1 1
1 > < > N
E
l
estudio del análisis real es de enorme v alor para cualquier estudiante que
qui era llegar más allá del manejo rutinario de fórmulas para re
solver problemas
ca
olar los conceptos a
nu evos contex tos . Además   los conceptos torales de lí mite y c
ontin
p
eñan un papel cru cial en mu chas áreas de la matemática y de sus
ap
ho
, la matemátic a se ha con v ertido en una her rami
enta indis-
o
tra
ción así como las ciencias fís icas, la ingenier ía y la ci encia de las computadoras,
el análisis real es uno de los pilar
es funda
en ta les de la matemática. Nuestra
meta es ofrecer un libro de texto accesible para los estud ian tes de estos campos
que av ance de manera gradual
en
ásicas del an ál isis
re al. A pes
ar de los mú ltiples retos que plantea, el análisis real de mues tra su v alor
en el trabajo posterior dentro de la mate mática y su s ap licaciones . Se res tringe la
atención aquí a las funciones de una variable; se re mite a los l
ectores qu e deseen
.
La prim era edición de es ta obra tu vo una excelen te acogida y en esta segunda
edic ión hemos conservado an to su
espír
rio . Se
b
algunos temas nuevos; es tos cambios se describen a cont
inuación   Los problemas
tal, siendo el re s
ultado la modificación de algun os
ejercicios y la incorpora
era
En el texto hay más mat
erial de l que se necesitaría en u n se mestre y se ha te
nido en
cuenta que varias secciones se pueden omitir parcial o totalmen
te.
A fin de proporcionar cierta ay uda cuando los estudian tes analicen las demos-
traciones de los teoremas, se ha inclu ido un apé
ndice sobre "Lógica y demos
tra-
cion es ", d
onde se ex plican temas tales como la implicaci ón, los cua
ntificadores, la
ción, el con trapositivo y los diferentes tipos de dem
ostraciones. Se ha conser-
vado la ex plicación informal a fin de evitar q
uedar empanta nados en los detalles
técni cos de la lógica fo rmal. Su colocac ión en u n apénd ice indica que es una lect
u-
ra opcional y se puede examinar en cualq u ier mom ento del curso o cu ando sea
/ necesario. Se cree que es una experiencia de may or utilidad analizar y hacer de -
 
l 1 1 s ~ > 1 · dl:s arrn ll 1 1 1 1 un l
a
5
u i da
e
n la
,
v
nda
pro
a se pre
cciones del
6
. La sección 6 .2 es en esencia una secuencia de consecuencias del te ore-
ma de l valor
nt
eg
ra
l as tre s pri
meras secciones d
medio de las
r
ramie
básica para establecer la ex istenca de la in tegra
l.
fu n da mental de l cálcul
o se ha redactado de nuevo en su to talidad a fin de
clarifica
r
t
c
i
ones
posteriores de os capítulos 6 y 7 se estudian otras propiedades de la der
v a
integ ra l que se pueden cubrir si e l
tiempo lo
l
c
ués lo s
te oremas de "preservación" de la sección 8 .2 a medida que vayan av anzando en
los demá capí
trascenden
co
nv er gencia uniforme. El capítu lo 9 sobre series infinitas se
ha revisado y ampliado ligeramente con secciones separadas donde se es tudia la
convergencia absolu ta y no absoluta de las series. Los cap ítulos 8 y 9 poseen una
i
mport
ra en que el
mat erial visto en los capítu los anteriores se puede apli car en temas numéricos y
analíticos.
El
cap
contexto más abs-
tracto y se hace e   én fasis debido en el concepto de compacidad   Se inclu ye una
muy breve introducción a los espacios
mét
pa
ra int roducir las nociones de
carácter bastante abstracto discutidas en las secciones pre v ias del capítul o.
A lo largo de l libro e ha prestado
mayor a n que la acostu
mb
ra
he
mos
he
cho
debido a la importa ncia creciente de estos temas para el estudiante
co
ntemporáneo
m
deas "purament
e analíticas"
En muchos de los ejercicios se ofrecen "sugeren cias", por lo general incom-
plet as y
en ocasiones un tanto misteriosas . Su intención es ayudar a encam
in
llos.
Es una experiencia satisfactoria observar la manera en que aumenta la madu-
r
t
vo n es
como conj
u nto abierto, conjunto cerrado y compacidad   se han reunido y colocado
en un nuevo capítulo : el capít u lo 1 0 , La topología de En la pr
imera ed ición es-
ener los disper-
sos en d ife rent es partes del libro. Ahora presentamos desde un princip
io te oremas
acerca de funciones en intervalos abie rtos y cerrados, pero las de mostraciones se
dan en una forma que se adapt
a
c
necesita
idar las demostraciones en un nu evo
contexto  Un instructor puede pasar perfectamente al capítulo 10 en cua lquier mo-
me nt
esea
:
ex
li-
s
es t
lismo de la teoría de
conjuntos, ya que ta l estudio no presagia de man era precisa la naturaleza de aná-
l
senta
n
l
l
pens
amiento deductivo
básic~ Y ~n la e labo:ación de demostraciones; se pueden cubrir con rapidez, en
~special sr los
r
eales
s
ramifica
zan en la sección 25. Estas dos secciones se deberán
estud
el
material post
erior. La
secci
6. En la sección 2.7 se demuestra que el
C O nJU~to de los nu~eros reales es mcontable; es ta demostración es precedida por
~n cuidadoso
estud
io de los conjuntos finitos , un tema cuyas sutilezas suelen de-
jar se de
m
nt
números re
nes se establece en la
sección 3.4 demostrando primero que toda sucesión
re . t i tiene una subsucesión
monótona.
capít
udio de límites de funciones depende en gran medi-
~a ~el uso de s~ cesbnes; este
tra
tamiento
lí
si
cos
c
pidez. (Algunos ins-
tructores .q~izás prefieran sa ltarse la sección 4. 3 en un curso introductorio.) De
man era
s
i
mi
lar, los resultados inicia les relativos a las funciones continuas del ca-
pítulo 5 se
s
e
Cau c
braicas
d
38
2 .5. Apli
s
de
37
1 5
ubrir odos los temas li
b
ro , l rn 1 l m 1 1 1 1 N hu por-
tantes se pueden estudiar con profundidad si uno no se qu
e
do n l
H
i
do muchos comentarios valiosos de colegas de una amplia v arie-
dad de instituciones que han enseñado con
l
-
tra apreciación para ellos. Sus observaciones críticas resultaron en extrem o va-
liosas en la elaboración de esta edición. Nuestro agradecimiento por carse
con nosotros, deseándoles éxito en sus empresasfuturas para impartir el desafío
la excitación del análisis real a sus estudiantes. Es nuestra esperanza que encu
en
P 1 u
' J ,() ( l < i
ertos cerrad
1 0
3 7 5APÍTULO D IEZ La top olog ía de
9.1. C on vergencia de se r ies infin
ita s 343
9.2. C riterio
s de co
v
9.4 . Series de fu nciones 366
3 4 3
ergencia pu n
límites 317
o
ga
go nométricas 335
7 2.
7.3. El teorema fundamen tal de l cálculo 2 74
7
u
d
píta
2 0 3
de fu n ciones continu as 1
65
1
7
1
5.5. F
n v e rsas 19 1
l" func ioncs cuuttnuu»
EA i
t
B), e
B contiene a A o q
u e A es un
subconjunt
o
como una for
ada de la afirmac ión de que es un e
lemento de A, o qu e
es miembro de A, o quex p
e
c
on
junto
A
cont
s un eleme
nto que p
á
Si den ot a u n conjunto y es u no de sus elementos , s
e es cribirá
os fundamentos ne
tudio del anál
isis real. Las seccion es 1. 1 1.2 se dedican a u n bre v e re paso del
álgebra de co
m
á-
,
s
una lista de axiomas para la teo
ría de
referencia a ste
enfoque pra gm ático como teo ría de conjuntos resulta bastan te ade cu da
para trab ajar con los co
njuntos
defin ido s en el contexto del aná l isis r
ea
l.
3 se ocupa de un método especia l de d
emostración ll
amado in-
ducción ma
cas del s
a demostración de propo
, es i
apéndice se puede en con trar un estudio infor
ma
l
t
demost
rac
ones que se usan en el an álisis en la matemática en general.
Además de intro ducir conceptos bás icos de establec e
r la n otación la ter-
minología   este capítulo también
pa ra t
scr
i
t
udio atento de l an álisis real imp lica de manera in evita
b
le
ra , es ne
a
r
tida .
 
j
eme
onjunto v
mbolo
on con
A
n
prop i edad es a l gebra icas de las
opera c iones con conjun t
os que se ac aba n de defini r. Pu es
t
ne s de esta s afir
ma
i as , se dejarán en su mayoría co rno ej
ercici
os
la e
e l
(y a
que s i A y B no tienen elementos en común, s
u
i
En re lación con la un ión de dos conjunto
s, es
he
c
ho de qu e el vocab lo "o" se e
st
á us ando en e l sen ti do i ncl
usiv
per
ten
ez
AUB= { x o xEB} .
b) La unión de A y B, den otada por A U B  
es e l con junto de todos
l
~ s
la
t iene
j
s e   con jun to de t
odos los e le
a
tiene
t
os
continuaci ón se dan a lgunos métodos para construir nue v os con
j
{7+x : x
O o
b 1 ~ 1 1 11 1 pu ede u sar una Ió
rrnu l a
escripci ó nde un
1 0  Pn r ej emp
l o, el con ju n to de to ci os los números natura
l
EN}
  en l ugar de usar la expres ión más complicada {y E N:
EN} .
e
) El
c
e
líc
c
omo
{7, 8 } , con lo cual se ponen de manifi esto los e lementos de conj un
to . D esde l uego;
hay
m
l
ol uciones de la ecuación cuadrática 2 =O son = 1
y = 2, en
ge nera
bo-
lo
s
i
º E
,
le s Q
y se exam
l
La notación se lee "e l conjunto de to das
l
especificar los eleme
ig
ua
l
es
si
elementos. Si l
os conjuntos A y B son iguales, se escrib A= B.
