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Introdução à Mecânica dos Materiais C ó it E t t iCompósitos Estruturais
Porf Arthur M B BragaPorf. Arthur M. B. Braga
ENG 1704 – Mecânica dos Sólidos II
I. Materiais Compósitos
Referência: Daniel, I. M., and Ishai, O., Engineering Mechanics of Composite Materials, 2nd ed., Oxford University Press, 2005
Materiais CompósitosMateriais Compósitos
• Materiais fabricados a partir de dois ou maisMateriais fabricados a partir de dois ou mais constituintes
• Nosso interesse:• Nosso interesse:– Compósitos estruturais reforçados por fibra (Matriz + Fibras)(Matriz + Fibras)
Materiais CompósitosMateriais Compósitos
Matriz: agregar o reforço e distribuir tensõesMatriz: agregar o reforço e distribuir tensões
Tipos de Matrizes
Poliméricas Metálicas Cerâmicas Carbono/Grafite
Termoplásticos TermofixosTermoplásticos Termofixos
Materiais CompósitosMateriais Compósitos
Matrizes Poliméricas
Mais utilizadas em compósitos
iPoliméricas
Terrmoplásticas Termofixas
estruturais
Terrmoplásticas Termofixas
ó iTermoplásticos Termofixos
Epóxi• Podem ser conformados várias vezes quando
• Resistência a temperatura
• Insolúveis e infusíveis
Poliésteraquecidos• Recicláveis
infusíveis• Estrutura tridimensional com ligações crudzadas
Resinas Fenólicas
ligações crudzadas• Mais rígidos
Materiais CompósitosMateriais Compósitos
Materiais de Reforço
Fibras Esferas Partículas Etc.
Materiais CompósitosMateriais Compósitos
• Fibras– Vidro– CarbonoM t i– Metais
– Alumina– Boroo o– Aramida– Carbureto de SilícioQ /Síli– Quartzo/Sílica
– Grafite– Etc.Etc.
Materiais CompósitosMateriais Compósitos
• LaminadosLaminados
Unidericionais
Em ângulo (angle‐ply)
II. Materiais Anisotrópicos
Teoria da ElasticidadeTeoria da ElasticidadeEstática/Pequenas Deformações/Material Linear
T
1
0
jij ,
1
0
c
uu T
2
klijklij
ijjiij
c
uu
,,2
tensõesdetensor:
sdeformaçõedetensor:todeslocamenvetor:u
deelasticidadetensor:c
Simetrias do Tensor de ElasticidadeSimetrias do Tensor de Elasticidade
jiklijkljiij cc
Simetrias Menores
(27 componentes repetidas)
ijlkijkllkkl
jiklijkljiij
cc ( p p )
(18 componentes repetidas)
36 constantes independentes
Simetrias do Tensor de ElasticidadeSimetrias do Tensor de Elasticidade
Densidade de Energia de Deformação Elástica
ijklklijklijijij ccv 021
21)(
Densidade de Energia de Deformação Elástica
( é positivo—definido)ijklklijklijijij 22)(
ijklklijklijvccv
)(,)( 2
( p )
klijijklklijkl
ijij
klijijkl cc (15 componentes repetidas)
21 constantes independentes
Simetrias do Tensor de ElasticidadeSimetrias do Tensor de Elasticidade
Notação de Voigt: JIJIJIJI sc Notação de Voigt:
ij I 111 111
JIJIJIJI sc
ij I11 11 1
22 22 2
33
22
11
3
2
1
33
22
11
3
2
1
33 33 3
23 32 4
13 31 5
13
23
33
5
4
3
13
23
33
5
4
3
22
13 31 5
12 21 6
12
13
6
5
12
13
6
5
22
Simetrias do Tensor de ElasticidadeSimetrias do Tensor de Elasticidade
Notação de Voigt: c Notação de Voigt:
111211131123113311221111161514131211 cccccccccccc
JIJI c
3312
2212
1112
3313
2213
1113
3323
2223
1123
3333
2233
1133
