Interazione Terreno-Struttura

7/23/2019 Interazione Terreno-Struttura

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Interazione Terreno-Struttura

Tema che si pone metà strada tra ingegneria geotecnica e strutturale

Ingegneria geotecnica: prevalente interesse nella risposta sismica dei sistemiterreno-fondazione con l’attenzione posta al comportamento non-lineare delterreno e/o ai fenomeni di liquefazione.

Ingegneria strutturale: prevalente interesse nella risposta sismica dellestrutture che generalmente vengono considerate incastrate alla base.

In realtà lo studio della risposta sismica delle strutture deve tener contodell’aspetto geotecnico e dei fenomeni di interazione terreno-struttura, findalla definizione dell’input sismico, caratterizzando i fattori da cui essodipende.


Fault Body waves

Source Travel patheffects

Site response effects

Rock

Free-field

Radiation damping

• la sorgente sismica;

• l’attenuazione delle onde sismiche dovuta al percorsofino al bedrock del sito ove sorge la costruzione;

• la risposta sismica locale del deposito che modifica ilmoto al bedrock amplificandone il contenuto incorrispondenza dei periodi fondamentali del deposito.

DEFINIZIONEMOTO DI

FREE-FIELD

Foundation Input Motion



2


Fault Body waves

Source Travel path

effects

Site response effects

Rock

Free-fieldFoundation Input Motion

Radiation damping

• una diminuzione della rigidezza globale della struttura;

• l’insorgere di onde che si propagano nel terreno e checostituiscono una importante fonte di dissipazione dienergia. (radiation damping).

DEFINIZIONEDELLA

RISPOSTASTRUTTURALE

Dal punto di vista strutturale considerare la deformabilitàdel sistema terreno-fondazione comporta:

Il problema può essere così introdotto

• Struttura di dimensioni finite fondata su un terreno che si estende all’infinito

• Eccitazione dinamica derivante dalla propagazione delle onde sismiche nelterreno

Bounded domain

• Struttura• Porzione di terreno nel

suo intorno

• Introduzione di vincoli artificiali che racchiudono la struttura entrodimensioni finite

• Formulazione di speciali condizioni al contorno che soddisfano lacondizione di radiazione all’infinito

• Accoppiamento delle condizioni al contorno con le equazioni di equilibriodel dominio confinato.

Unbounded domain

• terreno che si estende

all’infinito

LINEAR OR

NON-LINEARLINEAR



3

Gli approcci: approccio diretto

• Terreno e struttura vengono modellati contemporaneamente fino aivincoli di contorno

• La condizione di radiazione è formulata sul contorno anzichèall’infinito

• Le condizioni al contorno sono indipendenti dalla frequenza

Spring-viscous dashpot systems

• Risposta strutturale e del terrenodeterminate simultaneamente

• Struttura e terreno sono in generemodellate agli elementi finiti

• Sono le uniche analisi possibili per tenere conto delcomportamento non-lineari nelterreno

Gli approcci: approccio per sottostrutture

• Il contorno introdotto per limitare l’estensione del dominio coincidecon l’interfaccia terreno-struttura. Struttura e sistema terreno-fondazione sono modellati individualmente

• si calcola la legge di interazione dinamica forza-spostamento nei nodilocalizzati all’interfaccia struttura-terreno (impedenze dinamiche)

• Si aggiungono le impedenze dinamiche alle equazioni del moto della

struttura• basato sul principio di sovrapposizione degli effetti presuppone, il

comportamento lineare o lineare equivalente del sistema terreno-fondazione

Bounded domainUnbounded domain

Linear behaviour

Convenientemente

studiato nel

dominio delle

frequenze



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Gli approcci: approccio per sottostrutture

Analisi di interazione cinematicaSoil-foundation subdomain

Analisi di interazione inerziale Structure subdomain

• Moto a livello di fondazione

• Funzioni di impedenza dinamica

• Sollecitazioni in fondazione

• Analisi dinamica della struttura su basedeformabile

• Sollecitazioni sulla struttura

• Sollecitazioni in fondazione dovuteall’interazione inerzaile

Classificazione dei segnaliLe storie temporali di spostamenti, velocità e accelerazioni ottenute dall’analisidi una qualsiasi struttura soggetta ad esempio all’azione sismica, e l’azionesismica stessa, definita in termini di storia di accelerazioni o spostamenti, nonsono altro che segnali.

