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Introdução àanálise dedados
agronômicose uso dosoftware R
Anderson RSilva
ComparaçõesMúltiplas
Contrastes
Teste t paracontrastes
Testespost-hoc
Teste de LSDde Fisher
Teste HSD deTukey
Teste SNK
Teste deDunnett
Escolhendo oteste
Determinandoo número derepetições doexperimento
Introdução à análise de dados agronômicos e uso do software R
Anderson R Silva
Programa de Pós-Graduação em Estatística e Experimentação AgronômicaESALQ/USP
25 a 30 de novembro de 2013
Introdução àanálise dedados
agronômicose uso dosoftware R
Anderson RSilva
ComparaçõesMúltiplas
Contrastes
Teste t paracontrastes
Testespost-hoc
Teste de LSDde Fisher
Teste HSD deTukey
Teste SNK
Teste deDunnett
Escolhendo oteste
Determinandoo número derepetições doexperimento
Parte 2 - Conteúdo
1 Comparações Múltiplas
Contrastes
2 Teste t para contrastes
3 Testes post-hoc
Teste de LSD de Fisher
Teste HSD de Tukey
Teste SNK
Teste de Dunnett
Escolhendo o teste
4 Determinando o número de repetições do experimento
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Contrastes
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Testespost-hoc
Teste de LSDde Fisher
Teste HSD deTukey
Teste SNK
Teste deDunnett
Escolhendo oteste
Determinandoo número derepetições doexperimento
Comparações Múltiplas
Quando o teste F da ANOVA está sendo utilizado para testar diferenças entre I
tratamentos, a seguinte hipótese de nulidade é formulada:
H0 : µ1 = µ2 = ... = µI
Entretanto, quando I > 2, algumas comparações especí�cas de tratamentos podem
ser interesse. Nesse contexto, os procedimentos de comparações múltiplas (PCM)
são apropriados, desde que tratamento seja um fator qualitativo, e servem como um
complemento do teste F.
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Contrastes
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Testespost-hoc
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Escolhendo oteste
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Ideia
Figura : diferença mínima signi�cativa
Fonte: Adaptado de Vieira (1989)
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Contrastes
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Escolhendo oteste
Determinandoo número derepetições doexperimento
Contrastes
Uma combinação linear de médias cujos coe�cientes somam zero constitui
um contraste de médias, denotado por
C = a1µ1 + a2µ2 + ...+ aIµI =I∑
i=1
aiµi ,
sendo que∑I
i=1 ai = 0.
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Contrastes
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Determinandoo número derepetições doexperimento
Contrastes - exemplo
Considere o exemplo 2 da aula anterior (cultivares de batata).
Cultivar Rep.1 Rep.2 Rep.3
1 50,9 50,6 51,2
2 49,1 49,3 49,9
3 49,9 49,8 49,5
4 49,2 49,1 50,0Fonte: Embrapa, 2011
Agora, admitindo que apenas os cultivares 1 e 3 são resistentes à P. infestans, um
contraste de interesse seria:
C1 = (µ1 + µ3)− (µ2 + µ4)
em que a1 = a3 = 1 e a2 = a4 = −1.
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Contrastes - exemplo
A estimativa do contraste C1 seria:
C1 = (µ1 + µ3)− (µ2 + µ4)= 50, 9+ 49, 7− 49, 4− 49, 4= 1, 77
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Variância de um contraste
A variância da estimativa de um contraste (C ) de médias é dada por:
Var(C ) = Var(a1µ1 + a2µ2 + ...+ aI µI ) =I∑
i=1
a2iriσi
se
• σ21 = σ22 = ... = σ2I = QMRes (homocedasticidade)
• r1 = r2 = ... = rI = r (experimento balanceado)
então:
Var(C ) =QMRes
r
I∑i=1
a2i
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Variância de um contraste - exemplo
Em se tratando de C1, tem-se que: r = 3 e QMRes = 0, 1375, logo:
Var(C1) = QMResr
∑Ii=1 a
2i
= 0,13753 (12 + 12 + (−1)2 + (−1)2)
= 0, 1833
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Teste t para contrastes
Contrastes envolvendo dois grupos de médias podem ser testados com teste
t-Student:C√
Var(C )∼ tν
em que ν é o número de graus de liberdade do resíduo.
O contraste C será considerado não nulo ao nível α quando∣∣∣C ∣∣∣ ≥ tα2,ν ×
√Var(C )
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Teste t para contrastes - exercícios
• Teste a hipótese H0 : C1 = 0 a 5% de signi�cância.
• Veri�que se as médias dos cultivares resistentes diferem.
• Utilize os dados do exemplo 3 da parte 1 do curso (exemplo dos porta-enxertos
de laranja); construa um contraste de interesse e teste se o mesmo é
estatísticamente nulo.
