Introducci on a la Teor a Cu antica de Campos Alejandro Ayalajaviercobos/EFF2015/ayala-EFF-2015-clases1-2.pdf · Alejandro Ayala Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM [email protected]

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Introduccion a la Teorıa Cuantica de Campos

Alejandro Ayala

Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM

[email protected]

X Escuela de Fısica FundamentalInstituto de Fısica y Matematicas

Universidad Michoacana de San Nicolas de HidalgoSeptiembre, 2015

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¿Por que es importante la Teorıa de Campos en la Fısica Fundamental?

Descripcion de procesos que involucran partıculas elementales

Evolucion del UniversoTemprano

Produccion de partıculas encolisionadores

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En este curso cubriremos aspectos introductorios que nos ayudaran aentender los elementos de la Teorıa Cuantica de Campos

• Mecanica Cuantica Relativista

• Particulas escalares, fermiones y fotones

• Ideas generales para la descripcion cuantizacion de campos

• Herramientas perturbativas

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Bibliografıa

• Lewis H. Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge UniversityPress)

• Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder, Quantum Field Theory(Addison Wesley)

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Plan del curso

• Clase 1: Propiedades del espacio-tiempo1) Transformaciones de Lorentz2) El grupo de Poincare3) Generadores del grupo de Poincare4) Partıculas fısicas con y sin masa5) Masa y espın como los invariantes de Casimir del grupo de Poincare6) La ecuacion de Dirac7) Importancia de la transformacion de paridad

• Clase 2: Ecuaciones relativistas (continuacion)1) La ecuacion de Dirac, partıculas con espım 1/2 (continuacion)2) La ecuacion de Klein-Gordon, partıculas escalares3) Las ecuacion de Maxwell, partıculas sin masa con espın 14) La ecuacion de Procca, partıculas con masa con espın 1

• Clase 3: Introduccion a la Teorıa de Campos1) La descripcion de teorıas campos en terminos del Lagrangiano2) De infinito numerable a infinito no-numberable

• Clase 4: Introduccion a la Teorıa de Campos (continuacion)1) Cuantizacion de campos2) La teorıa con un ejemplo: El campo escalar3) La formula de reduccion LSZ

• Clase 5: La formula de reduccion LSZ1) La matriz S2) Campos “in”y “out”3) La formula de reduccion4) Ejemplo

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La zona de interes

7

Transformaciones de Lorentz

• Considera dos sistemas de referencia O y O ′

• Si O mide coordenadas x y O ′ coordenadas x ′, ¿Como serelacionan las mediciones de coordenadas entre O y O ′?

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•

x ′ν

=3∑

µ=0

aνµxµ ≡ aνµxµ

• La transfornacion es lineal y homogenea y los coeficientes aνµdependen de la velocidad relativa y de la orientacion espacialde los dos sistemas de referencia

• El invariante basico es el intervalo de tiempo propio

ds2 = dτ2 = gµνdxµdxν = dxµdxµ

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La metrica explıcita es:

gµν = gµν

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

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• El hecho de que dτ2 sea invariante se obtiene de requerir quela velocidad de la luz sea la misma en cualquier sistema dereferencia.

• Notemos que

dτ2 = dx ′µ

dx ′µ = aµλaσµdxλdxσ

= dxµdxµ

=⇒ aµλaσµ = δσλ

• Un escalar vale lo mismo en cualquier sistema de referencia.(En particular E 2 − p2 = pµpµ = m2, c = 1)

• El producto escalar de dos cuadri-vectores

Aµ = (a0,~a) y Bµ = (b0,~b)es:

AµBµ ≡ AµBµ ≡ gµνAµBν ≡ A · B = a0b0 −~a · ~b

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• A veces convendra hablar de componentes arriba-variantes

Aµ = (a0,~a)

y abajo-variantes

Aµ = (a0,−~a)

• Notemos que como

x ′ν

= aνµxµ

entonces∂

∂xµ=∂x ′ν

∂xµ∂

∂x ′ν= aνµ

∂

∂x ′ν

• Por lo tanto ∂/∂xµ se transforma como un cuadri-vectorabajo-variante (el ındice libre esta abajo)

∂

∂xµ≡ ∂µ = (

∂

∂t,−∇)

Por lo tanto

∂µAµ ≡ (∂

∂ta0+∇ ·~a)

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El Grupo de Poincare

• El grupo de Poincare extiende al de Lorentz al incluirtranslaciones espacio-temporales.

