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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
Curso 2013-2014
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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
1. Sea E un espacio normado. Si a, b son elementos de E, probar:
(a) ‖12(a+ b)‖2 ≤ 1
2‖a‖2 + 1
2‖b‖2.
(b) ‖a‖ ≤ max{‖a+ b‖, ‖a− b‖}.
2. Demostrar que en un espacio normado, la adherencia de B(a, r) es B′(a, r) y el interiorde B′(a, r) es B(a, r). ¿Es cierto el resultado anterior en un espacio metrico cualquiera?
3. Seann E un espacio normado y A ⊆ E numerable. Demostrar que la adherencia delsubespacio lineal generado por A es separable.
4. Sea E un espacio normado. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) E es separable.
(b) La bola abierta unidad B = B(0, 1) es separable.
(c) La esfera unidad S = {x ∈ E : ‖x‖ = 1} es separable.
5. Sean E un espacio normado y A ⊆ E no vacıo. Demostrar que los enunciados siguientesson equivalentes:
(a) A es un conjunto acotado.
(b) Para cada sucesion {xn}∞n=1 de elementos de A y cada sucesion {λn}∞n=1 de escalaresque converge hacia 0, la sucesion {λnxn}∞n=1 converge hacia el vector 0.
6. Sea E un espacio normado y r > 0. Probar que E y B(0, r) son homeomorfos.
7. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K, T una aplicacion lineal de E enF y B la bola cerrada unidad. Se supone que T (B) es un entorno del origen en F
(a) Probar que T es suprayectiva.
(b) Si {yn}∞n=1 es una sucesion acotada de elementos de F , demostrar que existe unasucesion acotada {xn}∞n=1 de elementos de E tal que T (xn) = yn para cada n ∈ N.
8. Se designa por E al espacio vectorial de las funciones definidas y continuas en R convalores en K y de soporte compacto. Para cada f ∈ E se define
‖f‖ = sup{|f(t)| : t ∈ R}.
Probar que ‖ ‖ es una norma sobre E y que el espacio normado (E, ‖ ‖) no es un espaciode Banach.
9. La aplicacion identidad i de (`1, ‖ ‖1) en (`
1, ‖ ‖∞), ¿es un homeomorfismo?
10. Sea E el espacio vectorial de las funciones f ∈ C([−1, 1],K) tales que f(x) = f(−x) paratodo x ∈ [−1, 1]. Demostrar que E provisto de la norma del superior es un espacio deBanach.
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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
11. Sean B un sistema fundamental de entornos del vector 0 en un espacio normado E y Aun subconjunto de E. Demostrar uw
A =⋂V ∈B
A+ V.
12. Sea E un espacio normado. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) E es un espacio de Banach.
(b) Toda serie de elementos de E que es absolutamente convergente, es convergente.
13. Sean (E1, ‖ ‖1), (E2, ‖ ‖2), . . . , (En, ‖ ‖n), n espacios normados sobre el mismo cuerpo K.En el espacio producto E = E1 × E2 × . . . En, se considera la noorma:
‖(x1, x2, . . . , xn)‖ = sup{‖xk‖k : k = 1, 2, . . . , n}.
Probar que el espacio normado (E, ‖ ‖) es Banach si, y solo si, (Ek, ‖ ‖k) es Banach paracada k = 1, 2, . . . , n.
14. Sean E un espacio normado y F un espacio de Banach, ambos sobre el mismo cuerpoK. Si {an}∞n=1 es una sucesion de Cauchy de elementos de E y {Tn}∞n=1 una sucesion deCauchy de elementos de L(E,F ), demostrar que la sucesion {Tn(an)}∞n=1 es convergenteen F .
15. Sean E un espacio normado, F un espacio de Banach, ambos sobre el mismo cuerpo K yS un subconjunto de E denso en E. Si {Tn}∞n=1 es una sucesion acotada de elementos deL(E,F ) tal que para cada elemento a ∈ S la sucesion {Tn(a)}∞n=1 es convergente en F ,entonces, para cada elemento x ∈ E, la sucesion {Tn(x)}∞n=1 converge en F .
16. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K y T :E → F lineal. Probar quelos enunciados siguientes son equivalentes:
(a) T es continua.
(b) T transforma sucesiones de Cauchy de E en sucesiones de Cauchy de F .
(c) T transforma sucesiones que convergen hacia 0 en E en sucesiones acotadas de F .
17. Sea {αn}∞n=1 una sucesion de elementos de K. Se considera el conjunto E de las sucesionesx = {xn}∞n=1 de elementos de K, tales que
∞∑n=1
|αnxn|2 <∞.
(a) Probar que E es un espacio subespacio vectorial del espacio de las sucesiones deelementos de K.
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(b) Si x = {xn}∞n=1 ∈ E, se define
‖x‖ =
( ∞∑n=1
|αnxn|2) 1
2
.
Demostrar que la aplicacion x → ‖x‖ es una norma si, y solo si, αn 6= 0, para cadan ∈ N.
En lo que sigue se supone que la aplicacion anterior es una norma.
(c) Probar que el espacio normado (E, ‖ ‖) es de Banach y separable.
(d) Si {αn}∞n=1 es una sucesion acotada y `2
= `2(K), probar:
(i) `2 ⊆ E.
(ii) La inyeccion canonica I: (`2, ‖ ‖2)→ (E, ‖ ‖) es inyectiva y continua. Determinar
su norma.
(iii) Dar un ejemplo de una sucesion {αn}∞n=1 acotada de elementos de K, de forma
que `2 6= E.
(iv) Demostrar que `2
es denso en E.
18. Sean E un espacio normado y A y B subconjuntos de E.
(a) Demostrar que A+B ⊆ A+B.
(b) Dar ejemplos donde no se verifica la contencion en sentido contrario.
(c) Demotrar que si A es compacto, A + B = A+B y decucir que si A es compacto yB cerrado, A+B es cerrado.
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Problemas
19. Sea `∞
= `∞
(K) el espacio vectorial ( sobre K ) de las sucesiones acotadas de elementosde K. Si x = {xn}∞n=1 es un elemento de `
∞se define:
||x||∞ = sup{|xn| : n ∈ N}
Se denotara por c = c(K) al subespacio de `∞
de las sucesiones convergentes de elementosde K, por c0 = c0(K) al subespacio de c de las sucesiones de elementos de K que convergenhacia 0 y por c00 = c00(K) al subespacio de c0 formado por las sucesiones nulas a partirde un termino.
(a) Demostrar que la aplicacion x→ ||x||∞ es una norma en `∞
.
(b) Demostrar que `∞
= (`∞, ‖ ‖∞) es un espacio de Banach.
(c) Estudiar la separabilidad de `∞, c, c0 y c00.
(d) Demostrar que c es cerrado en `∞
.
(e) Demostrar que c0 es cerrado en c.
(f) Demostrar que c00 no es completo.
(g) Demostrar que c00 es denso en c0.
20. Sea 1 ≤ p < ∞. Se define `p
= `p(K) el conjunto de las sucesiones x = {xn}∞n=1 de
elementos de K tales que:∞∑n=1
|xn|p <∞.
(a) Sean p, q > 1 tales que p−1 + q−1 = 1. Si x = {xn}∞n=1 ∈ `p
e y = {yn}∞n=1 ∈ `q,
∞∑k=1
|xkyk| ≤( ∞∑k=1
|xk|p) 1
p( ∞∑k=1
|yk|q) 1
q
.
La desigualdad anterior se conoce como desigualdad de Holder.
