 2�) ; �� (�) =

�2�

1 + �2;1� �21 + �2

�: (14)

Din (13) si (14) construim aplicatiile compuse ��� si ���. Expresiile concrete aleacestora sunt

��� (�) = arccos

��p1 + �2

�; ��� (�) =

sin 2�

1� cos 2� ; (15)

care evident sunt aplicatii netede [chiar analitice].

5

Hartile locale conduc in mod natural la notiunea de atlas neted.

De�nitia 3 Fie (M; T ) un spatiu topologic Hausdor¤ conex care veri�ca a doua axi-oma de numarabilitate. O colectie A = f(Ua; �a)ga2A [unde A este o multime deindici] de harti locale se numeste atlas neted daca sunt satisfacute cerintele:

i) Pentru orice a, b 2 A, hartile locale (Ua; �a) si (Ub; �b) sunt neted compatibile;

ii) Are loc egalitatea de multimi

M =[a2A

Ua: (16)

Problema 1 Sa se construiasca pentru sfera S2 [inzestrata cu topologia indusa decea a distantei din R3] un atlas neted.

Indicatii 1 Alegem un reper cartezian cu originea in centrul sferei si construimdubletele (UN ; �N ) si (US ; �S), unde UN = S

2nfNg si US = S2nfSg [N = N (0; 0; 1)si S = S (0; 0;�1)], iar �N asociaza �ecarui punct P din UN punctul din planul Oxyobtinut din intersectia dreptei PN cu planul Oxy in timp ce �S asociaza �ecarui punctP 0 din US punctul din planul Oxy obtinut din intersectia dreptei P 0S cu planul Oxy.

Problema 2 Sa se construiasca pentru sfera Sm [inzestrata cu topologia indusa decea a distantei din Rm+1] un atlas neted.

Problema 3 Fie Pm (R) multimea factor obtinuta prin factorizarea lui Rm+1� �Rm+1n f0g la relatia de echivalenta ���de�nita prin

x � y , 9� 2 R a:i: x = �y: (17)

Sa se construiasca pentru Pm (R) un atlas neted.

Spunem ca doua atlase netede pe acelasi spatiu topologic A1 si A2 sunt netedcompatibile daca si numai daca A1 [ A2 este atlas neted. Multimea atlaselor netedepe un spatiu topologic (M; T ) este inzestrata natural cu o relatie de ordine partialareprezentata de incluziunea de multimi. Conform lemei Zorn [3] exista elemente ma-ximale relativ la relatia de ordine mentionata. Un astfel de atlas neted maximalAmax pe un spatiu topologic Hausdor¤ care veri�ca a doua axioma de numarabilitate(M; T ) poarta numele de structura neteda.

De�nitia 4 Un triplet (M; T ;Amax), unde (M; T ) un spatiu topologic Hausdor¤conex care veri�ca a doua axioma de numarabilitate si Amax este un atlas neted ma-ximal pe (M; T ) se numeste varietate neteda.

Remarca 1 Pe baza lemei lui Zorn, este su�cient sa identi�cam un atlas neted A pe(M; T ) pentru a construi o structura nededa si implicit pentru a construi o varietateneteda care sa aiba ca spatiu geometric M .

6

Remarca 2 In tripletul care caracterizeaza varietatea neteda, putem sa renuntam laevidentierea topologiei T deoarece aceasta este complet caracterizata de homeomor�s-mele corespunzatoare hartilor locale din structura neteda.

Exemplul 3 Spatiul a�n (Am; '; Vm) poate � inzestrat cu structura neteda

Am =n(Am; �R)

���R =nO; (e�)�=1;m

o� reper in Am

oVom nota varietatea neteda corespunzatoare Am = (Am;Am).

Spatiul Rm in care isi au codomeniile aplicatiile corespunzatoare hartilor localedintr-o structura neteda se numeste spatiu de modelare, iar numarul natural m senumeste dimensiunea varietatii netede.Functiile compuse �b��a si �a��b construite din homeomor�smele a doua harti lo-

cale (Ua; �a) si (Ub; �b) neted compatibile sunt una inversa celeilalte si se numescfunctii de tranzitie. Daca notam aplicatiile anterioare

Rm � �a (Ua \ Ub) 3 x�b��a�! x0 = x0 (x) 2 �b (Ua \ Ub) � Rm (18)

si

Rm � �b (Ua \ Ub) 3 x0�a��b�! x = x (x0) 2 �a (Ua \ Ub) � Rm; (19)

invertibilitatea reciproca se exprima prin identitatile

x0� � x0� (x (x0)) ; 8� = 1;m (20)

six� � x� (x0 (x)) ; 8� = 1;m: (21)

Din (20) si (21) prin derivare partiala in raport cu x0� si respectiv x� obtinem

@x0�

@x�(x (x0))

@x�

@x0�(x0) = ��� ; (22)

@x�

@x0�(x0 (x))

@x0�

@x�(x) = ��� : (23)

Un alt concept legat de varietatile netede este cel de aplicatie neteda intre varietati,de�nit mai jos.

De�nitia 5 Fie (M;AM ) si (N;AN ) doua varietati netede. O functie F :M �! Nse numeste aplicatie neteda intre varietatile (M;AM ) si (N;AN ) daca pentru oricedoua harti locale (Ua; �a) 2 AM si (V�; ��) 2 AN cu F (Ua) � V�, aplicatia compusa

~F�;a � ��F ��a : �a (U) �! Rn; (24)

este functie neteda. Functia compusa (24) este cunoscuta sub numele de expresia localaa aplicatiei F in hartile locale (Ua; �a) si (V�; ��).

7

Daca notam cu x = (x�)�=1;m si y =�yi�i=1;n

coordonatele in hartile locale

(Ua; �a) si (V�; ��) pe varietatile M si N , atunci expresia locala ~F�;a a aplicatiei Fdevine

y = ~F�;a (x) ; (25)

sau pe componente 8>>><>>>:y1 =

�~F�;a

�1 �x1; x2; : : : xm

�...

yn =�~F�;a

�n �x1; x2; : : : xm

� (26)

Vom nota in continuare cu F (M;N) multimea aplicatiilor netede intre varietatile(M;AM ) si (N;AN ) cu F (M) � F (M;N = R). Multimea F (M) este chiar multi-mea campurilor scalare netede pe M .Anterior am de�nit ingredientele categoriei Man, categorie ale carei obiecte sunt

chiar varietatile netede si ale carei mor�sme sunt functiile netede intre varietati netede[4].Un caz particular de aplicatie neteda intre varietati netede este difeomor�smul

neted.

De�nitia 6 Fie (M;AM ) si (N;AN ) doua varietati netede. O aplicatie inversabilaF : M �! N se numeste difeomor�sm neted intre varietatile (M;AM ) si (N;AN )daca atat F cat si �F : N �!M sunt aplicatii netede.

Doua varietati netede intre care exista un difeomor�sm neted se numesc difeomorfe.Din de�nitia anterioara, observam ca varietatile difeomorfe au aceeasi dimensiune. Cutoate acestea, exista varietati netede care au aceeasi dimensiune dar nu sunt difeo-morfe. Mai mult, exista varietati netede care au acelasi spatiu geometric dar nu suntdifeomorfe. Exemple de asemenea varietati sunt cele care au drept spatiu geometricsfera S7 si R4.Varietatile netede pot � privite ca suprafete regulate in spatii euclidiene, conform

urmatoarei teoreme [Whitney].

Teorema 1 Pentru orice varietate neteda (M;AM ) m-dimensionala exista N 2 N[N > m] astfel incat M se poate scufunda regulat in RN .

Cu alte cuvinte, orice varietate neteda (M;AM ) este difeomorfa cu o suprafatadin spatiul euclidian RN .

2.1.2 Tensori pe varietati netede

De�nitia 7 Fie (M;AM ) o varietate neteda. O aplicatie neteda : R �! M cesatisface (0) = p0 se numeste curba neteda pe varietatea M ce trece prin punctul p0.

In de�nitia anterioara nu este neaparat nevoie ca aplicatia sa �e de�nita peintreaga multime a numerelor reale, ci este su�cient ca aceasta sa �e de�nita pe uninterval deschis ce contine originea. Aceasta relaxare se bazeaza pe faptul ca R este

8

difeomorfa cu orice interval deschis I = (�; �) � R [4]. Notam cu C (M) curbelenetede pe M .Fie (Ua; �a) 2 AM (p0) o harta locala astfel incat p0 2 U si �e o curba neteda pe

M ce trece prin p0. Folosind de�nitia aplicatiilor netede intre varietati netede [pentrusimplitate, fara a afecta generalitatea problemei, am presupus ca intrega imagine aaplicatiei se a�a in domeniul hartii locale, (R) � U ], aplicatia �a : R �! � (U) �Rm este neteda. Relativ la harta locala mentionata de�nim vectorul tangent la curba in punctul p0 prin

d0 (�a ) (1) ; (27)

unde d0 (�a ) este diferentiala aplicatiei R 3 � �! �a (�) 2 Rm in punctul � = 0.Daca notam cu x = (x�)�=1;m coordonatele locale pe M asociate hartii (Ua; �a) six (�) = �a (�), atunci expresia concreta a vectorului evidentiat in (27) este

d0 (�a ) (1) =

�dx1 (�)

d�

�����=0

; : : : ;dxm (�)

d�

�����=0

�2 Rm: (28)

Sa consideram o alta harta locala pe M , (Ub; �b) 2 AM (p0), si sa identi�camrelatia dintre expresiile in cele doua harti locale ale vectorului tangent in p0 la curba . Notand cu x0 = (x0�)�=1;m coordonatele in harta locala (Ub; �b) si folosind regulade diferentiere a functiilor compuse obtinem

d0 (�b ) (1) = dx0��b��a�(d0 (�a ) (1)) ; (29)

unde am notat prin x0 = �a (p0). Pe componente, (29) se scrie ca

dx0� (�)

d�

�����=0

=@x0�

@x�(x0)

dx� (�)

d�

�����=0

; � = 1;m: (30)

In (30) am folosit conventia Einstein de sumare care presupune sumarea dupa indicelecare se repeta intr-o expresie.Avand ca model vectorii tangenti la curbe de�niti anterior, introducem notiunea

de vector tangent intr-un punct dat p0 la varietatea (M;AM ). Notam AM (p0) =f(Ua; �a) 2 AM j p0 2 U g si in multimea AM (p0)�Rm de�nim relatia de echivalentap0� prin

((Ub; �b) ;v)p0� ((Ua; �a) ;u)() v = dx0

��b��a�(u) ; (31)

sau, pe componente

((Ub; �b) ;v)p0� ((Ua; �a) ;u)() v� =

@x0�

@x�(x0)u

�; � = 1;m: (32)

Problema 4 Sa se demonstreze ca intr-adevar relatia binarap0� de�nita prin (31)

este una de echivalenta [re�exiva, simetrica si tranzitiva].

De�nitia 8 Vectorii tangenti in punctul p0 la varietatea M sunt elemente ale multi-mii factor AM (p0)� Rm/

p0� adica elementele [((Ua; �a) ;u)]p0 , unde

[((Ua; �a) ;u)]p0 =n((Ub; �b) ;v)

���((Ub; �b) ;v) p0� ((Ua; �a) ;u)o : (33)

9

Multimea vectorilor tangenti laM in punctul p0 se noteaza cu Tp0M si se numestespatiul tangent in punctul p0 la varietatea neteda M .Pragmatic, un vector tangent in p0 la M este un obiect X0 care se exprima intr-

o harta locala (Ua; �a) [�a (p0) = x0] printr-un set de m numere reale X0 (x0) �(X�

0 (x0))�=1;m si care la schimbari de harti locale (Ua; �a) �! (Ub; �b) [x� ! x0� =

x0� (x) � x0��x1; : : : ; xm

�; � = 1;m] se transforma dupa legea

X�0 (x0)! X 0�0 (x

00) =

@x0�

@x�(x0)X

�0 (x0) ; � = 1;m: (34)

Exemplul 4 Fie varietatea neteda Am si p0 2 Am si �e vectorul X0 2 Tp0Am.Conform de�nitiei anterioare, intr-o harta locala (Am; �R) acesta se exprima prinX0 (x0) � (X�

0 (x0))�=1;m, care la schimbari de harti locale [echivalent in acest caz laschimbari de repere] se transforma ca in (34). Consideram schimbarea de harti locale(Am; �R) �! (Am; �R0) analizata in (2)�(11). Corespunzator acesteia, componen-tele m-uplului (X�

0 (x0))�=1;m se transforma [in acord cu (34)] ca

X�0 (x0)! X 0�0 (x

00) = �a

��X

�0 (x0) ; � = 1;m: (35)

Din (35) observam ca vectorii tangenti X0 2 Tp0Am pot � identi�cati cu vectorii dinVm

X0 � X�0 (x0) e�: (36)

Se poate arata ca spatiul tangent Tp0M este unul vectorial real m-dimensional [5].Pentru a demonstra acest lucru, este su�cient sa construim aplicatia bijectiva

ta;p0 : Rm �! Tp0M; (37)

asociata unei harti locale (Ua; �a) 2 AM (p0), aplicatie de�nita prin

ta;p0 (u) = [((Ua; �a) ;u)]p0 : (38)

Bijectivitatea aplicatiei (37) permite structurarea ca spatiu vectorial realm-dimen-sional a spatiului tangent Tp0M , prin

8 � 2 R si 8 X0 2 Tp0M; �X0 � ta;p0 (��ta;p0 (X0)) ; (39)

8 X0;Y0 2 Tp0M; X0 +Y0 � ta;p0 (�ta;p0 (X0) + �ta;p0 (Y0)) : (40)

Se arata simplu ca de�nitiile (39) si (40) sunt independente de alegerea hartii locale(Ua; �a) 2 AM (p0). Acest lucru se bazeaza pe faptul ca pentru orice doua harti locale(Ua; �a) si (Ub; �b) 2 AM (p0), aplicatia compusa �tb;p0ta;p0 este izomor�sm al spatiuluiRm. Daca notam cu fe�g�=1;m baza naturala in Rm, atunci

Rm 3 u = u�e� �! �tb;p0ta;p0 (u) =

�@x0�

@x�(x0)u

�

�e� 2 Rm: (41)

De�nitia vectorului tangent X0 = [((Ua; �a) ;u)]p0 2 Tp0M permite constructia

unei aplicatii X0 : F (M) �! R de�nita prin

X0f = dx0�f ��a

�(u) = u�

@�f ��a

�@x�

(x0) : (42)

10

Problema 5 Sa se arate, folosind (33), ca de�nitia aplicatiei (42) este corecta [nudepinde de alegerea hartii locale]. Sa se demonstreze ca aplicatia (42) are urmatoareleproprietati:

i) pentru orice �, � 2 R si orice f , g 2 F (M) au loc

X0 (�f + �g) = �X0f + �X0g; (43)

X0 (fg) = f (p0) X0g + g (p0) X0f ; (44)

ii) pentru orice camp scalar f 2 F (M) care se anuleaza pe o vecinatate a lui p0[exista W 2 TM , p0 2W astfel incat f (p) = 0, 8 p 2W ] avem

X0f = 0: (45)

Indicatii 2 Proprietatile (43) si (44) sunt consecinte imediate ale proprietatilor de-rivatelor partiale ale functiilor reale de mai multe variabile reale. Proprietatea (45)se demonstreaza pe baza de�nitiilor derivatelor partiale si (42).

Mai mult, se poate demonstra ca orice aplicatie X0 : F (M) �! R care satisface(43)�(45) de�neste in mod unic un vector tangent X0 2 Tp0M [5].Bazat pe existenta aplicatiei, notam imaginile vectorilor din baza naturala a

spatiului Rm prin aplicatiile ta;p0 cu

ta;p0 (e�) =

�@

@x�

�x0

; � = 1;m: (46)

Folosind (41) si (46) identi�cam relatiile dintre bazele pe Tp0M induse de baza natu-rala a spatiului Rm �

@

@x�

�x0

=

�@x0�

@x�(x0)

��@

@x0�

�x00

; (47)

unde �@

@x0�

�x00

= tb;p0 (e�) : (48)

In concluzie, un vector tangent arbitrar X0 2 Tp0M se exprima in harta locala(Ua; �a) 2 AM (p0) prin

X0 = X�0 (x0)

�@

@x�

�x0

: (49)

De�nitia 9 De�nim in continuare spatiul cotangent la M in punctul p0, T �p0M , ca�ind dualul algebric [3] al spatiului tangent in p0 la M , Tp0M , adica

T �p0Mdef= (Tp0M)

�: (50)

11

Prin urmare, elementele spatiului T �p0M sunt aplicatiile liniare de�nite pe Tp0Mcu valori in multimea numerelor reale. Acestea se numesc 1-forme sau covectori inpunctul p0 la M . Fie ! 2 T �p0M si X0 2 Tp0M . Alegem harta locala (Ua; �a) 2AM (p0) si conform de�nitiei anterioare avem

! (X0) = X�0 (x0)!

�@

@x�

�x0

!� X�

0 (x0)!� (x0) 2 R; (51)

unde am utilizat notatiile

!

�@

@x�

�x0

!� !� (x0) : (52)

Numerele reale (52) se numesc coe�cientii 1-formei ! relativ la harta locala (Ua; �a) 2AM (p0) si acestia sunt chiar coordonalele covectorului ! in baza din T �p0M care este

duala bazei naturalen�

@@x�

�x0

o�=1;m

� Tp0M relativ la harta locala (Ua; �a) 2

AM (p0). Notam cu�(dx�)x0

�=1;m

baza duala mentionata, aceasta �ind de�nitaprin

(dx�)x0

�@

@x�

�x0

!= ��� : (53)

Folosind (47) si (53) se deduce imediat legatura dintre bazele�(dx�)x0

�=1;m

sin(dx0�)x00

o�=1;m

asociate hartilor locale (Ua; �a) si respectiv (Ub; �b)

(dx0�)x00=

�@x0�

@x�(x0)

�(dx�)x0 : (54a)

In cele ce urmeaza, determinam legea de transformare a coordonatelor covecto-rilor intr-un punct dat p0 la M la schimbari de harti locale. Fie (Ua; �a) si (Ub; �b) 2AM (p0) doua harti locale peM si f!� (x0)g�=1;m si respectiv

�!0� (x

00)�=1;m

coordo-natele covectorului in cele doua harti locale. Folosind (47), (52) precum si liniaritateaaplicatiei ! obtinem succesiv

!� (x0) = !

�@

@x�

�x0

!= !

�@x0�

@x�(x0)

��@

@x0�

�x00

!

=

�@x0�

@x�(x0)

�!

�@

@x0�

�x00

!��@x0�

@x�(x0)

�!0� (x

00) : (55)

Corespunzator acestui rezultat, un vector cotangent in p0 la M este un obiect !care se exprima intr-o harta locala (Ua; �a) [�a (p0) = x0] printr-un set de m numerereale ! (x0) � (!� (x0))�=1;m si care la schimbari de harti locale (Ua; �a) �! (Ub; �b)

[x� ! x0� = x0� (x) � x0��x1; : : : ; xm

�; � = 1;m] se transforma dupa legea

!� (x0)! !0� (x00) =

@x�

@x0�(x00)!� (x0) ; � = 1;m: (56)

12

Notatia utilizata pentru baza�(dx�)x0

�=1;m

din T �p0M asociata hartii locale

(Ua; �a) 2 AM (p0) se justi�ca dupa cum urmeaza. Fie o functie neteda reala f 2F (M). Pe baza aplicatiei (42), aceasta de�neste o aplicatie liniara reala pe Tp0Mprin

(df)p0 (X0) = X�0 (x0)

@�f ��a

�@x�

(x0) ; (57)

numita diferentiala aplicatiei f in p0 2 M . Daca alegem f a � chiar proiectia pe co-ordonata � a aplicatia de coordonate ���a [extinsa evident prin C1-diferentiabilitatela intreaga varietate M ], atunci

(d (���a))p0 (X0) = X�0 (x0) � (dx�)x0 (X0) : (58)

In (58) am utilizat notatia �� pentru aplicatia liniara

�� : Rm �! R; �� (x) = x�: (59)

Sa generalizam notiunile de covector si vector tangent intr-un punct dat p0 2 Mintroduse anterior.

De�nitia 10 Un tensor de tip (r; s) in p0 2 M , unde r se numeste indice de con-travarianta si s se numeste indice de covarianta, este o aplicatie multiliniara

T : T �p0M � � � � � T �p0M| {z }�Tp0M � � � � � Tp0M| {z } �! R: (60)

r ori s ori

Multimea tensorilor de tip (r; s) in p0 2 M o notam cu T rs (Tp0M). In general,spatiul tensorilor de tip (r; s) se poate construi pentru orice spatiu vectorial. Pentrumai multe detalii, cititorul poate consulta [5] si [6]. Numim tensorii de tip (r; s = 0)complet contravarianti iar cei de tip (r = 0; s) complet covarianti.Sa analizam de�nitia anterioara a tensorilor de tip (r; s). Pentru aceasta alegem o

harta locala (Ua; �a) 2 AM (p0). Relativ la harta locala aleasa, avem bazele naturale:

in T �p0M baza�(dx�)x0

�=1;m

si in Tp0M bazan�

@@x�

�x0

o�=1;m

. Utilizand notatia

T

(dx�1)x0 ; : : : ; (dx

�r )x0 ;

�@

@x�1

�x0

; : : : ;

�@

@x�s

�x0

!= T

�1����r�1����s (x0) ; (61)

obiectele T�1����r�1����s (x0) se numesc coordonatele (sau componentele) tensorului T 2T rs (Tp0M) in harta locala (Ua; �a) 2 AM (p0).

Problema 6 Folosind de�nitia tensorului de tip (r; s) in p0 2 M sa se determinevaloarea acestuia pentru un set arbitrar arbitrar de covectori

�!jj=1;r

� T �p0M

si unul de vectori fXigi=1;s � Tp0M , cunoscand expresiile acestora in harta locala(Ua; �a) 2 AM (p0)

!j = !j� (x0) (dx�)x0 si respectiv Xi = X

�i (x0)

�@

@x�

�x0

: (62)

13

Avand in vedere de�nitia tensorilor de tip (r; s) in p0 2 M , precum si bazelenaturale ale spatiilor T �p0M si Tp0M asociate unei harti locale (Ua; �a) 2 AM (p0), obaza in multimea T rs (Tp0M) este(�

@

@x�1

�x0

� � � �

@

@x�r

�x0

�dx�1

�x0 � � �

�dx�s

�x0

)�i;�j=1;m

: (63)

Folosind notatia (61), precum si relatiile (47) si (54a), putem spune ca un tensorde tip (r; s) in p0 2 M este un obiect T care se exprima intr-o harta locala (Ua; �a)[�a (p0) = x0] printr-un set de mr+s numere reale T (x0) �

�T�1����r�1����s (x0)

��i;�j=1;m

si care la schimbari de harti locale (Ua; �a) �! (Ub; �b) [x� ! x0� = x0� (x) �

x0��x1; : : : ; xm

�; � = 1;m] se transforma dupa legea

T�1����r�1����s (x0) �! T

0�1����r�1����s (x00) =

@x0�1

@x�1(x0) � � �

@x0�r

@x�r(x0)�

� @x�1

@x0�1(x00) � � �

@x�s

@x0�s(x00)T

�1����r�1����s (x0) : (64)

Notatia (63) nu este intamplatoare, sursa acesteia �ind produsul tensorial. Pro-dusul tensorial este exprimat prin aplicatia biliniara

T rs (Tp0M)� T r0

s0 (Tp0M) 3 (T;T0) �! TT0 2 T r+r0

s+s0 (Tp0M) ; (65)

de�nita prin

TT0�!1; : : : ; !r+r

0; X1; : : : Xs+s0

�=

= T�!1; : : : ; !r; X1; : : : Xs

�T0�!r+1; : : : ; !r+r

0; Xs+1; : : : Xs+s0

�: (66)

In harta locala (Ua; �a) 2 AM (p0), componentele tensoruluiTT0, (T T 0)�1����r+r0�1����s+s0 (x0)

sunt(T T 0)�1����r+r0�1����s+s0 (x0) = T

�1����r�1����s (x0)T

0�r+1����r+r0�s+1����s+s0 (x0) : (67)

Fie T 2 T rs (Tp0M) un tensor in p0 2M . De�nim contractia acestuia dupa indiciii 2 1; r si j 2 1; s ca �ind aplicatia liniara

Cij : T rs (Tp0M) �! T r�1s�1 (Tp0M) ; (68)

a carei actiune se exprima prin

CijT�!1; : : : ;!r�1;X1; : : : ;Xs�1

�=

= T

!1; : : : ;!i�1; (dx�)x0 ; : : : ;!

r�1;X1; : : : ;Xj�1;

�@

@x�

�x0

; : : : ;Xs�1

!: (69)

14

Problema 7 Sa se demonstreze ca daca T 2 T rs (Tp0M) [ in harta locala (Ua; �a),�a (p0) = x0, coordonatele acestuia sunt

�T�1����r�1����s (x0)

��i;�j=1;m

] atunci

W�1����r�1�1����s�1 (x0) = T

�1����i�1��i+1����r�1�1����j�1��j+1����s (x0) (70)

reprezinta componentele [in harta locala (Ua; �a), �a (p0) = x0] ale unui tensor dinT r�1s�1 (Tp0M).

Pe baza spatiilor tensoriale T rs (Tp0M) se construieste prin suma directa spatiultensorilor in p0 2M ca

T (Tp0M) =Mr;s2N

T rs (Tp0M) ; (71)

unde am facut identi�careaT 00 (Tp0M) � R: (72)

Un element al spatiului vectorial T (Tp0M) este o suma formala

T = T00 +T10 +T

01 +T

11 +T

20 +T

02 + � � � ; (73)

undeTrs 2 T rs (Tp0M) ; 8r; s 2 N; (74)

in care aproape toti termenii din suma sunt triviali [toti cu exceptia unui numar�nit]. Multimea T (Tp0M) poate � structurata ca algebra reala [in�nit-dimensionala]numita algebra tensoriala in p0 2 M . Legile de compozitie pe T (Tp0M) sunt sumatensorilor

T (Tp0M)� T (Tp0M) 3 (T;T0) �! T+T0 2 T (Tp0M) ; (75)

de�nita prin

T+T0 =�T00 +T

000

�+�T10 +T

010

�+�T01 +T

001

�+ � � � ; (76)

inmultirea cu scalari

R� T (Tp0M) 3 (�;T) �! �T 2 T (Tp0M) ; (77)

de�nita prin

�T = �T00 + �T10 + �T

01 + �T

11 + �T

20 + �T

02 + � � � = T�; (78)

precum si produsul tensorial

T (Tp0M)� T (Tp0M) 3 (T;T0) �! TT0 2 T (Tp0M) (79)

de�nit prin

TT0 =�T00T

000

�+�T00T

010 +T

10T000

�+�T00T

001 +T

01T000

�15

+�T00T

020 +T

20T000 +T

10 T010

�+ � � � : (80)

In continuare, vom investiga consecintele existentei unei aplicatii netede intredoua varietati netede. Pentru aceasta, presupunem ca avem doua varietati netede(M; TM ;AM ) si (N; TN ;AN ) de dimensiuni m si respectiv n si o aplicatie netedaF 2 F (M;N). Existenta unei astfel de functii asigura, prin intermediul compuneriide aplicatii, o corespondenta intre curbele netede pe M (C (M)) si cele pe N (C (N)),dar si o corespondenta intre campurile scalare pe N (F (N)) si cele pe M (F (M)),corespondente date prin

C (M) 3 �! F 2 C (N) ; (81)

F (N) 3 ' �! 'F 2 F (M) : (82)

Functiile de�nite prin (81) si (82) permit constructia unor aplicatii liniare intre spatiiletangente si intre cele cotangente in punctele p0 2 M si q0 = F (p0) 2 N , dupa cumvom vedea in cele ce urmeaza.