• Es el grupo relevante para la fısica de partıculas elementales.

• La masa y el espın son las dos propiedades que caracterizan asistemas invariantes ante el grupo de Poincare. El espıncorresponde a rotaciones del grupo SU(2) solo si la masa mes tal que m2 > 0

• Si m2 = 0 el espın no esta descrito por SU(2). Los estados depolarizacion de una partıcula sin masa son solo Jz = ±J y elestado Jz = 0 no existe.

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• Definimos una translacion espacio-temporal como:

xµ → x ′µ

= xµ + bµ

donde bµ es un cuadri-vector constante

• Una transformacion general (inhomogenea) es entonces

x ′µ

= aµν xν + bµ

• ¿Cuales son los generadores del grupo?

Definicion: Un generador es un operador que genera latransformacion. Entonces nos estamos preguntando porcuales son aquellos operadores que generan lastransformaciones de Lorentz y las translaciones y por laspropiedades de estos operadores conocidas como elalgebra que satisfacen

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• Vamos a encontrar los generadores y expresarlos comooperadores diferenciales. Consideremos la transformacion(rotacion) que mezcla solo componentes espaciales

x ′ = x cos θ + y sin θ

y ′ = −x sin θ + y cos θ

z ′ = z

t ′ = t

• El generador (que llamaremos Jz) se define a partir del cambioque sucede al actuar sobre una funcion de las coordenadas enel lımite en el que el parametro que describe el cambio (elangulo θ) tiende a cero

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Jz f (t, x , y , z) = i lımθ→0

f (t ′, x ′, y ′, z ′)− f (t, x , y , z)

θ

= i lımθ→0

f (t, x + yθ, y − xθ, z)− f (t, x , y , z)

θ

= i lımθ→0

f (t, x , y , z) + θy ∂f∂x − θx ∂f∂y − f (t, x , y , z)

θ

= i

(y∂

∂x− x

∂

∂y

)f

Es decir

Jz = −i

(x∂

∂y− y

∂

∂x

)

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Analogamente

Jx = −i

(y∂

∂z− z

∂

∂y

)Jy = −i

(z∂

∂x− x

∂

∂z

)notemos que estos operadores satisfacen

[Jx , Jy ] = iJz

lo cual puede escribirse de manera general como (TAREA)

[Ja, Jb] = iεabcJc

donde εabc es el tesnor de Levi-Civita

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• Consideremos la transformacion (transformacion propia deLorentz o ”boosts”) que mezcla una componente espacial yla componente temporal

x ′ = γ(x + vt)

y ′ = y

z ′ = z

t ′ = γ(t + vx)

Donde γ = 1/√

1− v 2. Notemos que γ2 − v 2γ2 = 1

• Definimos el angulo α mediante las relaciones

γ ≡ coshα

vγ ≡ sinhα

que tambien satisfacen cosh2 α− sinh2 α = 1

cosh(α/2) = [(γ + 1)/2]1/2, sinh(α/2) = [(γ − 1)/2]1/2

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• De este modo la transformacion puede escribirse como

x ′ = x coshα + t sinhα

y ′ = y

z ′ = z

t ′ = x sinhα + t coshα

• El generador (que llamaremos Kx) se define a partir del cambioque sucede al actuar sobre una funcion de las coordenadas enel lımite en el que el parametro que describe el cambio (elangulo α) tiende a cero

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Kx f (t, x , y , z) = i lımα→0

f (t ′, x ′, y ′, z ′)− f (t, x , y , z)

α

= i lımα→0

f (t + xα, x + tα, z)− f (t, x , y , z)

α

= i lımα→0

f (t, x , y , z) + αt ∂f∂x + αx ∂f∂t − f (t, x , y , z)

α

= i

(t∂

∂x+ x

∂

∂t

)f

Es decir

Kx = i

(t∂

∂x+ x

∂

∂t

)

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Analogamente

Ky = i

(t∂

∂y+ y

∂

∂t

)Kz = i

(t∂

∂z+ z

∂

∂t

)notemos que estos operadores satisfacen (TAREA)

[Kx ,Ky ] = −iJz[Kx , Jy ] = iKz

[Kx , Jx ] = 0 ... etc.

