Upload
others
View
33
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)
1. Identifica los elementos que se piden: a) Los términos de 5r +s b) Los términos de 5xy2 +2y –7w c) Dos factores de 5z ______________________ d) La base en 3xy2 e) El coeficiente numérico en 2xy f) El coeficiente numérico en x/3 g) Las variables en 6xy h) Las variables en 6x 5 y 2 i) El grado de la variable m en 7m5n j) El grado de la variable n en 7m5n k) La constante de 7x2 –1 2. Considerando que un monomio es un número variable o producto de números y variables
explique por qué las siguientes expresiones no son monomios
a) 5x +y b) 7xy3 c) x 2y
3. Considere las siguientes expresiones identificando cada una de ellas con una letra a) 14x + 10 y –3 d) 2/3 x +1/3 y b) –17x5y3z2 e) 5x4z –1/2 x2 z2 + xz3 –7z6
c) 7x5y f) x+4 I) Identifique los polinomios:____________________
II) Identifique los monomios:____________________
III) Identifique los binomios:____________________
IV) Para cada polinomio, que no sea monomio, especifique los
términos____________________________________________________
V) Dé los coeficientes numéricos de las expresiones D y E
4. Evalúe cada polinomio para los valores dados: a) 4x2 –x +3 x=-2 b) x2 –3x +5 x=3/2 c) –x2 +7 x =5
2
d) 4xy –8y2 x=3 y=0,5 5. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios: a) 8x -3x+7x= b) 3x +9y –2x –6y= c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c = e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c= 6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)= b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)= 7. Dados los polinomios A: 2b2c –3b + 6c B: 4b - c2b + 12 b2c C: 4 – 2c Ejecute las siguientes operaciones: a) A + B= b) A - C= c) B - A= 8. Calcular el perímetro de la siguiente figura: x2 +x 2x2 +x x 3x2 +x –3 9. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado?
CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO:
Sea el polinomio: 3
15
4
3 32 xxx
Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:
3
3
1
4
35 23 xxx
Términos 35x 2
4
3x
x
3
1
Variable x x x
Coeficientes de la variable 5
4
3
1
Exponentes de la variable 3 2 1
* Grado del polinomio 3
Término Independiente
3
1
*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable
Clasificación de los Polinomios
Los polinomios, según el número de términos, se clasifican en:
- Monomio: Es aquella expresión algebraica que consta de un solo término.
Ejemplos: 2
7
3x 5
2
2bxa
- Binomio: Es aquella expresión algebraica que tiene dos términos:
Ejemplos: 13 x ax4
54 ba
- Trinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene tres términos:
Ejemplos: 7
1
5
6 3 xx 52
9 2
yy
- Polinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene más de tres términos:
Ejemplo: 15
2
4
3 234 xxx
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición,
sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de ellas.
Adición de polinomios: La adición consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos,
en una sola que se le llama suma.
En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un concepto más general por lo
que puede significar aumento o disminución.
En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes. Incluso, hasta un
polinomio puede tener inmerso términos semejantes.
Hay semejanza entre términos cuando:
Tienen la misma variable o variables.
Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el signo positivo (+) o el negativo (-).
4
Tienen igual exponente en la variable o variables.
Ejemplo:
Son términos semejantes:
Entonces, se puede hacer una agrupación con estos términos y reducirlos a una sola expresión aplicando una
suma.
Ejemplo Nº 1:
Eliminando los paréntesis queda:
222 35 xxx
Tomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo multiplicamos por la variable con su
respectivo exponente, así:
2135 x
Efectuamos la suma algebraica entre las cantidades que están dentro del paréntesis:
2135 x 245 x
2135 x 21 x
2135 x 21 x
2135 x 2x
Son términos no semejantes los siguientes: 36x ,
26x , 26y ,
Los términos 36x y
26x , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar que tienen el mismo
coeficiente no son términos semejantes. El término 26y no es semejante a ninguno de los otros dos términos,
pues su variable es distinta.