Per segnale si intende infatti una funzione del tempo che rappresenta

l’evoluzione temporale di una grandezza fisica.

segnali determinati: segnali il cui andamento temporale è completamente noto a priori, per tutti i valori della variabile indipendente tempo. La conoscenza a priori consente di rappresentare il segnale determinato (per il tramite diun’espressione matematica, un grafico). Da un punto di vista pratico significache è sufficiente specificare l’istante temporale di interesse per poter individuarein maniera univoca il valore che il segnale assumerà in quell’istante.

Segnali aleatori: segnali per i quali non è possibile conoscere a priori conesattezza il valore assunto in un certo istante. La descrizione a priori del segnaleè in questo caso possibile solo in termini statistici.



5

Classificazione dei segnali

In riferimento ai valori assunti dalla variabile indipendente ( tempo t) e dallagrandezza che essi rappresentano ( ampiezza), si distinguono :(a) segnali a tempo continuo e ampiezza continua: si dicono anche segnali

analogici e sono quelli che si associano ai fenomeni naturali,(b) segnali a tempo continuo ed ampiezza discreta: sono quei segnali per i

quali l’ampiezza può assumere soltanto un numero finito di valori;(c) segnali a tempo discreto ed ampiezza continua;(d) segnali a tempo discreto ed ampiezza discreta.

Segnali numerici (o digitali):trattabili con l’ausilio delcalcolatore. Un segnale numerico può essere ottenuto da un segnaleanalogico operando unaquantizzazione delle ampiezza e uncampionamento

Segnale analogico

Classificazione dei segnali: segnali periodici

Un classe particolare molto importante di segnali è costituita dai segnali periodici. Se con s(t ) indichiamo il segnale nel dominio del tempo, per essi valela proprietà

t sT t s

In pratica ciò corrisponde a dire che il segnale s(t ) si ripete ad intervalli regolaridi estensione pari al periodo T

T f

10

prende il nome di frequenza fondamentale del segnale periodico. In luogo dellafrequenza fondamentale sarà spesso conveniente utilizzare la pulsazione

fondamentale

Hertz = 1/s

00 2 f rad/s



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Classificazione dei segnali: segnali aperiodici

Un segnale aperiodico (cioè non periodico) può essere visto al limite come unsegnale periodico di periodo infinito.

Rappresentazione dei segnali

A partire da un segnale s(t) definito nel dominio del tempo, è spessoestremamente utile considerarne una sua rappresentazione equivalente.

Per rappresentazione di un segnale di intende una qualsiasi modalità idonea allasua individuazione biunivoca e quindi, in particolare, tale che da essa si possa

risalire al corrispondente andamento temporale.

La rappresentazione può comportare un cambiamento del dominio di definizione(ad esempio dal dominio del tempo a quello della frequenza: sviluppo in serie etrasformata di Fourier) ma anche lasciare inalterato il dominio di definizione.

Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza

Segnali periodici: Serie di Fourier

Nel caso di un segnale periodico s(t ) di periodo T e pulsazione fondamentale 0la rappresentazione nel dominio della frequenza è fornita dal seguente sviluppo

in serie di Fourier:

k

k

t ik

k e

T

ct s 01

essendo

T

20

dt et sT

c

T

T

t ik

k 2

2

01

FORMULA DI ANALISI

FORMULA DI SINTESI

“andata”

“ritorno”



7

k

k

t ik

k eT

ct s 01

il segnale è ottenuto come sovrapposizione di un’infinità numerabile dicomponenti armoniche,

le generica delle quali ha pulsazione k = k 0 (o frequenza f

k = kf 0 = k /T ), ed è

pesata dal coefficiente ck , in generale complesso.