De�nitia 11 De�nim aplicatia tangenta

F�;p0 : Tp0M �! Tq0N (83)

[cunoscuta si sub numele de "push forward"] ca �ind functia ce asociaza vectoruluitangent la curba 2 C (M) in punctul p0 vectorul tangent la curba F 2 C (N) inpunctul q0.

Utilizand doua harti locale peM si respectiv N , putem construi expresia aplicatiei(83) relativ la acestea. Fie (Ua; �a) 2 AM si (V�; ��) 2 AN astfel incat F (Ua) � V�.Construim ca in (24) expresia lui F in hartile locale alese ~F�;a. Fie X 2 Tp0M ,X = X� (x0)

�@@x�

�x0. Atunci,

F�;p0 (X) =@yi

@x�(x0)X

� (x0)

�@

@yi

�y0

; (84)

unde am notat prin y0 = �� (q0). Din (84) se observa ca F�;p0 este intr-adevar aplicatieliniara. Liniaritatea mentionata permite constructia dualei algebrice a lui F�;p0

F �;p0 : Tq0N �! Tp0M; (85)

[cunoscuta si sub numele de "pull back"] de�nita prin�F �;p0 ()

�(X) = (F�;p0 (X)) : (86)

Concret, pentru orice 1-forma 2 T �q0N , = i (y0)�dyi�y0avem

F �;p0 () = i (y0)@yi

@x�(x0) (dx

�)x0 : (87)

Aplicatiile (83) pot � extinse la orice tensor complet contravariant iar (85) la oricetensor complet covariant.

Problema 8 Sa se determine actiunile aplicatiei F�;p0 pe un tensor T 2 T r (Tp0M)si cea a aplicatiei F �;p0 pe un tensor Y 2 Ts (Tq0N).

16

2.1.3 Campuri de tensori pe varietati netede

Anterior am de�nit vectorii, covectorii si tensorii in puncte date ale unei varietatinetede (M;AM ). Construim multimile

TM =[p2M

TpM (88)

siT �M =

[p2M

T �pM; (89)

acestea se numesc spatiul total al �bratului tangent si respectiv cel al �bratului cotan-gent. Ambele multimi pot � organizate ca varietati netede reale 2m-dimensionale.Vom demonstra aceasta a�rmatie numai pentru multimea TM .

Fie (Ua; �a) 2 AM . Construim dubletul�Ua;�a

�, ai carui factori sunt

Ua =[fTpM jp 2 Ua g (90)

si unde �a este o aplicatie bijectiva �a : Ua �! �a (Ua)� Rm � R2m, de�nita prin

�a (Xp) = (�a (p) ; �ta;p (Xp)) : (91)

Bijectivitatea aplicatiei �a implica existenta inversei acesteia ��a : �a (Ua)� Rm �!Ua exprimata prin

��a (x;X) = ta;��a(x) (X) : (92)

Se veri�ca simplu can�Ua;�a

�j(Ua; �a) 2 AM

oeste un atlas neted pe TM caruia ii

corespunde o structura neteda pe TM ce inzestreaza spatiul TM ca varietate neteda.

Intr-adevar, �e�Ua;�a

�si�Ub;�b

�doua harti locale pe TM atfel incat Ua\ Ub 6= ?

[ceea ce este echivalent cu Ua \ Ub 6= ?]. Expresia aplicatiei compuse

�b ��a : �a (Ua \ Ub)� Rm �! �b (Ua \ Ub)� Rm (93)

este�b ��a (x;X) = (x

0;X0) ; (94)

unde pe componente avem

x0� = x0� (x) ���b��a��(x) ; (95)

X 0� =@x0�

@x�X� �

@��b��a��(x)

@x�X�: (96)

Problema 9 Demonstrati ca spatiul T �M poate � organizat ca varietate neteda reala2m-dimensionala.

17

Am demonstrat anterior ca spatiul TM poate � inzestrat natural cu o structurade varietate neteda 2m-dimensionala. De�nim aplicatia

� : TM �!M; � (Xp)def= p; (97)

numita proiectia canonica. Avand in vedere structurile netede peM si TM , se veri�ca

simplu ca � este aplicatie neteda. Intr-adevar, relativ la hartile locale�Ua;�a

�si

(Ua; �a), expresia aplicatiei �, ~� = �a���a se reduce la

~� (x;X) = x: (98)

Tripletul� (M) = (TM; �;M) (99)

se numeste �bratul tangent al varietatii netede (M;AM ) si este un caz particular de�brat vectorial. Pentru mai multe detalii a se vedea [7].

De�nitia 12 Numim camp vectorial neted pe varietatea neteda (M;AM ), o aplicatieneteda X :M �! TM care satisface

�X = 1M : (100)

In (100) am notat prin 1M aplicatia identica de la M la M .Din punct de vedere intuitiv, un camp vectorial este aplicatia care asociaza �ecarui

punct p de pe varietatea M un vector tangent in p la M , asocierea facandu-se in modneted. Practic, un camp vectorial neted X se exprima intr-o harta locala (Ua; �a) 2AM prin

X = X� (x)@

@x�; (101)

unde X� (x) sunt functii netede reale de�nite pe �a (Ua) � Rm. La schimbari de hartilocale (Ua; �a) �! (Ub; �b) [x

� �! x0� = x0� (x)], functiileX� (x) se transforma dupalegea

X� (x) �! X 0� (x0) =@x0�

@x�X� (x) : (102)

Expresia locala (101) a campului vectorial neted permite de�nirea [in maniera similarade�nitiei (42)] unei derivari in algebra F (M). Se poate arata si reciproca acesteia�rmatii, adica unei derivari in algebra F (M) i se asociaza in mod unic un campvectorial neted pe M [6]. Notam multimea campurilor vectoriale netede pe M prin� (� (M)) si aceasta are o structura naturala de F (M)-modul de tip �nit [are unnumar �nit de generatori] [8].

Remarca 3 Campurile vectoriale netede pe varietati netede genereaza difeomor�smenetede ale acestora. Intr-adevar, �e X 2 � (� (M)) cu expresia (101) in harta locala(Ua; �a) 2 AM . De�nim difeomor�smul in�nitesimal pe M generat de (101), X"[" 2 R, j"j << 1], cu expresia in harta locala (Ua; �a) 2 AM

x� �! y� = x� + "X� (x) : (103)

18

Intr-o maniera similara se procedeaza pentru introducerea campurilor netede de

covectori [1-forme]. Mai precis, daca notam cu �0 : T �M �! M , �0 (!p)def= p, un

camp neted de covectori este o aplicatie neteda :M �! T �M ce satisface

�0 = 1M : (104)

Din punct de vedere intuitiv, un camp de 1-forme este aplicatia care asociaza �ecaruipunct p de pe varietateaM un covector in p laM , asocierea facandu-se in mod neted.Practic, un camp neted de covectori se exprima intr-o harta locala (Ua; �a) 2 AMprin

= � (x) dx�; (105)

unde � (x) sunt functii netede reale de�nite pe �a (Ua) � Rm. La schimbari de hartilocale (Ua; �a) �! (Ub; �b) [x

� �! x0� = x0� (x)], functiile � (x) se transforma dupalegea

� (x) �! 0� (x0) =

@x�

@x0�� (x) : (106)

Notam cu�0 (M) = (T �M;�;M) ; (107)

si cu ���0 (M)

�multimea 1-formelor netede pe M [cunoscuta in matematica drept

F (M)-modulul sectiunilor in �bratul cotangent �0]. Se poate demonstra ca F (M)-modulul �

��0 (M)

�este dualul algebric al F (M)-modulului � (� (M)) [5]. Cu alte

cuvinte, campurile netede de 1-forme pe M sunt aplicatiile F (M)-liniare de�nite pe� (� (M)) si cu valori in F (M).Generalizarea spatiilor (88) si (89) se face in mod natural pe baza notiunii de

tensor de tip (r; s) in p0 2M . De�nim multimea

T rs M =[p2M

T rs (TpM) ; (108)

cunoscuta sub numele de spatiul total al �bratului tensorial de tip (r; s) pe varietatea(M;AM ). Ca si in cazul spatiului total al �bratului vectorial, multimea T rs M poate �inzestrata cu o structura de varietate neteda reala (m+mr+s)-dimensionala. De�nim,

ca si in cazurile anterioare, proiectia canonica �(r;s) : T rs M �!M , �(r;s) (Tp)def= p si

identi�cam �bratul tensorial de tip (r; s) ca �ind tripletul

�(r;s) (M) =�T rs M;�(r;s);M

�: (109)

De�nitia 13 Numim camp neted tensorial de tip (r; s) pe varietatea neteda (M;AM ),o aplicatie neteda T :M �! T rs M care satisface

�(r;s)T = 1M : (110)

Din punct de vedere intuitiv, un camp neted tensorial de tip (r; s) este aplicatiacare asociaza �ecarui punct p de pe varietatea M un tensor de tip (r; s) in p la M ,

19

asocierea facandu-se in mod neted. Practic, un camp tensorial neted T se exprimaintr-o harta locala (Ua; �a) 2 AM prin

T = T�1����r�1����s (x)

@

@x�1 � � � @

@x�r dx�1 � � � dx�s ; (111)

unde T�1����r�1����s (x) sunt functii netede reale de�nite pe �a (Ua) � Rm. La schimbaride harti locale (Ua; �a) �! (Ub; �b) [x

� �! x0� = x0� (x)], functiile T�1����r�1����s (x) setransforma dupa legea

T�1����r�1����s (x) �! T

0�1����r�1����s (x0) =

@x0�1

@x�1� � � @x

0�r

@x�r@x�1

@x0�1� � � @x

�s

@x0�sT�1����r�1����s (x) : (112)

Notam cu ���(r;s) (M)

�multimea campurilor netede tensoriale de tip (r; s) pe va-

rietatea neteda (M;AM ) [cunoscuta in matematica drept F (M)-modulul sectiunilorin �bratul tensorial de tip (r; s), �(r;s)].Notiunea de produs tensorial se extinde natural la cazul campurilor netede de

tensori

���(r;s) (M)

���

��(r0;s0) (M)

�3 (T;T0) �! TT0 2 �

��(r+r0;s+s0) (M)

�; (113)

componentele campului tensorial produs in harta locala (Ua; �a) 2 AM �ind

(T T 0)�1����r+r0�1����s+s0 (x) = T�1����r�1����s (x)T

0�r+1����r+r0�s+1����s+s0 (x) : (114)

In acest caz, produsul tensorial este F (M)-liniar in �ecare dintre factorii acestuia.De asemenea, contractiile campurilor tensoriale netede se de�nesc in maniera di-

recta. Fie T 2 ���(r;s) (M)

�camp tensorial neted. De�nim contractia acestuia dupa

indicii i 2 1; r si j 2 1; s ca �ind aplicatia F (M)-liniara

Cij : ���(r;s) (M)

��! �

��(r�1;s�1) (M)

�; (115)

a carei actiune se exprima prin

CijT�!1; : : : ;!r�1;X1; : : : ;Xs�1

�=

= T

�!1; : : : ;!i�1;dx�; : : : ;!r�1;X1; : : : ;Xj�1;

@

@x�; : : : ;Xs�1

�: (116)

Campurile tensoriale de tip (r; s) pot manifesta anumite simetrii relativ la per-mutarea indicilor coordonatelor acestora, simetrii independente de harta locala aleasa.Spre exemplu, despre campul tensorial (111) spunem ca este complet simetric in in-dicii de covarianta daca pentru orice permutare � 2 Ss [Ss sunt permutarile multimiif1; : : : ; sg] avem egalitatea

T�1����r�1����s (x) = T

�1����r��(1)�����(s) (x) (117)

in orice harta locala (Ua; �a) 2 AM .

20

In �nalul acestei sectiuni vom discuta despre constructia unor campuri netedede tensori prin intermediul aplicatiilor netede. Mai precis vom �globaliza�de�nitiileaplicatiilor (83) si (85).Fie (M;AM ) si (N;AN ) doua varietati netede si F : M �! N o functie neteda.

Aplicatiile (83) si (85) permit:

� in cazul in care F este difeomor�sm neted, �transportul�campurilor din ���(r;0) (M)

�in campuri din �

��(r;0) (N)

�si respectiv

� �transportul�campurilor din ���(0;s) (N)

�in campuri din �

��(0;s) (M)

�.

Intr-adevar, �e hartile locale (Ua; �a) 2 AM si (V�; ��) 2 AN astfel incat F (Ua) �V�.

i) Fie campul tensorial V 2���(r;0) (M)

�cu expresia [in harta locala (Ua; �a) 2

AM ]V = V �1����r (x)

@

@x�1 � � � @

@x�r: (118)

Campul �transportat�pe N se noteaza cu F�V si are expresia in harta locala(V�; ��) 2 AN

F�V =V �1����r (x (y))@yi1

@x�1(x (y)) � � � @y

ir

@x�r(x (y))

@

@yi1 � � � @

@yir; (119)

unde y �! x (y) este expresia locala a aplicatiei netede �F .

ii) Fie campul tensorial T 2 ���(0;s) (N)

�cu expresia [in harta locala (V�; ��) 2

AN ]T = Ti1���is (y) dy

i1 � � � dyis :Campul �transportat�pe M se noteaza cu F �T si are expresia in harta locala(Ua; �a) 2 AM

F �T = Ti1���is (y (x))@yi1

@x�1� � � @y

is

@x�sdx�1 � � � dx�s : (120)

Aplicatia (120) este un caz particular de F -comor�sm intre �bratele �(0;s) (M) si�(0;s) (N), numit mor�smul pull-back.Difeomor�smele in�nitesimale (103) generate de campuri netede de vectori impre-

una cu aplicatiile (119) si (120) permit constructia unor derivari in algebra tensorialaa unei varietati netede (M;AM ), numite derivate Lie in raport cu campurile din� (� (M)).Pentru a construi derivarile mentionate, vom considera initial cazul unui camp

scalar ' 2 F (M) si apoi vom generaliza rezultatul obtinut pentru un camp tenso-

rial neted T 2 ���(r;s) (M)

�. Fie X un camp de vectori exprimat in harta locala

21

(Ua; �a) 2 AM prin (101). Difeomor�smul in�nitesimal X" [" 2 R, j"j << 1] gen-erat de (101) are in harta locala (Ua; �a) 2 AM expresia (103). Acesta �transporta�punctul p 2 Ua in punctul p0 � X" (p) 2 Ua, unde

�a (p) = x; �a (p0) = y; (121)

iar componentele vectorului y 2 Rm sunt cele date de relatiile (103).De�nim campul scalar $X' prin

$X' = lim"�!0

' (X" (p))� ' (p)"

: (122)

In harta locala (Ua; �a) 2 AM expresia campului $X' este

$X' (x) = X� (x) @�' (x) ; (123)

ceea ce con�rma faptul ca obiectul de�nit anterior este un camp scalar neted $X' 2F (M).Extindem de�nitia anterioara la un camp neted T 2 �

��(r;0) (M)

�[exprimat local

prin (111) pentru s = 0] prin relatia

$XT = lim"�!0

TX"(p) � (X")�;pT"

: (124)

Local, pe baza expresiei (103) termenii care apar in membrul drept al de�nitiei (124)sunt

TX"(p) = T�1����r (y)@

@y�1 � � � @

@y�r; (125)

(X")�;pT = T�1����r (x)@y�1

@x�1(x) � � � @y

�r

@x�r(x)

@

@y�1 � � � @

@y�r: (126)

Introducand (125) si (126) in (124) se obtin expresiile locale ale componentelor cam-pului tensorial $XT

($XT)�1����r (x)=X� (x) @�T

�1����r (x)�rXi=1

T�1����i�1��i�1����r (x) @�X�i (x) :

(127)Notand cu �X" aplicatia inversa a difeomor�smului in�nitesimal (103), de�nim

derivata Lie a unui camp tensorial neted 2 ���(0;s) (M)

�prin

$X = lim"�!0

X"(p) ���X"��;p0

": (128)

Pe baza de�nitiei (128) identi�cam componentele locale ale campului tensorial $Xde forma

($X)�1����s (x)=X� (x) @��1����s (x) +

sXi=1

�1����i�1��i�1����s (x) @�iX� (x) :

(129)

22

Problema 10 Sa se demonstreze ca daca T 2 ���(r;s) (M)

�este un camp tensorial

neted cu expresia locala (111), atunci functiile netede de�nite prin

($XT)�1����r�1����s (x) � X� (x) @�T

�1����r�1����s (x)�

rXi=1

T�1����i�1��i�1����r�1����s (x) @�X

�i (x)

+sXj=1

T�1����r�1����j�1��j+1����s (x) @�jX

� (x) (130)

se transforma la schimbari de harti locale ca si componentele unui camp tensorialneted de tip (r; s).

Relatiile anterioare de�nesc actiunea derivatei Lie $X pe campul tensorial neted

T 2 ���(r;s) (M)

�.

2.2 Varietati Riemanniene

In aceasta subsectiune vom aborda varietatile Riemanniene. Mai intai vom de�nisi exempli�ca notiunea de varietate Riemanniana si apoi, folosind teorema Whitney[referitoare la scufundarea regulata a varietatilor Riemanniene in spatii euclidiene],vom introduce transportul paralel. In �nal vom construi campurile tensoriale speci�cevarietatilor analizate [tensorul Riemann si contractiile acestuia].

2.2.1 De�nitie. Exemple.

De�nitia 14 Un triplet (M;AM ;g), unde (M;AM ) este varietate neteda si g esteun camp tensorial de tip (0; 2) [g 2 �

��(0;2) (M)

�] simetric si nedegenerat [numit

tensor metric], se numeste varietate Riemanniana.

Spunem ca tensorul g 2 ���(0;2) (M)

�este nedegenerat daca pentru orice harta

locala (Ua; �a) 2 AMdet (g�� (x)) 6= 0; (131)

unde g�� (x) sunt coordonatele lui g relativ la harta locala aleasa

g = g�� (x) dx� dx� : (132)

Nedegenerarea campului tensorial g conduce la faptul ca in �ecare punct al vari-etatii p0 2M pentru �ecare harta locala (Ua; �a) 2 AM (p0), matricea g�� (x0) poate� adusa la forma diagonala

(g�� (x0))�;�=1;m = diag(�; � � � ;�| {z };+; � � � ;+| {z }) � (�ab)a;b=1;m : (133)

m� ori m+ ori

Pentru orice varietate Riemanniana (M;AM ;g) se poate demonstra ca exista mcampuri de 1-forme feaga=1;m [numite vielbein] astfel incat

g = �abea eb; (134)

23

sau, intr-o harta locala (Ua; �a) 2 AM ,

g�� (x) = �abea� (x) e

b� (x) ; (135)

undeea = ea � (x) dx

�: (136)

Un caz particular de varietati Riemanniene sunt cele �at (plate) in care pentru�ecare punct p0 2 M exista o harta locala (Ua; �a) 2 AM (p0) astfel incat functiileg�� (x) sunt constante

g�� (x) = ��� ; 8x 2 �a (Ua) : (137)

Exemplul 5 Consideram multimea S2. Alegand un reper cartezian cu originea incentrul sferei, inzestram multimea S2 cu structura neteda subordonata atlasului netedA = f(UN ; �N ) ; (US ; �S)g construit in continuare. Domeniile hartilor locale suntUN = S

2n fN = N (0; 0; 1)g si US = S2n fS = S (0; 0;�1)g, iar aplicatiile de coordo-nate sunt

�N (p) =

�xp

1� zp;yp

1� zp

���x1 (p) ; x2 (p)

�; (138)

�S (p) =

�xp

1� zp;yp

1� zp

���x01 (p) ; x02 (p)

�; (139)

unde p este punctul de pe sfera din domeniul corespunzator al hartii locale si estecaracterizat in reperul cartezian ales prin p = p (xp; yp; zp). Construim incluziuneanaturala a lui S2 in R3 [relativ la reperul cartezian ales] i : S2 �! R3, i (p) =(xp; yp; zp) care este aplicatie neteda. Expresia acesteia in harta locala (UN ; �N ) este

�x1; x2

��!

8>><>>:x = 2x1

1+(x1)2+(x2)2

y = 2x2

1+(x1)2+(x2)2

z =(x1)

2+(x2)

2�11+(x1)2+(x2)2

; (140)

iar in harta locala (US ; �S) este

�x01; x02

��!

8>><>>:x = 2x01

1+(x01)2+(x02)2

y = 2x02

1+(x01)2+(x02)2

z =1�(x01)

2+(x02)

2

1+(x01)2+(x02)2

: (141)

Spatiul R3 este dotat cu metrica euclidiana,

� = dx dx+ dy dy + dz dz; (142)

aceasta inducand prin intermediul aplicatiei i� tensorul nedegenerat g 2 ���(0;2)

�S2��

avand expresia in harta locala (UN ; �N )

g =4h

1 + (x1)2+ (x2)

2i2 �dx1 dx1 + dx2 dx2� ; (143)

24

iar in harta locala (US ; �S)

g =4h

1 + (x01)2+ (x02)

2i2 �dx01 dx01 + dx02 dx02� : (144)

Fie (M;AM ;g) o varietate Riemanniana. Expresia locala [relativ la harta (Ua; �a) 2AM ] a metricii (132) este inlocuita adesea prin obiectul

ds2 = g�� (x) dx�dx� ; (145)

numit element in�nitesimal de �lungime� si reprezinta �distanta� dintre punctelein�nit mic vecine p 2 M [�a (p) = x] si p0 2 M [�a (p

0) = x+dx]. Pentru exemplulanterior elementul in�nitesimal de lungime in harta locala (UN ; �N ) este

ds2 =4h

1 + (x1)2+ (x2)

2i2 h�dx1�2 + �dx2�2i : (146)

Acesta este egal cu patratul distantei dintre punctele in�nit mic vecine p (xp; yp; zp)si p0 (xp0 ; yp0 ; zp0)

xp =2x1

1 + (x1)2+ (x2)

2 ; xp0 =2�x1 + dx1

�1 + (x1 + dx1)

2+ (x2 + dx2)

2 ; (147)

yp =2x2

1 + (x1)2+ (x2)

2 ; yp0 =2�x2 + dx2

�1 + (x1 + dx1)

2+ (x2 + dx2)

2 ; (148)

zp =

�x1�2+�x2�2 � 1

1 + (x1)2+ (x2)

2 ; zp0 =

�x1 + dx1

�2+�x2�2 � 1

1 + (x1 + dx1)2+ (x2 + dx2)

2 (149)

de pe sfera S2. Neglijand termenii de ordinul trei in marimile in�nitesimale dx1 sidx2 obtinem ca

ds2 = (xp � xp0)2 + (yp � yp0)2 + (zp � zp0)2 : (150)

Tensorul nedegenerat g al unei varietati Riemanniene (M;AM ;g) conduce laexistenta unui F (M)-izomor�sm canonic intre F (M)-modulul �

��0 (M)

�si F (M)-

modulul � (� (M)). Intr-adevar, daca privim campurile de 1-forme ca si aplicatiiF (M)-liniare de la � (� (M)) la F (M), atunci g stabileste F (M)-izomor�smul

� (� (M)) 3 X �! g (�;X) 2 ���0 (M)

�: (151)

Cu alte cuvinte, campului vectorial neted X ii asociem campul de 1-forme !X ceactioneaza pe � (� (M)) astfel

� (� (M)) 3 Y �! !X (Y)def= g (Y;X) 2 F (M) : (152)

Intr-o harta locala (Ua; �a) 2 AM aplicatia (152) se scrie sub forma

� (� (M)) 3 X = X� (x)@

@x��! !X = g�� (x)X

� (x) dx� 2 ���0 (M)

�: (153)

25

Notatia consacrata pentru componentele campului !X este

X� (x) = g�� (x)X� (x) : (154)

Deoarece g este nedegenerata, conditia (131) implica invertibilitatea matricii g�� (x).Invertibilitatea mentionata este echivalenta cu existenta functiilor netede g�� (x) caresatisfac

g�� (x) g�� (x) = ��� ; 8x 2 �a (Ua) : (155)

Aceste functii de�nesc campul tensorial neted simetric si nedegenerat de tip (2; 0),notat prin �g, care are expresia

�g = g�� (x)@

@x� @

@x�(156)

in harta locala (Ua; �a) 2 AM . Campul tensorial (156) permite demonstrarea faptuluica (152) este aplicatie inversabila. Intr-adevar, in harta locala (Ua; �a) 2 AM inversaaplicatiei (152) este

���0 (M)

�3 ! = !� (x) dx�

@

@x��! X! = g

�� (x)!� (x)@

@x�2 � (� (M)) : (157)

Notatia consacrata pentru componentele campului vectorial X! este

!� (x) = g�� (x)!� (x) : (158)

Aplicatiile (153) si (157) pot � extinse la campuri netede de tensori arbitrare.Aceasta extindere implica existenta unui izomor�sm canonic intre F (M)-modulele���(r;s) (M)

�si �

��(r0;s0) (M)

�pentru orice r0 si s0 2 N care satisfac conditia

r + s = r0 + s0: (159)

Problema 11 Fie (M;AM ;g) varietate Riemanniana si T 2 ���(2;2) (M)

�. Sa se

construiasca prin intermediul tensorului metric g si al tensorului �g campurile tenso-

riale din ���(4;0) (M)

�, ���(3;1) (M)

�, ���(1;3) (M)

�si �

��(0;4) (M)

�asociate lui

T.

2.2.2 Transport paralel pe varietati Riemanniene. Derivata covarianta

Existenta campului metricii pe o varietate Riemanniana (M;AM ;g) permite de�nireanotiunii de paralelism intre vectorii tangenti in puncte date ale varietatii M . Fie p0un punct pe varietatea M si harta locala (Ua; �a) 2 AM (p0). Relativ la harta localaaleasa, vectorii din Tp0M au expresiile date prin (49). De�nim patratul �lungimii�vectorului X 2 Tp0M prin

X2 = g (X) g�� (x0)X� (x0)X

� (x0) ; (160)

undeg (X) = sign (g�� (x0)X

� (x0)X� (x0)) : (161)

26

Problema 12 Sa se demonstreze ca marimea (160) este obiect geometric [nu depindede harta locala aleasa].

