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Estudo da funEstudo da funçção senoão seno
6
f(x) = sen x
x sen x
0
π/6
π/4π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
0
0
0
1/ 2
1/ 2
1/ 2−
1/ 2−
2 / 2
2 / 2
2 / 2−
2 / 2−
3 / 2
3 / 2
3 / 2−
3 / 2−
1
1−
7
Estudo da funEstudo da funçção senoão senoObservaObservaçções:ões:
1ª) O domínio de f(x) = sen x é , pois para qualquer valor real de xexiste um e apenas um valor para sen x.
2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [−1,1].
3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [−1,1] ≠ , isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio.
4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de xtemos o mesmo f(x). Por exemplo,
5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja x∈D(f) = temos sen x = −sen (−x). Por exemplo,
5 3 ... 1.2 2 2π π π⎛ ⎞= = − = =⎜ ⎟
⎝ ⎠sen sen sen
1 1 .6 2 6 2π π⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠sen sen
8
Estudo da funEstudo da funçção senoão senoPeriodicidade:Periodicidade:
O período da função seno é de 2πe indicamos assim: p = 2π
9
Estudo da funEstudo da funçção senoão senoSinal:Sinal:
A função é positiva para valores do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3ºe 4º quadrantes.
10
Estudo da funEstudo da funçção ão cossenocosseno
f(x) = cos x
x cos x
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4
4π/3
3π/25π/3
7π/4
11π/6
2π
0
1−
0
3 / 2
3 / 2−
3 / 2−
3 / 2
2 / 2
2 / 2−
2 / 2−
2 / 2
1/ 2
1/ 2−
1/ 2−
1/ 2
1
0
11
Estudo da funEstudo da funçção ão cossenocosseno
ObservaObservaçções:ões:
1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoidetransladada π/2 unidades para a direita. A maioria dos aspectos relevantes da função cosseno são os mesmos da função seno.
2ª) O domínio é o mesmo: D =
3ª) A imagem é a mesma: Im = [−1,1].
4ª) O período é o mesmo: p = 2π.
5ª) A função cosseno não é nem injetiva.
6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos (−x).
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Estudo da funEstudo da funçção ão cossenocossenoSinal:Sinal: A função é positiva para
valores do 1º e 4º quadrantes e negativa para valores do 2ºe 3º quadrantes.
x cos x
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4
4π/3
3π/25π/3
7π/4
11π/6
2π13
0
0
0
3 / 3
3 / 3−
3 / 3
3 / 3−
1
1−
1
1−
3
3−
3
3−
∃
∃
Estudo da funEstudo da funçção tangenteão tangente
f(x) = tg x
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ObservaObservaçções:ões:
Estudo da funEstudo da funçção tangenteão tangente
1ª) Domínio:
2ª) Imagem: Im = .
3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva.
4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x = − tg (−x).
5ª) Período: p = π.
| , .2
D = k kx x π⎧ ⎫− ∈ = + π ∈⎨ ⎬⎩ ⎭
15
Estudo da funEstudo da funçção tangenteão tangenteSinal:Sinal:
A função é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes e negativa para valores do 2ºe 4º quadrantes.
16
FunFunçções trigonomões trigonoméétricastricas
x sen x y = 2 + sen x
0
2π
π
32π
2π
0
1
0
1−
0
2 0 2+ =
2 1 3+ =
2 0 2+ =
( )2 1 1+ − =
2 0 2+ =
( ) 2 .f x sen x, com x= + ∈
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FunFunçções trigonomões trigonoméétricastricas
( ) .f x cos 2x, com x= ∈x 2x y = cos 2x
0
2π
π
32π
2π
1
0
1−
0
1
0
4π
2π
34π
π
FunFunçções trigonomões trigonoméétricas inversastricas inversas
Para admitir a inversa, a função deve ser bijetora.
Dada a função x = sen y, a função inversa será y = arcsen x.
Dada a função x = cos y, a função inversa será y = arccos x.
Dada a função x = tg y, a função inversa será y = arctg x.
( )
1 .2 2 2 6
2 30 .2 4
53 .2 2 3
Se x e x arcsen , então x
Se x e x arccos , então x
Se x e x arctg , então x
π π π− < < = =
⎛ ⎞ π< < π = − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
π π π− < < = − =