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Resistencias de Materiales explicada para quien empieza.
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INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
1.- Concepto y objetivos de la Resistencia de Materiales.
2.- Definición de sólido rígido, elástico y verdadero.
3.- Definición de prisma mecánico.
4.- Equilibrio estático y equilibrio elástico.
5.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos.
6.- Cálculo de esfuerzos derivados de la acción de un sistema de fuerzas actuando sobre un prisma
mecánico.
7.- Tipos de tensiones y deformaciones: relación entre tensión y deformación. Ley de Hooke.
1.- Concepto y objetivos de la Resistencia de Materiales. Resistencia de Materiales Es la parte de la Mecánica que estudia aquellos sólidos deformables que poseen unas características geométricas que permiten simplificar los campos de tensiones y deformaciones. Teoría de la elasticidad Es la rama de la Mecánica que estudia el comportamiento de los sólidos deformables con comportamiento elástico
Hipótesis simplificativas en resistencia de materiales
Los principios básicos de resistencia de materiales son:
− Materiales homogéneos, continuos e isótropos
− Principio de rigidez relativa de los sistemas elásticos
− Principio de superposición de efectos.
− Principio de Saint–Venant
Según el principio de la rigidez relativa, se admite que al aplicar un sistema de fuerzas exteriores, la
forma del sólido no varía sustancialmente, por lo que al aplicar las condiciones de equilibrio, suponemos
que el sólido deformado tiene la misma forma y dimensiones que antes de producirse la deformación.
Sistema original (trazo
continuo) y deformado
(trazo discontinuo)
Este principio no será aplicable cuando las condiciones de equilibrio en la posición deformada y no
deformada sean sustancialmente diferentes.
P
α
β
O Δα
Δβ
α−Δα
β−Δβ
Sin el principio:
P α−Δα
β−Δβ
N1
N2
P
α
β N1N2
Con el principio: sistema indeformado
Equilibrio en el nudo O
Equilibrio en el nudo O
¡¡ Con la solución del sistema se obtienen los esfuerzos sin tener en cuenta las deformaciones!!
Ejemplos en que no es aplicable: Sistema original (trazo discontinuo) y deformado (trazo continuo)
Este principio si es aplicable a materiales que no sigan la ley de Hooke, (es decir en los que la relación
desplazamiento-fuerzas exteriores no sea lineal), siempre y cuando la variación de la forma experimentada
por el sistema no sea significativa.
El principio de superposición de efectos es aplicable a los sistemas en que son lineales las relaciones
entre fuerzas exteriores y desplazamientos (ley de Hooke) y en los que las líneas de acción de las fuerzas
no quedan modificadas de forma significativa por los desplazamientos.
“El estado de equilibrio debido a varias acciones exteriores es igual a la superposición de las soluciones que
corresponden a cada uno de los estados si cada acción exterior actuara independientemente”
Una consecuencia que se desprende del principio es que el estado final del cuerpo no depende del orden
en que se apliquen las cargas.
P
x
P
P
δ
En este caso, el momento sería nulo en una sección de abcisa “x” si el principio fuese verdad; y no es así, de hecho el valor del momento es función del desplazamiento experimentado por la sección de la viga.
En este caso, no hay una dependencia lineal entre desplazamientos y fuerzas exteriores aplicadas, aún siendo elementos elásticos. La configuración nueva que adquiere el sistema es determinante en la formulación del problema, por lo que no es aplicable el principio.
Este principio no es válido en aquellos casos donde no es aplicable el principio de rigidez, ni en los que el
efecto de las fuerzas no sea independiente de las deformaciones, como en el ejemplo siguiente:
Aplicando simultáneamente “F” y “P” la deformación de la línea media de la viga es diferente que aplicando
“P” por una parte y “F” por otra.
Separadamente, “F” no produce desplazamiento alguno en la dirección transversal de la viga (si no
sobrepasa un cierto valor).
Por el contrario si actúan simultáneamente “F” y “P”, la deformación producida por “P” hace que “F” además
de axil produzca momento flector que aumenta la deformación.
Principio de Saint-Venant: “A partir de una distancia suficiente de los puntos de la superficie de un sólido
elástico, en los que está aplicado un determinado sistema de fuerzas, las tensiones y las deformaciones son
prácticamente iguales para todos los sistemas de fuerzas que sean estáticamente equivalentes al dado”.
