Integrals

1Iniciaci a les integrals 2

1. Primitives. Regles bsiques per al seu clcul 4

2. rea sota una corba 8

3. Teorema fonamental del clcul 10

4. Clcul de lrea entre una corba i leix X 12

5. Clcul de lrea compresa entre dues corbes 14

INICIACI A LES INTEGRALS

2

C om ja hem dit, Arquimedes (segle III aC) va obtenir lrea de algunsrecintes corbs (cercle, segment de parbola, ). Ho va fer sumantinfinits trossets drees prcticament nulles, mitjanant un procedimentque contenia la idea no precisada de pas al lmit. De manera semblant,Kepler (primera meitad del segle XVII) va obtenir longituds de corba ivolums de cossos de revoluci. Molts altres matemtics van resoldre pro-blemes semblants, per per a cada un daquests problemes va caldre unprocediment especfic de resoluci.

El primer pas dunificaci de lenfocament daquests problemes va seradvertir que tots ells es podien expressar de la mateixa manera: clculde lrea compresa entre una corba determinada i leix X.

La gran aportaci de Newton i Leibniz, per la qual sels consagra coma inventors del clcul infinitesimal, va ser relacionar aquest problemaamb el problema de la tangent.

REFLEXIONA I RESOL

Dos trens

Un Talgo i un tren de mercaderies surten de la matei-xa estaci, per la mateixa via i en idntica direcci,lun rere laltre, gaireb simultniament.

Aquestes sn les grfiques TEMPS - VELOCITAT dambdsmoviments.

Com podem veure en la grfica, el Talgo, a las dues

hores, redueix la velocitat:

A qu pot ser degut aix?

Per qu no disminueix la marxa tamb laltre tren enaquell instant?

A las tres hores, ambds trens modifiquen la sevamarxa: el Talgo es det durant uns quants minuts,mentre que el tren de mercaderies va molt a poc apoc durant mitja hora.

n Per fer-nos una idea clara daquests moviments,fem els clculs segents:

a) El Talgo, durant 2 h, va a 120 km/h. Quantsquilmetres recorre a aquesta velocitat?

b) De 2 a 2 , el Talgo disminueix la velocitat.

Quants quilmetres recorre a aquesta velocitat?

c) El tren de mercaderies redueix la marxa a les3h. Quina distncia ha recorregut fins a aquestmoment?

d) Quina distncia recorre el tren de mercaderiesdurant la mitja hora en qu va a velocitat lenta?

14

1 2 3 4

TEMPS(en hores)

TALGOMERCADERIES

120

100

80

60

40

20

VELOCITAT(en km/h)

3Quina s la funci la derivada de la qual s?

La funci la derivada de la qual s 2x s ... x2.

La funci la derivada de la qual s cos x s ... sin x.

La funci la derivada de la qual s s ... .

n Digues quina s la funci la derivada de la qual s:

a) 2x b) x c) 5x

d) 3x2 e) x2 f) 5x2

g) 4x3 h) x3 i) 2x3

j) 1 k) 4 l)

m) 3x2 + 4x3 n) 5x2 + 7x3 o) sin x

p) sin x q) 5sin x r) cos x

s) ex t) 3 ex u) ex

v) 2x ln 2 w) 2x x) 5 2x

2

x12

x

Fent els clculs anteriors, podrs comprovar que:

Ambds trens recorren 240 km a velocitat normal.Redueixen la velocitat en el mateix lloc i recorren,aix, uns altres 15 km (potser per obres en la via) i, a continuaci, recuperen la velocitat normal. (sa dir, el tren de mercaderies no frena quan frenael Talgo, per s on frena el Talgo). Ms endavant,el Talgo para en una estaci.

e) A quina distncia de lestaci de sortida saquesta altra en la qual para el Talgo?

f ) Observa que en tots els clculs que has fet finsara shan obtingut rees per sota de les grfi-ques, vermella o blava. Assenyala els recintes dels quals nhas calculatles rees i assigna a cada un lrea que li corres-pon.

En el problema dels dos trens hem vist que lreasota la grfica duna funci velocitat-temps s el ca-m recorregut.

Amb freqncia, lrea sota la grfica duna funci suna magnitud els valors de la qual interessa esbrinar.

Per aix sn fonamentals els resultats segents:

n Si lextrem superior de linterval s variable, tam-b ho s lrea. s a dir, en variar x, lrea varia.

n La funci:

x A(x) = rea sota f

s derivable. La derivada s, precisament, f (x).

n Per esbrinar A (x) ens demanarem, quina s lafunci la derivada de la qual s f (x)?

Es diu primitiva de f (x) i es designa aix:

f (x)La unitat comenar, precisament, sistematitzantaquest joc de trobar la funci la derivada de la quals una funci donada.

Un cop trobada f (x), obtindrem A (x) = f (x) talcom vam veure a la unitat anterior.

EN AQUESTA UNITAT VEURS

y = f (x)

a b

rea sota y = f (x)entre a i b

a x

a

A' (x) = f(x)

A(x)

f(x)

rea sota fentre a i x

41 PRIMITIVES. REGLES BSIQUES PER AL SEU CLCUL

Definici i nomenclaturaF (x) s una primitiva de f (x) si F' (x) = f (x). Aix sexpressa aix:

f (x) dx = F (x)Cada funci t infinites primitives, ja que si F (x) s primitiva de f (x)[s a dir, si F' (x) = f (x)], aleshores F (x) + k tamb ho s, perquD [F (x) + k] = F' (x) = f (x). I aix s cert qualsevulla que sigui la cons-tant k. Per aix, se sol escriure:

f (x) dx = F (x) + kLexpressi f (x) dx sanomena tamb integral indefinida o,simplement, integral de f (x). Per aix, el clcul de primitives sacostu-ma a anomenar clcul dintegrals o integraci.