Notemos que los ”boosts”no forman un subgrupo del Grupo deLorentz

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Analogamente

Ky = i

(t∂

∂y+ y

∂

∂t

)Kz = i

(t∂

∂z+ z

∂

∂t

)notemos que estos operadores satisfacen

[Kx ,Ky ] = −iJz[Kx , Jy ] = iKz

[Kx , Jx ] = 0 ... etc.

Notemos que los ”boosts”no forman un subgrupo del Grupo deLorentz

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Para escribir estas relaciones de conmutacion formemos eltensor (antisimetrico) Jµν (µ, ν = 0, . . . 3) definido por:

Jµν =

{Jij = −Jji = εijkJkJi0 = −J0i = −Ki

(i , j , k = 1, 2, 3)

Por lo que de manera compacta podemos escribir

[Jµν , Jρσ] = i(gνρJµσ − gµρJνσ + gµσJνρ − gνσJµρ)

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Notemos que un vector de estado |p〉 cambia bajo la accion dePx

Pµ|p〉 = pµ|p〉

Ante una transformacion de Lorentz, que llamaremos U(a, b),tenemos

U(a, b)|p〉 = |ap〉

(la transformacion no desplaza al vector p y solo lo rota con lamatriz a)

• Notemos que

Pµ|ap〉 = (ap)µ|ap〉

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Aplicando una vez mas la transformacion

Pµ(Pµ|ap〉) = (ap)µ(ap)µ|ap〉

y como sabemos

(ap)2 = (ap)µ(ap)µ

= aµαpαaβµpβ

= aµαaβµpαpβ

= δβαpαpβ= pαpα

Una transformacion de Lorentz deja PµPµ invariante. En ellenguaje de la teorıa de grupos esto es consecuencia de quePµPµ conmuta con los generadores del grupo de Poincare. Alas cantidades con esta propiedad se les denomina losinvariantes de Casimir. C1 = PµPµ es el primer invariante deCasimir del grupo de Poincare.

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• Todos los estados obtenidos mediante transformaciones deLorentz a partir de un estado con p2 tienen el mismo valor dep2.

• p2 ≡ m2

• Puesto que el signo de p0 no cambia bajo una Transformacionde Lorentz, podemos catalogar los estados bajo las siguientesseis categorıas:

(i) m2 > 0, p0 > 0(ii) m2 > 0, p0 < 0(iii) m2 = 0, p0 > 0(iv) m2 = 0, p0 < 0

partıculas fısicas con y sin masa

(v) pµ = 0, vacıo

(vi) p2 < 0, partıculas virtuales

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• Una vez escogido un valor de pµ que pertenece a una de lasanteriores clases ({pµ}) resulta que el subgrupo del grupo dePoincare que deja invariante a pµ tiene la mismaestructura para todo momento en la clase {pµ}.• Esta clase es un subgrupo y resulta que tal subgrupo es el de

rotaciones o SU(2).

• Tomemos la clase (i), m2 > 0. Una pµ particular es elmomento de la partıcula en su sistema de reposo y llamemos aeste momento kµ = (m, 0)

• El resultado se puede escribir como sigue: Para momentostemporaloides (p2 > 0) para conocer el efecto de unatransformacion de Lorentz arbitraria, basta conocer lasrepresentaciones del grupo de rotaciones.