(b) Sea 1 ≤ p <∞. Si x = {xn}∞n=1 e y = {yn}∞n=1 ∈ `p, se verifica:( ∞∑
k=0
|xk + yk|p) 1
p
≤( ∞∑k=0
|xk|p) 1
p
+
( ∞∑k=0
|yk|p) 1
p
.
La desigualdad anterior se conoce como desigualdad de Minkowski.
(c) Demostrar que `p
es un espacio vectorial sobre K.
(d) Si x = {xn}∞n=1 ∈ `p, demostrar que la aplicacion x → ‖x‖p =
( ∞∑n=1|xn|p
) 1p
es una
norma sobre `p.
(e) Demostrar que `p
con esta norma es un espacio de Banach.
(f) Demostrar que c00 es denso en `p.
(g) Estudiar la separabilidad de `p.
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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
21. Sea E el espacio de las funciones de clase Cn en [a, b] con valores en K. Demostrar que laigualdad
‖f‖ = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞ + · · ·+ ‖fn)‖∞define una norma en E. Probar que el espacio normado (E, ‖ ‖) es un espacio de Banach.
22. Sea E el espacio de las funciones de clase Cn en [a, b] con valores en K. Demostrar que laigualdad
‖f‖∗ = |f(a)|+ |f ′(a)|+ · · ·+ |fn−1)(a) + ‖fn)‖∞define una norma en E. Probar que las normas ‖ ‖ dada en el problema anterior y ‖ ‖∗son equivalentes. Probar que el espacio normado (E, ‖ ‖∗) es un espacio de Banach.
23. Se designa por X el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientesen el cuerpo K. Si P ∈ X es el polinomio P (t) = a0 + a1t+ . . .+ ant
n, se definen:
‖P‖ = sup{|P (t)| : 0 ≤ t ≤ 1}.
y‖P‖1 = |a0|+ |a1|+ . . .+ |an|.
Probar que ‖ ‖ y ‖ ‖1 son normas sobre X. Demostrar que ‖P‖ ≤ ‖P‖1 para cada P ∈ X.Demostrar que no existe M > 0 tal que ‖P‖1 ≤M‖P‖, para cada P ∈ X.
24. Para cada α ≥ 0 se define el conjunto Cα de las funciones f : [0,∞) → R continuas talesque sup{eαt|f(t)| : t ∈ [0,∞)} <∞.
(a) Probar que Cα es un espacio vectorial para las operaciones de suma y producto porun escalar habituales y que la igualdad
‖f‖α = sup{eαt|f(t)| : t ∈ [0,∞)}
define una norma en Cα.
(b) ¿Es Banach el espacio (Cα, ‖ ‖α)?
(c) Si f ∈ Cα y g ∈ Cβ, probar que g · f ∈ Cα+β.Sea g ∈ Cβ. Se define Tg: (Cα, ‖ ‖α) → (Cα+β, ‖ ‖α+β) por Tg(f) = g · f . Demostrarque Tg es un operador lineal y continuo entre los espacios indicados y calcular sunorma.
(d) Si β > α y f ∈ Cα se define Tβ(f): [0,∞)→ R por
Tβ(f)(x) =∫ x
0e−β(x−t)f(t) dt.
Demostrar que Tβ(f) ∈ Cα. Probar que la aplicacion f → Tβ(f) de (Cα, ‖ ‖α) en(Cα, ‖ ‖α) es lineal y continua. Determinar su norma.
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25. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K, T una aplicacion lineal de E enF y A un subconjunto de E.
(a) Si E es de dimension finita y A acotado, probar que T (A) es un conjunto relativa-mente compacto de F .
(b) Si E es Banach, A cerrado, T continua y ‖T (x)‖ ≥ ‖x‖ para cada x ∈ E, entoncesT (A) es cerrado en F .
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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
26. Sea E un espacio normado y p:E → R verificando:
(a) p(x) ≥ 0, para cada x ∈ E.
(b) p(λx) = |λ|p(x), para cada x ∈ E y para cada λ ∈ K.
(c) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), para cada par de elementos x, y ∈ E.
Demostrar:
(I) p es continua si, y solo si, p es continua en 0.
(II) Si E es de dimension finita, p es continua.
27. Sea E un espacio normado. Se supone que existe una sucesion {bn}∞n=1 de elementos deE y α > 0 tales que
‖bn − bm‖ = α, n,m ∈ N, n 6= m.
(a) Probar que el conjunto {bn : n ∈ N} es un cerrado de E.
(b) ¿Puede ser de dimension finita el espacio E?
28. Sea E un espacio normado. Demostrar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) La dimension de E es finita.
(b) Para cada x ∈ E y para cada r > 0, la bola cerrada B′(x, r) es un compacto.
(c) Todo punto de E, admite un sistema fundamental de entornos compactos.
(d) Todo acotado de E es relativamente compacto.
(e) Existen a ∈ E y δ > 0 tales que B′(a, δ) es compacto.
(f) La esfera unidad S = {x ∈ E : ‖x‖ = 1} es compacto.
29. Se designa por P2 al espacio vectorial de los polinomios en una variable, con coeficientesreales de grado menor o igual que 2. Sea
A = {P ∈ P2 : |P (0)| ≤ 1, |P ′(0)| ≤ 1, |P ′′(0)| ≤ 1}.
Demostrar que A es un compacto del espacio C([0, 1],R) provisto de la norma del superior.
30. Sean x0, x1, . . . , xm numeros reales distintos y sea {Pn}∞n=1 una sucesion de polinomios degrado no superior a m, tal que para cada j = 0, 1, . . . ,m, la sucesion
{Pn(xj)}∞n=1
converge. Demostrar que {Pn}∞n=1 converge uniformemente en [0, 1].
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31. Sean m ∈ N, {Pn}∞n=1 una sucesion de polinomios con coeficientes reales de grado menoro igual que m y f : [0, 1]→ R integrable y tal que
limn→∞
∫ 1
0|Pn(t)− f(t)| dt = 0.
Probar que existe un polinomio P tal que f(t) = P (t) casi siempre en [0,1].
32. Se designa por E el espaacio vectorial de los polinomios en una variable, con coeficientesen K y de grado menor o igual que dos, normado por
‖P‖ = sup{|P (t)| : 0 ≤ t ≤ 1}.
Sea T :E → R dada por :T (P ) = P ′(0).
Probar que T es lineal y continua. Si P es el polinomio
P (x) = 8x2 − 8x+ 1,
determinar ‖P‖ y |P ′(0)|. Calcular ‖T‖.
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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
33. Sean X un espacio topologico y A un subconjunto no vacıo de C(X,K) y equicontinuo encada punto de X. Para cada x ∈ X, se considera el conjunto Ax = {f(x) : f ∈ A}. SeaL = {x ∈ X : Ax es un acotado de K}.
(a) Demostrar que L es un conjunto abierto y cerrado en X.
(b) Si X es conexo y compacto y L es no vacıo, probar que A es un conjunto relativa-mente compacto en (C(X,K), ‖ ‖∞).
34. Sea A un subconjunto no vacıo de C1([0, 1],K). Se supone:
(a) El conjunto {f ′ : f ∈ A} es un acotado del espacio normado (C([0, 1],K), ‖ ‖∞).
(b) Existe a ∈ [0, 1] tal que el conjunto {f(a) : f ∈ A} es un acotado de K.
Demostrar que A es un conjunto relativamente compacto en (C([0, 1],K), ‖ ‖∞).
35. Sea f : [0, 1] → R continua, tal que 0 ≤ f(x) ≤ 1 para cada x ∈ [0, 1]. Se considera laaplicacion T : C([0, 1],K)→ C([0, 1],K) dada por: T (g) = g ◦ f.
(a) Demostrar que T es lineal y continua cuando en C([0, 1],K) se considera la normadel superior. Calcular ‖T‖.