F F
A B
P
A B δ
P
A B
F F
En el caso de cargas puntuales, para evitar tensiones de valor infinito, se supondrá una distribución
uniforme estáticamente equivalente a la real (respecto a cualquier punto los sistemas real y supuesto tienen
la misma resultante y momento resultante, aunque el reparto de tensiones en las proximidades de los
puntos de aplicación de las cargas no sean iguales)
2.- Definición de sólido rígido, elástico y verdadero.
Sólido rígido: Es aquél que ante cualquier esfuerzo a que esté sometido, la distancia entre dos moléculas
cualesquiera permanece invariable.
Naturalmente si existiesen sólidos rígidos no existirían peligros de rotura ni deformaciones.
Sólido elástico: Es aquél que ante un esfuerzo exterior se deforma y recupera su forma primitiva al cesar la
causa exterior.
Sólido verdadero: Es aquél que resulta deformable ante los esfuerzos a que está sometido y falto de
isotropía, homogeneidad y continuidad.
3.- Definición de prisma mecánico.
Sólido sometido a ligaduras y cargas exteriores que posee una forma determinada.
Para cada uno de los puntos de la directriz, puede definirse una sección transversal (superficie plana
ortogonal a la directriz y con su centro de gravedad en la misma).
La sección transversal puede variar en forma y dimensiones a lo largo de la directriz. (pieza prismática de
sección no constante).
4.- Equilibrio estático y equilibrio elástico.
Las acciones que se pueden ejercer sobre un sólido se pueden clasificar en acciones exteriores e interiores.
Acciones exteriores: son acciones que otros sólidos ejercen sobre el sólido. Pueden ser fuerzas,
momentos o combinación de ambos.
Cualquier sistema de acciones actuantes sobre un cuerpo es equivalente a un sistema constituido por una
fuerza resultante y un momento resultante.
Acciones interiores: Son las fuerzas que mantienen unidas a las partículas o elementos de los que está
constituido el sólido.
Por el principio de acción y reacción, el sistema de fuerzas internas es equivalente a un sistema de
resultante y momento nulos.
Equilibrio del sólido rígido (equilibrio estático): Para que un sólido rígido esté en equilibrio bajo la acción
de fuerzas y momentos externos, este sistema no debe producir ningún movimiento de translación ni de
giro, es decir, la resultante y el momento resultante en cualquier punto del sistema de acciones tiene que
ser nula.
Las condiciones de equilibrio son:
giranoM
desplazasenoR
⇒=⇒=
0
0
Equilibrio elástico: debe existir equilibrio entre las acciones exteriores y las internas (cohesión molecular)
en cada una de las infinitas secciones del sólido. Si damos una sección cualquiera al sólido y prescindimos
de una de las partes, es necesario que el sistema de fuerzas interiores en los puntos de la sección ideal sea
equivalente al sistema de fuerzas que actúa sobre la parte eliminada.
5.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos.
Reacción:
Los apoyos o ligaduras de un sólido rígido en equilibrio, y sobre el que actúa un sistema de fuerzas y
momentos externos, impiden o coartan algunos movimientos, generándose una reacción sobre el apoyo.
Las fuerzas (impiden translaciones) o momentos (impiden giros) que los apoyos ejercen contra el sólido en
equilibrio se denominan reacciones.
En el espacio existen 6 grados de libertad; a cada uno de ellos impedido le corresponde una reacción en la
ligadura que lo impide.
En el caso de sistemas planos (aquellos en los que el prisma mecánico admite plano medio de simetría y la
solicitación externa está formada por un sistema de acciones contenido en dicho plano), las reacciones de
las ligaduras se simplifican notablemente.
Para los sistemas planos podemos clasificar los apoyos en:
— Apoyo articulado móvil
— Apoyo articulado fijo
— Empotramiento
Apoyo móvil:
O guía, es un apoyo en el que resultan impedidos los desplazamientos en una dirección, dejando libre el
movimiento en la dirección ortogonal, y el giro en el plano que contiene a ambas. La reacción se reduce a
una fuerza perpendicular RA (sólo genera una incógnita).
Apoyo fijo:
Se denomina apoyo fijo a un apoyo en el que resultan impedidos los desplazamientos en dos direcciones
(ejes X e Y) estando libre el giro en el plano x-y. La reacción RA es una fuerza de componentes RAx y RAy
(genera 2 incógnitas).