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• Tomemos un momento arbitrario pµ

• Existe una transformacion de Lorentz que transforma kµ (elmomento en el sistema en reposo) en pµ. Llamemos a taltransformacion L(p)

pµ = Lµν (p)kν

• Etiquetamos los estados en el espacio de Hilbert como

|p, σ〉|k , σ〉

• σ es el ındice que etiqueta al espın. La transformacioncorrespondiente en este espacio es

|p, σ〉 = U(L(p))|k , σ〉

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• Ahora, para una transformacion de Lorentz arbitrariapµ → p′µ = Λµνpν , la transformacion correspondiente en elespacio de Hilbert es

|p, σ〉 → |p′, σ〉 = U(Λ)|p, σ〉

• o bien

U(Λ)|p, σ〉 = U(Λ)U(L(p))|k , σ〉

• multiplicamos por la unidad

U(L(Λp))U−1(L(Λp))

• para obtener

U(Λ)|p, σ〉 = U(L(Λp))U−1(L(Λp))U(Λ)U(L(p))|k , σ〉

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• Usemos la propiedad de grupo

U−1(A) = U(A−1)

• para escribir

U(Λ)|p, σ〉 = U(L(Λp))U(L−1(Λp))U(Λ)U(L(p))|k, σ〉

• Usemos otra propiedad de grupo

U(A)U(B)U(C ) = U(ABC )

• para escribir

U(Λ)|p, σ〉 = U(L(Λp))U(L−1(Λp)ΛL(p))|k, σ〉

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• L−1(Λp)ΛL(p) es una transformacion que al operar sobre kµ

origina kµ nuevamente puesto que:

X L(p) cambia k en p

X Λ cambia p en Λp

X L−1(Λp) cambia Λp en k

• R ≡ L−1(Λp)ΛL(p) es por lo tanto una rotacion y podemosescribir la accion de U(R) sobre |k, σ〉 como una combinacionlineal de los posibles estados de proyeccion de la componente zdel espın (σ′) que son posibles dado un espın (σ)

U(R)|k, σ〉 =∑σ′

Dσσ′(R)|k, σ′〉

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• Entonces

U(Λ)|p, σ〉 = U(L(Λp))U(L−1(Λp)ΛL(p))|k, σ〉= U(L(Λp))

∑σ′

Dσσ′(R)|k , σ′〉

=∑σ′

Dσσ′(R)U(L(Λp))|k , σ′〉

=∑σ′

Dσσ′(R)|Λp, σ′〉

• Concluimos que para conocer las representaciones delgrupo de Lorentz para un vector de estado“temporaloide”solo requerimos conocer lasrepresentaciones del grupo de rotaciones

X El ındice de spın esta dado por el grupo de rotaciones.

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• Uno de los invariantes de Casimir es m2. ¿Que operadorinvariante corresponde al spin?

• Definimos el (pseudo)vector de Pauli-Lubanski

Wµ = −1

2εµνρσJνρPσ

• Wµ es ortogonal a Pµ, es decir,

WµPµ = 0

de modo que en el sistema en reposo, Wµ es espacialoide, i.e.

Wµ = (0, ~W )

Wi = −1

2εiνρ0JνρP0

= −m

2εijk0J jk

= −m

2εijkε

jklJ l

= −mJi ≡ −mΣi

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• Donde Σi es el operador de espın en la direccion i y hemosusado

εijkεjkl = 2δli

X El segundo invariante de Casimir es

C2 = WµW µ = −m2s(s + 1)

• Ojo: En un sistema arbitrario W µ no es el operador de espın,pero el invariante de Casimir es un escalar y no depende delsistema de referencia.

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• Finalmente, consideremos el caso de partıculas “light like”,descritas por vectores nulos

Kµ = (k, ~k)

• Para este tipo de partıculas K 2 = 0• sea |k〉 un estado que describe a estas partıculas, entonces

sabemos

W ·W |k〉 = 0,[recordar WµW µ = −m2s(s + 1)

]K · K |k〉 = 0

W · K |k〉 = 0

• W µ y Kµ son ortogonales y ambos son “nulos”, esto significaque son proporcionales

(W µ − λKµ)|k〉 = 0

X El resultado es que el estado de una partıcula sin masaesta caracterizado por un numero λ que es el cociente de W µ yKµ con dimensiones de momento angular. Esta es la helicidad.Si se incluye la paridad, los posibles valores son −λ y λ.