(b) Sea H un conjunto compacto del espacio (C([0, 1],K), ‖ ‖∞). Probar que el conjuntoL = {g ◦ f : g ∈ H} es tambien un compacto del citado espacio.
36. (a) Sea n ∈ N. Demostrar que para cada k ∈ Z con 0 ≤ k ≤ n, existe α > 0, quedepende de n y k, tal que para cada polinomio P con coeficientes reales y gradomenor o igual que n, se verifica:
sup{|P k)(x)| : 0 ≤ x ≤ 1} ≤ α sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1}.
(b) Se designa por E el espacio vectorial de las funciones reales, definidas y continuasen [0, 1], provisto de la norma del superior. Sea M un subespacio vectorial de E queverifica:
(i) M es cerrado en E.
(ii) Si f ∈M entonces f es de clase C1 en [0, 1].
(iii) Existe L > 0, tal que para cada f ∈M se tiene
sup{|f ′(x)| : 0 ≤ x ≤ 1} ≤ L sup{|f(x)| : 0 ≤ x ≤ 1}.
Probar que M es de dimension finita.
(c) Para cada n ∈ N, dar un ejemplo de un subespacio vectorial de E de dimension n,verificando condiciones (i), (ii) y (iii). del apartado anterior.
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37. Sea E el espacio de las funciones reales definidas y de clase C1 en [0, 1]. Se dota a E dela norma
‖f‖ = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞.
Sea A ⊆ E.
(a) Si existe M > 0 tal que ‖f‖ ≤M para cada f ∈ A, entonces A es equicontinuo.
(b) Probar que A es relativamente compacto en (E, ‖ ‖) si, y solo si, A es acotado en(E, ‖ ‖) y el conjunto {f ′ : f ∈ A} es equicontinuo.
38. Sean [a, b] un intervalo compacto de la recta y K una aplicacion continua de [a, b]× [a, b]en C. Para cada f ∈ C([a, b],C) se define la funcion f ∗ en [a, b] por:
f ∗(x) =∫ b
aK(x, t)f(t) dt.
(a) Si f ∈ C([a, b],C, probar que f ∗ es continua en [a, b].
(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ C([a, b],C), ‖f‖∞ ≤ 1}, es relativamente compactoen C([a, b],C) provisto de la norma del superior.
(c) Se define la aplicacion T : C([a, b],C) → C([a, b],C), por T (f) = f ∗. Demostrar queT es lineal y continua. En C([a, b],C) se considera la norma del supeior.
39. Para cada f ∈ L2([−π, π],C) se define la funcion f ∗: [−π, π]→ C por:
f ∗(x) =∫ π
−πcos (x− t)f(t) dt.
(a) Si f ∈ L2([−π, π],C), probar que f ∗ es continua en [−π, π].
(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L2([−π, π],C), ‖f‖2 ≤ 1}, es relativamente
compacto en C([−π, π],C) provisto de la norma del supremo.
(c) Se define la aplicacion T :L2([−π, π],C) → L
2([−π, π],C), por T (f) = f ∗. Probar
que T es lineal y continua.
40. Sean [a, b] un intervalo compacto de la recta y K una aplicacion continua de [a, b]× [a, b]
en C. Para cada f ∈ L2([a, b],C) se define la funcion f ∗ en [a, b] por:
f ∗(x) =∫ b
aK(x, t)f(t) dt.
(a) Si f ∈ L2([a, b],C), probar que f ∗ es continua en [a, b].
(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L2([a, b],C), ‖f‖2 ≤ 1}, es relativamente compacto
en C([a, b],C) provisto de la norma del superior.
(c) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L2([a, b],C), ‖f‖2 ≤ 1}, es relativamente compacto
en L2([a, b],C).
(d) Se define la aplicacion T :L2([a, b],C)→ L
2([a, b],C), por T (f) = f ∗. Demostrar que
T es lineal y continua.
41. Sea F una funcion continua de R2 en R. Para cada f ∈ C([0, 1],R), se considera la funcionf ∗ definida en [0,1], por
f ∗(x) =∫ x
0F (t, f(t)) dt.
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Demostrar que f ∗ es continua en [0,1]. Se considera el conjunto
A = {f ∗ : f ∈ C([0, 1],R), ‖f‖∞ ≤ 1}.
Probar que A es un conjunto relativamente compacto en C([0, 1],R) provisto de la normadel superior.
42. Sea I un intervalo compacto de R. Demostrar que el espacio C(I,K) es separable.
43. Se considera el conjunto
A = {f ∈ C([0, 1],C) : |f(x)| = 1, para cada x ∈ [0, 1]}.
Probar que el subespacio generado por A, es denso en el espacio (C([0, 1],C), ‖ ‖∞). ¿Siguesiendo valido el resultado si se sustituye C por R?
44. Para cada n = 0, 1, 2, . . . se define la funcion fn: [0, 1]→ R por
fn(t) = e−nt.
(a) Probar que el subespacio lineal generado por el conjunto
{fn : n = 0, 1, 2, . . .}
es denso en el espacio de Banach (C([0, 1],R), ‖ ‖∞).
(b) Demostrar que si h ∈ C([0, 1],R), existe una unica aplicacion lineal continua T deC([0, 1],R) en R, tal que
T (fn) =∫ 1
0e−nth(t) dt
para cada n ≥ 0. Si T (fn) = 0, para cada n ≥ 0, entonces h = 0.
45. Sea X un espacio topologico compacto. Se supone que existe una aplicacion f :X → Rcontinua e inyectiva. Para cada n = 0, 1, 2, . . . se define
gn(x) = enf(x), x ∈ X.
Determinar la adherencia en C(X,R) (dotado de la norma del supremo) del subespaciovectorial generado por {gn : n = 0, 1, 2, . . .}.Sean E un espacio normado real y T : C(X,R)→ E una aplicacion lineal continua tal queT (gn) = 0 para n ≥ 0. ¿Que puede decirse de T?
46. Se designa por P el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientesen R, normado por
‖P‖ = sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1}, P ∈ P .
Si a, b son numeros reales con a < b, se considera la aplicacion Tab de P en R, definidapor
Tab(P ) =∫ b
aP (x) dx.
Si a /∈ [0, 1] o b /∈ [0, 1], probar que la aplicacion Tab no es continua.
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47. Se designa por P el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientesen R, normado por
‖P‖ = sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1}, P ∈ P .
Si a ∈ R, se considera la aplicacion Ta de P en R, definida por
Ta(P ) = P (a).
(a) Si a ∈ [0, 1], probar que Ta es continua. Calcular ‖Ta‖.(b) Si a /∈ [0, 1], probar que Ta no es continua.
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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
48. Sea en = {δnm}∞m=1. Demostrar que si x = {xn}∞n=1 es un elemento de c0 o de `p, con
1 ≤ p <∞, entonces
x =∞∑n=1
xnen
en estos espacios.
49. Sea x = {xn}∞n=1 ∈ `1
y sea ux: c0 → K dada por:
ux(y) =∞∑n=1
xnyn
donde y = {yn}∞n=1.
(a) Demostrar que ux ∈ (c0)′.
(b) Se considera la aplicacion Φ: `1 → (c0)
′ dada por Φ(x) = ux. Demostrar que Φ es unisomorfismo tal que ‖Φ(x)‖ = ‖x‖1.
(Se suelen identificar los espacios normados (c0)′ y `
1y decir que el dual de c0 es `
1).
50. Sea x = {xn}∞n=1 ∈ `∞
y sea ux: `1 → K dada por:
ux(y) =∞∑n=1
xnyn
donde y = {yn}∞n=1.