Deoarece metrica g este in general inde�nita (133), exista vectori netriviali X 2Tp0M [diferiti de vectorul nul al spatiului Tp0M ] pentru care marimea (160) este nula.Acest tip de vectori se numesc vectori nuli.Marimea (160) permite de�nirea unghiului dintre doi vectori nenuli X, Y 2 Tp0M

de masura � 2 [0; �] prin relatia

cos �def=g�� (x0)X

� (x0)Y� (x0)p

X2pY2

: (162)

Astfel, notiunea de paralelism devine transparenta. Spunem ca doi vectori nenuli X,Y 2 Tp0M sunt paraleli daca masura unghiului dintre acestia este 0 sau �. Spunemca cei doi vectori mentionati sunt ortogonali daca masura unghiului dintre acestia este�=2.Mai multe informatii referitoare la implicatiile notiunii de unghi dintre doi vectori

nenuli, deduse intr-o maniera foarte accesibila, pot � gasite in [9].De�nitia �lungimii�unui vector X 2 Tp0M conduce natural la de�nitia �lungimii�

unei portiuni a unei curbe regulate pe varietatea Riemanniana (M;AM ;g). O curbaneteda pe M , : R �!M se numeste regulata daca este aplicatie injectiva si pentruorice � 2 R avem

g ( (�))� �;� (1) ; �;� (1)

�6= 0: (163)

Intr-o harta locala (Ua; �a) 2 AM conditia (163) devine

g�� (x (�))dx� (�)

d�

dx� (�)

d�6= 0; (164)

unde x (�) = �a (�). Continuitatea functiilor care apar in (164) asigura faptul camarimea din membrul stang are semn constant. De�nim �lungimea� curbei peportiunea p1p2 [ (�1) = p1, (�2) = p2] prin relatia

lp1p2 ( ) =

�2Z�1

d�

rgg�� (x (�))

dx� (�)

d�

dx� (�)

d�; (165)

unde g este signatura marimii (164).

Problema 13 Sa se demonstreze ca marimea (165) este obiect geometric.

Notiunea de paralelism a fost introdusa anterior pentru vectori nenuli tangentiintr-un punct dat p0 2M . Daca ne gandim la varietatea Riemanniana S2 [suprafatain spatiul euclidian R3], constatam ca nu putem de�ni paralelismul a doi vectorinenuli tangenti in puncte diferite ale varietatii (M;AM ;g). Avand in minte imagineaaceleiasi varietati Riemanniene invocate anterior, observam ca transportul paralelintre puncte in�nit mic vecine este totusi posibil. Intre punctele in�nit mic vecinep0, p 2 M [in harta locala (Ua; �a) 2 AM (p0) �a (p0) = x0 si �a (p) = x0 + dx unde

27

jdx�j << 1] putem sa transportam paralel vectorul X 2 Tp0M in TpM construind inTpM vectorul Xk care are aceeasi lungime cu X si care face cu vectorul �deplasare�dx acelasi unghi ca si vectorul X. Folosind transportul paralel in�nitesimal descrisanterior din aproape in aproape, putem transporta paralel de-a lungul unei curberegulate vectorii tangenti in puncte diferite ale varietatii Riemanniene (M;AM ;g).Observam astfel ca nu exista o semni�catie absoluta a transportului paralel intrepunctele p1, p2 2 M , deoarece transportatul paralel depinde de curba ce trece prinp1 si p2 si in lungul careia se face transportul paralel. Mai multe aspecte intuitivereferitoare la transportul paralel se pot gasi in [10] si [11].Avand ca model sfera bidimensionala S2, vom presupune [fara a afecta generali-

tatea rezultatelor pe care le vom obtine] ca (M;AM ;g) poate � scufundata regulat invarietatea neteda AN asociata spatiul a�n real N -dimensional (AN ; '; VN ) inzestratcu forma patratica

ds2 = �ABdzAdzB ; (166)

unde z =�zA�A=1;N

sunt coordonatele punctelor din AN in raport cu un reper ales

R =nO; (eA)A=1;N

o. Mai mult, putem presupune ca

g = i��; (167)

unde i este scufundarea regulata i :M �! AN , iar � este exprimat prin

� = �ABdzA dzB 2 �

��(0;2) (AN )

�: (168)

Expresia aplicatiei i in harta locala (Ua; �a) 2 AM este data de

�a (Ua) 3 x �! z = z (x) 2 RN : (169)

In harta locala aleasa, componentele tensorului metric g sunt date de relatiile

g�� (x) = �AB@zA (x)

@x�@zB (x)

@x�� �ABzA;� (x) zB;� (x) : (170)

Consideram doua puncte in�nit mic vecine p0, p 2 M [in harta locala (Ua; �a) 2AM , �a (p0) = x0 si �a (p) = x0+�x, unde j�x�j << 1]. Ne propunem sa transportamparalel pe X 2 Tp0M , exprimat local prin

X = X� (x0)

�@

@x�

�x0

; (171)

in TpM . Pentru aceasta notam cu z0 = i (p0) si z = i (p). Folosind expresia (169) aaplicatiei i in harta locala (Ua; �a), obtinem ca

z = z0 + �z; (172)

unde�zA = zA;� (x0) �x

�: (173)

28

Construim imaginea prin i�;p0 a vectorului (171)

i�;p0X = X� (x0) zA;� (x0) eA: (174)

Apoi, de�nim in i (p) vectorul tangent la AN

Y (z) = X� (x0) zA;� (x0) eA (175)

si il descompunem sub forma

Y (z) = Yk (z) +Y? (z) ; (176)

unde Yk (z) este imaginea prin i�;p a unui vector TpM , iar Y? (z) este ortogonal[relativ la (168)] pe toti vectorii din i�;p (TpM). Notam cu Xk 2 TpM vectorul caresatisface

i�;pXk = Yk (z) : (177)

Prin de�nitie, acest vector este transportatul paralel al vectorului X 2 Tp0M . Vec-torul Xk este unic deoarece descompunerea (176) este unica, iar aplicatia i�;p esteinjectiva. Daca notam

Xk = X�k (x)

�@

@x�

�x

; (178)

obtinem pentru vectorul i�;pXk expresia

Yk (z) = X�k (x) z

A;� (x) eA: (179)

Deoarece Y? (z) este perpendicular pe toti vectorii din i�;p (TpM) obtinem ca

��Y? (z) ; z

B;� (x) eB

�= 0; 8 � = 1;m: (180)

Folosind (176)�(180), prin calcul direct gasim ca

��Y (z) ; zB;� (x) eB

�= �

�Yk (z) ; z

B;� (x) eB

�(181)

relatii echivalente cu

X�k (x) z

A;� (x) z

B;� (x)�AB = X

� (x0) zA;� (x0) z

B;� (x)�AB : (182)

Introducand (170) in (182) identi�cam componentele 1-formei in p care este dualatransportatului paralel de forma

Xk� (x) = X� (x0) z

A;� (x0) z

B;� (x)�AB : (183)

In continuare, vom prelucra membrul drept al egalitatii (183). Dezvoltand functiilezB;� (x) in jurul lui x0 tinand cont ca j�x�j << 1 si utilizand teorema Schwarz

f;�� = f;��; (184)

de unde obtinemzB;� (x) = z

B;� (x0) + z

B;�� (x0) �x

�: (185)

29

In ecuatiile de mai sus am folosit notatia

f;�� =@2f

@x�@x�: (186)

Introducem (185) in membrul drept al egalitatii (183) si folosind (170) identi�cam

Xk� (x) = X� (x0) +X� (x0) z

A;� (x0) z

B;�� (x0) �x

��AB : (187)

Marimile���� (x0) = z

A;� (x0) z

B;�� (x0)�AB ; (188)

se numesc simbolurile Christo¤el de speta I. Acestea pot � de�nite pe intreg spatiulM , sunt simetrice in ultimii doi indici

���� (x0) = ���� (x0) (189)

si pentru �ecare set �, �, � 2 1;m functiile ���� sunt netede. In termenii de�nitiei(188), relatia (187) devine

Xk� (x) = X� (x0) + ���� (x0)X� (x0) �x

�: (190)

La prima vedere, functiile ���� par a depinde de spatiul de scufundare AN precumsi de aplicatia i : M �! AN . Vom demonstra insa ca obiectele ���� depind numaide metrica pe varietatea Riemanniana (M;AM ;g). In acest sens, derivand (170) inraport cu x�

g��;� = �ABzA;��z

B;� + �ABz

A;�z

B;�� (191)

si luand permutarile circulare in indicii (�; �; �) ale egalitatii (191) obtinem

g��;� = �ABzA;��z

B;� + �ABz

A;�z

B;��; (192)

g��;� = �ABzA;��z

B;� + �ABz

A;�z

B;�� : (193)

Folosind teorema Schwarz, simetria metricii pe spatiul a�n �AB = �BA si egalitatile(191)�(193) obtinem expresiile functiilor (188) in termenii derivatelor metricii pe va-rietatea Riemanniana (M;AM ;g)

���� (x) =1

2[g��;� (x) + g��;� (x)� g��;� (x)] : (194)

Din (194) putem exprima derivatele metricii in functie de simbolurile Christo¤el despeta I ca in ecuatiile

g��;� (x) = ���� (x) + ���� (x) : (195)

Desi indicii functiilor ���� (x) sunt de acelasi tip cu indicii coordonatelor localepe (M;AM ;g), acestea nu reprezinta componentele unui camp tensorial de tip (0; 3)intr-o harta locala (Ua; �a) 2 AM

Problema 14 Demonstrati ca la schimbari de harti locale (Ua; �a) �! (Ub; �b) [x� �!

x0� = x0� (x)] functiile ���� (x) se transforma dupa legea

���� (x) �! �0��� (x0) =

@x�

@x0�@x�

@x0�@x

@x0���� (x) +

@x�

@x0�@2x�

@x0�@x0�g�� (x) : (196)

30

Indicatii 3 Folositi (194) precum si faptul ca la schimbari de harti locale (Ua; �a) �!(Ub; �b) [x

� �! x0� = x0� (x)] coe�cientii metricii se transforma dupa legea

g�� (x) �! g0�� (x0) =

@x�

@x0�@x�

@x0�g�� (x) : (197)

Notam cu dX� variatia covectorului X� (x) la transportul paralel din p 2 Min p0 2 M [in harta locala (Ua; �a) 2 AM , �a (p) = x si �a (p

0) = x + �x, undej�x�j << 1]

dX� � Xk� (x+ �x)�X� (x) = ����X��x�: (198)

In cele ce urmeaza vom demonstra ca lungimile vectorilor se conserva la deplasariparalele in�nitesimale

g�� (x+ �x)Xk� (x+ �x)Xk� (x+ �x)� g�� (x)X� (x)X� (x) = 0: (199)

Pe baza faptului ca deplasarea este in�nitesimala [j�x�j << 1 si termenii cel putinpatratice in �x� pot � neglijati] se arata membrul stang al egalitatii (199) poate �adus la forma

d [g�� (x)X� (x)X� (x)] = g�� ((dX�)X� +X�dX�) + g

��;�X�X��x

�: (200)

Folosind (155), exprimam derivatele g��;� in termenii derivatelor metricii sub forma

g��;� = �g��g��g��;�: (201)

Introducem (198) si (201) in (200) si obtinem succesiv

d [g�� (x)X� (x)X� (x)] = [g�� (����X

�X� + ����X�X�)

�g��g��g��;�X�X���x�

=�(g��g�� + g��g��) ���� � g��g��g��;�

�X�X��x

�

=�g��g�� (���� + ����)� g��g��g��;�

�X�X��x

� = 0: (202)

Problema 15 Procedand in maniera similara, sa se demonstreze ca prin transportparalel in�nitesimal unghiul dintre doi vectori nu se modi�ca.

Indicatii 4 Este su�cient sa se demonstreze [folosind acelasi algoritm ca si in de-ducerea egalitatii (202)] ca

d [g�� (x)X� (x)Y� (x)] = 0; (203)

pentru doi vectori arbitrari X, Y 2 TpM .

De�nim simbolurile Christo¤el de speta a II-a prin relatiile

���� (x) = g�� (x) ���� (x) : (204)

Utililizand simetria simbolurilor Christo¤el de speta I (189), se obtine imediat casimbolurile Christo¤el de speta a II-a sunt simetrice in indicii inferiori

���� (x) = ���� (x) : (205)

31

In termenii simbolurilor Christo¤el de speta a II-a relatiile (198) devin

dX� = ����X��x

� (206)

Deoarece functiile ���� (x) nu reprezinta coordonatele locale ale unui camp tensorialde tip (0; 3), rezulta ca nici ���� (x) de�nite in (204) nu sunt componetele unui camptensorial de tip (1; 2) in harta locala (Ua; �a) 2 AM .

Problema 16 Demonstrati ca la schimbari de harti locale (Ua; �a) �! (Ub; �b) [x� �!

x0� = x0� (x)] functiile ���� (x) se transforma dupa legea

���� (x) �! �0��� (x0) =

@x0�

@x�@x�

@x0�@x

@x0���� (x) +

@x0�

@x�@2x�

@x0�@x0�: (207)

Indicatii 5 Folositi (196), de�nitia (204) si faptul ca la schimbari de harti locale(Ua; �a) �! (Ub; �b) [x

� �! x0� = x0� (x)] coe�cientii inversei metricii se transformadupa legea

g�� (x) �! g0�� (x0) =@x0�

@x�@x0�

@x�g�� (x) : (208)

Notam cu dX� variatia vectorului X� (x) la transportul paralel din p 2 M inp0 2M [in harta locala (Ua; �a) 2 AM , �a (p) = x si �a (p0) = x+�x, unde j�x�j << 1]

dX� def= X�

k (x+ �x)�X� (x) : (209)

Folosind (198) si (203) obtinem ca

dX� = �����X��x�: (210)

Intr-adevar, (203) se scrie sub forma

d [X� (x)Y� (x)] = 0, (dX�)Y� +X�dY� = 0;

ceea ce implica �(dX�) + ����X

��x��Y� = 0: (211)

In virtutea arbitrarietatii vectorului Y 2 TpM din (211) rezulta (210).Fie X 2 � (� (M)) un camp vectorial neted si �e p, p0 2 M [in harta locala

(Ua; �a) 2 AM , �a (p) = x si �a (p0) = x+ �x, unde j�x�j << 1]. Atunci,

X (x+ �x) = X� (x+ �x)

�@

@x�

�x+�x

; (212)

si

Xk (x+ �x) = X�k (x+ �x)

�@

@x�

�x+�x

(213)

sunt vectori tangenti in p0 2 M . Deoarece X (x+ �x) si Xk (x+ �x) sunt vectoritangenti in acelasi punct al lui M , rezulta ca si diferenta lor

X� (x+ �x)�X�k (x+ �x) =

�X�

;� (x) + ���� (x)X

� (x)��x� (214)

32

este tot vector tangent in acelasi punct al varietatii. Termenii dintre parantezeledrepte din membrul drept al egalitatii (214) le notam cu

X�;� (x) � X�

;� (x) + ���� (x)X

� (x) (215)

si se numesc derivatele covariante in raport cu campurile de vectori @=@x�. Acestitermeni reprezinta componentele unui camp tensorial neted de tip (1; 1) pe varietateaM .

Teorema 2 Marimile X�;� (x) de forma (215) se transforma la schimbari de harti

locale (Ua; �a) �! (Ub; �b) [x� �! x0� = x0� (x)] ca si componentele unui camp

tensorial neted de tip (1; 1) pe M .

Demonstratie. La schimbarea de harti locale mentionata in enuntul teoremeiX� (x)se transforma dupa legea (102), iar simbolurile Cristo¤el ���� (x) in acord cu (207).Pe baza acestor remarci si a de�nitiilor (215) obtinem succesiv

X 0�;� (x0) � @X 0� (x0)

@x0�+ �0��� (x

0)X 0� (x0) =@

@x0�

�@x0�

@x�X� (x)

�+

�@x0�

@x�@x�

@x0�@x

@x0���� (x) +

@x0�

@x�@2x�

@x0�@x0�

�@x0�

@x�X� (x)

=@2x0�

@x�@x�@x�

@x0�X� (x) +

@x0�

@x�@x�

@x0�X�

;� (x)

+

�@x0�

@x�@x�

@x0�@x

@x0���� (x) +

@x0�

@x�@2x�

@x0�@x0�

�@x0�

@x�X� (x) : (216)

Derivand (22) in raport cu x0� obtinem relatiile

@x0�

@x�@2x�

@x0�@x0�= � @2x0�

@x�@x�@x�

@x0�@x�

@x0�: (217)

Pe baza relatiilor anterioare si a ecuatiilor (23) formula (216) devine

X 0�;� (x0) =

@x0�

@x�@x�

@x0��X�

;� (x) + �� � (x)X

(x)�

� @x0�

@x�@x�

@x0�X�

;� (x) : (218)

Relatiile (218) demonstreaza caracterul tensorial al marimilor (215).Fie 2 �

��0 (M)

�un camp neted de 1-forme si �e p, p0 2 M [ in harta locala

(Ua; �a) 2 AM , �a (p) = x si �a (p0) = x+ �x, unde j�x�j << 1]. Atunci

(x+ �x) = !� (x+ �x) (dx�)x+�x (219)

sik (x+ �x) = !k� (x+ �x) (dx

�)x+�x (220)

33

sunt covectori in p0 2 M . Se poate arata si in aceasta situatie ca diferenta celor doicovectori este tot covector in acelasi punct al varietatii

!� (x+ �x)� !k� (x+ �x) =�!�;� (x)� ���� (x)!� (x)

��x�: (221)

Termenii din parantezele drepte din membrul drept al egalitatii (221) se noteaza cu

!�;� (x) � !�;� (x)� ���� (x)!� (x) (222)

si se numesc derivatele covariante in raport cu campurile de vectori @=@x�. Acestitermeni reprezinta componentele unui camp tensorial neted de tip (0; 2) pe M .

Problema 17 Procedand intr-o maniera similara cu cea utilizata anterior sa se de-monstreze ca (222) se transforma la schimbari de harti locale (Ua; �a) �! (Ub; �b)[x� �! x0� = x0� (x)] ca si componentele unui camp tensorial neted de tip (0; 2) peM .

Extindem (215) si (222) ca derivari in algebra campurilor tensoriale netede

(T T 0)�1����r+r0�1����s+s0 ;� (x) = T�1����r�1����s;� (x)T

0�r+1����r+r0�s+1����s+s0 (x)

+T�1����r�1����s (x)T

0�r+1����r+r0�s+1����s+s0 ;� (x) ; (223)

care comuta cu contractiile. Pentru X 2 � (� (M)) si 2 ���0 (M)

�exprimate in

harta locala (Ua; �a) 2 AM prin relatiile

X = X� (x)@

@x�; = !� (x) dx

�; (224)

avem ca(X� (x)!� (x));� = X

�;� (x)!� (x) +X

� (x)!�;� (x) : (225)

Introducand (215) si (222) in (225), obtinem ca derivatele covariante ale campurilorde scalari in raport cu campurile @=@x� se reduc la derivatele partiale in raport cucoordonatele locale

(X� (x)!� (x));� = (X� (x)!� (x));� : (226)

Pentru a determina actiunile derivatelor covariante in raport cu campurile vecto-riale @=@x� vom folosi (215), (222), precum si faptul ca orice camp tensorial neted detip (r; s) poate � scris [cel putin local] ca produsul tensorial de r campuri vectoriale

netede si s campuri netede de 1-forme. Pentru T 2 ���(r;s) (M)

�si (Ua; �a) 2 AM

exista (Xi)i=1;r � � (� (M)) si�!j�j=1;s

� ���0 (M)

�astfel incat

T = X1 � � � Xr !1 � � � !s: (227)

In harta locala (Ua; �a) 2 AM (227) se scrie sub forma

T�1����r�1����s (x) =

rYi=1

X�ii (x)

!0@ sYj=1

!j�j (x)

1A ; (228)

34

unde

Xi = X�i (x)

@

@x�; !j = !j� (x) dx

� : (229)

Aplicand regula (223) pentru calculul derivatei covariante in raport cu @=@x� a cam-pului tensorial (228) obtinem

T�1����r�1����s;� (x) =

rXk=1

X�kk;� (x)

0B@ rYi=1i 6=k

X�ii (x)

1CA0@ sYj=1

!j�j (x)

1A

+

rYi=1

X�ii (x)

!sXl=1

0BB@ sYj=1j 6=l

!j�j (x)

1CCA!l�l;� (x)=

24 rYi=1

X�ii (x)

!0@ sYj=1

!j�j (x)

1A35;�

+

rXk=1

��k�k� (x)X�kk (x)

0B@ rYi=1i 6=k

X�ii (x)

1CA0@ sYj=1

!j�j (x)

1A

�

rYi=1

X�ii (x)

!sXl=1

0BB@ sYj=1j 6=l

!j�j (x)

1CCA��l�l� (x)!l�l (x) : (230)

Introducand (228) in membrul drept al egalitatii (230) putem scrie derivata covariantasub forma

T�1����r�1����s;� (x) = T

�1����r�1����s;� (x) +

rXk=1

��k�k� (x)T�1����k�1�k�k+1����r�1����s (x)

�sXl=1

��l�l� (x)T�1����r�1����l�1�l�l+1����s (x) : (231)

Derivatele covariante ale tensorul metric se obtin din relatiile (231) particularizatepentru un camp tensorial de tip (0; 2)

g��;� (x) = g��;� (x)� ���� (x) g�� (x)� ���� (x) g�� (x)= g��;� (x)� �(��)� (x) : (232)

Pe baza relatiilor (195) obtinem ca derivatele covariante ale tensorului metric (232)se anuleaza

g��;� (x) = 0: (233)

Ecuatiile (233) implica pe baza relatiilor (155) si (223) ca derivatele covariante aleinversei tensorului metric se anuleaza

g��;� (x) = 0: (234)

35

Problema 18 Sa se calculeze simbolurile Christo¤el pentru metrica indusa pe S2,exprimata local prin (143) si (144).

2.2.3 Campuri tensoriale remarcabile pe varietati Riemanniene

Am a�rmat anterior ca transportatul paralel al unui vector X 2 Tp1M in Tp2M de-pinde esential de curba ce uneste punctele p1 si p2 si in lungul careia se face transportulparalel. Vom demonstra acest rezultat folosind transportul paralel in�nitesimal. Fiep1, p2, p3 si p4 puncte pe M in�nit mic vecine. Exista (Ua; �a) 2 AM astfel incat p1,p2, p3, p4 2 Ua si

�a (p1) = x; �a (p2) = x+ dx; �a (p3) = x+ �x; �a (p4) = x+ dx+ �x; (235)

unde jdx�j << 1 si j�x�j << 1.In continuare, ne propunem sa construim transportatul paralel al vectorului X 2

Tp1M in Tp4M pe �rutele�p1 �! p2 �! p4 si p1 �! p3 �! p4.Pe �ruta� p1 �! p2 �! p4 transportam paralel mai intai X 2 Tp1M in Tp2M

si vectorul astfel obtinut il transportam paralel in Tp4M . La primul pas construimvectorul din Tp2M cu coordonatele

X�k (x+ dx) = X

� (x)� ���� (x)X� (x) dx�: (236)

Transportatul paralel al vectorul cu coordonatele (236) din Tp2M in Tp4M are coor-donatele

X�k (x+ dx+ �x) = X

�k (x+ dx)� �

��� (x+ dx)X

�k (x+ dx) �x

�: (237)

Introducem (236) in (237), folosim dezvoltarea in jurul lui x a functiilor de argumentx+ dx si neglijam termenii cel putin patratici in dx� [jdx�j << 1], de unde obtinem

X�k (x+ dx+ �x) = X� (x)� ���� (x)X� (x)

�dx� + dx�

�������;� (x)� �

��� (x) �

��� (x)

�X� (x) dx��x�: (238)

Procedand intr-o maniera similara gasim pentru coordonatele transportatului pa-ralel al vectorului X 2 Tp1M pe �ruta�p1 �! p3 �! p4 urmatoarea forma

~X�k (x+ dx+ �x) = X� (x)� ���� (x)X� (x)

�dx� + dx�

�������;� (x)� �

��� (x) �

��� (x)

�X� (x) dx��x�: (239)

Prin calculul diferentei dintre X�k (x+ dx+ �x) si

~X�k (x+ dx+ �x) obtinem

X�k (x+ dx+ �x)� ~X�

k (x+ dx+ �x) = �R���� (x)X

� (x) dx��x�; (240)

unde am utilizat notatia

R���� (x) = ����[�;�] (x)� �

��[� (x) �

��]� (x) : (241)

36

In (241) am utilizat conventia de antisimetrie

A[��] = A�� �A��: (242)

Marimile R���� (x) exprimate in (241) sunt componentele unui camp tensorialneted de tip (1; 3) in harta locala (Ua; �a). Campul tensorial neted mentionat estecunoscut in literatura de specialitate ca tensorul Riemann.

Problema 19 Sa se calculeze componentele tensorului Riemann asociat metricii in-duse pe S2 exprimata local prin (143) si (144).

Din (240) observam ca transportul paralel al unui vector este independent decurba in lungul careia se efectueaza transportul daca si numai daca tensorul Riemanneste trivial. Netrivialitatea tensorului Riemann este echivalenta cu necomutativitateaderivatelor covariante [spre deosebire de derivatele partiale in raport cu coordonateleunei harti locale]. Vom demonstra ultima a�rmatie pentru un camp vectorial netedX 2 � (� (M)) exprimat in harta locala (Ua; �a) 2 AM prin

X = X� (x)@

@x�: (243)

Pe baza de�nitiei (215), a simetriei simbolurilor Christo¤el de speta a II-a in indiciiinferiori si a notatiei (241), avem ca

X�;�;� (x)�X�

;�;� (x) =�X�

;�

�;�(x)�

�X�

;�

�;�(x)

=�X�

;�

�;�(x) + ���� (x)X

�;� (x)� ���� (x)X�

;� (x)

��X�

;�

�;�(x)� ���� (x)X�

;� (x) + ���� (x)X

�;� (x)

= �R���� (x)X� (x) : (244)

Problema 20 Folosind aceleasi argumente ca si in deducerea relatiei (244) sa searate ca pentru orice camp neted de 1-forme 2 �

��0 (M)

�, cu expresia =

!� (x) dx� in harta locala (Ua; �a) 2 AM , are loc

!�;�;� (x)� !�;�;� (x) = R���� (x)!� (x) : (245)

Relatiile (244) si (245) pot � generalizate pentru un camp tensorial neted arbitrar

T 2 ���(r;s) (M)

�. Pentru un astfel de camp tensorial cu expresia in harta locala

(Ua; �a) 2 AM data prin

T = T�1����r�1����s (x)

@

@x�1 � � � @

@x�r dx�1 � � � dx�s ; (246)

avem

T�1����r�1����s;�;� (x)� T

�1����r�1����s;�;� (x) = �

rXk=1

R�k�k�� (x)T�1����k�1�k�k+1����r�1����s (x)

37

+sXl=1

R�l�l�� (x)T�1����r�1����l�1�l�l+1����s (x) : (247)

Semni�catia geometrica a tensorului Riemann este continuta in urmatoarea teo-rema.