In generale il segnale s(t ) viene ad essere descritto completamente dallasuccessione dei coefficienti conoscendo la quale è sempre possibile risalireunivocamente alla ricostruzione del segnale.

t ik e 0

k ct s



k

c

Per rappresentare la successione si è soliti graficare, al variare di k , ovvero di k

o di f k , l’andamento di queste quantità. In particolare

Parte reale k c Re

k

c Im

k c

k carg

o, analogamente

Parte immaginaria

modulo

fase

I coefficienti ck sono in genere complessi, anche quando il segnale s(t ) è reale e

sono caratterizzati da:

SPETTRO DI AMPIEZZA

SPETTRO DI FASE

k c

k carg





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SPETTRO DIAMPIEZZA

SPETTRO DIFASE

Il termine spettro non è casuale: esso ha il significato di rappresentazione e nascedal contesto fisico della spettroscopia in cui si analizza la composizione deimateriali attraverso le “righe” di emissione caratteristiche di diversi elementichimici.

Infatti gli spettri di ampiezza e di fase sono a righe, cioè discreti, in quanto sonodefiniti solo in corrispondenza delle frequenza armoniche, multiple (con segno)della frequenza fondamentale.



k

k

t ik

k eT

ct s 01

Sulla base della formula di sintesi sembrerebbeconcludersi che ai fini della rappresentazioneequivalente del segnale sia necessaria laconoscenza di un numero infinito di coefficienti.

Se infatti la sucessione

,...c ,...,c ,c ,c ,...,c ,c...,c N N N k 1011 fosse sostituita dalla

,...c ,...,c ,c ,c ,...,c ,c...,c M M M k 1011 con M finito

in virtù della corrispondenza biunivoca dello sviluppo in serie di Fourier, sidovrebbe concludere che

t s t s





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Questa circostanza si verifica spesso nella pratica in quanto gli elaboratorinumerici, per quanto potenti, non potranno mai gestire infiniti termini.

Tra tutti i segnali possibili, saranno allora di interesse solo quelli il cui spettro di

ampiezza tende a 0 per k che tende ad infinito.

Solo per questi segnali si potà dire che le armoniche “importanti” ai fini dellaricostruzione del segnale sono in numero limitato e che dunque, scegliendoopportunamente M , il segnale è trascurabilmente diverso da s(t ).

Questa è, in certi versi, una condizione di “pratica applicabilità” dello sviluppoin serie di Fourier. Per completezza inoltre va anche precisato che non tutti isegnali periodici possono essere rappresentati in termini di sviluppo in serie diFourier. Occorre infatti che s(t ) soddisfi determinate ipotesi, comunemente notecome condizioni di Dirichelet.




Segnali aperiodici: Trasformata di Fourier

Dato un segnale aperiodico s(t ), la sua rappresentazione nel dominio dellafrequenza è fornita dalla seguente definizione di trasformata di Fourier:

dt et st sF S t i

Dualmente, a partire da S (), la ricostruzione del segnale s(t ) è possibileutilizzando la seguente formula di anti trasformata

d eS S F t s

t i

2

11

FORMULA DI ANALISI

FORMULA DI SINTESI

Le formule di analisi e di sintesi realizzano la corrispondenza biunivoca tra ilsegnale s(t ) e la sua trasformata S ().

S t s



10

Al solito, in luogo della pulsazione si può utilizzare la frequenza f ; le formuledi analisi e di sintesi diventano

dt et st sF f S ft i

2

df eS f S F t s ft i

21

FORMULA DI ANALISI

FORMULA DI SINTESI

Rispetto allo sviluppo in serie, le espressioni precedenti mettonoimmediatamente in evidenza una importante differenza: la pulsazione e la

frequenza f non sono in questo caso discretizzate ma hanno invece il significatodi variabili continue.

Ci si aspetta dunque che lo spettro delle ampiezze (modulo della trasformata) e

quello delle fasi (fase della trasformata) siano funzioni in generale continue enon a righe come si verificava per i segnali periodici.



Non è difficile verificare che la trasformata di Fourier può essere vista come il

limite dello sviluppo in serie di Fourier quando il periodo T tende all’infinito.