RAy
RAx
RA
MA
RAy
RAx
RA
RA
Empotramiento:
Se denomina empotramiento a un apoyo en el que resultan impedidos todos los movimientos (translaciones
y giros) quedando toda la sección inmovilizada. La reacción se compone de una fuerza RA de componentes
RAx y Ray y de un momento MA perpendicular al plano x-y (equivale a 3 incógnitas).
Si el empotramiento de la figura de ejemplo fuese un simple apoyo la viga podría girar bajo la acción de las
cargas que actúan sobre ella. Impedir ese giro requiere la actuación de un momento que produzca un giro
igual y opuesto. Este momento es la reacción que ha de considerarse en el equilibrio del voladizo.
Ecuaciones de equilibrio estático:
El equilibrio de un sólido rígido implica que el sistema constituido por las fuerzas y reacciones debe ser nulo.
Ejemplo 1
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅=
−⋅=
=
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−⋅===−−
=
L
aPV
L
aLPV
H
LVaPM
VVP
H
C
A
A
CA
CA
A0
0
0
0
Ejemplo 2
LVaPM
VVP
QHH
CA
CA
cA
⋅−⋅===−−
=−+
0
0
0
El sistema a resolver tiene cuatro incógnitas pero solamente tres ecuaciones. El conjunto de reacciones es
estáticamente indeterminado.
L
a
A B C
P
VCVA
HA
L
a
A B C
P
VC VA
HA HC Q
Ejemplo 3
LVM
VV
Q
CA
CA
⋅===+
=
0
0
0
La solución del sistema es imposible ya que se deduce que necesariamente debe ser Q = 0. Si Q ≠ 0, la
barra es inestable, el sistema es estáticamente indeterminado y la estructura es un mecanismo.
Sistema isostático: aquella estructura que tiene un número de coacciones (reacciones) igual al de las
ecuaciones de la estática, por lo que podemos conocer estas reacciones aplicando solo las ecuaciones de
la estática.
Sistema hiperestático: aquella estructura que tiene un número de coacciones (reacciones) mayor que las
ecuaciones de la estática (el nº de incógnitas supera al de ecuaciones).
Mecanismo: es un sistema que tiene un número de coacciones (reacciones) menor que las ecuaciones de
la estática.
Grado de hiperestaticidad: es el número de incógnitas – número de ecuaciones.
L
a
A B C
VC VA
Q
6.- Cálculo de esfuerzos derivados de la acción de un sistema de fuerzas
actuando sobre un prisma mecánico.
CONCEPTO DE ESFUERZO:
Supongamos una pieza prismática sometida a la acción de una serie de cargas exteriores y a unas
ligaduras externas como la de la figura.
Si idealmente cortamos la pieza según un plano perpendicular a su directriz, la parte de la izquierda no
estaría en equilibrio sometida a las cargas que actúan directamente en ella.
Para que exista equilibrio se requiera considerar también las acciones que la parte de la derecha ejerce
sobre la de la izquierda y viceversa.
Si se consideran dos secciones muy próximas se denomina esfuerzo sobre la rebanada al conjunto de dos
acciones iguales y opuestas actuando sobre las dos secciones de la rebanada.
CLASES DE ESFUERZO:
Esfuerzo Axil: Esfuerzo constituido por fuerzas normales a las secciones.
Esfuerzo Cortante: Esfuerzo constituido por fuerzas en el plano de la
sección.
Momento Flector: Esfuerzo constituido por momentos en el plano de la
sección.
Momento Torsor: Esfuerzo constituido por momentos según el eje normal
al plano de la sección.
Esfuerzos.. Se dice que la rebanada trabaja a ...
N (axil) Tracción o compresión simple
Q,V ó T (cortante) Cortadura pura
MT (torsor) Torsión
MX ó MY (flector) Flexión pura
(MX ó MY) y (QX ó QY) Flexión simple
(MX ó MY) y N Flexión compuesta
CÁLCULO DE ESFUERZOS:
El proceso de determinación de las leyes de esfuerzos requiere los siguientes pasos:
− Calcular las reacciones
− Dividir la barra en tramos, de tal forma que en un tramo no varíe el conjunto de fuerzas a considerar en
el equilibrio de las rebanadas.
− En cada tramo y para una sección genérica (identificada por su distancia x en el tramo), plantear el
equilibrio de una de los dos partes en la que se divide a la barra; obtener las fuerzas y momentos en la
sección necesarios para el equilibrio.