Veamos algunos ejemplos de adición de polinomios:
Cuando es una suma de monomios
Ejemplo Nº 2:
Sumar: 25x y x7
Solución: xxxx 7575 22
Cuando es una suma de binomios
La variable “x” es la misma para los tres términos
El exponente “2” de la variable es igual para los tres términos
25x23x 2x
Aunque los coeficientes de las variables sean diferentes
- Primero sumamos los enteros positivos 3 y 1
- Se restan las cantidades por ser de signos diferentes y la
diferencia lleva el signo de la mayor (-5 y -4)
- Se elimina el paréntesis
- Como el 1 es elemento neutro de la multiplicación, sólo
se multiplican los signos (+ . - = -)
Observa que, como los términos
no son semejantes la suma se deja
indicada
5
Ejemplo; Sumar: 3
1
4
3 2 x y xx 38
7 2
Solución:
xxx 3
8
7
3
1
4
3 22
xxx 38
7
3
1
4
3 22
xxx 3
3
1
8
7
4
3 22
3
13
8
7
4
3 2 xx
8
13
8
76
8
7
4
3
78
56
8
7.8
64
24
4
3.8
88
7
4
3
8)8,4(..
mcm
Luego el polinomio resultante es:
3
13
8
13 2 xx
En la adición de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores, solo debes estar
pendiente de la agrupación de términos semejantes. Es importante señalar que la sustracción de polinomios
es un caso particular de la adición. Esto lo podemos explicar de la siguiente manera:
Ejemplo Nº 3:
Sea 4
76
5
3 xxA y
6
5
2
1
5
1 23 xxxB
y nos piden determinar: A – B =
Es decir, al polinomio 4
76
5
3 2 xx le restamos el polinomio 6
5
2
1
5
1 23 xxx
estructuremos la operación:
Indicamos la operación de los dos
binomios agrupando cada uno entre
paréntesis
Eliminamos los paréntesis, como el signo
que los precede es positivo, no se afecta
ningún término
Agrupamos los términos semejantes
Extraemos la variable con su respectivo
exponente como factor dejando los
coeficientes dentro del paréntesis.
Observe que estos nos indican una suma
de fracciones con diferente denominador
1. Se calcula el mcm entre los denominadores
2. Esta cantidad es el denominador del
resultado
3. Se multiplica cada fracción por el mcm y
estas cantidades forman el numerador del
resultado
4. Se efectúa la operación indicada y
obtenemos la fracción resultado
Recordar: Para sumar fracciones de diferente denominador
1-
2-
3-
4-
6
6
5
2
1
5
1
4
76
5
3 232 xxxxxBA
Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre paréntesis.
Si 6
5
2
1
5
1 23 xxxB
Entonces
6
5
2
1
5
1 23 xxxB
- B es el opuesto de B
Luego, la operación quedaría así:
6
5
2
1
5
1
4
76
5
3)( 232 xxxxxBA
Si eliminamos el paréntesis:
6
5
2
1
5
1
4
76
5
3)( 232 xxxxxBA
Agrupamos los términos semejantes:
6
5
4
7
2
16
5
1
5
3)( 322 xxxxxBA
Extraemos la variable de cada paréntesis con su respectivo exponente, dejándola como factor
6
5
4
7
2
16
5
1
5
3)( 32 xxxBA
Observa que dentro de cada paréntesis hay una suma de fracciones con diferente denominador.
Vamos a realizar cada adición por separado:
5
4
5
1
5
3:º1
Adición
Adiciónº2
360
Cuando un paréntesis está precedido del signo
menos, todos los términos que están dentro de él
cambian de signo
Recordar:
Para eliminar signos de agrupación
Observa que es una suma de fracciones con igual
denominador. La fracción resultante tendrá el mismo
denominador común y el numerador será la suma de
los numeradores parciales
Recordar:
Para sumar fracciones con igual denominador
Tenemos una suma de fracciones con diferente
denominador, calculamos el m.c.m de los
denominadores; es decir, m.c.m (1,2) = 2, este
m.c.m= 2 representa el denominador común a todas
las fracciones; ahora, los numeradores también
cambian multiplicando el m.c.m= 2 por las
fracciones parciales
Recordar:
Para sumar fracciones con diferente denominador
Calculamos el mcm entre los denominadores mcm (4 ,
6) = 12, este es el denominador del resultado y esa
misma cantidad se multiplica por cada fracción para
Recordar:
2
11
2
112
2
1
2
12
2
1
1
6
7
Adiciónº3
12
)6/5.12(
12
)4/7.12(
6
5
4
7
12
31
12
10
12
21
6
5
4
7
Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes, tenemos:
12
31
2
11
5
4)( 23 xxxBA
Practica la Adición de polinomios con los siguientes ejercicios:
- Sean los polinomios
3
16
2
1 2 xxA , 2
792
7
6 23 xxB , 2
4
1
5
3xxC
, 3
2
3
8
9
2
8
3x
xxD
Calcula:
1) A + B + C = 3) (D + A) – C = 5) D + B =
2) D + C + A = 4) B – (D + A) = 6) C – A =
Multiplicación de Polinomios:
La multiplicación de polinomios, es una operación que consiste en multiplicar dos o más polinomios llamados
factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para multiplicar polinomios es necesario tener claro la
regla de los signos, las leyes de la potenciación y la agrupación de términos semejantes.