Come già per lo sviluppo in serie di Fourier, non tutti i segnali aperiodici sonoFourier trasformabili. In particolare vale la seguente condizione di assolutaintegrabilità

dt t s SEGNALI IMPULSIVI

Con riferimento ad un segnale s(t ) reale, direttamente dalla definizione si puòdesumere che la parte reale della trasformata è una funzione pari di

S ReS Re

mentre la parte immaginaria della trasformata è una funzione dispari

S ImS Im





11



La trasformata di Fourier gode di alcune importanti proprietà; tra tutte nericordiamo due di pratico interesse per le applicazioni che faremo delletrasformate

Proprietà della derivazione:

m

m

dt

t sd t s

21 S S C

Proprietà della convoluzione:

d t sst c 21

S iS ˆ m

La trasformata discreta di Fourier

La trasformata discreta di Fourier, comunemente nota con il nome di DFT(Digital Fourier Transform) risponde all’esigenza di implementare al calcolatorela trasformata di Fourier di una funzione del tempo. L’implementazionenumerica ha infatti alcune caratteristiche peculiari, che possiamo genericamentedefinire “tecniche digitali di analisi”, che impongono di modificare ladefinizione convenzionale di trasformata e anti trasformata di Fourier, al fine diottenere una procedura di calcolo efficiente.

Esistono delle implicazioni connesse alla manipolazione di un segnale al fine direnderlo numericamente implementabile.



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Risposta di un sistema SDF ad una eccitazione generica

Dominio del tempo

Consideriamo un sistema SDF soggetto ad una generica forzante p(t ) che variaarbitrariamente nel tempo. L’equazione differenziale del moto è la ben nota

t pkuucum

00 u

00 u

Nello sviluppare la soluzione generale p(t ) viene considerata come una sequenzadi impulsi di durata infinitesima e la risposta del sistema alla forzante p(t ) viene

dedotta dalla somma delle risposte agli impulsi individuali

Una forza impulsiva non è altro che una forza che agisce in un brevissimoistante di tempo caratterizzata da un integrale nel tempo finito


Dominio del tempo

1

t p

durata della forza nel tempo

t Istante di applicazione di p(t )

Se tende a 0, allora la forza tende all’infinito ma comunque l’area dell’impulso(l’integrale della forza nel tempo) rimane pari ad 1. Questa forza, nel caso cioèdi che tende all’infinito prende il nome di impulso.

La funzione Delta di Dirac definisce matematicamente un impulsounitario centrato all’istante t = .

t



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Dominio del tempo

In accordo alla seconda legge di Newton se una forza p agisce su un corpo dimassa m, la variazione della quantità di moto nel tempo è uguale alla forzaapplicata, ovvero

pumdt

d

che nell’ipotesi di massa costante risulta nella classica espressione

um p

Integrando entrambi i membri rispetto a t si ottiene

umuum pt

t 12

2

1

Area dell’impulso Variazione della quantità di moto


Dominio del tempo

Il risultato è anche applicabilead un sistema SDF (massa,molla e smorzatore) se la mollae lo smorzatore non hannoalcun effetto

In effetti se la forza è applicata per un brevissimo istante di tempo la molla elo smorzatore non hanno il tempo di rispondere. Così un impulso unitarioall’istante t = impartisce alla massa m la velocità

m

u1

mentre lo spostamento è zero prima e durante l’impulso

0u



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Dominio del tempoUn impulso unitario determina allora la vibrazione libera del sistema SDFconseguenti alla velocità e spostamento iniziale.

m

u1

0u

L’ equazione del moto nel caso di vibrazione libere smorzate risulta

t sinuu

t cosuet u D

D

n D

t n 000 0

0 kuucum

la cui soluzione è

21 n Dncr m

c

c

c

2 m

k n


Dominio del tempo

Sostituendo alla soluzione lo spostamento e la velocità iniziali indottidall’impulso all’istante t = si ottiene la risposta dell’oscillatore smorzato

t sine

mt ut h D

t

D

n1

0 kuum

t sinu

t cosut u n

n

n

0

0

t sinm

t ut h n

n

1



15


Dominio del tempoLe funzioni di risposta all’impulso unitario sono mostrate in figura

t sine

mt ut h D

t

D

n1

t sinm

t ut h n

n

1


Dominio del tempoUna forzante generica che varia nel tempo può essere vista come unasequenza di impulsi infinitamente piccoli. La risposta del sistema lineareSDF ad uno di questi impulsi, quello ad esempio all’istante di ampiezza p()d è uguale all’ampiezza per la risposta all’impulso unitario