PropietatsCom que el procs dintegraci s oposat al de derivaci, moltes de lesseves propietats es dedueixen, immediatament, de les propietats de lesderivades. Les ms importants sn:

Integral duna potncia

Per exemple:

x2 dx = + k = + k

x7 dx = + k = + k

x dx = + k = + k

dx = x1/2 dx = + k = x3/2 + k = + kx32323x1/2 + 1

1/2 + 1x

x2

2x1 + 1

1 + 1

x8

8x7 + 1

7 + 1

x3

3x2 + 1

2 + 1

[ f (x) + g (x)] dx = f (x) dx + g (x) dx c f (x) dx = c f (x) dx

TINGUES EN COMPTE

La integral de la suma de dues funcionss igual a la suma de les seves integrals.

La integral del producte dun nombreper una funci s igual al producte del nombre per la integral de la funci.

La integral del producte de duesfuncions no s el producte de lesintegrals, ja que la derivada dunproducte no s igual al producte de les derivades.

1 dx = x + k xn dx = + k, si n ? 1 dx = x 1 dx = ln |x | + k1x

xn + 1

n + 1

5a) 3x5 dx = 3x5 dx = 3 + k = + k

b) dx = x3 dx = + k = + k = + k

c) dx = x

dx = + k = + k = 3 + k

d) dx = dx = x1/2 1/3 dx = x1/6 dx =

= + k = + k

e) La integral duna suma s la suma de les integrals dels sumands:

(3x3 5x2 + 3) dx = 3x3 dx 5x2 dx + 3 dx == 3x3 dx 5x2 dx + 3 dx == 3 5 + 3x + k = x4 x3 + 3x + k

f) (2x + 3x ) dx = 2x + 3x + kg) (3 cos x 5 ex ) dx = 3 cos x dx 5 ex dx = 3 sin x 5 ex + k

1ln 3

1ln 2

53

34

x3

3x4

4

62

6x7

735

x7/6

7/6235

235

235

2 x1/235 x1/3

2x35x

3x

1

x3

13

2

x + 1

3

2 + 1

3

231

3x2

12x2

x2

2x3 + 1

3 + 11x3

x6

2x6

6

1. Troba les integrals segents:

a) 3x5 dxb) dxc) dxd) dxe) (3x3 5x2 + 3) dxf ) (2x + 3x) dxg) (3 cos x 5 ex) dx

2x35x

13x2

1x3

EXERCICIS RESOLTS

EXERCICIS PROPOSATS

1. Calcula les integrals segents:

a) 7x4 dx b) dx

c) dx d) dx

e) dx f) dx

2. Calcula:

a) dxb) (5 cos x + 3x ) dxc) dxd) (10x 5x ) dx

7x4 5x2 + 3x 4x2

x4 5x2 + 3x 4x

5x333x

3x +

5x3

3x

35x2x

1x2

Integrals trigonomtriques i exponencials

sin x dx = cos x + k cos x dx = sin x + k ex dx = ex + k ax dx = ax + k1ln a

6La regla de la cadena i el clcul de primitivesRecordem la derivada duna funci composta g [ f (x)]:

D (g [ f (x)]) = g' [ f (x)] f' (x) Per tant:

Laplicaci daquesta regla no sol ser fcil, perqu poques vegades sevident la presncia de les funcions f i f '. Per exemple:

I = cos (x2 5x + 3) (2x 5) dxSi observem que D (x2 5x + 3) = 2x 5, la integral s immediata

aplicant la regla anterior, ja que s cos f (x) f' (x) dx:I = cos f (x) f' (x) dx = sin f (x) + k = sin (x2 5x + 3) + k

Un cas particular de la regla anterior especialment important s quan f (x) == ax + b i, per tant, f' (x) = a:

Per exemple: cos (3x + 5) dx = + ksin (3x + 5)3

g' [ f (x)] f' (x) dx = g [ f (x)] + kRECORDA

g [f (x)] f (x) dx = g [f (x)]

RECORDA

g (ax + b) dx = g (ax + b)aSi f (x) dx = F (x) + k, aleshores f (ax + b) dx = F (ax + b) + k .1a

Resum de les regles per al clcul de primitives

SUMA [ f (x) + g (x)] dx = f (x) dx + g (x) dxPRODUCTE PER UN NOMBRE k f (x) dx = k f (x) dxPOTNCIES xn, n ? 1 xn dx = + k f (x)n f' (x) dx = + k

x1 = x1 dx = dx = ln |x | + k dx = ln | f (x)| + k

EXPONENCIALS ax ax dx = + k a f (x) f' (x) dx = + kex ex dx = ex + k e f (x) f' (x) dx = e f (x) + k

TRIGONOMTRIQUES sin x sin x dx = cos x + k sin f (x) f' (x) dx = cos f (x) + kcos x cos x dx = sin x + k cos f (x) f' (x) dx = sin f (x) + k

a f (x)

ln aa x

ln a

f' (x)f (x)

1x

1x

f (x)n + 1

n + 1xn + 1

n + 1

7a) (3x 5)4 dx = + k = + kb) Observem que si f (x) = x2 + 3x, aleshores f' (x) = 2x + 3.

Per tant: (x2 + 3x )4 (2x + 3) dx = + kc) Observem que si f (x) = x2 5x + 6, llavors f' (x) = 2x 5.

Per tant: dx = ln |x2 5x + 6| + kd) Observem que si f (x) = cos x , aleshores f' (x) = sin x. Per tant:

sin x cos x dx = (cos x) (sin x ) dx = + k = + ke) Observem que si f (x) = x2, llavors f' (x) = 2x. Per tant:

x ex2 dx = (2x ) e(x2) dx = e(x2) + k = ex2 + k

f ) e 2x + 3 dx = + k = e 2x + 3 + k

g) cos 3x dx = + k

h) Observem que si f (x) = x2 + , llavors f' (x) = 2x.

