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29-10-2010
1
Introdução ao movimento no plano
Prof. Luís C. Perna
Movimento de Projécteis
MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS
O disparo de um canhão ou de
uma espingarda, o movimento de
uma bola de golfe, depois de uma
tacada e o lançamento do martelo
ou do disco, nas provas olímpicas,
são apenas alguns exemplos de
situações muito comuns em que se
pode observar o movimento de um
projéctil.
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Mas o que é, de facto, um
projéctil?
É um corpo que se move no ar,
sob acção da força da gravidade,
quando lhe é aplicada uma força
inicial.
O movimento de um projéctil
caracteriza-se pela descrição de
uma trajectória parabólica, que
faz um ângulo com a horizontal.
MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS
O lançamento da figura, não é um lançamento vertical nem um lançamento
horizontal, é considerado lançamento oblíquo. O intervalo de tempo
decorrido entre duas posições sucessivas marcadas por pontos em destaque
sobre a curva da trajectória é sempre igual a 0,5 s. Como se pode observar
o valor do deslocamento efectuado na horizontal é sempre o mesmo.
MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS
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Suponha que o objecto era iluminado na vertical e que a sombra era
projectada no solo na direcção do eixo dos xx?
Como classificaríamos o movimento naquela direcção?
Sendo assim, que força resultante actua segundo aquele eixo?
MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS
Observemos agora o que se passa em relação ao eixo dos yy.
O deslocamento efectuado pelo projéctil, durante cada um dos intervalos de
tempo de 0,5 s é variável.
Como classificaríamos o movimento naquela direcção?
Sendo assim, que força resultante actua segundo aquele eixo?
MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS
Simulação
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Como concluímos, no movimento do
projéctil, a componente da aceleração
segundo o eixo dos xx é nula e a
velocidade naquela direcção é constante.
A componente da aceleração segundo o
eixo dos yy é constante e igual à
aceleração da gravidade, g, e a velocidade
naquela direcção é dada por vy=v0y-gt.
MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS
constante0 vax
gtvv
-ga
oyy
y
constante
Para situações, em que se despreze a resistência do ar, a única força que
actua no projéctil é o seu peso, também designado por força gravítica, que
é praticamente constante em direcção, sentido e módulo.
ou com |g| = 9,8 m/s2
Resumindo o lançamento obliquo de um projéctil pode ser estudado como a
sobreposição de dois movimentos: um movimento rectilíneo e uniforme,
segundo a direcção horizontal e outro rectilíneo e uniformemente variado,
segundo a direcção vertical.
MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS
gmP
mgP
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Consideremos um projéctil que é lançado numa direcção que faz um ângulo
com a direcção horizontal – lançamento oblíquo.
Lançamento oblíquo: deve ser feito a decomposição do movimento em doismovimentos, um na vertical e outro na horizontal.
Simulação
ANÁLISE DO VECTOR VELOCIDADE
As equações que descrevem o
lançamento oblíquo são:
yx vvv 000
sin
cos
00
00
vv
vv
y
x
EQUAÇÕES QUE DESCREVEM O LANÇAMENTO OBLÍQUO
2
00
00
2
1gttvyy
tvxx
y
xCoordenadas de posição do projéctil, emfunção do tempo
gtvv
vv
yy
xx
0
0Componentes algébricas da velocidade
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yx vvv 000
sin
cos
00
00
vv
vv
y
x
QUANDO O ÂNGULO DE LANÇAMENTO FOR 0º
(LANÇAMENTO HORIZONTAL)
2
0
00
2
1gtyy
tvxx Coordenadas de posição do projéctil, em função do tempo
gtv
vv
y
x 0Componentes algébricas da velocidade
00 vv x 00 yv
Simulação
As equações que descrevem o lançamento horizontal são:
As equações que descrevem o lançamento vertical são:
yx vvv 000
sin
cos
00
00
vv
vv
y
x
QUANDO O ÂNGULO DE LANÇAMENTO FOR 90º
(LANÇAMENTO VERTICAL)
2
002
1
0
gttvyy
x Coordenadas de posição do projéctil,em função do tempo
gtvv
v
y
x
0
0Componentes algébricas da velocidade
00 xv00 vv y
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Da janela de um quinto andar, a 20,0 m de altura, deixa-se
cair um vaso de 2,50 kg de massa. Considere desprezável
a resistência do ar. Faça g = 9,80 m/s2.
a) Represente e identifique num esquema a força que
actua no vaso, bem como os vectores das suas velocidade
e aceleração, quando este passa num ponto qualquer da
trajectória que descreve durante a queda.
b) Determine o tempo que o vaso demora a atingir o solo.
c) Determine a velocidade com que o vaso atinge o solo.