(a) Demostrar que ux ∈ (`1)′.
(b) Se considera la aplicacion Φ: `∞ → (`
1)′ dada por Φ(x) = ux. Demostrar que Φ es
un isomorfismo tal que ‖Φ(x)‖ = ‖x‖∞.
(Se suelen identificar los espacios normados (`1)′ y `
∞y decir que el dual de `
1es `
∞.
51. Sea 1 < p < ∞ y sea q el conjugado de p. Sea x = {xn}∞n=1 ∈ `q
y sea ux: `p → K dada
por:
ux(y) =∞∑n=1
xnyn
donde y = {yn}∞n=1.
(a) Demostrar que ux ∈ (`p)′.
(b) Se considera la aplicacion Φ: `q → (`
p)′ dada por Φ(x) = ux. Demostrar que Φ es un
isomorfismo tal que ‖Φ(x)‖ = ‖x‖q.
(Se suelen identificar los espacios normados (`p)′ y `
qy decir que el dual de `
pes `
q).
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52. Sean M es un subespacio vectorial cerrado de un espacio normado E y a un elemento deE tal que a /∈M . Demostrar que el subespacio M ⊕ 〈a〉 es cerrado en E.
53. Demostrar que todo subespacio cerrado de un espacio normado E se puede escribir comouna interseccion de hiperplanos cerrados.
54. Sean e1, e2, . . . , en, n vectores linealmente independientes de espacio normado E. Probarque existen n elementos Φ1,Φ2, . . . ,Φn de E ′ tales que
Φi(ej) = δij i, j = 1, 2, . . . , n.
Si
L =n⋂j=1
ker Φj,
demostrar que E = L ⊕ 〈e1, e2, . . . , en〉. Deducir que dado un subespacio lineal de di-mension finita M de E, existe un subespacio cerrado Z de E tal que E = Z ⊕M .
55. Sea E un espacio normado de dimension infinita y separable. Demostrar que existe unasucesion {Φn}∞n=1 de elementos de E ′, con ‖Φn‖ = 1 para cada n ∈ N, y tal que para cadax ∈ E, la sucesion de escalares {Φn(x)}∞n=1 converge hacia 0.
56. Sean E un espacio normado, F un subespacio vectorial de E y T :F → `∞
lineal ycontinua. Demostrar que existe S:E → `
∞lineal y continua tal que:
(a) T (x) = S(x), x ∈ F .
(b) ‖T‖ = ‖S‖.
57. Sea E un espacio normado de dimension infinita numerable. Demostrar que E es unconjunto de primera categorıa (en E).
58. Demostrar que la bola cerrada unidad B′(0, 1) de (`2, ‖ ‖2) es un conjunto raro en el
espacio (c0, ‖ ‖∞).
59. Demostrar que L2([0, 1],K) es un conjunto de primera categorıa en L
1([0, 1],K).
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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
60. Sean 1 < p, q <∞ numeros reales conjugados. Sea y = {yn}∞n=1 una sucesion de elementos
de K tal que∞∑n=1
xnyn converge para cada x = {xn}∞n=1 ∈ `p. Demostrar que y ∈ `q.
61. Sea E un espacio normado. Demostrar que si el espacio dual E ′ es separable, entonces Ees separable.
62. (a) Si 1 < p <∞, el espacio `p
es reflexivo.
(b) Demostrar que `1
no es reflexivo.
(c) Demostrar que c0 con la norma del superior no es reflexivo.
63. Sean {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de un espacio normado E y x un elemento deE. Se dice que {xn}∞n=1 converge debilmente hacia x, si para cada elemento Φ ∈ E ′, lasucesion {Φ(xn)}∞n=1 converge hacia Φ(x). Sea M un subespacio vectorial de E ′ denso enE ′. Probar que las proposiciones siguientes son equivalentes:
(a) La sucesion {xn}∞n=1 converge debilmente hacia x.
(b) La sucesion {xn}∞n=1 es acotada y para cada Φ ∈M , la sucesion {Φ(xn)}∞n=1 convergehacia Φ(x).
64. Sea E un espacio normado y A un subconjunto denso de la abola cerrada unidad de E ′.Probar que para cada x ∈ E, se verifica
‖x‖ = sup{|Φ(x)| : Φ ∈ A}
65. Una funcion f : [0, 1]→ C se dice que es lipschitziana si existe k > 0 tal que
|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|
para cada par de puntos x, y ∈ [0, 1].Sea M un subespacio vectorial cerrado de (C([0, 1],C), ‖ ‖∞) formado por funciones lips-chitzianas. Si t, s ∈ [0, 1], t 6= s, se considera la aplicacion Tts:M → C dada por:
Tts(f) =f(t)− f(s)
t− s.
(a) Demostrar que Tts es lineal y continua.
(b) Demostrar que existe C > 0 tal que, ‖Tts‖ ≤ C para todos t, s ∈ [0, 1], t 6= s.
(c) Demostrar que M es de dimension finita.
66. Sea E el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en K dotado de la norma
‖P‖ = Max{|a0|, |a1|, . . . , |an|}
donde P (t) = a0 + a1t+ . . . antn.
Construir una sucesion {Tn}∞n=1 de elementos de E ′ puntualmente acotada pero no aco-tada.
15
67. Sean E y F espacios de Banach sobre el mismo cuerpo. Sea T :E → F lineal tal queΦ ◦ T ∈ E ′ para cada Φ ∈ F ′. Probar que T es continua.
68. Sea E un espacio normado y sea {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de E. Se supone quepara cada ϕ ∈ E ′, la serie
∞∑n=1
ϕ(xn)
es absolutamente convergente. Demostrar que el conjunto
{∑i∈F
xi : F ⊆ N, F finito y no vacıo }
es un acotado de E.
69. Sean E un espacio vectorial y sean ‖ ‖1 y ‖ ‖2 dos normas sobre E. Se denota por B1 lafamilia de los conjuntos acotados del espacio (E, ‖ ‖1) y por B2 la familia de los conjuntosacotados del espacio (E, ‖ ‖2). Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) B1 = B2
(b) Las normas ‖ ‖1 y ‖ ‖2 son equivalentes.
(c) (E, ‖ ‖1)′ = (E, ‖ ‖2)′.
70. Sean E y F espacios de Banach sobre el mismo cuerpo K y T una aplicacion lineal ycontinua de E en F . Probar que existe una constante c > 0 tal que c‖x‖ ≤ ‖T (x)‖, paracada x ∈ E si, y solo si, T es inyectiva y T (E) es cerrado en F .
71. Sea (E, ‖ ‖) un espacio de Banach sobre el cuerpo K. Se considera una forma linealf :E → K. Probar que la aplicacion p:E → R definida por:
p(x) = ‖x‖+ |f(x)|
es una norma en E.Demostrar que el espacio (E, p) es de Banach si, y solo si, f es continua en (E, ‖ ‖).
72. Sea ϕ una forma lineal sobre `1. Si a = {an}∞n=1 ∈ `
1, establecer que la igualdad
‖a‖ = |ϕ(a)|+∞∑n=1
|an|
es una norma en `1. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) (`1, ‖‖) es un espacio de Banach.
(b) Existe una sucesion acotada {bn}∞n=1 de escalares tal que
ϕ(a) =∞∑n=1
anbn
para cada a = {an}∞n=1 ∈ `1.
73. Para cada numero natural m se considera la aplicacion lineal φm: `1 → K, definida por
πm({xn}∞n=1) = xm.
Sea ‖ ‖ una norma en `1
tal que (`1, ‖ ‖) es un espacio de Banach. Demostrar que las
proposiciones siguientes son equivalentes:
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(a) Para cada numero natural m, la aplicacion πm es continua para la norma ‖ ‖.(b) La norma ‖ ‖ es equivalente a la norma ‖ ‖1.