Veamos algunos casos de la multiplicación: Multiplicación de Monomios
Multiplicar:
5.2.3 2 xx
En esta multiplicación tenemos varios factores con
sus respectivos signos, hay factores numéricos y
factores literales o variables.
Para sumar fracciones con diferente
denominador
+ * + = + - * - = + + * - = - - * + = -
Recordar:
Regla de los signos
* mnmn aaa . *
mn
m
n
aa
a
* mnmn aa .)( * 10 a
* aa 1 * pmpnpmn baba .. ..
Recordar:
Leyes de la potenciación
8
xx ..5.2.3 2
xx ..5.2.3 2+
)).(.(30..5.2.3 22 xxxx
32 .30..5.2.3 xxx
Este es el resultado de multiplicar los monomios
32 305.2.3 xxx
Multiplicación de Monomios por polinomios
Multiplicar:
2
52.
5
3 22 xxx
5
32.
5
3.
5
3
2
52.
5
3 22222 xxxxxxx .
2
5
Observa que los coeficientes numéricos de cada
monomio, son también factores y se pueden
manipular independientemente de la variable,
siempre y cuando estén como factores dentro de la
misma multiplicación. En la organización es
conveniente que los factores numéricos sean los
primeros en expresarse.
Si multiplicamos los signos de cada uno
de los factores: + . - . - . + . + = +
obtenemos el signo del producto. En este
caso es positivo
Ahora calculamos el producto de los factores
numéricos: 3 . 2 . 5 = 30
Para multiplicar las variables (la parte literal),
que son potencias, tienes que estar claro con la
ley de la potenciación que dice que “en la
multiplicación de potencias de igual base se
obtiene otra potencia con la misma base, cuyo
exponente resulta de sumar los exponentes
parciales de cada potencia” x2 . x = x2+1 = x3
Para multiplicar un monomio por un polinomio, se
aplica una propiedad distributiva del producto con
respecto a la adición, de esta manera obtenemos
una suma algebraica con los productos parciales.
Observa que cada producto parcial es una multiplicación de dos monomios. Recuerde el
procedimiento para este caso. En cada multiplicación parcial, realiza primero la multiplicación
de los signos, luego, multiplica los coeficientes de cada monomio y por último realiza la
multiplicación de las variables o potencias literales.
9
Vamos a calcular los productos por separado:
1° producto:
42222
5
3..1.
5
3.
5
3xxxxx
5
3
1
1.
5
31.
5
3
4222.2 xxxx
2° producto:
322
5
6.
1
2.
5
32.
5
3xxxxx
3° producto:
2222
2
3
10
15.
2
5.
5
3
2
5.
5
3xxxx
Observa que el producto de los coeficientes, resultó una fracción que se simplificó, debido a que al
descomponer tanto el numerador como el denominador, resultó un factor común (el 5), el cual se canceló por
ley de la potenciación, quedando una fracción irreducible. Luego, reuniendo los productos parciales
resultantes conformamos el producto total de la multiplicación inicial:
23422
2
3
5
6
5
3
2
52.
5
3xxxxxx
Multiplicación de un polinomio por otro polinomio
Coeficientes
Potencias Literales
Producto
Ya debes tener claro la regla de los signos (+. - = -) ; los
coeficientes o parte numérica son números racionales; es decir,
fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de forma lineal,
numerador por numerador y denominador por denominador.
La multiplicación de las potencias literales se realiza aplicando la
ley de potenciación “cuando se multiplican potencias de igual
base, el producto que resulta es otra potencia con la misma base y
el exponente es la suma de los exponentes parciales”.
Se procede igual al caso anterior:
5
6
1
2.
5
32.
5
3
Coeficientes
3122 . xxxx Potencias Literales
Se procede igual al caso anterior:
2
3
5.2
5.3
10
15
2
5.
5
3
El polinomio resultante no tiene términos
semejantes por lo tanto es un polinomio
irreducible.
10
Multiplicar:
1
4
3
3
4
2
3 2 xxyx
Solución:
1
4
3.
3
4
2
3 2 xxx
1.2
3.
2
3
4
3.
2
3 2
xxxxx 1.
3
4.
3
4
4
3.
