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Intro mecánica cuántica/JHT 1 / 59
Fundamentos de mecánica cuántica
Jesús Hernández TrujilloFac. Química, UNAM
Agosto de 2018
Contenido
Contenido
Fisicoquímica
Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 2 / 59
� Introducción
� Álgebra de operadores
� Postulados y teoremas de la mecánica cuántica
Fisicoquímica
Contenido
Fisicoquímica
Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 3 / 59
Química cuántica
Mecánica estadística
Termodinámica
Cinética
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Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 4 / 59
Definiciones:
� Mecánica cuántica. Estudio del comportamiento de la materia y laenergía a escala microscópica (atómos, moléculas, partículaselementales).
� Química cuántica. Aplicación de la mecánica cuántica al estudiode la estructura atómica, molecular y la espectroscopia.
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Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 5 / 59
La química cuántica proporciona información sobre:
� Propiedades moleculares (momentosdipolares, etc)
� Geometrías moleculares� Props. espectroscópicas
(espectros UV, RMN, etc.)
� Estados de transición� Energías de reacción� Barreras energéticas� Mecanismos de reacción
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Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 6 / 59
Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
� La mecánica cuántica es una teoría microscópica.
� Asume, además de carácter de partícula, un comportamientoondulatorio (ondas materiales).
� No es posible asignar un modelo en términos de la experienciacotidiana.
� La función de onda
Ψ(x, t) (caso: partícula en una dimensión)
que representa el estado del sistema
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Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 7 / 59
Se postula que Ψ(x, t) satisface la ecuación de Schrödingerdependiente de t:
−~
i
∂Ψ(x, t)
∂t= − ~
2
2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2+ V (x, t)Ψ(x, t) , (1)
donde
→ ~ = h/2π;h = 6.626 × 10−34 J s: constante de Planck
→m: masa de la partícula, → i =√−1
→ V (x, t): función de la energía potencial
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 8 / 59
⇒ ~ es una constante fundamental
� Radiación del cuerpo negro: La energía de la radiaciónelectromagnética con frecuencia ν está cuantizada:
En = nhν, n = 0, 1, 2, . . . .
� Efecto fotoeléctrico: La radiación electromagnética está compuestode fotones con energía discreta E = hν.
� Mediante la conexión relativista entre energía y momento, p, paraun fotón:
pc = E = hc
λ; p =
h
λ
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Medición simultánea depropiedades
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� El momento angular del electrón en el átomo H está cuantizado:
L = n~, n = 1, 2, 3, . . .
� Longitud de onda de de Broglie: la materia (ej. electrones)satisface:
λdB =h
p
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 10 / 59
Principio de incertidumbre:
No es posible conocer con exactitud la posición, x, y
el momento, p = mv, de una partícula de manera
simultánea y en cualquier instante
El producto de las incertidumbres, σx y σp:
σxσp ≥~
2. (2)
→ No es posible conocer la trayectoria de una partícula.
⇒ Aunque en la formulación de Bohm,
se incluye una trayectoria.
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 11 / 59
Gráficamente:
Tomado de: Pilar, Elementary Quantum Chemistry
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Medición simultánea depropiedades
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Interpretación estadística de la función de onda (Born):
Ψ(x, t) ↔ |Ψ(x, t)|2dx = Ψ(x, t)⋆Ψ(x, t)dx︸ ︷︷ ︸
probabilidad de encontrar a la partícula en-tre x y x+ dx
x x+dx
|Ψ(x,t))|2
dx
|Ψ(x,t)|2dx
→ |Ψ(x, t)|2:densidad de probabilidad
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 13 / 59
Estadística:
Propiedad x
� Valores {xi, i = 1, . . . , n}
� Probabilidades: {P (xi), i = 1, . . . , n}� Valor promedio:
x ≡ 〈x〉 =n∑
i=1
xi P (xi)
⇒ P (xi): distribución discreta
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 14 / 59
Ejemplo:
Distribución normal (Gaussiana)
ρ(x) =1
σ√2π
e−(x−µ)2/(2σ2)
tal que∫
∞
−∞
ρ(x)dx = 1 y σ2 =
∫∞
−∞
(x − µ)2ρ(x)dx =⟨x2
⟩− 〈x〉
(varianza)
ρ(x) ρ(x)
µ = 1
σ = 0.45 σ = 0.90
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 15 / 59
En mecánica cuántica:
ρ(x, t) ≡ |Ψ(x, t)|2
Valor promedio de la posición de una partícula:
〈x〉 =∫ b
a
x|Ψ(x, t)|2 dx . (3)
x ∈ (−∞,∞).