Teorema 3 O varietate Riemanniana (M;AM ;g) este plata daca si numai daca ten-sorul Riemann este trivial.

Demonstratie. Fie (M;AM ;g) o varietate Riemanniana plata. Pentru o astfel devarietate tensorul metric este local constant (137). Aceasta implica, pe baza relatiilor(194) si a de�nitiilor (204), trivialitatea simbolurilor Christo¤el de spetele I si a II-a.Trivialitatea simbolurilor Christo¤el de speta a II-a conduce, pe baza de�nitiei (241),la trivialitatea tensorului Riemann.Reciproc, presupunem ca tensorul Riemann este trivial

R���� (x) = 0; 8x 2 �a (Ua) ; (248)

in �ecare punct p0 2 M si in orice harta locala (Ua; �a) 2 AM (p0). Din (240) sitrivialitatea tensorului Riemann rezulta ca transportul paralel pe M nu depinde decurba aleasa. O consecinta a independentei transportului paralel de curba in lungulcareia se efectueaza transportul este ca dintr-un vector tangent X0 2 Tp0M putemconstrui prin transport paralel un camp vectorial neted X 2 � (� (M)) care satisface

X�;� (x) = 0; 8x 2 �a (Ua) : (249)

Folosind F (M)-izomor�smul canonic (151) intre F (M)-modulul ���0 (M)

�si F (M)-

modulul � (� (M)), ecuatiile (233) si relatiile anterioare, obtinem

X�;� (x) � X�;� (x)� ���� (x)X� (x) = 0; 8x 2 �a (Ua) : (250)

Simetria simbolurilor Christo¤el de speta a II-a in indicii inferiori si relatiile (250)conduc la egalitatile

X�;� (x) = X�;� (x) ; 8x 2 �a (Ua) ; (251)

numite conditii de integrabilitate. Aceste conditii asigura existenta unui camp scalarS 2 F (M) astfel incat

X� (x) = S;� (x) ; 8x 2 �a (Ua) : (252)

Alegem pe M o harta locala (Ub; �b) 2 AM (p0) ale carei functii de coordonatejoaca rolul campului scalar din (252), adica

x0�;�� = ���� (x)x

0�;�: (253)

Vom arata ca in harta locala (Ub; �b) 2 AM (p0) coe�cientii metricii g se reduc laniste constante. La schimbarea de harti locale (Ub; �b) �! (Ua; �a) [x

0� �! x� =x� (x0)] componentele metricii se transforma dupa legea

g0�� (x0) �! g�� (x) =

@x0�

@x�@x0�

@x�g0�� (x

0) : (254)

38

Derivand (254) in raport cu x� si utilizand relatiile (253) obtinem

g��;� (x) = ���� (x)@x0�

@x�@x0�

@x�g0�� (x

0)

+���� (x)@x0�

@x�@x0�

@x�g0�� (x

0) +@x0�

@x�@x0�

@x�@x0

@x�@g0��@x0

(x0)

= ���� (x) g�� (x) + ���� (x) g�� (x) +

@x0�

@x�@x0�

@x�@x0

@x�@g0��@x0

(x0)

= �(��)� (x) +@x0�

@x�@x0�

@x�@x0

@x�@g0��@x0

(x0) : (255)

Comparand (195) cu (255) obtinem ecuatiile

@x0�

@x�@x0�

@x�@x0

@x�@g0��@x0

(x0) = 0: (256)

Din (256) rezulta imediat anularea derivatelor coe�cientilor metricii in harta locala(Ub; �b)

@g0��@x0

(x0) = 0; (257)

ceea ce este echivalent cu faptul ca in harta locala mentionata componentele metriciisunt constante.In continuare vom evidentia cateva proprietati ale tensorului Riemann. De�nim

tensorul lui Riemann complet covariant prin

R��j�� � g��R����; (258)

fara a mai evidentia coordonatele asociate hartii locale alese. Din (241) si (258)observam ca tensorul lui Riemann complet covariant este antisimetric in ultimii doiindici

R��j�� = �R��j��: (259)

Pe baza relatiilor (241) si (258) exprimam tensorul Riemann complet covariant infunctie de simbolurile Christo¤el si derivatele acestora sub forma

R��j�� = �g�����[�;�] � g�����[����]� = �����;� + ����;�+g��;��

��� � g��;����� � �������� + ��������: (260)

Folosind expresiile derivatelor metricii in termenii simbolurilor Christo¤el de speta I(195), relatiile (260) devin

R��j�� = ����[�;�] � ���[����]� : (261)

Pe baza legaturii dintre simbolurile Christo¤el de speta I si derivatele de ordinul I alecoe�cientilor metricii (194), tensorul Riemann complet covariant poate � exprimatsub forma

R��j�� =1

2@[�g�][�;�] � ���[����]� : (262)

39

Simetria coe�cientilor metricii impreuna cu cea a simbolurilor Christo¤el de spetaa II-a conduc la proprietatile de simetrie ale tensorului Riemann complet covariant

R��j�� = R��j�� = �R��j�� = �R��j��: (263)

Utilizand simetriile obiectelor invocate anterior si expresia (262) a tensorului Rie-mann, obtinem ca au loc relatiile

R�[�j��] � R��j�� +R��j�� +R��j�� = 0; (264)

cunoscute in literatura de specialitate ca identitatile Bianchi de speta I. Proprietatile(263) si (264) implica faptul ca nu toate componentele tensorului Riemann completcovariant sunt algebric independente. Ne propunem sa numaram componentele al-gebric independente ale tensorului Riemann complet covariant asociat metricii uneivarietati Riemanniene (M;AM ;g) de dimensiune m. Pentru a realiza numaratoareapropusa vom exploata mai intai proprietatile de simetrie (263). Notam dubletele ��si �� cu A si respectiv B. In termenii acestor notatii componentele independente aletensorului Riemann complet covariant se scriu ca

R��j�� � RAB ; (265)

undeA;B 2 f12; 13; 14; : : : ; (m� 1)mg : (266)

Multimea in care indicii A si B iau valori are m(m�1)2 elemente. Prima egalitate din

(263) este echivalenta cu simetria obiectului RAB in indicii A si B, ceea ce implicaun numar de

1 + 2 + � � �+ m (m� 1)2

=m (m� 1)

�m2 �m+ 2

�8

(267)

componente independente. Identitatile Bianchi de speta I stabilesc relatii algebriceintre componentele (265). Numarul de identitati Bianchi de speta I independente carenu evidentiaza antisimetria in �ecare dintre cele doua perechi de indici [(��) si (��)]este �

m4

�=m (m� 1) (m� 2) (m� 3)

24: (268)

Diferenta dintre (267) si (268) ne conduce la numarul de componente algebricindependente ale tensorului Riemann complet covariant asociat metricii unei varietatiRiemanniene (M;AM ;g) de dimensiune m

Nindep =m2�m2 � 1

�12

: (269)

Tensorul Riemann complet covariant mai satisface si un set de identitati diferen-tiale numite identitatile Bianchi de speta a II-a. Acestea sunt o consecinta a faptuluica tensorul Riemann masoara �abaterea� de la comutativitate a derivatelor covari-ante.

40

Fie un camp neted de 1-forme 2 ���0 (M)

�cu expresia = !� (x) dx

� inharta locala (Ua; �a) 2 AM . Conform discutiilor anterioare, D = !�;� (x) dx

� dx�este expresia locala a unui camp tensorial neted de tip (0; 2). Pe baza relatiilor (247)obtinem ca

!�;�;�;� � !�;�;�;� = R����!�;� +R����!�;�: (270)

Scriem egalitatile (270) obtinute prin permutarile circulare in indicii (�; �; �)

!�;�;�;� � !�;�;�;� = R����!�;� +R����!�;�; (271)

!�;�;�;� � !�;�;�;� = R����!�;� +R����!�;�: (272)

Sumand membru cu membru relatiile (270)�(272) si folosind (264) obtinem

!�;[�;�];� + !�;[�;�];� + !�;[�;�];� = R����!�;� +R

����!�;� +R

����!�;� (273)

Prelucrand membrul stang al egalitatii (273) pe baza relatiilor (247) derivam relatiile�R����!�

�;�+�R����!�

�;�+�R����!�

�;�= R����!�;� +R

����!�;� +R

����!�;�: (274)

Folosind proprietatea (223) a derivatei covariante si relatiile (274) obtinem relatiile

R��[��;�]!� = 0; (275)

care pe baza arbitrarietatii campului neted de 1-forme 2 ���0 (M)

�ne conduc la

identitatileR��[��;�] = 0; (276)

numite identitatile Bianchi de speta a II-a. Folosind rezultatul (233), de�nitia ten-sorului Riemann complet covariant (258), proprietatea (223) a derivatei covariantesi (276) determinam identitatile Bianchi de speta a II-a corespunzatoare tensoruluiRiemann complet covariant

R��j[��;�] = 0: (277)

Problema 21 Sa se demonstreze ca marimile exprimate local prin

H���� = g�[�g�]� ;

reprezinta componentele unui camp tensorial neted de tip (0; 4) care are proprietatilede simetrie ale tensorului Riemann si veri�ca identitatile Bianchi de speta a II-a.

Prin contractia simpla (dubla) cu inversul tensorului metric a tensorului Riemanncomplet covariant obtinem un camp tensorial neted de tip (0; 2) (camp scalar neted)cunoscut sub numele de tensorul lui Ricci (curbura scalara)

R�� = g��R��j�� ; (R = g��R��) : (278)

Folosind proprietatile de simetrie (263) si identitatile Bianchi de speta a II-a (277)ale tensorului Riemann complet covariant vom determina diferite proprietati ale ten-sorul Ricci si curburii scalare. Proprietatile de simetrie ale tensorului Riemann im-preuna cu simetria inversului tensorului metric conduc la simetria tensorului Ricci

R�� = R��: (279)

41

Efectuand contractia dubla a identitatilor (277) cu inversa metricii obtinem re-latiile

g��g��R��j[��;�] � g��g���R��j��;� +R��j��;� +R��j��;�

�= 0: (280)

Pe baza ecuatiilor (234), a proprietatilor de simetrie (263) si a de�nitiilor (278) relatiilede mai sus pot � exprimate sub forma

R;� � 2g��R��;� � g���R�� �

1

2g��R

�;�

= 0: (281)

TermeniiG�� � R�� �

1

2g��R; (282)

pe care actioneaza derivatele covariante in (281) constituie componentele unui camptensorial neted de tip (0; 2) care se numeste tensorul lui Einstein. Relatiile (281) pot� exprimate compact sub forma

G�� ;� = 0: (283)

Simetria tensorului Ricci (279) si relatia de de�nitie (282) conduc la proprietatea desimetrie a tensorului Einstein.Un alt camp tensorial neted construit pe baza tensorului Riemann complet co-

variant este tensorul lui Weyl. Acest camp tensorial se construieste ca o combinatieliniara a tensorilor Riemann, Ricci si curbura scalara. Combinatia liniara pastreazaproprietatile de simetrie (263)�(264) ale tensorului Riemann iar contractiile tensoruluiWeyl cu inversul tensorului metric sunt nule. Construim campul tensorial mentionatsub forma

W��j�� = R��j�� + a�g�[�R�]� � g�[�R�]�

�+ bg�[�g�]�R: (284)

Constantele reale a si b de determina din conditia ca urma tensolului Weyl sa �e nula

g��W��j�� = 0: (285)

Problema 22 Sa se arate ca valorile constantelor a si b determinate din conditia(285) sunt

a = � 1

m� 2 ; b =1

(m� 1) (m� 2) ; (286)

unde m este dimensiunea varietatii Riemanniene (M;AM ;g)

Inlocuim constantele a si b obtinute anterior in (284) si identi�cam expresiileconcrete ale componentelor tensorului Weyl

W��j�� = R��j�� �g�[�R�]� � g�[�R�]�

m� 2 +g�[�g�]�R

(m� 1) (m� 2) : (287)

Tensorul lui Weyl este obiectul de baza in constructia formularii Weyl a gravitatieiconforme.

42

2.2.4 Izometrii. Tensori Killing

Existenta unei metrici pe o varietate Riemanniana (M;AM ;g) conduce natural laproblema determinarii difeomor�smelor netede care conserva metrica respectiva.

De�nitia 15 Un difeomor�sm F al varietatii Riemanniene (M;AM ;g) se numesteizometrie a acesteia daca

F �g = g; (288)

sau intr-o harta locala (Ua; �a) 2 AM [F (Ua) � Ua iar expresia difeomor�smului Feste �a (Ua) 3 x �! y = y (x) 2 �a (Ua)]

g�� (y (x))@y�

@x�(x)

@y�

@x�(x) = g�� (x) ; �; � = 1;m: (289)

Un caz particular de izometrii sunt cele in�nitesimale generate de campuri vecto-riale netede ca in (103). In aceasta situatie de�nitiile (128) si cea anterioara conduc lafaptul ca un camp vectorial netedX 2 � (� (M)) genereaza [prin intermediul aplicatiei(103)] o izometrie in�nitesimala daca si numai daca

X� (x) @�g�� (x) + g�� (x) @�X� (x) + g�� (x) @�X

� (x) = 0: (290)

Conditiile anterioare sunt echivalente pe baza relatiilor (233) cu

X(�;�) = 0; �; � = 1;m: (291)

Un camp vectorial X 2 � (� (M)) care satisface (291) se numeste camp vectorialKilling [in literatura de specialitate se utilizeaza denumirea de vector Killing]. Exis-tenta unui vector Killing este o consecinta a unei proprietati de simetrie a spatiului(M;AM ;g) [17].Generalizarea notiunii de vector Killing se face pe baza relatiilor (291). Un camp

tensorial neted 2 ���(0;s) (M)

�complet simetric se numeste tensor Killing daca

satisface conditiile

(�1����s;�s+1) = 0; �1; : : : ; �s+1 = 1;m: (292)

Exemplul 6 Metrica pe varietatea Riemanniana (M;AM ;g) este tensor Killing derang doi.

Tensorii Killing ai unei varietati Riemanniene sunt importanti deoarece genereazamarimi conservative pentru o particula care evolueaza in camp gravitational [12].

2.2.5 Spatiul Minkowski

In aceasta sectiune, pe baza principiilor relativitatii restranse, vom organiza multimeaevenimentelor ca o varietate Riemanniana plata numita spatiul Minkowski. Numimeveniment un fapt �zic care se petrece intr-un punct din spatiu si la un moment detimp [13]. Desi apeleaza la un observator, evenimentele se constituie ca o multime depuncte [nu pot exista doua fapte �zice care sa se petreaca la acelasi moment de timp

43

si in acelasi loc] independenta de acesta. Notam cu M4 multimea evenimentelor si ovom inzestra, pe baza principiilor relativitatii restranse, cu o structura de varietateRiemanniana plata.Enunturile principiilor relativitatii restranse sunt:

Axioma 1 Legile naturii sunt aceleasi in orice sistem de referinta inertial.

Axioma 2 Viteza luminii in vid are aceeasi valoare in toate sistemele de referintainertiale.

Notam cu OI multimea observatorilor inertiali. Pentru �ecare observator inertialo 2 OI de�nim aplicatia �o :M4 �! R4 care asociaza in mod unic �ecarui evenimentp 2 M4 un cvadruplu de numere reale x (p) �

�x0 (p) ; x1 (p) ; x2 (p) ; x3 (p)

�unde

x0 (p) = ct (p) [c-viteza luminii in vid si t (p)-momentul de timp la care se petreceevenimentul p] iar

�x1 (p) ; x2 (p) ; x3 (p)

�sunt coordonatele carteziene ale punctului

din spatiu in care se petrece evenimentul relativ la reperul cartezian asociat observa-torului inertial o. Maniera de de�nitie a aplicatiei �o implica bijectivitatea acesteia.Fie p1 si p2 doua evanimente. De�nim marimea

�s2o (p1; p2) = ��x0 (p1)� x0 (p2)

�2+

3Xi=1

�xi (p1)� xi (p2)

�2: (293)

Aceasta marime se numeste interval cvadridimensional determinat de evenimentele p1si p2 si masurat de observatorul inertial o 2 OI . Se poate demonstra [13] ca principiulII al relativitatii restranse implica independenta intervalului cvadridimensional deobservatorul inertial ales. Cu alte cuvinte, pentru oricare doi observatori inertiali o,o0 2 OI avem

�s2o (p1; p2) = �s2o0 (p1; p2) : (294)

Egalitatea anterioara ofera intervalului cvadridimensional un caracter absolut si jus-ti�ca notatia

�s2 (p1; p2) : (295)

Intervalul cvadridimensional poate � exprimat compact sub forma

�s2o (p1; p2) = ��� [x� (p1)� x� (p2)] [x� (p1)� x� (p2)] ; (296)

unde am utilizat notatia

(���)�;�=0;3 = diag (�;+;+;+) : (297)

Consideram doua evenimente arbitrare p1 si p2 foarte apropiate

x� (p2) = x� (p1) + �x

�; 8� = 0; 3 (298)

relativ la observatorul o 2 OI . Coordonatele masurate de observatorul o0 2 OI pentruaceleasi evenimente vor satisface niste relatii similare cu (298)

x0� (p2) = x0� (p1) + �x

0�; 8� = 0; 3: (299)

44

Introducand (298) si (299) in (294) obtinem

����x0��x0� = ����x

��x� : (300)

Din egalitatea (300) vom determina legatura dintre coordonatele masurate de ob-servatorii o si o0 2 OI pentru acelasi eveniment p1 2M4 folosind asumptia rezonabilaconform careia coordonatele masurate de observatorul o depind neted de cele masuratede o0 pentru acelasi eveniment

x0� (p) = x0� (x (p)) ; (301)

unde functiile x �! x0 (x) sunt netede. Aplicatiile

R4 3 x �! x0 = x0 (x) 2 R4; (302)

R4 3 x0 �! x = x (x0) 2 R4; (303)

sunt chiar functiile compuse �o0��o si respectiv �o��o0 .Pe baza asumptiei enuntate anterior, putem exprima �x0� in termenii marimilor

�x�

�x0� = x0� (p2)� x0� (p1) = x0� (x (p2))� x0� (x (p1))= x0� (x (p1) + �x)� x0� (x (p1))

=@x0�

@x�(x (p1)) �x

� +@2x0�

@x�@x�(x (p1)) �x

��x� + � � � : (304)

Introducand dezvoltarea (304) in (300) si neglijand termenii cel putin cubici in �x�

[omitere justi�cata de alegerea evenimentelor p1 si p2 ca �ind foarte apropiate] iden-ti�cam

���@x0�

@x�(x (p1))

@x0�

@x�(x (p1)) �x

��x� = ����x��x� : (305)

Data �ind arbitrarietatea evenimentului p1 2M4, relatia (305) poate � rescrisa subforma

���@x0�

@x�@x0�

@x��x��x� = ����x

��x� ; (306)

sau, echivalent,

���@x0�

@x�@x0�

@x�= ��� ; 8�; � = 0; 3: (307)

Derivam (307) in raport cu x si obtinem

���

�@2x0�

@x @x�@x0�

@x�+@x0�

@x�@2x0�

@x @x�

�= 0; 8�; �; = 0; 3: (308)

Efectuam permutarile circulare in indicii �, �, in egalitatile (308)

���

�@2x0�

@x�@x�@x0�

@x +@x0�

@x�@2x0�

@x�@x

�= 0; 8�; �; = 0; 3; (309)

���

�@2x0�

@x�@x @x0�

@x�+@x0�

@x @2x0�

@x�@x�

�= 0; 8�; �; = 0; 3: (310)

45

Realizam o combinatie liniara a egalitatilor (308)�(310) astfel: egalitatea (308) intracu factorul �1 iar celelalte doua cu factorul +1. Folosind simetria matricii ��� [��� =���] si teorema Schwarz privitoare la derivatele partiale ale functiilor netede reale demai multe variabile reale deducem

2���@2x0�

@x�@x�@x0�

@x = 0; 8�; �; = 0; 3: (311)

Utilizand invertibilitatea matricii cu elementele @x0�

@x (23) si nesingularitatea matricii(297), din relatiile (311) deducem

@2x0�

@x�@x�= 0; 8�; �; � = 0; 3: (312)

Integrand (312) obtinem expresia concreta a aplicatiei compuse �o0��o

x� �! x0� = ���x� + a�; � = 0; 3; (313)

unde ��� sunt elementele unei matrici patratice � = (���)�;�=0;3 care satisfac [pebaza relatiilor (307)]

�������

�� = ��� ; 8�; � = 0; 3; (314)

iar a� sunt niste numere reale care exprima coordonatele observatorului o masuratede observatorul o0.Inversand (313) determinam expresia aplicatiei cumpuse �o��o0 [ca inversa functiei

�o0��o] ca �ind

x0� �! x� = ���� (x0� � a�) ; � = 0; 3; (315)

unde ���� sunt elementele inversei matricii �.Prin urmare, am introdus pe multimeaM4 o structura de varietate neteda AM4

=f(M4; �o) jo 2 OI g. Schimbarile de harti locale se realizeaza prin functii de tranzitie(313). Varietatea (M4;AM4

) se inzestreaza natural cu un camp tensorial de tip (0; 2)simetric si nedegenerat � exprimat in harta locala (M4; �o) prin

� = ���dx� dx� : (316)

Varietatea Riemanniana plata (M4;AM4;�) se numeste spatiul Minkowski.

Problema 23 Demonstrati ca expresia (316) a tensorului metric nu depinde de hartaaleasa.

Observam ca metrica (316) este inde�nita, ceea ce conduce la clasi�carea inter-valelor cvadridimensionale (295) in:

i) interval de tip temporal daca �s2 < 0;

ii) interval de tip spatial daca �s2 > 0;

iii) interval nul daca �s2 = 0.

46

2.2.6 Universul spatio-temporal

Formularea gravitatiei ca teorie relativista de camp a fost realizata de Einstein in1911 [14] prin suplimentarea principiilor relativitatii restranse cu un nou principiu,numit principiul echivalentei, al carui enunt [15] este dat mai jos.

Axioma 3 Pentru �ecare eveniment p 2 M4, in prezenta unui camp gravitationalarbitrar este posibila alegerea unui �sistem de coordonate local inertial� astfel incatintr-o vecinatate su�cient de mica a evenimentului ales, legile naturii au aceeasi formaca intr-un sistem de referinta inertial in absenta gravitatiei.

Acest nou postulat permite organizarea spatiuluiM4 ca varietate neteda in raportcu structura neteda eAM4

= f(Uo; �o) jo 2 Og. Anterior, prin O am notat multimeaobservatorilor [inertiali si neinertiali], iar Uo reprezinta domeniul de evenimente pecare il poate parametriza observatorul o 2 O. Remarcam ca in acest caz schimbareade observatori nu mai bene�ciaza de aplicatii compuse �o0��o si �o��o0 liniare ca in(313) si (315), ci au forma generala (1). Campul gravitational inzestreaza spatiulevenimentelor M4 cu un camp tensorial de tip (0; 2) simetric si nedegenerat g, carelocal este exprimat prin (132), coordonatele acestuia �ind chiar potentialele campuluigravitational.Prin urmare, in relativitatea generala spatiul evenimentelor M4 este inzestrat

natural ca o varietate Riemanniana 4-dimensionala�M4; eAM4 ;g

�. Pentru �ecare

eveniment p 2 M4 exista o harta locala [asociata unui observator o 2 O] (Uo; �o)astfel incat p 2 Uo [�o (p) = x0] si

g�� (x0) = ��� ; g��;� (x0) = 0; 8�; �; � = 0; 3: (317)

Coordonatele asociate hartii locale (Uo; �o) evidentiate mai sus se numesc coordonate

normale pe varietatea�M4; eAM4

;g�in punctul p 2 Uo. Coordonatele normale vor

face transparent principiul echivalentei atunci cand vom introduce notiunea de geo-dezica, notiune care este direct corelata cu traiectoria unei particule test a�ata incampul gravitational ale carui potentiale sunt componentele locale ale metricii g.

47

3 Ecuatii de miscare intr-un camp gravitational

In acest capitol mai intai introducem notiunea de geodezica [prin intermediul trans-portului paralel] si apoi analizam miscarea unei particule �test� intr-un camp gra-vitational dat, neglijand modi�carea campului gravitational datorata prezentei par-ticulei considerate. Conform celor discutate in �nalul capitolului anterior, prezentacampului gravitational inzestreaza spatiul evenimentelor M4 cu o structura de va-

rietate Riemanniana 4-dimensionala�M4; eAM4

;g�. Ecuatiile de miscare sunt ob-

tinute din principiul variational bazat pe o functionala caracterizata de metrica pe

varietatea Riemanniana�M4; eAM4

;g�. Ecuatiile de miscare ale particulei �test� in

campul gravitational dat sunt chiar ecuatiile geodezicelor pe varietatea Riemanniana�M4; eAM4

;g�. In �nalul capitolului analizam limita Newtoniana a ecuatiilor de mis-

care ale unei particule �test�intr-un camp gravitostatic pentru a determina legaturadintre potentialul campului si componentele metricii.

3.1 Geodezice

Numim geodezica pe spatiul M4 [�M4; eAM4

;g�varietate Riemanniana] o curba :

I � R �! M4 ai carei vectori tangenti se transporta paralel in lungul acesteia. Incele ce urmeaza vom analiza din punct de vedere matematic notiunea de geodezica.Alegem o harta locala (Uo; �o) peM4 care contine in domeniul de de�nitie al acesteiatoata geodezica (I) � Uo. Atunci, expresia locala a curbei respective devine

� �! x (�) 2 �o (Uo) � R4: (318)

Vectorul tangent in ��o (x0) la curba are expresia

X (x0) =dx�

d�(�0)

�@

@x�

�x0

; (319)

unde x0 = x (�0).Transportatul paralel al vectorului (319) in punctul x00 = x (�0 + �) = x0 + �x

[unde � 2 R, j�j << 1] a�at pe curba , conform relatiilor (209) si (210), este exprimatprin

X (x00) =

�dx�

d�(�0)� ���� (x0)

dx�

d�(�0) �x

�

��@

@x�

�x00

: (320)

Vectorul anterior coincide cu cel tangent in ��o (x00) la curba

X (x00) =dx�

d�(�0 + �)

�@

@x�

�x00

: (321)

Din relatiile (320) si (321) deducem

dx�

d�(�0)� ���� (x0)

dx�

d�(�0) �x

� =dx�

d�(�0 + �) ; 8� = 0; 3: (322)

48

Utilizand faptul ca deplasarea pe curba [j�j << 1] este in�nitesimala, termeniidin egalitatile (322) se aduc la forma

�x�def= x� (�0 + �)� x� (�0 + �) =

dx�

d�(�0) �; (323)

dx�

d�(�0 + �)�

dx�

d�(�0) =

d2x�

d�2(�0) �: (324)

Introducem (323) si (324) in (322) si obtinem�d2x�

d�2(�0) + �

��� (x0)

dx�

d�(�0)

dx�

d�(�0)

�� = 0: (325)

Data �ind arbitrarietatea valorii parametrului curbei �0 2 I si a deplasarii in�ni-tesimale pe aceasta [� 2 R, j�j << 1], din (325) deducem ecuatiile geodezicei intr-oparametrizare a�na

d2x�

d�2(�) + ���� (x (�))

dx�

d�(�)

dx�

d�(�) = 0; 8� = 0; 3: (326)

Observam ca de�nitia geodezicei asigura faptul ca vectorii tangenti la aceasta auaceeasi �lungime�

g�� (x (�))dx�

d�(�)

dx�

d�(�) = k: (327)

Aceasta observatie permite clasi�carea [similara celei pentru intervalul cvadridimen-sional] geodezicelor in:

i) geodezice de tip temporal daca k < 0;

ii) geodezice de tip spatial daca k > 0;

iii) geodezice nule daca k = 0.

