INTEGRALIIMPROPRI - Paola Gervasiopaola-gervasio.unibs.it/Analisi1/cap10_s.pdf · SE esistono ﬁniti i due integrali impropri che compaiono in (2) ALLORA l’integrale improprio

INTEGRALI IMPROPRI

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Abbiamo visto che l’integrale di Riemann e definito per funzionilimitate e su intervalli limitati.

Sia ora I ⊆ R un intervallo non necessariamente limitato e f nonnecessariamente limitata.

Def. Un integrale

∫

I

f (x)dx si dice improprio se I e illimitato,

oppure se I e limitato e f non e limitata su I .

I = [1,+∞) e illimitato ,

x

y

1

f (x)

I = (0, 1] e limitato, f e illimitata su I .

x

y

1

f (x)

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Integrale su intervalli illimitati

Def. Sia I = [a,+∞) ⊂ R, sia f localmente integrabile su I

secondo Riemann e sia Fa(x) la funzione integrale di f (t) t.c.Fa(a) = 0.L’ integrale improprio di f su [a,+∞) e

∫ +∞

a

f (t)dt = limx→+∞

∫x

a

f (t)dt

︸︷︷︸

Fa(x)

= limx→+∞

Fa(x)

1 Se il limite esiste finito, diciamo che f e integrabile in sensoimproprio su I o che il suo integrale improprio converge

2 se il limite esiste infinito, diciamo che l’integrale improprio dif e divergente

3 se il limite NON esiste, diciamo che l’integrale improprio di fe oscillante

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Esempi

∫∞

0e−xdx e convergente

∫∞

1

1

xdx e divergente

∫∞

0cos(x)dx e oscillante


Teorema Se f e una funzione positiva e localmente integrabile,allora il suo integrale improprio o converge o diverge (non puooscillare).

Dim. Ricordiamo che se f : [a,+∞) → R e localmente integrabile

e positiva, allora la sua funzione integrale Fa(x) =

∫x

a

f (t)dt e

crescente. Inoltre (per il teorema del limite di funzioni monotone[si veda cap3b.pdf, pag. 17]) se una funzione Fa(x) definita in unintorno di +∞ e monotona crescente, allora il lim

x→+∞Fa(x) esiste e

puo essere finito o infinito.

Oss. Se f e positiva e limx→+∞

f (x) = ℓ > 0 o limx→+∞

f (x) = +∞,

allora

∫ +∞

a

f (x)dx e divergente.


Teorema ∫ +∞

1

1

xαdx

{converge se α > 1diverge se α ≤ 1

Dimostrazione∫ +∞

1

1

tαdt =

= limx→+∞

∫x

1

1

tαdt = lim

x→+∞

[log(t)]x1 se α = 11

1− α

[t1−α

]x

1se α 6= 1

= limx→+∞

log(x) se α = 11

1− α(x1−α − 1) se α 6= 1

=

+∞ se α ≤ 11

α− 1se α > 1

Oss. Il comportamento e analogo a quello della serie armonica

generalizzata∞∑

n=1

1

nα.


La funzione f (x) = 1/xα per x > 1

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x


Criterio del confrontoA volte non e possibile calcolare esplicitamente la funzioneintegrale di una funzione f data (ad es. f (x) = e−x

2non e

integrabile elementarmente), pero si riesce comunque a stabilire se

l’integrale improprio

∫ +∞

a

f (x)dx converge o diverge. Si utilizza

un criterio del confronto

Teorema (Criterio del confronto analogo a quello delle serie).Siano f e g due funzioni localmente integrabili su I = [a,+∞), t.c.0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ I . Allora

0 ≤∫ +∞

a

f (x)dx ≤∫ +∞

a

g(x)dx

e: se

∫ +∞

a

f (x)dx diverge, allora

∫ +∞

a

g(x)dx diverge

se

∫ +∞

a

g(x)dx converge, allora

∫ +∞

a

f (x)dx converge.


Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio∫ +∞

1e−x2dx .

Per x > 1 si ha x2 > x , quindi −x2 < −x e e−x2 < e−x

(ricordiamo che l’esponenziale e una funzione crescente e che lacomposizione tra una funzione crescente ed una funzionedecrescente e una funzione decrescente).Per il criterio del confronto si ha allora∫ +∞

1e−x2dx <

∫ +∞

1e−xdx .

Studiamo

∫ +∞

1e−xdx = lim

x→+∞

∫x

1e−tdt

= limx→+∞

[−e−t ]x1 = limx→+∞

(e−1 − e−x) = e−1

Quindi∫ +∞

1 e−xdx e convergente e, per il criterio del confronto lo

e anche∫ +∞

1 e−x2dx .


