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Introducción a Procesos Estocásticos
Dr. José Dionicio Zacarias Flores
La necesidad de utilizar procesos estocásticos y
otras áreas afines
De acuerdo con Tapiero (1998)
El tiempo, el cambio y la incertidumbre son formas
esenciales de complejidad que, cada vez más,
obstaculizan nuestra capacidad para funcionar.
Además, la inestabilidad y el carácter cada vez más
dinámico de nuestro entorno tecnológico, económico,
financiero y comercial han hecho del control de las
economías y su gestión, inevitablemente, una función
mucho más difícil.
Hoy más que nunca, la administración se ha convertido
al mismo tiempo más en un arte y más en una disciplina
que requiere las últimas herramientas matemáticas y
computacionales.
De acuerdo con Tapiero (1998)
El mañana es ahora, lo que significa que las
complejidades del pasado, el presente y el futuro y
cómo se relacionan entre sí deben ser descifrados.
Como resultado, los gerentes y economistas han
comenzado hace mucho tiempo a razonar
explícitamente en términos de procesos, escenarios
alternativos y planes en una perspectiva de tiempo e
incertidumbre.
De acuerdo con Tapiero (1998)
El tiempo, el cambio y la incertidumbre acosan
algunas de las decisiones empresariales, económicas
y financieras más importantes.
Aunque en muchas situaciones, la intuición y el juicio se
utilizan para alcanzar un curso de acción adecuado, en
ciertos casos, se requieren conjeturas razonadas y
justificables. Estos plantean algunos problemas
técnicos y de modelado importantes.
De acuerdo con Tapiero (1998)
En este sentido, campos como los procesos estocásticos,
la programación dinámica estocástica y el control
estocástico se convierten en herramientas que a
menudo se requieren para enfrentar estos problemas.
La planificación de una actividad económica o
financiera en una perspectiva de tiempo e
incertidumbre implica que "organizamos" los eventos
en el tiempo (control) y gestionamos la incertidumbre
que se desarrolla a lo largo del tiempo (gestión de
riesgos).
Para ello, el modelado estocástico y la programación
dinámica estocástica (SDP) son marcos que se
requieren para hacer frente a estos problemas de
planificación.
Definición de Proceso
Estocástico
Dado un espacio de probabilidad Ω,ℱ,℘ , un proceso
estocástico es una colección de variables aleatorias
X(t): t T donde t es el parámetro que pertenece al
conjunto índice T. En general, llamamos a t el parámetro
del tiempo (o simplemente el tiempo), y T ⊆ R. Cada
X(t) toma valores en el conjunto S ⊆ R llamado espacio
de estados; entonces X (t) es el estado del proceso en
el tiempo t.
Características generales de un
proceso estocástico
El conjunto indexado T: el parámetro que indexa al
proceso estocástico determina el tipo de proceso
estocástico en que se está trabajando.
Si T = 0, 1, 2, 3, … (o equivalente), se obtiene el
proceso estocástico en tiempo discreto. Se representa
como Xnn N. También T puede ser igual a ℤ o ℤ+.
Si T = [0,), se obtiene el proceso estocástico en
tiempo continuo Xtt ≥ 0. o puede ser cualquier
intervalo real.
Si T = ℤ × ℤ , se describe un campo aleatorio discreto.
Si T = [0,1][0,1], se describe la estructura de alguna
superficie.
Los procesos estocásticos se
caracterizan por tres propiedades principales:
(a) El espacio de estados;
(b) El conjunto de parámetros;
(c) Las relaciones de dependencia entre (es decir, la
distribución conjunta de) las diversas variables
aleatorias X (t).
Notas
Como X (t) es una variable aleatoria, el espacio de
estados puede ser discreto o continuo.
Tenga en cuenta que X (t) en sí puede ser un vector
aleatorio.
Por ejemplo, considere una partícula que realiza un
recorrido aleatorio simétrico simple en plano
coordenado XY. (Es decir, en cada paso cambia su
coordenada x en ± 1, o su coordenada y en ± 1, cada
una con probabilidad ¼ ). Entonces, el proceso es la
secuencia de vectores (X(n),Y(n)): n Z+
Notas
Las relaciones de dependencia entre las variables
aleatorias de un proceso estocástico en particular,
generalmente son sugeridas por algún problema
práctico; son una declaración formal sobre los
supuestos de modelado que hacemos para analizar el
proceso y hacer predicciones en el mundo real.
Normalmente, el proceso se especifica determinando
su comportamiento local, y nuestro análisis está
dirigido a descubrir su comportamiento global.
Ejemplos
X (t) puede ser el número de correos electrónicos en su
bandeja de entrada en el momento t,
Su saldo bancario en el día t,
El número de soles mostradas por t lanzamientos de
alguna moneda.
TAREA: Da algunos ejemplos más e investigar que son
los Procesos puntuales, los Procesos de Markov, y
Martingalas.
Caminata aleatoria
Consideremos una sucesión de v.a.i., Xn, n ≥ 1 tal que
P(Xn = 1) = p, P(Xn = -1) = q, p+q = 1, n ≥ 1
Entonces a
𝑆𝑛 = 𝑆0 + 𝑟=1𝑛 𝑆𝑟 se le llama una caminata aleatoria
simple sobre los enteros, iniciando en el entero S0. en el
caso especial de que p = q = ½, se conoce como una
caminata aleatoria simétrica.
Este ejemplo puede modelar a un jugador, donde las Sn
representan su fortuna en el momento n. El rango Sn – S0
representa la fortuna alcanzada después de n juegos.