La mecánica cuántica es de natu-raleza estadística
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 16 / 59
Ecuación de Schrödinger indep. del tiempo:
Caso particular:
Función de energía potencial independiente del tiempo: V = V (x)
Substituir en (1)
−~
i
∂Ψ(x, t)
∂t= − ~
2
2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2+ V (x)Ψ(x, t) (4)
Ejercicio:Mediante el procedimiento de separación de variables,obtén la ecuación de Schrödinger independiente deltiempo.
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Medición simultánea depropiedades
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Para ello, substituye
Ψ(x, t) = f(t)ψ(x) (5)
en (4) y obtén
− ~2
2m
d2ψ(x)
dx2+ V (x)ψ(x) = Eψ(x) (6)
→ ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
donde
Ψ(x, t) = e−Eit/~ψ(x) (7)
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Medición simultánea depropiedades
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Postulado:
E es la energía de la partícula
En un problema particular, hay que definir:
� V (x)
� condiciones a la frontera
Además:
→ (6) es un postulado de la teoría.
→ Incógnitas: ψ(x) y E
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Medición simultánea depropiedades
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A partir de (7):
|Ψ(x, t)|2 = Ψ(x, t)⋆Ψ(x, t)
=[e+Eit/~ψ(x)⋆
][e−Eit/~ψ(x)] = ψ(x)⋆ψ(x)
Es decir
|Ψ(x, t)|2 = |ψ(x)|2 (8)
Soluciones de la forma (7): estados estacionarios
Operadores
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Medición simultánea depropiedades
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En mecánicacuántica: Cantidad física↔ operador.
Definición 1: (Operador) Es una regla de asociación entre
elementos de dos espacios vectoriales.
Ejemplos:
� y = f(x) = 2/(1 + x)2.f asocia a x0 ∈ ℜ el elemento 2/(1 + x0)
2 ∈ ℜ.
� y = det(A), donde A ∈Mn×n.(det actúa sobre matrices cuadradas).
� Df = df/dx.(D actúa sobre funciones).
� y = I[f(x)] =∫ b
af(x)dx.
(I actúa sobre funciones)
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Medición simultánea depropiedades
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� suma y la diferencia de operadores(A+ B
)f = Af + Bf (9)
(A − B
)f = Af − Bf (10)
� Producto (composición) de operadores(AB
)f ≡ A
(Bf
)(11)
La acción de AB sobre f es de derecha a izquierda: (AB) f←−Notación: A2 ≡ AA
Ejemplo:
� El operador segunda derivada es el producto de dos operadores:
D2 =d
dx
(d
dx
)=
d2
dx2
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 22 / 59
Definición 2: (operador lineal) A es lineal si y sólo si, ∀k1, k2 ∈ C ,se cumple
A (k1f1 + k2f2) = k1Af1 + k2Af2 (12)
→ Los operadores de la mecánica
cuántica son lineales.
Ejemplo: El operador derivada es un operador lineal
d
dx[k1f(x) + k2g(x)] = k1
d f
dx+ k2
d g
dx
Ejercicio: Determina si el operador L2 = −d2/d x2 + x2 es lineal.
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 23 / 59
En general:
AB 6= BA
Definición 3: (Conmutador) El conmutador de A y B] Se define como
[A, B
]= AB − BA (13)
[A, B
]= 0 ↔ A y B conmutan.
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 24 / 59
Algunas propiedades:[A, B + C
]=
[A, B
]+
[A, C
](14)
[kA, B
]=
[A, kB
]= k
[A, B
](15)
[A, BC
]=
[A, B
]C + B
[A, C
](16)
Ejercicios:
� Demuestra que[A, B
]= −
[B, A
]
� Tarea: Demuestra la propiedad (16)
� Sean A = −d/dx y B = x d/dx
1. Encuentra (A+ 2B)x2
2. Obtén [A, B]x3� Evalúa el conmutador [A, B], donde A = d/dx+ 2x2 yB = d/dx− x.
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Medición simultánea depropiedades
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Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del
tiempo:
[− ~
2
2m
d2
dx2+ V (x)
]ψ(x) = Eψ(x)
Operador Hamiltoniano:
H = − ~2
2m
d2
dx2+ V (x) (17)
Por lo tanto:
Hψ(x) = Eψ(x) (18)
* H es un operador lineal
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Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 26 / 59
El problema de valores propios
La ecuación (18) es de la forma
Aφ(x) = aφ(x) (19)
Definición 2: (Problema de valores propios)
Dado el operador A, encontrar φ(x) y la constante a que satisfagan laecuación de valores propios, (19). La función φ(x) se llama lafunción propia (eigenfunción) de A y la constante a el valor propio
(eigenvalor) de φ(x).