Por ta nto,
efi
especific
le
m
efin
ir
con
i
Si A ~By
está
u
nto
pro
m
o
t
t
in uación  
so
A \B
1 .1.5 D efin ición. Si y
s
con resp
to aA es el conjunto de todos los e lemen
t
os
po
r A \B (l éase "A menos B"), aunque en ocasi
on
es
otros
En la notación intro ducida
ant
erior
me
todaj
lo
de los conjuntos
D el mismo modo, { j: j E. } denota el conjunto
de todos los
elementos que pe
rtenecen a lo
nj
imita
sumatorias se u sa u n
a notación
1 2
emostrar que si A 2, ..
 
exis te un c
1 1 1 s q ue pertenecen de os conjuntosA1 =
1 , 2, ... n; y
c
. . , n.
Omi
ti
e
( 'ou
s i dcra udo l as re laciones de l teorema e) , se acostu mbra omitir los
iss y e
o1 ·
n
1 1 ( ,.
11 1 \ 1 \1
FIGURA 1.1
AnB
n , s
e probará la primera ecuac ión de el ) . Sea
Ull elemento de A n (B u C) , entonces EA y
E B u Esto sign ifica qu e EA y que
EB o
y
EB o que ii EA y E C. Por lo tanto   EA
ox E A de donde E
(A (A C) . Con esto se demuestra qu e C )
es un subconjunto de (A B
) U
EA B o
y EA Se conclu
ye que y EA que y EB o y E C. Por tantoy EA y y EB e de modo
que EA
(B U C). Así, (A B) U (A C) es
un subconju
E
n
ocasio
nes se hace referencia a estas i gua ldades como
y respectivamente, de las ope-
raciones de intersección u nión de conju ntos.
a) =
1 .
del teorema
.
Demostrar la segunda parte de l inciso d) del teorema 1. 1 .4.
4. Demostra r
5
dos los elementos que perte
necen a~ o a~
t
do por D (A\
B) U (B\A)   Este co nj u~ to sue e
lla
sentarlo en un diagrama.
11 1 1 jun lo A x B se puede repr
es
entar como el conju n to de los seis puntos del
p l
na
en
umerar.
d
¡ n(J duclo cartesiano de dos conjuntos
~ i~ e
o. Por
x : : : ; y B {x x : : : ; ó x::::; entonces en l
ugar de un
tendría un trazo mo el d la figu ra
FIGURA 1.1.4 El pr odu cto car te s i an o deA y B  
3
2
AxB
1
(1 ,
4
) .
1.1 . 7 Definición. Si y n dos c tos o vacíos, e t
o
d
e
r la fig
}, entonces el con ju nto A x B es el
conj unto cuyos eleme
ados
continu
ac
i
roducto car
traci
a
u
aldad
d
o
C) está
) como en (A\
C) , y recí-
C ) , en t
onces está en A pero no está en B U C . Por
tan
to  
está en A, p
ero no está e
n B ni en C. (¿Por qué?) Por o tanto, está en A pero no
en B, y e
C
con lo
) n (A\C).
Po
r
tanto, x EA y x e : By x e : C. Se conclu ye que x EA y x e : (B
U C
U C)  
qu o conj un (A B) (A\C ) y A B U on ti n mismo
elemen
\B U C) = (A\B) (A\C),
1. 1 .6 Teorema.
conjuntos; en lo
FIGURA 1 .1.2 El
on
junto
ue el
requisito de que una función fuera una fórmula era indebidamente restrictivo y que
s
ería
útil
iden
te
l
ci
ón
e
y los valores de la función . Nos
proponem
r
dencia
q e asigna a cada deA un elemento determinado de manera únicaf(x) de B .
Sin importar lo sugerente que pueda resu ltar la defin ición propuesta , tiene un
defec
e
parte del contenido in titu itivo de la descripción prev
ia
dad
d
q
si
O,
SÍ X
de un número real es una "función honesta" o no   Porque después de todo la defi
n
ición
abso-
lu
to
d :
1 1 1 d ikrc 1 1 l i. ;s   ip
ns de fu nc i one
s, p
ión" por l
qu
secu
en
t
e
2
son
e
) .
1 ) :j E J} ,
13 . Sea J un
é
deno ta por -ef (
j - 1
J-
conjunto y { A 1
J-   J- 
.
j - 1 j =  
S i B ~A dem ostrar
q
ue
most
rar
qu
e
\
B
s
d i sjunt s y qu e A n B) (A
9 .
S
10 . Si P es una co ecció
n de conjuntos si es u conjun o cu al -
qu i
finir una nueva función con dominio D1 por
f (x) para toda ED1 . Esta fun
c
ión
s
1, se tiene
i ntenta introducir algo que no pertenece aD(f) , se encontrará
que no es acep
m
e
menta Des-
de luego, resulta muy conveniente distinguir una máq ina de su producción   ~un
cuando seguramente
nadie confundi
e bien val~ ,la p
ena
eptos por su n
com
rmaciones máquinas
Además de las grá ficas, una función se pu ede representar c
om
e En estos
ndo (a, b) E
nc be como si tomara el elemento de y lo "transformara" o "mapeara"
en un elem
grama
c
gu
un
a
funció
n
s
e
us
a
con frecuenc ia aun cu ando los conju n tos y no sean subconjuntos del plano  
Hay otra
man
e
ra de representar una fu nción: a saber, como u na que
ace
pta
espon-
dientes de como productos finales. S i se toma un elemento de y se
ali
me
es pondi
(f) se obtienef(y) [que puede ser diferente o no d
ef )
en lugar de (a ,
b) E f. Con frecuencia se hará referencia a b como el valor de f en el
punto como la ima
f(a )
in
d i ca que fes u na función de a co
n frecu
f
mapea A en B. S i b) es un elemen to de f, se acostumbra escribi
r
l c
onjunto d
e todos los ele-
1 1 1 r 1 1 l 11 : - 1 ti c J I qu
e f igurar
en oca
1
n
c i ó n co mo una gráfica .
 
Funciones inversas
· Si/ es una función de A a B (y , por tanto, un su bcon junto es
pecial de Ax
,
entonces el conjunto de los pares ordenados en B xA obtenidos al int
e
r
cam
b
Definición   Se dice que una función/  A --> B es biyec
t
íva
si
~ s
tanto
1. 2.5 Definición. Se d ice que una
función/  A --> B es suprayecti
v
a
) =B   Si
D
s
y
Al definir una función es importan t
e especificar el
Una ve
z hecho
es t
. Por ejemplo,
u
na
suprayección de en {x ER : x : ; ; ; ; . O} , pero no de en
Jo cual indica (¿por qué?) que
1
se concluye que
s i si em
f
yectiva
s
implica que
Por ejempl
s
U
n t
i po importante de función es el que nunca asume e l mismo v a lor en dos
puntos di
1
1 (G)
(H): Y la
i(
1
demostra da.
ro
sen t i do, por l o que en rea lida
d se ha establecido la igualdad; se deja
1 · : · ll a co
j
in vers
as de
ecci
ón.
1
· . S
FIGU RA 1 .2.4 Imá genes d irec ta e i
nv ersa bajo f
o H A , ent onces un punto
E
dl 1 1 '\ t 1 1
/' (/ •, ' ) si y si
'
11
ra
s
e ado un con .1 u 1 1 1 "
0 H B   un pu
ntox
I)
s
i
H. (V er la fig ia 1 .2.4.
)
a/: R- - > R definida por La Ím ag en direc-
ta del conjun t
}. Si G
l
e 1 (G)) G. Pero si 1 , e
ntonc
es
U n
s
b) Sea/
¡-
~ 11 1 1 s1
1 hrn 1 j 1 1 1 1 1 0 de IJ , e
n to nces l a imagen inversa de bajo j es el
1 1 1 il 1 1 · 1 1 1 i j 1 1 1 1
l o / '
subconj un to de A, en t
onces la imagen directa de
ba jofs e
En oc
p
· io1 1 f
ex
tensi
ión con
con D2 ta l
Imagen directa e
sa
Sea/:
A --> B un a fu nción con dominio y codominio en B.
fll(l.J llJI .~
fi
i
ción. U na sucesión en un conju nto Ses una función cuyo domi-
n o es el conjuntoN de los números naturales y cuyo codomin io está ontenid
o en S
Pa una suce co denota valo d d
en lugar de X ( n ) , y este valor su ele llamarse el térm ino n-ésimo de la
s
u
ces
mo dom
as funciones se cuenta con
una terminología y
cua
1.
o
e
d
tipo. La demostración se deja como ejercicio 
El teorema siguiente estab lece una relación entre la composición de funciones
las imáge
tanto ,
er cuidad
o de verificar que el codominio de f está contenido en
e l
g(x)
uellas de
Se
obse rva que si se invierte el orden, entonces la composición/
0
0
g(x)
= l está definida para todax en e l dominio de g, que es el conjunto E R   O } .
f = 2(3 x
r
n
io de la función compuesta/ también es R , pero en este
c
as
x2 -
Pu es t o q u e D(g) es e l con
junto de todos los
º . )
t
.
V) 1 1 ; J m 1 1 1 1 l o
N . a
l
a
composi-
l  
c
FI
GU
. P
fig
sidad de hacer la "composición" de dos funciones encon-
primero lu e
posi
bl
ebe suponer que el
o de g.