TAREA
Desarrolla un juego aleatorio y en base a la
experimentación, contesta:
(a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener c pesos antes
de que sus pérdidas alcancen b pesos?
(b) ¿Cuál es el número esperado de jugadas hasta que
ocurra uno de estos eventos?
Ejemplo: Colas
En colas reales, los clientes llegan a un punto de
servicio y esperan ser atendidos antes de que cierre. Si
vamos a modelar este sistema para predecir, por
ejemplo, las posibilidades de que el cliente tenga éxito
en esto, debemos hacer una serie de supuestos de
modelado. Por ejemplo, (i) ¿Cómo trata el servidor a los
clientes? (ii) ¿Qué tan rápido entran los clientes en la
cola?
Ejemplo: Colas
Cuando se trata de un crear un marco matemático, en el
que se pueden formular estas suposiciones. Un posible
modelo de interés podría especificarse así:
(a) El número de clientes en la cola en el momento t es
X(t), t ≥0; X(0) = 0.
(b) Los tiempos entre las llegadas de clientes sucesivos
son variables aleatorias exponenciales (λ)
independientes distribuidas de manera idéntica.
(c) Los clientes son atendidos en orden de llegada.
(d) Sus tiempos de servicio son variables aleatorias
independientes, que son exponenciales (μ) e
independientes del proceso de llegadas.
Ejemplo: Colas Por esta descripción local, uno espera descubrir, por
ejemplo, la probabilidad de ser atendido antes de que
cierre el negocio si llega al mediodía y ve una docena
de personas frente a usted, y así sucesivamente.
Hay dos formas de ver un proceso
aleatorio X(t): Si es el administrador
Por ejemplo, en la cola anterior, si usted es un
administrador, su interés tal vez estará en las
propiedades generales de X(t), según lo especificado
por sus distribuciones de probabilidad, tales como
(i) La probabilidad de que más de c clientes queden sin
servicio al final del día.
(ii) La probabilidad de que el servidor haya pasado
más de n horas inactivo por falta de clientes.
Hay dos formas de ver un proceso
aleatorio X(t): Si es el cliente
Si usted es un cliente, tiene poco o ningún interés en
los asuntos del administrador; su única preocupación es
su experiencia de la cola.
Formalmente, la distinción entre estos dos puntos de
vista se puede expresar así:
Hay dos formas de ver un proceso aleatorio X(t) de manera formal
(i) Podemos estudiar X(t) considerando sus
distribuciones conjuntas.
𝐹 𝑥1, 𝑡1; … ; 𝑥𝑛, 𝑡𝑛 = 𝑃 𝑋 𝑡1 ≤ 𝑥1; … ; 𝑋 𝑡𝑛 ≤ 𝑥𝑛
Para cualquier colección de tiempos 𝑡1, … , 𝑡𝑛
(ii) Alternativamente: Podemos considerar cada X (t)
como una función en el espacio muestral Ω; para
cualquier ω ∈ Ω dado obtenemos X (t,ω). Para este ω, a
medida que pasa el tiempo, obtenemos una secuencia
particular (X(t, ω); t ∈ T). Esta trayectoria se denomina
ruta de realización o muestra del proceso X (t).
El Proceso de Bernoulli
Consideremos el lanzamiento de una monera (no
necesariamente justa). Sean Y1, Y2, …, v.a. de Bernoulli
(i.i.d.), con parámetro p:
𝑌𝑖 = 1 (𝑠𝑜𝑙) 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝0 (á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎) 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 1 − 𝑝
Sea 𝑁𝑘 = 𝑖= 1𝑘 𝑌𝑖 el número de soles hasta el k-ésimo
lanzamiento, es decir, es un proceso tipo Binomial
B(k,p), un posible resultado puede ser
El Proceso de Bernoulli
Sea Sn el tiempo en el cual el n-ésimo sol ocurre, es
decir, 𝑆𝑛 = 𝑖𝑛𝑓 𝑘: 𝑁𝑘 = 𝑛 . Sea 𝑋𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1, es el
número de lanzamientos para obtener el n-ésimo sol a
partir del (n-1)-ésimo sol
Fracaso y tiempo de espera
El Proceso de Bernoulli:
TAREA
¿Qué tipo de variables aleatorias son las Xi? Probar que
son independientes.
El momento en que ocurre el n-ésimo sol (Sn), ¿qué tipo
de variable aleatoria es?
Dada Nk = n. Demostrar que la distribución de (S1, …, Sn)
es la misma que la de una muestra aleatoria de n
números elegidos sin reemplazo de 1, 2, …, k
,
EjerciciosA presentarse en una semana
Ejercicio 1: El problema de Ballot.
En una elección el candidato A recibe n votos y el
candidato B recibe m votos, donde n > m. Suponiendo
que todos los ordenamientos son igualmente probables,
demostrar que la probabilidad de que A siempre esté a
la cabeza en el conteo de votos es (n-m)/(n+m)
Ejercicio 2: Variante del problema de
Ballot. En el problema de Ballot, calcule la probabilidad de
que A nunca esté atrás en el conteo de los votos.
Ejercicio 3: Quiebra de un jugador
Consideremos un jugador que gana o pierde 1 unidad
en cada jugada con probabilidades p y 1-p
respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad, de que
iniciando con n unidades, el jugador jugará
exactamente n+2i juegos antes de perder todo?
Sugerencia: Usar el problema de Ballot.