t hd pt du per t >



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Dominio del tempoLa risposta del sistema al tempogenerico t è la somma delle rispostea tutti gli impulsi che sono occorsifino a quell’istante, ovvero

d t h pt ut

0

INTEGRALE DICONVOLUZIONE


Dominio del tempo

INTEGRALE DIDUHAMEL

Specializzando L’integrale di convoluzione per i sistemi SDF si ottiene per isistemi smorzati e non

t

D

t

D

d t sine p

m

t u n

0

1

t

n

n

d t sin pm

t u0

1

SISTEMI SMORZATI

SISTEMI NON SMORZATI

L’integrale di Duhamel si basa sul principio di sovrapposizione degli effetti ecome tale rimane valido soltanto fintanto che il sistema si comportalinearmente.



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Dominio della frequenzaLa funzione p(t ) rappresenta di fatto un segnale aperiodico, per cui, ammessoche esso soddisfi la condizione di assoluta integrabilità, ovvero

dt t s

è Fourier trasformabile. Per cui si può scrivere

In pratica la generica forzante p(t ) può essere interpretata come una somma

infinita di forzanti armoniche distribuite con continuità nel dominio0 < < ed aventi ampiezze complesse P() che sono note dalla

d ePt p

t i

2

1

dt et pP t i


Dominio della frequenzaAnche lo spostamento incognito u(t ) può essere trasformato secondo Fourier,e così anche le sue derivate nel tempo tenendo conto della proprietà diderivazione della trasformata di Fourier.

dt et uU t uF t i

U it uF

U t uF 2

Sostituendo queste espressioni nell’equazione del moto si ottiene

PkU cU imU 2

PU cimk 2 PU K



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Dominio della frequenza

PU K

RIGIDEZZA DINAMICA

K Re

cK Im

K Im

mk K Re 2

K

02 mk

K

PU

k

0m

k

Frequenza fondamentale



Se il sistema è non smorzato

0m

k

K

k K Re

mk K 2

00 K

K

PU



19



P H K

PU

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ARMONICO: ovvero larisposta del sistema per una forzante armonica unitaria

H

Determinata la risposta del sistema nel dominio della frequenza si puòtornare nel dominio del tempo operando l’antitrasformata di Fourier (formula

disintesi)

d eP H d eU t u

t it i

2

1

2

1



d eP H t u

t i

2

1

t

D

t

D

d t sine pm

t u n

0

1

La soluzione dell’equazione differeziale del moto nel dominio del temporichiede la soluzione di un integrale di convoluzione (Duhamel),

Nel dominio della frequenza la soluzione richiede un semplice prodotto.

In pratica l’equazione differenziale del moto si trasforma in un sistemaalgebrico di semplici equazioni lineari.

Il segnale nel dominio del tempo viene ricostruito operando l’antitrasformatadi Fourier

P H U



20



Si dimostra che la risposta nel dominio della frequenza è legata alla rispostanel dominio del tempo dalle relazioni

d e H t h

t i

2

1

dt et h H t i

Ovvero la funzione di trasferimento armonico H () altro non è che latrasformata diretta di Fourier della funzione di risposta all’impulso h(t )

Analisi di risposta locale

La valutazione dell'azione sismica rappresenta la prima fase dell'analisi diinterazione terreno-struttura; l’analisi di risposta locale ci permette diricavare lo spostamento del terreno in assenza di struttura e fondazione nelsito specifico in cui si trova la struttura che si sta progettando.

Nella pratica professionale raramente si ricorre ad una analisi di sito perdeterminare l’azione sismica di input poiché le normative (tra cui il D.M.14/01/2008) forniscono opportuni spettri di risposta, in relazione al tipo diterreno sui cui sorge la struttura, già trattati (amplificati) per tener conto deglieffetti locali (di amplificazione).

Le analisi di risposta locale sono in genere utilizzate per:

• valutare gli spostamenti del terreno in superficie o all’interno di undeposito al fine di sviluppare spettri di risposta di progetto per l’analisistrutturale;

• studiare lo stato tensionale e deformativo all’interno del terreno al fine discongiurare fenomeni di liquefazione;

• valutare le forze indotte dall’azione sismica nelle strutture di sostegno.