Por eje
x
sto  se resue lv
x)
p 1 11 · 1 1 1 t\ 1 1 l órr
1 1 1 1 1
0 .~ ele y
ta información, podemos
'01 1 V 1 1 1 v1 • r11 1 H
1 1 1
o 1
n i 1 1 es/?(/)= {y: y que la función inversa
d • /' l /¡ 1 1 1 1 • iirlo 1J 1 1
1 cstú ciado por ¡-(y)
J I ¡¡
lr 1 1 p
nr 1 1 11 1 1 0 o isnv ri r
qu
una fu nción inyectiv a , entonces la función
l 1 1 v1 ~ 1 t l l l d 1 1 /1 1 1 1 1 h i ú1 1 e s Ade
más , J a fu n ción inv
er
codominio en B. S
E } , en tonces
a función se denomina
fu n
de la
siguiente manera;
primero el segundo miembro de los p res ordenado j' 11
0
una función . Sin embargo, si fes inyectiva, entonces este intcrcam
h i u l l ev a a una
función llam ada la inversa de f
1
n c
to me n or de N
\S   C om o 1 po r la h i
póte
s
ci
U n a enu n ciación
más
detallada de es ta prop iedad es la siguien te : si S es u n
s u bco n ju nto de y si
S 0  entonc e
C on ba
xpr es ad o · en térm
ino
hace
ref erencia a la pro i ed ad descrita en es ta v ers ión co mo la pro
p
i
edad
"hered
i
t
a
s bás icas de ad ici ón y multiplicaci ón
y del sign ific a-
do de que u n número natu ra l sea me n or que otro . Se s u po ndrá as imismo la s i -
guiente prop ied ad
atem
n es te libro . S
e trata
r la
n
ncuen tra
nt e es pec ial
,
m
a-
ulta-
d
nducción m
s
ci ón se en u ncia rá e
l
a
t
e
s
lu
strar la m ane ra en que s e llev an a
cabo l
l conoci
s
Induc
ción
matemática
1 \ : :   · 1 1 1 1 f 1' 1 1 1 wl
o1 1
qu
mo
s
trar
l 1 1 yn l i v 1 1 y /i(I)
1 l a les qu
e
0
y
0
t 11 d:i E D emost rar q u e g ¡-.
1 1
{
ste conjunto es un a func ión?
2 . Se a
fini
}
En F .={O} y qu ef(E
n F) ={O},
E n es un
S L .1 bco
ocu rre
de
que By y son sub conjunto s e l e
e n ton cesf(
5.
D em ostra r que B y e y so n
su bc onjuntos e l e e ntonces
f-
definida por 2 1,
biye cci ón d
n
:=
«: <
~
ost ra r que s i f: inyectiv a entonces D ar
un
eces ar
10 .
.s ,if e
s una i
B , entonces
j=":e
f } es ~ n
a fu nc i ó n con dom mio D emos
t
ersa
de f
11. Sup oner qu e una inyecc i ón . D e mo
strar qu e o para to da
ED(f) y qu
a ER(f).
1 2 .
D a
d
e
a tales
2
s~ c e s ión en sí co n fr
e
~ uenc
ia se da por J a not ac ón ~ · ,,   l N) n ,
1 1 1 1 1
11
(x
d
ue los términos de
una su cesión tienen u n orden in u cido por e l orden
d
u ces ión es s
implemente un subconjunto d
s de la su ce sión
((-)" : EN) v arían entre - 
-1   1
s
Aho ra bes un factor de bk) por la hip
ótesis de inducción
k bk + l p .
t e un fa ct or de bk (a -) ; por tanto, a - bes un factor de a - .
or m ucc ion
ca se con
clu ye qu e bes un fa ctor de para toda
EN.
al
ta b lecer po r i
nd u cción mate m~ ti-
ca de la si gui en te manera. Se obse rv a prim ero que es cierta para = L u eg o , si se
s
u
po ne qu e 2k ~ (k 1
)   , de l hecho de que 2 ~ k 2 se co nclu ye q u e
2k+I = 2 · 2k . , , ; ; 2( k
l)k (k 2)(k 1 ) = (k 2)
. a v a lid ez de la fórm u la para toda n EN se concluye por indu cc ión
m
atemática .
ros y b , se d
e
para
to da EN. Se observa primero que la proposición es ev
id
para =l. Si
s e supone ahora qu e a-es u n fac tor de se escribe enton ce
s
1)
1 )
qu e esta es la fó rmula original pa ran
= k se conclu ye qu e k S: Po r
1 • 1 1 1 1
s i
.
y
la
b) Para ca da EN , la
suma de los cuadrados de lo
s primeros nú m
11 . 11 1 1 mies es tá dada po r
la
fórmula
1 2 2 2 1)(2n 1) .
1 1 demo strar la v alidez de la fórmula , se obse rv a primero qu e es verdad era para
1 caso = 1, ya que 1 2
= t · l · 2 · 3 . S
i est o s
mi
su pu es
i e
ig u aldad su pu esta, se ob t iene
1 +
2
+ ... 1 ) .
·
s
<
la,
sea S el de todas la s EN para las cuales la
fórmu la se
e
N, la suma de lo
s primeros números na-
se
e
ipio de in-
du cc ión matemática como un método para demostra r afirmacione s ac erca de nú -
m
e
s
blece
r
2')
sideran las proposi cion es P( n ): n = 5 ,
ent on
es k
o , dado qu e la p
ro
p
b
a EN.
l . : 1 con la v ersión pr ece dent e de la indu cció n matemáti a, da da en
1 .
3
s v er dadera}. Entonces las co ndi
-
c
i u n cx 1 ) y 2) de 1 .3 . corr
e
L a
nclu sión
de qu e = de 1.3.2 correspond e co n la conclu -
s
es verdadera para toda EN.
l 'nrn rnd 1 1 1 1 N , xca un a propos i ción acerca de Suponerque :
I ') /
'( 1
;
.
'
ex pone
pied
ad es o pro posiciones re lativ as a n úm eros natu ra les
. S i
sición plausib
rdadera para a lgun
os
v a lores de y fa lsa para otros. Por ejemplo, si P( 1 1 )
es la proposición : =
toda
EN. En
este prin c i p i o de inducción ma temática se pu ede form u lar de la si-
r 1 1 man
nto, > J , de d
•
t 1 1 1 1 1 tí 1 11 cro
natu ra l. Puesto que 1 y mes el element
o
1 ql ll' 1 1 1 S , debe
ser
e
st
é en
S e aplica ahora la hipótes is 2) al e lem ento 1 de , y se in re qu e k
1 =
ci
no está en
s
e obtuvo su poniendo q ue N\S era no vac ío, la co ncl u -
sión es qu
ado qu e
S = Q.E.D  
 
ón 1
que
1/1
v i
1 es d iv isib l e entr
e
11
Demostrar que
l a
v i sible entre
Co njeturar una fórmu
/3 · 5
l/(2n -)( 2 11 1 )
y comproba r la con jetura me d iante la i
nd u
.
Conjeturar u na fórmu l a para la suma de los pnrneros n úm eros . n
atu ra .
l~ s
l
matemática.
11 . D emostrar la sig uiente variante de 1.3.2: Sea un s ubco n j un
to no vac ío de
tal q u
e para a
n
> 1 0 Y
e al con jun to {11EN: 1 1
1 2 . D emo strar q ue 2" n para toda 11 ? 4, 11 EN (Ver el ejercicio 11.)
13.
Demost
ejercicio 11.)
les se cumple qu
e Demostrar la respue
1 ¡ . J 2 l/..fii ..fii
para toda n? 2, 1 1 . E N .
16 . Sea un subconjun
a ) ES para to da y b) s1 ES Y
2 ,
e
ón d
os-
E N  
LíA P
1 , l
E E
l
lector demostrar qu e 1.3 . 2 y 1. 3 .4 son equivalentes,
1 \1 ( '( 1
Hay otra versión de l principio de indu cción matemática q ue en oca
si
s u lt a de suma utilidad. Es común refe
r
com o
"
, aun cuando en realidad es equ iv a lente a l a vers ión a
n ter
S e dejará
a l lec
tor es tablec er la equ iv al en ci a de amb a
s v ersiones .
La apl ic
pio de inducc ión matemática puede lle-
var a conclusiones a todas luces ab surda
s . Se invita al l
ector a encon trar el error en
la "demostración" del siguiente "teorema".
S in es cu alqu i
er
núm
i
1 1 es e l máx imo de dos n úm eros
natu ra
,
natu ra les c
s
na
t
ura-
l
l
ces 1 ES
n ton ces = =
1. Si se s upo ne qu e E S y q u e e l
máximo
l
ye , así , qu e = En co
n
sec
u
en -
conclu ye
ra t
os n úm ero s natu ra les ,
pero qu e no lo s
on
p
mpl o , la fó rm ula
= 2 - 1 1 4 1 da un
núme ro primo par an= 1 , 2, . . , 4 0 . S in embargo, es ev id en te qu e p( 4 1 ) no e
s u n
n úm e
fórmula original.
1 -
11
l \1 1 1 1 · 1 1 · 11 1 ili 1 dn l 11 11
1h ié1 1 s e pu ede prob a
r s in empl ear J a in ducción ma te má ti ca . S i s e
h i ll ' t ' 11 : 1 1 e n t o n ces = r" d
e
donde
= k
1
D e l pri nc ipio de inducción matemática se
1 • p 1 11 ·   11
yt  
l n 1'
(1 ' 1 1 1 1 11 1 1 es v erdad
e
ra
para
k+   =---
Esta fórmula corresponde a la suma de los términos de una progresión ge
om étrica.
ión matemática se puede est
a
bl
ecer e l e la siguiente manera  
Primero, sin= 1, se tiene 1 = (1 - 2)/(1 - de modo que la fórmula es v álida
en este caso. Si se supone que la proposición es
váli
k, se k 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0  
inducción matemática, la desigualdad es verdadera para to
d
 
ropie
dad
es fundamentales del sistema de lo s
números reales R. Aun cuando es posible hacer una construcción formal de este
s i stema con ba
se en un conjunto m á
s primitivo (tal como el conjunto N de los
n úmero s naturales o el conjunto Q de Jos números
racionales) ,
hemos decidido no
hacerlo. En su lu gar se presenta una li sta de la s p
ropie
da
s con los números reales y se indica J a manera de de ducir otras propiedades a
partir de ellas
.
Este tipo de actividad es mucho má provechosa en el aprendizaje
de las herramientas del análi sis que el ex amen de las dificultades lógicas presentes
en la construcción de un model para
El sistema de los números
reales se puede describi r como un "campo ordenado
completo" y se exp
i
se
"
) que se basan en las operaciones de adición y multip
l
l
al gunas de
e
número
ropiedad de los int
me
fi
e contrast
a el
conjunto de los números racionales con el de los reales demostrando que el con-
junto de J os números
racionales es "contable" en tanto que el de los n
úme
ros real es
no lo es.
