Integrālis un atvasinājums -

tie tik ir rīki

Rīga, 12.01.2013.

cibulis@lanet.lv

Komentāri par tēmu un tās apgūšanas iespējām

Tēmu esot izvēlējušies paši (kāda daļa?) skolēni...

Tēma visai nepiemērota skolas sagatavotības līmenim.

Dzirdēt un redzēt nenozīmē saprast.

Vēsturiska informācija: pamatjēdzieni, idejas un to attīstītāji.

Krāsotāja paradokss.

Viena lekcija ir piliens iepriekš nepazīstamas matemātikas jūrā.

Cik ilgs laiks vajadzīgs robežas, atvasinājuma, integrāļa apgūšanai?

Kas ir robeža, figūras laukums, līknes garums, ...? (Vairāki simti gadu)

Par atvēlēto laiku LU Fizikas un matemātikas fakultātē u.c.

Literatūra

1914 - 2010 1851-1916

1. izd. 1910,

1914, 1946,

1998

Scientific American

Matemātisko spēļu

slejas vadītājs

> 25 g.

~ 60 gr. autors

Fizika, prof.,

gleznošana,

dzejošana

Žurnāli: Математика в школе

Квант.

Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, Москва, ГИТТЛ, 1952, 52 с.

Виленкин Н. Я., Мордкович, А.Г,

Производная и интеграл,

Москва, Просвещение, 1976, 96 с.

Literatūra

Krievu val.

J. Stillwell, Mathematics and its history, Springer, 2002, 544 p.

Ļoti labs vizuālais materiāls, PDF, 1564 lpp.

Thomas, Calculus

Angļu val.

Stewart, Calculus

ž. Zvaigžņotā Debess: 1996, Skaitlis e.

2011, Integrālis

Latviešu val.

(Robeža)

Vai skolēns spēj saprast robežas,

integrāļus un pat robežas no integrāļiem?

9. –10. klašu skolēniem Площади и логарифмы, 1952, 52 с.

Ģeometriskā progresija un robežas jēdziens esot pazīstami jau

9. klases 2. ceturksnī.

Kādreiz…

Daži tomēr spēj...

A German 16-year-old, Shouryya Ray, solved two fundamental particle

dynamic theories posed by Sir Isaac Newton over 350 years ago,… has solved a mathematical problem which has stumped mathematicians for centuries

– tā raksta un pārspīlē žurnālisti.

Skolēns apguvis iespaidīgu daudzumu literatūras un DFV risināšanas metodes.

Brīvi operē ar diferenciālrēķinu tehniku:

(atvasinājumi, integrāļi, diferenciālvienādojumi)!

Prof. Ralph Chill, and Jürgen Voigt (TU Dresden) have released a statement

about the affair (Ekspertiem tas zināms, par izdomājumu, ka Newton over 350…):

Augstvērtīgs komentārs uz 4 lpp.

Daži uzdevumi no Rumānijas

,

;

.1,1

lim1

ax

dxn

a

nn

A. Cibulis, R. Ozols, Par kādu Rumānijas skolēniem domātu integrāli,

Zvaigžņotā Debess, Pavasaris, 2012, 49.-52. lpp

Piezīme. Man nav zināms, cik rumāņu skolēnu spēja atrast šādu robežu.

Skolēni dažkārt pamanās atrisināt kādu olimpiādes uzdevumu,

maz ko saprotot no lietotajiem jēdzieniem.

Viņi vienkārši ir apmācīti lietot attiecīgo tehniku.

Daži spēj

http://www.math.ucla.edu/~tao/

(homepage)

Terence Tao, 16

11 gados piedalījās IMO un 15 gados sarakstīja grāmatu Solving Mathematical

Problems: A Personal Perspective, New York, Oxford University Press, 2006, 103 p.

Matijasēvičs, Perelmans.

A. Klero (1713 – 1765) jau desmit gadu vecumā

esot lasījis Lopitāla grāmatu par diferenciālrēķiniem…

(9. klase, 8. LAMO)

Nepaskaidrots apzīmējums

Kādreiz LMO ... 1

0

1

0

.0)(,0)( dxxfxdxxf

Pierādīt, ka intervālā [0; 1] eksistē vismaz divi dažādi skaitļi a un b, kuriem

0)(af un 0)(bf

Dots, ka )(xf ir nepārtraukta funkcija un

(11. klase, 8. LAMO)

x

x

x

][limAprēķināt

.0)(lim 1 nnn

xx)( nx ir augoša virkne. Zināms, ka Dots, ka

Vai noteikti eksistē galīga robeža nn

xlim ? (9. klase, 9. LAMO)

Tagad LU 1. kurss

– veselā daļa no apakšas. x

297,2 397,2

Tagad

Latvijas MO uzdevumu par atvasinājumiem un integrāļiem nav

Vai skolā jāmāca robežas, atvasinājums, integrālis, …,

matemātiskās analīzes elementi?

