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8/17/2019 Introdução à Dinâmica de Estruturas Elevadas
1/46
Dinâmica Estrutural Aplicada a EdifíciosAltos
Abril 2016
Eng. Sérgio E. Stolovas
U1-1
Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais 1
Conceitos gerais de estruturas submetidas a forças
estáticas.
8/17/2019 Introdução à Dinâmica de Estruturas Elevadas
2/46
2Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
O vento exerce forças essencialmente
horizontais sobre os edifícios.
Essas Histórias de Forças são muito
complexas.
Para edifícios altos os efeitos do vento
na estrutura serão função não somente
da História de Forças, mas também dos
atributos dinâmicos (inerciais e modais)
da estrutura.
Nesta primeira etapa realizaremos uma
revisão de conceitos básicos de
estruturas submetidas a forças
estáticas, rigidez, deformações e
energia.
8/17/2019 Introdução à Dinâmica de Estruturas Elevadas
3/46
3Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
F
Trabalho realizado pelas forças aplicadas a uma estrutura elástica
Considerando um processo quase estático no qual a
força é incrementada de 0 até F, o trabalho realizado
pela força aplicada é:
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4/46
4Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
F
Energia Elástica armazenada
M
Assumindo:
- Processos quase estáticos
- Hipóteses de Euler-Bernoulli (seções
planas permanecem planas).
E desconsiderando a deformada por
cortante, a Energia Elástica dU armazenadaem uma fatia de viga (onde o Momento é
M) será:
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5Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
F
Energia Elástica armazenada
U
[ ]
[
(}
]
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6/46
6Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
F
Energia Elástica armazenada Trabalho realizado pelas forças aplicadas
Teorema de Clapeyron “O trabalho das
forças externas sobre uma estrutura lineal é
igual à Energia Elástica armazenada” :
U
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7/467Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
F
Teorema II de Castigliano “A derivada parcial
da Energia Elástica armazenada respeito de
uma força é igual ao deslocamento onde a
força é aplicada na direção da força”
U
Energia Elástica armazenada
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8/468Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Energia Elástica armazenada
Para qualquer trecho de viga (pilar) de comprimento ∆ no qual o momento mudalinearmente entre e :
A Energia Elástica armazenada será:
Em particular:
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9/469Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de estruturas de 1 grau de liberdade
F
ℎ
3
Rigidez é a força que
provoca um deslocamento
unitário
Flexibilidade é o
deslocamento provocado
por uma força unitária
1 1
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10/4610Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de estruturas de 1 grau de liberdade
F
ℎ2
ℎ
2
ℎ
6 (ℎ2 )ℎ
6 ℎ24
Castigliano:
ℎ12
1
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11/4611Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de um pórtico simples
F
ℎ 2
E
E E
2 ( ℎ )
2 Teorema II de Castigliano “A derivada parcial daEnergia Elástica armazenada respeito de umaforça é igual ao deslocamento onde a força é
aplicada na direção da força”
Teorema de Menabrea: “As reações de
estruturas hiperestáticas se correspondem com
valores que fazem a Energia Elástica extrema”
16 ℎ 16
2
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12/4612Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de um pórtico simples
F
E
E E
→
++ independente de F
ℎ
≫ℎ
→ ∞ →ℎ2
≪ℎ
→ 0 → ℎ
ℎ > > ℎ2
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13/46
Pórtico
F
~ F/2 F/2
F/2F/2
R
RR
R
MiMi
ℎ 2
> para vigas flexível para vigas infinitamente rígida
ℎ
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14/46
Pórticos com viga infinitamente rígida ( ≫ )F
~ F/2 F/2
F/2F/2
R
RR
R
MiMi
ℎ2 ℎ4
ℎ
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15/4615Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de um pórtico simples com viga infinitamente rígida
F
ℎ24 ℎ/4
ℎ/4 ℎ/4
ℎ/4
E → ∞ ; → 0 ~ 2 ( /) =
8
d l b l d d d l l b l
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16/4616Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Rigidez e Flexibilidade de um pilar vertical em balanço
6
3
Teorema II de Castigliano “A derivada parcial da
Energia Elástica armazenada respeito de uma
força é igual ao deslocamento onde a força é
aplicada na direção da força”
Para achar o deslocamento para um ponto idiferente do qual está aplicada a força se
agrega uma força R no local i e se estuda :
, → =
3
6 <
i id l ibilid d d il i l b l
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17/4617Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Rigidez e Flexibilidade de um pilar vertical em balanço
3
3
6
Flexibilidade no grau deliberdade i associada à força aplicadano grau de liberdade j será o
deslocamento em i quando a força éunitária ( =1)
−
quando ≤
Flexibilidade
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18/4618Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Teorema de reciprocidade de Maxwell
“
e
são forças unitárias aplicadas nos nós
e respectivamente. O deslocamento nadireção e local de provocado por é igualà deformação na direção e local de provocado por ”
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19/46
……
= ……
19Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Notação de deslocamentos nos diferentes graus de liberdade.