Pe baza principiului de echivalenta, ecuatiile de miscare ale unei particule test incamp gravitational sunt chiar ecuatiile geodezicei evidentiate mai sus (326).Ne propunem in continuare sa determinam ecuatiile (326) ale geodezicei intr-o

parametrizare arbitrara. Consideram functia reala neteda monoton strict crescatoare

h : J � R �! I; � �! � = � (�) ;d�

d�> 0: (328)

In aceasta parametrizare, expresia locala a geodezicei h [care are acelasi suport casi ] este

� �! x (�) � x (� (�)) : (329)

Derivatele de ordinul I si II ale coordonatelor curbei in parametrizarile � si �sunt corelate prin relatiile

dx�

d�=

d�

d�

dx�

d�; (330)

49

d2x�

d�2=

d2�

d�2dx�

d�+

�d�

d�

�2d2x�

d�2: (331)

Pe baza ecuatiilor geodezicei (326) in parametrizarea a�na � si a relatiilor (330),egalitatile (331) devin

d2x�

d�2+ ���� (x (�))

dx�

d�

dx�

d�=d�

d�

d2�

d�2dx�

d�: (332)

Notand

f (�) � d�

d�

d2�

d�2; (333)

ecuatiile (332) devin

d2x�

d�2+ ���� (x (�))

dx�

d�

dx�

d�= f (�)

dx�

d�: (334)

Ecuatiile anterioare reprezinta ecuatiile geodezicei intr-o parametrizare arbitrara aacesteia.Vom demonstra ca daca avem o curba : J �! R care satisface local (334), atunci

exista o alta parametrizare a acesteia p : J 0 � R �! J [� �! � = � (�)] astfel incat p satisface ecuatiile geodezicei (326) in harta locala (Uo; �o). Folosind derivatelefunctiilor compuse

d

d�=d�

d�

d

d�;

d2

d�2=

�d�

d�

�2d2

d�2+d2�

d�2d

d�; (335)

rescriem (334) in parametrizarea ��d�

d�

�2�d2x�

d�2+ ���� (x (�))

dx�

d�

dx�

d�

�+d2�

d�2dx�

d�= f (�)

d�

d�

dx�

d�: (336)

Cautam � = � (�) astfel incat ultimul termen din membrul stang al egalitatii (336)sa �e acelasi cu membrul drept

d2�

d�2= f (�)

d�

d�: (337)

Rezolvam ecuatia diferentiala ordinara (337) a carei functie necunoscuta este � �!� = � (�) [inversa parametrizarii p cautate]. Utilizand notatia

R (�) =d�

d�(338)

ecuatia (337) conduce la o ecuatie cu variabile separabile

dR

d�= f (�)R: (339)

50

Solutia generala a ecuatiei anterioare este

R (�) = C2 expF (�) ; (340)

unde F (�) este o primitiva a functiei f (�). Introducand (340) in (338) obtinemecuatia

d�

d�= C2 expF (�) ; (341)

a carei solutie generala este de forma

� (�) = C1 + C2

Zd� expF (�) : (342)

Alegand constanta de integrare C2 > 0, functia (342) este monoton strict crescatoare[deci injectiva] si prin micsorarea [eventuala] a codomeniului acesteia [la intervalul J 0]devine surjectiva si deci inversabila. Inversa aplicatiei (342) este chiar parametrizareacautata p : J 0 � R �! J .Ecuatiile geodezicei (326) pot � exprimate intr-o forma care ulterior ne va per-

mite identi�carea unor integrale prime importante in evolutia particulelor in campurigravitationale statice. Notand cu

u� (�) =dx�

d�(�) (343)

avem ca

u� (�) = g�� (x (�))dx�

d�(�) : (344)

Contractand ecuatiile (326) cu g�� (x (�)) obtinem

g�� (x (�))du�

d�(�) + ����u

� (�)u� (�) = 0; 8� = 0; 3: (345)

Pe baza de�nitiilor (344) si a relatiilor (195), ecuatiile (345) pot � aduse la forma

du�d�

(�)� 12g��;� (x (�))u

� (�)u� (�) = 0; 8� = 0; 3: (346)

Problema 24 Pe baza argumentelor invocate anterior sa se obtina (346).

3.2 Principiul variational pentru geodezice

Ecuatiile geodezicei (326) [sau echivalent (334)] pot � deduse din principiul varia-tional bazat pe functionala �lungime a curbei� (165). Ne propunem sa determinamextremalele functionalei

S [x�] =

Z �2

�1

d�qgg�� (x (�))x0� (�)x0� (�) (347)

in multimea curbelor cu suportul in domeniul Uo al hartii locale (Uo; �o) care satisfacconditiile bilocale

(�1) = p1; (�2) = p2; (348)

51

si au signatura constanta g [conditie ce asigura de�nitia corecta a integrandului lui(347)]. In (347) am utilizat notatia x0� (�) = dx�

d� . Pe baza principiului variational,extremalele actiunii (347) sunt solutiile ecuatilor Euler�Lagrange

@L

@x�� d

d�

�@L

@x0�

�= 0; � = 0; 3; (349)

unde L este integrandul functionalei (347).Omitand evidentierea parametrului � si folosind simetria coe�cientilor campului

metric obtinem

@L

@x�=

gg��;�x0�x0�

2pgg��x0�x0�

; (350)

@L

@x0�=

gg��x0�p

gg��x0�x0�: (351)

Deoarece curbele au signatura constanta g putem alege pentru solutia sistemuluide ecuatii diferentiale ordinare (349) parametrizarea � , care satisface conditia

d�

d�=qgg�� (x (�))x0� (�)x0� (�): (352)

Utilizand

_x� � dx�

d�=d�

d�

dx�

d�=

x0�pgg��x0�x0�

; (353)

derivatele (350) si (351) devin

@L

@x�=

gg��;�2

qgg��x0�x0� _x

� _x� ; (354)

@L

@x0�= gg�� _x

� : (355)

Introducem (354) si (355) in (349) si identi�cam

gg��;�2

_x� _x� � d

d�(gg�� _x

�) = 0: (356)

Derivand efectiv cel de-al doilea termen din membrul stang al egalitatilor (356),obtinem ca acestea sunt echivalente cu

g�� �x� +

1

2(g��;� + g��;� � g��;�) _x� _x� = 0: (357)

Multiplicand (357) cu inversul tensorului metric g�� si utilizand de�nitiile (204),ecuatiile (357) devin

�x� + ���� _x� _x� = 0: (358)

Acestea sunt chiar ecuatiile geodezicei intr-o parametrizare a�na (326).

Problema 25 Pe baza relatiilor (350) si (351) sa se arate ca (349) sunt ecuatiilegeodezicei in prametrizarea � [coincid cu (334)].

52

In cele ce urmeaza revenim la spatiul Minkowski (M4;AM4 ;�). Fie (M4; �) oharta locala [� (p) = � (p)]. In harta locala aleasa geodezicele satisfac ecuatiile

d2��

d�2= 0; (359)

deoarece simbolurile Christo¤el sunt identic nule [spatiul Minkowski este un spatiuplat]. Din (359) observam ca geodezicele spatiului Minkowski sunt dreptele [sau seg-mentele de dreapta]. Astfel, geodezicele de tip temporal ale spatiului Minkowski coin-cid cu traiectoriile particulelor libere. Aceasta remarca face pertinenta interpretarea

geodezicelor de tip temporal pe varietatea Riemanniena�M4; eAM4

;g�ca traiectorii

ale particulelor test in campul gravitational cu potentialele coe�cientii metricii uni-versului spatio-temporal.Generalizarea enuntata anterior impreuna cu un rezultat matematic general referi-

tor la existenta coordonatelor normale demonstreaza principiul de echivalenta in cazulmiscarii particulelor test in camp gravitational. Rezultatul matematic invocat estecontinut in urmatoarea teorema.

Teorema 4 Fie (M;AM ;g) o varietate Riemanniana si : I � R �!M o geodezicaa acesteia. Atunci, pentru �ecare punct p0 2 (I) exista o harta locala (Ua; �a) 2A (p0) [Ua 3 p �! �a (p) = � (p)] astfel incat expresia aplicatiei relativ la aceastaeste

� �! �� (�) = a�� ; 8� 2 (Ua) : (360)

Demonstratie. Vezi [16].In teorema anterioar am notat prin (Ua) contraimaginea multimii Ua prin

aplicatia .Coordonatele locale furnizate de teorema anterioara se numesc coordonate nor-

male.

3.3 Limita Newtoniana

In aceasta sectiune vom justi�ca interpretarea privitoare la traiectoriile particulelora�ate in camp gravitational facuta anterior. In acest sens, vom analiza ecuatiile demiscare ale particulei test (326) intr-un camp gravitational stationar slab

g��;0 = 0 si g�� = ��� + h�� ; jh�� j << 1 (361)

si vom presupune ca vitezele cu care evolueaza particula sunt mici in raport cu vitezaluminii in vid ����dxid�

���� << ����dx0d����� ; 8i = 1; 3: (362)

Pe baza relatiilor (362), ecuatiile (326) devin

d2x�

d�2+ ��00

dx0

d�

dx0

d�= 0: (363)

53

Utilizand intensitatea slaba a campului gravitational [jh�� j << 1], coe�cientiiinversului tensorului metric sunt

g�� = ��� � h�� ; (364)

unde am utilizat notatiileh�� = ������h�� : (365)

De�nitiile simbolurilor Christo¤el (204) impreuna cu faptul ca am considerat uncamp gravitational slab si stationar (361) conduc la

�000 = 0; �i00 = �1

2�ijh00;j : (366)

Introducand (366) in (363), identi�cam ecuatiile geodezicei in aproximatia consi-derata

d2xi

d�2� 12�ijh00;j

�dx0

d�

�2= 0; (367)

d2x0

d�2= 0: (368)

In urma integrarii ecuatiei diferentiale (368) obtinem

dx0

d�= k; (369)

unde k este o constanta reala nenula, pe care o putem alege a � chiar viteza luminii invid c [printr-o selectare adecvata a observatorului]. Pe baza egalitatii x0 = ct obtinem

dx0

d�= c;

dt

d�= 1: (370)

Introducand (370) in ecuatiile (367), acestea devin

d2xi

dt2=c2

2�ijh00;j (371)

sau, scrise sub forma vectoriala,

d2~x

dt2=c2

2rh00: (372)

Comparand (372) cu ecuatia lui Newton corespunzatoare aceleiasi situatii

d2~x

dt2= �r'; (373)

unde ' este potentialul campului gravitostatic [pentru un corp sferic de masa Momogen potentialul gravitostatic este ' = �GM=r], determinam

h00 = �2'

c2(374)

si componenta corespunzatoare a metricii

g00 = ��1 +

2'

c2

�: (375)

54

4 Ecuatiile Einstein

In acesta parte ne propunem sa investigam constructia unei teorii relativiste de campcare descrie gravitatia. Constructia se bazeaza pe argumente geometrice si pe cerintaca in limita nerelativista sa regasim gravitatia Newtoniana.Pentru aceasta, vom porni de la teoria Newtoniana a campului gravitostatic, dat

�ind faptul ca aceasta a reprezentat un succes in descrierea miscarii planetelor.Proprietatile caracteristice ale teoriei Newtoniene a campului gravitostatic sunt:

i) Este o teorie scalara de camp [campul gravitostatic �ind descris printr-un campscalar real '];

ii) Sursele campului gravitational sunt corpurile cu masa nenula;

iii) Ecuatia de camp este una cu derivate partiale, liniara si de ordinul II

�' = 4�G�: (376)

In (376) � este operatorul Laplace [� = @2

@x2 +@2

@y2 +@2

@z2 ], G este constanta

gravitationala [cea care intra in legea atractiei gravitationale F = Gm0Mr2 ], iar � este

densitatea volumica de masa.Teoria relativista de camp care descrie gravitatia o vom construi pe baza a doua

cerinte fundamentale [17]:

I. In aproximatia campurilor gravitationale slabe si independente de timp si avitezelor mici, teoria relativista sa reproduca teoria Newtoniana a gravitatiei;

II. Teoria relativista sa ofere predictii care sa �e veri�cate experimental.

Cea mai simpla teorie relativista pentru gravitatie ar � o teorie care sa descriecampul gravitational printr-un potential scalar. Pentru o astfel de teorie sursa cam-pului gravitational trebuie sa �e o marime scalara, expresia relativista a masei. Inrelativitatea speciala materia este caracterizata prin tensorul de materie [cunoscutdrept cvadritensorul energie-impuls] care este un camp tensorial de tip (2; 0) simetric,notat traditional cu

T�� : (377)

Conservarea energiei si impulsului este descrisa local prin ecuatiile

T��;� = 0; � = 0; 3: (378)

Exemplul 7 In electrodinamica clasica sistemul constituit dintr-un camp si surselesale [materie purtatoare de sarcina electrica] este caracterizat de cvadritensorul

T�� = T��mat + T��em ; (379)

unde T��mat caracterizeaza sursele campului electromagnetic iar T��em campul electromag-

netic. In cazul in care materia purtatoare de sarcina electrica consta intr-o colectiede sarcini electrice punctiforme, primul termen din membrul drept al lui (379) este

T��mat =Xa

Zd�ma

dx�

d�

dx�

d��4 (x� xa (�)) ; (380)

55

iar al doilea termen [care caracterizeaza campul electromagnetic] este

T��em = �0c2

����F

��F �� � ���

4F��F��

�: (381)

In varianta scalara a campului gravitational obiectul scalar construit din T�� carejoaca rol de sursa a campului gravitational este chiar

T = ���T�� : (382)

O teorie avand ca sursa a campului gravitational urma tensorului de materie (382)a fost propusa de Nordstöm cativa ani inaintea formularii relativitatii generale. Teoriapropusa de Nordstöm satisface cerinta I, insa predictiile oferite de aceasta sunt incontradictie cu datele experimentale [nu satisface cerinta II].O teorie vectoriala care sa descrie relativist campul gravitational [potentialele

acestuia sa constituie componentele unui camp vectorial] nu este posibila deoarece inpatru dimensiuni spatio-temporale nu se poate construi in maniera directa din (377)un camp vectorial care sa constituie sursele campului gravitational.Urmatoarea posibilitate este sa consideram o teorie tensoriala a campului gravita-

tional, in care toate cele zece componente independente ale tensorului energie-impulssa constituie surse ale campului gravitational. Corespunzator acestei situatii, poten-tialele campului gravitational constituie componentele unui camp tensorial de tip (0; 2)simetric. Cea mai simpla idee de a formula o astfel de teorie ar � o teorie de campin spatiul Minkowski. Constructii de astfel de teorii au fost si sunt inca realizatedeoarece din punct de vedere matematic sunt teorii mai simple decat relativitateagenerala. Cu toate acestea, teoriile care descriu gravitatia prin campuri tensoriale pespatiul Minkowski intampina di�cultati conceptuale majore. Un alt impediment inconsiderarea teoriilor mentionate consta in alegerea uneia dintre acestea in descriereagravitatiei. In relativitatea generala ecuatiile de camp pentru campul gravitationalsunt unic determinate, dupa cum vom constata ulterior.Relativitatea generala este teoria gravitatiei care considera ca surse ale campului

gravitational toate componentele tensorului energie-impuls si care are drept potentiale

componentele metricii din universul spatio-temporal�M4; eAM4

;g�.

Corespunzator descrierii formulate anterior a campului gravitational, legea localade conservare a energiei si impulsului (378) devine

T��;� = 0; � = 0; 3: (383)

4.1 Ecuatiile de camp

Ecuatiile de camp pentru campul gravitational creat de sursele (377) pot � scrisegeneric sub forma

E�� = T�� ; �; � = 0; 3: (384)

In membrul stang al sistemului (384) sunt componentele locale ale unui camp tensorialde tip (0; 2) construit din metrica si derivatele cel mult de ordinul II ale acesteia.Deoarece in aproximatia Newtoniana (384) trebuie sa se reduca la (376), coordonatele

56

locale E�� trebuie sa �e liniare in derivatele de ordinul II ale componentelor metricii.Referitor la astfel de campuri tensoriale pe varietati Riemanniene exista rezultatulcontinut in urmatoarea teorema.

Teorema 5 Singurele campuri tensoriale netede pe o varietate Riemanniana (M;AM ;g),construite din metrica si derivatele de ordinul unu si doi ale acesteia in raport cu co-ordonatele si care sunt patratice in derivatele de ordinul unu si liniare in derivatelede ordinul doi ale metricii, sunt tensorul lui Riemann si contractiile acestuia.

Demonstratie. Vezi [15].Pe baza teoremei enuntate mai sus, ecuatiile (384) se scriu generic sub forma

�R�� + �g��R+ g�� = T�� ; �; � = 0; 3; (385)

unde �, � si sunt numere reale si in plus � 6= 0 [pentru a asigura cerinta I]. Ecuatiile(385) sunt echivalente cu

R�� + ��g��R+ � g�� = �T�� �; � = 0; 3; (386)

unde am utilizat notatiile

�� =�

�; � =

�;

1

�= �: (387)

Pe de alta parte, tensorul energie-impuls T�� trebuie sa satisfaca (383) pe solutiileecuatiilor de camp (386), ceea ce conduce la�

R�� + ��g��R+ � g���;���R�� + ��g��R

�;�= 0; � = 0; 3: (388)

Comparand egalitatile (388) cu (281) identi�cam

�� = �12: (389)

Introducand (389) in (386) si folosind notatia � � � [constanta cosmologica],deducem ecuatiile Einstein pentru campul gravitational sub forma

R�� �1

2g��R+ �g�� = �T�� ; �; � = 0; 3: (390)

Scrise in termenii tensorului Einstein (282), ecuatiile anterioare au expresia

G�� + �g�� = �T�� ; �; � = 0; 3: (391)

Constanta � care apare in ecuatiile Einstein (391) este cunoscuta in literatura despecialitate drept constanta gravitationala relativista.Din (391) observam ca daca � 6= 0 si campul gravitational nu are surse [T�� =

0, 8�, � = 0; 3], atunci metrica Minkowski nu este solutie a ecuatiilor Einstein.Initial, Einstein a scris ecuatiile (391) fara termenul cosmologic [� = 0]. Interpretareacosmologica in acest caz a solutiilor ecuatiilor cu derivate partiale corespunzatoare a

57

condus [in functie de conditiile la limita alese] la un Univers �e in contractie, �ein expansiune. Adaugarea termenului cosmologic permite identi�carea de solutii aleecuatiilor (391) care descriu un Univers static.Deoarece nu avem in vedere abordarea problemei cosmologice, vom considera ecu-

atiile Einstein fara constanta cosmologica

G�� = �T�� ; �; � = 0; 3: (392)

Ecuatiile pentru vidG�� = 0; �; � = 0; 3 (393)

admit ca solutie metrica Minkowski. Prin calcul direct se obtine simplu ca in cazulvidului ecuatiile (394) sunt echivalente cu

R�� = 0; �; � = 0; 3: (394)

Din punct de vedere dinamic, potentialele campului gravitational sunt campurigauge [asemenea potentialelor campului electromagnetic (A�)�=0;3] si pentru a rezolva(393) trebuie sa �xam etalonarea [ecuatiile (393) nu sunt independente (283)]. Fixareaetalonarii se face prin alegerea unor harti locale preferentiale din eAM4 in care metricasatisface conditiile

�� � g������ = 0; � = 0; 3: (395)

Coordonatele preferentiale in care componentele metricii satisfac conditiile (395) senumesc coordonate armonice. Demonstratia existentei coordonatelor armonice poate� gasita in [15].

4.2 Limita Newtoniana a ecuatiilor Einstein

In aceasta sectiune vom analiza limita Newtoniana a ecuatiilor Einstein (392) pentrua determina legatura dintre constanta atractiei universale [constanta G care apare inecuatia satisfacuta de potentialul campului gravitostatic '] si factorul � care apare inecuatiile Einstein. In limita Newtoniana potentialele campului gravitational satisfac(361), iar sursa campului gravitational consta intr-o distributie de materie a�ata inrepaus. In aceasta situatie cvadritensorul energie-impuls are o singura componentanenula

T00 = �c2: (396)

Contractand (392) cu g�� si folosind expresia cvadritensorului energie-impuls inacest caz [singura componenta nenula a acestuia �ind (396)], obtinem

R = ��T��g�� ; (397)

sau echivalentR = ���c2

��1� h00

�: (398)

Introducem (398) in membrul stang al ecuatiilor (392) si pentru � = � = 0 deter-minam

R00 =�

2�c2: (399)

58

In aproximatia considerata

R00 = g��R0�0� = g

ijR0i0j = @i�i00 = @i

��12g00;i

�: (400)

Anterior obtinusem pentru componenta g00 a metricii forma (375). Inlocuind (375)in (400) obtinem imediat ca

R00 =1

c2�': (401)

Introducand (401) in (399) si comparand rezultatul obtinut cu (376), determinamlegatura dintre constantele G si � de forma

� =8�G

c4: (402)

Din (402) constatam ca valoarea constantei gravitationale relativiste �responsa-bila pentru interactia gravitationala este foarte mica [� � 10�47] si nu este adimen-sionala. Valoarea foarte mica a constantei gravitationale relativiste implica faptul cainteractia gravitationala este foarte slaba. Existenta dimensiunii constantei de cu-plaj � induce nerenormabilitatea teoriei cuantice de camp cu limita clasica data deformularea Hilbert�Einstein.

59

5 Formulari Lagrangiene ale campului gravitational

In acest capitol vom prezenta cateva formulari echivalente ale campului gravitationalprivit drept camp dinamic. Mai precis, vom enunta formularile Hilbert�Einstein,Palatini si formalismul de ordinul I in derivate ale campului gravitational. In cadrulformularilor mentionate vom calcula ecuatiile de evolutie [care deriva din principiulvariational bazat pe o actiune Lagrangiana] si vom evidentia transformarile gauge.De asemenea, vom demonstra ca formularile Palatini si cea de ordinul I in derivatesunt echivalente cu formularea Hilbert�Einstein.Acest capitol se adreseaza in special studentilor doctoranzi care au in planul indi-

vidual de pregatire avansata disciplina "Relativitate generala".

5.1 Formularea Hilbert�Einstein

In cadrul acestei formulari potentialele campului gravitational sunt reprezentate de

componentele locale g�� ale metricii pe o varietate Riemanniana�M4; eAM4 ;g

�. Cam-

pul gravitational este unul dinamic.La nivel Lagrangian acesta este descris prin actiunea

SHE [g�� ] =2

�2

Zd4xeR; (403)

unde am utilizat notatiae =

p�g; g = det (g��) : (404)

In continuare vom obtine ecuatiile Einstein (393) din principiul variational bazatpe actiunea (403). Din (403) identi�cam densitatea de Lagrangian

LHE = 2

�2eR: (405)

Deorece in densitatea de Lagrangian (405) apar metrica nederivata si derivatele deordinul I si II ale metricii, ecuatiile Euler�Lagrange corespunzatoare sunt

@LHE@g��

� @�@LHE

@ (@�g��)+ @�@�

@LHE@ (@�@�g��)

= 0; �; � = 0; 3: (406)

Analizam �ecare termen din membrul stang al ecuatiilor (406).Utilizand densitatea de Lagrangian (405) primul termen din membrul stang al

ecuatiei (406) este

�2

2

@LHE@g��

=@

@g��

�eg��g �R� j��

�=

@e

@g��g��g �R� j�� + 2e

@g��

@g��g �R� j��

+eg��g �@R� j��

@g��: (407)

60

Pe baza de�nitiei determinantului unei matrici

g =X

�2S(4)

(�)� g0�(0)g1�(1)g2�(2)g3�(3); (408)

si a metodei de constructie a inversei unei matrici obtinem ca

@g

@g��= gg��

@g��@g��

= gg�� ; (409)

ceea ce conduce la@e

@g��=1

2eg�� : (410)

Pentru a calcula @g��

@g��derivam (155) in raport cu g�� si determinam

@g��

@g��= �1

2g�(�g�)� : (411)

Utilizand (278) si (411) gasim ca

@R� j��

@g��= �1

2g�(�g�)� (������ � � ������ �) : (412)

Inlocuind (410), (411) si (412) in (407), de unde obtinem pentru primul termen dinmembrul stang al sistemului (406) expresia

�2

2

@LHE@g��

=1

2eg��R� 2eR��

�eg��g��g��g � (������ � � ������ �) : (413)

Contributia celui de-al doilea termen din membrul stang al sistemului (406) se da-toreaza prezentei in tensorul Riemann a produselor de simboluri Christo¤el de spetaI

�2

2@�

@LHE@ (@�g��)

= @�

�eg��g �

@

@ (@�g��)(������ � � ������ �)

�= @�

�2eg��g �

�����

@�� �@ (@�g��)

� ����@�� �@ (@�g��)

��= @�

�e�����

�g��g��g�� + g��g��g�� � g��g��g��

������

�g��g��g�� + g��g��g�� � g��g��g��

���: (414)

Contributia celui de-al treilea termen din mebrul stang al sistemului (406) se datoreazaprezentei in tensorul Riemann a derivatelor de ordinul II ale metricii

�2

2@�@�

@LHE@ (@�@�g��)

= @�@�

�eg��g �

@

@ (@�@�g��)

�1

2@�@�g �

61

�12@�@�g � �

1

2@�@ g�� +

1

2@�@ g��

��= @�@�

�e�g��g�� � g��g��

��= @�

�(@�e)

�g��g�� � g��g��

�+e�g��@�g

�� + g��@�g��

�g��@�g�� � g��@�g����: (415)

Utilizand aceleasi argumente ca in cazul derivarii relatiilor (411), se obtine simplu ca

@�g�� = �g�� (@�g��) g��: (416)

De asemenea, folosind acelasi algoritm ca cel utilizat in stabilirea relatiilor (409),determinam

@�g=gg��@�g��; (417)

ceea ce conduce, pe baza regulii de derivare a functiilor compuse, la

@�e=1

2eg��@�g��: (418)

Inlocuind (416) si (418) in (415) obtinem pentru @�@� @LHE@(@�@�g��)

urmatoarea forma

�2

2@�@�

@LHE@ (@�@�g��)

= @�

�1

2e (g��g��g�� (@�g�� � 2@�g��)

�g��g��g�� (2@�g�� � 2@�g��)�g��g��g�� (@�g�� � 2@�g��))] : (419)

Pe baza relatiilor (413), (414) si (419), expresia efectiva a membrului stang al sis-temului (406) devine

@LHE@g��

� @�@LHE

@ (@�g��)+ @�@�

@LHE@ (@�@�g��)

� 2

�2e

�1

2g��R�R��

�: (420)

Datorita nedegenerarii metricii [g 6= 0] si a identitatilor (420), ecuatiile (406) suntechivalente cu

R�� � 12g��R = 0; �; � = 0; 3: (421)

Ecuatiile (421) sunt chiar ecuatiile Einstein pentru campul gravitational in absentasurselor [materiei] (393).In continuare investigam transformarile gauge ale actiunii (403). Am determinat

anterior derivatele variationale ale densitatii de Lagrangian (405) [identitatile (420)]sub forma

�LHE�g��

� � 2

�2eG�� : (422)

Calculam divergenta��LHE�g��

�;�

� � 2

�2�e;�G

�� + eG�� ;��: (423)

62

Folosind identitatile (283), membrul drept al relatiilor (423) devine��LHE�g��

�;�

� � 2

�2G��e;� : (424)

Vom demonstra ca derivatele covariante ale marimii e in raport cu coordonateleasociate unei harti locale sunt nule. Deoarece marimea mentionata anterior este uncamp neted de pseudoscalari [17], derivatele covariante ale acesteia sunt exprimateprin

e;� = e;� � ����e: (425)

Folosind de�nitiile (204) ale simbolurilor Christo¤el de speta a II-a, obtinem

���� =1

2g��g��;� =

1

2gg;� = �

e

g@�e: (426)

Inlocuind (426) in membrul drept al egalitatilor (425), pe baza de�nitiilor (404) avemca

e;� = 0: (427)

Introducem (427) in (424) si determinam identitatile��LHE�g��

�;�

� 0; (428)

numite identitati Noether ale actiunii Hilbert�Einstein (403). Aceste identitati suntexpresia invariantei actiunii (403) la transformarile gauge in�nitesimale

��g�� = ��;� + ��;�; (429)

unde (��)�=0;3 sunt coordonatele locale ale unui camp tensorial in�nitesimal arbitrarde tip (0; 1).Ecuatiile Einstein cu constanta cosmologica si in absenta surselor [ecuatiile (390)

in care punem T�� = 0] pot � obtinute din principiul variational bazat pe actiunea

�SHE [g�� ] =2

�2

Zd4xe (R� 2�) : (430)

Problema 26 Sa se calculeze ecuatiile de camp pentru teoria descrisa la nivel La-grangian prin (430) si sa se demonstreze invarianta acesteia la transformarile gauge(429).