2222
11221111
36
26
16
35
25
15
34
24
14
33
23
13
22
1211
ccc
ccc
ccc
ccc
ccc
ccc
ccc
ccc
ccc
ccc
1312
2312
1313
23132323
56
46
55
4544
cc
ccc
cc
ccc
121266 cc
Simetrias do Tensor de ElasticidadeSimetrias do Tensor de Elasticidade
Notação de Voigt: c Notação de Voigt:
11615141312111 cccccc
JIJI c
3
2
1
36
26
16
35
25
15
34
24
14
33
23
13
22
1211
3
2
1
cc
cc
cc
ccc
5
4
3
56
46
36
55
45
35
44
3433
5
4
3
cc
ccc
6
5
66
5655
6
5
c
Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria
Sistema Triclínico
161514131211 cccccc
36
26
16
35
25
15
34
24
14
33
23
13
22
1211
cc
cc
cc
ccc
56
46
36
55
45
35
44
3433
cc
ccc
c
66
5655
c
Ref.: Auld, B. A., Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol I, 2nd ed., Krieger Publishing Company, 1990
Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria
Sistema Monoclínico
15131211 00 cccc
35
25
15
33
23
13
22
1211
00
00
cc
ccc
46
55
35
44
33
00 cc
cc
66
55
c
Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria
Sistema Ortorrômbico
131211 000ccc
33
23
13
22
1211
00
00
00
ccc
55
44
33
000
cc
c
66
55
c
Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria
Sistema Tetragonal Classes
16131211 00 cccc
m4,4,4
16
16
33
13
13
11
1211
000
00 c
ccc
44
44
33
000
cc
c
66
44
c
Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria
Sistema Tetragonal Classes
131211 000ccc
mmmmmm 4,24,422,4
33
13
13
11
1211
00
00
00
ccc
44
44
33
000
cc
c
66
44
c
Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria
Sistema Trigonal (Romboédrico) Classes
02514131211 ccccc
3,3
00
0025
25
14
14
33
13
13
11
1211
ccccc
0
14
25
44
44
33
cc
cc
c
2)( 1211
1444
cc
Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetriaquartzo
Sistema Trigonal (Romboédrico) Classes
0014131211 cccc
mm 3,3,32
00
00
014
14
33
13
13
11
1211
cccc
00
1444
44
33
ccc
c
2)( 1211
1444
cc
Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetriarochas, compósitos carbono‐epóxi
Sistema Hexagonal (Isotropia Transversal)
000131211 ccc
00
00
00
33
13
13
11
1211
ccc
000
44
44
33
cc
c
2)( 1211
44
cc
Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria
Sistema Cúbico
121211 000ccc
11
12
12
11
1211
00
00
00
ccc
44
44
11
000
cc
c
44
44
c
Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria
Sistema Isotrópico
12124412 0002 cccc
4412
12
12
4412
124412
00
00
00
22
ccccc
44
44
4412
000
cc
c
Cosntantes de Lamé:
44
44
cCosntantes de Lamé:
)1(2),21)(1( 4412 EcEc
Ref.: Auld, B. A., Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol I, 2nd ed., Krieger Publishing Company, 1990
Ref.: Auld, B. A., Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol I, 2nd ed., Krieger Publishing Company, 1990
Ref.: Auld, B. A., Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol I, 2nd ed., Krieger Publishing Company, 1990
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
3x3x
ijqjpipq aa
2x
ijqjpipq aa
ijklslrkqjpipqrs caaaac
1x2x
1x
a é uma matriz ortogonal de transformação (rotação)api é uma matriz ortogonal de transformação (rotação)
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Ex.: Rotação de um ângulo em torno do eixo x3