Graus de liberdade = “DOF” = coordenadas (parâmetros) independentes que
determinam a configuração de deformação da estrutura.
A direção ou tipo dos “DOF” graus de liberdade são de acordo a
convenções predeterminadas e podem ter direções e sentidos de
acordo às convenções pré-estabelecidas.
Em geral os “DOF” estão associados aos deslocamentos dos diferentes nós
que compõem a estrutura. A direção e sentido são geralmente coincidentes
com as direções e sentidos do sistema global.
= deslocamento associado ao DOF
DOF= Degrees Of Freedom
ot ção:
= vector deslocamento generalizado para uma estrutura de n DOFs
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20/46
……
20Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Podem ser definidos até 6 DOF por cada nó da estrutura (3
deslocamentos e 3 rotações).
Para simplificar deve se reduzir os DOF da estrutura.
Porém, a redução implicará também uma redução das forças que é
possível aplicar na estrutura.
Por exemplo, caso não sejam definidas rotações como DOF não poderá
se definir momentos aplicados em nós da estrutura.
DOF= Degrees Of Freedom
= vector força generalizado para uma estrutura de n DOFs
……
Forças e deslocamentos nacomponente i devem estar
correlacionadas ao mesmo
DOF i da estrutura.
8/17/2019 Introdução à Dinâmica de Estruturas Elevadas
21/4621Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
… … … … … … … … … … … … … … … … … …
… …
Matriz de Flexibilidade
deslocamento no
DOF i quando é
aplicada uma
carga unitária no
DOF j
deslocamento no
DOF j quando é
aplicada uma
carga unitária no
DOF i
deslocamentos
devidos a uma
carga unitária no
DOF j
……
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
……
=
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22/4622Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Matriz de Rigidez
Força que tenho
que aplicar no DOF
i quando é
imposto um
deslocamento
unitário em j e
nenhumdeslocamento no
resto dos DOF.
Forças que tenho
que aplicar nos
diferentes DOF da
estrutura para que
o deslocamento
em j seja unitário
e zero no resto.
… … … … … … … … … … … … … … … … … …
… …
Força que tenho
que aplicar no DOF
j quando é
imposto um
deslocamento
unitário em i e
nenhumdeslocamento no
resto dos DOF.
Teorema de Betti :
“O trabalho realizado por um grupo de Forças
R1 durante a deformação produzida por outro
grupo de forças R2 é igual ao trabalho
realizado pelo R2 durante a deformação
produzida por R1”
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23/4623Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Matriz de Rigidez
Força que tenho
que aplicar no DOF
i quando é
imposto um
deslocamento
unitário em j e
nenhumdeslocamento no
resto dos DOF.
Forças que tenho
que aplicar nos
diferentes DOF da
estrutura para que
o deslocamento
em j seja unitário
e zero no resto.
… … … … … … … … … … … … … … … … … …
… …
Força que tenho
que aplicar no DOF
j quando é
imposto um
deslocamento
unitário em i e
nenhumdeslocamento no
resto dos DOF.