EXERCÍCIO 1
b) t = 2,02 s c) v = - 19,8 m/s
Durante um jogo de ténis, um jogador faz um serviço em
que a bola é lançada, horizontalmente, com uma velocidade
de 25,0 m.s-1 (90 km.h-1). A rede tem uma altura de 0,90 m e
está situada a 12,0 m do local de serviço. A resistência do ar
pode ser desprezada.
a) Escreva as equações que permitem identificar as
posições (em x e em y) da bola com o tempo.
b) Determine a altura mínima (h) a que deve ser batida a
bola para que não toque na rede.
c) Calcule a distância (d) entre o ponto em que a bola bate
no solo e a rede.
EXERCÍCIO 2
b) h = 2,1 m c) d = 4,2 m a) x = 25 t y = h – 5 t2e
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Num movimento curvilíneo, a resultante das forças está sempre dirigida para
o interior da curva.
A força pode ser decomposta nas suas componentes:
Uma que é perpendicular à trajectória no ponto considerado, a componente
normal, Fn.
Outra que actua na direcção da velocidade, a componente tangencial, Ft.
AS COMPONENTES DA FORÇA
Os lançamentos oblíquos e os lançamentos horizontais de projécteis são
exemplos de movimentos em que a direcção da resultante das forças que
actuam num corpo é diferente da direcção da velocidade desse corpo.
Se a força fizer um certo ângulo não nulo com a velocidade, a trajectória
será obrigatoriamente curvilínea.
TRAJECTÓRIA CONSOANTE AS ORIENTAÇÕES DA FORÇA E DA
VELOCIDADE INICIAL
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TRAJECTÓRIA CONSOANTE AS ORIENTAÇÕES DA FORÇA E DA
VELOCIDADE INICIAL
Nota: Quando a força resultante é, em cada instante, perpendicular à direcção da
velocidade o que implica Ft = 0, a variação da velocidade, apenas varia a sua
direcção o movimento é circular e uniforme.
«Qualquer corpo abandonado em repouso e
sujeito à atracção gravítica terrestre cairá
verticalmente para a Terra. No entanto, se for
lançado com uma certa velocidade numa
direcção não vertical, irá atingir a superfície
terrestre a uma distância tanto maior do ponto
de lançamento, quanto maior for a velocidade
que lhe for inicialmente comunicada.»“Experiência” de Newton
Isaac Newton idealizou um canhão situado no cume de uma montanha. As balas eram
projectadas praticamente paralelas à superfície da terra, a velocidades crescentes.
Cada uma das balas caía na superfície da Terra, atraídas pela força gravítica, a
distâncias cada vez maiores em relação ao canhão. Pensou: “Se a velocidade de
lançamento da bala for suficientemente elevada, talvez a bala descreva uma trajectória
circular, acompanhando a curvatura da Terra...”
COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA?
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Tal como Newton pensou, para que um
satélite artificial seja colocado em órbita
circular em torno da Terra, é necessário
elevá-lo até uma certa altura (em relação
à superfície terrestre) e imprimir-lhe uma
velocidade bem determinada. Essa
velocidade de lançamento terá de ser
suficientemente grande para “vencer” a
força gravítica.
COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA?
Tal como no caso de um satélite artificial, a Lua descreve uma órbita praticamente circular em torno da Terra, sendo a força gravítica sempre perpendicular à velocidade.
A velocidade só varia em direcção, e
não o seu módulo, porque a força
gravítica é sempre perpendicular à
velocidade.
A velocidade tem um valor tal que permite o seu movimento em órbita.
A força gravítica é radial,
centrípeta e constante em
intensidade.
COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA?
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Os satélites não caem para a Terra
porque no momento em que ficam
sujeitos exclusivamente à acção
gravítica terrestre possuem uma
velocidade bem definida em módulo,
direcção e sentido.
COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA?
A única força que actua sobre um satélite geostacionário é a força
gravitacional, o que provoca uma mudança constante da direcção do vector
velocidade, embora não altere o seu valor (intensidade).
De acordo com estas condições, descreve-se o movimento de um satélite
como sendo um movimento circular uniforme (m.c.u.).
MOVIMENTO DE UM SATÉLITE EM TORNO DA TERRA