− Definir los esfuerzos (con su signo) en la rebanada y dibujar la correspondiente gráfica para toda la
barra.
Convenio de signos: consideramos como positivos los siguientes.
Esfuerzo axil: Esfuerzo cortante:
Momento flector: Momento torsor:
++ + ++ +
++ + + + +
Ejemplo:
x
B
P
x
L
a b
1 2
P a
L
Pb
L
x
B
P
x
L
a b
1 2
P a
L
Pb
L
Sección 1:
xL
PbM
L
PbQ
⋅=
=
PbL
Pb
L
Pb
Lx
I
Pa
L
Q
MP
II
PbL
Pb
L
Pb
Lx
I
Pa
L
Q
MP
II
Sección 2:
( )xLL
PaM
L
PaQ
−⋅=
−=
Pb
L
M
P
Pa
L
I II
Pb
L
M
P
Pa
LPb
L
M
P
Pa
L
I II
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
Mf
Q
Mf
Q
EFECTO DE LOS ESFUERZOS
Esfuerzo axil
Esfuerzo cortante
Momento flector
Momento torsor
7.- Tipos de tensiones y deformaciones: Relación entre tensión y deformación.
Ley de Hooke.
Concepto de tensión: fuerza ejercida por unidad de superficie
Tensión normal: σn o σ.
Tensión tangencial: τ (tensión cortante o tensión de cizalladura).
Relación entre tensión y deformación.
La relación entre tensiones y deformaciones se determina por vía experimental, mediante ensayos de
laboratorio, donde se comprueba que para dos piezas de iguales dimensiones y distintos materiales,
sometidos al mismo estado de cargas, las deformaciones producidas son diferentes.
En los materiales reales, las relaciones entre tensiones y deformación y muy especialmente el límite
elástico, dependen de la temperatura y de la velocidad con que se aplican las tensiones al material. Se
supondrá que los estados tensionales ocasionan instantáneamente un estado definido de deformaciones y
viceversa
Una forma sencilla de determinar el comportamiento mecánico de un material es mediante un ensayo de
tracción simple. Éste consiste en someter a una probeta de sección Ω a una fuerza F aplicada en sus
extremos en dirección axial. La probeta se fija en sus extremos por medio de mordazas. En la probeta
normalizada se realizan previamente marcas, que determinan una longitud determinada, sobre la que se
efectúa la medida del alargamiento.
La probeta debido a este esfuerzo axil de tracción se alargará. Llamamos ε al alargamiento unitario en el
sentido longitudinal.
Si se representa en un gráfico los valores de σ en ordenadas y el de ε en abscisas se obtiene el
denominado diagrama tensión-deformación
Al aumentar el valor de la tensión de 0 a σp, existe
proporcionalidad entre σ y ε, la gráfica es una recta y el valor
de σp se denomina “límite de proporcionalidad” (para el acero
σp ~ 200 MPa) Sobrepasando este valor, la gráfica es una
curva, manteniéndose las deformaciones permanentes nulas
hasta alcanzar el “límite de elasticidad” σe.
En la zona elástico-plástica (σe-σf), en el caso de cesar la fuerza
se observarían deformaciones permanentes.
Llegado a este punto se pueden observar líneas formando 45º con el eje de la probeta llamadas “líneas de
Lüders” y que son producidas por las tensiones tangenciales.
Alcanzado el punto fs “límite de fluencia” los alargamientos aumentan considerablemente sin necesidad de
aumentar la fuerza. Para ciertos materiales la fuerza disminuye hasta fi “límite inferior de fluencia”.
Al seguir aumentando la fuerza, la curva es creciente hasta un valor máximo cuya tensión correspondiente
se denomina “resistencia a la tracción o tensión de rotura”
Se forma una pequeña garganta o huso, reduciéndose rápidamente la sección transversal, la deformación
plástica se concentra en una zona originando la estricción, el esfuerzo disminuye y la probeta se rompe.
La determinación del límite de elasticidad (σe) es bastante difícil por lo que en la práctica se toma el punto fs
(σf) como éste límite “límite aparente de elasticidad”.
Si desaparece la fuerza F cuando la tensión pertenece a la
zona elástico-plástica, queda deformación permanente εA.,
si aplicamos nuevamente una fuerza hasta conseguir la
misma tensión anterior, se observa que el alargamiento ε2
es considerablemente superior al ε1, en este proceso
iterativo se comprueba que la probeta rompe sin llegar a la
tensión inicial σ1.