Per tant: cos (x2 + ) (2x) dx = sin (x2 + ) + ki) Com que tg x = i si f (x) = cos x s f' (x) = sin x, ser:

tg x dx = dx = dx = dx = ln | cos x | + kf' (x)f (x)sin xcos xsin xcos x

sin xcos x

pi2

pi2

pi2

sin 3x3

12

e2x + 3

2

12

12

12

cos2 x2

(cos x)2

2

2x 5x2 5x + 6

(x2 + 3x )5

5

(3x 5)5

1513

(3x 5)5

5

1. Troba les primitives (ointegrals) de les funcionssegents:

a) g(x) = (3x 5 )4

b) g(x) = (x2 + 3x)4

(2x + 3)

c) g(x) =

d) g(x) = sin x cos x

e) g(x) = x ex2

f ) g(x) = e 2x + 3

g) g(x) = cos 3x

h) g(x) = cos (x2 + ) (2x)i) g(x) = tg x

pi2

2x 5x2 5x + 6

EXERCICIS RESOLTS

EXERCICIS PROPOSATS

3. Troba les primitives daquestes funcions:

a) f (x) = (x3 5x + 3)2(3x2 5)

b) f (x) = (5x + 1)3

c) f (x) =

d) f (x) =

e) f (x) = cos x sin3 x

4. Busca les primitives de:

a) f (x) = x 2x2 ln 2

b) f (x) = x 2x2

c) f (x) = 23x 5

d) f (x) = sin 3x

e) f (x) = sin (x3 4x2) (3x2 8x)

f) f (x) = cos xsin x

x2 1x3 3x

3x2 3x3 3x

8a) La figura lrea de la qual volem trobar s un trapezi de bases 3 i 1

i daltura 4. La seva rea s A = 4 = 8. Com que tota lrea

est per damunt de leix X, la integral s positiva. Per tant:

6

2( + 4) = 8

b) La figura s una semicircumferncia de radi 3. Lrea s A = pi 32 =

= 4,5pi. Com que est per sota de leix X, la integral s negativa.

6

0 f = pi = 4,5pi = 14,137

c) El triangle petit t un rea de 0,5 i est damunt de leix X. El trianglegran t un rea de 2 i est per sota de leix X. Per tant:

4

1(2 x) = 0,5 2 = 1,5

92

1 2

x2

3 + 1 2

1. Troba les integralsrepresentades en les grfiques:

a)

b)

c)

EXERCICIS RESOLTS

2 REA SOTA UNA CORBA

Importncia de conixer lrea sota una corbaHi ha ocasions en qu resulta fonamental esbrinar lrea sota una corba.Per exemple:

Integral duna funci

Lrea entre la grfica de la funci y = f (x) i leix X, en linterval[a, b] es designa:

b

a f o

b

af(x) dx Es llegeix integral entre a i b de f .

Si la corba est per damunt de leix X ( f (x) > 0) la integral s posi-tiva, i si est per sota de leix X ( f (x) < 0) la integral s negativa.

Larea sota la grficade la funci v = f (t)(velocitat en funci deltemps) entre els ins-tants t1 i t2 s lespairecorregut pel mbilen aquest interval detemps.

Lrea sota la corba

Potncia = f (t)

s lenergia consumida.

Lrea entre les corbesque ens donen lndex denatalitat i lndex de mor-talitat duna determinadapoblaci s laugment depoblaci en linterval detemps que estem consi-derant.

t1 TEMPS

VELOCITAT

t2 TEMPS

POTNCIA

TEMPS

ndex de natalitat

ndex de mortalitat

Espairecorregut Energia

consumida

Augment dela poblaci

y = f (x)

a b

b

a f

20 6

y = f(x) = x + 4 21

6

2 f

0 6

y = f(x)6

0 f

y = f(x) = 2 x

10

4

4

1 f

1. En el teu CD pots trobar exemplesper interpretar lrea sota una corba.

9Funci rea sota una corbaSi mantenim variable lextrem superior del recinte lrea del qual estemdescrivint, aleshores lrea tamb s variable: s una funci que depnde la posici que ocupi lesmentat extrem superior.

Vegem-ne alguns exemples:

Si la funci s f (x) = 1, constant, F (x) = x

0f s lrea acu-

mulada sota la recta y = 1, des de 0 fins a x. Per exemple, per a x = 2 sha acumulat un rea de 2 unitats. s fcil veure que:

F (x) = x

0f = x

Si la funci s f (x) = 2, lrea acumulada sota aquesta funci aug-menta amb el doble de rapidesa que la de lexemple anterior. Aix,per a x = 2 sha acumulat un rea de 4 unitats.

En general:

F (x) = x

0f = 2x

Si f (x) s decreixent, lrea acumulada a sota augmenta cada vegadams a poc a poc.

F (x) = x

af creix cada vegada ms a poc a poc

Si f (x) s creixent, lrea acumulada a sota augmenta cada vegadams de pressa.

F (x) = x

af creix cada vegada ms de pressa

En general, la rapidesa de creixement duna funci y = F (x) = x

af

ve donada pel valor de f (x). s a dir, f (x) t a veure amb la derivadade F (x). Aquest resultat, importantssim, sexplicita en lapartat se-gent.

La integral duna funci f en un interval [a, x] lextrem superiordel qual s variable, s una funci que depn de x:

F (x) = x

af

y = f(x)

a x

x

a f

F(x) = x

0 f = x

y = f (x) = 1

Y

X

Y

X

F (x) = x

0f = 2x

y = f (x) = 2

y = F (x)

y = f (x)

ba

y = F (x)

y = f (x)

ba

F (x) = x

af s una funci que depn de

la posici de x.

10

3 TEOREMA F0NAMENTAL DEL CLCUL

Els resultats insinuats en lapartat anterior es concreten en aquest apartatper mitj dun important teorema que relaciona el clcul de primitivesamb el clcul drees.

Aplicant aquest teorema, podrem obtenir raonadament rees sota corbesy = f (x), sempre que sabssim obtenir una primitiva de f (x). No obstantaix, el prxim resultat ens simplifica encara ms la feina.

Regla prctica per al clcul dintegrals

Demostraci:

F (x) = x

af s una primitiva de f (x), ja que pel teorema fonamental

del clcul sabem que F' (x) = f (x). G (x) s una altra primitiva de f (x).

Per tant, F (x) = G (x) + k, s a dir, F (x) = x

af = G (x) + k.