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Operadores
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Medición simultánea depropiedades
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Ejercicio:
Determina si f(x) = e−x2/2 es función propia de L2 = −D2 + x2. Silo es, encuentra el correspondiente valor propio.
Ejercicios:
Verifica que las siguientes son funciones propias del operadorcorrespondiente y encuentra el valor propio.
� g(x) = eikx, p = −D.
� f(x, y, z) = sen(αx)sen(βy), O = −(1/2)∇2
Tarea:
Encuentra las funciones y los valores propios de D2
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Medición simultánea depropiedades
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Degeneración
Cuando el conjunto de funciones propias
{ϕi, i = 1, . . . ,m}
del operador A tiene el mismo valor propio a, se dice que el conjunto esdegenerado
Teorema 1. Una combinación lineal de funciones propias degeneradas
con valor propio a tiene el mismo valor propio a.
Ejercicio:
Demuestra este teorema.
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Medición simultánea depropiedades
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Operadores de la mecánica cuántica
En mecánica cuántica:
propiedad física A ⇔ A
Ejemplo: energía ⇔ Hψ(x) es función propia de H con valor propio E:
Hψ(x) = Eψ(x)
Además:
� Posible espectro discreto (condiciones a la frontera)� Algunas mediciones experimentales producen valores discretos
para ciertas propiedades.
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Medición simultánea depropiedades
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H es de la forma:
H = Tx + V (20)
donde: Tx : energía cinética
V : energía potencial
El operador Tx = − ~2
2m
d2
dx2(21)
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica: p2 = 2mEc
En mecánica cuántica : p2x = 2mTx = 2m
(− ~
2
2m
d2
dx2
)
Es decir, p2x = −~2d2
dx2(22)
Además, p2x ≡ pxpx.
Por lo tanto: px = −i~ ddx
(23)
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 31 / 59
Valor esperado (promedio)
En el caso de la posición:
x ⇔ x
→ x es un operador multiplicativo.
〈x〉 =∫ b
a
x|Ψ(x, t)|2 dx =
∫ b
a
xΨ⋆(x)Ψ(x, t) dx
〈x〉 =∫ b
a
Ψ⋆(x, t)xΨ(x, t) dx (24)
donde xΨ(x, t) = xΨ(x, t).
Dado que |Ψ(x, t)|2 es una función de distribución de probabilidad:∫ b
a
|Ψ(x, t)|2dx = 1 ⇒ función de onda normalizada (25)
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 32 / 59
Operador no multiplicativo: f(x)px 6= pxf(x)
Postulado:
〈A〉 =∫ b
a
Ψ⋆(x, t)AΨ(x, t) dx (26)
Para una función de onda φ(x, t) cuadrático integrable no normalizada:
〈A〉 =∫ b
aφ⋆(x, t)Aφ(x, t) dx∫ b
a|φ(x, t)|2dx
(27)
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 33 / 59
Teorema:
Sea φ(x, t) solución del problema de valores propios
Aφ(x, t) = aφ(x, t) ,
donde A es un operador lineal.
Sea k 6= 0. Entonces:
φ′(x, t) = k φ(x, t)
también es solución del problema de valores propios y tiene el valorpropio a.
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 34 / 59
Toda φ(x, t) cuadrático integrable puede ser normalizada.
Sea Ψ(x, t) = Nφ(x, t) (28)
N es tal que
∫ b
a
|Ψ(x, t)|2dx =
∫ b
a
|Nφ(x, t)|2dx
= N2
∫ b
a
|φ(x, t)|2dx = N2α = 1
Por lo tanto
N =
√1
∫ b
a|φ(x, t)|2dx
=
√1
α(29)
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 35 / 59
Ejercicio:
Una partícula se describe por la función de onda no normalizadaΨ(r, θ, φ) = Ne−ar2 , donde a > 0 y r ∈ [0,∞), θ ∈ [0, π] yφ ∈ [0, 2π] son las coordenadas esféricas. Encuentra la constante denormalización.
→ Recuerda que dτ = r2senθdrdθdφ.
• Utiliza
∫ ∞
0
r2me−αr2 dr =(2m)!π1/2
22m+1m!αm+1/2.
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 36 / 59
Ortogonalidad
� Funciones ortogonales.
Dos funciones complejas f y g son ortogonales si y sólo si
∫f⋆g dτ =
∫g⋆f dτ = 0 . (30)
� Además, si f y g están normalizadas, se dice que las funciones sonortonormales.
Ejemplo:
Determina si las funciones f(x) = x2 − 1 y g(x) = x son ortogonalesen el intervalo x ∈ [−
√2,√2].