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La ecuacion de Dirac

• La ecuacion de Dirac incorpora, ademas de la relacionrelativista entre la energıa y el momento, la invariancia anterotaciones del grupo de Lorentz• Para deducir la ecuacion debemos explorar las representaciones

del grupo de Lorentz. Recordemos como se ven lastransfornaciones de Lorentz.• Recordemos como se ven las transfornaciones de Lorentz.

Tomemos como ejemplo una transformacion a lo largo del eje x

t ′ = γ(t + vx)

x ′ = γ(x + vt)

y ′ = y

z ′ = z

donde γ = (1− v 2)−1/2, (recordar) c = 1• Definimos el angulo de rotacion α mediante

γ = coshα

γv = sinhα

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• Definimos

x0 = t

x1 = x

x2 = y

x3 = z

Entonces podemos escribir la transformacion de Lorentz como x ′0x ′1x ′2x ′3

=

coshα sinhα 0 0sinhα coshα 0 0

0 0 1 00 0 0 1

x0

x1

x2

x3

x ′ = Λx

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• Recordamos que el generador de la transformacon es

K1 = −i∂A

∂α

∣∣∣∣α=0

= −i

0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

• De la misma manera, los generadores de transformaciones a lo

largo de x2 y x3 son

K2 = −i

0 0 1 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

, K3 = −i

0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 0

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• Notemos tambien que para rotaciones que no involucran altiempo (rotaciones tridimensionales) podemos tambien definirlos generadores

J1 = −i

0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 −1 0

J2 = −i

0 0 0 00 0 0 −10 0 0 00 1 0 0

, J3 = −i

0 0 0 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 0

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• Recordemos las relaciones de conmutacion

[Ki ,Kj ] = −iεijkJk[Ji ,Kj ] = iεijkKk

Estos generadores se mezclan. Definimos entoncescombianciones

Al =1

2(Jl + iKl)

Bl =1

2(Jl − iKl)

Con lo cual, las relaciones de conmutacion se vuelven TAREA

[Ai ,Aj ] = iεijkAk

[Bi ,Bj ] = iεijkBk

[Ai ,Bj ] = 0

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• Entonces cada conjunto {Ai}, {Bi} genera por si solo un grupoSU(2).

• El grupo de Lorentz es escencialmente SU(2)⊗ SU(2)

• De este modo los objetos que se transformen bajo el grupode Lorentz pueden ser etiquetados por un par demomentos angulares (j , j ′)

• Sabemos que j , j ′ pueden ser enteros o semienteros.

41

El grupo SU(2)

• El grupo recibe su nombre por el hecho de que corresponde alconjunto de matrices unitarias (U tal queU U† = U† U = 1), especiales (con determinante igual a1), cuya representacion de menor dimension es de 2× 2

• Cualquier matriz de 2× 2 unitaria puede expresarse como

U(~θ) = e i~σ·~θ

• σi son las matrices de Pauli

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)

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El grupo SU(2)

• Para probar que las matrices ası escritas pertenecen a SU(2),recordemos que si M es una matriz con eigenvalores {λi}

Tr M =∑i

λi

Det M =∏i

λi

Escribiendo U = eM

Det eM =∏i

eλi

= e∑

i λi

= eTr M

o bien

ln Det eM = Tr M

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El grupo SU(2)

• Usemos lo anterior para matrices de SU(2),

Det U(~θ) = Det e i~σ·~θ = e i

~θ·Tr~σ = 1

Ademas podemos checar que las matrices de Pauli cumplen[σi2,σj2

]= iεijk

σk2

Por lo que las matrices de Pauli forman una representacion delAlgebra de Lie del grupo SU(2).

• Las representaciones irreducibles estan etiquetadas por losposibles valores de j = 1/2, 1, 3/2, 2, ... etc.

• La dimension d de la representacion es la dimension de lasmatrices que generan al grupo y esta dada por d = 2j + 1.

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• Por ejemplo, para j = 1/2, la dimension es d = 2, las matricesque generan las representacion son las de Pauli.