3
4 2
xx
1° producto:
322
8
9..
4
3.
2
3
4
3.
2
3xxxxx
2° producto:
2
2
3..1.
2
3.
2
3xxxxx
3° producto:
xxx2
3.1.
2
31.
2
3
4° producto:
2222
12
12
4
3
3
4
4
3
3
4xxxx
5° producto:
xxx3
41
3
4
3
4
6° producto:
3
4
1
1
3
41
3
4
Luego:
Tomamos los productos parciales resultantes y estructuramos el polinomio total.
3
4
3
4
2
3
2
3
8
91
4
3
3
4
2
3 2232
xxxxxxxx
Observa que el primer factor es un polinomio de dos términos, por lo tanto hay que aplicar la
propiedad distributiva dos veces. El primer término del binomio multiplica a todos los
términos del trinomio, luego el segundo término del binomio multiplica a todos los términos
del segundo factor, es decir, del trinomio.
Después de aplicar la propiedad
distributiva hemos obtenido muchos
productos parciales, para ser más
exactos, seis productos. Vamos a
resolverlos uno a uno:
Si observas cada par
de líneas notarás como
se efectuaron los
productos
11
Revisamos si el polinomio resultante tiene términos semejantes; si los tiene hacemos agrupaciones con
ellos:
3
4
3
4
2
3
2
3
8
91
4
3
3
4
2
3 2232
xxxxxxxx
Como en los casos anteriores, en agrupaciones de términos semejantes extraemos la variable con su
respectivo exponente como factor fuera del paréntesis.
3
4
3
4
2
31
2
3
8
91
4
3
3
4
2
3 232
xxxxxx
Realizamos la adición dentro de cada paréntesis paso a paso:
1º Adición: 2
5
2
23
2
2
2
3
1
1
2
3
2° Adición: 6
17
6
8
6
9
3
4
2
3
Luego, resueltas las adiciones, volvemos al polinomio.
3
4
6
17
2
5
8
91
4
3
3
4
2
3 232
xxxxxx
De esta manera, hemos llegado al producto final de la multiplicación de dos polinomios.
Para que practiques los procedimientos en la multiplicación de polinomios te proponemos los siguientes
ejercicios:
Dadas las expresiones algebraicas:
xP2
7
2
5
4xQ
7
6
7
8 3 xxR
9
59
4
3
2
2
xx
T 3
11V
Calcula:
1) QPV .. 2) RQ. 3) QT . 4) TV .
5) RP.
División de polinomios
Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como un grupo
de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Vamos a explicarlo por medio de
un ejemplo:
Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se debe buscar
otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el “dividendo”.
Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:
12
xxxxxx 2164103 2532
Se ordenan los dos polinomios tomando en
cuenta los exponentes de la variable (x) en
orden decreciente y completando con
coeficiente cero (0) la potencia faltante.
12631004 22345 xxxxxxx
Se divide el primer término del polinomio
dividendo entre el primer término del
divisor
12631004 22345 xxxxxxx
Para efectuar esto se divide el coeficiente
del dividendo entre el del divisor y con la
variable se aplica la regla de potencia de un
cociente de igual base.
325
2
5
2
5
441
44xx
x
x
x
x
12631004 22345 xxxxxxx
34x
Este es el primer término del cociente
Se multiplica el primer término del cociente
por todos los términos del divisor, a estos
productos se les cambia el signo y se
ordenan debajo del dividendo según el
exponente de la variable.
12631004 22345 xxxxxxx
345 484 xxx 34x
Estos productos se resta del dividendo 12631004 22345 xxxxxxx
345 484 xxx 34x
63148 234 xxxx
Se repite todo el procedimiento
considerando que ahora el primer término
del nuevo dividendo es 8x4
224
2
4
2
4
881
88xx
x
x
x
x
12631004 22345 xxxxxxx
345 484 xxx 23 84 xx
63148 234 xxxx
234 8168 xxx
652 23 xxx
Continuamos ahora dividiendo los demás términos
12631004 22345 xxxxxxx 345 484 xxx 1284 23 xxx
63148 234 xxxx
234 8168 xxx
652 23 xxx
xxx 242 23
632 xx
122 xx
75 x
El cociente de la división es : 1284 23 xxx
Y el residuo: 75 x (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar
dividiendo por lo que la división es inexacta)
13
Ejercicios propuestos:
1- 22723 23 xxxx
2- 183249 22354 xxxxxx
3- 222010 2268 yyyy
4-
3
1
2
1
2
1
3
1
2
1 2243 xxxxx
5- ¿Cuál debe ser el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad?