33 xx Taa
x2x
0cossin
0sincos
a1x
2x1x
100
23131222112211
122211
2313122211
1222112211
cossin2sin2cos22
2cos2sin2
sincos2cos2sin2
2sin2cos22
3323132313
23131212
cossinsincos222
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)
ijqjpipq aa
ijqjpipq aa
ijklslrkqjpipqrs caaaac
,232221
131211
aaaaaa
a Taa 1
333231 aaa
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)
IPIP M
1121111131312
2
213
2
212
2
2111
22
22
22 aaaaaaaaa
4
3
2
32213122
3231
2221
31233321
3133
2123
32233322
3332
2322
3323
233
223
3222
232
222
3121
231
221
4
3
2
22
22
22
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaa
a
aaa
a
aaa
a
6
5
4
21122211
31123211
32213122
23112113
33113113
31233321
22132312
32133312
32233322
2313
1333
3323
2212
1232
3222
2111
1131
3121
6
5
4
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)
IPIP N
1121111131312
2
213
2
212
2
2111 aaaaaaaaa
4
3
2
32213122
3231
2221
31233321
3133
2123
32233322
3332
2322
3323
233
223
3222
232
222
3121
231
221
4
3
2
222
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaa
a
aaa
a
aaa
a
6
5
4
21122211
31123211
32213122
23112113
33113113
31233321
22132312
32133312
32233322
2313
1333
3323
2212
1232
3222
2111
1131
3121
6
5
4
22
22
22
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)
}]{[}{ M
}{]][][[}]{][[}{ 1 NcMcM
}]{[}{ c
}]{[}{ N
1]][][[][ NcMc
}]{[}{ c
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)
A matriz de transformação é ortogonal, logo pode‐se mostrar que a matriz é a transposta da matriz
][a1][ N ][Mque a matriz é a transposta da matriz
TMN ][][ 1
][N ][M
portanto
TMM ]][][[][ TMcMc ]][][[][
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)
Analogamente, para a matriz de flexibilidade (compliance)
}]{[}{ s
A transformação éA transformação é:
TNsNs ]][][[][
e }]{[}{ s
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Exemplo:Material Transversalmente IsotrópicoExemplo: Material Transversalmente Isotrópico
000131211 ccc
00
00
00
33
13
13
11
1211
ccc
000
44
44
33
cc
c
2)( 1211
44
cc
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Exemplo:Material Transversalmente IsotrópicoExemplo: Material Transversalmente Isotrópico Epóxi reforçado por fibras de carbono
1x1
PLano Isotrópico
3x
2x2
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Exemplo:Material Transversalmente IsotrópicoExemplo: Material Transversalmente Isotrópico Epóxi reforçado por fibras de carbono (AS‐3501)
00
00
00
50.650.6
5.1424.75.14
GPa00
00
10.70161
][
c
63.3010.7
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
Rotação de 45° em torno do eixo 1Rotação de 45 em torno do eixo 1
22220001
][a
2222022220][a
000001
000
000
110
21210
21210
001
22
00
22
00
001
02121
02121
000
][M
22
22
22
2200
00
00
00
Transformação de Coordenadas
Rotação de 45° em torno do eixo 1
Transformação de Coordenadas
Rotação de 45 em torno do eixo 1
Acoplamento entre tensões normais e deformações
TMcMc ]][][[][
0037.087.687.65.14
normais e deformações cisalhantes
GP00
00
6.366.36
2.540.402.54
][
GPa
74.10
37.506.40
