Vu Pham

INTRODUCCIÓN A LAS CURVAS ELÍPTICAS

Descripción y Aplicaciones

Ing. Carlos Felipe Téllez Castaño

M.Eng. (C) Sistemas y Computación

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Introducción

Operaciones

Aplicaciones

AGENDA

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Introducción

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Singularidad en (0,0)

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Operaciones Suma de puntos P + Q en E

P

Q

P+Q

R

- 9 - Ing. Carlos Felipe Téllez Castaño

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Operaciones

P

2*P

R Línea Tangente a E en P

- 10 -

Doblado de un punto P en E (Suma consigo mismo)

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Operaciones

Las líneas verticales no tienen

un tercer punto de

intercepción

Q

Añadir un punto extra O “en el infinito.”

El punto O se encuentra en cada línea

vertical.

O

P

Q = –P

- 11 -

Líneas

Verticales

y punto

en el

infinito

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Propiedades de la suma en E

Operaciones

Teorema: La ley de la suma en E tiene las siguientes

propiedades:

a) Pr. Identidad: P + O = O + P = P para todo P E.

b) Pr. Inverso Aditivo: P + (–P) = O para todo P E.

c) Pr. Asociativa: (P + Q) + R = P + (Q + R) para todo P,Q,R E.

d) Pr. Conmutativa: P + Q = Q + P para todo P,Q E.

También

conocido como

Grupo Abeliano

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Suma de dos puntos P1 y P2 de E:

P1 : (x1,y1) + P2 : (x2,y2) = P3 :(x3,y3)

en la curva elíptica E : y2 = x3 + ax + b.

Tenemos que:

Operaciones:

. si 2

3y si 21

1

2

121

12

12 PPy

axPP

xx

yy

1313

1

2

3

)(

2

yxxy

xx

1313

21

2

3

)( yxxy

xxx

21 si PP

21 si PP

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Criptografía de Curvas Elípticas

Fueron utilizadas para probar el último teorema de Fermat

String Theory

Problema del número congruente

Solución al Problema de las balas de cañón

Aplicaciones

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Lawrence, Elliptic Curves Number Theory and Cryptography http://www.math.vt.edu/people/brown/doc.html

http://www.math.brown.edu/~jhs/

Apostol, T. Modular functions and Dirichlet series in number theory, Graduate Texts in Mathematics 41, Springer-Verlag, New York, 1976.

Blake, I. F.; Seroussi, G.; Smart, N. P. Elliptic curves in cryptography. London Mathematical Society Lecture Note Series, 265. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

Cremona, J. E. Algorithms for modular elliptic curves. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

Knapp, A. Elliptic curves, Mathematical Notes 40, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992.

Koblitz, N. Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer-Verlag, NY, 1984.

Referencias