El procedimiento de separar lo s diferentes aspectos del sistema de los núme-
ros reales pued
recer lento y un tanto disperso; pero ti ene sus
ve
ntajas. Son
varias las propiedades que in tervienen y resulta más convenient e considerar unas
cu antas a la v e
z a fin de ver su papel con cl aridad. Además, las demostraciones reque-
ridas en las etapas iniciales son de naturaleza diferente a las demostraciones poste-
( ;\ 11 ÍT l J
mo eje
rc i
cio. O
i
ca .
si se util iza (A4) en el segundo miembro , se obtien e
O .
2
uma cuya existencia
embro
e
n
e
en to en tal qu e 1 . y para
a
a
) pa
ra
ta
m
p
o,
, p0 1 convemencia   .
d (Al) y (A4) se de du ce de la primera
a
m
1
s es qu e todas as t~ cmcas y b
o 1 1
. Lle~ ar ,ªca
ía tedi
ru ct
iv o ver la forma en qu e se ha rían estas de m osyac.1~nes .
1 : 1 .
1 1 atu rale za básica de las propiedades m
enci onada
qu e
en (A3)
s .
A : •
(M
l)
(A4)
(A3)
+ b) + c + c) par
a toda c en
ento en t
para ca
ele
m
e
nto
e
n
ta
l
njunto
ro
ria
atisfac
ará l
a "e
struct
ura a l ge braica" del sistema de J os n ú -
n 1
1 · 1 1 s
y 1 1 1 mu lt i licac i ón . Es t a l ista en
globa
d
afi-
1 1 1 · 1 1 1 . c p 1 1 t · 1 1 L - 1 1 dl'
d t1 l'ir rnn0 t eor
e
m
a
bstracta, e l
1 d 1 1 f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L · ros es "
c
1 1 1 1 1 l t l p l
k1 1 1 'i 1
'
edad
e
.
l'or nperncié u en un con
junto
F
se
entien
de
reale
s
consiguien te, u n
ad
a
p
e
e
l
e
m
e
nto ún ico b) de Sin embargo   en lu ga r de usa r la notac
ión se
adición y
ción. En
den en
riores. Por otra parte , p es to qu
e
s dl' lv 1 1 1 concepto
de completida d de R   fue necesario te ner es ta im porta n le propiedad separada
el
e
l
a
da s explí-
experie ncia en la construcción
d
e
n tes de pa sa r a argu men t
a
t
de l
as d
emos
tra
ci
on
e s (q u izás en u n cur so de
ál
sección d
s pr
ev i
IH
s
ciendo la propiedad (M3). Por
tanto, * O Y
a que
a)
b) Si ambos miembros de la ecuación se multiplican por y se
a
(( 1
s propiedades de campo se concluyen con los
s i
Ax i ,
·
d)
E
ción
Entonc
es
.
obtener
1
lkrn ostración. a) Por (M3) se sabe qu e 1 Luego  
al s
1
cs ; 1 hkc
este punto se han consid era do las pro-
11 dld{ 1 1 1 y l a mu l ti pl icac ón por
se
parad~.
P
ara
1 1 , 1 1 1 · 11 1
1 1 · l 1 1 N d i~ op1 .: raciones se debe emplear la propiedad distributiva (D)   Esto
'" l l1 1 ~ .
t1 1 1
y
  obtenemos
ción =
b.
Para
probar
es soluciór. de la ecuación entonce
s
b, y si se suma en ambos miembros, se obtien e
b) b := O+ b b ,
Demostración. Aplicando las propiedades (A2), (A4) y (A3) se obtiene
2. 1 .
t
y 1 (cua
ecuaciones
p
uede
se
men
S 1 . : con c u ye por ta nto que
L a
e l in
c so b) se deja co mo ej ercicio. O bsérvese el uso de la
hip ó
t
ene
(-)+ b) =(
4) y (A3) en e l primer miembro   se obtiene
(-a)+ b) a)+ b = O + b = b ;
Demos tración
. a) Si + = O , entonces se suma a ambos miembros para
obtener
 
1
teo
so b) del teore ma 2 . 1 .3 .
3/es olv er1 a
ar cada paso hacien
,
4. D e
s
(a/b
b - = = O .
S~  a ER sat isfa ce a · a = a , de mo strar qu e a =
O o bien a =
7./usar el razona m ient o de la de mos
t
1.7 para pr obar que
no existe un nú mero ra cional s tal qu e 6.
8 . Mod i
ien t
o de
or
). ue no exis
te un número
9
. De
m
, entonces
s tal es
P
es .
par.
E
i 1 es impar, entonces su
cu adra do 4n2 4n 1 =2(2n2 2n) 1 también es impar). Así, puesto que
y
ún, deber ser un número natural impar.
Como es par, entonces
2 , de
ar, por el razonamiento del párrafo anterior
se sigue que es un número natural
par.
En con
secuencia , se ha llegado a una contradicción; al he cho de que ningún
n úmero natural puede ser a la
ve
1 1 (1 1
onocé rscl
"
l'lll ( · 11 tl v l' qu u n o s on cocient
es
1 l 1 · 1
os idiomas modernos , se adoptará el uso
11 1 1 1
1 1 1 1 1 11 un) rac
io
n a l cuyo cuadrado sea 2. En la de mostración se usarán las nociones
e im
pares . R
r
N
, y es impar si tiene la forma 1 para alguna EN  
natu ra l es par o bien
impar,
ve
4
3
i\   ll
( S i\   , (
1 1
Se
s nat urales como un subconj
unto de
e
nto
un
it
ario. De manera simila , se identifica a O Z con el elemento cero de R, a la
suma repetida veces de -
  la iden tifi ca
mos con el e
ntero Por consiguiente , se
ubconjunt
los e ementos de R
que se pueden escribir en la forma b]a, con a , b Zy
a
n ord
t
o mencionadas al p
ay
a e lementos en que no e tán en Q no se
percibe de
 
s
d
escubri
ua
es
ar
Pitág oras para tr
en tero cuyo cuad
sea igual a 2
  Este descubrim ien to tuvo un profundo impacto sobre e l
de
su s consecuencia s es que a
lo s elementos de
para toda m , n
EN. Si a - = = O , se usará la notación 1 para y sin EN, se
escribirá 11 en lu gar de 11 , cuando sea conveniente .
Los teoremas anteriores representan una muestra pequeña pero importante de
las propiedades algebraicas de los números re a
les   E
s pos
secuencias
adicionales
de las propiedades de R   algunas de la s cuales se presentan
en los
e por para ben De
manera simila r
, para a , ben R   con b - = = O , la div is ión se define por a f b :=a   (
1 /b).
tracción y la div isión y
se usarán con libertad las
propiedades comunes de estas operaciones
s
adelant
e por lo general se omitirá e l uso del punto para
denotar la multipl icación y se escr birá en
lu
l
1
S
e adopta la conv ención de que 1 y de que a
1 pa
ra toda
para el le ctor demostrar (por inducción) que si ER,
entonces
Por
mis
e) Basta suponer que a - = = O y deducir que b
=O
a
·
= O =a O , se aplica el inciso b) a la ecuación
a · = a · O
si a
1
i
b) Por la propiedad de tricotomía 2. 2   l o
c
urre
e
x
actame
si
gu
2.2.4 Teorema. b ,
orden en Estas son la
s
c
u
usado en cursos de mate áticas a
nteriores. Se u sarán con frecuencia en las secc
i
o-
n
se
escribirá
""c .
p
tisfa
ar, si
tos de R  
simplificar la notación
-
1 i rn u • u l • • ¡w ¡ Ulvo ) y St . escri be O . Si E PU {O} , se d ic
e que es un
nú
mero .
1 1 1 1 1 no 1 u- { 1 1 U v o y
se escrib
e 11 ; ; ; .
S I
e
s
O) escribe <
O. S i U {O} , se dice que es un número rea
l no
poN ll
e lemento
s d
1 li · I n 1 1 ju 1 1 lu
P
s .
1 1 \~ 1 l' l ll1 1 '11 llA l 1 1
• 11 1 l l ( 0(
1 l
co
tr
 
vos no tie
1 Las propiedades de orden de R. Existe un subco
njunto no vacío P
positivo
tes
propiedades
cumple exa
afir
macion
es:
Las propiedades de "orden" de se refieren a las nociones de positi
vidad y
e
a
l
gebraica
de
l sistema de los números reales, se procede aislando varias propiedades básicas
a
partir de las cuales es posible deducir otras propiedades de orden y las operacio-
nes
co
ficando un
subconjunto es
pe
cial de med ante la aplicación de la n oción de
"pos
itividad".
D 1 1 uuio
a
les, de mostra r que se s gue que y xy
,son irracion ales  
12 / Sea B
un a op
B
t i en e un idéntico si
existe un e lemento e tal qu e
para toda a e
c
u
á
lidas para las siguientes opera-
ciones binarias,
e) b)
Se dice que una operación bin aria en es dist
ributiva sobre la adición si
sa tisface b e
)= + c) para toda b ,
en R   ¿Cuáles (en
s bi narias dad
d
ión?
ce s
D emos trar qu e un núm
ero na
tural no pue de ser a la vez par e impar.
O
4
resultado sigu iente se observ
a
sta probar qu e e l nú mero es m
enor que un
2 .2.8 Corolario   ERy >O , O < <
V
dades de orden e l ementa les que se han
estab
n
iguien te .
sí,
por 2 .26 d) , se tiene que > O . Por tant
o de
y
también que a < Por lo tan to se tie ne
2 .2.7 Te
orema. (a+ <
Al combinar 2.2 .5 e) y 2.26 d) se observa que e l recíproco de cu a l
qu
ier
l a
O , en
a - E
es = F O (
por la propi
edad de tricotornía),
ndica que
1 1 (
1 /1 1 ) <O , qu e c
ontradce 22.5 b). Por lo tanto   se tiene l/a >O, ya que las otras
d(l s pos b i l idades se han excluido .