• Para j = 1, d = 3 y las matrices del grupo son las rotacionesordinarias en 3 dimensiones.

• Vamos a concentrarnos en los objetos que se transforman bajorepresentaciones j = 1/2.

• Segun la discusion anterior hay dos tipos de estos objetos:

• Tipo I: (1/2,0), los generadores se escogen como:

~J1/2 = ~σ/2, ~K 1/2 = −i~σ/2

• Llamamos a los objetos que se transforman bajo la accion deesta respresentacion espinores tipo ξ.

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• Sean (~θ, ~α) los parametros que describen las rotacionesasociadas.

• Entonces, ξ se transforma como

ξ → ξ′ =(

e~σ/2·~θ−i~σ/2·~α)ξ

≡ Mξ

• Tipo II: (0,1/2), los generadores se escogen como:

~J1/2 = ~σ/2, ~K 1/2 = i~σ/2

• Llamamos a los objetos que se transforman bajo la accion deesta respresentacion espinores tipo η.

• Entonces, η se transforma como

η → η′ =(

e~σ/2·~θ+i~σ/2·~α)η

≡ Nη

• Det M = Det N =1

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Paridad

• Introduzcamos la Transformacion de Paridad que cambia lascoordenadas

~x → ~x ′ = −~x• Esta transformacion induce cambios en otros objetos, por

ejemplo

~∇ → −~∇• Los generadores de transformaciones propias de Lorentz

cambian como

~K → −~K• Hay sin embargo otros tipos de objetos que no cambian bajo la

accion de la paridad. Por ejemplo, los generadores asociados alas rotaciones, i.e. el momento angular

~J = ~r × ~p → −~r ×−~p = ~r × ~p = ~J

• Esto significa en particular que ante paridad

ξ ←→ η

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Paridad

• La transformacion de Paridad intercambia (mezcla) losespinores por lo cual debemos agruparlos en un solo objeto

ψ =

(ξη

)con la propiedad

P

(ξη

)=

(ηξ

)• Bajo una transformacion de Lorentz, el nuevo objeto se

transforma como

ψ =

(ξη

)→(ξ‘η′

)=

(e~σ/2·(~θ−i~α) 0

0 e~σ/2·(~θ+i~α)

)(ξη

)

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• ξ, η son espinores de Pauli

• ψ es un espinor de Dirac

• ψ se transforma bajo una representacion irreducible del grupode Lorentz ( 1

2 ,12 ) extendida por la transformacion de

paridad

• Vamos ahora a especializarnos en describir la accion de

transformaciones propias de Lorentz (i.e. ~θ = 0)

ξ → ξ′ =(

e~σ·~α/2)ξ

= (cosh(α/2) + ~σ · n sinh(α/2)) ξ

donde n es un vector unitario en la direccion del boost

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• Supongamos que el espinor original esta en reposo

• El nuevo espinor describe un objeto que se mueve con velocidadv a lo largo de n, es decir, es un espinor con momento ~p = pn.

• Recordemos que

cosh(α/2) = [(γ + 1)/2]1/2

sinh(α/2) = [(γ − 1)/2]1/2

entonces

ξ′ =

[(γ + 1

2

)1/2

+ ~σ · p(γ + 1

2

)1/2]ξ

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• Si el objeto describe una partıcula con masa m, energıa E ymomento p, entonces

γ = E/m

multiplicando y dividiendo la ultima ecuacion de la paginaanterior por (E + m)1/2

ξ(p) =

(E + m + ~σ · ~p

[2m(E + m)]1/2

)ξ(0)

• Analogamente

η(p) =

(E + m − ~σ · ~p

[2m(E + m)]1/2

)η(0)

51


• ~σ · ~p es la proyeccion del espın a lo largo del momento dela partıcula

γ = E/m

multiplicando y dividiendo la ultima ecuacion de la paginaanterior

ξ(p) =

(E + m + ~σ · ~p

[2m(E + m)]1/2

)ξ(0)

• Analogamente

η(p) =

(E + m − ~σ · ~p

[2m(E + m)]1/2

)η(0)

52


• Para relacionar las anteriores ecuaciones recordemos queη(0) = ξ(0) puesto que si la partıcula esta en reposo no sepuede distinguir entre los valores de la proyeccion de ~σ ·~p.