5.2 Formularea Palatini

In cadrul acestei formulari potentialele campului gravitational sunt componentele lo-

cale (g��)�;�=0;3 ale metricii pe o varietate Riemanniana�M4; eAM4

;g�si un sistem

de functii���k��

��;�;�=0;3

fara caracter tensorial care sunt simetrice in ultimii doiindici

��k�� = ��k��; 8�; �; � = 0; 3: (431)

63

Si in acest caz campul gravitational este unul dinamic.La nivel Lagrangian acesta este descris prin actiunea

SP�g�� ;��k��

�=

2

�2

Zd4x

ng��

h(eg��);� ��k�� � (eg

��);� ��k��

i�eg��g��g��

���k����k�� � ��k����k��

�: (432)

Problema 27 Sa se veri�ce ca

SP�g�� ;��k�� = ����

�= SHE [g�� ] : (433)

Ne propunem sa obtinem ecuatiile de camp ale teoriei descrise la nivel Lagrangianprin (432) si apoi sa eliminam campurile ��k�� pe ecuatiile lor de camp.Deoarece densitatea de Lagrangian depinde de campurile g�� , ��k�� si derivatele

de ordinul I ale campurilor g�� , ecuatiile de camp pentru (432) sunt

�LP�g��

� @LP@g��

� @�@LP

@ (@�g��)= 0; (434)

�LP�� k��

� @LP@� k��

= 0: (435)

Pe baza relatiilor (410) si (411) se obtine ca

�2

2

�LP�g��

� �e2

�g��g�� � g�(�g�)�

� �@��g����k��

�� @�

�g����k��

��+1

2(@�e)

�g�(�� �) � � (�k�)�

�+e

2g�� (@�g��)�

(�k�)�

+e

2

�@�g

���g�(�g�)���k�� �

e

2g��

���k� ��k � � g��� ���k��

�+e

2

h��k�(�g�) ��k� + 2g

(�� �)k����k� � g����k�(�� �)

�g���2� �k����k�� + ��k���

(�k�)��i

(436)

si

�2

2

�LP�� k��

� e

�1

4g��g�(�g�) g��;� �

1

2g��;�

�g��g��g� + g (�g�)�g��

�g�(�g�)�g ��� � (�k�) + 1

2g (���) + g��g �g����k��

�:(437)

In (436) si (437) am utilizat notatiile

��k� = g��g��g ���k��; (438)

�� = g��g����k��: (439)

Introducand (436) si (437) in (434) si in (435), determinam ecuatiile de camp informularea considerata. Se observa ca variabilele � k�� sunt auxiliare in sensul ca

64

pot � explicitate algebric din ecuatiile lor de camp. Intr-adevar, pe baza expresiilor(437), obtinem ca ecuatiile (435) conduc la

� (�k�) � 12g (���) � g��g �g����k�� =

1

4g��g�(�g�) g��;� �

1

2g (�g�)�g��g��;�

�12

�g��g�� � g�(�g�)�

�g �g��;�:(440)

In cele ce urmeaza rezolvam (440) in raport cu campurile � k�� . Pentru aceastacontractam (440) cu g� si obtinem

�� = �12g��g��g��;� + g

��g��g��;�: (441)

Contractam (440) cu g��

�2g �g����k�� � � =1

2g��g� g��;� � 2g��g� g��;��g� g��g��;� + g��g� g��;�: (442)

Introducem (441) in (442) si avem ca

g �g����k�� =1

2g� g��g��;�: (443)

Pe baza relatiilor (441) si (443), din (440) putem explicita � (�k�) sub forma

� (�k�) = g��g��g� g��;�; (444)

ceea ce conduce la�(�k�) = g��; : (445)

Efectuand permutarile circulare in indicii �, � si in egalitatile (445), obtinem pentrucampurile ��k� urmatoarele expresii

��k� � 1

2

��(�k�) + �(�k )� � �(�k )�

�=

1

2(g��; + g� ;� � g� ;�) � ��� : (446)

Problema 28 Demonstrati ca solutiile (446) ecuatiilor (435) sunt independente dedimensiunea varietatii Riemanniene pe care sunt de�nite campurile ��k� .

Problema 29 Sa se arate ca daca in (436) alegem ��k� = ��� , atunci ecuatiilede camp corespunzatoare (434) se reduc la ecuatiile (421).

Se poate demonstra ca actiunea (432) este invarianta la setul de transformari gaugein�nitesimale constituit din (430) si din

����k�� =���k��;� � g��;�g����k��

���

65

+��k����;� + ��k���

�;� � g��g����k����;�

+g����;�� + g

����k���(�;�); (447)

unde (��)�=0;3 sunt componentele campului de vectori asociat [in maniera (157)] cam-pului de covectori cu coordonatele (��)�=0;3.Observam ca in cadrul acestei formulari campurile ��k�� sunt pur auxiliare in

sensul ca acestea pot � eliminate algebric pe ecuatiile lor de camp. De asemenea,actiunile (403) si (432) au acelasi numar de parametri gauge independenti, cele douateorii avand acelasi numar de grade �zice de libertate.

5.3 Formalismul de ordinul I in derivate

In cadrul acestui formalism campul gravitational este descris local prin setuln(e �a )a;�=0;3 ;

�!�jab

��;a;b=0;3

o;

unde (e �a )a;�=0;3 sunt componentele campurilor de vectori duale campurilor de 1-

forme vielbein pe o varietate Riemanniana�M4; eAM4

;g�, iar

�!�jab

��;a;b=0;3

repre-

zinta componentele unei colectii de 1-forme pe aceeasi varietate, care satisfac propri-etatea de antisimetrie

!�jab = �!�jba: (448)

Practic, campurile vectoriale (ea)a=0;3 cu expresia locala

ea = e�

a

@

@x�

diagonalizeaza metrica pe varietatea Riemanniana�M4; eAM4

;g�

g (ea; eb) = �ab, a; b = 0; 3 (449)

sau, echivalent,e �a e �

b g�� = �ab; a; b = 0; 3: (450)

De�nitia inversei unei matrici conduce pe baza relatiilor (450) la relatiile

e �a e �

b �ab = g�� ; �; � = 0; 3: (451)

In continuare analizam cateva proprietati ale campurilor (e �a )a;�=0;3. Faptul ca

acestea sunt dualele campurilor vielbein�ea �

�a;�=0;3

conduce la

ea (eb) � ea �e�

b = �ab ; , a; b = 0; 3: (452)

Daca interpretam ea � ca si componentele unei matrici reale 4� 4 [cu liniile indiciatede a si coloanele de �], pe care o notam cu e, iar e �

b componentele unei matricireale cu acelasi numar de linii si coloane [dar in care � indiciaza liniile iar b coloanele],notata cu E, relatiile (452) se scriu compact sub forma

eE = 14; (453)

66

unde 14 este matricea unitate din M4 (R). Relatia (453) arata ca matricile e si Esunt una inversa celeilalte, ceea ce implica

e �a ea � = �

�� ; , �; � = 0; 3: (454)

Folosind de�nitia (404) si (450) obtinem relatia

e = (det (e �a ))

�1: (455)

Actiunea Lagrangiana pentru campul gravitational in formularea considerata este

SI�e �a ; !�jab

�=

2

�2

Zd4x

h(ee �

a e �b );� !

ab�j � (ee �

a e �b );� !

ab�j

+ee �a e �

b

�! am�j ! bn

�j � ! am�j ! bn

�j

��mn

i; (456)

unde am utilizat notatiile

! ab�j = �am�bn!�jmn, a; b = 0; 3: (457)

In continuare vom calcula mai intai ecuatiile de camp pentru teoria descrisa lanivel Lagrangian prin (456) si apoi vom eliminam campurile !�jab pe ecuatiile lor decamp.Deoarece densitatea de Lagrangian a teoriei (456) depinde de campurile e �

a ,!�jab si derivatele de ordinul I ale campurilor e �

a , ecuatiile de camp pentru (456)sunt

�LI�e �a

� @LI@e �

a� @�

@LI@ (@�e

�a )

= 0; (458)

�LI�!�jab

� @LI@!�jab

= 0: (459)

Utilizand (448) putem exprima densitatea de Lagrangian a actiunii (456) subforma

�2

2LI = 2@� (ee

�a e �

b )! ab�j

+ee �a e �

b

�! am�j ! bn

�j � ! am�j ! bn

�j

��mn; (460)

sau, mai mult,

�2

2LI = 2e

��em � (@�e

�m ) e �

a e �b + @� (e

�a e �

b )�! ab�j

+ee �a e �

b

�! am�j ! bn

�j � ! am�j ! bn

�j

��mn: (461)

In derivarea expresiei (461) din (460) am utilizat egalitatea

@�e = �eem � (@�e�

m ) : (462)

67

Problema 30 Sa se demonstreze (462).

Indicatii 6 Utilizati de�nitia determinantului unei matrici patratice si relatiile (452)si (455).

Pentru a determina expresiile ecuatiilor de camp (458) trebuie mai intai sa calcu-lam derivatele obiectelor e si em � [privite ca functii de campurile independente e

�a

�primul de�nit prin (455) iar cel de-al doilea exprimat implicit prin relatiile (452)sau (454)] in raport cu campurile e �

a .

Problema 31 Sa se demonstreze egalitatile

@e

@e �m

= �eem �; (463)

@eb �

@e �m

= �em �eb�: (464)

Indicatii 7 Folositi de�nitia determinantului unei matrici patratice si relatiile (452),(454) si (455).

Folosind relatiile (462)�(464), obtinem ca

�2

2

�LI�e �a

� enea �e

�m e �

n

h@[�!

mn�]j �

�! mp�j ! nq

�j � ! np�j ! mq

�j

��pq

i�2e �

m

h@[�!

am�]j �

�! mp�j ! aq

�j � ! ap�j ! mq

�j

��pq

io(465)

si

�2

2

�LI�!�jab

� e�(�em � (@�e

�m ) + @�)

�ea�eb� � ea�eb�

�+e �

m

�ea�! mb

�j � eb�! ma�j

��e �

m

�ea�! mb

�j � eb�! ma�j

�i: (466)

In identitatile (466) s-au utilizat notatiile

ea� = �ame �m ; a; � = 0; 3: (467)

Introducand (465) si (466) in (458) si in (459) determinam expresiile ecuatiilorde camp in formularea considerata. Constatam ca si in aceasta formulare campurile!�jab sunt auxiliare in sensul ca pot � explicitate algebric din ecuatiile lor de camp.Intr-adevar, ecuatiile (459) sunt echivalente [pe baza identitatilor (466)] cu

�![ajb]c � �c[a!a] = em � (@�e�

m )�c[aeb]� � �c[a@�eb]�

+�ea�

�@�e

b��� eb� (@�ea�)

�ec �; (468)

in care am utilizat notatiile

!ajbc = ea�! bc�j ; !a = �mn!

mjna: (469)

68

Evident, antisimetria (448), de�nitiile (457) si notatiile (469) conduc la

!ajbc = �!ajcb; a; b; c = 0; 3: (470)

Pentru a realiza scopul propus vom rezolva mai intai ecuatiile (468) [in raportcu !ajbc] si apoi, pe baza de�nitiilor (457) si (469), vom identi�ca solutia sistemuluialgebric (459) [cu necunoscutele !�jab].Contractam (468) cu �ac si obtinem

!b = @�eb� � eb�em � (@�e

�m ) : (471)

Introducem (471) in membrul stang al egalitatilor (468) si identi�cam

abjc � !ajcb � !bjca = ec �

�ea�@�e

b� � eb�@�ea��: (472)

Problema 32 Demonstrati ca solutiile (472) ale ecuatiilor (468) sunt independentede dimensiunea varietatii pe care sunt de�nite campurile

n(e �a )a;�=0;3 ;

�!�jab

��;a;b=0;3

o.

Din (472) explicitam campurile !ajbc

!ajbc � 1

2

�bcja � abjc � cajb

�=1

2

�ea �

�eb�@�e

c� � ec�@�eb��

�ec �

�ea�@�e

b� � eb�@�ea��� eb �

�ec�@�e

a� � ea�@�ec���; (473)

si, pe baza acestora, obtinem solutia sistemului algebric (459) de forma

!�jbc =1

2

he �[b e �

c] @� (em�em�)�

�@�e

�[b

�ec]�

i: (474)

Actiunea (456) este invarianta la transformarile gauge

��e�

a = ��@�e�

a � e �a @��

� + �abeb�; (475)

��!�jab = ��@�!�jab + !�jab@��� + @��ab + !�jm[a�b]n�

mn; (476)

unde (��)�=0;3 sunt componentele [intr-o harta locala] unui camp vectorial in�nitesi-

mal arbitrar pe varietatea�M4; eAM4

;g�, iar (�ab)a;b=0;3 sunt niste campuri scalare

in�nitesimale arbitrare pe aceeasi varietate neteda, care satisfac proprietatea de anti-simetrie

�ab = ��ba; a; b = 0; 3: (477)

Problema 33 Sa se arate ca actiunea (456) este invarianta la transformarile gauge(475) si (476).

Indicatii 8 Folosind (462), (465) si (466) aratati ca au loc identitatile

�LI�e �a

��e�

a +�LI�!�jab

��!�jab � @�j�; (478)

69

unde

j� = en���e

�m e �

n

h�@[�! mn

�j +�! mp�j ! nq

�j � ! np�j ! mq

�j

��pq

i�2e �

m e �n

h�@[�! mn

�j +�! mp�j ! nq

�j � ! np�j ! mq

�j

��pq

i+2

e! mn�j @�

�ee �m e �

n

�+ 2e �

m e �n

�! mp�j ! nq

�j � ! np�j ! mq

�j

��pq

���

+2h@��eea�eb�

�+ e

�e �m ea�! mb

�j � e �m ea�! mb

�j

�i�ab: (479)

In �nal, vom analiza echivalenta dintre formularea de ordinul I in derivate siformularea Hilbert�Einstein pentru campul gravitational. Observam ca cele douaformulari invocate contin atat un numar diferit de campuri algebric independente,cat si un numar diferit de parametri gauge algebric independenti. Mai precis, informularea Hilbert�Einstein campul gravitational are

NHEpot = 10 (480)

potentiale algebric independente [deoarece g�� = g��], invariante la un set de trans-formari locale cu

NHEgauge = 4 (481)

parametri gauge independenti.In formularea de ordinul I in derivate campul gravitational are

N Ipot = 40 (482)

potentiale algebric independente [deoarece !�jab = �!�jba], invariante la un set detransformari locale cu

N Igauge = 10 (483)

parametri gauge independenti.Echivalenta mentionata anterior este transparenta daca eliminam campurile auxi-

liare [in numar de 24] pe ecuatiile lor de camp [ca in (473)] si impunem niste conditiigauge corespunzatoare care sa permita explicitarea parametrilor gauge �ab in termeniicelor ��. Un exemplu de astfel de conditii gauge este dat de etalonarea Lorentz [18]

��[ae�

b] = 0; a; b = 0; 3; (484)

unde ��a este matricea diagonala

��a = diag (�;+;+;+) : (485)

Alegerea unor conditii de tipul (484) este pertinenta deoarece o metrica data nu�xeaza campurile vielbein [adica nu exista o corespondenta biunivoca intre con�gu-ratiile metricii si con�guratiile setului de campuri vielbein].

70

6 Solutiile cu simetrie sferica ale ecuatiilor Einstein

In acest capitol vom identi�ca solutiile cu simetrie sferica ale ecuatiilor Einstein inabsenta surselor fara constanta cosmologica si cu constanta cosmologica. Clasa desolutii investigata este interesanta deoarece ofera potentialele campului gravitationalin exteriorul sursei produs de un corp sferic omogen [cum ar � o stea sferica de masam0].Mai intai, vom introduce notiunea de camp gravitational static, apoi vom de-

duce cea mai generala expresie a metricii cu simetrie sferica, vom rezolva ecuatiileEinstein pentru metrica mentionata, vom demonstra ca solutiile cu simetrie sfericaale ecuatiilor Einstein [solutia Schwarzschild] descriu un camp gravitational static,vom analiza geodezicele pe spatiul Schwarzschild si in �nal vom evidentia doua dintretestele clasice ale Teoriei Relativitatii Generale.Toate rezultatele continute in acest capitol sunt date in formularea Hilbert�Einstein

a campului gravitational [potentialele acestuia sunt componentele locale ale metricii

universului spatio-temporal�M4; eAM4 ;g

�].

6.1 Campuri gravitationale statice

Vom de�ni campul gravitational stationar [19] necesar introducerii notiunii de campgravitational static.

De�nitia 16 Un camp gravitational se numeste stationar daca exista un sistem decoordonate [harta locala] in care metrica este invarianta la translatiile temporale

g���x0 + a; ~x

�= g��

�x0; ~x

�; �; � = 0; 3; (486)

iar a este un parametru real arbitrar.

De�nitia anterioara evidentiaza existenta unei harti locale in care metrica se ex-prima prin

g = g�� (~x) dx� dx� : (487)

Se poate demonstra [17] ca un camp gravitational stationar este echivalent cuexistenta unui vector Killing de tip temporal X [cu expresia intr-o harta locala X =X� (x) @=@x�], ceea ce este echivalent cu faptul ca vectorul X satisface conditia

g�� (x)X� (x)X� (x) < 0; (488)

precum si ecuatiile (290).

De�nitia 17 Campul gravitational stationar pentru care metrica este invarianta lainversia temporala �

x0; ~x�� x �! �x �

��x0; ~x

�(489)

se numeste camp gravitational static.

71

O consecinta imediata a de�nitiei campului gravitational static este existenta unuisistem de coordonate [o harta locala (Ua; �a) 2 eAM4 ] in care metrica are expresialocala

g = g00 (~x) dx0 dx0 + gij (~x) dxi dxj : (490)

Sistemul de coordonate evidentiat in (490) nu este unic [19].

6.2 Metrici cu simetrie sferica

In aceasta sectiune vom determina expresia generala a unei metrici g pe varietatea�M4; eAM4

;g�care are simetrie sferica in jurul punctului p0 2M4. Pentru aceasta,

vom alege o harta locala (Ua; �a) 2 eAM4(p0) astfel incat

�a (p0) = 0 2 R4: (491)

Simetria sferica in jurul lui p0 2 M4 este echivalenta cu simetria metricii la rotatiain jurul oricareia dintre axele de coordonate din R3. Cu alte cuvinte [17] campurilevectoriale in�nitesimale de forma

�" =

0@ 3Xj=1

"ijxj

1A @

@xi; (492)

sunt vectori Killing (290), unde

"ij = �"ji;��"ij�� << 1 (493)

sunt parametri arbitrari in�nitesimali.

Problema 34 Aratati ca difeomor�smele in�nitesimale generate de (492) sunt ro-tatiile in�nitesimale cunoscute ale spatiului R3.

In continuare, vom exploata ecuatiile Killing (290) corespunzatoare campurilorvectoriale (492).Alegand in ecuatiile (290) � = � = 0 obtinem

g00;i (x)3Xj=1

"ijxj = 0: (494)

Deaoarece parametrii antisimetrici (493) sunt arbitrari, din (494) deducem ecu-atiile satisfacute de componenta temporala a metricii g00

g00;ixj � g00;jxi = 0; i; j = 1; 3: (495)

Solutia generala a acestor ecuatii este

g00 (x) = g00�x0; r

�; (496)

72

unde am utilizat notatiar � j~xj =

q�ijxixj : (497)

Notand �xi � xi si alegand � = 0 si � = k in ecuatiile (290), obtinem relatiile

"ij�g0k;[i�xj] + g0[i�j]k

�= 0: (498)

Pe baza arbitrarietatii parametrilor in�nitesimali "ij , solutia generala a ecuatiilor(498) este

g0k (x) = xkf�x0; r

�; (499)

unde f�x0; r

�este o functie neteda reala.

Alegand in �nal in ecuatiile (290) � = k si � = l unde k si l iau valorile f1; 2; 3g,identi�cam relatiile

"mn�gkl;[m�xn] + gl[m�n]k + gk[m�n]l

�= 0; (500)

care conduc [pe baza acelorasi argumente ca si in alegerile anterioare] la ecuatiile

gkl;[m�xn] + gl[m�n]k + gk[m�n]l = 0; k; l; m; n = 1; 3: (501)

Solutia generala a sistemului (501) se exprima in termenii a doua functii netedearbitrare reale �f

�x0; r

�si ~f

�x0; r

�prin

gkl (x) = xkxl �f

�x0; r

�+ �kl ~f

�x0; r

�: (502)

Punand impreuna rezultatele (496), (499) si (502), identi�cam expresia generala ametricii cu simetrie sferica. Elementul in�nitesimal de �lungime�(145) corespunzatoracesteia este

ds2 = g00�x0; r

� �dx0�2+ 2f

�x0; r

� 3Xk=1

xkdxkdx0

+

3Xk;l=1

�xkxl �f

�x0; r

�+ �kl ~f

�x0; r

��dxkdxl: (503)

O deducere mai directa a expresiei elementului in�nitesimal de �lungime� (503)corespunzator unei metrici cu simetrie sferica g se poate face pe baza rezultatuluiconform caruia singurele expresii diferentiale invariante la rotatii care depind de ~xsunt

e1 = �kldxkdxl; (504)

e2 = �klxkdxl: (505)

Presupunand ca metrica are simetrie sferica relativ la p0 2M4, este mai comod salucram cu parametrizarea sferica a partii spatiale a domeniului �a (Ua) din R4, ceea

73

ce este echivalent cu a trece la o noua harta locala (Ub; �b) 2 eAM4 (p0). Notand cu �xcoordonatele in harta locala (Ub; �b), aplicatia compusa �a��b are expresia

�x �!

8>><>>:x0 = �x0;x1 = �x1 sin �x2 cos �x3;x2 = �x1 cos �x2 cos �x3;x3 = �x1 sin �x3:

(506)

Din (506) observam identi�carile intre coordonatele sferice (r; �; ') in raport cu reperulcartezian Ox1x2x3 si

��x1; �x2; �x3

�(r; �; ') �

��x1; �x2; �x3

�: (507)

Problema 35 Pe baza relatiilor (506) si a identi�carilor (507), sa se arate ca expre-siile in coordonate sferice ale invariantilor (504) si (505) sunt

e1 = dr2 + r2�d�2 + sin2 �d'2

�; (508)

e2 = rdr: (509)

Utilizand expresiile (508) si (509) in coordonate sferice ale invariantilor (504) si(505), precum si forma generala a elementului in�nitesimal de �lungime�(503) asociatunei metrici cu simetrie sferica, determinam expresia acestuia in coordonate sferice

ds2 = ��x0; r

�dr2 + �

�x0; r

� �d�2 + sin2 �d'2

�+

�x0; r

� �dx0�2+ �

�x0; r

�drdx0:(510)

Problema 36 Sa se arate ca functiile netede ��x0; r

�, ��x0; r

�, �x0; r

�si �

�x0; r

�din (510) pot � exprimate in termenii aplicatiilor g00

�x0; r

�, f�x0; r

�, �f�x0; r

�si

~f�x0; r

�care apar in (503) prin

��x0; r

�= ~f

�x0; r

�+ r2 �f

�x0; r

�; (511)

��x0; r

�= r2 ~f

�x0; r

�; (512)

�x0; r

�= g00

�x0; r

�; (513)

��x0; r

�= 2rf

�x0; r

�: (514)

Se poate arata [17] ca exista o clasa de harti locale in care (510) are o expresie maisimpla. Mai precis, folosind schimbari de harti locale (Ub; �b) ! (Uc; �c) [(Uc; �c) 2eAM4

(p0), �c (p) = ~x] pentru care functiile de tranzitie �b��c au forma generica

~x �!