Objetivo: 1. Identificar tipos de factorizaciones.
2. Factorizar expresiones algebraicas.
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
1) 3a2b2 + 15ab2 – 45ab3 =
2) x2 - xy + xz - xz2 =
3) y2 – y – 30 =
4) x2 + 5x – 24 =
5) 4x2 –12xy + 9y2 =
6) 25x4 – 25y4 =
7) 0,09 – 4x2 =
8) 21ax + 35ay + 20y + 12x =
9) b4 - b3 =
10) (a + 1 )(a - 1 ) - x ( a - 1 )
11) 3m2 - 7m - 20 =
12) 8y2 - 18 =
13) x3 - 125=
14) ac - a - bc + b + c2 - c =
15) 22
36
49
25
9ba
14
16) x3 –3x2y + 3xy2 – y3 =
17) 35a2b2 + 15ab2 – 45ab =
18) x2 - xy + xz - yz =
19) y2 +11 y + 30 =
20) 27x3 – 125=
PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN
Multiplicación de términos algebraicos:
Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte
literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base, y luego reducir los términos
semejantes, si los hay.
Ejemplos:
1. 5xy2 · -7x3y2 =
2. 2xy·(-5x + 4y – 3xy) =
3. (3x – 2y)(4x + 5y)=
4. (2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) =
En los productos algebraicos existen algunos casos que pueden ser resuelto a través de una regla cuya
aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables.
Cuadrado del Binomio: Corresponde al producto de un binomio por sí mismo.
Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede expresarse como (a + b)2 y luego (a - b)(a - b) que puede expresarse
como (a - b)2
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2
En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo.
Luego podemos enunciar que:
“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del
primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”
La estructura que representa esta fórmula es:
15
Donde representa al primer término del binomio y al segundo.
Ejemplos:
a) (x + 7)2 = x2 + 2·x·7 + 72 = x2 + 14x + 49
b) (2a – 3b)2 = (2a)2 - 2·2a·3b + (3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2
Suma por Diferencia Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia.
Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a – b)
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:
Es decir,
“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos
el cuadrado del segundo”
Ejemplos:
a) (2x + 5y)(2x – 5y) = (2x)2 – (5y)2 = 4x2 – 25y2
b) (7m2 + 5n3)(7m2 – 5n3) = (7m2)2 – (5n3)2 = 49m4 – 25n6
Multiplicación de Binomios con un Término Común
Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios (x + a) por (x + b), siendo el término común
“a”.
Desarrollemos 2 ejemplos para extraer una conclusión.
(x + 5)(x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15
Observa que 5 + 3 = 8 y que 5·3 = 15
(x – 7)(x + 2) = x2 + 2x – 7x – 14 = x2 – 5x - 14
Observa que –7 + 2 = -5 y que -7·2 = -14
La estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente:
Concluimos entonces que
“El producto de binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más la suma de
los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos”
16
Ejemplos:
a) (x + 6)(x + 12) = x2 + (6 + 12)x + 6·12 = x2 + 18 x + 72
b) (a + 7)(a – 3) = a2 + (7 – 3)a + 7·-3 = a2 + 4a – 21
FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión
propuesta.
Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común.
Sabemos que m( x - y + z ) = mx - my + mz.
Luego, factorizar este último polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor común. O sea
mx - my + mz = m( x - y + z ).
Ejemplos: Factorizar
a) 6ab2 – 18a2b3 = 6ab2(1 – 3b)
b) 5a2bx4 - 15ab2x3 - 20ab3x4 = 5abx3(ax - 3b - 4b2x ).
Factorizar un trinomio cuadrado perfecto.
Sabemos que (a b)2 = a2 2ab + b2.
Luego, se tendrá inversamente que a2 2ab + b2=(a b)2.
Ejemplos: Factorizar
a) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2
b) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2
Factorización de la diferencia de dos cuadrados.
Sabemos que (a + b)(a - b) = a2 - b2.
Luego, se tendrá inversamente que: a2 - b2 = (a + b)(a - b).
Ejemplos: Factorizar
a) 9a2 - 16b2 = (3a)2 - (4b)2 = (3a + 4b)(3a - 4b).
b) 4x2 – 0,01 = (2x)2 – (0,1)2 = (2x + 0,1)(2x – 0,1)
Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n.