Criterio del confronto asintotico

Teorema. Sia f localmente integrabile su I = [a,+∞) ed

∃ℓ ∈ R \ {0} t.c. f (x) ∼ ℓ

xαper x → +∞.

Allora∫ +∞

a

f (x)dx converge ⇔∫ +∞

a

1

xαdx converge ⇔ α > 1

∫ +∞

a

f (x)dx diverge ⇔∫ +∞

a

1

xαdx diverge ⇔ α ≤ 1

Oss. Dire f (x) ∼ ℓ

xαper x → +∞ vuol dire che f si comporta

come ℓ/xα per x → +∞, cioe e infinita o infinitesima dello stessoordine di 1/xα.


Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio∫ +∞

1

x + cos x

x3 + sin xdx .

La funzione integranda f (x) =x + cos x

x3 + sin xe f (x) ∼ 1

x2per

x → +∞, quindi abbiamo α = 2 e, per il criterio del confrontoasintotico, l’integrale dato converge.

Es. Esaminare il comportamento degli integrali impropri

∫ +∞

1

arctan x

x2dx ,

∫ +∞

1

arctan x

xdx .


Teorema di McLaurin

Sia f : [1,+∞) → R monotona. Allora

+∞∑

n=1

f (n) e

∫ +∞

1f (x)dx

sono entrambi convergenti o divergenti.

Es. Lo abbiamo gia osservato con la serie armonica generalizzata:

+∞∑

n=1

1

nαconverge ⇐⇒

∫ +∞

1

1

xαdx converge

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale∫ +∞

1

sin5(1x

)

log(x2 + 1)− 2 log(x)dx


Criterio di convergenza assolutaTeorema. Sia f una funzione localmente integrabile su

I = [a,+∞) a segno variabile e tale che

∫ +∞

a

|f (x)|dx converga.

Allora anche

∫ +∞

a

f (x)dx converge e si ha:

∣∣∣∣

∫ +∞

a

f (x)dx

∣∣∣∣≤

∫ +∞

a

|f (x)|dx .

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale

∫ +∞

1

cos x

x2dx .

La funzione integranda f (x) =cos x

x2e a segno variabile, ne considero il valore

assoluto.

|f (x)| =∣

∣

∣

cos x

x2

∣

∣

∣≤

1

x2, ∀x ∈ I = [1,+∞). Poiche l’integrale improprio di 1

x2su

[1,+∞) e convergente, per il criterio del confronto, anche

∫ +∞

1

∣

∣

∣

cos x

x2

∣

∣

∣dx

converge e, per il criterio di convergenza assoluta, converge anche∫ +∞

1

cos x

x2dx .


Oss. Se f e localmente integrabile su I = (−∞, b], l’integraleimproprio di f su I e definito come

∫b

−∞

f (t)dt = limx→−∞

∫b

x

f (t)dt.

.


Integrale su R = (−∞,∞)

Consideriamo f : R → R localmente integrabile secondo Riemann evogliamo calcolare

∫ +∞

−∞

f (x)dx . (1)

Sia c ∈ R, definiamo

∫ +∞

−∞

f (x)dx = lima→−∞b→+∞

∫b

a

f (x)dx =

= lima→−∞

∫c

a

f (x)dx + limb→+∞

∫b

c

f (x)dx

(2)

SE esistono finiti i due integrali impropri che compaiono in (2)ALLORA l’integrale improprio (1) e convergente


Esempio

Consideriamo ad esempio la funzione f (x) =2x

1 + x2.

f e una funzione dispari.

L’integrale improprio

∫ +∞

−∞

2x

1 + x2dx e divergente in quanto

∫ +∞

0

2x

1 + x2dx ∼

∫ +∞

0

1

xdx

e quest’ultimo e divergente.

Anche

∫ 0

−∞

2x

1 + x2dx e divergente.


Integrali di funzioni non limitate su intervalli limitati

Sia I = [a, b), sia f una funzione localmente integrabile su I , nondefinita in x = b (ad es. con lim

x→b−f (x) = ∞)

Def. Definiamo integrale improprio di f su [a, b)

∫b

a

f (t)dt = limx→b−

∫x

a

f (t)dt




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t

y

a b

f (t)

Osservazione Se I = (a, b] e f e una funzione localmenteintegrabile su (a, b], ma non necessariamente definita in x = a (ades. con lim

x→a+f (x) = ∞).