……
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
……
=
8/17/2019 Introdução à Dinâmica de Estruturas Elevadas
24/4624Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Matriz de Rigidez ……
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
……
+ +...++...+
= 10…0…0
+ 01…0…0
+...+ 00…1…0
+...+ 00…0…1
+ +...++...+
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25/4625Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
−
→ é
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26Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Matriz de Flexibilidade Matriz de Rigidez
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27Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Matriz de Flexibilidade Matriz de Rigidez
3
6
para ≤
para > −
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28Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Trabalho realizado pela força :
12 Trabalho total realizado por todas as forças ∶
=
……
1 2
…
…
=
() = K
K X = U Teorema de Clapeyron “O trabalho das
forças externas sobre uma estrutura lineal é
igual à Energia Elástica armazenada” :
Flexibilidade de pórticos com viga infinitamente rígida (e pilares infinitamente rígidos a
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29Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
1
Flexibilidade de pórticos com viga infinitamente rígida (e pilares infinitamente rígidos a
força axial
ℎ/4
ℎ/4 ℎ/4
ℎ/4
E → ∞ ; → 0
í ( )
í ( )
1
MEMO:
Flexibilidade de pórticos com viga infinitamente rígida (e pilares infinitamente rígidos a
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30Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Flexibilidade de pórticos com viga infinitamente rígida (e pilares infinitamente rígidos a
força axial
í ( )
í ( )
~=
8
( )
( )
: = =
:
Flexibilidade de pórticos com vigas infinitamente rígidas (e pilares infinitamente rígidos
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31Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Flexibilidade de pórticos com vigas infinitamente rígidas (e pilares infinitamente rígidos
a força axial)
=
Flexibilidade de pórticos com viga infinitamente rígida (e pilares infinitamente rígidos a
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32Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Flexibilidade de pórticos com viga infinitamente rígida (e pilares infinitamente rígidos a
força axial
1 1 1 1 1
1 2 2 2 21 2 3 3 31 2 3 4 41 2 3 4 5
1 /
2 1 0 0 0
1 2 1 2 00 1 2 1 00 0 1 2 10 0 0 1 1
Caso todos os andares sejam igualmente flexíveis:
Padrão de deformação de pórticos com vigas rígidas (deformação tipo cortante)
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33Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Padrão de deformação de pórticos com vigas rígidas (deformação tipo cortante)
Padrão de deformação de pórticos com vigas rígidas (deformação tipo cortante)
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Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
ad ão de de o ação de pó t cos co gas g das (de o ação t po co ta te)
Para pórticos (com carga
uniforme) o deslocamento
relativo entre lajes
consecutivas (“drift” ou
“deriva”) diminui nos andares
superiores
Padrão de deformação de elementos flexionais
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35Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
ç
Padrão de deformação de elementos flexionais
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36Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
ç
Para elementos flexionais (com
carga uniforme) o
deslocamento relativo entre
lajes consecutivas cresce para
andares superiores.
Interação entre elementos com deformação flexional e elementos com deformação de
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37Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
ç ç ç
tipo cortante supondo que as lajes são de borracha.
Interação entre elementos com deformação flexional e elementos com deformação de
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tipo cortante supondo que as lajes são de borracha.
Elementos flexionais tendem a
se comportar mais
rigidamente nos andares
inferiores e os pórticos nos
superiores.
Isso acontece mesmo quando
os pórticos são menos rígidos
que os núcleos flexionais.
O que acontece é uma
”pedalada” com transferênciade forças de núcleos a pórticos
e a devolução aos núcleos
flexionais nos andares
inferiores.
Interação entre pórticos e pilares em balanço:
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=
−
Interação entre pórticos e pilares em balanço:
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Interação entre pórticos e pilares em balanço:
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41Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Interação entre pórticos e pilares em balanço:
8/17/2019 Introdução à Dinâmica de Estruturas Elevadas
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Interação entre pórticos e pilares em balanço:
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Arquivos Excel para treinar conceitos (1):
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Arquivos Excel para treinar conceitos (2):
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Arquivos Excel para treinar conceitos (3):