Es por esta causa que las tensiones admisibles deben pertenecer a la zona proporcional de elasticidad en la
que no existen deformaciones permanentes.
En la práctica se utiliza como tensión admisible (máxima de cálculo) el cociente entre la tensión límite y un
número denominado coeficiente de seguridad.
nlím
adm
σσ =
Como tensión límite se suele considerar la de rotura para materiales frágiles y el límite elástico para
materiales dúctiles.
Ley de Hooke. Módulo de Young
La gráfica tensión-deformación en la zona proporcional de elasticidad es lineal, por lo que su ecuación
analítica es: εσ ⋅= E (ley de Hooke)
Siendo E una constante “modulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young”. En la zona elástica de los
materiales, las tensiones son proporcionales a los alargamientos unitarios.
Para el acero: E = 210000 N/mm2
Para el hormigón, Ecm módulo de deformación longitudinal a 28 días: 3500.8 ckcm fE ⋅=
fcm resistencia a compresión del hormigón.
Deformaciones transversales. Coeficiente de Poisson
Al realizar el ensayo de tracción simple se observa no solo un alargamiento longitudinalmente sino que
también se produce una disminución de las dimensiones transversales.
Poisson demostró que dentro de la zona elástica, la relación entre el acortamiento lateral unitario y el
alargamiento axial es constante.
Supongamos un prisma rectangular a tracción según el eje x:
deformaciones unitarias en y y z: c
c
b
bzy
Δ=ε
Δ=ε
coeficiente de Poisson (μ ó ν): x
z
x
y
εε
=ε
ε=ν
por ser acortamientos: EEnx
znx
y
σ⋅ν−=ε
σ⋅ν−=ε
Para material isótropo los acortamientos son iguales: c
c
b
bzy
Δ=
Δ=ε=ε
Los volúmenes inicial y final son:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )211111 xxfi cbac
c
b
b
a
acbaccbbaaVcbaV νε−⋅ε+⋅⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
+⋅⋅⋅=Δ+⋅Δ+⋅Δ+=⋅⋅=
Y por tanto la dilatación cúbica unitaria:
( ) ( ) ( )ν−⋅ε=−νε−⋅ε+=−
=Δ
21111 2
xxx
i
if
V
VV
V
V
Por lo que la dilatación cúbica será tanto menor cuanto más se aproxime el valor de μ a 0.5.
Todo es aplicable a compresión sin más que cambiar los signos.
Leyes de Hooke generalizadas
Generalizando la ley a un estado tridimensional y aplicando el principio de superposición a los tres estados
unidimensionales, a cada uno se le puede aplicar la ley de Hooke y el coeficiente de Poisson.
EEE
EEE
EEE
zzy
y
yzx
xz
zzx
y
yxx
xy
zz
y
yx
x
σν−=ε⋅ν−=ε
σν−=ε⋅ν−=ε
σν−=ε⋅ν−=ε
σν−=ε⋅ν−=ε
σν−=ε⋅ν−=ε
σν−=ε⋅ν−=ε
σ=ε
σ=ε
σ=ε
Por lo que las deformaciones unitarias en cada eje son (suma del efecto de cada situación):
EE
EE
EE
yxzz
zxy
y
zyxx
σ+σ⋅ν−
σ=ε
σ+σ⋅ν−
σ=ε
σ+σ⋅ν−
σ=ε
Distorsión angular debida a las tensiones tangenciales. Módulo de elasticidad transversal
Las tensiones cortantes o tangenciales producen el deslizamiento de una sección respecto a otra
infinitamente próxima.
Considerando el caso particular de un paralelepípedo rectangular sobre el que actúan tensiones normales
σy= -σz, siendo σx = 0.