Def. Definiamo integrale improprio di f su (a, b]∫

b

a

f (t)dt = limx→a+

∫b

x

f (t)dt





t

y

a b

f (t)

Teorema∫ 1

0

1

xαdx

{converge se α < 1diverge se α ≥ 1

Dimostrazione

∫ 1

0

1

tαdt =

= limx→0+

∫ 1

x

1

tαdt = lim

x→0+

[log(t)]1x

se α = 11

1− α

[t1−α

]1

xse α 6= 1

= limx→0+

− log(x) se α = 11

1− α(1− x1−α) se α 6= 1

=

+∞ se α = 11

1− αse α < 1

+∞ se α > 1


La funzione f (x) = 1/xα per 0 < x < 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

x


La funzione f (x) = 1/xα per x > 0

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

x


La funzione f (x) = 1/(1− x)α per x < 1

-4 -3 -2 -1 0 10

2

4

6

8

10

x


Confrontiamo

f1(x) =1

(1− x)α(a sinistra) e f0(x) =

1

xα(a destra)

-4 -3 -2 -1 0 10

2

4

6

8

10

x0 1 2 3 4 5

0

2

4

6

8

10

x

Fissato il valore di α, f1 e f0 vanno ad infinito con la stessavelocita, cioe

∫ 1

0

1

(1− x)αdx conv ⇔

∫ 1

0

1

xαdx conv ⇔ α < 1


∫ 1

0

1

(1− x)αdx =

∫ 1

0

1

xαdx

(basta applicare la sostituzione:

s = 1− x , ds = −dx

se x = 0 ⇒ s = 1, se x = 1 ⇒ s = 0)

∫ 1

0

1

(1− x)αdx = −

∫ 0

1

1

sαds =

∫ 1

0

1

xαdx =

{

CONV se α < 1

DIV se α ≥ 1

Es.

∫ 1

0

1√1− x

dx converge perche:∫ 1

0

1√1− x

dx =

∫ 1

0

1√xdx =

∫ 1

0

1

x1/2

Quindi α = 1/2 < 1 e si ha convergenza


Altri integrali elementari ottenuti per sostituzione

∫b

a

1

(b − x)αdx ∼

∫ 1

0

1

(1− x)αdx

∫b

a

1

(x − a)αdx ∼

∫ 1

0

1

(x − 0)αdx =

∫ 1

0

1

xαdx

Questi integrali convergono se α < 1 e divergono se α ≥ 1.

Es.∫ 2

1

1

(2− x)3/2dx diverge (α = 3/2 > 1)

∫ 3

0

1

(3− x)1/2dx converge (α = 1/2 < 1)

∫ 4

0

1

(4− x)dx diverge (α = 1)


∫ b

a

1

(x − a)αdx =

∫ b−a

0

1

sαds

CONVERGE se α < 1 e DIVERGE se α ≥ 1(basta applicare la sostituzione:

s = x − a, ds = dx

se x = a ⇒ s = 0, se x = b ⇒ s = b − a)

∫ b

a

1

(b − x)αdx =

∫ b−a

0

1

sαds

CONVERGE se α < 1 e DIVERGE se α ≥ 1.(basta applicare la sostituzione:

s = b − x , ds = −dx

se x = a ⇒ s = b − a, se x = b ⇒ s = 0)


Criterio del confronto (su intervalli limitati)

Teorema.Siano f e g due funzioni localmente integrabili su I = [a, b), t.c.0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ I = [a, b). Allora

0 ≤∫

b

a

f (t)dt ≤∫

b

a

g(t)dt

e: se

∫b

a

f (t)dt diverge, allora

∫b

a

g(t)dt diverge

se

∫b

a

g(t)dt converge, allora

∫b

a

f (t)dt converge.

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio∫ 4

2

√

x − 2

4− xdx .


Criterio del confronto asintotico

Teorema. Sia f localmente integrabile su I = [a, b) ed

∃ℓ ∈ R \ {0} t.c. f (x) ∼ ℓ

(b − x)αper x → b−.

Allora

∫b

a

f (x)dx converge ⇔∫

b

a

1

(b − x)αdx converge ⇔ α < 1

∫b

a

f (x)dx diverge ⇔∫

b

a

1

(b − x)αdx diverge ⇔ α ≥ 1


analogamente:

Teorema. Sia f localmente integrabile su I = (a, b] ed

∃ℓ ∈ R \ {0} t.c. f (x) ∼ ℓ

(x − a)αper x → a+.

Allora

∫b

a

f (x)dx converge ⇔∫

b

a

1

(x − a)αdx converge ⇔ α < 1

∫b

a

f (x)dx diverge ⇔∫

b

a

1

(x − a)αdx diverge ⇔ α ≥ 1

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale∫ 2

32

log(x − 1)

x3 − 4x2 + 4xdx .

Riferimenti bibliografici. Canuto Tabacco, cap.10.1


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