Sabemos que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
Luego, se tendrá inversamente que: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Ejemplos: Factorizar
a) x2 + 7x + 12 = x2 + (4 + 3)x + 4·3 = (x + 4)(x + 3)
b) x2 + 5x – 14 = x2 + (7 – 2)x - 7·-2 = (x + 7)(x – 2)
GUIA DE EJERCICIOS 1
17
Objetivos: Deberás
a) Expresar el valor numérico de una expresión algebraica que resulta al sustituir los factores literales por
valores numéricos y luego efectuar las operaciones indicadas.
I) Encuentra el valor de cada uno de los siguientes términos:
1) k2 ; si k= 5 ............................................ 2) n3 ; si n=10 ............................................
3) a1 ; si a= 150 ............................................ 4) 2w2 ; si w=6 ............................................
5) (a + 3)2 si a=5 ............................................ 6) (5 + a)3 ; si a= -1 ............................................
II) Si a=1 ; b= -1 ; c=2 ; d= ½ ; e=0 , determine el valor de cada una de las siguientes expresiones:
7) a+ b = ....................................... 8) 2a - b + c =.......................................
9) (a + b) * c = ....................................... 10) (c+d)*e +ab =.......................................
11) (a-b)2 + (c-d)2 =....................................... 12) d2 - ea - b =.......................................
13) a + d =....................................... 14) a + a - c=.......................................
b c b
15) a + d =....................................... 16) ( a + b-c)2 =.......................................
d c
III) Evalúa cada una de las siguientes expresiones:
17) Area de un cuadrado: Ac
Ac =a2 , si a vale 15 cms.
18) Volumen de un cubo: Vc
Vc = a3 , si a vale 15 cms.
19) Volumen de una esfera: 4 r3 si = 3,14 y
r=24cms. 3
20) Energía Cinética = mv2 Si m=5grs. y v=
10cms/seg 2
21) Volumen de un cilindro r2h ; SI = 3,14 ;
r= 1,2 cms. y h=26cms.
22) Calcule el perímetro de unrectángulo de lados
a= 4,2 m y b= 2,3 m
18
23) Completa el siguiente cuadro:
A b c a + b - c a2 - bc 2a -3b2
1
-2 3
5
0 -1
½
-4 -2
2/3 1 1/8
-2 3 1
0 1 -2
½
1 1/4
0 -1 -1
GUIA DE EJERCICIOS 2
1. Resuelve:
1. (x + 5)²= 11. (6x - 8y)² =
2. (x - 7)² = 12. (0,2x – 3)² =
3. (a + 1)² = 13. (5a - 0,3)² =
4. (m + 21)²=
14. ( 43 x – 5)²
5. (x - 2)² = 15. =
6.(x – 18)² =
_ _
16. ( 0,7 a + 0,2 b)2 =
7. (p + 5q)² =
17. ( 81 x – y) 2 =
19
8. (x – 3y)² =
18. ( 0,3M -0, 5 N )2 =
9. (2x + 6)² =
19. ( 8m – ½ n )2 =
10. (3x - 5)² =
20. ( 2 mn + 6m2n2 )2 =
II.- Calcula las siguientes sumas por diferencia:
a) (a + 3)(a - 3)=
b) (x + 7)(x - 7)=
c) (m - 12)(m + 12)=
d) (y + 27)(y - 27)=
e) (2a - 6)(2a + 6)=
f) (3x - 4y)(3x + 4y)=
g) (4mn + 7pq)(4mn - 7pq)=
h) (a2 + b2)(a2 - b2)=
i) (5x2 - 8y2)(5x2 + 8y2)=
j) (0,4p + 1,2q)(0,4p - 1,2q)=
k) (2/5 m + 3/4 n)(2/5 m + 3/4 n)=
l) (1 - 3/8 a)(1 + 3/8 a)=
III.- Desarrolla los siguientes productos:
a) (a + 3)(a + 7)=
b) (x + 8)(x - 5)=
c) (m - 9)(m - 3) =
20
d) (2x + 5)(2x + 4) =
e) (7m - 6)(7m + 1) =
f) (m2 + 8)(m2 – 2) =
g) (8 + a)(5 + a) =
h) (-6 + x)(3 + x) =
GUIA DE TRABAJO 3
Identifica de que producto notable proviene cada expresión:
1) 6x – 12 =……(……-……)
2)……(……-……) =24a + 12ab
3) 4x – 8y = ……(……-……) 4) ……(……-……)= 10x - 15x2
5) ……(……-……)= 14m2n + 7mn 6) 6x4 - 30x3 + 2x2 )= ……(……-……+……..)