Com que F (a) = 0, F (a) = G (a) + k = 0 k = G (a)

Per tant, F (x) = G (x) G (a). Per a x = b obtenim F (b) = G (b) G (a).

En definitiva: b

af = G (b) G (a)

Un exemple: Calculem 3

2(x2 2x + 2) dx:

1 Trobem una primitiva de f (x) = x2 2x + 2;

G (x) = (x2 2x + 2) dx = x2 + 2x2 Calculem G (b) i G (a): G (3) = 6, G (2) =

3 3

2(x2 2x + 2) dx = G (3) G (2) = 6 =

103

83

83

x3

3

Regla de Barrow

Per trobar la integral b

af , es procedeix de la manera segent:

1. Es troba una primitiva de la funci f (x): G (x) = f (x) dx2. Es calculen els valors de G (b) i G (a).

3. La integral buscada s: b

af = G (b) G (a)

Teorema fonamental del clcul

Si y = f (x) s una funci contnua, lrea sota la seva grfica en un in-

terval variable [a, x] s una funci, F (x) = x

af la derivada de la qual

s f (x): F (x) = x

af F' (x) = f (x)

TINGUES EN COMPTE

F (a) = a

af s zero, evidentment, ja que

es tracta de lrea acumulada en uninterval sense longitud.

F (x) = x

a f y = F(x)

a

F' (x)= f (x)

y = f (x)

y = x2 2x + 2

1 1 2 3

11

a) Es troba una primitiva: G (x) = sin x dx = cos x Es calculen G (b) i G (a):

G (pi) = cos pi = (1) = 1; G (0) = cos 0 = 1

pi

0sin x dx = G (pi) G (0) = 1 (1) = 2

b) Ja hem obtingut en lexercici anterior G (x) = cos x.

G (2pi) = cos 2pi = 1; G (pi) = 1

2pi

pisin x dx = G (2pi) G (pi) = 1 1 = 2

Vegem la interpretaci geo-mtrica daquest exercici i delanterior:

Lrea de cada bucle de la funci sinus s 2. Quan el bucle queda sobre

leix X, la integral s positiva (pi0

sin x dx = 2). I quan queda sota leix X, la integral s negativa (2pipi sin x dx = 2).c) G (x) = (x3 4x2 + 3x ) dx = +

G (4) = + = ; G (0) = 0

4

0(x3 4x2 + 3x ) dx = 0 =

Vegem la interpretaci geomtrica:

La corba y = x3 4x2 + 3x determina tres re-cintes entre leix X i les abscisses x = 0 i x = 4.

REA de I REA de II + REA de III =

Amb aquest resultat ens quedem, per tant,sense conixer el valor de cada una daques-tes tres rees.

83

83

83

83

3 42

24 43

344

4

3x2

24x3

3x4

4

1. Calcula les integrals segents:

a) pi

0sin x dx

b) 2pi

pisin x dx

c) 4

0(x3 4x2 + 3x ) dx

EXERCICIS RESOLTS

EXERCICIS PROPOSATS

5. Troba i interpreta aquestes integrals:

a) 4pi

0sin x dx b)

2

2(x2 4) dx

6. Troba la integral segent i interpreta-la geom-

tricament: 2

0ex dx

0 1

2

3 4I

II

III

0

y = sin x

pi 2pi

2

2

12

I. Comencem esbrinant els punts de tall de lacorba amb leix X:

x2 1 = 0 8 x2 = 1 8 x1 = 1, x2 = 1

II. Els dos punts de tall estan dins de linterval.Per tant, hi haur tres recintes:

[2, 1], [1, 1] i [1, 3]

III. Obtenim una primitiva de la funci:

G (x) = (x2 1) dx = xIV. Trobem el valor de la primitiva en els extrems de tots els intervals:

G (2) = G (1) = G (1) = G (3) = 6

V. Calculem lrea de cada recinte:

1

2(x2 1) dx = G (1) G (2) = ( ) = 8 REA [2, 1] =

1

1(x2 1) dx = G (1) G (1) = = 8 REA [1, 1] =

3

1(x2 1) dx = G (3) G (1) = 6 ( ) = 8 REA [1, 3] =

VI. REA TOTAL: + + = u2283

203

43

43

203

203

23

43

43

23

23

43

43

23

23

23

23

23

x3

3

1. Troba lrea tancada entre lacorba y = x2 1, leix X i lesrectes x = 2 i x = 3.

EXERCICIS RESOLTS

4 CLCUL DE LREA ENTRE UNA CORBA I LEIX X

Per calcular lrea compresa entre la corba y = f (x), leix X i les

abscisses x = a i x = b, es procedeix aix:

I. Es resol lequaci f (x) = 0 per esbrinar els punts de tall de la corbaamb leix X.

II. Se seleccionen les arrels compreses entre a i b. Suposem quesn x1, x2, x3.

III. Es troba una primitiva de f (x): G (x) = f (x) dx.IV. Es calcula G (a), G (x1), G (x2), G (x3), G (b).

V. Les rees dels recintes sn els valors absoluts de les diferncies:

G (x1) G (a), G (x2) G (x1), G (x3) G (x2), G (b) G (x3)

VI. Lrea demanada s la suma de les rees dels recintes.

x1 x2 x3 ba

G (x1) G (a)G (x3) G (x2)

G (x2) G (x1)G (b) G (x3)

x1 x2 x3 ba

8 8

88

3

11

2

13

EXERCICIS PROPOSATS

7. Troba lrea compresa entre la funci y = (x2 1)(x2 4), leix X i les rectes x = 0, x = 5.

8. Troba lrea compresa entre:

y = x3 x2 2x i leix X

I. Punts de tall amb leix X:

x1 = 0x3 4x2 + 3x = 0

x2 4x + 3 = 0 8 x2 = 1, x3 = 3

II. Les tres arrels sn vlides. La primera coincideix amb lextrem inferiorde linterval. Hi ha, per tant, tres recintes:

[0, 1], [1, 3] i [3, 4]

III. G (x) = (x3 4x2 + 3x ) dx = + IV. G (0) = 0, G (1) = , G (3) = , G (4) =

V. Trobem lrea de cada recinte:

REA I = |G (1) G (0)| = 0 =

REA II = |G (3) G (1)| = = =

REA III = |G (4) G (3)| = ( ) = VI. REA TOTAL = REA I + REA II + REA III = + + = = 8

Lrea tancada en els tres recintes s, en total, de 8 u2.