8>><>>:�x0 = �x0

�~x0; ~x1

�;

�x1 = �x1�~x0; ~x1

�;

�x2 = ~x2;�x3 = ~x3;

(515)

precum si cerinta ca la distante foarte mari de sursa [r �! 1] metrica varietatii�M4; eAM4

;g�sa se reduca la cea a spatiului Minkowski, se arata ca (510) poate �

adusa la forma

ds2 = �e��dx0�2+ e�dr2 + r2

�d�2 + sin2 �d'2

�; (516)

74

unde � si � sunt functii netede reale

� = ��x0; r

�; � = �

�x0; r

�: (517)

6.3 Solutia Schwarzschild. Cazul � = 0

In aceasta sectiune vom rezolva ecuatiile Einstein in absenta surselor (394) pentru uncamp gravitational cu simetrie sferica. Alegand harta locala (Uc; �c) in care elemen-tul in�nitesimal de �lungime�se reduce la (516), coe�cientii metricii in harta localamentionata sunt

(g��) = diag��e�; e� ; r2; r2 sin2 �

�: (518)

Din (518) deducem coe�cientii inversei metricii

(g��) = diag��e��; e�� ; r�2; r�2 sin�2 �

�: (519)

Folosind expresiile simbolurilor Christo¤el de speta I (194) in termenii derivatelorcoe�cientilor metricii si relatia (518), deducem ca singurele simboluri Christo¤el despeta I netriviale sunt

�000 = �12_�e�; �001 = �

1

2�0e�; �011 = �

1

2_�e� ; (520)

�100 =1

2�0e�; �110 =

1

2_�e� ; �111 =

1

2�0e� ; (521)

�122 = �r; �133 = �r sin2 �; �233 = �r2 sin � cos �; (522)

�221 = r; �331 = r sin2 �; �332 = r

2 sin � cos �; (523)

unde am utilizat notatiile_� =

@�

@x0; �0 =

@�

@r(524)

pentru o functie neteda reala � = ��x0; r

�.

De�nitiile simbolurilor Christo¤el de speta a II-a in termenii celor de speta I(204), expresiile coe�cientilor inversei metricii (519) si relatiile (520)�(523) conduc lasimbolurile Christo¤el de speta a II-a netriviale

�000 =1

2_�; �001 =

1

2�0; �011 =

1

2_�e���; (525)

�100 =1

2�0e��� ; �110 =

1

2_�; �111 =

1

2�0; (526)

�122 = �re�� ; �133 = �re�� sin2 �; �233 = � sin � cos �; (527)

�221 =1

r; �331 =

1

r; �332 =

cos �

sin �: (528)

Relatia de de�nitie a tensorului Ricci impreuna cu expresiile simbolurile Christo¤elde speta a II-a netriviale (525)�(528) evidentiaza pentru tensorul Ricci urmatoarelecomponente

R00 � ���0�;0 + ��00;� � ��0���0� + �

�00�

���

75

= ���000;0 + �

101;0

�+ �000;0 + �

100;1 � �000�000 � 2�100�001

��101�101 + �000��000 + �

110

�= �1

2

��� +

1

2_� ( _� � _�)

�+e���

2

��00 +

1

2�0 (�0 � �0) + 2�

0

r

�; (529)

R01 � ���0�;1 + ��01;� � ��0���1� + �

�01�

���

= ���000;1 + �

101;1

�+ �001;0 + �

101;1 � �000�010 � �100�011

��101�111 + �001��000 + �

110

�+ �101

��001 + �

111 + �

221 + �

331

�=

_�

r; (530)

R11 � ���1�;1 + ��11;� � ��1���1� + �

�11�

���

= ���001;1 + �

111;1

�+ �011;0 + �

111;1 � �111�111 � 2�110�011

��010�010 � �212�212 � �313�313+�011

��000 + �

110

�+ �111

��001 + �

111 + �

221 + �

331

�=

e���

2

��� +

1

2_� ( _� � _�)

�� 12

��00 +

1

2�0 (�0 � �0)� 2�

0

r

�; (531)

R22 � ���2�;2 + ��22;� � ��2���2� + �

�22�

���

= ��323;2 + �122;1 � 2�122�221 + �122��001 + �

111 + �

221 + �

331

�= e��

he� � 1 + r

2(�0 � �0)

i; (532)

R33 � ���3�;3 + ��33;� � ��3���3� + �

�33�

���

= �133;1 + �233;2 � 2

��133�

331 + �

233�

332

�+ �133

��001 + �

111 + �

221

+�331�+ �233�

332

= e��he� � 1 + r

2(�0 � �0)

isin2 �: (533)

Problema 37 Folosind aceleasi argumente ca si in cazul derivarii componentelornetriviale (529)�(533) ale tensorului Ricci, sa se arate ca restul componentelor ten-sorului Ricci sunt triviale.

Pe baza celor deduse anterior, ecuatiile Einstein in absenta surselor (394) sunt

�12

��� +

1

2_� ( _� � _�)

�+e���

2

��00 +

1

2�0 (�0 � �0) + 2�

0

r

�= 0; (534)

_�

r= 0; (535)

e���

2

��� +

1

2_� ( _� � _�)

�� 12

��00 +

1

2�0 (�0 � �0)� 2�

0

r

�= 0; (536)

76

e� � 1 + r

2(�0 � �0) = 0: (537)

In continuare, vom rezolva sistemul de ecuatii (534)�(537) cu functiile necunoscute� = �

�x0; r

�si � = �

�x0; r

�. Deoarece tensorul lui Ricci satisface identitatile (283),

rezulta ca ecuatiile (534)�(537) nu sunt independente.Ecuatia (535) restrictioneaza functia neteda � sa depinda numai de variabila r

� = � (r) : (538)

Pe baza dependentei (538), ecuatiile (534), (536) si (537) devin

�00 +1

2�0 (�0 � �0) + 2�

0

r= 0; (539)

�00 +1

2�0 (�0 � �0)� 2�

0

r= 0; (540)

e� � 1 + r

2(�0 � �0) = 0; (541)

sau echivalent [inlocuind (539) cu diferenta intre (539) si (540)]

�0 + �0 = 0; (542)

�00 +1

2�0 (�0 � �0)� 2�

0

r= 0; (543)

e� � 1 + r

2(�0 � �0) = 0: (544)

Din (538) si (542) exprimam functia � in termenii aplicatiei �

��x0; r

�= �� (r) + �

�x0�; (545)

unde ��x0�este o functie neteda reala arbitrara. Introducand (545) in ecuatiile (543)

si (544) obtinem

�00 � (�0)2 + 2�0

r= 0; (546)

e� � 1 + r�0 = 0: (547)

Ecuatiile (546) si (547) nu sunt independente. Mai precis, (546) este o consecintaimediata a ecuatiei (547). Intr-adevar, derivand (547) avem

�0e� + �0 + r�00 = 0: (548)

Explicitand exponentiala din (547) si introducand-o in membrul stang al ecuatiei(548), determinam

�0 (1� r�0) + �0 + r�00 = 0; (549)

ecuatie care prin inmultire cu r�1 produce (546).Pentru a rezolva ecuatia (547), o inmultim cu e�� si aceasta devine�

re���0= 1; (550)

77

a carei solutie generala estere�� = r � 2m; (551)

unde m este constanta de integrare.Din (551) si (545) explicitam functiile necunoscute care apar in (516)

e� = e�(x0)

�1� 2m

r

�; e� =

�1� 2m

r

��1: (552)

Pe baza acestora identi�cam elementul in�nitesimal de �lungime�asociat unei metricicu simetrie sferica care este solutie a ecuatiilor Einstein fara surse si fara constantacosmologica

ds2 = �e�(x0)

�1� 2m

r

��dx0�2+

�1� 2m

r

��1dr2 + r2

�d�2 + sin2 �d'2

�: (553)

In acest moment putem sa formulam si sa demonstram teorema Birkho¤ pentrucazul in care constanta cosmologica este nula.

Teorema 6 Solutiile cu simetrie sferica ale ecuatiilor Einstein fara surse si faraconstanta cosmologica descriu un camp gravitational static.

Demonstratie. In harta locala (Ub; �b) 2 eAM4(p0), conform relatiei (553), metrica

pe varietatea Riemanniana�M4; eAM4

;g�este

g = �e�(x0)

�1� 2m

r

�dx0 dx0 +

�1� 2m

r

��1dr dr

+r2�d� d� + sin2 �d' d'

�: (554)

Facem schimbarea de harta locala (Ub; �b) ! (Uc; �c) 2 eAM4(p0) [�c (p) =�

~x0 (p) ; ~r (p) ; ~� (p) ; ~' (p)�] pentru care functiile de tranzitie �c��b au forma

~x0 =

Zdx0e�(x

0); ~r = r; ~� = �; ~' = ': (555)

In harta locala (Uc; �c) metrica se scrie ca

g = ��1� 2m

~r

�d~x0 d~x0 +

�1� 2m

~r

��1d~r d~r

+~r2�d~� d~� + sin2 ~�d~' d~'

�; (556)

ceea ce demonstreaza teorema.Elementul in�nitesimal de �lungime� corespunzator metricii statice cu simetrie

sferica �solutia ecuatiilor Einstein fara surse si fara constanta cosmologica, se scriesub forma

ds2 = ��1� 2m

~r

��d~x0�2+

�1� 2m

~r

��1d~r2 + ~r2

�d~�2+ sin2 ~�d~'2

�: (557)

Elementul in�nitesimal de �lungime�(557) poseda urmatoarele caracteristici.

78

i) Daca m = 0 sau ~r �! 1, elementul in�nitesimal de �lungime� se reduce laintervalul cvadridimensional in�nitesimal [exprimat in coordonate sferice] dinspatiul Minkowski

ds2 �!�ds2�Mink

= ��d~x0�2+ d~r2 + ~r2

�d~�2+ sin2 ~�d~'2

�: (558)

ii) In limita Newtoniana, comparatia componentei g00 furnizata de (557) cu (375)evidentiaza legatura dintre constanta de integrare m si masa M a corpului sfericomogen care genereaza campul gravitostatic

m =GM

c2; (559)

ceea ce conduce la faptul ca m are dimensiune de lungime, cunoscuta in gravi-tatie drept raza gravitationala.

iii) Aproximatia de ordinul I in parametrul adimensional m=~r a obiectului (557) sereduce la

ds2 = ��1� 2m

~r

��d~x0�2+

�1 +

2m

~r

�d~r2 + ~r2

�d~�2+ sin2 ~�d~'2

�: (560)

Aproximatia (560) este utila in studiul cantitativ al traiectoriilor unei particuletest a�ata la mare distanta de un corp masiv sferic omogen cu raza gravitationalamica.

iv) Se observa ca marimea (557) este singulara in punctul ~r = 2m deoarece pentruaceasta valoare g00 se anuleaza iar g11 devine in�nita. Singularitatea observataeste expresia faptului ca harta locala aleasa este necorespunzatoare pentru aparametriza o vecinatate a punctului ~r = 2m.

Problema 38 Determinati expresia marimii (560) in harta locala (Ud; �d) 2 eAM4 (p0)

[�d (p) =�x0 (p) ; r (p) ; � (p) ; ' (p)

�], stiind ca functiile de tranzitie �d��c au forma

x = ~x0; r = ~r�1 +

m

2~r

�2; � = ~�; ' = ~': (561)

6.4 Solutia Schwarzschild. Cazul � 6= 0In aceasta sectiune vom rezolva ecuatiile Einstein fara surse si cu constanta cosmo-logica

G�� + �g�� = 0; �; � = 0; 3: (562)

Aducem sistemul (562) la o forma mai simpla. Pentru aceasta, contractam (562)cu g�� si folosim de�nitia tensorului Einstein (282), de unde obtinem

R = 4�: (563)

79

Introducem (563) in (562) si, pe baza de�nitiei tensorului Einstein (282), ajungemla o expresie mai usor de rezolvat a ecuatiilor Einstein pentru vid in cazul constanteicosmologice netriviale

R�� = �g�� ; �; � = 0; 3: (564)

Rezolvam in continuare sistemul de ecuatii (564) pentru cazul metricii cu simetriesferica (518). Introducem (518) si (529)�(533) in (564) si ultimul devine

�12

��� +

1

2_� ( _� � _�)

�+e���

2

��00 +

1

2�0 (�0 � �0) + 2�

0

r

�= ��e�; (565)

_�

r= 0; (566)

e���

2

��� +

1

2_� ( _� � _�)

�� 12

��00 +

1

2�0 (�0 � �0)� 2�

0

r

�= �e� ; (567)

e��he� � 1 + r

2(�0 � �0)

i= �r2: (568)

Ca si in cazul constantei cosmologice nule, folosind identitatile (283) satisfacutede tensorul Riemann, constatam ca ecuatiile (565)�(568) nu sunt independente.Ecuatia (566) restrictioneaza functia neteda � sa depinda numai de variabila r,

adica solutia ecuatiei (566) este cea data in (538).Pe baza remarcii anterioare, introducand solutia (538) in ecuatiile (565), (567) si

(568), setul de ecuatii mentionat devine

�00 +1

2�0 (�0 � �0) + 2�

0

r= �2�e� ; (569)

�00 +1

2�0 (�0 � �0)� 2�

0

r= �2�e� ; (570)

e� � 1 + r

2(�0 � �0) = �r2e� : (571)

In cele ce urmeaza vom aduce sistemul (569)�(571) la o forma mai simpla, substituindprima ecuatie cu diferenta dintre primele doua si pastrand celelalte doua ecuatii

�0 + �0 = 0; (572)

�00 +1

2�0 (�0 � �0)� 2�

0

r= �2�e� ; (573)

e� � 1 + r

2(�0 � �0) = �r2e� : (574)

Ecuatia (572) impreuna cu expresia generica (538) a functiei necunoscute � conducla forma (545) a aplicatiei netede �. Cu acest rezultat, ecuatiile (573) si (574) seexprima sub forma

�00 � (�0)2 + 2�0

r= 2�e� ; (575)

e� � 1 + r�0 = �r2e� ; (576)

in termenii functiei necunoscute � = � (r).

80

Ecuatiile (575) si (576) nu sunt independente. Mai precis, orice solutie a lui (576)veri�ca si ecuatia (575). Intr-adevar, multiplicam (576) e�� si rezultatul obtinut ilderivam in raport cu variabila r

�0e�� +h�0e�� + r�00e�� � r (�0)2 e��

i= 2�r: (577)

Inmultind ecuatia anterioara cu r�1e� obtinem chiar ecuatia (575). Prin urmare,ramane de rezolvat ecuatia (576). Multiplicam ecuatia (576) cu e�� si obtinem�

re���0= 1� �r2: (578)

Solutia generala a ecuatiei de mai sus este

re�� = r � �r3

3� 2m; (579)

unde m este constanta de integrare.Din (579) si (545) explicitam functiile necunoscute care apar in (516)

e� = e�(x0)

�1� 2m

r� �3r2�; e� =

�1� 2m

r� �3r2��1

: (580)

Determinam elementul in�nitesimal de �lungime� asociat unei metrici cu simetriesferica care este solutie a ecuatiilor Einstein fara surse si cu constanta cosmologica intermenii functiilor exprimate in (580)

ds2 = �e�(x0)

�1� 2m

r� �3r2��dx0�2

+

�1� 2m

r� �3r2��1

dr2 + r2�d�2 + sin2 �d'2

�: (581)

Problema 39 Sa se demonstreze teorema Birkho¤ corespunzatoare ecuatiilor Ein-stein fara surse si cu constanta cosmologica.

Mai multe aspecte cu privire la solutiile ecuatiilor Einstein in vid si cu constantacosmologica se pot gasi in [20].

6.5 Geodezice in spatiul Schwarzschild

Punctul de start in abordarea acestei problematici il constituie metrica Schwarzschild(556) [care descrie un camp gravitational static cu simetrie sferica] in care vom renotacoordonatele statice prin x0, r, � si respectiv '. Ne propunem sa investigam geodezi-

cele spatiului mentionat, adica acele curbe pe varietatea Riemanniana�M4; eAM4

;g�

care satisfac ecuatiile (326). Studiul acestora este util deoarece geodezicele de tiptemporal sunt traiectoriile particulelor test in campul gravitational generat de corpulsferic omogen de masa M.

81

Problema 40 Pe baza de�nitiilor (204) sa se arate ca simbolurile Christo¤el de spetaa II-a netriviale corespunzatoare metricii Schwarzschild statice (556) sunt

�001 = �12�0; �100 = �

1

2�0e�2� ; �111 =

1

2�0; (582)

�122 = �re�� ; �133 = �re�� sin2 �; �233 = � sin � cos �; (583)

�221 =1

r; �331 =

1

r; �332 =

cos �

sin �; (584)

unde functia e� este data in cea de-a doua formula din (552).

Introducem (582)�(584) in (326) si derivam ecuatiile geodezicei intr-o parame-trizare a�na � corespunzatoare metricii Schwarzschild statice (556)

�x0 � �0 _x0 _r = 0; (585)

�r � 12�0e�2�

�_x0�2+1

2�0 _r2 � re��

�_�2+ _'2 sin2 �

�= 0; (586)

�� +2

r_r _� � _'2 sin � cos � = 0; (587)

�'+2

r_r _'+ 2

cos �

sin �_� _' = 0; (588)

unde prin "�" am notat derivarea in raport cu parametrul � .In continuare vom investiga integralele prime [constantele de miscare] ale sistemu-

lui de ecuatii diferentiale ordinare (585)�(588).O prima integrala prima deriva din semni�catia sistemului de ecuatii diferentiale

ordinare (585)�(588). De�nitia geodezicelor implica relatia (327), care in situatia dataasigura ca pe solutiile ecuatiilor (585)�(588) are loc identitatea

�e��(�)�_x0 (�)

�2+e�(�) ( _r (�))

2+(r (�))

2

��_� (�)

�2+ ( _' (�))

2sin2 � (�)

�= k; (589)

unde k este o constanta reala ce depinde de solutia aleasa.Exprimarea sub forma (346) a ecuatiilor geodezicei impreuna cu caracterul static

al metricii furnizeaza o noua integrala prima a sistemului de ecuatii (585)�(588)

u0 (�) � e��(�) _x0 (�) = b; (590)

unde b este constanta reala. Integrala prima (590) este proportionala cu energiaunei particule test a�ata in campul gravitational descris prin solutia Schwarzschild.Semni�catia integralei prime (590) se obtine pe baza teoremei Noether, din invariantaactiunii (347) [in care coe�cientii metricii g�� sunt cei ai metricii Schwarzschild] latransformarea rigida uniparametrica�

x0; r; �; '��!

�x0 + �; r; �; '

�; (591)

unde � este un parametru real in�nitesimal arbitrar. Caracterul de constanta demiscare al marimii (590) se poate veri�ca si in mod direct astfel: multiplicam ecuatia(585) cu aplicatia e��(�) si rezultatul se poate scrie ca derivata functiei u0 (�).

82

Utilizand expresiile (346) ale ecuatiilor geodezicei si independenta metricii de co-ordonata ', identi�cam constanta de miscare

u3 (�) � (r (�))2 _' (�) sin2 � (�) = a; (592)

unde a este un numar real ce depinde de solutia sistemului de ecuatii diferentialeordinare (585)�(588). Constanta de miscare (592) se poate deriva si pe baza teoremeiNoether, folosind invarianta actiunii (347) [in care coe�cientii metricii g�� sunt cei aimetricii Schwarzschild] la transformarea rigida uniparametrica�

x0; r; �; '��!

�x0; r; �; '+ �

�; (593)

cu � parametrul transformarii.Integrala prima (592) derivata pe baza teoremei Noether reprezinta proiectia mo-

mentului cinetic pe axa Ox3. Se poate arata ca si proiectiile momentului cinetic peaxele Ox1 si Ox2 sunt integrale prime ale sistemului de ecuatii diferentiale (585)�(588). Caracterul conservativ al proiectiei momentului cinetic pe axa Ox1 este oconsecinta a invariantei actiunii (347) [in care coe�cientii metricii g�� sunt cei aimetricii Schwarzschild] la transformarile de simetrie rigida in�nitesimala

�x0; r; �; '

��!

�x0; r; � � � sin';'� �cos �

sin �cos'

�; (594)

iar consevarea proiectiei momentului cinetic pe axa Ox2 se datoreaza invarianteiaceleiasi actiuni la transformarile de simetrie rigida in�nitesimala

�x0; r; �; '

��!

�x0; r; � + � cos';'� �cos �

sin �sin'

�: (595)

Problema 41 Sa se demonstreze ca (591), (593), (594) si (595) sunt transformari desimetrie rigida ale actiunii (347) [in care coe�cientii metricii g�� sunt cei ai metriciiSchwarzschild].

Problema 42 Folosind teorema Noether sa arate ca integralele prime asociate simetri-ilor rigide uniparametrice (591), (593), (594) si (595) sunt (590), (592),

(r (�))2h_� (�) sin' (�) + _' (�) sin � (�) cos � (�) cos' (�)

i(596)

si(r (�))

2h_� (�) cos' (�)� _' (�) sin � (�) cos � (�) sin' (�)

i: (597)

6.5.1 Geodezice de tip temporal. Avansul periheliului unei planete.

Folosind metoda de determinare a solutiilor unui sistem de ecuatii diferentiale ordinarebazata pe determinarea integralelor prime si rezolvarea acestora [aplicata in mecanicaclasica la rezolvarea miscarii in camp central] ne propunem sa determinam ecuatiatraiectoriei pentru o particula test care evolueaza in campul gravitational descrisde solutia Schwarzschild a ecuatiilor Einstein fara surse si constanta cosmologica. In

83

aceasta situatie evolutia particulei este data de o geodezica de tip temporal a spatiuluiSchwarzschild [k < 0]. Alegand k = �1 ecuatia (589) devine

�e���_x0�2+ e� _r2 + r2

�_�2+ _'2 sin2 �

�= �1: (598)

Conservarea momentului cinetic [integralele prime (592), (596) si (597)] conducela faptul ca traiectoria particulei este plana. Alegem planul Ox1x2 ca �ind planulmiscarii particulei. Selectarea mentionata a planului de evolutie a particulei esteechivalenta cu

� (�) =�

2; 8� : (599)

Alegerea (599) nu modi�ca integrala prima proportionala cu energia particulei testa�ata in campul gravitational dat de solutia Schwarzschild deoarece integrala prima(590) nu depinde de functia � (�)

e�� _x0 = b: (600)

Fixarea functiei � (�) (599) modi�ca forma integralei prime (592)

r2 _' = a (601)

si pe cea a constantei de miscare (598) o aduce la forma

�e���_x0�2+ e� _r2 + r2 _'2 = �1: (602)

Fixarea planului de evolutie al particulei prin intermediul relatiei (599) aducesistemul de ecuatii diferentiale ordinare (585)�(588) la expresia

�x0 � �0 _x0 _r = 0; (603)

�'+2

r_r _' = 0; (604)

�r � 12�0e�2�

�_x0�2+1

2�0 _r2 � re�� _'2 = 0: (605)

In continuare vom demonstra o teorema care stabileste legatura dintre sistemul deecuatii diferentiale ordinare (603)�(605) si constantele de miscare ale acestuia (601)�(602).

Teorema 7 Sistemele de ecuatii diferentiale ordinare (603)�(605) si (601)�(602) auaceeasi clasa de solutii care satisface

_r (�) 6= 0; 8� : (606)

Demonstratie. Remarcam ca prin derivarea ecuatiei (600) se obtine relatia (603)[modulo multiplicarea ultimei cu factorul nenul e�� ], iar prin derivarea ecuatiei (601)se obtine relatia (604) [modulo multiplicarea celui din urma cu factorul nenul r2].Derivand (602) in raport cu parametrul � obtinem

�0e���_x0�2_r � 2e�� _x0�x0 + �0e� _r3 + 2e� _r�r + 2r2 _'�'+ 2r _r _'2 = 0: (607)

84

Din derivatele de ordinul I ale ecuatiilor (600) si (601) exprimam derivatele de ordinulII �x0 si �'. Introducand derivatele de ordinul II mentionate in (607) identi�cam

2 _re���r � 1

2�0e�2�

�_x0�2+1

2�0 _r2 � re�� _'2

�= 0: (608)

Conditia (606), remarca anterioara, neanularea functiei exponentiale si relatia(608) asigura echivalenta sistemelor de ecuatii diferentiale ordinare (603)�(605) si(601)�(602).Vom determina ecuatia traiectoriei particulei test [in planul (r; ')] utilizand sis-

temul de ecuatii diferentiale ordinare (601)�(602). Pentru a rezolva problema propusa,folosim egalitatea

_r =dr

d'_'; (609)

care impreuna cu integrala prima (601) conduce la relatiile

_' =a

r2; (610)

_r =a

r2dr

d': (611)

Din expresia constantei de miscare (600) exprimam _x0 prin formula

_x0 = be� : (612)

Introducand derivatele (610)�(612) si expresia functiei e� [exprimata prin cea de-adoua formula din (552)] in (602) obtinem

�b2 + a2

r4

�dr

d'

�2+a2

r2

�1� 2m

r

�= �

�1� 2m

r

�: (613)

Folosind regula de derivare a functiilor compuse, ecuatia (613) poate � adusa laforma �

du

d'

�2+ u2 =

b2 � 1a2

+ 2m� ua2+ u3

�; (614)

unde am folosit notatiau (') � 1

r ('): (615)

In cele ce urmeaza identi�cam corectiile pe care le aduce ecuatia traiectoriei (614)la ecuatia newtoniana a traiectoriei particule test

d2u

d'2+ u =

GM

a2c2: (616)

Pentru a realiza comparatia mentionata, derivam relatia (614) si obtinem

2du

d'

�d2u

d'2+ u�m

�1

a2+ 3u2

��= 0 (617)

85

sau, echivalent,d2u

d'2+ u = m

�1

a2+ 3u2

�: (618)

Deoarece raza gravitationala are expresia (559), constatam ca (618) aduce corectiilegii traiectoriei Newtoniene (616) de ordinul

GM

a2r2; (619)

corectii foarte mici daca evaluam (619) pentru planetele din sistemul nostru solar.

Exemplul 8 Pentru planeta Mercur [cea mai apropiata de Soare], corectia (619) estede ordinul 10�7.

In continuare ne propunem sa analizam perturbativ ecuatia diferentiala ordinarade ordinul II neliniara si neomogena (618). In acest sens, construim ecuatia diferen-tiala ordinara

d2u

d'2+ u =

m

a2+ 3�mu2; (620)

unde � este un parametru real in�nitesimal, cu j�j << 1. Cautam solutia ecuatieidiferentiale ordinare de ordinul II neliniare si neomogene (620) de forma

u (') =1Xk=0

�kuk (') : (621)

Introducand dezvoltarea (621) in ecuatia (620) si proiectand pe diverse puteri aleparametrului �, obtinem sirul echivalent de ecuatii satisfacute de termenii seriei (621)

d2u0d'2

+ u0 =m

a2; (622)

d2u1d'2

+ u1 = 3mu20; (623)

d2u2d'2

+ u2 = 6mu0u1; (624)

...