74. Sea X un espacio topologico compacto. Para cada x ∈ X se designa por Tx la aplicacionde C(X,K) en K definida por
Tx(f) = f(x).
Sean A ⊆ X, denso en X y ‖ ‖ una norma en el espacio C(X,K). Se supone que:
(a) El espacio normado (C(X,K), ‖ ‖) es un espacio de Banach.
(b) Para cada x ∈ A, la aplicacion Tx es continua cuando en C(X,K) se considera lanorma ‖ ‖.
Probar que la norma ‖ ‖ es equivalente a la norma del superior en C(X,K).
75. Sea E un espacio normado sobre K y f una aplicacion de [0, 1] en E. Se supone que paracada Φ ∈ E ′ se tiene que Φ◦f ∈ C([0, 1],K). Probar que la aplicacion T :E ′ → C([0, 1],K)definida por T (Φ) = Φ ◦ f es continua. (En C([0, 1],K) se considera la norma de laconvergencia uniforme.)
76. Sean A un subespacio vectorial cerrado del espacio C([a, b],R) dotado de la norma delsuperior y ϕ una funcion de [a, b] en R. Se supone que para cada f ∈ A se tiene quefϕ ∈ A. Demostrar que la aplicacion T :A→ A dada por
T (f) = fϕ
es continua.
77. Sean E, F y G espacios de Banach sobre el mismo cuerpo. Sean T una aplicacion lineal deE en F y {Si}i∈I una familia de aplicaciones lineales y continuas de F en G. Se supone:
(a)⋂i∈I
ker Si = {0}.
(b) Si ◦ T es continua para cada i ∈ I.
Probar que T es continua.
78. Sean E un espacio normado y {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de E. Se supone quepara cada elemento f ∈ E ′, la serie numerica
∞∑n=1
f(xn)
es absolutamente convergente. Demostrar que existe M > 0, tal que para cada elementof ∈ E ′ se tiene
∞∑n=1
|f(xn)| ≤M‖f‖.
79. Sea E un espacio normado y {an}∞n=1 una sucesion de elementos de E. Se supone que
para cada Φ ∈ E ′, {Φ(an)}∞n=1 ∈ `2(K). Demostrar que existe M > 0 tal que para cada
Φ ∈ E ′ se tiene‖{Φ(an)}∞n=1‖2 ≤M‖Φ‖.
17
80. Sea E el espacio de las funciones definidas en [0,∞) y valoradas en K, continuas y acotadasen [0,∞) provisto de la norma
‖f‖∞ = sup{|f(t)| : t ≥ 0}.
(a) Probar que el espacio normado definido anteriormente es de Banach.
(b) Sea el conjunto F = {f :E → K : f continua y sup{(1 + t)|f(t)| : t ≥ 0} < ∞}.Probar que F es un subespacio vectorial de E.
Si f ∈ F , se define la funcion f ∗ en [0,∞) por f ∗(t) = tf(t). En lo que sigue se consideraen F la norma ‖ ‖∞.
(c) Probar que para cada f ∈ F , se verifica f ∗ ∈ E. Si T designa la aplicacion de F enE, definida por T (f) = f ∗, entonces T es lineal y no continua.
(d) Demostrar que el grafo de T es cerrado en F × E.
(e) El espacio F , ¿es de Banach?
81. Sean E un espacio de Banach, {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de E y {fn}∞n=1 unasucesion de elementos de E ′. Se supone que para cada x ∈ E, la serie
∞∑n=1
‖fn(x)xn‖
es convergente.
(a) Probar que para cada sucesion acotada {βn}∞n=1 de elementos de K y para cadaelemento x ∈ E, la serie
∞∑n=1
βnfn(x)xn
converge en E.
(b) Para cada sucesion acotada β = {βn}∞n=1 de elementos de K, se considera la aplicacionTβ:E → E, definida por
Tβ(x) =∞∑n=1
βnfn(x)xn.
Demostrar que Tβ es lineal y continua.
(c) Probar que existe M > 0, tal que para cada sucesion acotada β = {βn}∞n=1 deelementos de K, con ‖β‖∞ ≤ 1, se tiene que ‖Tβ‖ ≤M .
18
INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
82. Sea H un espacio prehilbertiano complejo. Demostrar que para cada par de elementosx, y ∈ H se verifica la Formula de Polarizacion:
4〈x, y〉 = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i ‖x+ iy‖2 − i ‖x− iy‖2.
Si H es real se verifica:4〈x, y〉 = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2.
83. Sea E un espacio normado en el que se verifica la ley del paralelogramo. Demostrar queexiste un producto interno 〈 , 〉 tal que
‖x‖2 = 〈x, x〉
para cada x ∈ E.
84. Demostrar que `p, p 6= 2 no es un espacio de Hilbert.
85. Sea H un espacio de Hilbert.
(a) Sean {xn}∞n=1 e {yn}∞n=1 dos sucesiones de la bola unidad de H con limn→∞〈xn, yn〉 = 1.
Entonces limn→∞
‖xn − yn‖ = 0.
(b) Sean a ∈ H y {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de H. Supongamos que se verificalimn→∞〈xn, a〉 = 〈a, a〉 y lim
n→∞‖xn‖ = ‖a‖. Entonces lim
n→∞‖xn − a‖ = 0.
86. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial de H y T una aplicacion linealde M en H. Sea Z el grafo de T , es decir Z = {(x, Tx) : x ∈M}.
(a) Probar que Z es un subespacio vectorial de H ×H.
(b) Probar que la identidad
‖(x, Tx)‖∗ =√‖x‖2 + ‖Tx‖2
define una norma sobre Z que proviene de un producto interno.
(c) Si T es continua, demostrar que M y (Z, ‖ ‖∗) son homeomorfos.
(d) Si M es cerrado en H y (Z, ‖ ‖∗) es un espacio de Banach, demostrar que T escontinua.
87. Sea I un intervalo y sea w ∈ C(I,R) con w(t) > 0 en I. Se define el espacio L2w(I,K) de
las funciones f : I → K medibles tales que∫I|f(t)|2w(t) dt <∞.
(a) Demostrar que L2w(I,K) es un espacio vectorial.
Se identificaran en L2w(I,K) funciones iguales casi siempre en I.
19
(b) Probar que
〈f, g〉 =∫If(t)g(t)w(t) dt
es un producto interno en L2w(I,K).
(c) Demostrar que L2w(I,K) dotado de este producto interno es un espacio de Hilbert.
88. Demostrar que el conjunto
L = {f ∈ C([0, 1],K) :∫ 1
0f(t) dt+ f(0) = 0}
es un hiperplano cerrado del espacio C([0, 1],K) provisto de la norma del superior.
89. Sea M el conjunto de las f ∈ L1([0, 1]) tales que∫ 1
0f(t) dt = 1.
Demostrar que M es un subconjunto cerrado y convexo de L1([0, 1]) que contiene infinitos
elementos de norma mınima.
90. Sea
M = {f ∈ C([0, 1],K) :∫ 1
2
0f(t) dt−
∫ 1
12
f(t) dt = 1}.
Demostrar que M es un subconjunto cerrado y convexo del espacio (C([0, 1],K), ‖ ‖∞) queno contiene ningun elemento de norma mınima.
91. (a) Sea a un vector no nulo de un espacio de Hilbert H. Si
M = {x ∈ H : 〈x, a〉 = 0},
probar que para cada elemento y de H se verifica:
d(y,M) =|〈y, a〉|‖a‖
.