21

Analisi di risposta locale

In condizioni ideali, un’analisi completa di risposta locale dovrebbemodellare il meccanismo di rottura della faglia, la propagazione delle onde divolume (P-S) dalla sorgente fino al bedrock al di sotto di un particolare sitoed infine tener conto dell’influenza del deposito nella valutazione del motodi superficie (e nel deposito, se necessario).

In realtà il meccanismo generatore alla sorgente è talmente complicato e lanatura del trasferimento di energia così incerta che questo approccio non è percorribile nelle comuni applicazioni dell’ingegneria.

Nella pratica la determinazione del moto al bedrock nel sito oggetto di studioviene determinato sulla base di metodi differenti (e.g. leggi di attenuazione)ed di procedure che esulano dagli scopi di questa lezione.

Supponendo di conoscere il moto al bedrock del sito in oggetto il problemadell’analisi locale di sito rimane quello di determinare la risposta deldeposito a partire dalla conoscenza del moto al bedrock subito sotto di esso. Nonostante le onde sismiche possano propagarsi per decine di km attraversola roccia e solo per pochi metri all’interno di un terreno deformabile(deposito), questo gioca un ruolo molto importante nella valutazione dellarisposta in superficie.

Analisi monodimensionale (1D)

Quando una faglia si frattura in profondità, onde di volume si propaganodalla sorgente in ogni direzione. Quando queste raggiungono le interfacce tradifferenti materiali geologici sono riflesse e rifratte. Questi fenomenideterminano la verticalizzazione delle onde in conseguenza del fatto che lavelocità di propagazione delle onde diminuisce generalmente verso lasuperficie (ovvero procedendo verso la superficie si ha una diminuzionedelle proprietà meccaniche del terreno). Quando le onde raggiungono la

superficie di fatto hanno un percorso di propagazione pressoché verticale.

Le analisi di risposta monodimensionale sono basate sull’ipotesi che tutte

le interfacce tra i diversi mezzi sono orizzontali e che la risposta del

deposito di terreno è prevalentemente causata dalla propagazione di onde

di taglio verticali provenienti dal bedrock.

Gli strati di terreno così come il bedrock sono inoltre considerati estendersi

all’infinito nelle direzioni orizzontali.



22

Analisi monodimensionale

Alcuni termini comunemente utilizzati nel seguito vengono introdotti inriferimento alla figura sottostante

• Free-field motion: moto in superficie del deposito;• Bedrock motion: moto a livello del bedrock;• Rock Outcropping motion: moto su roccia affiorante

Rock outcropping motion Bedrock motion

Free surface motion

Soil

xxx y

P r o p a g a t i o n

Bedrock deformabile


Una tecnica importante che può essere utilizzata per l’analisi di rispostalocale (analisi di propagazione) è basata sulle FUNZIONI DITRASFERIMENTO che permettono di esprimere vari parametri di risposta(spostamenti, velocità, accelerazioni, deformazioni e tensioni) in funzione diun parametro dell’azione di input, ad esempio l’accelerazione al bedrock.

Dato che questi approcci si basano sul principio di sovrapposizione degli

effetti la loro applicabilità è limitata a problemi lineari (o linearizzabili).

Come già visto per il caso dell’oscillatore semplice questo tipo di approccionecessita il maneggiamento di grandezze complesse. In pratica, nota lafunzione di trasferimento nel dominio della frequenza che esprime un certo parametro della risposta in un punto generico del deposito (superficie adesempio) in funzione dell’accelerazione al bedrock e nota una generica storiadi accelerazione al bedrock nel dominio del tempo, allora la storia temporaledel parametro in oggetto si ricava operando l’antitrasformata di Fourier del prodotto tra la funzione di trasferimento e la trasformata di Fourierdell’accelerazione nota.