9612

5912

3212

512

5912|9483|

3212|3212||51294|

512|512|

83

94

512

3x2

24x3

3x4

4

I. Punts de tall de la corba amb leix X:

x3 4x = 0 8 x1 = 2, x2 = 0, x3 = 2

II. Noms ens serveix larrel 2.

Hi ha dos recintes: I [1, 2]; II [2, 4]

III. G (x) = (x3 4x ) dx = = 2x2

IV. G (1) = , G (2) = 4, G (4) = 32

V. REA DEL RECINTE I = |G (2) G (1)| = 4 ( ) = 2,25REA DEL RECINTE II = |G (4) G (2)| = |32 (4)| = 36

VI. REA TOTAL = 2,25 + 36 = 38,25 u2

|74|

74

x4

44x2

2x4

4

012 1 2 3 4[ ]

2. Troba lrea tancada entre lacorba y = x3 4x2 + 3x, leixX i les rectes x = 0, x = 4.

(En lexercici resolt 1.c de lapgina 11 es va calcular la integral entre 0 i 4 de lamateixa funci. Aqu es veurla diferencia que hi ha entreuna integral i lreadelimitada per una corba).

3. Troba lrea compresa entre la corba y = x3 4x, leix X i les rectes x = 1 i x = 4.

0 1

2

3 4I

II

III

14

EXERCICIS PROPOSATS

9. Troba lrea tancada entre les grfiques de lesfuncions segents:

f (x) = x3 x2 + 4g (x) = x2 + 3x + 4

La funci diferncia s:

y = (x2 + x 2) 2x = x2 x 2

Trobem lrea entre la funci

y = x2 x 2 i leix X.

Punts de tall amb leix X:

x2 x 2 = 0 8 x = 1, x = 2. Interval [1, 2]

Primitiva de la funci: G (x) = (x2 x 2) dx = 2x G (1) = , G (2) =

2

1(x2 x 2) dx = G (2) G (1) = = 8 REA = u29

292

76

103

103

76

x2

2x3

3

f (x) g (x) = (x3 x)

x3 x = 0 8 x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1

G (x) = (x3 x) dx = G (1) = , G (0) = 0, G (1) =

RECINTE I: REA [1, 0] = |G (0) G (1) | = 0 ( ) = RECINTE II: REA [0, 1] = |G (1) G (0) | = 0 =

REA TOTAL = + = u212

14

14

14|14|

14|14|

14

14

x2

2x4

4

1. Troba lrea tancada entre lesgrfiques de les funcionssegents:

y = x2 + x 2

y = 2x

2. Troba lrea tancada entre les grfiques de les funcionssegents:

f (x) = x3 + 1

g (x) = x + 1

EXERCICIS RESOLTS

5 CLCUL DE LREA COMPRESA ENTRE DUES CORBES

Amb el que sabem fins ara, aquest problema s de fcil soluci grcies ala propietat segent:

Lrea tancada entre les grfiques de dues funcions, y = f (x), y = g (x), s igual a lrea tancada entre la funci diferncia y = ( f g) (x) i leix X.

y = f(x)

y = g(x)x1 x2 x3

y = (f g)(x)

x1 x2 x3

I I II

II

y = x2 x 2 y = x2 + x 2 y = 2x

y = x3 +

1 y = x + 1

1 0 1

y = x3 x

1 0 1

I

I

II

II

En el teu CD sexplica la manera detreballar:amb DERIVE (2),amb CALCULADORA GRFICA (3)i amb el software WIRIS (4) alguns aspectes daquesta unitat.

15

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

Clcul de primitives

Troba una primitiva de cadauna de les funcions segents:

a) f (x) =

b) f (x) = sin (3x + pi)

c) f (x) = ( + 1)2d) f (x) =

e) f (x) = x

f) f (x) = (2x2 + 3)2

g) f (x) = e4x 3

h) f (x) = +x 3132x

x2 + 1

135x 2

3x

3x + x

x

a) Descomponem la fracci en suma dunes altres dues i expressem ca-da sumand com a potncia:

+ = + = x + x = x + x

(x + x ) dx = + + k = + + kb) sin (3x + pi) dx = 3sin (3x + pi) dx = cos (3x + pi) + k

ja que D [cos (3x + pi)] = 3sin (3x + pi)

c) Efectuem el quadrat:

(3x + 2 + 1) dx = (3x + 2 x + 1) dx =

= + 2 + x + k = + + x + k

d) Expressem com a potncia:

(5x 2) dx = 5 (5x 2) dx = + k =

= + k

e) x (x2 + 1) dx = 2x (x2 + 1) dx = + k =

= + k

f) Desenvolupem el quadrat:

(4x4 + 12x2 + 9) dx = + + 9x + k = + 4x3 + 9x + k

g) e4x 3 dx = 4 e4x 3 dx = e4x 3 + k

h) + dx = x + x dx =

= + + k = + + k3x32

333x23

232

x3/2

3/21

3x2/3

2/31

32

)13132()x 3132x(14

14

4x5

512x3

34x5

5

(x2 + 1)313

(x2 + 1)12

12

3(5x 2)2310

(5x 2)15

15

x3433

3x2

2x33x

2

2

33x

13

13

x323

6x565

xx 000000

x

x

x

x

x

x

3xx

1

13 1

213 1

12

12

12

16

16

12

12

+ 116

+116

+ 112

+112

12

32

32

13

13

23

23

32

321

212

13

12

16


Clcul de primitives

Calcula les vuit primitives se-gents:

a) dx

b) dx

c) dx

d) dx

e) dx

f) (x2 1)3 dx

g) cos 4x sin2 4x dx

h) x2 ex3 1 dx

x3

ln xx

2x2 3x + 52x + 1

3x2 2x + 1x2

x + 1x2 + 2x + 3

23x 1

a) 2 dx = dx = ln |3x 1| + kHem multiplicat el numerador per 3 per obtenir la derivada del deno-minador.

