INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO DE MUESTRA niltonmachiber@yahoo.com

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INFERENCIA ESTADISTICAProfesor: Machicao Bejar Nilton

¿Puede encontrar el gasto promedio que realizan todas las mujeres de ese grupo de edad de La Molina?

¿USTED DESEA PONER UNA TIENDA DE ROPA EN EL DISTRITO DE LA MOLINA?

¿Cuánto gasta en ropa una mujer (30 a 50 años) que vive en este distrito cada vez que sale a comprar?

¿Qué tipo de ropa prefiere?

¿Realizaría un censo o un muestreo?

INTRODUCCIÓN

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ESTIMAR EL GASTO

PROMEDIO QUE

REALIZA UNA MUJER

CON LAS CARACTE-

RISTICAS INDICADAS

ESTIMAR LA PROPORCIÓN

DE MUJERES QUE

COMPRARÍA UN TIPO

ESPECÍFICO DE ROPA

INTRODUCCIÓN

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¿CÓMO HARÍA LAS ESTIMACIONES

A PARTIR DE UNA MUESTRA?

¿Cómo seleccionar la muestra y de qué tamaño sería?

¿Qué supuestos se deben cumplir?

¿Qué fórmulas se deben utilizar?

INTRODUCCIÓN

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o Prueba de hipótesiso Prueba de hipótesiso Estimación de Parámetroso Estimación de Parámetros

• Estimación Puntual• Estimación por intervalo

Análisis, interpretación de resultados y conclusiones sobre los parámetros de una población a partir de una muestra aleatoria extraída de dicha población

Análisis, interpretación de resultados y conclusiones sobre los parámetros de una población a partir de una muestra aleatoria extraída de dicha población

INFERENCIA ESTADÍSTICA

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Estimación de parámetros

Para obtenerlo se requiere: Una muestra aleatoria Definir el nivel de confianza, los más utilizados:

90%, 95%, 98%, etc. Representado por: (1-α)100% Conocer la distribución muestral del estadístico

Estimación puntual: Estima al parámetro mediante un solo valor

Estimación por intervalo

INTERVALO DE CONFIANZA: Consiste en la determinación de un intervalo, que contendrá el parámetro con una confianza (seguridad) 1- α

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INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA POBLACIONAL (CASO 1)

0( ) :XIC X Zn

Supuestos: Población normal, muestra aleatoria,

varianza poblacional conocida.

1-α

α/2 α/2

1-α/27

El jefe de producción de una determinada fábrica desea estimar la producción promedio de clips metálicos por minuto de un determinado modelo de máquina industrial, puesto que elegirá este tipo de máquina si éste produce en promedio más de 140 clips por minuto. Él conoce, de estudios anteriores que la producción de estos clips sigue una distribución normal con desviación estándar 8 clips por minuto.

Al observar la producción de clips (en un minuto) en una muestra de 36 máquinas de un mismo modelo, se obtuvo una media de 143 clips. Construya un intervalo de confianza al 95% para la media poblacional y diga si el jefe de producción se podría inclinar en comprar la máquina?.

Ejemplo 1:

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INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA POBLACIONAL (CASO 2)

0( ) :X

sIC X t

n

Supuestos: Población normal, muestra aleatoria, varianza poblacional desconocida.

1-α

1-α/2

t con (n-1) gl

α/2 α/2Nota:

cuando n es muy grande

(n>30), se puede utilizar Z en vez de t

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Se usa una máquina para llenar envases con cierto producto líquido. Cuando la máquina está descalibrada (trabaja mal) produce un contenido mayor a 25 ml. Es razonable asumir que el volumen de llenado tiene distribución normal. Se selecciona una muestra aleatoria de 5 envases y se miden los contenidos netos, con los resultados que se muestran.

25.5 26.8 24.2 25 27.3

Estimar e interpretar un intervalo de confianza del 90 % para el volumen medio de llenado y diga si es razonable asumir que la máquina está descalibrada.

Ejemplo 2:

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INTERVALO DE CONFIANZA DE UNA PROPORCIÓN

0

(1 )( ) :

p pIC p Z

n

Un Intervalo de confianza aproximado del 100(1- α)% para

la proporción poblacional será:

Nota: La aproximación a la normal de la distribución muestral se da para muestras grandes (n>50), es decir se recomienda utilizar este intervalo sólo cuando se toma una muestra grande.

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Una empresa quiere introducir un nuevo producto al mercado local, por tanto quiere estimar la proporción de clientes potenciales (dispuestos a adquirir el producto al precio que se ofrece). Para esto realizaron 200 entrevistas de las cuales 68 mostraron ser potenciales clientes.

a) Realice la estimación correspondiente con un 98% de confianza.

b) Si se estima que hay 10000 personas en la localidad, cuántos se espera que estén dispuestos a adquirir el producto?