7) 4m2 + 20 am = ……(……+……)
8) 4a3bx + 4bx = ……(……+……)
9)(………+………..) 2 = m2 - 2m + 1
10) x2 + 26x + 25 =(……….+……….)(……….+……….)
11) (………+………..) 2 =y2 - 10y + 25
12) 4c2 – 20cd + 25d2= (………- ………..) 2
13) (………+………..) 2 = y2 + 6y + 9
14) (……… + ……..) 2 = h2 + 4h + 4
15) (………- ………..) 2 = 9a2 - 12 ab + 4b2
16) (……… - ………..) 2 =4x2 – 20xy + 25y2
17) (………- ………..) 2 = 49x2 - 14x + 1
18) 16m2 - 40mn + 25n2= (………-………..) 2
19) (………- ………)(………+ ……)= y2 - 4
20) (………..+…………)(…………- …………)=4x2 - 9
21) (………- ………)(………+ ……)= a2 - 1
22) (………..- ………)(………+ ..……)= m2 - 25
23) 49x2 - 36y2= (………+ ………)(………- ……)
24) (………+ ………)(………- ……)=121p2 - 400q2
25) (………- ………)(………+ ……)=16a2b2 - 49
26) (………- ………)(………+ ……)= m2n4 - x8
27) (………+ ………)(………- ……)=¼ - x4
28 (………- ………)(………+ ……) =) n2 - 4a2
y2 9x2
21
29)……………………………….= 2ab + 4a2b - 6ab2
30)…………………………………….= b2 - 3b – 28
31)……………………20xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2
32)…………………………………….= z2 + 6z + 8
33)…………………………..=5a + 25ab =
34)…………………………..= bx + bx2 –bx3
35) …………………………….=4 - 12y + 9y2
36) …………………………=a2x2 - b4y4
37) ………………………………=x2 - x + ¼
38) ……………………………………..=x2 + 4x + 4
39)……………………………………=36m2 - 12mn + n2 40)……………………………………= 4a2 - 12ab + 9b2
II. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.
1) 6x - 6y =
18) a
x +
a
5 =
2) 9a + 9b =
19) x2 + 9x + 18 =
3) 5x – 5 =
20) m2 - 3m – 10=
4)18m – 12 =
21) x2 - 5x + 6=
5) 48x + 60 =
22) x2 - x – 30=
6) 8x + 16y - 32z=
23) x2 – 25=
7) 18a + 27b - 45c=
24) m2 – 144=
8) ax – ay =
25) 9 - x2 =
9) xy – x =
26) x2 - 14x + 49=
10) m2 – m =
27) p2 + 12pq + 36q2=
11) x - x2 =
28) x2 - 2xy + y2 =
12) 8a2 + ab=
29) 25x2 - 49y2 =
13) 4x2 + xy - 2x =
30) 9/16 x2 - 81/4y2 =
14) 6ab - 12a + 8ac =
31) x2 -3x + 2=
15) 12xy2 - 42x2y + 54xy =
32) 12x2 - x – 6=
22
16) xy2 - x2y + x2y2 =
33) 4x2 + 12x + 9=
17) 0,16ª + 0,8b = 34) 0,7p - 0,7 =
GUIA DE TRABAJO 4 FACTOR COMUN MONOMIO
1) …(………….) = 4x + 20 2) …(………….) =4x - 16y
3) ……(………….) = 48a - 24ab 4) …(………….) =20x - 25x2
5) ……(………….) = 49x2y + 7xy 6) ……(………….) =8x4 - 24x3 + 32x2
7) ……(………….) =4m2 - 20 am 8) ……(………….) =18a3by - 6by
9) ……(………….) = 12n3 – 6m2 10) ……(………….) =7m – 21n + 42
11) ……(………….) = ax + bx 12) ……(………….) ==y2 – y
13) ……(………….) =3ab + 30ac - 27ad 14) ……(………….) =40a – 24ay + 8az
15) ……(………….) =5a2y – 15ay2 + 25ay 16) ……(………….) =6x2n + 12x3n2 – 30x4n3
TRINOMIO ORDENADO PERFECTO: Factorización como cuadrado de binomio
Ejercicios: Los siguientes polinomios ¿son trinomios ordenados perfectos?