D
ll
4' 1
Demostración. a) S i EP , entonces c)
-
+
ento
) d )
tamb
rt enece a por 2 .2 . 1 Por tant o ; >
2.2.6 Teorema. S ean
ci
>O .
el inciso a) indica
nducción mate mátic
a l idez de esta afirmac ión con = 1
no es sino el inciso b ). Si se supone que la afirmación es cierta para el número
n
es to que EP , se tie
ne entonce
Por
tanto  
la
afirm
ic
bien   E Si E entonc
es por
e manera
.1
2 .1.5 d), se sigue que
2
.2
.S
Teor
cont
inuac
ión de qué manera esta propiedad se deriva de las propiedades básicas
dadas en 2. 2.1. La observación clave es que el cuadrado de cualquier número real
diferente de cero es posi tivo.
S i entonce
e
a
de las hipótesis se contradice   Por lo tanto   se debe tener que a b. Q.E.D .
t
l sím
bo lo
r
ó '
í
e la pá
gina siguien te.
( 1 ')
Se co ns i dera e l caso en q ue O y O , dejando e l caso O para el lector. D e
2 .2 . 1 i se deduce qu e >O . Puesto
qu
e
c
a
s
mo,
de
sig
s - J a O y - J b > O . Pu
esto q ue y (-Jb 2,
l a segu nda i mpl icación es u n a consecuencia de la
primera cuando a y se su st i
tu
tivamente
lector la demostración de q ue s
i a ~ O y O , en tonces
.i:
2 . 2 .14 Ejemplos. a) Sean a ~ O O . En
t
onces
E
e orden deR para
-
1 · 1 , ; r des igu a ldades. E l lec o
r deberá v erific
¡ H • r der echo propio y se u
s
ex
istencia de las raíces cuadra da s e le números re ale s estr
i
cta-
positivos aún no se establece de manera formal ; sin embargo, se supone su
ex isten
cu ad ra das se estu d iará en Ia
sección 2
- Por
lo
1 1 1 1 1 1 0 , ~ : (' 1 ir 1 1
l
ar
rema 2 . 2 .11.
• ,
· 1 irne 1 O y 2 O , bie
n , se tiene 1 <O y 2 < O . En el ca s
o
e l che ten er tan o 1 como que
s
s
l
qu
omo -, qu
e se
sati fac
nen ta n
to como < -2
, qu e nunca
roucluye que 1 } .
conjunto A de to dos los números reale
s
Se mu estra
era
e
n
q
ue
ida
s
en es ta secci ón para "re sol ver" ciertas desigua ldades . E l lector
d
eberá
ju
ja como ejercicio pa ra e l
lector  
2.2
ii <O .
D e man era similar   si O , entonces de donde < O .
D em _
a que O y q u e b O
(ya que si a o e
s O , en
icotomía
> O
> O , en
, '
s i t
ivo. Sin embar-
go , el ca
r
ác ter pos i tivo de un producto de dos números
r
ea les no significa que los
fa ctores separados sean pos itivos   L a c oncl u si
ón cor
te n
Ent
o
Teorema. E E< E
~
~
<'
''-~ :_ ~ :_ 8~~
,
e hace t i ene
que Por lo tanto, es fa lso que a <E para toda E> O . Se concluye q u e
O . ·
e pued e omitir en un a primera lectu ra .
e) La desigu
on
debe satisfacer L 1 ~ O. Por co
nsigu ient e
ecisa -
m
e
nt
, entonces ocurre la
esión (5)
para c
ua]quier e lección de las ªr Sup ónga se a
ho ra que no to
da s las = O (j = 1 , . . . ,
Se ve de in media to
que
nton
ces
+ Por otra arte   s s
e cump e
l a ig u a ldad en (5), enton
ces se de be tener L 1 = O , por lo qu e ex is
t
ón cuadrá tica = O . Pero esto significa (¿por qué?) que
L 1 2 -
4A C 4(B
adrática es no negativa para toda no puede tener
d 1
d
e concluye que
1 se obtiene
5) ocurre si sólo si ex
iste
• J
1 =
R
por
2 ~ +
d) de Cauchy , EN y y 1 , ... son números
J
l'
0
ilnd v(
( 1 1 .1 )" '
ig ua l-
e caso .
de la desigualdad (4) para un entero positivo se obt
endrá para + La hipó
1 + y el hecho de que 1 + > O indican que
(1 +x) 11 ~   +
para toda EN.
urre si s
=
enu
nciado más ge nera l usa ndo la inducción matem t icapero la de
mostra ción es
s
l ejerc
icio 8
ética-geométri
=
(¿por qué?). Por ta n to, la igualdad de (2)
s
b) 2
embros de (2 ) son iguales a de donde (2) se
convierte en igua ldad. C on esto se d muestra que (2) es vál
ida para > O , b > O .
Por
ot
m bo
por 4, se obtien~
donde la igualdad oc urre si sólo
si a h.
Para demostrar es
s
..j{¡
fiere que
desarro
iene
2 >
O ,
, , J
b)
2)
e)
.
e la
ol
uto
nces
1
• xa
c
tament
que sea
SIE O C R ÓN 2.3 Valor
absoluto
Suponi
x istencia de las raíces, demostrar que si 1 , entonces
c 1 < c 1 si sólo si
>
l rnr qu
d
esigu alclacl el e
1 1 1 1
l li 1 + x )
O 1 · ·
qu
d
<
1 
mostrar qu e O < <
mismo ·
¡or medio de u n ej emplo que no se de
duc
O s
=
e
< b2 .
Probar
imis
e
je
<
<by
O
aj~>~+~ ~1
b •
+ E .
E
r
qu
e
), se
deb
ue
l
a
ig
uald
a
chy
De
ene (¿pÓr qu
l
gual
dad
de
Cauchy (5) se dedu ce que [si son como en el i nciso preceden
te d)
] se tiene
~
sigualda d de l t riángu lo se obt iene
2- 1
2
1  
c)
s t
Hay otro méto
conjun
t
o
2
a)
dad
1 < l
=
desa
ue v a
r
n i ente b
ajo ciertas ci rcunstancias , pero en la mayoría de as situacion es n o e
posi
r un
análisis d
v a lores ab
l
es
s
at
i
l 'n r 2 .
. 2 d) se observa que EA si y sólo s
i -
só l o i - < < 3 . Al
div
r
o : = ER: x-
Un procedimiento es con siderar los ca
sos para l os que los símbo los de v a lor
. i hs olu to se pu eden omitir . Se toman los casos i
1 , O : o : ; ; < 1
n es tostr
des
i
Por lo t an t
o,
e
x . u isface 1 pe rtenece a l conjunto B. En e l ca
so la des ig
e
r es
u e
junto
t
tis f
acen ] « < 1
sto
qu
e
e
s
ta propo sición es fa lsa si empre, ningún v a lor de con siderado en el caso sati
s-
es
i gu a ldad. Al com bi nar los tres ca sos, se
conclu
1 il'da d
1
desi
gualdad
fi
a)
t
/ . De manera sim ilar ,
sión
l
b-a
+ a ¡
: o : ; ;
lb - : - a j ia   Y de 2.3 . 2 b), se ob t i ene - l a - b / = - b - a j : o : ; ;
la l - l
~o~bm an es tas dos de sigua lda de
s , usan do 2 . 3.2 d) , se obtien e la desigualdad
de
l
lllCI
b
l
por 2 . 3.2 b), se obtiene la desi gualdad del inciso b).
R
b)
l
-lal
l
ti
ene a   : o : ; ; : o : ; ; ja   y -b j : o : ; ; : o : ; ; l
b
J Enton-
ces, sumando miembro a m iembro y usando 2. 2.6 b), se tiene
Desi
/ ·
·
¡ ¡ •
= O .
O
I = O= 1-0 ¡ . Si O , en tonces-a< O , de do nde t
a
l=
= 1-. O , en to nces O , de modo que j a
j 1-j .
>O
<.O, a
j
n
e) Se hace e= en el inc i so d).
S4
Sea
tiene  
= [al/b
l .
S i ER, demostrar qu e b   : b   si y sólo si
.
Encontrar todas las X ER que satisfacen las siguientes desigualda
des:
7/i < b, _ demo s
De
terminar
pares (x, en
9 /
Det
n x qu
y
* ento n ces ex isten las vecindades-  de
y V de b ta les
qu
respectivamente   en
.v pertene
ce a la vecindad- ede b (pero no necesariamente a la
dad-e
)
  entonces sea menor
P
n
) Sil x
  O ~ x ~ 1 } , entonces para cualquier e > O la vecindad-  de
O con t i
u
e
ncia
Por ejemplo, el número está en V/O) pero no en/.
e) Si lx - a j e y IY - b
l e , entonces la desigualdad del tr iángu
lo indica
x-a
ces para toda
O , 22 .9 se deduce que lx - al O y, por tanto ,
2 .J.tt ' 1
FIGU RA 2
.
----
Para ER, la enunciac
ión de qu e pertenece a V (a) es equ iv alente a cual-
qu
ces la v ecindad-  d
e es el
Una interpretación geométr
istema de los
etación el valor ab
dis
ta
generales, la distancia entre lo
s
el
ementos
d
r la figura
2.3.1.)
Más adelante se necesitará precisar el lenguaje para analizar la noción de
q
ue
un
núm
d
ecir
de" a si
gnificaría qu e la distancia lx - al qu e los
separa es "pequeña"
. Un contexto en el que es posible explicar esta idea lo propor-
ciona la t
erminología de las vecindades, qu e se definen a continuación.
La recta real
ideración . Asimismo,
l 2x . I ~ ll . 1 1 2 · 2
- 1 3 para lx l ~ 2. Ya que lxl ~ 2 para
la
or
qué?
n
u
cualquier
ién
satisfa-
,
e
lema
2.4 .2 Definición. Sea un subconjunto de
Si está acotado por ar riba, entonces se dice que una cota superior e s un
su pr
emo (o
u n
cota supe
) ·
S
i S está acotado por abajo , en tonces se dice que una cota
i
in timo (o una máx ima cota lníe
ríor) de S s i n ingún número m q y or que wes cota
inferior de
 
e
unto en tiene
a
su pe rior c
otado
es no acota
su
perio
ta inferior.