(b) Sea L el siguiente subconjunto de L2([0, 1],K):
L = {f ∈ L2([0, 1]) :
∫ 1
0f(t) dt = 0}.
Si g(t) = et, 0 ≤ t ≤ 1, determinar d(g, L).
92. Sea A ⊆ R medible y de medida 1. Probar que la aplicacion T :L2(R)→ C dada por
T (f) =∫Af(x) dx
es lineal y continua. Calcular la norma de T . Determinar la relacion que existe entred(f, ker T ) y T (f), para f ∈ L2
(R,C).
93. Sean H un espacio de Hilbert, a ∈ H y M un subespacio vectorial de H cerrado. De-mostrar que
min{‖a− x‖ : x ∈M} = max{|〈a, y〉| : y ∈M⊥, ‖y‖ = 1}.
20
94. Sean E un espacio de Banach y M un subespacio vectorial de E cerrado.
(a) Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(i) Existe un subespacio vectorial cerrado L de E tal que E = M ⊕ L.
(ii) Existe una aplicacion P de E en E lineal y continua tal que P (E) = M yP 2 = P .
(b) Sea F un subespacio vectorial cerrado de E tal que M ∩ F = {0}. Demostrar queM ⊕ F es cerrado en E si, y solo si,
inf{d(y, F ) : y ∈M, ‖y‖ = 1} > 0.
(c) Si la dimension algebraica de M es finita, probar que existe un subespacio vectorialcerrado L de E, tal que E = M ⊕ L.
(d) Si E es un espacio de Hilbert y F es un subespacio vectorial de E tal que M ⊥ F ,entonces, M ⊕ F es cerrado en E.
(e) Si E es un espacio de Hilbert y L es un subespacio vectorial de E tal que M ⊥ L yE = M ⊕ L, entonces L = M⊥.
95. Se designa por πn la n-esima proyeccion de `2
sobre K. Determinar el unico elementob ∈ `2, tal que πn(a) = 〈a, b〉 para cada a ∈ `2.
96. Se designa por πn la n-esima proyeccion de `2
sobre K. Determinar el unico elementob ∈ `2, tal que (π1 + π2 + · · ·+ πn)(a) = 〈a, b〉 para cada a ∈ `2.
97. Sea b ∈ C con |b| < 1. Probar que si a = {an}∞n=1 ∈ `2
entonces la sucesion {anbn}∞n=0
esta en `1. Demostrar que la aplicacion T : `
2 → C dada por
T (a) =∞∑n=1
anbn
es lineal continua. Calcular ‖T‖.
98. (a) Sea H un espacio de Hilbert y Φ ∈ H ′. Probar que existe a ∈ H con ‖a‖ ≤ 1 y talque ‖Φ‖ = |Φ(a)|.
(b) Demostrar que para cada elemento a = {an}∞n=1 ∈ c0, la serie numerica
∞∑n=1
an2n
es absolutamente convergente. Se define la aplicacion T : c0 → K, por
T (a) =∞∑n=1
an2n.
Probar que T es lineal y continua. Determinar ‖T‖. ¿Existe algun elemento a ∈ c0con ‖a‖ ≤ 1 y tal que ‖T‖ = |T (a)|?
99. Sea H un espacio de Hilbert y T :H → H lineal, tal que
〈T (x), y〉 = 〈x, T (y)〉
para cada par de elementos x, y ∈ H. Demostrar que T es continua.
100. Sea {ei}i∈I un sistema ortonormal de un espacio de Hilbert H. Si β > 0 y x ∈ H, probarque
Card {i ∈ I : |〈x, ei〉| > β} ≤ β−2‖x‖2.
21
INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
101. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial cerrado de H, P la proyeccionortogonal de H sobre M y x ∈ H.
(a) Probar que x ∈M si, y solo si, ‖Px‖ = ‖x‖.(b) Demostrar las igualdades
〈Px, x〉 = 〈x, Px〉 = ‖Px‖2.
Sean M1 y M2 dos subespacios vectoriales cerrados de H. Se denotan por P1 y P2 lasproyecciones ortogonales de H sobre M1 y M2 respectivamente. Demostrar la equivalenciade los siguientes enunciados:
(i) 〈P1x, x〉 ≤ 〈P2x, x〉, para cada x ∈ H.
(ii) ‖P1x‖ ≤ ‖P2x‖, para cada x ∈ H.
(iii) M1 ⊆M2.
(iv) P2P1 = P1.
(v) M⊥2 ⊆M⊥
1 .
(vi) P1P2 = P1.
102. Sea M un subespacio vectorial cerrado de L2([0, 1],K) tal que M ⊆ C([0, 1],K).
(a) Demostrar que existe una constante L > 0, tal que para cada f ∈M se tiene
‖f‖∞ ≤ L‖f‖2.
(b) Probar que para cada t ∈ [0, 1], existe ht ∈ L2([0, 1],K) tal que
(i) ‖ht‖2 ≤ L.
(ii) Para cada f ∈M se verifica
f(t) =∫ 1
0f(s)ht(s) ds.
(c) Decucir que M es de dimension finita.
103. Sean H un espacio de Hilbert y M un subespacio vectorial cerrado de H. Sean A yB bases hilbertianas de M y M⊥ respectivamente. Demostrar que A ∪ B es una basehilbertiana de H.
104. Sea Ln el subespacio de `2
= `2(K) definido por:
Ln = {x = {xn}∞n=1 ∈ `2
:n∑k=1
xk = 0}.
Si a = (1, 0, 0, . . .), determinar d(a, Ln). La sucesion {d(a, Ln)}∞n=1, ¿es convergente?
22
105. Sean H un espacio de Hilbert, {en}∞n=1 un sistema ortonormal completo de H y {λn}∞n=1
una sucesion de elementos de K. Se supone que para cada x ∈ H, la serie
∞∑n=1
λn〈x, en〉
converge. Demostrar que existe un unico elemento y ∈ H, tal que, para cada n ∈ N, severifica:
〈y, en〉 = λn.
23
INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
106. Sean x1, x2, . . . , xn n vectores de un espacio de Hilbert H. Se define el determinante deGramm por:
G(x1, x2, . . . , xn) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈x1, x1〉 〈x1, x2〉 . . . 〈x1, xn〉〈x2, x1〉 〈x2, x2〉 . . . 〈x2, xn〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .〈xn, x1〉 〈xn, x2〉 . . . 〈xn, xn〉
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a) Probar que G(x1, x2, . . . , xn) ≥ 0.
(b) Supongamos que los vectores x1, x2, . . . , xn son linealmente independientes. Sean Mes el subespacio vectorial generado por {x1, x2, . . . , xn} y P la proyecion de H sobreM . Demostrar que si x ∈ H se tiene
P (x) =n∑k=1
Gk(x1, x2, . . . , xn)
G(x1, x2, . . . , xn)xk,
donde Gk(x1, x2, . . . , xn) es el determinante obtenido al sustituir en G(x1, x2, . . . , xn)la columna k-esima por el vector columna (〈x1, x〉, 〈x2, x〉, . . . , 〈xn, x〉)t.
(c) Con las mismas hipotesis del apartado anterior, demostrar que si x ∈ H,
d(x,M) =
√√√√G(x, x1, x2, . . . , xn)
G(x1, x2, . . . , xn)·
107. Calculese
mina,b,c
∫ 1
−1|x3 − a− bx− cx2|2 dx.
108. Hallese
max |∫ 1
−1x3g(x) dx|,
donde g esta sujeta a las condiciones∫ 1
−1g(x) dx =
∫ 1
−1xg(x) dx =
∫ 1
−1x2g(x) dx = 0;
∫ 1
−1|g(x)|2 dx = 1.