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 37 / 59
Solución:
∫ √2
−√2
f(x)g(x)dx =
∫ √2
−√2
(x2 − 1) x dx =
∫ √2
−√2
(x3 − x)dx = 0
Gráficamente:
El área bajo la curva de la
función f(x) g(x) se anula
para x ∈ [−√2,√2]
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
f(x) g(x)
f(x)g(x)
−+
−+
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 38 / 59
Operadores Hermitianos
Sea A un operador lineal que representa a la propiedad física A:
〈A〉 =∫
Ψ⋆AΨdτ ≡∫
Ψ⋆[AΨ
]dτ
Dado que 〈A〉 debe ser un número real:
〈A〉 = 〈A〉⋆
Es decir,
∫Ψ⋆AΨdτ =
[∫Ψ⋆AΨdτ
]⋆=∫Ψ(AΨ
)⋆
dτ
A es operador Hermitiano
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 39 / 59
Ejemplo:
Sea ψ(x), x ∈ (−∞,∞):
� Con primeras derivadas continuas� Cuadrático integrable� ψ(x) satisface las condiciones a la frontera:
ψ(−∞) = ψ(∞) = 0 (31)
El promedio de px:
〈px〉 =∫ ∞
−∞ψ⋆(x)
[−i~dψ(x)
dx
]dx
Ejercicio:
Prueba que px es Hermitiano. (Ver Levine, Quantum Chemistry)
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 40 / 59
Definición general de operador Hermitiano:
Sea A un operador lineal. A es Hermitiano si satisface:
∫f⋆ A gdτ =
∫g(Af
)⋆
dτ (33)
� Un operador Hermitiano también es llamado operador autoadjunto
� En mecánica cuántica, una propiedad física A es representada
por un operador lineal Hermitiano, A
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 41 / 59
Sean {φi} y {ai} funciones y valores propios del operador A:
Aφi = aiφi (34)
Teorema: Los valores propios de un operador Hermitiano son númerosreales:
ai = a⋆i (35)
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 42 / 59
Teorema: Las funciones propias de un operador Hermitiano son opueden escogerse ortogonales.
caso 1 ai 6= aj Ausencia de degeneración.∫φ⋆iφj dτ = 0 (36)
→ las funciones propias de A son ortogonales
caso 2 ai = aj (degeneración)
�
∫φ⋆iφj dτ no es cero necesariamente
� Aunque φi y φj pueden escogerse ortogonales (ortogonalizaciónde Gram–Schmidt)
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Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 43 / 59
Además, las funciones {φi}, pueden escogerse normalizadas:
∫φ⋆iφjdτ =
∫φ⋆jφidτ = δij (37)
donde
δij =
{1 : i = j0 : i 6= j
(38)
es la delta de Kronecker.
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Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 44 / 59
Teorema: Completitud. Las funciones propias de un operadorHermitiano forman un conjunto completo.
f =∞∑
i=0
ki φi (39)
Cuando el conjunto {φi} es ortonormal:
kj =
∫φ⋆j(x)f(x)dx (40)
→ kj en (40) es la proyección de f sobre φj
→ Obtén este resultado
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Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 45 / 59
Teorema: Si dos operadores lineales Hermitianos conmutan, entonceses posible seleccionar un conjunto completo de funciones propiascomún.
Teorema: Si dos operadores lineales Hermitianos comparten unconjunto completo de funciones propias entonces conmutan.
Postulados de la mecánica cuántica
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Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 46 / 59
Postulado 1. Función de onda.
Existe una función Ψ de las coordenadas y del tiempo que contienetoda la información que puede ser determinada sobre un sistema.
Esta función es univaluada, continua, cuadrático–integrable y conprimeras derivadas continuas por secciones.
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Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 47 / 59
¿Cuál de las siguientes funciones es aceptable?
x
�
x
�
x0
función exponencial
x
�
x
�
x0 x0
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Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 48 / 59
Postulado 2. Operadores.
A cada propiedad física medible le corresponde un operador linealHermitiano.
Para encontrar el operador
� se escribe la expresión del observable en términos de co-
ordenadas cartesianas y de las componentes del momento
lineal
� Se sustituye la coordenada x por el operador x y la com-
ponente px del momento lineal por el operador px =−i~∂/∂ x
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Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 49 / 59
Ejemplos:
propiedad símbolo operador símbolo
posición x multiplicar por x xr multiplicar por r r
m. lineal px −i~∂/∂ x pxp −i~∇ p
e. cinética Tx −(~2/2m)∂2/∂ x2 TxT −(~2/2m)∇2 T
e. potencial V (x) mult. por V (x) V (x)
V (x, y, z) mult. por V (x, y, z) V (x, y, z)
e. total E −(~2/2m)∇2 + V (x, y, z) H
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Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 50 / 59
Postulado 3. Valores medibles.