Por ejemplo,
junto ER  
2} es no ac otado (aun cu ando está acotado por arriba) pu es
est á acotado por abajo 
(
l én. S i se aplican las definiciones al co
nju
· l 1 d
ro real es
e, para que un nú
mero E
S
d
emen to en Por tanto   cual quier número real es cota supe
rior
de
l
co
njunto
co
njunto
n
H 1 • oh 1 1 Nv 1 1 1 1
sim i ~ 1 1 1 0 q 1 1 ; exste la
po
si
b
l
lli
l'dll'tl
es (y
v i
'()M P I ,
FIGURA 2.4 .1
. Sea un subconjunto de
i Se dice que un n úmero ER es una cota supe
rior de S sis~ para toda
ii Se dice que un número wER es una cota I nferior de S si w ~ para toda
ES.
~  l
fica decir que
un numero es una cota superior (o una cota inferior) de un conjunto El lector
deber
n
úmero
E
R
s'ES (De manera similar, un número E R no es u na
cota in ferior de S s
i
cab
qu
mbargo   si S ti
t
quier tal q ue <
también es u n a cota superio r de S ; véas e la figura 2.4 . 1 . (Se
puede decir lo m ismo para l
a
ju
a en secciones posteriores
ebraic
present
a ex istencia de elemen tos en bajociertas
h1 p ot es~s. El sistema Q de los números racio n
al
ades
alge
b
h
a
l; por lo tan to
,
Esta propiedad adicio
Hay varias versiones diferen
étodo más eficaz de suponer que todo
conjunto no v
1 1 Sea { x ER: X ; ; ; ; . O } . D em
ost ra r en det a lle qu e el co njunto tie ne cotas
in
rior es . D e
2
o de
El lector de berá hacer por escr i to la emos tración de tall ada de es te resultado ,
2.4
. 6
s
e puede dedu cir a partir de la propiedad de l
su prem o . Supóngase que
Ses un subcon ju nto no v acío de qu~ es
t
}
?1 ed d
su premo indica que exis te
u:= sup Se deduce entonces que -  es el ín fimo de
como el le
ctor deberá comprobar .
C on hase en los
supuestos de campo y
este punto no es posibl e demostrar que c
ualquie conjunto no vacío de que
e
s
s
upre mo. S in embargo, es una propi dad pro
funda
que este es en .realid
~
caso . Se
ha rá un uso frecuente y esencial de esta propiedad. El enunciado sigu ien
t
e, que
se llama la propiedad de comple tidad de es la hi pótesis fina l acerca de Por
t anto, se dice q ue
Res
le
to .
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n
f 1 iinm
m
1 ';
11 1 0 1 < .: t. :s 1 1 sup S 1 y w = infS ,
y
a
m
bos
s
on
m
1 1 1 j 1 1 1 1 1 o
1
n
de S1 ;
ver
1 1 1 · . 1· j ,· rc icios 1 1 y 1 2 . )
ll) 1 · :s ev iden te que el conjun
to S2 {x :
n itpl· 1 · ior
pr
emo de la s iguiente manera. Si < 1, e~ i
ste un
o
E
brar s' a ese e lement o .) E
n consecuencia, no
co t a sup~ rior de S y , pu esto qu e ves un número arbi trario ~ e conclu-
ye
q
u
t
( )h s~ rvcse que tanto sup S
como
inf
S2 están conte nid os en el C O n J Un tO S2 .
e
E
s ev idente que 1 es la cota superior del conjunto S 3 { ~ :O < < l}.
el mismo razonamient o que en e l in ciso b) para e l con
ju
En este caso, e l conjunto S3 no contiene a
sup S 3. De manera
in f S
.
-
1 1 1 1 t o vacío , por lo que el conjunto v acío no
tien
e
)
i\ 1 1 )11 , ( 1 '. '1 '1 1 )/\ ) 1 H'  
FIGURA 2.4.3 = sup S .
plos
. a) Si un conjunto no v acío 1 tiene un número finito de el e-
mento
s
, en tonces se puede dem ostra r que S t iene un e lemento m
áximo un
Es im portante entender que el supremo de un conjunto puede ser e
l
ne s no lo es,
dependiendo del conj
s.
Demostración
ta superior de S que
satisface la
condición e
la condición
enunciada ind
nto
,
no es cota superior de S . Pues to que es un núm
ero arbi trario
menor que se
entonces E no es cota
s
uperior de Por lo tanto, algún elemento s de debe
ser
2.4.4 Lema.
No es difícil demos
1·
encia de
un conjunto en vez de a
supremo.) D e hec ho, supóngase que 1 y 2 son
supre-
<
t
s
s
upremo
y
uperior de S.
Por lo tanto
(El
namiento para de
subconju
nt
Cuando el supremo o e l ínfimo de un conjunto
S
exis
Se ha
ce notar as imismo que si es una co a superior arbitra ria de : -Jsq_
njunto
esto s
e
cu encia res u lta de utilidad al establecer que una cota
superior particular de un conjunto dado es en realid ad e l
supre mo del conjunt
s
premo es que e l
s ubconjun
to d
l (que de pen -
-
sua l de la recta real,
es to pu ede parecer u n hecho obvio. Sin e
mbargo, resu lta
pu
e
d
al
iones anterior
es d
continuac ión, se hac e un uso ese
ncial d
es entan otras re lacion es e
ntre supremos e ínfimos de
co
s d
Su póngase que f y g son funciones de valores
reales
co
n dominio común
1 U. Se su po ne qu e sus codomin iosf(D) {f(x): E D } y g
(D ) { g( x): E D }
11 1 1 1 1
c
l
o
t
s
n dos pasos. Prim
ero, para u n
, en tonces es u na cota superior d
el
rn
ui
en te, u p Puesto qu e la lt ima de s i gu a l-
v ál ida para toda E D, se pu
e
1 : 1 i n f e
rio r del co n
j
u
nto
g(
D
ece la de
tesisf(x
re lac ión en tr e s u p f
(D) e inf Po r
ejemplo, si Y
g(x ) c
on ER   O 1 }, en tonces para toda E P~'.º
s up (f(D)
e in f Sin em bar go , sup por lo q ue la conclus ión
inciso es vál
V 1 · r ejer c ic
i
o
s pa ra relac iones sim ilares entre los su pr
emos y los ínfimos
y op era ciones de adición y multiplica ción.
s
1
1
s 1 1 s 1 i 1 1 1 ir
1
1
S
) p
ner sup S)   Al
1 rn 1 t l d n m u H l 1 1 s dus
i g u
rior de S ; en co nse cu e
ncia, se t
n jun to e
ES   lo cual signific
.1 Ejem
plos . a) Es importante que los supremos y los ínfimos de los
conjuntos sea
compatib
i
los e
otros
ejemp
los.
Sea u n subcon junto no vacío de q ue esté acotado po r arriba y sea a E
Se
defin
e
e
emostrar
Se ilu
strará a con tinu ac ión la manera de trabajar con su pre m
os e ínfimos. En
st
sm
e esta propiedad para de ducir
propi
e los n úmeros r
eal es qu e se usarán con
fr ec u enci
es de la propiedad del supremo
Sea ¿El con junto tiene l 1 il l 1 ii 11 1 1 1 1 1 '/ coujun o
j
Sz tien
e cotas
su per
iores? ¿E x iste su p D emosl rar l't H l)I l t : . ' 1
1
11 .
Y
tra
qu
e in ferirá qu e inf S 3 =O .)
4
Sea
S 4 su p S .
5( Sea S un s ub conjunt o no vacío de
R qu e está acotado por aba
jo .
D
iores, d
7 • /
D emostra r qu e ER es una co
t
a
iciones R indican qu
cío.
co ta
S, pero el
número es una cot a superior de S. (E l recíproco tam bi
é
t
un co
njunto aco tad o
. Demostra r que sup (A B) s up {su pA , s up
c J ] f ' Sea un
co
njunto
acotado de sea un subconjunto ,n o vacío de S. D e -
mostrar qu e in f inf
s up S0
rar que
12   D emostrar q
ue
un
co
njun
to
fi
.
cicio ant eri or .)
demo
t
rar que si O , entonces ex
iste un número b O único ta l que b 2 = A
b
r para demostrar que con esta elección de se tiene
(x - l
superior de lo
l con tradice el hecho de que = sup Por lo
tanto   no se
puede tener 2 .
e
r
x
p
1 l t i nde
2)
pued
e
1
x2 -
m2
1 1 1 i 1 1 1 s pa so s se pueden invertir para demostrar que para esta elecci ón de 11 se tiene
1 1 /
1 lo cual contradice el hecho de qu e es una cota superior de S . Por lo
J 1 11 1 1ti, 110 es pos ible q
ue <
s
h
ora que 2 > Se demostrará qu e en ta l . caso es posible encon-
1 1 1 1
q
or de l
o cual c
é
r
lt
· m ·
2
>O ,
tener EN tal que
' I ( lN
Jl ll 1 A 1 •1 ( 1 > 1 '
(
S
{s ER   O ~ s, s2 < 2 } . Puesto que 1 ES, el conjun
to
s no vací
o. si mo, está ac do por arriba por 2, ya que si 2, e
ntonc
es
>
4 por lo que Por lo tanto, la propiedad del supremo indica que el conjun-
t
su p Obsérvese que
ba
rá que 2 descartando las otras dos posibilidades : 2 y 2.
Se su pone primero que < 2. Se demostrará que esta h
ipótes
i
ontrando una EN tal que ES
  lo cual
signi
fica que no es una cota superior de Para ver có
mo se eli
2
·
a coa
p
u
u ER.