b) Observem que multiplicant el numerador per 2, obtenim la derivadadel denominador:

dx = ln (x2 + 2x + 3) + k

c) Descomponem en sumes i restes:

dx = (3 + ) dx = 3x 2 ln |x | + kd) Dividim per expressar la fracci de la manera segent:

= quocient + 8 = x 2 +

dx = (x 2 + ) dx = 2x + ln |2x + 1 | + ke) Observem que el logaritme est multiplicat per la seva derivada. s

de la forma f' (x) f (x):

ln x dx = + k

f) (x2 1)3 dx = 2x (x2 1)3 dx = + k =

= (x2 1)4 + k

g) s necessari multiplicar per 4 per completar la derivada de sin 4x:

4 cos 4x sin2 4x dx = + k

h) La derivada de lexponent s 3x2. Multipliquem per 3:

x2 ex 3 1 dx = 3x2 ex 3 1 dx = ex 3 1 + k1313

sin3 4x3

14

14

124

(x2 1)4

416

12

13

x3

(ln x)2

21x

72

x2

27

2x + 12x2 3x + 5

2x + 1

72x + 1

2x2 3x + 52x + 1

residudivisor

Dividenddivisor

1x

1x2

2x

3x2 2x + 1x2

12

2x + 2x2 + 2x + 3

12

23

33x 1

23

13x 1

2

f'14243 14243

f 2

f'123{

f

17

Clcul drees

Calcula lrea limitada per lafunci y = x3, leix X i les rec-tes x = 1 i x = 2.

n Punts de tall de la funci i leix X: x3 = 0 8 x = 0

El punt de tall est dins de linterval [1, 2]; per tant, hi haur dos re-cintes: [1, 0] i [0, 2].

n Trobem una primitiva de la funci: G (x) = x3 dx = n Calculem el valor de la primitiva en els extrems dels intervals:

G (1) = ; G (0) = 0; G (2) = 4

n Obtenim les rees de cada recinte:

0

1x3 dx = G (0) G (1) = 0 = 8 rea [1, 0] = u2

2

0x3 dx = G (2) G (0) = 4 0 = 4 8 rea [0, 2] = 4 u2

rea total = + 4 = u2174

14

14

14

14

14

x4

4

3

rea limitada per y = f (x) i els eixos de coordenades

Considera la funci:

f(x) =

Representa el recinte limitatpels eixos de coordenades i lagrfica de la funci i trobanlrea.

x2 1 si x 0(x 1)2 si x > 0

La parbola y = x2 1 talla els eixos en (1,0) i (0, 1); i la parbola y = (x 1)2, en (1, 0) i (0, 1).

El punt (0, 1) no pertany a la funci.

El recinte s la zona acolorida.

rea de R1 = 0

1(x2 1) dx = x

0

1

= u2

rea de R2 = 1

0(x 1)2 dx =

1

0

= u2

rea total = + = 1 u213

23

13](x 1)

3

3[

23|]x

3

3[|||

4

rea entre corbes

Representa la superfcie tan-cada entre la parbola f(x) = x2 + 2x + 4 i la rectag(x) = 2x, i calculan lrea.

n f (x) s una parbola de vrtex (1, 5).

Talls amb leix OX :

x2 + 2x + 4 = 0 8 x =

n Talls de f (x) i g (x):

x2 + 2x + 4 = 2x 8 x = 2

n rea = 2

2(x2 + 2x + 4 2x) dx = + 4x

2

2

= u2323]x

3

3[

(2, 4)

(2, 4)

x = 1,2

x = 3,2

2 202

5

1 2

1

1

2 1

2

R2

R1

1 2

2

32

4

4

1

2

18


Clcul drees

Troba lrea del recinte limitatper les corbes:

y = i y = x2

Representa el recinte.

15

5x

n Calculem els punts dintersecci dambdues corbes:

y = = x2 8 5x = x4 8

x = 0y = x2 8 125x x4 = 0 8 x (125 x3) = 0

x = 5

n Funci diferncia: y = x2

n Primitiva de la funci diferncia:

G (x) = ( x2) dx = n Trobem el valor de G en x = 0 i en x = 5:

G (0) = 0; G (5) = =

n Calculem lrea:

5

0( x2) dx = G (5) G (0) =

rea = u2

n Lrea que hem trobat s la representadaen la figura de la dreta.

253

253

15

5x

253

12515

2 253

x3

1525x3

315

5x

15

5x

15

125

15

5x5x

6

Clcul drees

Calcula lrea del recinte limi-tat per les grfiques de les fun-cions:

y = x4 4x3

y = x2 4x3

x = 0

n Punts dintersecci: x4 4x3 = x2 4x3 8 x4 x2 = 0 x = 1x = 1

n Primitiva de la funci diferncia: G (x) = (x4 x2) dx = n Valors de G en els punts de tall:

G (0) = 0; G (1) = + = ; G (1) = =

n Calculem lrea:

0

1(x4 x2) dx = G(0) G(1) = 8 rea [1, 0] = u2

1

0(x4 x2) dx = G(1) G(0) = 8 rea [0, 1] = u2

rea demanada = + = u2415

215

215

215

215

215

215

215

13

15

215

13

15

x3

3x5

5

7

5

5

5x

y =

y = x2 51

19

Clcul drees

Calcula lrea del recinte limi-tat per les corbes

y = , y = , leix X

i la recta x = 8.

x8x

8

n Representem les funcions per determinar el recinte del qual hem decalcular lrea:

n Trobem labscissa del punt dintersecci de les corbes y = i

y = :

y =

y =

n Dividim el recinte en dues parts per poder-ne calcular les rees apli-cant la regla de Barrow:

A1: ser el recinte limitat per la corba y = i leix X entre lesabscisses x = 0 i x = 4.