Setul de ecuatii (622), (623), (624), etc. consta intr-un sistem de ecuatii diferen-tiale ordinare liniare cu coe�cienti constanti si neomogene, care se rezolva recursiv[solutia ecuatiei (622) se introduce in (623) si se rezolva ultima, etc.].Solutia generala a ecuatiei (622) este

u0 (') =m

a2[1 + " cos ('� '0)] ; (625)

unde " si '0 sunt constantele de integrare. Solutia (625) reprezinta ecuatia unei conicein coordonate polare. Alegand niste conditii initiale adecvate, putem presupune ca'0 = 0 in solutia (625).

86

Introducem (625) in (623) si identi�cam ecuatia

d2u1d'2

+ u1 =3m3

a4(1 + " cos')

2 (626)

sau, echivalent,

d2u1d'2

+ u1 =3m3

a4

�1 +

"2

2+ 2" cos'+

"2

2cos 2'

�: (627)

Problema 43 Sa se arate ca

u1 (') =3m3

a4

�1 +

"2

2+ "' sin'� "

2

6cos 2'

�(628)

este o solutie particulara a ecuatiei diferentiale ordinare de ordinul II liniara si neo-mogena (627).

Intr-o maniera similara se rezolva si celelalte ecuatii diferentiale din sistemul (622),(623), (624), etc. Introducand solutiile obtinute in (621), identi�cam solutia ecuatiei(620). Setand � = 1 in solutia determinata anterior obtinem solutia ecuatiei traiecto-riei (618).Sa consideram cazul particular al miscarii planetei Mercur in campul gravitational

al Soarelui. Limita Newtoniana a ecuatiei traiectoriei este exprimata prin (625) cu'0 = 0 si " << 1 [excentricitatea elipsei]. Cu aceste alegeri, ecuatia corectiei deordinul I (627) devine

d2u1d'2

+ u1 =3m3

a4(1 + 2" cos') ; (629)

a carei solutie particulara este

u1 (') =3m3

a4(1 + "' sin') : (630)

Introducem (625) si (630) in dezvoltarea (621) si identi�cam aproximatia de or-dinul I a ecuatiei traiectoriei planetei Mercur in campul gravitational al Soarelui

u (') ' m

a2

�1 + " cos'+

3m2

a2(1 + "' sin')

�' m

a2

�1 + " cos

�'� 3m

2

a2'

��: (631)

Din (631) constatam ca traiectoria planetei nu mai este eliptica. Totusi, miscarea esteperiodica, periaoada �ind

T =2�

1� 3m2

a2

' 2��1 +

3m2

a2

�: (632)

87

Periheliul planetei [distanta cea mai apropiata de Soare] se obtine din conditia

cos

�'� 3m

2

a2'

�= 1: (633)

Solutiile ecuatiei trigonometrice (633) sunt

'0 = 0; '1 =2�

1� 3m2

a2

> 2�; 'k = k'1; (634)

unde k numar natural strict pozitiv. Avansul Periheliului este dat prin

�' = '1 � 2� '6�m2

a2; (635)

iar in cazul planetei considerate acesta este de 0; 1" de arc pe revolutie sau 0; 43" dearc pe secol. Aceste date care ofera predictia evolutiei Periheliului planetei Mercurau fost con�rmate experimental si constituie unul dintre testele Teoriei Generale aRelativitatii.

6.5.2 Geodezice nule. Curbarea razei de lumina.

In aceasta sectiune vom determina ecuatia traiectoriei asociata unei geodezice nule aspatiului Schwarzschild. Vom utiliza aceeasi metoda ca in cazul anterior. Importantageodezicelor nule consta in faptul ca acestea furnizeaza traiectoriile razelor luminoasein campul gravitational cu potentialele date de solutia Schwarzschild a ecuatiilor Ein-stein fara surse si constanta cosmologica.Geodezicele nule au ca integrale prime: (589) [pentru k = 0], (590), (592), (596) si

(597). O consecinta a acestor integrale prime este ca si in cazul anterior planeitateatraiectoriei particulei care evolueaza dupa o astfel de geodezica si astfel alegerea (599)este justi�cata. Urmand acelasi algoritm ca si in cazul anterior obtinem ca ecuatiatraiectoriei pentru o particula care evolueaza dupa o geodezica nula este

d2u

d'2+ u = 3mu2: (636)

Ecuatia (636) se rezolva in aceeasi maniera ca si (618).

Problema 44 Sa se arate ca aproximatia de ordinul zero a solutiei ecuatiei (636)este

u0 (') =1

dsin ('� '0) : (637)

Aproximatia de ordinul zero (637) a solutiei ecuatiei (636) este o dreapta [expri-mata in coordonate polare], care reprezinta traiectoria razei de lumina in absentacampului gravitational. Solutia ecuatiei (636) ne furnizeaza o curba in coordonatepolare care descrie deviatia razei de lumina intr-un camp gravitational puternic.Consideram '0 = 0 in (637) si contributia neta a ordinului unu la solutia ecuatiei

(636) satisfaced2u1d'2

+ u1 =3m

d2sin2 ': (638)

88

Solutia particulara a ecuatiei neomogene (638) se determina simplu pe baza identitatii

sin2 ' =1� cos 2'

2: (639)

Introducem (639) in (638) si identi�cam solutia particulara de forma

u1 (') =m

2d2(3 + cos 2') � m

d2�1 + cos2 '

�: (640)

Folosind contributiile nete de ordinele zero (637) [cu alegerea '0 = 0] si unu(640) deducem pe baza dezvoltarii (621) [in care setam � = 1] expresia aproximatieide ordinul unu a ecuatiei traiectoriei unei raze luminoase in prezenta unui campgravitational

u (') ' 1

d

hsin'+

m

d

�1 + cos2 '

�i; (641)

care difera dramatic de ecuatia unei drepte in coordonate polare (637).Deviatia predictionata a unei raze de lumina care trece prin vecinatatea Soarelui

este de 1; 75" de arc, predictie con�rmata experimental. Prima veri�care experimen-tala a deviatei razelor de lumina in campul gravitational al Soarelui a avut loc in anul1919 in timpul unei expeditii britanice conduse de Sir Arthur Eddington.Fenomenul de deviatie a razelor luminoase in campuri gravitationale puternice

permite intelegerea efectului de lentila gravitationala produs de un camp gravitationalintens.

89

7 Dezvoltari perturbative

Un camp gravitational descris de o metrica g�� ale carei componente difera de compo-nentele corespunzatoare ale metricii Minkowski prin termeni foarte mici se numestecamp gravitational slab. De exemplu, in cazul Soarelui campul gravitational dinexteriorul acestuia este descris de o metrica pentru care diferenta fata de metricaMinkowski este exprimata de termenul 2m=r al metricii Schwarzschild, acesta �indde ordinul 10�5 la suprafata Soarelui [raza Soarelui este rS � 7 � 108m, iar razagravitationala a Soarelui este mS � 1; 5� 103m, in consecinta componentele metriciig�� difera de componentele corespunzatoare ale metricii Minkowski prin termeni deordinul 2mS=rS � 10�5). In interiorul Soarelui aceasta diferenta este mai mare,aproximativ de ordinul 10�4. In acord cu cele mentionate mai sus, campul gravitatio-nal al Sorelui este un camp slab, aceasta intamplandu-se pentru majoritatea stelelor.In cazul piticelor albe, care pot avea raza de 100 de ori mai mica decat raza Soare-lui, diferenta dintre metrica ce descrie campul gravitationala al acestora si metricaMinkowski este de ordinul 10�2 in centrul lor. Doar in cazul stelelor neutronice (pul-sarii), a caror raza este de ordinul 2m, campul gravitational nu este slab. Din celeprezentate rezulta atentia de care se bucura campurile gravitationale slabe. In celece urmeaza vom dezvolta o metoda de aproximatie care se poate aplica campuluigravitational slab.In acest moment de�nitia campului este simpla: campul gravitational descris de

o metrica g�� este slab dacajg�� � ��� j � 1: (642)

Metoda de aproximare pentru campurile gravitationale slabe se bazeaza pe parametrul� care apare in actiunea Lagrangiana (403). Presupunem ca metrica g�� este odezvoltare in serie de forma

g�� = ��� + �(1)g �� + �

2(2)g �� + � � � : (643)

In cele ce urmeaza vom considera numai aproximatia de ordinul I a metricii

g�� = ��� + �(1)g �� = ��� + �h�� ; (644)

unde(1)g �� � h�� este chiar campul de spin 2 care apare in actiunea Pauli�Fierz, dupa

cum vom vedea in acest capitol.Vom determina mai intai diferite contributii nete la diverse aproximatii ale inver-

sei metricii g�� in teoria perturbatiilor. Dezvoltam perturbativ coe�cientii inverseimetricii g�� in diferite ordine ale constantei �

g�� =(0)

g�� + �(1)

g�� + �2(2)

g�� + �3(3)

g�� + � � � : (645)

Pentru a determina contributiile nete in diferite ordine in parametrul � ale inverseimetricii g�� folosind abordarea perturbativa, introducem dezvoltarile (644) si (645)in relatia (155) si obtinem

(�� + �h� )

(0)

g � + �(1)

g � + �2(2)

g � + �3(3)

g � + � � �!= ���: (646)

90

Proiectand ecuatia anterioara pe diversele ordine ale constantei � derivam sirul deecuatii echivalent

�0 : ��

(0)

g � = ���; (647)

�1 : ��

(1)

g � + h�

(0)

g � = 0; (648)

�2 : ��

(2)

g � + h�

(1)

g � = 0; (649)

�3 : ��

(3)

g � + h�

(2)

g � = 0; (650)...:

In continuare vom rezolva sirul anterior de ecuatii. Utilizand faptul ca �� este deforma (297), gasim imediat ca solutia primei ecuatii este

(0)

g � = � � : (651)

Pentru a rezolva cea de-a doua ecuatie, inlocuim mai intai contributia neta in ordinul

zero in parametrul � a inversei metricii(0)

g � determinata anterior in ecuatia (648)

��

(1)

g � + h� � � = 0: (652)

Din ecuatia anterioara obtinem pentru contributia neta in ordinul unu in parametrul

� a inversei metricii(1)

g � urmatoarea forma

(1)

g � = �h � ; (653)

unde h � este cel de�nit in (365). Contributia neta in ordinul doi in parametrul � a

inversei metricii(2)

g � se obtine din ecuatia (649). Inlocuind (653) in (649) ajungem laecuatia

��

(2)

g � � h� h � = 0: (654)

Solutia ecuatiei anterioare este(2)

g � = h �h�� ; (655)

unde h � = � �h��. Contributia neta in ordinul trei in parametrul � a inversei metricii

(3)

g � se obtine din ecuatia (650)

(3)

g � = �h �h�� h�� : (656)

91

Inlocuind (651), (653), (655) si (656) in gasim ca

g�� = ��� � �h�� + �2h� h � � �3h� h �h

�� + � � � : (657)

Contributiile nete de ordine superioare in parametrul � ale inversei metricii se obtinintr-un mod asemanator.

Problema 45 Sa se determine contributiile nete de ordine patru si cinci in para-metrul � ale inversei metricii in teoria perturbatiilor.

In cele ce urmeaza vom determina contributiile nete in diferite ordine in parametrul� ale tensorului Riemann. Pentru aceasta avem nevoie si de contributiile nete ladiverse aproximatii ale simbolurilor Christofell de speta I ���� in teoria perturbatiilor.Utilizand descompunerea metricii (644) in (446), obtinem

���� =1

2� (h��;� + h��;� � h��;�) � �

(1)

� ��� : (658)

Astfel, am gasit ca numai contributia neta de ordinul unu in parametrul � a simbolu-lui Cristofell de speta I in teoria perturbatiilor este nenula. Dezvoltam perturbativtensorul Riemann R��j�� in diferite ordine ale constantei �

R��j�� =(0)

R��j�� + �(1)

R��j�� + �2(2)

R��j�� + �3(3)

R��j�� + � � � ; (659)

unde

(0)

R��j�� =1

2

�@�

(0)g �[�;�] � @�

(0)g �[�;�]

�+

(0)

g��(0)

� ���(0)

� ��� �(0)

g��(0)

� ���(0)

� ��� ; (660)

(1)

R��j�� =1

2

�@�

(1)g �[�;�] � @�

(1)g �[�;�]

�+(0)

g��

(1)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(1)

� ���

!+

(1)

g��(0)

� ���(0)

� ���

�(0)

g��

(1)

� ���(0)

� ��� �(0)

� ���(1)

� ���

!�

(1)

g��(0)

� ���(0)

� ��� ; (661)

(2)

R��j�� =1

2

�@�

(2)g �[�;�] � @�

(2)g �[�;�]

�+(0)

g��

(1)

� ���(1)

� ��� +(2)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(2)

� ���

!

+(1)

g��

(1)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(1)

� ���

!+

(2)

g��(0)

� ���(0)

� ���

92

�(0)

g��

(1)

� ���(1)

� ��� +(2)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(2)

� ���

!

�(1)

g��

(1)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(1)

� ���

!�

(2)

g��(0)

� ���(0)

� ��� ; (662)

(3)

R��j�� =1

2

�@�

(3)g �[�;�] � @�

(3)g �[�;�]

�+(0)

g��

(2)

� ���(1)

� ��� +(1)

� ���(2)

� ��� +(3)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(3)

� ���

!

+(1)

g��

(1)

� ���(1)

� ��� +(2)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(2)

� ���

!

+(2)

g��

(1)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(1)

� ���

!+

(3)

g��(0)

� ���(0)

� ���

�(0)

g��

(2)

� ���(1)

� ��� +(1)

� ���(2)

� ��� +(3)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(3)

� ���

!

�(1)

g��

(1)

� ���(1)

� ��� +(2)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(2)

� ���

!

�(2)

g��

(1)

� ���(0)

� ��� +(0)

� ���(1)

� ���

!�

(3)

g��(0)

� ���(0)

� ��� : (663)

Pe baza relatiilor (644), (657) si (658) avem ca

(0)

R��j�� = 0; (664)

(1)

R��j�� =1

2

�@�h�[�;�] � @�h�[�;�]

�(665)

(2)

R��j�� = ���

(1)

� ���(1)

� ��� �(1)

� ���(1)

� ���

!; (666)

(3)

R��j�� = �h�� (1)

� ���(1)

� ��� �(1)

� ���(1)

� ���

!: (667)

Problema 46 Sa se obtina contributia neta in ordinele patru si cinci in parametrul

� a tensorului Riemann,(4)

R��j�� si(5)

R��j�� in teoria perturbatiilor.

In cele ce urmeaza vom determina contributiile nete in diferite ordine in parametrul� ale tensorului Ricci in teoria perturbatiilor. Dezvoltam perturbativ tensorul Ricci

93

R�� in diferite ordine ale constantei �

R�� =(0)

R�� + �(1)

R�� + �2(2)

R�� + �3(3)

R�� + � � � : (668)

Introducand dezvoltarile perturbative ale inversei metricii (645) si ale tensorului Rie-mann (659) in relatia de de�nitie a tensorului Ricci (278), obtinem

R�� =(0)

g��(0)

R��j�� + �

(0)

g��(1)

R��j�� +(1)

g��(0)

R��j��

!

+�2

(0)

g��(2)

R��j�� +(1)

g��(1)

R��j�� +(2)

g��(0)

R��j��

!

+�3

(0)

g��(3)

R��j�� +(1)

g��(2)

R��j��

+(2)

g��(1)

R��j�� +(3)

g��(0)

R��j��

!+ � � � : (669)

Utilizand contributiile nete in diferite ordine in parametrul � ale inversei metricii si aletensorului Riemann determinate anterior, obtinem pentru tensorul Ricci urmatoarelecontributii nete in diferite ordine in parametrul �

(0)

R�� = 0; (670)

(1)

R�� =1

2���

�@�h�[�;�] � @�h�[�;�]

�; (671)

(2)

R�� = ������

(1)

� ���(1)

� ��� �(1)

� ���(1)

� ���

!

�12h��

�@�h�[�;�] � @�h�[�;�]

�; (672)

(3)

R�� = ����h�� (1)

� ���(1)

� ��� �(1)

� ���(1)

� ���

!

�h����� (1)

� ���(1)

� ��� �(1)

� ���(1)

� ���

!

+1

2h� h

��@�h�[�;�] � @�h�[�;�]

�: (673)

Problema 47 Sa se obtina contributia neta in ordinele patru si cinci in parametrul

� a tensorului Ricci,(4)

R�� si(5)

R�� in teoria perturbatiilor.

94

Observam ca pentru a dezvolta perturbativ actiunea Hilbert�Einstein avem nevoiede contributiile nete in diferite ordine in parametrul � ale curburii scalare R si alemarimii e in teoria perturbatiilor. Dezvoltam perturbativ curbura scalara R in diferiteordine ale constantei �

R =(0)

R + �(1)

R + �2(2)

R + �3(3)

R + � � � : (674)

Introducand dezvoltarile perturbative ale inversei metricii (645) si ale tensorului Ricci(668) in relatia de de�nitie a curburii scalare obtinem

R =(0)

g��(0)

R�� + �

(0)

g��(1)

R�� +(1)

g��(0)

R��

!

+�2

(0)

g��(2)

R�� +(1)

g��(1)

R�� +(2)

g��(0)

R��

!

+�3

(0)

g��(3)

R�� +(1)

g��(2)

R�� +(2)

g��(1)

R�� +(3)

g��(0)

R��

!+ � � � : (675)

Inlocuind in (675) contributiile nete in diferite ordine in parametrul � ale inverseimetricii si ale tensorului Ricci determinate anterior, calculam contributiile nete indiferite ordine in parametrul � ale curburii scalare

(0)

R = 0; (676)

(1)

R = �@�@�h+ @�@�h�� ; (677)

(2)

R = ���������

(1)

� ���(1)

� ��� �(1)

� ���(1)

� ���

!�h�����

�@�h�[�;�] � @�h�[�;�]

�; (678)

(3)

R = ������h��

(1)

� ���(1)

� ��� �(1)

� ���(1)

� ���

!

�2���h����� (1)

� ���(1)

� ��� �(1)

� ���(1)

� ���

!+���h� h

��@�h�[�;�] � @�h�[�;�]

��12h��h��

�@�h�[�;�] � @�h�[�;�]

�: (679)

Problema 48 Sa se obtina contributia neta in ordinele patru si cinci in parametrul

� a curbutii scalare(4)

R si(5)

R in teoria perturbatiilor.

95

Prin calcul direct se poate arata ca(1)

R este o divergenta totala

(1)

R = @���@�h+ @�@�h��

�; (680)

iar(2)

R se poate scrie sub forma

(2)

R = �14

�@�h��

�(@�h��) +

1

2(@�h��)

�@�h

���� 14(@�h) (@

�h)

+@���12h��@�h�� +

1

2h��@�h

�� + h��@�h��

+h��@�h� 2h��@�h��

�: (681)

Dezvoltam perturbativ e in diferite ordine ale constantei �

e =(0)e + �

(1)e + �2

(2)e + �3

(3)e + � � � : (682)

Pe baza formulelor (404) si (644) obtinem

e = [�det (��� + �h��)]12 = [�det (��� (��� + �h��))]

12 : (683)

Utilizand faptul ca det (AB) = detA detB si det��� = �1 relatia (683) devine

e = [det (��� + �h��)]

12 =

hdet�1+ �h

�i 12

: (684)

Folosind identitateadetA = exp ln detA =expTr lnA; (685)

din (684) obtinem

e = exp1

2Tr ln

�1+ �h

�: (686)

Dezvoltam in serie Taylor ln�1+ �h

�in jurul metricii �at

ln�1+ �h

�=1Xj=1

(�)j+1

j�jhj : (687)

Inlocuind (687) in (686) determinam

e = exp1

2Tr1Xj=1

(�)j+1

j�jTrhj

= 1 +1

2�h+

1

8�2�h2 � 2h��h��

�+1

48�3�h3 � 6hh��h�� + 8h��h��h��

�+ � � � : (688)

96

Comparand (682) cu (688) obtinem contributiile nete in diferite ordine in parametrul� ale marimii e in teoria perturbatiilor

(0)e = 1; (689)

(1)e = h; (690)

(2)e =

1

8

�h2 � 2h��h��

�; (691)

(3)e =

1

48

�h3 � 6hh��h�� + 8h��h��h��

�: (692)

Problema 49 Sa se obtina contributiile nete in ordinele patru si cinci in parametrul� ale marimii e in teoria perturbatiilor.

In acest moment avem toate obiectele necesare dezvoltarii perturbative a actiuniiHilbert�Einstein

S [h�� ] =1

�2

(�2)S +

1

�

(�1)S +

(0)

S + �(1)

S + � � � ; (693)

unde(�2)S = 2

Zd4x

(0)e(0)

R; (694)

(�1)S = 2

Zd4x

(0)e(1)

R +(1)e(0)

R

!; (695)

(0)

S = 2

Zd4x

(0)e(2)

R +(1)e(1)

R +(2)e(0)

R

!; (696)

(1)

S = 2

Zd4x

(0)e(3)

R +(1)e(2)

R +(2)e(1)

R +(2)e(1)

R +(3)e(0)

R

!: (697)

Pe baza relatiilor (676) si (689) gasim ca

(�2)S = 0: (698)

Utilizand (676), (680), (689) si (690) avem pentru(�1)S urmatoarea forma

(�1)S =

Zd4x@�

��2@�h+ 2@�@�h��

�; (699)

care este zero pe baza conditiilor de anulare a campurilor h�� pe suprafata de lain�nit. Contributia neta in ordinul zero in parametrul � a actiunii Hilbert�Einsteinse obtine din (696) in care utilizam (676), (680), (681), (689), (690) si (691)

(0)

S =

Zd4x

��12

�@�h��

�(@�h��) + (@

�h��)�@�h

���

97

+1

2(@�h) (@�h)� (@�h)

�@�h��

��: (700)

Relatia (700) este chiar actiunea Pauli�Fierz.Contributia neta in ordinul unu in parametrul � a actiunii Hilbert�Einstein se

obtine din (697) in care utilizam (680), (681), (679), (689)�(692)

(1)

S =

Zd4x

�1

4h@�h@�h� @�h@�h��h�� �

1

4@�h

��@�h��h

+@�h��@�h� h

� � @��h��h��h�� �1

2@�h��@�h��h��

+1

2@��hh��h+

1

2h@�h

� @�h � �1

2@��hh��h��

+@�hh��@�h�� � @�h��@�h��h�� + h��h��@��h��

�: (701)

Problema 50 Utilizand dezvoltarile marimii e si ale curburii scalare sa se arate ca(697) conduce la (701).

In continuare vom dezvolta perturbativ tansformarile gauge ale campului h�� .Introducem (644) in (429) si avem

1

��� (��� + �h��) = ��;� + ��;�: (702)

Tinand cont de faptul ca ����� = 0 si utilizand forma derivatei covariante a para-metrului ��

��;� = ��;� � g��������; (703)

relatia anterioara devine

��h�� = ��;� + ��;� � 2g��������: (704)

Dezvoltam perturbativ ��h��

��h�� =(0)

� �h�� +(1)

� �h�� +(2)

� �h�� + � � � ; (705)

unde(0)

� �h�� = ��;� + ��;� � 2(0)

g��(0)

� �����; (706)

(1)

� �h�� = �2

(0)

g��(1)

� ��� +(1)

g��(0)

� ���

!��; (707)

(2)

� �h�� = �2

(0)

g��(2)

� ��� +(1)

g��(1)

� ��� +(2)

g��(0)

� ���

!��: (708)

Pe baza contributiilor nete in diferite ordine in parametrul � in teoria perturbatiilorale inversei metricii g�� si simbolurilor Christofell de speta I ���� , relatiile anterioaredevin

(0)

� �h�� = ��;� + ��;�; (709)

98

(1)

� �h�� = ��@�h

�� + @�h

�� � @�h��

���; (710)

(2)

� �h�� = �h�� (@�h�� + @�h�� � @�h��) ��: (711)

Relatia (709) reprezinta chiar transformarile gauge ale actiunii Pauli�Fierz.Ecuatiile Einstein ale campului gravitational sunt ecuatii cu derivate partiale de

ordinul II neliniare si hiperbolice. Datorita neliniaritatii ecuatiilor mentionate, rezul-tatele cantitative in gravitatie sunt di�cil de obtinut. Abordarea perturbativa permiterezolvarea problemei mentionate anterior.

99

Bibliogra�e

[1] F. De Felice, C. J. S. Clarke, Relativity on Curved Manifolds, Cambridge Uni-versity Press, 1992

[2] N. Bourbaki, Topologie générale, Hermann, Paris, 1961

[3] N. Bourbaki, Théorie des ensembles, Springer-Verlag, Berlin, 2006

[4] M. M. Postnikov, Smooth manifolds, Mir Publishers, Moscow, 1989

[5] Gh. Gheorghiev, V. Oproiu, Geometrie diferentiala, Editura Didactica si Peda-gogica, Bucuresti, 1977

[6] M. Popescu, P. Popescu, Geometrie diferentiala, Fundatia Scrisul Românesc,Craiova, 1999

[7] R. Miron, M. Anastasiei, The Geometry of Lagrange Spaces: Theory and Appli-cations, Kluwer Academic Publishers,1994

[8] W. Greub, S. Halperin, R. Vanstone, Connections, Curvature, and Cohomology.Vol. I: De Rham Cohomology of Manifolds and Vector Bundles, Academic Press,New York, 1972

[9] L. P. Eisenhart, An introduction to di¤erential geometry with use of the tensorcalculus, Princeton University Press, Princeton, 1940

[10] P. A. M. Dirac, General theory of relativity, John Wiley&Sons, New York, 1975

[11] C. Misner, K. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman and Company,San Francisco, 1973

[12] J. W. van Holten, R. H. Rietdijk, J. Geom. Phys. 11, 559, 1993

[13] S. Codreanu, L. Tataru, Teoria relativitatii si electrodinamica, Casa Cartii deStiinta, Cluj, 1994

[14] A. Einstein, Annalen der Phys. 35, 898�908, 1911

[15] S. Weinberg, Gravitation and cosmology: Principles and applications of the gen-eral theory of relativity, John Wiley&Sons, New York, 1972

[16] S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundation of di¤erential geometry, Interscience Pub-lishers, New York, 1963

[17] A. Papapetrou, Lectures on general relativity, D. Reidel Publishing Company,Dordrecht, 1974

[18] W. Siegel, Fields, hep-th/9912205

[19] C. Schomblond, G. Barnich, Introduction à la Relativité Générale, Notes de cours,Bruxelles

[20] I. Bakas, Energy-momentum/Cotton tensor duality for AdS(4) black holes, hep-th/0809.4852

100