][
c
37.5
Transformação de Coordenadas
Rotação de 45° em torno do eixo 1
Transformação de Coordenadas
Rotação de 45 em torno do eixo 1
00
00
0.434.43
5.116.23
0.596.23
6.234.92
1-121 Pa10
36700
20800
0103
0.43
00.430.59
00.435.11
04.436.23
][][
cs
2083.67
3.67208
00
00
00
00
Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas
l ã2x
Acoplamento entre tensão normal e deformação cisalhante (distorção)
2
( ç )
0
00
00
224
14
23
12
22
12
12
11
2
1
ss
ss
ss
ss
2x3x4
000
000
000
0000
2
44
24
24
24
33
23
24
23
22
14
12
12
4
3
2
sssss
sss
sss
sss
00
00
00
00
00
55
56
56
55
6
5
ss
ss
212
234 10432 3x
2234 10432 2
III. Propriedades (Micromecânica)
Material IsotrópicoMaterial Isotrópico
Relação Constitutiva( ili d d h i E )
11 0001 EEE
(utilizando as constantes de engenharia: E, )
3
2
1
3
2
1
000100010001
EEEEEEEEE
5
4
3
5
4
3
010000001000
GG
66 100000 G
)1(2 EG )1(2 EG
Material Ortotrópico (ortorrômbico)Material Ortotrópico (ortorrômbico)
Compósito reforçado por fibras
2x
1x1x
3x
Material Ortotrópico (ortorrômbico)Material Ortotrópico (ortorrômbico)2x
1xRelação constitutiva
3x
11312111 000 sss
3
2
1
332313
232212
131211
3
2
1
000000
ssssss
5
4
55
44
5
4
000000000000000
ss
6666 00000 s
Material Ortotrópico (ortorrômbico)Material Ortotrópico (ortorrômbico)2x
Relação Constitutiva(utilizando as constantes de engenharia)
1x
3x
2
1
3332221112
3331222111
2
1
000100010001
EEEEEEEEE
5
4
3
13
23
3322231113
5
4
3
0100000010000001
GG
EEE
6126 100000 G
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
Constantes elásticas do compósito podem ser obtidas aConstantes elásticas do compósito podem ser obtidas a partir de ensaios de tração nas três direções principais de simetria do material
0,0 654321 2x
1x3x 1
131
13
2
131312121111 E
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
CisalhamentoCorpo de Prova de Iosipescu (cisalhamento puro)Norma ASTM D 7078‐05: V‐Notch Rail Shear Test
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
Cisalhamento
P
Equilíbrio de forças e momentos no espécime
P
ARBR
ARBR M
BRAR
2bL
BA
bL
0 LRbR BA PRR BA
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
PLPbbL bL
Corpo de Prova cisalhamento puro
bLPbbL
PL
p
bLPb
P
2Pb
Diagrama de Esforço Cortante
2Pb
Diagrama de Momento Fletor
2Pb
Fletor
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas2x
Medida da Deformação 1xCisalhante
)45( Extensômetros
)45( Extensômetros
)45()45(2 126
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
CisalhamentoCisalhamento
6 AP
6612
6 )45()45(
G
Material Ortotrópico (ortorrômbico)Material Ortotrópico (ortorrômbico)2x
Relação Constitutiva(utilizando as constantes de engenharia)
1x
3xSimetria
2
1
3332221112
3331222111
2
1
000100010001
EEEEEEEEE
5
4
3
13
23
3322231113
5
4
3
0100000010000001
GG
EEE
6126 100000 G
Material Ortotrópico (ortorrômbico)Material Ortotrópico (ortorrômbico)2x
Relação Constitutiva(utilizando as constantes de engenharia)
1x
133312221111
00010001
EEEEEE
3x
4
3
2
23
3322231113
3332221112
4
3
2
00100000010001
GEEE
EEE
6
5
4
12
13
3
6
5
4