Indicacion: Aplıquese el resultado del problema 92 al ejercicio anterior.
24
INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
109. Sea el conjunto
c0(Z,K) = {a = {an}n∈Z : an ∈ K y limn→∞
an = limn→∞
a−n = 0}.
(a) Demostrar que c0(Z,K) dotado de la norma ‖a‖∞ = sup{|an| : n ∈ Z}, es un espaciode Banach.
(b) Sea T :L1([−π, π],C) → c0(Z,C) dada por T (f) = {f(n)}n∈Z, es lineal, continua,
inyectiva y no suprayectiva.
110. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo y T :E → F lineal continua.Demostrar que si
∑n∈Z
an converge en E, entonces∑n∈Z
Tan converge en F . Ademas
T (∑n∈Z
an) =∑n∈Z
Tan.
Sea {hn}n∈Z con hn ∈ L2([−π, π],K) tal que
∑n∈Z
hn = h en L2([−π, π],K). Demostrar que
si p ∈ Z se verifica: ∑n∈Z
hn(p) = h(p).
111. Se considera el conjunto PK de las funciones P : R→ K del tipo
P (t) = a0 +n∑k=1
ak cos (kt) +n∑k=1
bk sen (kt)
donde n ∈ N y a0, a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ K.
(a) Demostrar que PK es un subespacio vectorial de CP ([−π, π],K).
(b) Demostrar que PK es denso en CP ([−π, π],K), cuando en CP ([−π, π],K) se considerala norma del superior.
(c) Si 1 ≤ p <∞, probar que PK es denso en Lp([−π, π],K)
Se considera el conjunto de funciones de R en K
B =
{1√2π
}∪{
cos (nt)√π
: n ∈ N}∪{
sen (nt)√π
: n ∈ N}.
(d) Demostrar que B es un sistema ortonormal maximal del espacio L2([−π, π],K)
Si f ∈ L1([−π, π],K), se consideran los elementos de K siguientes
an(f) =1
π
∫ π
−πf(t) cos (nt) dt, n = 0, 1, . . .
25
y
bn(f) =1
π
∫ π
−πf(t) sen (nt) dt, n = 1, 2, . . .
La serie funcionala0(f)
2+∞∑n=1
[an(f) cos (nt) + bn(f) sen (nt)],
recibe el nombre de serie de Fourier de f en el sistema B. Los elementos del conjunto
{a0(f), a1(f), a2(f), . . . , b1(f), b2(f), . . .}se llaman los coeficientes de Fourier de f en el sistema B.Sea f ∈ L2
([−π, π],K)
(e) Demostrar que la serie de Fourier de f en el sistema B converge hacia f en el espacio
de Hilbert L2([−π, π],K).
(f) Demostrar que1
π‖f‖22 =
|a0(f)|2
2+∞∑n=1
(|an(f)|2 + |bn(f)|2).
112. Sea [a, b] un intervalo compacto de la recta real. Determinar un sistema ortonormal
maximal de L2([a, b],K).
113. Para cada f ∈ L2([−π, π],C) se define f ∗: [−π, π]→ C por:
f ∗(x) =∫ π
−πcos (x− t)f(t) dt.
(a) Probar que f ∗ es continua.
(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L2([−π, π],C), ‖f‖2 ≤ 1}, es relativamente
compacto en C([−π, π],C) provisto de la norma del supremo.
(c) Se define T :L2([−π, π],C) → L
2([−π, π],C) por T (f) = f ∗. Probar que T es lineal
y continua.
(d) Para cada n ∈ Z se define
en(t) =1√2πeint, t ∈ R.
Calcular T (en).
(e) Si f ∈ L2([−π, π],C) determinar la serie de Fourier de T (f).
114. Se designa por Dn el nucleo de Dirichlet. Probar que para cada t ∈ [−π, π], t 6= 0, setiene la igualdad
Dn(t) = cos (nt) +
(cos (t/2)
sen (t/2)− 2
t
)sen (nt) +
2 sen (nt)
t.
(a) Sea f una funcion continua en [−π, π] con f(0) = 0 y tal que la funcion t−1f(t) esta
en L1([−π, π]). Demostrar que la serie de Fourier de f converge puntualmente en
t = 0 hacia f(0) = 0.
(b) Sea f una funcion continua en [−π, π] tal que
(i) f(−π) = f(π).
(ii) Existe α con 0 < α ≤ 1 tal que f ∈ Lip(α) en el intervalo [−π, π].
Probar que para cada x ∈ [−π, π] la serie de Fourier de f converge puntualmentehacia f(x).
26
INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
1. Sean A y B dos subconjuntos de un espacio normado.
(a) Si A es relativamente compacto, entonces A+B = A+B.
(b) Si A y B son relativamente compactos, probar que A+B es relativamente compacto.
(c) Si A y B son compactos, probar que A+B es compacto.
2. Sean E un espacio normado sobre K y a1, a2, . . . , an, n vectores de E.
(a) Probar que existe una constante M > 0, tal que
‖λ1a1 + λ2a2 + . . .+ λnan‖ ≤M
√√√√ n∑k=1
|λk|2,
para cada (λ1, λ2, . . . , λn) ∈ Kn.
(b) Si los vectores a1, a2, . . . , an son linealmente independientes, demostrar que existeuna constante L > 0, tal que para cada (λ1, λ2, . . . , λn) ∈ Kn, se tiene:
L
√√√√ n∑k=1
|λk|2 ≤ ‖λ1a1 + λ2a2 + . . .+ λnan‖.
3. Sea {αn}∞n=1 una sucesion de elementos de K. Se considera el conjunto E de las sucesionesx = {xn}∞n=1 de elementos de K, tales que
sup{|αnxn| : n ∈ N} <∞.
Para cada elemento x = {xn}∞n=1 ∈ E, se define
‖x‖ = sup{|αnxn| : n ∈ N}
(a) Demostrar que la aplicacion x→ ‖x‖ de E en R es una norma si, y solo si, αn 6= 0,para cada n ∈ N.
En lo que sigue se supone que la aplicacion anterior es una norma.
(b) Probar que el espacio normado (E, ‖ ‖) es de Banach y no separable.
(c) `∞
(K) ⊆ E si, y solo si, {αn}∞n=1 ∈ `∞
(K).
(d) Si `∞
(K) ⊆ E, probar que la inyeccion canonica I: (`∞
(K), ‖ ‖∞)→ (E, ‖ ‖), es linealy continua. Determinar su norma.
(e) `∞
(K) = E si, y solo si, existen constantes M > 0 y K > 0, tales que
K ≤ |αn| ≤M, para cada n ∈ N.
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4. Sean K una aplicacion continua de [0, 1] × [0, 1] en R y L una aplicacion continua de[0, 1]× R en R. Para cada f ∈ C([0, 1],R), se define la aplicacion f ∗ por
f ∗(x) =∫ 1
0K(x, t)L(t, f(t)) dt, x ∈ [0, 1].
(a) Probar que f ∗ es continua en [0,1].
(b) Demostrar que el conjunto
{f ∗ : f ∈ C([0, 1],R), ‖f‖∞ ≤ 1},
es relativamente compacto en (C([0, 1],R), ‖ ‖∞)
5. Se designa por P el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientesen R, normado por
‖P‖ = sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1}, P ∈ P .
Si a ∈ R, se considera la aplicacion Ta de P en R, definida por
Ta(P ) = P (a).
(a) Si a ∈ [0, 1], probar que Ta es continua. Calcular ‖Ta‖.(b) Si a /∈ [0, 1], probar que Ta no es continua.