Integrāļu daudzveidība: Rīmaņa, Lebega, Stiltjesa, u.c.

Tagad

Arī modernais rēķināšanas rīks (dators) var nedot analītisku izteiksmi

Eksperimentālā matemātika

Tagad…

The math we have now was invented to solve a particular problem.

Some problems come from science, economics, or real life,

while others are purely mathematical.

The only way to get good at math is through problem solving.

/Halmos/

Tagad skolās matemātikas sirds – pierādījumi –

izskausti (?) kā šķira.

Uzdevumu risināšanai ir īpaša nozīme.

Neatrisinātas problēmas (labi uzdevumi) nereti ir pirmsākums

jaunām metodēm, jaunām teorijām un jauniem uzdevumiem.

Skolas kursā informācijas nav (?) MO

MMU 3. nodarbība: Kā dalīt ar nulli un bezgalību (ieskats vienkāršākajās robežās).

Redzēt un dzirdēt nenozīmē saprast

Kas ir atvasinājums?

Īsa atbilde. Matemātikā atvasinājums ir robeža.

Kas ir integrālis?

Integrālis (noteiktais) ir robeža.

Pastāv uzskats, ka robežas jēdziens ir viens no cilvēces domas lielākajiem sasniegumiem. Robežas jēdziens intuitīvā izpratnē bija

pazīstams jau senajiem grieķiem. Šai sakarā minams sengrieķu

filozofs Zēnons (apt. 490 - 430 p. m. ē.).

Analoģija: bez saprašanas, kas notiek motorā, mēs varam vadīt mašīnu,

bez saprašanas mēs varam lietot un lietojam datorus.

Tas, ka mēs nesaprotam, kas notiek kuņģī, netraucē mūs ēst, utt.

LU FMF līdz atvasinājumam nonāk 1. semestra beigās (apt. 4

mēneši)

Vai mācīties, …, veikt dažādas darbības var bez saprašanas?

).( fdx

d

dx

dff

Atvasināšanas automāts

ff

1

sincos

cossin

pp pxx

xx

xx

xx ee

vuvu )(vuvuuv)(

2,

v

vuvuf

v

ufuccu)(

c

0

x

1

fFFf :1

cossin

sincos

1

p

xx

xx

xx

pp

cx

dxx3

32

)()()( aFbFdxxF

b

a

Integrēšanas automāts

dxxff )(b

a

Rdxxff )(x

x2/2

Redzam, bet vai saprotam?

1646-1716 1642-1727 (287-212 p.m.ē.)

pamatlicēji

Arhimēds Ņūtons Leibnics

Arhimēds 1. MR autors

...142,37

13,...1408,3

71

103,

7

13

71

103

1580. g. 20 ciparus aiz komata spēja aprēķināt Adriēns van Rūmens.

Tam viņš patērēja vairākus gadus.

Madhava of Sangramagrama (1350-1425)

spēj atrast 11 zīmes: 3.14159265359.

Daudzus gadsimtus Arhimēda precizitāte netika pārspēta.

Tad vēl nebija decimāldaļskaitļu!

Bija vajadzīgi

smalkāki

līdzekļi

Arktangensa rinda

1998 Manuskriptu atrod atkal.

Tas pārdots izsolē par

2 milj. dolāru.

1839

1907 Konstantinopoles bibl.

Arhimēda sacerējums

Palimpsest

http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html

Dažas svarīgas robežas

xx

xx

x arcsinarctgarctgarcsin

sintgtgsinlim

0

Ja kāds domā, ka ..., tad lai pamēģina aprēķināt šādas robežas

V. Arnolds

.1sin

lim0 x

x

x

.1

1lim ex

x

x

.11

lim0 x

e x

x.1

)1ln(lim

0 t

t

t

nn

nsinlim

Atvasinājums

ax

afxfaf

ax

)()(lim)(

h

xfhxfaf

h

)()(lim)(

0

x

xfxxf

x

xfxf

xx

)()(lim

)(lim)( 00

0

0

00

Funkcijas pieauguma pret argumenta pieaugumu attiecības robeža,

kad argumenta pieaugums tiecas uz nulli.