100000010000
GG
22
23
33
32
11
13
33
31
11
12
22
21 ,,EEEEEE
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
EnfoqueMicromecânico: determinação das constantesEnfoque Micromecânico: determinação das constantes elásticas do compósito a partir das propriedades dos seus constituintes (matriz e fibras)
Seção transversal de compósitos reforçados por fibra unidirecionais
Fração volumétrica: 0,4 Fração volumétrica: 0,7
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
Hipótese: fibra e matriz são de materiais homogêneos,
fE ‐Módulo de Elasticidade da Fibra
isotrópicos, elásticos e lineares
mE ‐Módulo de Elasticidade da Matriz
fG ‐Módulo de Cisalhamento da Fibra
Fibra
f ‐ Coeficiente de Poisson da Fibra
f
mG ‐Módulo de Cisalhamento da Matriz
f Coeficiente de Poisson da Fibra
m ‐ Coeficiente de Poisson da Matriz
fV Fração Volumétrica da FibrafV ‐ Fração Volumétrica da Fibra
mV ‐ Fração Volumétrica da Matriz fm VV 1Matriz
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
2fibdl d24totalvolume
fibradevolumeld
V ff
l
lfd
785,04
max
fVMáxima fração volumétrica: ld f
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
3x
2x
x
2x
3x1x
1x2x
3x
Célula Unitária 1x
2x
Modelo Micromecânico
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
Cálculo de E11
1x2x P P
mfmm
ff
fm VVAAAA 111 )(
ffmf
mff
fmmmfmff
ff VVAAAVAAAV 111)(,)(
f
f
ff
f
fmf
f
VVEEE 1
1
1
1
1
111
11
11
mfff EVEVE )1(11
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
Cálculo de 12
1x2x 2h
2h
mf hhh hhVhhV mmff ,
mf
mf
hhh
hhhh fff 11
mmff ,
hhh
hhh mmffmf 11
2
hh mf 2 )1( VV hhm
mf
f
1
2 )1(12 fmff VV
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
Cálculo de E222
2x2h
2
1x2h
2
m
mf
fm
mf
f hE
hE
hhhh 22222
f hhhhh mmff
mf
VEVEEE
E
)1(22
m
m
f
f
Ehh
Ehh
hh
22 mmff )(
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
Cálculo de G126
2x6
6
61x
6
6 6
2m
2mh
2
ffh
2mh
mmff hhW
2m
W
m
Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas
Cálculo de G12
mmff hhW
hh)1( mmff
mmff VVh
hhh
W
)1(66
12
6m
mf
f
VG
VGG
ff
mf
VGVGGG
G
)1(12
mmff VGVG )1(
Estado Plano de Tensão (2D)Estado Plano de Tensão (2D)
2 6
Material Ortotrópico
x2x 1
6
6
1x1
2 6
6
Direções Principais de 11EQ
0 QQ
Simetria do Material
2222
2112
1111 1
EQ
EQ
6
2
1
66
22
1211
6
2
1
00
QQQQ
221211212112
211222
11
1EEQQ
Q
1266
21122112 11GQ
Estado Plano de Tensão (2D)Estado Plano de Tensão (2D)
26
x2x 1
6
6
1x1
26
6
11612111 QQQ
6
2
66
2622
6
2
QQQ
Estado Plano de Tensão (2D)Estado Plano de Tensão (2D)
26
x2x 1
6
6
1x1
26
6
TTT
][][][]][[][
22
22
22
][ mnmnmnnm
T
QQT
]][[][]][[][][][][
22
2][nmmnmn
mnmnT
cosmTTQTQ ]][][[][
sincos
nm
Estado Plano de Tensão (2D)Estado Plano de Tensão (2D)
26
x2x 1
6
6
1x1
26
6
6622
224
1222
114
22
6622
224
1222
114
11
42
42
QnmQmQnmQnQ
QnmQnQnmQmQ
223366
222212
31211
316
6622
2222
1244
1122
12
)(2)()(
4)(
QnmmnQQmnQQnmQ
QnmQnmQmmQnmQ
66222
221222
121122
26
6622
22123
12113
26
)()()(
)(2)()(
QnmQQnmQQnmQ
QnmmnQQnmQQmnQ
Estado Plano de Tensão (2D)Estado Plano de Tensão (2D)
Propriedades Elásticas no Planop(Lâmina de Material Ortotrópico)