A2: ser el recinte limitat per la corba y = i leix X entre lesabscisses x = 4 i x = 8.

n Calculem lrea de A1:

4

0dx = [ ] 4

0= =

rea A1 = u2

n Calculem lrea de A2:

8

4dx = [8 ln |x |] 8

4= 8 ln 8 8 ln 4 = 8 ln = 8 ln 2

rea A2 = 8 ln 2 u2

n Lrea que es demana ser la suma de les rees calculades:

rea demanada = ( + 8 ln 2) u2163

84

8x

163

163

243

32x 3

3x

8x

x

x

8x

x

8x

1

2

3

4

5

4 8

xy =

x = 8

y = x8

A1 A2

= 8 = x 8 x3 = 64 8 x = 464x2

x8x

20

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

Clcul de primitives

10 Troba una primitiva de les funcions segents:

a) f (x) = x + 1 b) f (x) = 2x

c) f (x) = + x2 d) f (x) = 8x3 + 3x2

e) f (x) = + f) f (x) = +

g) f (x) = + h) f (x) =

11 Integra la funci de cada apartat:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

12 Resol:

a) sin 3x dx b) cos x + dxc) dx d) 1 sin dxe) sin x dx f) cos x dx

13 Calcula:

a) ex + 3 dx b) e2x 1 dxc) 2x 7 dx d) 3 dx

14 Calcula:

a) (x 3)3 dx b) (2x + 1)5 dxc) dx d) dx

e) dx f) dx

g) dx h) dx

15 Calcula:

a) x dx b) dx

c) dx d) x e x2 dx

e) dx f) sin2 x cos x dx

g) dx h) x sin x2 dx16 Calcula:

a) 3e 5x dx b) x2 2 x3 + 5 dxc) e dx d) dx

e) dx f) dx17 Resol les integrals segents:

a) dx b) dx

c) dx d) dx* Divideix i transforma la fracci aix:

= quocient +

18 Calcula:

a) sin dx b) sin x cos x dx

c) dx d) dx

e) (2x2 + 1)2 dx f) dx

g) dx h) dx

i) ln x dx j) cos e x dx1ex2x

ex

1 + ex3x2 + 2x 1

x 2

x

3x2 2

1x2 + 2x + 1

x x

1x

1x2

residudivisor

Dividenddivisor

x2 + 3x 1x2 1

2x2 3x + 12x 1

x2 + 5x 7x + 3

x2 3x + 4x 1

3x 2

3x 2x + 5x + 5

x 3

x2 6x + 2x1

x

x3

x4 4

5x3x2 + 2

2x + 1x2 + x 3

x2

x3 35x2 + 1

x3x2 4

2xx2 + 2

32x 1

3 x + 3 2

3x 51x + 2

x2

pi2)pi2(

)x2(cos xsin x)pi2(

3 2xx

x 2x2

2x + 1

3x

x3 2x2

x + x2

x35x23x

x23x

x3

1

x

35x4

x1x3

1x2

x2

3

PER PRACTICAR

21

Integral definida

19 Resol les integrals segents:

a) 5

2(3x2) dx b)

6

4(2x 1) dx

c) 2

2(x3 + x) dx d)

4

1dx

e) e

1dx f )

3

1ex 2 dx

g) pi

0(sin x cos x) dx h)

pi

pisin 2x dx

20 Troba les integrals de les funcions segents enels intervals que sindiquen:

a) f (x) = 3x2 6x en [0, 2]

b) f (x) = 2 cos x en [0, pi/2]

c) f (x) = (x + 1) (x2 2) en [1, 2]

d) f (x) = sin en [0, pi]

Clcul drees

21 Troba, en cada cas, lrea limitada per:

a) f (x) = x2 4, leix X i les rectes x = 0 i x = 2.

b) f (x) = 2x x2, leix X i les rectes x = 1 ix = 1.

c) f (x) = x2 2x 3 i leix X.

d) f (x) = 1 x2, leix X i les rectes x = 2 i x = 2.

e) f (x) = ex, leix X i les rectes x = 1 ix = 3.

f) f (x) = x2 + 1, leix X i les rectes x = 1 ix = 3.

22 Calcula lrea compresa entre les corbes:

a) y = x2; y = x

b) y = x2; y = 1

c) y = x2; y = x3

d) y = x2; y = x2 + 2x

e) y = 2x2 + 5x 3; y = 3x + 1

f ) y = 4 x2; y = 8 2x2; x = 2; x = 2

23 Calcula lrea dels recintes limitats per:

a) La funci f (x) = x2 2x + 1 i els eixos decoordenades.

b) La corba y = x3, la recta x = 2 i leix X.

c) La funci y = sin x, leix dabscisses i les

rectes x = i x = .

d) La funci y = cos x i leix OX entre x = 0 i x = pi.

24 Calcula lrea compresa entre les corbes:

a) y = x2 i y = 3 2x

b) y = 4 x2 i y = 3x2

c) y = x i y = x2 2

d) y = 4 x2 i y = x2 4

e) y = (x + 2)2 (x 3) i leix dabscisses.

25 Troba lrea compresa entre la corba y = x2 + 4x + 5 i la recta y = 5.

26 Calcula lrea limitada per les corbes segents:

a) y = x3 + x2; y = x3 + 1; x = 1; x = 1

b) y = x2; y = 1 x2; y = 2

c) y = x (x 1) (x 2); y = 0

d) y = x2 2x ; y = x

e) y = x3 2x ; y = x2

f ) y = 2x x3; y = x2

27 Un dipsit es buida de manera variable segons lafunci v (t) = 5 0,1t (t en min, v en l/min).Calcula quant sha buidat el dipsit entre els mi-nuts 100 i 200.

28 Una fbrica aboca diriament material contami-nant a una bassa dacord amb un ritme donatper la funci segent: m = 0,01t3 0,2t2 + t + 1essent m la quantitat de material en kg i tlhora del dia. Quant material aboca cada dia?