Pieaugums kā vārds var maldināt, jo ar to parasti saprot kaut ko pozitīvu,

bet matemātikā tas var būt arī negatīvs. Varēja šo vārdu aizstāt ar – izmaiņas.

Varbūt noder…

Agrāk differential coefficient, tagad derivative,

Agrāk indefinite integral,

tagad antiderivative (первообразная)

d – diferencēšanas simbols, („a little bit of”) lieluma x maza daļa.

dx nozīmē visu mazo lieluma x daļu dx summu.

Integrāļa zīmi 17. gs. beigās ieviesis vācu matemātiķis Leibnics

Leibnica apzīmējumi Diferencēšanas operatora

apzīmējums

Terminu atvasinājums esot ieteicis 18. gs. beigās Arbogasts (1759 – 1803).

Primitīvā funkcija Pirmfunkcija

Kā latviski?

Atvasinājuma izmantošana

Funkciju pētīšanā:

ekstrēmi, monotonitāte, izliektība

Vienādību un nevienādību pierādīšanā

Rindu teorijā

Aproksimācijā, tuvinātos rēķinos

Citos priekšmetos var sastapt pat citus nosaukumus. Ekonomikā: marginālās izmaksas.

2

12

)1(

1......321

xnxxx n

.421

1n

n

n

xxx

1

1...1 2

Atvasinājuma izmantošanas piemērs

Kā iegūts?

Parabolas segmenta laukums

To pirmais pratis aprēķināt Arhimēds, turklāt vismaz trijos veidos.

)...321(11

...4111 222

32

2

22n

nn

n

nnnnn

Izsmelšanas

metode Eudokss

~ (406-355)

Dēmokrīts

~ (460-380)

Arhimēds

(287-212)

)12)(1()...21(6 222 nnnn

Skaties!

6

)12)(1(...21 222 nnn

n

Integrālis un laukums

Bernhard Riemann (1826-1866)

,0max,: 1 kk

kkk xxxx

.)~(lim:)(1

k

n

k

k

b

an

xxfdxxf

Pirmā stingrā noteiktā integrāļa

(Rīmaņa integrāļa) definīcija.

.)()(

b

a

dxxSxV

Integrālis un tilpums

h

xLs

h

L

x

s

.3

1)0()(

3)( 2

0

2

23

2

22

hLFhFh

LxxFdx

h

Lxh

Vai mēs tā varētu?

Kavaljēri (1598-1647) princips. Galileja skolēns.

Ķermeņiem ar vienādiem šķēlumu laukumiem ir vienādi tilpumi.

Izmantojot šo principu, var eleganti iegūt lodes tilpuma formulu.

x = h

.3

2

3

1 322 RRRRRV

).()( 222 xRrxS

3

16

44

3/4 3

2

23 rV

r

r

V

r

Vai mēs tā varētu?

Aprēķināt divu cilindru

kopējās daļas tilpumu.

Ļoti asprātīgs

Arhimēda

risinājums

Aprēķināt sarkanās daļas laukumu,

ja kvadrāta malas garums ir 1.

Laukums

Izteikt laukumu ar integrāļa palīdzību.

.)214(

35,0

0

2 dxxL

Integrēšanas automāts 21 x pārveidotu par

xxx

xF arcsin2

11

2)( 2

.1

,1

)(2

21

xxFx

xxF

).()()( aFbFdxxF

b

a

.)1()()(1

2

1

2 FFdxx

dxxfV

Krāsotāja paradokss

1

2 1 1

y = 1/x

Piltuves

tilpums ir galīgs

.)()(

b

a

dxxSxV

Krāsotāja paradokss

Pamatojums bez integrāļa

.2...9

1

4

11...2

2

2

1 hrhrV

nnnnn

1

1

1

)1(

112

Piltuves tilpums ir mazāks nekā attiecīgo cilindru tilpumu summu.

1)1(

1

1n nn2

1

3

1

4

11

n 1

2

)1(

1

1

11

nnnn

Skaties!

...8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1L

...8

1

8

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

1...

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1L

....2

1

2

1

2

1L

1

y = 1/x

2 3 4 n

Krāsotāja paradokss

Plāksnītes laukums ir bezgalīgi liels

Kur kļūda?

Kā tas var būt, ka ar galīgu krāsas daudzumu

var nokrāsot bezgalīgi lielu laukumu?

Piedāvāt izskaidrojumu, kur, jūsuprāt, ir kļūda.

Gaišas domas Jaunajā gadā!