• Ası se puede mostrar TAREA (usar que

σiσj = 2εijkσk + 2δij )

ξ(~p) =

(E + ~σ · ~p

m

)η(~p)

η(~p) =

(E − ~σ · ~p

m

)ξ(~p)

estas son un par de ecuaciones algebraicas acopladas. Podemosescribirlas en forma matricial(

−m E + ~σ · ~pE − ~σ · ~p −m

)(ξ(~p)η(~p)

)= 0

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• Usamos

ψ(p) =

(ξ(~p)η(~p)

)junto con las matrices (de Dirac) (en la base de Weyl)

γ0 =

(0 11 0

), γi =

(0 −σiσi 0

)para escribir

(γ0E − γipi −m)ψ(p) = 0

• Finalmente, usando la notacion donde contraemos ındices

γ0E − γipi ≡ γµpµ, con E ≡ p0

escribimos la Ecuacion de Dirac

(γµpµ −m)ψ(p) = 0

54


• Si m = 0, las ecuaciones para ξ, η se desacoplan

(p0 + ~σ · ~p)η(p) = 0

(p0 − ~σ · ~p)ξ(p) = 0

o puesto que para m = 0, p0 = |~p|

(~σ · p) η(p) = −η(p)

(~σ · p) ξ(p) = ξ(p)

• ~σ · p es el operador de Helicidad

• Entonces

η(p) → Helicidad negativa

ξ(p) → Helicidad positiva

55


• Las matrices de Dirac satisfacen el algebra

{γµ, γν} = 2gµν

donde el anticonmutador esta definido como

{γµ, γν} = γµγν + γνγµ

• Podemos tambien formar otros objetos a partir del espinor deDirac usando las matrices de Dirac. Por ejemplo, el espinorconjugado de Dirac es (usando γ0 en la base de Dirac-Pauli)

ψ ≡ ψ†γ0

= ( ψ∗1, ψ∗1, ψ∗1, ψ∗1 )

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

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Tambien se introduce la matriz γ5 que se define como

γ5 = iγ0γ1γ2γ3

• y se utiliza para formar pseudocantidades, es decir, aquellasque tienen la paridad opuesta a la cantidad correspondiente

• Algunas cantidades utiles para describir las propiedades departıculas elementales con valor del espın S = 1/2 son porejemplo:

ψψ −→ escalar

ψγ5ψ −→ pseudoescalar

ψγµψ −→ vector

ψγ5γµψ −→ pseudovector

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• El Lagrangiano que origina la ecuacion de Dirac TAREA es

L = iψγµ∂µψ −mψψ

• La corriente conservada de Noether es TAREA

jµ = ψγµψ

• de modo que la carga conservada es

Q =

∫d3x j0 =

∫d3x ψγ0ψ =

∫d3x ψ†ψ > 0

• puesto que la relacion relativista entre momento y energıa esE 2 = p2 + m2, la energıa puede ser negativa o positiva

E = ±√

p2 + m2

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• Dirac postulo que los estados de energıa negativa estancompletamente ocupados, de modo que el principio deexclusion impide a mas electrones ocupar estos estados del marde Dirac

• Este postulado permite predecir la existencia de antipartıculas:Si existe un lugar desocupado en el mar de Dirac (E < 0)entonces un electron con energıa positiva E puede llegar aocupar el estado, emitiendo en el proceso energıa con valorigual a la diferencia de energias entre los estados, es decir 2E .Esto puede entenderse tambien como que el lugar vacıo(agujero) es una partıcula con caga opuesta +e y energıapositiva

e− + agujero −→ energıa

e− + e+ −→ energıa

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El mar de Dirac

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Introducci on a la Teor a Cu antica de Campos Alejandro Ayalajaviercobos/EFF2015/ayala-EFF-2015-clases1-2.pdf · Alejandro Ayala Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM [email protected]