23


L’analisi di propagazione monodimensionale delle onde di taglio vienestudiata modellando il terreno come una colonna deformabile unicamente ataglio.

zt

u

2

2

t , zuu

cG

t z

t , zuc

z

t , zuG

t

t , zu

2

3

2

2

2

2

G

G t

t t

cc

Definiamo lo smorzamento come il rapporto tral’energia dissipata in un ciclo, e l’energia elasticaimmagazzinata

G

c

W

W

e

d

24

1

G

c2


Passando nel dominio della frequenza è possibile riscrivere l’equazione

t z

t , zuc

z

t , zuG

t

t , zu

2

3

2

2

2

2

nella forma

2

2

2

22

dz

, zU d

cidz

, zU d

G , zU

2

2

2

22

dz

, zU d G

dz

, zU d ciG , zU

MODULO DI TAGLIOCOMPLESSO

iGG

iGciGG 212



24


La soluzione dell’equazione differenziale

02

2

2

, zU dz

, zU d G

assume la forma

iKziKz e Be A , zU

GK

2 NUMERO D’ONDA

COMPLESSO

Le costanti di integrazione si determinano imponendo le opportunecondizioni al contorno, inoltre se il terreno è stratificato andrannoconsiderate più soluzioni del tipo (*) e le condizioni di continuità dovrannoessere messe in conto per la determinazione dei coefficienti di integrazione.

(*)


Condizioni al contorno (in numero pari a 2 N , essendo N il numero degli strati)

Superficie 00 ,

iKziKze Be AK Gi , z

00 B AK Gi , B A

Interfaccia , ,h mmm01 ,U ,hU mmm

01

11 mm

hiK

m

hiK

m B Ae Be A mmmm

mmmm

hiK

m

hiK

mmm B AK Gie Be AK Gi mmmm

11



25


Sommando e sottraendo le due ultime c.c. si ottengono le seguenti formulericorsive per il calcolo dei coefficienti di integrazione

mmmm hiK

m

hiK

mm e B.e A. A

1501501

mmmm hiK

m

hiK

mm e B.e A. B

1501501

11

mm

mm

GK

GK RAPPORTO COMPLESSO D’IMPEDENZATRA DUE STRATI SUCCESSIVI

L’ultima condizione al contorno è rappresentata dallo spostamento al bedrock conseguente alla storia di accelerazione imposta.

In questo caso, al fine di calcolare le funzioni di trasferimento sarà

sufficiente imporre A = B = 1 in superficie. Il problema non perde di

generalità essendo le funzioni di trasferimento che cerchiamo dei rapporti

che semplificano di fatto ogni fattore di scala introdotto.


Una generica funzione di trasferimento tra due strati non è altro che ilrapporto tra spostamenti, velocità o accelerazioni tra i due punti in cima aglistrati considerati. In pratica la funzione di trasferimento tra gli strati m ed n

sarà

nnn B A ,U 0

mmm B A ,U 0

iKziKze Be A , zU

nn

mmmn

B A

B A H

È utile riferire la funzione di trasferimento al bedrock per il quale è noto lospostamento imposto. In questo modo, moltiplicando tale spostamento(espresso nel dominio della frequenza) per la funzione di trasferimentorelativa all’m-esimo strato si può conoscere direttamente lo spostamento diquello strato (nel dominio della frequenza).

mn H

1



26


Rimane dunque da definire quello che è lo spostamento al bedrock avendogià introdotto il concetto che spiega la sua diversità dal moto di rocciaaffiorante.

In realtà se il bedrock è infinitamente rigido allora, indipendentemente dadove esso è posizionato, costituirà sempre una superficie perfettamenteriflettente e dunque l’onda che lo colpisce sarà sempre uguale all’onda cheverrà riflessa ed il moto frutto di queste due uguali componenti.


Free surface motion

Soil

Bedrock RIGIDO

xxx x


Dato però che anche il bedrock sarà caratterizzato da un suo modulocomplesso diverso da infinito ne risulta che, a partire dalla conoscenza delmoto di roccia affiorante, si debba calcolare il moto alla base del deposito equesto può essere fatto per mezzo di una funzioni di trasferimento.