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Testes post-hoc
Referem-se às comparações de todos os pares de médias de um modo �post-hoc�,
isto é, após análise dos dados.
Alguns dos principais testes post-hoc são...
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Teste de LSD de Fisher
• Baseia-se na diferença mínima signi�catica (Least Square Di�erence).
• Apenas para testar contrastes envolvendo duas médias, do tipo: C = µi − µj .• Deve ser aplicado quando o F da ANOVA é signi�cativo (método protegido).
A estatística teste é:
LSD = tα2,ν
√QMRes
(1
ri+
1
rj
)A hipótese H0 : µi = µj será rejeitada ao nível α quando∣∣∣C ∣∣∣ ≥ LSD
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Teste HSD de Tukey
• HSD: honestly signi�cant diference (diferença honestamente signi�cativa).
• Apropriado para testar contrastes entre duas médias.
• Baseia-se na amplitude total estudentizada (q), que é um valor de t ajustado
para mais de duas amostras.
A estatística teste é:
HSD = qα,I ,ν
√1
2Var(C )
sendo I o número de tratamentos.
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Teste HSD de Tukey
Para um contraste do tipo C = µi − µj , tem-se que:
HSD = qα,I ,ν
√QMRes
r
Sendo ri 6= rj , o procedimento é aproximado e referido como método Tukey-Kramer,
e a estatística HSD passa à:
HSD = qα,I ,ν
√QMRes
2
(1
ri+
1
rj
)
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Testes LSD e HSD - exercício
Compare as médias de cultivares de batata utilizando os testes LSD e HSD.
Dados:
QMRes = 0, 1375r1 = r2 = r3 = r4 = r = 3
µ1 = 50, 9; µ2 = 49, 4; µ3 = 49, 7; µ4 = 49, 4
Usando o R para obter os valores tabelados de t e q:
qt(p = 0.975, df = 8)
qtukey(p = 0.95, means = 4, df = 8)
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Teste SNK
• SNK: Student-Newman-Keuls
• Apropriado para comparações entre duas médias.
• Também é baseado na estatística HSD de Tukey, com a diferença que o valor
tabelado não é único em todas as comparações, mas leva em conta o número
(h) de médias ordenadas abrangidas pelo contraste.
• A comparação de médias mais próximas é feita de forma mais sensível que com
o Tukey.
• A estatística é análoga àquela do Tukey, substituíndo o valor único qα,I ,ν por
qα,h,ν , o valor tabelado para comparar médias a uma distância h.
Obs.: O teste de Duncan é aplicado de forma idêntica ao SNK, com exceção do valor
tabelado.
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Teste SNK - exemplo
HSDh=2 = qα,2,ν
√QMRes
r= 3, 26
√0,1375
3 ≈ 0, 70
HSDh=3 = qα,3,ν
√QMRes
r= 4, 04
√0,1375
3 ≈ 0, 86
HSDh=4 = qα,4,ν
√QMRes
r= 4, 52
√0,1375
3 ≈ 0, 97
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Teste de Dunnett
• Apropriado para comparações aos pares das médias de tratamentos com a
média de um tratamento controle ou testemunha.
Se I tratamentos são ensaiados e µ1 é a verdadeira média do controle, então as
hipóteses do tipo
H0 : µ1 − µi , i = 2, 3, ..., I
serão rejeitadas quando
|µ1 − µi | ≥ dα,I ,ν
√QMRes
(1
r1+
1
ri
), i = 2, 3, ..., I .
sendo dα,I ,ν o valor tabelado.
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Escolhendo o teste adequado
• Não há uma regra geral.
• No caso de comparações planejadas... teste t-Student.
• No caso de comparações não planejadas, deve-se considerar a seguinte escala
crescente de rigor: LSD, Duncan, SNK, Tukey.
• Comparações com um tratamento controle: teste de Dunnett.
• Precisão experimental (CV%).
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Teste deDunnett
Escolhendo oteste
Determinandoo número derepetições doexperimento
Determinando o número de repetições do
experimento
Testes post-hoc podem ser utilizados para determinar o número necessário de
repetições do experimento.
Exemplo: a estatística HSD de Tukey
HSD = qα,I ,ν
√QMRes
r
pode ser utilizada para obter
r ≈q2α,I ,νQMRes
(HSD)2
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Determinando o número de repetições do
experimento - exercício
Considere ainda o exemplo dos cultivares de batata, cujo CV = 0,74%. Suponha
que para um novo experimento seja de interesse identi�car uma diferença de 2,0 kg
entre duas médias como signi�cativa a 5% de probabilidade. Qual seria o número
de repetições adequado para esta situação? Considere um CV esperado de 2%.