Los únicos valores posibles que pueden resultar de la medición deuna propiedad física A, son los valores propios ai de la ecuación devalores propios Aφi = aiφi, donde A es el operador linealHermitiano correspondiente a la propiedad A.
Postulado 4. Completitud.
Las funciones propias de todo operador A que represente unobservable físico forman un conjunto completo.
Este postulado permite expresar una función de onda para cualquierestado como superposición de funciones propias ortonormales {gi}de cualquier operador mecánico cuántico:
Ψ =∑
i
ci gi .
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Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 51 / 59
Postulado 5. Valores promedio.
El valor promedio de la propiedad A de un sistema en un estadodescrito por la función de onda normalizada Ψ es
〈A〉 =∫
Ψ∗AΨdτ
⇓Interpretación estadística de Ψ:
|Ψ|2 dτ es la probabilidad de encon-trar al sistema entre τ y τ + dτ .
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Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
Intro mecánica cuántica/JHT 52 / 59
Ejemplos:
〈x〉 =
∫Ψ⋆ xΨdx =
∫Ψ⋆ xΨdx
〈r〉 =
∫Ψ⋆ rΨdτ =
∫Ψ⋆ rΨdτ
〈px〉 = −i~∫
Ψ⋆ dΨ
dxdx
〈p〉 = −i~∫
Ψ⋆∇Ψdτ
〈E〉 =
∫Ψ⋆
[− ~
2
2m∇2 + V (r)
]Ψdτ
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Operadores
Postulados de lamecánica cuántica
Medición simultánea depropiedades
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Postulado 6. Ecuación de Schrödinger.
La función de onda de un sistema evoluciona en el tiempo de acuerdocon la ecuación de Schrödinger:
HΨ = i~∂Ψ
∂ t,
donde H es el operador Hamiltoniano del sistema.
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Superposición de estados
Sea A un operador asociado a la propiedad A con valores propios {ai}y funciones propias {gi}:
Agi = aigi(q1, q2, . . . , qN)
donde {qi} son las coordenadas de las N partículas.
Dado que el conjunto {gi} es completo:
Ψ =∑
i
ci(t)gi(q1, q2, . . . , qn)
Si Ψ es una función de distribución de probabilidad:∫
Ψ⋆Ψdτ = 1
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Dado que A es Hermitiano, el conjunto {gi} es ortonormal:∫g⋆i gjdτ = δij
Por lo tanto:∑
i
|ci|2 = 1
〈A〉 =∑
i
|ci|2ai
Como 〈A〉 = ∑i Pi ai, entonces
|ci(t)|2 es la probabilidad de que en la medición
de la propiedad A se obtenga el valor propio ai
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Los coeficientes se obtienen mediante:
ci =
∫g⋆iΨdτ
Amplitud de probabilidad
Algunas consecuencias:
� Si un sistema se encuentra en un estado gi que es función propiade A, al medir A con certeza se obtiene el valor ai
� Si un sistema se encuentra en un estado que no es función propiade A, al medir A el sistema evoluciona a un estado gi y se obtieneai con una probabilidad dada por |ci|2
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Las cantidades físicas A1 y A2 que corresponden a operadores queconmutan pueden ser medidas simultáneamente a cualquier precisión.En general:
σA1σA2≥ 1
2
∣∣∣∣∫
Ψ∗[A1, A2
]Ψdτ
∣∣∣∣
donde
σA1=
√〈A2
1〉 − 〈A1〉2
σA2=
√〈A2
2〉 − 〈A2〉2
Posteriormente se revisarán los
postulados correspondientes al espín
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Ejemplo:
Obtén la relación de incertidumbre para x y px.
Sea Ψ una función de onda normalizada.
Dado que [x, px] = ~i:
σxσpx ≥1
2
∣∣∣∣∫
Ψ⋆ [x, px] Ψ dx
∣∣∣∣ =1
2
∣∣∣∣∫
Ψ⋆ (~i)Ψ dx
∣∣∣∣
=1
2|~i|
∣∣∣∣∫
Ψ⋆Ψ dx
∣∣∣∣ =1
2|~i|
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Además:
|~i|2 = (~i) (~i)⋆ = (~i) (−~i) = −~2i2 = −~2(−1) = ~2
Por lo tanto:
|~i| = ~
Sustituir en la relación de incertidumbre:
σxσpx ≥~
2(41)
→ Principio de incertidumbre
de Heissenberg