según el eje q:
( )
zzpq
yzzypq
zypq
zypq
bc
oc
bc
ob
ocobbc
σσσ
σσπσπσσ
πσπσσ
πσπσσ
==
−=+−
=+−=
+−=⋅
22
12
1
4cos
4cos
4cos
4cos
4cos
4cos
22
τσσ =−= zy
según el eje p:
0=σ pp
La distorsión angular entre ob y oc:
z
y
z
y tgobocparayobob
ococ
bbob
ccoc
ob
octg
εεγπ
εεγπ
+
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⇒=
⋅+
⋅+=
+−
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
1
1
24´
´
´
´
24
Pero por otra parte, también:
21
21
241
2424 γ
γ
γπ
γπγπ
+
−≈
+
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
tgtg
tgtgtg
luego: z
y
εε
γ
γ
+
+=
+
−
1
1
21
21
y por tanto: zy εεγ=−=
2
También tenemos:
( ) ( )
( ) ( )EE
EE
zyzz
zzyy
σνσνσε
σνσνσε
+=⋅−=
+−=⋅−=
11
11
Luego queda:
( ) ( ) ( )( ) γ
νττνσνσνεεγ
⋅+
=⇒⋅+
=+
=+
==−=12
111
2
E
EEE zyzy γτ ⋅= G
Módulo de elasticidad transversal G: ( )ν+=
12
EG
Leyes de Hooke generalizadas:
( )
( )
( )yxz
z
zx
y
y
zyx
x
EE
EE
EE
σ+σν
−σ
=ε
σ+σν
−σ
=ε
σ+σν
−σ
=ε
G
G
G
zy
zy
zxzx
yx
yx
τ=γ
τ=γ
τ=γ
Si en las ecuaciones generalizadas despejáramos las tensiones en función de las deformaciones llegaríamos a las
ecuaciones de Lamé:
zyzyzz
zxzxyy
yxyxxx
GGe
GGe
GGe
γ=τε+λ=σγ=τε+λ=σγ=τε+λ=σ
ν
ν
ν
2
2
2
Deformación volumétrica: zyxe ε+ε+ε=ν
Constantes de Lamé: ( )( ) ( )ν+=
ν−ν+ν
=λ12211
EG
E
CRITERIOS DE RESISTENCIA. CONDICIONES DE SEGURIDAD
Existen muchos casos en que los materiales estarán sometidos a un estado tensional complejo. Se conocen
en general las tensiones de rotura o el límite elástico de los materiales obtenidos en ensayos de tracción
simple.
Resulta necesario encontrar algún criterio que nos permita encontrar un estado tensional mono-axial
equivalente al dado y que haga posible la comparación con esta tensión que denominamos equivalente o de
comparación σco.
Todos los criterios de resistencia que se exponen intentan explicar el comienzo del comportamiento no
elástico del material.
Consideremos un material sometido a un estado tensional cualquiera, cuyas tensiones principales en un
punto sean σ1, σ2 σ3 cumpliéndose que σ1 > σ2 > σ3.
Criterio de la tensión principal máxima o de Rankine
Según este criterio para σ1 > 0 y |σ1| > |σ3| ⇒ σco = σ1, es decir, si la mayor tensión principal es de tracción y
además ésta es la de mayor valor absoluto, el campo elástico del material en el entorno del punto está
limitado por ella.
σ1
σ2
σ3
≈
σeq σeq
En el caso de que σ3 sea de compresión y |σ3| > σ1, se impone las
siguientes condiciones simultáneas:
σ1 ≤ σco de tracción
|σ3| ≤ |σco de compresión|.
Tensión tangencial máxima o de Tresca
Este criterio es aceptable para materiales dúctiles en los que se presentan estados de tensiones
tangenciales relativamente grandes.
Deformación longitudinal máxima o de Saint-Venant
Este criterio es al igual que el de tensión principal máxima aceptable cuando el material rompe por fractura
frágil y no lo es cuando se produce fluencia
( )3211 σ+σν−σ=ε=σ Eco ε1 deformación principal positiva de mayor módulo.
312 σ−σ=τ=σ máxco
Energía de distorsión de Von-Mises
Según este criterio sólo parte de la energía de deformación, la debida al cambio de forma, determina la
aparición de deformaciones plásticas.
Es el criterio que mejor explica el comienzo de las deformaciones plásticas en materiales dúctiles sometidos
a cargas estáticas
( ) ( ) ( )[ ]232
231
2212
1 σσσσσσσ −+−+−=co que para un estado plano: 22 3τσσ −=co
Criterio de los estados límites de Mohr
Obtiene la expresión de la σco al imponer la condición de que es la que existiría en una probeta sometida a
tracción, de forma que el coeficiente de seguridad del estado tensional dado y el de la probeta a tracción
fuera el mismo
31 σσσ kco −=
k, cociente entre los límites elásticos a tracción y a compresión: ec
etkσσ
=