Puesto que -  < se deduce del lema 2.4.4 que existe N tal que 1 <
Pero
en
La propiedad de Arqu í
medes se puede enunciar e le va
rias maneras . Se presen-
.
p
or
tant
o, <
b) hacer z en el inciso a) se obtiene < lo cu al im plica que
e) La propiedad de Arquímedes asegura que el subcon
j
 
no
La existencia
d
e
La im portancia de la propiedad del supremo radica en el hecho de que garan-
tiza la existencia de
hará uso de ella en esta
fo
so demo
strando
la exis tencia de un número real positivo ta l que = 2   es decir,
de la raíz cuadra-
un
número racional; por tanto, se deducirá la existenc ia de al me
n
h
ac
  Y-> R estén d
ades
pued
en ser
igua ldade s, o bien, de sigualdad es e~ tr i cta
s  
define hiX
» . Y-> R
f {h
E Y} . Hacer la comparación con e
l
resulta
l
inci
n
a
:={a
sup sup qu e inf B) =
in fA
i
nf
Sea un co njun to no v acío y sea que f g es tén definidas en tengan
codom
D emostrar que se t
iene as im
, 1
St' t 1 1 11 conj unt o no v acío  Demostrar que s
i un número deR tiene las
t oda
un
s
rcicio 2.48
a) Sea sea as= s ES} . Demost rar q ue
i
in f S , sup (aS) =a sup S .
S ea b <O y sea bS := {bs : s ES} . Demostra
r que
bS ) = b sup S, sup (bS) = b inf S.
5 ./ea X un con junto no vacío y sea que f: X-> R t
enga un codom nio a
cotado
in d i c
A l'l.l(
lNHli 1
) 1 1 . 1 ,A l 'lfül'llO)/\l) lll' J .,t. ; lll'
R 1 1
medes o e l corolario 2.53 b)
para demostrar que
De
mostración. Aplicando el teorema de densidad 2.5.5 a los n úmeros
x/
terrelación de
irracionales, se t iene la misma propiedad de densidad pa
ra el conjunto de los núme-
ros irracionales.
D em
ostraci ó
.
ario 2.5 . e) a O , se
ob
tien
D
Se sabe
n número a saber . . / 2 En rea i-
dad hay "más" números irracionales que números racionales en el sentido de que
e  
conjunto de s números les es le, en tanto que l c to los
números irraciona
ui
"denso" en en el
sentido de que es posible hallar u n número raciona
l (de hecho ,
números
reales
posibleformular un razonamien to un tan to más complicado el
teo
e una raíz n-
para cada
c
onsid
e
)
.
rv alos de las formas (1), .. . , (5) son in
terva
los
aco
t
a
e notación;
os cerrados í
stos casos a
punto termina de es tos in te rv
a
eto como un interv alo infinito En este
cas
.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
q
es
pondi
elemen-
finido s
os puntos te r-
1 1 i l 1 1 1 il cs y
b
ene una longitud definid a
p 1 1 1 ¡
, a . O bsérv e
inter
1 1 1 1 /1
s e les l l
ama puntos termi
erva
1 H 1
c
s terminal
es se incor-
¡ i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l
l
o ab
b}.
1)
L~ re lación ~e or den en determina la co l
ec ción
ntos
c?
terminología de estos conjuntos espe-
c1~les son las siguientes. S 1 b E
R b, entonc
minado por a
,
1 4 . M
odificar e l razonam ien to del teore ma
2 .5.4 para demostrar qu e ex iste un
I núm~ r? real positiv o tal que 3 .
1 . Modif r e ~ ra on am ien to de l t
eorema 2.5.4 para demost
rar que, s i >
/ ent01:~ es existe un número rea l positivo z ta
l que
6 . Modifica r e
l razonamiento de l teorema 2.5.4 para demostrar que existe un
nú mero re al positivo tal
qu e 2.
teorema de
pó
rac
denso
e
x
)   x
e expr esa con símbolos por
Obsérv~se que con ~
l
a
n u na desigua lda
d es tricta .
se
F: X->
R G :
e
x   E Y}, G (y) sup {h(x   y) : x EX}.
Es tab l
s
iterados :
sup {g(y): E Y} ~ inf EX}.
s up
( 1 , \' ~ .
1
+Repr
esent
ve digresión para explicar (de manera informa l) las nociones
de represent ación binaria y decima
l de números reales desde la
perspectiva de los
os reales se pueden obtener
en tonces sum
ando un e
Demostración. Si r¡
i
nf {b EN}, en ton ces se pu ede u sar un razona-
mi
y ,
por
consiguien te   qu e ~ , , ; ; ; T ] . De hec ho , se deja como
ejer cicio (ver el ejercicio 2.6.8)
demostrar qu e E / 1 para
toda
ti
E
, , ; ; ; r¡- ~ : ; ; ;
para toda O , del teorema 2.2.9 se dedu ce
q ue
a
nto ,
11
ue
p
va
cío
¡ E
N} está acotado po r arriba y se hace que~ sea su supremo.
E
sup or del conju
i k, en tonces, como / 1 ; ; : ¿ se tiene
Si n   entonc es, como Ik :) I , se tiene a k
:S. a , , ; ; ; (Ver la
l'i g
ura 2 .6.2) Por tanto  se concluye qu e a k , , ; ; ; b
para toda k , por lo q ue b es una
cola superio
p
ara cada EN.
Puesto qu e a ,, , , ; ; ;~ , , ; ; ; b para toda n, se tiene; para tod
a n E
.'
u n a prop
to d
an ida-
d 1 1 d e · i 11 ll' 1 v a l os tie ne un punto común   La com
pletidad de
cl 1 '~ :\
le
7
I
l( ltVA U S Y lll\C '   M A 1 . 1 .
S
e
ª "
Es rtant~ ent n d r que, en general, u n
a
entonces es
t · , d ·
n e in te
ada,
p
:~
l
q de tal modo que De manera similar, la sucesión de in ter-
va os oo ) N id d
es
a
aru
munes (Ver el · ·
2 6 .7.) ·
Intervalos
an
i
d
ados
Se . dice que u na sucesión de in terva los / EN, está anidada (ver la figura
2. 6. 1 ) si se cump
le la sigu iente cadena de inclusio
nes
erva lo cerra do [
on
f~ e cu e .ncia se deno.tar~ por la notación común J   (En algu nos libros
s
cribe y se ll amará a es
ta
ex
p
re
presentació
n decimal de Si 1 si EN es tal que 1 ,
e
como
an
ar
d
part
ir
del
deci
m
)
donde b, E { O , l, . . . , 9} . El su bin ter v alo elegido se s
u bdiv ide en diez su binte
rv a
núa
sface
l
la
e
l
1 . 1 so de las represen taciones decimales cada intervalo se subdivide en
• : 1 1 h i nter v alos iguales en lu gar de en
d
os.
... '9}
. S i es uno de es tos pun tos de s
u bdivi
cuu lqu ier a de los
d
os
cas
o
d
a
e
s
. En ellas, los núm eros se reg i s tran en "bi
ts", y ca da bit se
p 1 1 1
ta
do
s ;
será
c
on ductor de corri e te o no lo s er
á
e
,¡,, prn u n
sión e unos y ce ros s e pu e
d
n un
se pu ede u s ar un número
1 1 1 1 1 < 1 de bits
para repres ent
bin aria se debe tru nca r. Si
•1 1 · 1 1 s ; 1 1 1 1 1
dígito s
la preci sión ser
e
ión de cuatro cifr
o
s
(o 1 5 bits).
/i1 · 1 1 ¡ 1 11 w1 1 1 1 11 ·1 1 t1 • , toda s1 1 1 ·1
'si6
e
at
lo
e lon g i tud 1 /2" para cada Se
pu ede c
omprobar con f
1 1
1 1 1 1 · 1 1 1 1 1 2.fl.2, ex iste un n úm ero real único que satisface (* ) para toda EN  
Pero
tiene la
se cc
= co n i
mpar  
En es te caso , se pu ede escoger e l su binterval o izquierdo o el
derecho , d
emb
a
rgo , u n a vez que se elige es te
in terva
bise cción   Por e jem pl
o, si se eligi
enton ces es el
los subsecuentes en
consecuencia , a k 1 para toda n +l. Por otra par te, s : se elige a 1 ,
entonces
se debe tener qu e a k O para toda n
(Por ejempl o si x =
~
S
repre-
s
ica ex cepto cuando es de la forma
=
X= (.ala2 , .. ª1 -100 ".)z = (.ala2 "' ') 2 ,
u n a qu e termin a en cer os la ot ra qu e termin
a en u n os .
a 1
E
l
pro
cedimien
n el n -ésimo paso
el
l
l
sub
in
ter
v alo de re
cho   De este mo o se obtiene una suces ión al' a a de
cer
o
s
ya intersec-
1 2
1 2
Ahora se
ndo término se toma a2 =O
six pertenece al subintervalo i
zq u ierdo y se tom a
s
i
derecho
es
t
esent
ac
1 1 d
:
ien
to de bisección es p os i b l e
a s
oc ar una
sucesión de ceros y u n os de la s iguien te manera
  Si * ~ pertenece al
subinterv a lo
u
ces
i
ón
1 ;
bi
e
qu ier
o
sección es establecer el contraste entr
e el conjun-
to de los números racionales y el de lo s
números
es "contablement e infinito" en tanto que e l seg
undo no lo es . Como consecuencia,
el con
junto
d
e lo s números irracionales es incontable y , por tanto  hay mu
ch~
s
que racionales . Georg Cantor (1845-19 1 8 ) fue el pri-
m ero en publicar estos resultados en 1 874, los cu a l
es llevaron a una extensa teoría
de los con
ec en a [O, 1, ... ,9], en tonces n = m
k para
perió dicos . . . , .
...
. i t í i
1 . S i¡= [a,
b ] e/':= [a '   b '] son intervalos cerrados en R   demostrar que l I'
s i y só lo si y
2 . S
n to no vacío, de most
ra r que esta ac o ado si y solo si
ex
i ste algún in te rv al o ac otado cerrado tal qu e
3 . S i S i ; ; ; ; Res un conjunto no vacío acotado e I es el in tervalo Is:=
[inf S, sup S],
demo stra r que
o
s t ; ; ; ; J  
d
e
[
00
5 . Sea I : = [O, l/n] paran EN. D emostrar que si o , entonce
s
ce
1
6
e
8 . U sa
ndo la notación de las demostraciones de los te oremas 2.6.1 y2.6.2   probar
que se tiene r¡ (v
l
¡ 1 1 1 1 1 1 1 1
repit
e
·
11 1 11
l pl ln   1 O x por 1 02 para mov er uno de lo s bloques
. a la izquierda de
1
, L 'H dec
r J O O O x = 73 1 4 .1 41 4 ···.Ent
onces haciendo una su st
racción se
l i mo
11 1 1
entero   O O O x - lOx = 7314 - 73 7241. Por tanto, x = 7241 /990, que
1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1
cro ra
c o
na l.