29 Calcula lrea limitada per la grfica de y = x + x2, la tangent a aquesta corba en x = 2 i leix dabscisses.

pi4

pi4

PER RESOLDRE

x4

1x

3x

22

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

30 Si y = x3 2x2 + x , troba lequaci de la sevatangent en lorigen i calcula lrea de la regitancada entre la corba i la tangent.

31 Troba lrea de la figura sabent que el costat corbcorrespon a la funci y = x2 + 1.

32 Donada la funci f (x) = 4 x2, escriu lesequacions de les tangents a f en els punts detall amb leix dabscisses. Troba lrea compresaentre les rectes tangents i la corba.

33 Si f (x) = x + 1, troba:

a) x

0 f b)

x

1 f c)

x

1 f d)

3

1 f

34 a) Troba lrea limitada per y = |2x 4|, leixX i les rectes x = 0 i x = 5.

b) Calcula 3

2 |2x 4|.

35 Calcula: a) 2

0 f (x) dx b)

3

1g (x) dx, essent:

f (x) =

g (x) =

36 Donada la funci f (x), troba lrea limitada perf (x), leix OX i les rectes x = 0 i x = 3:

f (x) =

37 Troba una funci f de la qual sabem quef ' (x) = 3x2 2x + 5 i que f (1) = 0.

38 Troba la funci primitiva de la funciy = 3x2 x3 que passa pel punt (2, 4).

39 Troba la funci que pren el valor 2 en x = 1 ila derivada de la qual s f ' (x) = 3x2 + 6.

40 Troba la primitiva de f (x) = 1 x x2 que ta-lli leix dabscisses en x = 3.

41 Si F (x) i G (x) sn dues primitives de f , esverifica necessriament que F (x) = k + G (x)?Justifica la resposta.

42 a) Calcula lrea sotala grfica de ladreta en els inter-vals [0, 2] i [2, 6].

b) Si aquesta grfica representa la velocitat (m/s)dun mbil en funci del temps, qu represen-ta cada una de les rees anteriors?

43 a) Representa la funci f (x) = 2x i troba lrealimitada per f en els intervals [0, 1 ], [0, 2 ],[0; 2,5 ] i [0, 3 ].

b) Fes una taula de valors de la funci:

F (x) = x

0f i representa-la.

c) Quina daquestes equacions correspon a lex-pressi analtica de F (x)?:

I) y = II) y = 2x2

III) y = x2 IV) y = x2 + 1

d) Comprova que la derivada de la funci reacoincideix amb la funci que limita aquestarea.

44 Quina de les expres-sions ens dna lrealimitada per la grficade f i leix dabscis-ses?

a) c

af b) | c

af |

c) b

af +

c

bf d)

b

af +

c

bf

45 Essent F (x) = x

1f = 3x2 5x , troba la funci f .

Calcula F (0) i F (2).

46 Calcula lrea sota la corba f (x) = x2 1 en lin-terval variable [1, x ]. Troba lrea per a x = 4.

f

a b c

x2

2

2

2

4

6

4 6 8 10

QESTIONS TERIQUES

1 1 si x < x 2

1x2 + 3x si x 3

2|x + 3 | si x > 3

2x si 1 x 1x2 + 1 si 1 < x 3

x2 si 0 x 12 x si 1 < x 2

1

2

11 2

23

47 Demostra, utilitzant inte-grals, que lrea del rectan-gle s A = b a.

* Troba lequaci de la recta r i calcula lrea limi-tada per r i leix OX entre x = 0 i x = b.

48 Sabent que aquesta grfica correspon a f (x) = x2,justifica quina de les funcions segents s

F (x) = x

1f :

a) F (x) = x3 1

b) F (x) =

c) F (x) =

49 a) Donada la funci f (x) = x + 1, obtn F(x) = x

3f.

b) Troba, desprs, 5

3f .

50 Donada la funci f (x) = a ex/3 + (x ? 0):

a) Calcula 1

2

f (x) dx en funci de a.

b) Se sap que F s una primitiva de f. Calculaa si F (1) = 0 i F (2) = 1/2.

51 Expressa per una integral lrea del triangle devrtexs (0, 3), (7, 3) i (7, 10). Explica el significatde la integral escrita.

52 Troba lrea del triangle mixtilini de vrtexsA(2, 4), B(2, 4) i C(1, 1), en el qual les lniesAB i AC sn rectes, mentre que la que uneixels punts B i C s la dequaci y = x2.

53 La corba y = a [1 (x 2)2], amb a > 0, limitaamb leix dabscisses un recinte de 12 unitats desuperfcie. Calcula el valor de a.

1x2

1 x

f

13

x3

3

x3

3

PER APROFUNDIR

Y

a

Xb

r

1. Resol les integrals segents:

a) x2 2x + dx b) dxc)

2dx d) + dx

e) x dx f) dx2. Calcula:

a) 3

1dx b)

2

1/3e3x 1 dx

3. Calcula lrea limitada per f (x) = 4x x2, leixOX i les rectes x = 3 i x = 5.

4. La corba y = , leix OX, leix OY i la

recta x = 4 limiten una superfcie S. Calculalrea de S.

5. El consum dun motor, en una feina de 6 hores, vedonat per lexpressi c(t) = t2 + 8t + 20, essent tel temps en hores, 0 t 6.

Quant consumeix el motor en les 6 hores quedura la feina?

6. Per tancar una vidriera, sha de collocar un vidrela superficie del qual est limitada per les fun-cions y = 2 i y = (x 2)2 + 6. Dibuixa el vidrei calculan lrea (x i y en dm).

7. Representa grficament la regi limitada per lesgrfiques de les funcions segents i calculan lrea:

f (x) = x2 g (x) = (5x + 20)

h (x) = (5x + 20)

En el teu CD trobars les resolucions de tots aquestsexercicis.

12

12

54

4x + 4

2x + 2

x2 + 3x 2x 1

2x2 + 1

)2x2x2()3 5x2(

1 x3

x)1273(

AUTOAVALUACI

Documents

Integrals