Ejemplo 3:

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INTERVALO DE CONFIANZA DE UNA VARIANZA POBLACIONAL

Supuesto: La muestra es seleccionada de una distribución normal.

2)2/,1(

22

2)2/1,1(

22 )1()1(:)(

nn

SnSnIC

1-α

α/2α/2

1-α/2

α/2

(n-1) gl

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Una de las preocupaciones de los usuarios de sistemas interactivos es la magnitud de la variación del tiempo de respuesta en una misma operación. En una inspección de evaluación se ha obtenido los siguientes tiempos de repuesta en cierta operación, en microsegundos:

20.1 22.9 18.8 20.9 22.7 21.4 20 25.8 32.1 33

Suponiendo que los tiempos de respuesta tienen distribución normal, obtener un intervalo de confianza para la desviación estándar, con un nivel de confianza del 95%.

Ejemplo 4:

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TAMAÑO DE MUESTRA

2 202

zn

E

Para estimar el tamaño de muestra se requiere:Determinar si el parámetro de interés es media o proporción.Establecer el nivel de confianzaEstablecer el error de muestreo (E) (máximo error permitido)Tener información de la variación de los datos de la población.

Parámetro: media Parámetro: proporción

Cuando no se tiene información

de p, utilizar: p=0.5

2

20 )1(

E

ppzn

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El gerente comercial de una cadena de tiendas, que tiene un gran número de establecimientos distribuidos en todo el país, desea estimar el nivel de ventas promedio semanal de estos establecimientos, para lo cual está dispuesto a tolerar un error de a lo más 120 nuevos soles y desea estar un 90% seguro sobre sus resultados. Si se tiene como información que la desviación estándar en el nivel de ventas de dichos establecimientos es de 350 soles y que tiene distribución normal. ¿Qué tamaño de muestra debe usar este gerente?

Ejemplo 5:

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Con la finalidad de estimar el porcentaje de personas que consumen la gaseosas “q-kola”, se tomó una muestra piloto de 120 personas, de las cuales 69 dijeron que consumían dicha gaseosa. Determine el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción real de personas que consumen dicha marca de gaseosa, si se desea un 95% de confianza y se está dispuesto a tolerar un 4% de error.

Ejemplo 6:

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INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS

POBLACIONALES

2 2

0( ) : ( ) A BA B A B

A B

IC x x Zn n

Supuestos:Poblaciones normalesVarianza poblacionales conocidas.

Si IC=(+,+), P(+<A - B< +)=1-α A - B > 0 A > B

Si IC=(-,-), P(-<A - B< -)=1-α

Si IC=(-,+), P(-<A - B< +)=1-α No se puede decir que una sea mayor o menor que la otra

A - B < 0 A < B

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Con la finalidad de comparar las ventas diarias de la gaseosa “q-kola” en dos distritos, se ha seleccionado aleatoriamente, en un día, 15 bodegas del distrito A y 20 bodegas del distrito B, las ventas en soles están resumidas a continuación:

Si se sabe que las ventas diarias en las bodegas del distrito A tienen una varianza de 65 soles2 y las del distrito B tienen una varianza de 92 soles2, ¿Cree usted que puede concluirse que en el distrito B se tiene en promedio, mejores ingresos por la venta de esta gaseosa que en A?. Considere el 90% de confianza.

Ejemplo 7:

Distrito n Media Des. Est.A 15 145 8.3B 20 153 9.8

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INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES

POBLACIONALESCondiciones:Muestras independientes y grandes (mayores de 80)

0

(1 ) (1 )( ) : ( ) A A B BA B A B

A B

p p p pIC P P p p Z

n n

Si IC=(+,+), P(+<PA - PB< +)=1-α

Si IC=(-,-), P(-<PA - PB< -)=1-α

Si IC=(-,+), P(-<PA - PB< +)=1-α

PA - PB > 0 luego: PA > PB

PA - PB < 0 luego: PA < PB

No se puede decir que una sea mayor

que la otra , luego: PA = PB 20

Con la finalidad de comparar la proporción de familias que consumen regularmente “q-kola” (más de tres litros por semana) en dos distritos de Lima Metropolitana, se ha seleccionado aleatoriamente, en un día, 85 familias del distrito A y 100 familias del distrito B, y se registró el número de familias que consumían regularmente q-cola. Los datos se resumen a continuación:

Con un nivel de confianza del 90%, ¿esta diferencia que observamos entre los dos distritos pudiera ser nula?

Ejemplo 8:

Distrito Número de familias encuestadas

Número de familias que consumen regularmente

“q-cola”A 85 30B 100 28

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