75
intervalos an dados con ongitudes 1/10" por m edi o y ,
-
(* * ) , es evidente que =
La representac ión decimal de [ O , 1 ] es única excepto cuando es un pun to
de subdivisión en alguno de lo
s
pas
to s puntos,
de
tal modo quex para alguna EN, 1 ~m~10". (Se puede suponer que
no es div isible en tre 10 .) Entonces aparece como un punto de
s
ubdi visión en el
11-ésimo paso y son posibles dos valores para e n-ésimo dígito . Una elección de b
corresponde a escoger el s
ubin tervalo izqu ierdo para el paso siguiente. Puesto que
es el punto terminal derecho de este subintervalo   se deduce que todos los dígitos
subs
; es decir, bk = 9 para toda Por tanto, una
representación decimal de tiene la forma . b ; b2 • •
· b,,99 · · ·
. La otra elección
de la n-és ima cifra decimal es b 1 , que corres
ponde a escoger el sub intervalo dere- ,
cho en el n-ésimo paso. Puesto que es el punto termin al izquierdo del n-ésimo
su bin te rvalo , todos los v alores subsecuentes serán O ; es decir, bk =O para toda
+l. Por tanto, la otra representación decimal de tiene la formax .b 1 b2
• · · (b,,
similar, si 38/100, en tonces 0 .3799 · · · = = 0.3800 · · ·
.)
Esta breve mirada a las representac ones decimales de lo s números reales
s
e
ipo
tantes de repre sentaciones deci-
males que oc urren para los números racionales y los irracionales. Para ello se ne-
cesita la idea de decimal pe
riódico.
S
iódico (o repetid
o) si existen
los números naturales
bloque de dígitos ak ak
1
· • • ak
1
díg
ito . Al menor número con esta propiedad se le llama el pe ríodo del decimal.
Por ejemplo   19/88 = 0 .2159090 · · · 90 · · · tiene periodo
=
repe
tido empezando en el dígito k : ; : : 4. Un decimal cerrado es un decimal repetido
en el que el bloque que se repite es simplemen te el dígito O .
La relación entre la racionalidad o la ir
racionalidad de un número real y la
naturale za de su
s repres entaciones deci
stra
nun
in dicarán las ideas
en que se basa dicha demostración   Supóngase que se tiene un
número racion al donde y son números natura le s s
in facto res primos . Basta
considerar el caso donde O (por qué) . Se puede demostrar que el proceso
familiar de la di visión larga de a produce la representación decimal de
Cada paso en el a
lg
s
O y l. Por lo ta nto, desp
ués de a lo sumo pasos
,
dígitos del
ciclos. Por
tanto, l
a representación
on
e la demostración se ilustra con facilidad mediante un ejemplo.
Supóngase que = 7 .3 1
4
1
(¿Por qué?) La demos-
tración se hace por in ducción sobre el número de eleme
ntos del conjunt
o S . Si S
tie ne un elemento, entonces es evidente que el único sub
conjun
de
de
be coincidir con y, por tan to, es un conjun to finit
o .
elaciona con los co
n it
lguna E
/JI '
l
ario.
Se obtiene as í un resultado que parece ser "obvio" . (¿Pu ede el lector d
ar una
b)
EN,
/\l a afirmación del teorema 27 .3 b) en ocasiones se l e
llama el "principio del
¡ 1 1
i l 1 1 mar". Se puede in terpretar dic iendo que si palomas se co locan en ri casillas
11 1
1 ":
on fr
: ; 1 1 ¡
1 1 1 1 1
(
1 1~ 1 1 1 1 1 1 lny1 1
1 · 1 · l 11
es
11 ¡ 1 1 1 l 1 1 y (· ~ · \'i (11 1 . DG e
l
1 1
/¡( N ) cx l en Si más de un elemento de se mapea en el
1 1 1 1 11 11
• 1 n natu ra l
1 , entonces sin lugar a du
da
1 1 11 '
ah
ora
uc
ción se dedu ce que h no es inyectiv a, de
don
de
i
Es fácil ver que inyectiva.
b) La demostración se hace por inducción . Primero, sean : : : ; Si ges cual -
quier mapeo (m
> 1) en N
, entonces es evide
nte que g(l) = = · · ·
tiva .
273 Teorema.
a) EN
b) EN
El resu ltado siguiente es natural, pero se incluye su demostración  
2.72 Teorema.
de
deja para el
elementos si
existe una biyección del segmen to inicial 1, 2 , . . . , n} de sobre el conjun-
to Se dice que un co
njunto Ses ñn
to si es vacío, o bien, tie nen elementos para
a lgun
a Se dice que un conju nto S es ñ si no es finito.
Conta r los elementos de un conjunto diciendo "uno  dos, tres , . . . "es, desde el
pun to de vista matemático , una forma de definir un mapeo de un conjunto de nú-
meros n
aturales sob
adela
nte se
verá que hay conjuntos importan tes que no se pueden contar. Antes es neces
ario
ero no se p
z 11 r
allá de lo necesario para analizar los res ultados particu
lares referentes a
apreci
ar las dstinc ones entre os d ferentes tipos de c njun to
s
estudi
a
r
prime
ro
l
contables e in
cación
ini
cia
e
z
un
enunci
a
das.
Por tan to, es necesario demostrar qu e cada una de las
condiciones dadas in dica que
es contable .
)
u
e
u
enton
c
ue
n -
1 · 1 1 1 , , · s posble suponer que Ses en umerable . S i Tes finito , en tonces se ha termina-
do ;
uponer que también es infini o
Ahora sea/u na biyec
se d
ce que Pes no v acío y se puede apli
car
l
ro
pie-
del buen orden de para obtener el e lemento mín imo 1 de Entonces se
l 1 1 1 n
  que P: sea el elemen
to mín mo del conjunto P
\{p1 }, que debe
ser no vacío  
?
S
alo
tenidos en
e_ S, se considera que f º g es una inyección de Para ver que f
0
-
a ET C . tiene la forma
=
EN, se t
N
con 1 ~ Por lo tan to, = f º con lo cu a l se demuestra ue f
0
e
sobr
e
sp
i ó es
cada que en e l caso de conjun tos fini
tos.
y
1 co11
'/'
e
mostrac
ector.
e) La unión de dos conjunto enumerables disjuntos también es enumerable .
La idea aplicab l
n tra en e l ejemplo ante
r ior, donde se
E= EN} de los
:= EN, e
s una
il
ar
naturales impares es enumerable .
b) El conjun to Z de todos los enteros es enumerable . Para hacer e l mapeo de
N
s
ea
r
ent
eros
posit
t
o de los números
naturales impares mayores o iguales que 3 sobre e l co
nj
pon
er
d
conjunt
j
ice que un conjunto es inconta
ble si no es
m
Conju
n
entonc
orema 2.7.6 se
deduce que un subconjun to de también es finito   lo cual contradice la hipó-
tesis.
u 1 1
0t < 1 1 1 k
tos es
ea ahora un c
onjunto que tenga I e l cm c r u os
(d o 1 1 1 1 modo que
exi u
o del conjunto S :=
ementos. Por tanto, por la hipótesis de in
d
embargo, si 1) ET, se o
b
c
njunto finit
o, de donde se puede ver con facilidad que T T1 U
1)} también es un conju n to finito   Se dejan los deta lles al lector.
lW/\ ,l(
 
Se def ine ahora un nuev o número real O . y
1 y 2 1
1
= 7
hac
e
1
L
a
función de N sobre el conjunto F de fracciones se de
fine según lo indican la s
líneas
diagonal
ará el hecho
represen tación dec
pres
y la
n de todos los
or
2
1 }
No obstante el hecho de que el conjunto de los números racionales es conta-
el conjunto completo de los números rea les no es contable . De hecho, el
1 · 01 1 junto I de los números reale
s que
le. La
. l
cmo str aci ó n es el excelente razonamiento "diagonal" de G   Cantor. En los ejercí-
rios se presenta un segundo razonamiento.
La in
numerabiíidad de
c
on
e
t
ración
11 1 T 1 . :dcnte se puede dar explícitamente por una fór
mul
1 ¡ 11 1. · es el
ma
o,
al está representado
p1 11 miembros diferentes de F (por ejemplo, 1=1/1 = 2/2 =·· · ).Para cada
1
enta con e
l menor denomina-
r ta
nto , e
subconjunt
1 1 •
11 1cma 2 .7.11  el conjunto Q + es contable. Q.E.D.
1
s racio
conjunto de los núm
Se muestra
el conjunto de todas las fracciones con EN de acu erdo
con la ordenación siguiente , donde el n-ésimo renglón consta de todas la s fraccio-
nes con denomin
o Q
La nume
e
e
que
e
u
a) S u
a
w -1 1 1 1 1 1 1 1 d
e
so
1 :
mínimo de l con junto no
v
a) que Ses un conjunto contable   Q.E.D .
1
 
 
1 , 1 • 1 1 , 1 1 1 · 11 1 1 11
1 1 1 1 1 1
h
odo s l os núm eros na t
ura-
l l':1c
i
y
ecc 6n ent re N y un subconjunto propio de sí mismo.
en
ces U T
p
lo
d
e
ecci
s 1 ;: a finita .
11 que i S es enumera le para cada n E
N, ent
Q .
apli ca nd
in terv al
~ 11 ' un
intervalo ce rrado ta l q ue x2 as i sucesiv amente  
Se apl i ca entonces el teorema de los intervalos an idados para llegar a un a
con
sa r
el hecho de que tod o con ju nt o in fini to tiene un sub conj
unt
e
un
a
biyecci&oa