12122211 ,,, GEE 12122211 ,,,
66122211 ,,, QQQQ
)()()()()()( QQQQQQC d Lâ i )(),(),(),(),(),( 662616122211 QQQQQQCada Lâmina
IV. Placas Laminadas
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
2x
bah ,Placas Finas
z
h
1xb
a
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Plano x1z
Teoria Clássica
)()(
),(),,(1
21211
xxwzxxuxwzxxuzxxu
z
),(),,( 21212 xxwzxxu
1xw
x
90°1x
wz1
x1u w
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
wPlano x2z
Teoria Clássica
)()(
),(),,(2
21212
xxwzxxuxwzxxvzxxu
z
),(),,( 2121 xxwzxxuz
22 x
w
90°2x
wz2
v wx2
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Campo de Deslocamentos
),(),,(),(),,(
221212
121211
xwzxxvzxxuxwzxxuzxxu
p
),(),,( 21213 xxwzxxu
Campo de Deformações
2
21
2
11
11 x
wzxu
xu
2
22
2
22
22
wvuuu
xwz
xv
xu
21121
2
2
16 2
xxwz
xv
xu
xu
xu
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Definindo‐se
12
06
2
02
1
01 e,,
xv
xu
xv
xu
21
2
622
2
221
2
1 2e,,xx
wkxwk
xwk
As deformações podem reescritas na forma:
0 k
6
2
1
06
02
1
6
2
1
kkk
z
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Campo de deformações ao longo da espessuraCampo de deformações ao longo da espessura
(linear e contínuo)
02
01
2
1
kk
zz
06
6k
21 ou xx
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
z
Lâmina j
2x
1xjz
hjh
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Tensões na Lâmina j ( j = 1,2, ..., N)j ( j , , , )
2
1)(
26)(
22)(
12
)(16
)(12
)(11
)(2
)(1
QQQQQQ
jjj
jjj
j
j
1)(
16)(
12)(
1101
)(16
)(12
)(11
6)(
66)(
26)(
16)(
6
kQQQQQQ
QQQjjjjjj
jjjj
6
2
1
)(66
)(26
)(16
)(26
)(22
)(12
161211
06
02
1
)(66
)(26
)(16
)(26
)(22
)(12
161211
kkk
QQQQQQQQQ
zQQQQQQQQQ
jjj
jjj
jjj
jjj
66626166662616 kQQQQQQ
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Tensões na Lâmina j ( j = 1,2, ..., N)j ( j , , , )
}{][}{][}{ )(0)()( kQzQ jjj }{][}{][}{ kQzQ
jj
jj
hzz
hz
22 jj zzz
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Campo de tensões ao longo da espessuraCampo de tensões ao longo da espessura
(linear por partes e descontínuo)
z }{][}{][}{ )(0)()( kQzQ jjj
}{
21 ou xx
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Esforços Generalizadosç
dNN h
2 11
zdzNN
h
2
6
2
6
2
1N2N
1x2x
1N N6N N12N6N
6N
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Esforços Generalizadosç
dMM h
2 11
zdzzMM
h
26
2
6
2
1M2M
1x2x
2M1M2
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Esforços Generalizadosç
dMM h
2 11
zdzzMM
h
26
2
6
2
1x2x
6M M66M
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
Esforços Generalizadosç
N hzj
jhN
jj 2)(
)(12 11
j hz j
j
h
dzdzNN
jj1 2 )(6
)(2
26
2
6
2
N hz
j
jh
dzzdzzMM
jj 2)(
2
)(12
2
1
2
1
j hz jh
dzzdzzMM
jj1 2 )(6
22
6
2
6
2
Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas
0
11612111612111 BBBAAAN
06
02
662616662616
262212262212
6
2
kDDDBBBBBBAAABBBAAA
MNN
6
2
1
662616111111
262212111111
161211111111
6
2
1
kkk
DDDBBBDDDBBBDDDBBB
MMM
66626161111116 k
)6,2,1,(1
)(
qpQhAN
j
jpqjpq
1j
N
j
jpqjjpq QhzB
1
)(2
N hh 3212
N
j
jpq
jjjpq Q
hhzD
1
)(32
1212