La funzione di trasferimento che permette di calcolare il moto al bedrock unavolta noto il moto di roccia affiorante è rappresentata dalla

b

bb

out

bed

A

B A

U

U H

2


Free surface motion

Soil

Bedrock DEFORMABILE

b A b Ab A b B



27


La funzione di trasferimentodeamplifica il segnale sismico che si registrain superficie determinando un abbassamentodei picchi delle funzioni di amplificazione.b

bb

out

bed

A

B A

U

U H

2

H

1

0U

B A H bb

Spostamento associato al bedrock affiorante

Analisi monodimensionale: vibrazioni libere non smorzate

zt

u

2

2

cG

2

2

2

2

z

t , zuG

t

t , zu

2

2

2

2

z

t , zuG

t

t , zu

GV s

2

22

2

2

z

t , zuV

t

t , zus

zV

i zV

iss e Be A , zU

Soil

Superficie

Bedrock

hV

ihV

ihV

ihV

i

ssss ee A

A

e Be A

B A

,hU

,U H

20

h



28

Analisi monodimensionale: vibrazioni libere non smorzate

h

V cosee

H

s

hV

ihV

iss

12

La massima amplificazione si ha in corrispondenza delle frequenzafondamentali del deposito, ovvero all’annullarsi del denominatore

nhV

hV

cosss 2

0

h

V

nh

V

n

ss

2122

sV

h

nT

4

21

12

h

V s

20

sV

hT

40

h zhV s

20

h

V s

2

31

h

V s

2

52

0

1

A 1-1

(b)

Analisi monodimensionale: comportamento meccanico delterreno

Il terreno è un materiale fortemente non lineare, le cui caratteristichemeccaniche dipendono non solo dalle tensioni-deformazioni cui èsottoposto ma anche dalla storia dei carichi applicati.

Analizzando un processo di carico - scarico in termini di tensioni-deformazioni tangenziali si perviene ad un comportamento isteretico i cuicicli dipendono dalla massima ampiezza di deformazione raggiunta.

Modulo di taglio e smorzamentodipendono dall’ampiezza delledeformazioni e dalla storia dicarico



29

Analisi monodimensionale: comportamento meccanico del

terreno per poter semplificare il problema è possibile dividere il comportamento intre campi:

- Comportamento a piccole deformazioni;

- Comportamento a medie deformazioni;

- Comportamento a grandi deformazioni.


<10-3% Andamento costante del modulo di rigidezza tangenziale; Dissipazione di energia molto bassa.

MODELLO ELASTICO

10-3%<<10-2%); La rigidezza diminuisce al crescere della deformazione; Comportamento dissipativo non trascurabile; Cicli stabili e indipendenti dalla storia di carico.

MODELLO VISCO-ELASTICO EQUIVALENTE

Modulo secante corrispondente alla deformazionemassima e smorzamento viscoso equivalente (che produce la stessa dissipazione di energia in un ciclo)



30

Dato inoltre che i livelli di deformazione calcolati dipendono dai valori di di G e adottati risulta ovvio che la procedura che porta alla determinazione dei valoricoerenti è di tipo iterativo.


terrenoUTILIZZO DEL MODELLO VISCO-ELASTICO EQUIVALENTE NELLEANALISI DI RISPOSTA LOCALE

Dato che l’analisi di risposta locale richiede valori costanti di G e in ognistrato, il problema diventa quello di determinare, per ogni strato, valori di G e che siano coerenti con il livello di deformazione indotto dall’azione sismica.

La procedura si svolge secondo i seguenti passi:

Step 1) Stima iniziale dei valori di G e per ciascuno strato (generalmente siconsiderano i valori a piccole deformazioni per tutti gli strati)

Step 2) I valori stimati sono utilizzati per calcolare la risposta del depositoincludendo le storie di deformazione per ciascuno strato.

Step 3) I valori effettivi delle deformazioni a taglio di ciscuno strato sonocalcolati a partire dalle storie delle deformazioni a taglio. Per il layer j,all’iterazione i


i

jmax,

i

j ,eff R



Step 4) Dai valori effettivi delle deformazioni a taglio si calcolano i nuovi valoriequivalenti di G e .

Step 5) Gli steps 2-4 sono ripetuti finchè le differenza tra i valori calcolati di G e in due successive iterazioni sono minori di una tolleranza prefissata.


terreno

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Interazione Terreno-Struttura