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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
1. Sean x0, x1, . . . , xn, n+ 1 elementos de un espacio normado E. Se supone que para cadaϕ ∈ E ′ se verifica
|ϕ(x0)| ≤n∑k=0
|ϕ(xk)|.
Demostrar que x0 pertenece al subespacio generado por los vectores x1, x2, . . . , xn.
2. Sean E y F espacios normados sobre el cuerpo K con E Banach y sea {Ti}i∈I una familiade aplicaciones lineales y continuas de E en F . Se supone que existe un abierto no vacıoV de E, tal que para cada x ∈ V se verifica
sup{‖Ti(x)‖ : i ∈ I} <∞.
Demostrar que existe M > 0, tal que para cada i ∈ I se tiene ‖Ti‖ ≤M.
3. Sean (H, ‖ ‖) un espacio de Hilbert sobre K, {en}∞n=1 una base hilbertiana de H y α =
{αn}∞n=1 ∈ `2(K) con αn 6= 0 para n = 1, 2, . . ..
(a) Demostrar que para cada x ∈ H, la serie
∞∑n=1
αn〈x, en〉
converge absolutamente.
(b) Probar que la igualdad
‖x‖α =∞∑n=1
|αn〈x, en〉|, x ∈ H,
define una norma en H.
(c) Demostrar que la sucesion {en}∞n=1 converge en el espacio normado (H, ‖ ‖α). Lasucesion {en}∞n=1, ¿converge en el espacio de Hilbert (H, ‖ ‖)?
(d) Demostrar que la identidad I: (H, ‖ ‖) → (H, ‖ ‖α) es continua. ¿Es continua laidentidad I: (H, ‖ ‖α)→ (H, ‖ ‖)?
(e) Probar que (H, ‖ ‖α) no es un espacio de Banach.
(f) Sea β = {βn}∞n=1 una nueva sucesion de elementos de `2(K) con βn 6= 0 para n =
1, 2, . . .. Demostrar que la identidad I: (H, ‖ ‖β)→ (H, ‖ ‖α) es continua si, y solo si,existe M > 0, tal que
|αn| ≤M |βn|, para cada n ∈ N.
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4. Un espacio normado (E, ‖ ‖) sobre K se dice que es un espacio de Banach de sucesionessi:
(i) (E, ‖ ‖) es un espacio de Banach.
(ii) E es un subespacio vectorial del espacio vectorial de las sucesiones de elementos deK.
(iii) Para cada numero natural m, la aplicacion πm: (E, ‖ ‖)→ K, definida por
πm({an}∞n=1) = am
es continua.
Sean (E, ‖ ‖) y (F, ‖ ‖∗) dos espacios de Banach de sucesiones sobre el mismo cuerpoK y {bn}∞n=1 una sucesion de elementos de K. Se supone que para cada {an}∞n=1 ∈ E,la sucesion {bnan}∞n=1 pertenece a F . Probar que la aplicacion T : (E, ‖ ‖) → (F, ‖ ‖∗),definida por
T ({an}∞n=1) = {bnan}∞n=1
es continua.
5. Sea M un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert H. Se designa por P laproyeccion ortogonal de H sobre M y por Q la proyeccion ortogonal de H sobre M⊥. SeaT una aplicacion lineal de H en H.
(a) Probar que son equivalentes los enunciados siguientes:
(i) T (M) ⊆M y T (M⊥) ⊆M⊥.
(ii) PT = TP .
(iii) QT=TQ.
Se supone que T verifica la siguiente propiedad:
〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 para cada par de elementos x, y ∈ H.
Demostrar la equivalencia de los enunciados siguientes:
(I) T (M) ⊆M .
(II) T (M⊥) ⊆M⊥.
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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
1. Sea g: [−π, π] → C continua. Probar que para cada f ∈ L2([−π, π],C) se tiene que
gf ∈ L2([−π, π],C). Sea M la aplicacion de L
2([−π, π],C) en L
2([−π, π],C) definida por
M(f) = gf .
(a) Probar que M es lineal y continua.
(b) Para cada p ∈ Z, se considera la funcion ep: R→ C definida por
ep(t) = eipt.
Si p, n ∈ Z, determinar M(ep)(n).
(c) Si f ∈ L2([−π, π],C) y n ∈ Z, determinar M(f)(n) en funcion de los coeficientes de
Fourier de f y de g.
2. Sean H un espacio de Hilbert separable de dimension infinita, {en}∞n=1 una base hilber-tiana de elementos de H y {an}∞n=1 una sucesion ortogonal de elementos de H. Probarque los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) Existe T :H → H lineal continua con T (en) = an, n ∈ N.
(b) La sucesion {an}∞n=1 es acotada en H.
(c) Para cada y ∈ H, la sucesion {〈an, y〉}∞n=1 es acotada en K.
Si la sucesion {an}∞n=1 esta acotada en H, probar que existe una unica aplicacion lineal ycontinua T :H → H con T (en) = an, n ∈ N. Determinar ‖T‖.
3. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial de H cerrado y P la proyeccionortogonal de H sobre M . Demostrar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) La dimension algebraica de M es finita.
(b) P ({x ∈ H : ‖x‖ ≤ 1}) es un compacto de H.
4. Sea A el conjunto de las funciones f ∈ L2([−π, π],C) tales que existe n = n(f) ∈ N con
f(m) = 0, para cada m ∈ Z con |m| > n. Probar que A es un conjunto de primera
categorıa en L2([−π, π],C).
5. Sea M el subespacio vectorial de L2([0, 1],R) generado por las funciones 1, t y t2. Si
g(t) = senπt en [0,1], calcular d(g,M).
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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
1. Sea {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de un espacio de Hilbert H tal que, para cada
y ∈ H, la sucesion numerica {〈xn, y〉}∞n=1 pertenece a `2(K). Probar que la aplicacion T
de H en `2(K) definida por
T (y) = {〈xn, y〉}∞n=1
es continua.
2. Sean E un espacio normado y T una aplicacion lineal de E en E.
(a) Probar que los enunciados siguientes son equivalentes.
(i) T es continua y dimT (E ) = 1.
(ii) Existen ϕ ∈ E ′ no nulo y a ∈ E, a 6= 0, tales que
T (x) = ϕ(x)a
para cada x ∈ E.
(b) Sean H un espacio de Hilbert y a, b ∈ H. Se considera la aplicacion Tab de H en Hdefinida por
Tab(x) = 〈x, a〉b.(iii) Probar que Tab es lineal continua y calcular ‖Tab‖(iv) Demostrar que Tab 6= 0 si, y solo si, a 6= 0 y b 6= 0.
(v) Si T es una aplicacion lineal y continua de H en H tal que dimT (H) = 1, probarque existen elementos a, b ∈ H con a 6= 0 y b 6= 0, tales que
T (x) = 〈x, a〉b
para cada x ∈ H.
3. Dar un ejemplo de un subespacio vectorial A de C([0, 1],R) que verifique las siguientespropiedades:
(a) A es un conjunto de primera categorıa en (C([0, 1],R), ‖ ‖∞).
(b) A es un conjunto denso en (C([0, 1],R), ‖ ‖∞).
4. Sea n un numero natural. Se designa por Pn al espacio vectorial de los polinomios en unavariable con coeficientes reales y de grado menor o igual que n.
(a) Demostrar que el conjunto
Mn = {P ∈ Pn :∫ 1
0P (t) dt = 0}
es un subespacio vectorial cerrado de L2([0, 1],R). ¿ Cual es su dimension?
(b) Si g(t) = t3, t ∈ [0, 1], determinar el unico polinomio P ∈M2 tal que
‖g − P‖2 ≤ ‖g −Q‖2
para cada Q ∈ P2.
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