Intérêt Composés

7/17/2019 Intérêt Composés

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INTERETS COMPOSES

I Définition de l’intérêt composé

a. Définition algébrique

Les intérêts simples ont consisté de manière générale à percevoir les intérêts à la fin de la

période de prêt d’un certains capital. Ils n’étaient pas cumulés. A la fin de chaque période

unitaire !"ours mois années#$ les intérêts n’étaient pas incorporés au capital pour rapporter

eu%&mêmes des intérêts.

Les intérêts composés vont venir combler ce manque. A la fin de chaque période unitaire les

intérêts vont rapporter aussi des intérêts.

'ous avons vu que dans les précédentes le(ons que l’intérêt per(u sur un capital était donnée

par la formule

Avec la durée e%primée en années.

)ar conséquent le capital acquis était de *

+i la durée persiste à être calculée en années l’intérêt obtenu sur un an sera de *



)ar conséquent le capital acquis au bout d’un an sera *

'ous pouvons simplifier la formule soit

'ous allons remplacer ,,-t par i

t nous obtenons donc /

+i nous souhaitons placer un certains capital en intérêt composé pendant trois ans nous allons

appliquer la formule précédente trois fois.

Donc au bout de deu% ans nous aurons le capital acquis décrit par la formule *

+oit

+oit



)ar conséquent à la fin de la période de trois ans il disposera d’un capital acquis de *

'ous pouvons généraliser le processus par récurrence sur n années.

b. Applications

Exemple 1

Un investisseur décide de placer 50000€ au taux de 4% pendant 3 ans. Quel capital aura t’il

acquis à la in de cette péri!de.

"a rés!luti!n du pr!#l$me c!nsiste en la simple applicati!n de la !rmule.

Exemple

Un investisseur décide de placer 15000€ pendant 10 et 11 m!is au taux de 5&5%. 'alculer le

capital acquis à la in de cette péri!de de placement.

"e #ut du pr!#l$me est ici de aire c!nvertir des m!is en années.



(!nc à partir de la !rmule& n!us !#ten!ns&

Il est évident qu’à partir de la formule du capital acquis en intérêt composé nous pouvons

isoler le tau% o0 le nombre d’année dans la formule.

Exemple 3

Un capital de 50000€ placé au taux de 4&5% a rapp!rté un capital de )5300€. 'alculer le

n!m#re d’années de placement de capital.

(’apr$s la !rmule n!us !#ten!ns *

+!it

+!it&

+!it&



+!it&

II Intérêts

A la différence des intérêts simples le calcul de l’intérêt se fait après avoir calculé le capital

acquis.

n prenant I l’intérêt nous obtenons sa formule en différenciant la capital acquis du capital de

départ.

+oit

+oit

Exemple

Une entreprise décide placer à intér,ts c!mp!sés un capital de 10 000€ au taux de 5&5%

pendant 4 ans. 'alculer l’intér,t pr!duit l!rs de cette !pérati!n.

-l suit ici enc!re d’appliquer la !rmule *



+oit

I1

+oit

-5/0€

III Taux

a.2au% équivalent

Le tau% équivalent est la conversion en continu des tau% e%primables en fonction d’une

certaine unité de temps par des tau% e%primés en fonction d’autres unités de temps.

Exemple

Eta#lissement de la c!nversi!n d’un taux annuel i en un taux trimestriel

Un capital ' est placé au taux annuel i sur n années a acquis un certains capital. 'alculer le

taux trimestriel permettant de c!nstituer le m,me capital acquis sur n année.

(’apr$s la !rmule& n!us av!ns *

r& il 2 a quatre !is plus de trimestre que d’année& d!nc par l’intermédiaire d’un taux

trimestriel la !rmule est *



n !#tient d!nc l’éalité&

+!it&

+!it&

'ous pouvons généraliser l’e%emple précédent en prenant un tau% annuel convertible en une

proportion d’année -3p.

'ous obtenons donc *

+oit

+oit

+oit



Exemple

'alculer le taux semestriel équivalent à un taux annuel de 4&5%.

ar la !rmule& n!us !#ten!ns *

+!it&

+!it&

b.2au% proportionnels

Le tau% proportionnel généralement d’une année est la fraction de ce tau% correspondant au

nombre de périodes considérées.

Exemple

'alculer le taux pr!p!rti!nnel trimestriel d’un taux annuel de 5%.

(u ait qu’il 2 ait quatre trimestres dans un an& n!us !#ten!ns un taux trimestriel

pr!p!rti!nnel de *



45emarque

Il e%iste également l’équivalence de tau% en fonction d’une capitalisation en continue. 'ous

verrons ultérieurement que cette capitalisation permet de dégager une formule dont le capital

acquis est fonction e%ponentielle du tau% annuel. La formule est *



EERCICES D’!PP"IC!TIONS

%ercice I

6alculer la valeur acquise par un capital de -,,,,7 placé au tau% de -89 dont la

capitalisation est une capitalisation annuelle des intérêts.

a$ )our une durée de -- ans

b$ )our une durée de -- ans et 8 mois

%ercice II

Deu% capitau% forment un total de :, ,,,7. L’un est placé au tau% de -;9 à intérêts simples

l’autre placé au tau% de 89 à intérêts composés. Au bout de di% ans ils ont acquis la même

valeur. 6alculer la valeur respective de chacun de ces capitau%.

%ercice III

<n place dans une banque = un capital de -, ,,,7 à intérêts composés. Au bout d’un an on

retire le capital de départ et on laisse les intérêts. Au bout d’un an ces intérêts ont rapporté un

capital acquis de 8>?7. 6alculer le tau% de placement.



%ercice I@

Deu% capitau% = et dont le total forme un montant de >, ,,,7 sont placés tous deu% pour

une durée de : ans à intérêts composés.

Le premier est placé au tau% de B9 dont la capitalisation des intérêts est annuelle.

Le second est placé au tau% de C9 dont la capitalisation des intérêts est semestrielle.

Au bout des : années de placement le total des intérêts produits s’élève à ;;8,7.

6alculer la valeur respective de = et .

%ercice @

En investisseur décide de placer C, ,,,7 à un certains tau% et ?, ,,,7 à un autre tau%. Les

deu% tau% sont fonctions d’une capitalisation annuelle des intérêts. Au bout de : ans le capital

acquis cumulé est de -;>:>B7. +i l’on avait placé le premier capital au tau% du second et le

second au tau% du premier le capital ainsi obtenu aurait été de -;:B>>7.

6alculer les deu% tau% respectifs.

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