1)(….………)2 = 4m2 - 8m + 4 2) (….………)2 =x2 + 10x + 25
3) (….………)2 =y2 - 10y + 25 4) (….………)2 = 4c2 - 20cd + 25d2
5) (….………)2 =y2 + 6y + 9 6) (….………)2 = h2 + 4h + 8
7) (….………)2 =9a2 - 12 ab + 4b2 8) (….………)2 = 4x2 - 20xy + 25y2
9) (….………)2 =49x2 - 14x + 1 10) (….………)2 =16m2 - 30mn + 25n2
v) DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS: Suma por diferencia
EJERCICIOS: Escribe como suma por diferencia:
1)(……..)(……….)= 4y2 - 1 2) (……..)(……….)= 16x2 - 9
3) (……..)(……….)= 25a2 - 1 4) (……..)(……….)= 49m2 - 25
5) (……..)(……….)= x2 - 36y2 6) (……..)(……….)= 144p2 - 900q2
7) (……..)(……….)= 81a2b2 - 100 8) (……..)(……….)= m2n4 – x12
9) (……..)(……….)= 25n2 - 4a2 10) (……..)(……….)= ¼ - 25x8
16y2 9x2
23
EJERCICIOS DIVERSOS: Factoriza:
1) 2ab + 4a2b - 6ab2 = 2) 20xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =
3) b2 - 3b - 28 =
4)z2 + 6z + 8 =
5) 5a + 25ab =
6) bx - ab + x2 - ax=
7) 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =
8) ax + ay + x + y =
9) 8x2 - 128 =
10) 4 - 12y + 9y2 =
11) x4 - y2 =
12) a2x2 - b4y4 =
13) x2 + 2x + 1 - y2 =
14) x2 - y2 - 4x + 4 =
15) a2 - x2 + 2xy - y2 =
16) ( a + b)2 - ( c+d)2 =
17) a2 + 2ab + b2 - c2 + 2cd - d2 =
18) (a + 3)2 - (3a - 6)2 =
19) x3 + x2 + x + 1 =
20) 3a4 + a3 + 15a + 5 =
21) x2 + 4x + 4 =
22) a2 + 12ab + 36b2 =
23) 9x2 + 24xy + 16y2 =
24) 36m2 - 12mn + n2 =
25) 4a2 - 12ab + 9b2 =
26) x2 - x + ¼ =
27) a( x+1) + b(x+1) =
28) x(2a+b) + p(2a + b)=
29)x2 ( p + q) + y2 ( p + q) =
30) 1 - x + 5 ( 1 - x) =
31) a ( 2 + x ) - 2 - x =
32) a2 + 1 - b ( a2 + 1 ) =
33) ( x + y)( n + 1 ) - 3 ( n + 1 ) =
34) ( a + 1 ) ( a - 1 ) - 2 ( a + 1)=
35) a( a + b) - b ( a + b) =
36) ( 2x + 3) ( 3 - r ) - (2x -r) (3 -r)=
37) a + ab + ax + bx =
38) ab + 3a + 2b + 6 =
39) ab - 2a - 5b + 10=
40) 2ab + 2a - b - 1 =
41) 3x2 - 3bx + xy - by =
42) 6ab + 4a - 15b - 10=
43) sm - bm + sn - bn =
44) 3x3 - 9ax2 - x + 3a =
45) 3a - b2 + 2b2x - 6ax =
46) a3 + a2 + a + 1=
Cuestiones de Geometría
39. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más
de largo que de ancho.
24
40. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.
41. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3
metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo.
42. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura
en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie
aumenta en 4 metros cuadrados.
43. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los
catetos?
44. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo
del triángulo?
45. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5
cm. Averigua las bases del trapecio.
46. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.
47. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta
en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.
48. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm.
Calcula la altura del trapecio.
DESARROLLE LOS PROBLEMAS Y ENTREGUELOS EN HOJA DE EXAMEN EN UNA FECHA POR DETERMINAR IMPORTANTE LEER LAS INDICACIONES QUER EXPLICAN EN FORMA CORRECTA ALGUNOS PROCEDIMIENTOS VISTOS EN CLASE , SI NO TOMARON APUNTES ES LA OPORTUNIDAD DE UN APRENDIZAJE, EL ALGEBRA DE OCTAVO ES LA BASE PARA LA FISICA Y EL CALCULO APRENDA Y CONOZCA SEA UN LIDER DE LA COMUNIDAD DE ESTUDIANTES CORDIALMENTE LUIS CARLOS
IMPORTANTE SOLO IMPRIMA LO QUE CORRESPONDA A EJERCICIOS, LAS EXPLICACIONES SON OPCIONALES , SI QUIERE APRENDER SE PUEDE OBLIGAR A COMER LA SOPA PERO NO A SENTIR HAMBRE